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MA14 - Unidade 13

Pequeno Teorema de Fermat

Semana de 03/10 a 09/10

Desde, pelo menos, 500 anos antes de Cristo, os chineses sabiam que, sep

um nmero primo, entop|2p2. Coube a Pierre de Fermat, no sculo XVII,

generalizar este resultado, enunciando um pequeno mas notvel teorema quese constitui no resultado central desta seo.

Para demonstrar o Teorema de Fermat, necessitaremos do lema a seguir.

Lema 1. Seja p um nmero primo. Os nmeros

p

i

, onde0 < i < p, so

todos divisveis porp.

Demonstrao O resultado vale trivialmente parai = 1. Podemos, ento,supor 1 < i < p. Neste caso, i!|p(p 1) (p i+ 1). Como (i!, p) = 1,decorre quei!|(p 1) (p i+ 1), e o resultado se segue, pois

p

i

= p

(p 1) (p i+ 1)

i! .

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Teorema 1(Pequeno Teorema de Fermat). Dado um nmero primo p, tem-

se quep divide o nmero ap

a, para todo a N.

Demonstrao Vamos provar o resultado por induo sobre a. O resul-

tado vale claramente paraa= 1, pois p|0.Supondo o resultado vlido para a, iremos prov-lo para a+ 1. Pela

frmula do binmio de Newton,

(a+ 1)p (a+ 1) =ap a+

p

1

ap1 + +

p

p 1

a.

Como, pelo Lema 1 e pela hiptese de induo, o segundo membro daigualdade acima divisvel por p, o resultado se segue.

Exemplo 1. Dado um nmero qualquern N, tem-se quen9 en, quando

escritos na base 10, tm o mesmo algarismo da unidade.

A afirmao acima equivalente a10|n9 n. Como n9 e ntm a mesma

paridade, segue-se quen9 n par; i.e,2|n9 n.

Por outro lado,

n9 n= n(n4 1)(n4 + 1) = (n5 n)(n4 + 1).

Logo, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que5|n5 ne, portanto,

5|n9 n. Tem-se, ento, que10|n9 n.

Corolrio. Se p um nmero primo e se a um nmero natural no

divisvel porp, ento p divide ap1 1.

Demonstrao Como, pelo Pequeno Teorema de Fermat,p|a(ap1 1)e

como (a, p) = 1, segue-se, imediatamente, quepdivide ap1 1.

O Corolrio acima tambm ser chamado de Pequeno Teorema de Fermat.

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Pequeno Teorema de Fermat 3

Note que o Pequeno Teorema de Fermat nos fornece um teste de no

primalidade. De fato, dado m N, com m >1, se existir algum a N, com(a, m) = 1, tal que m|am1 1, ento mno primo.

Os chineses achavam tambm que se mera composto, ento m|2m 2,

uma recproca do Teorema de Fermat, no caso a = 2. Muitos matemticos

acreditavam neste resultado, at que, em 1819, Sarrus mostrou que o nmero

341(= 31 11)divide 2341 2.

Poder-se-ia perguntar se vale a recproca mais restritiva do Pequeno Teo-

rema de Fermat:

Dado um inteiro m >1, a condio m|am1 1 para todo a N tal que

(a, m) = 1, acarreta, necessariamente, que m primo?Veremos, no prximo exemplo, que isto tambm falso.

Exemplo 2. Seja a N tal que (a, 3) = (a, 11) = (a, 17) = 1. Note que

essa condio equivalente a (a, 561) = 1, pois 3 11 17 = 561.

Por outro lado,

(a280, 3) = (a56, 11) = (a35, 17) = 1,

e, portanto, pelo Pequeno Teorema de Fermat,3divide(a280)21 =a5601,

11 divide (a56

)

10

1 =a560

1e 17 divide (a35

)

16

1 =a560

1.Segue-se da que 561 divide a560 1, para todo a tal que (a, 561) = 1,

sem que 561seja primo.

Exemplo 3. O Pequeno Teorema de Fermat nos diz que

47246 1.

Logo, temos que

47

223 1

223 + 1

,

e como(223 1, 223 + 1) = (223 1, 2) = 1,

segue-se que47 divide um, e apenas um, dos nmeros 223 1ou 223 + 1.

Como decidir qual dessas duas opes, acima, verificada?

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Em geral, o Pequeno Teorema de Fermat nos diz que se p > 2 um

nmero primo e aum nmero natural tal que p|a, ento tem-se que

p

ap12 1ap12 + 1.Como p primo, tem-se que p

ap12 1 ou p ap12 + 1 .Decidir qual das duas condies de divisibilidade, acima, ocorre, , em

geral, um problema difcil. Esta questo se relaciona de modo inesperado com

outra, envolvendo resduos quadrticos (ou seja, certas equaes diofantinas

do segundo grau), atravs de um critrio devido a Euler.

Problemas

1. Mostre que42|a7 apara todo nmero naturala.

2. Ache o resto da diviso de12p1 por p quando p primo.

3. Mostre que, para todon N, natural o nmero

3

5n5 +

2

3n3 +

11

15n.

4. Mostre que, para todon N, 15|3n5

+ 5n3

+ 7n.5. Seja n N. Mostre que

a) Se5 |n, 5 |n 1, 5 |n+ 1, ento5|n2 + 1.

b) Se7 |n, 7 |n 1,7|n3 + 1, ento7|n2 +n+ 1.

6. Sejam a, k N. Mostre que7|a6k 1, se (a, 7) = 1.

7. Mostre quea13 a divisvel por 2, 3, 5, 7, 13 e 273, para todoa N.

8. Mostre quea12b12 divisvel por13, se aebso primos com 13. Mostre

tambm que divisvel por 91, se ae bso primos com 91.

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Pequeno Teorema de Fermat 5

O Renascimento da Aritmtica

A Renascena, movimento ocorrido entre os sculos XIII e XV na Europa,

cujas caractersticas principais foram a luta contra os preconceitos da poca

e a redescoberta e a leitura dos clssicos gregos, teve por consequncia uma

revoluo nas artes, na cincia e nos costumes.

Este movimento atingiu a Matemtica um pouco mais tardiamente. Em

1575, Regiomanto traduziu para o latim o tratadoAritmtica, de Diofanto.

Em 1621, Bachet de Mziriac publicou uma edio francesa que se tornaria

protagonista de uma das mais ricas histrias de toda a Matemtica.

Por esta poca, ocorre o renascimento da aritmtica, na acepo dePlato, essencialmente por obra do jurista francs Pierre de Fermat (1601-

1665). Na poca, era comum os matemticos no divulgarem as demonstra-

es dos resultados que descobriam, lanando-os como desafio para outros.

Os resultados de Fermat foram divulgados por meio de sua correspondncia,

principalmente com o padre Marin Mersenne, que desempenhava o papel de

divulgador da Matemtica. Numa de suas cartas de 1640, Fermat enunciou

o seu Pequeno Teorema, dizendo que no escreveria a demonstrao por ser

longa demais.

Fermat descobriu vrios teoremas em Teoria dos Nmeros, mas a sua con-tribuio mais marcante foi a anotao que deixou na margem do Problema

8, Livro 2, de sua cpia de Bachet daAritmticade Diofanto, onde se encon-

travam descritas as infinitas solues da equao pitagricaX2 +Y2 = Z2.

Fermat escreveu: Por outro lado, impossvel separar um cubo em dois cu-

bos, ou uma biquadrada em duas biquadradas, ou, em geral, uma potncia

qualquer, exceto um quadrado em duas potncias semelhantes. Eu desco-

bri uma demonstrao verdadeiramente maravilhosa disto, que todavia esta

margem no suficientemente grande para cab-la."

Esta afirmao de Fermat, apesar de no demonstrada por ele, acabousendo chamada de ltimo Teorema de Fermat. Passaram-se mais de 350

anos e muita matemtica foi desenvolvida para que, em 1995, o matemtico

ingls Andrew Wiles desse uma prova, encerrando este glorioso captulo da

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histria da Matemtica.

Um outro problema cuja soluo desde h muito era procurada pelosmatemticos a determinao de frmulas geradoras de nmeros primos.

Fermat morreu com a convico de que a expresso 22n

+ 1 representava

sempre um nmero primo, admitindo, no entanto, no ser capaz de prov-lo

rigorosamente. Esta frmula produz nmeros primos paran = 0, 1, 2, 3e 4,

mas a crena de Fermat revelou-se posteriormente falsa com a apresentao

de uma fatorao de225

+ 1por Leonhard Euler. Este foi o mais importante

matemtico do sculo 18 e que provou todos os resultados de Fermat, ex-

ceto, obviamente, o ltimo Teorema, do qual mostrou que X3 +Y3 = Z3 e

X4

+ Y4

=Z4

(este tambm provado por Fermat) no admitem solues eminteiros positivos.