Aviso

Este material e apenas um resumo de parte do conteudo dadisciplina.

O material completo a ser estudado encontra-se no Capıtulo 10 -Secoes 10.1 e 10.2 do livro texto da disciplina:

Aritmetica, A. Hefez, Colecao PROFMAT.

Colaborou na elaboracao desse resumo a professora Liane MendesFeitosa Soares.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 1/21

Aritmetica

Teorema de Euler

Carlos Humberto Soares Junior

PROFMAT - SBM

Teorema de Euler

Neste vıdeo estudaremos um importante teorema da Teoria dosNumeros: O Teorema de Euler.

Teorema (Euler)

Dados inteiros a,m primos entre si, com m > 1, temos que

aϕ(m) ≡ 1 mod m.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 3/21

Teorema de Euler

aX ≡ 1 mod m tem solucao inteira?

x0 e solucao ⇔ m|(ax0 − 1) ⇔ aX + mY = 1 tem solucao inteira⇔ (a,m) = 1 (pela proposicao 5.10)

Se x1 e outra solucao entao x0 ≡ x1 mod m.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 4/21

Teorema de Euler

Proposicao

Dados inteiros a e m, em que m > 1, entao a congruencia aX ≡ 1mod m tem solucao inteira se, e somente se, (a,m) = 1. Alemdisso, se x0 e uma solucoes inteira da congruencia, um inteiro xsera solucao se, e somente se, x ≡ x0 mod m.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 5/21

Exemplo

Observacao: Uma solucao da congrencia aX ≡ 1 mod mdetermina e e determinada por qualquer outra solucao

A congruencia 7X ≡ 1 mod 8 tem x0 = 7 como solucao e assolucoes inteiras sao x ≡ 7 mod 8, isto e, x = 7 + 8t, t ∈ Z.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 6/21

Sistema completo de resıduos

Definicao

Um sistema completo de resıduos modulo m e qualquer lista deinteiros a1, . . . , am, dois a dois incongruentes.

Equivalentemente, o resto da divisao dos ai ′s por m sao osnumeros 0, 1, . . . ,m − 1, sem repeticoes e numa ordemqualquer.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 7/21

Sistema reduzido de resıduos

Definicao

Um sistema reduzido de resıduos modulo m e qualquer lista deinteiros r1, . . . , rs , tais que:

1 (ri ,m) = 1, ∀i = 1, . . . , s;

2 ri 6≡ rj mod m, se i 6= j ;

3 para cada n ∈ Z primo com m tem-se que n ≡ ri mod mpara algum i = 1, . . . , s.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 8/21

Sistema reduzido de resıduos

Podemos, a partir de um sistema completo de resıduos modulo m,obter um sistema reduzido de resıduos modulo m.

Basta eliminarmos os numeros que nao sao primos com m.

Exemplo

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 forma um sistema completo de resıduos modulo8. Portanto 1, 3, 5, 7 e um sistema reduzido de resıduos modulo 8.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 9/21

A funcao ϕ de Euler

Dois sistemas reduzidos de resıduos modulo m tem o mesmonumero de elementos, o qual denotaremos por ϕ(m).

ϕ(m) corresponde ao numero de naturais entre 0 e m − 1 que saoprimos com m.

Convencionaremos ϕ(1) = 1.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 10/21

A funcao ϕ de Euler

Definicao

A funcao ϕ : N→ N assim definida e chamada de funcao fi deEuler.

Observacoes:

por definicao ϕ(m) ≤ m − 1;

ϕ(m) = m − 1 ⇔ m e primo.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 11/21

Exercıcios

Exercıcio

Se n = kd com k, d ∈ N, entao]{m ∈ N / 1 ≤ m ≤ n, (m, n) = d} = ϕ(k).

De fato,

1 ≤ m ≤ n e (m, kd) = d ⇐⇒ m = rd , com

{1 ≤ r ≤ k e(r , k) = 1

Portanto,]{m ∈ N / 1 ≤ m ≤ n, (m, n) = d} = ]{r ∈ N / 1 ≤ r ≤k , (r , k) = 1} = ϕ(k).

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 12/21

Exercıcios

Exercıcio

Se n ∈ N, entao∑d |n

ϕ(d) = n.

De fato, tome I = {1, 2, . . . , n} e para cada divisor d de n defina

Id = {m ∈ I / (m, n) = d}.

Claramente, se d 6= d ′

Id ∩ Id ′ = ∅;∪d |nId = I .

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 13/21

Exercıcios

Exercıcio

Se n ∈ N, entao∑d |n

ϕ(d) = n.

Portanto, n = ]I =∑d |n

]Id .

Observe que os elementos de Id sao os multiplos de d da forma sd ,em que (s, n

d ) = 1 e 1 ≤ s ≤ nd . Portanto

]Id = ϕ(n

d).

Quando d percorre os divisores de n, os numeros nd tambem o

fazem. Logo

n =∑d |n

]Id =∑d |n

ϕ(n

d) =

∑d |n

ϕ(d).

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 14/21

Teorema de Euler

Teorema (Euler)

Sejam m, a ∈ N, com m > 1 e primo com a. Entao

aϕ(m) ≡ 1 mod m.

Seja r1, . . . , rϕ(m) um sistema reduzido de resıduos modulo m.Entao ar1, . . . , arϕ(m) tambem e um sistema reduzido de resıduosmodulo m.

Logo,

aϕ(m).r1. · · · .rϕ(m) = (ar1). · · · .(arϕ(m)) ≡ r1. · · · .rϕ(m) mod m

Portantoaϕ(m) ≡ 1 mod m.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 15/21

Calculando ϕ(m)

Propriedade

Dados m,m′ ∈ N com (m,m′) = 1, tem-se

ϕ(m.m′) = ϕ(m).ϕ(m′).

Propriedade

Sejam p, r ∈ N, em que p e primo. Entao

ϕ(pr ) = pr − pr−1 = pr (1− 1

p).

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 16/21

Calculando ϕ(m)

Teorema

Seja m > 1 um numero natural e m = pα11 · · · pαn

n suadecomposicao primaria. Entao

ϕ(m) = pα11 · · · p

αnn

(1− 1

p1

)· · ·(

1− 1

pn

)

Podemos escrever

ϕ(m) = pα1−11 · · · pαn−1

n (p1 − 1) · · · (pn − 1)

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 17/21

Pequeno Teorema de Fermat

Corolario

Sejam p, a ∈ N, com p primo e (a, p) = 1. Entao

ap−1 ≡ 1 mod p.

ϕ(p) = p − 1.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 18/21

Exercıcio

Exercıcio

Determinar o resto da divisao de 32014 por 28.

Sabemos que3ϕ(28) ≡ 1 mod 28

Como

ϕ(28) = ϕ(22.7) = 21.10.(2− 1).(7− 1) = 12

Temos312 ≡ 1 mod 28

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 19/21

Exercıcio

Exercıcio

Determinar o resto da divisao de 32014 por 28.

Portanto32004 = (312)167 ≡ 1 mod 28⇒

⇒ 32014 = 32004.310 ≡ 310 ≡ 25 mod 28

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 20/21

Exercıcio

Exercıcio

Determinar os possıveis restos da divisao de a100 por 125.

ϕ(125) = ϕ(53) = 53 − 52 = 100;

Se (a, 125) = 1 entao por Euler

a100 ≡ 1 mod 125

Se (a, 125) 6= 1 entao 5|a⇒ a = 5k .b e (5, b) = 1

⇒ a100 = 5100k .b100 ≡ 5100k mod 125Como

5100 = 53.597 ≡ 0 mod 125⇒ 5100k ≡ 0 mod 125.

Portanto, os possıveis restos sao 0 e 1.

PROFMAT - SBM Aritmetica , , Teorema de Euler slide 21/21