MA14 - Unidade 18

Aplicaes das Congruncias

Semana de 24/10 a 30/10

A seguir, daremos algumas aplicaes da noo de congruncia.

Exemplo 1. Vamos mostrar que o nmero de Mersenne M83 = 283 1 no primo, apesar de 83 ser primo.

De fato, temos que

28 = 256 89 mod 167216 7921 72 mod 167232 5184 7 mod 167264 49 mod 167Da, segue-se que

283 = 26421623 49 72 8 1 mod 167,

o que implica que 283 1 divisvel por 167.Exemplo 2. Vamos provar neste exemplo o resultado de Euler que arma

que o quinto nmero de Fermat F5 = 225 + 1 no primo.

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Note inicialmente que, da igualdade 641 = 5 27 + 1 e, do Corolrio 2da Proposio 3, Unidade 17, segue-se que 54228 1 mod 641. Disto eda igualdade 641 = 54 + 24, temos que 54 228 + 232 0 mod 641, logo1 + 22

5 0 mod 641, o que mostra que 641|F5.Exemplo 3. Critrios de divisibilidade por 2, 5 e 10.

No Captulo 4, discutimos critrios de divisibilidade por 2, 5, e 10. Re-

visaremos aqui estes critrios usando a noo de congruncia.

Notando que 10 0 mod 2, 10 0 mod 5 e 10 0 mod 10, temos que

ni10i 0 mod 2, mod 5, mod 10; i 1;

portanto, dado um nmero n = nrnr1 . . . n0, na base 10, temos que

n n0 mod 2, mod 5, mod 10,

o que nos diz que n divisvel por 2, 5 ou 10 se, e somente se, n0 divisvel

por 2, 5 ou 10. Da decorrem os critrios que apresentamos na Proposio 1

e no Problema 3, da Unidade 3.

Exemplo 4. Critrios de divisibilidade por 3 e 9.

Vamos revisar estes critrios j apresentados no Unidade 3.

Como 10 1 mod 3, mod 9, segue-se que ni10i ni mod 3, mod 9.Isto mostra que, se n representado na base 10 como nrnr1 . . . n0, ento

n nr + nr1 + + n0 mod 3, mod 9,

o que prova que n divisvel por 3 ou 9 se, e somente se, nr+nr1+ +n0 divisvel, respectivamente, por 3 ou por 9.

Isto justica a famosa regra dos noves fora", que se enuncia como se

segue:

Para vericar se um dado nmero divisvel por 3 ou por 9, somam-se

os seus algarismos, desprezando-se, ao efetuar a soma, cada parcela igual

a nove. Se o resultado nal for 0, ento o nmero divisvel por 9. Se o

resultado for um dos algarismos 0, 3 ou 6, ento o nmero divisvel por 3.

Aplicaes das Congruncias 3

Exemplo 5. Critrio de divisibilidade por 11

Como 10+1 0 mod 11, pelo Corolrio 2 da Proposio 3, Unidade 17,temos que 102n 1 mod 11 e 102n+1 + 1 0 mod 11.Seja n = nr n5n4n3n2n1n0 um nmero escrito na base 10. Temos,ento, que

n0 n0 mod11n110 +n1 0 mod11n210

2 n2 mod11n310

3 +n3 0 mod11. . .

Somando, membro a membro, as congruncias acima, temos que

n+ n1 + n3 + n0 + n2 + mod 11Portanto, n divisvel por 11 se, e somente se, n 0 mod 11, o queequivale a

n1 + n3 + n0 + n2 + mod 11.Assim, acabamos de provar que um nmero natural divisvel por 11 se, e

somente se, a soma dos seus algarismos de ordem par for congruente, mdulo

11, soma dos seus algarismos de ordem mpar.

Exemplo 6. Prova dos nove.

A prova dos nove um teste que se realiza nas quatro operaes para

detectar erros de contas. Como exemplo, suponhamos que efetuamos a mul-

tiplicao a b, obtendo o resultado c, cuja exatido queremos vericar.Suponha que na base 10 tenhamos

a = anan1 . . . a1a0, b = bmbm1 . . . b1b0, c = crcr1 . . . c1c0.

Aps ter posto os noves fora em a0 + a1 + an, obtm-se o algarismo a.Fazendo o mesmo para b e c, obtemos os algarismos b e c. Efetua-se a

multiplicao a b e pem-se os noves fora, obtendo c. Se c 6= c, ento,certamente, foi cometido um erro na operao. A justicativa a seguinte:

c c a b a b c mod 9,

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com c < 9 e c < 9.

Caso c = c, nada podemos armar quanto exatido da operao efe-

tuada, mas podemos garantir que a nossa conta tornou-se mais convel por

ter passado por um teste.

Exemplo 7. Todo nmero da forma an = 22n(22n+1 1), onde n 1, nasua representao decimal, ou termina em 28 ou termina em a6, onde a um

algarismo mpar. Em particular, todo nmero perfeito par termina de um

desses modos.

De fato, recorde que, pelo Problema 2, Unidade 15, temos que

a2k+2 = 256a2k + 240 16k e a2k+1 = 256a2k1 + 60 16k.

Faremos agora a anlise dos ltimos dois algarismos de 16n ao variar de

n em N.Temos que

16 16 mod100162 56 mod100163 96 mod100164 36 mod100165 76 mod100166 16 mod100,e, da para a frente, esses nmeros se repetem ciclicamente.

Portanto, para todo n N, os dois ltimos algarismos de 16n so daforma b6, onde b mpar.

Observe agora que a2 = 96, logo, da forma a6, onde a mpar. Vamos

provar, por induo sobre n, que o mesmo ocorre para todos os nmeros da

forma a2n. Suponha que a2n termina em a6, onde a um algarismo mpar;

logo,

a2(n+1) = 256a2n + 240 16n 56 a6 + 40 16n (50 + 6)(10a+ 6) + 40(10b+ 6) 10(6a+ 3 + 4) + 6 10c+ 6 mod 100,

Aplicaes das Congruncias 5

onde c um algarismo. O resultado, portanto, segue-se neste caso, pois o

nmero 6a+ 3 + 4 mpar.

Observe agora que a1 = 28; logo, termina em 28. Vamos provar por

induo sobre n que o mesmo ocorre para todos os nmeros da forma a2n+1.

Suponha que a2n1 termina em 28. Logo,

a2n+1 = 256a2n1 + 60 16n 56 28 + 60 16n 56 28 + 60(10b+ 6) 68 + 60 28 mod 100,Exemplo 8. Vamos mostrar que, dado um nmero natural m N, existeum nmero de Fibonacci un tal que m|un.De fato, sejam r1, r2, . . ., respectivamente, os restos da diviso de u1, u2, . . .,

por m. Como, para todo i, tem-se que 0 ri < m, segue-se que existem, nomximo, m2 pares ri, ri+1 distintos. Portanto, dentre os pares r1, r2; r2, r3;

. . . ; rm2+1, rm2+2 existe pelo menos um par que se repete. Seja k o menor

ndice para o qual rk, rk+1 se repete. Vamos mostrar que k = 1.

Suponha, por absurdo, que k > 1. Seja rl, rl+1 o par que repete rk, rk+1.

Como

rk1 uk1 = uk+1 uk rk+1 rk = rl+1 rl ul+1 ul = ul1 rl1 mod m,segue-se que o par rk1, rk igual ao par rl1, rl, o que contradiz a minima-

lidade de k.

Decorre da e do Problema 1, Unidade 11, que existem innitos nmeros

de Fibonacci divisveis por m. Deduz-se, ainda, que, dado um nmero primo

p qualquer, existe um nmero de Fibonacci divisvel por p; ou seja, na de-

composio dos nmeros de Fibonacci em fatores primos aparecem todos os

nmeros primos.

Problemas

1. a) Usando o fato de que 100 divisvel por 4, 25 e 100, ache critrios de

divisibilidade por 4, 25 e 100.

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b) Considerando que 1000 divisvel por 8, 125 e 1000, ache critrios de

divisibilidade por 8, 125 e 1000.

2. Mostre que um nmero na base 10 divisvel por 6 se, e somente se,

a soma do algarismo da unidade com o qudruplo de cada um dos outros

algarismos divisvel por 6.

3. Usando o fato de que

103 + 1 0 mod 7, mod11, mod13,

prove o seguinte critrio de divisibilidade por 7, 11 e 13:

Um nmero n = nr . . . n2n1n0, escrito na base 10, divisvel por 7, 11 ou

13, se, e somente se,

n5n4n3+n11n10n9+ n2n1n0+n8n7n6+ mod 7, mod11, mod13.

Gauss, um Prncipe da Matemtica

Carl Friederich Gauss (1777-1855) foi um dos maiores matemticos de todos

os tempos.

Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha, lho de uma modesta famlia

e manifestou o seu gnio na mais tenra idade, aprendendo a ler sozinho e

demonstrando uma habilidade mpar em realizar complicados clculos men-

tais.

Bem jovem ainda, Gauss resolveu o chamado Paradoxo do Binmio.

Desde Newton, conhecia-se o desenvolvimento

(1 +X)n = 1 + nX +n(n 1)

2X2 +

n(n 1)(n 2)6

X3 +

onde n um nmero real, no necessariamente natural, quando, nesse caso,

a soma da direita pode ser innita. Tratar somas innitas com a aritmtica

usual apresenta muitas armadilhas; por exemplo, tomando n = 1 eX = 2,obtm-se

1 = 1 + 2 + 22 + 23 + ,

Aplicaes das Congruncias 7

o que, claramente, um absurdo.

Gauss, ento, de modo revolucionrio para a poca, reconhece a necessi-

dade de introduzir a noo de convergncia para sries innitas e mostra que

vale a igualdade do binmio, no sentido de que o lado esquerdo representa a

soma innita do lado direito, quando esta ltima converge, dando tambm os

valores de X para os quais a srie convergente para n, nmero real positivo

dado. No contente, Gauss, em 1812, realiza o estudo da convergncia da

srie hipergeomtrica,

1 +ab

cX +

a(a+ 1)b(b+ 1)

c(c+ 1)

X2

2!+a(a+ 1)(a+ 2)b(b+ 1)(b+ 2)

c(c+ 1)(c+ 2)

X3

3!+ ,

que engloba, para valores particulares de a, b e c, as funes logartmica,

trigonomtricas e vrias outras funes que aparecem em Fsica e Astrono-

mia. Este trabalho uma obra prima de rigor matemtico, ultrapassando,

nesta matria, os gnios de Newton, Euler e Lagrange, e iniciando, assim,

a importante rea da Anlise Matemtica, que seria, ulteriormente, desen-

volvida pelos talentos de Abel, Cauchy, Weierstrass e Dedekind.

Aos dezessete anos, Gauss decide incursionar na Aritmtica, com o pro-

jeto de esclarecer, completar e desenvolver o que os seus predecessores haviam

realizado. Em 1798, aos 21 anos, Gauss produz uma das obras primas de toda

matemtica, o livro Disquisitiones Arithmeticae, que seria publicado somente

em 1801. No livro, Gauss introduz a noo de congruncia; desenvolve a teo-

ria dos resduos quadrticos, demonstrando a profunda Lei da Reciprocidade

Quadrtica; estuda as formas quadrticas binrias, deduzindo, dentro de um

quadro bem mais geral, o teorema de Fermat, que assegura que todo nmero

primo da forma 4n+ 1 se escreve como soma de quadrados de dois nmeros

naturais; e, na ltima seo, deduz o belo e famoso teorema que diz que um

polgono regular com um nmero primo n de lados, inscrito no crculo,

construtvel com rgua e compasso se n um nmero primo de Fermat.

Em 1799, em sua tese de doutorado na Universidade de Helmstedt, Gauss

demonstra o Teorema Fundamental da lgebra, que havia sido enunciado por

vrios antecessores, mas jamais provado completamente. Foi, tambm, um

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dos primeiros a utilizar os nmeros complexos para provar resultados no

triviais em Teoria dos Nmeros.

A partir de 1807, Gauss foi diretor do observatrio de Gttingen, dando

contribuies fundamentais Matemtica aplicada, Astronomia e Fsica.

Uma das maiores contribuies de Gauss Astronomia foi determinar, com

grande preciso, a rbita do planeta Ceres, que havia, recentemente, sido des-

coberto em uma posio incmoda para a observao. Os clculos de Gauss

permitiram que os astrnomos o reencontrassem numa outra posio prevista

por ele. Em Fsica, foi um dos criadores da teoria do eletromagnetismo;

inventou, como subproduto dos seus estudos, o telgrafo eltrico, contribuiu

para o estudo da capilaridade e para a ptica.

EmMatemtica pura - sem a menor sombra de dvida, a sua maior paixo

-, deu contribuies teoria das probabilidades e foi um dos criadores das

geometrias no-euclidianas, da geometria diferencial, das funes de varivel

complexa, da topologia e da teoria algbrica dos nmeros.

Gauss teve o poder de mudar os rumos da matemtica a partir dos seus

trabalhos revolucionrios, apresentados com extremo rigor e grande conciso

e elegncia. Por isso, foi considerado, pelos seus contemporneos e pelas

geraes que se sucederam, um prncipe da rainha das cincias.