MA14 - Unidade 7

Mnimo Mltiplo Comum

Semana de 29/08 a 04/09

Diremos que um nmero um mltiplo comum de dois nmeros naturaisdados se ele simultaneamente mltiplo de ambos os nmeros.

Em qualquer caso, o nmero ab sempre um mltiplo comum de a e b.

Diremos que um nmero m um mnimo mltiplo comum (mmc) de a eb se possuir as seguintes propriedades:

(i) m um mltiplo comum de a e b, e(ii) se c um mltiplo comum de a e b, ento m|c.

Por exemplo, 12 um mltiplo comum de 2 e 3, mas no um mmcdestes nmeros. O nmero 6 um mmc de 2 e 3.

Se c um mltiplo comum de a e b, ento, do item (ii) da definioacima, temos que m|c, e, portanto, m c, o que nos diz que o mnimomltiplo comum, se existe, nico e o menor dos mltiplos comuns de a eb.

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O mnimo mltiplo comum de a e b, se existe, denotado por [a, b].

Proposio 1. Dados dois nmeros naturais a e b, temos que [a, b] existe e

[a, b](a, b) = ab.

Demonstrao Ponhamos m =ab

(a, b). Como

m = ab

(a, b)= b

a

(a, b),

temos que a|m e b|m.Seja c um mltiplo comum de a e b; logo, c = na = nb. Segue da que

na

(a, b)= n

b

(a, b).

Como, pelo Corolrio 2 do Teorema 5.2.1,a

(a, b)e

b

(a, b)so primos entre

si, segue-se, do Teorema 2, Unidade 6, quea

(a, b)divide n, e, portanto,

m =a

(a, b)b divide nb que, igual a c.

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Em virtude da Proposio acima, o mnimo mltiplo comum de dois in-teiros pode ser encontrado por meio do Algoritmo de Euclides para o clculodo mdc, pois basta dividir o produto dos dois nmeros pelo seu mdc.

Corolrio. Se a e b so nmeros naturais primos entre si, ento [a, b] = ab.

Exemplo 1. Sejam b e m dois nmeros naturais. Vamos mostrar que, nasequncia de nmeros

b, 2b, 3b, . . . , mb,

existem exatamente (b,m) nmeros divisveis por m. De fato, os nmeros daseqncia divisveis por m so mltiplos de b e m; logo, mltiplos de [b,m].Esses so:

[b,m], 2[b,m], 3[b,m], . . . , (b,m)[b,m] (= mb)

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Portanto, tem-se (b,m) nmeros divisveis por m na sequncia.

Podemos estender a noo de mmc para vrios nmeros, como faremos aseguir.

Diremos que m um mmc de a1, . . . , an se m um mltiplo comumde a1, . . . , an, e, se para todo mltiplo comum m desses nmeros, tem-seque m|m. facil ver que o mmc, se existe, nico, sendo denotado por[a1, . . . , an].

Proposio 2. Sejam a1, . . . , an nmeros naturais. Ento existe o nmero[a1, . . . , an] e

[a1, . . . , an1, an] = [a1, . . . , [an1, an]] .

Demonstrao Basta provar que, se existe [a1, . . . , [an1, an]], vale a igual-dade acima. A existncia do mdc segue facilmente disso, por induo.

Seja m = [a1, . . . , [an1, an]]. Logo, a1, . . . an2 e [an1, an] dividem m.Como an1|[an1, an] e an|[an1, an], segue que m um mltiplo comum dea1, . . . , an.

Por outro lado, suponha que m seja um mltiplo comum de a1, . . . , an.Logo, a1|m, . . . , an2|m e [an1, an]|m; da segue quem = [a1, . . . , [an1, an]]divide m.

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Problemas

1. Calcule o mmc dos pares de nmeros do Problema 1, Unidade 5.

2. a) Se m um mltiplo comum de a e b, mostre que

m = [a, b] (ma,m

b

)= 1.

b) Se ra = sb, mostre que

ra

(r, s)=

sb

(r, s)= [a, b].

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3. Sejam a, b, c trs nmeros naturais. Mostre que

abc = [a, b, c](ab, ac, bc).

4. Sejam a, b N e seja n N; mostre que

[na, nb] = n[a, b].

5. Seja n N; calcule [n2 + 1, n+ 1].6. a) Mostre que (a, b) = [a, b] a = b.b) Mostre que, se b = a2, ento, [a, b] = (a, b)2.

7. Sejam a, b N. Considere o conjunto

M(a, b) = {x N; n,m N tais que x = na e x = mb}.

a) Mostre que [a, b] = minM(a, b).b) Conclua que todo elemento de M(a, b) mltiplo de minM(a, b).

8. Sejam d,m N. Mostre que uma condio necessria e suficiente paraque existam a, b N tais que (a, b) = d e [a, b] = m que d|m.9. Sejam a1, . . . , an N. Mostre que

(ai, aj) = 1, i 6= j [a1, . . . , an] = a1 an.

10. Sejam a, b, c N. Mostre quea) (a, [b, c]) = [(a, b), (a, c)];b) [a,(b,c)]=([a,b],[a,c]).