11Sequncias Reaise Seus LimitesSumrio1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Sequncias de Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . 31.3 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Limites de Sequncias de Nmeros Reais . . . . . . 91.5 Textos Complementares. . . . . . . . . . . . . . . . 18Unidade 1 Introduo1.1 IntroduoO conceito de limite o mais fundamental do Clculo Diferencial e Integral,pois nele que se baseiam na Matemtica atual as denies de convergncia,divergncia, continuidade, derivada e integral.Afaltadecompreensodanoodelimite, nopassado, levouavriosparadoxos, sendo os mais antigos que se tem notcia devidos a Zeno de Elia,datandodeaproximadamente2.450anos. UmdosproblemaspropostosporZeno era equivalente ao seguinte:Imaginequeumatletadevacorrer, emlinhareta, deumpontoaoutrodistando1km. Quandooatletachegarnametadedocaminho, aindafaltar0,5 km para chegar ao seu destino. Quando ele percorrer a metade dessa metadedo caminho, ainda faltar 0,25 km e quando percorrer a metade dessa distnciaaindafaltar0,125kmeassim, sucessivamente. Repetindoesseraciocnioindenidamente, argumentava Zeno, o atleta nunca chegaria ao destino, poisno importando a distncia percorrida, sempre restaria alguma distncia a serpercorrida.Note que a distncia que separa o atleta da sua meta se tornar to prximade zero quanto ele quiser, bastando para isso que ele repita os deslocamentosacima descritos um nmero sucientemente grande de vezes.OparadoxodeZenossesustentavapoisnolevavaemcontaofatortempo, subjacente a qualquer movimento, e o fato de que, ao somar sucessiva-mente as distncias percorridas,12+14+18+ o resultado limitado por1 e dele se aproxima o quanto quisermos.So essas ideias intuitivas de estar to prximo quanto se quiser que encerrao conceito de limite.Emborafundamental, esseconceitodemoroumais dedois milnios paranalmente ser rigorosamente denido pelos matemticos do sculo XIX.2Unidade 1 SequnciasReaiseSeusLimites1.2 SequnciasdeNmerosReaisA experincia ctcia de Zeno, gera a innidade de nmeros:12,122,123, ,12n, ,quecorrespondemaospontosdaimagemdafunox: N Rdenidaporx(n) =12n.Isto nos reconduz ao conceito fundamental de sequncia que j encontramosemMA11eMA12equerelembraremos aseguir, juntamentecomas pro-priedades a ele relacionadas.Definio 1SequnciaUmasequnciadenmerosreaisumafunox:N Rqueacadanmeronatural nassociaumnmeroreal xn=x(n), chamadoon-simotermo da sequncia.Denotaremos por (x1, x2, x3, . . . , xn, . . .), ou por (xn)nN, ou simplesmentepor(xn), a sequnciax : N R.importantefazeradistinoentreoconjuntoformadopelostermosdasequnciaeasequnciaemsi. Defato, asequncia(1, 1, 1, . . .)temcomoconjunto dos seus termos o conjunto unitrioX= {1}. Neste caso, a funox a funo constante denida porxn= 1, para todon N.Em geral, chamaremos de sequncia constante a toda sequncia cujos ter-mos so iguais entre si.Exemplo 1A sequncia (1, 2, 1, 2, 1, 2, . . .) corresponde funo x(n) = 1 se n imparex(n) = 2 sen par; o conjunto de seus termos o conjuntoX= {1, 2}, ouseja, uma sequncia tem sempre innitos termos, embora o conjunto formadopelos seus termos possa ser um conjunto nito.Exemplo 2Considere os seguintes exemplos de sequncias:1. _1n_ =_1,12,13, 1n, _;2. _12n_ =_12,122,123, ,12n, _;3Unidade 1 SequnciasdeNmerosReais3. _1nn_ =_1,122,133,144, ,1nn, _;4. _sen2_n2__ = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . );5. (n) = (1, 2, 3, . . . , n, . . . );6. (2n) = (2, 4, 8, 16, . . . ).Uma observao importante a ser feita, que as sequncias, como particu-lares funes reais, podem ser somadas, subtradas, multiplicadas ou quocien-tadas. Ou seja, dadas as sequncias (xn) e (yn), podemos formar as sequncias(xnyn),(xnyn) e _xnyn_, desde que, nesta ltima,yn = 0 para todon N.ObservequenassequnciasdosExemplos1,2,3e4,acima,tem-sequexn [0, 1], para todo n N, o que no ocorre para as sequncias dos Exemplos5e6, vistoqueparaqualquerintervalolimitadoescolhido, sempreexistirotermos de ambas as sequncias que escaparodesse intervalo.O fato de que todo intervalo limitado est contido e contm um intervaloda forma(c, c), comc>0, nos ajudar bastante a simplicar as nossas ar-gumentaes. Por outro lado, a sentena x (c, c) se traduz algebricamentena sentena |xn| < c.Assim, nos Exemplos 1, 2, 3, e 4, dado que xn [0, 1] (2, 2) para todon,temosque |xn| 0 tal que |xn| < c para todon N.O que acabamos de ver que todos os termos das sequncias dos quatroprimeiros exemplos esto connados em um intervalo limitado, enquanto os ter-mos das sequncias dos dois ltimos exemplos no esto connados em nenhumintervalo limitado, o que nos conduz seguinte denio:Definio 2SequnciaLimitadaUma sequncia(xn) dita limitada, se existec > 0 tal que |xn| < c, paratodon N. Quandoumasequncia(xn)nolimitada, dizemosqueelailimitada.Notetambmqueassequnciasdostrsprimeirosexemplostmapro-priedade que seus elementos decrescem, isto ,x1> x2> x3> > xn> .4Unidade 1 SequnciasReaiseSeusLimitesOuseja,amedidaquencresce,ostermosdasequnciadecrescem. Naver-dade,observe queao se escolherquaisquer dois nmerosnaturaism>n,osrespectivostermosxnexmdasequncia satisfaroadesigualdadexm 250.Assequnciasdosdoisltimosexemplostmcomportamentooposto, ouseja, os seus termos so crescentes, isto ,xn+1> xn, para todon N.Formalizemos estes tipos de comportamentos das sequncias nas deniesa seguir.Definio 3SequnciaDecrescenteUma sequncia(xn) ser dita decrescente sexn+1< xn para todon N.Diremos que a sequncia no crescente, sexn+1 xn para todon N.Nocasodassequnciasnocrescentes, comoaprpriaexpressodiz, medida quen cresce, os termos da sequncia no crescem, ou seja, um termo menor ou igual do que o antecede.Por exemplo, a sequncia _1, 1, 1,12,12,12,13,13,13, . . ._ no crescente, poistemapropriedadexn+1 xnparatodon, masnodecrescente, poisnosatisfaz a propriedadexn+1< xn para todon.Definio 4SequnciaCrescenteUma sequncia(xn) ser dita crescente sexn+1>xnpara todon N.Diremos que a sequncia no decrescente, sexn+1 xn para todon N.As sequncias crescentes, no decrescentes, decrescentes ou no crescentesso chamadas de sequncias montonas.Note, porm, que a sequncia (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . ) do Exemplo 4 no mon-tona: sen mpar, tem-sexn> xn+1, enquantoxn+1< xn+2.Vejamos se existe alguma relao entreosconceitosde sequncias mon-tonas e de sequncias limitadas, que acabamos de introduzir.Asequnciamontonacrescente(1, 2, 3, 4, . . . , n, . . . )dosnmerosnatu-rais(Exemplo5)nolimitada(estaachamadaPropriedadeArquimedi-anadosnmerosreais). OmesmoacontececomasequnciadoExemplo6:(2, 4, 8, . . . , 2n, . . . ).5Unidade 1 SequnciasdeNmerosReaisPor outro lado, a sequncia (xn) =_11n_ montona crescente e limitada,visto que em cada passo subtrai-se de 1 um nmero cada vez menor e, portanto,emcadapassoocorrespondentetermodasequnciaaumenta. Aomesmotempoquenenhumtermodasequnciaultrapassa1, dondexn (0, 1)paratodon N.Finalmente, emboraassequnciasdostrsprimeirosexemplossejamde-crescenteselimitadas, asequncia(n) =(1, 2, 3, 4, . . . , n, . . . )tambm decrescente, mas no limitada.Assim, vemos que os dois conceitos no guardam nenhuma relao entre si.Exemplo 3Considere a sequncia cujo n-simo termo xn= 1 +11!+12!+ +1n!.Assim,x1= 1 + 1, x2= 1 + 1 +12, x3= 1 + 1 +12+16, .Note que essa sequncia montona crescente, pois xn+1= xn +1(n+1)!. Almdisso, ela tambm limitada.Para ver isso, considere a progresso geomtrica _1,12,122, ,12n, _. AsomaSn dos seusn primeiros termos dada pela frmulaSn= 1 +12+ +12n1=1 (12)n1 12= 2 12n1,o que nos mostra queSn< 2.Como, para todon 3, temos1n! m, tem-se00podeser escolhido arbitrariamente, vemos que no importa o quo pequeno ele seja,sempre existir, para essa escolha der, um inteiro positivon0 a partir do qualtodos os termos da sequncia pertencero ao intervalo (r, r). nesse sentidoque entendemos que os termos da sequncia se aproximam de zero quandoncresce. (ver a Figura 1.1).9Unidade 1 LimitesdeSequnciasdeNmerosReaism m+12 2-r r 1 1 0Figura 1.1: Dois termos da sequncia _12n_Exemplo 6Consideremos a sequncia(xn) =_(1)n+1n_ =_1, 12, 13, 14, 15, 16, , (1)n+1n, (1)n+2n + 1, _,da qual representamos alguns termos na Figura 1.2).3 5 7 6 4 21 1 1 1 1 1 1 1 0Figura 1.2: Alguns termos da sequnciaTodos os elementos desta sequncia so diferentes de zero, sendo positivosos elementos correspondentes a n mpar (por exemplo, 1,13,15, ), e negativosaqueles correspondentes an par (por exemplo, 12, 14, 16, ).Vamos mostrar, como no exemplo anterior, que os elementos desta sequn-ciaseaproximamdezeroquandoncresce. Comefeito, sejarumnmeroreal positivo qualquer e sejan0 1 um nmero natural tal que1n0< r, ento(1)n0+1n0 (r, r), pois(1)n0+1n0 =1n0(note que(1)n0+1n0estar esquerda dezero sen0for par e direita de zero sen0for mpar). Alm disso, sen > n0,(1)n+1n =1n n0, ouseja, que(1)n+1n (r, r) para todon > n0 (ver a Figura 1.3).m+1 m+2m+1 m-r r (1) (1) 0Figura 1.3: dois termos da sequncia, com m mpar10Unidade 1 SequnciasReaiseSeusLimitesPodemos ento armar que, nos dois exemplos acima, para qualquer inter-valo abertoIcontendo zero, podemos determinar um inteiron0 1 de modoque para todon acima den0, on-simo elemento da sequncia pertence aI.Exemplo 7Consideremos a sequncia(xn) =_n 1n_ =_0, 12, 23, 34, 45, n 1n, _.Vemos quetodos os termos dasequnciapertencemaointervalo[0, 1].Alm disso, comon1n=1 1n, segue-se que a sequnciaxn crescente pois medida quen cresce, subtramos de 1 um nmero cada vez menor.Sejar>0umnmeroreal positivoqualquereconsideremosointervalo(1 r, 1 + r). Comovimosantes, existeumnmerointeiropositivon0talque1n0< r. Logo, 1n0> re, portanto, adicionando-se1desigualdade,obtemosque1 1n0> 1 r. Comoparatodon>n0tem-seque1nn0, 1 1n> 1 1n0> 1 r, vistoqueestamossubtraindo de 1 o nmero1nque menor que1n0.Oqueacabamosdeverqueapartirdeumcertovalorden, asaber,paravaloresdentaisquen>n0, obtemosquexn (1 r, 1 + r). Naverdade, como sempre subtramos de 1 um nmero positivo1n, todos os termosdasequnciaxnsomenoresque1, ousejaparatodon>n0tem-sequexn (1 r, 1) (1 r, 1 + r).Comoonmeror >0arbitrrio, denovo, vemos queparaqualquerintervalo aberto I, agora contendo o nmero 1, podemos determinar um inteiron0>0demodoqueapson0-simotermodasequncia, todososoutrostermos pertencem ao intervaloI.Note que nos Exemplos 9 e 10, o intervaloI(por menor que seja) contmozero, enquantoquenoExemplo11ointervaloIcontmonmero1. Poroutro, ladoparatodoselessempreseencontrauminteiropositivon0acimado qual todos os termos da sequncia pertencem I. Enfatizamos que comoI podeser tomadotopequenoquantosequeira, podemos intuir quenos11Unidade 1 LimitesdeSequnciasdeNmerosReaisExemplos 9 e 10 os termos da sequncia cam to prximos de zero quanto sequeira, enquanto no Exemplo 11 os termos da sequncia cam to prximos de1 quanto se queira. O que acabamos de ver nos Exemplos 9 e 10 caracterizao fato de que em cada um deles a sequnciaxnconverge para zero, enquantoque no Exemplo 11, a sequnciaxn converge para 1.Precisamente, temos a seguinte denio:Definio 7limitedeSequnciaSejam(xn) uma sequncia de nmeros reais el um nmero real. Dizemosque(xn) converge paral, ou convergente, e escreve-se limnxn=l, quandopara qualquer intervalo aberto Icontendo l (por menor que ele seja) possvelencontrar um inteiron0 1, de modo quexn Ipara todon > n0.Com o objetivo de tornar mais operacional a nossa denio de convergncia,note que, o intervaloI, contendo o nmero real l, pode ser tomado da forma(l r, l +r), onde r um nmero real positivo. Portanto, dizer que xn convergeparal, isto , que limnxn= l, o mesmo que dizer que:Para todo nmero real r>0,existe um inteiron0 1 tal que para todon > n0 tem-se quexn (l r, l + r).Observemosaindaqueacondioxn (l r, l + r)paratodon>n0,equivale condio algbrica |xnl| < r para todon > n0. Em palavras:Adistnciadexnal setornaarbitrariamentepequenadesdequensejatomado sucientemente grande.Assim, em relao aos exemplos acima, temos que:limn12n= 0, limn(1)n+1n= 0 e limnn 1n= 1.Definio 8SequnciaDivergenteQuando noexistirum nmerolpara o qual xnconvirja,dizemos queasequnciaxn diverge, ou que divergente.intuitivoofatodeumasequencia(xn)nopoder convergir paradoisnmeros reais l1 e l2 distintos, pois, se este fosse o caso, poderamos achar doisintervalosabertosI1eI2disjuntos,contendol1el2,respectivamente,detalmodo que para valores den sucientemente grandes,os termos da sequnciaestariam dentro de cada um desses intervalos, o que no possvel. A proposioabaixo apenas formaliza esta argumentao.12Unidade 1 SequnciasReaiseSeusLimitesProposio 9 Se existir um nmero reall tal que limnxn= l, ento ele nico.Para Saber Mais - Demonstrao Formal da Proposio - Clique para lerA seguir, damos dois exemplos de sequncias divergentes.Exemplo 8Consideremos a sequnciaxn= (1)n, n 1.Temos quexn= 1 paran par exn= 1 paran mpar. Sejal um nmeroreal arbitrrio e tomemos o intervaloI= (l 12, l +12). Vemos que no podeocorrersimultaneamente, 1 I e 1 I. Comoxnoscilade 1para1,repetidamente, sempre haver termos da sequncia fora do intervalo I. Como l arbitrrio, segue-se que(xn) diverge. (ver a Figura 1.4), onde tomamos, porexemplo,0 < l < 1).1 0 1 ll+1/2l1/2Figura 1.4: Intervalo contendolExemplo 9Raciocinando de modo anlogo ao exemplo anterior,mostra-se que a se-quncia _sen2_n2__, ouseja, (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .), tambmdiverge. (Faa-ocomo exerccio.)Assequnciasvistasacima, _12n_, _1n_, _(1)n+1n_e _n1n_, tmumapar-ticularidadeemcomum, asaber, todaselasconvergemetambmsotodaslimitadas. Na verdade, isso um fato geral. Precisamente,Proposio 10 Toda sequncia convergente limitada.13Unidade 1 LimitesdeSequnciasdeNmerosReaisDemonstraoSeja (xn) umasequnciaconvergente, tal que limnxn=l. Peladeniodesequnciaconvergente, temosquedadoumintervalolimitadoIcontendo l, existe um inteiro positivo n0 tal que para todo inteiro n > n0, tem-se quexn I. Assim, os nicos termos da sequncia que enventualmente nopertencem aointervaloI,so os termosx1, x2, . . . , xm,portantoem nmeronito. BastaagoratomarumintervalolimitadoJcontendoointervaloI etambmostermosx1, x2, . . . , xn0. Obtemosassim, quetodosostermosdasequncia pertencem ao intervaloJe que, portanto,(xn) limitada.Considere agora, a sequncia montona decrescente _1n_. Vimos que ela limitada e converge para zero. Analogamente, a sequncia montona crescente_n1n_ limitada e converge para 1.Isto no uma simples coincidncia. Naverdade,este o axiomaparaacompleteza que adotamos:Axioma 11CompletezaToda sequncia montona e limitada de nmeros reais converge para algumnmero reall.Existemoutras formulaes doAxiomadaCompletezaque soequiva-lentesaestaepodemser vistasemumcursodeAnlise. Por exemplo, aquefoi adotadaemMA11, diziaquetodaexpressodecimal n, n1n2n3 . . . ,onden, n1, n2, n3, . . . sodgitosde0a9, representaumnmeroreal. Huma relao quaseimediata entre as noesde sequncias convergentes e desubsequncias, que veremos a seguir.Teorema 12LimitedeSubsequnciaSeja (xn) uma sequncia tal que limnxn= l e seja (xni) uma subsequnciaqualquer, entolimixni= lDemonstraoSejar >0umnmeroreal, logoexisten0tal quexn (l r, l+ r)para todon>n0. Por outro lado existei0tal que sei>i0, entoni>n0.Portanto, se i > i0, temos que xni (l r, l +r), que mostra quelimixni= l.Outrofatointeressantearespeitodesubsequnciasdeumasequnciafornecido pelo seguinte resultado:14Unidade 1 SequnciasReaiseSeusLimitesProposio 13SubsequnciaMontonaToda sequncia(xn) possui uma subsequncia montona.DemonstraoConsidere os dois seguintes conjuntos:A1= {p N; existen > p tal quexn xp}eA2= {p N; existen > p tal quexn xp}. claro que se temA1 A2= N. Temos, agora, duas possibilidades:a) A1 innito. Neste caso, imediato extrair uma susequncia no decrescentede(xn).b)A1 vazio ou nito. Neste caso,A2 necessariamente innito e, portanto,podemos extrair de(xn) uma subsequncia no crescente.15Unidade 1 LimitesdeSequnciasdeNmerosReais1.4.1 Exerccios1. Encontre inteirosn1,n2 1 tais que(a)(1)n+1n2