O estudo que fizemos sobre distribuições de frequências, até agora, permite-nos descrever, de modo geral, os grupos de valores que uma variável pode assumir. Podemos localizar a maior concentraçãomaior concentração de valores, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou ainda, se há uma distribuição por igual.

Porém, para ressaltar as tendências característicastendências características de cada distribuição, isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números, que nos permitam traduzir essas tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos da distribuiçãoelementos típicos da distribuição e são:

1. Medidas de posição;1. Medidas de posição;

2. Medidas de variabilidade ou dispersão;2. Medidas de variabilidade ou dispersão;

3. Medidas de assimetria;3. Medidas de assimetria;

4. Medidas de curtose.4. Medidas de curtose.

Na verdade esses elementos típicos da distribuição são parâmetros numéricosparâmetros numéricos que podem fornecer informações sobre uma dada população. Em nosso estudo vamos priorizar:

1. Medidas de tendência central – MÉDIA, MODA e 1. Medidas de tendência central – MÉDIA, MODA e MEDIANA;MEDIANA;

2. Medidas de separatrizes – MEDIANA, DERCIL, QUARTIL, 2. Medidas de separatrizes – MEDIANA, DERCIL, QUARTIL, PERCENTIL;PERCENTIL;

3. Medidas de dispersão – DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA, 3. Medidas de dispersão – DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO e o COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.DESVIO PADRÃO e o COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.

Uma forma de descrever um grupo como um todo, utilizando uma única representação deste grupo é se servir de um valor em torno do qual os elementos do valor em torno do qual os elementos do grupo se encontrem (MÉDIA)grupo se encontrem (MÉDIA).

Outra maneira de realizar esta tarefa é escolher o elemento que mais se repete (MODA)elemento que mais se repete (MODA) neste grupo.

Pode-se também organizar de forma crescente os elementos de grupo em questão e utilizar o elemento elemento central (MEDIANA)central (MEDIANA) como representante típico.

•somam-se os n valores e divide-se o resultado por n;

•só pode ser usada para dados quantitativos;

•pode ser sempre calculada e é única;

•é sensível a todos os valores do conjunto;

•representa um ponto de equilíbrio/centro de gravidade: a soma dos desvios dos números, a contar da média é 0.

•tem-se também as médias ponderada, geométrica e harmônica.

Média Aritmética é o quociente da soma dos valores da variável pelo quantidade de valores somados:

n

xx i

EXEMPLO 1EXEMPLO 1: Sabendo-se que a produção leiteira diária da : Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, qual a média diária de produção durante essa 12 litros, qual a média diária de produção durante essa semana?semana?

7

12181615131410

n

xx i

7

98x

14x

EXEMPLO 2EXEMPLO 2: Consideremos a distribuição relativa a 34 : Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcule a média dessa de filhos do sexo masculino. Calcule a média dessa distribuição.distribuição.

Nº de Meninos

fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

Total 34

Neste caso, calculamos a Neste caso, calculamos a média ponderadamédia ponderada, em que além , em que além de levarmos em conta os valores da variável, também de levarmos em conta os valores da variável, também incluímos no cálculo a frequência com que cada um deles incluímos no cálculo a frequência com que cada um deles aparece na distribuição.aparece na distribuição.

Nº de Meninos

fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

Total 34

i

ii

f

fxx

34

441231026120 x

34

78x

meninosx 3,2

EXEMPLO 3EXEMPLO 3: Consideremos a : Consideremos a distribuição relativa a 40 estaturas. distribuição relativa a 40 estaturas. Calcule a média dessa distribuição.Calcule a média dessa distribuição.

ESTAT. (cm)

Freq. (fi)

128 134

1

134 140

3

140 146

6

146 152

6

152 158

12

158 164

5

164 170

3

170 176

1

176 182

1

182 188

2

Total

40

Neste caso, calculamos a Neste caso, calculamos a média ponderadamédia ponderada, apenas com a , apenas com a observação de que cada intervalo passa a ser observação de que cada intervalo passa a ser representado pelo seu ponto médio.representado pelo seu ponto médio.

i

ii

f

fxx

40

218531371131

x

ESTATURA(cm)

Freq. (fi)

128 134

131 1

134 140

137 3

140 146

143 6

146 152

149 6

152 158

155 12

158 164

161 5

164 170

167 3

170 176

173 1

176 182

179 1

182 188

185 2

Total

ix

40

40

6182x

cmx 55,154

•Quando desejamos obter uma medida de posição que possui a maior estabilidade;

•Quando houver necessidade de um tratamento algébrico posterior;

•Quando houver a necessidade de se adotar um valor representativo do conjunto de forma que este valor seja sensível a todos os demais (todos entram no cálculo da média);

Por exemplo, o salário modalsalário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria.

•é o valor de maior freqüência, aquele que mais se repete;

•existem distribuições bimodais, com 3 modas, etc.;

•nem sempre é única;

•quando todos os valores ocorrem com freqüências semelhantes, a moda nada acrescenta à descrição;

Quando lidamos com dados não agrupados, a moda é Quando lidamos com dados não agrupados, a moda é facilmente reconhecida, de acordo com a definição, basta facilmente reconhecida, de acordo com a definição, basta procurar o valor que mais se repete.procurar o valor que mais se repete.

EXEMPLO 4EXEMPLO 4: Qual a moda da série de dados 7, 8, 9, 10, 10, : Qual a moda da série de dados 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15?10, 11, 12, 13, 15?

10Mo

EXEMPLO 5EXEMPLO 5: Qual a moda da série de dados 3, 5, 8, 10, 12, : Qual a moda da série de dados 3, 5, 8, 10, 12, 13, 14, 17, 19, 21?13, 14, 17, 19, 21?

AMODALaapresentanãosérieA mod

EXEMPLO 6EXEMPLO 6: Qual a moda da série de dados 2, 3, 4, 4, 4, 5, : Qual a moda da série de dados 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9?6, 7, 7, 7, 8, 9?

BIMODALeMo 74

EXEMPLO 7EXEMPLO 7: Consideremos a distribuição relativa a 34 : Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcule a moda dessa de filhos do sexo masculino. Calcule a moda dessa distribuição.distribuição.

Nº de Meninos

fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

Total 34

3MoCuidado!Cuidado!O que buscamos não é a O que buscamos não é a maior frequência, mas sim, maior frequência, mas sim, o valor da variável que tem o valor da variável que tem a maior frequência.a maior frequência.

EXEMPLO 8EXEMPLO 8: Consideremos a : Consideremos a distribuição relativa a 40 estaturas. distribuição relativa a 40 estaturas. Calcule a moda dessa distribuição.Calcule a moda dessa distribuição.

ESTAT. (cm)

Freq. (fi)

128 134

1

134 140

3

140 146

6

146 152

6

152 158

12

158 164

5

164 170

3

170 176

1

176 182

1

182 188

2

Total

40

Neste caso, primeiro identificamos Neste caso, primeiro identificamos a classe de maior frequência, a a classe de maior frequência, a classe modalclasse modal, depois calculamos o , depois calculamos o seu ponto médio, esse valor será a seu ponto médio, esse valor será a moda (também chamada de moda (também chamada de moda moda brutabruta).).

2

158152

255

LlMo

155Mo

Para o cálculo da moda de distribuição de dados com Para o cálculo da moda de distribuição de dados com intervalos de classe, há métodos mais elaborados, que nos intervalos de classe, há métodos mais elaborados, que nos dão valores mais exatos, como é o caso do dão valores mais exatos, como é o caso do FÓRMULA DE FÓRMULA DE CZUBERCZUBER..

Também neste caso, primeiro temos que achar a classe Também neste caso, primeiro temos que achar a classe modal (de maior frequência)modal (de maior frequência)

hffff

ffMo

postianti

antii

llii : limite inferior da classe modal: limite inferior da classe modal

hh : amplitude da classe modal: amplitude da classe modalffii : frequência da classe modal: frequência da classe modal

ffantant : frequência da classe anterior à classe modal: frequência da classe anterior à classe modal

ffpostpost : frequência da classe posterior à classe modal: frequência da classe posterior à classe modal

EXEMPLO 9EXEMPLO 9: Consideremos a : Consideremos a distribuição relativa a 40 estaturas. distribuição relativa a 40 estaturas. Calcule a moda dessa distribuição.Calcule a moda dessa distribuição.

ESTAT. (cm)

Freq. (fi)

128 134

1

134 140

3

140 146

6

146 152

6

152 158

12

158 164

5

164 170

3

170 176

1

176 182

1

182 188

2

Total

40

Classe modal: 152 a 158.Classe modal: 152 a 158.

6512612

612152

Mo

676

6152

Mo

13

36152Mo cmMo 76,154

EXEMPLO 10EXEMPLO 10: Calcule a moda da : Calcule a moda da distribuição:distribuição:

Classe modal: 55 a 65.Classe modal: 55 a 65.

1014181218

121855

Mo

1046

655

Mo

655Mo

61Mo O escore com maior número de alunos foi o O escore com maior número de alunos foi o 61 pontos.61 pontos.

•Quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;

•Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição;

A Mediana é definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando dispostos segundo uma ordem.

•divide um conjunto ordenado de dados em dois grupos de igual quantidade: de um lado, valores maiores, de outro, menores;

•pode ser sempre calculada e é única;

•é insensível aos valores extremos do conjunto;

•para número par de dados a mediana é a média entre os dois valores centrais.

Quando lidamos com dados não agrupados, a mediana é Quando lidamos com dados não agrupados, a mediana é facilmente reconhecida, basta, de acordo com a definição, facilmente reconhecida, basta, de acordo com a definição, colocar os valores da variável em ordem e identificar colocar os valores da variável em ordem e identificar aquele que fica no centro.aquele que fica no centro.

EXEMPLO 10EXEMPLO 10: Qual a mediana da série de dados 5, 13, 10, : Qual a mediana da série de dados 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9?2, 18, 15, 6, 16, 9?

2,5,6,9,10,13,15,16,18

EXEMPLO 11EXEMPLO 11: Qual a mediana da série de dados 2, 6, 7, 10, : Qual a mediana da série de dados 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21?12, 13, 18, 21?

2 :10 12valores centrais e

10Md valor central

10 12

2Md

11Md

Nesse caso devemos determinar previamente as Nesse caso devemos determinar previamente as FREQUÊNCIAS ACUMULADASFREQUÊNCIAS ACUMULADAS, e após, determinar um , e após, determinar um valor tal que divida a distribuição de frequências em dois valor tal que divida a distribuição de frequências em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos.grupos que contenham o mesmo número de elementos.

Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por:de qualquer um dos extremos, é dada por:

2 if

Neste caso, é o bastante identificar a frequência Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada onde está incluso o valor equivalente a metade acumulada onde está incluso o valor equivalente a metade da soma das frequências, e valor seguinte a esse número da soma das frequências, e valor seguinte a esse número encontrado.encontrado.

EXEMPLO 12)EXEMPLO 12) Calcule a mediana da distribuição abaixo. Calcule a mediana da distribuição abaixo.

Primeiro vamos determinar as Primeiro vamos determinar as frequências acumuladas.frequências acumuladas.

Nº de Meninos

fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

Total 34

Nº de Menin

os fi Fi

0 2 2

1 6 8

2 10 18

3 12 30

4 4 34

Total -34

172

34

2 if

O valor encontrado O valor encontrado (17) está incluso na (17) está incluso na classe 3 (valor da classe 3 (valor da variável 2) e o variável 2) e o seguinte também.seguinte também.

2Md

No caso de existir uma frequência acumulada (FNo caso de existir uma frequência acumulada (F ii), tal que:), tal que:

2 ifFi

Ou seja, o valor que corresponde à metade da soma cai Ou seja, o valor que corresponde à metade da soma cai numa classe, e o valor seguinte a ele cai noutra classe, a numa classe, e o valor seguinte a ele cai noutra classe, a mediana será dada por:mediana será dada por:

21

ii xxMd

Isto é, Isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da a mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a essa frequência acumulada e o variável correspondente a essa frequência acumulada e o seguinteseguinte..

EXEMPLO 13)EXEMPLO 13) Calcule a mediana da distribuição abaixo. Calcule a mediana da distribuição abaixo.

Primeiro vamos determinar as Primeiro vamos determinar as frequências acumuladas.frequências acumuladas.

xi fi

12 1

14 2

15 1

16 2

17 1

20 1

Total 8

xi fi Fi

12 1 1

14 2 3

15 1 4

16 2 6

17 1 7

20 1 8

Total -8

42

8

2 if

Esse valor (4) cai na Esse valor (4) cai na classe 3 e o seguinte classe 3 e o seguinte (5) na classe 4.(5) na classe 4.

2

1615Md

5,15Md

Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.do intervalo em que está compreendida a mediana.

Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana – qual se acha a mediana – CLASSE MEDIANACLASSE MEDIANA. Essa classe . Essa classe será aquela correspondente à frequência acumulada será aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a:imediatamente superior a:

2 if

Depois de identificarmos a classe mediana, o próximo Depois de identificarmos a classe mediana, o próximo passo é definir passo é definir em que ponto dessa classe está a medianaem que ponto dessa classe está a mediana..

Para isso, valor adotar a seguinte fórmula:Para isso, valor adotar a seguinte fórmula:

hf

Ff

lmdi

anti

i

2

Onde:Onde:llii : limite inferior da classe mediana; : limite inferior da classe mediana;

FFantant : frequência acumulada da classe anterior à classe : frequência acumulada da classe anterior à classe

mediana;mediana;ffii : frequência simples da classe mediana;: frequência simples da classe mediana;

hh : amplitude do intervalo da classe mediana; : amplitude do intervalo da classe mediana;

EXEMPLO 14EXEMPLO 14: Consideremos a : Consideremos a distribuição relativa a 40 estaturas. distribuição relativa a 40 estaturas. Calcule a mediana dessa Calcule a mediana dessa distribuição.distribuição.

ESTAT. (cm)

Freq. (fi)

128 134

1

134 140

3

140 146

6

146 152

6

152 158

12

158 164

5

164 170

3

170 176

1

176 182

1

182 188

2

Total

40

ESTAT. (cm)

Freq. (fi)

Fi

128 134

1 1

134 140

3 4

140 146

6 10

146 152

6 16

152 158

12 28

158 164

5 33

164 170

3 36

170 176

1 37

176 182

1 38

182 188

2 40

Total

40

Classe mediana: 152 a 158.Classe mediana: 152 a 158.

202

40

2 if

hf

Ff

lMdi

anti

i

2

6

12

1620152

Md

612

4152 Md

2152Md 154Md50% dos alunos possuem 50% dos alunos possuem estatura máxima de 154 cm.estatura máxima de 154 cm.

EXEMPLO 15EXEMPLO 15: A tabela abaixo representa os escores : A tabela abaixo representa os escores (pontuação) obtidos por um grupo de 58 alunos, (pontuação) obtidos por um grupo de 58 alunos, matriculados em uma determinada disciplina.matriculados em uma determinada disciplina.

Classe mediana: 55 a 65.Classe mediana: 55 a 65.

292

58

2 if

hf

Ff

lMdi

anti

i

2

10

18

172955

Md

18

12055Md

67,655Md 67,61Md50% dos alunos possuem 50% dos alunos possuem escore máximo de 61,67 pontos.escore máximo de 61,67 pontos.

•Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;

•Quando há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;

•A variável em estudo é salário.