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Manual de Matemática

181

A área de um triângulo qualquer pode ser definida por:�a b sen C a c sen B b c sen A

A ou A ou A2 2 2

⋅ ⋅ ⋅= = =� �

Exemplo:

Determine a área do triângulo ABC.

A

B C

c =

4 c

m

60º

a = 6 cm

Solução:

2

a c sen BA

23

6 42A

2A 6 3 cm

⋅=

⋅ ⋅=

=

�

Trigonometria na Circunferência

Arcos de Circunferência

Define-se arco de circunferência AB como cada parte em que a circunfe-rência fica dividida.

Indicação: AB

B

A

A ≡ B

A e B são extremidades A e B coincidem, determinandoe determinam dois arcos. um arco nulo e outro de uma volta.

Ângulo Central

É o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência, e os ladossão raios dessa circunferência.

(


182

B

A

0

r

r

Observe que a medida de um arco de circunferência é igual à medida doângulo central correspondente:

m( AB ) = m(A �O B)

Unidade de Medida de Arcos

Grau ( º )

Define-se grau como o arco unitário que corresponde1

a360

da circunfe-

rência. O comprimento de uma circunferência em graus é 360º.Submúltiplos do grau são: o minuto (‘) e o segundo (”), onde há a seguinte

correspondência.

1º = 60’ 1’= 60” 1º = 3600”Radiano (rad)

Radiano é um arco unitário, que corresponde à medida do raio da circunferência.A medida em radianos de uma circunferência completa equivale a 2π rad.

Grado (gr)

Cada arco unitário que corresponde a1

400 da circunferência definimos

como grado.Relação entre as unidades.

(


183

Conversão de Unidades

A conversão de unidades pode ser por meio de uma regra de três simples.360º — 2π rad ou180º — π rad

Exemplos:

a) Expresse 120º em radianos.

Solução:

Usando a relação:

180º ——— π rad120º ——— x

180x = 120π120

x180

2x rad

3

π=

π=

b) Converta 3rad

4π em graus.

180º rad

x

π3

rad4

3x 180º

43

180º4x

x 135º

π

π⋅ π = ⋅

π⋅=

π=

Podemos converter radianos em graus usando uma regra prática.

Assim:

3 3 180ºrad 135º

4 4π ⋅= =


184

Comprimento de um Arco

Considere a circunferência da figura. Definimos comprimento de um arco aseguinte relação:

rα = l

ou l = α . r

α é medido em radianos.l

O

A

B

r

α

Por exemplo, se o ângulo central A �O B, determine numa circunferência der = 4 cm um arco AB de medida l = 6 cm, então a medida de A �O B será

61,5 rad.

4α = ⇒ α =

Qual a medida do raio de uma circunferência cujo arco mede π rad e o seucomprimento, 4,15 cm?

l = α . r Lembrete: π rad = 3,144,15 = 3,14 r3,14 r = 4,15

4,15r

3,14=

r = 1, 32 cm

Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marca:

1

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

(


185

Solução:

Relacionando:

minutos graus60 3015 α

60 3015

30 157,5 7º 30'

60

=α

⋅α = ⇒ α = ⇒ α =

θ =120º – α

θ = 120º – 7º 30’

θ= 112º 30’

Ciclo Trigonométrico

Considerando um plano cartesiano, representamos nele um círculo comcentro na origem dos eixos e raios 1.

Dividimos o ciclo trigonométrico em quatro arcos, obtendo quatroquadrantes.

+

–

2º quadrante 1º quadrante

4º quadrante3º quadrante

r =

1

A (1, 0)

y

x


186

Dessa forma, obtemos as relações:Em graus: Em radianos:

90º

0 = 360º

270º

180º 0 = 2π

3π2

π

π2

Expressão Geral dos Arcos

• Quando medidos em graus, a expressão é obtida por:

α = α0 + 360º . k, sendo que k ∈ �α0 é denominada 1ª determinação positiva (0 ≤ α0 ≤ 360º)

k é o número de voltas.

• Quando medidos em radianos, a expressão geral dos arcos é obtida por:

α = α0 + 2kπ k ∈ �

Exemplos:

Determine a 1ª determinação positiva e dê a expressão geral dos arcos:

a) 1630º

Solução:

1630º 360º190º 4

numeros de voltas completas

1630º 190º 4 360º= + ⋅�

190º é a primeira determinação positiva.

número de voltas completas


187

b) – 2360ºSolução:

2360º 360º200º 6

Para obter a 1ª determinação positiva, devemos fazer360º – 200º = 160º

A primeira determinação positiva é 160º e a expressão geral éα = 160º + k . 360º

c) 13

rad4π

Devemos dividir 13rad

4π por 2π.

1313 8 5 54 1

2 8 8 8 813 5 5 5

1 2 2 24 8 4 4

π

= = + = +ππ π π⎛ ⎞= + ⋅ π = π + ⇒ + π⎜ ⎟⎝ ⎠

54π

é a primeira determinação positiva e a expressão geral é

52k

4πα = + π .

Arcos Côngruos

São aqueles que possuem a mesma origem e a mesma extremidade, emque a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2π rad).

Exemplos:

a) 1840º e 40º são côngruos, pois 1840º – 40º = 1800º = 5 . 360º

b) são côngruos, pois21rad e rad

5 521 20

rad rad rad 4 rad 2 2 rad5 5 5

π π

π π π− = = π = ⋅ π


188

Exercício ResolvidoDetermine em quais quadrantes estão os seguintes arcos:

a) 63ºPara verificarmos em que quadrante os arcos se encontram, devemos de-

terminar a 1ª determinação positiva.

63º está no primeiro quadrante, pois 0º < 63º < 90º.

b) 1630º | 360º190º 4

190º está no 3º quadrante, pois 180º < 190º < 270º.

c) – 230º– 230º está na primeira volta negativa, então – 230º + 360º = 130º


d) 4

rad3π

Devemos converter4

rad3π

em graus.

4 . 180º240º

3=


Razões Trigonométricas na Circunferência

Função Seno

Marcamos um ponto B, no qualdeterminamos um arco AB , cujamedida é um número real a.O seno desse arco é defini-do como o valor da orde-nada do ponto B.

B

A0

a sen x =ON

sen

x

eixo dos senos

N

(


189

Variação de sinal da função seno

+ +

– –

O seno será positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4ºquadrantes.

Domínio da função seno

O domínio da função seno é o conjunto dos números reais.

D = �

Imagem

Im = [– 1, 1] ou –1 ≤ sen x ≤ 1

Período

O valor do seno se repete a cada volta, sendo uma função periódica.

Seu período é 2π rad ou P = 2π

Valores importantes:


190

Gráfico

y

1

0 π 2π

–1

xπ2

3π2

O MEIO AMBIENTE AGRADECE!!!O cálculo é fundamental em todos os aspectos da Matemática,

como, por exemplo, para que as funções trigonométricas sejamrealizadas.

Também é necessário o uso do cálculo para que haja uma relaçãoequilibrada entre o meio ambiente e o homem.

A vida pode ser melhorada se calcularmos precisamente asmudanças causadas na natureza.

É necessário pensar na sustentabilidade das atividades humanas, paraalcançarmos a melhoria da qualidade de vida para as atuais e futurasgerações.

Calcular a preservação do meio ambiente é uma forma de exercer acidadania. Qualquer ato incalculado dos seres humanos contra a naturezaterá reflexo na própria vida das pessoas.

O gráfico da função seno é chamado de senóide.

Exemplos:Construa o gráfico das seguintes funções, dando o domínio, a imagem e o

período.


191

a) y = 3 sen xConstruindo a tabela, temos:

y

3

π 2π

–3

xπ2

3π2

0

Em que: D = �Im = [–3, 3]P = 2π

b) y = sen 2x


192

y

1

π

–1

xπ4

π2

3π4

0Em que:D = �Im = [–1, 1]P = π

c) y sen x3π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

y

1

xπ6

–π3

2π3

7π6

5π3

0

Em que: D = �Im = [0, 1]P = π


193

De uma maneira prática, o período é determinado por 2

Pkπ= , em que k é

coeficiente de x.

Exemplos:

Para y = 3 sen x, k = 1, portanto 2

P 21π= = π

Para y = sen 2x, k = 2, portanto 2

P2π= = π

Determine o domínio da função: y sen x3π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Para que a função exista, temos:

sen x 03

0 x3

x x 03 3

x x3 3

4x

3

π⎛ ⎞− ≥⎜ ⎟⎝ ⎠π≤ − ≤ π

π π− ≤ π − ≥

π π≤ π + ≥

π≤

Na reta real:

4π 3

4π 3

π 3

π 3

4D x / x

3 3π π⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤⎨ ⎬

⎩ ⎭�


194

Determine m para que exista sen x = 2m – 3.

Solução:

–1 ≤ sen x ≤ 1

–1 ≤ 2m – 3 ≤ 1

2 ≤ 2m ≤ 4

1 ≤ m ≤ 2 S = {m ∈ �/ 1 ≤ m ≤ 2}

Função Cosseno

É a abscissa da extremidade do ponto B no ciclo trigonométrico.

Variação de sinal da função cosseno

– +

– +

y

x

O cosseno é positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3ºquadrantes.


195

Domínio da função cosseno

O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais.

Imagem

Im = [– 1,1] ou –1 ≤ cos x ≤ 1.

Período

Como na função seno, o período da função cosseno é 2

Pkπ= .

Valores Notáveis

Gráfico

y

1

π 2π

–1

xπ2

3π2

0


196

O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide.Representação dos valores notáveis no círculo trigonométrico:

2

3

6

4

3

2

3

45

6

7

65

44

3

5

3

7

4

11

6

3

2

33

22–

22

22

2––

2

22

x

y

1

2

11

222––

0=2π

Exemplos:1) y = 2 cos x

y

2

π 2π

–2

xπ2

3π2

0

Em que: D = �Im = [–2, 2]P = 2π


197

2) Determine K para que satisfaça a igualdade cos x = 3k – 1

Solução:

1 3k 1 10 3k 2

20 k

32

S k / 0 k3

− ≤ − ≤≤ ≤

≤ ≤

⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

�

Função Tangente

O eixo das tangentes é a reta t, paralela ao eixo y, traçada pelo ponto M.

P

x x

y t

T

M

tg x =MT

tg x

Relacionando: sen xtgx

cos x= .

Domínio da função tangente

D x / x k , k2π⎧ ⎫= ∈ ≠ + π ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭� �

Imagem

Im = ]–∞, +∞[ ou Im = �

Período

O período da função tangente é P = π


198

Variação do sinal da função tangente

x

y

–

–

+

+

A tangente é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e4º quadrantes.

Valores Notáveis

Gráfico


199

O gráfico da função tangente é chamado tangentóide.Representação dos valores notáveis no ciclo trigonométrico:

2

3

6

4

33

45

6

7

65

4

5

3

7

4

11

6

4

3

x

y

3

3–

3–

3

3

3

–1

1

Exemplos:1) Determine os domínios das funções:a) y = tg 2x

A condição que devemos impor para obter o domínio é x k2π≠ + π , então:

π≠ + π

π π≠ +

π π⎧ ⎫= ∈ ≠ +⎨ ⎬⎩ ⎭

2x k2

kx

4 2k

Logo: D x / x4 2

�


200

b) y tg 3x3

3x k3 2

3x k2 3

3x k6

kx

18 3

π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠π π+ ≠ + π

π π≠ − + π

π≠ + π

π π≠ +

Logo:K

D x / x18 3π π⎧ ⎫= ∈ ≠ +⎨ ⎬

⎩ ⎭�

2) Determine o período da função y = tg4x.

Solução:

As funções da forma y = tg kx têm período Pkπ= .

Assim temos:

k 4 P4π= ⇒ =

Cotangente de um Ângulo

Podemos relacionar cateto adjacente

cotg xcateto oposto

=

No ciclo trigonométrico, o eixo das cotangentes é o eixo paralelo ao eixodas abscissas e perpendicular ao eixo das ordenadas pelo ponto A.

A

T

x

y

x


201

Variação do sinal da função cotangente

No 1º e 3º quadrantes, a cotg x tem sinal positivo.No 2º e 4º quadrantes, a cotg x tem sinal negativo.

x

y

–

–

+

+

Valores notáveis

Podemos definir cotangente sendo o inverso da tangente, 1

cotg xtg x

=

ou cos x

cotg xsen x

= sendo sen x ≠ 0.

D={x �� / x ≠ π+kπ}

Im = � P = πExemplo:Dê o valor de:

a)

2cos 45º 2cotg 45º 1sen 45º 2

2

= = =

b) 0

00

3cos 30 32cotg 30

1sen 30 22

= = = 2⋅ 3=

c) cotg 0º = não é definida


202

Função Secante

Definimos secante de x como a abscissa OA do ponto A.

y

x0

x

x

A eixo dos cossenos

Variação do sinal da função secanteA variação de sinal é a mesma da função cosseno.No 1º e 4º quadrantes, a secante tem sinal positivo.No 2º e 3º quadrantes, a secante tem sinal negativo.

– +

– +x

y

Valores notáveis

sec x

A função secante é o inverso do cosseno: 1

sec xcos x

= e x k2π≠ + π ,

com k ∈ �.

Im = {y ∈ � / y ≥ 1 ou y ≤ –1} P= 2π


203

Exemplo:

Determine:

a) 1 1sec 60º 2

1cos 60º2

= = =

b) 1 1sec 90º

cos 90º 0= = a função não se define para x = 90º ou x = 270º

Função Cossecante

Definimos cossecante de x como a ordenada OB do ponto B.

eixo�dos�senos

B

Bx

O

Variação do sinal da função cossecante

A variação do sinal é a mesma da função seno.No 1º e 2º quadrantes, a cossecante tem sinal positivo.No 3º e 4º quadrantes, a cossecante tem sinal negativo.

+

–

+

–x

y


204

Valores notáveis

A função cossecante é o inverso da função seno: cossen 1

xsen x

= , em

que x ≠ kπ , com k ∈ �.

Im = {y ∈ � / y ≥ 1 ou y ≤ –1} P= 2π

Exemplo:

Determine cossec 60º.

1 1 2 3 2 3cossec 60º

sen 60º 33 3 32

= = = ⋅ =

Relações Trigonométricas

Relação Fundamental

Considerando o ciclo trigonométrico, temos:

eixo do cosseno

eixo do seno

1

cos x

sen

x

x


205

Aplicando o teorema de Pitágoras:

1

cos x

sen x

sen2x + cos2x = 1

Então:

sen2 x + cos2 x = 1

Outras Relações Fundamentais

sen xtg x

cos x

cos x 1cotg x ou cotg x

sen x tg x

1sec x

cos x

1cossec x

sen x

=

= =

=

=

Relações Trigonométricas Derivadas

sec2 x = 1 + tg2 x

1 + cotg2 x = cossec2 x ou cossec2 x = 1 + cotg2 x

Exemplos:

1) Determine o valor da expressão:

sec cos cotg6 3π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ π ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


206

Solução:Temos:

1 1 2 3 2 3sec

6 33 3 3cos6 2

π = = = ⋅ =π

cos 1

1 1 3 3cotg

3 33 3tg3

π = −

π = = ⋅ =π

Substituindo na expressão:3 3 6 2

2 ( 1)3 3 9 3

− −⋅ ⋅ − = =

2) Sabendo que 1

sen x2

= e que 0 x2π< < , calcule as demais funções

trigonométricas.

Solução:Aplicando a relação fundamental:

2 2

22

2

2

sen x cos x 1

1cos x 1

2

1cos x 1

43

cos x4

3cosx

2

+ =

⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

=

= ±

Como cos x ∈ ao 1º quadrante, ele será positivo.1

sen x 12tg xcos x 23

2

= = = 2⋅ 1 3 333 3 3

= ⋅ =


207

3cos x 32cotg x

1sen x 22

= = = 2⋅ 3

1 2 3 2 3sec x

33 3 32

1cossec x 2

12

=

= = ⋅ =

= =

3) Para que valores de y temos, simultaneamente, sen x = y e cos x = y + 1?

Solução:

Substituindo os valores na relação fundamental:

sen2 x + cos2 x = 1y2 + (y+1)2 = 1

y2 + y2 + 2y + 1 = 12y2 + 2y = 0

y (2y + 2) = 0y = 0 ou 2y + 2 = 0

2y = –2y = –1

Portanto, y = 0 ou y = –1

4) Calcule sen x e cos x sabendo que: 3 sen x + cos x = –1.

Solução:Montando o sistema, temos:

sen2 x + cos2 x = 13 sen x + cos x = –1

Isolando cos x:cos x = – 1 – 3 sen x


208

Substituindo na relação fundamental:sen2 x + (–1 – 3 sen x)2 = 1

sen2 x + 1 + 6 sen x + 9 sen2 x = 110 sen2 x + 6 sen x = 0

sen x (10 sen x + 6) = 0sen x = 0 ou 10 sen x + 6 =0

− −= =6 3sen x sen x

10 5Como cos x = –1 – 3 sen x:

3cos x 1 3

5−⎛ ⎞= − ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

ou cos x = –1 . –3

9cos x 1

5= − + cos x = –1

4cos x

5=

Identidades TrigonométricasPor meio das funções trigonométricas, podemos demonstrar as identidades

trigonométricas tornando-as verdadeiras.Para provar que uma identidade trigonométrica é verdadeira, procuramos

trabalhar com um membro até chegarmos ao outro membro.

Exemplos:Prove a existência das identidades trigonométricas:a) (1 – sen2 x) . (1 + cotg2 x) = cotg2 x

Solução:Substituindo (1 – sen2 x) por cos2 x e 1 + cotg2 x por cossec2 x, temos:

2 2 2

2 22

22

2

cos x (cossec x) cotg x

1cos x cotg x

sen x

cos xcotg x

sen x

⋅ =

⋅ =

=


209

b) tg x + cotg x = sec x . cossec xSolução:

2 2

sen x cos x 1 1cos x sen x cos x sen x

sen x cos x 1sen x cos x sen x cos x

+ = ⋅

+ =⋅ ⋅

Como sen2 x + cos2 x = 11 1

sen x cos x sen x cos x=

⋅ ⋅Portanto, a igualdade é verdadeira.

c) tg x . sen x + cos x = sec xSolução:

2

2 2

sen xsen x cos x sec x

cos x

sen xcos x sec x

cos x

sen x cos xsec x

cos x

1sec x

cos x

⋅ + =

+ =

+ =

=

Redução do 2º Quadrante ao 1º Quadrante

Se dois ângulos a + b = π, eles são chamados ângulos suplementares.Nesse caso faremos a redução do 2º quadrante para o 1º quadrante, pois

são arcos suplementares.Então:

sen (πππππ – x) = sen xcos (πππππ – x) = – cos x

tg (πππππ – x) = – tg xcotg x = – cotg (πππππ – x)sec x = – sec (πππππ – x)

cossec x = cossec (πππππ – x)


210

Redução do 3º Quadrante para o 1º Quadrante

sen (πππππ + x) = – sen xcos (πππππ + x) = – cos x

tg (πππππ + x) = tg xcotg x = cotg (x – πππππ)sec x = – sec (x – πππππ)

cossec x = – cossec (x – πππππ)

Redução do 4º Quadrante para o 1º Quadrante

sen (2πππππ – x) = – sen xcos (2πππππ – x) = cos xtg (2πππππ – x) = – tg x

cotg x = – cotg (2π π π π π – x)sec x = sec (2π π π π π – x)

cossec x = – cossec (2πππππ – x)

Arcos Complementares

Se a b2π+ = , são chamados arcos complementares em que x e x

2π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

são complementares.

Temos:

sen x cos x cos x sen x2 2

tg x cotg x2

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

Exemplos:

1) Calcule o valor da expressão, reduzindo ao 1º quadrante:

Solução:

1sen 150º sen(180º 150º) sen 30º

2= − = =


211

2) Reduza do 2º quadrante para o 1º quadrante sec (πππππ – x)Solução:

( ) 1 1sec x sec x

cos ( x) cos xπ − = = = −

π − −

3) Reduza 330º para um arco do 1º quadrante.Solução:

Fazemos 360º – 330º = 30º. Assim, temos:sen 330º = –sen 30º cotg 330º = –cotg 30ºcos 330º = cos 30º sec 330º = sec 30ºtg 330º = –tg 30º cossec 330º = –cossec 30º

4) Simplifique a expressão:

y cos x cotg x sen(2 x)2 2π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ − ⋅ π −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solução:

( )

cos x sen x2

cotg x tg x2

sen 2 x sen x

π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠π − = −

Substituindo na expressão, temos:y = sen x . tg x . (– sen x)y = – sen2 x . tg x

Transformações Trigonométricas

Adição e Subtração de Arcos

Dados dois arcos a e b, aplique as seguintes identidades:

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos asen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos acos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b


212

cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

++ =− ⋅

−− =+ ⋅

tg a tg btg(a b)

1 tg a tg b

tg a tg btg(a b)

1 tg a tg b⋅ −+ =+

⋅ +− =−

cotg a cotg b 1cotg(a b)

cotg a cotg b

cotg a cotg b 1cotg(a b)

cotg b cotg a

Exemplos:

1) Calcule:

a) sen 75º

sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º

1 2 2 3sen (30º 45º)

2 2 2 2

2 6sen (30º 45º)

4 4

2 6sen (30º 45º)

4

+ = ⋅ + ⋅

+ = +

++ =

b) cos 15º

cos (45º – 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º

2 3 2 1cos (45º 30º)

2 2 2 2

6 2cos (45º 30º)

4 4

6 2cos (45º 30º)

4

− = ⋅ + ⋅

− = +

+− =


213

c)

( )( )

( ) ( )

2

22

2 2

tg4 3

tg tg4 3tg

4 3 1 tg tg4 3

1 3tg

4 3 1 1 3

1 31 3 1 3tg

4 3 1 3 1 3 1 3

1 3 1 3

2 2

π π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠π π+π π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ π π⎝ ⎠ − ⋅

π π +⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ − ⋅⎝ ⎠

+π π + +⎛ ⎞+ = ⋅ =⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ −

+ − +=

−

2) Sabendo que 4

sen x , 0 x5 2

π= < < , calcule cos x4π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Solução:

Aplicando a relação fundamental:2 2

22

2

2

sen x cos x 1

4cos x 1

5

16cos x 1

259

cos x253

cosx5

+ =

⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

=

=

cos x cos x cos sen x sen4 4 4π π π⎛ ⎞+ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠


214

3 2 4 2cos x

4 5 2 5 2

3 2 4 2cos x

4 10 10

2cos x

4 10

π⎛ ⎞+ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Arco DuploAs fórmulas do arco duplo decorrem das fórmulas de adição de arcos.

sen 2a = 2 . sen a cos acos 2a = cos2 a – sen2 a oucos 2a = 2cos2 a – 1 ou

cos 2a = 1 – 2 sen2 a

Exemplos:

1) Determine sen 2a, cos 2a e tg 2a , sabendo que 3

cos a4

= e 0 a2π< < .

Solução:2 2

22

2

2

sen a cos a 1

3sen a 1

4

9sen a 1

167

sen a16

7sen a

4

+ =

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

=

=223 7

cos 2a4 4

⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7 3sen 2a 2

4 4= ⋅ ⋅

6 7 3 7sen 2a

16 8= =

⋅=− 2

2 tg atg 2a

1 tg a


215

9 7cos 2a

16 16= − 6 7 3 7

sen 2a16 8

= =

2

7 72 73 4tg 2a tg a

3 471 43

⋅= = =

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4⋅ 73 3

2 7 2 73 3tg 2a tg 2a

7 21

9 9

2tg 2a

=

= ⇒ =−

= 73

9⋅2

3 7=

2) Simplifique a expressão:y = sen2 a + cos 2a

Solução:y = sen2 a + (cos2 a – sen2 a)y = sen2 a + cos2 a – sen2 ay = cos2 a

Arco MetadeA partir das funções trigonométricas do arco que mede a, podemos calcular

sena2

, cosa2

e tga2

.−= ±

+= ±

−= ±+

a 1 cos asen

2 2

a 1 cos acos

2 2

a 1 cos atg

2 1 cos a


216

Exemplos:

1) Dado 1

cos a , 0 a2 2

π= < < , calcule sena2

, cosa2

e tga2

.

Solução:

1 11 1a a2 2sen cos

2 2 2 2

1 3a a2 2sen cos2 2 2 2

a 1 1 a 3 3sen cos

2 4 2 2 4 2

− += =

= =

= = = =

11a 2tg

12 12

1a 12tg

32 32

a 1 3 3tg

2 33 3

−=

+

= ⇒

= ⋅ =

2) Dado cos 2

45º2

= , calcule sen 22º30’.

Solução:

45º 1 cos 45ºsen

2 2

21

2sen 22º30'2

−=

−=


217

2 22 2 12sen 22º30'

2 2 2

2 2 2 2sen 22º30'

4 2

−−= ⇒ ⋅

− −= =

Transformação em ProdutoSendo p ∈ � e q ∈ �, podemos obter:

+ −+ =

− +− =

+ −+ =

+ −− = −

p q p qsen p sen q 2 sen cos

2 2p q p q

sen p sen q 2 sen cos2 2

p q p qcos p cos q 2 cos cos

2 2p q p q

cos p cos q 2 sen sen2 2

Exemplos:

1) Transforme em produto cos 70º + cos 20º.

Solução:

70º 20º 70º 20º70º 20ºcos cos 2 cos cos

2 290º 50º

70º 20ºcos cos 2 cos cos2 2

70º 20º 45º 25ºcos cos 2 cos cos

cos70º cos20º 2

+ −⋅+ =

⋅+ =

⋅ ⋅+ =

+ = 22

⋅ cos25º

cos70º cos20º 2 cos25º

⋅

+ = ⋅


218

2) Fatore a expressão:sen 4x – sen 2x

Solução:

4x 2x 4x 2xsen 4x sen 2x 2sen cos

2 22x 6x

sen 4x sen 2x 2 sen cos2 2

− +− = ⋅

− = ⋅

sen 4x – sen 2x = 2 sen x . cos 3x

3) (FGV) A expressão sen 4x sen 2xcos 4x cos 2x

+− equivale a:

a) cotg x c) – cotg x e) n.d.a.b) tg x d) – tg x

Solução:

4x 2x 4x 2xsen 4x sen 2x 2 sen cos

2 26x 2x

sen 4x sen 2x 2 sen cos2 2

sen 4x sen 2x 2 sen 3x cos x

+ −+ = ⋅ ⋅

+ = ⋅ ⋅

+ = ⋅ ⋅

4x 2x 4x 2xcos 4x cos 2x 2 sen sen

2 26x 2x

cos 4x cos 2x 2 sen sen2 2

cos 4x cos 2x 2 sen 3x sen x

+ −− = − ⋅ ⋅

− = − ⋅ ⋅

− = − ⋅ ⋅Substituindo, temos:

2 sen 3xsen 4x sen 2xcos 4x cos 2x

+ =−

cos x

2 sen 3x

⋅−

cos xcotg x

sen xsen x−= = −

⋅

Resposta: c


219

Equações TrigonométricasToda equação que apresenta uma função trigonométrica com arco des-

conhecido é chamada de equação trigonométrica.Exemplos:

a) 1

cos x2

= c) tg x 14π⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

b) sen x = sen 45º

1º Tiposen x = a ou cos x = a ou tg x = a

Exemplos:

a)2

sen x2

=

sen x = sen 45ºx = 45º

Como f(x) = sen x é positivo no primeiro e segundo quadrantes, temos:

3π4

π4

y

45º

x

Logo, a equação tem solução igual a:

3x / x 2k ou x 2k

4 4π π⎧ ⎫∈ = + π = + π⎨ ⎬

⎩ ⎭�

Expressão geral:sen x = sen aS = {x = a + 2kπ ou x = (π – a) + 2kπ}


220

b)1

cos x2

=

Solução:cos x = cos 60º

x = 60º

S x / x 2k3π⎧ ⎫= ∈ = ± + π⎨ ⎬

⎩ ⎭�

Expressão geral:cos x = cos aS = {x = ± a + 2kπ}

c) tg x 3

2tg x tg

32

x ou3

5tg x tg

35

x3

= −π=

π=

π=

π=

A tangente é negativano 2º e 4º quadrantes.

2x

3 3tg x 35

x 23 3

π π⎧ = π − =⎪⎪= − ⎨ π π⎪ = π − =⎪⎩

Representando no ciclo trigonométrico, as duas soluções podem ser expressas:

2π3

y

60º

60º

120º ou

x

5π3

300º ou

–π3

–π3

π3

y

60º

–60º x

–π3

x k3π= − + π


221

Logo:

S x / x , k3π⎧ ⎫= ∈ = − π⎨ ⎬

⎩ ⎭�

Expressão geral:tg x = tg aS = {x = a + kπ}

Equações Redutíveis ao 2º GrauExemplo:Resolva a equação sen2 x + cos x – 1 = 0Solução:Partindo da relação fundamental:sen2 x + cos2 x = 1 ou sen2 x = 1 – cos2 x

Substituindo na equação dada:sen2 x + cos x – 1 = 0

(1 – cos2 x) + cos x – 1 = 01 – cos2 x + cos x – 1 = 0

cos2 x – cos x = 0cos x (cos x –1) = 0

cos x = 0 ou cos x – 1 = 0cos x = 1

cos x 0 k2

oucos x 1 x 2k

π= ⇒ + π⎧⎪⎨⎪ = ⇒ = π⎩

Solução S x / x k ou x 2k2π⎧ ⎫= ∈ = + π = π⎨ ⎬

⎩ ⎭�

Equações Redutíveis a um Sistema de EquaçõesDada a equação sen x + cos x = 1.

Sabemos que sen2 x + cos2 x = 1. Podemos formar o seguinte sistema:

2 2

sen x cos x 1

sen x cos x 1

+ =⎧⎪⎨

+ =⎪⎩

(equação dada)

(relação fundamental)


222

Isolando sen x = 1 – cos x na 1ª equação e substituindo na 2ª equação:sen2 x + cos2 x = 1

(1 – cos x)2 + cos2 x = 11 – 2cos x + cos2 x + cos2 x = 1

2cos2 x – 2cos x = 0cos x(2 cos x – 2) = 0

cos x = 0 ou 2cos x – 2 = 02 cos x = 2

cos x = 1Então, para:cos x = 0 ⇒ sen x = 1cos x = 1 ⇒ sen x = 0

S x / x 2k ou x 2k2π⎧ ⎫= ∈ = + π = π⎨ ⎬

⎩ ⎭�

Equação Transformada em ProdutoPara resolvermos esse tipo de equação nos baseamos na transformação de

uma adição ou subtração de funções trigonométricas em um produto.

Exemplo:Resolva a equação:

cos 3x + cos 7x – cos 5x = 0

Transformando cos 3x + cos 7x em produto, temos:

3x 7x 7x 3xcos 3x cos7x 2 cos cos

2 2+ −+ = ⋅

cos 7x + cos 3x = 2 cos 5x . cos 2x

Substituindo na equação:2 cos 5x . cos 2x – cos 5x = 0

Colocando cos 5x em evidência:cos 5x(2 cos 2x – 1) = 0cos 5x = 0 ou 2 cos 2x – 1 = 05x = k� 2 cos 2x = 1

k 1x cos 2x

5 2π= =


223

5cos 2x cos ou cos 2x cos

3 35

2x 2x3 3

5x x

6 6k 5

S x / x ou x 2k ou x 2k5 6 6

π π= =

π π= =

π π= =

π π π⎧ ⎫= ∈ = = + π = + π⎨ ⎬⎩ ⎭

�

Inequações TrigonométricasInequações trigonométricas relacionam funções trigonométricas por meio

de uma desigualdade.Exemplos:Resolva as inequações:

a)2

sen x2

x ou2 4sen x

2 3x

4

≥

π⎧ =⎪⎪= ⎨ π⎪ =⎪⎩

y

x

3π4

π4√2

2

3S x / x

4 4π π⎧ ⎫= ∈ < <⎨ ⎬

⎩ ⎭�

b)1

cos x2

x ou1 3cos x2 5

x3

>

π⎧ =⎪⎪= ⎨ π⎪ =⎪⎩

y

x

1

2

5π3

π3

5S x / 0 x ou x 2 , k

3 3π π⎧ ⎫= ∈ ≤ < < ≤ π ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭� �


224

c)3

cos x2

5x ou

3 6cos x2 7

x6

−>

π⎧ =⎪− ⎪= ⎨ π⎪ =⎪⎩

y

x

7π6

5π6

–√3

2

5 7S x / 0 x ou x 2

6 6π π⎧ ⎫= ∈ ≤ < < ≤ π⎨ ⎬

⎩ ⎭�

d) tg x 1

x ou4tg x5

x4

≥

π⎧ =⎪⎪= ⎨ π⎪ =⎪⎩

y

x

tπ4

π2

5π4

3π2

5 3S x / x ou x

4 2 4 2π π π π⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤⎨ ⎬

⎩ ⎭�

EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Calcule sen x, cos x e tg x em cada um dos triângulos abaixo:

a) x

1

2√ 3√

c) x

1 1

b) x

15

12

9


225

2) Um avião está a 300 m de altura quando vê a cabeceira da pista sobum ângulo com declive de 30º. A que distância o avião está da cabeceirada pista?

3) A que altura de uma parede uma escada de 12 m se apóia, se a escadae a parede formam um ângulo de 30º?

4) Calcule Â, dados os lados de um triângulo qualquer a = 8, b = 8 ec 8 3= .

5) Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a = 3 cm, b = 2 cm eC� = 45º.

6) (FGV-SP) A área do triângulo da figura é:a) 18b) 9c) 10d) 36e) 40 12

6

30º

7) Em um triângulo ABC, AB = 3, BC = 5 e B = 60º. Determine o lado AC .

8) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 6 e 8 mede120º. Calcule a maior diagonal.

9) (FAAP-SP) A seguir está representado um esquema de uma sala de cine-ma, com piso horizontal. Qual deve ser a medida de AT para que um espectadorsentado a 15 m da tela, com os olhos 1,2 m acima do piso, veja o ponto mais altoda tela, T, a 30º da horizontal?

Dados : 2 1,41 e 3 1,73= =

A 15 m

30º

1,2

m

T

B


226

10) Considerando o triângulo da figura, calcule AB .

45º

4B C

A

3 2√

11) Calcule x nos triângulos retângulos a seguir:

a) b)

24

x

30º 60º

30º

45x

12) (UNICAMP-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada ebombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A casa está a80 m de distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixad’água – bomba e caixa d’água – casa é 60º. Se a idéia é bombear água domesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamentoserão necessários?

13) Converta em radianos:a) 90º c) 300º e) 330ºb) 120º d) 210º f) 2º

14) Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio:a) 12h 15min b) 16h 40min

15) Converta em graus:

a) rad10π

c) 4

rad3π

e) 5

rad6π

b) 7

rad4π

d) 5

rad4π

f) rad8π


227

16) Determine em radianos a medida de um arco de circunferência cujocomprimento mede 30 m e o diâmetro dessa circunferência, 20 m.

17) (FUVEST) Um arco de circunferência mede 300º e seu comprimento é2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros?

a) 157 c) 382 e) 764b) 284 d) 628

18) Considerando a figura, preencha a tabela abaixo com valores de r e l(dados em cm) e α (em graus ou radianos).

r

l0 α

l

19) As rodas de um automóvel tem 80 cm de diâmetro. Determine o númerode voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 16,328 km.

Adote π = 3,14

20) Numa circunferência de raio 15 cm, um arco mede 240º. Qual é o com-primento desse arco?

21) Determine o quadrante onde estão situadas as extremidades dos se-guintes arcos:

a) 250º b) 12

rad5

− πc) –400º d)

11rad

4− π

22) Identifique em cada caso se os arcos são côngruos:

a) 1640º e 920º c) 5 19

rad e rad6 6π π

b) 16 4

rad e rad3 3π π


228

23) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dosarcos:

a) – 3.190º b) 11

2π

c) 13

4π

24) Determine k para que exista o arco que satisfaz as seguintes igualdades:

a) sen x = 3k – 4 c) 2k 3

sen x4+=

b) cos x = k2 + 2k + 1

25) Determine a imagem e o período que representa cada uma das fun-ções:

a) x

y cos2

= b) y = – 2 + cos 2x c) y = 2sen x

26) Determine o domínio das funções:

a) y tg 2x2π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

b) f(x) sen x=

27) Indique o valor de:

a) 5

sen2π

c) tg2π

e) sec 135º

b) tg 2π d) cossec 60º f) 13

sec6π

28) Simplifique as expressões:

a) 3

y 2 sen cos2π= ⋅ + π c)

3 tg cos3 4ysen

3

π π+= π

b) 3 cos 2 sen

2y4 cos 0

π⋅ π − ⋅=


229

29) Calcule:

a) cos x, sabendo que x2π < < π e tg x= 1

b) sec x, sabendo que 1

sen x e x3 2

π= < < π

c) cotg x, sabendo que 13

cossec x e x5 2

π= < < π

d) sen x, sabendo que cotg x = 1 e 3

x2ππ < <

30) Calcule y:2 cosx 1

y , sendo xsec 3x cos 2x 3

+ π= =+

31) Simplifique as seguintes expressões:

a) ( )

( ) ( )

sen x sen x2

sen x cos 2 x

π⎛ ⎞− ⋅ π +⎜ ⎟⎝ ⎠π − ⋅ π −

b) ( ) 11cos 3 x sen x

2π⎛ ⎞π − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( ) ( ) ( )

( )sen x tg x cos 4 x

cos x tg 3 x2

π − ⋅ π + ⋅ π −π⎛ ⎞− ⋅ π −⎜ ⎟⎝ ⎠

32) (MACK-SP) Se x2π= , então:

xsenx 2cotg cos 2x

2x

tg cossec x sec 4x2

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

é igual a:

a) – 2 b) 0 c) 12

d) 2 e) 4

33) Sabendo que 3

cos x3

−= , com x2π < < π , calcule as demais fun-

ções trigonométricas.


230

34) Dado sec x = 2 e 0 x2π< < , calcule:

a) cos x b) sen x c) tg x d) cotg x e) cossec x

35) Sendo sen x m 2 e cos x m 3= − + = − + , determine o valorde m.

36) Calcule o valor de x que verifica, simultaneamente, as igualdades

sen a = x + 2 e 2cos a x 1= − + .

37) Aplicando as fórmulas de adição e subtração de arcos, calcule o valor de:

a) sen 105º b) sen 15º c) tg 15º d) tg 75º e) cos2 3π π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

38) Sendo 4

cos5

α = , 12

sen13

β = e α e β do 1º quadrante, calcule:

a) sen (α + β) b) cos (α – β)

39) Sabendo que 2

tg a3

= e 4

sen b5

= com b2π < < π , calcule

tg (a + b).

40) Sabendo que −= 4

sen x5

e x ∈ 3º quadrante, calcule:

a) cos 2x b) sen 2x

41) (FEI-SP) Se 1

sen x cos x5

− = , calcule sen 2x.

42) Se 2

sen x e x2 2

π= < < π , calcule:

a) sen 2x b) cos 2x c) cotg 2x

43) Se cos 3

a3

= , calcule:

a) a

sen2

b) a

cos2

c) a

tg2


231

44) (FUVEST) Calcular y = (sen 22º30’+ cos 22º30’)2

45) (UC-PR) Sabendo que 1 5

cos 36º4

+= , então cos 72º vale:

a) 1 5

2+

c) 5 12−

e) 1 5

4−

b) 5 14−

d) 1 5

2−

46) Transforme em produto:a) sen 80º – sen 40º c) cos 2x . cos 3x

b) sen 40º + sen 70º d) sen 10º sen 50ºcos 10º cos 50º

++

47) (MACK) Fatore sen 68º + cos 38º.

48) Resolva as equações:

a) 2

sen 2x2

= e) tg 2x 3 0− =

b) 2

cos x2

−= f) sen x 3 cos x 3+ =

c) cos 2x 02π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

g) cos2 x – 5 cos x + 6 = 0

d) sen 2x 14π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

h) 2 sen2 x – 5 sen x + 2 = 0

49) Resolva as inequações trigonométricas:

a) sen x ≤ 1 d) 2 sen x ≥ – 1

b) 1

cos x2−≤ e) 2sen2 x + sen x – 1 > 0

c) tg > – 1 f) tg2 x – tg x > 0


232

Respostas

1) a) b) c)=

=

=

6sen x

3

3cos x

3

tg x 2

=

=

=

3sen x

54

cos x5

3tg x

4

=

=

=

2sen x

2

2cos x

2tg x 1

2) 600 m 3) 10,38 m 4) 30º

5) 3 2

2cm2 6) a 7) 19

8) 2 37 9) 9,86 m 10) 10

11) a) 16

b) x 30 3=12) 70 m

13) a) π

rad2

c) π5

rad3

e) π11

rad6

b) π2

rad3

d) π7

rad6

f) π

rad90

14) a) 82º 30’ b) 100º

15) a) 18º c) 240º e) 150º b) 315º d) 225º f) 22º 30’

16) 3 rad 17) 382 (c) 18)

r

2

3

1,04 30º

219,1 172

843 281º

l α

�

4

661,2 13822�

3


233

19) 6.500 20) 62,8 cm

21) a) 3º quadrante c) 4º quadrante

b) 4º quadrante d) 3º quadrante

22) a) sim b) sim c) não

23) a) 50º e x = 50º + k . 360º

b) 32π

e x = 3

2k2π + π

c) 54π

e x = 5

2k4π + π

24) a) 5

S k /1 k3

⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

� c) 7 1

S k / k2 2−⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤⎨ ⎬

⎩ ⎭�

b) S = {k ∈ �/ –2 ≤ k ≤ 0}

25) a) Im(y) = [–1, 1] P = 4π

b) Im(y) = [–3, –1] P = π

c) Im(y) = [–2, 2] P = 2π

26) a) k

D x / x , k2 2π π⎧ ⎫= ∈ ≠ + ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭� �

b) D = {x ∈ �/ 2kπ ≤ x ≤ π +2kπ, k ∈ �}

27) a) 1 c) não é definida e) 2−

b) 0 d) 2 3

3f)

2 33

28) a) –3 b) − 54

c) 18 6

3+

29) a)2

cos x2

−= b) 3 88

−c)

125

−d)

22

−

30)2

3−

31) a) –1 b) –2 cos x c) – cos x


234

32) d

33) sen 6 2

x , tg x 2, cotg x , sec x 3,3 2

−= = − = = −

cossec 6

x2

=

34) a) 12

c) 3 e) 2 3

3

b) 3

2d)

33

35) 2 36) x = –1

37) a) 6 2

4+

b) 6 2

4−

c) 2 3−

d) 2 3+ e) 3

2−

38) a) 6365

b) 5665

39)2

17−

40) a) 7

25−

b) 2425

41)2425

42) a) –1 b) 0 c) 0

43) a) 3 3

6−± b)

3 36

+± c) ( )2 3± −

44)2 2

2+

45) b

46) a) 2 sen 20º . cos 60º c) cos 5x cos x

2+

b) 2 sen 55º cos 15º d) 3

3


235

47) cos 8º

48) a) 3

S x k , ou x k , k8 8π π⎧ ⎫= = + π = + π ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭�

b) 3

S x 2k , k4π⎧ ⎫= = ± + π ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭�

c) k

S x2π⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

d) 3

S x / x k , com k8π⎧ ⎫= ∈ = + π ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭� �

e) k

S x , com k6 2π π⎧ ⎫= = + ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭�

f) S x k 2 ou x k 2 , com k3π⎧ ⎫= = ⋅ π = + ⋅ π ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭�

g) S = ∅

h) 5

S x 2k ou x 2k6 6π π⎧ ⎫= = + π = + π⎨ ⎬

⎩ ⎭49) a) S = {x ∈ �/ 0 ≤ x ≤ 2π}

b) 2 4

S x / 2k x 2k3 3π π⎧ ⎫= ∈ + π ≤ ≤ + π⎨ ⎬

⎩ ⎭�

c) S x / k x k4 2

−π π⎧ ⎫= ∈ + π < < + π⎨ ⎬⎩ ⎭

�

d) 7 11

S x / 0 x ou x 26 6π π⎧ ⎫= ∈ ≤ < ≤ ≤ π⎨ ⎬

⎩ ⎭�

e) 5

S x / x6 6π π⎧ ⎫= ∈ < <⎨ ⎬

⎩ ⎭�

f) 5

S x / x ou x 24 4π π⎧ ⎫= ∈ < <π < < π⎨ ⎬

⎩ ⎭�

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