Manutenção Fiabilidade
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FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA
Relatório de Manutenção
Departamento de Engenharia Mecânica
Filipe Miguel Correia Amaral
Rafael José Gaspar Figueiras
Novembro de 2009
2
Índice A – Introdução ........................................................................................................................ 3
A.1 – Fiabilidade .................................................................................................................. 3
A.2 – Manutenibilidade ...................................................................................................... 3
A.3 – Disponibilidade ......................................................................................................... 4
B – Distribuições utilizadas em Manutenção ....................................................................... 4
D – Aplicação e demonstração de resultados ........................................................................ 5
D.1 – Estimativa a partir da amostra ................................................................................. 6
D.2 – Exponencial negativa ............................................................................................... 8
D.3 – Distribuição Normal ................................................................................................. 9
D.4 – Distribuição LogNormal .......................................................................................... 11
D.5 – Método de Weibull .................................................................................................. 12
E – Comparação dos métodos/Conclusão ............................................................................15
3
A – Introdução
O conjunto de acções que permitem manter ou restabelecer um bem num estado
especificado que lhe permita assegurar um serviço determinado com um custo global
mínimo e/ou segurança máxima é definido como Manutenção. A Manutenção engloba
alguns termos bastante importantes, como fiabilidade, manutenibilidade e
disponibilidade, pelo que se torna imperativo discutir o seu significado.
A.1 – Fiabilidade
A fiabilidade é a probabilidade que um dispositivo tem de cumprir uma função
requerida em condições de utilização e por um período de tempo determinado. Uma
forma de quantificar a fiabilidade é através do tempo entre avarias consecutivas (TBF),
ou do seu valor médio (MTBF).
Esta traduz a frequência com que o sistema irá falhar, sendo dependente de três
factores essenciais; o da concepção e qualidade de fabricação do sistema (características
intrínsecas); o das condições de serviço, que podem ser divididas em condições de carga
e ambientais em que decorrerá a sua operação (características extrínsecas) e o da
eficiência do serviço de manutenção para garantir a função ao longo da vida.
Existem dois tipos de fiabilidade, a operacional e previsional. A fiabilidade
previsional ou intrínseca é a que é preconizada pelo fabricante “à saída da fábrica”, antes
portanto da entrada em serviço do equipamento. Ela resulta directamente da qualidade
do projecto e é determinada experimentalmente através de ensaios normalizados. Pode
também ser estimada teoricamente (bases de dados (OREDA, PDS, EIREDA, etc.),
cálculo da duração de vida). A fiabilidade operacional ou extrínseca é sempre obtida após
uma dada duração de serviço de um equipamento ou de componente. É obtida pelos
utilizadores após uma sequência de falhas potenciais.
Para avaliar a fiabilidade de um equipamento existem limitações, tais como,
constrangimentos de tempo e dinheiro. Assim, são normalmente seleccionados um certo
número de ensaios destinados a conhecer R(t) ou Ln. Estes ensaios são caracterizados
pela duração do ensaio, tamanho da amostra e nível de confiança ou risco, dos quais
dependem os seus custos.
A.2 – Manutenibilidade
A manutenibilidade é a probabilidade de restabelecer a um sistema as suas condições
de funcionamento específicas, em limites de tempo desejadas, quando a manutenção é
realizada nas condições e com os meios prescritos. É portanto um conceito ligado à
facilidade de executar a manutenção, tempos de operação de manutenção, qualidade de
concepção e custos de manutenção. Uma forma de quantificar a manutenibilidade é
através do tempo técnico de reparação (TTR), ou do seu valor médio (MTTR).
Representa assim tudo o que poderá influenciar a aptidão de um sistema para
receber manutenção, tais como a facilidade de acesso a órgãos e seus componentes,
4
condições de segurança, precisão e economia. A manutenibilidade é um parâmetro de
projecto do sistema.
A melhor forma de garanti-la é através da consulta do serviço de manutenção
aquando da selecção de equipamentos novos, em que os critérios devem ter em conta
aspectos dependentes de concepção, exploração do equipamento, informação técnica e
serviço após venda (SAV) do fornecedor.
A manutenção, por seu lado, constitui um conjunto de acções empreendidas com
o objectivo de repor o sistema em falha nas condições operacionais de novo. Esta é o
resultado do projecto do sistema.
A.3 – Disponibilidade
A disponibilidade de um equipamento é a probabilidade deste desempenhar a sua
função durante um tempo requerido. A disponibilidade será pois função da fiabilidade e
da manutenibilidade. A disponibilidade média pode ser calculada através da seguinte
expressão:
De notar que no nosso relatório não vamos estudar os últimos dois conceitos,
pois não dispomos de dados suficientes.
B – Distribuições utilizadas em Manutenção
As distribuições mais utilizadas em Manutenção são as seguintes:
Distribuição exponencial negativa, que tem como parâmetro λ (taxa de
falhas)
Distribuição normal e log-normal, com média e desvio-padrão como
parâmetros.
Distribuição de Weibull, que tem como parâmetros β, η, γ.
A lei exponencial negativa é muito utilizada pelo facto de ser bastante simples,
mas só é aplicável em casos onde se considera uma taxa de falhas constante. No caso de
componentes mecânicos a lei apenas se pode aplicar razoavelmente no período de
maturidade da máquina, pois nos períodos de juventude e degradação a taxa de falhas
não é constante. A lei é calculada através da seguinte expressão: tetR .)(
A lei de Weibull é aplicável quando a taxa de falhas é variável. Este modelo é
muito versátil pelo facto da sua lei englobar três parâmetros, permitindo assim
ajustamento correcto de todos os tipos de resultados experimentais. Tais parâmetros são:
η: Factor de escala (η > 0)
β: Factor de forma (β > 0)
γ: Factor de posição (-∞ < γ < +∞)
5
Contrariamente ao modelo exponencial a lei de Weibull cobre todos os casos
onde a taxa de falhas é variável, ajustando-se assim aos períodos de juventude e
degradação das máquinas, dai o facto de ser um modelo probabilístico bastante
utilizado.
Após a entrada em funcionamento de um equipamento ele apresentará uma
probabilidade de avaria não nula. Assim, o número de falhas acumuladas em serviço
aumentará com o aumento da vida. Todavia, a variação do número de avarias ao longo
do tempo não é uniforme. A generalidade dos componentes mecânicos tende a
apresentar uma evolução de avarias em três fases:
Período de infância (mortalidade infantil, falhas precoces) – os
componentes apresentam uma percentagem de falhas elevada, que tende
a reduzir-se. Causas: erros de projecto, de fabricação, rodagem, má
utilização.
Período de vida útil (falhas aleatórias) – durante a maior parte da vida a
taxa de falhas é aproximadamente constante. Período de rendimento
óptimo do equipamento. Causas: concepção, falhas de manutenção,
utilização em condições adversas, etc.
Período de envelhecimento – a taxa de falhas aumenta. Causas:
desgaste, fadiga, corrosão, etc.
D – Aplicação e demonstração de resultados
O exposto na primeira parte é a base para o desenvolvimento do estudo do qual
este relatório se debruça. Assim será feita uma abordagem pelas diversas leis a um
conjunto de valores de TBF fornecidos relativos a um componente mecânico e serão
relacionados os métodos de análise entre si. O conjunto de valores de TBF fornecidos é
exprimido em horas e são:
TBF [horas]
5945
6496
7450
8302
8605
6
9211
9802
10117
10501
11296
11545
12564
12991
14159
15133
17277
Tabela 1 - Valores de TBF em horas.
Estes valores caracterizam o tempo que passou entre duas avarias consecutivas,
não significa que estejam pela ordem que na realidade ocorreram esses intervalos de
tempo, significa apenas que entre duas avarias consecutivas que ocorreram passou um
tempo TBF de horas. Para que o estudo do componente referido fosse feito de forma
completa teria que se estudar valores de TTR, que são valores de tempo durante o qual se
procede à manutenção/reparação do componente/sistema, sendo por isso tempo em que
a máquina não trabalha ao passo que TBF são valores de trabalho (tempo de bom
funcionamento).
D.1 – Estimativa a partir da amostra
Tendo-se valores de TBF pode-se logo fazer uma análise desses valores partindo
apenas desses valores. Esse processo é feito organizando os valores de TBF por ordem
crescente e associando um índice de falha (i) a cada TBF começando no mais baixo.
Seguidamente terá de se analisar a dimensão da amostra, pois o método de análise varia
se esta tiver mais que 50 valores, entre 20 e 50 valores e menos de 20 valores. Por este
método estará a calcular-se a frequência acumulada de falha o que originará a função de
repartição F(t) que é feita assim:
Já que a dimensão da amostra é menor que 20, utilizar-se-á a ultima aproximação
a fim de aproximar F(t) e com os valores de F(t) obter a fiabilidade R(t) já que são valores
inversos; posteriormente a isso faz-se uma interpolação entre os valores de fiabilidade
que se quer entender (para este caso 85%) e estima-se o tempo de bom funcionamento
com 85% de probabilidade de não ocorrer falha. As tabelas e o gráfico que caracteriza o
nosso caso são:
7
Dados fornecidos TBF (recolhidos) número da falha (i) 1 F R F [%] R [%]
5945 1 0,042682927 0,957317073 1 4,27% 95,73%
6496 2 0,103658537 0,896341463 10,37% 89,63%
7450 3 0,164634146 0,835365854 16,46% 83,54%
8302 4 0,225609756 0,774390244 22,56% 77,44%
8605 5 0,286585366 0,713414634 28,66% 71,34%
9211 6 0,347560976 0,652439024 34,76% 65,24%
9802 7 0,408536585 0,591463415 40,85% 59,15%
10117 8 0,469512195 0,530487805 46,95% 53,05%
10501 9 0,530487805 0,469512195 53,05% 46,95%
11296 10 0,591463415 0,408536585 59,15% 40,85%
11545 11 0,652439024 0,347560976 65,24% 34,76%
12564 12 0,713414634 0,286585366 71,34% 28,66%
12991 13 0,774390244 0,225609756 77,44% 22,56%
14159 14 0,835365854 0,164634146 83,54% 16,46%
15133 15 0,896341463 0,103658537 89,63% 10,37%
17277 16 0,957317073 0,042682927 95,73% 4,27%
Tabela 2 - Tabela com valores de análise de falha e fiabilidade. Os valores de fiabilidade a vermelho são aqueles entre os quais se vai fazer a referida interpolação.
Gráfico 1- Gráfico com os valores da tabela 2 e com a equação de linha de tendência que servirá para interpolar o valor de tempo para R=85%.
Interpolando vem:
y = -6E-05x + 1.3115 R² = 1
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0 5000 10000 15000 20000
F(t
) &
R(t
)
t [horas]
R(t)
F(t)
R(t); [89,63% ; 83,54%]
Linear (R(t); [89,63% ; 83,54%])
8
Significa então que o componente referido pode trabalhar 7691,67 horas sem
ocorrerem falhas com uma certeza de 85%, ou por outras palavras, com 85% de
fiabilidade.
D.2 – Exponencial negativa
Esta análise tem como base a admissão de que a taxa de falhas, λ, é constante
donde se obtém, pela expressão global da fiabilidade:
λ
Que com λ vem:
λ
Definindo λ, consegue saber-se R(t) para um tempo desejado ou o contrário
(saber-se t para um R(t) desejado). A definição de λ é feita fazendo a regressão linear de
um conjunto de pontos definidos à custa da análise anterior e que são pontos do tipo
(TBF, LN(1/R)), o declive da recta que melhor ajuste esses pontos será a taxa de falhas.
No caso chegou-se aos seguintes valores:
Dados fornecidos TBF (recolhidos) número da falha (i) F R LN(1/R)
5945 1 0,0426829268 0,9573170732 0,0436206225
6496 2 0,1036585366 0,8963414634 0,1094338410
7450 3 0,1646341463 0,8353658537 0,1798855020
8302 4 0,2256097561 0,7743902439 0,2556793414
8605 5 0,2865853659 0,7134146341 0,3376924930
9211 6 0,3475609756 0,6524390244 0,4270375934
9802 7 0,4085365854 0,5914634146 0,5251554493
10117 8 0,4695121951 0,5304878049 0,6339583092
10501 9 0,5304878049 0,4695121951 0,7560610060
11296 10 0,5914634146 0,4085365854 0,8951738084
11545 11 0,6524390244 0,3475609756 1,0568151600
12564 12 0,7134146341 0,2865853659 1,2497188261
12991 13 0,7743902439 0,2256097561 1,4889485152
14159 14 0,8353658537 0,1646341463 1,8040295618
15133 15 0,8963414634 0,1036585366 2,2666530838
17277 16 0,9573170732 0,0426829268 3,1539562788
Tabela 3 - Tabela com valores relativos à distribuição exponencial negativa.
9
Gráfico 2 - Gráfico ilustrativo da distribuição exponencial negativa e comparado com os dados da amostra.
De onde se concluiu que:
De onde:
Pode também evoluir-se para outro método que tem em conta que
e que
o que não é mais que a manipulação matemática do processo
apresentado. Se se definir uma base de tempo (com incrementos iguais ao menor valor
das diferenças consecutivas de TBF1) e produzir para cada um desses tempos o valor de
fiabilidade pode obter-se o gráfico da evolução de R(t) obtido pela exponencial negativa.
(estes gráficos serão fornecidos no final a fim de se puderem comparar evoluções).
D.3 – Distribuição Normal
A distribuição normal é um método que leva em conta dois parâmetros, a média
dos valores e o desvio padrão dos valores, que para o caso vem:
1 - Poderia simplesmente assumir-se como incremento um valor de tempo qualquer (p.e. 100 horas) contudo aqui foi admitido o valor de MIN(TBF(i+1)-TBF(i)), para se ter uma base de tempo relacionada com os dados fornecidos e não introduzir um incremento qualquer que poderia ser muito grande (o que suprimiria valores importantes) ou muito pequeno (o que forneceria valores com a mesma importância, logo valores exagerados)
y = 0.0003x - 1.9124 R² = 0.9425
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
5000 10000 15000 20000
LN
(1/R
)
TBF [horas]
pontos (tempo;LN(1/R))
pontos (tempo;LN(1/R))
Linear (pontos (tempo;LN(1/R)))
10
Dados fornecidos TBF (recolhidos)
5945
6496
7450
8302
8605
9211
9802
10117
10501
11296
11545
12564
12991
14159
15133
17277
Média = 10712,125
Desv.Padrão = 3152,266378
Tabela 4 - Tabela com valores relativos à distribuição normal (média e desvio padrão)
Com estes valores pode construir-se a curva normal de Gauss e partindo de
tabelas que caracterizem o valor de probabilidade requerido (R(t)=85%) obter um valor
de tempo. Esse valor de probabilidade requerido corresponde a uma determinada área
abaixo da curva de Gauss. Tal pode ser feito utilizando o Excel e a função inv.norm que
pede a probabilidade, a média e o desvio padrão. Terá que se ter em conta que ao usar a
função inv.norm terá que se fornecer ao Excel a probabilidade de falha já que os valores
tabelados que o programa usa assim o exigem. Se se tiver um acontecimento que evolua
de forma normal e se se pretender a probabilidade de esse acontecimento acontecer com
85% de certeza terá que se fornecer ao Excel um valor de probabilidade de 15%. Assim
para este caso vem:
Significa então que de acordo com este método o componente pode trabalhar
7445,01 horas com 15% de probabilidade de falha.
Do mesmo modo que no método anterior, usando uma base temporal pode
obter-se o gráfico que caracteriza a evolução normal, de novo, do mesmo modo apenas
11
serão fornecidos esses gráficos no final para se poder fazer uma comparação entre
métodos.
D.4 – Distribuição LogNormal
Este método é em tudo igual ao anterior, apenas difere no sentido em que usa os valores de TBF fornecidos logaritmizados e reproduz o calculo com base neles calculando a média e o desvio padrão dos TBF logaritmizados, quando esses dois parâmetros estão definidos e calculados os F(t) e os R(t) pode “deslogaritmizar” a base temporal a fim de poder expressar os valores de fiabilidade e probabilidade de falha (calculados pela distribuição lognormal) numa base de tempo “vulgar”. Essa “deslogaritmização” é importante pois permite que se possa comparar métodos de análise para além de se poder ter uma percepção de tempo rápida sem se ter que recorrer a cálculos para transformar um valor logaritmizado de tempo em tempo em horas. Para o caso em estudo vem:
Dados fornecidos TBF (recolhidos)
log(TBF)
5945
3,774151859
6496
3,812646016
7450
3,872156273
8302
3,919182729
8605
3,934750875
9211
3,964306782
9802
3,991314698
10117
4,00505175
10501
4,021230658
11296
4,052924684
11545
4,062393937
12564
4,099127928
12991
4,113642583
14159
4,151032582
15133
4,179925032
17277
4,237468333
Média = 4,01195667
Desv. Padrão = 0,130074384
Tabela 5 - Tabela com valores relativos à distribuição normal (log(TBF), média e desvio padrão)
Utilizando a função inv.norm para a média e o desvio padrão apresentados, para
uma fiabilidade de 15% vem:
12
Conclui-se assim que por este método o tempo de funcionamento com fiabilidade
de 85% é de 7536,04 horas, o que é próximo do valor obtido na distribuição normal.
Construindo uma base temporal logaritmizada (o que foi feito logaritmizando a base de
tempo já referida em cima) pode calcular-se o F(t) e o R(t) por este método,
posteriormente pode apresentar-se R(t) e F(t) em base de tempo normal e sob a forma de
gráfico para se poder fazer comparações. (mais uma vez isso será apresentado no final)
D.5 – Método de Weibull
O método de Weibull usa três parâmetros para caracterizar uma distribuição; γ, β
e η; β e η são valores retirados do papel de Allan Plait. Nesse gráfico entra-se com os
pontos (tempo, F(t)) e se ajustam por uma recta (D1) que fornecerá o valor de η ao
intersectar a probabilidade F(t)=63,2%; para saber β, traça-se uma recta paralela a D1 que
passe pelo ponto de referência do gráfico que é o eixo das coordenadas (X,Y), recta D2.
No ponto em que a recta D2 intersecta o eixo dos β, teremos o valor de β. Para saber γ, o
que foi feito foi é simular a recta que será introduzida no papel de Allan Plait para
diferentes valores de gama (processo tentativa e erro). Para não se trabalhar com valores
de tempo muito elevados logaritmizou-se tanto a probabilidade de falha como o tempo
(em que este tempo será afectado do parâmetro gama). Por outras palavras, pela
demonstração da recta de Weibull, X é função do tempo e de , podem então produzir-
se tantos pontos (X,Y) quantos os TBF dados para uma gama de ’s; regredir esses pontos
a uma recta e escolher o , que será o que conduz a uma regressão com melhor factor de
correlação. Em suma o que foi feito foi:
1-Determinar TBF’=TBF- para uma gama de , no caso essa gama foi,
, com incrementos de 100 unidades (obtiveram-se 16*11 pontos TBF’).
2- Logaritmizar os TBF’.
3-Calcular usando os F(t) que provêm desde a estimativa pela amostra.
4- Produzir os gráficos de pontos (TBF’, ) e adicionar-lhes uma linha de
tendência e averiguar o factor de correlação ( .
5 – Produzir um gráfico com pontos ( e estimar qual o melhor , que será
aquele que mais aproximar da unidade.
Como se poderá perceber transcrever 11 gráficos para este relatório não traria
grandes benefícios, pelo que apenas se mostrará o gráfico do melhor e o gráfico
( , que são:
13
Gráfico 3 - Gráfico com o melhor gama (que conduziu a um melhor factor de correlação)
Gráfico 4 - Gráfico com a evolução do factor de correlação em função do parâmetro gama.
Poderia derivar-se a linha de tendência deste gráfico e ao achar a raiz dessa
função estaria a encontrar-se o máximo valor de , contudo como é visto a diferença de
factores de correlação entre 5300 e 5700 é da ordem de0,002 pelo que se assume com
bastante rigor .
A recta y = 1,0027x - 2,0281 irá agora ser usada para definir dois pontos para
entrar no papel de Allan Plait tendo em conta pontos de referência desse gráfico, que são
F=63,2% e outro ponto qualquer de tempo que seja fácil de localizar, usou-se t=2500
[horas] obtendo-se os pontos P1 e P2:
y = 1.0027x - 2.0281 R² = 0.9891
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5
gama=5500
gama=5500
Linear (gama=5500)
y = -6E-14x4 + 1E-09x3 - 9E-06x2 + 0.0317x - 38.868 R² = 0.9993
0.972
0.974
0.976
0.978
0.98
0.982
0.984
0.986
0.988
0.99
4500 5000 5500 6000
variação do gama
variação do gama
Polinomial (variação do gama)
14
TBF F
6584,262078 63,2
2500 23,93395371
Tabela 6 - Pontos P1 e P2 de entrada no papel de Allan Plait.
Tem-se então P1(63,2;6584,262078) e P2(23,9339;2500) donde se obterá a recta D1
e posteriormente D2 como se mostra:
Gráfico 5 - Papel de Allan Plait com os pontos P1 e P2 e as rectas D1 e D2.
Obtém-se então os restantes parâmetros de Weibull:
γ η β
5500 6584,26208 0,7
Tabela 7 - Tabela com os valores finais do método de Weibull.
Usando agora a equação geral da fiabilidade para o método de Weibull vem:
15
γη
β
Que resolvendo para t com, R(t) = 85% = 0,85 dará o tempo que o componente
pode trabalhar com uma fiabilidade de 85% pelo método de Weibull; virá então:
η
β
γ
Conclui-se então que pelo método de Weibull o componente pode trabalhar
5991,165 horas com uma fiabilidade de 85 %.
E – Comparação dos métodos/Conclusão
Como foi dito na descrição de cada método, será agora apresentado um gráfico
que reúne na mesma base de tempo a evolução dos métodos no que respeita á
fiabilidade, poderá então saber-se qual o método que melhor aproxima a evolução da
amostra sobrepondo às curvas, os pontos resultantes da estimativa partindo da amostra.
Assim tem-se:
Gráfico 6 - Gráfico com os resultados das distribuições e com os valores da amostra.
Da visualização do gráfico é notório que os métodos que melhor aproximam a
evolução da amostra são os métodos normais (distribuição normal e distribuição
lognormal) ficando como piores resultados os restantes (método exponencial negativo e
distribuição de Weibull). Pode-mos ainda comparar os valores que resultaram dos
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
4000 9000 14000 19000
R(t
)
Tempo [horas]
Dados
R (exp.neg.)
R (dist.norm.)
R (dist.log.normal)
R (Weibull)
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métodos para o tempo de funcionamento com Fiabilidade de 85% o que resulta na
seguinte tabela:
MTBF (R=85%)
Normal 7691,666667 [horas de bom funcionamento]
Exp.Negativa 14808,83752 [horas de bom funcionamento]
Dist.Normal 7445,010873 [horas de bom funcionamento]
Dist.log.Normal 7536,040694 [horas de bom funcionamento]
Weibull 5991,164582 [horas de bom funcionamento]
Tabela 8 - Tabela com os resultados obtidos pelas distribuições usadas e pela amostra.
Conclui-se que os métodos que melhor aproximam a evolução/frequência de
falhas/avarias ao longo do tempo são as distribuições normais e log.normal (notar que
são as que mais próximas estão da interpolação a partir da amostra aqui denominada
como "Normal") seguidas da distribuição de Weibull e por fim com uma aproximação
francamente má a distribuição exponencial negativa.
Assim sendo, do estudo produzido para a amostra de horas de bom
funcionamento disponíveis conclui-se que o componente pode estar a serviço durante
7445,01 a 7536,04 horas com uma fiabilidade de 85%. Tal não significa que esse
componente não possa suportar mais horas (ou num caso indesejado suportar menos
horas) quer sim dizer que pela analise levada a cabo são estes os valores de horas de bom
funcionamento médias para uma fiabilidade de 85%.
F – Bibliografia
- Acetatos e apontamentos da aula fornecidos pelo professor Amílcar Ramalho