Máquinas y mecanismos, 4ta Edicion- Myszhka.pdf

8/18/2019 Máquinas y mecanismos, 4ta Edicion- Myszhka.pdf

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J

M Á Q U I N A S YM E C A N I S M O S

Cuar ta edic ión

David H. Myszka

A L W A Y S L E A R N I N G

P E A R Swww.FreeLibros.me



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MÁQUINAS YMECANISMOSCuarta edición

David H. MyszkaJniversityofDayton

Tr aducc ión

Antonio Enríquez BritoTraductor esp ecia l is ta en ingenier ía mecánica

R ev i s ión t écn i ca

Sergio Saldaña SánchezÁngel H ernández Fernández

Escuela Supe r ior de Ingeniería Mecánica y Eléctr ica

Unidad Profesional Zacatenco

hs t i t u to P o l it écn ico N ac iona l

México

Horacio Ahuett GarzaDepar tamento de Ingeniería Mecánica

Inst i tu to Tecnológ ico y d e E stud ios Super iores de MonterreyCampus Monterrey

México

PEARSON

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____________ / f t i t » de caialogación bibbográlV:T~

MY S/KA, DAVID II.

Máquina* y n*Cuarta edición

PEARSON EDUCACIÓN. México. 2012

ISBN: 978407-32-1215-1

Arci! IngenieríaFormato: 21 • 27 cm Páginas: 384

Authorized translation from ihc English language edition, entitled MAC HIN ES & M ECII ANIS M S: APP LIED KIN EM AT IC ANAL Y-

SIS, 4* Edilion. by Dav id M yxka , piblish ed by Pearson Education. In c. pub tshin g as Prentice Hall. Copyright © 2012. AQ rightsresened.ISBN 9780132157 803

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada M AC HIN ES & M ECH ANIS M S: AP PLIED K IN EM AHC AN ALYS IS . 4* edición por Dav id Myszka . publicada po r Pearson Education, In c. p ublicada como FYentice Hall. Copyright © 2012. Todos losderechos reservados.

Esta edid ón en español es la únic a autorizada.

Edición en españ olDirección Educación Superior: Mario ContreíasEditor spons or: Luis M. Cr uz Castillo

luis.cnizepearson.comEditor de desarrollo: Felipe Hernánd ez CarrascoSupervisor de producción: Enrique Trejo HernándezGerencia editorial

Educadón Sup erior Latinoamérica: Marisa de Anta

CUARTA EDICIÓN, 2012

D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de CV.AtlKom ulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto

53519, Naucalpan d e luárez, Estado de M éxico

Cá ma ra Nacional de la Indu stria E ditorial Me xicana. Reg. nú m. 1031.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni pa rte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o tra nsmitirse, porun sistema de recuperación de información, en ning una fo rma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoqulmico.magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo po r escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cu alquier otra form a de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o d e:representantes.

ISBN: 978-607-32-1215-1ISBN e-book: 978407 -32-1216-8ISBN e-ch apte n 978-607-32-1217-5

Impreso en México. Printed in Mocito.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12

PEARSONw w w . p e a r s o n e n e s p a f t o l . c o m ISBN: 978-60 7-32-1215-1

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http://www.pearsonenespaftol.com/

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PREFACIO

B prop ósito de este libro es ofrecer las técnicas necesarias pa ra es

tudiar el movim iento de las máq uinas. El texto se enfoca en laaplicación de teorías cinemáticas a maq uinaria del m und o real.

Además, inten ta cerrar la brecha e ntre el estu dio teórico de la

cinem ática y la aplicación a m ecanismo s prácticos. Los estud ian

tes que terminen un cu rso basa do en este l ibro serán capaces de

determinar las características del mov imiento de u na máquina.

Los temas que se presentan en esta obr a son fundamentales en el

proc eso d e d iser to d e m áq uina s, en ta n to q ue d eb er ía n rea lizarse

aná lis is con base en conceptos de d ise rto para o pt im izar e l

movimiento de una máquina .

Esta cuar ta ed ic ión incorpora b uena p ar te de la re t roa li -

m entación recibida de los profesores y estudiantes qu e usaron

las tres prim eras ediciones. E ntre las mejoras qu e incluye esta

edición destacan las siguientes: un a sección in trodu ctoria a los

mecanismos de propósi tos espec ia les; ampl iac ión de las des

cripciones de las propied ades cinemáticas, pa ra definirlas conma yor precisión; identificación clara d e las cantidades vectoria

les p or medio d e n otac ión en negr itas; gráf icas de t iemp o; pre

sen tadó n de m étodo s anahtico-sintéticos; tablas qu e describen

el movimiento d e seguidores de levas, y una tabla estándar que

se u t i liza para se lecc ionar e l paso d e cadena . Se revisa ron los

pro ble m as q u e ap ar ec en a l fina l d e ca da c ap it u lo y, a dem ás, se

inc luyeron muchos problemas nuevos.

Se espera que los estudiantes que util icen este l ibro hayan

cursado dibujo técnico, álgebra a nivel universitario y trigon om e

tría . Si bien se m encionan conceptos de cálculo e lemen tal no se

requiere que el es tudiante haya cursado cálculo. Asimismo, serán

út i les los cono c imien tos de vec tores, mecánica y sof tware deaplicación com o hojas d e cálculo. Sin embargo, estos conceptos

tam bién se explican en el libro.

El enfoque al aplicar desarrollos teóricos a problem as prácticos es consistente con la fi losofía de p rogram as de tecnología

ingenie r i l. Este l ibro se or ienta básicamente a los p rogramas

relacionados con mecánica y m anufactura, y pued e util izarse en

pro gr am as ta n to para li ce nc ia tu ra c o m o p a ra c ap ac ita ción .

Las siguientes son algunas de las características distintivas

de este libro:

1. Ilustraciones y bocetos de m áquinas qu e incluyen los

mecanism os que se estudian en el texto.

2. El enfo que se centra en b aplicación de las teorías cine

mát icas a los mecanismos comu nes y prác t icos.

3. En el análisis de los mecanismos se emplean métodos

analíticos y técnicas gráficas.

4. Co n frecuen cia se utilizan ejercicios en Wórldng Model*.

un paque te de sof tware d inámico d isponib le comerc ial -

m ente (véase la sección 2.3 de la págin a 32 pa ra consultar

m ayor información). En el l ibro se incluyen tutoriales y

pro ble m as q u e u ti liza n es te so ftw ar e.

5. A lo largo de la ob ra se incluyen e ilustran sugerencias

p a ra im p le m en ta r las té cn ic as gráf ica s d e si st em as de

dise r to asist idos po r com putadora (ca d).

6. Cada capi tu lo te rmina , a l menos, con un estudio de

caso. Cad a un o ilustra un m ecanismo q ue se util iza enequipo indu strial , y desafia al estud iante a analizar

d fundam ento racional detrás del diserto y a sugerir

mejoras.

7 . Se presentan métod os de análisis de fuerzas de m ecanismos estáticos y dinámicos.

8 . Después de cada concepto im porta nte se incluye un pro

bl em a d e e je m plo q ue i lu s tr a su ap lic ac ión.

9 . Los problemas de e jemplo comienzan con la in t roducc ión

de u na m áquina real que depende del mecanism o que se

analiza.

10. Num erosos problem as que se presentan al final de los

capítulos son consistentes con el enfoque de aplicación del

texto. Todos lo s conceptos in troduc idos en el capitulo

t ienen a l menos un p roblema asociado, b mayoría de los

cuales induyen b m áquina que depende de l mecanismo

que se analiza.

11 . Siempre qu e sea per t inente , a l f ina l de los capí tu los se induy en pro blem as qu e util izan los m étodos analít icos, y

que son los más adecuados para d isposi tivos programables

(calculadoras, hojas de cálculo, softw are de m atemáticas,

etcétera).

In ida lmente , desarro l lé este libro de tex to después d e im

p ar ti r e l cu rs o d e m ec an is m os d u ra n te var io s sem es tr es , lo qu e

me permit ió consta ta r que los estudb ntes no s iempre d is t in-

gu bn b s apl icac iones prác ticas de l mate r ia l . Para e l lo , desarrollé un gran énfasis en los problemas d e estud io de caso y, de

hecho, ¡n id a l» cada d as e exponiendo uno. Los estudbntes se

re fe r ían a e l lo com o d "mecanismo de l d b “. Cons idero que esto

fu e u n a e x c e le n te o p o r tu n id a d p a ra c e n t r a r b a t e n c ió n e n

é fundon am iento de las máquinas; además de que prom ueve el

d i álo g o y cre a u n a c o m u n id a d d e a p re n d iz a j e e n e l a u b d e

dases.

R>r último, b finalidad de cualquier l ibro d e texto es guiar

a los estudiantes a través de una expe riend a de aprendizaje de

una m anera eficaz. Espero sinceram ente que este l ibro cum pla

con su ¡n tendó n. Doy la b ienvenida a to ebs b s sugerenc ias y

los com entarios qu e se envíen a dmyszkaflhidayton.edu.

AGRADECIMIENTOS

Quiero expresar m i gratitud a los revisores de este l ibro po r sus

comentar ios y sugerenc ias: Dave Brock, Kab m azoo Val lcy

(bm m un i ty Col lege ; la ur a Calswel l, Universi ty o f Cin dnn a t i ;

Charles Drake, Eerris State University; Lubam bala Kabeng eb,

Lhiversi ty o f N orth Carol ina a t Char lo tte ; Sung Kim, Piedmont

Technical College; M ichael). Rider, Oh io N orthe rn University;

and C erald Weisman, University of Verm ont.

Itave Myszka

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C O N T E N I D O

1 I n t ro d u c c i ó n a l o s m e c a n i s m o sy a la c i n e m á t ic a 1

Obje t ivos 1

1.1 In t rod ucc ión 1

1 .2 M á q u in a s y m e c a n i sm o s 1

1 .3 Cin em át ica 2

1 .4 Te rm in o lo g ía d e m e c a n i sm o s 2

1 .5 Diagramas c inem át icos 4

1 .6 Inversión c inem át ica 8

1 .7 Mo vi l idad 8

1 .7 .1 Ecuac ión de G rueb le r 8

1 .7 .2 Ac tuado rese imp ulsores 12

1.8 Es l a bo n e s y u n io n e s u sa d o s c o m ú n m e n te 14

1.8.1 M anivela excén trica 14

1 .8 .2 U n ió n d e p e rn o e n u n a r a n u ra 14

1.8 .3 Un ión de torn i l lo 15

1.9 Ca sos especiales de la ecuación

d e m o v i l id a d 16

1.9.1 Un iones coinc identes 16

1.9.2 Excepciones de la ecuación

d e G ru e b le r 1 8

1.9 .3 G rado s de l iber tad inac t ivos 18

1.10 El meca nismo de cua t ro barras 19

1.10.1 C ri te r io de G rash of 19

1.10 .2 Dob le man ive la 20

1.10 .3 M aniv c la -ba lan dn 20

1.10.4 Dob le ba lanc ín 20

1 .1 0.5 M e c a n ism o d e p u n to d e c a m b io 2 0

1.10 .6 Trip le ba la nc ín 20

1.11 Mecanism o de m anive la -co rredera 22

1.12 Mecanismos pa ra propó si tos espec ia les 22

1.12 .1 M ecanismos de l ínea rec ta 22

1.12 .2 M ecanismos de para le log ram o 22

1 .1 2.3 M e c an i sm o s d e r e to m o rá p id o 2 3

1.12 .4 M ecanismo de yugo escocés 23

1.13 Técnicas de aná l is is de m ecanism os 23

1.13.1 T écnicas tradicionales

de representac ión grá f ica 24

1.13.2 Sistemas de CA D 24

1.13.3 Técnicas analít icas 24

1 .1 3.4 Mé to d o s p o r c o m p u ta d o ra 2 4

Pro b le m a s 2 5

Estudios de caso 29

2 C o n s t r u c c ió n d e m o d e lo s

d e m e c a n is m o s e n c o m p u t a d o r a

u s a n d o e l s o f tw a r e w o r k i n g m o d e l® 31

Obje t ivos 31

2.1 In t rodu cc ión 31

2 .2 S im u la c ió n p o r c o m p u ta d o ra

d e m e c a n i sm o s 3 1

2 .3 A d q u i s i c ió n d e l so f tw a re w o rk in gm o d e l 3 2

2 .4 U so d e w o rk in g m o d e l p a ra m o d e la r

u n m e c a n is m o d e c u a t ro b a r r a s 32

2 . 5 U s o d e w o r k i n g m o d e l p a r a m o d e l a r

u n m e c a n is m o d e m a n i v c l a- c o n c d e r a 37

Problemas 41

Estudios de caso 42

3 V ec t o r e s 43

Obje t ivos 43


3.2 Escalares y vecto res 43

3.3 Análisis vectorial gráfico 43

3.4 Técnicas de d ibujo requer idas para e l aná l is is

sec tor ia l grá f ico 44

3 .5 Co n o c im ie n to r e q u e r id o d e c a d p a ra

d aná l is is vec tor ia l grá f ico 44

3 .6 Co n o c im ie n to s d e t r ig o n o m e t r ía r e q u e r id o s

pu ra el a n á li s is ve ct o ri al 44

3.6.1 Triáng ulo rectán gu lo 44

3.6.2 Triángu lo obl icuo 46

3 .7 M a n e jo d e v e c to re s 4 8

3 .8 Su m a g rá fi c a d e v e c to re s (+ > ) 4 8

3 . 9 S u m a a n a lí ti ca d e se c to r es ( + > ) : m é t o d o

de l t r iáng ulo 50

3 .10 Co m p o n e n te s d e u n v e c to r 5 2

3 .1 1 Su m a a n a l í ti c a d e v ec tore s (+ > ) : m é to d o

d e c o m p o n e n te s 5 3

3 .1 2 R es ta o s u s t ra c c i ó n v e ct o ri al ( - > ) 55

3 .13 Su s t r a c c ió n g ráf ic a d e v e c to re s ( - > ) 5 5

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Contenido

3 .1 4 Re st a v e c to r ia l a n a l ít ic a ( - > ) : m é to d o

de l t r iángu lo 57

3 .1 5 Re st a v e c tor i al a n a l ít ic a ( - > ) : m é to d o

d e c o m p o n e n t e s 59

3.16 Ecuaciones vectoriales 60

3.17 Apl icac ión de ecuac iones sec tor ia les 62

3 .18 D e te rm in a c ió n g rá f ic a d e m a g n i tu d e s

vectoriales 63

3.19 D ete rm inac ión ana l í t ica de las magn i tudes

vectoriales 66

Pro b le m a s 6 7

B tu d io s d e c a so 71

4 A n á l is is d e p o s i c ió n y

d e s p l a z a m i e n t o 7 2

Objetivos 72


4.2 Posic ión 72

4.2 .1 Posic ión de un punto 72

4.2.2 P osic ión angula r de un eslabón 72

4 .2 .3 Po s i ció n d e u n m e c a n i sm o 7 3

4.3 Des plazamiento 73

4.3 .1 D esplazam iento l inea l 73

4.3.2 Desp lazamiento angu la r 73

4.4 Anális is de desplazam iento 74

4.5 Desp lazamiento : aná l is is grá f ico 74

4.5 .1 Desp lazamiento de un simple eslabón

i m p u l s a d o 7 4

4.5.2 Desp lazamiento de los eslabones

im p u l sa d o s 7 5

4.6 Posición: m étod o ana l í t ico 79

4.6.1 Ecuaciones de aná lisis de posición

e n fo rm a c e r ra da p a ra u n a

minive la -corredera en l ínea 81

4.6.2 Ecuaciones de análisis de po sición

e n fo rm a c e r ra d a p a ra u n a

manive la -corredera desce ntrado 84

4.6.3 Ecuac iones de po sic ión pa ra un

m e c a n i sm o c e r ra d o d e c u a t ro

b a rra s 87

4 .6 .4 Ci rc u ito s d e u n m e c a n i sm o d e c u a t ro

b a rra s 87

4.7 Posiciones límite: análisis grá fico 87

4.8 Posic iones l imi te : m éto do ana l í t ico 91

4.9 Angulo de t ransm isión 93

4 .10 C id o c o m p le to : a n á l i s is g rá f i c o

de posic ión 94

4.11 C ido com ple to : aná l is is de la posic ión %

4.12 Diagram as de desp lazam iento 98

4.13 Curvas de l acoplador 101

Problemas 101

Estudios de caso 108

5 D is e ñ o d e m e c a n i sm o s 109

Objetivos 109

5.1 Introd ucció n 109

5 .2 Ra z ó n d e t i e m p o 1 095 .3 D ia g ra m a s d e t i e m p o 1 10

5 .4 D i se ñ o d e m e c a n i sm o s

d e m a n iv d a -c o r re d e ra 1 13

5.4 .1 M ecanismo de man ive la -corredera

en l ínea 113

5.4 .2 M ecanismo de man ive la -corredera

descentrado 114

5 .5 D i se ñ o d e m e c a n i sm o s d e

manive la -ba lanc ín 115

5.6 Diseñ o de mecanism os de

manivela-cepillo 117

5 .7 M e c a n ism o p a ra m o v e r u n e s l a b ó n e n t r e

dos posic iones 118

5.7.1 Sín tesis de do s posic iones con un

eslabón qu e p ivota 118

5.7 .2 Sín tesis de do s posic iones con un

a c o p la d o r d e u n m e c a n i sm o d e c u a t ro

b a rra s 1 18

5 .8 M e c a n ism o p a ra m o v e r u n e s l a b ó n e n t r e

tres posic iones 119

5.9 Defec tos de c i rcui to y de ram if icac ión 119

Problemas 120


6 A n á l is i s d e v e l o c i d a d 1 23

Objetivos 123


6.2 Velocidad lineal 123

6.2.1 Velocidad lineal de puntos

irctil íncos 123

6.2 .2 Veloc idad l inea l de un p unto

cua lquie ra 124

6.2 .3 Perf il de ve loc idad de l m ovim iento

lineal 1246.3 Veloc idad de un eslabón 125

6.4 Relación entre las velocidades lineal

y angula r 126

6.5 Veloc idad re la t iva 128

6.6 Anális is grá f ico de ve loc idad: m étodo

de velocidad relativa 130

6.6 .1 Puntos sobre eslabones rest r ingidos

a ro t a c ió n p u ra o a t r a sl a c ió n

rectilínea 130

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r i Contenido

6 .6 .2 Pu n to s e n g e n e ra l so b re u n e s la b ó n

flotante 132

6.6 .3 Puntos coinc identes sobre eslabones

diferentes 135

6.7 Im agen de ve loc idad 137

6.8 Estu dio ana l í t ico de ve loc idad: m étodo

de la velocidad relativa 137

6.9 Soluc iones a lgebra icas para mecanism osc o m u n e s 1 4 2

6.9.1 M ecanismo de man ive la -

corredera 142

6.9 .2 Me canismo de cua t ro barra s 142

6 .1 0 C e n t ro d e ro t a c ió n in s t a n t á n e o 1 42

6.11 Loca l izac ión de centros instantáne os 142

6.11.1 C entros princip ales 143

6.11.2 Teorem a de Kennedy 144

6.11.3 Diagram a de centros

instantáneos 144

6.12 Anális is grá f ico de ve loc idad: m étod ode l cen tro instantán eo 149

6.13 M étod o ana l í t ico pa ra ve locidad: m étod o

de l cen tro instantán eo 152

6.14 Curvas de ve loc idad 155

6.14.1 Diferenc iales gráfic as 157

6.14.2 Diferenc iales nu m éricas 159

Problemas 161


7 A n á l is i s d e a c e l e r a c ió n 170

Objetivos 1707.1 In t rod ucc ión 170

7.2 Aceleración lineal 170

7.2.1 Ace le rac ión l inea l de p unto s que se

m ueven en l ínea rec ta 170

7.2.2 Ace leración rectil ínea co ns tan te 171

7.2 .3 Ace le rac ión y e l perf i l de

velocidad 171

7 .2 .4 A c e le ra c ió n li n e a l d e u n p u n to

en genera l 173

7.3 Ace le rac ión de un eslabón 173

7.3.1 Ace le rac ión ang ula r 173

7.3 .2 Ace le rac ión angu la r con stante 173

7.4 Ace le rac ión norm al y tangenc ia l 174

7.4.1 Aceleración tang encial 174

7.4 .2 Ace le rac ión norm al 175

7.4.3 Ace leración tota l 175

7.5 M ovim iento re la t ivo 177

7.5.1 Aceleración relativa 177

7.5 .2 C om pon entes de la ace le ración

relativa 179

7.6 Análisis de acelerac ión relativa:

m étodo grá f ico 181

7.7 Análisis de acelerac ión relativa:

m étodo ana l í t ico 188

7.8 Soluc iones a lgebra icas de mecanism os

c o m u n e s 1 9 0

7.8 .1 M ecanismo de manive la -

corredera 1907.8.2 M ecanismo de cua t ro ba rras 191

7 .9 A c e le ra c ió n d e u n p u n to e n g e n e ra l so b re

un eslabón f lo tante 191

7.10 Imagen de ace le rac ión 196

7.11 Ace leración de Co riolis 197

7.12 M ecanism os equiva lentes 201

7.13 Cu rvas de ace le rac ión 202

7.13.1 D iferenciales gráficas 202

7.13.2 Diferenciales nu m érica s 204

Problemas 206


8 A n á li si s d e m e c a n i s m o s a s i st id o p o r c o m p u ta d o r a 215

Obje t ivos 215


8.2 Hojas de cá lculo 215

8 .3 P ro g ra m a s d e c ó m p u to d e sa r ro l la d o s

p o r e l u su a r io 221

8 3 .1 M e c a n ism o d e m a n iv e l a -c o r re d era

descentrado 221

8.3.2 M ecanismo de cua t ro ba rras 221

Problemas 222

Es tu d io d e c a so 2 2 2

9 L e v a s: d i s e ñ o y a n á l i s is c i n e m á t i c o 2 2 3

Obje t ivos 223


9.2 Tipo s de levas 223

9 .3 T ip o s d e se g u id o re s 2 24

9.3.1 M ovim iento del seg uid or 224

9.3.2 Posic ión de l seg uido r 224

9 .3 .3 Fo rm a d d se g u id o r 2 25

9 .4 M o v im ie n to p re scr i to d e l se g u id o r 2 25

9 .5 Esq u e m a s d e m o v im ie n to d e l se g u id o r 22 7

9.5.1 Velocidad con stan te 228

9.5.2 Aceleración con stante 228

9 .5 .3 Mo v im ie n to a rm ó n ic o 2 28

9.5.4 Mov imiento c ic lo ida l 230

9.5.5 Esquemas de m ovim iento

c o m b in a d o 2 3 6

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Contenido r l i

9.6 Diseno grá f ico de l perf i l de una le ra

de d isco 237

9.6.1 Segu idor de cuna en linea 237

9.6.2 Seguidor de rodi l lo e n l ínea 238

9.6.3 Seguidor de rodi l lo des cen trado 239

9.6.4 Segu idor de traslación con cara

p la n a 240

9.6 .5 S eguidor de rodi l lo con p ivote 241

9.7 Ángulo de presió n 242

9.8 Limitac iones de d iseñ o 243

9.9 Diseño ana l í t ico de l perf i l de una

leva de d isco 243

9.9.1 Segu idor de cuñ a 244

9.9.2 Seguidor de rodi l lo e n l ínea 246

9.9.3 Seguidor de rodi l lo des cen trado 249

9.9.4 Seguidor de cara p lana con

traslac ión 249

9.9.5 Seguidor de rodi l lo con p ivote 250

9.10 Levas cilindric as 2519.10.1 Disen o gráfico del perfil de una leva

cilindrica 251

9.10 .2 Diseño ana l í tico d d perfi l de un a

leva cilindrica 25!

9 .11 El mecan ismo de Gin ebra 252

Problemas 254

Is tu d io s d e c a so 2 58

1 0 E n g r a n e s : a n á l is i s c i n e m á t i c oy se lecc ión 260

Obje t ivos 260


10.2 T ipos de engra nes 261

10.3 Term inología de un engran e rec to 262

10.4 Perfiles de dien tes de invo luta 264

10.5 Engranes está nd ar 266

10.6 Relaciones de los engranes acoplad os 268

10.6.1 Distancia en tre cen tros 268

10.6 .2 Razón de con tac to 269

10.6.3 Interferen cia 270

10.6.4 Re baje 271

10.6 .5 Holgura ( juego ) 272

1 0 .6 .6 A n g u lo d e p re s ió n d e o p e ra c ió n 2 73

10.7 Cinem át ica de un eng rane rec to 273

10.8 Se lecc ión de un engran e rec to 275

10.8.1 Paso dia m etra l 276

10.8 .2 Á ngulo de presió n 276

10.8 .3 Nú m ero de d ientes 276

10.9 Cinem át ica de la c remal le ra y e l p iñó n 281

10.10 Cinem át ica de un eng rane he l ico ida l 282

10.11 Cinem át ica de engranes cónico s 285

1 0.1 2 Cin e m á t i ca d e u n e n g ra n e s in f i n 2 8 6

10.13 Trenes de eng rane s 288

10.14 En grane s locos 290

10.15 Trenes de engra nes p lan e ta r ios 290

10.15.1 Análisis de eng ran es planeta rios

p o r s u p e rp o s ic ió n 291

10.15 .2 Anál isis p o r ecuac ión de engranes

p la n e ta r io s 29 3

Pro b le m a s 2 9 5


11 T r a n s m i s i o n e s d e c o r r e ay d e c a d e n a 302

Obje t ivos 302


11.2 C orreas 302

1 1.3 G e o m e t r ía d e l a t r a n sm is ió n d e c o r re a 30 41 1.4 Cin e m á t i ca d e u n a t r a n sm is ió n

de corre a 305

11.5 C aden as 308

11.5.1 Tipos de cadena s 308

1 1 .52 Pa so d e c a d e n a 3 0 9

1 1 .53 Ca d e n a s m u l t it r a m o s 3 09

11.5 .4 Ruedas dentadas (ca ta r inas) 310

1 1.6 G e o m e t r ía d e u n a t r a n sm is ió n

de cadena 310

11.7 Cin em át ica de la t ransm isión de cadena 311

Pro b le m a s 3 1 3Estudios de caso 315

12 M e c a n is m o s d e t o m i l lo 3 1 6

Obje t ivos 316


12.2 Ca racterísticas de las cue rda s 316

1 2 3 Fo rm a s d e c u e rd a 3 1 6

12.3.1 C uerd as unificadas 317

12.32 Cu erdas m étr icas 317

12.33 Cu erdas cuadrad as 317

12.3.4 Cuerdas acmé 31 7

12.4 Tornillos de bolas 317

12.5 Av ance 317

12.6 Cinem át ica de tom il los 318

12.7 Fuerzas y torqu es en e l tom il lo 322

12.8 To millos diferenc iales 324

12.9 Torni l los de ta lad ro 325



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tíü Conte n ido

13 A ná l i s i s d e f ue r za s e s t á t i c a s 330

Obje t ivos 330


1 3. 2 F u e r a s 3 3 0

1 3.3 Mo m e n to s y t o rq u e s 3 3 0

13.4 Leyes de l m ovim iento 333

13.5 Diagramas de cuerpo l ibre 333

13.5.1 Elabo rac ión de un d iagram a de cuerpo

libre 333

13.5.2 De te rm inac ión de las fuerzas

de con tac to 333

13.6 Equ i l ibr io está t ico 335

1 3.7 A n ál is is d e u n e l e m e n to c o n d o s fu e r a s 3 35

13.8 F u er a de f r icc ión de desl izam iento 341


Estudio de caso 345

14 A n á l is i s d e f u e r z a s d i n á m i c a s 3 4 6

Obje t ivos 346


14.2 Masa y pes o 346

14.3 Ce ntro de graved ad 347

1 4 .4 M o m e n to d e i n e rd a 3 4 8

14 .4 .1 M o m e n to d e i n e rd a d e fo rm a s

b á sic as 34 8

14.4.2 Ra dio de gir o 350

14.4.3 Teorem a de los e jes para le los 350

14.4.4 C uerp os com pues tos 351

14.4 .5 M om ento de inerda : de te rm inac ión

exper imenta l 352

14.5 F u er a inercia l 352

14.6 To rquc ine rda l 357

Problemas 363

Es tu d io d e ca so 3 6 6

R e s p u e s t a s a p r o b l e m a s p a r e s

se l e c c io n a d o s 3 6 7

Referenc ias 370

In d ic e a n a l í t i c o 3 71

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C A P I T U L O

U N O

I NTRO DU CC I ÓN A LOS MECANI SMOS

Y A LA CINE M ÁTICA

O B J E T I V O S

Al te rm in ar de e stu dia r es te cap itu lo , el alum no *era ca paz de:

I. E sp ita r la nctr ridad del anáR*i* cinemátia» de lo*

2. Definir lo» componentes báucos que integm n un

3. Elaborar el diagrama tinem álito de la villa de una máquinacompleta.

i Calcular el número de grado* de libertad en un mecanismo.

5. Identificar un mecanismo de cuatro b arrasy clasificarlode acuerdo con su p osible movimiento.

6. Identificar un m etan iuno d e manivela-corredera.

1.1 INTRODUCCIÓN

Imagine qu e form a parte de u n equipo de diserto y desarrollo. El

equipo es responsable del diserto de un sistema de limpiadores

par a el para b ri sa s d e u n au to m óv il . El veh íc ul o en cu es ti ón es

un modelo deport ivo con l inca aerodinámica y e l parabr isas indinad o. Desde luego, el objetivo de este sistema d e limpiadoreses remover e l agu a y e l polvo de l parabr isas , para br indar una

visión c la ra a l con duc tor . Gen era lmente lo an te r ior se rea liza

deslizando u n pa r de lim piadores a través de l cristal .

Un a d e las prim eras tareas del diserto cons iste en establecer

los movim ientos adecuados de los l impiadores. Los movimien

tos deben se r sufidentes para garantizar que se limpien las partes

criticas del parabrisas. Ix>s rango s de visión d e diferentes con

ductores se determ inan m ediante estudios estadísticos exhaus

tivos. Esta inform adó n establece las pautas del m ovimiento re

quer ido de los l impiadores. Se habrán de tom ar dec isiones im

po rt an te s so bre s i el m o v im ie n to d e los l im pi ad or es q u e m ej or se

ajusta al vehículo es en tándem o en sentido o puesto. Otras deci

siones se refieren al tam año d e los ángulos de lim pieza del lado

del con duc tor y del lado del pasajero, así como la ubic adó n de

los pivotes, l a figura 1.1 muestra d concep to de diserto con un

p a tr ó n d e m ovim ie nto s o pu es to s d e l os lim pi ad or es .

Una vez que se establece el m ovim iento deseado, se debe

configurar d ensamble de los com ponen tes para mover los

l impiadores d e acuerdo co n e l pa t rón degido . Las ac t iv idades po st er io re s i n d u y en d an ál is is d e o tr o s as pe ctos de l m ov im ie nt o

como la s incronizadón y la tendenc ia a azota rse de los l impia

dores. Para tal sistema, al igual que en las máquinas, la com pren

sión y e l aná l is is de l m ovim iento son indispensables para un

(iindonam iento adecuado. Estos tipos y análisis del movimiento

forman la p arte med ular de este l ibro.

O tra tarea importante en el diserto de maquinaria es b deter

minación del efecto de las foerzas que actúan sobre la m áquina

Tales foerzas definen el t ipo de la foente de po ten da q ue se re-qjie rc para operar la má quin a Las foerzas también establecen b

resistencia requerida de los com ponentes. El sistema d e limp ia

dores, po r ejemplo, debe resistir b frixió n que se crea cuan do se

limpia la savia que cayó sobre el parabrisas, luego de que el au

tomóvil se estacionara detujo de u n árb ol Este tip o de análisis defoerzas es un tema fundame nta! en b parte final del libro.

1.2 MÁQU INASY MECAN ISMOS

Las máquinas son d isposi tivos qu e se u t i l izan a l m odifica r,

transm itir y dirigir fuerzas para llevar a cabo u n objetivo esped-

f ico Una sie rra de cadena es una m áquina conodd a q ue d ir ige

foerzas h ad a la cadena con la f ina lidad de cor ta r m adera . Unrrreanismo e s una par te mecánica de u na máquina , cuya fondón

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2 CAPITULO UNO

■ ¿La plataf orm a está a salvo d e la tendencia a volcarse?

■ ¿Cuálesdeben ser el tam año de la sección transversal y el

material para q ue n o fallen las piernas de soporte?

La mayoría de los mecanismos se m ueven de tal form a que

sus partes se mu even en plan os paralelos. En el dispositivo de

b f ig u ra 1.2, s e u ti li zan d o s m ec an is m o s id én ti co s e n la dos

opuestos de la plataform a para efectos de estabilidad. Sin em

ba rg o. el m ovi m ie nto d e es to s m ec an is m os se d a e n u n p la n o e s

t r ic tamente ver tica l. Po r consiguiente , estos mecanism os se

conocen com o mecanismos planos porque su movimiento se li

m ita a un espacio bidimensional. La ma yoría de los mecanismoscomerciales son p lanos y son el tema principal del l ibro.

fi g u ra 1.2 Plata form a d e altur a ajustable.

(Co rtesía de Adv ance Lifts).

es t ransm it i r movimiento y fuerza de una fuente de potenc ia a

una salida. Es el corazó n de la má quina. En la sierra de cadena,

e l m e c a n i sm o to m a l a p o te n c ia d e u n p e q u e ñ o m o to r y l a su m i

nist ra en e l ex t remo de cor te de la cadena .

La figura 1.2 ilustra un a plataform a de altura ajustable quese im pulsa con c i l indros h idrául icos. Si b ien se pod ría l lamar

máquina a l d isposi tivo com ple to , las par tes que toman la poten

c ia de los c i l indros y e levan y ba jan la p la ta forma son las que in tegran el mecanismo.

Se consideran com o m ecanismo las par tes r íg idas que es

tán configuradas y conec tadas de mo do que prod ucen e l mo

vimiento que se desea en la m áquina . El propósi to de l meca

nismo de la figura 12 es elevar la plataforma y cualqu ier objeto

que se en cuentre sobre ella . La sín tesis e e l proceso d e desarro llo

d e u n m e c a n i sm o p a ra sa t is f a ce r l os r e q u e r im ie n to s d e fu n

c io n a m ie n to d e l a m á q u in a . E l análisis g>rantiza qu e el me

canismo se moverá de ta l modo que cu mp l i rá con los requer i

mientos.

1.3 CINEMÁTICA

La cinemática t r at a c o n l a m a n e ra e n q u e se m u e v e n lo s c u e r po s. Es el es tu dio de la g eo m etr ía del m o v im ie n to . El a nál is is

c inemát ico impl ica la de te rminac ión de posic ión , desplaza

mien to, rotación, rapidez, velocidad y aceleración de u n m eca

nismo.

Para i lust ra r la imp ortanc ia d e este aná l is is , regrese a la

p la ta fo rm a d e elev ac ió n d e la f ig u ra 1.2. El an ál is is c in em át ic o

ofrece información sobre cuestiones significativas del diserto

tales como :

■ ¿Cuál es la impo rtanc ia de la longi tud de las p ie rnas que

« p o r t a n l a p la ta fo rm a ?■ ¿Es necesario que las piernas de sop orte estén cruzadas y

conectadas en su pun to med io, o serta mejor configurarlas

p a ra q u e se cr ucen m ás ce rc a d e la pl at af or m a?

■ ¿A qué distancia deben extenderse los cilindros para elevar

8 in b plataforma?

Asimismo, el análisis de las fuerzas dinámicas de la plata

forma ayudar ía a contestar o t ras preguntas importantes de l d i

serto:

■ ¿Qué capacidad ( f u er a máxim a) se requie re en e l c il indro

hidráulico?

1.4 TERM INOLOG ÍA DE MECANISMOS

Com o se mencionó, los mecanismos consisten en p ar tes conec

tadas con el objetivo de tran sm itir m ovim iento y fuerza, desde

un a fuente de potenc ia hasta una sa lida . Un eslabonamiento es

un m ecanismo donde se unen par tes r íg idas para formar una

cadena . Una de las par tes se denom ina bancada, porq ue sirve

com o m arco de re fe rencia para el m ovimiento de todas las

d e m á s p a r te s . La b a n c a d a n o rm a lm e n te e s u n a p a r t e s in m o vimiento. En la figura 1.3 se observa una pop ula r má quina de

gula e líp t ica para e jerc icio , en la cua l d os eslabonam ientos

p la nos e st án confi g ura dos p ara o p e ra r f u era d e fas e c o n l a fina lidad de sim ular el movim iento de caminar, incluyendo el mo

vimiento de los brazos. C om o la base se apoya en el suelo y no se

mueve duran te la operac ión , se considera que la base es la ban

c a d aLos eáabonesson las partes individuales del mecan ismo y se

consideran cuerpo s rígidos qu e están conectados con otro s es-

b b o n e s p ara tr an sm it ir m ovi m ie nt o y fue rzas . Te óri ca m en te , un

cuerpo rígido verdadero no se deform a durante el movimiento.

Aunq ue en realidad no h ay un cuerpo rígido, los eslabones de los

m e c a n ism o s se d i se ñ a n c o n s id e ra n d o u n a d e fo rm a c ió n m í

nima y se sup on en rígidos. El reposapiés y los manu brios de la

m áquina p ara ejercicio com prend en diferentes eslabones y, jun to con los eslabones, están interconcctados para pro ducir restric

ciones al movimiento.Ru tes elásticas, como los resortes, no s on rígidas: po r lo

tentó , no se con sideran eslabones. No t ienen e fec to sob re la

c inemát ica de l mecanismo y se sue len ignora r en e l aná lis is

fi g u ra u Máquina de guia e líp tica para ejercicio

de entrenam iento (foto d e vvww.precor.com).

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Introducción ajos mecanism os y a la cinemática ___________ 3

cinemático. Sum inistran fuerzas, po r lo qu e se deben incluir en

la p arte del análisis de las fuerzas dinámicas.

Una i m i ó n es una conexión m óvi l en t re los eslabones que

p e rm it e el m o v im ie n to re la ti v o e n tr e el lo s. La s dos u n i o n e s

p r in c ip a le s , l l am a d a s t a m b ié n u n i o n e s t o t a l e s, so n l a u n ió n d e

revolu ta y la unión pr ism át ica La u n i ó n d e r e v o lu t a , conocidat a m b ié n c o m o u n ió n d e p e m o o de b i sagra , per m it e la r o ta c ió n

p u ra en tr e lo s d o s es la bo ne s qu e co nec ta . L a u n i ó n d e c o r re d er a ,

conoc ida tamb ién com o u n i ó n d e p i st ó n o p r i s m á t i c a , per m ite el

deslizamiento lineal entre los eslabones que con ecta La figura

1.4 m uestra las do s juntas.

La figura 13a m uestra una un ión de leva que perm ite tanto

b ro ta c ió n com o el des li zam ie nto en tr e lo s d o s e sl ab on es q u e

conecta. Debido al movim iento complejo que genera, a la cone

xión de leva se le l lama m i ó n d e o r d e n s u p e r io r o m e d i a u n ió n .

Una conexión de engranes perm ite asimismo la ro tac ión y el

deslizamiento entre los do s engranes conforme sus dientes se vanacoplan do. En la figura 1.5b se presenta esta configuración. La

conexión de engrane también es una unión d e orden super ior .

U n e s la b ó n s i m p l e e s u n c u e rp o r íg id o q u e so lo t i e n e d o s

uniones q ue se conec tan con o t ro s eslabones. La f igura 1 .6a

i lustra u n eslabón am pie . Una m a n i v e l a e s u n e s l a b ó n a m p ie

Eslabón 2

Eslabón I

Eslabón 2Eslabón I

a ) P e m o b) Corredera

FIGURA 1 .4 Uniones principales: a ) p e rn o y b ) corredera.

Esbbón 2

Ot U n i ó n d e l e v a b ) Unión de engrane

f i g u r a 1 3 Uniones de orden super ior : a ) u n ió n d e l e v a y b ) unión d e engrane .

a) Es labón s imp le b ) Eslabón complejo

f i g u r a i A Eslabones: a ) eslabón simple y b ) eslabón complejo.

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4 CAPITULO UNO

q u e p u e d e g i r a r c o m p le t a m e n te a lr e d e d o r d e u n c e n t ro f ij o.

Un balancín es u n eslabón simple que oscila con cierto ángulo,

invin iendo s u d i recc ión a de te rm inados in terva los.

U n eslabón complejo e s un cu erpo r ig ido que cont iene más

de dos uniones. La f igura 1 .6b muest ra un eslabón comple jo .

U n brazo de balan cín es un eslabón comple jo que cont iene t res

uniones y pivota cerca de su centro. U na manivela de campana e s s imi lar a un brazo de ba lanc ín , pero está curvada en e l cen

tro. El eslabón com plejo d e la figura 1.6b es un a m anivela de

campana .

U n pu nto d e in teré s e s un punto del eslabón do nde e l

movim iento tiene u n interés especial. El extremo del l im piador

del parabrisas, mencionado anteriormente, se consideraría un

p u n to de in te ré s. U na ve z q u e se lle va a c a b o el an ál is is ci ne

mático, se determ inan el desplazamiento, la velocidad y la acele

rac ión de ese pun ta

H úl t im o compo nente genera l de un m ecanismo es e l ac-

tuador, que es e l compo nente que impulsa e l mecanismo. Los

a c tu a d o re s c o m u n e s i n d u y e n m o to re s (e l é ct r ic o s e h id rá u l i cos), motores de gasolina, cil indros (hidráulicas y neum áticos),

motores de tom il los de bo las y so lenoides. Las máquinas q ue seopera n m anualmente u t i lizan el movim iento hum an a como e l

g i ro de una m anive la , com o ac tuador . Los ac tuadores se ana

lizarán en la sección 1.7.

Ixis eslabonamientos pueden ser antenas abiertas o ornadas.

Cad a eslabón en la cadena dnem ática cena da se conecta a das o

m ás eslabones. La elevado ra de la figura 12 y la m áquina de guía

elíptica de la figura 1J so n cadenas cerradas. Una cadena abierta t iene, po r lo menos, un eslabón que está conectado únicamente

a otro eslabón. Eslabonamientos abiertos c o t í unes son los b razos

mbóticos com o el de la figura 1.7, asi com o o tras máquinas “de

carrera" co mo las retroexcavadoras y las grúas. f i g u r a 1.7 Robot a r t icu la da (C ortesía de M oto m an Inc .).

1.5 DIAGRAMAS CINEM ÁTICO S

En el análisis del m ovimien to de u na máquina, con frecu encia se

difkulta visualizar el movim ientode los componentes en el dibujocom ple to de un ensamble . La f igura 1 .8 presenta una máquina

que se utiliza para m anejar partes en un a línea de ensamble. Un

motor produce la fuerza giratoria que impulsa un mecanismo que

mueve los brazos de lante de un lado a o t ro de manera s in

cronizada. Com o se observa en la figura 1A una imagen completad é l a m á q u in a e s m u y com pleja, po r lo qu e resulta difícil concen

trarse en el movimiento del m ecanismo en consideración.

fi g u ra i .s Carga dor sincronizado de dos brazos. (Co rtesía de PickOm atic

Systems, Ferguson Machine C a) .

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Es más fá ál representar las partes de m anera esquemática,

de mo do qu e solo se m uestren las dimensiones qu e influyen en

el movimiento del m ecanismo. Tales diagramas “desmontados"

se conocen con frecuenc ia como diagramas cinemáticos, cuyo

propó si to es s im il ar a l d e l o s di ag ra m as es que m át ic os d e lo s c ir

cuitos eléctricos o d e los diagramas de tubería, dond e se repre

sentan las var iables qu e a fectan la fund ón p r in dp a l de l meca

nism o La tab la 1.1 muest ra las conv endo nes comu nes que se

usan en la e laborac ión de los d iagramas dnem át icos.

Se requie re qu e u n d iagrama d nem át ico se d ibuje a una es

cala propo rdo nal co n el m ecanismo real. Para efectos de identi-f icadón. los eslabones se num eran, in ic iando con la bancada

com o el eslabón nú m ero 1. Para evitar confusión, las unio nes seidentifican con letras.

TA BI .A 1 .1 S ím b o lo s q u e se u t i l iz a n e n lo s d i a g ra m a s c in e m á t i c o s

RrprooiU dún dnonética

Eslabón simple

Eslabón simple(con un punióde interés)

Eslabón complejo

Union de perno

(Continúa)

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6 CAPITULO UNO

TABLA 1.1 (C on t inu ac ió n)

Componente irme común R e p r e s e n t a d A n d n e m á t ic a

Unión d e corredera

<s3 épUnión de l eva

U n i ón d e e n g r a n o

PRO BLEMA D E EJEM PLO 1.1

la figura 1.9 es de una máquina que se usa para cortar y ajustar tableros de circuitos electrónicos impresos. Elabore

un diagrama cinemático.

F IG U RA 1.9 P r e ns a d e c o r t e d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 . 1 .

SO LU CIÓ N : 1 . Id enti fique l a ba nc ad a

H p r i m e r p a s o e n l a e l a b o r a c i ó n d e u n d i ag r a m a c i n e m á t i c o e s d e c id i r l a p a rt e q u e s e d is er t ar á c o m o l a b a n c a -

d i . E l m o v i m i e n t o d e t o d o s lo s d e m á s e s la b o n e s s e d e t e r m in a r á e n r e la c ió n c o n l a b an c a d a . E n a l g u n o s c a so s ,

b s e l e c c ió n e s e v i d e n t e p o r q u e l a b a n c a d a e s t á f ir m e m e n t e s u j et a e n e l s u e l o .

& i e s t e p r o b l em a , l a b a s e g r a n d e at o r n il la d a a l a m e s a s e d e s i g n a c o m o b a n c a d a . El m o v i m i e n t o d e t o d o s l o s

demás eslabones se determ ina en relación c on esta base. La base se identifica co m o el eslabón 1.

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2. Id en tif iq ue to do s lo s de m ás eslab ones

Una observación cuidado sa revela oirás tres partes que se mueven:

Eslabón 2: MangoEslabón 3: Cuc hilla córtam e

Eslabón 4: Barra que conec ta la cuchilla con e l mango

3. Id en tif iq ue las u nion es

Se utilizan pernos para un ir d eslabón 1 al 2, el eslabón 2 al 3 y d eslabón 3 al 4. Tales uniones se identifican con

letras A a C .Además, el cortador se desliza hacia arriba y hacia abajo, a lo largo de la base. Esta unión de correde

ra conecta el eslabón 4 con el 1y se identifica con la letra D.

4 . Id en tif iq ue lo s pu n to s d e int erés

Ib r ú ltimo, se desea oxnocer el movim iento en el extremo del mango, qu e se identifica com o el pu nto de inte

rés X.

5. Elabor e el dia gra m a cin em át ico

En la figura 1.10 se presenta el diagram a cinemático.

F IG UR A t . i o D i a g r a m a c in e m á t ic o d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 . 1 .

P R O B L E M A D E E J E M P L O 1 .2

la figura 1.11 ilustra un as pinzas. Dibuje su diagrama cinem ática

F l G U R A i .i l P i n za s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 .2 .

Id en tif iq ue la b an ca da

H p rimer paso es decidir qué parte se designará com o bancada. En este problema n o hay partes sujetas al suelo.

Ib r consiguiente, la selección d e la bancad a es arbitraria.

Se designa el m ango superior co mo bancada. El movimiento de todos los demás eslabones se determina en

lehció n con el m ango superior. El mang o superior se identifica como el eslabón 1.

Id en tif iq ue lo do s los de m ás eslab ones

Una observación cuidadosa revela otras tres paites que se mueven:Eslabón 2: Mang o inferior

Eslabón 3: Mord aza inferior

Eslabón 4: Barra que conecta el mango superior y el mango interior

Id en tif iq ue las u nion es

Se utilizan cuatro p ernos para conectar estos eslabones (el eslabón I al 2 , el 2 al 3 , el 3 al 4 y el 4 al I ). Estas

uniones se identifican co n las letras A a D.

Id en ti fique ¡os pu n to s d e int erés

Se desea conocer d movim iento en d extrem o de la mordaza inferior, el cual se desigra com o el pu nto de interés

X. Finalmente, también se busca determ inar el movim iento en el extremo del m ango inferior, que se designa

como el punto de interés Y.

SO LU CIÓ N : 1 .

2.

3.

4.

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8 CAPITULO UNO

5 . biabare el d¡agrama cinemático

0 diagrama cinemático se observa en la figura 1.12.

f i g u r a 1.12 Diagram a cinemático del problem a de ejemp lo 1.2.

1.6 INVERSIÓN CINEM ÁTICA

El m o v i m i e n t o a b s o l u t o se m id e c o n r e sp e c to a u n a b a n c a d a

estacion aria. El n v v i m i e n t o r e l a ti v o de un pu nto o un eslabón se

mide con respecto a otro eslabón. Com o se indicó en los ejem

p lo s a nte rior es , el p r im e r pa so e n la el ab or ac ió n d e u n d ia gra m a

cinemático consiste en la selección de una p arte que sirva com o

ban ca da. En a lg u n o s c as os , la se lecc ió n de la b a n c ad a es a rb i

t ra r ia . com o en las p inzas de l problema d e e jemplo 1 .2 . Cuando

se seleccionan diferentes eslabones com o b ancada, no se altera

e l m ovim iento rela tivo de los eslabones; s in embargo, e l m ovimiento abso luto pu ede se r significativamente diferente. En las

máq uinas sin un eslabón fijo, por lo general el mov imiento reía

tivo es el resultado bus cado en el análisis cinem ático.

En e l problema de e jemplo 1 .2 , un resul tado importante

de l aná l is is c inem át ico es la d is tanc ia que se d ebe m over e l

m a n g o p a ra a b r i r l as m o rd a z a s . Se t r a t a d e u n a c u e s t ió n d e

po si ci ón re la tiv a d e l os esl ab on es : el m an go y la m ord az a. C om o

el mo vimiento relativo de los eslabones no cam bia con la selecc ión de un a bancada , la se lecc ión de un eslabón como marco de

re fe renc ia con f recuenc ia no t iene im portanc ia . El uso de es

labones alternos como eslabones fijos se conoce co m o inversión

á n e m d t i c a .

1.7 MOVILIDAD

Una prop iedad im portan te en e l anál is is de mecanismos es e l

núm ero de grados de l iber tad de l eslabonam iento El grad o de

libertad es el n úm ero de entradas independientes requeridas para

po si ci ona r c o n ex ac ti tu d to d o s l o s e sl ab on es d e u n m ec an is m o

con respecto al suelo T ambién se puede definir como el núm erode ac tuadores necesarios par a opera r el mecanism o. Un m eca

nismo actuador pod ría ser el mo vimiento manual de un eslabónhac ia o t r a posic ión , la conexión de un m otor a l e je de un esla

bón o el e m puje d e l p is tó n d e u n c il in d ro h id rá ul ico.

El número d e grados de l iber tad de u n mecanismo también

se c o n o c e c o m o m o v i l i d a d , el cual se identifica con el símbo lo M.

Cuando la configuración de u n mecanismo está com pletamente

definida con el posicionamiento d e un eslabón , el sistema tiene

un grado d e libertad. La mayoría de los m ecanismos comerciales

tienen un grado d e libertad. En contraste, los brazo s robóticos

suelen tener tres grados de libertad o incluso más.

1.7.1 E c u a c i ó n d e G r u e b l e r

lo s g rados de l iber tad para eslabonamientos p lanos conectados

con un iones com unes se ca lculan con la e c u a c i ó n d e G r u e b le r .

M = g r ad o s d e l ib e rt ad = 3 ( n - 1 ) - 2 j p - jt ,

donde:

n = núm ero to ta l de eslabones en e l mecanismo

= número to ta l de uniones pr inc ipa les (uniones de pernos o

de correderas)

= n ú m e ro to t a l d e u n io n e s d e o rd e n su p e r io r (u n io n e s d e

levas o engranes)

Co m o ya se mencionó, la mayoría de los eslabonamientos

usados en las máquinas tienen u n grad o de libertad. En la figura

1.13a se presenta u n eslabonam iento con u n gra do de libertad.

Los eslabonamientos con grados d e libertad iguales a cero

o negativos se conocen com o m e c a n i s m o s b l o q u e a d o s , los cualesso n in c a p a ce s d e m o v e r se y fo rm a r u n a e s t ru c tu ra . U n a a r -

m a d u r a es una est ruc tura formada por eslabones s imples,

conec tados po r uniones de perno, con cero grad os de l iber tad .

En la figura 1.13b se ilustra u n mecanismo bloquea do.

Los eslabonamientos con múl t ip les grados de l iber tad

necesitan m ás de un impulsor para o perar co n precis ión . Los

mecanismos com unes con múl t ip les grados de l iber tad son ca

denas c inemát icas abie r tas qu e s i rven para o bten er c ie r to a l

cance y posic ionam iento , ta l como los brazos robót icos y lasre!roexcavadoras. En general, los eslabon am ientos con m últi

ples g rad o s d e li b ert ad ofr ecen m ay o r c ap ac id ad p a ra p o s i

cionar con precisión un eslabón. En la figura 1.13c se presenta

un mecanismo con múl t ip les grado s de l ibertad .

a ) U n g r a « l o d c l ib e r a d < M - I ) b) Mecani smo bloqueado (W ” 0 ) c ) M ú l t i p le s g r a d os d e l i b c n a d < * / - 2)

FIGURA 1 .13 Mecanismos y estructura s con movilidad variable.

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Iniroducción ajos mecanism os y a la c inemática ___________ 9

PRO BLEMA D E EJEMPLO 1 .3

U figura 1.14 muestra una sujetadora de abrazadera. Elabore un diagrama cinemático, con la mo rdaza de la

abrazadera y el mango com o p unto s de interés. Calcule también los grado s de libertad de la abrazadera.

f i g u r a i . u Suje tadora de abrazadera de l problema de e jemplo 1 .3.

SO LU CIÓ N : I . Id ent ifi qu e l a b an ca da

El comp onente atornillado al banco o la mesa se designa como la bancada. El movimiento de los demás es

labones se determina en relación con tal bancada. La bancada se nume ra com o el eslabón 1.

2. Id en tif iq ue los d em ás eslab ones

Una observación cuidadosa re írla o tras tres partes que se m ueven:

Eslabón 2: Mango

Eslabón 3: Brazo qu e sirve com o abrazadera-m ordaza

Eslabón 4: Barra que conecta el brazo de la abrazadera y d mango

3. Id en ti fique la s union es

Se utilizan cuatro union es de pernos pa ra conectar los diferentes eslabones (el eslabón 1al 2 . el 2 al 3. el 3 al 4 y

d 4 al 1). Tales unione s se identifican con las letras A a D.


Se desea conocer el m ovimiento de la abrazadera-mordaza, la cual se designa com o el p unto de interés X . Se deseaconocer tam bién el movimiento del extremo del m ango, que se designa com o el pun to de interés y.

5 . Elabor e el d¡ ag ra ma cin em át ico

En la figura 1.15 se detalla el diagram a cinemático.

X"

f i g u r a 1.15 Diagram a cinemático del problem a de ejemplo 1 . 3 .

6 . Calcule la mov ilidad

Con los cuatro eslabones y las cuatro union es de perno,

n = 4,;p = 4 pernos. >h = 0

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10 CAPITULO UNO

M - 3 (n - 1) - 2>p - Á “ 3(4 - 1) - 2(4) - 0 - 1

0 meconism o está restringido con u n grado de libertad. Al moverse un solo eslabón, el mango, se posicio-

rtin correctamente todos los demás eslabones en la sujetador a.


la figura 1.16 muestra un a trituradora de latas que se utiliza para reducir su tamafto y b ali tar su almacenamiento

antes de reciclarse. Elabore un diagrama cinemá tica con el extremo del mango com o pun to de interés. Además, calcule

los grados d e libertad del dispositivo.

S O L U C I Ó N : I . Id ent if iq uela estructura

La parte de atrás dd dispositivo sirve com o base y puede sujetarse a la pared. Este com pon mte se elige com o la

hincada. El movim iento de los demás eslabones se determina con respecto a la bancada. 1.a bancada se identifica

tone l núm ero 1.

2 . Id ent if iq ue los d em ás es lab one s

Una observación cuidadosa muestra un mecanism o plano con otras tres partes móviles:

Eslabón 2: El m ang o

Eslabón 3: Bloque usado co mo superficie trituradora o aplastadoraEslabón 4: Barra que conecta el bloque aplastador y d mango

3 . Id ent if iq ue las uni on es

Se utilizan tres uniones de pern o para conectar estas partes diferentes. Un pem o u ne el mango con la base. Estauiió n se etiqueta como A.Se usa un segu ndo pem o para conectar el eslabón 4 con d mango. Esta unió n se iden

tifica como B. Un tercer pemo une el bloque tri turador y d eslabón 4. Esta unión se identifica como C

El bloqu e triturador se desliza verticálmente durante b operación, de mo do que una un ión de corredera

conecta el triturado r con la base. Esta unión se identifica como D.

4 . Id ent if iq ue los p u nto s d e inter és

Se desea conocer el mov imiento del extremo del mango. Este se designa com o el pun to de interés X.

5 . Uab ort el diagrama cinemático

H diagrama cinemático se presenta en la figura 1.17.

71

FIGURA 1 .17 Diagrama c inemático de l problema de e jemplo 1 . 4 .

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Iniroducción ajos mecanism os y a la c inemática __________ M


Se determ inó que hay cuatr o eslabones en este mecanismo. También existen tres uniones de perno y un a unió n

de corred era. POr lo tanto.

n = 4 . Jp = (3 pernos + 1 corredera) = 4 .^ = 0

M = 3 (n - I ) -2 / p - = 3<4 - l) - 2(4) - 0 = I

B mecanismo tritura dor de latas está restringido por un grad o de libertad. Co n el movim iento de un solo es

labón. d mango, se pueden colocar con precisión los demás eslabones y aplastar un a lata colocada debajo del

bloq ue t ri tu ra dor. _______________________________


La figura 1.18 m uestra otro dispositivo que sirve para cortar material. Elabore un diagrama cinemático, con el ex

tremo del m ango y el extremo de co rte com o pu ntos de interés. También calcule los grados de libertad de la prensa

cortadora.

SO LU CIÓ N : I . Id ent ifi qu e t a ba nc ad a

La base está atornillada a una superficie de trabajo y se designa como la bancada. El movim iento de los dem ás es-

b bo n es se d eterm in a en re lación co n e st a banca da . A la b ancada s e le as ig na el núm er o I .


Una observación cuidad osa revela otra s dos par tes móviles:

Islabón 2: Engrane/mango

Eslabón 3: Pálanca cortadora

3. Id en tif iq ue las u nion esSe usan dos unione s de p erno para conectar estas partes. U n pern o conecta La palanca cortado ra con La bancada.Esta unió n se rotula com o A Se usa un segundo pe rno para conectar el engrane/mango con la palmea cortado

ra. Esta unión se identifica como B.H engrane/mango también se conecta a la bancada con un a unión de engrane Esta unión de orden supe

rior se identifica com o C


Se desea conocer el movim iento del extrem o del mango y se designa com o el pun to de interés X También se

bu sca de te rm in ar el m ov im ie nto de l a sup er ficie cor ta do ra y se designa como el p unto de interés Y.

5 . Ela bor e el dia gr am a c in em át ico

El diagrama cinemático se presenta en la figura 1.19.

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12 CAPITULO UNO

fi g u ra 1.19 Diagram a cinemático del problem a de ejemplo 1.5.

C a l c u le la m o v i l id a d

Rira calcular la movilidad, se identificaron tres eslabones en el mecanismo. También haydos uniones de perno y

u ia unió n de engrane, de mod o que.

n ■ 3 , /p - (2 p ern os ) - 2 / h “ (1 u n ió n d e e ng ra ne ) “ 1

y M - 3 (n - 1) - 2>p - Á, - 3(3 - 1) - 2(2) - 1 - 1

H mecanismo de la prensa de corte está restringido a un grado de libertad. Con el movimiento de u n solo

eslabón, el mango, los dem ás eslabones se pos icionan co n precisión y se lleva el extremo de corte sobre la pieza

de trabajo.

1 .7 .2 A c t u a d o r e s e i m p u l s o r e s

Para operar u n m ecanismo, se requiere un dispositivo actuador

o im pulsor que prop orc ione e l movimiento y la energía de en

trada. Para opera r con precisión u n m ecanismo, se necesita un

impu lsor po r cada grado de libertad. Se utilizan mu cho s actúa

dor es diferentes en las máquinas y los m ecanismos, tanto in du s

triales com o comerciales. Algunos de los más com unes son:

lo s m o to res e l é c tr ic o s d e c o r r i e n t e a l t e rn a b r in d a n el

movim iento giratorio continu o m enos costoso. Sin em-

bu go , es tán lim ita do s a u nas cu an ta s veloc ida des está nd ar ,

«fie son u na fim dón de la frecuencia de b corriente eléc

trica. En Estados Unidos la frecuencia de la corriente es de

60 Hz, lo cua l corres pon de a velocidades d e 3600, 1800,

900 ,720 y 600 rpm . Los m otores monoÉfeicas se utilizana i aplicaciones residenciales y están disponibles desde 1/50

ba sta 2 hp . Los m otores trif ási cos s o n m ás efi cie nte s, p er o

en bi mayoría de los casos están Hmitadosa aplicaciones in

dustriales, porq ue requieren un a potencia de servid o detres fiases. Están dispo nibles desd e 1/4 hasta 5 00 hp.

Los motores e léct r icos de co rr ien te cont inu a también pro

ducen movim iento giratorio. La veloddad y la dirección

del movim iento se modifican fikilmente, pero requieren

po te nc ia d e u n g en er ad or o u n a ba te ría. Los m oto re s d e

corr iente cont inua pueden a lcanzar ve loc idades ex

t remadamente grandes, hasta de 30000 rpm . Estos mo

tores se usan con frecuencia en vehículos, dispositivos in-áámbricos, o en apl icadones don de se requiere contro la r

múl t ip les ve loddades y d i recdones, como en una

má quina de coser.

torio continuo y su veloddad se regula dentro de un inter

valo aproximado de 1000 a 8000 rpm . Son impulsores

com unes y altam ente portátiles que se utilizan en aplica-

do nes que requie ren gran potenc ia. Com o dependen

del cons um o de com bustible, los motores de gasolina sir

ven para im pulsa r máqu inas qu e opera n en exteriores.

Los se rvomotores son m otores que se acoplan a un contro

b d o r par a g en er ar u n m ovim ie nto pro gr am ad o o m a n

tenerlo en u na po sid ón fija . El con trolado r requiere sen

sores sob re el eslabón qu e se desea mover, para brind ar

información de retroalimentación acerca de su p osidón ,

ve loddad y ace le rac ión . Estos motores t ienen menor

capaddad de potencia que las o t ras dases de m otores y

son significativamente m ás costosos; no obstan te, se uti

l izan en máquinas que requieren movimientos guiados

con precisión com o los robots.

Lo s m o to re s d e a i r e o h id rá u l i c o s t a m b ié n p ro d u c e n

movimiento giratorio continu o y son pareados a los m otores eléctricos, per o tienen aplicadones más limitadas . Lo

anterior se debe a la necesidad de una fuente hidráulica o

de a i re com primido. Ta les d isposi t ivos de indu edó n se

usan principalmente dentro de las máquinas, com o en el

equipo de const ruc dón y los aviones, don de se puede

obtener u n fluido hidráulico de alta presión.

Lo s d l in d ro s h id rá u li c o s o n e u m á t i c o s so n c o m p o n e n te s

comunes para impulsar un mecanismo con una carre ra

l inea l l imi tada . La f igura 1 .20a muest ra un c i l indro

hidráulico. 1.a figura 1.20b es la representació n d ne -

mát ica com ún de l d l indro .

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Introducción a lo s i ¡ y a la cinem ática 13

CilindPintón Varilla l . 't ó ó n d - p e r n o .

U n i ón * pe rn o t lh n d r o )

Es labón I

( p iw W varilla)

FIGURA 1.20 Ci lind ro hidrá ulico.

El c i l indro cont ien e un ensamble d e p is tón y una var il la

qu e se desliza en relación con el cil indro. Para efectos

c inemát icos, son dos eslabones (p is tón/var i l la y c i l in

dro ) conectados con una un ión prismática. El cilindro y

e l e x tr e m o d e b v a r i l b su e l e n t e n e r a d i ta m e n to s p a ra

uniones de perno.

Los actuadores de to rnillo también produ cen carrera lineal

limitada. Estos actuadores consisten en un motor qu e ha:e

gira r un torn i llo . Una tuerca apare jada sum inist ra m o

vimiento lineal. Los actuadores de tomillo se pued en con

trolar con precisión y reemplazar directamente a los cilin

dros. Sin embargo, son co nsiderablemente m ás costosos

que los c i l indros, aun cuand o haya fuentes de a i re o

hidráulicas disponibles. Co m o en los cilindros, en los ac

tuadores de torn il lo también existen adi tamentos para

uniones de pern o en los dos extremos. Por consiguiente,

su diagrama cinemático es idéntico al de b figura 120b.

Lo s m e c a n i sm o s m a n u a le s , u o p e ra d o s m a n u a lm e n te ,

comprenden u n gran nú mero d e máquinas o herramientas

manuales. Los movim ientos que se esperan d e los actua

dores "humano s" suelen ser bastante complejos. Sin em

ba rg o, s i lo s m ovim ie nto s q u e s e e sp er an so n repe tit ivos ,

se debería tener cuidado de pos ibles daflos po r btig a y

deformación.


la figura 12 1m uestra un pie de balancín estabilizador para un camión. Habore u n d iagrama cinemático con la parte

inferior de la piern a estabilizador» com o un pun to de interés. También calcule el grado de libertad.

f i g u r a i J t B a la n cín e st a b il iz a d o r d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 . 6 .

SO LU CIÓ N : 1 . Id e n ti f iq u e la b a n c a d a

Cuando se utiliza el babnc ln estabilizador, el camión está detenido, de mo do que se designa el camión co mo la

hincada. El m ovimiento de los dem ás eslabones se determin a en relación con el camión , l a bancada se identificacomo el eslabón 1.

Id e n ti f iq u e lo s d e m á s es la b o n e s

Una observación cuidad osa revela otra s tres partes móviles:Eslabón 2: Pie de ba lín dn estabilizador

Eslabón 3: Cilindro

Eslabón 4: Pistón/varilla

Id e n ti f iq u e la s u n io n e s

Se usan tres uniones de perno pora conectar b s partes. Una conecta b pierna estabilizadora con la bancada del

camión, b cual se identifica como la unió n A O tra conecta la pierna estabilizadora con b varilla del cilindro y se

identifica como la unión B. la última unión de perno conecta el cilindro con la bancada del camión y se identi

fica como b unión C

Hay un a unió n de corredera en el cilindro, b cual conecta el pistón/varilb con el cilindro. Se identificac om o b u n ió n D .

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14 CAPITULO UN O

4 . Id ent if iq ue los pu n to s d e in teré s

0 pie estabilizadores parte del eslabón 2 , mientras el pu nto d e interés ubicado en la parte inferior del pie se

identifica com o el pu nto d e interés X.

5 . Ela bore el d ia gr am a c in em át ic o

0 diagrama cinemático resultante se observa en la figura 12 2 .

f i g u r a 1.22 Diagram a cinemático del problem a de ejemp lo 1.6.

6 . Calcule la m ovilidad

Para calcular la movilidad, se sabe que en tal mecanismo hay cuatro eslabones, tres uniones de pem o y una

uii ón de corredera. Por consiguiente,

n - 4 , ;p “ (3 p er no s + 1 corredera) - 4 , - 0

M - 3 ( n - 1 ) - 2 > p - Á , - 3 (4 - 1) — 2 ( 4 ) - 0 - 1

B me oinismo estabilizador está restringido por u n g rado de libertad. Co n el movim iento de un solo es-

b bó n. e l pistón , co lo ca en po si cion es pre cisa s lo s de m ás es lab on es en el e stab ili za do r y ubica al p ie d el b alan cínestabilizador en d suelo.

1.8 ESLABONES Y UN ION ES USADOS

COMÚNMENTE

1.8 .1 M an i ve l a exc én t r i c a&t muc hos m ecanismos, la longitud requerida de una manivela

es tan co rta que n o es factible ajustar al tamaño ad ecuado los so

port es co n d o s u nio n es de p ern o . U na s o lu ci ón fr ec ue nte c o n

siste en disertar el eslabón com o un cigüeñal excéntrico, co m o se

indica en la figura 1.23a. Este es el diserto que se util iza en la

mayoría de motores de gasolina y compresores.

El perno, sobre el extrem o mó vil del eslabón, se alarga de tal

man era que contiene el eslabón co m ple ta La circunferencia ex

terior del lóbulo circular sobre el dgüeflal se convierte e n una

unión de perno móvi l , como s e muest ra en la f igura 1 .23b. La

ubicación deHos) soporte!s) fi jo(s) está descentrado al lóbu lo

exc éntrica Esta excentricidad d d dgüeflal, e, es la longitud efec

tiva del agüeita!. La figura 1.23c mues tra un mo delo cinemático

de un a manivela excéntrica. La ventaja de la manivela excéntrica

es la gran su perf ide de l á rea de l pern o móvi l , b cua l reduce e l

desgaste.

1 .8 .2 U n ió n d e p e r n o e n u n a r a n u r a

U na c o n e x i ó n c o m ú n e n t r e e s b b o n e s e s l a u n i ó n d e p e r n o

en una ra nura , com o b qu e se i lustra en la f igura 1.24a . Se t ra ta

u n a u n ió n d e o rd e n su p e r io r p o rq u e p e rm i t e q u e lo s d o s es

libo nes giren y se deslicen en tre si. Para simplificar el análisis

c inemát ica se u t i l izan las uniones pr inc ipa les para modela r

esta unión d e orden super ior . La unión de pe rno en u na ranura

se v u e lv e u n a c o m b in a c ió n d e u n ió n d e p e rn o y u n ió n d e

corredera, com o en b figura 1.24b. Observe que asi se agrega

Ci ro e s l a b ó n a l m e c a n i sm o . En a m b o s c a so s , e l m o v im ie n to

re la t ivo entre los esbbo nes es e l m ism a No obstante , el uso de

u n m o d e lo a n e m á t i c o c o n l a s u n io n e s p r in d p a le s f ac i li ta e l

análisis.

FIGURA 1 .23 M anivela excéntrica.

A) CigflcAul excéntrico

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Introducción a los ism os y a !■ cinem ática 15

.1 ) Unión rea l de perno en una ranura b) M odelo de perno en una ranura

F IG UR A i J 4 U n i ó n d e p e r n o e n u n a r a nu r a .

1 .8 .3 U n i ó n d e t o r n i l l o

Una unión de torn illo, com o la m ostrada en la figura 1.25a, es

o t ra conexión común entre eslabones. Los mecanismos de

tomillo se analizan con detalle en el capitulo 12. Por ahora, sólo

se d i rá que un a un ión d e torn i llo permite dos movimientos re la tivos, aunq ue depen dientes ent re los eslabones qu e un e . El

g i ro especi fico de un o de los eslabones causará u n movimientorelativo de traslación en tre los dos eslabones. Por ejemplo, al gi

ra r e l tom il lo u na revoluc ión , la tuerca se mueve u na d is tandade 0.1 in en las cuerdas de l tomil lo , de m odo qu e ú nicamente se

introduce un m ovim iento independiente.

/f) Unión rea l de tomi l lo A» Tom i l lo modelado com o una corredera

F IG U R A I J 3 Un ión de tornillo.

U n a c lu ad o r , t a l c o m o u n a m a n iv e la , su e l e p ro d u c i r u n

giro fuera de l p lano. U na pord ón de l g iro generará b corres

p o n d ie n te tr as la ci ón re la tiva en tr e l o s esb b o n es u n id o s p o r la

unión de torn i l lo . Esta t ras bd ón rebt iva se u t i liza com o “ im

p uls o r” e n l o s a ná lisis c in em át ic os sub se cu en te s.

PRO BLEMA D E EJEMPLO 1.7

la figura 12 6 ilustra un a mesa levadiza que se us a para ajustar la altura de trabajo de diferentes objetos. Elabore u n

diagrama cinemático y calcule los grados d e libertad.

La unión de torn i l lo se m odela por lo genera l como una

unión de corredera , como b qu e se i lust ra en b f igura 1 .25b.

D e b e q u e d a r d a ro q u e h a y ro t a c ió n fu e ra d e l p b n o ; s in e m

bar go. ú n ic am e n te la t r a s b e ió n re b t iv a e n t re el to rn il lo y b

tuerca se considera en el análisis dnem ático plano.

F I G U RA 1 J ó Mesa levadiza de l problem a de e jemplo 1 . 7 .

SO LU CIÓ N : I . Id ent ifi qu e l a ba nc ad a

l a placa de b base inferior descansa sobre una superficie fija, de modo que b placa de la base se designa com o la

toncada. El soporte en b parte inferior derecha de la figura 12 6 está atornillado a la placa de la base. Asimismo,

los dos soportes que sostienen el tom illo en la parte izquierda también están atornillados a la base.

En el análisis de b sección anterior se vio qu e no se considera b rotación fuera del plano del tomillo.Solamente la traslación reb tiva de b tuerca se incluye en el modelo cinem ático. Por lo tanto, el tomillo tam bién

se considera parte de la bancada. B mov imiento de los demás esb bon es se determinará en relación con esta

placa d e bas e in fe rio r, b cu al s e id en tif ica con el e slab ón 1.

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16 CAPITULO UNO

2 . Id ent if iq ue los d em ás es labo ne s

Una obs ero ció n cuidado sa revela olras cinco parles móviles:

Eslab ón 2: ’Rierca

Eslabón 3: Bra/o de sop orte que conecta la tuerca con la mesa

Eslabón 4: Brazo de soporte qu e conecta el soporte fijo con la ranura de la mesaEslabón 5: Mesa

Eslabón 6: Eslabón extra utilizado para mod elar el perno e n la u nión d e ranur a con las uniones de perno y

La corre dera por separado

3 . Id ent if iq ue las uni on esSe usa u na un ión de corredera para mo delar el movimiento entr e el tomillo y la tuerca. Una u nión de perno,

designada como pun to A, conecta la tuerca con el brazo de so porte identificado como eslabón 3. Una un ión de

pern o, d esign ada com o p unto & con ec ta los do s bra zo s de so por te (eslab on es 3 y 4) . Otra uni ón d e pe rn o, de sig

n ó la c o m o p u n to C conecta el eslabón 3 con é eslabón 6. Una unió n de corredera une el eslabón 6 con la mesa

(eslabón 5). Un perno, designado com o pun to D. conecta la mesa con el brazo de soporte (eslabón 3). Por úl

timo, una unió n de perno, designada como punto E se em plea para conectar la base con el brazo de soporte(eslabón 4).

El dug ram a cinemático se presenta en la figura 12 7 .

5 . Calcule la m ovilidad

Para calcular la movilidad, se sabe que hay seis eslabones en el mecanismo. Tam bién hay cinco unio nes de pem o

y dos uniones d e corred era. Por consiguiente,

n - 6 jp “ (5 pernos + 2 correderas) - 7 , /h “ 0

M « 3 ( n — 1) - 2/p - ; h = 3 (6 - 1) - 2 (7 ) - 0 = 15 - 14 = 1

la mesa levadiza tiene movimiento restringido con un grado de libertad. Un eslabón móvil, el mango que

gira el tomillo, posicionari exactam ente todos los demás eslabones del dispositivo, elevando o bajando la mesa.

1.9 CA SOS ESPECIA LES DE LA ECUAC IÓNDE MOVILIDAD

La movilidad es una propied ad extremadamente im portante de

un mecanismo. Entre otras cuestiones, brin da inform ación acerca de l número de ac tuadores requer idos para operar un meca

nismo . Sin embargo, pa ra obten er los resultados correctos, se

deb e tener mucho cuidad o a l usar la ecuadón de Grueble r . A

continuació n se presen tan algunas condiciones especiales.

1 .9 . 1 U n i o n e s c o i n c i d e n t e s

Algunos mecanismos t ienen t res esb bon es conec tado s a una

sola un ión de perno, com o se indica en la figura 1.28, lo cual

causa a lgo de confusión en e l modelado anemát ico . Fís ica

men te, se utiliza u n p erno p ara conectar los tres eslabones. Sin

a) li e s eslabones gu ato nas ¿>) Dos eslabones giratoriosy unode corredera

f i g u r a i M Tres eslabones conectados a un a sola unión

de perno.

embargo, po r def in ic ión , un a unión de perno conec ta dos es

labones.

En el análisis cinemático, esta configuración se debe m ode-

h r m atemát icamente como dos uniones separadas. Una unión

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Introducción ajos mecanism os y a la cinemática __________ 17

conectará los eslabones prime ro y segundo. Lo segunda unión co- unió n se tiene que m ode lar con do s pernos. Este escenario se

nec ta rá entonces e l segundo y e l te rcer eslabones. Po r consi- i lust ra en e l problema de e jemplo I&.

guíente, cuando hay tres eslabones juntos en u n pe rno c om ún, la

PRO BLEMA D E EJEMPLO 1.8

la figura 12 9 muestra un a prensa mecánica qu e sirve para ejercer grandes fuerzas c insertar u na parte pequeña en

una más grande. Con el extremo del m ango com o pun to de interés, elabore u n diagram a cinemático y calcule,

además, los gr ados de libertad.

fi g u ra i . » Prensa mecánica del problem a de ejemplo 1.8.

S O L U C I Ó N : I . Id ent ifi qu e la b an ca da

la base de la parte inferior para la prensa m ecánica está colocada sobre un banco de trabajo y permanece esta

cionaria du ran te la operación. Por lo ta nto, esta base de la parte inferior se designa como bancada. El

mo vim iento de los demás eslabones se determ ina en relación con la base inferior. La bancada se identifica cond eslabón 1.


Una observación cuidadosa revela otras cinco partes móviles:

Eslabón 2: MangoEslabón 3: Brazo que conecta el mang o con los otros brazos

Eslabón 4: Brazo qu e conecta la base con los otros brazos

Eslabón 5: Cabeza de la prensa

Eslabón 6: Brazo qu e conecta la cabeza con los o tros brazos

3. Id en tif iq ue las u nion es

Se usan union es de p erno para conectar todas las partes. Una conecta el mang o con la base y se identifica com o

unión A . O tra conecta el eslabón 3 con el m ango y se identifica como un ión R O tra conecta el eslabón 4 con la

ba se y se i de nt ifi ca c om o u n ió n C O tra c one ct a e l es labó n 6 co n la cabeza d e la pren sa y se identif ica co m ounión D.

Se utiliza un pern o p ara conectar los tres brazos (eslabones 3 .4 y 6) juntos. Co mo tres eslabones separa

dos están unidos en un pu nto com ún, estos se deben modela r como dos uniones separadas, identi ficadas

como E y F .

U ta unió n de corredera conecta la cabeza de la prensa con la base. Esta unión se identifica como G.4 . Id ent ifi qu el os p un to s d e int erés

Se desea conocer el movimiento en el extremo dd ma ngo y se identifica com o el p un to de interés X.

5 . I-la bore el diag ra m a c in em át ico

B diagram a cinemático se muestra en la figura I JO.


Rúa calcular la m ovilidad, se sabe que hay seis eslabones en é mecanismo, seis uniones de perno y una unión de

corredera. Po r lo tanto.

n - 6, Jp ~ (6 pernos + 1 corredera) — 7,ft, “ 0

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18 CAPITULO UNO

F I G U R A l J O Diagrama cinemático del problem a de ejemp lo 1.8.

r

M = 3 (n - 1) - 2; p - ; h = 3 (6 - 1) - 2 ( 7 ) - 0 = 15 - 1 4 = 1

H mecanismo de la prensa mecánica está restringido por u n g rado de libertad. Con tan solo el movimiento

de un eslabón, el mang o, se posicionan con precisión todo s los dem ás eslabones de la prensa, deslizando la

cabeza de esta sobre la pieza de trabajo.

1 .9 .2 E x c e p c i o n e s d e l a e c u a c i ó nd e G r u e b l e r

Es necesar io m encionar o t r a s i tuac ión de mov i l idad especial .

Com o la ecuac ión d e Grueble r no lom a en cuenta la geometría

de los eslabones, en raras ocasiones esto causa resultados erró

neos. En la figura 1.31 se mues tra u n ejem plo de ello.

Observe que el eslabonamiento tiene cinco eslabones y seis

uniones d e perno. Al apl ica r b ecuac ión de Grueble r , e l es-hbonam iento t iene cero grados de l iber tad . Por supuesto , lo an

terior sugiere que el mecanism o está bloqueado. Sin embargo, si

todos los eslabones que pivotan fueran del m ismo tamaf io, y la

d istanc ia ent re las union es sobre la e st ruc tura y e l acoplador

fueran idénticos, este mecanism o sería capaz de moverse con u n

f i g u r a I .3I Mecanismo que t ransgrede l a ecuación de Gruebler.

grad o de l ibertad . El esb bó n centra l es redundante , mientras

qu e com o su longi tud e s idént ica a la de los o t ros do s eslabones

sujetos a la estructura, no altera la acción del eslabonamiento.

Hay var ios e jemplos de m ecanismos que transg reden laecuac ión de G rueble r debido a su geom etr ía ún ica Un diseña

d o r deber ta esta r consc iente de qu e b ecuación de movi l idad , en

ocasiones, pro voca inconsistencias.

1 .9 .3 G r a d o s d e l i b e r t a d i n a c t iv o sEn algunos m ecanismos, los eslabones presentan movim ientos

qu e n o influyen en la relación de entra da y salida del mecanis

mo . Estos grad os de li b erta d i na ct ivos m uest ran u na s i tuac ión

donde la ecuac ión de Grueble r da resul tados e rróneos. Un

ejemplo es un a leva con un seguidor de rodi l lo com o e l que se

pre se nta e n la fi g u ra 1.3 2. l a ec u ac ió n de G ru eb le r espe ci fic a

do s grados de libertad (4 eslabones, 3 pernos, 1 unió n d e orden

super ior) . Con un g i ro de b leva , e l esb bó n de p ivote osc ib ,

mientras e l seguidor de rodi l lo g i ra a l rededor de su centro . Sin

embargo, únicam ente el m ovim iento del eslabón de pivote sirve

com o sa l ida de l mecanismo. El g i ro de l rodi l lo es de un grado de

Ibe rtad inactivo y no b usca afectar el mov imiento d e salida del

mecanismo. Es una característica de diserto que reduce la fric

c ión y e l desgaste sobre b superfic ie de b leva . Mientras que b

ecuación de G ruebler especifica que u n mecanismo de leva con

seguidor de rodi l lo t iene un a movi l idad d e dos, e l d iseñador

genera lmente está in te resado so lo en un g rado de l ibertad .Virios m ecanismos contienen grados de libertad inactiva.

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1.10 EL ME CAN ISMO DE CUATRO BARRAS

El eslabonam iento más s imple y m ás com ún es e l eslabona

m ie n to d e c u a t ro b a r ra s . Es u n a c o m b in a c ió n d e c u a t ro e s

labones, uno designado com o la bancada y conec tado p or cua

t ro u n io n e s d e p e rn o . Co m o se l e e n c u e n t ra c o n m u c h a f r e

cuencia. una revisión adicional no e stá de más.

La f igura 1 .33a m uest ra e l mecanismo de un sis tema de

limpiado r para el cristal trasero de un autom óvil. El diagrama

cinemát ico se presenta en la f igura 1 .33b. Observe que es un

Introdu«xión ajos mecanism os y a la c inemática __________ 19

FIGURA U 5 Mecanismo del l impiad or p ara el cristal trasero.

mecanismo de cua t ro barras , ya qu e se in tegra con cu a t ro es

labones conec tados po r cua t ro uniones de p erno y un eslabón

está imp edido pa ra moverse.

La m ovi lidad de un mecanismo de cua t ro barras es como

sigue:

n = 4 , ; p = 4 p e r n o s , ;h = 0

Af = 3 (n - 1) - 2h - = 3 (4 - 1) - 2(4) - 0 = 1

Com o e l mecanismo de cua tro barras t iene un grado de l i

ber ta d , e stá re st ri ngi do a u n so lo act u ad or o e s to ta lm en te o p e

rado p o r este. El sistema del l im piado r de la figura 1.33 es acti

vado po r un m otor e léc tr ico de co rr ien te continua .

tt>r supuestt». el eslabó n im ped ido p ara moverse se elige

com o l a bancada. Por lo general, el eslab«Sn pivote con ectad o alimpulsor o a la fuente de potenc ia se conoce com o eslabón de

entrada. El otro eslabón pivote, sujeto a la bancada, se designa

como el alabón de salida o seguidor. El acoplador o brazo conec

ta r "acopla" el movim iento del eslabón d e entrada co n el del es

labón de salida.

1 .1 0.1 C r i t e r i o d e G r a s h o f

La siguiente no m enclatura se util iza para describir la longitud

de los cu atro eslabones.

s * longi tud de l eslabón más cor to

/ = longi tud de l eslabón m ás la rgo

p = longi tud de un o de los eslabones de longi tud in te rmedia

q = longi tud de l o t ro eslabón de long i tud in termedia0 teorema de Grash of establece qu e un mecanism o de cua t ro

bu rr as ti e n e a l m en os u n es la bó n g ir a to ri o si:

s + l / > + q

Los mecanismos de cuatro barras caen en u na de las cinco

categorías listadas en la tabla 1.2.

TABLA 1 .2 Ca te g o rí a s d e b s m e c a n i sm o s d e c u a t ro |

b a r ra s |

r Ca to O l ía lo . Klibbn mitrarlo

1Categoría

1 « + K p + q Triple hulmán Doble manivela

2 » + l p * q Gialquirra Triple taJanctn

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20 CAPITULO UNO

c ) D o b l e b a l a n c ín

i P u n o d e c a m b i o

f i g u r a 1 3 4 Categorías de m ecanismos de cuatro barras.

e ) T r i p l e b a l a n c í n

M a n i v e I n -b n l a n c l n

f l) D o b l e m a n i v e l a

Las diferentes categorías se mu estran en la figura 1.34 y se

describen en las siguientes secciones.

1 .10 .2 D ob l e m an i v e l a

En b figura 1.34a se ilustra una dob le manivela o manivela-

man ivela Com o se explica en los criterios del caso 1 de la tabla

1.2, t iene el eslabón más corto del mecanismo de cuatro barras

configurado com o la ban cada Si uno de los eslabones pivote gi

ra cont inuamente , e l o t ro eslabón p ivote también g i ra rá co nt i

nuam ente. de m odo q ue los dos eslabones pivote, 2 y 4. puedengira r una revolución com pleta. El mecanismo de dob le manivela

también se conoce como mecanismo de eslabón de a rrast re .

1 .10 .3 M an i ve l a - ba l anc í n

En la figura 1.34b se ilustra un mecanism o de manivete-balan-

d n . C om o se especifica en los criterios del caso 2 de la tabla 1.2,

t ie n e e l e s la b ó n m á s c o r to d e l m e c a n i sm o d e c u a t ro b a r ra s

adyacente a la bancad a. Si este eslabón más corto g ira continua

men te, el eslabón de salida oscilará entre u no s limites. Así, el es

labón m ás cor to se conoce como manivela, y el eslabó n de salida

se c o n o c e c o m o h t la n d n . FJ sistema del limpiador de la figura

1 .33 se identi f ica como m ecanism o de manive la -ba lanc ín .

Co n fo rm e u n m o to r h a c e g i ra r c o n t in u a m e n te e l e s l ab ó n d e e n trada, el eslabón d e salida oscila o "se balancea". El bra zo y la

hoja del l impiad or están sujetos firmem ente al eslabón de salida

y el l imp iador osó la sob re el parabrisas.

1 .1 0 .4 D o b l e b a l a n c í n

En la figura 134c se presenta un d oble balancín o balancln-balan-

d n . C om o se especifica en los criterios del caso 3 de la tabla 1.2,

e l eslabón más cor to , de l mecanismo de cua t ro barras , está

opuesto a l conf igurado com o la bancada . En estaconfiguradón,

n ingún eslabón conec tado a la bancada po drá com ple ta r una

rrvoludón . Por lo tan to , tan to e l eslabón de ent rada com o e l de

sa l ida están rest r ingidos a os dla r en t re d er to s l imi tes , po r lo

que se conocen com o ba lanane s. N o obstante, e l acoplador s i

com pleta una revolución.

1.1 0.5 M e c a n i s m o d e p u n t o d e c a m b i o

En la figura 134 d se m uestra un mecanismo de pu nto de cambio.

Cóm o se espedfica en los criterios del caso 4 de la tabla 1.2, la

suma de dos lados es la misma que la suma de los o t ros das. Conesta igualdad, el mecanismo d e pun to de cambio s e posiciona,

de m od o qu e todo s los eslabones se vuelvan colineales. El t ipo

m is f a m i l i ar d e l m e c a n i sm o d e p u n to d e c a m b io e s el e s

labonam iento que forma un para le logramo. La bancad a y el

¿copiador son de la misma longi tud , de m odo qu e son los es

b b o n e s pivo te . Por c on sigu ie nt e, lo s c u a tr o es la bo nes se tr as te

a r á n entre sí . En te conf igurac ión col inea l , e l m ovimiento sevue lve inde te rminado. El movimiento puede permanecer en

una configuración de paralelogramo o volverse una configura

c ió n c o n t ra r i a a u n p a ra le lo g ra m o (o d e m a r ip o sa ) . Po r t a l

razón, el pun to de cambio se conoce com o un a configurac ión

de singularidad.

1 .10 .6 T r i p l e ba l an c í n

En te f igura 1J4 e se muest ra un mecanismo de t r ip le ba tendn.

Sgu iendo los criterios del caso 5 de te tabla 13 , el triple baten

d n n o tiene eslabones que logren com pletar una revolución com

ple ta. d e m o d o q u e lo s t re s eslab on es m óv iles se bal ancea n.


En la figura 13 5 se observa el ensamble del tren de aterrizaje de un avión pequeñ o. Gasifique el mo vimiento d e este

mrcanism o de cuatro barras con base en la configuración de los eslabones.

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S O L U C I Ó N :


r?

fi g u ra l J5 Ensamble del tren de aterrizaje del problem a de ejemplo 1.9.

I. Id en tif iq ue b s e sla b on a c on ba se en la b n g it u d

En un análisis centrado en el tren de aterrizaje, el movimiento del ensamble de la rueda se determ inarla en

relación con el cuerpo del avión. Por lo tanto, d cuerpo de la aeroiuve se designa como la bancada, la figura I J6

lus tra el diagram a cinemático dd ensam ble de la rueda, con la num eración e identificación de los eslabones,

la punta de la rueda se designó como el pun to de interés X.

(3)

fi g u ra i J6 Diagrama cinemático del problem a de ejemplo 1.9.

las longitudes de los eslabones son:

í - 12 i n; l - 32 i n ; p - 30 ¡n; q - 26 in

2. Compare criterios

0 eslabón más cortoes el adyacente a la bancada. De acuerdo con el criterio de la tabla 12 , tal mecanismo puede

ser un a manivcla-balancin, un punto d e camb io o un balaixrín triple. Se deben repasarlos criterios de las diferen

tes categorías de los mecanismos de cuatro barras.3. Verifique los criterios de m ann rla-bala ncin (caso 2)

lo s criterios son:

s + K p + q

(12 +3 2 ) < (3 0 + 26)

44 < 5 6 -* {sl|

Com o los criterios de maniv cla-balandn s on válidos, el ensamble del tren de aterrizaje es un mecan ismo de

rmnivcla-bolandn.

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22 CAPITULO UNO

1.11 MEC ANISM O DE MANIVELA-

CORREDERA

O tro mecanism o com ún es e l de manive la -corredera , e l cual

consiste tam bién en una com binac ión de cua t ro esbbones, con

u n o d e s ig n a d o c o m o b b a n c a da . Es te m e c a n i sm o , s in e m

ba rg o, es tá c o nect ad o p o r t re s u n io nes d e p e rn o y u na un ió n de

corredera.

En b f igura 1 .37a se presenta u n m ecanismo qu e impulsa

u n a b o m b a d e a g u a m a n u a l . En l a fi g ura 1 3 7 b se m u e s tr a el d b -

gram a cinemático correspondiente.

f i g u r a l J 7 Mecanismo de bomb eo de un a bomb a de agua manual : a) mecanismo

y b) d iagrama c inemát ica

La movilidad del m ecanismo manivela-corredera se repre

senta com o sigue:

n = 4 , Jp ■ (3 p e rn o s + 1 co r red e ra ) = 4 , / h = 0

M - 3 (n - 1) - 2 j p - j h - 3 (4 - 1) - 2 ( 4 ) - 0 - I .

Com o e l mecanismo de manive la-corredera t iene u n grado

de libertad, está restringido para op erar completam ente con un

impulsor. La bo m ba d e la figura 1.37 se activa en forma manual

empu jando el m ango (eslabón 3).En g e n e ral , e l e sb b ó n p iv o te co n e c t a d o a b b a n c ad a se

conoce como manivela. Este esb bó n n o siempre logra efectuar

una revolución completa. El esb bón qu e mueve se conoce como

corredera. Este esb bó n e s el pistón-varilla de la figura 1.37. El

¿ so p la d o r o b i e b “ a co p la" e l m o v im ie n to d e b m a n iv el a y b

corredera.

1.12 MECA NISMOS PARA PROPÓ SITOSESPECIALES

1.1 2.1 M e c a n i s m o s d e lí n e a re c t a

los mecanismos de linea recta hacen qu e un p un to tenga trayec

toria en linea recta sin q ue esté guiado p or u na superficie plana.

Históricamente, las unione s prismáticas de calidad que perm iten

d mov imiento suave, recta sin cam bios bruscas, han sido difidlesde fabr ica r . Se han ideado d iversos mecanismos que generan

movimiento en linea recta (o casi en linca recta) con uniones y ac

tuadores giratorios. La figura 138a presenta u n eslabonamiento

de Watt; b figura 138b, u n eslabonam iento d e Péaucellier-Lipkin.

a)

F IG U R A 1 .3 8 M e c a n i s m o s d e l í n e a r e ct a .

1 .1 2.2 M e c a n i sm o s d e p a r a l e lo g r a m o

Los mecanismos están formados con frecuenc ia p or esbbones

que in tegran para le logramos para mo ver un ob je to s in a l te ra r

su paso . Dichos mecanismos c rean movim iento para le lo para

apl icac iones com o las básculas , e l t imó n d e pb nea dore s y las p er si an as p a ra v en ta n as. En b fi g u ra 1.3 9a se m u e s tr a n do s

t ip o s d e e s l a b o n a m ie n to s d e p a ra l e lo g ra m o c o n u n e s l a b o

n a m ie n to d e t i je ra ; b f i g u ra 1 .3 9b , u n e sb b o n a m ie n to d e l

t r a n sp o r ta d o r d e u n a im p re n ta

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Introducción a los mecanism os y a la c inemática __________ 23

F IG UR A 1 3 9 M e c a n i s m o s d e p a r a le l og r a m o .

1 .1 2.3 M e c a n i sm o s d e r e t o r n o r á p i d o

Los mecanismos de retorno rápido tienen un avance más rápido

e n u n a d i r ec c ió n q u e e n l a o t r a , c u a n d o so n im p u b a d o s a v e

loc idad constante con un ac tuador g i ra tor io . Se u t il izan com ún

men te en máquinas-herramienta que requieren un a carrera de

corte lento y una de re tom o rápido. En la figura 1.40 se observan

dos mecanism os diferentes de retorno ráp ido. La figura 1.40a

muestra un eslabonamiento de manivela-corredera descentrado;

y la figura 1.40b, un e slabo nam iento de m anivela-cepillo li

mador.

f i g u r a 1 .40 Mecanismos de re torno r á p i d o .

1. 12 .4 M e c a n i s m o d e y u g o e s c o c és

Un mecanismo de yugo escocés es un mecanismo com ún que

convie r te e l mov imiento de ro tac ión e n un mov imiento l ineal

deslizante, o viceversa. C om o se indic a en la figura 1.41, el

pe rn o d e u n es la bó n g ir at o ri o e st á in se rt ad o e n la ran ura d e un

yugo corredizo. Co n respecto al mo vimien to de entr ada o sali

da, el yugo escocés es similar a la man ivela-corredera, pero elm ovimiento desl izante l inea l es una senoida l pura . En com-

Hirac ión con b manive la -corredera , e l y ugo escocés tiene la

venta ja de m enor tam año y m enos par tes m óvi les , pero sue le

exper imenta r un desgaste rápido en b ran ura

f i g u r a M I Mecanismo d e yug o escocés.

1.13 TÉC NICA S DE ANÁLISIS

DE MECANISMOS

La m ayoría d e los aná l is is de mecanismos impl ica geometr ía .

Con frecuenc ia se u t i l izan métodos grá f icos para que e l

mo vimiento d e los m ecanismos se logre visualizar co n claridad.

las soluciones gráficas incluyen el dibu jo de lineas “a escala" en

ángulos espec í ficos. U n e jemp lo es e l d ibujo de un d iagrama

cinem át ica La so luc ión grá fica requie re la preparac ión de un

dibujo que muest re todo s los eslabones a esca la proporc iona l

con el mecanismo real. La orientación de lo s eslabones también

se debe mo stra r con los mismos ángulos de l m ecanismo rea l.

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24 CAPITULO UNO

El mé todo grá f ico t iene la venta ja de fac i l ita r b v isua li -

zac ión y b so luc ión de l problema. Sin em bargo, la exac ti tud

sería difícil de lograr en com paración con los resultados de las

técnicas ana l í t icas . Durante muchas décadas, e l aná l is is de

mecanismos se rea lizó usando básicamente m étodos grá f icos.

A pes ar de su pop ula r idad , m uchas técnicas grá ficas fueron

desechadas po r su b ita de p recisión. Sin embargo, el desarrollode s is temas de d iseño asis tido por com putadora (CAD) perm i

tió qu e el en foque gráfico se aplicara con precisión. Este texto

in tenta ilust ra r los métodos m ás comunes qu e se u t i l izan en el

análisis práctico de mecanismos. Cada un o de estos métodos se

des crib e breve me nte en las secciones siguientes.

1 .13.1 T écn i ca s t r ad i c i o na l e sd e r e p r e s e n t a c i ó n g r á f ic a

D ura nte las últimas décadas, todos l os análisis gráficos se realiza

b an u sa n d o té cn ic as d e d ib u jo tr ad ic io na le s. Se us ab a equ ip ográfico pa ra dibu jar las l íneas a escala necesaria en ángulos es

pecíf ico s. El e q u ip o u ti li zad o para ef ec tu ar ta le s a ná lisi s in cluí a

escuadras, regb s, compases, t ransportado res y esca l ímetros.

C om o se mencionó, este método e ra c r i ticado con frecuenc ia

p o r se r im p re c is a Si n e m bar go, co n a te nci ón a decu ad a a lo s detalles. se logran ob tener so luciones precisas.

La rápida adopción del software de CA D en los último s años

fue lo q ue lim itó el u so de las técnicas gráficas tradicionales. Auncuan do en la industria n o tienen gran aplicación, muchos creen

que las técnicas gráficas tradicionales se pu ede n en señar tod avía a

los estudiantes pa ra ilus trar los concep tos subyacentes en el análi

sis gráfico de mecanismos. Desde lu eg a tales conceptos son idén

ticos a los qu e se usan en el análisis gráfico con un sistema de

CAD. M ediante las técnicas de dibu jo tradicionales, el estudiante

se con centra m ás en las teorías cinemáticas, en vez de “atorarse"

aprendiendo los comandos d e CAD.

1 .1 3 .2 S i s te m a s d e C A D

Co m o se m encionó, el análisis gráfico se realiza usand o pro cedimientos de d ibujo t radiciona les o un sis tema de CAD. com o se

hace norm almente en b indust r ia . Para e l aná l is is de mecanis

mo s, es posible util izar cualquiera de los diversos sistemas de

CA D disponibles comercialmente. El sistema de CA D bidimen-

sional m ás com ún es AutoCAD. Si bien los com and os difieren

entre uno y o t ro s is temas, todos los s istemas de CA D t ienen b

capacidad de dibu jar con alta precisión las l ineas co n las longi

tudes y los ángulos designados. Esta es exac tamente b ca rac

te r ís t ica requer ida por e l aná l is is grá f ico de mecanismos.A d e m á s d e l a u m e n to e n l a e x a c t i tu d , o t r a v e n ta ja d e CA D e s

qu e las líneas no necesitan estar a escala para ajustarse sob re una

piez a de pa pe l d e d ib u jo . En la c om p uta d o ra , las lín ea s se tr az an

sobre un papel “virtual” de tama ño infinito.Asimismo, el mo do de d ibujo rest r ingido en s is temas de

modelado t r id imensiona l , com o Inventor. Sol idWorks y l’ ro-

Engineer, suelen ser extrem adam ente útiles en el análisis cine

mático plano. Las restricciones grométricas, como b longitud , la per pen dic ul ar id ad y el par al el is m o, se deb en cu m p li r a l rea liz ar

el análisis cinemático. Tales restriccio nes se ejecutan de man era

a u to m á t i ca e n el m o d o d e d ib u jo d e m o d e lad o e n t re s d im e n

siones.Es t e te x to n o p re t e n d e e s tu d ia r e x h a u s t iv a m e n te l o s c o

man dos del sistema especifico util izado par a dibu jar las l ineas,

pe ro va rios pro ble m as d e e je m plo se re su elve n c o n u n si st em a

de CAD. La m eta principal de este libro es introdu cir y brin da r el

enten dim iento de los concep tos del análisis de m ecanismos. Tal

objetivo se puede logra r sin tom ar en cuenta el sistema de CAD

específico que se util ice. Por di o. el es tudb nte n o se deb ería pre

ocup ar po r el sistema de CA D usad o p ara llevar a cabo d análisis

gráf ico . Com o en este cas a d estudiante no se debe preocup ar si

se usan grá ficas manuales o d e compu tadora para aprend er d

análisis de mecanism os.

1 .13.3 Té cn i ca s an a l í t ic a s

Se pueden usar tam bién los métodos ana l ít icos para obten er re

sultados exactos. Las técnicas analít icas avanzad as involucran

con frec uen cb funciones matemáticas complejas, las cuales es

tán más allá del alcance de este l ibro y d el análisis rutin ario de

mecanismos. Asim isma b im porta ncb d e los cálculos con f re

cu en cb e s difícil de visualizar.

Las técnicas analíticas incorporada s e n esta obr a son co n

sis tentes con las teor ías geométr icas, t r igono m étr icas y delanálisis gráfico de mecanismos qu e logra solucione s precisas, en

tanto q ue las teorías gráficas perm iten q ue se visualicen las solu

c iones. Este métod o t iene b desventa ja de cá lculos bborioso s

pur a lo s m ec an is m os m ás co m ple jo s. A un as í, u n a g ra n par te deeste texto está dedica da a las técnicas analíticas.

1 .1 3.4 M é t o d o s p o r c o m p u t a d o r a

Conform e se requieren solucione s analít icas más precisas para

var ias posiciones de un mecanismo, d nú m ero de cá lculos se p o d rí a vo lv er in m an ejab le . En ta le s c asos , s e re co m ie nda el us o

d e u n a so lu c ió n p o r c o m p u ta d o ra , la s c u a le s t a m b ié n so n

va l iosas cuando se deben an a l iza r var ias i te rac iones en e l d i

seño.

El método com putado na l para d anál is is de mecanismos

tiene varias formas:

■ Las hojas de cálculo son muy com unes en la so luc ión de

pro ble m as r u ti n a ri o s d e m ec an is m os. U na c arac te ríst ica

im portante d e las hojas d e cálculo es qu e al cambiar los

da los que se in t roducen en un a ce lda , los dem ás resultados

se actualizan automáticamente. Esto perm ite que las i tera

ciones en d diseño se realicen con facilidad. Co nfor m e los

pro ble m as se v uel ven m ás c om p le jo s, su d e d if ic u lta rs e su

manejo con una hoja de cá lcula No o bstante , a lo largo de l

texto se usan hojas de cálculo para resolver problemas.

■ Se dispone de p ro gra m a d e aná lisis d in ám ico co mercia les,

com o VVórking M odel, ADAM S (Auto matic I>ynamic

Analysis o f Mechanical System s) o D ynam ic Designer. Es

po sibl e c re a r m odelo s d in ám ic os d e si st em as a p a r ti r d e lo s

m enú s de los comp onen tes generales. Las versiones res

t r ingidas de los s istemas de modelado en t re s d imensiones

son programas de aná l is is d inámico. Hay paque tes com ple

tos de software más adecuado s cuand o el análisis cine

mático y el dinámico form an una p arte significativa del tra

ba jo p o r r ea liza r. El ca pitu lo 2 est á de d ic ado a p ro g ra m as d e

análisis diná m ica

■ Es posible crear prog ra mas de có mpu to e scrit os po r el us ua ri o

en lenguajes de alto nivel com o M albb , Mathem atica,

VisualBasico C + + . El lenguaje de programación se lec

c ionado debe tener acceso d i rec to a func iones tr igonom étricas y a funciones trigonom étricas inversas. Debido al

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t iem po y al esfuerzo qu e se requieren pa ra desarrollar pr o

gramas especiales, estos son más efectivos c uand o se nece

sita resolver un problem a com plejo que no se enfrenta

cotidianamente. En el capítulo 8 se incluyen algoritmos

simples para un análisis cinemático elemental.

PROBLEMAS

Pro b le m a s d e e l a b o ra c ió n d e d i a g ra m a s c in e m á t i c o s

1-1 . En la f igura P l . l se muest ra un mecanismo qu e sirve

ju ra a b r ir la p u e r ta d e u n h o rn o de tr a ta m ie n to té r

mico . Dibuje e l d iagram a c inemát ico de l mecanismo.0 e x t re m o d e l m a n g o se d e b e d e fin ir co m o u n p u n to

de interés.

f i g u r a Pi .4 Problemas 4 y 29.

1 - 5 . Hn la figura Pl .5 se i lustran un pa r de tenazas. Dibuje el

diagram a cinemático del mecanismo.

f i g u r a p i J Problemas 5 y 30.

1-2 . En la f igura P1.2 se m uest ra una cor tadora de pernos.

Dibuje el diagra m a cinem ático del mecanismo, selec

cionando el mang o inferior com o la bancada. Se deben

ident i f ica r como puntos de in te rés e l ex t remo de l

mango sup er ior y la superf ic ie cor tante de las m or-

1-6 . En la figura P1.6 se presenta otra configuración de un

p i r de te n az as. E la b ore el d ia g ra m a ci n em áti co del

mecanismo.

f i g u r a P l J P rob le m a s 2 y 27 .

F IG U RA P I A P r o b l e m a s 6 y 3 1 .

1 - 7 . En la f igura P1.7 se i lust ra e l m ecanismo de una ven

tana . Dibuje e l d iagrama c inem át ico de l mecanismo.

1-3. En la figura P l .3 se ilustra un a silla plegable qu e se usa

generalmente en los estadios. Elabore el diagram a cine

mático del m ecanismo plegadiza

f i g u r a P l .7 Problemas 7 y 32.

1-8 . En la f igura P1.8 se muest ra o t ro mecanismo de una

ventana . Dibuje e l d iagrama c inemát ico de l meca-nismo.

1 - 4 . En la figura P1.4 se presenta una bom ba de pedal que

se utiliza para inflar neumáticos de bicicleta, juguetes,

e tcé te ra Dibuje e l d i or am a c inemát ico de l mecanis

mo d e la bom ba. El peda l se debe identi f ica r como un

p u n to d e i nt erés .

f i g u r a p i . i P r o b l e m a s I y 2 6 .

EstnicUira-ifc sujeción

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26 CAPITULO UNO

1-9 . En la f igura PI .9 se muest ra una su je tadora de abra

zadera qu e s i rve para so stener una p ieza de t raba jo

cuan do se maquina . Dibuje un d iagrama c inemát ico

del mecanismo.

figura Pi.9 Problemas 9 y 34.

1—10. En la figura P1.10 se ilustra un a excavadora de jugueteque es comú n en muchos a reneros munic ipa les . Dibuje

un d iagrama c inemát ico de l mecanismo.

FIGURA PI.I i Pro ble ma s 11 y 36.

1-12. En la figura P1.12 se muest ra un pequeño montacargas

frontal. Dibuje el diagram a cinemático d el mecanismo.

f i g u r a p i . 12 Problem as 12 y 37.

1-13. En b f igura P1.13 se i lust ra un esquema de l t rans

po rt ad o r d e u n h o m o d e m ic ro on das us ad o p a ra a yu

d a r a la g e n te e n s i l b d e ru e d as . D ib u je e l d b g ra m a

cinemático del mecanismo.

1-1 1. En b figura P 1.11 se m uestra una sierra reciprocante. 1-1 4. En la figura P l. 14 se presenta el dibujo de un camiónDibuje un d iagrama c inemát ico de l meca nismo qu e i f tado a l en t regar suminist ros para los pasa je ros de

p m era e l m o vim ie nto re cipr oc an te . ¡p io ne s. D ib uj e el d ia g ra m a c in em át ic o de l mec an ismo.

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Introducción a los meca nism o s y a la cinem ática 27

1-18. En la figura P l. 1 8 se presenta el d iagram a de u n t rasca-

bo . Dib uje el d ia gra m a c in em át ic o d el m ecan ism o.

1 - 1 5 . En la f igura PI .15 se muest ra e l esquema de un d isposi

t ivo para m over paque tes de un banc o de ensamble a

una l inea t ransportadora . Dibuje e l d iagrama c ine

mático del m ecanismo.

1 - 1 6 . En la figura P1.16 se ilustra el esqu ema de u na plata

forma levadiza . Dibuje e l d iagram a c inemát ico del

mecanismo.

f i g u r a P l . 16 Problemas 1 6 y 4 1 .

1 - 1 7 . En la f igura P 1.17 se m uest ra e l esquem a de un a

p la ta fo rm a le v ad iz a . D ib uj e el d ia g ra m a c in em át ic o

del mecanismo.

f i g u r a P l . 1 8 Problemas 18y 43.

1 - 1 9 . En la f igura P l . 19 se m uest ra e l esquema de un m ontacargas f ronta l . Dibuje e l d iagram a c inem át ico de l

mecanismo.

En la f igura PI .20 se i lust ra e l esquema de una p la t a fo rm a d e a l t u ra a ju s t a b l c q u e s i rv e p a ra c a rg a r y

descargar camiones de carga Dibuje e l d iagrama c ine

mático del mecanismo.

f i g u r a P lJO Problemas 20 y 45.

1-21. En la figura P1.2I se muest ra el esquema de un t rans

p o r ta d o r de el ec tr odom ést ic os p ara co ci na . D ib uje eldiagram a cinemático de l mecanismo.

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28 CAPITULO UNO

f i g u r a Pi.21 Proble ma s 21 y 46.

1-22. En la f igura P1.22 se m uest ra e l esquema de u n e le

vador para la ventana de un automóvi l. Dibuje e l d ia

gram a cinem ático del mecanismo.

f i g u r a P 1.22 Pro blem as 22 y 47.

1-23. En la figura P 1.23 se m uestra el esquema de un disposi

tivo p ara cerrar las solapas superiores de cajas. Dibuje

el diagram a cinemático del m ecanismo.

1-24. En la f igura P1.24 se muest ra el esquema de u na má

quina de coser. Dibuje el diagra m a cinemático del mecanismo.

1-25. En la figura P1.25 se muest ra el esquema de u n com ponente del dispositivo de p ruebas de desgaste. Dibuje el

diagrama cinemático del mecanismo.

f i g u r a P U 3 Proble ma s 23 y '18. FIGURAp u s f t o b l c m a s 2 5 y 5 0.

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Iniroducción ajos mecanism os y a la c inemática __________ 29

Pro b le m a s d e c á l c u lo d e m o v i l id a d

Especifique el número de eslabones y de uniones y. luego, calcule la

movilidad del mecanism o mostrad o en la figura.

1- 26. Utilice

1-27. Utilice

1-28. Utilice1-29. Utilice

1-30. Utilice


1-33. Utilice1-34. Utilice1-35. Utilice1-36. Utilice

1-37. Utilice


1-40. Utilice1-41. Utilice1-42. Utilice

1-43. Utilice1-44. Utilice1-45. Utilice


1-48. Utilice


b fig ura P l. l

b fig ura PI.2 b fig ura P 1 J b fig ura P1.4

b fig ura P1 3

b fig ura P 1.6 b figura PI .7

b fig ura P 1.8 b fig ura PI.9 b fig ura P l .10 b f ig u ra P I .i l

b fig ura P l . l2

b fig ura P l . l3 b fig ura P1.14

b fig ura P l . l5 b fig ura P l . l6 b fig ura PI.17

b fig ura PI.18 b fig ura P l . l9 b fig ura PU O

b fig ura P 1.21 b fig ura PI.22 b fig ura P 1.23

b fig ura P 1.24 b fig ura P1.25

Pro b le m a s d e c l a si f ic a c ió n d e m e c a n i sm o s

d e c u a t r o b a r r a s

1-51. En la figura PI.51 se ilustra un m ecanismo para rociar

agua sobr e los vehículos en un servicio de lavado au

tom ático de automó viles. Clasifique el m ecanismo de

mo vimiento , cuand o las longi tudes d e los eslabones

s o n a - 12 i n ,b ■ 5 ¡n ,c ■ 1 2 in y d " 4 i n .

1-53 . Gasi f ique e l mecanismo de cua t ro barras de l roc iador

de agua de la f igura P1.51 , con base en su posib le

mo vimiento , cuand o las long i tudes de los eslabones

s o n a = 12 in, b = 3 i n , c = 8 in y d = 4 in.

1-5 4. Clasifique el mecanismo de cuatro barra s del rociador

d e a g u a d e l a f i g u ra P 1 .5 I , c o n b a se e n su p o s ib l e

mo vimiento , cuand o las longi tudes d e los eslabonesson a = 12 in, b = 3 i n ,c = 12 in y d = 5 i n .

ESTUD IOS DE CASO

1-1 . El mecanism o que se muest ra en la f igura C l . l se ha

to m a d o d e l d i spo s i ti v o a lim e n ta d o r d e u n a m á q u in a

automática cnsam bladora de cojinetes de bolas. El m otor e léc tr ico está su je to a l eslabón A com o se indica .

Examine cuidadosamente la conf igurac ión de los c om

po nen te s d el m ec an is m o. Lue go co nte ste las si gu ient es

pr eg un ta s p ar a c o n o ce r m ás ac er ca d e la o pera c ió n de l

mecanismo.

f i g u r a p i j i Problem as51 a 54.

cua t ro barras con base en su posib le movimiento, cuan do las longitudes de los eslabones son a = 12 in,

b = 1.5 in, c = 1 4 in y d = 4 in.

1-52. Gas ifique el mecanismo de cua tro barras del rociador

d e a g u a d e b f i g u ra P1 .51 , c o n b a se e n su p o s ib l e

1. Conforme el eslabón A g i ra 90° en el sent ido horar io(de las man ec i lbs de l re lo j ) , ¿qué pasará con e l esb-

b ó n a

2 . ¿Qué sucede con b este ra a t rapada en e l desl izador C

cuan do está en esa posición?

3. Conform e e l eslabón A cont inúa g i rando o t ros 90* en

el sentido ho rario, ¿qué acción ocurre?

4. ¿Cuál es el ob jetivo de este dispositivo?

5. ¿Por qué hay chaflanes en la entrad a del rod ade ro C?

6. ¿Por qué cree que se necesita este dispositivo?

1-2 . La f igura El .2 i lust ra un mecanismo que es com ún en

d tanque de agua de un ret re te . Observe qu e la vá lvula

Ce stá hueca y l lena con a i re a t rapado. Examine cuida

dosam ente b configurac ión de los componentes de l

mecanismo; luego, conteste las s iguientes preguntas p a ra con o cer m ás acerc a d e b o p era c ió n del m eca

nismo.

1 . Conform e e l man go A g i ra en e l sent ido ant ihorar io ,

¿cómo se m ueve la tapa C?

2 . Cu á n d o b v á lv u la C se eleva, ¿qué efecto se p roduce?

3 . C u a n d o b v á lv u b C e s tá levantada , t iende a per

manecer en u na posic ión hac ia a rr iba p or un t iempo.

¿ Q u é c a u sa b t e n d e n c b d e m a n te n e r l e v a n ta d a b

válvub?

4 . ¿ Cu á n d o t e rm in a d e p ro d u c i r se e s t a t e n d e n c b (de

man tener levantada la vá lvub Q?

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30 CAPITULO UNO

A

FIGURA B U (C orte sfad e Indu strial Press, Inc.).

5. ¿Qué efecto hará qu e se m ueva el flotador D?6. Conform e e l f lo tador D se mueve en sent ido ant iho

rario, ¿qué pasa con el eslabón P

7. ¿Qué contro la el eslabón P.8. ¿Cuál es la operació n com pleta de este mecanismo?

9. ¿Por qu é se necesi tan este m ecanism o y e l a lmace

nam iento d e agua en el tanque?

1-3. la f igura E l .3 m uest ra un mecanismo qu e gula las va

rillas nuevas de acero hacia un dispositivo que las en

rolla en carretes. Las varillas está n calientes cuan do se

Éibrican, po r lo que se util iza agua para ayudar al p ro

ceso de enfriamiento. Las varillas pue den tene r varios

miles de pies de lo ngitud, y se deslizan a una rapidez de

hasta 25 millas po r hora a través del canal S.

Una vez que el carrete está l leno, se remueve con la varilla

enredad a. Pa ra obten er alta eficiencia, las varillas se siguen m uy

de cerca unas con otras . Resulta imposible rem over el carrete en

un intervalo de tiempo corto; po r lo tanto, es deseable usar dos

carre tes a l te rnadam ente . Este mecanismo se ha d isenado para

alimen tar las varillas a lo s carretes.

Los cub os Bi y B¡ t ienen orificios en el fondo. El flujo de

a g ua d e l su m in i st ro e s m a y o r q u e e l w lu m e n d e a g u a q u e se e s

capa por los or i f ic ios. Examine cuidadosamente la conf igu

ración de los com pon entes del m ecanismo; luego, conteste las

siguientes preguntas p ara ob tener mayor conoc im iento acerca

de la operación del m ecanismo.

1. En la configuración m ostrada, ¿qué sucede con el nivelde agua en e l cubo B¡1

2. En la configuración m ostrada, ¿qué sucede con el nivel

de agua en el cubo

3 . ¿ Q ué p a sa r l a c o n d b ra z o b a l a n c ín C s i e l c u b o Bj

se forzara hacia arriba?

4 . ¿Qué pasarla con el brazo balancín R s i el cu bo B> se

forzara hacia arriba?

5 . ¿Qué con trola el brazo balancín R?

6. ¿Cómo es d movimiento cont inuo d e este disposit ivo?

7. ¿Cómo perm ite este d isposi tivo que se usen dos carretes separados en la situación descrita?

8 . ¿ Po r q u é su p o n e q u e se u t il iz a a g u a c o m o fu e n te d eenergía para la operación de este mecanismo?

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C A P I T U L O

D O S

CON STRUCC IÓN DE MODELOS DE

MECANISMOS EN COM PUTADO RA USANDO

EL SOFTWA RE WO RK ING MODEL®

O B J E T I V O S

A l t e r m in a r d e e s tu d ia r e s te c a p it u lo , e l a lu m n o

s e rá c a p a z d r :

1. Entender el uso del software comercial para el análisis

de mecanismos.

2. Utilizar Worfciog Model* para con struir mod elos cinemáticos

3. Usar Working Modcl* para anima r el movimientode mecanismos.

4. UtilizarWorking Modcl* para determ inar los valorescinemáticos de un mecanismo.

2.1 INTRODUCCIÓN

El rápido desarro l lo de las computadoras y de l sof tware ha

modificado la form a en que se realizan muchas tareas de ingeniería . Para el estudio de los mecanism os se ha n desarrollado

paq u e te s de so ft w are q u e p erm it e n a u n d is e ñ a d o r co n str u ir

modelos v i r tua les de un mecanismo. Los modelos v i r tua les

mu estran al diseñad or la simulación total de u na m áquina. La

simulación facilita a los ingenieros crear y prob ar prototipo s del

pro duc to en su s co m pu ta dora s de es cr itor io . Los er ro res de d is e

ño se aíslan y eliminan rápidamente, reduciendo asi los gastos

en la elaboración de u n pro totipo y acelerando, a la vez, el delo

de desarrollo del producto.Los paqu etes de software resuelven ecuaciones cinemáticas

y d inámicas, de te rm inan los va lores de l movim iento y de lasfuerzas en e l mecanismo durante la operac ión . Además de l

a n ál is is n u m é r i co , e l so f tw a re a n im a u n m o d e lo e n c o m p u

tadora de l mecanismo, lo cua l permite v isua l iza r e l d iseño enacción.

Este capi tu lo s i rve fundamenta lmente como gula en la

simulación de m áquinas y m ecanismos con el software Working

Model®. Aun c uand o los valores cinemáticos generados duran te

el análisis quizá no s e entiendan po r com pleto, la visualización

del mecanism o sud e ser muy entendible. El m aterial presentadoen varios de los capítulos siguientes perm itirá al lector entender

las soluciones num éricas d d software dinámico. El dom inio de

este t ipo d e sof tware de aná l is is de m ecanismos, junto con unconocimiento sólido d d análisis cinemático y dinám ico, ofrece

un a base sólida para el diseño de máquinas.

2.2 SIMULACIÓN POR COMPUTA DORA

DE MECANISMOS

Además de Working Model* tam bién están d isponib les o t ro s

p ro g ra m as d e an ál is is d in ám ic o , co m o AD AMS* (A uto m at ic

Dynamic Analysis o f M echanical Systems), Dy nam ic D csigner",

LMS VirtuaLLab y A nalytix*.Todos permiten la creación d e un

m e c an i sm o , a t r a v é s d e m e n ú so i c o no s , d e l o s c o m p o n e n te s

generales. Los com ponen tes generales incluyen aquellos qu e se

pre se n ta ro n e n d cap itu lo 1, co m o es la bone s sim ple s y co m p le jas, u nio n es d e per nos , un io nes d e co rr ed era y un io nes d e e n g ra n es . E l m e c a ni sm o se o p e ra sd e c d o n a n d o d e l m e n ú los

componentes d d ac tuador , ta les como motores o c il indros.

En e l d iseño de máquinas, una de las causas de la adopc ión

jjm er al iz ad a d el m od ela d o tr id im ensio n al es q u e pre p ara el es

cenario pa ra mu chos usos auxiliares: los planos de ejecu dón se

p u ed en c re ar m ás o m en o s a uto m áti cam en te , se genera n pr e

sentaciones qu e se asemejan estrecha men te a la má quina real y

los pro to t ipos se e laboran con fadlidad . M uchos produc tos que

func ionan con d sof tware de mod elado t r id im ensiona l están

disponib les para ana l iza r la in tegr idad est ruc tura l d e los com pon en te s d e la m áq uin a. A sim ism o, d es tu dio d d m ovim ie nto y

las fuerzas en m ecanismos y ensambles móvi les se está vol

viendo casi u n efecto colateral del mo delado tridimensional. Laf igura 2 .1 i lustra e l d iseño de un m odelo t r id imensiona l ana

lizado con Dynamic Designer dentro del Autodesk Inventor*

Environment.

S n im po rtar el software que se utilice, la estrategia general

jx ira re al izar el a ná lis is d in á m ic o se re su m e c o m o sig ue :

1 . Defin i r un con junto de cuerpos r íg idos ( tamaños, pesos y

pro pi ed ad es in cr dal es ), lo s cu al es se con str u yen co n d

paq ue te de d is eñ o d e m o d d a d o tr id im en si onal .

2. Determinar las restricciones sobre los cuerpos rígidos

(conec tando los cuerpos r íg idos co n uniones).

3. Especificar d movim iento de entrada (definir las

pro pi ed ad es d d m o to r im pul so r, c il in dro , etcé te ra )

o las fuerzas de ent rada .4 . Co rrer el análisis.

5. Repasar d mov imiento de los eslabones y las fuerzas

en d mecanismo.

Desde luego, los comand os espedficos var ia rán entre los

diferentes paquetes. Las secdon es siguientes del capitulo se en

focan en los detalles del análisis de mecanism os con W orking

M odd 2D *.C om o con cua lquie r sof tware , e l conoc im iento se

adquiere practicando y ejecutando otros análisis, además de losejemplos, de m od o qu e se invita al lector a ex plorar el software

‘Inve ntand o’’diversas máq uinas virtuales.

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32 CAPITULO DOS

f i g u r a 2. 1 A n á li sis d in á m i c o d e u n m o d e l o tr id i m e n s i o n a l.

2.3 AD QU ISICIÓN DEL SOFTWAREWORKING MODEL

W o rk in g Mo d e l 2 D fu e c re ad o p o r D e s ig n S im u b t io n Te c h

n o lo gie s, q u e t a m b ié n lo d i s tr i b u y e . Se p u e d e n c o m p ra r e n

linea copias del software, con descuentos significativos par a estudiantes , en e l s i t io h t t p : / / w w w . w o r k i n g m o d e l . c o n i o en

h t tp : / /w w w .d c s ig n s im u la t io n .c o m . Hay una versión descar-

g ib lc de demostrac ión gra tis de W orking Model 2D, b cua l fa-

d l i ta a los estudb ntes b c reac ión de "proto t ipos v i r tua les" to ta l

mente funcionales de disertos de mecanismos complejos. Sin

embargo, algunas funcionalidades están desactivadas; las más

notables son las funciones Save y P rint. Ib era de ello, esta versión ofrece un a exce lente in t roducc ión a la const rucc ión de

modelos de m ecanismos por com putadora . P ara mayo r infor

m ación contac te a Design S im ub t ion T echnologies, Inc . , en43311 Joy Road, *237, Ca ntó n, MI 48187, (714) 446-6935.

Confo rme se ac tua l iza Working Model 2D, los menú s e

iconos se vuelven ligeramente diferentes de los que se muestran

en los e jemplos de este tex to . No obstante , con un poco d e in tu i

c ión , e l estudiante puede adapta rse y real iza r con éxi to b s imu

lación de mecanismos.

2.4 USO DE WO RKING MO DEL PARA

MODELAR UN MECANISMODE CUATRO BARRAS

Co m o se m e n c io n ó . Wo rk ing M o d e l e s u n so ftw a re p o p u la r de

simulac ión de movimiento d isponib le com erda lm ente . En unac o m p u ta d o ra p e r so n a l, c re a r á p id a m e n te u n m o d e lo q u e r e

pre se nta u n si st em a m ec án ic o y a plica u n an ál is is d in ám ic o . En

esta secc ión se u t i liza Working M odd para const ru i r e l m odelo

d e u n m e c a n i sm o d e c u a t ro b a r ra s y c o r re r u n a s im u la c ió n

[ref. 16). Se intenta q ue fun ja como g uia, es decir, deberfo fun

c ionar en b realidad como lo hace Working Model. Se invita al

lec tor a prac t ica r con e l sof tware rea l izando aná l is is ad i

cionales.

Paso 1: A brir W orking M odel

1. Haga clic so br e el ¡cono del software W orking Model para

iniciar el program a.

2 . C ree un nuevo documento de Working Model se lecc io-

oin do "New" del m enú “File*.

Wbrking Model despliega u na interfase del usuario.

Ap are cen la s barras d e he rr am ie nt as q u e si rv en pa ra cre ar

eslabones, uniones y acatadores de mecanismos a los lados

de la pantalla. En la pa ne inferior estdn los controles que

r utiliza n para correr y observar las simulaciones.

3. Especifique las unidades qu e se emp learán en la sim u

lación. Seleccione “Num bers and Un its" en el menú

“Vicw-. Ca m bie “U nit System" a inglés (libras).

Las un id ad es pa ra m ed ic io ne s lineales s er án pu lga da s (in ),

los ángulos se medirán e n grados (deg) y las fuerzas se especificarán en libras (Ib).

Paso 2: C rea r los eslabones

Este paso da co m o resul tado los t res esb bon es móvi les en e l

mecanismo de cua t ro barras. El fondo de b panta l la si rve como

é cuarto es bbó n, el fijo.

1 . Const ruya e l mecanismo creando los t res esbbo nes que

no están fijos. Haga do ble clic en la herra m ienta rectán-

gi lo que está en la barra d e herramientas .Se resalta la herram ienta indicando qu e se puede usa r vanas

2 . C o n b herramienta rec tángulo , bosque je t res cuerpos

como se indica en la f igura 2 .2 .

los rectángulos se dibujan posiáon and o el ratón en la

pr im er a esq uina , da nd o c lic un a ve z y mov iend o lu eg o el

ratón a la esquina opuesta, dond e se da otro dic. Los rectán

gu los se d ef in en par am ét ri ca m en te , e n ta nt o q u e su tim arlo

exacto se especifica m ás adelante.

3. Abra b ventana de “Proper t ies" y b ventana “Geometry"en el m enú “ Window".

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http://www.workingmodel.coni/

http://www.dcsignsimulation.com/

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C o n st ru c ci ó n d e m o d e l o s d e m e c a n i sm o s e n c o m p u t a d o ra u f a d o e l w f t w i r f W o r k ln g M o dc l* __________ 33

V/oikiriQ Modcl 2D - (tutoría! l| J f l J x J

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p ]g ig ] í m m i »j? iAi^ i^ i R u n » | l o p l i | ñ p s(*t |

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FIGURA 2.2 ’ftes eslabones grad eado s co n la herra m ien ta rectángulo.

Esto despliega inf ormac ión acerca de los es lab ones y pe rm ite

editar la información

Use la ventana “Properties" para cambiar el centro del es

labón hor izonta l a x = 0 ,y = 0,</> = 0 .

la ubicación del rectángulo deberla cam biar de acuerdo

con los datos introducidos.

Utilice la ventana "Geometry" pa ra cam biar el ancho del

rectángulo hor izonta l a 8 .5 in y la a l tura a 0 .5 in.

Cambiará la fo rm a d el rectá ngu lo.

De la mism a manera, use las ventanas “Properties" y

“Geom etry" para ubicare ! c entro del eslabón vertical

g ra n de e n x = - 5 , y = - 3 y q u e te n ga u n a n c h o d e 0.5

y un a altura d e 3. Gam bie tam bién el eslabón vertical

p eq u eñ o p a ra c en tr ar lo en x = 5 , y = - 3 , c on un

ancho de 0 .5 y una a l tura de 1.5.

Otra vez, la fo rm a y la ubicación del rectángulo deberían cam biar de acuerdo con los datos qu e se introdujero n

Q cr re las ventanas de "Prop erties" y "Geometry".

Se puede usar e l icono zoom ( lupa) para ver adecuada

m ente los eslabones.

Paso 3 : U bicar los p un tos de in te rés sobrelos eslabon es

Este paso enseña e l uso de la herram ienta “Objec t Snap" para

ubicar los puntos de interés con precisión. La opción d e “Object

Snap" resalta las posiciones que se utilizan com únm ente, como

d centro de un lado, po r e jemplo , con una “ Xt Cuando se ubica

un p un to con “Object Snap", la posición del pun to se define au

tom áticam ente con ecuaciones param étricas. Estas ecuaciones

girant izan que e l punto mantenga su posic ión re la t iva aun

después de m odificar el tamaño del eslabón o de efectuar otros

1. Haga doble clic en la herram ienta punto. El icono es un

círculo pequeño .

La he rram ienta p unto se resal ta, l o cual ind ica q u e se pu ed e

usar varias veces, sin necesidad de seleccionarla cada v a que

se bo sq ue je u n nuev o pu nt o.

2. Mueva el curs or sobre un o de los eslabones.

Cbserve que aparece una “X ’ cerca deI apuntad or arand o se

centra en u n lado, u na esquina o el centro de un rectángulo.

A esta fu n á o n a li d a d se le lla ma “O bje ct Sna p" y re sa lta las fo rt es q u e se usa n c om ún m en te en u n esla bón.

3. Coloque e l cursor sobre la par te super ior de un o de los

eslabones verticales. C uan do aparezca una “ X" cerca del

^ u n ta d o r ( f igura 2 .3), haga c lic en e l botón de l ra tón .

4 . Coloque los pun tos adic iona les , como se indica en b

figura 2.3.

Ase gúrese de q ue ca da uno d e estos p un tos se u bi que en u n

“pu nt o d e ajuste" con la evidencia de la “X que debe aparecer en el apuntador.

5 . Seleccione la herram ienta apuntador. El icono es una

f lecha que a punta ha da a rr iba a la izquie rda.

6 . Higa doble d ic sobre un o de los puntos que se establede-

ron en los pasos 3 y 4 para abr ir b ventana “Properties".7 . Observe que lus pu ntos “se ajustaron" a la mitad del ancho

del cuerp o desde los tres bordes. Lo anterior dará com o re

sultado un a longitud efectiva en el eslabón de 8 .0 ,2 5 y 1.0 in.

Paso 4: U ni r los pun tos para c rear u niones

d e p e r n o

Este paso une los puntos para c rear uniones de perno. Una

u n ió n d e p e rn o a c tú a c o m o u n a b i sa g ra e n t r e d o s c u e rp os .

Sm a r tEd i to r e v i ta b ro tu ra d e l a s u n io n e s d u ra n te u n a o pe -

rad ón d e arrastre.

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34 CAPITULO DOS

king Modrl 2 0 - | l uton.il l | . J Q J x J

• y E f e E <K We *V j y f e w Q t* *c » Q e f ei e M e a m e S a o * 'i¿rticm kjH p - I f f l x |

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f i g u r a 2 J Ubicac ión de puntos.

1. Seleccione la her ram ienta anda.

2. Haga dic en el eslabón horizontal para an darlo (sujetado).

Se utiliza una an da para indicar a Sm anE ditorqu e este

cuerpo no se debe move r duran te la construcción del meca -

rnsrno. Después de q ue se hayan creado las uniones de pemo,

hene qu e borrarse el anda.

i . S e l e c c i o n e l a h e r r a m i e n t a a p u n t a d o r .

4. Con la herramienta apun tador ac t ivada , haga d ic y a rras

t re e l apuntad or sobre e l fondo de la panta l la , para sde c-

d o n a r u n c u a d r o q u e r o d e e l o s d o s p u n t o s d e la

i zq u i e rd a , c o m o s e i n d i c a e n l a f i g u r a 2 . 4 . S u e l t e e l b o t ó n

d e l r a tó n ; a h o r a l o s d o s p u n t o s d e b e n q u e d a r r e sa lt ad o s

( o s c u r e d d o s ) .

Este m étod o de sd ecáó n de objetos se cono ce com o “selecció n

po r cua dro s" C ua lq uier ob je to qu e e st é completam en te c on

tenido dentro del cuadro se resalta cuando s e suelta el ratón.

5 . H a g a d i c s o b r e d b o t ó n “ |o in " d e l a b a r r a d e h e r r am i e n

t as , f u s io n a n d o l o s d o s p u n t o s e n u n a u n i ó n d e p e r n o .

^o«kir*o Model 2D - | l u lon.il 1|

F f e £ d * W c r t l v * w Q t ff C i £ >e *n e M e a ; u e S e t o » W r d > . H d p

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F IG U RA 2 .4 S e l e c c ió n d e d o s p u n t o s p a r a c o n e c t a r lo s c o n u n a u n i ó n d e p e r n o .

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Cons truc c ión de m ode los de me c ani s mos e n c omputador a us ando e l s o ftwar e Wor king M odel* __________ 35

SmartEditor crea una un ión de perno entre los dos puntos

seleccionados, m ov ie nd o a e se lu ga r el e slabón qu e n o

está andado . El eslabón qu e se movió quizá pierda su

verticalidad. Este se fi ja en u n mom en to .

6. Realice los pasos 4 y 5 para los dos pu ntos d e la derecha y,

luegoy c ree o t ra unió n de perno.Otra vez, el eslabón horizontal permanece e n la posición

original y SmartEditor mueve el eslabón vertical pa ra crear

la unión de perno.7. Seleccione el eslabón vertica l de la izqu ierda haciendo clic

sobre é l con la herramienta apuntador .

Ap arecen c uatro cuad ros negros alre dedo r del eslabón, l o cual

signi fica q u e f u e seleccionado. Estos cu adros se l am an p ala nca s

y s e pued en arrastr ar par a m od ifi ca r el tam añ o de u n objeto.

8. In t roduzca un “0" en e l cam po (de ro tac ión) <f>, usando la

b a rra d e c oord en ad as de la p a r te in fe ri o r d e la pa nta ll a.

Los cam po s d e coo rd en ad as d e la part e in fe rior d e l a pa n

talla son útiles para o btener informac ión acerca de los obje

tos en Wo rking ModeL Estos campos tam bién sirven para editar información de los objetos. Al m odificar la rotación a 0a se ajusta la barra de regreso a su posición vertical original.

9. Si es necesario, efectúe los p asos 7 y 8 para el eslabón ver

tical del lado de rech a

10. Seleccione el an da util izada pa ra m ante ner fijo el eslabón

horizonta l durante la const rucd ón. y presione la teda

“delete" pa ra eliminarlo.

El a nc la ya n o es necesar ia, p o r lo q u e debe ría borrarse .

11. Seleccione la herra m ienta “Pin loint” y forme una unión

d e p e rn a u sa n d o e l p u n to a ju s t a d a e n e l e x t re m o in fe

rior del eslabón vertical de la izquierda, com o se indica

en la figura 2.5. La herram ienta "Pin Join t" hace que

dos eslabones aparezcan unidos p o r un dreulo . La h err am ie nta “Pin Jo in t" es si m ilara la herramienta

pun to u ti li za da p ara cr ea r las do s ú lt im as u ni on es d e p erno. La op ción d e u ni ón crea a ut om áticam ent e dos pun to s, los

su je ta a lo s cuerpos d eb ajo del c urso r (o el cuerpo y el fo n d o

kmq Model 20 - (Tutoría! t]

de la pantalla, como en este caso), y crea un a unión perfecta

mente consistente en un solo paso. E stas uniones de perno

conectan e l rectángulo con el fo n d o de l a pa ntal la .

12. Haga doble d ic en la jun ta de pe rno para abr i r la ventana

“Proponies" y verifique que d pern o se haya colocado a la

mitad d d ancho de l cuerpo desde su bo rde infe rior. Lo an-

te r ior d a como resultado una longi tud e fec t iva d d eslabón

de 2 .5 in .

Paso 5: Agregar un m otor a l es labonam iento

Este paso agrega el mo tor a u no de los eslabones, activando d

mecanismo.

1 . Haga d ic sobre la herramienta mo tor en la barra de herra

mientas . Esta herram ienta aparece com o u n dreulo con

un p unto en su centro , e l cua l descansa sobre un a base .

Se so mbrea la he rr am ie nt a motor, lo cu al ind ica q u e f u e se

beeionada El cursor se parece ahora a un pequeño motor.

2 . Co loq u e d c u r so r so bre d “ p u n to ajustado” en el extremo in

ferior d d eslabón vertical d e la derecha. Haga dic en el ratón. Ap arece u n m oto r en d es la bo na miento d e cu at ro barras ,

como se muestra en la fi gura 2 .5 . Tal com o en la unió n de

perno, el m oto r tie n e do s pu nto s d e su jec ión . E l m otor conecta automá ticame nte los dos cuerpos de la parte supe

rior. S i solo u n cuerpo estuviera debajo del motor, uni ría el

cuerpo con e l fo n d o de la pan ta ll a. En ton ces, e l m oto r apli

caría u n torque entre los dos cuerpos ii los cuales está unido.

3. Haga doble d ic sobre e l m otor para abr i r la ventana de

“Properties" y verifique que el pe rno se colocó a la m itad

d d a n c h o d d c u e rp o d e sd e d b o rd e infer io r . Esto d a c o m oresultado una longitud efectiva del eslabón d e 1.0 in.

4 . Espec if ique la ve loddad d d m otor a 360 deg/s . Esto es

igual a 60 rpm.

5 . Haga d i c sobre " Run" en la barra de herramientas .

B mec an ismo d e cu at ro barras c om ie nz a a arr an ca r len ta

mente a través de su rango de movimiento.

* ] £ * E<* W«ld v*w Qb*c» Brfro B « w Scnp» w rr t* . H*>

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fi g u ra r s fo c o rp o ra d ó n d é l a u n ió n d d p e rn o f in al y d d m o to r a l e s la b o na m ien to.

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36 CAPITULO DOS

6. Haga dic sobre “Reset" en la bar ra de herramientas.

la simulación se restaurará desde 0

7. Haga doble d ic sobre e l m oto r para abr i r la ventana

“Properties".

lo anterior tam bién se logra al seleccionar el m otor y

elegir "Properties" en el menú "W indo w" para abrir

la ventana "Properties".

8. Increm ente la velod dad del m oto r a 600 deg/s tecleando

este valor en la venta na “Properties".la s usuarios pueden definir un motor para aplicar cierto

torque para moverlo a un a posición de g ir o d et er m in ad a, o

bien, ptira que gire a u na velocidad o un a aceleración especí

ficas. Los motores t ie nen s is tem as de co nt ro l in teg rado s que

calculan automá ticam ente el torque necesario para la

rotación, la v elocidad y la aceleración definidas.

9. Haga d ic en “Run" sobre la barra de herramientas .

0 eslabón de cuatro barras comienza a moverse nue va

mente, esta vez a una velocidad mucho mayor

Paso 6: Kcdim ensionar los eslabones

Este paso util iza la b arra de coordenadas de la parte inferior de

la pantalla , pa ra ajustar el tam año y el ángulo d e los eslabones.Esta sección destaca las capacidades param étricas de W orking

ModeL Observe qu e cu ando se redimensiona un eslabón, todos

los pun tos perman ecen en sus posiciones respectivas y todas lasu n io n e s q u e d a n in t a c t a s . Co m o fu e ro n u b ica d o s u t i li z an d o

"Object Snap". dicho s pun tos se pos iaon aron con ecuaciones y

se a justan automát icamente duran te los cambios en e l d iseno.

1. Si no se ha se lecdonado, haga d ic en la herramientaapuntador.

2. Haga un d ic en el eslabón vertical del lado izquierdo

par a s dec ci on ar lo .

3 . In t roduzca un nú mero l igeramente mayor en e l cuadro

“h" (a l tura) de l eslabón se lecdonado en la barra de co or

denadas, en la parte inferior de la pantalla .

0 eslabón se redimensiona sobre la pantalla. Ob serve cómo

SmartEditor autom áticam ente redimensiorui, reposiciona y

reconstruye d mo delo con base en las ecuaciones param étri-

ats introducidas en cada ubicación de una unión.

4 . Asimismo, redimensione los o t ros eslabones y mueva la p o s ia ó n d e la s u nio nes . Vig ile q u e S m ar tE d it or r ec on s

truya el modelo.

Se pueden im estiga r configuraciones diferentes de u n m ode

lo usando las capacidades paramétricas de Working ModeL

Paso 7: M edir la po sición

do un pun to

2 .

3.

4.

5 .

6 .

Haga d ic sobre “Reset" en la barra d e herramientas .

la s imulación se detiene y se resta ura a p a rt ir de 0.

Se lecdone la herramienta pu nto en la ba rra de herramien

tas. Aparece como u n d reu lo hu eco pequerto.

Coloque e l cursorsob re el eslabón horizon tal del mecanis

mo d e cuatro barras y presione el botón del ratón.

Un punto se coloca en la barra. S e trata solo de u n pun to y

rv sujeta la barra al fondo de la pantalla. Únicamen te es

“un pu nt o de interés".S e l pu nto no se ha se lecdonado (oscuredd o) todavía , se

se lecdona hac iendo d ic sobre 0 .

Cree una nueva unidad d e med ida para m edir la posición

de este pu nto selec don and o“ PUsition" del m enú “Measure".

Apa rece la n uev a u n id ad de m ed id a. Se d a de ba ja la posi aón en metros para desplegar informac ión digital (numér ica). Es

posible c am biar el m et ro d ig ita l de u n a gráfi ca , haá en do che

teta vez sobre la flecha de la esquina superior izquierda.

Haga c lic sobre “Run" en la b arra de herramientas .

La sim ul ac ió n c om ienz a in m ed ia ta m ente a co rrer y la i nfor

ma ción d e medición aparece en e l contador, como se indica

en la fi gura 2.6. Los d atos d el c on ta do r se pued en “ex po rtar "

a u n archivo ASCII, qu e se copia en u n portapapeles y se

WoikirM) Model 2D - lu to n ai 1

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f i g u r a lA Una simulación que corre con u na unidad de m edida.

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Cons truc c ión de m ode los de me c ani s mos e n c omputador a l i tando e l s o ftwar e Wor king M odel* __________ 37

f W o r li n q M o d e l 2 0 ( l u t o n a l l |

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fi g u ra 2.7 Trazado de la trayectoria de u n pu nto.

transfiere a u n programa de hoja de cálculo para u n análisis

adi cioiu l. E n este caso, la h oja de cálculo recibirla cuatro

columnas de información: tiempo, X, Y y rotación.

Ap are cerá u n a f il a porc ada pa so de in tegr ac ión calculado.

7. Modifiquc la sim ulación y vuélvala a correr.

La integ rac ión perfecta de W ork ing Mo del, ent re la edic ión y el

pro cesamiento del sistem a dinámico, p er mite a l usu ar io investi-

g ir rá pida men te m ucha s conf igura ciones d e simulac ione s d ife

rentes, Por ejemplo, la mod ificaáón de la m asa de la barra

horizontal, usando la ventana “Properties"y corriendo de

nuev o la simulación. Es posible modificar las ubicaciones d e los

per nos y r d im ensio ra r los eslabones para, luego, m ed ir la s ve

locidades y las fu er za s. Este mecani sm o d ecuatro barras puede

incluso im an ga rse con gravedad cero, desactivando b opción

d e grav ed ad que seencuentra debajo del m en ú "World".

Paso 8 : Trazar la t rayec tor ia de u n pun tode interés

Este p a so c re a u n t r a z o d e l m o v im ie n to d e u n p u n to sel e c

cionado.

1. Seleccionar todo s los objetos usand o el mé todo de selec

ción de la ventana des crito anteriormente.

Todos los elem entos aparecen e n co lor negro.

2. Seleccione la opció n “Appea rance" en el men ú de “Windovv".

3. En la ventana “Appearance", desactive “Track C enter of

Mass" “Track C onnect" y “Track Outline".

Estas fun ci one s se d esac tiv an ha ci en do clic so br e la marca

de verificación adecuada.

4. Haga clic sobre el fondo de la pantalla para deseleccionar

todos los objetos.

5. Elija solam ente el pun to d e interés creado en el paso 7.

Tan solo este pun to debería aparecer en color negro.

6 . Seleccione la opción “Appearance" en el menú

“Window".

7 . En la ventana “Appearance", active “Track Connect".

Asegúrese de que sólo se seleccione un p u n ta

EsM fu nc ió n s e ac tiva ha ci en do cli c so br e la m arca de v er ifi

cación adecuada.

C orr a la simulación. La pantalla se debe parecer a b figura 2.7.

Paso 9: Prac t i car lo que se haya ap rendidoEsta dem ostrac ión indica cómo crear y corre r una s imu bción

simple en W orking Model . Se invi ta a l estudiante a prac t ica r

c o n l a s im u b c ió n o a c re a r u n m e c a n i sm o n u e v a Wo rk in g

Model t iene u na gama increíble de funciones, que pe rm iten el

desarrollo de m odelo s pa ra analizar los dispositivos mecánicos

más complejos.

2.5 USO DE WO RKING MODEL

PARA MOD ELAR UN MECANISMO

DE M ANIVELA-CORREDERA

Esta secc ión si rve com o gu b para c rear un mecanismo de manivela-corredera. Se deberla aplicar duran te el u so real de W or

king Model. N uevamente se invita al estudiante a pra cticar con

d software realizando otro s análisis.

Paso 1: A brir W orking M odel como en el paso 1de l a sección anter io r

Paso 2: C rea r los eslabones

Este paso c rea los t res esbbones móvi les de l mecanismo de

manive la-corredera . O tra vez, e l fondo d e b pa nta lb s i rve como

d cuarto eslabón fija

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38 CAPITULO DOS

1. Cree un nuevo doc um ento de Wbrking Model, seleccio

nand o la opción “New" del m enú “File".

2. Especificar las unidades q ue se usa rán en la simulación.

Seleccione “N um ber s and U nits” en el m enú “View”.

Cam bie “Unit System" a “SI" (grados |degrces)).

L is un id ad es lin ea les es tará n e n m etr os, los án gu lo s se

med irán en grados y las fuerzas en newtons

3. Const ruya e l mecanismo creando los t res eslabones que

no so n fijos. Haga doble clic en la herra m ienta rectángulode la barra de herramientas .

La h er ra mie nta se resal ta, l o c ua l in d ita q u e se pu ede us ar

varias veces.

4. Con la herram ienta rectángulo, bosqu eje tres cuerposcomo los q ue se m uest ran en la f igura 2 .8 .

Posic ione e l ra tó n en la pr im er a esqu in a, ha ga cl ic u na ve z y,

luego, m uev a el ratón a la ubicación de la esquina opuesta

y ha ga clic ot ra tez. Los rectá ngu los es tá n d ef inido s

pa ra mét ríca men tc ; su s tam añ os ex ac tos se es pe ci fic an m ás

adelante.

Faso 3: Usar l a unión de ran ura para u n i r el

es labón cor red era con e l fondo de l a panta l la1. Seleccione el icono d e la unió n “keyed slot”. El icono

aparece com o un rec tángulo mon tado sobre una ranura

horizontal.

2. Mueva el curs or sobre el punto de ajuste en el centro

del eslabón de c orred era rectangular. Haga clic en el

bo tó n del ra tó n . L a pa n ta ll a d eb er ía s e r si m il ar a la

figura 2.9.

3. Seleccione la herra m ienta apuntador.

4. Haga do ble clic en la ranura.

Esto abre l a t en ta ría "Prop ert ies" d e la ranu ra .

5 . Ca m b ie e l á n g u lo a -4 5° .

Ca mb ia la inclinación de la ranura.

Arrastre los otros eslabones hasta qu e la pan talla se parezca a la

figura 2. 10.

Paso 4 : Conec tar los dem ás es labones para

f o r m ar l as un i ones de pe r no

Este pas o crea pu ntos y los une para fo rma r unione s de perno.Una unión de pe rno ac túa como bisagra ent re dos cuerpos.

1. Seleccione la her ram ienta ancla.

2. Haga clic sob re el eslabón vertical para an da r el eslabón.

Una ancla indica a S martkditor que no mueva este cuerpo

áir ante la construcción. Después de crear las uniones de pe m o, e l an d a se borrará.

3. Haga doble d ic e n la herramienta punto . El icono es un

pe qu ef lo ci rcul o.

Se resalta la herramienta punto, lo cual indita qu e se puede

usar ta ña s veces, sin necesidad de volvería a seleccionar

antes de qu e se esboce cada punto nuevo.

4 . (b lo q u e e l c u r so r so b re l a p a r t e su p e r io r d e u n o d e lo sesbb ones verticales. Cuan do aparezca un a “X” cerca delapun tador ( f igura 2 . 11), haga d ic en e l botón de l ra tón .

5 . (b lo qu e pun tos en los extremos de l eslabón hor izonta l,

como se muest ra e n la f igura 2 .11.

Asegúrese de q u e cad a u n o de e stos pu n to s s e colocó en u n

"punto de ajuste", como indica la “X" que a pa rea en el

apuntador.

6 . (b lo qu e o t ro punto en e l centro de l rec tángulo de la

corredera.

Este pu n to se us a p ar a crea r u n a u n ió n d e p em o c on el acoplador.

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F I G U R A 2A Tres e s la b o n e s e s b o z a d o s c o n l a h e r r a m i e n t a r e ct á n g u lo .

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Cons truc c ión de m ode los de me c ani s mos e n c omputador a l i tando e l s o ftwar e Wor king M odel* __________ 39

/ockinq Model 20 - (lutonal 2| J f l j x ]

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FIGURA 2.9 Ubicación del p un to y la ran ura.

( lu lona l 2 |

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♦

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• V H H

F —

f i g u r a 2.10 I h i ó n d e c o rr e de r a .

7. Seleccione la herra m ienta apuntado r.

8. Co n la herram ienta apun tador seleccionada, haga clic sobre

un pun to qu e se conectará con una unión d e perno. Luego,

manteniendo oprim ida b tecb fhift , haga clic en el segundo

punto , lo c ual fo rm ar á un a u n ió n de p er no. Ob se rv e q ue losdos punto s ahora d eben estar resaltados (oscurecidos).

9 . Haga d ic en e l botón “Join" de la barra de herramientas ,

fusionando los dos pun tos en un a un ión de perno.

SmartEditor crea una unió n de pe rn o e nt re los d os pu nt os

elegidos al m oie r el eslabón sin anclaje a su lugar. E l eslabón

que se mueve quizá >u no sea vertical. Este permanecerá fijo

en u n mo mento.

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40 CAPITULO DOS

f c j E t e £ < * W o rid V « w Q b r C Q e h rw B w w e S o* > * M ofe _ \ 9 \ X |

D l t f l H l n T O l A l ^ l ^ l R u n» | s iii[iii| )ii-;<-i |

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f i g u r a 2. 1 1 Colocación de pun ios sobre los dem ás eslabones.

10. Ejecute los pasos8 y 9 para los o t ros do s pu ntos que

crearán o t ra un ión de pe rno. La panta lla deberá se r como

la figura 2.12.

Otra vez, d eslabón sertical permane ce en su posición

original y Sm artEd itor mueve el eslabón vertical para

crear la un ión d e perno.

11. H ^ a clic en el eslabón vertical.

Apa rece n cuat ro cu adro s negro s alrede do r de l eslabón,

lo cual indica que fu e se leccio nad o.

12. Seleccione la opción "M ove to fron t" en el m enú "Object"

Esto coloca e l eslabón verti ca l en fr ente d el eslabón d e co ne

xió n , ha cien do visible e l a nd a.

f i g u r a 2.12 Adición de las unio nes de p erno y e l m otora ! eslabonamiento .

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Cons truc c ión de m ode lo» de me c ani smo» e n c omputador a us ando e l s o ftwar e Wor klng M ode l* __________ 41

13. Seleccione el ancla, la cual se usa para m antene r el eslabón

vertical fi jo du ran te la construcción y, luego, presione la

tecla “delete" para borrarlo .

t i and a ya n o se necesita, por b que se debe el iminar.

Paso 5: Agregar un m otor

a l es labonam ientoEste paso agrega e l m otor a u no de los eslabones para impulsar

el eslabonamiento.

1. Haga c l ic sobre la herramienta moto r en la barra de he

rramientas . Esta opc ión aparece com o un c i rculo, con un

p u n to en el c en tro , q u e d es ca ns a so b re u n a b as e.

La h err am ie nta m ota rs e oscu rece, l o c ua l indica q u e fu e

selecc ionado, t i cu rsor de be ría verse ahora com o u n

pe qu eñ o m oto r.

2. Coloq ue el curs or en el “pu nto de ajuste" del eslabón

vertical. Haga dic en el ratón.

Ap ar ec e u n m o ta re n el es la bo na miento d e m ani vel a-

corredera, como se m uestra en la fi gura 2.12 . C om o e n

la unió n de pem o, un mo tor t iene dos puntos de sujeción,

t i m otor conecta autom áticame nte los dos cuerpos superiores. Si tan solo perm anece u n cuerpo debajo del motor, el

mo tor unirá el cuerpo con el fo n d o d e l a pa nt al la . Luego,

d m otor aplica u n torque entre los dos cuerpos a los cuales

está sujeto.

3. Haga d ic en “ Run" de b barra de herramientas . B es la bo na m ient o de m ar ín ela -corredera com ienza a

arrancar lentamente a través de su rango de movimiento.

4. Haga d ic en “ Rese t" de b barra de herramientas.

La sim ula ció n se r es ta ur a a p a rt ir de 0.

5. Haga dob le c l ic sobre e l m oto r para abr i r la ventana

“Properties".

Lo a nt er io r ta m bi én se hace sd ecc io na nd o e l m oto r y

digien do ‘ Properties" del m enú de "W indow" pa ra a br ir

la ventana "Properties".

6 . Incremente b ve loddad de l mo tor a -300 deg/s tecleando

este valor en b ventana “Properties".

Los us ua rios su el en defini r u n m oto r pa ra ap lic ar u n tor que,

hacer un mo vimiento de giro t letenninado, o girar a una

vdocid ad o un a aceleración específicas. Los motores tienen

integrados sistemas de control de rotación, v doc idad y

acderación, qu e calculan automáticam ente el torque

necesario. En este demo, se u sa la velocidad de l motor.

7. Haga d i c en “Run" de b barra de herramientas .

B es la bo na m ient o d e manivela-co rred er a com ienz a, un a vez más, a moverse, esta vez a una ve locidad mucho mayor.

Paso 6: Pra ct ica r lo qu e

se aprendió

Se invi ta a l estudiante a prac t ica r con esta s im uladón o a c rear

un mecanismo nuevo . W brking Model t iene una gam a increíble

d e fu n d o n a l id a d e s q u e p e rm i t e b c rea c ió n d e m o d e lo s p ara

analizar los dispositivos mecánicos m ás complejos.

PROBLEMAS

Use e l software W orking Model pa ra generar e l mo delo de un

mecanismo d e cuatro b arras. Use los valores siguientes:

2-1 . bancada = 9 in ; manive la = 1 in ; acoplador = 10 in;

se gu ido r = 3 5 in ; v e lo d d a d d e b m a n iv e b = 2 00 ra d /s2- 2 . buncada = 100 m m ; m aniveb = 12 mm ; acoplador =

9 3 m m ; s e g u id o r = 2 4 m m ; v e l o d d a d d e b m a n iv e b

= 3 0 r a d /s2-3 . bancada = 2 f t; m aniveb = 0 .5 f t ; acoplador = 21 f t;

seguidor “ 0 .75 f t; ve loddad d e la m aniveb = 25 rpm

Use e l sof tware W orking Model pora generar e l mo delo de un

me canism o de m anivela-corredera. Utilice los valores siguientes:

2- 4. descentrado = 0 in; manivela = 1.45 in; acoplado r =

4.5 in ; ve loddad de la m aniveb = 200 rad/s

2 -5 . d e sce n tra d o = 0 m m ; m a n iv e b = 9 5 m m ; a co p la d o r

= 3 5 0 m m ; v e lo c id a d d e b m a n iv e b = 2 0 0 ra d /s

2-6 . descentrado = 50 mm; manivela = 95 mm; acoplador

= 3 5 0 m m ; v e l o d d a d d e b m a n i v e b = 2 0 0 r ad /s

2-7 . La f igura P2.7 i lust ra un mecanismo que opera e l t ren

de aterrizaje de u n avión pequeñ o. Use el software

Wbrking Model pa ra generar un m odelo de este meca

nismo. El m oto r op era en el sentido horario a una veloddad constante de 20 rpm.

9 * ■

f i g u r a P 2 . 7 Problem a 7.

2 -6 . l a f i g u ra P2 .8 m u e s tr a u n m e c a n i sm o q u e o p e ra u n

caba l li to de ent retenimiento para n iños que fundon a

con m onedas . Utilice el software W orking Model para

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42 CAPITULO DOS

generar un modelo de este eslabonamiento . El m otor

opera en sentido antihor ario a una velocidad constante

d e 6 0 r p m .

2-9. La figura P2.9 presen ta u n mecanismo de transferencia

q u e le v a n ta p a q u e te s d e u n a b a n d a t r a n sp o r t a d o ra aotra. Use el software W orking M odcl para gen erar un

modelo de este mecanismo. El m otor op era en sent ido

au iho rar io a una ve loc idad constante de 20 rpm.

f i g u r a P 2 . 9 Problema 9 .

2-10. La figura P2.I0 mu estra o tro mecanismo de transferen-

da que em puja paque tes de una b anda t ransportadora

a otra. Use el software Working Model para ge nerar un

modelo de este mecanismo. El moto r opera en e l sen

t ido horar io a un a ve loc idad constante de 4 0 rpm.

un modelo de este eslabonamiento . El c i l indro se ex

t iende a una ve loc idad constante de 1 f t /min .

2- 12. la figura 1*2.12 mu estra un mecan ismo que aplica ró

tu los a los paque tes . Use e l sof tware W orking Model

par a genera r u n m od elo d e es te es la b o n am ie n to . El

motor opera en sent ido ant ihorar io a una ve loc idad

constante de 300 rpm.

ESTUD IOS DE CASO

figura P2.I0 Problem a 10.

2-11. La figura P2.11 ilustra otro mecanismo de transferen

c ia q u e b a ja p a q u e te s d e u n a b a n d a t r a n sp o r t a d o ra a

a ra . U t i lice e l sof tware Working Mod el para generar

f ig u r a P 2. l i Problem a 11.

2-1 . En la f igura E2.1 se presenta la v is ta sup er ior de un

mecanismo en una operac ión de maquinado. Examine

cuidadosamente la configuración de sus componentes;

luego, conteste las s iguientes pregun tas para obtener

mayor conoc imiento acerca de la operac ión de l mecanismo.

FIGURA E2.I Me canism o del es tud io de cas o 2.1.

1. Conform e gira el man go A, al m over la varilla roscada Ba la izquierda, describa el movim iento de la mordaza C

2. Conform e gira el m ango A, al mover la varilla roscada B

a la izquierda, describe el m ovimiento de la m ordaza D.

3. ¿Cuál es el objetivo de este mecanismo?

4. ¿Qué acc ión provocar la qu e el eslabón D se moviera

hacia arriba?

5. ¿Cuál es el objetivo del resorte G?

6. Analice el motivo para la extraña forma de los eslabones

E y R

7. ¿Qué nom bre pon dría a este d isposit ivo?

8. Describa las causas del uso de u n extremo redo ndo de

la varilla roscada B.

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C A P I T U L O

T R E S

VECTORES

O B J E T I V O S

A l t e r m in a r d e e s tu d ia r e s t e c a p it u lo , e l a lu m n o

s e r á c a p a z d e:

1. Diferenciar entre una cantidad m al ar y u n vector.

2. Aplicar los principios trigonom étricos adecuadosa un triángulo rectángulo.

3. Aplicar los principios trigonom étricos adecuadosa un triángulo general.

4. Determinar la resultan1c de do» vectores, con el uso tanto del

método gráfico como del método analítico.

5. Separar cantidades vectoriales en sus componentes en lasd r e n iones v erticales y horizontales.

6. Restar dos vectores,con el uw tanto del método gráfico como

del m étodo analítico.

7. Utilizar ecuaciones vectoriales.

8. Emplear unaecuación vectorial para determinar la magnitudde dos vectores.

de magni tud «ca la r . Ejemplos adic iona les de cant idades es

calares son los siguientes: una tab la tiene 8 ft de largo, u na clase

d u ra 5 0 m in u to s y l a te m p e ra tu ra e s d e 7 8 " F ( l a l o n g i tu d , el

t iem po y la tem peratura son cantidades escalares).

En contraste, un vector no se def ine por com ple to tan so lo

con la m agni tud . Tamb ién hay que indicar la d i recc ión d e la

c a n tid a d. A f i rm a r q u e u n a p e lo ta d e g o l f v ia jó 2 0 0 y a rd a s n o

describe cabalm ente su trayectoria. Al no ex presar la dirección

del recorrido se ocu lta el h echo de q ue la pelo ta cayó en u n lago.

ft>r consiguiente, se debe incluir la dirección para describircompletamente tal cantidad. Ejemplos de vectores definidos en

forma adecuada son “e l paqu e teque s e ja la hac ia la derecha con

una fuerza de 5 Ib" o bien, “el tren q ue viaja hacia el norte a una

velocidad de 50 mph". El desplazamiento, la fi len a y la veloci

dad son ca ntidades vectoriales.

Los vectores se diferencian de las cantidades escalares

p arq u e s e d en o ta n co n ne gri ta s ( r ) . La nota ci ón co m ú n q u e se

util iza para representar gráficamente un vector es un segmento

l inea l con una pun ta de f lecha en un ex trem a En e l método de l

análisis gráfica la longitud del segm ento lineal se traza en p ro

po rc ió n a la m ag nitud d e la ca nt id ad qu e d es cr ib e d vec tor. L a d i

rección se define con la pu nta d e flecha y la inclinación d e la l inea

con respecto a un eje de referencia. La dirección siemp re se m ide

de la raíz, a la pu nta d d vector. La figura 3.1 mu estra un vector de ve loc idad com ple tamente def in ido .

3.1 INTRODUCCIÓN

El análisis de m ecanismos imp lica d uso de cantidades vectoria

les. Las principales características del funcionamiento de unmecanismo son desplazamiento ve loc idad , ace le rac ión y fuer

za. que son vectores. Antes de trab ajar con mecanismos, se re

quiere un a introducció n Integra a los vectores y a la aplicación

de los m ismos. En este capi tu lo se presentan las técnicas de

soluc ión , tan to grá f ica com o ana l í tica . Los estudiantes q ue ya

tom aron u n curso d e mecánica pueden om it i r este capi tu lo o

usarlo com o referencia para repasar el m anejo de vectores.

Bcab:

0 1 0 2 0 3 0

nph

I— 1 unidad—H

FIGURA J.l Un vecto r de velocidad

de 45 mph.

3.2 ESCALARES Y VECTOR ES

En d aná l is is de m ecanismos se deben d ist inguir dos t ipos de

cant idades. Un escalar e s u n a c a n t id a d q u e e s t á c a b a lm e n te

def in ida cuando se conoce ú nicamente su m agni tud Po r e jem

p lo al d ec ir “u n a do ce n a d e ros qu ill as", u n o de sc ribe la ca n tidad

de estas qu e h ay en una ca ja. C om o e l núm ero “ 12" establece

correctamente d núm ero de rosquillas en la caja, la cantidad es

3.3 ANÁLISIS VECTO RIAL GRÁFICO

La mayoría de l t raba jo involucrado en e l estudio d e mecanis

mos y el análisis de vectores tiene qu e ver con la geom etría. En

estos análisis se em plean frecuentem ente métod os gráficos, ya

que de esta manera se visualiza con claridad el movim iento de

un m ecanismo. En los m ecanismos más com plejos, los cálculos

analíticos con vectores tam bién se vuelven más laboriosos.

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44 CAPITULO TRES

El método de an álisis gráfico imp lica el dib ujo de líneas a

escala en áng ulos específicos. Para ob tener resultados con sis

tentes con las técnicas analíticas, la exactitud h abrá d e ser el ob

je ti v o p r in c ip a l. D u ran te m uch as déc ad as , la ex ac ti tu d en el

análisis de mecanismos se obtenía concentran do la atención en

la precisión y en el equipo d e dibujo adecuado. Aun siendo p o

pu la re s, s e d es d eñ ar o n m uch as té cn ic as g rá fica s p o r im pr ec isas .Sin em bargo, el desarrollo del diseño asistido po r com putado ra

( c a d ) , con su s const rucc iones geométr icas exac tas , ha perm i

tido q ue las técnicas gráficas se apliquen con precisión.

3.4 TÉCNICA S DE DIBUJO REQUERIDAS

PARA EL A NÁLISIS VEC TORIALGRÁFICO

Los m étodos gráficos de análisis vectorial y de m ecanismos son

idénticos, ya sea que se util ice equipo d e dibujo o un software deca d. Aun cua ndo quizá sea obsoleta en el análisis industrial , la

representación gráfica se usa con éxito pa ra ap rende r y entender

las técnicas.

(b a n d o se t r a b a j a c o n e q u ip o d e d ib u jo , se r e q u ie re n

líneas delgadas y arcos finos p ara ob tene r resultados exactos. Senecesi ta un t razo prec iso para de te rminar con exac t i tud los

p un to s d e in te rs ec ción . Por lo ta n to , se debe te n e r cu id ad o d e

man tener en buen estado e l equipo de d ibujo .La medic ión exac ta es tan impo rtante com o la ca l idad de

las l íneas. La longitud d e las l íneas debe dibujarse a u na escala

pr ec isa, en ta n to q u e la s m ed ic io nes linea le s d eb er ía n se r ta n

exactas como sea posible. Po r ello, se recomienda util izar u n es

cabm etro co n las pulgadas (in) divididas en 30 partes. Las medi

ciones angulares t ienen que ser igualmente precisas.

Por último, la elección acertada d e la escala de dib ujo es

también un fac tor muy importante . En genera l , cuanto más

grand e sea la construcción m ás exactos serán los resultados de la

medic ión. Una prec is ión de 0 .05 in causa m enos e rro r cuando

la línea es de 10 in de largo que cuan do es de 1 in. El tamañ o deld ibujo está l imi tado po r e l hecho de q ue las const rucc iones muy

grandes requieren equipo especial. Sin embargo, hay que inten

tar crear dibujos tan grandes com o sea posible.

Se debe consul ta r u n tex to de d ibujo para los de ta lles de

b s té cn ic as ge ner al es d e d ib u jo y d e la s c o n s tr u cc io nes g eo

métricas.

■ Dibuja r l íneas con u na longi tud especí fica y un ángulo

determinado;

■ Ins ertar lineas, perp end iculare s a las líneas existentes;

■ Prolon gar l íneas existentes hasta la intersección con otr a

linea;

■ Recortar l ineas en la intersección con ot ra l inea;

■ Dib ujar arcos con centro en un p unto específico y u n radio

determinado;■ Ubicar la intersección de dos arcos;

■ M edir la lon gitud d e las l íneas existentes;

■ M e d i r e l á n g u l o i n c l u i d o e n t r e d o s l ín e a s .

Desde luego, las h abilidades adicionales facili tan un análi

sis m ás eficiente. No o bstante, la familiaridad con lo s coman dos

d e c a d que realizan las acciones m enciona das es suficiente para

b g r a r c o n p re ci si ón e l an ál is is v ec to rial .

3 .6 CON OCI MI ENTO S DE

TRIGONOMETRÍA REQUERIDOS

PARA EL ANÁLISIS VECTOR IAL

En el caso analít ico de vectores se requieren con ocimientos bási

cos de trigon om etría. Tal disciplina estudia las propiedad es de

b s tr iá ng ulos . El p r im e r t ip o d e tr iá ng ulo q u e s e e stu d ia rá e s el

triángulo rectángulo.

3 .6 .1 T r i á n g u l o r e c t á n g u l o

Al efectuar un análisis vectorial, d uso de las funciones trigo

nom étricas básicas es de vital importan cia. Las funciones tri

gono métricas básicas se aplican solamente para los triángulo s

rectángulos. l a figura 3 2 muest ra un t r iángulo rec tángulo con

sus bdo s ident if icados como a, b y c , y sus ángu los interiores,

como A , H y (.'.Observe que el áng ulo C es u n ángu lo recto de 90*.

Ifor tal razón, d triángulo se conoce com o triángulo rec tángula

Las rd ad on es trigonom étricas básicas son:

c a t e to o p u e s to a se n o / . A = s e n / . A = —— = - (3.1)

h ip o te n u sa c

c a t e to a d y a c e n te b .c o s e n o Z A = e o s / . A = — — ------------------- = - (3.2)

h ip o te n u sa c

3 5 C O N O C I M I E N T O R E Q U ER ID O D E c a d

PARA EL ANÁLISIS VEC TOR IALGRÁFICO

C om o vimos, los m étodos grá f icos de aná lis is de mecanismosy de vec tores so n idén t icos, ya sea que s e u t il ice equ ipo dedibujo o un sof tware de c a d . Este ú l t imo o frece mayo r pre

c is ión . Por for tuna , tan so lo se requie re un n ivd básico de h a

b il id ad es d d c a d p i r a re a li zar a d e c u a d a m e n te u n a n á li s is v ec

tor ia l grá f ico com ple to , de mo do q ue es p re fe rib le e l uso de un

s i s te m a d e c a d , p u e s n o n e c e s i t a u n a g ra n in v e r s ió n e n la

"curva de aprendizaje".

Com o ya se mencionó, d mé todo gráfico de análisis vector ial impl ica d d ibujo de l íneas con longitudes precisas y a ángu

los específicos. La siguiente lista de scribe las destrezas en d c a d

qu e se requieren para d análisis vectorial. El usuario deb ería ser

capaz de:

a t e t o o p u es to at a n g e n te z l A = t a n Z A = ;----------- = - (3 .3 )

a t e t o a d y ac e n te b

Tales definiciones se aplican al ángulo B de igu al manera:

s e n / . B = -

c

e o s L S s “

bt a n Z B = -

F I G U R A 3 J Triángulo rectángulo.

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Vectores 45

El teorem a de Pitágoras establece la relación entre los tres Finalmente, la su m a de todos los ángulos de un triángulo

lados de un triángulo rectángulo. Para el triáng ulo de la figura es igual a 180°. Si se sabe que el ángu lo C es de 90°, la sum a de

3.2 , se def ine como los o t ros dos ángulos es

a 2 + b* = ? (3 .4) L A + L B = 9 0 " ( 3 3 )

P R O B L EM A D E E J E M P L O 3 . 1La figura 3J ilustra una pala cargadora con el cilindro B C en posición vertical l-’tilice trigonometría par a de term inar la

longitud requerida del cilindro para o rientar el brazo A B en la configuración m ostrada.

FIGURA i 3 Pala cargadora del proble m a de ejemplo 3.1.

SO LU CIÓ N : 1 . Det er min e la l on g it u d BC

Concéntreseen el triángulo formado por los puntos A , B y C de la figura 3J . E l b d o BC del triángulo se calcula con

h ecuación (3.1).

s c n ¿ A ■

sen 35* -

cateto opuesto

hipotenusa

BC

<%in)

ai desp ejar

BC = (96 in) sen 35* = 550 6 in

2. Det er min e la l on g it u d AC

Aun cuando no se requiere, observe que la distancia entre A y Cs e calcula de man era parecida con h ecuación

(3 2 ) , d e m o d o q u e

cateto adyacentec o s ¿ A

eos 35*

hipotenusa

AC

(96 in)

despejando:

A C = (96 in) eos 35° = 78.64 in

PRO BLEMA D E EJEM PLO 3 .2

la figura 3.4 presenta un cam ión rem olcado r con el brazo de la grú a de 8 ft, inclinado un ángulo de 25*. Utilice

trigonometría para determ inar la distancia horizontal que cubre el brazo de la grúa.

S O L U C I Ó N : I . D et er m in e la pro ye cc ión h ori zo n ta l d el bra zo d e la gr úa

La proyección ho rizontal del brazo se determina co n la ecuación (32):

proy ecc ión ho rizo ntal

C“ ' ' (8 ft)

pr oy ec ció n ho rizo ntal = (8 f t)c os 25* = 7 2 5 ft

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4 6 CAPITULO TRES

F I G U R A 3.4 Cam ión de a rrast re d d problem a de e jemplo 3 . 2 .

2 . Dete rm in e l a proyec ció n h or iz on ta l d el cam ió n y el brazo

La distancia horizontal dd extremo frontal dd cam ión al extrem o del brazo es

6 f t * 725 f t - 1325 f t

3 . Det er min e la s al ie nt e de l br azo

Corno la longitud total del cam ión es de 11 ft. la distancia horizontal que se extiende el brazo d d camión es

1325 f t - 11 f t » 225

ft

3 .6 .2 T r i á n g u l o o b l i c u o

El análisis p revio se lim itó a los triáng ulos rectángulos. Sin em

ba rg o. en el estu d io d e lo s m ec an is m os ta m b ié n es im p o rt an te

e l enfoque d e t r iángulos en genera l (obl icuos) . La f igura 3 .5

muest ra un t r iángulo cua lquie ra . De nuevo, a, b y c denotan la

longi tud d e los lados y L A , L B y L C representan lo s ángulos

interiores.

Pi ra este caso genera l , no son apl icables las func ionest r igonom étr icas básicas descr i tas en la secc ión an te r ior . Para

ana l iza r un t r iángulo general , hay que tom ar en cuen ta la ley de

los senos y la ley de los cosenos.

l a ley de los senos se expresa como

(3.6)s e n Z . A s e n ¿ f i s e n Z C

La ley de bs cosenos se expresa como

c2 = ¿ + b1 - 2 a b e o s L C (3.7)

Por o t ro lado, la sum a de todo s los ángulos in ter iores de un

triángulo cualqu iera es de 180®. En térm inos d e la figura 3.4, la

ecuación seria

L A + L B + L C - 180° (3.8)

Los problemas que impl ican la so luc ión de u n t r iángulo

cua lquie ra caen en un o de cu a t ro casos:

Caso 1: Cua ndo s e conocen un lado (a ) y dos ángulos (L A y L B).

Para resolver un p roblem a de es ta Indole, se util iza la ecua

ción (3.8) para calcular el tercer ángulo:

L C = 1 80 ° - L A - L B

Se replantea la ley de los senos para calcular los ladosrestantes.

í s e n ¿ B )

“Yk ^ Z í j

/ s e n L C \

C “{ s e n L A J

Caso 2 : Cu ando se conocen d os lados ( a y b ) y e l ángulo opuesto

au nó de los lados ( L A ) .

Para resolver un prob lema del caso 2 , se utiliza la ley de los

senos para calcular el segun do ángulo. La ecuación (3.6) se re

p la nte a c om o

L B = s e n 1 j s e n Z . A jCo n la ecuación (3.8) se calcula el tercer ángulo:

L C = 1 80 “ - L A - L B

Se utiliza la ley de los cosenos pa ra c alcular el tercer lado.La ecua ción (3.7) se replantea com o:

c = V i o * + b 2 - l a b c o s ¿ C |F IG U R A 3 5 Un triángulo oblicuo.

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Vectores 47

Ca so 3 : Cu a n d o se c o n o c e n d o s l a d o s ( a y b ) y e l á n g u lo in

c lu ido {LC).

Para resolver un problem a del caso 3. se util iza la ley de los

cosenos para calcular el tercer lado:

c = Z ¿ + b* — 2 a b c o s L C

Co n la ley de los senos se ca lcula e l segu ndo ángu lo . La

ecuación (3.6) se replantea como

L A = s e n 14 ( “ J s e n ¿ c j

Se usa la ecuac ión (3 .8) para calcular el tercer ángulo:

L B = 1 8 0° - L A - L C

Caso 4 : Cuando se conocen los tres lados.

Para resolver un pro blem a del caso 4, se util iza la ley de los

cosenos para ca lcula r un ángulo . La ecuac ión (3 .7) se replan

tea com o

L C la b

Co n la ley de los senos se ca lcula un segundo án gu lo La

ecuación (3.6) se replantea como

L A = s en ( - l sc n Z C !

C on la ecuación (3.8) se calcula el tercer ángulo:

L B = 180° - L A - L C

Una vez que se familiarice con la so lu c ió n d e p ro b le m a s

q je implican triángulos generales, ya no será necesaria la iden

tificación d e los casos específicos.


la figura 3.6 muestra un a pala carpidora. Use trigonom etría pura determinar la longitud requerida del cilindro con la

finalidad de orientar el brazo A Bcn la configuración mo strada.

FIGURA 3.6 Pala cargad ora del proble m a de ejemp lo 3.3.

S O L U C I Ó N : I . D et er min e la l on g it u d BC

Si se examina el triángulo creado p or los pu ntos A , B y C .e s evidente que se trata de u n pro blema del caso 3. El

tercer lado se calcula con la ley de los cosenos:

B C = Z A C 1 + A B 1 - 2 (AC)(AB)cosL BAC

- V (78 in)2 + (96in)J - 2(78 in ) (96in) eos 25*

- 41.55 in

Com o no se requirió d cálculo d e los otros ángulos, el procedimiento descrito pura los problem as del caso

3 quedará inconcluso.


la figura 3.7 muestra d mecanismo impu lsor del sistema de un mo tor de gasolina. Use trigono metría pura determi-ra r el ángulo de la mann ela que se indica en la figura.

SO LU CIÓ N : 1 . D et er min e e l án gu lo BAC

Al examinar el trü ngu lo forma do px»r los puntos A ,B y C es evidente qu e se tra ta de un problema del caso 4. El

ángulo BA C se calcula redefiniend o las variables en la ley de los cosenos:

- J A C J + A B 1 - BC¡ \

C“ ( 2 (AC){AB) J

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4 8 CAPITULO TRES

fi g u ra 3.7 M ecanismo del m oto r de gasolina del problema de ejem plo 3.4.

2 . Det er min e el á ng ul o d e l a ma nive la

H ángulo BA C está definido entre el lado AC. (el lado vertical) y la pierna AB . Com o el ángulo de la manivela se

define a partir del eje horizontal, se determina de la siguiente m anera:

Angulo de la manivela = 90" - 67J ° = 22.7*

3 . Det er min e lo i dem ás án gu lo s in terior es

Aun cuando no se solicitó en « te problema, el ángulo AC B se determina mediante

L AC B - sen ■' j ( 4 ? ) s e n /. BA C

fttr últim o, se calcula el ángulo ABC:

L A B C = 180* - 67J* - 10.6* = 102.1*

3.7 MANEJO DE VECTOR ES

En el análisis de mecanismos, las cantidades vec torial» (como

el desplazamiento o la velocidad) se emplean de dif ere nte ma

n e r as . A l i g u a l q u e l a s m a g n i t u d e « c a l a r e , l o s v e c t o r o s esum an y se re tan . Sin embargo, a d i ferenc ia de las m agn i tude

« c a l a re , n o so n s im p le o p e ra d o n e a lge b ra ic as . Pu e sto q u e a ldef in i r d vec tor también se requie re, se debe considera r la d i rec

c ión , además de las op er ad o ne matemát icas. La suma y la resta

de vectores se estudian p or separado en las siguientes secdones.

La suma de vec tores « igua l a la de te rminadó n de l e fec to

c o m b in a d o , o n e to , d e d o s c a n t id a d » q u e a c tú a n ju n t a s . Po re jemplo , a l jugar una ronda de golf, el pr im er t i ro v ia ja 200

yardas, pero se devía a la derecha . Luego, un segundo t i ro

recorre 120 yardas y qu eda a la izquierda del h o ya Un tercer t i

ro d e 70 yardas coloca a l golf is ta sob re e l gr ee n. Cu a n d o e st e

golfista ve la ho ja de resultados, se da cuen ta que el ho yo está rotu lado con un a d is tanc ia de 310 yardas; n o obstante , la pe lo ta

viajó 390 yardas (2 0 0 + 120 + 70 yardas) .Com o se ha seña lado constantemente , la d i recc ión de un

vec tor o tan im portante com o su m agni tud . En la suma de vec

to re s , 1 + 1 n o s i e m p re « ig u al a 2; e t o d e p e n d e d e l a d ir ec ción

d e los vectores individuales.

3.8 SUMA GRÁFICA

D E V EC TO RE S ( + »

la suma grá f ica o un a operac ión qu e de te rmina e l e fec to ne to

de los vectores. El méto do gráfico de la sum a de vectores incluyee l d ib u jo a « c a l a d e l o s v e c to re y su o r i e n t a c ió n c o r re c ta .

Luego, esos ve c to ro s e reubican con servando ta nto la esca la

rom o la or ientac ión . La cola de l pr imer vec tor se tom a com o el

or igen (pu nto O). El segundo v ec tor se reubica de m odo que su

cola quede en la pun ta de l pr im er vec tor. El proceso se repi te

por a to d o s l o s v ec to re s re st an te s. 1.a té cnic a s e c o no ce c o m o el

m é to d o d e pu n ta co n cola en la sum a de vectores. Este nom bre

se expl ica po r s i mismo cuando s e observa un pol ígono de vec

to ro com ple to . La pun ta de un vec tor se conec ta con la co la del

siguiente.

H e fec to combinado o un vec tor que se ext iende desde la

rola del prim er vector de la serie hasta la punta del ú ltimo vec

lor d e la se r ie. Se t iene una expresión matem át ica que repre

senta el efecto com binado de los vectores:

R = A + > B + > C + > D + > . . .

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El vec tor R es la notac ión c om ún qu e se u t i liza para representa r

la resultante de una serie de vectores. Re su ltan te es el términ o

que descr ibe e l e fec to combinado de los vec tores. Observe

asimismo qu e e l s imbolo + > si rve para ident if ica r la suma de

vectores y para diferenciarla de la sum a algebraica [re£ 5| .

N ote q u e los ve ctor es cu m ple n co n l a le y co n m u ta ti v a de la

suma, es decir, el orde n en q ue se sum an los vectores no altera el

resultado. Po r lo tanto.

R = (A + > B + > C ) = ( C + > B + > A ) =

( B + > A + > C ) = . . .

El proceso de com binar los vectores se pue de llevar a cabo gráfi •

comente con técnicas de dfcujo manuales o un sof tware de c a d .

Independientemente de l m étodo qu e se u t i lice , los conceptos

subyacentes son idéntk os. Los problem as de ejemplo siguientes

ilustran tal con cep ta


Determine gráficamente el efecto combinado de los vectores de velocidad A y B, que se m uestran en la figura 3.8.

Exa h:

0 25 50

FIGURA 3* Vectores del p roblem a de ejemplo 3.5.

SO LU CIÓ N : I . Construya los diagramas d e actore s

Para determ inar la resultante, los vectores se deben colocar de tal manera qu e la cola de B se ubique en la p un ta

de A. Para verificar la ley conmutativa, los vectores se dibujaron d e nuevo, d e mo do qu e la cola de A se localice en

b pu n ta de B. La resu lta nt e es el v ec tor d ib ujad o d e la co la de l pr im er vec tor, e l or igen , a la p u n ta d d se gu nd o

vector. En la figura 3.9 se p resentan los dos diagramas.

2. M id a la resu ltan te

la longitud del vector R es de 66 in/s. Para definir completamente el vector R también se requiere la dirección. Elángulo de la horizontal al vector R e¡ de 57°. Por lo tanto, la m ane ra correcta de presentar la solución es:

figura 3.9 Efecto com bina do d e lo s vectores A y B del problema de ejemplo 3.5.

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50 CAPITULO TRES


O term ine gráficamente el efecto com binado de los vectores de fuerza A, B, C y D que se muestran en la figura 3.10.

Ejrala

fi g u ra 3.10 Víctores del problema de ejemplo 36.

SO LU CIÓ N : 1 . Construya diagrama s d e los vectores

Para determ inar b resultante, se deben colocar Ico vectores de manera que la cola de B se ubique en la pun ta

de A. Luego la cola de C * coloca sobre la p unta d e B. Finalmente, la cola de D se coloca sobre la pu nta de C . De

nieva cu enta, el orden d e los vectores no es impo rtante, y se utiliza cualquier combinación. Co m o ilustración, se

usa otra combinación arbitraria en este ejemplo, l a resultante es el vector dibujado de la cola del p rimer vector,

en el origen, a la punta del cu arto vector. En la figura 3.11 se dus tran los diagramas de los vectores.

2. M id a la re su lta nt e

la longitud m edida del vector R es de 521 in/s. Para definir completamente el vector R tam bién se necesita la d i

rección. El ángu lo m edido de la horizontal al vector R es de 68*. Por consiguiente, la manera correcta d e presen

tir la solución es la siguiente:

R - 521 in/s Á "

fi g u ra x i l Efecto comb inado de los vec tores A, B, C y D de l problema de e jemplo 3 .6.

3.9 SUMA ANALÍTICA DE

VECTORES (+>): MÉTODODEL TRIÁNGU LO

Se util izan do s m étodos analít icos para determ inar el efecto netode los vectores. El prim er métod o es m ejor cuando tan solo se re

quiere la resultante de do s vectores. G im o con el método gráfico,

los d o s v e c to re s q u e se v a n a c o m b in a r se c o lo c an p u n ta

ron-cola. La resultante se obtiene conectando la cola del prime r

vec tor con la pun ta de l segundo vec tor , de m odo q ue la resul tante form a el tercer lado d e u n triángulo. G eneralmente, este es

i»i triángulo oblicuo, po r lo qu e se aplican las leyes descritas en

b se cc ió n 3 .6 2 . La l on gitud del te rc er la do y su áng ulo d e refe

renc ia se de te rmina n apl icando las leyes de los senos y los

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Vectores 51

cosenos, con la finalidad de definir completamente el vector re- representan con negritas (D), en tanto que la magnitud del vec-

sultante. Este método se ilustra mediante un problema de ejcm- » r se representa con cursivas norm ales (D).

p í a Par a d is ti n g u ir co n cl ar id ad las ca ntidad es , lo s ve ctor es se


D e t e r m i n e a n a l í t ic a m e n t e l a r e s u l ta n t e d e l o s d o s v e c t o r e s d e a c e l e r a c i ó n q u e s e m u e s tr a n e n l a f ig u r a 3 . 1 2 .

F I G U R A 3.12 V ectores del prob lem a de ejemp lo 3.7.

S O L U C I Ó N : I . Ela bor e u n diag ra ma tre to rio l s im ple

lo s vectores se colocan punta-con-c ob, com o se indica en la figura 3.13. Observe que tan solo se requiere un

¿ag ram a simple porque la resultante se determina analíticamente.

R - A • > ■

fi g u ra 3.13 Efecto com bin ado d e los vectores A y B

del problema de e jemplo 3 .7.

2. D et er min e u n án gu lo i nt er no

El ángu lo entre A y la horizontal es de 20°. Si se revisa la figura 3.13, se advierte que el ángulo e ntre los vectores

A y B es:

0 - 2 0° ♦ 75* - 95 °

De modo que el problema para determ inar la resultante de los dos vectores es en realidad el caso de untr iángulo general , como el que se describe en la secc ión 3 (caso 3).

3. D et erm in e la m agni tu d de la re su ltan te

Al aplicar el procedimiento m ostrad o para un problema del caso 3, se utiliza la ley de los cosenos para calcular la

m ignitu d de la resultante:

R = V A 3 + B 2 - 2 A Bc os 6

= V W / s V + ( 2 3 f t/ s V - 2 (4 6f t/ sI )( 23 ft /s , ) |c os 95 *| = 53 .1 9 f t/s 2

4. Det erm in e la direcc ión de la m agn itud

S e usa la ley de los senos pa ra calcular el ángulo entre los vectores A y R:

'‘ “ “ " { ( I M

I (53.19ft/s2) sen 95* J

5. Es pe ci fiqu e c o m p le ta m ente la re su lt ante

S ángulo a p artir de la horizontal es de 20* + 25-5* = 455 \ l a resultante se escribe correctamente como:

R - 5 3.19 f t /s2 4 5 ,5 \

o bien.

R = 5 3 . 1 9 ft /s 2 / 1 3 4 . 5 *

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52 CAPITULO TRES

3.10 COMPONENTES

DE UN VECTOR

El se g u n d o m é to d o p a ra d e t e rm in a r a n a l í ti c a m e n te la r e su l

tante de vectores es más adecuado para los problemas do nde se

com binan má s de dos vec tores. Este métod o impl ica la sepa-

rad ón de los vec tores en com ponentes perpendiculares .La descomp osición de un vector es lo inverso de la combi-

nad ón de vec tores. Un vec tor indiv idua l se puede descomponer

e n d o s v e c to re s se p a ra d o s , a l o l a rg o d e d i r e c d o n e s c o n v e

nientes. Las dos com ponen tes vectoriales t ienen el m ismo efecto

qu e el vector original.

Bi la mayoría de las aplicaciones se recomien da concentrarse

en u n co nju nto de vectores orientado s vertical y horizontalmente,

de mod o que un problema típico implica determinar las compo

nentes h orizontal y vertical de u n vector. El pro blem a se resuelve

con el m étodo de punta-con-cola, aunqu e invertido. Para explicard método, en la figura 3.14 se ilustra un vector cualquiera A.

f i g u r a 3 . 1 4 Com ponentes de un vec tor.

Se dibujan do s vectores con la p un ta de un o en la cola del

otro, u no a lo largo de la vertical y e l o t r oa lo la rgo de la hor izon

tal. qu e tienen el efecto neto del o rigina l La cola del vector ho ri

zontal se coloca en b cola del original y la pun ta del vector verti

cal se coloca en b punta del vector originaL En b figura 13.4b se

muestra esta descomposición del vector en sus com ponentes h o

rizontal A* y vertical A,. Recuerde que el ord en d e la sum a de los

vectores n o es imp ortante. P or consiguiente, es irrelevante si se

db ujan pr im ero e l vec tor hor izonta l o e l ver t ica l . En b f igura

3.14c se ilustran b s co mpon entes de un vector general en el or

den opuesto

O b se rv e q u e b m a g n itu d d e b s c o m p o n e n te s se c a l c u b d e

t e rm in a n d o lo s b d o s d e l o s tr i á n g u lo s m o s t r a d o s e n b f ig u ra

3 .14 . Estos triángulos siempre son triángulos rectángulos, po r loque se pueden usar los m étodos descr itos en b secc ión 3 .3 . Las

direcc iones de b s com ponentes se tom an de los d iagramas de

vectores de b s figuras 3.14b o 3.14c. La no tad ón estándar con

ist e en definir com o positivos los vectores horizontales dirigidos

ha da la derecha. De la m isma forma, to dos lo s vectores verticales

¿r íg id os h ada a rr iba se tom an com o posit ivos. Entonces, la d i-

tecc ión d e b s compon entes se de te rmina a p ar t i r de l s igno a lge

bra ic o a so ci ad o co n la co m ponen te .

Un método a l te rna t ivo para de te rm inar b s componentes

rectangulares de un vector es identificar el ángulo del vector con

e l e je posit ivo de b s x en un sis tema conven dona l de coordenadas cartesianas. Este ángulo se de no ta co m o 0 . La m agnitud

d e b s d o s c o m p o n e nt es s e c a l c u b u s a n d o r e b e l o n e s t r i g o

nom étricas básicas como

A», = A eos 6 ,

A v = A s e n 0 ,

(3.9)

(3.10)

la imp ortancia d e este método radica en el hecho de que

b s d ir ec c io n es de b s c o m p o n en te s so n ev id en te s e n el si gn o

que resul ta de la func ión t r igonométr ica ; es dec i r , un vec

to r q u e a p u n ta h a d a e l se g u n d o c u a d ran te d e u n s i st em a c o n

vencional de coordenadas car tesianas t iene un ángu lo 0„ entre

90“ y 180*. El coseno de u n áng ulo com o este da com o resul-t ido un va lor negat ivo; y el seno, un va lor p osi t iva Las ecua-

do nes (3 .9) y (3 .10) impl ican que b com ponente hor izonta l es

n e g a tiv a (e s d e c ir , h a c ia b i z q u ie rd a e n u n s i s te m a c o n v e n

c iona l de co ordenadas car tesianas) , m ientras la compo nente

ver tical es posi t iva (es de dr , had a a rr iba en un sis tema conven

do na l de coordenadas car tesbnas) .


E n l a f ig u r a 3 . 1 5 s e p r e s e n t a u n a t u e r z a F, d e 3 . 5 k N . D e t e r m i n e la s c o m p o n e n t e s h o r i z o n ta l y v e rt ic a l d e e s t a fu e r za

a » n e l m é t o d o a n a l ít i c o d e l t r iá n g u lo .

F IG U R A 3 . 1 5 V e c t o r d e t u e r z a d e l p r o b l e m a de e j e m p l o 3 . 8.

SO LU CIÓ N : 1 . Dib uj e la s co mpo ne nt es del vecto r

la com ponen te horizontal del vector se dibuja a p artir de la cola del vector F. Li com ponente vertical del vector

se dibuja a partir del vector horizontal a la pu nta del vector de tuerza original. En b figura 3.16 se muestran b s

dos componentes.

FIGURA 3 .16 Componentes de b fuerza del problema d e ejem plo 3 . 8 .

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Vectores 53

2. L ie e l méto do del triá ng ul o

Trabajando con el triángulo rectángulo, se escribe una expresión para amb as componentes con el uso de Jun

ciones trigonométricas:

JCT 3 5 » - c at el ° °Pu es l° _ F,

hipotenusa 3 3 kN

cateto adyacente F»eos 35° = ------------ - —

hipotenusa 3 3 kN

Ambas expresiones se despejan en términos de la m agnitud de las com ponentes deseadas:

F„ = (33 kN) eos35° = 187 kN —

= - 2 3 7 k N

F„ - ( 3 3 k N ) s en 35* - 1 0 0 k N ¿

- - 2 0 0 kN

3. L ie e l m éto do del áng ul o co n e l eje x

Se obtiene u na solución alternativa usan do las ecuaciones (3.9) y (3.10). El ángulo 9 , del eje x positivo al vector

F es de 215*. Las comp onentes se c alculan com o sigue:

F * - F e o s » , - ( 3 3 k N) e o s 215’ - - 2 3 7 kN

= 2 3 7 k N —

F , = F se n 9 , = ( 3 3 k N ) se n 2 15 * = - 2 0 kN

= 2 .0 kN]

3.11 SUMA ANALITICA DEVECTORES (+>) : M ÉTODO

DE COMPONENTES

Las com ponentes de un co njunto de vec tores s i rven para de te r

m inar e l e fec to ne to de los vec tores. Com o se m encionó, este

método es mejor cuando se necesita com binar más de d os vec

tores, además de qu e implica la descomposición de ca da vector

indiv idua l en s us com ponentes hor izonta les y ver t ica les . En

general, se usa la conv ención del signo algebraico para las co m

po nen te s, c o m o ya s e d es cr ib ió .Luego se suman todas las componentes hor izonta les para

obtener una com pone nte ún ica, la cual representa el efecto ho ri

zonta l ne to de l conju nto de vec tores. Es imp ortante destacar

que las magni tudes de las com ponentes se pued en su m ar s in d i

ficultad por qu e todas tienen la misma dirección. Estas com po

nentes se t ra tan com o m agni tudes esca la res . Se usa un signo

posi ti vo o u n o neg at iv o para d e n o ta r el se nti d o d e la c o m p o

nente. Este concepto se resum e en la siguiente ecuación:

Rh = Ah + Bh + Ch + O* + . . .

De igua l manera , se sum an todas las com ponen tes ver ti -

en una sola componente vectorial, la cual representa el

vertical neto del conju nto d e vectores:

R r = A , + B y - r C y + D v + . . . (3.12)

Ahora se suman vec toria lmente las dos com ponentes ne tas

pa ra o b te n e r la re su ltan te . l a s (u nci on es t ri g on om ét ri cas s e u t i l izan pa ra ob tener las ecuaciones siguientes:

R = V R ¿ + R 2 ,

‘- “ " ( I )

(3.13)

(3.14)

(3 .11)

La resultante es el efecto comb inado de la serie com pleta de vec

tores. El procedimiento ante rio r se aplica m ás eficientemente

cuando los cá lculos se organizan en una tab la , como se muest ra

en el problem a de ejem plo siguiente.


Tres fuerzas actúan so bre un gancho, como se indica en la figura 3.17. Determine el efecto neto de tales tuerzas con el

método analítico de componentes.

SO LU CIÓ N : 1 . Use el m étodo de l ángulo con e l eje x para d eterm inar las componentes de la resultante

Se determinan las co mp onentes horizontal y vertical de cada tuerza p or trigonometría, las cuales se ilustran e n la

figura 3.18. También se mu estran los vectores reorganizados del modo p unta- con-c ok. Las componentes están

organizadas en la tab la 3.1.

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54 CAPITULO TRES

C - 501b

fi g u ra 3.17 Fu m as de l problema d e e jemplo 3 .9.

FIGURA 3.18 C om pon ente s de los vectores en el prob lema de ejemplo 3.9.

r ^' lA B L A 3 .1 C o m p o n e n t e s d e l o s v e c to r e s p a r a e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 3 . 9 |

Ángulo de Componente h(l>) Componente» (Ib)Vector referencia 0 , n , - f co* o . 1, “ F k»i 0,

A 0* A* - (30)cos <r - + 30 t> A , - (30)sen 0° - 0

B 45* ^ - ( 20)<« 45* - +14.14 Ib B, - (20)tcn 45* - +14.14 Ib

C 120* q , - (50)coa 120* - - 25 Ib C , - (50)sen 120* - +43JO fe

R* - 19.14 R , - 57.44

Observe en la figura 3.18 que la sum a de las magnitudes de las comp onentes horizontales sigue la trayecto

ria de la "distancia” total navegada por los sectores en l a dirección horizontal. Lo mo m o es válido para la suma

de las mag nitudes de las comp onentes verticales. Esta es la lógica detrás del mModo de componen tes en la com

bina ció n d e vec tores . En est e prob lem a, las su m as de l as c om po ne ntes in dividu ale s ho rizo ntal y v ert ical no s da nhs com ponentes de la resultante como sigue:

R#, = 19.14 Ib

y

R, = 57.44 Ib

2. Combine las componentes d e la resultante

la resultante es la sum a vectorial de los do s vectores perpendiculares, com o se mues tra en la figura 3.19.

fi g u ra 319 Vector resultante del problema d e ejemplo 3.9.

la ma gnitud de la resultante se obtiene con la ecuación (2.13):

R = V R l 4- Rj __________

14 fc)2 + (57.44Ib)2 - 60341b

C = 501b

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Vectores 55

Se calcula el ángu lo de la resultante:

— ' O — •

Por lo tanto, la resultante de las tres tuertas se define formalmente com o

R - 6 0 54 I b / ^ l ó *

3.12 RESTA O SUSTR ACC IÓN

VECTORIAL (-> )

En a lgunos casos, se desea conocer la d i fe renc ia en t re cant i dades vectoriales. En tales situaciones, deb en restarse los vec

tores . El s ímbo lo -> representa la sust racc ión de vec tores, la

cual es la diferencia d e la resta algebraica [ref. 5). La res ta de

vec tores se rea liza de ma nera s imi la r a la sum a. D e hecho, la

resta sum a e l vec tor nega t ivo u opu esto de l vec tor q ue se va

a restar . El nega t ivo de un vec tor tiene la m isma m agni tud ,

p ero en di re cc ió n c o n tr a ri a . L a f ig ur a 3 .2 0 ilus tr a el v ec to r A y

su n e g a tiv o - > A .

Ya sea que se u se el mé todo gráfico o el analít ico, habrá que

dibuja r u n d iagrama de los vec tores para entender e l procedi

miento . Considere un problema do nde e l vec tor B se debe resta r

del vector A, co m o se indica en la figura 3.21a.

b) e)

fi g u ra j j i Resta de vectores.

Esta sustracción se efectúa dibujando prim ero el negativo

de l vec tor B, -> B . Lo ante r ior se i lust ra en la f igura 3 .21b.

Luego, el vec tor -> B se sum a a l vec tor A, com o se indica en la

figura 3.21c. La resta se establece matem áticamente com o

I = A - > B = A - > ( -> B )

Observe q ue la expresión es idéntica a la resta de cantidades es

calares con los m étodo s algebraicos básicos. Asimismo, se de

signa com o I el resultado de la resta vectorial. La notació n R se

reserva norm almen te para representa r e l resul tado de un a sum a

de vectores.

La figura 3.2 Id indica qu e se obtiene el mismo resultado dela resta vectorial colocando el vector B sobre el vector A. pero

con or ientac ión opuesta de pun ta a co la . Este método sue le se r

el preferido, después de a dq uirir de rta confianza, ya que elimi

na la necesidad de vo lver a dibujar el vector negativo. De manera genera l, los vec tores se sum an co n e l form ato pun ta -con-

cola . mientras que se restan con e l formato pun ta -con -pun ta Se

revisará este concepto co n más detalle , conform e los métodos

individuales de so lud ón se revisen en los siguientes problemas

de ejemplo.

3.13 SUSTRA CCIÓN GRÁFICA

DE VECTORES ( -> )Co m o se vio. la resta de vectores se parece mu cho a la sum a de

vectores. Para restar vectores gráficamente, se reubican p ara fo r

m ar d iagramas vec toria les de pu nta -co n-pu nta El vec tor qu e se

resta rá debe t ra ta rse de l mo do qu e se indicó en la secdó n 3 .12 .

De nu eva cuenta, el proceso de resta de vectores puede rea

lizarse gráficamente con técnicas de d ibujo manual, o bien, conu n so f tw a re d e c a d . In d e p e n d ie n t em e n te d e l m é to d o q u e se

utilice, los conceptos subyacentes son idénticos. Los detalles del

pro ce so s e m uestr an en los e je m plo s s ig uien tes .

PRO BLEMA D E EJEMPLO 3 .1 0

l>Hermine gráficamente el resultado de la resta del vector de velocidad B del vector A: J = A - > B.el cual se mues

tra en la figura 3.22.

0 2 0 4 0A - 3 2 in& / I— I— I— I— I

- B - 5 6 I n f c

figura J.22 Vectores del prob lema de ejem plo 3.10.

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56 CAPITULO TRES

SO LU CIÓ N : 1 . Construya rí diagrama vectorial

Para obtene r el resultado, los vectores se ubican en la form a punta-con-cola, pero con el vector B ju n ta n d o ha

d a el vector A. De nueva cuenta, esto ocurre porque el vector B * está restando (lo opuesto a la aim a). En lafigura 32 3 se presenta el diagrama vectorial.

® 2 6 jII W. «V»* » * IMR

' - - a

.1 = A

.1 = 5 6 . 8

Bmtr/wnM rf— « f J »1R40W

FIGURA 3.23 J = A - > B d d p r o b le m a d e e je m p lo 3.1 0.

2. M id a e l res ult ad o

La resultante se extiende de la cola d e A. el origen, a la cola de B. La longitud me dida del v ector J es de

56.8 in/s .También se requiere la dirección pa ra definir completamente el vector | . El ángu lo de la h orizontal al vector

i es de 99°. Por lo tanto, la m anera correcta de presentar la solución es co mo sigue:

I = 566 in /s Á \ °

o bien,

I = 5 6 6 i n /s 9 9 * \

PRO BLEMA D E EJEM PLO 3 .1 1

Determine gráficamente el resultado de I « A - > B - > C -f > D de los vectores de fuerza que se ilustran en la

figura 324 .

A = 2 0 0 I b

3 0 0 1 b

C-1 7 8 1 b

0 10 0 200I 1----- 1-----1-----1

figura 3.24 Vectores del prob lem a de ejem plo 3. 11.

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Vectores 57

S O L U C I Ó N : I . Construya el diagrama vtttorial

P ú a d eterminar el resultado de I = A —> B —> C + > D . los vectores debe n reubicaree punta-con-cola o

p in ta -c o n-p un ta . de pen die ndo de si s e sum an o se restan . Es n ec esar io qu e el v ec to r B se dibu je a p unta ndo ha d a e l sector A . porq ue B se está restando. Algo parecido sucede con el vector C. Luego, la cola del secto r D se

coloca sobre la cola de C , porque D se va a sum ar a la serie de vectores previamente ensamb lados. El diagram a de

la solución sectorial se muestra en la figura 325 .

FIGURA 325 Resultado del prob lem a de ejem plo 3.11.

En el polígono sectorial de la figura 32 5, se observa que los vectores B y C aparecen colocado s hacia atrás,

lo cual ocurre en b resta de vectores.

2. M id a e l m u lt a d o

La longitud del sec tor I es de 365 Ib. El ángulo de la ho rizontal al vector I es de 81*. Por lo tanto, la manera

correcta de presentar la solución es c om o sigue:

I = 365 Ib Al°

3.14 RESTA VECT ORIAL

ANALÍTICA ( -> ) : MÉTODODEL TRIÁNGULO

C om o en la sum a analít ica de vectores, el método del triángulo

se adapta m ejor cuando se manejan solamente do s sectores. Se

deberla trazar un d iagrama vectorial usand o la lógica qu e se des

cribió en la sección anterior. Luego se usan las leyes del trián-

31I0 pa ra determ inar el resu ltado de la resta de vectores. Este

método genera l se i lust ra a t ravés de l s iguiente problema de

ejemplo.

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58 CAPITULO TRES


O term ine analíticamente el resultado de la operación con vectores J • A - > B qu e se muestra en la figura 3.26.

F I G U R A 3 . 2 6 Vectores del pro blem a de ejemplo 3.12.

S O L U C I Ó N : I . Dibuje u n di ag ra m a vec torial s im pl e

Se colocan los vectores en un polígono vectorial, como se indica en la figura 3.27. Nuevamente, el vector B secoloca apun tando luc ia el vector A porque se va a restar. Observe también qu e se requiere tan solo un diagrama

am pie porque la resultante se determina analíticamente.

F I G U R A i J 7 Resultado del problem a de ejemplo 3.12.

D ete rm in e un án gu lo i n te ri or

Como el ángulo entre A y la horizontal es de 15a. el ángulo entre A y la vertical es de 75°. Observe que el ángulo

entre la vertical y A es el m om o qu e el áng ulo identificado como 6-, por lo tanto, H = 75" .

H problema para determinar la resultante de A - > B es en realidad el caso de un triángulo general, como

el descrito en la sección 3.6 2 (caso 3). Dete rm in e l a m ag nitud d e la resu ltan te

Al aplicar el procedimiento definido para el problema del caso 3, se usa la ley de los cosenos para c ak uh r la mag

nitud de la resultante:

1 = Va' +# - 2 ABcose- \/ ( 1 5 fty»2)2 ♦ (10 ft/s2)2 - 2(15 ft/s2)(10 (t/s2) eos 75* - 15.73 ft/s2

4 . D et erm in e la di re ct ió n d e la re su ltan te

Se utiliza la ley de los senos para calcular el ángu lo entre lo s vectores A y J:

sen

5 . Especi fiq ue co m pl et am ent e e l resu ltad o

Al exam inar la figura 32 7, se observa que el ángulo qu e hace ) con la horizontal es de 37.9* - 15® - 22.9®. La

solución se escribe correctam ente como

I - 15.73 f t/ s2 2 2 .9 /

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Vectores 59

3.15 RESTA VECT ORIAL ANA LÍTICA (-> ):

MÉTODO DE COMPON ENTES

Para determ inar el resultado analít ico de la resta de un a serie

de vectores es m ejor util izar el m étodo d e compo nentes, lo cual

se hace de la misma form a que en la sum a de vec tores.

Considere d problem a general de la resta de vectores definido

p o r la si guie nte ec ua ci ón :

I = A + > B - > C + > D + > . . .

Se de te rm inan las com pon entes hor izonta l y ver t ica l de cada

vector (com o en la sección 3.10). Tam bién se requ iere aplicar

u n a c o n v e nc ió n d e s ig n o s p a ra d e n o ta r d se n tid o d e l a s c o m p o

nentes. La convención qu e se util iza en la sección 3.10 designaba

las com pon entes que apun taban hacia arriba o hacia la derecha

con un sign o algebraico positiva

Puesto qu e se t ra ta de mag ni tudes esca la res , las com po

nentes individuales se com binan algebraicamente al sum arse o

restarse. Para el problema general defin ido aqu í, las com ponentes

vertical y horizontal de la resultante se escriben com a

Ih - A * + Bf , - Q , + D f, + .. .

7V = A v + B r - C v + D v + . . .

Observe que las comp onentes de C se restan de todas las demáscom pone ntes, lo cua l es consistente con la resta deseada del

vector. Entonces, con las ecuaciones (3.13) y (3.14), se com bi

nan vec tor ia lmente las dos componentes resul tan tes en una

sola resultante, que es resultado de la manipulación vectorial

de la se rie de vec tores com ple ta . De nueva cuenta , e l proce

dimiento se pu ede apl ica r más e f ic ientemente cuando los cá lculos se organizan en una tab la .


Determine analíticamente el resultado de J = A —> B + > C + > D para los vectores de velocidad mostrados en lafigura 328 .

A = 6 ffs

C - 8 ft/s

í FIGURA 328 Fuerzas del pro blem a de ejem plo 3.13.

SO LU CIÓ N : I . Ela bor e u n diag ra ma vec to rial ¡a tr il lo

la s co mpo nentes horizontal y vertical de cada velocidad se determinan aplicando las ecuaciones trigono métri

cas (3.9) y (3.10), que son las qu e se muestran en la figura 329 . También se m uestran todos los vectores reubica-

dos en u na sola serie: punta-con -cola para la sum a y cola-con -punta para la resta.

FIGURA 329 Resultado del prob lem a de ejem plo 3.13.

l i e el método de l ángulo con el efe x para determ inar las componentes

Los valores de las compon entes se listan en la tabla 32.

F T A B L A 3 .2 V al or es d e l os c o m p o n e n t e s p a r a e l p r o b l e m a d e c jm p l o 3 . 13 1r -------------------

Angulo de Componente h (ft/s) Componente v(ft/a)Vector referencia 0, Vfc - V CO40, V ,m V m n í,

A 300* *3.00 -5.19

B 195* - U 3 9 - 3 . 1 !

c «5* +5.66 ♦ 53 6

D 330* ♦8.66 -5 .0 0

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6 0 CAPITULO TRES

3 . Dete rm in e las co m po ne nt es d e la so lu ción

la manipulación algebraica de las compooentes vertical y horizontal proporciona las componen tes de la resul

tante:

K = A h ~ B* + Q + D*

= (+3.0) - ( —1139) + (+ 53 6) + (+ 83 6) = + 28.91 f t/ s

l r m A . - B , + C y + D ,

- ( - 5 .1 9 ) - ( -3 . 1 1 ) ♦ ( + 5 36 ) + ( - 5 0 0 ) - - 1 .4 2 ft /s

4 . Com bine las componentes d e la solución

La m agnitud y la dirección de la resultante se determ inan sum ando vcctorialmcnte las comp onentes

(figura 330).

j — -r

fi g u ra X30 Vector resultante del problem a de ejem plo 3.13.

la ma gnitud de la solución se determina con la ecuación (3.13):

______________

- V (28.91 f t/ s)J + ( -1 .42 f t /s)* - 28 .94 f t / s

B ángulo de la solución se calcula a partir de la fond ón tangente:

' * ' " “ - ‘( s S T K í ) * - 2'8'

Por lo tanto, la solución se establece formalm ente como

I = 28.94 ft/s\? .S r

3.16 ECUA CIONES VECTOR IALES

C om o se v io en la sec dó n 3 .8, las op erad one s vec toria les se

p u ed en e x p re sar en fo rm a d e e c u a a o n e s . La ex p re si ón p ar a

resta r dos vec tores, I ■ A - > B, es en rea lidad una ecuac ión

vectorial. Las ecuaciones vectoriales se util izan de form a similar

a las ecuaciones algebraicas. Los términos se podrían intercam

b ia r de la d o d e la i gu alda d m od if ic an do su s sig no s. P o r e jem pl o,

la ecuación

A + > B —> C = D

se replantea com o:

A + > B = C + > D

Se ha visto la im porta ncia de las ecuaciones vectoriales con las

operaciones de su m a y resta d e vectores. En la sum a vectorial,

los vectores se ubican punta-con-co la, en tan to q ue la resultante

es un vec tor qu e se ext iende desde e l or igen de l pr imer vec tor

hasta la pun ta de l vec tor f ina l. Id f igura 3 .31a i lust ra e l d ia

gram a vectorial de lo siguiente:

R = A + > B + > C

a) b) dA «->■*>C ’ ■ ■ ♦ > € - ■ - > A A * > C - -> B * > «

figura 331 Ecua don es vectoriales.

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Vectores 61

La ecuación se replantea como:

B + > C = R —> A

El diagrama vectorial mostrado en la figura 3.31b ilustra esta

forma d e la ecuación. Observe que com o el vector A se resta del

vector R. el vector A debe apu ntar h ad a R . Recuerde qu e este es

el m étodo opuesto al de punta-con-coia. ya que la resta es opuesta

a la suma.

Observe que com o el diagrama forma un p olígono cerrado, b m ag nit u d y la d ir e c d ó n d e to d o s l o s v ec to re s s e m an ti en en

iguales. Esto v alida qu e las ecuaciones vectoriales se utilicen sin

altera r su significado. La ecua dó n pu ede replan tearse un a ve?

más com o (f igura 3J le):

- > B + > R = A + > C

C om o se i lust ró en la f igura 3 .31 , una ecuac ión vec tor ia l se

p u ede r ep la nte ar d e v ar ia s m an era s d iferen te s. S i bi en lo s p ol í-

gon os vectoriales creados po r las ecuadones tienen formas dis

tintas, los vectores individuales permanecen sin modificadón.C on este pr in dpio , es posib le esc r ib i r un a ecu ad ón vec toria l para de scr ib ir u n d ia g ra m a vec to rial .

PROBLEMA DF. EJEM PLO 3.14

Escriba una ecua dó n vectorial para el arreglo de los vectores mostrado en la figura 3J 2 .

figura 3J2 Diagram a vectorial del problem a de ejemp lo 3.14.

SO LU CIÓ N : 1 . B cri ba u n a ec ua ción pa ra se gu ir la s d os t ra ye ctor ias de O, a P,

Utilice el pun to O] com o el origen de la ecu adó n vectorial y siga las trayectorias al pu nto P|¡

La t ra ye ctor ia su pe r io r e st ab le ce : A + > B + > C + > D

La trayectoria inferior establece: E + > F

G im o inician y terminan e n u n p unto com ún, ambas trayectorias deben ser vectorialmente iguales. Por

consiguiente, la ecuación se escribe como:

0 , P , ■ A + > B ♦ > C + > D ■ E f > F

2. Bcri ba u n a ec ua ción pa ra se gu ir las d os tra ye ctor ia s de O ¡ a P,

Se puede escribir otra ecu adó n usan do el pun to 0> como el origen y siguiendo las trayectorias al punto P,:

La trayectoria superior establece: C + > D

L a trayecto ria in ferio r es tablece: - > B - > A + > E + > F

de modo qu e b ecuad ón se escribe com o sigue:

O jP , - C + > D - - > A - > B » E + > F

Observe que estas son dos formas de la m isma ecuación.

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6 2 CAPITULO TRES


Escríba una ecuación vectorial para el arreglo de vectores mostrado en la figura 353. Luego, replantee la ecuación

para e lim in ar lo s term ino» ne ga tiv os y ela bo re el d iagr am a ve ctor ial cor re sp on dien te .

fi g u ra X » Diagrama vector ia l de l problema de e jemp lo 3 .15 .

S O L U C I Ó N : I . B e riba un a ecuación para tep iir laidos trayectorias de O a P

Utilice el pu nto O como el origen de la ecuación vectorial y s igi las trayectorias al pu nto P .

La t rayec tor ia super ior establece : A - > B + > C - > D

La trayectoria inferior establece: - > E + > F

Por lo tanto, se escribe una ecuación como

O P = A —> B + > C - > D = - > E + > P

2. Repla nte e la e cu ac ió n

Para eliminar los términos negativos, los vectores B, D y E se deben trasladar a sus respectivos lados opuestos de

h ecuación. Esto genera la siguiente ecuación:

A + > C + > E ■ H f > » + > F

Observe que el orden de la suma no tiene imp ortancia. En la figura 354 se m uestra un nuevo arreglo de los

vectores.Es necesario a dq uirir familiaridad co n Las ecuacion es vectoriales confo rme se usan extensivamente en el análisis

de mec anismo s. Por ejemplo , la obte nción d e k» aceleración en m ecanismos simples implica ecuaciones vectoriales

con seis o más vectores.

figura 354 Diagram a replanteado del problem a de ejemplo 3.15.

3.17 APLICAC IÓN DE ECUACIONES

VECTORIALES

Ca da vec tor de una ecuac ión representa dos cant idades: una

magn itud y una dirección. Po r consiguiente, un a ecuación vec

torial t iene realmente do s restricciones: la com binac ión de las

m agnitud es vectoriales y las direcciones debe ser equivalente.

R>r ello, una ecuación vectorial se util iza para resolver do s i n

cógnitas. En los problemas de sum a y resta estudiado s anterior

me nte, se determinab an la m agnitud y la dirección de la resul

tante.

Una situación com ún en el análisis de mecanism os implicade te rminar la m agni tud de dos vec tores cuando se conoce la d i

rección de tod os los vectores. Co m o e n la sum a de vectores, este

pro ble m a ta m b ié n co n ti en e d o s i ncó gnit as , d e m o d o q u e un a

ecuación vecto rial es suficiente pa ra efectu ar el análisis.

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Vectores 63

3.18 DETERM INACIÓN GRÁFICA DE

MAGN ITUDES VECTORIALES

En problemas donde hay qu e de te rm inar la m agni tud de dos

vectores, la ecuación se deberia plantear de m odo q ue u no de

los vectores desconoc idos sea e l ú l t im o té rm ino en cada lado

de la ecuac ión . Para i lust ra r este p unto , considere e l caso enque se debe n calcular las ma gnitude s de los vectores A y B. La

ecuac ión vectorial es la siguiente:

A + > B + > C = D + > E

la cual se replantea com o

C + > B = D + > E - > A

Observe que lo s vectores A y B, con m agnitudes desconocidas,

son los ú l t imos té rminos en ambos lados de la ecuac ión .

Para resolver gráficamente este problem a, se sabe qu e los

vectores en cada lad o de la ecuación se colocan punta-con-cola

(o pun ta-con -pun ta. si los vectores se restan) partiendo d e un orí

y n común. Desde luego, ambos lados de la ecuac ión deben te r

minar en e l mismo p un ta f t» lo tan ta Hay que inser ta r las l ineasen la direcció n adecuada e n el polígo no vectorial. La intersección

de las da s lineas representa la igualdad de la ecuación que rige yresuelve el problema. Las lineas se mid en con la escala corresp on

diente para d eterm inar las magnitudes de los vectores desconoci

dos. También se descu bre el sentido del vector desconocido.

Este proceso p ara d eterm inar las m agnitudes vectoriales se

p u ede re al iz ar d e m an er a g rá fic a: p ara e l la ha br á q u e u sa r té cn i

cas m anuales de d ibujo o un sof tware de CAD. Indepen dien

tem ente del m étodo q ue se util ice, la estrategia subyacente es

idéntica. La estrategia de so lución se explica m ediante problemas

d e e j e m p la


Se escribe un a ecuación vectorial como

S O L U C I Ó N :

A + > B + > C = D + > E

Se conocen las direcciones de los vectores A. B, C. D y E. asi com o las magnitudes de los vectores B. C y D (figura 3.35).

Determine gráficamente las magnitudes de los vectores A y E.

I - 100 Inés2

D * 150 Inte*

C - 124 InA7 \

E r a l a :

0 50 100I- ♦ ■> -I

Irv's*

f i g u r a 3J 5 Vectores de l problem a de e jemplo 3 .16 .

1. Re ptan ter las ec ua cion es vecto ria les

Primero, la ecuación se replantea de mod o que las magnitudes desconocidas aparezcan como el últim o térm ino

en cada lado de la ecuación:

B +-> C + > A = D +-> E

2. Coloque en e l diagram a todos los sectores com pletam ente conocidos

Usando el pu nto O como origen común, se dibujan los vectores B y C co mo punta-con-cola. Como se encuentra

del o tro lado d e la ecuación, el vector D se deberia dibu jar a partir del origen (figura 3.36a).

Dirección A- A

FIGURA 3.36 Diagramas vectoriales del prob lema de eje mp lo 3.16.

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64 CAPITULO TRES

f i g u r a 3 J6 {Continuación).

3 . Ubique lineas d e dirección para los vectores desconocidos

Bid entem ente, los vectores A y E cierran el hueco entr e el final de los vectores C y D . Se coloca una linea querepresenta la dirección del vector A a i la pun ta de C . Esto está definido po r el lado izquierdo de la ecuación sec

torial. Asimismo, se coloca una linca qu e representa la dirección del vector E en la pu nta d e D (figura 33 6b ).

4 . Bre arte los v ec to re s desc onocido s en l a i nter se cc ión y mid a

0 punto de interjección d e las dos lineas define tanto h mag nitud como el sentido de los vectores A y F- Se dibuja

un polígono vectorial comp leto, co m o establece la ecua ción vectorial (figura 3J 6 c).

Al med ir los vectores A y E se obtiene n los resultados siguientes:

A * 160 in/s2 -*

E - 306 in /s2?

P R O B L E M A D E E J E M P L O 3 . 17

Lha ecua ción vectorial se escribe com o sigue:

A + > B - > C +•> D ■ E + > F

Se conocen las direccio nes de los vectores A, B, C. D, F. y F. asi co mo las magn itud es de los vectores B, C, F. y F,

com o se muestra en la figura 33 7. Obteng a gráficamente las magnitudes de los vectores A y D.

F -1 00 in*2

Bcab:

0 50 100F > ■* ♦ 1

Ws2

F IG UR A J J 7 V e c t o r e s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 3 . 1 7 .

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Vectores 65

S O L U C I Ó N : I . Kr plan tee la e cu ac ió n vecto ria l

Se replantea primero la ecuación, de mo do que las magnitudes desconocidas aparezcan como el ú ltimo términoen cada un o d e los lados de la ecuación:

B - > C + > A - E + > P - > D

2. Coloque lot vectores completam ente conocidos en e l diagrama

Usando el punto O como origen com ún, se dibujan punta-con-punta los vectores B y C ( porque C se resta].

Com o se encue ntran del otro lado de la ecuación, los vectores E y F se colocan punta-con-co la partiendo del ori

gen (figura 338a).

a) «

figura 335 Diagramas vectoriales del proble m a de ejemplo 3.17.

3. Coloque las lineas direc áona les de los vectores desconocidos

Com o en d ejemplo del problema 3.16, los vectores A y D «bben cerrar el hueco entre los extremo s de los vectores C y F. Se coloca una línea que representa la dirección del vector A en la p un ta de C . Lo anterior está

definido por d lado izquierdo de la ecuación vectorial De igual manera, se coloca un a línea que representa la dirección del vector D en la pu nta de F (figura 338 b).

4 . Recorte l os vecto res desco nocidos en la in ters ec ción y m id a

0 pu nto d e intersección de las dos lineas define tanto ki magn itud com o el sentido de los vectores A y D. Se elige

d sentido de D en un a dirección qu e sea consistente con su resta del lado derecho de la ecuación. Se dibuja el

po líg on o vector ial co m pl eto, co m o lo de te rm in a la ec ua ción vec tor ial (fi gu ra 3 38c) .

Al me dir los vectores A y D s e obtienen los siguientes resultados:

A = 30 in/s21

0 - 6 8 in/»2 6 p \

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6 6 CAPITULO TRES

3.19 DETER MINA CIÓN ANALÍTICA DE LAS

MAGN ITUDES VECTORIALES

También se util iza un méto do analít ico pa ra determinar la mag

nitud de dos vectores en una ecuación. E n tales casos, se deben

de te rm inar las com ponentes vert ica l y h or izontal d e todos los

vectores, com o se indica en la sección 3.10. Las compo nentes delos vectores desconocidos se pueden escribir en términos de in

cógni tas . Co mo en los métodos de com ponentes ante r iores , se

debe adoptar una convención de signos algebraicos al calcular las

componentes, de m odo que , en este punto , se adquie re un sen

tido a rbitrario de los vectores desconocidos.

Las com pon entes horizontales de los vectores se t ienen que

apegar a la ecu ad ón vec tor ia l or ig ina l . Del mism o modo, las

comp onentes verticales se deberían apegar a la ecuadón vecto

rial . Asi, se fo rm an d os ecuaciones algebraicas y se tienen que

de te rm inar dos mag ni tudes desconoc idas. Al resolver las dos

ecuac iones s im ul táneas se obt ienen los resul tados deseados.

Cu a n d o u n a d e l a s m a g n i tu d e s d e t e rm in a d a s ti e n e u n s ign onega t ivo , indica que e l sent ido supu esto de l vec tor fue inco

rrecto. Ifor lo tanto, la mag nitud calculada y el sentido op uesto

definen completamen te el vector descono ddo.

Este método se ilustra en el siguiente problem a de ejemplo.


Lha ecuació n vectorial es co mo sigue:

A + > B —> C + > D = E + > F

Se conocen h s direcciones de los vectores A, B, C, Dk E y F, así com o las magnitudes d e los vectores B, C . E y F,com o se

muestra en la figura 33 9. Determine analíticamente las magnitudes de los vectores A y D.

I

f i g u r a 3.39 Vectores del proble ma de ejemp lo 3.18.

S O L U C I Ó N : I . Utilice el método del ángulo con e l eje x pa ra determ inar las componentes vectoriales

Las compon entes horizontal y vertical de cada foerza se determ inan con trigonometría. Para los vectores des

conocidos. se supone el sentido, m ientras las compon entes se determ inan en cu anto a las incógnitas. Para esteejemplo, suponga que el vector A ap unta hacia arriba y el vector D hacia abajo a la derecha. Las componen tes se

hdu yen en la tab la 33 .

[ t a b l a 3. 3 C o m p o n e n t e s v e c t o r ia l e s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 3 .1 8

r Angulo de Componente Alta'»1) Componente r(ln/*, >

Vector referencia 0 , *, = a c o te . a , - a sene.

A W 0 +A

B 60* •*0X1 +112.6

c 133* - 4 2 . 4 + 4 2 .4

D 300* + 3 0 0 D - . 8 6 6 D

E 30* + 1733 +100

P 180* - to o 0

2 . ililic e las ecuaciones vectoriales para obtene r las mag nitudes desconocidas

Se usan las comp onen tes par a generar las ecuaciones algebraicas que se dedu cen d e la ecuación vectorial o ri

ginal.

A + > B - > C + > l> = E + > F

componentes horizontales:

+ B k - Q i + D i, - E » + F i

(0 ) + (+6 5 .0 ) - ( -4 2 .4 ) + (+ 0 3 0 0 D ) = (+1 73 .2 ) + (-10 0X 1)

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Vectores 67

A , ♦ Br - C r + D , - E , * F,

(+A) + (+112.6) - (42.4) + ( -0 .866D) = ( + 100.0) + (0)

En este caso, b ecuación de la com pon ente h orizontal se despeja para obte ner D. En general, ambas ecua

ciones están acopladas y necesitan resolverse simultánea mente. En este ejemplo, b ecuación de la co mpo nente

horizontal se despejó para obten er lo siguiente:

D = -68 .4 in /s2

Se sustituye este valor de D en la ecuación de la com ponente vertical para obtene r

A - - 2 9 .4 i n /s 2

3. Especi ficar co m pl eta m en te lo s se cto res ca lcula do s

Co m o ambo s valores son negativos, las direcciones originales supuestas de los vectores desconocidos fueron

incorrectas. P or lo tanto, los resultados correctos son

A - 29.4 in/»2!

D - 68.4 in/s2 60 \

P R O B L E M A S

Aun cuando las técnicas manuales de d ibujo en los problemas

que requieren solución gráfica son didácticas, se recomienda

ampliamente el uso d e un paque te de c a d .

T r a b a j o c o n t r iá n g u l o s

3-1 . Determ ine analít icamente el ángulo 0 de la figura P3.1.

f i g u r a P3.5 P roble ma 5.

FIGURA P3.I Pro blem as 1 y 2.

3-2 . Determine analít icamente la longitud del lado A de la

figura P3.I.

3-3 . Dete rmine ana l í ticame nte la longi tud de l lado X d e

b fi gur a P3.3 .

3-4. Calcule el ángulo 9 y la h ipotenusa R dé la f igura P3.3 .

3-5. Calcule el ángulo 9 y la h ipotenusa R de todos los

triángulos d e la figura P3.5.

3 -6 . D e te rm in e e l á n g u lo p y la longi tud s de los dos es-

b b o n e s d e so p o rt e id én tico s d e la fi gu ra P3. 6, cu an do

X ” 150 m m y y “ 2 75 m m .

figura P3.3 Prob lemas 3 y 4.

3-7 . Determine la distancia x y la longi tud » de los dos es

labones de soporte idénticos de la figura P3.6. cuando

P = 35° y y = 16 in.

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6 8 CAPITULO TRES

3-8. I\ua el anaquel plegadizo de la figura P3.6, con p = 35"

y * = 10 in . de te rm ine las d is tanc ias * y y .

3 -9 . U n a m a rq u e s in a q u e t i e n e u n m o n ta j e d e 8 p o r 1 2 se

inc lina had a a rr iba 8 in ver t ica les , po r cada 12 in de

distanda ho r izonta l . De te rmine e l ángulo con la hor i -

rontal d e esta marquesina.

3-1 0. tora la ventana giratoria de la figura P3 .10, determine

Li long itud í de los do s eslabones de soporte idénticos,c u a n d o x = 8 5 0 m m , d = 5 00 m m y p = 35".

f i g u r a p j . 10 Problemas 1 0 y 1 1 .

3-1 1. Para la ventana giratoria de la figura P3 .10, determineel ángulo p cu a n d o x ■ 2 4 i n , d - 16 in y s - 7 in.

3-1 2. Si la altura h del camión m ostrado en la figura P3.12es

de 52 in, deter m ine la longitud necesaria de la ram pa

p i r a m an te n er u n án gu lo P = 30°.

f i g u r a P J .1 2 P r o b l e m a s 1 2 y 1 3 .

3-13. Para la ram pa mo strada en la f igura P3.12 , de te rmine

e l ángulo p que forma con e l sue lo . La a l tura de l

camión es de 1.5 m, en tan to que la rampa mide 4 m de

brg o.

3-14. La longi tud de la escale ra mostrada en b f igura P3.14

es de 12 ft y el ángulo p qu e hace con el suelo es de 70°.

D e term in e b d i s t a n d a v e r t i ca l so b re b p a re d , d o n d e

descansa la escalera

f i g u r a P3.U Proble ma s 14 y 15.

3-15. Pi ra b esca le ra mo strada en la f igura P3.14, de te rmine

el ángulo qu e form a con el suelo. La escalera tiene 7 m

de brg o y descansa sobre e l sue lo a 2 m de b pared .

3-16. Para b t ranspo rtadora agr ícob m ostrada en la figura

P3 .16, determ ine la longitud requerida d e la varilla de

« p o r t e . E l á n g u lo P es igual a 28" y las distancias son

x = 20 f t y d = 16 ft. Determine también b altu ra ver

t ica l de l ex t remo de b t ransportadora s i L = 25 ft.

3 -1 7 . P i r a b t r a n sp o r t a d o ra a g r i c o b m o s t r a d a e n b f ig u ra

P3.16, determ ine el ángulo P si se requiere u na altura

ver t ica l de 8 m en e l ex t remo d e la t rans portad ora y

x ■ 8 m , á « 1 0 m y L ■ 13 m.

3-1 8. Determine la altu ra vertical del cesto de b figura P3.18

cuando a = 2 4 in, i» = 36 in, c = 3 0 in , d = 6 0 in , e = 6 f t

y / = 10 ft.

f i g u r a P 3.I8 Problemas 18 y 19.

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3-19. Para el mo ntacargas descrito en el prob lem a 3-18, de

term ine la altura vertical del cesto cuando el cil indro

hidráulico se acor ta a 5 0 in.

S u m a g r á f i c a d e v e c t o r es

3-20. tora los vectores m ostrad os en la figura P3.20, deter

m in e g rá fi ca m e n te l a re su lt a nt e R = A 4 > B.

A = 50

fócala:

0H —H -

y

B - 75

50

tó- V, D - 4 0

C = 100

FIG UR A 1*3.24 Pro ble m a s 2 4 .3 0 ,4 6 .4 7 ,5 4 , 5 5 .

fócab;

0 5 10l - f - 4-4 - 1

= 15

\30'

A - 10

FIGURA P3 .20 Problemas 2 0 . 2 6 , 3 2 , 3 3 . 3 8 , 3 9 .

3-21. tora los vec tores mostrados en la f igura P3.21, de te r

m in e g rá fi ca m e n te l a re su lt a nt e R = A 4 > B.

fócala:

0 1 2

I--------1------ 1

3-2 5. Para los vectores mo strados en la figura P3.25, determine

g rá fi ca m en te la r es ulta nte R = A + > B + > C + >

D + > E s

A - 40

fócala:

0 301 1 * 1 C = 30

fi g u ra P3J5 Problemas 25 .31 ,48 ,49 ,56 ,57 .

B - 3

J 0 ^

FIGURA P 3 .21 Problemas 2 1 , 2 7 , 3 4 . 3 5 . 4 0 . 4 1 .

3-22. tora los vec tores mostrados en la f igura P3.22 , de te r

m in e g rá fi ca m e n te l a r e sul ta n t e R = A + > B .

A =150

Escala:

0 50 100

1-150

f i g u r a PJ . 22 Pro ble m a s 2 2 ,2 8 , 3 6 , 3 7 ,4 2 ,4 3 .

S u m a v e c t o r i a l a n a l í ti c a

3-2 6. tora los vectores m ostrad os en la figura P3.20, deter

m in e a n a lí ti ca m e n te l a r e su l ta n te R = A + > B .

3-27. tora los vec tores m ostrados en la f igura P3.21 , de te r

mine ana l ít icamente la resul tan te R = A + > B.

3-28. tora los vec tores m ostrados en la f igura P3.22 , de te r

m in e a n a lí ti ca m e n te l a r e sul ta n t e R = A + > B .

3-2 9. Pú a los vectores mostrados en la figura P32 3 , determinea na lí ti ca m en te l a r esul ta nt e R = A + > B + > C

3-30. tora los vectores m ostrados en la f igura P3.24 , de te rm i n e a n al ít ic a m e n te l a re su lt an te R = A + > B 4 >

C 4 > D .

3-31. tora los vec tores m ostrados en la figura P3.25 . de te r

m in e a n a lí ti ca m e n te l a r e su lt a n te R = A 4 > B 4 >

C 4 > D + > E.

3-2 3. tora los vectores m ostrad os en la figura P3.23, deter

mine grá f icamente la resultante R = A 4 > B 4 > C.

fócala:

0 5 101 I ♦ > 1

FIGURA P3 .2S Problemas 23,2 9 , 4 4 . 45.52,53 .

3-24. Para los vectores mostrados en la figura P3.24, determ ine

g rá fi ca m en te l a r esul ta nt e R = A 4 > B 4 > C 4 > D .

R e s t a g r á f i c a d e v e c t o r e s

3-32. tora los vec tores m ostrados en

mine gráficamen te el vector J =3-33. tora los vec tores m ostrados en

m ine gráficamente el vector K

3-34. tora los vec tores m ostrados en

m ine gráficamente el vector J -

3-35 . tora los vec tores m ostrados en

mine gráficamente el vector K

3-36. Para los vec tores m ostrados en

mine gráficamente el vector J =

3-37. tora los vec tores m ostrados e

m ine gráficamente el vector K

la figura P3.20, deter

• A - > B .la figura P3.20, deter-

= B - > A.

la figura P3.21, de ter-: A —> B.

la figura P3.21, deter-

= B - > A .

la figura P3.22, deter

= A —> B .

i la figura P3.22, deter-= B - > A.

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7 0 CAPITULO TRES

Re s ta v e c to r i a l a n a l í t i c a

3-3 8. Pira los vectores m ostrad os en la figura P3.20, deter

m in e a n a lí ti ca m e n te e l v e c to r J = A -> B .

3-39. Rira los vectores m ostrad os en la figura P3.20, deter

m i n e a n al ít ic am e n te e l v e c to r K = B - > A .

3-40. Para los vectores m ostrad os en la figura P3.21, deter

m i n e a n al ít ic am e n te e l v e c to r J = A - > B .

3-4 1. Rira los vectores m ostrad os en la figura P3.21, deter

m i n e a n al ít ic am e n te e l v e ct or K = B - > A .

3-42. Rira los vectores m ostrad os en la figura P3.22, deter

m in e a n a lí ti ca m e n te e l v e c to r J = A -> B .

3-43. f t ra los vec tores m ostrados en la f igura P3.22 , de te r

m i n e a n al ít ic am e n te d v e c t o r K = B - > A .

E c u a c i o n e s v e c t o r i a le s g e n e r a l e s ( g r á f ic a s )

3-44. Para los vec tores m ostrados en b f igura P3.23 . de te r

m i n e g rá fi ca m en te e l v ec to r J = C + > A - > B .

3-45. Rira los vectores m ostrad os en la figura P3.23. deter

m i n e g rá fi ca m e nt e e l v e ct or K = B - > A - > C .

3-4 6. Para los vectores mostrados en b figura P324 , determi

n e g rá fic am e nte el v e ct or I = C + > A - > B + > D .

3-47. fóra los vec tores m ostrados en b f igura P3.24, de te r

m i ne g rá fi ca m en te e l v ec to r K = B - > D + > A - > C .

3-48. P úa los vectores mostrados en b figura P32 5. determine

gráficam ente el vector J = C + > A - > B + > D - > E

3-49. Rira los vec tores m ostrados en b f igura P3.25 , de te rm i n e g r áf ic a m e n te d v e c to r K = B - > D + >

A - > C + > E

3-50. Con e l d iagrama vec toria l de b f igura P3.50

a ) Genere un a ecuación que descr iba d d iagrama vec

torial.

f») Replantee las ecuaciones para elim inar los térm inos

negativos.

c) Dib uje burd am ente los vectores y reorganícelos de

acuerdo con la ecuac ión obtenida en e l inciso b ).

3-5 1. Con el diagra m a vectorial de b figura P3.51:

a ) Genere un a ecuac ión que descr iba d d iagrama vec

torial.

b) Replantee las ecuaciones para eliminar los términos

negativos.

c) Dib uje burd am ente los vectores y reorganícelos de

acuerdo con b ecuación generada en e l inc iso b).

Pira los vec tores mostrados en b f igura P3.23 , de te rm i ne a na lític am e nte d v e c t o r) = C + > A - > B .

3-52.

3-53. Ibra los vec tores mostrados en b f igura P3.23 , de te rm in e a na lític am en te d v ec to r K = B - > A - > C .

3-54 . Para los vectores mostrados en b figura P324 , determinea na lí ti ca m e n te d v ec to r J = C + > A - > B + > D .

3-55 . Para los vectores mostrados en b figura P324 . determinean alític am en te d v ec to r K = B - > D + > A - > C .

3-56. Para los vec tores m ostrados en b f igura P3.25 , de

t e rm in e a n a lí t ic a m e n te d v e c to r J = C + > A - >B + > D - > E.

3-57. Ifcra los vectores mostrad os en b figura P3.25. determ i ne an alític am e n te d v ec to r K = B - > ü + >

A - > C + > E

S o l u c i o n e s d e m a g n i t u d e s v e c t o r i a le s ( g rá f i ca s )

3-5 8. Se escribe una ecuación vectorial com o A ♦ > B *•> C -

D ♦> E. Las direcciones y m agnitudes de los vectores

A B y D se m uest ran en la f igura P3.58 . Dete rmine grá

f icamente (usan do técnicas manuales de d ibujo o el

c a d ) las mag nitudes de los vectores C y E.

3-59.

f i g u r a P338 Problem as 58 y 61.

Se escribe un a ecuac ión vec toria l com o A ♦ > B + > C

- > D = E -> F. Las d i recc iones y magni tudes de los

vectores A, B. C y E se muestran en la figura P3.59.

Determ ine gráficamente ( usando técnicas manuales de

d i bu j o o d ca d) las mag nitudes de los vectores D y F.

K - 75

J í 30-

I------H

FIGURA P.V59 Pro ble m as 6 0 y 63.

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Vectores 71

3-60. Una ecuac ión vec toria l se esc r ibe como A - > B - > C

+> D = -> E +> F. Las d irecc iones y m agni tudes de los

vectores A. D. E y F se ilustran en la figura P3.60.

Determine gráficamente (usan do técnicas manuales de

d b u j o o e l ca d) las mag nitudes de los vectores B y C.

t / F - 3 0

•<45° *

F. *4 5

I 1------ 1

fi g u ra p 3.60 Problem as 60 y 63.

S o l u c i o n e s d e m a g n i t u d e s v e c t o r i a l e s ( a n a lí t ic a s )

3-61. Dete rmine ana l í t icam ente los vec tores C y E de l pro

Mem a 3-58.

3-6 2. Determine analíticamente los vectores D y F del prob le

ma 3-59.

3-63. Determine analít icame nte los vectores B y C del pro-

Mema3-60.

7 . ¿En qu é d i recc ión se debe apl ica r la fuerza sob re la

pl ac a A p a ra q u e a c tú e e l re so rt e C?

8. Mencione m áquinas d i fe rentes de las sum adoras que

p o d rí an u sa r e st e dis pos it iv o.

9 . ¿Cuál es la fondó n de l pern o D?

3 -2 . U n a m á q u in a a u to m á t i c a q u e p ro d u c e a l a m b re d e

acero ocasiona lmente se a tasca cuando la mate r ia

p r im a est á s o b re d im en s io n ad a . P ara p re v e n ir d a n o s

severos a la m áquina , fue n ecesar io qu e e l operadorcor ta ra la corr ien te inmedia tamente después de que se

las có la máquina . Sin embargo, el operador n o puede

mantener una v ig i landa est recha sobre la máquina

p i r a ev it a r e l dañ o . Por co nsi guie nte , se s u g ie re el s iguiente mecanismo para resolver el problema.

La figura C 3 2 m uest ra que e l engrane C impulsa un en-

¿yane acoplado (no mo strado) que opera la m áquina

pro d uc to ra d e al am br e. La flec ha m o tr iz A t ie ne u n c o

llarín R eí cual está acunad o a ella El engrane Ctie ne un

cuna a justada sobre la f lecha Dos p ernos, G y E, sujetan

respectivamente los eslabones F y /J al engrane G Se usa

un pem o adicional sobre e l engrane C fura sostener el

ext remo de l resor te H . Examine cuidadosamente la

c o n f ig u ra d ó n d e lo s c o m p o n e n te s d e l m e c a n i sm o .

Luego conteste las siguientes pregun tas para aprendermás acerca de la operación del mecanismo.

I. Conform e la flecha A gira en el sentido ho rario, ¿cómo

se mueve el collarín R

E S T U D I O S D E C A S O

3-1 . La f igura C3.1 m uest ra dos de var ias tec las de una

sum adora qu e foe popu lar hace varios altos. También

se presentan las terminales de las teclas 1 y 2 para ilus

t ra r su configurac ión . Exam ine cuidados am ente la

configurac ión de las componentes de l mecanismo,luego , conteste las siguientes preguntas par a aprender

más sobre la operació n del mecanismo.

FIGURA CJ.I (C ortesía d e Ind ustrial Press).

1 . Conform e se presiona la teda 2 , ¿qué pasa con la p laca

oscilante A?

2. ¿Cuál es el objetivo d el resorte C?

3. ¿Cuál es el objetivo del resor te B?

4. Conform e se presiona e l bo tón 2 , ¿qué sucede con e l

b o tó n 1 ?

3. ¿Cuál es el objetivo de este dispositivo?

6 . C o m o la fu e rz a e s u n v ec to r, su d i r e c ció n e s im p o r

tante. ¿En qu é direc dón se deb e aplicar la fuerza sobre

d bo tón 1 para qu e ac túe e l resor te B?

fi g u ra CJ.2 (Cortesía de Industrial Press).

2. Si el engrane C no está fijo al collarín R ¿cóm o pued e elmovimiento en e l sent ido h orar io de la f lecha hacer g i

rar el engrane?

3. ¿Qué sucede con e l m ovimiento de l engran e C si se

filen a el eslabón D hacia arriba?

4 . ¿Qué acd ón prov ocar la qu e e l eslabón D se m oviera

ha da a rriba?

5. ¿Qué resistencia necesitarla el eslabón D para moverse

h a d a a rr ib a ?6. ¿Cuál es el objetivo d e este dispositivo?

7. ¿Có mo llam arla usted a este dispositivo?

8. ¿De qu é man era ayuda este dispositivo a la máquina, des

crita aquí, que produce automáticamente el alambre?

9. ¿Se debe rla “re ini da r" este dispositivo algu na vez? ¿Por

qu é y cóm o se realizarla?

10. C om o la fuerza es un vec tor , su d i recd ón es impo r

tante . ¿En qu é d i recc ión se deben apl ica r las fuerzas

p a ra q ue a ct úe el r es ort e H?

11. M endon e o t ras m áquinas d i fe rentes de la produc tora

de alambre, en las cuales se podría usa r este dispositivo.

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C A P I T U L O

C U A T R O

ANÁLISIS DE PO SICIÓ N

Y DESPLAZAMIENTO

O B J E T I V O S

A l t e r m i n a r d e e s t u d i a r e s t e c a p i t u lo , e l a l u m n o

se r á c a p a z de :

1 . D e f i n i r U p o s i c ió n y c l d e s p l a z am i e n t o d e u n p u n t o .

2 . D e t e r m i n a r g r á f ic a y a n a l í ti c a m e n t e l a p o s i c i ó n d e t o d o s

l o s e s l a b o n e s d e u n m e c a n i s m o , c o n f o r m e s e d e s p l a z a n lo s

e s l a b o n e s i m p u l s o r e s .

3 . D e t e r m i n a r g rá f ic a y a n a l í ti c a m e n t e la s p o s i c i o n e s l im i t e

1 D e t e r m i n a r g rá f ic a y a n a l ít ic a m e n t e l a p o s i c i ó n d e t o d os

i o s e sla b o n e s e n u n c i d o c o m p l et o d d m o v i m i e n t o de l

5 . E l a b or a r u n d i a gr a m a d e d e s p l a z a m i e n t o d e v a r io s

p u n t o s d e l m e c a n i s m o , e n f u n c ió n d d m o v i m i e n to

d e o t r o s p u n t o s .

4.1 INTRODUCCIÓN

En m uchos mecanismos, el propósito del análisis es determinar

únicam ente la ubicación de tod as los eslabones conforme el (los)eslabón (es) im pulso res) de l mecanismo se mueve(n) hacia otra

po si ción . Co nsi der e la su je ta dora p a ra m aq uin ad o q u e se mué s

tra en la figura 4.1. Si la sujetadora se integra a un a máq uina, re

sulta esencial entender el movim iento de varios d e sus eslabones.

Una opc ión se r ia investigar el m ovim iento que se requie re de l

mang o pa ra cerrar la mordaza. Este es un movim iento repetitivo

que se requiere de los operadores de la máquina. En el uso de la

sujeta dora se deb en c onsiderar el acceso, el esfuerzo necesario

para o p era r y o tr o s“ factores hum anos” El análisis de la posición

implica con frecuencia el reposicionamiento de los eslab on a de

un mecanism o en dos configuraciones alternativas.

O tra opción de investigación seria com prend er la trayecto

r ia de los d i fe rentes compon entes dura nte e l proceso de su jeción. Se deb en garantizar las tolerancias adecuadas con los com

pon en te s d e o t r a m áq uin a. El an ál is is de p osi c ió n se re pi te p o r

b ge ne ra l e n var io s in te rv al os d e l m o vim ie nto del mec an ismo,

con la finalidad dete rm inar la ubicación de todo s los eslabones

en varias fases del ciclo operativo. El enfoqu e de este cap ítulo se

centra en esos tipo s de análisis de po sición y desplazamiento.

42 POSI CI ÓN

La posic ión se re f iere a la ubicac ión de un o bj e ta En las sec

ciones siguientes se e studiará la po sición d e pu ntos y eslabones.

4 .2 .1 P o s i c i ó n d e u n p u n t o

La po sición de un p unto sobre un mecanismo es la ubicac ión

espacial d e ese punto , que se def ine con un vector de posición, R.

el cual se extiende de un origen de referencia a la ubicación del

p u n to . L a f ig u ra 4. 2 il u str a u n v ect or d e posic ió n . Rp> q u e es

tablece la posición en u n plan o del pu nto P. Al igual que todos

los vectores, la posición de un pu nto en u n p lano s e especifica

con la distancia desde el origen (m agnitud vectorial) y el ángulo

a p ar t i r de un e je de re fe renc ia (or ientación) .Ib a a l te rna t iva prác t ica qu e s e u t il iza para ident i f ica r la

pos ic ió n d e u n p u n to es us ar la s co m p o n en te s r ec ta ng ul ar es del

vector de posición en un sistema de coorden adas de referencia.

O b se rv e q u e l a p o s ic ión d e l p u n to P en la figura 4.2 está

def in ida respec tivamente po r sus co mp onentes x . y , R 'r y R'p .

4 .2 .2 P o s ic ió n a n g u l a r d e u n e s l a b ó n

La posic ión angu la r de un eslabón también es una magni tud

importante . La po si ció n a ng ul ar , 0 , se def ine com o e l ángulo

que forma una l ínea ent re dos pu ntos de l eslabón con un e je de

FIGURA 4 .1 Sijetadora par a maquinado. (Co rtesía de Ca rr Lañe Mfg).

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f i g u r a 4 J Vector de posición d c i p u n to P.

referencia. En la figura 4.2, la línea M N qued a sobre el eslabón

4. La posic ión angula r de l eslabón 4 se denota con 0 A, que es

el ángulo entre el eje x y la l ínea M N . P or consistencia, la po si

c ión angula r se def ine com o posi tiva si e l ángulo se m ide en sen

tido an tiho rario , desde el eje de referencia, y negativa, si se mide

en el sentido hor ario.

4 .2 .3 P o s i c ió n d e u n m e c a n i s m o

H pr opó si to fundamenta l de l aná lis is de un mecanismo es estu

d ia r su m ovimiento . El movimiento ocurre cuand o se mod if i

can la posición d e los eslabones y los pu nto s de referencia del

mecanismo. Co nform e se a l te ra la posic ión de los eslabones,

el m ecanismo se fuerza a tom ar una configuración diferente, en

tanto q ue el m ovimiento avanza.

Recuerde que en e l capí tu lo 1 v imos que u na propiedad

imp ortante de un mecanismo es la movi lidad (grados de l iber

tad) . P i ra eslabonam ientos con un grad o de l iber tad , la posi c ión de un eslabón o un pun to puede de te rminar con prec is ión

la posic ión de todos los demás eslabones o puntos. Del mismom o d o , e n los e s l a b o n a m ie n to s c o n d o s g ra d o s d e l i b e r t a d la

posi c ió n de d o s e sl ab on es de te rm in a c o n ex ac ti tu d la po si ci ón

de los d em ás eslabones.

I\>r lo tanto , la po sición de todos los pu ntos y eslabones de

un m ecanismo n o es a rb i t ra ria n i independiente . Los parám e

t ros independ ientes son las posic iones de c ie r tos eslabones o

p u n to s “ im pu lsor es ". El o bje ti vo p ri nc ip a l del a n á li s is d e po si

c ión es de te rm inar las posic iones resul tan tes de los puntos deun mecanismo, en fun c ión de la posic ión de esos eslabones o

p u n to s "im pu lsor es ".

4.3 DESPLAZAMIENTO

B desplazamiento es el prod ucto final del movimiento. Se trata

de un vector que representa la distancia entre la posición inicial

y l a p o s ic ió n f i n a l d e u n p u n to o u n e s la b ó n . Co n s id e re d o s

tipo s de desplazam iento: lineal y angular.

4 .3 .1 D e s p l a z a m i e n t o l in e a l

El ¿aplazamiento l ineal AR. es la distancia lineal recta entre la

po si ción in ici al y la p osic ió n f in al d e u n p u n to d u ra n te u n in te r

valo de t iempo. La f igura 4 J i lustra e l punto Pd e u n mecanismo

que se desplaza a la posic ión P .

B d esplazamiento lineal del pun to P se d eno ta con AR/>y

se calcula como la diferencia vectorial entre la posición inicial

y la posic ión f ina l . Dado en form a d e ecuac ión:

A Rp = Rp ' —> RP (4.1)

Cfoserve que el desplazamiento lineal no es la distancia via

jada p o r el p u n to d u ra n te e l m ov im ie nt o.

la magn i tud de l vec tor de desplazamiento es la d is tancia

entre la posición inicial y la posición final dur an te un intervalo.

Esta m agnitu d tiene u nidades lineales (pulgadas, pies, milíme

tros, etcétera). La dirección se identifica con el ángu lo entre un

eje de referencia y la l inca qu e conecta las do s posicion es. Elsent ido de l vec tor va de la posic ión in ic ia l hac ia la posic ión

4 .3 .2 D e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r

B daplazam iento angular, 1 0, e s la d is tanc ia angu la r en t re dos

configuraciones de u n eslabón giratorio. Es la diferencia entre la

po si c ió n a n gu la r in ic ial y la p osi c ió n an gul ar fin al del es la bó n,com o en la figura 4.4. Si bien posee mag nitud y dirección (en el

sentido hora rio o an tihor ario), el desplazamiento angular técni

camente n o es un vec tor , puesto que no cu m ple con las leyes

conm utativa y asociativa de la sum a de vectores.

B desplazamiento angu lar de u n eslabón, po r ejemplo el eslabón 3, se representa con A0, y se calcula con la ecuación (4.2).

A 0 , = 0 y - (4.2)

La magn itud del desplazamiento an gular es el ángu lo entre

b co nfigura c ió n in ic ia l y la co nfigur ac ió n fina l d el es la bó n d u

rante un intervalo. Esta m agnitud se especifica en unidades de

giro ( po r ejemplo, grados, radian es y revoluciones), y el sentidofo rañ o o ant ihorar io espec i fica la d irecc ión .

FIGURA a a Desplazamiento angular.

f i g u r a o V e ctor d e d e sp l az a m ien to de l p u n to P .

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7 4 CAPITULO CUATRO

4.4 ANÁLISIS DE DESPLAZ AMIENTO

Una investigación cinemática com ún es la ubicación de la posi

ción de tod os los eslabones de un mecanismo con form e el (los)

eslabón)es) impulsor)es) se desp lazan) . Com o se indicó en la

sección 4.2, los grados de libertad de un mecanismo determ inan

el núm ero de eslabones impulsores independientes. En la mayo

r ía de los mecanismos comunes (con u n grado de l iber tad) , elaná l is is de desplazamiento consiste en de te rm inar la posición

de todos los eslabones m ientras u n eslabón se desplaza. La po sic ió n d e t o d o s l o s e sl a b on e s e n u n m o m e n to d e t e rm in a d o sec o n o c e c o m o a>nfignnu:¡ón del mecanismo.

La figura 4.5 ilustra tal análisis. El mecanismo mostrado

tiene cuatro eslabones, todo s ellos numerado s. Recuerde qu e el

eslabón f i jo , o la bancada , s iempre debe esta r inc lu ido como

un eslabón. En e l mecanism o también hay cua t ro uniones de

per no (r ev ol u ta s) .

De acu erdo con la ecuación (1. 1), los grado s de libertad secalculan como:

M = 3(4 - 1 ) - 2 (4 ) = 1

C on un grado d e l iber tad , e l movimiento de un eslabón posi-

d o n a c o n e x a c t i t u d lo s d e m á s e s l ab o n e s d e l m e c an i sm o . Po rconsiguiente, un pro blem a típico del análisis de desplazamiento

implica determ inar la po sidó n de los eslabones 3 y 4 de la figura

4 .5 , con form e e l eslabón 2 t iene un desplazamiento de te rm i

nado. E n este ejemplo, el desplazamiento imp ulsor es angular,

■ 15®, en el sentido ho ra ria

Casi todos los eslabonamientos tienen c onfiguradon es alter

nas para un a posidó n dad a del (los) eslabón(es) im pu lsore s). En

la f igura 46 se muest ran dos configuradones para la misma pori

a t o de la manivela de un mecanismo de cu a t ro barras. Tales con

figuradones alternas se conocen com o inversiones geométr icas. Es

FIGURA 4.6 Dos inversiones geom étricas de un mecanism o

de cua tro barras .

raro que un mecanismo se mueva de u na inversión geométrica ac í ra s in desarmarlo o sin pasar por puntos m uertos. Así. cuando

se efectúa u n análisis de desplazarm enta es necesario revisar laconfiguradón original del m ecanismo para determ inar la inver

sión geométrica d e interés.

4.5 DESPLA ZAMIENTO : ANÁLISIS GRÁ FICO

4 .5 .1 D e s p l a z a m i e n t o d e u n s i m p l e e s la b ó n

i m p u l s a d o

Ri ra o b te n e r u n a n u e v a c o n f ig u rac ió n e n u n m e c a n ism o , e s

necesario reubicar los eslabones en su s nuevas posid ones . Los

eslabones simples qu e giran alreded or de cen tros fijos se pueden

reubicar dibujando arcos con su centro en el pivote fij a a través

del pivote móvil, con un desplazamiento angu lar espe dfic a Lo

anterio r se observa en la figura 4.5 cuand o el eslabón 2 se gira

15® en d sentido hora rio.

En a lgunos aná l is is , los eslabones comp le jos su je tos a la

h incada tam bién pueden g i ra r . Esto se logra s iguiendo var ios

métodos. En la mayoría de los casos, el método más simple ini

cia reubicando u na sola l ínea del eslabón. Lue ga se reubica el

resto de la geometr ía de l eslabón, con base en la p osidó n d e la

Hnea que s e haya reubicado.

La figura 4.7 ilustra el proceso de giro de u n eslabón com

plejo . En la fi gur a 4 .7 a, la lí nea AB del es la bón fu e d es pla za da a

b p o s id ó n de se ad a ABj = 80® en el sen ti d o h o ra ri o . O bs erve

que la posic ión reubicada de l punto Bse designa como f f .

f i g u r a 4 .7 Giro d e u n eslabón comp lejo.

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An ális is de pos ic ión y desplazamiento __________ 75

El paso s iguiente es de te rminar la posic ión de l punto

reubicado C, que se designa como C' . C om o e l eslabón com

pl ejo es r ig jdo y n o cam b ia d e fo rm a du ra n te el m ov im ie n to , las

longitudes de las lineas AC y B C no se modifican. ft>r lo tanto , el

p u n to C se localiza m idiend o las longitudes de A C y BC, así

m m o d ib u ja n d o a rc o s a p a r t i r d e l o s p u n to s A y Bre s p e c t iv a

m ent e (fig ura <l.7b).Hay un segundo m étodo basado en un sis tema de ca d. Las

l íneas que fo rman e l eslabón se dupl ican y g i ran para gen erar el

eslabón reubicado. Tod os los sistemas de c a d incluyen u n co

m ando q ue gira con facilidad y cop ia entidades geom étricas. El

coman do sirve para girar tod as las l ineas de un eslabó n, alrede

dor de un pu nto especifico, a un desplazamiento angular deter

minado. Es conveniente mo stra r e l eslabón g i rado en o t ro color

y colocarlo en u n plano diferente.

4 .5 .2 D e s p l a z a m i e n t o d e lo s e s l a b o n e s

i m p u l s a d o s

Una vez reposicionado el eslabón im pulsor, se deb e determinar

la posición de lo s demás eslabones. Para hacerlo, se t ienen qu e

cons truir las trayectorias posibles de todos lo s eslabones conec

tados a la bancada. Para los eslabones qu e están apern ado s a la ba nc ad a , to d os lo s p u n to s s ob re el es la bó n ta n so lo pu ed en g i

rar e n relación con la bancada. Por ende, las trayectorias prob a

ble s de e stos p u nto s so n arco s c ir cu la re s co n ce ntr o e n el per no

que co necta el eslabón co n la bancada.

La f igura 4 .8 presenta un d iagrama c inemát ico de un

mecanismo. Los eslabones 2, 4 y 6 están sujetos a la banc ada.Co m o lo s p u n to s B , C y E están ub icados respectivamente sobre

los eslabones 2 ,4 y 6, es posible cons truir fácilmente sus trayec

torias restringidas. La trayectoria restringida del pu nto B es un

a rco c i r c u l a r c o n c e n t ro e n e l p u n to A , q u e es e l p e rn o q u e

conecta el eslabón 2 co n la b ancada. Las trayectorias restringi

d as d e C y E se de te rminan d e m odo simi lar .

l a t ra y e c to r i a r e st r in g id a d e u n p u n to so b re u n e s la b ón

que está conec tado a la bancada con una un ión d e corredera ,también se de te rm ina fác ilmente . Todos los pu ntos so bre e l eslabón se m ueven en una linea recta paralela a la dirección de la

superficie de deslizamiento.Después de que se hayan construido todas las trayectorias

restringidas de los eslabones unidos a la bancad a, se determina n

las posiciones de los eslabones conectados. Es u n proceso lógico

que se deriva del hecho de q ue to do s los eslabones son rígidos.

Rigidez significa que los eslabones no cam bian de lon gitud ni

de forma duran te e l movimiento .

Hn la figura 4.5, se desean cono cer las posiciones d e lo s es

labones 3 y 4 , una vez que el eslabón 2 gira 15® en el sentido h o

rario. C on el uso de los proce dimientos descritos en la sección

4 5 .1 , b f igura 4 .9 m uestra e l eslabón 2 reubicado en su pos i

c ió n d e sp b z a d a , b c u a l d e f in e l a p o s i c ió n d e l p u n to B’.

También se construyó b t rayec tor ia restr ingida de l p unto C y se

i lust ra en b f igura 4 .9.

f t>r su r ig idez , b longi tud d d eslabón 3 no cam bia durante

d movimiento . Aun cuando d eslabón 2 se ha reposic ionado, no

m o d if ic a b l o n g itu d e n t re l o s p u n to s B y C ( rg¿). Luego de resum ir los hechos de este análisis de desplazam iento, se sabe lo

sguiente :

1 . El punto B se ha movido a B’.

2 . El pun to C siemp re perm anece sobre su trayectoria

restringida (longitud r<j) desde D ) y

3 . La longi tud entre B y C permanece constante (C'debe• a u na lon gi tud r ^ á e B 1).

Partiendo d e estos hechos, se construye la nueva posición

d d e sb b ó n 3 . Se m id e b l o n g i tu d d e l a l ín e a BC.Co m o e l p u n to

flse m ovió a B’, se construye un arco de longitud rK; con centro

en B'. Al ex tender este arco, se determ ina la trayectoria posible

d e l p u n to C \ S in e m b a rg o , el p u n to C t a m b ié n d e b e p e r

manecer sobre su t rayec tor ia restr ingida , como se indica en b

figura 4.9. Po r lo tanto, el p un to C' se debe localizar en b intersección de lo s dos arcos. Este proceso se ilustra en b figura 4.10.

Observe qu e los á reos también se in te rsecarán en un segundo

punto , el cu al es tá a u n a d is ta n d a co nsid era b le d e C y re p re

senta un a segunda inversión geom étrica del eslabonamiento. El

e sb b o n a m ie n to d e b e d e sa rm a rse y a rm a rse p a ra o b te n e r e sa

configuradón a l te rna t iva , de m odo qu e se pu ede ignorar la in-

tersecdón.

Es posible que los do s arcos no se intersequen e n absoluto.

Los casos donde b trayectoria restringida y b trayectoria posible

no se intersecan indica n qu e la long itud de los eslabones indivi

duales evita que el esb bó n im pulso r alcance el desplazamiento

especificado.

figura 4A Trayectorias restringidas de pun tos sob re un es bb ón sujeto a la bancada.

Ihiyerirrialesningkfa

* 1 p u n to C

FIGURA 4.9 Co n s t ru c d ó n d e b trayectoria restringida de C.

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7 6 CAPITULO CUATRO

^ Thiyecloria pmiblc de C

La imereccción «presenta b¿7 y S localización precisa de C

Trayectoria restringidadel punto C

La segunda intersección / / representa ooa inversión- yoraítrica

FIGURA 4.10 Ub icació n de la po sic ión de C \

U n a v « q u e se l oc al iz a C , se dibu jan las posiciones de los

eslabones 3 y 4. De este mod o, se determ ina la configuración del

mecanism o, en tan to que e l eslabón impulsor fue reposi -d o n a d o .

Esta secdó n presenta la lógica detrás del análisis gráfico de

po si ción , es d ed r, la ub ic ad ó n d e u n p u n to d es pl az ad o a la i n te rsección de l a trayectoria restringida y la trayectoria posible. Esta

lógica simplem ente se repite con forme los m ecanismos se vuel

ven má s com plejos. La soluc ión real se obtiene u san do ya sea

técnicas de d ibujo manuales (con un t ransportado r y un c om

pás ) o u n si s te m a d e c a d (con los com andos roíate y copy). La

b g ic a e s id én tic a: si n em ba rg o, l a so lu d ó n d e c a d no está sujeta

a las l imi tadones de exac t itud en el d i bu ja Independientemente

del m étodo qu e se utilice, los concep tos subyacentes del análisis

gráf ico de p osid ón se ilust ran y am pl ían en los s iguientes pro

bl em as d e e je m p la

PRO BLEMA D E E JEMPLO 4 .1

La figura 4.11 muestra un diagrama cinemático de un mecanismo impu lsado po r el movimiento del eslabón 2.

Reposicione gráficamente los eslabones del mecanismo, conforme el eslabón 2 se d esplaza 30° en sentido antihorario.

O term ine el desplazamiento angular resultante del eslabón 4 y el desplazamiento lineal del pun to E.

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule la m ovilidad

ftira verificar qu e el mecanismo se posiciona únicamen te p or un eslabón m óvil se calcula su movilidad. Estánidentificados sris eslabones. Observe que tres de los eslabones están conectados en d pu nto C Recuerde del cap i

tulo 1 qu e esta configuración se debe tom ar en cuenta com o dos union es de perno. Por consiguiente, se trata de

seis uniones de perno. Una un ión de corredera conecta los eslabones 1y 6. N o hay uniones de engrane n i de leva:

n ■ 6 j p ■ (6 pernos + I corredera) ■ 7 j¡, ■ 0

Y

M - 3 < n - l ) - 2 ; , - / f c = 3(6 - 1) - 2(7) - 0 = 1 5 - 14=1

Con un g rado de libertad, el mov imiento de u n solo eslabón posiciona los demás eslabones del mecanismo.

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Anális is d e pos ic ión y desplazamiento __________ 77

2. Re pos icióne el es lab ón impu lsor

H eslabón 2. se gira 30° en sentido antihorario, estableciendo asi k posición dd ponto B \ Estose muestra en la

figura 4.12a

f i g u r a 4 . 1 2 Construcciones de desplazamiento del problem a de ejemplo 4 . 1.

3. Det er min e las tra ye ctor ia s de to do s los es labo nes con ec ta do s d irect am en te a la ba nc ad a

Rira reposicionar el mecanism o, se dibujan las trayectorias restringidas de todos los punto s sobre los eslabones

que están conectados a la bancada (B. C y E). l o a nterio r también se muestra en la figura 4.12a.

4. Det erm in e la po si ción exa ct a del p u n to C

Ftor ser rígido, la forma del eslabón 3 n o cam bia, en tan to qu e la distancia entre los puntos B y C (r»r) permanece

constante. Como el punto B se mov ió a B'sc traza un arco de longitud rae con centro en B'. Este arco representa

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7 8 CAPITULO CUATRO

b tra ye ctor ia posible de l pun to C '. La inter sec ció n de l ar co co n la trayec tor ia restri ng ida de C d a co mo re su lta do la

po sic ión d e C '. E sto s e ob se rv a en la f ig ura 4.12 b.

5 . Dete rm in e la p o tl d ó n exacta d el pu n to £ ’

Se utiliza la misma lógica para ubicar b posición del pun to £'. l a forma del esbbón 5 no puede cambiar, pero la

dutancia entre los puntos C y £ (fes) se mantiene constante. Como el punto C se movió a C‘. se dibuja un arco de

longitud r rr con centro en C . Este arco representa b trayectoria posible del pun to £'. La intersección del arco con

b tra yecto ria r estri ng ida d e E d a co m o resul tado b po si ción E ’( figu ra 4.12 b) .

6 . M id a e l de sp la za m ie nto d el e slab ón 4 y d el pu n to £'

R»r último, al obtener la posición de C 'y £', se dibujan los eslabones 3 a 6, lo cual se muestra en la figura 4.12c

0 desplazamiento del eslabón 4 es la distancia angu lar entre la posición nueva y la original, qu e se midió como

A0« = 26°. en sen tido antihorario

El desplazamiento del pu nto £ es la distancia lineal entre la posición nu eva y la posición original del pun to

£ La distancia entre E yE ’sc mide y se ajusta para la escala de dibujo.

A H , -. 9 5 4 4 in —


Otan do se requieren grandes fuerzas de corte, se usan con frecuencia unas tijeras de palanca de hojalatero co mo las

mostradasen b figura 4.13, en vez de las tijeras normales de hojala tera Con el uso del mango supe rior com o bancada,

irposicione gráficamente las com ponentes de las tijeras cuando la m ordaza se abre 15*. Determine el desplazamiento

resultante del mang o inferior.

F IG UR A 4 .1 3 T i je r a s d e c o r t e d e h o j a l a t e ro d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 4 .2 .

S O L U C I Ó N : I . IH bu je el diagrama cinemático y calcule la movilidad

H diagrama cinemático de las tijeras se presenta en la figura4.14a. 0 mango superior se diseñó como la bancada,mientras los pun tos de interés se identificaron en la p unta de b mord aza de corte superior (X) y en el extremo

del m ango inferior ( Y). Observe que este es el conocido m ecanismo de cuatro barras con u n grado de libertad.

Moviendo un sedo esb bó n, por ejemplo b mord aza, se posido nan los demás eslabones del mecanismo.

2. Rr po sieion e el e slab ón im pu lsor

Para reposkionar el mecanismo, b mordaza de corte superior, el esb bón 2, se gira 15° en sentido antihorario.

Este mov imiento corresponde a la posición abierta de bs tijeras. El pun to de interés. X,también gira junto con eleslabón 2.

3 . Dete rm in e l a po sición prec isa de l punto C Como este es un mecanism o de cuatro barras, la posición del pun to C 'sc ub ea en la intersección de su trayecto-

ña restringida con s u trayectoria posible. La figura 4.14b presenta las construcciones necesarias para determinar

b po sic ión de C ‘.

4 . Det er min e la po sición ex ac ta del pu n to Y*

finalm ente, se debe determinar b ubicación del punto de interés Y. El eslabón 4 es rígido, por ello su forma no

se altera. Co mo el lad o C ' D ya está ubicado, el pu nto V"se enc uen tra con facilidad.

Igual que en el procedimiento descrito en b figura 4.7b, b longitu d del lado D Y no cambia. Entonces, btrayectoria del pun to Y se construye a partir del pun to D.Tampoco cambia la longitud del lado CY. No obstante,

d p unto Csc reubicó en C ’.O tra trayectoria posible de Y*se cons truye desde C . La intersección de las dos trayec

torias proporciona la ubicación final de Y’.Tal construcción se muestra en la figura 4.14c.

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f i g u r a 4 . 1 4 Con strucciones para el problem a de ejemplo 4.2.

5 . M id a e l des pl az am ie nt o d el eslab ón 4

Se mide el desplazamiento requerido del mango inferior para abrir 15* la mordaza. De la figura 4.14c, el mango

inferior, el eslabón 4, se debe desplazan

1&4 - 35°, en sentido antihorario

4.6 POSICIÓN: MÉTODOANALÍTICO

Hablando en g enera l los métodos analít icas se utilizan en el análi-

ás de posición para obtener resultadas c a í u n alto grado de exac

titud. El precio d e esta exactitud es qu e tales métodos usu almente

son m uy laboriosos. Por consiguiente, se han desarrollado m éto

dos que usan un a notación compleja e implican m atemáticas de

orden superior para d análisis de posición (re fs.4 ,9,11, 12| .

En escenar ios de d iseño, donde d aná l is is c inem át ico noes una ta rea d ia r ia , se ria d i f íc i l en tend er e imp lemen tar esos

métodos complejos. El métod o más sencillo de análisis de po si

ción util iza las leyes trigonométricas d élo s triángulos. En h on or

a la verdad, esta técnica de “fuerza bru ta" n o es eficiente para

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8 0 CAPITULO CUATRO

quienes realizan investigaciones cinemáticas. Sin embargo, pa

ra el ingeniero de diseno típico la sencillez com pensa co n m u

cho las inef ic iendas. Por lo tan to , e l m étodo de l t r iángulo de

análisis de posición es el que se u sará en este texto.

En genera l , e ste m étodo im pl ica la inserc ión de l íneas

de referencia den tro del m ecanismo y el análisis de los triángulos

resultantes. D espués, se us an las leyes de los trián gulo s generaly rectángulo, con la finalidad d e determ inar las longitudes de los

lados y la m agnitud de los ángulos interiores. Conform e se de

terminan los detalles de la geometría de los triángu los, se orga

niza esta información pa ra analizare l mecanismo com ple ta

El gran beneficio del mé todo analít ico es su capacidad para

mod ificar las dimensiones y recalcular rápidamente la solución.

D urante las fases del diseno se evalúan m uchas configuraciones

y dimensiones de la máq uina. Tratándose del análisis grá fica el

análisis se deb e repetir completam ente c on cada evaluación. En

los m étodos ana lí ticos, espec ialmente cuando se implcmentan

en hojas de cá lculo u o t ras herramientas de có m pu ta las so luciones se actualizan rápidamente.

El m étodo ana l í t ico de l aná l is is de posic ión se entenderá

con m ás claridad con los siguientes ejemplos:


la figura 4.15 mu estra una sujetadora qu e sirve para sostener con seguridad piezas de trabajo. D etermine analítica

mente el desplazamiento de b superficie de sujeción, conforme el m ango gira 15o hacia abajo.

F IG U R A 4 .1 5 S u j e t a d o r a del problem a de e jemplo 4 . 3 .

SO LU CIÓ N : 1 . l iaborr un diagrama cinemático

En b figura 4,16a se ilustra el diagrama dnem átko . El extremo del mango se identificó com o el punto de interés X

f i g u r a 4 .1 6 Mecanismo de l problema de ejem plo 4.3.

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2. Anali ce l a g eo metría de la co nf igurac ión or ig inal

« te mecanismo de manivela-corredera se forma de m odo natural un triángulo entre los pu ntos A. B y C. Este

triángulo se ilustra en la figura 4.16b.

Antes de observar la configuración desplazada del mecanismo, se d eben determinar todas las pro pied ad»

de la configuración original. El ángulo interior en la un ión C, ¿ BCA.se determina aplicando la ley de los senos.

(3.6):

sen ¿ . B A C s e n ¿ B C A

(BC (AB)

¿ B C A = sen’ 38.68*

Ahora, el ángulo interior en la un ión B , ¿-A BC se cak ula po rque la sum a de todos los ángulos interiores de

cualquier triángulo es de 180*:

¿ A B C - I 8 l f - Í 3 0 * + 38 .6 8" ) - 1 11 .3 2o

La longitu d del lado A C representa la posición original d e la corredera y se determina con la ley de loscosenos, ecuación (37 ):

AC - V a B2 ♦ BC2 - 2(AB )(BC )cds¿ A B C

= V (5 0 mui)1 + (40 mrn)1 - 2(50 nun)(40 mm )|cos 111 J2°J

- 7 45 2 mm

3 . An al ice la g eo metría de la c on fig ur ac ió n des pl az ad a

la configuración desplazada se m uestra en la figura 4.16c cuando e l m ango gira 15” hacia abajo. Observe que

« te desplazamiento genera un ángu lo interior en la unión A. ¿ C ' A B igual a 15°. Se utiliza la ley de lo s senos

pa ra ca lc ul ar d ángulo interior de la unión C'. ¿ B C A :

L B C A = sen - ' l | | sen L C A B ' 5 0 m m .

• ' I ' — ------ |se n 15"4 0 m m

18.88"

De nuevo, el ángulo inte rio ren la unión B', ¿ A B C ,s e calcula porqu e la sum a de todos los ángulos interiores

de un triángulo sum an 180".

L A B ’C = 180°- (15°+ 18.88") = 146.12°

la longitud del la do AC ' representa la posición desplazada de la corredera. Com o antes, se determina con laley de los cosenos:

A C = V A B ' 2 + B C 1 - 2( A B ’ ) ( B C ) c o s ¿ A B C ’

- V (5 0m m )2 + (40 mm)2 - 2(50 m m )(40 mm)cos< 146.12") - 86.14 mm

- 86.14 mm

4 . Calcule el desplazam iento deseado

El desplazamiento de! pun to C duran te este mov imiento so cakula c om o la diferencia de los lados A C'y AC del

triángulo:

AR c - A C - A C - 8 6.14 - 7 4 5 2 = 11.6 2 m m « -

4 .6 .1 E c u a c i o n e s d e a n á l i s i s d e p o s i c i ó ne n fo r m a c e r r a d a p a r a u n a

m a n i v e l a -c o r r e d e r a e n l ín e a

El mecanismo de su jec ión de l problema de e jemplo 4 .3 es un

mec anism o de manivela-corredera. Se conoce específicamente

como mecanismo de manive la -corredera en linea , porq ue bt rayec tor ia rest ringida de b unió n de pern o d e b corredera se

extiende po r el centro d e rotac ión de la manivela. La figura 4.17ius t ra b configurac ión básica de un m ecanismo de manive la

torcedera e n l inea.

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8 2 CAPITULO CUATRO

Com o este es un mecanismo muy com ún, se pueden genera

lizar los resultados del p roblem a an terio r [ref. 12). El análisis

típico implica la ubicación de la posición de los eslabones, dadas

sus longitudes (Lj y L j) y el ángulo d e la m anivela (0j) . Específi

camen te, se debe n d eterminar la posición de la corredera (¿4) y

las ángulos de las union es interiores (0, y y).

Las ecuac iones que se usaron en e l problema de e jemplo4.3 se resumen en té rmino s de L ,, L ¡ y

= s e n 1¿2

— s e n 0 2. U

(4.3)

y = 1 8 0’ - ( 0 2 + 0 j ) ( 4 . 4 )

=V¡¿ + L ¡ - 2 ( ¿2) ( L 3 ) c o s y (4.5)

Tales ecuaciones sirven usar para determ inar la posición d e los

eslabones en una configuración cualquiera del mecanismo de

manivela-corredera en línea.


la figura 1.8 muestra el concepto de un a bomba manual que se utiliza para incrementar k presión dd aceite en unaInea hidráulica. Determine analitkam ente el desplazamiento del pistón, confórme el mango gira 15* en sentido anti

horario.

F I G U R A 4 . 1 8 Bom ba manual de l problem a de e jemplo 4 .4.

S O L U C I Ó N : I . D ib uje e l diag ra ma cine m át ico

0 diagrama cinemático está dado en la figura 4.19a. El extremo del m ango se identifcó co mo el pu nto de interés X.

f i g u r a 4 .19 Diagramas de l mecanismo de l pro blema de e jemplo 4 . 4 .

2 . Ana lic e la g eom et rí a de la con fig urac ión or ig in al

contraste con el problema anterior, este mecanism o es un m ecanismo d e manivela-corredera descentrado. En

o te tipo de m ecanismos com íene en focarse en dos triángulos rectángulos, los cuales se m uestran en la figura

4.19b. Observ e que se in dica el ángu lo de 10* y su comp lemento de 80*.

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Anális is d e pos ic i6n y desplazamien to ________ 83

Antes de observar la configuración desplazada d d mecanismo, es necesario determ inar todas las

prop ied ad es d e l a con figu ración or ig inal. Con ce nt ránd on os en el tr iá ng ulo rec táng ulo inferior, los lado s A D y

fíD se determ inan co n las siguientes funciones trigonométricas:

ADeos A B AD = —

AB

A D = (A B) e o s ¿ R 4 D = (5 in ) ( eo s W ) - 0 B7 in

BDs en ¿ B A D - — A B

BD = ( A B ) sen ¿ .BAD = (5 in) |scn80 °| = 4.92 in

Al concentrase en el triángulo superior, la long itud del lado CE se calcula suman do la distancia del descen

trado y b longitud del lado AD desde el triángulo inferior

CE = descentrado + A D = I B + 0 8 7 = 1 8 7 in

Se usa el teorem a de Pitágoras, ecuación (3.4), para determina r el lado BE

BE - V B C 2 - CE 3

= V W - I W ) 2 = 38 4 in

La posición original del pistón, el pu nto G sc calcula sumand o BD y BE:

Lc = BD + BE - 4.92 + 3 8 4 - 8 .4 6 in

Aun cuan do no se solicita en este problema, n ormalmen te se desea conocer el ángulo que define la orien

tación del eslabón 3. El ángu lo Z .BCE* calcula con la función del coseno inverso:

' ( ! ) L B C E = <os- l ( ) = e o s 1 = 62.13-

3. Ana lic e la g eo met ría de la co nf igurac ión des plaz ad a

En la figura 4.19c se m uestra b configuración desplazada con el m ango girado 15* hacia abajo. Observe que este

desplazamiento genera un ángulo e n la un ión A de 25* y su com plemento, de 65*. también se ilustra en la figura.Centrándose en e l triángulo rectángulo interior, los lados A D ' y B D '» determinan aplicando las siguientes fun

don es trigonométricas:

A D ' - ( A B ' ) c os ¿ B 'A D 1 - (5 in) (eos 65*) - 2.11 in

B 'D ' - ( A B ' )s e n Z B ' A D ' - ( 5 m ) ( se n 6 5 1 - 4 8 3 in

Al centrarse en el triángulo superior, b longitud del lado C'E ' se calcula sum ando la distancia del descen

trado (A R y la longitud del lado AD 'del triángulo inferior:

C E ' - AF + A D'

- IX) + 111 - 3.11 in

Ahora se determina el lado B E \

B ’E ’ - V ( B ’C ')1 - (C E ') 1 - V (4 in) J - (3.11 in)1 “ 2 8 2 in

La posición desplazada del pistón se calcula su m and o B'D ' y B E \

l ¿ - B 'D ’ + B 'E ' - 4 8 3 + 2 8 2 - 7X>5 i n

4 . Calcule el desplazamiento m ult an te

El desplazamiento del pistón, el pu nto C, duran te este mov imiento se calcula restando la longitud L'c de Lf<

AR c - 8.46 - 7X)5 - 1.41 in i

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8 4 CAPITULO CUATRO

4 .6 .2 E c u a c i o n e s d e a n á l i s is d e p o s i c i ó n

e n fo r m a c e r ra d a p a r a u n a

m a n i v e l a -c o r r e d e r a d e s c e n t ra d o

0 mecanismo de l problema de e jemplo 4 .4 es un mecanismo demanivela-corredera descentrado , ya qu e la trayectoria restringida

de la unión d e pem o en la corredera no se extiende a t ravés de l

mism o nivel del centro de rotación de la manivela. La figura 420

ilustra la configuración básica de un m ecanism o de m anivela-corredera descentrado.

típico implica b localización d e la posición de los eslabones, dadas

las longitudes ( tj , Lj y £*) y el ángu lo de la manivela (0? XEspecí

ficamente, hay q ue determ inar la posición de la corredera ( U ) y

los ángu los interiores ( 8¡ y y) de las uniones.

Las ecuaciones generales son

9, = s e n " '¿ i + L j s e n 0 ,

L> L+ = L ¡ e o s 0 2 + ¿ 3 CO S 8 )

y = 180° - (A , + 0 S)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

f i g u ra 4 .20 Mecanismo de manive la-corredera descentrado.

Chorno este también es un mecan ismo co m ún, se pueden ge

neralizar los resultados del p roblem a anterior (ref. 12). Un análisis

Estas ecuaciones se utilizan pa ra determ inar la posición de

los eslabones en una configurac ión cua lquie ra de un meca

nismo . Recuerde, sin embargo, que estas ecuaciones únicamente

son aplicables a un mecanismo de manivela-corredera descen

t rado. Las ecuac iones también apl ican cua ndo b d is tanc ia del

descentrado está en dirección opuesta a la dirección mostrada

en la figura 4.20. En tales casos, L\ en la ecuac ión (4 .6) se de

b e rl a su s ti tu ir p o r u n v al o r n egativo .


La figura 4.21 p resenta una su jetadora que sirve pa ra asegurar una pieza de trabajo du rante una operació n de

rmquinado. Determine analíticamente el ángulo que se debe desplazar el m ango para levantar d brazo de b sujeta

dor a 30* en el sentido horario.

S O L U C I Ó N : I . Dib uj e u n di ag ra m a c in em át ic o

□ dhgra m a cinemático de la sujetadora se observa en la figura 422 a. El extremo del mang o está definido como

d pun to de interés X La nariz de la sujetadora lúe identificada como el pu nto de interés Y,

2. Ana lic e la g eo m et rí a de la con fig urac ión or ig in al

Este es un mecanismo com ún de cuatro barras. Para un análisis m is minucioso de la geometría, la figura 422b

detalla la cadena cinem ática ABC D.S e crea un a diagonal para conectar B y D .con lo q ue forman dos triángulos.

Antes de analizar la configuración desplazada del mecanismo, se deben determinar todas las propiedades de b co nf igurac ión o rigina l. Ob se rv e que el tri án gu lo inf er io r, ABD.es un triáng ulo rectángulo. Se calcula la long i

tud BD usando el teorema de Pitágoras presentado en la ecuación (3.4).

BD = V l A B )1 + (A D ) 2 - V (1 2) 2 + (25)2 = 27.73 mm

los ángulos interiores, ¿ AB D y ZBD A.se calculan a p artir de las fundon es trigonométricas básicas siguientes:

, ( 2 5 m m \ L A BD - sen 1 — — ------- - 64.4»

V.27.73 m m /

L BD A = eos 1( mm ^ _ 25\ 27.73 m m /

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Anális is de pos ic ión y desplazamiento

a) Diagrama cinemático

b) Configuración original

C¡ Configuración desplazad)

ó . i r

/ % . i r

- 9 o r

T í -

15

133 r

d) Ángulo interór en B

f i g u r a 4 J 2 Mecanismo de l problem a de e jemplo 4 . 5 .

Centrándose en el triángulo de la parte superior, el ángulo interior ¿B C D se calcula aplicando la ley de los

cosenos, que se presentó en la ecuación (3.7):

CD> - BD1\ L B C D = eos

i BC* +

V 2 ( B O ( C D ) )

/ (2 0 m m)J + (15 mm)2 - (27.73 mm)2 '

= f~ l ----------------------------------------------2(20 mm) (15 mm)

H ángulo interior Z.CBD se determina aplicando la ley de los senos:

, - t

* 1 0 3. 9*

¿C B D sen ¿B C Dm

31 .7*

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8 6 CAPITULO CUATRO

"it se puede calcular d ángulo interior ¿ B D C po rq ue la su m a d e los á ng ulos in ter ior es de cu alqu ie r tr iá n-

p il o es igu al a 180", de m o d o qu e

¿ B DC - 180" - (103.9" + 31.7") - 44.4"

Se determ inan aho ra todos los ángu los del mecanismo: de la unió n B (entre los eslabones 2 y 3) y de la

unión D (entre los eslabones l y 4).

En la u nión B:

¿-ABC = ¿ A B D + ¿ C B D ■ 64.4"+ 31.7®= 96.1®

En la u nión D:

L C D A - ¿ B DC + ¿ B D A = 44.4" + 25.6" = 70.G"

3. Ana lic e la g eom et rí a de la con fig ur ac ión des plazad a

En h figura 422 c se muestra b configuración desplazada con la nariz de la sujetadora, el eslabón 2. girado 30" en el

sentido horario. Observe que esto luce que el ángulo interior de la unión A, ¿ DAB" sea igual a 60*. Asimismo,

el triángulo inferior de a d e ser un triángulo rectángulo.

la longitu d de la diagonal B 'D se calcula usand o e l triángulo inferior. A ABD, y la ley de los cosenos:

B’ D = V (1 2 m m )! + (2 5 m m )2 - 2 (1 2 m m )(2 5 m m )c o $ 6 0 " = 2 1 6 6 m m

B ángulo interior Z-A B'D también se calcula aplicando la ley de lo s cosenos:

2(AB')(B'D)

_, [‘ (1 2)2 ♦ (21.6 6)* - (2 5)?

[ 2(12X21.66)91J"

Todos los ángulos interiores de u n triángulo deben sum ar 180". Por lo tanto, el ángulo ¿ B 'DA se calcula fá

cilmente:

¿ B ' D A - 1 8 0" - U D A B ' + ¿ A B ' D )

* 180*- (60° + 91J" ) - 28.7"

Enfocándose en el triángulo de la parte superior,el ángulo interio r ¿ B ' C D se calcula aplicando la ley de los

cosenos:

¿ B ' C ' D = e o s' ( B ' Q 2 + ( C ' P ) 2 - ( B 'P ) 2 1

2 ( B ' C ) ( C ' D ) J

(20 mm)2 + (15 mm)2 - (21.66 mm )2

2(20 mm )(15 mm)

H ángulo interior ¿ C B V se determina aplicando la ley de los senos:

t e n - » - ' [ ( £ 2 ) - * « ■ » ]

»° = 42.0°

74.9°

15 mm \

2 16 6 m m / ’« n “ M I t t ” — Iscn 74.9°

B ángulo interior final / B 'D C' del triángulo superior se calcula de la siguiente manera:

¿ B ’D C - 180" - ( 6 C ' B ' D + ¿ B ' C 'D ) - 180"- (42B"+ 74.9") - 63.1"

Se determ inan ahora to dos los ángulos del mecanismo: de la unión B‘ (entre los eslabones 2 y 3) y de b

unión D (entre los eskbon es 1 y 4) de b siguiente manera:

En la u nión B':

¿ A B ' C = ¿ A B ’D + ¿ . C ' B ' D = 9 1J " + 42 .0" = 133.3"

En la u nión D:

¿LC'DA - ¿ B ' D C + ¿ B ' D A - 6 3 . 1 " + 2 8 . 7 "- 9 16 "

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Anális is d e pos ic ión y desplazamiento __________ 87

4 . Calcule el desplazam iento resultante

H ¿aplazam iento angular del m an gle ! eslabón 3, se determina enfocándose en la unión ft como se indica en la

figura 422 d. En b configuración original, d ángulo del eslabón 3 arriba de la horizontal se expresa como

L A B C - 9 0 ° = 96.1° - 903)° = 6.1®

&i la configuración ¿aplaz ada, el áng ulo del alab ón 3 arriba de la horizontal se expresa como

L A B 'C - 120" = 133J® - 1203)" - 133®

Rmímenle, el ¿aplazam iento angular del alabó n 3 se calcula con

- 133" - 6.1® - 72®, en sentido antihorario

4 .6 .3 E c u a c i o n e s d e p o s i c i ó n p a r a u n

m e c a n is m o c e r ra d o d e c u a t ro b a r r a s

El m e c a n i sm o d e c u a tro b a r ra s a o t ro e s l a b o n a m ie n to m u y

común. La f igura 42 3 muest ra u n mecanismo de cua t ro barras

general.

siones geométricas. T ala regiones se conocen c om o circuitos de

otsamble. U n m ecanismo está imposibili tado para moverse de un

circuito de ensam ble a otr o sin desarmarse. El mecanismo que se

lus tra en la figura 42 3 o pera en el prim er circuito (figura 4.24a),

Ciicuito 1

Las cc ua cio na especificas que se u saron en el pro blem a de

ejemplo 4.5 se pueden g eneralizar [ref. 12). Un análisis t ípico

impl ica e l cá lculo de los ángulos in t e r io ra (0* 0 4 y y ) d e las

uniones, si se conocen los eslabo na (Lt, ¡4 , L j y U ) a c ie r to án

gulo de la m anivela ( 02). Espedficamente, se deben determ inarlos ángulos interiores (0*. 0* y y ) d e la s u n i o n a .

B D = + I ¿ - 2( 1 , ) ( W c o s ( 0 2)

( I 3) 2 + ( ¡ m )2 - (BD)'- 1

7 C0S 2 ( L ¡ H U ) \

(4.9)

(4 .10)

= 2 ta n - I

0 4 = 2 ta n -1

- ¿ 2 s e n 02 + U s e n y 1

¿ j + L j - L¡ e os 0 j - £4 c ° s y \

¿2 se n 02 — ¿3 se n y 1

L¡ eos d } + L , - L¡ - L} e o s y \

(4 .11)

(4 .12)

Se t ienen que apl ica r estas ecuac iona para de te rm inar la p o s id ó n d e lo s e s la b o n a en u n a confi gura c ió n cu a lq u ie ra de

u n m e c a n i sm o . La s e c u a d o n a so n a p l i c a b l a a c u a lq u ie r

mecanismo de cu a t ro barras ensamblado, com o se indica en la

figura 4.23.

4 .6 .4 C i rc u i to s d e u n m e c a n i sm od e c u a tr o b a r r a s

En los mecanismos de cua t ro barras dasi f icados como de

manivela-bulandn (como el do crito en la sección 1.10), hay dos

regiones de posib le mov imiento corresp ond iente a do s inver-

D a c o n c c t a n d o f ís ic am e n te la u n i ó n C , l o s a l a b o n a s e

pued en re o ri en ta r y en sa m b la r d e nuev o c o n la co n fi g u ra d ó n

mo strada en la f igura 4.24b. Cuando opera a te mecanismo, se

m u e v e d e a c u e rd o c o n e l se g u n d o d rc u i to . A u n c u a n d o e l

m ovim iento del m ecanismo parece se r d i fe rente , en re lac ióncon laop erad ón de l drcui to , no cambia e l movim iento relat ivo

entre los esla bo na . Sin embargo, es necesario espedficar el dr

cui to do nde está ensamb lado e l mecanism o para entend er el

movimiento absolu to y la op erad ón de l mecanismo.

Para la oper adó n de l mecanismo de cua t ro barras en e l seg u n d o d rc u i to , l a e c u a d ó n (4 .1 1 ) se d e b e m o d i f i c ar li g e ra

men te de la siguiente m anera:

03 = 2 tan

04 = 2 ta n

1

-1

—¿2 s e n 02 - 1-t s e n y

. L t + L) - L2 COSO2 - L f c o sy

¿ 2 se n 0 2 + L y se n y

. L j e o s 0 j + - L\ - L yc os r \

(4.13)

(4.14)

4.7 POS ICION ES LÍMITE : ANÁLISIS

GRÁFICO

La c o n f ig u ra d ó n d e u n m e c a n ism o q u e u b ic a u n o d e lo s a -

l a b o n a se g u id o re s e n u n a p o s id ó n e x tr e m a se c on o c e c om o

po sición lim it e . M uchas máquinas t ienen mecanismos que os

c ilan cont inuam ente ent re dos p os ido no l imi te . La f igura 4.25

i lu s tr a la s p o s i a o n a l im i t e d e u n m e c a n i sm o d e m a nive la -corredera descentrada

a) b)

FIGURA 4 .24 Circui tos de un m ecanismo de cua t ro barras .

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88 CAPITULO CUATRO

O r ne ra . |A R c U , El desplazamiento de l eslabón seguidor de una posic ión

l imi te a o t ra def ine la carrera del seguidor. En eslabones

con traslación, com o el de la figura 4.25a, la carrera es l ineal.

Para eslabones con rotad ón pu ra, la carrera es un a cantidad an

gular, que también se conoce com o desplazamiento, com o se in

dica en la figura 4.25b. La configuración de los eslabonesque ubica un seguido r en una posición limite está asociada con

una manivela y un acoplad or que se vuelven colineales. La figura

4 .25 mue st ra las conf igurac iones l imi te de un mecanism o de

manivela-corredera y un o d e cuatro barras. El ángu lo de dese

quiü brio se define com o el ángulo entre la configuración del

acoplad or en las dos posiciones limite. El ángulo de desequ ili

b r io in fluye e n el r it m o de av an ce y re troc es o de la ca rre ra , el

cual se utilizará extensivamen te en el capitu lo 5. <x>n frecuenciase desea conocer la posic ión de un eslabón impulsor , o eslabón

actuador, que coloca al eslabón seguidor en un a posición limite

o e x tr e m a . A s im ism o , e l m o v im ie n to d e u n m e c a n i sm o e s tácom únm ente re lac ionado con la posic ión de l ac tuador que co

loca o) seguido r en una posición limite.

La lógica que se aplica en la solución de este problem a es

sim ibr a la de l aná l is is de po sic ión qu e se acaba d e e fectuar .

Los siguientes ejemplo s ilustran ese análisis.


H m ecanismo m ostrado en la figura 4.26 es el eslabonamiento im pulsor de un a sierra caladora (de vaivén) recipro

cante. Determine las configuraciones del m ecans m o qu e ubica n la ho ja de la sierra en sus posiciones limite.

fi g u ra 4J 6 Mecanismo de la s ie rra ca ladora del problem a de e jemplo 4 .6 .

S O L U C I Ó N : I . Di bu je u n di ag ra m a c in em át ic oH diagram a cinem ático del mecanism o de la sierra reciprocante se m uestra en la figura 4.27a. Observe que se

trata de un mecanism o de m anivela-corredera, como el definido en el capitulo 1, que tiene un grado de libertad.

Construya la posición lim ite extendida

La hoja de b sierra, el esbb ón 4, alcanza su posición extrema hacia abajo cuando los esbbo nes 2 y 3 se m ueven aK-

reados colíncalmente. Esta configuración proporciona b distancia máxima en tre los puntos A y C Para determinar

b dista nc ia m áxima , se debe n com bina r la s lo ngitu des de los e sb bo ne s 2 y 3 . l a s um a de es tas long itu des da

L¡ + Ly = 0 .5 in + 1 .75 in - 225 in

6) C uatro barras

FIGURA 405 Pos icion es límite .

Una vez que se obtiene b longitud combinada de las l ineas 2 y 3, se deberia construir u n a rco con es ta lon-

gtu d. con c entro en el p un to A. Co m o se ilustra en la figura 42 9b , la intersección del arco con l a trayectoria

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A n á l i s is d e p o s i d ó n y d e s p la z a m i e n t o __________ 89

posib le del p u n to C dc tc rm in a la po sic ión lím ite ext en di da d e C, de no ta da po r C’.S c d ib ujan k » es labo ne s 2 y 3,

luego se determina el pu nto B'. Es to se observa en la figura 4.29c.

3. Construya la posición lim ite retraída

Ahora se debe determinar la configuración que ubica la hoja de la sierra, d eslabón 4, en su posición superior ex

trema. En esta configuración, los eslabones 2 y 3 son cohneales nuevam ente, aunq ue esta vez se traslapan, lo cual

nos brinda la distancia mínima entre los pun tos A y C de m odo que esta distancia mínim a es la diferencia entre

hs longitude s de los eslabones 3 y 2. La diferencia de las longitudes de los eslabones es

L > - L ¡ a L 75 i n - 0 5 in - 1 2 5 in

tí

fi g u ra 437 f t í s idones ext remas de l problem a de e jemplo 4.6.

Esta posición limite retraída se determina usando un a técnica similar a aquella qu e se utliz ó para determi-rn r la posición extendida. Recuerde que la distancia entre A y C \ en b figura 4.27b, representa b longitud

sim ada d e los eslabones 2 y 3. De la misma forma, b distancia entre los puntos A y C" represento b diferenciaentre los eslabones 3 y 2.

Usando la distancia L¡ - L¡,se calcula la posición del pun to C en su posición extrema hacia arriba, repre

sentada por C " (figura 427b ). Finalmente, se dibujan los eslabones 2 y 3, luego se ubica la posición del punt o B '.

M id a la ca rrer a de l eslabón s eg uido r

Cómo se muestra en la figura 427c, b carrera de la hoja de b sierra se mide como el desplazamiento extremo del

punto C A I tom ar en cu en to l a esca la en el d ia gr am a cine mát ico, s e obt iene el s igu ien te re sulta do :

l A R j n * . » 1 27 in

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9 0 CAPITULO CUATRO


La figura 4.28 muestra un mecanismo qu e opera la boquilla de agua en u n laxado automático de vehículos. Determi

ne las posiciones limite del mecanismo q ue ubica la boquiDa en s us posiciones extremas.

S O L U C I Ó N : I . ¡labore Wdiagrama cinemático

fh la figura 4.29 se muestra el diagram a cinemático del m ecanismo de la boquilla de agua. Observe que es un

mecanismo de c uatro barras con un grado de libertad.

2 . Construya la posición limite extendida

H análisis de este ejemplo es m uy similar al problema de ejemp lo 4.6. La boquiDa, el eslabón 4. alcanza su posición extre ma hacia abajo cuand o los eslabones 2 y 3 se vuelven col incales. Esta configuración prop orcio na la dis

tancia máxima entre los pun tos A y C Para determinar esta distancia máxima, se deben com binar las longitudes

de los eslabones 2 y 3. La suma de tales longitudes nos da

¿ 2 + = 0 .75 in + 20 0 in = 2 .75 in

I 9

f i g u r a 4 .2 9 I b s ic i o n e s e x t r e m a s d e l p r ob le m a d e e j e m p l o 4.7.

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A n á li si s d e p o s i c i ó n y d c s p l a z a m i e n t o ___________ 91

Uia vez que se determina la longitud combinada de las lincas 2 y 3, se debería construir un a rco de esta lon

gitud con centro en el punto A. Com o se muestra en la figura 4.28b. la intersección de este arco y la trayectoria

posib le del p u n to C det e rm in an la p os ición e xt rem a hac ia aba jo de C , den otad a c on C'. Se dibu jan los esl abones

2 y 3. y se determina el pun to B'. Esto se mues tra en la figura 4.29c.

3. Construya la posición lim ite retraída

Luego se determina la configuración qu e coloca la boquilla, el eslabón 4 en su posición lim ite superior. Como

a i la manivela-corredera analizada a i el problema d e ejemplo 4,6, la configuración retraída ocurre cuan do los

eslabones 2 y 3 se v uché n colinc.iles, pero se traslapan. Asi se genera la distancia mín ima en tre los pu ntos A y C,

de m odo q ue esta distancia m ínima es la diferencia entre las longitud es de los eslabones 3 y 2 . La resta de dichas b ng itud cs da

L , - L j = 2 .0 0 in - .75 in = 1 2 5 in

Esta distancia mínim a se construye de m anera parecida a la técnica de la distancia máxima. Recuerde que la

dsta ncia en tre A y C'.e n la figura 429c , representa la longitud combinada de los eslabones 2 y 3. Asimismo,

b di st an cia en tr e los p un to s A y C * rep rese nta la dif ere nc ia ent re l os eslab ones 3 y 2 .

Usando la distancia L , - L¡. es posible determ inar la posición del pu nto C en su po sición extrema hacia

arriba, denotada con C" . lo cual se presenta en la figura 42 9b . Finalmente, se dib up n los eslabones 2 y 3, y se lo

caliza la posición del pun to B '.

M id a la ca rrer a de l eslabón s eg uido r

Como se muestra en b figura 4 2 ^ , la carrera de la boquilla se mide como el despbzamioito angular extremo

del eslabón 4. la medición de este form ato gráfico da com o resultado:

i M j - t o - 4 7 j0 “

4.8 POSICIONES LIMITE: MÉTO DOANALÍTICO

La de te rm inac ión ana l í tica de las posic iones l imi te de un

mecanismo es una comb inac ión de do s conceptos presentadoscon a nterioridad en este capitulo:

I. Ia lógica de la conf igurac ión de un mecanismo en u na

configuración limite. Esto se prese ntó en el método

gráfico pa ra d eterm inar las posiciones limite, que

se introdu jo en la sección 4.7.

O . 0 m é to d o d e de sc o m p o sic ió n d e u n m e c a n ism o e n t r iá n -

(ji los convenientes y el uso d e las leyes trigonom étricas,

par a d e te rm in ar to d o s lo s án g ulo s y las longitud es de l

mecanismo, presentad o en la sección 4.6.

La comb inac ión de esos dos conceptos para d e te rminar la

po si ci ón d e to d os lo s e sla bo nes d e u n m ec an is m o en u n a p os i-

d ó n l ími te se i lust ra con e l problem a de e jemplo 4 .8 .

P R O B L EM A D E E J E M P L O 4 , 8

La figura 4JO muestra el mecanismo de u na banda transpo rtadora de transferencia, cuya función e s sum inistrar

pi qu et es a u n a estac ión d e e m ha rq ue en int erva los espe cífi cos . Determ in e ana lít icam en te las po sic ion es e xt re mas delsegmento de elevación de la banda transportadora.

S O L U C I Ó N : I . Elabore e l dia gr am a c in em át ico

&i la figura 431 a se muestra el diagrama cinemático de este mecanismo. El extremo del segmento transp ortador

* identificó como el punto de interés X.

2. Analice la geometría en la posición limite extendida

Este mecanismo es otro eslabonamiento de cuatro barras. Como se vio en el problema de ejemplo 4.7, el seguidor

de un mecan ismo de c uatro barras está en l a posición limite extendida cuand o los eslabones 2 y 3 s e vuelven

mlincalcs. En la figu ra 4J l b se ¡lustra el mecanismo con el seguidor en su posición superior. Observe que los

esbbones forman un triángulo general AAC’D. También advierta qu e b longitud de AC’ es de 20 in (16 + 4).

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9 2 CAPITULO CUATRO

FIGURA 4.50 Banda trans por tado ra de sum inistro

del pro blem a de ejemplo 4.8.

f i g u r a 4 .31 Mecanismo del pro blem a de ejemplo 4.8.

la posición límite superior se define completamen te determinando los ángulos interiores. El ángulo inte*ñ o r e n l a u n ió n A , ¿ .C A D , se calcula con la ley de los cosenos:

L C A D - e os 1

- e o s - *

AD ¡ + A C - C D ¡

2(AD ) (AC 1) J

(18 in)J + (20 in )1 ~ (8 in)J

2(18 in) (20 in)= 23.6*

Se usa la ley d e los senos para calcular cualquiera de los ángulos interiores restantes. Sin embargo, la ley de

los senos quizás origine confusión con ángulos entre 90* y 180* porque

sen 0 - se n (18 0" - 0 )

Cuando se utiliza h función inversa del seno en un a calculadora, el ángulo se encuen tra entre 0o y 90°. No

obstante, el resultado que se busca puede ser u n áng ulo entre 90° y 180°. Para minimizar tal contusión, se re

comienda dibujar los triángulos a un a escala aproxim ada y verificar los resultados numéricos. Asimismo, esmejor usar la ley de los senos con ángulos d ond e sea evidente que s e eiKuentran en el rango de 0 o a 90°.

Con este enfoque, el ángulo interior en la u nió n C', ¿1ACT),se determina u sando la ley de los senos, porquees evidente que es m eno r de 90*.

L A C D - sen-1 ( | se n ¿ C A D

sen18 in\

8 i a jsen 23.6° 64.1*

Se determina el ángulo interior en la un ión D. / . AD C'.

L A D C = 180* - ( ¿ C ’A D + ¿.ADC')

= 180" - (23.6* + 64.1*1 = 9 2J*

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A n á l i s i s d e p o s i c i ó n y d e s p U z a m i e n t q ___________ 93

3. Ana lic e la ge om et ría en la p os ic ión l im it e retraída

la figura 4.31c muestra este mecanismo con el seguidor en la posición inferior. Otra ver, los eslabones form an

un triángulo AACD. Observe que la longitud de A C es de 12 in (1 6-4 ) .

Para definir completamente esta configuración, se determinan los ángulos interiores con u n procedimiento

idéntico al que se acaba de describir.

Para el ángulo interior de la u nió n A , /. C 'A R

A C '¡ - C 'D 3 l C a d = eos- '

AD 1 +

L 2 t2 ( A D ) ( A C )

j (1 8 in )? + (12 in)* - (S in )2

C0Í [ 2(18 in)( !2 in)- 20.7°

0 ángulo interior en D está en el intervalo de 0* a 90°. Por lo tanto, para el ángulo interior en Li un ión R

LA D C

L A D C " - se n se n Z .C"A D |

msen 20.7* 32.1a

0>r último, el ángulo interior en la unión C*. / AC’D , se determ ina de la m anera siguiente:

/ .A C ”D = 180° - ( / . C " A D + /. A D C ")

= 180° - (20.7* + 32.1°) = 1272a

4 . M id a la ca rrer a de l eslabón s eg uido r

Para resumir, el segm ento transportador (ángulo interior en ki unión D. / AD C) recorre u n espacio angular que

se encuentra entre los 92J * y 32.1”, medido hacia arriba desde la vertical:

32.1a < < 92 J*

y la carrera es

M m b = 9 2J * - 32.1 a = 6 0 2 a

4 .9 Á N G U L O D E T R A N S M I S I Ó N

La ventaja mecá nica de un mecanismo e s la razón d e la fuerza de

salida (o torque) divid ida entre la fuerza de entrada (o torque).

En u n eslabonam iento, el ángulo de transmisión y cuantifica la

transmisión d e la fi ierza a través del mecanismo y af reta directa

me nte la eficiencia mecánica. Eviden temen te, las definiciones del

ángulo de transmisión d ependen de la selección del eslabón im

pu lsor . En la fig ura 4 .3 2 s e p re se nt a e l án gul o d e t ra n sm is ió n de

mecanismos de manivela-corredera y de cua tro barras im pulsa

dos p or una manive la . En estos eslabonamientos, la venta ja

mecánica es proporcional al seno del ángulo y . Conforme e l eslabonamiento se m ueve, el ángulo de transmisión, junto con los

otros án gulo s de las uniones, y la ventaja m ecánica, cambian

constantemente. C on frecuencia se desean cono cer los valores

a \ remos de l ángulo de t ransmisión.

En el eslabonamiento manivela-corredera, el ángulo de

transmisión se mide entre el acoplador y ti l inea normal a la direc

ción de deslizamiento. Los valores mínim os y máxim os del ángulo

de t ransm isión se de te rminan geométr icamente const ruyendo

configuraciones como la m ostrada en la figura 4 J2a . De manera

alternativa, los ángulos de transmisión m ínim o y máxim o de un

mecanismo manivela-corredera se calculan a partir d e

= e o s- i I , + L>

(4.15)

( 4 1 6 )

En los m ecanismos de cua t ro barras , e l ángulo de t rans

misión s e m ide entre el eslabón de salida y el acoplador. Al igual

qu e e n la manive la -corredera , los va lores de los ángulos de

t r a n sm is ió n m in im o y m á x im o se d e t e rm in a n g e o m é t r i c a

men te const ruyend o configurac iones como la m ostrada en la

figura 4J2 b. Alternativamente, los ángulos de transmisión m ínimo y máximo se ca lculan con

y m tn = e os

r m i x = COS

-1

-1

• L \ + - ( L | - l ¡ ) 2

2 L jL 4

‘ I i + ! j ( L t + L2 ) 2

2 I 4 L4

( 4 1 7 )

( 4 1 8 )

El ángulo de t ransmisión es un a medida de la cal idad de la

t r a n sm is ió n d e l a fu e rz a e n e l m e c a n i sm o . N o rm a lm e n te , el

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94 CAPITULO CUATRO

e l ángu lo de t ransm isión inf luye en la venta ja mecánica de l

me canism o Las configurac iones d e mecanismos d e manivela -

corredera y de cua t ro barras , que producen áng ulos de t rans

misión mínimos y máximos, tam bién se muest ran en la f igura

4 .32 . Una regla prác t ica com ún es qu e los ángulos de t ransm isión deber ían p erman ecer ent re los 45° y 135*. Se propo r

cion a may or detalle en el análisis del diseño del mecanismo en

el capitulo 5.

f i g u r a 4.32 Angulos d e transmisión.

a c o p la d o r e s u n e sb b ó n d e t e n s ió n o d e c o m p re s ió n . Po r lo

tanto , tan so lo puede em pujar o jab r a lo largo de b l inea que

conec ta los dos pernos. Cuand o se apl ica u na torque a l p ivote desa lida , b t r an sm is ió n ó p t im a d e b fu erza o c u r re c u a n d o e l á n

gulo de t ran sm isión es de 90°. Co nform e e l ángulo de t ran smisión se desvia de los 90° , so lo un a compo nente d e la fuerza

del acop lador se convierte en torqu e en el pivote, de m odo qu e

4.10 CICLO COMPLETO:

ANÁLISIS GRÁFICO DE POSICIÓN

La configuración de u n mecanismo en un instante especifico se

conoce también com o jti se de l m ec an ism o. Has ta ah ora, lo s an ál i

sis de posición se centraron e n determ inar b láse del m ecanismo

en u na cierta posición de un eslabón de ent rad a El análisis del ci

clo estud b el m ovim iento del mecanismo desde una fase inicial y

aum enta gradua lmente a t ravés de una se r ie de fases durante la

operación. La asignación de un a fase inicial se utiliza como refe

rencia de las fases subsecuentes. Se puede elegir cualquier co nfi

guración ventajosa com o b fase iniciaL Es com ún usar una posi

ción límite co m o la fase inicial o de referencia.Para efectuar el análisis de po sición de un de lo completo,

la conf igurac ión d d mecanismo se debe de te rm inara d ife rentes

intervalos de su cid o. El procedimiento, ya sea gráfico o an alít ico, es exactamente d descrito en b s secciones anteriores. La

única diferencia es qu e estos proced imien tos se repiten a dife

rentes intervalos del desplazamiento de entrada. Los problemas

de e jemplo siguientes i lust ran d aná l is is de posid ón de un d d o

c o m p le t a


la figura 433 muestra el mecanismo impulsor de u nas ti jeras para podar manualmente. El mecanismo opera girando

d disco grande como se indica. Determine gráficamente la posición dd mecanism o imp ulsor en varias fases de su d -

d o d e operación.

Un motor Caradoras móvilesg ira e l dú co

1.0* 2.0*

f i g u r a 4 3 3 T i je ra s p a ra p o d a r d d p r o b l e m a d e e j e m p l o 4.9.

S O L U C I Ó N : I . Uabore el diagrama cinemático y calcule la movilidad

En la figura 434 a se presenta el diagrama cinemático. El extremo de la h oja de corte med ia se identifica com o el

p un to de i nt er és X.

la movilidad d d mecanismo se calcula como:

n = 4 j f = (3 pernos + I corredera) = 4 j k = 0

yM = 3(n — 1) - 2 j f - f l ,

- 3(4 - 1) - 2(4) - 0 - 1

Por lo tanto, el único esbbó n de entrada se mueve para operar las t i jeras.

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A n á l i s is d e p o s i c i ó n y d e s p l a z a m i e n to __________ 95

2. Diseñ e la fa se d e re ferenc ia

Rna asignar una fcise de referencia, únicam ente se debe esparificar b posición del esb bó n de entrada. S e selecciona

en form a arbitraria b configuración cuan do el disco impulsor, el esbbó n 2. está en una p oskió n vertical, con la

rn ión B directamente debajo de b unión A.

3. Construya un interva lo de fases

B dib ujo del mecanism o en varias fases de su ciclo es idéntico al análisis de posición a nterior, pero repetitivo.

Mientras se dibujen las diferentes fases con métodos gráficos, el diagrama cincm átko suele cargarse m uy rápido.

fi g u r a 4.34 Fases del mecanismo del problema de ejemplo 4.9. (Continúa).

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9 6 CAPITULO CUATRO

/ r . : " i C A +■C 0 • O J L B34S A

® - n / * 3 8 a -

A _ ? . - ¥- B

“ r •

f i g u r a 4 J 4 ( G m i fo iM a d r O

Se recomien da ampliam ente q ue se utilicen diferentes colores o fuentes par a representar cada fase del ciclo.

Cuando se usa el CAD, tam bién es ventajoso colo car cada fase en u n nivel diferente, el cual log re desplegarse u

ocultarse rápido.

&i este problem a, el eslabón im pulsor, el eslabón 2, se posiciona en intervalos de 45* a través de su ciclo. Por

consiguiente, se construyen o cho fases del mecanismo, las cuale s se design an com o fases I a 8. Las ocho posi

ciones de los punto s B y X se mu estran en la figura 4.34b. Observe que los puntos se identifican usan do sub-

hdic es del I al 8, de acuerdo con la fase correspondiente. E n la práctica, se utilizan incluso me nores increm entos

dependiendo de los detalles que se requieran del m ovimiento del mecanismo.

Construy a las posiciones limite

También se determinan las fases asociadas con las posiciones limite. La hoja de co rte alcanza su posición m ás ele

vada cuando d eslabón 4 gira al máxim o ángulo posible. Esto ocurre cu ando d eslabón 4 es tangente al circulo

que representa las posiciones posibles del p un to B. El punt o de tangencia se denota com o B 'y la posición corre s

po nd ient e de las cu ch ill as se de no ta co n X '. Esto se mue st ra e n la f igu ra 4.34c .

lai posición inferior de la cuchilla ocurre cuand o d eslabón 4 gira hasta su án gulo men or. O tra vez, esto

ocurre cuan do d eslabón 4 es tangente al circulo qu e representa las trayectorias posibles de R Los puntos relacionados con kt configuración más baja se denotan en la figura 43 4 c com o B 'y X*.

El desplazamiento máx imo del eslabón 4 se mide a partir de la construcción cinemática:

- 2 90 °

4 .1 1 C I C L O C O M P L E T O :

A N Á L I S IS D E L A P O S I C I Ó N

Para obtener la configuración de u n mecanismo a través de u n d -

d o . se repite el m étodo an alítico para alcanzar varias fases. Suele

tratarse de u n proceso excesivamente repetit ivo, p or lo cual es

com ún usar programas d e software, com o se verá en el capítulo 8.

Las ecuad ones generadas a par t i r de t r iángulos def in idos

p ir c ia lm e n te p o r lo s e sb b o n e s d e l m ec an is m o, se resu m en

como las ecua done s (4.1) a (4.12). Estas ecuaciones se despejan

p i r a di fe re nt es va lo re s d e la p o sid ó n del im pulsor. Las h o ja s d e

cálculo como las qu e se verán en el capitulo 8 son ideales para

tales análisis.

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Li figura 4.35 ilustra un mecanismo que se diseñó para empujar piezas de un transportador a otro. Durante la trans

ferencia, las piezas se deben girar com o se indica. Determine analíticamente la posición de la varilla de em puje en

varias tases de s u movimiento.

FIGURA4.35 Alimen tador del transpo rtado r del problem a de ejem plo 4.10.

S O L U C I Ó N : I . IS b u je e¡ dia gr am a c in em át ic o

El diagrama cinemático de este mecanismo se presenta en la figura 436 . Observe qu e se trata de un mecanismo

de manivela-corredera descentrado qu e tiene un grado d e libertad.

figura 436 Diagrama c inemát ico de l problema d e e jemplo 4 .10.

2. Diseñ e la fa se in ic ia l

Se elige de man era arbitraria que la tase inicial sea cuan do la manivela está horizontal, colocando el p un to B d i

lectamente a la izquierda de la uni ón A.

3. Construya las fases del intervalo

Recuerde que tas ecuaciones (4.6), (4.7) y (4.8) describen la posición de un mecanism o de manivela-corredera

descentrado las cuales se pueden usar en el anáfisis de u n ó d o completo. Las ecuaciones se utilizaron junto con

un a hoja de cálculo, lo cual dio los resultados mos trados en la figura 43 7. Si no está familiarizado con las hojas

de cálculo consulte el capitulo 8.

4. Id en tif iq ue las po si cio ne s lim it e

Centrándonos en l a posición del eslabón 4, la opilación de la corredera se aproxim a como

2631 m m < í , < 9 335 m m

y el desplazamiento máximo com o

l A t a U - ( te ín a, ~ W m u , * * 3 3 5 - 2 6 3 1 = 6 6.74 m m

Esto es solo un a aproximación porque con incrementos de 15* la posición lím ite no se puede detectar con exac

titud. Cuando s e requiere inform ación exacta sobre la posición límite, se recomienda usa r las técnicas presentadas en

b secc ión 4 3 .

Quizás haya contusión al observar el valor del ángulo f i en el ángulo de la m anivela, 0¡, que es igual a 360°. El

valor debería s e t idéntico al valor inicial en 0° del ángu lo de la manivela. Observe que los valores difieren d urante los

360°. Uno m ide d ángulo interior, y el otro el ángulo exterior. Esto mu estra la necesidad de verificar la información

obtenida a partir de las ecuaciones con la del m ecanismo fisico.

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9 8 CAPITULO CUATRO

^ . . . . . . .

s («gal lm< »«» r« f Otfi ■w, V*. 0.. Clt M - - »

* A

« . .. r -

U

Uflfw*nt M

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V*.

3) t 12

2 - * ■ J

n

U '

------------= = — TE

t e

u

* ■ 1 c . - T - T . . 1

i 0 , L ' o> n3 («g> (mm) «*g> «*g>i 0 9 3 2 5 35.38 15482

« u «7.92 32.65 13235

i 4 90 79.60 40.01 109.99

• •15 68.93 47.02 87.98

7 60 57X11 53.10 6 6 90

¿ j „ n 45.47 57.41 47.59

90 3 6 0 6 59.00 31.00

10 ios 29.94 5 7 8 1 17.59

u i » 2 7 0 3 S3.10 6 9 0

u i » 26.51 47.02 -2-02

11 150 27.64 40.01 -10.01

W 165 29.96 32-65 -1 7 8 5

>» 190 3 3 2 5 25.38 •25.38

16 195 3 7 8 0 18.57 -33.52

*7 210 42.39 12-37 42.37225 48.23 7 2 1 -52.21

24 0 5 4 8 8 3.29 8 3 .2 9

zo 255 62.23 0.84 •7 58 4

Z1 220 70.00 0.00 ■90.00

zz 295 77.76 0 8 4 1058 4

Z1 KO 8 4 8 8 3.29 •123 29

315 9 0 66 7.21 1422 1

» 330 94.35 12.37 •162 37 |

z. 345 95.35 18.52 -183.52

¡1 36 0

n

93.25 25.38 20 5 38

f i g u r a 4J7 Itosiciones de la varilla de em puje del problem a de ejemp lo 4.10.

4 .1 2 D I A G R A M A S D E D E S P L A Z A M I E N T O

Una vez qu e se efectúa el análisis de pos ición de u n ciclo com

pl eto, es m u y r az onab le gra fi car el de sp la za m ie nt o d e u n pu n to

en re lac ión con e l desplazamiento de o t ro p unto . Lo más f re

c u e n te e s g ra f i c a r el d e sp la z a m ie n to d e u n p u n to so b re e l

seguidor en re lac ión con e l desplazamiento de u n pu nto sobre

el impulsor.

Com únm ente , e l desplazamiento de l im pulsor se grá f ica

sobre la hor izonta l . En e l caso de una manive la , el desplaza

m iento de l impu lsor es de un a revoluc ión . El desplazamiento

correspondiente del segu idor se gráfica a lo largo de la vertical.

3 desplazamiento graficado sobre el eje vertical pue de ser l ineal

o a n g u lar , d e p e n d ie n d o d e l m o v im ie n to q u e se o b t i e n e d el

mecanism o específica


La figura 43 8 ilustra el mecanismo impu lsor de u n compresor reciprocante. Elabore un diagrama de desplazamiento

«fcl desplaza mien to del pistón en relación con un gi ro dd cigüeñal.

SO LU CIÓ N : 1 . Elab ore el d ia gr am a c in em át ic o

Después de un examen rigu rosa el mecanismo del com presor se identifica como un mecanism o de manivela-

corredera. Recuerde que este mecanismo tiene un grado de libertad y se opera con el giro de la m anivela. En

la figura 43 9 se muestra el diagrama cinemático con las dimensiones adecuadas.

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C a b r a d p i c i ta i d o

h g u r a 4.M C om preso r del problem a de ejemp lo 4.11.

C

2.0Q>

.75r— B 0>

(DHGURA 4.39 Diagram a cinemático d el prob lema de ejem plo 4.11.

IH se ile la f a s e d e re fe re nci a

Cóm o se observa en la figura 4 J9 . ia fase de referencia se elige arbitrariamente con la manivela en posición vertical, colocan do la unió n B ¿rectamente arriba de la unión A . La poskión del pistón (el pu nto C) se mide a partir

de esta posición d e referencia.

Construya las fases del intervalo

Los desplazamientos reales se determinan, analítica o gráficamente, usand o los m étodos presentados en las sec

ciones anteriores. Para d mecanism o de manivela-corredera, el desplazamiento se obtuvo analíticamente con las

ecuaciones (4 J) a (4 3). Co n u na hoja de cálculo, los resultados se obtuvieron com o se muestran en la figura

4.40. El desplazamiento de la manivela (0 ,) se m ide en grados; y el desplazamiento del pistón (ARc), en pul

i d a s ( in ).

Id en ti fi qu e l as po si ci on es li m it e

Centrándose en la posición del pistón, la oscilación se aprtnim a com o

l A ^ U - U O t a

Com o se vio en el problem a anterior, esto es solo u na aproximación, porque en incrementos de 30* la posi

dó n lim ite no se detecta con precisión. Sin embargo, para el mecanismo de m an ivela-corredera en linea, un exa

me n de la geom etría revela qu e las posiciones limite se presen tan en los ángu los 0* y 180" de la manivela. Por

consiguiente, la carrera es exactamente de 13 0 in.

Elab or e e l dia gra m a d e d es p la za m ie n to

Los valores obtenidos en la hoja de cálculo y tabulados en la figura 4.40 se gráficaron en la figura 4.41para crear

d diagrama de desplazamiento.

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100 CAPITULO CUATRO

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B A _ 1 ------

L ____

1 Angulo de Desplazamiento

2 la manivela drl pistón

3 (deg) (in )

1 0 0 . 0 0 0

5 3 0 0 .1 3 6

6 6 0 0 .4 8 3

7 9 0 0 .8 9 6

8 1 2 0 1.233

9 150 1.435

10 180 1.50 0

u 2 1 0 1.435

12 2 4 0 1.23313 2 7 0 0 .8 9 6

14 3 0 0 0 .4 8 3

15 3 3 0 0 .1 3 6

16

- • * - « * -

3 6 0 0 . 0 0 0

•nd m i or í» m om ii »»io

OfttMO» **»*•' C*U«U4

A > * * * ' r A r x \ro , «u - * • » T J

Sana rmta

FIGURA4.40 (tosidoncs de desplazamientos del problem a de ejemp lo 4.11.

A ^ a <VU ataai«t»

= F

FIGURA 4.41 Diag ram a de desplazam iento del proble m a de ejem plo 4.11.

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A n á l i s is d e p o s i c i ó n y d e s p l a z a m i e n to _________ 101

4 .1 3 C U R V A S D E L A C O P L A D O R

Con frecuencia, la fon dó n d e un mecanismo es guiar u na pieza a

lo largo d e un a trayectoria especifica Las trayectorias generadas

p o r lo s p u n to sde una b ie la , o un acoplador, de un mecanismo de

cuatro barras con frecuencia logran los m ovimientos complejos

que se desean, l a r uta de un p un to es la trayectoria que sigue el

pu n to co n fo rm e el m ec an is m o s e m ue ve a t ra vé s d e su d d a Latrayectoria trazada po r cualquier pu nto del acoplado r se conoce

como curva de acoplador. Las dos curvas d e acoplador, es decir,aquel las t razadas po r las uniones de perno d d acoplador, son a r

cos s imples, con centro en los dos p ivotes f i jos . N o obstante ,

o t ros puntos d d acoplador s iguen curvas comple jas . La f igura

4.42 ilustra u n m ecanismo de cuatro barras, don de se despliegan

las curvas del acop lador de u no s cuantos pu ntos seleccionados.

FIGURA «.42 Curvas d e acoplador.

Los m étodos de este capitu lo s i rven pa ra con st ru i r la ru ta

dd movimiento de c ie r tos puntos sob re u n mecanismo. La sec

ción 4.10 introd uce el concepto de la construcción d e la confi

gurac ión en varias fases de su d d o . Po r la manera como se cons

truyen tales fases, se puede visualizar la posición de ciertos

p u n to s. La cu rv a fo rm ad a cu a n d o se u n e n la s p o sic io n e s deestos puntos en varias fases del mecanismo determina la ruta

de ese pun to. Si los punto s se encuentran en u n eslabón flotante,

la ruta resultante, o cu rva d d acoplador, es compleja. E stas rutasse util izan para de termin ar los req uerimientos espaciales de un

mecanismo.

PROBLEMAS

A u n c u a n d o l as t é c n ic a s d e d i b u j o m a n u a l e s s o n d i d á c t ic a s e n

l o s p r o b l e m a s q u e r e q u i e r e n s o l u c i ó n g r á f ic a , s e r e c o m i e n d a

a m p l ia m e n te d u so d e u n s is te m a d e c a d .

D e sp la z a m ie n to e n g e n e ra l

4 - 1 . El dispositivo q ue se m uestra en la figura P4.1 es un

mecanismo de yugo escocés. La posición horizon tal dd

e s l a b ó n 4 se d e f in e c o m o x - 3 e o s (5 0 f + 4 0 °) ,

Dete rmine d desplazamiento de l eslabón 4 dur ante un

intervalo de 0.1 0 a 1.50 s.

4 -2 En d mecanismo de yugo escocés de la f igura P4.1, la po si ci ón h o r iz o n ta l d el es la bón 4 s e de fine c o m o x = 3

eos (50f + 40°) . Dete rmine d desplazamiento de l es

labón 4 dur ante un in te rva lo de 3 .8 a 4 .7 s .

F I G U R A N . ! Problemas 1 y 2.

A n á l is i s g rá f ic o d d d e sp l a z a m ie n to

4 - 3 . Determ ine gráficamente el desplazamiento de los pu n

tos P y Q conforme e l eslabón m ostrado en la f igura

P4.3 se desplaza 25° en sent ido ant ihorar io . Use

P - 5 5 ° y y = 30*.

P

Q

F IG UR A P 4 J P r o b l e m a s 3 , 4 , 3 8 , 3 9 .

4 - 4 . Determ ine gráficamente el desplazamiento de los pun tos P y Q conforme e l eslabón m ostrado en la f igura

P4.3 se desplaza 35* en d sent ido h ora r io . Use

/ í ” 6 5° y y • 15*.

4 - 5 . Posicione gráficamente los eslabones del eslabonamiento

compresor en b configurac ión m ostrada en la f igura

P4.5. Luego, reposidone los eslabones conforme la

nunive la de 45 mm gira 90° en sent ido ant ihorar io .

Determine d desplazamiento resultante d d pistón.

4 - 6 . I Y»idonc gráficamente los eslabones d d comp resor en la

configuración m ostrada en la figura P 45. Luego, reposi

don e lo s eslabones conform e la manivela de 45 m m gira120° en d sentido horario. Determine d desplazamiento

resultante dd pistón.

FIGU RA P4 3 Pro ble m a s 5 ,6 .4 0 .5 6 ,6 3 ,7 0 ,7 6 .8 2 .

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102 CAPITULO CUATRO

4 - 7 . l \>sidone grá f icamente los eslabones de l mecanismo

de corte en la configuración mo strada en la figura P4.7.

luego, repo sidon e los eslabones confo rm e la manivela

de 0.75 in gira 100° en el sentido h orario. Determine

d desplazamiento resultante de la cuchilla .

4 - 1 1. I fosic ione grá f icamente los esbb one s de la pu er ta de l

horn o en la configuración m ostrada en b figura P4.11.

Luego, repos idone los es bbon es conforme e l mango,

que se encuen tra originalm ente en 10°, gira hasta los

40* en e l sent ido an t iho rar ia D ete rmine e l despbza-

micnto resul tan te de la pue r ta

FIGURAP4.7 Problemas7.8 . 41 .5 7 . 64. 71.77.83.

4 - 8 . Posic ione grá f icamen te los es bbo nes de l mecanismo

de cor te en la conf iguradón mostrada en la f igura P4.7 .

luego, reposidone los eslabones conforme la cuchilla

desdende 0 2 in . D ete rmine e l desplazamiento angula r

resultante de b manive la

4 - 9 . t o s id o n e g rá f ic a m e n te l o s e s la b o n e s d e l m e c a n i sm od e e s t a m p a d o e n l a c o n f ig u ra d ó n m o s t r a d a e n l a

figura P4.9. Luego, reposid on e los eslabones conform e

el mango gira 15® en el sentid o horario. Determ ine el

desplazamiento resultante del sello y el despbz am iento

lineal del extremo del m ang a

4 - 1 2 . f tzsic ione grá f icamente los esbbon es de b puer ta del

to rn o e n b c o n f ig u ra d ó n m o s t r a d a e n b f ig u ra P4 .1 1.

lu eg a reposidone los eslabones conforme b puer ta sed e v a 3 i n . D e t e rm i n e e l d es p b z a m i e n t o a n g u b r r e

f e r i d o d e l m a n g o p a ra e le v ar b p u e r t a 3 i n.

4 - 1 3 . En b f igura P4.13 se m uest ra un mecanismo t r i turado r

de rocas. Posic ione grá f icamente los esb bon es en b

configuradón mostrada . Luego, reposic ione los es

b b o n e s co n fo rm e la m a n iv e b g ir a 30" en el s e n ti d o

h o ra r i a D e te rm in e e l d esp l az a m ie nto a n g u b r r e su l

tante del ariete tri turado r.

360 mm

FIGURA P4.I3 Problemas 13. 14.4 4 . 5 8 . 65. 72 ,7 8 . 8 4 .

4 - 1 0 . f t>sidone grá f icamen te los esb bon es de l mecanismo

de estampado en b configuración que se presenta en la

figura P4.9, Luego, repo sido ne los eslabones conforme

d mango g i ra 10" en sent ido ant ih ora r ia Dete rmine el

despbz am iento resultante del sello y el despbzam iento

lineal del extrem o del mango.

4 - 1 4 . En b f igura P4.13 se observa un mecanismo de t r i tu

rador de rocas. Po sido ne gráficamente los eslabones en b c o n fi g u ra d ó n m ostr ad a . L u eg a re p o sid o n e lo s e s

bbo nes c o n fo rm e b m a n iv eb g ir a 150“ en se n tid o a n-

dhoraria Determine el desplazamiento angular resultante del ariete tri turado r.

4 - 1 5 . Posicione gráficamente los esbbon es del m ecanismo del

im piad or automotriz posterior de vidrios m ostrado en

b fi gu ra P 4 .I 5 . L u e g a re p o sid o n e l o s e sb b o n es c o n

forme b ma niveb de 2 in gira 50“ en el sentido horario.

Dete rmine e l despbzamiento angubr resul tan te de l

braz o d el lim p ia do r y el de sp la za m ie nto l inea l en el ex

t remo de b hoja de l l impiador .

FIGURA P4.9 Problemas 9.10. 42.

fi g u ra P4.11 Problem as 11,12,4 3.

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A n á l i s is d e p o s i c i ó n y d e s p l a z am i e n t o _________ 103

Hoja de l limpiador

Brazo «VI limpwfcir

Murivcla

f i g u r a P t l5 Pro ble m a s 1 5 ,1 6 .4 5 .5 9 .6 6 ,7 3 ,7 9 .8 5 .

4 - 1 6 . Ifosicione gráficamen te los eslabones de l mecanism o

del l impiador t rase ro de v idr ios m ostrado en la f igura

P4.I5 . Luego, reposic ione los eslabone s conform e la

manive la de 2 in g i ra 110®en e l sent ido horar io .

Dete rmine e l desplazamiento angula r resul tan te de l

br az o d el li m p ia d o r y e l d es pla za m ie nt o lin ea l e n el ex

tremo de la hoja del l impiador.

4 - 1 7 . Ifosidone gráficamen te los eslabones de las p inzas de p re sió n m o str ad as e n la fi g u ra P 4 .I 7 . Lue go , re posi

c iones los eslabones conform e la m ordaza super ior se

abre 40° a par t i r de la or ientac ión m ostrada , en tan to

que la mordaza infe r ior permanece estac ionar ia .

Dete rmine e l desplazamiento angula r resul tan te de l

mango superior.

FIGURA P4J0 Problemas 20 .21 ,47 ,60 ,6 7 ,74 ,80 ,8 6 .

4 - 2 1 , Ifosicione gráficamente los eslabones del mecanismo

impu lsor de l tren de a te rr iza je de un a aeronave pe-

quena que se m uestra en la figura P4.20. Luego, reposi-

do ne lo s eslabones conforme la manivela de 12 in gira

110° en e l sen t ido h ora r io a par t i r de la or ientac ión

mo strada. Determine el desplazamiento ang ular resul

tante del ensamb le de la rueda.

4 - 2 2 . f t js ic ione grá f icamente los eslabones de la b omb a de

aire de pedal q ue se ilustra en la figura P4.22. Luego,

itposicione los eslabones conform e el pedal gira 25° en

sent ido ant ihorario a par t i r de la or ientac ión mostrada .

Determine el desplazamiento lineal resultante del

p u n to X y la d is ta n d a qu e s e re tr ae el d l in d ro d e aire.

Asimismo, con el diám etro del cilindro igual a 25 mm ,de te rmine e l volumen de a i re desplazado por este

movimiento.

4—18. Ifosidone gráficamen te los eslabones de las p inzas de

pre sió n m os tr ad as e n la fi g u ra P 4 .I 7 . Lu ego, re pos i-

do nes los eslabones conform e la m ordaza super ior se

abre 20° a par t i r d e la or ien tadó n m ostrada , en tan to

q u e l a m o rd a z a in fe r io r p e rm a n e c e e s t a d o n a r i a .

Dete rmine e l desplazamiento angula r resul tan te del

mango superior.4-19 . Cuando se g i ra e l tomil lo de mariposa en e l mango in

fe r ior de las p inzas de pres ión de la f igura P4.17 , se

mueve e l pu nto de p ivote e fec tivo de l eslabón de 7 .0

cm. D urante e ste movim iento, el resorte evita qu e las

mordazas se m uevan. Posic ione grá f icamente los es

labones conf orm e el pu nto de pivote electivo se mueve

2 cm a la derecha . Luego, reposic ione los eslabones

conforme la mordaza supe r ior se abre 40" a pa r t i r de lanueva or ientac ión , en tan to la mordaza infe r ior per

manece estadonaria. Determ ine el desplazamiento angular resultante del mango superior.

FIGURA P4J2 Prob lema s 22 ,23 ,48 .

4 - 2 3 . Posidon e gráficamente los eslabones de la b om ba de aire

de pedal que se ilustra en la figura P432. Luego, repod

do ne los eslabones conform e el cilindro de aire se retrae

175 mm. Determine el desplazamiento angular resul

tó te de l pedal y el desplazamiento lineal del p un to X.

4 - 2 4 . Posidone gráficam ente los eslabones del elevador del

ho rno de microon das, que ayuda a gente en si l la de

ruedas, mos trado en la figura P4.24. Luego, reposidone

los eslabones conform e e l ac tuad or l inea l se re t rae a

una longi tud de 400 mm . Dete rmine e l desplazamiento

4 - 2 0 . f t ts ic ione grá f icamen te los eslabones de l mecanismo

impulsor de l t ren de a te rr iza je de una aeronave pe

queñ a que se m uestra en la figura P4.20. Luego, reposi

do ne los eslabones conforme la manivela de 12 in gira

60" en e l sent ido horar io a par t i r de la or ientac ión

mo strada. Determine el desplazamiento ang ular resul

tante del ensamb le de la rueda.

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104 CAPITULO CUATRO

angula r resul tan te del eslabón de so por te f ronta l y e l

desplazamiento lineal de cualquier punto sobre el p or

tador de l horno

4 - 2 5 .

4 - 2 6 .

R>sicione gráficamente los eslabones del elevador del

Iwrno de microondas, qu e ayuda a gente d iscapaci tada,mo strado en la figura F4.24. Luego, reposicione lo s es

b b o n es c o n fo rm e el e sl ab ón d e so p o rt e f ro nta l s e e lev a

45° a par t i r d e la or ientac ión m ostrada . Dete rmine la

distancia qu e n ecesita retrae rse el actua do r lineal,

t o s id o n e g rá f i c a m e n te lo s e s la b o n e s d e l c o n te n e d o rde l camión que se usa para ca rgar sum inist ros en las

aeronaves, como s e indica e n la figura P4.26. Luego,

reposidone los eslabones conforme e l perno infe r ior se

desliza 0 .5 m h ad a la cabina. D ete rmine e l desplaza

miento lineal resu ltante de cualquier p un to de la caja

de carga.

4 - 2 8 . Posicione g ráficamente los eslabones de la plataforma

elevadora mostrada en la f igura P4.28 . Dete rmine la

longitud de l c il indro h idrául ica Luega reposidone los

eslabones conform e la p la ta form a se e leva a 40 in.

Determine la longitud que se d ebe extender el cil indro

hidráulico p ara realizar este movimiento.

’ k n a f o r m a

FIGURA P4.M Prob lem as 28, 29,5 1.

4 - 2 9 . Itosidone gráficamente los eslabones de la plataforma

elevadora mostrada en la f igura P4.28 . Dete rmine la b n g i tu d del c il in dro h id rá u li c a L u eg a re p o sid o n e los

eslabones conforme la plataforma desciende a 30 in.

[>etermine la longitud q ue se debe retraer el cil indro

hidráulico para efectuar este movim iento.

4 - 3 0 . H mecanismo m ostrad o en la figura P4.30 se usa en los pr oy ec to re s de d n e para av an za r la pe lícu la . Pos ic io ne

gráf icamente los esbbones p ara b configurac ión

mostrada . L uega reposic ione los esbbon es conforme

b m an iv el a gi ra 90 ° en el s en tido h o rari o . D ete rm in e el

desplazamiento resultante de la una de avance.

F I G U R A P4J6 Problemas 26 ,27 ,50 .

4 - 2 7 . ! \>s¡donc grá f icamen te los esb bon es de l contened or

de l camión que se usa para ca rga r suminist ros en losaeroplanos, como s e indica en la f igura P4.26 . Lueg a

reposicione los esbbon es conform e e l perno infe r ior

se desliza 0.75 m alejándose de b cabina. Determ ine el

desplazamiento lineal resultante de cualquier pu nto de

b ca ja d e c arga .

2 8 1

U ó a d e —

avance

f ¥ m o < t e d r s l n a m i f n t o

4 8 m m

Nitnivela

18 mm

fel fcula2 5 m m

fi g u ra p«j o f t o b l e m a s 3 0 ,3 1 ,5 2 ,6 1 ,6 8 .

4 - 3 1 . H mecanismo mostrado en b f igura P4JO se utiliza en

los proyectores de cine pa ra avanzar b película. ft&icione

gráf icamente los esbbones para b configurac ión m os

t rada . Luega reposicione los esbbo nes conforme b

man iveb gira 130* en el sentido horario. Determ ine el

desplazamiento resultante d e b una d e avance.

4 - 3 2 . I fosidone grá f icam ente los eslabones de l mecanismo

de b suspensión de lante ra automo tr iz qu e se i lust ra en

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A n á l i s is d e p o s i c i ó n y d e sp la z a m ie n to ________ J0 5

la figura P4.32. Luego, repos idon e los esbbo nes co n

forme e l brazo de co ntro l super ior g i ra 20" en el sen

tido h o ra ria C alcule el desplazamiento resultante de b

ju r te in fe ri o r del neu m át ic o . A si m is m o d e te rm in e el

cambio en b longi tud de l resor te.

figura P4.32 Problem as 32,3 3, 53.

4-33. Pbsic ione grá f icamente los esb bon es de l mecanismo

en la suspensión delantera autom otriz que se ilustra en

la f igura P4.32 . Lueg a reposidone los esbbon es con

forme el brazo supe rior de control gira 10" en sentido

ant ihorar io . D ete rmine e l desplazamiento resul tan te

d e b p a r t e i n fe r io r d e l n e u m á t ic o . D e te rm in e a s i

mism o el cam bio en la longitud del resorte.

4 - 3 4 . Ifosicione gráfica m ente los eslabones d el mecanism o

tr i turador de rocas que se presenta en b f igura P4.34.

lue ga reposidone los eslabones conforme b manive la

gira 120° en el sentido ho rario. Determ ine el despbza-

miento a ng ub r resultan te de l a r ie te t r iturador .

FIGURAP4.34 Problemas 3 4 ,3 5 ,5 4 ,6 2 ,6 9 .7 5 ,8 1 ,8 7 .

4 - 3 5 . POsic ione grá f icamen te los eslabones de l mecanismo

tr i turador de rocas mostrado en la f igura P4.34 . Luega

r e p o s i d o n e l o s e s b b o n e s c on f o rm e b m a n i v e b g ir a

75* en el sentido hor ario. Determ ine el despbzam iento

angular resultante del ariete tri turador.

4 - 3 6 . I fosic ione grá f icamen te los esbb one s de l cam ión de

vol teo qu e se i lust ra en b f igura P4.36 . Luego, repo-

s ic io n e lo s e sb b o n e s c o n fo rm e se a c o r t a e l c il i n d ro

FIGURA P-t-36 Problemas 3 6. 37 .5 5 .

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106 CAPITULO CUATRO

0.15 m. Dete rmine e l desplazamiento angula r resul

tan te de cua lquie r pun to sobre la caja.

4 - 3 7 . I fosic ione grá f icamente los eslabones de l cam ión de

vol teo de basura m ostrado en b f igura P4.36 . Luego,

reposidonc los eslabones conform e se ab rga e l c i l indro

0.2 m . Dete rmine e l despbza m iento angula r resul tan te

de cua lquie r pun to sob re la caja.

Anál isis ana l í t ico de l desplaza m iento

4 - 3 8 . Determine ana l í t icamente e l desplazamiento de los

p u n to s P y Q , c o n fo rm e e l e sl a b ó n m o s t r a d o e n b

figura P4.3 se desp bza 30° en sentido antiho rario. Use

P = 55°y y = 30*.

4 - 3 9 . D e te rm in e a n a l í t ic a m e n te e l d e sp b z a m ie n to d e l os

p u n to s P y Q , c o n fo rm e e l e sl a b ó n m o s t r a d o e n b

f igura P4.3 se d esp bza 40° en sent ido ho rar io . Use

P * 6 5 ° y y - 15a.

4 - 4 0 . Determine analít icamente el desplazamiento lineal del

p is tó n del es la bona m ie nto co m p re so r m o str ad o en la

figura P4.5, conform e la manivela de 45 mm gira 90a a

p i r ti r d e su po si ci ón ac tu al en se n tid o an ti horar io .

4 - 4 1 . Determine analít icamente el despb zam iento lineal de

l a cu c h i ll a d e l m e c a n i sm o d e c o r t e m o s t r a d o e n b

f igura P4.7 , conform e b m anive bde 0 .75 in g i ra 50a a

p a r ti r d e su po si ci ón ac tu al en se n tid o an ti horar io .

4 - 4 2 . Determ ine analít icamente el desplazamiento lineal del

sello del mecanismo mo strado en b figura P4.9, co n

forme e l mango g i ra 20a a par t i r de su posidó n ac tua l

en el sentido hor ario.

4 - 4 3 . Determine analít icam ente el despb zam iento lineal de

b p u e r ta d e l h o r n o del m ec an is m o m o s tr a d o e n b

f ig u ra P 4 . l l , c o n fo rm e e l m a n g o d e 2 6 in g i r a 25a a

p a r ti r d e s u p o s id ó n ac tu al en se n tid o a n ti h o ra r ia

4 - 4 4 . Determine ana l í ticam ente e l desplazamiento angu brdel a r ie te de l mecanismo t r i tura do r de rocas mostrado

en la f igura P4.13, conforme la manive la de 60 m m gira

40a a partir de su po sid ón actual en el sentido horario.

4 - 4 5 . D e term in e a n a l ít ic a m e n te e l d e sp b z a m ie n to a n g u b r

d el b ra z o d e l l im p ia d o r t r a se ro d d m e c a n i sm o

m o s t ra d o e n b f ig u ra P4.15 , c o n fo rm e b m a n iv el a d e2 in g i ra 100a a pa r t i r de su p osid ón ac tua l en el sen

t id o h o ra r i a

4 - 4 6 . Determine ana l í t icamente e l despbzamiento angubr

del mango super ior de las p inzas mo stradas en b f igura

P4.17, conforme la mordaza super ior se abre 25a a par

t i r de su posic ión a c tua l en tan to qu e la m ordaza infe

r ior permanece estac ionarb .

4 - 4 7 . D e term in e a n a l ít ic a m e n te e l d e sp b z a m ie n to a n g u b r

d d e n sa m b le d e l a ru e d a d d m e c a n ism o im p u l so r d eltren de aterrizaje i lustrado en la figura P4.20, conform e

la m a n iv e b d e 12 in g i r a 60a a p a r t i r d e su p o s id ó n a c

tual en sentid o antihorario.

4 - 4 8 . Determ ine analít icamente la dis tan da qu e se retrae el

d l in d ro d e a i r e en b b o m b a d e p e d a l m o s t ra d a e n l a

f igura P4.22, cuand o e l peda l g i ra 20a a pa r t i r de su

po si ci ón ac tu al en s en ti d o anti h ora ri o . A s im is m a c on

un d iám etro d d c i l indro igua l a 25 m m, ca lcule el vo

lum en de a i re desplazado duran te este m ovimiento .

4-49 . Determine analít icamente el desplazamiento angu lar del

eslabón de l sop orte f ronta l de l deva do r de l ho rno de

microondas mostrado e n b f igura F4.24 , conforme el

actuador lineal se retrae a un a longitud de 425 m m.

4-50. Dete rmine ana l í ticamente b d is tan cb ver t ica l qu e des

c iende d con tenedor dd camión de b f igura P4.26 , s i

los pern os inferiores se separa n de 2.0 a 1.5 m.

4-51. Dete rmine ana l í t icamen te b extensión requer ida del

d l indro h idrául ico para e levar la p bta form a mostradaen b f igura P4.28 una a l tura de 45 in .

4-52 . Determine analít icamente el despbzam iento de la urta

d d m e c a n ism o d e a va n ce d e la p d fc u b m o s t r a d o en bf igura P4.30 , conforme b m aniveb g i ra 100° en d sen

tido horario.

4-53 . Determine analít icamente el desplazamiento de b parte

inferior d d neumático del m ecanismo de la suspensión

automo tr iz m ostrado en la f igura P4.32 , conforme e l

braz o s u p e ri o r de co n tr o l g ir a 15a en el s entido h o ra ri a

4 -5 4 . D e te rm in e a n a l í ti c a m e n te el d e sp b z a m ie n to a n g u b r

d d a r i e t e t r i t u ra d o r d e l m e c a ni sm o m o s t ra d o e n b

f igura P4.34 , confo rme la manive la g i ra 95a en d sen

tido horario.4 -5 5 . D e te rm in e a n a l í ti c a m e n te e l d e sp b z a m ie n to a n g u b r

de la caja del cam ión de volteo m ostrad o en la figura

P4.36, conform e el dlin dro se acorta 0.1 m.

Po s i c io n e s l ím i t e (m é to d o g rá f ic o )

4 -5 6 . Po s i a o n e g rá f ic a m e n te l o s e s la b o n e s d d m e c a n ism o

compresor mostrado en la f igura P4.5 , para b s confi

gurac iones que colocan a l p is tón en sus posic iones

l im i te . D e te rm in e e l d e sp b z a m ie n to l i n ea l m á x im o

(carre ra ) d d p istón .

4 -5 7 . f t t s ir i o n e g rá f ic a m e n te l o s e sb b o n e s d d m e c a n ism o

de corte mostra do en la figura P4.7, de acuerdo con b s

configuraciones qu e colocan a la cuchilla en s us posiciones limite. Determine el desplazamiento lineal má

ximo (carrera) de la cuchilla .

4-58 . ibsid on e gráficamente los eslabones del mecanismo tri

turado r de rocas m ostra do en ki figura P4.13, de acuerdo

con las configuraciones que colocan al tritura dor en sus

posicio ne s lim ite . Deter m in e e l de sp la za m ie nt o a ngul ar

(desplazamiento) máx imo del ariete triturador.

4-59 . I fosidone grá f icamen te los eslabones d d mecanismo

de los l impiad ores del parabrisas mo strado en la figura

P4.15, de acuerdo con las configuraciones que colocan

d l impiador en sus posic iones l imi te . Determine d des-

p b z a m ie n to a n g u b r (d e sp b z a m ie n to ) m áx im o de limpiador .

4 -6 0 . Po s ic io n e g rá f ic a m e n te lo s e sb b o n e s d d m e c a n i sm o

ac tuador de b rueda m ostrado en la f igura P4.20 , de

acuerdo con b s configurac iones qu e colocan d ensam

ble d e la ru e d a en su s p osic io n es li m it e . D ete rm in e

e l despbzam iento angu la r (despb zam iento) máximo

dd ensamble de la rueda.

4-61. Posic ione grá f icamen te los esbbones d d mecanismo

d e a v an c e d e b p d íc u b m o s t r a d o e n b f ig u ra P4 .3 0 , d e

acuerdo con b s configurac iones que colocan e l perno

de deslizam iento en sus posiciones limite. Determ ineel desplazamiento lineal máximo (carrera) del perno.

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A n á l i s is d e p o s i c i6 n y d e sp la z a m ie n to _________ 107

4-6 2. I tosidone grá f icamen te los eslabones de l mecanismo

tr i turador de rocas mostrado en la f igura P4.34 , de

cu er d o co n tas configuraciones que colocan el ariete en

sus posiciones limite. Determine el desplazamiento an

i l l a r (desplazamiento) máximo de l a r ie te t r i turador .

Po s i cio n e s l ím i t e (m é to d o a n a l í ti c o )

4-6 3. Calcule analít icamente el desplazamiento lineal máxi

mo (carre ra ) de l p is tón de l mecanismo compresormo strado en la figura P4.5.

4-64. Ca lcule ana l í t icamen te el desplazam iento l inea l m á

ximo (carrer a) de la cuchilla del mecanismo de corte

mo strado en la figura P4.7.

4-65. Ca lcule ana l í t icamente e l desplazamiento angula r

máxim o (desplazamiento) de l a r ie te de l mecanism o

tr i turador de rocas m ostrado e n la f igura P4.13 .


máxim o (desplazamiento) de l mecanismo l impiador

del parabrisas mostrad o en la figura P4.15.


máxim o (desplazamiento) del ensamble de la rueda del

m e c an i sm o a c tu a d o rd e b ru e d a m o s t ra d o e n b f ig u ra

W.20.

4-6 8. Calcule analít icamente el desplazamiento lineal máxi

mo (carrera) del perno que se desliza del mecanismod e a v an c e d e b p e l í c u b m o s t r a d o e n b f ig u ra P4 .3 0 .


máxim o (desplazamiento) de l a r ie te de l mecanism o

tr i turador de rocas mostrad o en la f igura P4.34 .

D ia g ra m a s d e d e sp l a z a m ie n to (m é to d o g rá f ic o )

4-70. tora e l mecanism o compresor mo strado en b f igura

B4.5 , e labore grá f icamente un d iagrama de desplaza

m ie n to d e b p o s ic ió n d e l p i s tón , c o n fo rm e b m a n iv e bda un g i ro com ple to en e l sent ido horar io .

4-7 1 . Para el mecanismo de cor te mostrado en b f igura P4.7 ,

dab ore grá f icamente u n d iagrama de desplazamiento

d e b c u ch il la , c o n fo rm e b m a n iv e b d a u n g i ro c o m

pl eto e n e l se ntido h o ra ri o .

4-72 . Para e l mecanismo t r i turador de rocas mo strado en la

figura P4.13, elabore g ráficamente un diagram a de des-

p b z a m ie n to de la p o sic ió n a n g u la r del a r ie te , co n

fo rm e b m a n iv e b d a u n g i ro c o m p le to e n e l se n tid o

horario.

4-73 . Para e l mecanismo l impiador de parabr isas mostrado

en b f igura P4.15 , e labore grá f icamente un d iagrama

de desplazamiento de la p osidó n angula r de l l impia-

<for, confo rme la m anive b d a un giro com pleto en el

sent ido horar io .

4-74 . tora e l mecanismo ac tuador de la rueda mo strado en

la figura P4.20, elabo re gráficamente u n diagra m a de

desplazamiento de la posición angular del ensamble de b

nieda . conforme la m aniveb d a u n g i ro comple to en el

sent ido horar io .

4-75 . Para el mecanismo t r iturado r de rocas mo strado en b

figura P 4J 4, elabore gráficamente un diagrama de des

p la za m ie nt o de la p o sid ó n a ng ula r del ar ie te , co nf orm e

la maniveb da u n g i ro comple to en e l sent ido ho rar ia

D i ag r am a s d e d c s p b z a m i c n t o ( m é t o d o a n a lí ti co )

4-76. Para e l mecanismo com presor mo strado en la f igura

1*4.5, elabo re analíticamen te un diagram a de des pbz a-

m ie n to p a ra l a p o s id ó n d e l p is tó n , c o n fo rm e la

m aniveb da un g i ro comple to en sent ido ant ihorar io .

4 - 7 7 . Para e l mecanismo de cor te m ostrado en b f igura P4.7 ,

d a b o re a n a l í t i c a m e n te u n d t a g ra m a d e d c sp b z a

m i c n to p a r a b p o s i d ó n d e l a c u c h i lb , c on f o r m e b

manivela da un g i ro comple to en sent ido ant ihorar io .

4-78 . Para e l mecanismo t r iturad or de rocas mostrado en la

figura P4.13, elabore analít icamente un diagrama de

d e sp la z a m ie n to p a ra b p o s id ó n a n g u la r d d a r ie t e ,

conforme la manive la da un g i ro comple to en sent ido

<mt¡horario.

4 - 7 9 . Para d mecanismo limpiador d d parabrisas mostrado

en la figura P4.15, elabore analít icamente u n diagram a

d e d e spl az a m ie n to p a ra b p o s id ó n a n g u la r d d l im p ia

d or , c o n fo rm e b m a n iv e b d a u n g i ro c o m p leto e n se n

tido antihorario.

4- 80 . Para e l mecanismo ac tuador de b rueda mostrado en b

figura P420 , elabore analíticamente un diagrama d e des

p la za m ie n to para la p o s id ó n an gu la r d el en sa m blede la rueda , conforme b maniveb da un g i ro comple to

en sentido antihorario.

4 - 8 1 . Pa ra d m e c an ism o t r i t u ra d o r d e ro ca s m o s t ra d o e n b

figura P 4J 4, elabore analít icamente un diagrama de des

pl az am ie nto d e l a p osid ó n an gu la r d el ar ie te , co nfo rm e

b man iv el a d a u n gi ro co m ple to en se ntido an tihora rio .

P r o b le m a s d e d e s p l a z a m i e n to u s a n d o W o r k i n g M o d e l

4 - 8 2 . t o r a d m e c an i sm o c o m p r e s o r m o s t r ad o e n b f ig u ra

P4.5 , use e l sof tware W orking M odel para c rear una

ám ulad ón y e laborar un d iagrama de desplazamiento

p i r a la posic ió n d d p is tó n , c o n fo rm e la m an iv eb d a

u n g i ro c o m p le to e n se n t id o a n t ih o ra r i a4-83 . Para e l mecanismo de cor te mostrad o en la f igura P4.7 ,

use el software Wo rking M odel para crear una simu-

tadó n y elaborar un diagram a de desplazamiento para la

p o s id ó n d e b c u c h il b , co n fo rm e b m a n iv e b d a u n

giro com ple to en sen t ido ant ihorar io .

4 - 8 4 . Para e l mecanismo t r i turad or de rocas mostrado en la

figura P4 .13, use el software W brking Model par a crear

u n a s im u b d ó n y e la b o ra r u n d ta g ra m a d e d e sp la z a

miento para la posid ón a ng ub r del a r ie te, conforme la

m aniveb da un g i ro comple to en sent ido ant ihorar io .

4 - 8 5 . Para d mecanismo limpiador d d parabrisas mostrado

en la figura P4.15, use el software Working Model parac rea r u n a s im u b d ó n y e l a b o ra r u n d i a g ram a d e d e s

p la za m ie n to p a ra b p o s id ó n a n g u b r del li m p b d o r,

c o n fo rm e b m a n iv e b d a u n g i ro co m p le to e n se n tid o

a n t ih o ra r i a

4-86 . Para e l mecanismo impulsor de b rueda mostrado en

b fi g u ra P4 .2 0, us e d so f tw ar e W o rk in g M od el p ar a

c rea r u n a s im u b d ó n y e l a b o ra r u n d i a g ra m a d e d es

p la za m ie nto para la posi c ió n an gu la r d d en sam ble de

b ru eda , co nform e b m an iv eb d a u n g ir o co m ple to en

sentido antihorario.

4 - 8 7 . Para e l mecanismo t r i turado r de rocas mostrado en b

figura P4.34, use el software W brking M odel par a crear

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108 CAPITULO CUATRO

un a simu lac ión y e laborar un d iagram a de desplaza

miento p ara la posición angular del ariete, confo rm e la

manive la d a un g i ro comple to en sent ido ant ihorar io .

ESTUD IOS DE CASOS

f i g u r a E4.I (Cortesía d e Indu strial Press).

1. Mientras la rueda C pr a en e l sent ido hora r io y e l

deslizador/perm anece inmóv il, ¿qué sucede con el m o

vimiento cont inuo de l pe rno D?

2. ¿Cuál es el movimiento continu o del perno Pt

3. ¿Cuál es el movim iento con tinuo del perno X?

4. ¿Qué e fec to prod uce e l g i ro de l volante F so b re e ldeslizador 7?

5 . ¿Qué e fec to produce e l g i ro de l volante F en el m ovi

miento del mecanismo? Asegúrese de co nsidera r todaslas características del movim iento.

6. ¿Cuál es la finalidad de este dispositivo?

7. Habore un diagram a cinemático y calcule la movilidad

del mecanism o

4-2 . La f igura E4.2 muest ra un in te resante s is tema de

man ejo de materiales paro colocar piezas pequeñas so

br e u n ri el d e su m in is tr o . E xa m in e c u id ad o sa m en te la

configurac ión de los componentes de l mecanismo;

FIGURA P.4.2 (Cortesía de In dus tria l Press).

luego, conteste las siguientes preguntas paro obtener

mayor conocim iento acerca de la operación.

1. Los torn illos peque ños sin rosca, de cabeza redonda , se

a l imentan a una m áquina p ara hacer cuerdas m ediante

los r ie les t ransportadores B y C. ¿Cómo pasa n lostomil los de la bande ja A d t ransportado r B?

2. Aun cuando no se ve con claridad, el riel B t iene un diseño d e manecillas paralelas. ¿Por qué se usa un diseño

de manecillas paralelas para trans porta r los tomillos?

3 . Conforme un segundo m ecanismo e leva in te rmitente

me nte el eslabón D, ¿cuál es el mov imiento d el riel B?

4 . ¿Cuál esla finalidad del eslabón £?

5. Conforme un segundo mecanismo eleva in te rmitente

mente e l eslabón D , ¿cuál es el movimiento de los

tornillos?

6 . ¿ Q u é d e t e rm in a q u e e l e s l a b ó n D pueda viajar a la

po si ci ón in fe rior ? O bse rv e q u e las p u n ta s d el ri el B n otocan la par te infe r ior de la bande ja A

7 . Conform e los tomillos se am onton an en el riel de sali

da C ¿qué ocurre a la manec il la F conforme e l eslabón

D es forzado a bajar?

8 . Conform e los tomillos se amon tonan en el riel de sali

da C ¿qué ocurre a las puntas de l r iel B?

9 . ¿Cuál es el prop ósito de este dispositivo? C om ente sus

características princip ales.

10. ¿Qué tipo de mecan ismo pod ría opera r el eslabón D?

4-3 . La figura E4.3 descr ibe una m áquina d e t raspaso que

mueve a lo jamientos de embragues de una estac ión a

otra. La plataforma A soporta el alojamiento d urante la

t ransfe renc ia . Examine cuidadosamente la conf igu

rac ión de los com ponentes de l mecanismo; luego, con

teste las s iguientes preguntas par a ob tener m ayor

conocimiento acerca d e la operación.

1. ¿A qué tipo de m ovimiento está restringida la ba rra B?

2. ¿Qué m ovim iento rea liza e l eslabón C conform e seacorta el cil indro de aire L?

3. ¿Cuál es el mo vimiento del punto K conform e se acor ta

el cilind ro de a ire L?

4. ¿Qué necesi ta la unión F pa ra desplazarse por la ranu

ra G?


6. ¿Qué e fec to t iene e l g i ro de l ex t rem o R de la varilla

roscada al alarga r la varilla del cilindro?

7. Hab ore un d iagrama c inemát ico de este mecanismo.

8. Calcule la mov ilidad de este mecanismo.

4-1. La figura E4.1 mue stra un m ecanismo q ue se diseñó

pu ra t ra n sm it ir m o vim ie nto e n u n a m áq uin a d e de sl iz amiento. E xamine cuidadosamen te la configuración delos componentes del mecanismo; luego, conteste las

siguientes preguntas para obten er mayor comprensión

acerca de la o peración.

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C A P I T U L O

C I N C O

DISEÑO DE MECANISMOS

O B J E T I V O S

Al te rm in a r de e stu dia r este t ap itu lo , el alum nos e rá c a p a z d e :

1 . D e s c r i b i r l a s ín t e s i s d e u n m e c a n i s m o .

2 . D i s e ñ a r u n m e c a n i s m o d e m a n i v e l a -c o r r e d e r a e n l in c a .

3 . D e t e r m i n a r u n U n g u k) d e d e s e q u i l ib r i o a d e c u a d o . c o n o c i e n d o

l a r az ó n d e s e a d a d e t ie m p o d e l m e c a n is m o .

4 . U s a r d i a g ra m a s d e t i e m p o p a r a s i n c r o n i z a r e l m o v i m i e n t o ,

y c a l c u l a r m a g n i tu d e s p i c o d e v e l o c id a d y a c e l e r a c ió n .

5 . D i s e ñ a r m e c a n i s m o s d e m a n i v e la - c o r r e d e r a d e s c e n t r a d o s ,

m a n i v e la - b a l a n c ín y m a n i v e l a -c e p i ll a d o r a c o n m é t o d o s

g r á f i c o s .

6 . D i s e ñ a r u n s o l o e s la b ó n c o n p i v o t e , q u e s e m u e v e e n t r e d o s

p o s i c i o n e s d e t e r m i n a d a s , u t i l iz a n d o m é t o d o s g r á fi c o s.

7 . D i s e ñ a r u n m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s d o n d e e l a c op l a d o r

k m u e v e e n t r e d o s p o s i c i o n e s e s t a b l ec i d a s , u s a n d o m é t o d o s

gráf i cos .

8 . D i s e ñ a r u n m e c a n i s m o d e c u a t r o b ar r a s d o n d e e l a c o p l a d o r s e

m u e v e e n t r e t r e s p o s i c i o n e s e s t a b l e c i d a s , u t i l iz a n d o m é t o d o s

gráf i cos .

5 .1 I N T R O D U C C I Ó N

Hasta ahora se han ana l izado básicamente mecan ismos exis

tentes. En el capitulo anterio r se exploraron métod os para deter

m inar el desplazamiento de un mecanismo dond e se cono cen las

longitudes de sus eslabones. Com parado con este análisis, el d i

seno de u n mecanismo es la tarea opuesta, es decir, se conoce el

movim iento deseado y se deben de te rm inar la form a y las d i

mensiones del mecanismo. Síntesis es e l término que se usa para

descr ib i r el proceso de d iseño de l mecanismo que pro duce e l

movim iento de salida deseado, da do un m ovimiento de entrada.

La elección de un mecanismo específico capaz de realizar elmovim iento deseado se conoce com o dntesis del tipo. EJ objetivo

de un d iseñador deb er la se r u t il iza r el mecanism o m ás simple

capaz de efectuar la tarca deseada. P or tal razón, los mecanismos

de m anivela-corredera y de cuatro barra s son muy favorecidos.

Este capítulo se enfoca en estas dos ciases de mecanismos.

Después de seleccionar un tipo de mecanismo, se requiere

de te rminar las longi tudes adecuadas de l eslabón med iante un

pr oce so ll am ad o sín tesis dimen sion al . Este capitulo exam ina la

síntesis dimen sional. Para diseñar u n m ecanismo se debe usar

la intuición, junto c on lo s métod os de análisis descritos e n capí

tulos anteriores. Esto implica con frecuencia una metodología de

análisis-iteración q ue podría volver ineficiente el proceso, sobre

«xio cuando e l d iseñador es inexp er ta Sin em barga este pr o

ceso de iteración tiene su m érita sob re todo en procesos donde

tos procedimientos de s ín tesis no existen o no es posib le api l

a r lo s. No obstante , se han desarrol lado var ios métodos de s ín

tesis dime nsiona l, que suelen ser bas tante útiles. Este capitulo

sirve com o in t roducc ión a ta les procedimientos. Co m o en oca-

so ne s las técnicas analít icas se vuelven m uy com plejas, el cstu-

lio se centra en las técnicas gráficas. Co m o se señala en tod o ellibro, el empleo de técnicas gráficas en un sistema d e c a d d a r e

sultados exactos.

5 . 2 R A Z Ó N D E T I E M P O

M ichos mecanismos que prod ucen movimiento rec iprocante se

diseñan para genera r m ovimiento sim étrica es decir, las carac

terísticas del mo vim iento d e la carrera hacia afuera son idénticas

a las de la carrera hacia ad en tra (to n frecuencia tales mecanis

mos realizan trabajo en am bas direcciones. El mecanism o de un

motor de gasolina y de los l impiadores del parabrisas son ejem-

[ios d e mecanismos eq uilibrados cinéticamente.

Sin em barga o t ras aplicac iones de d iseño de máquinas re

quie ren una ve loc idad prom edio d i fe rente ent re la ca rre ra deavance y la ca rre ra de re torno. Estas máq uinas norm almente

pr oduc en tr ab a jo so la m en te en la ca rr e ra d e av an ce , de m o do

«fie la carrera de reto rno necesita ser tan rápida com o sea posi

bl e, p ar a q u e e l m ay or t ie m p o de o pera c ió n e sté d is pon ib le p ar a

la ca rre ra de t rab a ja Las m áquinas cor tadoras y empacadoras

son ejemplos de estos mecanismos de retorno rápido.

U n a m e d id a d e l a ac c ió n d e r e to rn o r á p id o d e u n m e c a

nismo es la razón de tiempo Q, la cual se define como:

^ Tiemp o de la carrera m ás lenta

Tie m po d e la carrera más rápida1 (5.1)

El ángulo d e desequi l ibr io p e s u na prop iedad q ue reto-

d o n a la geometr ía de u n mecanismo espec íf ico con e l t iempode la carrera. D icho ángulo se relaciona con la razón de tiem

p o Q de l a m anera s ig ui en te :

Q =180° 4- p

1 80 ° - p(5.2)

la ecuación 5 .2 se replantea para obtener e l ángulo de de

sequilibrio como:

p = 180“( Q ~ O

( Q + 1)(5.3)

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l i o CAPITULO CINCO

ft>r consiguiente, en la síntesis dimensional de u n m ecanismo,

b ra zó n d e ti em po des ea da se co nvi er te en u n a r es tr ic ci ón g eo

métr ica necesar ia a t ravés d d ángulo de desequi l ibrio p .

El t iempo to ta l de l c ido d d mecanismo es:

A fado “ t iempo de la ca rre ra + t iempo de la ca rre ra

más len ta m ás rápida (5 .4)

Para mecanismos que son impulsados a ve lod dad constante por

un ac tu ador qu e g i ra , la vdoc id ad requer ida de la manive la ,

" taanré tU. se re la do na con e l tiem po d d c id o de la s iguiente

manera:

' •'man**, = (¿ fa id o)" ' (5 .5)


Se \a a disonar un m ecanismo de reto m o rápido, donde la carrera de avance debe consumir 12 s y la carrera de re

tomo, 0.8 s. Determine h razón d e tiempo, d ángulo de desequilibrio, d t iempo del d d o y la veloddad a b cual de-

frria impulsare! mecanismo.

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule la razón de tiem po y el ángulo de desequilibrio

La razón de tiem po se determina con la ecuación (5.1):

« - a -B ángu lo de desequilibrio resultante se calcula con la ecuac ión (5.3):

, (1 3 - 1)

í = 180 o T T Í J = 3 t

Calcule el tiempo d el ciclo del mecanismo

0 tiempo total de la carrera de avance y la de retorno es:

¿ fado " 1-2 + 0 .8 = 20 s/rev

Calcule la \rlo cid ad requerida de la m anivela

Como u n d d o de operación de la máquina implica tanto la carrera de avance como la de retomo, d tiempo paraque la manivela complete un a revolución también es de 2.0 s. La velocidad requerida de la manivela, se

determina como:

a*™ni«d* m ( ^ fcido)

- 0 3 r ev /s2 s/rev

= 30 rev/min

\1 m i n /

En el capitulo 6 se intxod udrá form almente el conce pto de velodd ad angular.

5.3 DIAGRAMAS DE TIEM PO

Los diagramas de tiemp o se usan con frecuencia en el proceso

de d iseño de un mecanismo, como ay uda en la s incronizac ión

de l m ovimiento ent re mecanismos. Por e jemplo , cuando se u t i l izan dos m ecanismos para t ransfe r i r paque tes de una ban

da t ransportadora a o t ra , un mecanismo e leva un paque te d e la

t r a n sp o r t a d o ra i n fe r io r , e n t a n to q u e e l o t ro m e c a n ism o e m

pu ja e l p aq u e te h a d a la tr a n sp o rta d o ra sup er io r, m ie ntr as el

pri m ero per m anece in m óv il . Lu eg o, a m b o s m ec an is m os re gr es a n a l a p o s i d ó n i n i d a l y e je c u ta n o t ro d d o . S e u s a u n d i a

grama de t iempo para desplegar gráf icamente esta infbrmad ón.

ft>r otr o lado, los diagrama s de tiemp o sirven p ara estimar las

magni tudes de la ve loddad y ace le rac ión de los eslabones

seguidores. La veloddad de u n eslabón es la razón d e tiem po a

la cual cambia su posición. La aceleración es la razón d e tiempo

a la cual su ve loddad cam bia y está d i rec tamente re ladonad a

con las fuerzas requeridas para op erar d mecanismo. El capitulo

óp rop ord on a un a cober tura s ignif ica tiva de l aná lis is de ve loc i

dad de los mecanismos; e l capi tu lo 7 se enfoca en la ace le radón

de los mecanismos. Tanto la vdoc idad co mo la ace le radón soncantidades vectoriales; n o obstan te, tan solo su s m agnitudes, vy

o, se util izan en los diagramas de tiempo.

Los d iagramas d e t iemp o que se usan para s incronizar e l

movimiento de mecanismos múl t ip les, po r lo genera l suponen

aar le radón constante . Mientras qu e los va lores de la aederad ón

re al p ro d u c id a e n d m e c a n i sm o p o d r í a n se r m u y d i fe ren t es

(como se verá en el capitulo 7), el supuesto de aceleradó n con s

tante genera ecuaciones pol inomia les de la w lod da d y la posi

dó n en f i indón de l t iempo. El d iagrama de t iempo impl ica la

graficación de la m agn itud de la velocidad de salida con tra el

tiempo. Sup oniendo acelerad ón constan te, la gráfica de v doci-

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D i s e rt o d e m e c a n i s m o s I I I

d a d - t i em p o m u e s t r a ú n i c a m e n te l í ne as r e c t a s. 0 d e sp la z a

m iento se relaciona con b velocidad máxima, la aceleración y el

t iempo mediante b s s iguientes ecuaciones.

2 Vp ko A í

A R = - |a ( A / ) 2

( 5 . 6 )

( 5 . 7 )

Para el escenario del movim iento de paquetes descrito an te

riormente, se desea que el mecanismo de levantamiento se eleve

8X) in en 1.5 s. que perm anezca inm óvil p o r IX) s y q ue regrese en

lX)s. 0 mecanismo de empu je deber ta permanecer inmóvi l du

ran te 1A s, emp uja r 6X) in en 1X) s y regresar en IX» s. L os dia gr a

mas de t iempo de am bos mecanismos se m uest ran en la f igura

5.1. Las figuras indican que cu ando un mecanismo se eleva (b

ve loc idad aparece como un t r iángulo) , e l o t r o p ermanece in

móvil (sin velocidad). Además, mientras el segu ndo mecanismo

e m p u ja , e l p r im e ro p e rm a n e c e in m ó v i l . Po r l o t a n to , b s in c ronizac ión está comprobada ; también la ve loc idad m áxima y b

aceleración se relacionan con e l desplaz am iento y el tiem po del

mov imiento, p or lo qu e se reescriben las ecuaciones (5.6) y (5.7),

respectivamente. Para el mecanism o elevador.

(8.0 m)Carrera de elevación; Vpo, = 2 — = 2 ^ = 10.67 in/s

a = 4

A x

A R = (8 .0 in)

A í 2 (1 .5 s)2= 1 4 .2 2 ¡n /s -

Co n cá lculos s imibres, b ve loc idad p ico del re torno es -16 .00

h/s y b ace le rac ión es de -32 .00 in /s2. Para e l mecanismo de em

b ij e, la ve loc ida d pi co d e b ca rrera d e em puj e es ig ual a 12.00 in/ s,en tanto qu e b aceleración es igual a 24.00 in/s2. Para el meca

nismo de emp uje, b velocidad pico del retomo es de - 12.00 in/s

y b aceleración es de - 24.00 in/s2.

Se observa que co m o la velocidad es la razón de tiempo del

cambio de posición, los principios de cálculo indican q ue el des

pl az am ie nt o d el m ec an is m o es el á re a b aj o l a l ín ea de l d ia gr am a

v-t . Lo ante r ior se observa en b ecuac ión (5 .6) , dond e e l des

p la za m ie nt o es e l ár ea del tr iá n gu lo de v el oci da d: l/ 2(V p,0A f).

En la f igura 5 .1 se identi f ica e l despbza m iento de cada mov i

miento. Se debe hacer énfasis en qu e aun cuando la velocidad y

la aceleración son estimaciones, son útiles en b etapa inicial de

diserto, com o se advierte en el siguiente problem a de ejemplo.

Tiempo (s)

fl>

figura s.i Diagramas de tiempo.

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112 CAPITULO CINCO


0 proceso de inserción del m ango de un cojinete requiere que una transportadora se mueva 8 in e n 0.4 s y que se de-

lengi mien tras el cojinete se presiona hacia un aloja mie nto **bre la trans portado ra. FJ cojine te debe viajar 4 in para

enco ntrar el alojamiento y. luego, se presiona 2.0 in h ad a el alojamiento. La carrera de p resión completa deberla

tomar 0.6 s y el retom o 0.4 s, mientras la transp ortadora está funcionando.

o) Determine la razón de tiempo , el tiempo del ciclo y la velocidad del mo tor dd mecanismo de presión.

M Elabore los diagramas de tiempo de sincronización.

c) Calcule la velocidad pico y la aceleración del alojamien to de la transportadora.

d) Determine la velocidad pico y la aceleración del m ovim iento de presión del cojinete.

t ) Calcule la velocidad pico y la aceleración del retom o después de presionar el cojinete.

f i Optimice el movimiento de m odo que b aceleración máxima de cualquier parte sea menor de lg ( Ig - .<86.4 in/»2).

S O L U C I Ó N : I . Calcule la razón de tiempo, W t iempo del ciclo y la velocidad de la i

l a razón de tiem po se determina con la ecuación (5.1):

livela

0 tiempo total de b carrera de avance y el retorno se calculan como sigue:

A/Ollo - Oó + 0.4 s/rev

Com o un ciclo de operación de la máqu ina requiere tanto b carrera de avancr co mo el retomo, el tiempo

para que b ma nive la com ple te u n a revolu ció n es d e 1.0 s. La v elo cid ad r eq ue rida de l a m an ive la se det er m in a d e

h m anera siguiente:

«™n¡wU = (A/«i») '

1

1.0 s/rev= 60J}rev/min

- IJ) rev /s í — 1\ 1 r o i n /

2. Hab or e los di ag ra mas de t iem po

Se construyeron los diagramas d e tiempo que se m uestran e n b figura 5.2.

£ 10

■4------- Movimiento-------- ► sin movimiento--------------►(

:-----------

/ :| ( r \

0.00 0.20 0.40 0.00 0.80

Tiempo (s)

a) Diagrama de tiempo de la transportadora

LOO

b) Diagrama de Uempo d rl mecanismo de presión

figura w Diagramas de tiempo del problema de ejemplo 5.2.

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D i s e n o d e m e c a n i s m o s 113

3. Calcule los parámetros de m ovim iento de l alojamien to sobre la transportadora

la s magn itudes estimadas de velocidad y aceleración del alojamiento sobre la tran sportado ra son:

A * (8 0 fa)

A £ (8X3in> . ,

*17? = ‘ ¡oT í? = !ooa‘ M‘

4 . Calcule los parám etros de m ovim iento d e la carrera de retorno de presión sobre el cojinete

la s m agnitudes estimadas de velocidad y aceleración de la carrera de retom o de presión sobre el cojinete son:

A R ( - d O i n )

v' “ - 2 a í ' 2 - ( o

_ _ » _ 4 ( ^ o b , . ^

A i, <0.4 s)

5. Calcule los pará me tros de m ovim iento d e la carrera d e trabajo de presión sobre el cojinete

la s magn itudes estimadas de velocidad y aceleración de la carrera de t rabajo de presión sobre el cojinete son:

, A R , ( 6 D i n )

A * (6X)in) ,

6 . Optimice el m ovimiento

La may or m agnitu d de aceleración es de 200 in/ s2 ~ 20CV386.4 - 0A17g , corresp ondien te al alojam iento del

transportador. El movim iento se puede optimizar e incremen tar la producción, sustituyendo a ~ 386.4 in/s2 (lg )

en la ecuación (5.7), para obtener un tiempo de mov imiento men or en la transportadora.

L Ü . /4—£ !L_-0 . 2 8 8 SV a V <386.4 m/s2(386.4 in/s2)

Manteniendo igual la razón d e tiempo, la carrera reducida de la presión sobre el soporte se determina re-

can tean do la ecuación (5.1).

A t¡ = Q A /, = 1A (0288 s) = 0432 s

La velocidad incremen tada de h manivela se determina con l a ecuación 5 A:

- (0288 + 0 .432 s)"1

I

0.720 s/rcv

= 1A89 rcv/s( I = 833 rev/min6 0 s \

1 m i n /

Com o la velodd ad de producción está relacionada co n la velocidad de la linea, la producción se increm enta 39%

usando diagramas de tiemp o y optimizando el movimiento, mientras se mantenga dentro de limites de aceleración

aceptables.

5.4 DISEÑO DE MECA NISMO S DEMANIVELA-CORREDERA

Muchas apl icac iones requie ren un a máq uina co n m ovimiento

de deslizamiento lineal reciprocante de una componente. Los

motores d e gasolina y los com presores necesitan que un pistón

se mueva una d is ta nd a predsa , l lamada carre ra , conform e la

manivela gira en (brm a constante. O tras aplicadones , como las

máquinas de coser y las s ie rras de potenc ia para meta l , re

quieren u n movim iento lineal reciprocante similar. Esta es una

form a de util izar el mecanism o de m anivela-corredera práctica

men te en todas las ap l icadones.

5 .4 .1 M e c a n i s m o d e m a n i v e l a - c o r r e d e r ae n l í n e a

Un mecanismo de manivela-corredera en línea tiene el pivote de

la manive la en e l mism o e je de desl izamiento de l pern o de l

p is tó n . En la fi gu ra 5.3 se il u st ra u n m ec an is m o d e m an iv ela-

atrrrdera en línea. La carrera lAR,!,,^, se describe co m o la dis

tancia lineal qu e recorre el eslabón qu e se desliza entre las posi

ciones extremas. C om o el movim iento de la manivela (Lj) y el

br az o c on ec to r (L ,) es s im ét ri co en re lación co n e l e je d e de sl iza

miento, el ángulo de la ma niveb requerido para realizar b ca

rrera de avance es el mism o que el requerido pa ra el retomo. Por

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114 CAPITULO CINCO

FIGURA 5.3 Mec anismo d e m anivela-corredera en linea.

tal razón, el mecanismo de m anivela corre dera en linea produce

u n m o v im ien to e q u i l i b ra d a S i se su p o n e q u e l a m a n iv e la « im

pul sa co n u n a fu en te de ve lo cida d con st an te , com o u n m o to r

e léc t r ica e l t iempo t ranscu rr ido d uran te la ca rre ra de avance es

igual al t iem po d e retorno.

H d iseno de u n mecanismo de manivela-corredera en linea

impl ica la d ef in ic ión de la long i tud adecuada de los dos es*tabones. L j y ly , pa ra lograr la carrera deseada, lAR4lmíl. Co m o se

observa en la f igura 5J , la carrera del m ecanismo de manivela-

corredera en linea es d d d oble de la long itud d e la manivela, es

decir, la distancia entre B , y B. es la m isma qu e la distancia entre

C | y Cg. Por lo tan ta la longitud de la m anivda, L¡, en un meca

nismo de manivela-corredera en linea se determ ina de la siguiente

manera;

| A R , r (5.8)

la longi tud d d brazo conector, L¡ , n o afecta la carrera de un

mecanismo de maniveb-corredera en linea. Sin emb arga u n bra

zo conector peq ueño pro duce mayores valores de aceleración. Lafigura 5.4 muestra d efecto de b longitud d el brazo conector y

b d is ta nci a de l d es ce ntr ado (si ex iste) , so bre la a ce le ra ción m áx i

ma d el eslabón deslizante. Estos datos indican Jaram en te que la

lo n g i tu d d d b ra z o c o n e c to r d e b e rb ser t a n g ra n d e c o m o se a

p osi b le . (O b ser v e q u e en u n a m aniv eb* co rr ed era e n li nea el

va lor de l descentrado Lt e s igua l a cero .) Com o regb prác t ica

genera l , d brazo conec tor deb erb se r por lo menos t res vecesmayor que b longitud de b manive la . Se t iene que l levar a cabo

un aná l is is de ta l lada com o d que se presenta en d capi tu lo 7,

p a ra de te rm in ar b s a ce le ra cion es ex ac tas d e los esl ab on es y b re

sultante de b s cargas inerdales.

5 .4 .2 M e c a n is m o d e m a n i v e l a - c o r r e d e r ad e s c e n t r a d o

El m ecanismo ilustrado en la figura 5.5a es un mecanismo de

manive la -corredera descentrada dond e se in t roduce b d is tan-

c b de l desce ntrad a Este descentrado L t e s b d is tanc ia ent re e l

p iv ot e d e b m aniv eb y el e je de d es liza m ie nto . C o n la p re se nc ia

de l descentrada e l m ovimiento de b m aniveb y e l brazo conec

tor de ja de se r s imétr ico en re lac ión con e l e je de desl izamienta

d e m o d o q u e e l án g u lo d e b m a n iv e b r e q ue r id o p a ra e fec tu a r b

carre ra de avance es d i fe rente de l ángulo de b m aniveb nece

sa r io para e l re to rna Un mecanismo de maniveb corredera con

descentrado produce un re torno rápido cuando se requie re un

avance de t raba jo m ás len ta

En b f igura 55 a , se observa que A, Q y Q no son col inea-

les. Por consiguiente, la carrera de un mecanismo de manivela-

corredera con descentrado siempre es m ayor de l doble d e la lon

gitud de la manivela. Con form e el descentrado se incrementa, b

carrera se vuelve m ás grande. Si se examina la figura 55 a, se verá

qu e e l rango po sib le de l descentrado se expresa como:

L¡ < L j - L i (5.9)

En la figura 5.5a se m uestran las posiciones lim ite del es

labón deslizante, que se analizaron en el cap itulo 4. El diseño de

un m ecanism o de m aniveb-co rredera requie re e l cá lculo de l

d e sc e n t ra d o (b d i s ta n c i a L ,) y la s longi tudes de los dos eslabones. L j y Ly pa ra obtener b ca rre ra deseada y el

f i g u r a 5. 4 A c e l e r ac i ón m á x i m a d e b c o r r e d e r a e n m e c a n i s m o s d e m a n i v el a -c o r r e d er a .

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D i s e n o d e m e c a n i s m o s 115

f i g u r a 5 3 Mecanismo de man ivela-corredera con descentrado.

ángulo de desequilibrio ¡i. El p rocedim iento gráfico de síntesis

de un m ecanismo d e manivela-corredera es el siguiente:

1. Localizar el eje de la unió n de per no sob re el eslabón

deslizante. Esta un ión se identifica com o el pu nto (Ten la

figura 5.5a.

2. Dib ujar las posiciones extremas d d eslabón deslizante,

separadas por la ca rre ra lA R J^, . .

3. Construir, en un a de las posiciones extremas, una línea M

cualquiera que pase po r la unió n de p erno del eslabón

deslizante, inclinada un á ngu lo B\(. Este pu nto se identi

fica com o C | en la figura 5.5b.4. Dibujar, en la o tra posición extrema, una línea N qu e pase

a t ravés de la un ión de perno d d eslabón desl izante , identificada como C ¡ en la f igura 5 .5b , indinada a un ángulo

P e n r e l a d ó n c o n b l in e a M . Observe que 0 S - 0 W ~ P-

5. La intersección de las l íneas M y N def ine d pun to p ivote

de b maniveb, e l punto A . El descen trado L\ se obtiene a

p ar ti r de b co ns truc ción co n la es ca b a de cu ad a (fi gu ra 5 5b).

6. En la cons trucción de las posiciones límite, se observa que

b lo n g it u d entr e C , y D e s 2L¡. O b se rve q u e d a rc o C jD t ie n e su c e n t ro e n e l p u n to A Co m o a m b a s li n c as (M y N )

son radios d d m ismo arco , e l rad io AC, es igual a las lon

gitudes AC, + C|D. Replanteando esta relación,

C \D = A C j — A C \

Sust ituyendo y reagrupando, la longi tud de b m aniveb Lj

de este m ecanismo de man iveb-corredera con descentrado

se de te rmina como

(5.10)

7 . En b const rucción de las posic iones l imi te también se observa que

A C i = I j - Lj

Reagrupando, b longi tud L , d d acoplador para este meca

nismo de maniveb-corredera con descentrado es

L j = A C , + L¡ (5.11)

En b f igura 5 .5c se m uestra d mecanismo com ple to . Con

e l p ro c e d im ie n to d e d i se n o im p le m e n ta d o e n u n s is t e m a d ec a d , se obtien en resultados exactos.

Observe que es posib le d ibu ja r una l ínea M cualquiera a

t ravés d d pu nto C , con u n ángulo de inc linación a rb i t ra ria

Itor lo tanto, se po dr ía disertar un núm ero infinito de mecanis

mos funcionales. En gen eral, el mecanismo q ue gene ra el brazo

conector m ás grande tiene aceleraciones m ás bajas y, en conse

cuencia, meno res fuerzas inerrialcs. La figura 5.4 sirve para de

te rminar las repercusiones a l u sar un brazo conec tor cor to .

Co m o regla práctica general, el brazo co nector debe se r po r lo

menos t res veces mayor que la longi tud d e b manive la. Se debe

efectuar un análisis detallad o de aceleración, com o el que se rea

l iza en e l capí tu lo 7 , para de te rm inar b s ca rgas inercbles in

trínsecas.

Se dispone de m étodos analít icos util izando el triáng ulo de b fi gu ra 5.5b , para o b te n er e xpre si on es p a ra b s lo ngitudes L „

L¡ y L), com o una f un dó n d e b carrera IAR4linll , e l ángulo de

desequilibrio P y b i n d in a d ó n d e b l ín e a a rb i tr a r ia M (0M).

L , = I A R J ™ ,

¿ 2 = l A R J n * ,

l A R J n ú x

se n (0 M)sc n ( f lM - p )

s en O )

se n (0 M) - s e n ( 0 ,,t -

2 s e n ( p )

se n ( 0 M) + s c n ( 0M - p )

2 s c n ( 0 )

(5.12)

(5.13)

(5.14)

5.5 DISEÑO DE MEC AN ISMOS DEMANIVELA-BALANCIN

Tamb ién se ha analizado en varias ocasiones el m ecanismo de

manive la-ba landn. Es com ún e n m uchas apl icadones don de serequie ren osc i ladon es repe t i t ivas. La f igura 5 .6a m uest ra la

geometrb de un mecanismo de maniveb-ba landn. Semejante

a b ca rre ra de un mecanismo de manive la-corredera , e l meca

nismo de man iveb-ba landn t iene un ángulo de desplazamiento

(^0«)mdx (figura 5.6), a el cual se define com o el áng ulo en tre las

p o sid o n es e xtr em as del b a la n d n .

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116 CAPITULO CINCO

FIGURA 5ó Me canismo de maniveto -balancín.

Al igual que el mecanismo d e man ivela-corredera con descentrado, el de manivela-balancín se util iza com o u n mecanismo

d e retom o rápido. La razón de tiempo definida en las ecuaciones

(5 .1) y (5 .2) se aplica de l m ismo m odo en u n mecanismo de

minive to-ba landn. 0 ángu lo de desequil ibrio p , de un meca

nismo de manivela-balancín también se presen ta en la figura 5.6a.

En la figura 5.6a se muestran las posiciones límite del

mecanismo de manive la -ba landn. las cua les se ana l iza ron am

pl ia m en te en el ca pítu lo 4. O bse rv e q u e to lon gitud ra di al en tr e

las dos po sic iones ext remas es de l doble de la longi tud d e la

manive la . Este cono dm iento es impo rtante cuando s e d iseña un

mecanismo de manive to-ba landn.

0 d iseño de un m ecanismo de manive la -ba landn implica

la definición de las longitudes adecuadas de los cuatro eslabones

p a ra o b te n e r el á n g u lo de d es pla za m ie nto de se ad o ( A 04)„tf , y el

ángulo de desequilibrio p . 0 procedimiento gráf ico de la s ínte

sis de un m ecanismo de manive la -ba landn es como sigue:

Ubicar el pivote D de l ba la ndn en la f igura 5 .6b .

Be gir una longitud posible L, malquiera del ba lan dn . La

b n g it u d genera lm en te est á r es tr in gid a p o r l a to le ra n d a

espacial del mecanismo.

Dibujar tos do s po sidone s del balancín, separadas po r el

ángulo de desplazamiento

En una de las posic iones ext remas, const ru i r una l ínea M

malquiera a través del extremo del b alancín, inclinada a

un ángulo 0 M. Este pun to se ident i fica como C ¡ en la

figura 5.6b.

En la o t ra posidó n extrema, d ibuja r una l ínea N a través

«fcl extrem o del ba lancín , el cual está inclinad o a un ángulo

P en relación con la l ínea M. Observe que - P-

la intersección de las l íneas M y N define el p un to pivote

de la maniveto , el pu nto A la longi tud L, en t re los dos

pivo tes, L) . se o b ti en e m id ie n d o to c on str u cc ió n c o n t o escala adecuada (figura 5.6c). En los casos do nd e se requiere

un ritm o de balanceo equilibrado ( Q - 1), las líneas M y

A'son col in tales. Así, el pun to piv ote A de to maniveto se

ubica en cualquier par te a lo largo de las líneas M y Ai

Al construir tos posiciones límite, se observa q ue 1a longi

tud entre Cj y E es 2L]. Observe q ue este arco C ¡E tiene su

c e n tro e n A .C o m o a m b as l ín e a s (M y N ) son arcos delmism o radio, el radio AC, es igual a tos longitudes AC, +

Q £ Reagrupando esta re lac ión se t iene:

C^E = A C j - AC,

Al su stituir y reagm par, to longitud de to maniveto L¡ d e

este m ecanismo de manive la -ba lanc ín se de te rm ina como

7.

L j = - (A C j - A C , ) (5.15)

8 . A par t i r de to construcc ión de tos posic iones limi te , se ob

serva que

AC, = 1 , - 1 2

Re-agrupando, 1a longitud L, del acop lador d e este mecanis

mo de manivela-balancín es

L , = A C , + L2 (5.16)

En 1a figura 5.6c se ilustra el m ecanism o completo. En el

|wso 4, to línea M se d ibuja a t ravés de l punto C¡ , con un ángulode inclinación a rbitraria 0M. Po r lo tanto, es posible diseñar un

núm ero inf in i to de mecanismos í i inc ionalcs para ob tener e l ángulo de desplazamiento y to razón d e t iempo deseados. Com o

en los mecanism os de manivela-corredera, los m ecanismos de

cua tro barras que inc luyen acopladores más grand es tendrán

aceleraciones menores y, en consecuencia, fuerzas inerdales

más bajas.

Ih a medida adic iona l de to “ca lidad" de un mecanismo de

cuatro barra s es el ángulo de transmisión y, que es el ángulo entre

d acoplador y e l ba landn . como se i lustra en to f igura 5 6 c Una

fun dó n com ún en u n m ecanismo de cua t ro barras es conver ti r

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D i se r to d e m e c a n i s m o s 117

el mov imien to giratorio en oscilatorio. En tales aplicaciones, con

frecuencia es necesar io t ransm it i r grand es fuerzas. En si tua

c iones asi , e l ángulo de t ransm isión es de v i ta l impo rtanc ia .

Cuando e l ángulo de t ransmisión es pequeño, se requie ren

fuerzas grandes para im pulsar el brazo del balan dn. P ara obtener

los mejores resultados, el ángulo d e transm isión d eberla estar lo

m ás cerca posible de 90* duran te el giro com pleto de la manivela.Asi se reducirá la flexión en las eslabones y p roducirá las condi

ciones m ás favorables de transm isión de la fuerza. Los valores

e x tr e m o s d e l á n g u lo d e t r a n sm is ió n se p re se n ta n c u a n d o b

manivela se encuentra a lo la rgo de la l inea de b bancada . Una

regla práctica com ún es que n o se deberla util izar un mecanismo

de cua tro barras cuan do e l ángulo de t ransmisión está fuera de

los limites d e 45° y 135". Se recom ienda u sa r el análisis de fuerza

que se presenta en los capítulos 13 y 14, para determ inar el efecto

del ángulo de t ransm isión real ob tenidaEn c ie r tos casos, b longitud de un eslabón debe tener una

dimen sión especifica. Es muy com ún que se especifique una lon

gi tud meta (L,) de b bancada . Sin em barga tan so lo b longitud

(L4) de l b ab n d n está espec i ficada d i rec tamente en e l procedimiento qu e se acaba de descr ibi r . Co mo e l m ecanismo de cua

tro ba rras se diseñó para ob tener resultados angulares específi

cos, la longitud de todos los eslabones se debe med ir con la escala

adecuada para lograr b d imen sión deseada dd eslabón y man

tener el objetiro de diseño. Tod os los sistemas de c ad tienen la

capacidad d e aplicar la escala adecuada a bg eom etrfa construida

de b figura 5.6b.

Se deben agregar método s ana l í ticos pa ra ana l iza r lost r iángulos de b f igura 5 .6b y obtene r expresiones para las longi

tudes de los eslabones ¿2, y ¿4 en func ión d d dcspbzam iento

(A«l)nu , ,dc b longi tud ( ¿ () de la bancada , d d ángulo de dese

qui l ibr io /? y de b inc l inac ión 0M de la l inea a rb i t ra r ia M.

u =V k

( 5 . 1 7 )

Donde:

k = sen2/? + 4sen2((A04)mlx/2)sen?(0M + /?)

- 4sen/?sen((A0<)raíx/2)sen (0M +/? )

s e n ((A 04W 2 + 0 M))

L ,s en ((A 0 4W 2 ) L j = _______ n -----------[senflM + sen(d.u + / ?) J ( 5 . 1 8 )

L2 = Ly -

s e n p

2L4sen((A04)m4x/2)sen0M

sen/3( 5 . 1 9 )

5.6 DISEÑO DE MECANSMOS DEMANIVELA-CEPILLO

En b f igura 5.7 se muest ra un m ecanismo de manivda-cepil lo

que t iene b capac idad para razones de t iem po más a l tas . Se le

lam a asi por su u so en máqu inas cepi lladoras limadoras de

meta l , don de u na carre ra de cor te len to va seguida po r u n re

to rn o r á p id o c u a n d o n o se e fe c tú a t r a b a jo . E l d ise ñ o d e u n

mecanism o de m anivela-cepillo implica la obtenció n de b lon

gi tud adecuada de los t res esbbo nes pr inc ipa les {L y L2 y Ly)

F I G U R A 5 . 7 Mecanismo d e m a n i v c b - c e p i ll a d o r a .

| xi ra lograr b ca rre ra deseada lA R fln^. El procedimiento grá

fico de síntesis de un m ecanismo d e man iveb-cepillo es como

agüe:

1 . Co nst ru i r una l inea cuya longi tud sea igua l a b ca rre ra!ARílma deseada. Los punto s extrem os se identifican

c o m o D | y D j, c o m o se i n d ic a e n b f i gu ra 5.7a .

2 . Co nst ru i r una l inca inc l inada a p ar t i r de D | y o t ra a par t i r

de D ; con un ángulo igua l a pt '2 como e n b f igura 5 .7a .

3. La intersección de las do s lineas inclinadas ubic a el pivote

del balancín, el p un to A en b figura 5.7a. La linea entre los

pu nto s A y D | o e n tr e A y D? representa el bala nd n y se

d e s ig n a c o m o Ly

4. Dibuja r un a l inea perpendicula r a b l inea D , Dj a t ravés de

A . Esta l inea se identifica com o b linea Pe n b figura 5.7a.

5. El pivote de la manivela, el pun to C , se ubica en cualquier

lu g a r de b l in e a P . La d i s t an c b e n t r e l o s p u n to s A y ¿ r e

p re sen ta l a bancad a y s e de si g na c o m o L ¡.6 . Dibuja r una l inea perpendicula r a b l inea AD| a t ravés de l

pu n to C l o in te rs ec ción se des ig na c o m o fí, (f ig ura 5. 5a ).

La linea B, C representa b manivela y se designa como L j.

De manera s imi la r , se d ibuja una l inca perp end icub r a b

línea A D ¡ a través del p unto C. La intersecdó n se designa

c o m o B¡.

7 . La longitud d e L4, como se indica en b figura 5.7b, se hace

igual a u n valor adecuado p ara que se ajuste a la apli-

«ación. C om o en los mecanismos de manivela corredera,

b s l o ngitudes m ás g ran d es r ed uci rá n las ac eler ac io ne s

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118 CAPITULO CINCO

Observe que e l p ivote de Id manive la, e l pun to C , se ubica a lo A-, B¡

la rgo de la l inca P, de m odo qu e es posib le d ise rta r un núm ero f l i .

inf in i to de mecanismos func iona les . Una Li más grand e pro

duc irá una m anive la L j m ás g rande , la cua l presenta rá menos

tuerza en la u nión B , aunq ue mayores ve locidades de desliza

miento. Es com ún colocar y se lecc ionar el pu nto C cerca de lamitad de la l inea P.

Se pueden agregar métodos ana l í t icos para ana l iza r e l

triángulo d e la figura 5.7a, al genera r expresiones pa ra las longi

tudes de los eslabones L j y L} e n fu n ció n d e l a c a r rera IA RpL ^

el ángulo de desequ ilibrio f i y la longitud L¡ d e la bancada se lec

c ionada . Com o se mencionó, LÁ deber ía se r tan grand e com o lo

per m it a la a pl ic ac ió n.

« ■ - i S t e= ¿ | Sc n ( /3 /2 ) (5 .2 1 )

5.7 MEC ANISMO PARA MOVER

UN ESLABÓN ENTRE

DOS POSICIONES

En las máquinas que manipulan mater ia les , resul ta común

tener un eslabón que se mueve de una posic ión cua lquie ra a

oíra . Cuand o se especifican dos posiciones para u n eslabón, los

pr ob le m as de d iser to q ue se g en er an s e con oc en co m o ántesis de

dos posiciones. La tarea se realiza giran do un eslabón alrededor

d e u n p u n to p iv o te ú n i co , o b i e n , u sa n d o e l a c o p la d o r d e u n

mecanismo de cua t ro barras .

5 . 7 . 1 S í n t e s i s d e d o s p o s i c i o n e s c o n u ne s la b ó n q u e p iv o t a

La figura 5.8a ilustra dos p unto s, A y f l .que se encuentran s o b re u n esb b ó n c o m ú n y se m ue ve n d e A ,B , a A }B j. Se podría

disertar un solo eslabón para generar este desplazamiento. El

pro bl em a se r ed uc e a l a o b te n c ió n del p u n to pi vo te d e e ste es

l a b ó n y a l á n g u lo q u e d e b e g i r a r p a ra o b te n e r e l d e sp l az a

m ie n to d e se a d a

El procedimiento grá f ico de s ín tesis para d ise rta r un es

b b ó n q ue p iv ota p a ra a lc an za r d os p osi ci on es e s el s igui en te :

1. Co nstru ir do s líneas qu e conecten respectivamente A, con

A j Y Bi c o n B¡.

2. Con st ru i r una b isec tr iz perpendicula r a A | A 3.

3. Con st ru i r una b isec tr iz perpendicula r a B¡ B¡.

4. La intersección de estas do s bisectrices es la ubicación q ue

se requiere pa ra el pivote del eslabón, qu e se identificacomo e l pun to C en la f igura 5.8b . t í centro de g i ro ent re

las do s posiciones requeridas se conoce com o ¡vio de des

pl az am ie nto. t í p u n t o C es el po lo de desp lazamiento de

las posiciones 1 y 2.

5 . t í ángulo ent re e l pu nto p ivote Q A( y A¡ es el áng ulo re

quer ido que e l eslabón debe g i ra r para prod uc ir e l des

p la za m ie n to de se ad o. Es te á n g u lo s e i den ti fi ca c om o1 0 en la figura 5.8c. Se diserta en seguida un es labo

nam iento del t ipo m anivela-balancín para obten er este

mo vimiento giratorio, si se desea imp ulsor el m ecanismo

con e l g i ro cont inuo de u na manive la .

f i g u r a 5 .8 S í n t e s i s p a r a d o s p o s i c i o n e s c o n u n e s la b ó n

q u e p i v o t a.

5 .7 .2 S í n t e s i s d e d o s p o s i c io n e s c o n u n

a c o p l a d o r d e u n m e c a n is m o d e c u a tr o

b a r ra s

La figura 5.9a muestra do s pun tos, A y B, en u n problema idén

t ico a l presentado en la secc ión ante r ior , qu e se deben si tuarsobre un eslabón y moverse de A( B, a A 2B¡. En algunas aplica

ciones quizá sea imposible usar un solo eslabón con un pivote,

p o r e je m plo cu an do el p u n to pi vo te es in ac cesibl e. E n ta le s ca

sos, se pued e disertar un acoplado r de un mecanismo d e cuatro

bo rras y p ro d u c ir as i el de sp la za m ie nto re qu er id o . Se d eb en d e

te rm inar las longi tudes correc tas de los cua t ro eslabones y la

ib ica dó n de los puntos p ivote , de modo que e l acoplador logre

d desplazamiento deseado.

H procedimiento gráf ico para d ise r tar u n mecanismo de

cuatro barras pa ra la síntesis de dos posiciones es com o sigue:

1 . Co nst ru i r do s l íneas que conec ten At con A ¡ y B , c o n B¡ ,

respectivamente.

2. Co nstruir una bisectriz perpend icular a A( A j.3. Co nstruir una bisectriz perpend icular a B t Bj .

4 . Los pu ntos pivote de los eslabones de entrada y salida seubican en cualquier lugar de la bisectriz perpendicular

correspondiente. Estos p un tos pivote se indican com o los

p un to s C y D en la figura 3.9b.

5 . la longi tud de los dos eslabones qu e p ivotan se de te rmina

midiendo las longitudes A ,C y B|D con la escala adecuada

(figura 5.9c).

En la figura 5 .9c se i lust ra e l m ecanismo com ple ta C om o

los puntos p ivote C y D se pued en ub icar en cua lquier lugar a lo

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a

FIGURA 5.9 Síntesis d e do s posicione s c on u n acoplador.

kirgo de las bisectrices perpendiculares, es posible disertar un

núm ero infinito de mecanism os para real i /ar el despb zam iento

dese ada Advier ta que los eslabones más grandes qu e p ivotan

giran a ángulos más pequeños p ara mover el acoplad or entre las

dos posic iones deseadas. Esto p roduce mayores ángulos de

t ransmisión y reduce la fuerza requer ida para im pulsar el es-

b b o n a m ie n ta U n sis tema de c a d p ro d u ce r esu lt ad os e xa ctos .

5.8 MEC ANISMO PARA MO VER UNESLABÓN ENTRE TRES POS ICIONES

En algunas máquinas que manipulan materiales, se desea mover

un eslabón entre tres posiciones. Cua ndo se especifican tres posi

ciones para un eslabón, los problemas de diserto que se generan

se conocen com o síntesis de tres posiciones. G eneralmente no e s po

sible utilizar un solo eslabón que pivote en b síntesis de tres posi

ciones. Esta tarea se realiza con el acoplad or de un mecanismo de

cuatr o barras.

La f i g u ra 5 .1 0 a m u e s t r a d o s p u n to s , A y B . q u e p e r

m a n e c e n so b re u n e s l a b ó n y se m u e v e n d e A iB | a A ¡B i y a

A,B, . Se deben de te rm inar b s longi tudes adecuadas de los cua

t ro eslabones y b ubicac ión de los pun tos p ivote , de m odo que

e l acop bd or produzca e l despbzam iento deseado.El procedimiento grá f ico pa ra d ise r ta r u n m ecanismo de

cua tro barras para b s ín tesis de t res pu ntos es como sigue:

1. C onst ru i r cua t ro l íneas qu e unan A | con con B>.

A j c o n A j y B¡ c o n B¡.

2. Co nst ru i r una b isec t r iz perpendicula r a A |Aj. un a bisectriz perpen dicular a B|B2, u n a bisectriz perpendicular a

A 2A j y una bisectriz perpen dicular a BjB>.

3 . La inte rsección de b bisec t r iz perpendicula r a A tA 2 y b

bi se ct ri z p e rp e n d ic u b r a A 2A5 ubic a u n pu n to pi vote , el

cua l se muest ra com o el punto C en b f igura 5.10b.

v / Ubkaclfln del/ 1 * Ubicación del pív«r I)

p iv o te e

b)

d

f i g u r a 5.io Síntesis de tres posiciones con un acoplador.

4 . la in te rsecc ión de b b isect r iz perpendicula r a B | y la b i

sectriz per pe nd icu br a B2B3 ubica el otr o pun to pivote.

Este se muest ra como e l pun to D en b f igura 5 .10b.

5 . La longi tud de los dos esbbon es qu e p ivotan se de te rmina

midiendo las longitudes A ,C y B ¡D con b escala adecuada,

com o se indica en la f igura 5 .7c

H eslabonamiento com pleto se ilustra en la figura

5.10c. O tra vez, un sistema de ca d prod uce resultados

exactos.

5.9 DEFECTO S DE CIRCU ITO Y DE

RAMIFICACIÓN

Cóm o se vio en el capítulo 4, los circuitos de ensam ble son todas las configurac iones posib les qu e pued en prod uc ir los es

b b o n e s d e u n m ec an is m o s in d e sa rm ar b s u nio n es , l a fi gur a

4.24 presenta do s circuitos de ensamble para u n mecanismo de

c u a t ro b a r ra s . Cu a n d o se s ig u e el p ro c e d im ie n to d e b s se c

ciones 5.5 y 5.6, es posible que un a p osición se encuen tre en un

c ircui to de ensamble d i t a en te, com o b s dem ás posic iones. Esto

se conoce com o defecto de circuito, l o c u a l e s u n e r ro r g ra ve e né diserto de un mecanismo. U na vez qu e se sintetiza un meca

nismo de cua t ro barras , se deb erb e fec tuar u n aná lis is de p osi

c ión para ver if ica r que b posic ión meta se logre a par t i r de b

configuración inicial sin desarm ar las uniones.

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120 CAPITULO CINCO

O c u r re u n defecto de ramificación cuan do e l mecanismo

alcanza un a posición de bloqueo entre posiciones meta. A dife

rencia del defecto de circuito, un defecto de ramificación de p en d e d e la se le cc ió n del e s b b ó n im p u ls o r. E n u n a co n fi g u

ra c ió n d e b lo q u e o , e l m e c a n i sm o se b lo q u e a y e l e sb b ó nimp ulsor es incapaz de actuar. 0 defecto de ramificación quizá

no sea un e rror grave en e l d iseño, s i un eslabón a l te rno se act iva

para im p u ls ar el m ec an is m o e n tr e l as p osi ci ones m eta.

PROBLEMAS _________________________________

Cá lc u lo d e r a z o n e s d e t i e m p o

F.n los problem as 5-1 a 5-3 se va a d iseñar un mecanismo de re

torno rápido , don de la ca rre ra de avance toma u n t iemp o f , y e lre torno consume un t iem po t¡ . De te rmine b razón de t iempo,el ángulo de desequilibrio y la velocidad a b cual debería impu l

sarse el mecanismo.

5-1 . f | = 1 .1 s ; tj = 0.8 s.

5 - 2. í, = 0 .3 5 S í , = 0 . 2 0 s .

5 -3 . í , = 0 .0 4 1 s ; f , = 0 .0 2 7 s .

E n I n p r o b le m a s 5 - 4 a 5 - 6 , u n m e c a n i s m o d e r e to m o r á p i d o s e i m p u b a

a a » i p m y t i e n e u n á n g u l o d e d e s e q u i l i b r io p . D e t e r m i n e la r a z ó n d e

t ie m p o y é t ie m p o j u r a c o m p l e t a r la s c a r r e ra s d e . n a n c e y d e r e to r n o .

5 -4 . Oí = 1 8 0 rp m ; (i = 25°.

5 -5 . o> = 7 5 rp m ; f i = 3 7 °.

5 -6 . o> = 5 0 0 rp m ; f¡ = 2 0° .

D ia g ra m a s d e t i e m p o

5-7. Una sierra reciprocante necesita mover su ho ja 0.75 in

h a d a a b a jo e n 0 .1 0 s y l o g ra r su r e to rn o e n 0 .0 8 s.

D e t er m i n e l a r a z ó n d e t ie m p o y b v e l o d d a d d e b

m aniveb . Asimismo, e tobore e l d iagram a de t iempo,

lu e g o c al cu le b v e lo d d a d y l a a c e l e ra d ó n p i c o d el

movimiento.

5-8. Una prensa troqueladora necesita mover un troquel 1 5

in had a aba jo en 06 0 s y su re tomo en 05 5 s . Dete rmine

b ra zón d e ti em p o y b v e lo d d ad d e la m an iv el a.

Asimismo, elabore el diagrama de tiem po, luego calcule

la veloddad y b aceleración pico del movimiento.

5-9. LVi proceso requiere una transpo rtadora para mo ver pa

quetes 6.0 in en 0 6 s y qu e se detenga mien tras se aplica

in sello al paquete. La cabeza del sello deb e recorrer 8.0

in para ha cer contacto con el paquete. La carrera com

pleta de l se llo deb er ía d u ra r 0 .8 s . D eter m in e l a ra zó n d e

t iempo y la ve lodd ad de la manive la d d mecanismo.

Asimismo, ebbo re los d iagramas d e s incronizadón detiempo, luego calcule la veloddad y la aceleradón pico

de los diferentes elemen tos móviles.

5-10. Un proceso requie re una t ransportadora para mover

litas 2.0 in en 0.12 s y que el m ovimiento se detenga

mientras se aplica una tapa a presión sobre la lata. La tapa

debe recorrer 3.0 in para llegar a b lata. La carrera com

fleta de b tapa debería durar 0 55 s. Determine la razón

de tiempo y la velocidad de la manivela del mecanismo.

Asimismo, e labore los d iagramas de s incronizadón de

tiempo, luego calcule b velod dad y b aceleración pico

de los diferentes elem entos móviles.

D i s e n o d e m e c a n i s m o s d e m a n i v c b - c o r r c d c r a

E n l o s p r o b l e m a s 5 - 1 1 a 5 - 1 8 . d i s e ñ e u n m e c a n i s m o d e m a n i v e la -

c o r r e d e r a c o n u n a r a z ó n d e t i e m p o Q , u n a c a r r e r a ! y u n

t i e m p o p o r d d o i. U s e e l m é t o d o g r á f i c o o e l m é t o d o a n a l í t i c o .

E s p e c i f i q u e l a s l o n g i t u d e s d e l o s e s l a b o n e s L ¡, L j . e l d e s c e n t r a d o L ,

O lí e x i s t e ) y l a v e l o d d a d d e b m a n i v e l a .

5 - 1 1 . Q = 1; = 2 i n ; f = 1 .2 s

5 - 1 2 . Q = 1 ; l A R , ! ,* ,= 8 m m ; t = 0 .0 8 s

5 - 1 3 . Q = 1 ; IAR«lraáx= 0 .9 m m ; t = 0 .4 s

5 - 1 4 . Q = 1.25; lA R ,! ,^ , = 2.75¡n; t = 0.6s

5 - 1 5 . Q = 1.37;l A R , ! ^ = 4 6 m m ; t = 3

5 - 1 6 . Q = 1.15;l A R ^ n * . = 1 . 2 i n ; f = 0.0

5 - 1 7 . Q = 1.20;l A R , ! , ^ , = 0 . 3 7 5 i n ; r =

5 - 1 8 . Q = 1 .1 0 ;I A R , ! .* = 0 . 6 2 5 i n ;l =

D i s e ñ o d e m e c a n i s m o s d e m a n i v e l a - b a l a n c í n

F h l o s p r o b l e m a s 5 - 1 9 a 5 - 2 8 . d i s e ñ e u n m e c a n i s m o d e m a n i v e b - b a -

b n c í n c o n u n a r a 2 ó n d e t i e m p o Q , u n a á n g u l o d e d e s p l a z a m i e n t o

y “ n t i e m p o p o r c i c l o f . U s e e l m é t o d o g r á f i c o o e l m é t o d o

a n a l í t i c o . E s p e c i f iq u e l a s l o n g i t u d e s d e l o s e s l a b o n e s / . | f L j, L > L « y l a

v e l o c id a d d e l a m a n i v e l a .

5 - 1 9 . Q = 1; ( A ^ ) ^ = 78°; t = 1 .2s

5 - 2 0 . Q = 1 ; (Mdmtx= 1 0 0 " ; t = 3.5 s

5 - 2 1 . Q = 1 .1 5;(A04)mta = 55°; t = 0 .

5 - 2 2 . Q = 1 .2 4;(A 04)mix = 85«; t = 1.

5 - 2 3 . Q = 1 .3 6;(A04)mii = 45°; t = 1.

5 -2 4 . Q = 1.2 0;(A 0 4)m¿ , = 9 6 ° ; í = 0 .3 s

5 - 2 5 . Q = 1 .1 8 ;( A 0 4) m4l = 7 2° ; í = 0 . 0 8

5 - 2 6 . Q = 1 .10 , (A04)mta = 115°; t = 0 .2s; L\ = 6 .5 ¡n

5 - 2 7 . Q = 1 .2 2; (A 0 4 )ralx = 8 8 ° ; / = 0 .7 5 s ;L , = 8 .0 ¡n

5 - 2 8 . Q = 1 .0 8; ( A ^ W , = 105°; t = 1 .5 0 s; L \ = 100.0 m m

D i s e n o d e m e c a n i s m o s d e m a n i v e l a - c e p i l l o

E n l o s p r o b l e m a s 5 - 2 9 a 5 - 3 2 , d i s e ñ e u n m e c a n i s m o d e m a n i v e la -

c e p i l l o c o n u n a r a z ó n d e t i e m p o Q , u n a c a r r e r a ! AR ,j ra , y u n t i e m p o

p » r c i c l o / . U s e e l m é t o d o g r á f i c o o e l m é t o d o a n a l í t i c o . E s p e d f i q u e l a s

b n g i l u d e i d e l o s e s b b o n e s L j , L¡ , L j . L « y b v e l o d d a d d e b m a n i v e b .

5 - 2 9 . Q = 1 .5 0;|A R f | m* = 2 .7 5 i n ; t = 0

5 - 3 0 . Q = 1 .75;lARjJmá. = 46 m m ; t = 3

5 - 3 1 . Q = 2.00; | A R ¿ | max = 0 .3 7 5 in ; f =

5 - 3 2 . Q = 1 .8 0;l A R ^ = 1.2 ¡n ;í = 0 .2

S í n t e s i s d e d o s p o s i c i o n e s , p i v o t e ú n i c o

D i l o s p r o b l e m a s 5 - 3 3 a 5 - 3 6 , u n e s b b ó n q u e c o n t i e n e l o s p u n t o s A y B

d e b e s u p o n e r l a s p o s i c i o n e s l i s t a d a s e n l a t a b b d e c a d a p r o b l e m a .

D e t e r m i n e g r á f i c a m e n t e b u b i c a d ó n d e u n p i v o te f ij o , p a r a u n s o l o e s

b b ó n q u e p i v o t a y p e r m i t a e l m o v i m i e n t o I ñ u d o . D e t e r m i n e U m b i é n

b s g r a d o s q u e d e b e g i r a r e l e s b b ó n p a r a m o v e r s e d e b p o s i c i ó n 1 a U

p » i d ó n 2.

5 - 3 3 .

Coordenadas;

Dairión IR t s id ó n 2

A,(ln) V I u ) 8» (In)

0.00006 J 6 0 0

9 . 0 0 0 0

6 . 3 6 0 0

5 0 0 0 0

9 . 9 0 0 5

9 0 0 0 0

2 6 2 9 5

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Diserto de m ecanism os 12 1

5 - 3 4 .

C oordenad as; 4 , ( 1 » ) V I » ) * , « ■ ) M » )

f o s i d ó n 1 2 .2 8 0 0 5 3 4 0 0 6 3 4 7 4 7 3 7 4 4

f o n d ó n 2 9 .7 4 0 0 8 .5 0 0 0 1 2 3 0 4 2 4 3 3 6

5 - 3 5 .

C b o n l a u d i s ! A , (m m ) A , í m m ) 8 , (m m ) B ,< ,n m >

f o a c i ó n 1 - 5 3 . 0 0 0 41X100 7 5 .2 0 5 1 9 .4 6 9

f o a c i ó n 2 - 3 6 . 0 0 0 40X100 8 7 .7 7 0 - 8 . 1 1 2

5 - 3 6 .

C oordenad as; A , (m m)v — ,

B , ( m m ) £ !

f o a c i ó n 1 2 5 .5 0 7 4 7 3 1 2 8 3 .0 0 0 11X100

f o a c i ó n 2 97X100 3 0 .0 0 0 1 5 0 * 7 6 7 1 .7 4 8

Síntesis de dos posic ion es, dos p ivotes

E n l o s p r o b l e m a s 5 - 3 7 a 5 - 4 0 , u n e s la b ó n q u e c o n t i e n e lo s p u n t o s A y

B d e b e s u p o n e r b s p o s i c io n e s l is ta d a s e n b t a b b d e c a d a p r o b l em a .

D e t e r m i n e g r á f i c a m e n t e b u b i c a c ió n d e d o s p i v o te s (¡ io s y b s l o n g i

t u d es d e l o s c u a t r o e s la b o n e s d d m e c a n i sm o c o n u n a c o p l a d o r q u e

k rn ga d m o v i m i e n t o li s ta d a D e t e rm i n e t a m b i é n b c a n t id a d q u e d e b e n

g i r ar l o s e s b b o n e s q u e p i v o U n p a r a m o v e r e l a c o p b d o r d e b p o s ic ió n

1 a b p o s i c i ó n 2 .

5 - 3 7 .

C oo r d e n a d a s : A .( l n ) Ay fi n) B,( i»> B , < l n )

f o a c i ó n 1 - 0 3 5 3 6 4 .8 5 0 1 4 .4 0 0 0 3 3 0 0 0

f o a c i ó n 2 - 3 . 1 0 0 0 3 2 0 0 0 1 3 5 6 2 5X 1220

5 - 3 8 .

C o o r d e n a d a s : 4 . ( 1 » ) 4 , ( 1 » ) « , « ■ ) M » )

f o a c i ó n 1 0 .9 0 0 0 4 3 0 0 0 9X 1380 7 .7 1 5 0

f o v b c i ó n 2 - 1 . 0 0 0 0 5 .6 0 0 0 5 3 7 2 7 1 1 3 7 6 0

5 - 3 9 .

C o o r d e n a d a s ; A . ( m m ) Ay (m m ) B .ím m ) B ,<m m >

f o a c i ó n 1 -4 0 X 1 0 0 - 6 0 .0 0 0 2 8 .9 3 6 - 3 0 . 4 5 6

f o a c i ó n 2 - 6 5 3 5 0 - 2 6 3 5 2 8 .0 0 0 -4 2 X 1 0 0

5 - 4 0 .

C o o r d e n a d a s ; A , ( m r a )V — >

B .ím m ) B , (m m )

f o a c i ó n 1 - 3 7 2 6 1 —2X341 - 1 8 . 0 0 0 1 .0 00

f o a c i ó n 2 — 1 8 .0 0 0 - 3 . 0 0 0 0 3 5 8 - 7 . 9 6 3

g r a r lo s e s b b o n e s q u e p i v o ta n p a r a m o v e r e l a c o p b d o r d e b p o s i ci ó n

I a b p o s i c i ó n 2 y. lu e g o, d e b p o s i c i ó n 2 a b p o s i c i ó n 3.

5 - 4 1 .

C o o r d e n a d a s : A , ( l a ) 3 , ( 1 » ) B , ( I n ) B ,ü n )

f o a c i ó n I - 1 X 1 0 0 0 - 0 . 9 0 0 0 5 .2 * 62 - 1 . 7 9 8 0

f o n d ó n 2 - 2 .7 0 0 0 - 1 3 0 0 0 3 * 4 2 8 - 0 .9 9 8 0

f o n d ó n 3 - 4 .4 0 00 - 2X 1000 1 .7 7 19 - 0 3 0 6 8

5 - 4 2 .

C o o r d e n a d a s ; A , f i n ) A , ( !■ ) B , ( l n ) * , ( !■ >

f o n d ó n 1 —5 5 0 0 0 - 0 . 1 0 0 0 7 . 9 8 3 6 5 -2 33 1

f o n d ó n 2 - 2 . 40 0 0 0 . 5 0 0 0 1 2. 08 31 1 .1 9 92

f o n d ó n 3 - 0 . 6 0 0 0 1 .6 00 0 1 5 * 4* 3 - 1 . 0 9 0 2

5 - 4 3 .

C o o r d en a d a » ; A , ( m m ) A y (m m ) B ,( m m )

f o n d ó n 1 0 . 0 0 0 4 0 . 0 0 0 5 4 . 7 7 4 4 4 . 9 80

f o n d ó n 2 2 1X 10 0 5 1 .0 0 0 7 2 2 0 4 3 0 .9 2 0f o n d ó n 3 3 9X 10 0 4 9 .0 0 0 8 2 . 1 4 3 1 4 3 8 7

C o o r d e n ad a s : A , ( m m ) A , ( r a m ) ______» > ■ ) ____ Br ( m ra )

f o n d ó n I 4 3 .0 0 0 - 7 6 . 0 0 0 1 4 9. 89 0 - 5 0.0 27

f o s i d ó n 2 3 .0 0 0 - 5 2 . 0 0 0 1 11 .1 2 7 - 7 2 2 1 1

f o n d ó n 3 - 1 2 . 0 0 0 - 3 3 .0 0 0 9 1 .8 4 0 - 6 9 2 9 4

ESTUD IOS DE CASO

5 - 1 . La figura E5.1 presenta u n m ecanismo que im pulsa elHo que /deslizante, el cual a su vez m ueve la cuchilla de

un a sie rra de potenc ia pa ra m eta les . Examine cuida

dosam ente la conf igurac ión de las com ponentes de l

mecanism o. Luego, conteste bs preguntas s iguientes

p i r a o b te n e r u n a m ay or c o m p re nsió n a ce rc a d e b o pe

ración del mecanismo.

Síntes is d e tres pos ic ion es

E n l o s p r o b l e m a s 5 - 4 1 a 5 - 4 4 , u n e s b b ó n q u e c o n t i e n e lo s p u n t o s A y

B d e b e s u p o n e r b s t r e s p o s ic i o n e s l is ta d a s e n b t a b b d e c a d a p v o bl cm a .

D e t e r m i n e g r á f i c a m e n t e b u b i c a c ió n d e d o s p i vo t e s f i jo s y b s l o n g i

t u d e s d e l o s c u a t r o e sb b o n e s d e l m e c a n i s m o c o n u n a c o p l a d o r q u e

t en g a e l m o v i m i e n t o l is ta d o . D e t e r m i n e t a m b i é n b c a n t id a d q u e d e b e n

f i g u r a E 5 . I (Cortesía de Ind ustrial Press).

1. Co n fo rm e la m a n iv e b A gira 90° en sent ido ho rar io ,

¿cuá l es e l movimiento de l lóbulo B que está su je to a b

maniv ela A?

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122 CAPITULO CINCO

2. Conform e la manive la A g i ra 90° en sen t ido horar io ,

¿cuál es el mo vim iento d el eslabón C?

3. ¿Se necesita una ra nu ra en el rod illo fc?

4 . Conform e la manive la A g i ra 90° en sent ido h orar io ,

¿cuál es el movim iento del pe rno H?

5. Conform e la manive la A g i ra 90° en sen t ido horar io ,¿cuál es el movim iento del pe rn o 1?

6. Determ ine la movilidad de este mecanismo.

7. Conform e la cuerda G gira para jalar al rodillo E h a d a

abajo, ¿cómo modifica eso d movim iento del eslabón Q

8. Conform e la cuerda G gira para jalar al rodillo E h a d a

abajo, ¿cóm o modifica eso el mo vim iento del eslabón H?


5-2 . La f igura E5.2 i lust ra un mecanismo qu e también im p u ls a u n b lo q u e B deslizante. Este bloque, a la vez,

im p u l sa u n a h e r ra m ie n ta d e c o r t e . Ex a m ine c u id a

d o sa m e n te l a c o n f ig u ra c ió n d e l a s c o m p o n e n te s d e l

mecanismo. Luego, conteste las siguientes preguntas

po ra o b te n er u n a m ay or co m p ren si ó n s o b re la ope -

radó n de l mecanismo.

1. Co nform e la varilla A se muev e hac ia la derecha, ¿cuál

es el movimiento del bloqu e B deslizante?

2 . Descr iba el movim iento d d b loqu e B deslizantecuando d rodi llo C l lega a la ran ura D.

3 . Describa e l movim iento d d b loqu e B deslizante con

forme la varilla A se mueve a la izquierda, l levando a C

fuera de la ran ura D.4 . D e sc r ib a d m o v im ie n to c o n t in u o d e l b lo q u e q u e B

deslizante conforme la varilla A o s d l a h o r i z o n ta l

mente.

5. ¿Cuál es el propósito de este mecanismo?

6. Describa un dispositivo qu e impulse la varilla A h a d a

h izquie rda y h ad a la derecha .

7 . ¿Qué carac te r ís tica dan a l mecanism o las ranu ras deajuste en £?

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C A P I T U L O

S E I S

ANÁLISIS D E VELOCID AD

O B J E T I V O S



1 . D e f i n i r v e l o c i d a d e s l i n e a l e s , d e g i r o y r e l a ti v o .

2 . C o n v e r t i r v e l o c i d a d e s li n e a l e s a v e l o c i d a d e s a n g u l a r e s

y v i c e v e r sa .

3 . U t il iz a r d m é t o d o d e v e l o c i d a d r e la t iv a p a r a o b t e n e r

g r á fi c a m e n t e l a v d o c i d a d d e u n p u n t o « o b r e u n e s l a b ó n ,

c o n o c ie n d o l a v e l o c id a d d e o t r o p u n t o s o b r e e l m i sm o

e s l a b ó n .

4 U s a r e l m é t o d o d e v d o c i d a d r e la t iv a p a r a d e t e r m i n a r , g r á f i ca

y a n a l í t i c a m e n t e , l a v e l o c id a d d e u n p u n t o d e i n t e ré s s o b r e u n

e s l a b ó n f lo t a n t e .

5 . U t il iz a r d m é t o d o d e v e l o c id a d r e la t iv a p a r a o b t e n e r

a n a l í ti c a m e n t e l a v e l o c i d a d d e u n p u n t o s o b r e u n e s l a b ó n ,

c o n o c ie n d o l a v e l o c id a d d e o t r o p u n t o s o b r e e s e m i sm o

e s l a b ó n .

6 . U s a r e l m é t o d o d e l c e n t r o i n s ta n t á n e o p a r a d e t e r m i n a r

g r á fi c a y a n a l í t ic a m e n t e l a v e l o c i d a d d e u n p u n t o .

7 . C o n s t r u i r u n a c u r r a d e v d o c i d a d p a r a l o c a l iz a r lo s v a lo r e s

e x t re m o s d e v e l o c id a d .

6.1 INTRODUCCIÓN

El análisis de velocidad im plica calcular“qué tan rápido" viajan

ciertos punto s sobre los eslabones de u n m ecanismo. La velo d

d a d e s im p o r t a n t e p o rq u e a so c ia e l m o v im ie n to d e u n p u n toso b re u n m e c a n i sm o c o n e l t ie m p o . Co n f r e c u e n c ia, la s in -

c ronizadón es c r i tica en una máquina .

ft»r ejemplo, el m ecanismo q ue “jala" la película de vid eo a

t ravés de un proyec tor de d n e debe avanzar la pe l ícu la a una ve

loc idad de 30 cuadros p or segundo. El m ecanismo qu e a l imentamaterial de paquetería en u na caja de embalaje t iene qu e operar

en tándem c on la t ransportado ra qu e mueve las ca jas de emba

laje. El mecanismo de un limpiado r de parabrisas que funciona

a alta v elocidad deberla arrastr ar el l imp iado r sobre el cristal

p o r lo m en os 4 5 v eces p o r m in u to .

La de te rm inadón de la ve loc idad en un eslabonamiento es

d objetivo de este capitulo. Se exam inarán do s procedimientos

de aná l is is com unes: e l método d e la ve lod dad re la tiva y el

método d el centro instantáneo. En congruencia con otro s capí

tu los de este l ibro , se in duy en tanto técnicas grá f icas como

analíticas.

6.2 VELO CIDAD LINEAL

La vdocidad lineal V de un pu nto es el desplazamiento lineal de

e se p u n to p o r u n id a d d e ti e m p o . R e c u e rd e q u e el d e sp l az a

miento l ineal AR de un punto es un vec tor , qu e se def in ió como

el cambio en la posidón d e ese punto . Su concepto se in t rodujo

en la secdó n 4 .3 .

(o rn o se describió en el capitulo 4, el desplazamiento de un

p u n to se co ns id er a u na tr asla d ó n . lo cu al y a se an al iz ó e n t é rm i

nos lineales. Por definición, un p un to ún icamente pu ede tenerdesplazamiento lineal. Cua ndo se considera el t iem po transcu rr ido d uran te u n desplazamiento , es posib le de te rminar la ve

loddad.Cóm o el desplazamiento, la veloddad también es u n vector.

Recuerde q ue los vectores se rep resentan c on caracteres alfabéti

eos en negritas. A la m agnitud de la velocidad sel e d e n o m i

na co n frecuend a “rapidez." y se representa com o v m jv |. Para

conocer la dirección d e la velodda d lineal, se requiere determi

nar la d irección en qu e se mueve un punto en un instante es-

ped fi co .

M atemáticamente , la ve lo dda d l ineal de un pun to se ex

pre sa com o:

d R V = lím — (6.1)

S i —0 d r

y para per iodos de t iemp o cor tos como:

V = f ' (6 .2 ,

Co m o e l desplazamiento es un vec tor, la ecu adó n (6 .1) in

d ica que la ve lodd ad tam bién es un vec tor . C om o con todos los

vectores, para def in i r comple tamente la vd od da d se requiere

también una d i recdón. La ve loc idad l inea l se expresa en

unidades de lon gi tud d iv idas en t re e l t iemp o. En e l s is tematradidona l de Estados Unidos, las unidades comunes que se u t i

l izan son p ies p or segundo (f t/ s o fps) , p ies po r m inuto ( f t /min

o fpm) o pulgadas po r segundo ( in /s o ips) . En e l s is tema in te r

nacional , las unidades comunes qu e se usan son metros p or se

gund o (m/s) o mi l ímetros po r segundo (mm /s) .

6 .2 .1 V e l o c id a d li n e a l d e p u n t o s r e c ti lí n e o s

Un pun to se puede m over a lo la rgo de un a t rayec tor ia rec ta

o un a t rayec tor ia curva . C om o se v io en capí tu los ante riores ,

muchos eslabones están restringidos a un movimiento en linea

recta (rectil íneo). Para pun tos que están sob re un eslabón limi

tado a movimiento rectilíneo, se utilizan las ecuaciones (6.1) y

(6 2 ) p ara calcular la magnitud d e la velodd ad. La orientación del

vec tor de ve loddad l inea l s implemente está en la d i recc ión

d d movimiento, la cual generalm ente es evidente.

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124 CAPITULO SEIS


la* cajas de em ba bu qu e sí encuentran sobre ti banda transportadora de b figura 6.1, se mueven ha da b izquierda a

velocidad constante. Le tom a 40 s recorrer los 25 ft de b banda tra nsporta dora. D etermin e b velocidad lineal de b caja.

FIGURA 6.1 Tras lado d e la caja del pr oble m a de ejemp lo 6 .1.

SO LU CI Ó N: Co mo las cajas de embalaje viajan a velocidad constante, se utiliza la ecuación (62) pura determ inar la velocidad

Enea) de la caja.

6 .2 .2 V e l o c id a d li n e a l d e u n p u n t oc u a l q u i e r a

Las ecuaciones (6.1) y (6 2) aún son válidas en general para pu n

tos sobre u n eslabón en movim iento. La dirección d e la velocidad

lineal de u n p un to es la misma que la dirección de su m ovimiento

instantáneo. La figura 62 muestra b velocidad de dos pun tos so

br e un es labó n. L is velo cid ades d e lo s p u nto s A y f lse deno tan res-

pe ct iv am en te c o n V * y V » O bser ve q u e au n qu e es tá n so b re elmis mo eslabón, ambos pun tos pue den tener velocidades lineales

diferentes. Los pun tos qu e están m ás lejos del pivote viajan más

rápido, lo cual se “siente" al sentarse en los asientos exteriores deun jueg o mecánico que gira en u n parque de diversiones.

Examinando la figura 62 . se ve que la velocidad del pu nto A.

VA, está dirigida a lo largo de la trayectoria en q ue se mueve el

p u n to A o í e se in st an te , es de cir , ta nge nte a u n ar co co n c en tr o en

O, la cual también es perpend icular al eslabón OA. En términos

casuales, si el p un to A se desprendiera del eslabón 2 en ese m o

mento , el pun to A viajarla en la dirección de s u velocidad lineal.

6 . 2 .3 P e r f il d e v e l o c i d a d d e l m o v i m i e n t o

l inea l

Los avances tecnológicos han p erm itido el contro l preciso del

m o v im ie n to e n m u c h a s a p li c ac io ne s , c om o l a s d e a u to m a t i zación. prueba y equ ipo de m edición . Estos sistemas tienen in

corporados se rvomotores contro lados por un microprocesador .

El movim iento deseado se especi f ica en un contro lado r . Los

sensores mon i torean el m ovimiento de l eslabón móvi l y pro

p o rd o n a n re tr oa li m en ta c ió n al co n tr o la d o r. Si se det ec ta u n a

diferencia entre el m ovimiento deseado y el movim iento real, el

con trolado r mo dificará la señal qu e va al m oto r y corregirá la

desviación. Por su precisión, sensibilidad y b ajo costo, el uso de

servosistemas es tá creciendo co n rapidez.

Para un c ontro l de movimiento ópt imo, es deseable m ovi

miento de alta velocidad suave, con un m ínim o esfiierzo del m o

tor. El contro lador debe d i r ig i r e l m oto r para cambiar b ve lod-

f i g u r a 62 Velocidades lineales de p untos sob re u n eslabón.

dad acertadamente y obten er los mejores resultados. En un sis

tema servo lineal, las características del mo vim iento de traslación

de b compo nente d e una máquina se espec if ican genera lmente

con un perfil de velocidad m odelado. El perfil de velocidad es

tablece los lapsos de aceleración, estad o estable y desaceleración

en b traslación del eslabón. El desplazamiento real se calcub a

p ar ti r de l perfil d e ve locid ad . R epla nte an do b ec ua ci ón (6.1) ,

J R = V J l

Al despejar para obte ner el desplazam iento AR. se obtiene:

A R = f v d t (6.3)

Con un conoc imiento e lementa l de cá lculo, se sabe que becuación (6.3) indica que el desplazamiento para d ert o intervalo

de t iempo es e l á rea debajo de b curva v-t para ese intervalo de

tiempo.


Los servoactuadores asistidos se program an pa ra moverse deacu erdo con u n perfil de velocidad especificado. El actua

d a lineal mos trado en b figura 6.3a fue programad o para extenderse, de acuerdo con el perfil de velocidad mostrado

a i b f igura 6J b . Determine el desplazamiento total durante este mov imiento programado.

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An álisis de velocidad 125

v « !* )

S O L U C I Ó N : l .

f i g u ra 6 J f tr rf il d e v e lo d d a d d e l p ro b le m a d e e j e m p lo 6 .2 .

Des plazam iento d ur an te el lapso d e ae rlerac ión del m ov im ie nt o

Durante el prim er segundo del movimiento, el actuador acelera hasta su estado estable de velocidad. El área de

ba jo de l a c u n a v-t fotma un triángulo y se calcula com o

A R * * ™ * , = ' 4 ( v . u a o ^ u b l , ) ( A t a m e t e ) = ( 4 ÜV*) [(1 - 0 ) s ] = 2 i n ----- -

Des plazam iento d ura nte e l lapso d e m ovim ie nto es table

Oirán teel intervalo de tiemp o de I a 4.5 s, el actuador se m ueve con velocidad estable. El área debajo de la curva

v-t forma un rectángulo y se calcula como

A R m a ^ u I i I . = ( v * u a o « u b i » ) ( A i ^ j o « u h w ) = ( 4 i i V s ) I H - 5 - » • ) = u “ -----------

Des plazam iento du ra nte el lapso d e desa ce leració n d el mo vim ie nt o

O i r á n te el intervalo de tiempo de 4 3 a 5 3 s, el actuado r desacelera a partir de su estado estable de velocidad.

El área debajo de la curva v-t forma un triángulo y se calcula como

AK*MaU»d«n = = V ,(4 in /s) ( (53 - 4 .5)$] = 2 in ------►

Des plazam iento to ta l du ra nte e l m ovim ie nto progra mad o

B desplazamiento total duran te el movimiento programado es la suma d e los desplazamientos duran te la ace-

kración, el estado estable y la desaceleración del m ovimiento.

AR.cui ■ A 4 A R oajoauh i, -f A R ^ ^ ^ p , , - 2 4 14 4 2 - 18 in (extensión)

6.3 VELO CIDAD DE UN ESLABÓN

Diferentes punto s sobre un eslabón pueden tener ve locidades

lineales significativamente diferentes. Esto es válido so bre todo

cuan do el eslabón gira simplem ente alrededor de un p un to fijo,

como en la figura 6.2. En general, el movim iento de un eslabón

suele ser bastante com plejo cu ando se m ueve (se traslada) y da

vueltas (rota).Cua lquie r movimiento , inc luso e l comple jo , puede se r

v isto com o una com binac ión de m ovimiento en l inea rec ta y

mo vimiento giratorio. La descripción com pleta del movim iento

de un eslabón consiste en la identi f icac ión de l m ovimiento l i nea l de un pu nto y e l movimiento g i ra tor io de l eslabón.

Aun cuando var ios puntos de un esbbón pueden tener

diferentes velocidades lineales, com o se trata de un cuerp o rígido,

el eslabón com pleto tiene la m isma velocidad angular. La veloci-

tkid angular tu de un eslabón es el desplazamiento angular de esc

eslabón po r u nidad d e tiempo. Recuerde que e l desplazamientogiratorio 3 0 de u n eslabón se define com o el cambio angular en

la orientación de ese eslabón. Esto se vio en la sección 4.3.

Matemát icamente , la ve loc idad ang ula r de un eslabón se

expresa como:

A e d oto = l im — = —

ót-o A r d r (6.4)

y para per iodos co r tos de t iempo, o cuando la ve loc idad se

supone com o l ineal ,

tuA 0

A f (6.5)

La dirección de la velo dd ad ang ular es la dire cd ón del giro

del eslabón. En análisis planar, se describe com pletam ente es

ped fi can d o e l té rm in o se nt id o hor ar io o se nt id o ant ih or ar io . Por

ejemplo, el eslabón m ostra do en la figura 6.2 tiene una v elod dad ang ula rqu e es consistenteco n las veloddad es lineales de los

pun to s q u e e st án en e l es la bón . P o r lo ta n to , el es la bó n t ie n e u na

ve loddad de g i ro en sent ido horar io .

La ve lodd ad angula r se expresa en unidades angula res d i

v id idas en t re e l t iempo. T anto en e l s is tema estadounidense

como en e l s istema in te rnac iona l, las unidades de uso co mú n

son las revoluciones por m inuto ( rpm ), los grados por segundo

(deg/s) o los radianes por segundo (rad/s o rps) .

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126 CAPITULO SEIS


El engran e m ostrado en la figura 6.4 gira en sentido antih orario a velocidad constante. Se mueve 300° en 0.5 s.

[> termine la velocidad angular del engrane.

figura 6.4 Engrane giratorio del prob lem a de ejemplo 6.3.

SO LU CIÓ N: Com o el engran e gira a velocidad constante, se usa la ecuación (6.4) pa ra determ inar la velocidad angular del

engrane.

Ai ° O S » " 600 ( í ! ^ ) = 50 en sentido antihorario

6.4 RELACIÓN ENTRE LAS VELOCIDADESLINEAL Y ANGULAR

En u n eslabón con ro tación pura, la mag nitud de la velocidad

lineal de c ualq uier pun to del eslabón se relaciona con la veloci

dad a ngular d el eslabón. Esta relación se expresa como

v * no (6.6)

donde :

v - IVI = magn i tud de la ve loc idad l ineal del puntoen consideración

r ~ d is tanc ia del centro d e ro tación a l pu nto en

consideración

10 = velocidad angu lar d d eslabón giratorio que contiened punto en considerac ión

la velocidad lineal siempre es perpe ndicu lar a la l inea que

une el centro de rotación del eslabón con el pun to en conside

ración. Po r consiguiente, la velocidad lineal de un pu nto sob re

un esb bó n co n ro tac ión pura se cono ce con frecuenc ia como

vdocidad tangencial Lo an te r ior se debe a que la ve loc idad l i

neal es tangente a la trayectoria circular del pun to, o bien , per

pe ndic ula r a la l ín ea q u e u n e el p u n to c on d pivo te .

Es ext remadamente imp ortante recordar que la vdoc idadangu la r o> en la ecu adó n (6 .6) , se deb e expresar en radianes por

u n id a d d e t ie m p o . E l r a d i á n e s u n a u n id a d a d im e n s io n a l d e

medic ión angula r qu e puede om it i rse . La ve loc idad l inea l se ex

pre sa e n unid ad es de lo n g it u d p o r ti em p o y n o c o m o lo s u

gerirla la ecuación (6.6) en radian es las unidades d e longitud

p o r uni dad d e ti em po .

(ieneralm ente se tiene qu e hacer la conve rsión a la unidad

más comú n de revoluciones po r m inuto ( rpm):

o » ( ra d /m in ) = <o ( ra d /m in

= 2 i r [<o ( ra d /m in ) ] (6.7)

o i( r a d / s ) = [ « ( « , / m i n ) ) [ ( ^ ) ( l ^ ) ]

= ~ [a*(rev/m in)] (6 .8)

G im o se m e n c io n ó , u n r a d i á n e s u n a m e d id a a d im e n -

sional de un ángulo. Para ser precisos, un ángu lo expresado en

radianes es la razón d e la longi tud de l a rco barr ido po r e l ángulo

al radio. Cu and o un ángu lo expresado en radianes se multiplica

p o r o t ro va lo r, s e om it e la des ig na ción del ra d iá n .

G jm o se estableció en la sección anterior, la velocidad an

gular del eslabón y las velocidades lineales de los pu ntos sob reel eslabón so n consistentes, es decir, las velocidades (rotaciona l

o l ineal ) están e n la d i recc ión en la que e l obje to (eslabón o p u n to ) se m ue ve in st an tá neam ente . C o m o se in di có , la ve lo ci dad lineal siempre es perpen dicular a la l inea que u ne el centro

de ro tac ión de l eslabón con el p unto en considerac ión .


la figura 6.5 ilustra un mecanismo de leva que sirve para impulsar la válvula de escape de un m oto r de com bustión

interna. El punto B a un pu nto de interés sobre el balancín. En este instante, la leva fuerza al pun to B h»cia arrib a a

3) m m/s. Determ ine la velocidad angular del balancin y la velocidad del p unto C.

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A nál is is de ve loc idad 127

SO L U C IÓ N : I . H a b ó n e l dia gr am a cin em át ic o y ca lcul e los grado s d e l ib er ta d

B balancín está conectado a la bancada con una u nión d e perno en el pu nto A. La velocidad del pu nto B a u n

vector dirigido hacia arriba co n una mag nitud igual a 30 mm7s. la figura 6.6 m uestra el diagrama cinemático.

FIGURA &6 Diagram a cinemático del pro blem a de ejemplo 6.4.

2. Calcule la velocidad angular del eslabón 2

Es claro que como el punto B viaja hacia arriba, el balancín (eslabón 2) se tuerza a gira r en sentido horario. Por

lo tonto, com o el pun to B tiene velocidad lineal hacia arriba, el balancín debe te ner velocidad angula r en sentidohorario, la ma gnitud de la velocidad angu lar se calcula reagrupando la ecuación (6 3):

us¡ AB

30 mm /s

20 mm1.5 rad/s

Esto se convierte a rpm al reagru por la ec ua ción (6.6 ):

<uj(rev/min) = — [<u2 (rad/s)] = — |I 3 rad/s] = 14J rpm

B resultado inclu yendo la dirección es:

*»í - 1.5 rad/s, en sentido horario

3. Calcule la velocidad lineal del pu nto C

La velocidad lineal del punto C tim bién se calcula con la ecu ación (6 3):

v r = rÁCon = ( 15 m m ) ( l á r a d/ s) = 2 2 5 m m / s

la dirección d e h velocidad lineal de C cfcbc ser consistente con la velocidad ang ular d el eslabón 2. La ve

locidad también es p erpendicular a la linca que un e el centro de rotación del eslabón 2, el pu nto A,co n el pu nto

C Por consiguiente, la velocidad del pu nto C está dirigida 20° (90° - 70*) po r encima de la horizontal.

Incluyendo la dirección, el resultado es

V c - 22 5 m m / s A o °

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128 CAPITULO SEIS

6 3 VELOCIDAD RELATIVA

La di fe renc ia ent re e l movimiento de dos puntos se conoce

c o m o nvvirmento rela t iva Considere una s i tuac ión d ond e dos

autom óviles viajan en una car retera interestatal. El autom óvil

de l ca rr i l izquie rdo v ia ja a 65 m il las po r hora (m ph); y e l au

tomóvi l d d carr il de recho, a 55 mph. Las vdoc idades se m iden

en re lac ión con un radar estac ionar io , de manera que son

medic iones de movimiento abio lu ta

Aun cu ando am bos se mueven hacia adelante, a las personasd d a u to m ó v i l m á s r á p id o l es p a rec e q u e d o t ro a u to m ó v i l semueve realmente ha da a trás es dedr, d movimiento relativo del

automóvi l más len to va en d i recdón opuesta al m ovimiento ab

soluto del automóvil más rá pid a ftw el co ntra ria a las personas

del automóvil m ás lento les parece que d automóvil m ás rápido

viaja a 10 mp h. Es ded r. la velocidad relativa del au tom óvil más

rápido es de 10 mph respecto d d automóvil más lento.

{tíod da d relativa e s un té rm ino q ue se u t i l iza cuando la ve

loddad de u n ob je to se rd ad on a con o t ro obje to de re fe rencia,

qu e tamb ién se puede esta r mo viendo. La no tac ión siguiente

dife renc ia la ve lodd ad absolu ta d e la vd od da d relat iva .

- ve loc idad absolu ta del punto A

V fl - v e lo d d a d a bso lu ta d d p u n to B

V b / á = v doc idad re la tiva d d punto B con respec to a A

= v e lo d d a d d d p u n to B “o b serv ad a " d e sde d p u n to A

El movim iento re la tivo , esto es , la d i fe renc ia ent re d

movimiento de dos pun tos, se expresa matemát icamente como

V » a = V f l - > V /, (6 .9)

o se replantea como

V B = V * + > V R* (6 .1 0 )

Observe qu e las ecuado nes (6 .9) y (6 .10) son ecuado nes

vector ia les. R )r lo t a n ta para usar b s ecu adones, se deben e la

b o rar p ol íg on os ve ctor ia le s d e a cu er d o c o n las ec uad one s. Pa ra

d man ejo de estas ecuaciones se recomienda emplear las técni

cas analizadas en la sección 3.16.


La figura 6.7 ilustra d mecanism o para elevar carjp de un cam ión repartidor. En este instante, el pu nto A tiene un a ve

locidad de 12 in/s en la direcdó n m ostrada, en u n to q ue el punto B nene una velocidad de 10.4 in /sen la direcdón

mostrada. Determine la velodd ad angular del eslabón más bajo y la velocidad relativa del pun to B con respecto al

ju n to A.

FIGURA6.7 Mecanismo del prob lem a de ejem plo 6.5.

S O L U C I Ó N : 1 . hlabor t un d iagrama t inem dl ieo e iden t i f ique la mov i l idad

la figura 6 8 a muestra el diagrama cinemático de este mecanismo. Observe que se trata del conocido mecanismo

de cuatro barras que tiene un grado de libertad.

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A n á l i s is d e v e l o c i d a d 129

Calcule la velocidad angular de l eslabón 2

Partiendo del diagrama cinemático, resulta claro que el p unto A viaja hacia arrib a y a la derecha, en tanto qu e el

eslabón 2 gira en sentido antihorario. Entonces, el eslabón 2 tiene u na velocidad angular en sentido antihorario.

la ma gnitud de la velocidad angular se calcula reagru pa nd o la ecuac ión (6 .6), co m o sigue :

vA (12 in/*) „at¡ ------- ■ - Q j r ad /s

rAQ (24 in) ^

Esto se convierte a rpm reagru pan do la ecuación (6.7) como

{ ^ (r ev / m in ) - ^ [ « ^ r a d /s ) ] = * (0.5 r ad /s ) = 4.8 r pm

Incluyendo la dirección,

a>2 ■ 42) rpm, en sentido antihorario

Calcule la velocidad lineal del punió B en relación con el pu nto A

La velocidad relativa de B con respecto a A se calcula con la ecuació n (6.9):

V a V „ - > V „

Se crea un polígono vectorial a partir de esta ecuación, que se m uestra en la ñg ura 6.8b. Observe que este es u n

triángulo cualquiera. Tanto la solución gráfica como la analítica sirven p ara determ inar el vectorV b / a.

Al usar el m étodo analítico, la magnitud de la velocidad se calcula con la ley de los cosenos.

V W + »*J - 2 (* ) (n » )< c o s 30 -) |

- ^( 1 2 in /s)1 + (10 .4 in /*)2 - 2(12 i iV») <10.4 in /s)(cos3 0‘ ) . 6J} ¡n / ,

B ángulo entre las ma gnitudes de las velocidades vB/A y ve se m uestra com o 0 en la figura 62* . Se calcula

con la ley de los senos:

6 i n / s90°

I> man era qu e este polígono vectorial forma en realidad u n triángulo rectángulo. La velocidad relativa de

B con respecto a A se expresa formalmente co m o sigue:

V » * - 6 0 in /$ -

La velocidad relativa entre do s pu ntos de u n eslabón es útil

par a d e te rm in ar las ca ra ct er ís tica s de l a ve lo cida d del es lab ón .

Específicamente, la velocidad relativa de do s pu nto s cualesquiera

en un eslabón sirve para de term inar la velocidad an gular de ese

eslabón. Sup oniendo que los puntos A B , y C permanecen sobre

un eslabón, la velocidad angular se expresa como

_ ^ B C _ ^AJC

rAB rBC ^AC(6 . 11 )

La dirección d e la velocidad angular es co nsistente co n la

velocidad relativa de los d os pu ntos. La velocidad relativa de B

con respecto a A implica que B se vea girando alrededor de A

l \»r consiguiente, la dirección de la velocidad relativa de fi“vista

desde” A sugiere la dirección del giro del eslabón com partido

po r lo s p u n to s A y B . Si se considera la figura 6.9, cuando v&A

se d i r ige ha da a rr iba y a l a izquie rda , la ve loc idad angula r de l

eslabón es en sentido antihorario. Po r el contrario, c uand o vg/Á

se d i r ige hac ia aba jo y a b derecha , b ve loc idad ang ub r de l es

l a b ó n e s e n se n t id o h o ra r i a

f i g u r a 6 .9 N f c lo á d a d r e l a t i v a d e d o s p u n t o s s o b r e e l m i s m o e s la b ó n .

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130 CAPITULO SEIS

6.6 ANÁLISIS GRÁ FICO DE VELOCIDAD:

MÉ TOD O DE VELO CIDAD RELATIVA

El análisis gráfk o de velocidad determ ina la velocidad de p un

tos de u n mecanismo en una so la configurac ión . Se debe hacer

énfasis en qu e los resultados de es te análisis corresponden a la

p o sic ió n a c tu a l d e l m eca n is m o . C o n fo rm e el m eca nis m o semueve, la configuración cam bia al igual que las velocidades.

El funda m ento del m étodo d e análisis de velocidad relativa

se deriva del hecho siguiente:

Dos p unt as q u e r esiden e n e l m ism o e slab ón ta n so lo

pu ed en te ne r un a ve locid ad re la tiv a q ue es té en d irección

pe rp en dicu la ra la l inea que u ne los dos puntos.

Este hecho es una amp liación de la definición de velocidad

rebt iva . La f igura 6 .9 m uest ra dos p untos. A y B, que se encuen

tran sob re el mism o eslabón. Recuerde qu e Vg/A la velocidadd e B “com o se observa’ desde A . Pa ra u n o b se rv a d o r e n A ,

pa rece q u e B simplemente gira alrededo r de A, siempre que A y

B se encuentren sob re el mismo eslabón. De esta manera, la ve

locidad de B co n respecto a A debe ser perpendicular a la l inea

q u e u n e a B ton A.

Co n este hecho, y las técnicas de análisis vectorial, es po si

ble d e te rm in a r b ve locida d d é lo s p u n to s so b re u n m ec an is m o.

6 . 6 .1 P u n t o s s o b r e e s la b o n e sr e s t ri n g i d o s a r o ta c i ó n p u r a

o a t r a s l a c i ó n r e c t il ín e a

El análisis más sim ple con el m étodo de velocidad relativa im

p lica p u n to s q u e re si d en en es la bo nes r estr in g id o s a ro ta ción

p u ra o a t ra sl ac ió n r ec til ín ea . La ra zón es q u e se c on o ce la d ir ec

c ión de l movimiento de los pun tos. Las uniones de pernos son

p u n to s c on ven ie n te s d e an ál is is p o rq u e re si den so b re d o s e s bb on es, u n o d e lo s c ua les n o rm al m en te es tá l im itado a rot ac ió n

p u ra o a t ra sl ac ió n r ec til ínea .

La figura 6.10 ilustra un mecanism o de maniveb-co rrede

ra . El pu nto B se encu entra sobre los eslabones 2 y 3. Observe

que se conoce b d i recc ión d e la ve locidad de l pun to B, porque el

e s l ab ó n 2 e s tá r e s t r in g id o a ro t a c ió n p u ra . E l p u n to C se e n

cue ntra e n los eslabones 3 y 4. Asimismo, se conoce b dirección

de b ve loc idad de l pu nto C po rqu e e l eslabón 4 está restr ingido

a u n movim iento de traslación rectil ínea. Si se conoc e b veloci

d a d d e l p u n t o B. b v e loc id ad d e l p u n to C se c a l c u b r á p id a -

i i g u r a 6.10 Esb bon es restringidos a m ovim ientos de rotación

p u ra y t ra sl ac ió n r ec ti lín ea .

mente porque tam bién se conoce la d i recc ión de su ve locidad .

Tan solo se necesitan determ inar la ma gnitud y el sentido.

El procedimiento de so luc ión genera l pa ra los problemas

de este t ipo se resume como:

1. Determinar b dirección de la velocidad desconocida con

b s re st ri cc io ne s im pues ta s po r b unió n , y a s ea ro ta ci ón

p u ra o tr as la ci ón p u ra .

2 . Establecer b d i recc ión de b ve locidad rebt iva ent re bs

dos uniones. P ara dos pu ntos sobre el mismo eslabón,

b ve lo cida d r e b ti v a si em p re e s per p en d ic u la r a b lin eaque une los puntos.

3. Usar la siguiente ecuación de velocidad reb tiva pa ra trazar

un polígo no vectorial:

Vpunto desconocido ^ punto conocido

Apunto desconocido/puico conocido

4 . Uilizar los m étodos descritos en b sección 3.18, y b ecua

ción vectorial d e arriba, para determ inar las magnitudes de

^ punto desconocido X Apunto desconocido^pumo conocido

Este procedim iento d e análisis describ e la lógica detr ás del

análisis gráfico de b velocidad. La solución real se obtiene em

p le an do té cn ic as de d ib u jo m an uale s ( u n tr a n sp o rt a d o r y u n

compás) , o b ien , un s istema de c a d ( e l c o m a n d o d e ro t a r ycopiar). La lógica es idéntica; sin embargo, b solución c on c a d n o

origina las l imitaciones de precisión e n el dibujo. Independien

temente del método aplicado, los conceptos subyacentes del

aiálisis gráfico de b posición se ilustran mejor y se am plían con

el siguien te problema d e ejemplo.


la figura 6.11 ilustra un mecanismo triturador de rocas. Se usa en u na máquina donde se coloca una roca grande en una

toba vertical y cae had a b cámara de trituradó n. Las rocas del tamaño adecuado, que pasan a través de u n cribador, se

dcscargm por b parte inferior. Las rocas que no pasan por el cribador se reintroduccn en b cámara de trituración.

Determine la velocidad angular del ariete triturador, en b configuración mostrada, conform e b manivela de

ffl mm gira a 120 rpm en sentido horario.

SO LU CIÓ N : 1 . Hab or e el d iagr am a c in em át ic o y ca lcul e los grado s d e lib er ta d

la figura 6.12a muestra el diagrama cinemático dd mecanismo. Observe que el mecanismo es el c ono ddo es

tiborumíenlo de cuatro barras que tiene un solo grado de libertad. Con u n grado de libertad, tal mecanismo

fon don a totalmente con un solo movim iento de entrada. Desde luego, el movimiento es b rotación del eslabón

2 a un a velocidad de 120 rpm.

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An ális is de vdocida d 131

F I G U R A 6 .1 1 Mecanismo de l prob lema d e e jemplo 6 .6 .

©V o » ( tr a z a d a p e r p e n d i c u la r

ala linea SO

x/ V ( - ( t r in a d a p e r p e n d i c u l a r

l j _ / a l a l i n e a CD)

'

Vc - V , » V C>B

«

FIGURA 6.12 Diag rama s del pro blem a de ejem plo 6.6.

2. Seleccione la ecuación adecuad a de \r locid ad relati va

H objetivo del análisis consiste en determinar la velocidad angular del eslabón 4. El eslabón 2 genera el

movim iento de entrada (velocidad). El pu nto Bse encuentra sobre los eslabones 2 y 3. El pun to Cae encuentra

sobre los eslabones 3 y 4. Com o los puntos fí yC . lesiden en el eslabón 3, se utflba el m étodo de la velocidad rela

tiva para relacionar la velocidad de entrad a (eslabón 2) con la velocidad que se desea conocer (eslabón 4).

la ecuación d e velocidad relativa para este análisis es

Vc - V B + > V üfl

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132 CAPITU LO SEIS

3 . D e t e r m in e l a v e lo c id a d d e l p u n t o d e e n t r a d a

la velocidad del pun to B se calcula como

o»} (rad /s) ■ ~ (120 rpm) - 1236 rad/s , en sent ido horar io

V a = cu¡ rAB = ( l 2 3 6 r a d /s ) (60 m m ) = 7 54 m m /s —

4 . D e t e r m in e l a s d ir e c c io n e s d e la s v e lo c id a d e s d e s e a d a s

Como el eslabón 4 está fijo a la bancada en R eí es bbón 4 está restringido a girar alrededor de D. Po r consiguiente, b ve loc ida d del pun to C debe ser perpendicular a b Hnea CD.

Asimismo, com o se estableció anteriorm ente, los pun tos B y C se encuentran en el eslabón 3, de m anera que

b ve loc ida d re la tiv a de C con respecto a B debe perman ecer perpendicular a la line a BC

5 . D ib u j e e l p o lí g o n o d e v e lo c id a d

Bi b ecuación de velocidad relativa, tan solo se desconocen las magnitudes de Vc y de Vq ^. Esto es idéntico a los

prob lemas de l a se cc ión 3.1 8. El po lígo no ve ctor ia l qu e s e ut ili za pa ra re so lver e st e pr ob lem a se il ustr a e n la

figura 6.12b. Las magnitudes se determinan al examinar b intersección de las lincas correspondientes a V c y

Vq » El polígono vectorial comp leto se flustra en la figura 6.12c.

6 . M id a las \e lo cida de s des de el pol íg on o d e ve loc ida d

Las velocidades se miden co n l a escala correspondiente en el diagram a d e velocidad p ara obtener:

V c = 7 84 0 m m / s 7 J ) \

V c * - 101.1 m m / s 7 2 . 7 * \

7 . C a l c u l e l a s v e l o c i d a d e s a n g u l a r e s

ft>r último, se desean c ono cer las velocidades angulares del eslabó n 4. Las velocidades angu lares de lo s eslabones

3 y 4 se determinan co n la ecuación (6.6):

yc (789.4 mm /s)a»4 = — = — = 4 3 6 r a d / s , e n se nt id o h orar io

>a> (180 mm )

*'ob 101.1 m m /sa*. - ----- = — = 02 5 rad/s , en sent ido horario

' kc (400 mm )

6 .6 .2 P u n t o s e n g e n e r a l s o b r e u n e s la b ó n

f l o t a n t e

La determinació n de la velocidad de p unto s en general sobre un

eslabón flotante requiere un análisis algo más co mplicado. Un es

labón flotante es simplem ente un eslabón que n o está restringido

a mo vim iento de rotación o a traslación rectilínea pura. I-a difi

cultad estriba en que n o se conocen la magnitud n i la dirección

de la ve loc idad desco noc ida Esto es m uy d i fe rente d d anál is is

pre se nta do e n e l pro ble m a d e e je m plo 6.6.Para de te rminar la ve loc idad de u n punto cua lesquie ra so

b re u n es labó n flotan te , p r im e ro se debe d e te rm in ar la v d o d -

dad d e dos p un tos adicionales sob re el eslabón, los cuales po r lo

g e n e ra l so n u n io n e s d e p e rn o r e s tr i n g id o s a m o v im ie n to d etraslación o d e rotación, com o se vio en la sección 6.6.1. Las ve

locidades de estos pun tos especiales se obtiene n co n facilidad

con un análisis parecido al del problem a de ejemplo 6.6.

La figura 6.13a m uestra un eslabón d on de las velocidades

de los puntos A y B ya están de te rminadas. Para obtener b ve

locidad del pu nto C , se debe util izar el siguiente procedimiento:

I. Escribir las do s ecuaciones:

V c = V A + > V<]A

V c = V „ + > V o s

G i m o lo s p u n to s A . B y C e stán sob re e l m ismo esbbón,

las direcciones d e V 0 a y V o b son perpe ndicula res a las li

neas CA y CB, respectivamente.

2. Se igualan en tre si las ecuaciones individuales de vdo cidad

relativa. En este caso, se obtiene:

V c = y a + > V q a = V fl + > V 0 f l

3. Nuevamente, las vd od da des relativas se despejan usandolas técnicas descritas e n b sección 3.18, lo cual implica b

const rucc ión d e un pol ígono vec tor ia l , como e l q ue se in

dica en la figura 6.13b.

4 . Las mag nitudes de la vd ocid ad relativa se miden en el po lí gono v ec to rial .

5 . Cono ciendo las velocidades relativas, la velo dda d d d

p u n to de i nt erés , el p u n to Q se de te rmina usando una de

las ecuad ones individuales descrita en d paso 1, que se

ca lcub co n faci lidad a par t i r d d pol ígono vector ia l or ig i na l, com o en b f igura 6.13c .

De nueva cuenta , los pol ígonos vec torb les se const ruyen

con la m isma lógica, ya sea con técnicas de dibu jo m anuales o el

Cad . La lógica detrás del análisis se i lus tra en el siguiente pro

b lem a d e eje m pl o:

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«

F I G U R A6.13 Velocidad de un p un ió de interés.


la figura 6.14 ilustra un mecanismo que extiende bobinas de cable desde un camión repartidor. Es operado por un

dlindro hidráulico en A . En este instan te,el cilindróse retrae a una velocidad de 5 m m/s. Determine b velocidad de

b u n ió n s up er ior, el punto F.

SO LU CIÓ N : 1 . D ib uj e e l di ag ra m a cin em ático y cal cu le lo s grad os de libe rtad

la figura 6.15a muestra el diagrama cinemático del m ecanismo. Para entender cabalmente este m ecanismo, se

calcu b la movilidad.

n = 6 jr = (5 pernos + 2 correderas) = 7 j , = 0

M - 3 (n - I ) - 2jp - * - 3 (6 - I ) - 2(7) - 0 - 1

F I G U R A 6 . 1 4 Mecanismo del problema d e ejemplo 6.7.

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134 CAPITULO SEIS

FIGURA6.13 Diagram as del pro blem a de ejem plo 6.7.

Con u n grado d e libertad, este mecanismo funciona completamente con un solo movim iento de entrada. Desde

luego, tal movim iento es la retracción hacia arriba del cilindro hidráulico a u na velocidad de 5 mm/s.

Seleccione el mé todo para obte ner la leloc idad deseada

H eslabón 5 transpo rta tantoe l pu nto C(veIocidad conocida) com o el pun to E( velocidad desconocida). Sin em

bargo. el es b bó n 5 es u n esbb ón flot an te , ya q ue n o es tá re st ring ido a u n m ov im ie nto puro de ro tación o de

traslación. Por lo tanto, antes de determ inar la velocidad del punt o £, se debe obtener otra veloddad sobre es

b b ó n 5. E l p u n to D es un pun to conveniente porque se encuentra sobre el esbb ón 5 y o tro eslabón que está

restringido a m ovimiento de rotación (esbbó n 2).

D ete rm in e l a v eloc idad de l pun to con ve ni en te V „ c

Atesto que el eslabón 2 está fijo a b bancada en B, d punto D está restringido a girar alreded or de B. Po r lo

tinto, b veloddad del punto Ddeb e ser perpendicular a b línea BD.

Asimismo, los pu ntos D y C icsidcn en d mism o esbbó n, es dedr, d eslabón 5. Entonces b veloddad rela

tiva de D con respecto a C de be ser perpendicular a la linca DC . A partir de los dos cnu nd ado s anteriores, se

conocen ahora las direcciones de ambas velocidades V „ y \ DJO

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EJ poligono vectorial que se utiliza pa ra resolver este problema se m uestra en l a figura 6.15b. Las m agn i

tudes se determinan al examinar la intersección de las líneas respectivas de V0 y VD(t. Las magnitudes de las ve

locidades se miden co n la escala correspon diente, para o btener las siguientes ecuaciones:

Vjwc “ 3.5

V u = 3 5 m m / S y/4 5 ’

D et erm in e la vd o c id a d del punto to bre el es la bó n flo ta n te (eslab ón 5)

Ahora que se conocen cabalmente las velocidades de dos p unto s sobre el eslabón 5. es posible determin ar la velocidad del pu nto E Usando dos formas de la ecuación de velocidad ielativa.se relaciona la velocidad de los pun-

t os C D y E

Vf - V c + > VD C - V D t > VBD

Se conocen las velocidades de C y D, asi com o la dirección de las velocidades relativas. En la figura 6.15c se

lus tra el polígono sectorial.

lil a vez que se determinan las m agnitudes de las velocidades relativas, es posible elaborar el p olígo na En

h figura 6.15d se m uestra el polígono completo. l a velocidad de E se incluye en el polígono de ac uerd o con la

ecuación vectorial de arriba. Si se mid en los vectores del polígon o com ple ta

VBD - Z 65 m m / s ^ l 6 J “

VBC - 5 .95 m m /s^ 33.0*

Vf = 5 29 m m / s / 1 9 . 4 °

6 .6 .3 P u n t o s c o i n c id c n t c s s o b r e e s la b o n e s

d i f e r e n t e s

H cálcu lo de velocidades de eslabones m óviles que están u nido s a

través de una un ión d e corredera, implica el uso de puntos co in

cidentes que se encuentran en los dos cuerpo s. I\>r lo general se

conoce la dirección d d mov imiento de deslizamiento. Entonces,

se conoce b dirección de la velocidad relativa de los pu ntos coin-

dden tes. Se t ra ta de información suf ic iente para de te rminar el

movimiento d e lo s eslabones impulsados. El concepto se ilustra

mejor con un problema de ejemplo.


la figura 6.16 presenta un mecanismo que inclina b plataforma de un camión de volteo. Determine la veloddad requerida del cilindro hidráuEco para inclinar la plataforma dd camió n a un a velocidad de 5 rad/min.

figura 6.16 Mecanismo del camión de volteo del prob lem a de ejemp lo 6.8.

SO LU CIÓ N : 1 . D ib uj e e l diap- am a cine m ático e i denti fi que lo s grad os d e libert ad

Desde un pu nto de vista d nc m áti ca tal mecanism o es una inversión del conocido mecanismo de manivela-

corredera. La manivela-corredera tiene un grado d e libertad qu e. en este ca sa es la extensió n y la contr acció n del

dlindro hidráulico. La figura 6.17a muestra el diagrama cinemático del mecanismo.

El eslabón 1 representa U bancada, el eslabón 4 es el cilindra el eslabón 3 es b varilla/pistón y el eslabón 2

es b plataforma del camión. Observe que b unión de p erno que u ne los eslabones 2 y 3 está identificada com o el

punto B.Sin emba rg o, co m o lo s esbb on es 2, 3 y 4 se en cu en tran e n e l pu n to & estos pun to s coinc id en tes se id en tifican como Bj, B, y B,.

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136 CAPITULO SEIS

c)

FIGURA 6.17 Diag ram as del pr ob lem a de ejem plo 6.8.

H ija el méto do par a o b te n erla ve locida d d o ra d a

0 problema es determinar la velocidad del cilindro hidráulico, el cual h ará que el eslabón 2 gire a un a velocidad

de 5 rad /min en sentido antihorario. En términos del modelo cinemático, se debe determin ar la velocidad de B¡ en relación co n B«.

Las velocidades de los pu ntos coincidentes se relacionan m ediante la ecu ación (6.9):

vb > - V * + >

En esta ecuación, la ma gnitu d de V w se calcula con la velocidad de g iro del eslabón 2. Además, com o los es bbo nes es tán re st rin gido s al m ov im iento puro de r ot ac ió n, b s di re cc io ne s d e \ B¡ y Vg, son perpendiculares a

los eslabones 2 y 4 . respectivamente.

Por último, como B¡ y B , están unid os a través de la unió n de corredera, y se conoce la dirección de la

corredera, la velocidad relativa. V b2/ b+ debe ser a lo largo de la dirección de deslizamiento. Por consiguiente, se

tiene la inform ación suficiente para construir el p olígono de velocidad.

Dete rm in e l a v eloc idad de l p u n to d e en tr ada Ip un to

La velocidad de B¡ se calcula de la m aner a siguiente:

va = <o1r ÁB¡ = (5 rad/min) (7 f t ) = 35 f t /min

La dilecció n de la velocidad del punto B¡ es perpendicular al eslabón 2, que e s hacia arriha a la izquierda.

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4 . D ete rm in e la xe lo ci da d del pu n to so br e el seg uido r (p u n to B4)

El pollpm o vectorial que sirve para resolver tal problema se muestra en la figura 6.17b. U s magn itudes se deter

minan exam inando la intersección de las lineas correspondientes de vw y »&>*«.

5. M id a la s xrlo tida des desea da s en el po líg on o

la s mag nitudes de las velocidades se pueden medir con la escala adecuada, en el diseño de c a í» de la figura 6.17c, pa ra ob te n er

V ^ a , = 3 3.1 f t/m in

V « - 11.4 f t /min A i *

to r lo tanto, en este instante d cilindro se debe extender a una velocidad de 33 ft/min para mantene r inclinada la

pl ata fo rm a a un a v elo cid ad d e 5 r ad /m in .

6.7 IMAGEN DE VELO CIDAD

Una propiedad valiosa en el análisis de velocidad es qu e cada es

labón en un m ecanismo t iene un a imagen en e l pol ígono de ve

locidad. Para ilustrarlo, en la figura 6.18a se presenta un meca

nismo asociado con s u diagram a de velocidad.

Revise e l t r iángulo d ibujad o u sando b s te rm ina les de los

tres vectores de velocidad ab soluta. Este triángulo se form ó con

dimensiones propo rcionales del eslabón flotante m ism o girado

90*. La form a en el polígono de velocidad se co noce com o ima- g tn de ve locida d del eslabón. La im agen de velocidad del eslabón

5 del pro blem a de ejemplo 6.7 se ilustra en la figura 6 .15d.

Si in ida lme nte se conoce este concepto de imagen de ve

locidad, el proceso de solución se reduce de m anera significa

t iva . Una ve? que se de te rmina b ve locidad de dos pu ntos sobre

d eslabón, b ve loc idad de cua lquie r o t ro punto que se encuen

tre sob re el eslabón se determ ina con beilidad. Los dos pun tos

se util izan como b ase de b image n de velocidad. La form a del

eslabón se dibuja a escab y se construye sobre el po lipjn o d e ve- b e id a d . Se d eb e t en e r cu id ad o, s in em bar go , d e n o in v e r ti r b

forma del eslabón entre el diagram a cinemático y el polígono de

velocidad.

FIGURA 6.18 Imag en de v elocid ad.

6.8 ESTU DIO ANALITICO DE VELOCIDAD:MÉT OD O DE LA VEL OCID AD RF.I.ATIVA

El estudio ana l í t ico de ve loc idad involucra exac tamente b

misma lóg ica emp leada en el análisis gráfica Los polígonos vectoriales se crean de acuerdo co n b s ecuaciones de velocidad re-

kitiva apropiadas . Cu and o se util izan b s técnicas analít icas, b

e x a c ti tu d d d p o l íg o n o n o t ie n e m a y o r im p o r t a n c b ; n o o b s

tante , una esc ab , inc lusive burd a , permite entender las so luciones. Las ecuaciones vectoriales se resuelven emple and o bs

técnicas analít icas estudiadas en d capitulo 3.

En los siguientes problem as de ejem plo se presentan s oluciones analíticas.


la figura 6.19 ilustra un a bom ba de pozo rudimentaria que es común en áreas poco desarrolladas. Pira maximizar el

•u jo de agua, el pistón deberla moverse hacia arriba a u na velocidad de 50 mm /s. En la posición que se m uestra, de-

►rmine b velocidad ang ular qu e debe aplicarse en el man go para lograr la velocidad deseada del pistón.

SO LU CIÓ N : I . Ela bor e e l dia gr am a cin em át ic o e id enti fi que los gra do s d e lib er ta d

La figura 6.20a m uestra el diagrama cinemático de este mecanism o. Observe que es un a variación del meca-

rism o de manivela-corredera con un grado de libertad. □ esbbó n 2 representa el m an ga de manera que el ob

jet ivo de e st e pro bl em a es de te rm in ar o>¡.

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138 CAPITULO SEIS

F I G U R A 6 . 1 9 Bomba d e p o zo d d p ro b le m a d e e je m plo 6 .9 .

f i g u r a 6 .» Diagramas de l problema d e e jemplo 6 .9 .

2 . A n a li c e la g e o m e tr ía d e l m e c a n is m o

la figura 6.20b aísla la geometría de lo s eslabones principales del m ecanismo. Observe que se util izó esta

fpometria para form ar dos triángulos rectángulos. Al enfocarse en el trüng ulo su perior ABF /emp lear las fon

done s trigonométricas, se determina li longitud de los lados BF y AF.

BF = (250 m m ) c o s 1 5 ° = 311.-18 mm

A F = ( 250 mm ) sen 15* = 64.70 mm

la longi tud de BE se calcula de la m anera siguiente:

B E - B F EF ■ 241.48 mm 200 mm - 41.48 mm

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Al enfocarse en el triángulo inferior, el ángulo interio r en Cse calcula como:

L BCE ■ se n-1 -7 .9 5 *

3. Construya r l po lígo no d e te lo (¡dad

Para obtener la velocidad angular del eslabón 2, se tiene que determinar la velocidad lineal del pu nto B, d cual se

encuentra en el eslabón 2. El eslabón 3 es de interós especial, porque contiene tanto el p un to C (velocidad co no

cida) como el punto B (velocidad desco nocida).

Cóm o el eslabón 2 está sujeto a la bancada en A, el pun to B está restringido a gira r alreded or de A. Por lo

tinto, la velocidad del p unto fies perpendicular a la linea AB . Además, como los puntos B y Cse encuentran so

br e el m is m o esl ab ón (e sl ab ón 3) , la ve loc ida d re lat iva de B con respecto a C es perpendicular a la linea BC

A partir de los dos enunciados anteriores, se cono cen las direcciones de las velocidades Va y V&t> La veloci

dad VB es perpendicular a AB, 15* a partir d e la vertical. La velocidad perpendicular a BC, 7.95* a partir

de la horizonta l, o bien , 90a - 7.95* - 82.05* a pa rtir de la vertical. Tales velocidades se relacionan con la

ecuación (6.10):

VB = Vc + > V s c

En esta ecuación, tan solo se desconocen las magnitud es de Vfl y Va,c. El polígono sectoria l que se utiliza

pa ra so lu cio na r e l pr ob lema se ilu str a e n la figu ra 6 .20c . Las m ag ni tude s se pu ed en de te rm in ar s i se ob tien e la

b n g it u d de l os la dos (m ag ni tude s sec to ria les ) de l tri án gu lo .

H áng ulo interio r restante de este triángulo vectorial es

180* - 82.05® - 15* - 82.95°

4 . Calcule la velocidad del pun to B

Se utiliza la ley de los senos p ara determ inar las magnitudes vectoriales:

sen 15* \

sen!

v b =Vcf )= 4 9.90 m m /s 15*| = 4 9.9 m m /s7 ? \\ 3Cn o 2 .v 5 / *1

5 . Det erm in e la ve lo ci da d an gu la r de l eslabón 2

Ahora que se d eterminó la velocidad de B. se ob tiene b velocidad angu lar del eslabón 2. Observe que. en con-

tyucnda con la dirección de V rcI eslabón 2 debe girar en sentido horario:vB 49.9 mm /s

a) , = — = --------------- = OJO rad/s. en sentido horario250 mm

Este resultado se convierte a rpm de la man era siguiente:

ai ( rev /min) = — [«(rad /s)] = — [OJO rad/s) = 1.9 rp n\ en sentido horario


La figura 6J1 muestra la banda transportadora de un c amión repartidor para colocar materbl en u n techo. Se trans po rtan mater ia les pe sad os de la b an da t ra ns po rt ad or a al tech o. La b an da t ra ns po rt ad ora se eleva h a c a s u po sició n,

«tendiendo el brazo de un cilindro hidráulico. En este insume, el cilindro se extiende a una velocidad de 8 fpm

(ft/min). Determ ine la velocidad a la qu e se eleva la banda transportadora.

SO LU CIÓ N : 1 . Dab or e e l diag ra m a ci ne m át ic o e i denti fi q ue los g ra do s d e lib er ta d

l a figura 6J 2 a prese nu el diagrama cinemático del mecanismo. El eslabón 4 representa la banda transpo rta

dora, el eslabón 2 representa el cilindro y el eslabón 3 represen u la varilla/pistón. Com o se usa una u nión de

corredera para conectar dos eslabones giratorios, la definición de los pun tos coincidentes ayudará a b solución

del problema. El pu nto B¡ está sujeto al eslabón 2; mientras el p un to Bt está sujeto, como punto de referencia, al

eslabón 4. El objetivo del problema es determ inar « 4.

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140 CAPITULO SEIS

*5 .

Polígono (fe wlockh d

VM-V M fl+>V0

V *Traíada perpendicular a AB

Pm

Trazada a lo largo de A0 a 47.47* (180° - 132.53*)dr fe hortamal

V „Trazada perpendicular a BC a 20* de la vertical o70* (90* - 20*) a p arti r efe fe hwfe ona l

F I G U R A6_u Diagramas del problema d e ejemplo 6.10.

2 . Ana lic e la g eo m et ría de l m ec an ismola figura 632b aísla fe geometría d e los esfebones principales del m ecanismo. Observe que se utilizó esta

pa ra f ormar do s triá ng ulo s. Al enfoc ars e en el trián gu lo d e ab ajo a fe derecha , ACE, se obtiene lo

A C = V | Á F + c F j

= V ( 1 ñ )1 + (3 ft)2 = 3.16 ft

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Com o el eslabón 4 está inclinado 20® por encim a de la horizontal, d ángu lo total en C es

L B C E - SO° 4- 20* " 110°

kiego entonces, el ángulo en C en el triángulo superior es

L A C B = LBC E - L A C E = 110* - 18.43° = 91.57°

La geometría del triángulo su perio r se determina con la ley de los cosenos

A B - V Á ^ T b^ 2 { A C ) { B C Ü ^ L A C B

- V(3 .16 ft)3 + (6 ft)3 - 2(3.16 ft)(6 fíjeos 9157 ° - 6.86 ft

y la leyd e los senos

Rrulmente, el án gulo incluido total en A es

L B A E = L C A E + L B A C = 7137 “ + 60.96° = 13233°

biabare un polígono de velocidad

Para obtener la velocidad angu lar del eslabón 2, se debe determ inar la velocidadlineal del pun to B¿.el cual se en-

oien tra en el eslabón 2. Se conoce la extensión del cáin dro hidráulico, b cual representa la velocidad del pu nto B

sobre el eslabón 4, en relación con el pun to B sobre el eslabón 2 (V bí / bi )~ S* pueden relacion ar estas velocidades

usando la ecuación (6.10):

V » - + > V „

G im o el eslabón 4 está sujeto a la bancada en C, e l punto B , está restringido a girar alrededor de G Pbr lo

Unto, la velocidad del pu nto B4 es perpendicular a la linea BC.

Asimismo, d eslabón 2 está sujeto a la bancada en A ye l punto B¡ está restringido a gira r alrededor de A. Por

amsiguíente, la velocidad del pun to B¡ es perp endic ular a la linea AB.

A partir de los dos enunciados anteriores, se conocen las direcciones de las velocidades y V ^.B po lígono sectorial que se utiliza para resolver este problem a se muestra en la figura 6.22c. Observe que

los vectores forman u n triángulo rectángulo. la s magn itudes se determinan al obtener la longitud de los lados

(mag nitudes vectoriales) del triángulo rectángulo.

H ángu lo interior inferior de este triángulo vectorial es

180° - 70° - 47.47° = 6233°

Calcule la velocidad del pun ió B

La velocidad de B; se calcula a par tir de h s siguientes relaciones trigonométricas de u n triángulo rectángulo:

v- ' ( d w ) Det erm in e la xe lo ci da d an gu la r de l eslabón 2

Ahora qu e se conoce la velocidad de Bt , se obtiene la velocidad angular del eslabón 4. Observe que po r con

gruencia con la dirección de v ^ e l eslabón 4 debe girar en sentido horario:

Vtu 17.43 ft/min _______ .u»4 = — = -------- = 23 9 rad/min, en sentido horario

rK bft

Este resultado se convierte a rpm de la siguiente manera:

/ 2 3 9 r ad W I r ev \<■>4 = I -------- :-- I I ------- I = 0.46 rev/m in, en sentido horario

\ m in / \ 2n rad /

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142 CAPITULO SEIS

6 .9 S O L U C I O N E S A L G E B R A I C A S P A R A

M E C A N I S M O S C O M U N E S

En d caso de los mecanismos com unes de m anivela -corredera y

de cuatro b arras, se h an desarrollado soluciones algebraicas de

form a cerrad a ¡ref. 12) y se estu dian en las siguientes secciones.

6 .9 .1 M e c a n i sm o d e m a n i v e l a -c o r r e d e r a

En la figura 4.19 se presenta u n m ecanismo general de m aniveb

corredera que está def in ido únicamente po r las d imensiones L¡,

L¡ y L y Con un grad o de libertad, se especifica el m ovimiento de

un so lo eslabón para impulsar los o t ro s eslabones. C on mucha

frecuencia se impulsa b manivela, de m odo q ue, conociendo

o*¡ y b posición de tod os los eslabones, se determinan las veloci

dades d e los o t ros eslabones con las ecuac iones (4 .6) y (4 .7) .

Co m o se vio en el capitulo 4, las ecuaciones de posición son

LI = ¿2COs(fl2) + L¡ c o s (S j )

(4.6)

(4.7)

Las ecuad ones d e velocidad son las siguientes | rcfs. 10,11,12,14]:

( b c o s f l A

v , = s en 0 ] + cüjLj senf l j

(6 . 12 )

(6.13)

6 .9 .2 M e c a n i sm o d e c u a t r o b a r r a s

En la figura 4.23 se ilustra un mecanismo general de cuatro ba

rras , def in ido únicamente por las d imen siones £ | , L* L3 y L«.

Co n u n g ra d o d e l ib e r t a d , se e sp e d f i c a el m o v im ie n to d e u n

» lo eslabón p ara imp ulsar los o t ros eslabones. Co n mucha f re-

c u e n d a se im p u l sa l a m a n iv e b , d e m o d o q u e , c o n o d e n d o 0 2, j, y b posic ión d e todos los e sbbones. s e de te rm inan b s ve-

lo d d a d e s d e l o s o t ro s e sb b o n e s c o n b s e c u a d o n e s (4 .9 ) a(4 .12). Com o se v io en e l capi tu lo 4 , b s ecuadones de po sidón

son b s s iguientes;

B D = - 2 ( I, )( í* ) c d s e 2

( L , )2 + ( I * )’ - ( B D )2y = e os 1

- i03=2tan

0 A=2 tan"1

2 ( L , ) (t 4 )

- L j s c n O , + L4s e n y

I , + L } - L je o s B j - / .« c o s y J L is e n f l2 - ¿ 3s e n y ]

. l 2 e o s 0 ¡ + L 4 - L | - L j c o s y J

(4.9)

(4.10)

(4 .11)

(4.12)

Las ecuaciones d e velocidad son b s siguien tes [reís. 10, 11, 12,14):

o>¡ = -u> ¡

0»4 = ~U>2

L? s c n ( 04 - 02)

L j s e n y

' L f S en ( 03 - 0 2)

¿ 4 s e n y

(6.14)

(6.15)

6 .1 0 C E N T R O D E R O T A C I Ó N

I N S T A N T Á N E O

Al ca lcula r b ve locidad de los pun tos sobre un mecanismo, se

util iza el con cepto de centros instantáneos com o un m étodo al

ternativo al método de v elodd ad relativa. Este enfoque se basa

m e l hecho de qu e cua lquie r eslabón, s in impo rta r b comple j i

dad de su movimiento , parece esta r instantáneamente enrotac ión pu ra con respec to a un p unto d e te rminado. Este punto

p iv o te in s ta n tá n e o se c o n o c e com o a n t ro i n s ta n tá n eo de

rotación de un esb bó n en particular. En la figura 6.23 se mues

t ra com o (13) e l centro instantáneo, en re lac ión con b bancada ,

de un esb bó n f lo tante , es dedr , e l esbbón 3 .

En este ¡mame./ 1el eslabón 3 'parece*

/ ¡ girar alrededor del

FIGURA6.23Centroinstantáneo.Mediante este concepto se analiza cada eslabón com o si es

tuvie ra exper imentando ro tac ión pu ra . El centro instantáneo

p ie d e es ta r de n tr o o fu er a d el cu er po , y su po sición n o es f ija en

d tiem po C onform e el eslabón se mueve, su cen tro instantáneo

también lo hace. Sin em bargo, las velocidades de los diferentes

p u nto s d e u n m ec an is m o tam bi én so n in st an tá ne as . D e m an era

qu e este hecho no represen ta un a restricción seria para el análisis.

Este concepto también se aplica al movimiento relativo, es

dedr , e l movimiento de cua lquie r eslabón, en reb dó n con cual

quier otro eslabón, instantáneam ente parece estar solo girando

a lrededor de un punto d e te rm inada De nu eva e l punto p ivote

imaginar io se conoce o im o centro instantáneo entre los dos es b b o n e s . P o r e je m p lo , s i d o s es la bo nes es tu v ie ra n di se rtad os

rom o 1y 3, el centro instantáneo seria el punto d on de el eslabón

3 instantáneam ente parece g i ra r en re ladón con e l esbbó n 1.

Este centro instantáneo se designa com o (13) y se expresa en pa

l ibras com o “uno t res" , no com o t rece . Observe que e l centro

in s ta n t án e o , m o s t r a d o e n b f i g u ra 6 .23 , fu e d e s ig n a d o c o m o

(13) . Si e l esbb ón 1 fuera la tuneada , com o es b designación

típica, este centro ins tantán eo describiría el mo vimien to abso

lu to de l esbb ón 3 . Cons iderando la inversión c inemát ica, este

p u n to ta m bié n es e l centr o del m ovi m ie nto in st an tá neo del es

b b ó n 1 en re la d ó n co n el e sb b ó n 3. P o r en de, el ce ntr o i n st an tá

neo (13) es lo m ismo que el centro instantáneo (31).Com o en cada esb bó n hay un centro instantáneo con cada

un o de los otro s eslabones, todos los m ecanismos tienen varioscentros instantáneos. El núm ero to ta l de cen tros instantáneos

de un mecanismo de n eslabones es

N ú m e ro to ta l d e cen tr o s in sta n tá n e o s =n ( n - 1)

(6.16)

6 . I I L O C A L I Z A C I Ó N D E C E N T R O S

I N S T A N T Á N E O S

En un análisis t ípico, es raro que se utilicen todos los centros ins

tantáneos. No ob stante , se debería cono cer el proceso d e loca-

izadó n de cada centro porque se podría u t il iza r cualquie r centra

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6 .1 1.1 C e n t r o s p r i n c i p a l e s

Algunos centros instantáneo s se localizan simplem ente exami

nando e l mecanismo. Dichos centros se conocen como centros

princ ipa les . Para u bicarlo s se deb en seguir las reglas siguientes:

1. Cuando do s eslabones están conec tados po r un a un ión de

p e rn o , el cen tr o i nsta ntá ne o q u e u n e los dos e sl ab ones es

este pu nto pivote. La prim era regla se i lustra en la figura

6.24a.

2 . El centro instantáneo de dos eslabones en contac to de ro

dam iento s in deslizamiento se ubica en e l pun to de co nta ct a La segund a regla se ilustra en la figura 6.24b.

3. El cen tro instantáneo de dos eslabones en contacto de

deslizamiento en linea recta está en el infinito, en direc

ción p erpendicu lar a la dirección de d eslizamiento. La ve

loc idad de todos los punto s de un eslabón, restr ingido a

(23)

movim iento de deslizamiento lineal en relación con otro

eslabón, es idéntica para tod os los puntos , en dirección del

desl izamienta P or lo tan ta es posib le imaginar qu e este

movimiento rec to es de ro tac ión a l rededor de un punto

que se encuentra a una gran d is tanc ia , ya que u na l ínea

rec ta puede m odela rse como la par te de un c i rculo con un

radio de tam año inf in i ta C om o la ve loc idad siempre es pe rp en dic ula r a la li n ea tr azada ha ci a e l p iv ote , es te c en tr o

instantáneo debe ser perpend icular a la dirección de

deslizamiento. Hay qu e considerar qu e este centro se en

cuentra sob re cua lquie r l inea perpendicula r a la d irección

del desplazarmenta porq ue las l ineas se jun tan e n el in

finita La tercera regla se ilustra en la figura 6.24c.

B centro instantáneo de dos eslabones con un co ntac to de

deslizamiento completo se encu entra en algún lado de la

Unca no rm al a la dirección d el deslizamiento. La cuartaregla se ilustran en la figura 6.24d.

Pi lmera regla

*»)

/ / . " 1 3 a l i nf in it o

( 1 3 » )

23 a lo l argo de es ta normal común

(23)

HG URA 6J 4 Localización de los centros principales.

PRO BIf .M A DF. EJEMPLO 6.11

la figura 6 2 5 ilustra el mecanismo de u n com presor de aire, localice todos los centros instantáneos principales de

este mecanismo.

SO LU CIÓ N : I . Ela bor e e l dia gr am a c in em át ico

En la figura 6.26 se presenta el diagrama cinemático del com presor de aire.

Entrada

F I G U R A 6.25 Com presor de a i r e del problema de ejemplo 6.11.

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144 CAPITULO SEIS

0

FIGURA 6.26 Diagram a cinemá tico del pro blem a de ejem plo 6.11.

Apl iq ue la p ri m era regla pa ra lo ca liz ar los c en tros pr in cipa les

Se nu m eran los cuatro eslabones del diagrama cinemático. Las unio nes d e pern o se identifican con letras. La

pr im era u n ió n de p er no . A,con ec ta e l es labó n 1 y el es labó n 2 . Co ns id er an do la pr im er a reg la d e lo s cen tros in s

tantáneos principales, esta unión es la ubicación del centro instantáneo (12). Asimismo, la unión de p erno B es

d centro instantáneo (23) y la unión d e perno Ces el centro instantáneo (34).

&i el diagrama cinemático de la figura 6 26 resulta evidente que no hay contacto de rodam iento en ningún

eslabón. Por lo tanto, la segunda regla n o se aplica en este m ecanismo.

A pl iq ue l a t er ce ra re gla para loca liz ar cent ro s pr incip ales

Como hay una unión de deslizamiento lineal entre los eslabones 4 y I, este centro instantáneo se visualiza en elhfinito, en dirección perpendicular a la dirección del deslizamiento. La figura 62 7 muestra b notación q ue se

utiliza para identificarlo, junto con b identificación de los demás centros instantáneos principales. Recuerde queeste centro instantáneo p odría estar sobre una linea paralela a la linea (14«“), ya qu e se podría considerar que las

Ine as paralelas se intersecan en e l infinito.

FIGURA6.27 Ce ntros instantáne os principales del p rob lem a de ejemplo 6.1 1.

En d diagrama cinemático de la figura 62 6 se p erab e claramente que no hay un iones de deslizamiento general. Porlo tanto, n o se aplica la cuarta regla a este mecanismo.

6 .1 1 .2 T e o r e m a d e K e n n e d y

Los centros instantáneos que no se pueden ubicar a pa r t i r de las

cuatro reglas de centros principales, se localizan aplicando el

teorema de Kennedy, qu e establece lo siguiente:

Los tres centr os i ns ta ntán eo s correspondie nte s a tres cuerpos

cualesquiera permanecen sobre la m istna recta.

Por ejemplo, imagine tres esbb ones cualesquiera (esbbone s 3 ,4 y

5). El teorema d e Kennedy establece qu e las centros instantáneos

(34), (45) y (35) perm anecen sobre una linea recta. Con la apli

cación d e este teorema, después de localizar los centros instantáneos principales, se pueden determ inar los demás centros instan

táneos. La ubicación precisa d e los cen tros instantáne os se realiza

usando mé todos gráficos o analít icos. Desde luego, los m étodos

gráficcs incluyen tan to técnicas manuales de dib ujo como el c a d .

6 .1 1 .3 D i a g r a m a d e c e n t r o s i n s ta n t á n e o s

Lh diagrama de centros instantáneos es u na técnica gráfica que se

utiliza para u bicar ta nto los centros instantáneos, que ya se hayan

localizado, com o aquellos que aún necesitan definirse. Asimismo,señala las combinaciónes de cen tras instantáneos que es pasible

util izar en b aplicación del teorem a de Kennedy. Es rar o que se

wcesite localizar todos los centros instantáneos para ejecutar un

atáHsis de velocidad. Se deben estudiar el m ecanism o y el (los) es

b b ó n (e s) im pul so r! es ), as i co m o la sa lid a re quer id a p a ra d et er

m inar los centros ins tantáneos específicos que se requ ieren, de

ma nera qu e el diagrama de centro s instantáneos se util iza para

calcular los centros instantáneos específicos.

H d iagrama de centros instantáneos es un círculo dividido

en segmentos: uno por cada esbbón dd mecanismo que se analiza. Los separadores de segmentos se identifican con los nú

m eros correspondientes a los esbbones. En b f igura 6 .28ase muest ra un d iagrama de centros instantáneos para un meca

nismo d e cua t ro barras.Q ia lq u ie r l in e a q u e u n e d o s p u n to s d d d i a g ram a re p re

senta un c entro instantáneo, que v incu b los dos esbbo nes iden

tificados por los pun tos de los extremos. Po r ejemplo, la l ínea

que une e l punto 1y d pun to 4 . representa e l centro instantáneo

(14). Para b s c entros instantáneos ya localizados, la l ínea corres

p o n d ie n te del d ia g ram a se m ar ca c on u n a li nea c o n ti n u a . La

figura 628 b indica qu e ya se localizaron las centros instantáneos

(12), (23). (34) y (14). Entonces, los centros instantán eos que

necesi tan identi f ica rse pued en representa rse con l ineas pu nteadas. La figura 628c m uestra que los centros instantáneos (13)

y (24) aún no se han en contrado. Todos los centros instantáneos

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fi g u ra &2S Diagram a de centros instantáneos.

se loca l izan cuando cada pun to se conec ta con cada un o de los

dem ás puntos.

Observe que las l ineas en e l d iagram a forman t r iángulos,

cada un o de los cuales representa tres centros instantáneos, que

relacionan lo s tres eslabones en los vértices. De acuerdo con el

teorema de Kennedy, los tres centros instantáneos representa

d o s p o r l o s la d o s d e u n t r i á n g u lo d e b e n p e rm a n e c e r e n u n a

linea recta. Por ejemplo, examine la ñgura 6.28c, luego aísle el

triángulo forma do p or las lineas (12), (23) y (13). El teorema de

Kennedy establece que estos tres centros instantáneos deben ser

colin cales.

Si dos lados de l t r iángu lo están d ibujado s con un a l inea

cont inua , se t raza una l inea sobre e l d iagram a de l m ecanismo

pa ra u n ir los d o s ce ntr os in sta n tá n e o s co no ci d os. Est a li nea

cont iene e l te rcer centro instantáneo. Si se puede d ibuja r una se

gun da línea, la intersección de las dos lineas ubicará el tercer cen

tro. Para resumir, con el prop ósito de localizar un cen tro instantá

neo, se deben cons truir dos triángulos en el diagrama co n dos

lados conocidos y, com o lado desco nocido, el cen tro instantáneo

que se busca .

Los s iguientes problemas de e jem plo i lust ran e l proce

dimiento para ob tener todos los centros instantáneos.

PRO BLEMA D E EJEMPLO 6 .1 2La figura 6.29 muestra un a braza con autobloqueo en un a plataforma que se utiliza en muelles de embarque. Localice

todos los centros instantáneos del mecanismo.

S O L U C I Ó N : I .

FIGURA 6J 9 Braza de autobloqueo del problema de ejemp lo 6.12.

IX bu je e l dia gr am a cin em át ic o

H diagrama cinemático de la p lataforma de carga se m uestra en la figura 6.30a. En el diagrama cinemático se n u

meran los cuatro eslabones. Las unio nes de perno se identifican con letras. Se calcula el n úm ero total de centros

, con n = 4 esbbones, de b siguiente manera:

n ( n - I ) 4 ( 4 - 1) N úm er o total d e ce ntr os ins ta nt án eo s ■ - 6

2 2

Oabore un diagrama de centros instantáneos

B i la figura 630b se presenta el diagrama de centros instantáneos. Es posible utilizar b tabla 6.1 para listar sistemáticamente todos los centros instantáneos del mecanismo.

localice los centros instantáneo s principales

l a primera un ión de perno. A,conecta los eslabones 1y 2. Si se aplica la prim era regla de los centros instantáneos

irincipales, esta unión es h ubicación del cen tro instantáneo (12). De m anera simib r, las uniones de p erno B, C

y D son los centros instantáneos (23), (34) y (14), respectivamente. En b figura 630 c se vuelve a dibujar el dia-

p a m a d e ce nt ro s in stan tá ne os pa ra r efleja r la l oca liza ció n de l os centros instantáneos principales ( 12), (23 ), (34)

y (14). Los centros instantáneos ( 13) y (24) están sin determinar.

It il ic e el te or em a de K enn ed y pa ra lo ca liza r e l cen tr o inst antá ne o (13)

H diagrama de centros instantáneos que se empleó para obtener (13) se muestra en b figura 630 d. Ahora hayqj e enfocarse en el triángu lo de abajo fo rmad o p or (13), (14) y (34). Si se apbca el teorem a de Kennedy. (13)

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a) d) e>

FIGURA6.30 Diagram a cinemático y centro s instantáneos del pro blem a de ejemplo 6.12.

p lA B L A 6.1 C e n tr o s in s ta n tá n e o s p o s ib le s 1

d e u n m e c a n is m o ( n = 4 ) ¡

r i

12 23 34

13 24

14

debe permanecer sobre la recta formada por (14) y (34), los cuales ya se localizaron, como lo ind kan bs lineas

continuas de la figura 6JOd.

Observe también el triángulo superior formado p or (13). (12) y (23). De la m am a m anera, (13) debe per

manecer también sobre una linca recta formada por (12) y (23), que fu eron previamente localizados.

Por lo tanto, la intersección de estas lineas, (14)-(34) y (12)-(23), determinará la ubicación de (13).

Recuerde que en este instante el eslabón 3 parece girar alrededor del pun to (13).

5 . I ti li c e el teor em a de Ken ned y pa ra lo ca liza r (24 )

B» b figura 6J0 es e muestra el diagrama de centros instantáneos que se usó para obtener (24). En un proceso idéntico, el teorema de Kennedy establea? que elcen tro instantán eo (24) debe permanecer sobre b mism a linea que (14)

y (12), los cuales ya fueron localizados. Asimismo, (24) debe perm anecer también sobre b mism a linea de (2 3) y

(34), tamb ién localizados. Entonces si se traza un a linea recta a través de (14 ) y (12), asi com o otra linca re cta a

través de (23) y (34), b intersección de tales lincas determinará b ubicación de (24). En este instante, el csbb ón 2

jur cce gir ar, e n re beión co n e l csb bón 4, a lre dedo r de l punto (24 ).

La figura 6J 1presenta el m ecanismo con todos los centros instantáneos localizados.

FIGURA 6.31 Cen tros in stantán eos del prob lem a de ejem plo 6.12.

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Id figura 6.32 mu estra un triturador de rocas. Localice todos los centros instantáneos de este mecanismo.

SO LU CIÓ N : 1 . H a b ó n e l dia gr am a c in em át ico

B i la figura 6.33a se ilustra el diagrama cinemático del triturado r de rocas. Se numeran los seis eslabones del dia

grama cinemático, las uniones de perno se identifican con letras. Se calcub el nú me ro total de centros instantá

neos. con n = 6 eslabones, como sigue:

N úm er o total d e ce ntr o s in sta ntá nen ( n - 1) 6 ( 6 - 1)

15

H a b ó n u n diag ra ma d e ce nt ro s in stan tá ne os

&i ki figura 6J 3 b se m uestra el diagrama de centros instantáneos, la tabla 6 2 Esta sistemáticam ente todos los

centros instantáneos posibles del mecanismo.

localice los centros instantáneos principales

la pr imera unión de perno A «onecía los eslabones 1 y 2. Aplicando la p rim era regla de los centros instan táneos

pr inc ipa les , es ta u nió n e s la u bica ción de l cen tr o i ns tant án eo (1 2) . Asim ism o, l as u ni one s d e pe rn o e ntr e B y F

tincan los centros instantáneos (23), (34), (14). (45) y (5 6). respectivamente.Com o hay u na unió n d e corredera Enea! entre los eslabones 6 y 1. el centro imtantán eo (16) se localiza en el

hfin ito, sobre un a linea perpendicular a la dirección del deslizamiento. Recuerde que este centro instantáneo po

dría estar sobre u na E nea paralela a esta Enea porqu e las Eneas paralelas se unen e n el infinito. En la figura 63 3 c sedibuja de nue vo el diagrama de centros instantán eos pa ra localizar (12). (23). (34), (45), (56), (14) y (16).

L ie e l teo re ma d e Ke nn ed y pa ra lo ca li za rl os o tro s cen tros in stan tá ne os

la s com binaciones fallantes que se necesita determinar son los centros instantáneos (13), (24), (35), (46), (25),

(36). (15) y (26).

En la figura 63 3d se presenta el diagrama de centros instantáneos que se utilizó para ob tener (13). Ahora

luy q ue enfocarse en el triángulo form ado por (12). (23) y (13). Si se aplica el teorem a de Kennedy, (13) debe

pe rm an ec er so br e b li nea recta fo rm ad a p o r (12 ) y (2 3) . los cu ales y a h an s id o loca lizados , co m o in dica n las

Incas continuas de b figura 633d.

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148 CAPITULO SEIS

A) I) J)FIGURA 6J 3 Diagram a cinemático del problem a de ejem plo 6.13.

T AB LA 6 . 2 C e ñ i r o s i n s t a n t á n e o s p o s ib l es

d e u n m e c a n is m o ( n = 6)

1 2 3 4 5 6

12 23 34 45 56

13 24 35 46

14 25 36

15 26

16

Observe también el triángulo formado por (13), (34) y (14 ). De m anera similar, (13) debe permanecer tam

bié n so br e la rec ta fo rm ad a p or (1 3) y ( 34), lo s cual es ya f ue ro n loca liz ad os an te rior m en te . Enton ces, la in te rsec

ción de estas líneas, (12)-<23) y (13)-(34), determinarán la ubicación de (1 3).

La tabla 6 J se form uló jur a localizar todos los centros instantáneos follantes. Observe que d orden con q ue se

A tien en los centros instantáneos depende considerablemente de cuáles son los centros instantáneos qu e ya se hayan

be al izad o. E st o se vu elve u n pr oc eso bas tant e ite rat ivo , pe ro e l d iagr am a de ce nt ro s ins ta nt án eo s es rab os o e n l a ap li

cación de este método , la figura 6 J 4 ilustra el mecanismo con todos los centros instantáneos localizados.

T A BL A 6 . 3 U b i c a ci o n es d e l o s c e n t r o s i n s t a n t á n e o s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 6. 13

Para localizard centro instantáneo UtiBcr la* hncas que se intersecan Diagrama de an tro instantáneo

13 (l2M 23)y(l4)-(34) Figura 6J3d

24 (12HM)y(23)-(34) Figura 6.3Je

15 (16M56ty(l4M45) Figura 6J3Í

46 (I4M 16) y (451-156) Figura 6.3Jg

36 (13M16)y(34)-(46) Figura 6J3 h

26 (12).(l6)y(23M36) Figura 6J3i

35 (56M36) y (34)-(45) Figura 6J3j

25 04)-(45)y(23)-(35) Figura 6J3k

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6.12 ANÁLISIS GRÁ FICO DE VELOCIDAD:MÉTODO DEL CENTRO

INSTANTÁNEOEl método del centro instantáneo se basa en los siguientes tres

pr in cipios :

L La ve locidad en un cuerpo qu e g i ra es propo rc iona l a la

distancia desde el pu nt o pivote.

I I . El centro instantáneo comú n a dos eslabones se puede

considerar sujeto a cualquiera de ellos.

III. 1.a velocidad absoluta del pun to, que sirve com o centro

instantáneo com ún, es la m isma, s in im porta r cuál

eslabón se considere sujeto a ese pun to.

Utilizando estos principio s, la velocidad absoluta de cual

quie r punto sobre un mecanismo se obt iene fác i lmente con unméto do general, el cual se describe en los siguientes seis pasos:

1. Aislar el eslabón de velocidad conocida (eslabón A),

e l eslabón que con t iene e l pun to cuya ve loddad

se desea conocer (eslabón B) y el es labón fijo(eslabón C).

2 . Ubicar el centro instantáneo común a l eslabón de

velocidad con od da y el eslabón fijo (cen tro instantáneo

A Q .

3. Localizar el centro instan táneo com ún al eslabón de

ve loc idad con od da y e l eslabón que cont iene el

p u n to cu y a ve lo d d ad se de se a c o no cer ( ce n tr o in st an tá

ne o AB).

4 . Determine la veloddad del cen tro instantáneo (AB), si se

sabe que la ve loddad de un p unto sob re un eslabón es pro porc io nal a l a d is ta nc ia a p ar ti r d e l p iv ot e. E l ce n tr o i n sta n

táneo ( AC) sirve com o pivote. L a velocidad cono cida del

eslabón A se mide c on la p roporción y la escala adecuadas

p ar a d e te rm in a rl a v el odd ad del cen tr o in st an tá neo (AB ).

5 . Localizar el centro instantáneo com ún al eslabón con el

p u n to cu y a ve lo d d ad se de sea co no cer y e l esla bón f ijo

(cen tro instantáneo BC).

6 . Dete rminar la ve loc idad deseada , si se sabe que la ve lod

dad d e u n eslabón es proporcional la distancia desde el

pivo te . El c en tr o in st antá neo ( B Q sirve com o pivote. La

velocidad del centro instantáneo c om ún ( AB) se mide

con la prop orción y la escala adecuadas para determin ar

la veloddad deseada.La técnica grá f ica para m edir a una escala propo rc iona l

adecu ada un vec tor u ti liza la línea de centros, LC Esta es unalinea trazada desde el punto pivote del eslabón al inid o del vec

tor con odd o. También se u t i liza u na línea de proporción, t í1, que

es una linea trazada desde el pun to p ivote hasta el extremo del

vector co no cid a La figura 6.35a ilustra tan to la l ínea de centros

rom o la l ínea de pro porción. La distancia del pivote al pu nto d e

seado se transfiere a la l ínea de centros. La magn itud del vector

medida propordona lmente se def ine como para le la a l vec

tor c o n o d d o . e x te n d id a d e t e a l p en la d istancia transferida. Lo

ante r ior tam bién se mue st ra en la f igura 6 .35a

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150 CAPITULO SEIS

>LC i

a) b)

FIGURA 6.35 Uso de u na línea de cen tros y un a línea de prop orción .

Desde luego, la m agnitud d e la velocidad es perpendicular

a la l ínea que u ne el pun to de velocidad desconocida y el pun to

pi vote . Al c al cu la r l a m ag nit u d y el p o sid o n am ie n to d e u n vec

tor en l a direc dón adecuada, se define totalmente el vector. Porlo tanto, el vector es propo rcional gráficamente. El resultado se

ilustra en la figura 6.35b.

Se ha descrito la lógica detrás d el método d el centro instan

táneo del aná lisis de velocidad m ediante técnicas gráficas. La

solu dó n rea l se obt ien e a l ap l ica r un a lógica idént ica con un

dibujo m anual o de c a d . Independientemente del proceso que

se utilice, los conceptos subyacentes del procedimiento gráficode l métod o de centro instantáneo de l aná lis is de ve lod dad se

ilustran con los siguientes problem as d e ejemplo.

P R O B L E M A D E E J E M P L O 6 . 1 4

La figura 62 9 presenta la braza automática con autob loqueo en u na plataforma que se usa en m uelles de embarque.

En el problema 6.12 se localizaron todos los centros ins tantáneos del mecanismo. Determine la velo ddad an gular del

eslabón 4, si se sabe que d eslabón 2 se eleva a u na velocidad constante de 3 rad/s.

S O L U C I Ó N : I . Elab ore el d ia gram a c in em át ic o co n lo s cen tros in stan tá ne os y a lo ca lizados

&i la figura 63 6 a se reprodu ce el diagrama cinemático con inf ormación de los centros instantáneos y la escala.

Escala:0 31— -4 —— 1-------1

fi g u ra 636 Diagrama dnem át ico de l problema d e e jemplo 6 .14 .

2 . Dete rm in e l a v eloc idad li neal de u n pu n to co m enie n te (B)

La velocidad lineal del pun to B se determina a partir de la velocidad angular del eslabón 2. La m ed idó n del

pun to B es de 3 ft desde el p ivote del eslabón 2 (pu nt o A).

V* - M 3 f t ) ( 3 r * l /s ) - 9 f t/ s £ 0 "

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3. A pl iq ue e l pro ce dim iento gen er al de ve lo ci da d de l cen tro in stan tá ne o

a) Aislé los eslabones.

B eslabón 2 tiene la velocidad conocida.

H eslabón 4 contiene el p unto cuya velocidad se desea conocer.

H eslabón 1 es el eslabón fijo.

b) 0 centro instantáneo com ún entre el eslabón con velocidad conocida y el eslabón f ijo es (1 2).

c) 0 centro instantáneo comú n entre el eslabón de velocidad cono cida y el eslabón de velocidad desconocida

es (24).

d) La velocidad del centro instantáneo (24) se obtiene gráficamente a partir de la velocidad del pun to B. El es

labón 2 contiene tanto el pun to B como el centro instantáne o (24); p or ello, la velocidad se mide pro por-

don alme nte en relación con el centro instantáneo (12). Esta construcción se presenta en la figura 636b.

la m agn itud escalada de la velocidad, v(24), es d e 7.4 ft/s.

e) 0 centro instantáneo comú n entre el eslabón de velocidad desconocida y el eslabón fijo es (14).

f) La velocidad del pu nto C se obtiene gráfkamente a partir de la velocidad del centro instan táneo (24 ). El es

labón 4 contiene tanto el pun to C como el centro instantáneo (24); po r ella, la velocidad se escala en pro porción c o n el c entr o in st an tá ne o (14 ). E n la figura 6 3 6 c s e mue st ra e st a con st ru cc ió n. La m ag ni tu d vc de

esta v elocidad se escala a 13.8 ft/s.

4 . Det erm in e la ve lo ci da d an gu la r de l eslab ón 4

Rnalm ente. la velocidad angular del eslabón 4 se o btiene a partir de la velocidad del pu nt o C La medición a es

cala indica qu e el pu nto Cestá posicionado a u na distancia de 5.4 ft desde el pivote del eslabón 4 (pun to D).

vc 13.8 ft/s

“ 4 = 7 ~ = s i f i = 2 6 ^rCU 5.4 tt

Com o la dirección de la velocidad angular debe ser consistente con la velocidad del pun to C el eslabón gira

en sentido antihorario. Por lo tanto,

w4 ■ 2.6 rad/s, en sentid o antihorario

Observe qu e esta velocidad angular tambión se determ ina a p artir de la velocidad del centro instantáneo (24 ), ya

que este p unto se considera parte de los eslabones 2 y 4. Sin em bargo, com o en el primer problema de ejemplo

» b re el te ma , resulta difícil visualizar el pun to que gira e n relación con el eslabón 4.


la figura 6 3 2 muestra un dispositivo triturador de rocas. En el problema de ejemplo 6.13 se localizaron todos los cen

tros instantáneos del mecanismo. En la posición m ostrada, determin e la velocidad del ariete triturado r cuan do la

nnnivcla gira a una velocidad constante de 60 rpm en sen tido horario.

SO LU CIÓ N : 1 . Ela bore e l d ia gr am a cin em át ic o c on los ce ntro s in st ant án eo s y a ub icad os

En la figura 637 a se reproduce el diagrama cinemático con información de la escala.

2. Det erm in e la se lo cida d lin eal de u n pun to con ve ni en te B

la velocidad lineal d d pun to B se determina a pa rtir de h velocidad angular del eslabón 2. El pu nto B se ha es

calado para po sido na rloa un a distancia de 4 3 in a par tir del pivote del eslabón 2 (pun to A):

o>j - 60 rpm ^ = 628 rad/s

■ rABral " (4*5 in) (638 rad/s) ■ 283 in/* / “>*

0 o b j e ti v o d e l p r o b l e m a e s d e t e r m i n a r l a v e l o c id a d H n c a l d e l p u n t o C .

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152 CAPITULO SEIS

Bcala:

0I—f —

30H

ir *

fi g u ra 6.37 Diagramas del problem a de ejem plo 6 .15.

3 . A pl iq ue e l pro ced im ie nt o g en er al de ve lo cida d de l cen tro in aan tú n eoa) A b le lo s eslabones .

B eslabón 2 tiene ia velocidad conocida.El eslabón 5 (o 6) c ontiene el p un to cuya velocidad se desea conocer.

H eslabón 1 es el eslabón fijo.

b) El centro instantáneo comú n entre el eslabón con velocidad conocida y el eslabón fijo es (12).

c) El centro instantáneo comú n entre el eslabón con velocidad conocida y el eslabón con velocidad descono

cida es (25).

d) La velocidad del centro instantáneo (25) se obtiene gráficamen te a partir de la velocidad del punt o B. El es

labón 2 contiene tanto el punto B como el centro instantáneo (25); po r ello, la veloddad se m ide propo rd onal m cn tc en re lació n c on el ce nt ro in st an tá ne o ( 12 ). E sta c on st ru cc ió n se i lu str a e n h fig ura 6.37b.

la medición a escala de la m agnitud de esta veloddad, v(2J), es de 37.1 in/s.

e) El centro instantáneo com ún entre el eslabón de velocidad desconocida y el eslabón fijo es (15).

fl La vdocidad del pun to C se obtiene gráficamente a partir de l a velocidad del centro instantáneo (25). El

eslabón 5 contiene tanto el p un to C como el centro instantáneo (25); por lo tanto, la velocidad del centro

hstan tánco (25) se gira a una linca de centros creada por el punto Cy el cen tro instantáneo (15). La vdoci

dad del centro instantáneo (25) sirve pir a crear u na En ea de proporciones. Luego, se utiliza esta linea de

pr op orcion es p ar a c on st ru ir la v doc id ad C Es ta co ns tru cc ió n se m ue st ra en la fig ura 6 3 7 c La med ic ió n a

escala de la mag nitud de la velocidad, v0 es de 33 3 in/s.

Establecido formalmen te.

Vc - 3 33 i n /s i

6.13 M ÉTO DO ANALÍTICO PARAVELOCIDAD: MÉ TOD O DEL

CENTRO INSTANTÁNEOEl m é to d o d d c e n t ro i n s t an t á n e o p rá c t i c am e n te n o se a lt e ra

cuan do se util iza un mé todo analít ico para obtene r la solución.

La única diferencia « qu e las posiciones de los centros instantá

neos se debe n d eterm inar aplicando trigonometría, en vez de la

construcción de lineas y de la ubicación de p un tos de intersec

ción. Esto po dría volverse una tarea agobiante, de m odo q ue es

com ún ubicar tan so lo los centros instantáneos requer idos p or

d a n á li s is d e v d o d d a d . M e d ian te e l p ro b lem a d e e je m p lo s i

guiente, se i lustra el mé todo analít ico.

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An ális is de ve loc idad 153


la figura 638 presenta un mecanismo que se usa en una línea de producción para voltear cajas, de m odo q ue se lo-

0t n adherir etiquetas (rótulos) en la parte inferior de la caja. El brazo impulsor tiene 15 in de largo y, en el instante

mostrado, está inclinado un ángulo de 60*. con un a velocidad angular de 5 rad/s en se ntido horario. FJ eslabón

seguidor tiene 16 in de largo. La distancia entre los pern os del transportador es de 7 in y actualmente están alineados

en form a vvrtkal. Determine b velocidad angular del transp ortad or y el brazo impulsado.

Q Z

figura 638 Mecanismo volteador del problem a de ejemplo 6.16.

S O L U C I Ó N : I . D ib uj e el dia gr am a c in em át ic oB i la figura 639a se ilustra el diagrama cinemático, En el extremo del transportador se incluyó d pu nto de i n

ter és X.

V*3)

FIGURA 6.39 Diagrama cinemático de l problem a de e jemp lo 6 . 1 6 .

2. M a ti c e la ge om et ría del m ec an ism o

Se usa la trigonom etría para determinar las distancias y los ángulos característicos de l a configuración d e este

mecanismo. Para hacer esto, se utilizan los triángulos m ostrados en la figura 639 b. l as distancia* BM y AAf se pu ed en d et er m in ar a p ar ti r del t ri án gu lo ABM.

B M = A B sen (60*) = (15 in) sen (60*) = 13.0 in

A M - AB eos (60°) - (15 in) eos (60*) - 73 in

Alo largo de b vertical BCM.

C M ■ B M - BC = 13.0 - 7.0 - 6.0 in

H ángulo A D C y la d is tancb D N se determ inan a pa rtir del triángulo CDM.

—■(i)—1m - 22.0*

Brazoimpulsor

DM - CDco s (22*) - (16 in) eos (22*) - 143 in

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154 CAPITULO SEIS

3 . A pl iq ue t i pr oc ed im ie nt o g en er al de ve lo cida d de l cen tro in stan tá ne o

En este punto, se sigue el método general del centro instantáneo para resolver el problema,

n) Aislé los eslabones.

B eslabón 2 tiene la velocidad conocid a.

H eslabón 3 contiene el p un to cuya velocidad se desea conocer.

H eslabón 1 es el eslabó n fijo.

b) El centro instantáneo común entre el eslabón de velocidad conocida yel eslabón fijo es (12). Por inspección,

se observa que este cen tro instantáneo se encuentra en el p unto A.

c) FJ centro instantáneo común en tre el eslabón con velocidad conocida y el eslabón con velocidad descono

cida es (23). Por inspección, se observa que este centro instantáneo se ubica en el pu nto B.

d) La velocidad del centro instantáneo (23) es simplemente la velocidad del pun to R que se determ ina co mo sigue:

Vg ■ r ÁBo>¡ = (15 in) (5 rad/s) - 75 in /s

t ) El centro instantáneo com ún entre el eslabón de velocidad desconocida y d eslabón fijo es (13). Este centroinstantán eo se localiza en la intersección d e los centros in stantán eos (12)—(13) y (14)—(34). Se ob serva que

d centro instantáneo (34) se localiza en d punto C y el (14) en el pu nto D. Por ello, d centro instantáneo

(13) se localiza en la interacc ión de los eslabones 2 y 4. Este punto se identifica com o N en la figura 639b .

lo s ángulos D A N y AND , asi com o la distancia A N se determinan a p artir del triángulo A N D

L D A N - 180° - 60° - 120"

L A N D = 180* -(120° + 22") = 38*

A N sen(¿AD.V)v se n ( ¿ A N D ) /

B N ■ BA - A N - 15 - 5 3 - 9 3 in

Asimismo,

^ 2 2° ( 1i = 5 3 in. ( 73 in

V sen (38°)

D N - - 7 .7 in

C N - C D D N - 16 - 7 .7 - 8 3 in

fj El eslabón 3 gira instantáneamente alrededor del centro instantáneo (13). Por lo tanto, la velocidad angular

del eslabón 3 se calcula a partir de la velocidad del centro instantáneo co m ún (23), en relación con el cent ro

instantáneo (13). Esto se ilustra en la figura 63 9c y se calcula como sigue:

* <75Ü ,/” 7.9 n d / í '■(is)-<2S> <9- 5 «")

Com o la dirección de la velocidad ang ular debe ser consistente con la velocidad del pun to (23) con res

pect o a (1 3), el es la b ón g ir a e n sentido h o ra ri o . E nton ce s,

<o¡ = 7.9 rad/s, en sentido horario

La velocidad del punto (34) tam bién se obtiene usando la velocidad angular del esb bó n 3 , porq ue gira

instantáneam ente alrededor del centro instantáneo (13).

V(M - *»3 1(1))-(M) - (7 .9 rad / j ) (83 in) - 65.6 in /s - 65 .6 in /s / fo"

Co m o el esbb ón 4 g i ra en re lac ión con (14), b ve loc idad de l eslabón impulsado es

‘'O I 65.6 in/soí, = ------------ ■ —— — = 4 .1 rad/s, en sentido horario

'(14) —(21) 1610

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6.14 CURVAS DE VELOCIDAD

Los análisis presentados hasta esta parte del capitulo sirven para

calcular la velocidad de pu ntos sobre un mecanism o en un ins

tante especifica A un cuand o los resultados sean útiles, tan solo

b ri n d an u n a “f o to in st an tá ne a” d el m ov im ie nto . El def ec to ev i

den te de este análisis es qu e la determina ción d e las condiciones

extremas es difícil . Se deben investigar varias posiciones del

mecanism o p ara identificar las fases criticas.

Es conveniente trazar la magnitud de velocidad de cierto punto , o es labó n, c o n fo rm e el m ec an ism o se m ue ve a tr av és de

su ciclo. Este traz o es la curva de velocidad. U na curv a de veloci

dad se genera a par t i r de l d iagram a d e desplazamiento , com o e l

descrito en la sección 4.11.

Recuerde que un d iagrama de desplazamiento grá f ica el

movim iento de un punto o eslabón como u na func ión de l m o

vimiento de u n jun to o eslabón de entrada . La medida de l movi

m ie n to d e e n t r a d a se p u e d e c o n v e r ti r f á c ilm e n te e n t ie m p o .

Esto es b astante com ún cuando e l impulsor opera a ve loc idad

constante.

Com o s e h a visto a lo largo d el capitulo, la velocidad es el

cambio en e l t iempo de l desplazamiento . Replanteando bs

ecuaciones (6.1) y (6.2),

Magni tud de b ve locidad l ineal ■ v ■ cambio en e l desplaza

m iento lineal entre cam bio en el t iem po

d R A R

V ~ d i Al

Al replan tear las ecuaciones (6.4) y (6.5),

Velocidad angular = to = cam bio en el desplazamiento

an gu br ent re cambio en e l t iempo

d d 1 6 (i) = — = £ —

d t A r

Co n frecuenc ia , d impu lsor de un mecanismo op era a ve

loc idad constante . Por e jemplo , un eslabón de ent rad a impu tad o po r un m otor e léct rico en estado estable opera a ve loddad

constante. La flecha del m otor po dría hacer que la m anive b gire

a 300 rpm , sum inist rando asi ve loc idad ang ub r constante. Esta

velodd ad con stante del eslabón im pulso r convierte el eje x de

u n d b g ra m a d e d e sp b z a m ie n to , d e d e sp l a za m ie n to a n g u b r atiempo. En térm inos lineales, al replantear b ecu adó n (6.2) se

cbtiene:

A f = — ( 6. 17 )

En té rmino s angula res , repbntean do b ecu adó n (6 .5) :

A0A f = — (6.18)OI

De mo do que b s ecuadones (6.17) y (6.18) s irven para con

vertir el incremento del despbzam iento del eje xa un incremento

de tiem po. E stose ilustra con el problema de ejem plo 6.17.


En el problema de ejemplo 4.11 se graficó el diagrama de desplazamiento de un pistón q ue opera en un comp re

sor, en relación con la rotación d el ágüeflal. Use esos datos para graficar el desplazamiento del pistón en relación con

d tiempo, cuando el cigüeñal es impulsado por un motor eléctrico a 1750 rpm.

S O L U C I Ó N : I . Calcule el tiempo para JO" de giro dé la m anivela

La prind pal tarea de este problema es convertir el incremento del ángulo de b manivela de b figura 4.41 atiempo. El incremento en d eje x es igual a 30°, mientras el agüe na l gira a 1750 rpm . Para ser consistentes con

hs unidades, el incremen to en el eje de las x se convierte a revoluciones.

1 0 = 3 0° ( ■ y p ) “ 0 .0 83 33 rov

B increm ento de tiempo para que ki maniveb g ire 0.08333 rev (30°) se calcula con la ecuación (6.18).

1 0 (0X18333 rev ) I t = —

(1750 rev/min)

- 0XKXXM76 m in

60 s \ _

1 m i n /- (0.0000476 min) " 0XW286 s

2. Ag regu e un a co lu m na de ti em po en la ta bl a d e desp la za m iento

Los resultados del análisis de posición se reproducen en u na ho ja de cálculo insertando el incremen to deltiempo. Lo anterior se mu estra en la figura 6.40, la cual m uestra d tiempo tab ubd o en milésimas de segundo.

Si no está familiarizado con un a hoja de cálculo, consulte el capitulo 8.

3. Use los datos d e desplazamiento y t iempo para graficar una curva de desplazamiento

Con el uso de b hoja de cálculo, se grafican los valores en la figura 6.41 para obtener un diagrama d e desplaza

miento en relación con el tiempo.

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d d p h l ó a

( I d )

156 CAPITULO SEIS

* l a *.» » *- 10 •

-•* ■ ' " *• *'* J _ > A

■ % ■ U * %

A . t í : : ; . t r aa * — - .¿ -% 'C S . *

o » — '- •x* '• ■L—— A l

A B

A

c D

1 ÁDgulodr

bmanheln Tiempo «Mpetn.3 (deg) <0.001») (in)4h.■—A 0 0.00 0.000

5 30 2.86 0.136

6 60 5 J 2 0.4837 90 8.57 0 8 9 6

8 120 11.43 1233

« 150 1429 1.435

10 180 17.15 1.500

11 210 20.00 1.435

12 240 22.86 1-233

13 2 ”0 25.72 0.896

14 300 2 8 5 8 0.483

15 330 31.43 0.136

16 360 34.29 0.00017 ■ ____

»«•

f i g u r a 6 . 4 0 Valores de tiem po y desplazamiento del prob lema d e ejemplo 6.17.

A O « O-1T00H

« j e . * 1 * 1 P i g o i n f e m u l o O »" * e . . < - . W x O . W e . « d d l m M I H w t O o og » l o, O ul fo ia o l >»

linn Mm Ri I “ ■ n , £ I". t»

-J ■ Z U A *

/ _ ¿ A * * ? " a - - ? . * K ¡ £

c»ti u m’ l f c » A l

0 000 0 005 0.010 0.015 0.020 0.025 0 030 0 035

Tiempo (»)

f i g u r a 6.41 D i a g ra m a ti e m p o - d e s p la z a m i e n to d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 6 . 17 .

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An ális is de ve loc idad 157

Estos diagramas de desplazamiento en relación con el tiemp o se usan p ara obtener u na cu rva de velocidad, porque

, J(despkizamicnto)Velocidad - ------- — ---------------

d(Uempo)

B cálculo diferencial indica que la velocidad en u n instan te especifico es la pendiente de l diagram a de desplaza

miento en ese instante. El trabajo consiste en calcular la p endiente del diagram a de desplazamiento en varios pun to s.

6 .14 .1 D i f e r enc i a l e s g r á f i ca s

La pendiente en un punto s e calcula gradeando una l ínea que

pa se p o r e l p u n to de in te ré s, ta n g en te a la cu rv a de des pla za

miento. La pen diente de la línea se obtie ne si se calcula el cambio

de valor en el eje y (desplazamiento) dividido entre el cam bio de

valor en el eje x (t iempo).

D procedimiento se ilustra en la figura 6.42. Observe en el

d iagrama de desplazamiento que la l inea tangente en r , e s hor i zontal. La pendiente d e esta l ínea tange nte es igual a cero. Por

consiguiente, la m agnitud de la velocidad en t , e s igua l a ce ra

Com o se observa en d d iagrama d e desplazamiento , una

l ínea tangente en l¡ t iene un a inc l inac ión h ada a rr ib a La pen

diente de esta l ínea se ca lcula como e l cam bio en e l desplaza

m iento d iv id ido entre e l cam bio correspond iente de tiempo.

Observe que este triángulo AR, A t se trazó bas tante grande para

m ejorar la exactitud d e la m edición. La velocidad en t¡ se obtiene

como AR/A/ y es positiva debido a la pendiente hacia arriba de

la l ínea tangente. Observe tam bién qu e esta es la sección má s in

c l inada de la par te hac ia a rr iba d e la curv a d e desplazamiento.

Esto se traduce en la m ayor magnitud de velocidad positiva.Este proced im iento se repi te en var ias u bicac iones a lo

b rg o del di ag ra m a d e de sp la za m ie nt o. Sin em ba rg o, p o r lo ge

neral solo se desea cono cer las velocidades extremas y los cam

b io s a b ru p to s e n tr e e ll as . C o n lo s c o n o c im ie n to s de cá lc ulo

diferencial y de pendien tes, es posible detectar visualmente las

p osic io n es d e in te ré s . En g enera l, la s u b ic ac io n es d e in te ré s

■ I «s par tes más inc l inadas de l d iagrama de desplazamien

to, las cuales corresp onde n a las velocidades extremas.

■ Las ubicac iones de l d iagram a de desplazamiento con b cur

va tura más grande , que corresponden a cam bios abruptos

en las velocidades.

Com o se mencionó, b ve loc idad en t¡ e s b mayor , porquet ) 6 b par te más inc linada de l d iagrama d e desplazamiento . La

ve loc idad en t , e s b ve locidad más grande en b d i recc ión nega

t iv a , p o rq u e e s b p a r t e m á s in c l in a d a h a d a a b a jo d e l di a-

gram a de despbzamiento .La identificadón de las pos iaone s de veloddad cs extremas

es invaluable. En estas ubicado nes, se deb e efectuar u n análisis

comple to de ve lodd ad, com o e l presentado en las secciones an

te r iores de l capí tu lo , de m odo que tan so lo se lleva a cabo un

aná l is is exhaustivo de ve loddad en las conf igurac iones imp or

tantes del mecanismo.

*«>

f i g u r a 6 . 4 2 Curvas d e v e l o d d a d .


Se construyó un diagrama de desplazamiento en relación con el tiempo para el mecanismo del comp resor del pro

ble ma de ejem plo 6.1 7. Use es to s da to s par a gra fica r la cu rv a de v el od dad en r ela ció n co n e l ti em po .

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( U | ) U W ! «I | a p o* i 4 W

V^ d s « ]

158 CAPITULO SEIS

S O L U C I Ó N :

I . Id enti fique las p ar te s hor izon ta les e n el di agr am a d e des pl az am ie nto

la principal tarea en la construcción de u na curva de velocidad es determinar la pendiente de muchos p untos so

bre la c u rra de de sp laza miento. Esta c u rr a s e re pr od uj o c om o f igu ra 6.4 3.

Curva de desplazamiento

Tiempo (s)

figura 6.43 C urva de desplazamiento del problem a de ejemp lo 6.18.

Analizando esta curva, es evidente qu e b curva tiene un a tangente horizontal o pendiente igual a cero, en

tt 0.017 y0.034 s. Por lo tanto, b velocidad del pistón es cero en 0 .0J)17 y 03)34 s, cuyos puntos están identifica

das como t¡ y ¡4, respectivamente.

Calcule la pendiente en las partes m ás sobresalientes del diagrama de desplazamiento

la pendiente máxima hacia arriba se encuentra en 03KB s. Este pu nto se identifica como t¡. La velocidad se calcub

con los valores de AR¡ y Aft, que se Icen en b gráfica, la velocidad en 0X08 s se calcula como

0.60 in

Asimismo, la pendiente máxim a hacia abajo se encue ntra en 0X127 s. Este punto se identifica com o Denueva cuenta, el cálculo de b velocidad se hace con los valores de A R , y A h, que se leen en b gráfica. La veloci

dad en 03)27 s se calcula como

y ( f > )-0.60 in

03)04 s-1 5 0 in /s

B procedim iento de cálculo de la pendiente en b curva de desplazamiento se puede repetir en otros pun tos

del tiempo .

Grafique la curv a de \elocidad

S se recaba la información de pendientes y tiempo, se construye un a curva de velocidad como b mostrada en b

figura 6.44.

Cirva áe raloridad

- 1 5 0

FI G U RA 6 .4 4 Curva de velocidad del problema d e ejemplo 6.18.

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6 .1 4 .2 D i fe r e n c i a l e s n u m é r i c a s

En la e labo rac ión de u na curva de ve locidad con d i fe renc ia les

gráficas, se siguen estrictamen te las teorías del cálculo diferencial.

Sin embargo , inc luso s i se po ne m ucha a tenc ión , po r lo general su rgen imprecisiones cuan do se elaboran las curvas tangentes,

de mo do que con frecuenc ia se u t il izan o t ros m étodos, po r ded r

métodos num éricos, para de te rm inar la der ivada de una curva

def in ida por una se r ie de puntos conoc idos. El método más

com ún para ob tener numéricam ente la der ivada es el m étodode Richardson [ref. 2). Es aplicable en casos do nd e los incre

m entos e nt re b s var iables independientes son igua les . Esto

limita el análisis a un intervalo de tiem po con stante, lo cual no

suele ser dificiL La derivada de b curva desplazamiento-tiempo

se aproxima numéricamente co n b s iguiente ecuac ión:

ARí+1 - ARj-|Vi = 2 A l

A R * ? - 2 A R i. , + 2 A R i _ , - A R , _ I

1 2 A f

donde :

i = in te rva lo de da tos de los puntos

A R, = desplazamiento en e l da to de l punto i A í = % - / , = % — <2 = r4 — i,

¡i = t i em p o e n e l d a to d e l p u n to i

(6 .19)

Aun cuando b forma general quizá parezca confusa con los

té rmino s i , i + I , e tcéte ra , b sust i tuc ión rea l es senc i lb . Para

ilustrar el u so de esta ecuación, la velocidad en el quin to dato

de l pu nto se obt iene con b s iguiente ecuac ión:

A R6 - A R 4 ‘

2 Af

_ [ A R 7 - 2A R6 + 2 A R 4 - A R ,

12 Af

Hiede hab er alguna confusión al calcular b derivada en losextremos de las curvas. En e l aná l is is de m ecanismos, e l d ia

g ra m a d e d e sp l az a m ie n to se r e p i t e c o n c a d a v ue l ta d e b

manivela. Porconsiguicntc, conform e bc u rv a se repite , los datos

de los pun tos anteriores del inicio del ciclo son los mism os p un

tos al final del d d o , de m odo que cuan do se utilizan 12 puntos

p ir a gen era r la c u rv a d e des pla za m ie nt o, el de sp la za m ie nto en el

pun to I e s i dé nt ic o a l des pl az am ie nt o e n e l p u n to 13, p o r l o q ue

bi ve lo cida d en el p u n to I s e ca lc ula co m o

A R > - A R 12' A R , - 2 A R 2 + 2 A R ,< - A R ,,*1 -

2 A í . 12A f

Com o esta ecuac ión es una aproximación num érica , el e rrorasoc iado d ism inuye drást icamente conform e se incremen ta e l

ángulo de b m aniveb y se reduce e l t iempo.


B i el problema de ejemplo 4.11 ,se graficó un diagrama de despbzam iento de u n pistón que opera en u n compresor. Este

diagrama se convirtió a un a curva de despbz amiento en relación con el tiem po en e l problema de ejemplo 6.17. Emplee

estos datos para generar num éricamente b curva d e velocidad.

SO LU CIÓ N : 1 . D et er min e e l in cr em ento d e t iem po en tre las po sicion es d e los d atos d e lo s pu nt osLa hoja de cálculo utilizada en el prob lema de ejemplo 6.17 se am plía para insertar u na colum na adicional para

rc h iir la velocidad del pistón. El incremento de tiem po se calcula como:

A / - t 2 - t, - (0X0289 - 0 .0) - 0 .00286$

l ie la ecuación (6.19) para calcular la velocidad de los datos de los pun tos

Para ilustrar el cálculo de las velocidades, se presentan uno s cuantos cálculos d e muestra:

f (A R , - AR,) j ' AR, ~ 2AR, 4- 2AR, - AR1;

*12

2A f

(0.483 - 0.0)

2(0X0286) ] -

p A R l 0 - A R ,) j

(0X9 6 ~ 1.435)

2(0X0286)

12Ar

0X96 - 2(0.483) + 2<0X) - 0.136

12(0X0286)

A R„ ~ 2 AR,0 + 2 AR>- A R7 |

12Ar

(AR „ ~ AR,

2A t

(0.0 ~ 0.483)

2(0X0286)

0.483 - 2(0X96) 4 2(1.435) - 1X0

12(0X0286)

A R, - 2 A R „ + 2A R n - A R „

12Ar

142X7 iiV$

-9 5 .4 8 in /s

0.136 ~ 2(0X) + 2(0.483) - 0X96

2(0X0286)- 9 1 . 4 7 i n /s

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d d

p a l ó n

( t a / . )

160 CAPITU LO SEIS

3 . Calcule los dalos d e \rlocida d y gr af iq ue la c urv a de te lo cida d

Se pueden calcular y tabular los resultados como se indica en la figura 6.43. Se usó eficientemente una hoia de cálcu

lo par a lealizar tales cálculos redundantes. Para quienes no estén familiarizados con hojas de cálculo, se sugiere que

consulten el capitulo 8.

B C D E

A n g u l o * T V - p o I M p l .u m l n a u d d M o A U

U m i n i i r b ( m M i in u d f [*"*■ « p l * .

( d e * ) eqjundo) (m > (in /»>

0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0

3 0 2 .8 6 0 .1 3 6 9 1 .4 7

6 0 5 .7 2 0 .4 8 3 1 4 2 .6 7

9 0 8 . 5 7 0 .8 9 6 1 3 7 J O

1 2 0 1 1 .4 3 1 .2 3 3 9 5 4 8

1 5 0 1 4 2 9 1 .4 3 5 4 6 0 3

1 8 0 1 7 .1 5 1 .5 0 0 0 . 0 0

2 1 0 2 0 0 0 1 .4 3 5 - 4 6 0 3

2 4 0 2 2 8 6 1 .2 3 3 - 9 5 4 8

2 7 0 2 5 .7 2 0 8 9 6 - 1 3 7 .5 0

3 0 0 2 8 .5 8 0 .4 8 3 - 1 4 2 .6 7

3 3 0 3 1 . 4 3 0 .1 3 6 - 9 1 4 7

3 6 0 3 4 .2 9 0 . 0 0 0 0 . 0 0

f i g u r a 6.45 Datos d e velocidad del problem a de ejem plo 6.19.

F IG U R A 6 .4 6 Q i r v a d e v e l o c id a d d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 6 . 1 9.

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An ális is de vdo cidad 161

Estos valores se gradearo n en la figura 6.46 para formar un diagrama de velocidad en relación con el tiempo.

Advierta que la curva a ún es bastante burda . Para electos de precisión, se recomienda ampliam ente que el increm ento

del ángu lo de la manivela se reduzca a 10* o 15*. Cu and o se utiliza una hoja de cálculo para gen erar los dato s de ve

locidad, se recom iendan incre men tos todavía más pequeflos para redu cir la dificultad de la torea.

PROBLEMAS v ( W s )

Veloc idad gen era l

6 - 1.

6 - 2.

6 -3 .

6 -4 .

Un paqu e te se mueve a ve loc idad constante de u n ex

t remo a o t ro de una banda t ransportado ra hor izonta l

de 25 ft en 15 s. Determine la velocidad lineal de la

ban d a tr an sp o rt ad o ra .

Un c i l indro h idrául ico se ext iende a una ve loc idad

c o n s t a n te d e 2 fp m ( f t /m in ) . Ca lc u le e l t ie m p o re

quer ido para q ue v ia je su carre ra comple ta de 15 in.

Dete rmine la ve loc idad promedio (en mph) de un

a le ta que corre una mil la en 4 minutos.

Calcule la velocidad prome dio (en m ph ) de u n atleta quecorre una distancia de 100 m a toda velocidad en 10 s.

6-5 . Un engrane g i ra un iformem ente 270° en sent ido ho rario, en 2 s. Determ ine la velod dad angular en rp m y

rad/s.

6-6 . Ca lcule la ve lodd ad angu la r (en rpm ) de l segundero ,

del m inutero y de la ma ned lla hor aria en u n reloj.

6 -7 . U n a c tu a d o r se rv o im p u l sa d o e s t á p ro g ra m a d o p a ra

extenderse de acuerdo con e l perf i l de ve loc idad

mostrado en la f igura P6.7 . Dete rmine e l desplazamiento to ta l durante este movimiento prog ram ada

v ( W s )

6 - 8 .

6-9.

6 - 10 .

6 - 11.

Lh actuador servoimpulsado está programado para ex

tenderse de acuerdo con el perfil de veloddad mostrado

o í la figura P6.7. Use una h oja de cálculo p ara generar

gráficas d e velocidad co ntr a tiem po y de desplazamiento

contra t iemp o duran te este movim iento programado.

Ih m o to r l i ne a l es tá p ro g ra m a d o p a ra m o v e rse de

acuerdo con el perfil de veloddad mo strado en la figura1^.9. Determine el desplazamiento total durante este

movimiento programado.

U n m o to r l in e a l e s tá p ro g ra m a d o p a ra m o v e r se d ea c u e rd o c o n e l p e r f i l d e v e lo d d a d m o s t r a d o e n b

figura P6.9. Use una h oja de cálculo para generar gráfi

c a s d e v e lo cid a d c o n t ra t i e m p o y d e d e sp b z a m ic n to

contra t iem po d urante este m ovimiento programado.

En b f i g u ra P6 .1 1 se m u e s t r a el ro d i ll o im p u l so r d e

u n a b a n d a t r a n sp o rt a d o ra . D e te rm in e b v e lo d d a d a n-

g u b r d e l ro d i ll o c u a n d o l a b a n d a fu n d o n a a 10 fp m

(10 f t /min) .

HGURAP6.il Proble ma s II y 12.

6-1 2. En la figura P6.11 se muestra el rodillo imp ulsor de una

tun da trans portadora. Determine b velocidad lineal de

la banda cuando e l rodi llo opera a 3 0 rpm en sentido

antihorario.

6- 13 . En b figura P6.13 se ilustra el eslabón 2 aislado de un

diagrama dn em át ica El eslabón g i ra en sent ido ant i

horar io a un a ve loddad de 300 rpm. Dete rmine b ve

lo d d a d d e los p u n to s A y B . Use y = 50°y / i = 60*.

6-1 4. En b figura P6.13 se mu estra el eslabón 2 aislado de un

diagrama c inem át ico . El eslabón g i ra en sent ido ho

ra r io im pulsando e l pu nto A a un a ve locidad de 40 f t /s .

Dete rmine la ve loc idad de los puntos A y B, así com o b

ve lodd ad angular d d eslabón 2 . Use y = 50°y/3 = 60° .

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162 CAPITULO SEIS

Velocidad relativa

6-15 . En la figura 1*6.15 se presenta el diag ram a cinemático

de un mecanismo de cua t ro barras . En e l instante

mostrado, vA = 800 m m /s y vB = 888 mm /s. Dete rmine

gráficamente la velocidad relativa del pu nto tí con res

pec to al p u n to A . D et er m in e t am b ié n la ve lo cida d a n gular de lo s eslabones 2 y 4.

6-16.

6-17.

fi g u ra P6.IJ Prob lem as 15 y 16.

En la figura P6.15 se ilustra el diagra ma cinemático de

un m ecanismo de c ua t ro barras . En e l instante mo s

t rado, vA - 2 0 m m /s y vB - 2 2 .2 m m /s . D e te rm in egráficamente la velocidad relativa del pu nto tí con re s

pec to a l p u n to A. C alcu le t am bié n la ve lo ci da d a ng ula r

de los eslabones 2 y 4.

En la figura P6.17 se presenta el diagrama cinemático

de un mecanism o de manive la -corredera . En e l ins

t a n t e m o s t r a d o . vÁ = 380 ft/s y v* = 400 ft/s.

Determ ine gráficamente la velocidad relativa del pu nto

A con respecto al pu nto fi Calcule también la veloci

dad angula r de l eslabón 2.

V-

f i g u r a P6.17 Problem as 17 y 18.

6-18. En la figura P6.17 se ilustra el diagram a cinemático de

un mecanismo de man ivela-corredera. En el instante

mo strado, vA = 20 ft/s y va = 21 ft/s. Determine gráfi

camente la velocidad relativa del pu nto A con respecto

a l punto f i C a lcule también la ve loc idad ang ula r de l

eslabón 2.

M é to d o g rá f i c o d e v e lo c id a d r e l a t iv a

6-1 9. Pi ra e l mecanismo com presor de la f igura P6.19 , use

el método de velocidad relativa pa ra determ inar gráfi

camente la ve loc idad l inea l de l p is tón , co nform e la

manivela gira a 1 1 5 0 rp m e n se n tid o h o ra r i a

Pistón

M u A t h

f i g u r a M .I 9 Problemas 1 9 . 2 0 . 4 1 , 5 2 , 6 3 , 7 4 , 8 5 . 9 6 ,

1 0 4 y 1 12 .

6-20. Rira e l mecanism o com presor de la figura P6.I9 , use

el mé todo de velocidad relativa para determ inar gráfi

camente la ve loc idad l inea l de l p is tón , conform e la

rronivela g ira a 1 7 7 5 rpm en sent ido antihorar io .

6-21 . Para la sierra reciprocante m ostrada en b figura P6.21,

use e l méto do de ve loc idad rebt iva para de te rm inargrá f icamente b ve loc idad l inea l de b cuchi lla , con

fo rm e b ru e d a d e b m a n iv e b g i ra a 1 5 00 rp m e n se n

t id o a n t ih o ra r i a■5<r K ird td r la manivela

6- 22.

6-23.

FIGURA P6 J1 Problem as 21 .22. 42.5 3 , 64. 7 5 . 86,97,

105 y 113.

Pira b s ie rra rec iprocante m ostrada en b f igura P6.21 ,

use e l método de ve loc idad rebt iva para de te rm inar

g ráf ic a m e n te b v e lo c id a d l i n ea l d e b c u c h i lb , c o n

fo rm e b ru e d a d e b m a n iv e la g i r a a 9 0 0 rp m e n se n tido horario.

Para b configuración del mecanismo de corte mostrado

en la figura P6.23, use el m étodo de velocidad rebtiva

pu ra d e te rm in ar g rá fi ca m en te l a vel oc id ad li ne al d e b

cuchilla, conforme b m aniveb gira a 100 rpm en sentido

horario.

FIGURA P6 JJ Problemas 23,24 ,43, 54,65 ,76,8 7,

98. 106y 114.

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6-2 4. Para la configuración del mecanismo deco rte mostrado

en la figura P 6.23, use el mé tod o de velocidad relativa

fura determ inar gráficamente la velocidad lineal de la

cuchilla , confo rme la manivela gira a 80 rp m en sentido

antihorario.

6 - 2 5 . Pira el mecanism o de l l impia dor de l c r is ta l t rase ro

mo strado en la figura P6.25, use d método de veloci

dad relativa para d eterm inar gráficamente la velocidad

a ig u b r de l brazo de l limpiador, conforme la manivelagira a 40 rpm en sent ido antihorar io .

f igurac ión m ostrad a , u t i lice el m étodo d e ve loc idad

relativa para determ inar gráficamente la velocidad an

gular del tanq ue de agua, confo rm e la manivela es im

puls ada a 75 rp m en s entid o h o ra ri o .

6 - 2 9 . El dispositivo de la figura P 6.29 es el mecanism o im

p uls or d el a g it a d o r d e u n a la va dora . P ara la co nfi gu

rac ión mostrada , use le método de ve loc idad rebt iva

p a ra d e te rm in ar gr áf ic am en te la v el ocidad an gu la r d el

segmento de engrane , conforme la manive la es im pulsada a 50 rpm en e l sent ido horar io .

FIGURA PO » Problemas 29 .30 ,46 .57 ,68 ,79 ,

90, 101, 109 y 117.

FIGURA P6.23 Problem as 25. 26 .44 .55 ,66 .77 ,88 ,

99 ,107 y 1 1 5 .

6 - 2 6 . Para el mecanism o de l l imp iado r de l c r is ta l t rase ro

mostrado en la figura 1*6.25, use el método de veloci

dad rebtiva para de term inar gráficamente la velocidad

a ig u la r d e l b ra zo d el l im p ia d o r c o n fo rm e b m a n iv e b

gira a 60 rpm en sent ido horar io .

6 - 2 7 . El d isposi t ivo de b f igura P6.27 es un chapoteadero

que se usa para bv ar prod uc tos vegetales . Para la con

figuración mo strada, util ice el métod o de la velocidad

relativa pa ra d eterminar gráficamente b velocidad an

gular de l tanque d e agua , conforme la m aniveb es im

pul sa da a 100 r p m en s e n tid o a n ti h o ra r ia

6-30. El d isposi tivo de b f igura P6.29 es e l mecanismo im

p uls or d el a g it ad o r d e u n a la va do ra . P ara b co nfi gu

rac ión mostrada , use le método de ve loc idad rebt iva

par a d e te rm in ar gr áf ic am en te b vel ocidad a n g u b r d el

segmento de engrane , conforme b m aniveb es imp ul

sada a 35 rp m e n e l sent ido ant ihorario .

6-31 . Pi ra b cor tadora manual m ostrada en b f igura P6.31,

use e l métod o de ve loc idad rebt iva para de te rminar

gráficamente la velocidad ang ular requ erida del m an

g a p ara pasar la hoja de cor te a t ravés de l meta l a unave locidad de 3 m m/s. Ca lcule asim ismo la ve loc idad

lineal del punto X.

f i g u r a P 6 . 2 7 Problemas 27 ,2 8 . 4 5 . 5 6 . 6 7 .7 8 , 8 9 , 1 0 0 .

108 y 116.

6 - 2 8 . El d isposi t ivo de b f igura P6.27 es un chapoteadero

que se usa para lavar productos vegetales. Para la con-

FICURAP6JI Problemas 31,32 ,47, 58.69 ,80 y 91.

6 - 3 2 . Pira la cortado ra manual m ostrada en la figura P6 .31,

use e l métod o de ve loc idad rebt iva para de te rminar

grá f icamente b ve loc idad l inea l de la hoja de cor te ,

conforme e l mango g i ra a una ve locidad de 2 rad/s en

sentido ho rario. C alcule tam bién la v elocidad lineal del

p u n to X.

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164 CAPITULO SEIS

6-3 3. La f igura P6.33 muest ra una bom ba de a i re de peda l.

Use el método de velocidad relativa para determinar

gráficamente la velocidad an gular requerida d el pedal,

p i r a c o n tr a e r el c il in d ro a u n a ve lo ci dad de 5 in /s .

Calcule, asimismo, la velocidad lineal del p unto X

6 - 3 4 .

6 - 3 5 .

la f igura P6.33 i lustra una bom ba de a i re de peda l. Use

d método d e ve locidad re la t iva para de te rminar grá f i

camente la ve loc idad de compresión de l c i l indro ,

cuando la velocidad angular del ensamble del pedal es

d e 1 ra d / s e n se n t id o a n t ih o ra r i a C a lcu l e t am b ié n l a

velocidad lineal del pu nto X

En l a fí g u ra P6 .35 se p re se n ta d m e c a n i sm o d e u n

compresor de dos c i l indros. Para la conf igurac ión

mo strada, use el m étodo d e velocidad relativa piara de

term inar gráficamente la velocidad lineal de am bos pistones, conforme la manivela de 1.5 in es imp ulsada a

1775 rpm en sen tido ho rario. C alcule asimism o la ve-

b d d a d de s a li da d el flu jo v olu m ét ri co in st an tá neo de l

c i l indro derech a

0 1 . 0 0 l . t r

fi g u ra P6.35 Problemas35 ,36 .49 ,60 ,71 ,82 ,93 ,10 2,110

y 118.

6 - 3 6 . En la f igura P6.35 se i lustra e l mecanismo de un com

p re so r de d o s c il in d ro s. P ara la co n fi g u rac ió n m o strada, use el m étodo d e velocidad relativa para deter

minar grá f icamente la ve loc idad l inea l de ambos

pi ston es , c o nform e b m an iv el a de 1.5 in e s im p u ls ad a a

1 15 0 rp m e n se n t id o a n t ih o ra r i a Ca lc ul e t am b ié n bvelocidad de salida de l flujo volum étrico instantáneo

del cilind ro izquierdo.

6 - 3 7 . En la figura P6.37 se m uestra un dispositivo qu e m ueve

p iq u e te s . Par a la co nfigu ra ción il ustr ad a, use el méto -

tb de velocidad relativa con b finalidad de determ inar

gráficamente b velocidad lineal del paquete, conform e

la m a n iv e b g i r a a 4 0 rp m e n se n tid o h o ra r i a

figura P6J7 Problemas 37 ,38 , 50 ,61 ,72 ,83 ,94 ,10 3,

111 y 119.

6 - 3 8 .

6 - 3 9 .

En b f igura P6.37 se muest ra un d isposit ivo que mueve

pa qu etes . P ara b co nfi gura c ió n il us tr ad a, us e e l m ét odo de velocidad relativa pa ra determ inar gráficamente

b v eloci da d l in ea l del paq ue te , c on fo rm e b m a n iv eb


En b f igura P6.39 se muest ra un d isposit ivo que mueve

pa qu etes . Par a la c onfigura c ió n i lu str ad a, u ti li ce el m é-

*>do de velocidad reb tiva con la finalidad de determi-

rur grá f icamente la ve loc idad l inea l de la pb ta form a

conforme e l c i l indro h idrául ico se ext iende a una ve

locidad de 16 fpm.

FIGURA P6.W Problemas 39,4 0,5 1,6 2,7 3,8 4 y 95.

6 - 4 0 . En la figura P6.39 se mu estra un dispositivo que m ueve

pu que te s. Par a b con fi g u ra c ió n il u str ad a , u ti lice el

método d e velocidad relativa con la finalidad de deter

mina r gráficamente la velocidad lineal de b plataforma

conform e el cilindro h idráulico se retrae a u na veloci

dad de 12 fpm.

M é to d o a n a l í ti c o d e v e lo c id a d r e la ti v a

6 - 4 1 . Pa ra e l m e c a n i sm o c o m p re so r i l u s t r a d o e n b f ig u ra

P6.I9, utilice el métod o d e velocidad relativa para de

te rminar la ve loc idad l inea l de l p is tón conforme b

maniveb g i ra a 950 rpm en sent ido horar io .

6 - 4 2 . Pira b s ie rra rec iprocante de b f igura P 6.21, u t i lice e lmétodo de ve loc idad rebt iva con b f inal idad de de te r

mina r ana l ít icamente b ve locidad lineal d e b cuchi lla

c o n fo rm e b ru e d a d e b m a n iv e b g i ra a 1 7 0 0 rp m e nsentido antihorario.

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6-4 3. Para la conf igurac ión mostrad a de l mecanismo de

corte de la figura P6.23, util ice el método d e velocidad

relativa con la finalidad de deter m inar analít icamente

la velocidad lineal de la cuchilla conform e la manivela


6-4 4 . f t i ra el me canism o de l l im piado r de l c ris ta l t rase ro

mo strado en la f igura P6.25. u t i lice e l método de ve

lodda d re lat iva con la f ina l idad de de te rm inar ana lí t i

camente la velocidad angular del brazo del l impiadorconforme la manive la g i ra a 45 rpm en sent ido ant iho

rario.

6-45. 0 dispositivo de la figura P627 es un chapo teadero que

sirve pa ra lavar p rodu ctos vegetales. Para la configu-

rad ón mo strada, util ice el método de velocidad relativa

con la finalidad de determ inar analíticamente la veloddad angu lar del tanque de agu a conforme la manivela es

impulsada a 90 rpm en sent ido antihorario .

6-46. 0 dispositivo de la figura P6.29 es el mecanism o im

p u ls or d el ag it a d o r d e u n a la va do ra . Par a la co nf ig u-

radó n mostrada , u t il ice el m étodo de ve loddad re la

t iva con la f ina lidad de de te rm inar ana l í ticamente la

ve loddad angu la r de l segmento de engrane conforme

la manive la es impulsada a 60 rp m en sent ido horar io .

6-4 7 . Ibra los eslabones de la cor tadora manual m ostrada en

la figura P6.31, util ice el m étodo d e velocidad relativa

con la finalidad de determ inar analít icamente la velo á -

dad an gular requerida del man go para pas ar la cuchilla

a t ravés de l meta l a una ve loddad d e 2 m m/s.

6-48. lhra la bom ba de a i re de peda l m ostrada en la f igura

P 6J3 , util ice el m étodo de velocidad relativa con la fi

na l idad de de te rminar ana l ít icamente la ve lodd ad de

compresión del dlind ro conforme el ensamble del pedalgira a una velodd ad de 1 rad/s en sentido antihorario.

6-4 9. En la figura P6.35 se ilustra un m ecanismo compresor

de dos cilindros. Para la configuradó n mostrada, util ice

d m étodo de velocidad relativa con la finalidad de determinar analít icamente la velocidad lineal de ambos

pi ston es co n fo rm e l a m an iv el a d e 1.5 in es i m pu ls ad a a

2000 rpm en sent ido horar io . Dete rmine también la

ve lodda d de sa l ida d e l f lu jo volumétr ico instantáneo

d el d l i n d ro d e re c h a

6-50 . En la figura P6.37 se ilustra un dispositivo que mueve

pa qu etes . Par a la co nfigura c ió n m o str ad a, ut ili ce e l m é

todo de v elodda d relativa con la finalidad de determ i

nar analít icamente la velocidad lineal del paquete, con

forme la manivela gira a 80 rpm en sentido horario.

6-5 1. En la figura P6.39 se ilustra un dispositivo que mueve

paq u e te s . P ar a b c o n fig u ra c ió n m o s tr a d a , u ti li ce e l

método de velodd ad relativa con b finalidad de d eter

m in a r a n a l ít ic a m e n te b v e lo c ida d l i n ea l d e l a p b t a -forma conforme e l d l in dro h idrául ico se re t rae a una

veloddad d e 10 fpm.

U b ic a c ió n d e c e n t ro s i n s t a n t á n e o s : m é to d o g rá f ic o

6-5 2. Ibra e l mecanism o compresor mostrado en la f igura

P6.19, de te rmine grá f icamente b ubicac ión de todos

los centros instantáneos.

6-5 3. Para b s ie rra r tdpro can te m ostrada en la f igura P6.21,

de te rmine gráf icamente b ubicadó n de todo s los cen

tros instantáneos.

6 -5 4 . Para b c o n f ig u ra d ó n d e l m e c an i sm o d e c o r t e m os

trada en b f igura P6.23 , de te rmine grá ficamente la ub i

cación de todos los centros instantáneos.

6-55. Para e l mecanism o de l l imp iador de l c r is ta l t rase ro

mo strado en b f igura P6.25 , de termine grá f icamente b

ubicadó n d e todos los centros instantáneos.

6-56. Fbra e l chapotcadero de bva do de vegetales mostrado

en la figura P6.27, determ ine gráficamente la ubicación

de tod os los centros instantáneos.6-57. Para el mecanismo agi tador de la lavadora mo strado

en b f igura P6.29, de te rmine grá ficamente b ubicac ión

de tod os los centros instantáneos.

6-58. Para la cor tadora manual mo strada en b f igura P6.31,de te rmine gráf icamente b ubica dón de todos los cen

tros instantáneos.

6 -5 9 . R i ra b b o m b a d e a i r e d e p e d al m o s t ra d a e n b f ig u ra

P6 .3 3 , d e te rm in e g rá fi c a m e n te b u b ic a d ó n d e to d o s

los centro s instantáneos.

6 -6 0 . l b ra e l m e c a n ism o c o m p re so r d e d o s c i l in d ro s m o s

t r a d o e n l a f i g u ra P6 .3 5 , d e t e rm in e g rá f i c am e n te b

ubicadó n d e todos los centros instantáneos.

6-61. Para e l d isposit ivo que mueve paque tes m ostrado e n laf igura P6.37 , de te rm ine grá f icamente b ubica dón de

todos los cen tros instantáneos.

6- 62. Ibra e l d isposi tivo qu e mueve paque tes mostrado en la

f igura P6.39 , de te rm ine grá f icamente b ubica dón de

todos los centros instantáneos.

U b ic a c ió n d e c e n t ro s i n s t a n t á n e o s :

m é to d o a n a l ít i co

6 -6 3 . Ib ra e l m e c a n ism o c o m p re so r m o s t r a d o e n b f ig u ra

1*6.19, dete rm ine analítica me nte la ubicación de todos


6 - 6 4 . Para b s ie rra redprocante m ostrada en b f igura P6.21,

de te rm ine ana l í t icamen te b ubicac ión de todos los

centros instantáneos.

6-65. Para b configurac ión de l mecanismo de cor te m ostra

da en la figura P6.23, determ ine analít icamente la ub i


6-66. Ib ra e l mecan ismo de l l impiador de l c r is ta l t rase ro

mo strado en b figura P6.25, determine analíticamente

b u b ic a d ó n d e to d o s lo s c en tr o s i ns ta nt án eo s.

6 - 6 7 . Para el chapotcadero del lavador de vegetales mo strado

e n b f i g ura P6 .2 7 , d e te rm in e a n a lí ti c a m e n te b u b i


6-68. Ibra e l mecanismo agi tador de la lavadora mo strado

e n b f i g ura P6 .2 9 , d e t e rm in e a n a l ít i c am e n te b u b i


6 - 6 9 . Ib ra b c o r t a d o ra m a n u a l m o s t r a d a e n b f i g u ra P6 .3 1,

d e t e rm in e a n a lí t ic a m e n te b u b ic a c ió n d e t o d o s l oscentros instantáneos.

6-70. Rira b bom ba de a i re de peda l mo strada en b f igura

P6.33, determ ine analít icamente la ubicación de todos


6-71. lb rae l mecanismo compresor de dos c i l indros mostra -

<b en la f igura P6.35 , de te rmine ana l í ticamente b ub i


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166 CAPITU LO SEIS

6-72. Para el mecanismo que mueve paque tes mo strado en la

figura P6.37, determ ine analít icamente la ubicación d e

lodos los centros instantáneos.

6-73. Para el mecanismo que mueve paque tes mo strado en la

figura P6.39, determ ine analít icamente la ubicación d e

todos los centros instantáneos.

M é to d o g rá f ic o d e l c e n t ro i n s t a n t á n e o

6-74. Rira el mecan ismo com presor mo strado en la f igura

P3.19 .use el método de l centro instantáneo pa ra de te r

m inar gráficamente la vdoc idad lineal del pistón, con

forme la manive la g i ra a 1500 rpm en sent ido ant iho

rario.

6-7 5. Para la sierra reciprocante mostrad a en la figura P6.21,

u t il ice d método de l centro instantáneo con la f ina li dad de determ inar gráficamente la velocidad lineal de

b cu ch il la , co n fo rm e la ru e d a d e la m an iv el a g ir a a

1200 rpm en sent ido ho rar io .

6-76 . Pi ra la conf igurac ión de l mecanismo de cor te mostra

da en la figura P6.23, util ice el méto do del centro ins

tantáneo con la finalidad de determinar gráficamente

b vel oc id ad lin ea l d e la c uc hi ll a, c o n fo rm e l a man iv el agira a 65 rpm en sent ido ant ihorar io .

6-77 . Rira d mecanismo dd l impiador de l c r ista l t rase ro

mostrado en la f igura P625, u t il ice d método de l centroinstantáneo con l a finalidad de determ inar gráficamen

te la ve loc idad angu la r de l brazo dd l impiador , con

forme la manivela gira a 55 rpm en sentido horario.

6-78. Para el mecanismo del chapoteadero de lavado de ve

n til es mostrado en la figura P6.27, util ice el método ins

tantáneo co n la f ina l idad de de te rm inar grá f icamente

ki ve loc idad angu la r de l tan qu e de agua , confo rme la

manivela es impulsada a 110 rpm en sentido horario.

6-79. Pira el mecanismo agitador de la lavadora mostrado en

b fi gura P 6 2 9 , ut ili ce e l m ét od o d el cen tr o in st an tá neo

con la finalidad de determ inar gráficamente la velocidad

angular del segmen to de engrane, conforme la manivela

es imp ulsada a 70 rpm en sentido antihorario.

6- 80. Ibra la configuración de la cortadora m anual mostrada

en la figu ra 1*6.31, utilice el mé todo d el ce ntro instantá

neo con la finalidad de determ inar gráficamente la ve

lo d d a d a n g u la r r e q u e r id a d e l m a n g o , p ara p a sa r l a

c u ch il la a t ra v és d d m e tal a u n a v d o d d a d d e 4 m m /s .

6- 81. Pi ra la bom ba de a i re de peda l mo strada en la f igura

PS.33, util ice d mé todo del cen tro instantáneo con la

finalidad d e determ inar gráficam ente la velocidad de

c o m p re s ió n d e l d l i n d ro , c o n fo rm e e l en sa m b le d e l

pe da l g ir a a u n a vel oddad de 0 .7 5 r ad /s en se nti d o a n

tihorario.6 -8 2 . 0 m e c an ism o d e u n c o m p re sor d e d o s d l in d ru s e s m os

t rado en la f igura P6J5 . Para la conf igurad ón m ostra

da. util ice el méto do del centro instantáneo con la fi

nalidad de determ inar gráficamente la velo dda d lineal

de ambo s pistones, conform e la manivela de 1.5 in es

impulsada a 2200 rpm . Calcule asimismo la ve loddad

instantánea del fl igo volum étrico de salida del cilindro

derecho.

6-8 3. En la figura 1*6.37 se m uestra un dispositivo qu e mueve

p iq u e te s . P ara la co n fi g u rac ió n m o s tr a d a , u ti li ce le

métod o gráfico de cen tro instantáneo c on la finalidad

de de te rminar la ve loc idad l inea l de l paque te , con

forme la man iveb g i ra a 70 rpm en sent ido horar io .

6-8 4 . En la f igura P6.39 se muest ra un d isposit ivo que m ue

ve paque tes . Para b con figurad ón i lust rada , u t i l ice e l

método de centro instantáneo con b f ina l idad de de

te rminar grá f icamente la ve lodd ad l ineal de b p la ta

forma, conform e e l c i l indro h idrául ico se ext iende a

u n a v e lo d d a d d e 8 fp m .

M é to d o a n a l í ti c o d e l c e n t ro i n s t a n t á n e o

6-8 5. Pi ra e l mecanismo com presor mostrado en la f igura

P6.I9, u t i l ice e l método de l centro instantáneo con b

f ina l idad de de te rminar ana l í t icamente la ve loddad

l inea l de l p is tón , confo rme b m aniveb g i ra a 1100 rpm

en sent ido horar io .

6-8 6 . Para bs ie r ra redprocante mos trada en b f igura P6.21,

utilice el método del centro instantáneo p ara determ i

nar ana l í t icam ente b ve loc idad l inea l de la cuchil la,

conforme la rueda de b maniveb g i ra a 1375 rpm en

sentido antihorario.

6 -8 7 . Pa ra b c o n f ig u ra d ó n d e l m e c a n i sm o d e c o r te m o strada en b figura P6.23, util ice el méto do de l centro ins

tantáneo con b finalidad de determinar analít icamente

b vel oddad line al de b cu ch il la , co nfo rm e b m an iv eb


6-88. Pira el mecanismo del l impiador del cristal trasero

mos trado en la figura P6.25, util ice el método d d centro

instantáneo con b f ina l idad de de te rminar ana l í t ica

mente la veloddad angu lar del brazo del l impiador, con

forme b ma niveb gira a 35 rpm en sen tido antihorario.

6-8 9 . Pi ra d chapoteadero bva dor de vegetales mostrado en

b fi gu ra P6 .2 7, u ti lice d m éto d o de l c en tr o i nsta n tá n eo

con la f inal idad de de te rm inar ana lí ticamente la v d o d

d a d a n g u b r d el t a n q u e d e a g ua , c o nfo rm e b m a n iv e b

es impulsada a 95 rpm en sent ido ant ihorario .

6-9 0. Para el mecanismo agitador de b lavadora mostrado en

b figu ra P6 .29 , ut ili ce el m ét odo d d centr o i ns ta nt án eo

con b finalidad de de terminar analít icamente la velod

dad angubr de l segmento de engrane , conforme la

maniveb es impu lsada a 85 rpm en sent ido ant ihorar ia

6 -9 1 . P i r a b c o n f ig u ra dó n d e b c o r ta d o ra m a n u a l m o s tr ad a

en b figura P 6 J 1, util ice el método d d c entro instantá

neo con b finalidad de determinar analít icamente la ve

locidad angular requerida en el m ang a para pasar b hoja

de corte a través del metal a un a velocidad de 2 5 mm/s.

6 -9 2 . Pa ra b b o m b a d e a i r e d e p e d al m o s t r a d a e n b f ig u ra

P6 J3, util ice d mé todo d d cen tro instantáneo con la fi

na l idad de de te rm inar ana l ít icamente b ve locidad decompresión del cilindro, conforme d ensamble del pedalgira a una vdocidad de 0.6 rad/s en sentido antihorario.

6-9 3 . En b f igura P6.35 se i lust ra el mecanismo compresor

de do s cilindros. Para b configuración m ostrada, util i

ce el métod o de centro instantáneo con b finalidad de

determ inar analíticamente la velocidad lineal de ambos

pi ston es , c o n fo rm e la m an iv eb d e 1.5 in es i m puls ad a a

1775 rpm en sent ido hora r ia (b lcule , asimism a b ve

locidad de salida d d flujo volumétrico instantáneo del

d l indro derecho.

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6-9 4. En la figura P6.37 se muestra un dispositivo para mo

ver paquetes. Para la configuración ilustrada, utilice el

método gráfico del centro instantáneo co n la finalidad

de de te rm inar la ve lod dad l inea l de l paque te , con

ta rme la manive la g i ra a 3 0 rp m en sent ido horario .

6-95 . En la f igura P6.39 se m uest ra un d isposit ivo para mo

ver paquetes. P ara la configurarión ilustrada, util ice el

método de l centro instantáneo con la f inal idad de de

terminar analít icamente la veloddad lineal de la pla-t i for m a, confo rme e l c i l indro h idrául ico se re t rae a

u n a v e lo d d a d d e 7 fpm .

Cu rv a s d e v e lo c id a d : m é to d o g rá fi c o

6-96. la manive la dd mecanismo comp resor mo strado en la

figura P 6.19 es imp ulsada a u na velodd ad co nstante de

1750 rpm en se ntido h orario. Elabore gráficamente la

a i rv a dd desplazamiento l ineal de l p is tón en fundó n

d d á n g u lo d e la m a n i v d a . C o n v ie r ta d á n g u l o d e b

m aniveb a tiempo. Luego, calcule gráficamen te la pe ndiente con la f ina l idad de obtene r b curva de ve loddad

de l p is tón en fu nd ón de l t iempo.

6 -9 7 . l a ru e d a d e b m a n iv e b d e l a s i er r a r e d p ro c a n te

mo strada en la figura P6.21 es impu lsada a un a velo d

dad constante de 1500 rpm en sen t ido ant ihorar io .

Elabore gráficamen te la curv a del desplazam iento lineal

d e b h o j a d e la s i er ra e n f u n d ó n d e l á n g u lo d e b

manivela. Conv ierta el ángulo d e la m aniveb a tiempo.

Luego» calcule gráficamente b pendiente c on la finali

d a d d e o b te n er b c u rv a d e v e lo d d a d d e b h o ja d e bá e r ra e n fu n d ó n d e l ti em p o .

6 -9 8 . La m a n iv d a d e l m e c a n i sm o d e c o r t e m o s t r a d o en b

figura P6.23 es impulsad a a u na velodd ad co nstante de

8 0 rp m e n se n t id o h o ra r io . Eb b o re g rá f ic a m e n te l a

curva d d desplazamiento l inea l de b cuch i lb en fun

dó n de l ángulo de b manive la . Convie rta d ángulo de

la m anivd a a t iempo. Luego, ca lcule grá f icamen te b p en d ie n te co n b fi na lidad d e o b te n er b cu rv a de ve

l o d d a d d e b c u c h i lb e n f u n d ó n d d t ie m po .

6-9 9. La ma niveb del mecanismo limpiado r del cristal trasero

mostrado en la figura P6.25 es impulsada a un a velo d

d a d c o n s t a n t e d e 6 5 rp m e n se n tid o h o ra r i a E la b ore

gráficamente b curva del desplazamiento angular de b

h o ja d el l im p ia d o r en fu n d ó n d d á n g u lo d e l a m a n i

vela. Convierta d ángulo de b manivela a t iempo. luego,

ca lcule grá f icamente b pendiente con b f ina lidad de

o b t e ne r l a c u r v a d e v d o c i d a d a n g u b r d e b h o j a d e ll im p i a d o r e n f u n d ó n d d t ie m p a

6 -1 0 0 . La m a n iv e b d e l c h a p o te a d e ro m o s t r a d o e n b f ig u ra

P6.27 es impulsada a 90 rpm e n sent ido an t iho rar ia

Elabore gráficame nte la curv a del desplazamiento an g u b r d e l c ha p o te a d e ro e n fu n c ió n d e l á n g u lo d e b

m a nive la . Co n v ie r t a el á n g u lo d e b m a n iv e b a t i e m p a

Luega ca lcule grá f icamente b pendiente con la f ina li

d a d d e o b te n e r l a c u rv a d e v e lo c ida d a n g u b r d el

t a n q ue e n fu n d ó n d d t i em p o .

6 -1 0 1 . La m a n iv e b d d m e c an i sm o a g i t a d o r d e b b v a d o ra

mostrado en b f igura P6.29 es impulsada a un a vdod -

dad d e 80 rpm en sent ido horar io . Ebb ore grá f icamen

te la curva d e l desplazamiento ang ub r de l segmento

de engrane en func ión de l ángulo de la maniveb.

Co n v ie r ta e l á n g u lo d e b m a n iv d a a t i e m p o . Lu eg o,

ca lcule grá f icamente la pendiente con b finalidad de

obtener la ve loc idad angula r dd segmento de engrane

e n fu n c ió n d d t i e m p a

6-102 . La m aniveb de l mecanism o com presor de dos c i l in

dros mo strado en b f igura P6.35 es impulsada a una

vdo ddad de 1250 rpm en sent ido horar io . Elabore grá

ficamente la curva del de spbzam iento lineal de amb os

p is to n es en f u n d ó n del án g u lo d e b m aniv el a.

Convie r ta d ángu lo de la m anivda a t iempo. Luego,calcule gráficam ente la pendien te con la finalidad de

obtener las curvas de ve lod dad de am bos p is tones en

func ión de l t iempo .

6 - 1 0 3 . La man iveb de l d isposit ivo qu e mueve paque tes mos

t ra d o e n b f ig u ra P 6 J7 e s im p u l sad a a u n a v d o d d a d d e

2 5 rp m e n se n t id o h o ra r i a E la b o re g ráf i ca m e n te lac u rv a d d d e sp b z a m ie n to l in e al d e l a ri e te e n fu n d ó n

d el á n g u lo d e b m a n iv el a. Co n v ie r ta d á n g u lo d e b

manivda a t iem pa Luega calcule grá f icamente b pen

diente con b f ina lidad de obtener la curva d e vdoc idad

del a r ie te en fund ón d d t iempo.

Cu rv a s d e v e lo c id a d : m é to d o a n a l í ti c o

6 - 1 0 4 . La m a n iv e b d e l m e c an i sm o c o m p re so r m o s t r a d o e n b

f igura P6.19 es impulsada a una ve lod dad constante

de 2150 rpm en sentido antihorario. Utilice una hoja de

cá lculo para da bo rar ana l í t icamente la curva d e des

pl az am ie nto lin ea l d d p is tó n en fu nci ón d el án gu lo de

la manive la. Convie r ta a t iempo e l áng ulo de la mani

vd a sobre e l e je . Luego, use d i fe renda les numéricas

c o n b f i na l id a d d e o b te n e r b c u rv a d e v e lo d d a d d el

p is tó n e n fu n d ó n d el t ie m p a

6 - 1 0 5 . La ru e d a d e l a m a n iv e b d e b s i e r r a r e d p ro c a n te m o s

t rada en la f igura P6.21 es impulsada a u na ve loddad

constante de 1900 rpm en sentido h o ra ria Utilice una

hoja de cá lculo con b f inal idad de e laborar ana l í tica m ente la curva de desplazamiento lineal de la ho ja de la

áerra en fund ón de l ángulo de b manivela. Convie r ta

a t iempo e l ángulo de la maniveb sob re e l e je . Luega

utilice diferenciales n um éricas con la finalidad de o b

t e ne r l a c u rv a d e v e lo d da d d e b h o ja d e b s i er r a e n fu n

d ó n d e l t i em p a

6 - 1 0 6 . La m a n iv e b d e l m e c a n ism o d e c o r t e m o s t r a d o e n b

figura P6.23 es imp ulsada a u na velocidad constan te de

80 rpm en sentido hor ario. Utilice un a hoja de cálculo

con la finalidad d e elaborar analít icamente la curva de

desplazamiento lineal de b cuchilla en fun ción del án

gulo de b manive la. Convie r ta a t iemp o e l ángulo de la

maniveb sob re e l e je . lue g a use d ife rencia les num éri

cas con la f inal idad de obtener b curva de ve lo ddad de b c u c h il b en f u n d ó n del ti em po .

6 - 1 0 7 . La m a n iv e b d e l m e c a n i sm o l im p b d o r d d c r is t al t r a

se ro m ostrado en b f igura P6.25 es impu lsada a una

ve loddad constante de 55 rpm en sent ido an t ihorario .

U i l icé una hoja de cá lculo con b f ina l idad de dabo rar

ana l ít icamente la curva de desplazamiento an gu br de

L> ho ja del l imp iado r, en funció n del áng ulo de la

manivela. Con vierta a t iempo el ángulo de la m aniveb

sobre e l e je . Luego, use d i fe renda les num éricas para

o b te n e r b c u rv a d e v e lo d d a d a n g u b r d e l a h o ja d e ll im p i ad o r en f u n d ó n d d t i e m p a

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168 CAPITULO SEIS

6 - 1 0 8 . La manive la de l chapoteadero m ostrado en la f igura

P6.27 es imp ulsada a una ve locidad de 65 rpm en sen

tido ho rar ia Utilice un a ho ja de cálculo con la finali

dad de e laborar ana l ít icamente la curva de desplaza

m ie n to a n g u b r d e l c h a p o te a d e ro e n fu n c ió n d e l

ángulo de la manivela. Con vierta a tiem po el ángulo d e

La man ivela sobre el eje. Lu eg a use diferenciales nu méricas con la finalidad d e obtene r la curva de v eloci

dad angula r de l tanque en fun dó n de l tiempo.

6-109 . La manivela del agitador de la lavadora mostrado e n la

f igura P6.29 es impulsada a 65 rpm en sent ido ant iho

ra r ia Ut i lice una ho ja de cá lculo con la f ina l idad de

e laborar ana l ít icamente la curva d e desplazamiento

a n g u la r d e l se g m e n to d e e n g ra n e e n fu n d ó n d e l á n

gulo de la manivela. Convierta a t iem po el á ngulo de la

manivela sob re el eje. L uega use diferenciales nu m éricas co n la finalidad d e obtener la curva de velocidad an

gular del segmento de engrane en fu nd ón de l t iempo.

6-110. La manive la del mecanism o compresor de dos c i l in

dros m ostrado en la figura P6.35 es imp ulsada a 1500

rpm en sent ido ant ihorar io . Ut il ice una ho ja de cálculo

con la finalidad de elabo rar analít icamente la curva de

desplazamiento l inea l de amb os p is tones en fund ónde l ángulo de la manivela . Convie r ta a t iempo e l án

gulo de la m anive b sobre e l e je. Luego, use d i fe ren

ciales num éricas con b finalidad de obten er bs curvasde veloc idad de am bos p is tones en fun dó n de l t iempo.

6 - 1 I I . La maniveb de l mecanismo que mueve paque tes

mostrado en b f igura P6.37 es impulsada a 30 rpm en

sentido antihora rio. Utilice una ho ja de cálculo co n la

f ina l idad de e laborar ana l í t icamente la curva de de s

pl az am ie nto l in ea l d el ar ie te en fu n d ó n del ángu lo d e la

manive la . Convie r ta a t iempo el ángulo de b manive-

b so b re el e je . L uega u se d if eren cial es num ér ic as c o n b

finalidad de ob tener la curv a de velocidad del ariete enfu n d ó n d e l t ie m p o .

V e lo cid ad c o n W o rk in g Mo d e l

6-112. La maniveb de l mecanismo compresor mostrado en b

figura P6.19 es imp ulsada a un a velocidad constante de

1750 rpm en se ntido ho ra ria Utilice el software Working

Model para crear un a simulación y graficar la veloddad

Ineal del pistón en función del ángulo d e la manivela.

6 - 1 1 3 . la ru eda de b maniveb de la s ie rra rec iprocante mos

trada en b figura 1*6.21 es impulsada a una v elodda d

constante de 1500 rpm en sen t ido an t iho rar ia Ut il ice

e l sof tware Working M odel con b f ina l idad de c rear

una s imu ladón y gra fica r b ve loc idad l inea l de b hoja

de la sierra en fu nción del ángulo d e la manivela.

6-114. La m aniveb de l m ecanismo de cor te mo strado en b f i gura P 6.23 es impulsada a un a ve loddad constante de

80 rpm en sent ido h ora r ia Ut i lice e l software Working

Mo d e l c o n l a fi n a lid a d d e c re a r u n a s im u b d ó n ygraf ica r b ve loddad a ng ub r de b cuchil la en función

del áng ulo de la maniveb.

6 - 1 1 5 . La m aniveb del mecanismo limpiado r del cristal trasero

mostrado en la f igura P6.25 es impulsada a un a v doa -

<bd constante de 65 rp m e n sentido ho rario. Utilice el

software Wbrking Model con la finalidad de crear una

simulación y graficar la velocidad angular de la hoja del

im piado r en fundón de l ángulo de b manive la .

6 - 1 1 6 . La man iveb de l chapo teadero m ostrado en la f igura

P6.27 es impulsada a 90 rpm en sent ido ant ihorar io .

Utilice el software W orking Model co n b finalidad dec rea r u n a s im u la d ó n y g ra fi c ar b v e lo d d ad a n g u b r d el

t a nq u e e n fu n d ó n d e l á n g u lo d e b m a n iv e b .

6 - 1 1 7 . La man iveb de l mecanismo agi tador de una lavadora

mostrado en b f igura P6.29 es impulsada a una ve lod

dad de 80 rpm en sent ido horar io . Ut i l ice e l sof tware

Wo rk in g Mo d e l c o n b f i n al id a d d e c re a r u n a s im u b d ó n y gra fi ca r b ve lo cida d a n g u b r d el se gm en to de

engrane en fu nd ón del ángu lo de la manivela.

6 - 1 1 8 . La manivela del m ecanismo com presor de dos dlin dros

mostrado en b f igura P6 J5 es impulsada a una ve lod-

cbd de 1250 rpm en sentido ho rar ia Utilice el softwareWorking M odel con la f ina lidad de c rear una s imu

b d ó n y gr af ic ar b ve lo cida d a n g u b r d e a m b o s pi st on es

en fund ón de l ángulo de b manive la .

6 - 1 1 9 . La manivela del dispositivo que mueve p aquetes mos

t rado en la figura P6 J7 « impulsada a una ve loc idad de

25 rpm en se ntido h orario . Utilice el software Wbrking

Model con la f ina l idad de e rra r un a s imuladó n y gra

ficar b veloddad lineal del ariete en fu nd ón del ángulo

de b manivela

ESTUD IOS DE CASO _________________________

6-1 . En b f igura E6.1 se muest ra un mecanismo que se u t i

l iza para impulsar una s ie rra de p oten da para meta les.

H mecanismo es impulsado po r e l e je de un m otor e léc-

trico acoplada al engran e A . Examine cuidadosamente b co nfiguradón en cuestión. Luega conteste b s siguien

tes preguntas con b f ina lidad de obtene r m ayor co

nocimiento acerca de la operación del mecanismo.

fi g u ra F6.I (C orte sb de Indu strial Press).

1. (ba nd o e l engrane A s e fu e ra a g i r a r e n se n tid o a n t ih o

ra r ia ¿cuál es e l m ovimiento de l engrane acoplado B?

2. (ba nd o el engrane A se fuerza a girar en sentido anti

ho raria ¿cuál es el movimiento del pern o incrustado C?3. Cuando el engrane A se fuerza a g i ra r en se nt ido ant i

horar io , ¿cuál es e l mov imiento de b pab nca D t 4 . ¿ Có m o d if i e re el m o v im ie n to d e la p a b n c a D del

m o v im ie n to d e b p a b n c a £ ?

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7.

6 - 2.

1.

Dete rmine la posic ión de l engrane B que colocar la a

b p al an ca D e n su p osi ci ón e x tr em a inf er io r.

Determine la posición del engrane B que colocaría a la

p il an ca D en s u po si ci ón ex tr em a su pe rior .

Determine la cantidad de giros del engrane B para ele

var la pa lanca D y el nú m ero d e g i ros para ba ja r la

pa la nc a.Aproxim adamente, ¿cuál es la diferencia entre el tiempo

po ra el ev ar la pa la nc a D y e l ti em p o p ar a b ajar la?

Com ente acerca del mo vimiento c ont inu o de la pa-

b n c a £

La figura E6.2 ilustra un mecanism o que imp ulsa una

mesa para u na o perac ión espec ial de a f i lada Examine

cuidadosamente la conf igurac ión en cuest ión . Lueg a

conteste las s iguientes preguntas con la f ina l idad deobtener m ayor conoc im iento acerca de la operac ión

del mecanismo.

f i g u r a E6.2 (Cortesía de Ind ustrial Press).

Cu a n d o l a ru e d a C se fu erz a a g i r a r e n se n t id o a n t i

ho rar ia ¿cuál es e l movimiento de l perno D?

2 . ( l i a n d o l a ru e d a Cs e fu erza a g i ra r e n se nt id o a n t ih o

ra ria ¿cuál es el movim iento del eslabón G?

3. Dete rmine la posic ión d e la rueda C qu e colocarlad p u n to / e n su p o s ic ión e x t re m a su p e rio r.

4. D e te rm in e l a p o si c ió n d e b ru e d a C q u e c d o c a rb e l

pu n to /e n su posi c ió n e xtr em a infer ior.

5 . D e term in e b c an t id a d d e g i ro s d e b ru e d a C p a ra e l e var e l pu nto / y b cant idad de g i ros para ba jar lo .

6 Aproximadamente, ¿cuá l es b d i fe renc ia ent re e l t iem

p o p a ra el ev ar el p u n to / y el t ie m p o para ba jar lo?

7 . ( l ím ente acerca de l movimiento c ícl ico de b pa lanca £

8. Describa el mo vimiento de la mesa R.

9. ¿Cuál es b función de este mecanismo?

10. ¿Por qu é hay cuerdas de tornillo en los extremos de l es b b ó n H?

11. Calcule b movilidad de este mecanismo.

6 - 3 . La f igura E6.3 i lust ra u n mecan ismo que im pulsa e l

fuelle en una máq uina d e respiración artificial. Examine

cuidadosamente b configuración en cuest ión . Luega

conteste b s s iguientes pregu ntas con la f ina lidad deobtener m ayor conoc im iento acerca de la operac ión

del mecanismo.

Vi sa froreal

f i g u r a B6.3 (C orte sía de Indu strial Press).

1. Cu a n d o e l e sb b ó n E g i r a c o n t in u a m e n te e n se n t id oa i t¿horar io y recorre b ranu ra / en e l instante mostra

d a ¿cuál es el movim iento del disco P.2 . C u a n d o e l e s b b ó n E g i r a c o n t in u a m e n te e n se n t id o

antihorario y recorre b ran ura / en el instante mostrad a ¿cuá l es e l movimiento de b banda G?

3 . C u a n d o e l e s b b ó n E g i r a c o n t in u a m e n te e n se n t id o

ant ihorario y recorre b ranu ra / o í e l instante m ostra

d a ¿cuá l es e l movimiento de b corredera A?

4 . Conform e el esbb ón E se aproxima a la ram pa Af,¿quésucede con el resorte N?

5 . Co n form e e l e sb b ó n E h ac e c on tac to c o n b r a m p a Af,

¿qué sucede con el esb bó n E?

6 Co n form e e l e sb b ó n E hace contac to co n la ram pa M,

¿cuál es el movim iento del disco R

7 . Conform e el eslabón E hace con tado con la ram pa Af,

¿cuál es el m ovimiento d e b corredera A?

8. Co n fo rm e el e s la b ó n Ec o n t in ú a g i r a n d o m á s a lb d e b

ram pa Af, ¿cuál es el m ovim iento del disco R9 . Co n fo rm e el es l ab ó n £ a tr a p a b r a n u ra K , ¿cuál es el

mo vimiento d el disco E?

D e scr ib a e l m o v im ie nto c o n t in u o d e b c o r re d e ra A , bcual impulsa un extrem o del fuelle .

10.

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C A P I T U L O

S I E T E

ANÁLISIS DE ACELERA CIÓN

O B J E T I V O S

Al ter minar d t es tudiar a te (a piad o, t i a lumno será capa z de:

1. Definir lo ik dr no on cs lineal, angular, normal, tangencial,

<lr Corioli* y relativa.

2. Utilizar d método d e aceleración relativa para obtener

gráficamente la aceleración de un p un to sobre un eslabón,conociendo la aceleración de ot ro punto sobre el mismo

eslabón.

3. Utilizar d método de acdcración relativa para determ inargráficamente la aceleración de un pu nto de interés sobre

un eslabón flotante.

4. Saber cuándo se presenta la aceleración de Corioh.v e incluirlaa i el análisis.

5. Usar el método d e aceleración relativa para obtenerm lilicam cntc la acdcración de un punto.

6. Usar el método d e aceleración relativa para obtener

analíticamente la acdcrac ión del pun to de interés sobreun eslabón flotante.

7. Co nstruir unacurv a de aceleración para localizar los valoresextremos de aceleración.

7.1 INTRODUCCIÓN

El análisis de aceleración incluye determ inar la m anera en q ue

de r to s pun tos sobre los eslabones de u n m ecanismo "se aceleran* o “se desaceleran". La acele radó n es una p rop ieda d crit ica

p o r l as fu er za s in er cial es q u e se l e as oc ia n. En el e stu d io de las

fuerzas, Si r Isaac N ewton descubrió que la fuerza inerc ia ! es

p ro p o rc io n a l a la a c e le ra d ó n q u e a d q u ie re u n cu erp o . Est e

fe n ó m e n o se o b se rv a c a d a v ez q u e u s t e d a v an z a e n su a u tomóvi l ráp idamente hac ia ade lante y apl ica los f renos con

m ucha fuerza.

Desde luego, una parte imp ortante del diserto de m ecanis

mos es g arantizar que la resistencia de los eslabones y las un io

nes sea suf idente para so porta r b s fuerzas a que se someten . Es

im portante la com prensión d e todas las fuerzas, sobre tod o las

de inercia. El análisis de fuerzas se presenta en los capítulos 13 y14. Sin emb argo, com o paso pre l iminar , se debe e fec tuar e l

aná l is is de ace le radón d e los eslabones de u n mecanismo.

El obje t ivo d e este capi tu lo es la de te rm inadó n de la ace

le radón en un eslabonamiento . El procedimiento pr indp a l que

se usa en este análisis es el m étod o de ace lerad ón relativa, el

cual util iza los resultados del método de v do dd ad relativa presentado en el capitulo 6. En congruen cia con otros capítulos de

este libro, se utilizan técn icas tanto g ráficas com o analíticas.

7.2 ACELERACIÓN LINEAL

La aceleradón linea l A de un pun to es el cambio de la velocidad

l inea l de ese pun to po r unidad de t iempo. El capi tu lo 6 sededicó al análisis de velocidad. La velocidad es un a cantidad

vec tor ial que se def ine po r su magni tud y su d i recd ón. Por lo

tanto , un cambio en la magni tud o en la d i recdón de la ve loc i

dad p roduce u na ace le rac ión . La mag ni tud de l vec tor de acele radón se designa como a = | Al.

7 .2 .1 A ce l e r ac ión li ne a l d e pu n t o sq u e s e m u e v e n e n l ín e a r e c ta

Considere u n p un to que tiene movim iento rectil íneo o en línea

recta . Un p unto así se encuentra con má s frecuenc ia sobre un

eslabón que está su je to a la bancada po r m edio de u na unión de

corredera. En este caso, tan solo pued e camb iar la m agnitud delvec tor de ve loc idad . La ace le rad ón s e descr ibe matem át ica

men te como:

A VA = lím ——

a»—o A t

d v

d t( 7 . 1 )

Sin embargo, como

entonces.

A =S R

d i2(7.2)

Para periodos de tiem po cortos, o cu ando la aceleradón se

supo ne lineal, se util iza la siguiente reladó n:

A -A V

A i(7.3)

Com o la velocidad es u n vector, la ecua dó n (7.1) establece

que la aceleración tam bién es u n vector. La dirección de la ace

lerad ón lineal es en la dire cd ón del movim iento lineal cuando

el eslabón acelera. Por el contrario, cua nd o el eslabón desace

lera . la d i recdón de la ace le radó n l inea l es opuesta a la d i rec

dó n de l m ovimiento l inea l.

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An álisis de aceleración 171

La aceleración lineal se expresa en un idades de velocidad

( longi tud po r t iempo) d iv id idas ent re unidad es de t iem po, o

longitud po r t iem po al cuadrado. En el sistema tradicional esta

dounidense , b s unidades de uso com ún son p ies po r segundo al

cuadrado (f t/ s2) o pulgadas p or segundo a l cuadrado ( in /s2) . En

e l s is tema in ternac iona l , b s unidades de uso com ún son metros p o r se g u n d o a l c u ad ra d o (m /s ‘) o m il ím e tr o s p o r seg un d o a l

cuadrad o (mm /s2). Para f ines de com parac ión , b ace le rac ión

lineal se expresa con frecuencia en relación con b aceleración de

b gr av ed ad : g = 32.17 ft/s2 - 386.4 in/s2 = 9.81 m/s2.D e modo

que una aceleración de 10# es igual a 3864 in/s2.

7 .2 .2 A c e l e ra c i ó n r e c t i l ín e a c o n s t a n t e

Replanteándola ecuación (7 3) ,el cambio de velocidad que ocurre

durante un periodo de aceleración constante se expresa como

A V = Vfínai - V ^ - y = A A i (7.4)

Asimismo, el desplazamiento correspondiente que ocurre

dura nte un per iodo d e ace le rac ión constante se esc r ibe como:

A R = ^ A A í 2 + V « k y A r (7.5)

Las ecuaciones (7.4) y (7.5) se comb inan para obtener:

(VfBy ) 2 = (VlnkW)2 + 2A A R (7 .6)

C om o e l m ovimiento rec t i líneo se da a lo la rgo de una l ínea

recta, la direcció n del desplazam iento, la velocidad y b ace

leración ( r, v, a ) se especifican con un signo algebraico a lo largo

de un e je de coordenadas. De m odo que b s ecuac iones (7 .4) ,

(7 .5) y (7 .6) se expresan en té rm inos d e b s magni tudes vec to

riales (r, v, a).


B elevador exprés de un edificio alto puede alcanzar u na velocidad total de 15 mp h en 3 s. Supo niendo que el ele

vador experimenta aceleración constante, determine la aceleración y el desplazamiento durante los 3 s.

SO LU CIÓ N : 1 . Calcúlela aceleración

Suponiendo que la aceleración es constante, se debe usar básicamente la ecuación (7 3). Co m o el elevador parte

del reposo, el cam bio de velocidad se calcula como:

A V - (15 m p h - 0 ) = 15 m p h

Entonces, b aceleración se calcula como:

A t 3 s

No rm al ice la acelerac ión con resp ec to a la grav ed ad

Cua ndo Las personas se aceleran en un elevador, b aceleración "se normaliza" con frecuencia en relación con b ace-

kra ción de la gravedad. la aceleración estándar de la gravedad (g) sobr e b tierra es de 32.17 ft/s2 o b ien 9.81 m/s2.

Rtr consiguiente, b aceleración del elevador se expresa como:

3. Calcule el desplazam iento dura nte el intervalo d e 3 segundos

H desplazamiento se determina co n la ecuación (73 ).

A R = - (jAl2 + vmkU1AI = j (7 3 ft/s2)(3 s)2 + (0 )(3 s)

- 32.9 ft T (o aproximadam ente 3 pisos)

7 .2 . 3 A ce l e r ac i ón y e l pe r f i l de ve l oc i dad

Com o se establece en b ecuac ión (7 .1), la ace le rac ión instan

tánea es b pr im era der ivada de b ve loc idad instantánea con res

pe cto al ti em po . O ca sio n al m en te se en co n tr ó u n a ec uac ió n de

fo rm a c e rra d a p a ra b v e lo c id a d in s t a n tá n e a d e u n p u n ta En

tales casos, b derivada de b ecuación, evaluada en el t iem po es

peci fi cad a p ro p o rc io n ará b ac el er ac ió n in st an tá nea . C o n má s

frecuenc ia , sobre todo en los ac tuadores program ables que se

usan en tareas automatizadas, los perfiles de velocidad se especi

fican com o se hizo en el capítulo 6. Recuerde que el desp bza-

miento en cierto intervalo de tiempo es el área deba jo de b curva

v -t En cam bia b acele rac ión en un c ier to t iempo e s b pendiented e l a c u rv a v-L

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172 CAPITULO SIETE


Una operación automatizada de ensamble requiere movimiento lineal de un servo m otor El desplazamiento total

tfebe ser de 10 in. Por razones de diseno, la velocidad máxim a está limitada a 2 in/s, y laaceleración o la desaceleración

ntíximas n o deben exceder 4 in/s2.O rifiq ue el perfil de velocidad para esta aplicación.

S O L U C I Ó N : I . Det er min e lo s pa rá met ro s d el mov im ie n to dur an Ir la acel erac ión

B i el perfil estánda r de velocidad de un se rvomo tor, la parle de aceleración del m ovim iento es aceleración cons

tante. Reagrupando y sustituyendo las m agnitudes de la velocidad v y d e la aceleración u en la ecuación <7 3 ) . se

obtiene el tiem po transcurrido duran te la aceleración.

¿ v (2 - 0) in /sA i = — = ------------ — = 0 3 s

a 4 in/s2

Se usa la ecuación (73 ) para calcular la m agn itud del desplazamiento duran te la aceleración.

A R = ^ uA í2 + Vfiuúi A t

= i (4 in /s2) (3 s )2 + <0 ) (3 s ) — 0 3 in

2 . Calcule los parámetros de m ovim iento durante la desaceleración

&i d perfil estándar de velocidad, la p arte de desaceleración del m ovimien to es aceleración constante. El tiempo

transcurrido d urante la desaceleración es:

A v (0 - 2 ) in /sA t = — t — y - 0 3 s

a - á m / s 2

la ma gnitud del desplazimicnto duran te la desaceleración es:

A R = ^ u A / 2 + v BU u 1A I

- ( —4 in /s 2 ) ( 3 s ) 2 + 2 2 i n /s ( 3 s ) = 0 3 i n2

Dete rm in e lo s pa rá met ro s d el mov im ie n to d u ra nte e l es tado e stac io na rio

Como du rante la aceleración d desplazamiento es igual a 03 in y de otras 0 3 in duran te la desaceleración, las

9in restantes de desplazamiento ocurren duran te el mo vimiento d e velocidad constante. Se usa la ecuación (6.2)

pa ra ca lcul ar el t ie m po tr an sc ur rido dura nte la pa rte de ve locida d constan te.

A f t 9 ¡nA r =» — - —— * 4 3 s

v 2 i n /s

Calcule los parám etros del m ovimien to dur ante el estado estacionario

Usando la información d e velocidad y tiempo de esta sccucnc é, se genera el perfil de velocidad m ostrado en la

figura 7.1.

Mió»)

F I G U R A 7.1 Perfil de velocidad del problem a de ejem plo 7 . 2 .

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7 .2 .4 A c e le r ac ió n li n e a l d e u n p u n t o

e n g e n e r a l

Co m o se m e n c io n ó a n te r io rm e n te , l a v e lo d d a d d e u n p u n to

con m ovimiento en genera l sue le cam biar de dos maneras:

1. Un cam bio en la m agnitud de l a velocidad. Este produce

un a aceleración que actúa a lo larg o de la trayectoria del

movim iento, como se señaló en b sección anterior. Estaace le radón se conoce como aceler adón tangenc ial A'.

2. La d i recdón de l vector ve loddad puede cam biar conforme

p asa el t ie m p o. Es to o c u rre cu a n d o el es b b ó n . c o n el c ua l

está asociado el pun to, experim enta mov imiento giratorio

qu e produce una a ce le radón centri fuga, b cua l actúa

p erp en d ic u b rm e n te a la d ir e cd ó n de l a tra yec to ri a d el

movim iento. La aceleración se cono ce com o aceleración

normal A".

La figura 72 m uestra el pun to A moviéndose a lo largo de

una trayectoria curva. La aceleradón tangencial del pun to A, A'a,

e s la ace le radón l ineal a lo la rgo de b d i recdón de l movimien

to. Observe que el vector apu nta en b direcd ón del movimiento

p o rq u e e l p u n to A e stá ac el er an do . Si el p u n to A e stu vi er a de

sace le rando, e l vec tor de la ace le radón apunta rb en sent idoopuesto a la direcd ón del movim iento. Desde luego, el vector de

ve loddad siempre apun ta en b d i recdón de l m ovimiento . Por lo

tanto, un p un to qu e acelera está asociado con un vector de ace

leradón tangencial que es consistente con el v ector de veloddad.

Por el contrario, la desaceleración está asoda da con un vector de

acelera dón tangencial opues to al vector de velocidad. La magni

tud de b ace leradón tangenc ia l se de te rmina usando b s ecua-

do nes (7 .1) , (7 .2) o (7.3) .

A ¿(accbiación tangencial dd punto A)

V A (velocidad dd punto A)

X Trayectoriadd movimicn

, A,4 (aceleración normal dd punto A)

f i g u r a 7 J A c e lera d ón d e l p u n to A .

a ese punto . Com o con b ve loddad, var ios puntos sobre un es

labón pueden tener ace le radones d i fe rentes , aun cuando e l

esbbó n com ple to tenga b misma ace leración g i ra toria .

7 .3 .1 A ce l e r ac i ón an gu l a r

La aceleración ang ular a d e u n e sb b ó n e s b v e l o d d a d an g u b r

d e e se e sb b ó n p o r u n id a d d e t ie m p o . Ma tem á t ic a m en te, b a c e

leración angular de un eslabón se describe como:

Acó dúi a = l im — — = —

d r — o A f d t (7.7)

Sin embargo, como

entonces.

ifio

d t (7.8)

Para per iodos de tiempo cor tos, o cua ndo se supone qu e b aceleración an gu br es l ineal, se util iza la siguiente reladón:

Acó

A f (7 .9)

Al igual que en el análisis de b sección 7.2, b direc dón de

t i a c e l e rad ó n a n g u b r e s t á e n b d i r ec c ió n d e l m o v im ie n to

cuando la velocidad angular se incrementa, o el esbb ón acelera.

Por e l contra r io , b ace le ración an gu br t iene d i recc ión opuesta

a l movimiento cuando b ve loddad a ng ub r d isminuye , o e l es

labón desacelera. En los análisis sobre u n p lano, b direc dó n se

descr ibe como en sent ido horar io o en sent ido ant ihorar io .La ace le radón a ng ub r se expresa en unidades d e ve loc idad

an gu br (ángulo p or tiemp o) d iv id idas ent re unidades de t iem po , o án gul o p o r ti e m p o al cu ad ra do. Tan to en el si st em a t ra di-

d o n a l e s t a d o u n id e n se c o m o e n e l s i s te m a in te rn a c io n a l , b s

unidades que se usan com únm ente son grados po r segundo a l

cuadrado (deg/s2) , revoluc iones por segundo a l cuadrado

(rev/s2) o la unidad pre fe r ida de radianes por segundo a l

a ladrad o (rad/s2) .

1.a aceleración norm al del p un to A, A¡}> es r esu ltado del

camb io en la dirección del vector de velocidad. Actúa a lo largo

de b l ínea perpen dicub r a la d i recc ión de l movimiento y hada

e l centro de curva tura de b t rayec tor ia. En b secdón 7 .4 se pre sentan de ta l les ad ic iona les de b s ace le radones tang en cb l y

normal.

7.3 ACELERACIÓN DE UN ESLABÓN

Re c u erd e q u e e n b se c d ó n 6 .3 se v io q u e cu a lq u ie r m o v i

miento , indu so un mov imiento comple jo , se pued e v isua lizar

c o m o u n a c o m b in a c ió n d e m o v im ie n to e n l i n ea r e c ta y m o

vimiento g i ra tor ia La descripc ión com ple ta de l movim iento de

un eslabón consiste en la espedfica dón del mov imiento lineal

de un p u n ta y e l m ovimiento g i ra torio de l eslabón con respec to

7 .3 .2 A c e l e ra c ió n a n g u l a r c o n s t a n t e

Re p b n tea n d o b e c u a d ó n (7 .7 ) , el c a m b io d e v e loc id a d a n g u b r

q u e o c u r re d u r a n t e u n p e r io d o d e a c e l e r a d ó n a n g u b r c o n s

tante se expresa como:

A to = a»f1(B| - oiú útu = a A f (7 .10)

Asimismo, el desplazamiento ang ular correspond iente que

ocurre durante un per iodo de ace le ración angula r constante se

expresa como:

1 0 = “ « A l2 + tu-m it éiA í (7 .1 1 )

Las ccuadones (7.10) y (7.11) se combinan para obtener:

= f o n ic U ) 2 + 2 a l O (7.12)

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174 CAPITULO SIETE


Un m otor eléctrico impulsa la rueda de un afilador en sentido horario, com o se indica en la figura 7 3 . l a rueda ace

lera hasta 1800 rpm en 2 s cuan do se enciende é m otor. Suponiendo qu e esta aceleración es constante, determine la

aceleración angular de la rueda afiladora. Determine asimismo e l núm ero de reso luciones que la rued a gira antes de

alcanzar la velo cidad final.

F IG U R A 7 J R u e d a d e l a f i l a d o r d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 7 . 3 .

S O L U C I Ó N : I . Calcule la aceleración

G a m o l a a c e l e r a c i ó n n o r m a l m e n t e s e e s p e c if ic a e n r a d / s 2, s e c o n v i e r t e l a v e l o c i d a d d e l a r u e d a d e l a f i l a d o r a

r a d / s d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

/ 2w ra d N / I m i n \Aai = 1800 rp m l II — I = 188ó rad/s, en sentido horario

V I re v A « ) s /

Con aceleración constante, se debe usar la ecuación (7.9) para obte ner

A oj

A /

( 188-5 n d f t - 0 ) . ^ e n se ntid o h orario

L a d i re c c i ó n d e l a a c e l e ra c i ó n e s e n s e n t i d o h o r a r i o y ti e n e l a d i r e c c i ó n d e l m o v i m i e n t o p o r q u e l a r u e d a d e l

a f il a d o r e s t á a c e l e r a n d o .

2. Calcule el desplazamiento durante el intervalo de 2 segundos

H n úm ero de revoluciones durante este periodo de aceleración se determina con la ecuación (7.11).

A0 = ' - a A l2 + riHn ^iA/= ~ (94.2 rad/s*)(2s)^ + (0)<2 s)

= 188.4 rad( 7 >eV. ) = 30.0 revoluciones\ 2w rad /

7.4 ACELERACIÓN NORMA LY TANGENCIAL

Co m o se expuso en la sección 7.2.4, la velocidad de u n p un to que

se m ueve en un a trayectoria cualquiera cambia de dos maneras

independientes: la magnitud o b dirección del vector de velod dad p ueden cambiar en el t iempo. Desde luego, b aceleradón es

e l cambio de ve loddad durante e l t iempo t ranscurr ido , de ma

n e ra q u e b a c e l e rad ó n g e n e ralm e n te se d iv id e e n d o s c o m p o

nentes: normal y tangencia l. La comp onente norm al se forma

como resul tado de l cambio en b d i recd ón de l vec tor de ve lod

dad. La compo nente tangenc ia l se forma como resultado de l

camb io en b magnitud del vector de veloddad.

7 .4 .1 A ce l e r ac ión tang enc i a l

Para un pun to sobre un esbbó n g i ra tor io , se requie re poco es

fuerzo para de te rminar b d i recd ón de estos componentes de b

aceleradón. Recuerde que b veloddad instantánea de un p unto

sobre un e sbb ón que g i ra es perpend icubr a b l ínea que conec ta

ese punto con e l centro de ro tadón. Cua lquie r cambio en la

magn itud de esta velodd ad crea un a aceleradón tangencial, que

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también es perpendicula r a la l inea que un e e l punto con e l cen

t ro de ro tac ión . La magn i tud d e la ace le rac ión tangenc ia l de l

p u n to A sobre un eslabón 2 que g ira se expresa como:

A d i

« W o i ) M _ n . , ,

— t rOA— - rOA°2 (7-13)

Es muy imp ortante recordar que la ace leración angula r o

en la ecuación (7.13) se debe expresar en unidades de radianes

p o r t ie m p o al c u a d ra d a Lo s ra di an es p o r s eg und o al c uad ra doson la un idad más común. Al igual que en el análisis de la sec

ción 7.2, la aceleración tangencial actúa en la dirección del

mo vimiento cuando la velocidad se incrementa o el punto ace

lera. Por el co nt rar ia la aceleración tangencial actúa en d irec

ción op uesta al movim iento cuand o la velocidad disminuye o el p u n to d esacelera

7 .4 .2 A c e l e ra c i ó n n o r m a l

Cualquier cam bio en la dirección de la velocidad crea una ace

le rac ión no rma l , la cual s iemp re se d i r ige hac ia e l centro de

rotación. La figura 7.4a mue stra u n eslabón que g ira a velocidad

constante . La ve loc idad de l punto A se muest ra un instante

antes y un instante después de la conf igurac ión en considerac ión , separada por un pequeño ángu lo dB¡. C om o e l eslabón

gira a ve loc idad constante , son igua les las magni tudes de

VA' y V * . D e m o d o q u e V A' = V / .La figura 7.4b ilu stra u n p olígono de velocidades resuelto

v e c to ri a lm e n te p a ra o b te n e r e l c a m b io d v de la velocidad.

Observe que e l cambio d v en el vector de velocidad está dirigido

hacia el centro de rotac ión del eslabón. De h ec h a la aceleración

normal si em pr e e s ta rá d i r ig ida hac ia e l centro de ro tac ión de l

eslabón. Esto es así porqu e com o e l punto g i ra a l rededor de un

pi vo te f i j a el ve ctor d e ve lo cida d ca m bia rá a lo la rg o d e la cu r

va tura de l mov imiento . Por consiguiente , e l vec tor no rma l a

esta curv atura siem pre estará dirigido hacia el pivote fija

Co m o Afl es peq ueñ o en la figura 7.4a. se establece la siguien

te relación:

dvA = vÁdQ¡

Debido a que h ace le rac ión se defin ió com o e l cam bio de ve

loc idad duran te el t iempo t ran scu rr ida a l d iv id i r ambos lados

de la expresión ante r ior en t re e l t iem pa se obt iene :

- dvA dO,

* * = ~ d i = V/1T = Vá“ *

U an do la ecuación (6.6), que relaciona las magnitudes de la ve

locidad lineal y la velocidad angu lar, se derivan las siguientesecuaciones de la magnitud d e la aceleración norma l de u n pu nto:

“ 3 = V/t*2 = (<O2r0A )a>2 = u>l rOA (7.14)

« 2 = vAo*2 = ~ (7.15)V a * / rIM

7 .4 .3 A ce l e r ac i ón t o t a l

Co m o se menc ionó anteriorm ente, el análisis de aceleración es

importante porque las aceleraciones generan fuerzas inercia-

les . Se debe n de te rm inar estas ca rgas pa ra asegurarse que la

máquina se d iseñe adecuadam ente para m aneja r estas cargas

dinámicas. Las fuerzas inerc ia les son proporc iona les a la ace

leración total de un c uerpo . La axlcración total A es el vector re

sultante de las com pon entes tangencial y norm al. M atemática

mente, esto se expresa como:

A a = A l + > AÁ (7.16)

©

u .

f i g u r a 7 . 4 Aceleración n o r m a l .


El mecanism o que se presenta en la figura 7 5 s e usa en un centro de d istribución par a empujar cajas a lo largo de una

pl ata fo rm a hac ia e l área d e c ar gi . El eslab ón de en tr ada e s im pu lsad o p o r u n m o to r e léc tri co e l cu al , en el ins tan te

mostrado, tiene una velocidad de 25 rad/s yacclcra a 500 ra d/f .S i el eslabón de entrada tiene una longitud de 250 mm,

determine la aceleración instantánea del ex tremo del eslabón de entrada en b posición que se muestra.

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176 CAPITULO SIETE

S O L U C I Ó N :

fi g u ra 7 J Mecanismo de t ransfe renc ia de l problema de e jemplo 7 .4.

1. Dib uj e el d iagr am a cin em át ico y ca lc ul e l ot grado s d e l iber ta d

B diagrama cinemático del m ecanismo de transferencia se m uestra en la figura 7.6a. Observe que este es el con o

cido mecanismo de cuatro barras.

(D

100

mmA!

FIGURA 7.6 Diag rama s del pro blem a de ejem plo 7.4.

2. Det er min e la a ce lera ció n ta ng enc ia l de l pu n to A

Como el eslabón de entrad a (eslabón 2) está en rotación pura, se obtienen fácilmente las com ponen tes de ace

leración en el extrem o del eslabón. Se usa la ecuación (7.13) para determinar la m agnitu d de la aceleración tan-

<* a - ra ¡ - (250 mm ) (500 rad/s2) - 125000 m m /i1 - 125.0 m/*2

Com o el eslabón está acelerando, la dirección del vector se encuentra en la dirección del movim iento en elextremo d d eslabón, la cual es p erpendicular al eslabón m ismo. Por lo tanto, la aceleración tangencial es

Aj , - 125b m/s2 ^50-

3. D et er m in e la ac el er ac ión no rm a l de l pu n to A

Se utiliza la ecuación (7.14) para determinar la ma gnitud de la aceleración normal.

* a " 'o a “ j " (250 mm ) (25 rad/s)2 - 156250 mm/s2 - 156.25 m/s2

La aceleración normal sie mp re apun ta hacia el centro de rotación. Por consiguiente, la aceleración normal

se calcula como:

A l - 156.25 m/s2 4 0 /

la s com ponentes de la aceleración se m uestran en la figura 7.6b.

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Det er min e la a ce leración t o ta l de l pu n to A

la aceleración total se calcula con los métodos analíticos presentados en el capitulo 3. En la figura 7Xc se mues

tra un diagrama de la sum a de vectores. Co m o las com ponentes norm al y tangencial son ortogonales, la magni

tud de la aceleración total se calcula como:

- a " + ( a W

- V(l25X)m /s2)2 + (2156-25 mi»1)2 - 200.10 m/s2

B á n g u l o d d v e c t o r d e a c e l e r a c i ó n t o t a l a p a r t i r d e la c o m p o n e n t e n o r m a l s e c a l c u l a d e l a s i g u ie n t e m a n e r a :

a - « . - ' ( 4 ) - . 3 8 J *V n ;/ V. 136.23 m /sV

La direcció n del vector de aceleración total a p artir del eje horizo ntal es

40X* + 38.7* = 78.7*

Formalmente, b aceleración total se escribe como:

A a = 20 0.10 m /s2 7 8 ^

La a c e le r a c i ó n t o t a l t a m b i é n s e d e t e r m i n a c o n u n p r o c e d i m i e n t o g r á f ic o u t i l i z a n d o e l c a d o l a s t é c n i c a s d e

d i b u j o t r a d k i o n a l , c o m o s e e x p l i c ó e n e l c a p í t u l o 3 .

1 5 MO VIMIEN TO RELATIVO

Com o se v io en de ta l le en e l capi tu lo 6 , la d i fe renc ia en t re el

m o v im ie n to d e d o s p u n to s se c o n o c e c o m o m ovimiento rela

tivo. La velocidad relativa se de f in ió com o la veloc idad de un ob

je to ob se rv ad o des de o tr o o bje to d e re fe re nc ia q u e ta m b ié n se

está moviendo. Del m ismo m odo, la aceleración re lativa es la

ace le rac ión de un obje to observado desde o t ro obje to de re fe

renc ia que también se está m oviendo.

7 .5 .1 A ce l e r ac i ón r e l a t i vaCom o con la ve loc idad , se emp lea la s iguiente notac ión paradistinguir entre ace leradón absolu ta y acelerad ón relativa:

A* = aceleración absoluta (total) del pu nto A

Ag - acele rac ión absolu ta ( to ta l) del pu nto B

A b /A = ace leradón relativa (total) del pun to B en

relación con A

= acelerad ón (total) del pun to B "com o se observa’

desde el pu nto A

Partiendo de la ecuación (6.10), la relación entre la velod-

dad abs oluta y la velocidad relativa se escribe como:

v B = VA + > V ^

Derivando con respec to a l t iempo la ccuadón de vc loddad re la

t iv a , se o b t i e n e l a e c u a d ó n d e a c e l e ra d ó n r e la t iv a . M a tem á

ticamente esto se escribe como:

Ab = A a + > A s m ( 7.1 7)

N orm al m en te , re su lt a m ás co nv en ie nte se p a ra r la s ac eler a-

do nes to ta les de la ecu adó n (7 .17) en sus componentes normal

y tangenc ia l , de mo do que se separa cada acele radón en sus dos

componentes:

AS + > A b = A¿ + >A' a + > A naÁ + > A ¿ m ( 7.1 8)

Cfoserve qu e las ecua done s (7.17) y (7.18) son ecuadon es

vectoriales y se deb en u sa r las técnicas analizadas en el capítulo

3 para el manejo d e tales ecuadones.


La figura 7.7 muestra un a sierra de p oten da para metales. En este instante, el m oto r eléctrico gira en se ntido antiho-

rario e impulsa d extremo libre de la manivela dd motor (pu nto B) a u na velocidad de 12 in/s. Además, la manivela

está acrlcrando a 37 rad/s2. La parte superior de la sierra se mueve bad a b izquierda con una velocidad de 9X in/s y

acelera a 82 in/s2. Determine la aceleradón relativa del p un to C co n respecto al pu nto B.

SO LU CIÓ N : 1 . Ela bor e e l dia gr am acinemático e identif ique los grados de l ibertad

la figura 7Xa presenta el diagrama cinemático de la sierra de potencia para metales. Observe que este es d cono

cido mecanismo de m anivela-corredera con u n grado de libertad.

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178 CAPITU LO SIETE

AOT- A c - > A S - > A ' fl

cy

f i g u r a 73 Diagrama cinemático del problem a de ejemp lo 7.5.

2 . Dete rm in e la ac el er ac ió n ta ng en cial del pu n to B

Examinando el diagrama cinemático,« evidente que el pun to B viaja hada arriba y a la izquierda, conform e eleslabón 2 gira en se ntido antihorario. Com o la manivela del m otor (eslabón 2) tiene rotación pura, se calculan

ficilmente las componentes de la aceleración en e l extremo del eslabón. Se u tiliza la ecuación (7.13) p ara deter

minar la m agnitud de la aceleración tangencial.

“ s = rABa j = (1.75 in)( 37 rad/s2) = M .75 in/s2

Com o d eslabón acelera, la dirección del v ector está en la dirección dd movimiento en el extremo del es

b bó n. Asi, l a acd er ac ió n tang en cn l se ca lcu la com o:

Afl = 61.75 in/s2 6 p \

3 . Calcule la aceleración norm al del pu nto B

Se usa la ecuación (7.15) para determinar la m agnitud de b aceleración normal.

(12 in / , )2

1.75 in - 82.29 in/s2

La aceleración norm al siem pre está dirigida hacia el centro de rotación. Por consiguiente, la aceleración

normales

Ag ■ 82.29 in/s2 3 0 ^

Se aisla el eslabón 2 y las com ponentes de esta aceleración se indican e n la figura 73b .

4 . Especi fiq ue la acele ració n d el pu n to C

H pun to Ce stá restringido a movimiento lineal. Por lo tanto, el punto C no experimenta aceleración normal. La

aceleración total se da en el pb nteam iento del problema como:

Ac = 82 in /s2 —

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5 . Construya el poligono de aceleración de la aceleración de C relativa con B

Para determinar la aceleración relativa, se plantea b ecuación (7.16) e n términos de los pun tos fl y C y se rea-

grupa como;

Ana = Ao- > Af l

Cómo e l punto B tiene sus dos com ponentes de aceleración, la ecuación se escribe como:

a o b ** A c - > ( A ¡? + > A ¿ ) “ A c — > a b — > A Á

A partir de esta ecuación se forma un poligono vectorial (figura 7,8c). El vector desconocido se determina

con los métod os presentados en el capitulo 3. Para determ inar el vector Aaf r se puede aplicar un a solución grá

fica o analítica.

6 . Obtenga las m agnitudes del lec tor desconocido

Usando un método analítico, b aceleración AOBse calcula separando los vectores en sus comp onentes vertical y

horizontal. Cons ulte la tabla 7.1.

r T AB LA 7 .1 C o m p o n e n t e s v e c t o r i a le s h o r iz o n t a l y v e rt ic a l d e l a a c e le r a ci ó n Ac / b tir Angulode Componenieho rizontal Componente vertical

Vector reverenda («,) a , - a te n 0 ,

K IDO*

- 82.000

V 210* - 71.26 - 41.15

Afl' 120* - 32.83 56.08

Se escriben ecuaciones algebraicas separadas de b s comp onentes horizontal y vertical de b siguiente manera;

A o s = Ac - > A« ~ > A«

c o m p .ho r iz o n ta l:A * ^ . - ( -8 2 .0 ) - ( -7 1 .2 7 ) - ( -32 .38 )

- + 2 1.3 5 = 21J 5 in/ s2

comp. vertical: Avc ,a = (0) - (-41 .15) - (+56.08) = -1 4.93 in/s1

la magnitud de la aceleración se calcula como:

a c / b = V ( < í o b ) : + ( d ó a ) :

- V (21 _35)2 + ( —14.93)1 - 26J)5 in/s?

La dirección del vector se determ ina como:

H ■ t a n - **A?b

■ h n - 1- 1 4 . 9 3 in/s3 ¡

w, " tan a'oB. ^ tan213 5 in/s2 ]

fimlm cntc, la aceleración relativa de C a» n respecto a B es

Ao b - 26X>5 in/sJ ^ 5 ^

7 .5 .2 C o m p o n e n t e s d e l a a c e l er a c ió n

re la t iva

La aceleración de los pu ntos de un mecanism o se analiza much o

m ás fácilmente cuan do se separa en sus com ponen tes norm al y

tangencial. Para eslabones q ue están sujetos directame nte a la

ba nc ad a, la d ir ec ción d e la s c om po nen te s d e la ac eler ac ió n es ev i

dente, com o se vio en la sección anterior. La com pon ente norm al

siempre está d i r ig ida h ad a e l centro de ro tadón; mientras que lacompon ente tangenc ia l es perpendicula r a la comp onente nor

mal , y está en un a d i recdón consistente con la ace le radón o con

la desaceleración del pun to. Recuerde que la aceleradón tangen-

da l está en la d i recdón de l movimiento cuando e l punto ace le ra

Ib r el con trario, la aceleración tangcn dal es opues ta a la direc

dó n de l movimiento cuando e l pun to desacelera.

En pun tos que se encuentran sobre e l m ismo eslabón, un

eslabón que no e stá sujeto directamente a la bancada, el análisis

se centra en las aceleradon es relativas de esos puntos. La figura

7 .9 muest ra un eslabón como este , qu e n o está d i rec tamente su

je to a la b an ca d a , g en era lm en te ll am ad o e s la b ó n d o ta n te . Se

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180 CAPITU LO SIETE

muestra la aceleración relativa entre dos pu ntos qu e se enc uen t ran sobre ese eslabón. Observe que tamb ién se presentan las

com pon entes no rm al y tangencial de esta aceleración, y están

dirigidas a lo largo del eslabón (norm al) y son perpendicularesal eslabón (tang encial). R eiterando, la aceleración relativa de

dos pun tos es la ace le rac ión de un pun to observado desde e l

otro pun to de referencia.

Co m o en el análisis de velocidad, el m ovim iento relativo

consiste en rotación relativa pu ra del pu nto observado en rela-

dó n co n el pun to de referencia. En otras palabras, el movimien -

to relativo de B con respec to a A se v isua liza com o si e l p unto B

e s tuvie ra g i rando a l rededor de l pu nto A . Por lo tan to , la compo

nente n orm al de la ace le rac ión re la t iva está d i r ig ida hac ia e l

centro de rotación relativa, o pun to de referencia. La acelerad óntangencial relativa es perpen dicular a la acelerad ón no rm al re

la tiva . Las magni tud es de estas comp onentes se ca lculan dem odo simila r a la ace le radón absolu ta de los p untos qu e g i ran

alrededo r de punto s fijos.

di d i

<* * » ) ’

'BA

(7.19)

(7.20)

La dire cd ón de la acele radó n tangencial relativa debe serconsistente con la ace le radó n angula r de l eslabón f lo tante , y

viceversa. En referen cia a la figura 7.9, la acelera dón tangencial

relativa mu estra la acelerad ón tangencial del punto Bconform e

g r a a lr ed e do r d d p u n t o A d i r ig ida had a a rr iba a la derec ha de

lo cua l se deduce u na ace le radón angular de l eslabón 3 en sen

tido horario.


Para la sierra d e po tend a para m etales del problema de ejemplo 7 5 , determine la aceleración angu lar del eslabón

on cc to r de 6 in (eslabón 3).

S O L U C I Ó N : I . Id ent ifi qu e la geom etr ía d d es labón re leva nte

la ac eleradón relativa de C co n respecto a B se determinó como:

AOB - 26.05 in/s2 ^35*”

En la figura 7.7 observe asimismo que el eslabón conector tiene un án gulo de inclinación de 15a. Em plean

do eso s datos, la aceleración relativa total se o btiene a partir de las componen tes no rmal y tangencial, las cuales

se ilustran en la figura 7.10.

FIGURA 7.10 Ace leraao nes relativas del pro blem a de eje m plo 7.6.

Obtenga la aceleración total relativa a par tir de las componentes norma l y tangencial

la figura 7.10 muestra que son 20a (35a- 1 5a) los que separan al vector de aceleración total relativay la componente

nomu L Entonces, lis m agnitudes de bs componentes de b aceleración relativa se determinan analíticamente con

A o * - *>c/fl(sen 20*) - 26.05 in/s 2(sen 20a) - &9I in/s2 ^¡5*r

A c/fl = flc/fl(ca>8 20*) = 2S05 in/s2 (eos 20*) = 24.48 in/s2 7 j /

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Cak ule la aceleración angular del eslabón 3

En la figura 7.10 se observa qu e b aceleración tangencial del pu nto C con respecto a Bes hacia abajo a la derecha.

Esto implica que la aceleración angular del eslabón 3 tiene sentido antihorario. Id ma gnitud se determina como:

a'oB 8.91 in/ s2

6 in- 1 .49 rad/s2

Por lo tanto, la aceleración ang ular del eslabón conector se determina de la siguiente manera:

o , = 1.49 rad/s2, en sentido antihorario

7.6 ANÁLISIS DE ACELERA CIÓN RELATIVA:

MÉTODO GRÁFICO

El análisis de aceleración generalm ente se emplea para determ i

nar la aceleración de varios pu ntos sob re un mecanism o en una

configuración especifica. Debe entenderse qu e los resultados d e

este análisis son las características del mo vimien to instantáneo.Confo rme e l mecanismo se m ueve, inc luso una d is ta nd a inf in i

tesimal , cam bian las ca rac te rís ticas de l m ovimiento . Sin e m ba rg o, se ne ce si ta n la s c ar ac te rí st ic as in st an tá neas , s o b re t o d o

los valores extremos. Se ha hech o énfasis en que la aceleración

p ro d u ce fu e ra s in er ci al es so b re l o s e sl ab on es d e u n m ec an is

mo. Se debe n entender co mp letamente los esfuerzos resultantes

para g ara n ti za r la op era c ió n se gura d e u n a m áq uina .

lo estrategia para determinar la aceleración de un pu nt o im

plica co no ce r li a ce ler ac ión d e cr tro pu n to sobre el m is m o eslab ón .

Asimismo, se debe conocer también la velocidad del p unto que sedesea calcular y la velocidad rebtiva en tre los dos pu nto s. Esta in-

forma dón pod ría requerir un análisis de velocidad relativa como

d descrito en el capitulo 6.

0 aná l is is pued e rea lizarse en todo e l mecanism o usando

p un to s q u e s on c om u nes a d o s e sl ab on es . P o r ej em plo , u n p u n

to q u e se e n c u e n tra e n u n a u n ió n e s c o m ú n a d o s e sb b o n e s .Pb r lo t a n to , d e t erm in a r b a c e l e ra d ó n d e e st e p u n to f a d l i ta d e

t e rm i n a r p o s t e ri o r m e n t e b a c e l er a d ó n d e o t r o p u n t o s o br e

cua lquier eslabón. Entonces, se puede de te rm inar b ace le ra

d ó n d e c u a lq u ie r p u n to so b re u n m e c an i sm o t r a b a j a n d o h a d alucra , a p ar t i r de l esb bó n de ent rada .

Recuerde de la ecuad ón (7 .18) que b ecuación de ace le

rad ón re la t iva se ampl ía para in du ir las compo nentes norm al y

+ > A g = A£ + > A ¿ +>A% a +>A' b a

Su p o n g a q u e se n e c e s it a d e t e rm in a r b a c e le ra ció n d e l

p u n to B y se c on oce l a ac el er ac ió n del p u n to A. Su ponga ta m

b ié n q u e y a s e re al iz ó u n an á li s is co m p le to de v e lo d d a d in

cluyendo los dos puntos. En un a situación típica, se conocen las

di recdones de b s se is componentes. Todas bs componentes n or

males están dirigidas h ad a el c entro de rotación relativa. Todaslas com ponen tes tangenciales son perpendiculares a las com po

nentes norm ales. Asimismo, b s m agnitudes de tod os lo s vectores

de ace le radón normales se ca lculan con b ecuadó n (7 .14) o la(7.15). Desde luego, b magn itud de b acelerad ón tangencial del

p u n to co n oci do (p u n to A ) se h a det er m in ad o t am bié n. P o r co n

siguiente, e l aná l is is vec to rb l tan so lo necesi ta de te rmina r b

m a g n i tu d d e l a c o m p o n e n te t a n g e n cia l d e l p u n to d e se a d o y

b m agn it ud d e la com p o n en te ta ng en ci al r eb tiva .

El análisis d e aceleradón relativa es un pro blem a de vectores

idént ico a los problemas genera les presentados en b s secdo-nes 3,18 y 3.19. Son posibles tanto b s soluciones gráficas com o las

analít icas, como se vio en el capítulo 3. En m uchos problemas, el

valor de d ertos términos puede ser aro , eliminando de esta mane

ra a lgunas de b s se is com ponentes vec toria les de la ecuadó n

(7.18). Por ejemplo, cuando el punto conocido se encuen tra en

u n a u n ió n q u e e s c o m ú n a u n e s l ab ó n c o n v e lo d d a d a n g u lar

constante, el pun to n o tiene aceleradón tangencial. O tro ejemplose presenta cuando un pu nto es com ún a un esbb ón que está res

tringido a movim iento lineal. La veloddad del pun to n o camb b

de d i recdó n y por e l lo el punto no t iene ace le radón normal .

C om o en el análisis de v eloddad, b solución gráfica de los

pol íg onos d e a c e le ra d ó n s e rea liz a us an do t éc nic as m an ual es de

dibujo o un sis tema de c a d . La lógica es idént ica ; no obstante , bsoluc ión con c a d no está l imi tada por b exac ti tud de l d ibujo .

Independientemente de l m étodo qu e se u t i l ice , los conceptossubyacentes del análisis gráfico de posición se ilustran y se am

p lí an m e jo r co n l o s sigui en te s p ro ble m as d e e je m plo.


0 mecanism o mostrado en b figura 7.11 se disertó para mover objetos a lo largo de un transportado r de bandeja y,

luego, voltearlos y bajarlos a otra banda transportado ra, l a rueda impulsora gira co n un a velocidad angular constante

de 12 rpm. D etermine b velocidad angular del balancín que gira y baja las partes.

SO LU CIÓ N : 1 . Elabore el d iagr am a c in em át ic o e id enti fi que los gra do s de li be rtad

La parte del m ecanismo que está en consideración incluye la rueda impulsora, el brazo seguidor y el eslabón que

un e ambos. Observe que, nuevamente, este es d conocido mecanismo de cuatro barras que tiene un grado de li

be rtad . En la f igu ra 7 .12 a se pr es en ta el d iagram a c in em át ic o a escal a.

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182 CAPITULO SIETE

2, H ija el méto do pa ra o bte ner la acel er ac ión de seada

la aceleración angular del balancín (eslabón 4) se obtiene a partir de la compon ente de aceleración tangencial

del pun to C POr consiguiente, b esencia del problema es determinar b aceleración del pun to C. En su momento,

b ac eler ac ió n de l p u n to C , la cua l se e ncu en tr a ta mbién so br e e l es labó n 3 . se d et er m in a con oc ie nd o b ace

leración del pu nto B. FJ punto B está ubicado en los esbbones 2 y 3. Por ende, b aceleración del pun to fi se ob

tiene conociendo el movimiento del eslabón de entrada, el esbbó n 2 .

f i g u r a 7.1 1 Mecanismo de l problema de e jemplo 7 . 7 .

<W

A)

L !“ A i « — •

f i g u r a 7 .12 Diagramas del problema d e ejemplo 7 . 7 .

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n _ a 4 ¡ 1 ® , ® J 2 i £ . i

' O * " ’ ' " l

f i g u r a 7 . 1 2 ( C o n t i n u a c i ó n ) .

3. D ete rm in e la \e io ci da ¿ de los p un to s B yC

El primer paso es construir u n d iagrama de velocidad que incluya los pu ntos B y C El cálculo de la m agnitud de

b ve loc idad d el pu nto B se realiza de la siguiente man era:

w2(rad/s) = — (tu rpm) = — (12 rpm) = 1.26 rad/s, en sentido antihorario30 30

Vfl = <o} r»B = (126 rad/s)(075 f t) = .943 f t/ s ^5 * '

la dirección de VB« perpendicular al eslabón 2 y en una direcdón consistente con at¡. lacia abajo y a laderecha. Utilizando el CAD.se traza un vec tora escala a partir del origen del d iagrama de velocidad, para rep re

sen tar esta velocidad.

U ecuación de velocidad relativa para los puntos B y C s e escribe como:

Vc » V * + > V o s

A s, en el origen del diagram a de velocidad, se traza u na linea que represente la dirección del vector Vc . Esta

es perpendicular al eslabón 4 porq ue el pu nto Cse encuentra sobre el eslabón que pivota alrededor de un c entro

fijo. En el extremo del secto r V * tam bién se traza un a linea para representar la dirección de V o » Co m o con los

sectores de velocidad relativa, b dirección es perpendicular a la linea que une los pun tos C y B. la intersección

de las lineas de dirección de Vc y V C jb determina las m agnitudes de am bos vectores. En la figura 7.12b se mues

tra el diagra ma d e velocidad completo.

Midiendo con la escala adecuada lo s vectores del d iagrama se o btiene lo siguiente:

VC - 1290 f t /s /76*

Va a = 1 .9 50 f t / S 8 o \

4 . Cala/le las componentes de aceleración

El paso siguiente es construir un diagrama de aceleración que incluya los p untos B y C El cálculo de las ma gni

tudes de las aceleraciones conocidas se hace de la siguiente manera:

■' A(dirigida hacia el centro d e rotación,

p u n to A)

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184 CAPITU LO SIETE

a'a = a , r A B = (0) (0.75 ft) = 0ft/s 2

(V0fl) J (1.950 ft/*)2 /a o b - - 7 — - - ^oo ft/s A se .

TCB 4.75 II( d i r i g i d a d e C h a c i a B , m e d i d a a

p a r t i r d e l c a d )

( Ve )1 O ^ O f t / * ) 1

C “ ' a> l -5 f t ( d i r i g i d a h a c i a e l c e n t r o d e r o t ac i ó n ,

p u n t o D , m e d i d a a p a r t i r d e l C a d )

- 1.109 ft/s2

Construya el diagrama de aceleración

la ecuación de aceleración relativa de los pun tos By C es

\ nc + > A 'c = A ; + > A ¡, + > A ^ b + > A ¡ ,¡

En la elaboración del diagrama d eacelerad ón, b cons truedó n del vector se inicia arbitrariamente con el se-

gi nd o m iembro de b ecuación. Se traza una linea en el orijpn del dngram a de aceleración que represente el vec

tor A j que es totalmente conocido. Com o tiene m agnitud igual a cero, el vector Aj, se elimina del diagrama de

aceleración. Entonces, en el extrem o del vector Ajjse traza otra linea que represente el vector A ^ e l cual tam

bién e s tot alme nte co no cido . En e l ext re m o d e es te vec tor , se traz a un a linea qu e rep resente la d ir ec dón d el vec

tor A¡j,». La magnitud no se conoce, pero la dirección es perpendicular a la com ponente n orm al A?j b.

Centrándonos e n el lado izquierdo de la ecuación, se inicia un a nueva serie de vectores a partir del origendel diagrama de aceleradó n. Se dibuja un a linca para representar el vector Aq el cual es totalmente con odd o. En

d extremo d e este vector, se traza una linca que represente la dirección del vector A jj sin embarga, la m agnitud

drl vector es desco nodda . La linca se dirige perpendicular a la comp onente norm al A© Finalmente, la intcrsec-

dó n de las direcciones de las lineas A ^y AÓfidetermina las m agnitudes de am bos vectores. En la figura 7.12c se

muestra el diagrama de aceleración completo.

M id a las com po ne ntes de la acele ració n q u e se d esea c on ocer

h C d i c n d o c o n l a e s c a l a a d e c u a d a l a s m a g n i t u d e s e n e l d i a g r a m a , s e o b t ie n e l o s i g u ie n te :

A¡7 = 1.879

A o a = 5 8 5 ft/s2 8 o \

Advierta qu e la aceleración tangencial del pun to Cestá en la m isma dirección qu e la velocidad. Ello indica

que e l punto C está acelerando (incrementado s u velocidad), no desacelerando.Calcule la aceleración a ngular q ue s e desea conocer

Fina lmente , se ca lcula la ace le rac ión angula r de l eslabón 4 . Ob servando la d i recc ión d e la com ponente ta n

gencial de la acelerad ón del pu nto C (arriba y a la derecha), es evidente que el eslabón 4 acelera en direc

dó n h oraria . La magnitud de esta aceleración angular se calcula de la siguiente manera:

• (18 79 ft/s2)

" 125 r»d/»2’CD 1 . 5 l t

Entonces, la aceleradón angu lar del balancín es

a 4 * 1.25 rad/s2, en sentido horario


H mecanismo m ostrado en la figura 7.13 es una troqueladora disertada para realizar operaciones de estampado suce

sivas. La máquina acaba de encenderse y en d instante mo strado (un do na a tc»da velocidad. 0 eje m oto r gira en se n

tido horario co n u na velocidad angu lar de 72 rad/s y acelera a 250 rad/s2. En el instante mostrado, determine la ace

leradón de la matriz d e estampado q ue golpea la pieza de trabajo.

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S O L U C I Ó N :

a - 2 5 0 i n d i" '

f i g u r a 7.13 Mecanismo del prob lem a de ejemplo 7.8.

Bab ore el diag ra m a cin em át ic o e id enti fi que los gra do s d e lib er ta d

la parle del m ecanismo que está en consideración incluye la rueda impulsora, la matriz de estamp ado y el esla bó n q u e lo s u n e . Obse rv e q u e esl e es el co no ci do m ec an is m o efe m an iv ela -cor rede ra q ue ti en e u n so lo gr ad o de

libertad. En la figura 7.14a se mu estra el diagrama cinem ático a escala.

B ij a el métod o p ara ca lcular la acel eración deseada

la aceleradón de la matriz (eslabón 4) corresponde a un movim iento estrictamente de traslación y es idéntico al

movimiento del punto A . La aceleradón del pu nto A,el cual tam bién se encuen tra sobre el eslabón 3, se deter

mina co nociendo la aceleración del p unto fl. El pu nto B se encuen tra tanto en el eslabón 2 com o en el eslabón 3.

Ibr lo tanto, la aceleración del pu nto B se determina u na vez qu e se conoce el m ovimiento del eslabón de en

trada, el eslabón 2.

Det erm in e la te lo ci da d de los p un to s A y B

H cálculo de la ma gnitud de la velocidad del pu nto B es com o sigue:

Vfl - o>¡rÁB - (72 rad/s)( lá ) in) = 72 in /s

La dirección de VB es perpendicular al eslabón 2 y es consistente con la direcdó n de a>¡, hacia arriba a la

vqu ierda. Usando el cxo .se dibu ja un vector a escala, a partir del origen del diagrama de velocidad, para repre

sentar esta veloddad.

fig u r a 7.14 Diagramas del problema de ejemplo 7.8.

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186 CAPITU LO SIETE

f i g u ra 7.14 {Continuación),

0 paso siguiente es construir un d iagrama de velocidad que incluya los punto s A y B. l a ecuación de ve

locidad relativa de los pu ntos A y Bes

V a = V s +>VA/B

Asi en d origen del d iagrama d e velocidad, se traza un a línea qu e represente la dirección del vecto r VA. Esta

es paralela a la superficie de deslizamiento porqu e el eslabón 4 está restringido al mov imi ento de deslizamiento

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vertical. En el extremo del vector V#, se traza una línea que represente la dirección de Com o con todos los vec

tores de velocidad relativa entre do s punto s sobre la misma línea, b ditr ed ón es perp endicular a b Enea que u ne los

punt os A y R U in ter sec ció n d e las lin eas de direcc ión de VAy V v e d etermina la s m agni tud es d e am bo s vectore s.

En b figura 7.14b se ilustra el diagrama de velocidad completo.

Midiendo con la es cala adecuada las m agnitudes de los vectores del diagrama, se obtiene lo siguiente:

VA = 703 in /s í

= 36.8 in /s / f 3 °

4 . Calcule las comp onen tes de la aceleración

El paso siguiente es con struir un diagrama de aceleración que incluy a los puntos A y B.EI cálculo de las magni

tudes de las aceleraciones conocidas se realiza con las ecuaciones:

(dirigida hacia el cen tro de rotación,

p in to Q

- a2rAB - (25 0 rad/sJ ) (1 .0 i n) - 2 50 in/ s2 6 o \

(en dirección perpendicular

a B C en la dirección d e la

areleración angular)

( va>b) J ( 3 6 .8 in/s)2 *

4 C ta 3 5 8 1 ^(dirigida d e A hacia B, medida

delCAD)

Observe qu e el pun to A no tiene aceleración norm al porque el m ovimien to es estrictamente de traslación.

5. Construya el diagram a de aceleración

la ecuación de aceleración relativa de los p unto s A y B se escribe como:

a - + > a ; - a s + > a ¿ + > a ; „ * -> A ;/fl

Al elaborar el diagram a de aceleración, la construcció n vectorial iniciará arbitrariamente en el segundo

miembro de b ecuación. En el origen del diagram a de aceleración se traza una linea que represente el vector

AS que se conoce. En el extremo de A ¿se traza u na línea q ue represente el vector A ¿qu e también se conoce.

En el extremo d e este vector, se traz a un a línea que represente la dirección del vector A^/» Este es perpen dicu- b r a la co m po n en te n orm al A*, a, p ero t ie n e m ag nitud d es co no cida .

Centrándose en el lado izquierdo de la ecuación, se m ida u na nueva serie de vectores a p artir del origen del

dug ram a de aceleración. El vector A ^tiene magn itud igual a cero y se ignora. Se traza una linca que represente

b di re cc ió n del ve ctor A'*; sin em ba rg o, la m ag nit u d es dcs co nodda. La línea es p ar al ela a l m o vim ie nto de

deslizamiento del eslabón 4. F inalmente, la intersección de las direcciones de A *y a '^ b determina las ma gni

tudes de am bos vectores. El diagrama de aceleración termina do se m uestra en la figura 7.14c.

6 . M íd ala s c om po ne ntes d e la ac eleración q u e se de se a ob te ne r

Midiendo con la escala adecuada las magnitudes de los vectores en el diagrama, se obtiene lo siguiente:

A[jB = 4404 in/s2 1 ^ 7

A¿ = 2138 in/s2 !

Cb m od o que la aceleración total del pu nto A es

A a = A' a = 2138 in/s2 = 178 ft/s2 = 5 33 g T

Observe que laaceleración tangencial del punto A se encuentra m la m isma dirección que la velocidad. Esto

indica qu e el pun to A ¡xelera (aum enta de velocidad), no desacelera.

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188 CAPITU LO SIETE

7.7 ANÁLISIS DE ACELER ACIÓ N RELATIVA:

MÉTODO ANALÍTICO

La estrategia para determ inar ana lít icamen te la aceleración de

var ios punto s sobre un mecanismo es idént ica a l método des

crito en la sección anterior. L a diferencia es que los polígonos

vectoriales ta n so lo necesitan estar graficados burda me nte. La

m a g n i tu d y l o s á ng u lo s se d e t e rm in a n u sa n d o lo s m é to d o s

ana l í ticos presentados en e l capí tu lo 3 e incorporad os en e l

capítulo 6 y e n las secciones previas de este capítulo. La form a

m is e fec t iva de pres enta r e l m étod o ana l í tico de l aná lis is deace le ración es con un problem a de e jemplo .


H m ecanismo que se presenta en l a figura 7.15 so útilira para alimentar cajas de cartón a una máquina etiquetadota

y. al mismo tiempo, evitar q ue se caigan las cajas almacenadas. A toda velocidad, el eje im pulsor gira con un a veloci

dad an gular de 200 rpm en sentido horario. En el instante mo strado, determine la aceleración del ariete y la acc-

krración an gu lar de la biela.

FIGURA 7.15 Meca nismo de l prob lem a de ejem plo 7.9.

SO LU CIÓ N : 1 . hlabore el diagrama cinemático

la parte del mecanismo que está en consideración incluye la maniveb impulsora, el ariete de empuje y el eslabón

«jue une a ambo s. N uevamente, observe que este es el conocido m ecanismo de manivela-corredera en línea. En la

figura 7.16a se presenta el diagrama cinemático.

fi g u ra 7.16 Diagramas dd problem a de ejemplo 7.9.

2. B ij a e l m it o d o pa ra o bte ner la acel er ac ión de seada

Co mo en el problema de ejemplo 7.8. la aceleración del ariete (eslabón 4) correspon de a un mov imiento estric-

üm ent e de traslación y es idéntica al movim iento del pu nto C . La aceleración del pun to C ,d cual también reside

en el eslabón 3, se determina co nociendo la aceleración de l pu nto B. El punto B se encue ntra tanto en el eslabón

2 como en el eslabón 3. Por lo tanto, la aceleración del pun to B se determina conociendo el m ovim iento del es-

hbó n de entrada, el eslabón 2.

3 . Ana lic e la g eom et rí a de l m ec an ismo

B ángulo entre el eslabón 3 y la superficie horizontal de deslizamiento del eslabón 4./J en la figura 7.16a, se de-

trm in a usand o la ley de los senos.

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Det erm in e la ve lo cida d de lo s pu n to s B y C

Sr calcula la ma gnitud d e la velocidad del pu nto B usando la siguiente ecuación:

« 2 ■ ^ ( 20 0 r pm ) • 20 .9 r ad /s

VB = U j r j v =* (20.9 rad/s) (3.0 in) = 62.8 in/s ^50*

la d irección de Vs es perpendicular al eslabón 2 y es consistente con la dirección de <o¡, hacia abajo y a la

derecha. La velocidad del pun to C es paralela a la superficie horizontal de deslizamiento, y la velocidad de Cco nrespectoa Bes perpendicular al eslabón qu e une los puntos B y C.Calculando este ángulo:

90’ + ( - 0 ) « 90* + ( -1 3 .9 * ) - 76.1*

Co nociéndolas direcciones de los vectores de interés se ensambla d poligono de velocidad (figura 7.16b).

la magnitud del tercer ángulo en el polígono de velocidad se determina porque la sum a de todos los ángulos en

un triángulo es de 180°.

180* - (50* + 76.1’) = 53.9*

las magnitudes de las velocidades se determ inan con la ley de los senos.

la s velocidades desconocidas se obtienen de la siguiente manera:

v ° ' - * • ( = £ ? ) • * « ■ 4 ,í i-*

Calcule las com ponentes d e aceleración

B paso siguiente es construir un diagrama de aceleración que incluya los puntos B y C Calcule las magn itudes

de las aceleraciones conocidas usand o las siguientes ecuado nes:

_ ( VB)2 (62.8 in/s)2 , _ Ab - - 1314.6 in/á2 4C7 7

AB 3.0 in(dirigida hacia el cen tro de rotadón,

p u n to A)

AB = o i ' ab — (0 rad/s1) (3J3 in) = 0(porque el eslabón impulsor gira a

vdo dda d constante)

( V o s ) 1 ( 4 9 A i n / s )1 , «A& * - — --------- r r — - 3 073 in /¿ 13.A ,

rBC 8.0 in(dirigida de C hada B)

Advierta que el punto C no tím e aceleradón normal porque el movimiento es estrictamente de trasladón.

li e m étodos vectoriales par a resolverla ecuación de aceleración relatUa

la ecuación d e aceleradón relativa para los puntos B y C se escribe como:

A£ +> A ¿ - A j +> A¿ +> A2* + > A' o b

Al elaborar d diagram a de aceleración, la ubicación vectorial inicia arbitrariamente en el lado derecho de la

ecu adó n. En el origen del diagram a de aceleración, se coloca el vector Aj| que es completamente conod do.

Cómo no hay componente tangenda! de la aceleradón del punto B, se ignora el término A ¿ El vector A fraque

también es com pletamente conocido se coloca en el extrem o de A% En el extremo del vector A?;Bse coloca el

sector A (¡ ¿ sin embargo, solamente se conoc ela direc dó n de este vector. Es pcrpendkukir a la compo nente no r

mal A qB y. por lo tanto, perpendicular a la l inca que un e B y GE I ángulo se calcula como:

9 0" + ( - 0 ) = 90° + (—13.4*) = 76.1*

Se ignora el pr imer té rm ino de l pr imer m iembro de la ecuadón po rque n o existe componente norm al

de la ace le radón de l pun to C Entonces, e l vec tor que representa la ace le radón tangenc ia l del pun to Cse

coloca en el orige n. Sin em bargo, únicam ente se conoce la dirección de este vector: es paralelo a la superfi

cie horizon tal en la cual está restringido el deslizamiento del eslabón 4. En la figura 7.16c se m uestra el

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190 CAPITULO SIETE

p o l l i n o vec to ri al . La s m agnitudes v ec to ri al es d es co no cida s, y A ^ se d e te rm in an usan do l os m ét od os

p re se nta dos en el c ap itu lo 3. P ri m ero se se p ara ca da v ect or en su s co m p on en te s ho r iz o n ta l y ver tica l, co m ose indica en l a tabla 7.2.

J TABLA 7 .2 C o m p o n e n te s de a c e le ra c ió n d e l p r o b le m a d e e j em p lo 7 .9 1r

Vector Angulo de

referend* (0,)Componentehorizontal

•» = aatsO,

Comp onente verticala , - o te n » .

* ; a ; 220* 10075 8455

A ¿ a 166.1* -2 98 5 73.9

76.1* 240 .971 a i *

Ac 180* -*«C 0

Se escriben ecuaciones algebraicas separadas de las com ponen tes ho rizontal y vertical.

A c ■ A g + > A q B + > A c / 8

comp. horizontal- + ac - ( -1 0 07 .0 ) + ( - 2 9 8 5 ) + ( + 0 2 4 0 u ó n )

comp. vertical: 0 - (-84 5.0) + (+73.9) + ( +0.971 a'aB)

La ecuación de la com pon ente vertical se resuelve algebraicamente para o btener:

a'on - 794.1 in/*1

Este resultado se sust i tuye luego en la ecuac ión de la compo nente hor izonta l para darn os la m agni tud

Oc - 1496.1 in/ s2

7 . Especi fiq ue co n cl ar id ad lo s res ul tado s desea dos

La respuesta formal del m ovimiento d el ariete es

V , - 5 2 5 i n / s —

A( “ 1496.1 in /s «—

Advierta que com o la aceleración tiene dirección opuesta al movim iento y a la velocidad del ariete, el ariete

desacelera.

8 . Calcule la aceleración angu lar

finalmente, se calcula el mov imiento de la biela.

V o b 4 9 5 in /s _ „n*3 ------ ■ — -------= 6.2 rad/s, en sentido anüho rano

rCB 8 in

donde la dirección es consistente con la velocidad de C relativa con B, en sentido antihorario. Asimismo,

í»q b 794.1 in /s , , ,.a , --------- — - ■ ■----- ■ 99 5 rad/s‘, en sentido antihorano

rCfl 8.0 in

dond e la dirección es consisten te co n la aceleración tangencial d e C relativa con B en sentido antihorario.

7.8 SOLU CIONE S ALGEBRAICAS

DE MECAN ISMOSCOMUNES

Para los conocidos mecanismo s de manivela-corredera y de cua

t ro barras , se d ispone de so luc iones a lgebra icas de form a ce

rrada | re£ 12). Estas se propo rcionan en las siguientes secciones.

7 .8 .1 M e c a n i s m o d e m a n i v e l a - c o r r e d e r a

En la figura 42 0 se presenta un mecanismo de manivela co rred

era en general que se define tan so lo por las dimensiones L¡ , L¡ y

l * C on un grado de libertad, únicam ente se debe especificar el

mov imiento de u n eslabón para impulsar los o t ros eslabones.

Con mucha frecuencia es la manivela la qu e se impulsa y se es

pe ci fica n 0 2, y i t j . Para resolver fácilmente un mecanismo de

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manive la -corredera , están d isponib les las ecuac iones de posi

dó n, ve loddad y ace le radón (en (unc ión de coj y a¿). C o m o

se vio en el capitulo 4, las ecuadones de p os idó n son:

_ , / T , + L2 sc n fl2 \0 3 = se n ^ — j (4.6)

L a = L j cos ( 02) + co s ( 0 j ) ( 4 .7 )

Co mo se expuso en e l capi tu lo 6 . las ecuadones de v e lod

dad son:

( ¡ 2 COS 9 A

^ U c o s b J

a , = (7.21)

(6. 12)

v« = -<o¡L¡ s e n + coyLySendy (6 .13)

Las ecuac iones de ace le radón están dadas p or ( re£ 12]

11$ L j s e n 0 , + ¿ 3 s en 6 , - a 7 L j eos 0 }

LyCOS 6 y

a « = - d j L j s e nf l* - a y L y s e n d y

- t uj L j e o s 6 , - UtyLy tos 63 (7 .22)

Observe q ue el análisis de u na ma nivela-corredera en linca serea liza had end o L , igual a ce ro en la ecu adón (4 .6) .


En la f igura 4 .22 se i lust ra un mecanism o de cua t ro barras en

genera l que se def ine únicamente con las d imensiones L \, L j ,L y

y l+. C on u n gr ado de l iber tad , tan so lo se debe espedficar el

movim iento de un eslabón pora impulsar los o t ro s eslabones.

Co n m ucha frecuencia, es la manivela la que se impulsa, y se es-

ped fi ca n 0¡. cojy o j. Para resolver fádlm ente un mecanism o de

cuatro barras, están disponibles las ecuado nes de pos idón . velodd ad y ace le radón (en (unc ión de 0 ,. u * y a } ) . C o m o s e i n

d icó en e l capitu lo 4 . las ecuadone s de posid ón son:

(4.9) B D = V L ¡ + L } - 2 ( L , ) ( L 2) c o s ( 6 2)

- M + L \ - B D ' \

y COS [ 2( I , ) ( L , ) )

» , = 2. a n - " + L* X n y

d t = 2ta n - i

L | + I 3 - L j cos Q j — L , c o s y

L j s en fl2 - I j s e n y

L jc o s d j + L4 - L , - L j c o s y

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Co mo se expuso en e l capi tu lo 6 , las ecuaciones de ve lod

dad son:

COy = -CO j

co4 - ~ t » i

(6.14)

(6.15)

L j se n (0 4 - fl2 ) j

L , s e n y J L j s e n ( 6 3 ~ d j)

L a s e n y

Las ecuado nes de ace le radón se presentan como:

a ,L , «tn(8; - fl.) «j¿,cos(fl, - »«) - tojU * « j l,cos(g« - 0,)

L, sm [0 , - » ,)

(7.23)

o , l , « n< » , - 0 , ) * w } L , a * ( * , - - o . f c t o r t é . - > .) +

(7.24)

«*»

7.9 ACELERACIÓN DE UN PUNTO

EN GENERAL SOBRE UN

ESLABÓN FLOTANTE

Recuerde qu e un eslabón flotante no está un ido directame nte aledabón fijo. Po r lo tanto , el movimiento de un eslabón flotante

no está l imi tado so lamente a ro tac ión o a t rasladó n, s ino a una

com binadón de ambos. A su vez, p or lo genera l no se conoce la

d i recdón de l m ovimiento de los puntos qu e se encuentran so b re u n es la bón fl o ta nte . C o m p áre lo co n e l m o vim ie nto de un

pun to q u e s e e n cu e n tr a s ob re u n es labó n u n id o al es la bó n fijo .

0 movimiento de ese punto d ebe p ivota r a un a d is tanc ia f ija de

b u n ió n de p ern o . Po r c ons ig ui en te , se co no ce la d ir e c d ó n de lmovimiento.

b i los a ná lis is d e ac elerac ión p re se nt ad os en l as s ecd on es a n

teriores, la premisa subyacente de l a solución es qu e se conoce la

dr ecd ón del movimiento. Para un pu nto en general sobre un es b b ó n flot an te , esto n o es vá lid o. En di ch os cas as, se d eb en us ar y

despejar simultáneame nte do s ecuad one s de aceleradón relativa.

Para cono cer la estrategia de ob tenció n de la ace leradón de

un p unto en general sob re un eslabón flotante, considere el dia

grama dnem át ico de l mecanismo de cua t ro barras mo strado en

b fi g u ra 7 .17 .El esbbó n 3 es un eslabón f lo tante porq ue n o está su je to

directamente al eslabón 1, el eslabón fija C om o los pun tos A y

B se encu entran sob re eslabones su je tos a un eslabón f ijo , la

ace le radón de estos pun tos se de te rmina tád lmen te . Es dedr ,

usando los m étodos de las dos secdones ante r iores , se ca lcula

tanto la dirección como la m agnitud de A j, A*, AJJ y Ap.

Sin em barga e l pu nto C no se encuentra sobre un eslabón

sujeto directam ente a un eslabón fijo. Por consiguiente, no es ev i

dente la t rayectoria exacta de l movimiento de l pu nto C No o bs

tante. se escriben do s ecuaciones de aceleración relativa como:

Ac = A g + > A'B + > K h o b + > A b a (7.25)

AC = AS + > A*i + > A nO Á + > A’ cja (7-26)

En la ecuac ión (7 .25) se desconocen tanto la magni tud

como la d i rec dó n de « ic jun to con la m agni tud de Oq * La

ecuación (73 6) p resenta un a incógnita adidonal; a saber, la m ag

n i tu d d e A jy ¿ En g e n era l, se p u e d e n e sc r ib i r d o s e c u a d o

nes vec tor iales, cada una con la capad dad de de te rm inar dos

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192 CAPITULO SIETE

incógni tas . En un aná lis is t íp ico , « ta s ecua c ione presentan cua- de l punto C apl icando ya sea un procedimiento grá f ico o un

tro can t idad » desconoc idas, de man era qu e a l usa r las do s procedimiento ana lí tico. El s iguiente problema de e jemplo i lus-

ecuaciones simultáneam ente, se logra determ inar la aceleración tra este método.


B mecanismo mo strado en la figura 7.18 sirve para jalar película cinematográfica a través de un proyector. El meca-

nismo es activado por b rueda impu lsora giratoria a una velocidad constante de 560 rpm . En el instante mostrado,determine gráficamente la aceleración de la u n a qu e se engu teha en la película.

f i g u r a 7.18 Mecanismo d e avance de la película del problem a de ejem plo 7.10.

SO LU CIÓ N : 1 . Elab ore e i d ia gr am a c in em át ic o

Bi b figura 7.19a se ilustra d diagrama cinemático a escala de este mecanismo. Observe que se tra ta del mecanis

mo básico de manivela-corredera con un punto de interés, el pu nto X,ubicado en la ufta.

El primer paso es con struir u n d iagrama de velocidad que incluya los puntos B, C y X. Calcule la m agnitud

de la velocidad del p unto B de b siguiente manera:

oí = (560 rpm) = 58.6 rad /s en sentido antihorario

y 8 ■ « 2 'a* ■ 258.6 rad 's(18 mm ) - 1055 mm /s - 1 .055 mm /s \30°

La dirección de \ B] e s perpendicular al eslabón 2 y es consistente con la dirección de ut¡, hacia abajo y a laderecha. Por lo tanto, se dibuja un vector a escala a partir del origen en el diagram a de velocidad para represen

tar esta velocidad.

la ecuación de velocidad relativa de los pun tos B y C se escribe como:

Vc" V„ ♦>VOB

La velocidad de C está restringida a traslación en dirección vertical. Desde luego, la velocidad relativa de Coso respecto a Be s perpendicular a b linea que u ne C y B .Se dibujó el diagram a de velocidad mostrad o en la

figura 7.19b y se midieron b s m agn itud » vectorial» para obtener:

Vc- 1 .087 m /s i

VOB - 1 .072 m/s 7T 3J7

figura 7.19 Diagramas del problem a de ejemp lo 7.10.

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An ál is is de ace le ra c ión 193

b)

/ / ■ o J . A M ‘ ^ y a T i

« * - b é + n o- — - n

= i a n

V = V + > Y

% a m

•: /B

V c / r - 1 . 0 7 2

/£■-§ + S2ff5: A 5* *% « « -v « * 8 ? a - * - - n

f i g u r a 7. 19 {Continuación).

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194 CAPITU LO SIETE

FIGURA 7.19 (G tramitación).

C o m o se l rata de un pu nto en general sobre un eslabón flotante, la velocidad del pun to X se determ ina re

solviendo las ecuaciones vectoriales simultáneas.

Vx = Vfl + > Vx/fl

Vx - Vc + > V „ c

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Vi se conocen las velocidades de los puntos B y C en tanto que bs direcciones de Vx/a Y v x /t a»1 perpen-

deula res a b s lincas que conectan los puntos X y B, y X y C respectivamente. Su s velocidades se tra zaron a escala

y se agregíron al po lígono de velocidad. En la figura 7.19c se m uestra el diagram a de velocidad completo. I.as

mag nitudes de las velocidades desconocidas se calcularon como:

V * c - 0 8 2 5 m / s ^ 5 - 2 *

V je fl = 1 8 4 6 m /s 6 6 .4 /

Calcule las com ponentes d e la aceleración

B paso siguiente es construir u n diagrama de aceleración que incluya los p untos A y B y a final de cuentas, X

Calcule las m agnitudes de las aceleraciones conocidas de b siguiente manera:

„ (vB)2 (1055 m m /i )1 ,A„ = -------- — ----------- = 6 18 34 m m /s2 = 6 1 8 m /s ÁAP

’ ab 18 m m

(dir ig ida hada el centro de ro tadón ,

p u n to A)

is = 0 (porque a ,

_ ( vOfl )J (10 72 m m /s )2 ____________________________ _____

A n o » — ----- = = 23941 m m/s2 = 23.9 m/s2 \58.5"rc g '1 8 m m V

( d i r ig i d a d e C h a d a B m e d i d a s ob r e

d d i a g ra m a d e c a d )

Observe que el pu nto C no tiene aceleración no rmal, ya que el mo vimien to es estrictamente de traslad ón.

(*0 46 m m /s)2 , , , ______

A x / b " — — — - 24313 m m /s2 - 2 4 5 m /s2 \ 2 3 8 'r „ 4 5 m m \

( d i r ig i d a d e X h a c i a B m e d i d a s o b r e el

d i ag r a m a d e c a d )

(v* c )2 (6 2 5 m m /s)2 , , .Aw c - — -------- — -- 13950 mm /s2 - 13.9 m/s2/» 4 8 °

< a 28 m m --------------

( d i r i g i d a de X h a c i a C m e d i d a s o b re

d d i ag r a m a d e c a d )

Con struir el diagram a d e aceleración

S se sabe que no existen las componentes A¿ y A* de aederadón, b ecuación de acderación relativa de los pun

tos B y C se escribe como:

A C * A C * A B * ■ > A c / a * * A (J B

En b figura 7.19d se muestra el diagrama de aceleración a escala.

4 . M id a la s com po ne ntes de sc on oc id as

Mid iendo con la escala adecuada las ma gnitudes del diagrama, se obtien en los siguientes resultados.

Ao b ■ 5 0.9 3 1 5 ^

Ac = A¿ = 65 m/s2 T

5 . Con tinúe el diagrama de aceleración

Com o con las velocidades, debido a qu e el pu nto X es un punto en general sobre u n eslabón flotante, su ace

leración se d ebe determ inar despejando las ecu ado nes vectoriales simultáneas.

Ax = AS + > A ¿ + > A ; , B + > A Í /b

A x = A J + > A ¿ + > A J /c + > A x /c

Com o se vio, las aceleraciones A¿ y A ? son iguales a cero. Asimismo, ya se determ inaron AB, A ^, A* ,B y

A x t c

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196 CAPITU LO SIETE

C* nueva cuenta, d e man era similar al an áüs s de velocidad, las dos ecuaciones de aceleración se superp o-

ir n en el polígono de aceleración original. Las aceleraciones se dibujaron a escala, y d diagrama completo de

aceleración se ilus tra en la figura 7.19c.

M id a las co mpo ne nles que se desean conocer

las mag nitudes de las aceleraciones desconocidas se midieron como:

A ¿ / c = 3 1. 6 m / s2

A i / B - 4 8.1 m / s2 6 6 ^

y, finalmente,

A * - 3 3.8 m/s3 \f)3*

7 .1 0 I M A G E N D E A C E L E R A C I Ó N

Com o en e l pol ígono de ve loc idad , cada eslabón de un mecanis

m o tiene u na im agen en el polígo no de aceleración [ref. 10).

Para ilustrarlo, en la figura 7.20a se presenta u n m ecanismo, con

su diagram a de velocidad asociado en la figura 7,20b, y los dia

gramas d e ace le radón en las f iguras 7 .20c y 7 .20d.

En la figura 7.20c se dibujó un triángulo u sando todos losvec tores de ace le rac ión de los puntos B y X Observe qu e estetriángulo es un a imagen proporcional del eslabón que contiene

los puntos B y X . D e man era similar, la figura 7.20d m uestra un

tr iángulo qu e se const ruyó a pa r t i r d e todos los vectores de ace

leración de los pun tos B, C y Y. O tra vez , este t r iángulo es una

imagen proporc iona l de l eslabón que cont iene los puntos R Cy

Y. Estas formas de los polígonos de aceleradó n se conocen jus

t i ficadamente com o imágenes d e aceleración de los eslabones.

Este concepto ofrece medios convenientes para con struir el

po lí g o n o d e ac e le ra d ón de u n m ec an is m o co n e sla bo nes com pl ejos . Las m ag n it u d es d e lo s ve ct ore s d e a ce le ra dó n re la ti va detodos los pun tos sobre un eslabón son propo rc iona les a la d is

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tand a entre b s puntos, lo cua l signif ica que los puntos de l d ia grama de ace le radón form arán una imagen con los puntos co

rrespondientes del d iagrama dn em át ico . Una ve z que se determina la aceleradón de dos punto s sobre un eslabón, la aceleradón

de o tro pu nto cualesquiera se determina fácilmente. Los dos pu n

tos sirven como bose de b imagen de b aceleradón. Sin embargo,

como con b imagen de ve loddad, se debe tener cu idado de no

hacer simétrica b forma del esbb ón entre d d iagrama dnemát ico

y el polígono d e aceleradón.

7.11 ACELERACIÓNDE CORIOLIS

A través de los aná l is is an te r iores , se exam inaron exhaust iva

mente las dos com ponen tes de un vector de aceleración (es decir,

b no rm al y b ta n g enc ia l) . En a e r ta s co ndi ci one s, se pr es en ta

una tercera compo nente de la aceleradón. Esta com pon ente adi-

d o n a l se c o no c e c o m o comp onente de aceleración de Coriolis y se

pr es en ta en c as os d o n d e ex is te c o n ta c to d e de sl izam ie nt o e ntr e

dos esbb one s giratorios.

Se sabe que a lguno s m ecanismos u t il izados en m áquinashan fo llado debido a la fo lta de consideradó n d e esta comp o

n e n te . La o m is ió n d e b c o m p o n e n te d e Co r io l is su be s t im a b

aceleradón de u n e sbb ón y las fuerzas inerdales asociadas. Los

esfuerzos reales en las compon entes de b m áquina pueden ser

mayores de b que e l d iseno permite , y podría oc urr i r una fol la .

Ib r lo tan to , en cada s i tuadón se debe eva luar s i ex iste o no b

compon ente de ac e le radón de Corio lis .

Espedficamente , la com ponente de C orio l is se encuentra

en b ace le radón rebt iva de d os pun tos cuando se presentan s i

mul táneamente b s t res cond idone s s iguientes:

1. Los dos p untos son coinddentes, pero se encuentran

en diferentes eslabones;

2 . El punto sobre un esbb ón sigue una t rayec tor ia quese encuentra sobre e l o t ro esbbó n, y

3. G ira el eslabón sobre el cual se encuen tra la trayec toria

La f igura 7.21 mu est ra bv en tan i lb t rase ra de u nam inivan

y e l d iagrama dnem át ico re ladonado. Observe que e l pu nto B

s e p u e d e r e b d o n a r c o n l o s e s b b o n e s 2 , 3 o 4 . P ar a a c b r a r b

asociadó n c o n u n e sb b ó n , el p u n to B * ident if ica com o B¡

y B4. Hasta esta parte del capitulo, se sabe qu e un pun to coind-

d e n te so b re e sb b o n e s d i fe re n te s t i e n e b m i sm a a c e l e ra d ó n

p o rq u e ta n so lo se u sa n u n io n e s d e p ern o p a ra u n ir d o s es

labones giratorios. En la figura 7.21 se usan tan to u nion es de

pe rn o co m o d e d es liza m ie nto p a ra co n ec ta r do s esb b o n es g ir a

torios, los eslabo nes 2 y 4. En este caso, las velocidades y b s ace

le radones de los puntos coindd entes B¿ y B« no s on las m ismas.

Se pued en usar b s ecuac iones de movim iento re la t ivo para

re lado nar b s v e l o d d a d e s y b s a c e le ra c io n es d e b m a n e r a s i

guiente:

V w = V S 4 - f > V iC(S1

Afl2 = Ag* + > A B?/B,

Esta s i tuad ón representa d caso de aná lis is de un mecanismo

d o n d e se d eb e in d u i r b c o m p o n e nte d e Co rio li s e n d t é rm in o d eaed erad ón relativa A®,#,. Observe que

■ Lo s p u n to s so n co in d d e n te s , p e ro n o so b re d m i sm o

eslabón (condición 1);

■ El pun to B¿ se desliza a lo largo de una trayectoria sobre

el eslabón 4 (condición 2) y

■ El esbb ón sobre e l que se encuentra la trayectoria ,d eslabón 4, gira (condición 3).

Separando d té rm ino de ace leración rda t iva en sus com

po ne nt es ,

A 8 ¿/8 4 = Affl /5 , + > A b j / 8 4 + > A 'b j / b í ( 7 . 2 7 )

donde

A ® /jm = c o m p o n e nte d e a e d e ra d ó n d e Co r io l is

La magni tud d e b com ponen te de ace le radón de Corio lis

se definió [re£ 4 ] com o

í / H 4 - 2 v ® / 5 , a > 4 ( 7 . 2 8 )

’l a nto b v e lo d d ad l in ea l rd a t iv a co m o b v e lo d d a d a n g u b r

absolu ta se d e te rminan a pa r t i r de u n anál is is exhaustivo de bv e lo d d ad d e l m e c an i sm o . La v d o d d a d a n g u b r <o d e b e se r b d el

eslabón qu e cont iene b t rayector ia dd pu nto que se desliza. Hayq u e t e n e r cu id a d o p o rq u e u n e r ro r c o m ú n e n d c á lc u lo d e b

c o m p o n e nte d e Co r io l is e s la sd c c ció n d e b v d o d d a d a n g u b r

incorrecta

La d i recd ón d e la compo nente de Co rio l is es perpendicu

la r a l vec tor de ve locidad rebt iva v« / bz. 0 se n t id o se o b t ie n e g i

rando el vector de velocidad relativa, de m odo qu e b pu nt a del

vec tor esté or ientada en b d i recdón de b ve lodda d angula r de

b tr ayec to ri a . Ento nc es , c u an d o b v e lo d d a d a n g u b r ru4 d e la

t r ay e c to rb g i r a e n se n t id o h o ra r io , b d i r e c d ó n d e Co r io li s se

obt iene g i rando e l vec tor de ve lodd ad rebt iva 90a en sentido

h o r a ri o . P o r e l c o n t ra r io , c u a n d o b v e l o d d a d a n g u b r d e b

t rayec torb , o*«, g i ra en s ent ido ant iho rar io , la d i re cdó n deCoriolis se obtien e gira ndo el vector de velocidad rebtiva 90“ en

sent ido ant ihor ar io . La f igura 7 .22 presenta los cua t ro casos

donde se de te rmina la d i recc ión d e la componente de Corio lis .

Co m o l a m a g n i tu d y l a d ir e c c ió n d e l a c o m p o n e n te d e

Corio l is se ca lculan fodlmen te a par t i r de los da los de v e lod

dad, no se agregan incógnitas ad idona les a la ecuadó n de ace

l e ra d ó n . S in e m b a rg o , e n l a so lu d ó n d e p ro b le m a s .e s m á s c o n

veniente esc r ib i r b ecuac ión de ace le rac ión con e l pu nto que

descr ibe b t rayec to rb d e l lado izquie rdo . La técnica de es

te análisis de acelera dón se ilustra m ejor a través del siguiente

p ro b le m a de eje mp lo .

a) b)

f i g u r a 7 2 1 Caso do nde está presente l a ace le radón de

Coriolis.

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198 CAPITU LO SIETE

Movimiento relativode b corredera Pumo C

®Movimiento rebi nod? b corredera ^

tyej

Girado 90* ense mido ant¿horario

tu, (en sentido ant¡horario)

fi g u ra 7.22 Direcciones de la com pon ente de aceleración de Coriolis.


La figura 723 ilustra una s tijeras manuales p ara cortar m aleza o pora cortar césped en áreas di& ilcs de alcanzar con

po da do ras ord in ar ias. La rued a im pu lso ra g ir a a 40 0 rpm en s en tid o ant ih or ar io . D eterm in e la acelerac ió n an gu la r de

bs cuchi lla s osci lan tes en e l m om en to m os trad o.

f i g u r a 723 Tijeras para co rtar césped del problem a de ejemplo 7.11.

SO LU CIÓ N : 1 . Ela bore el d ia gr am a c in em át ic o

En la figura 72 4a se presenta el diagrama cinem ático a escala de este mecanismo.

2. H ij a e l m tt o d o pa ra o bte ner la acel er ac ión de seada

Li aceleración de B , se determina Ék ilmente a partir de la información d e entrada de l eslabón 2.Se debe ob tener la

aceleración de B4 para calcular b aceleración angular del csb bón 4. Observe que existe deslizamiento entre los es

b bo nes gi ra torio s (2 y 4) ; por co nsiguie nte , se cum plen b s t res cond ici on es de Co rio lis. l a ace leración del esla bón

4se obtendrá usando b s ecuaciones (727) y (72 8).

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2.7-

a )

FIGURA 7.24 Diagram as del problema d e ejemp lo 7.11.

3. RealUe u n análisis completo de velocidad

El primer paso es construir un diagrama de w lod da d que incluya los puntos B¡ y B4. Calcule b magn itud de bvelocidad del pun to B¡ de la m anera siguiente:

o>2 = (400 rpm ) = 41.9 rad/s, en sentido antihorario

Vm = = 241.9 rad/s (1.4 in) = 58.6 in/s

La dirección de VBJ es perpen dicu br al eslabón 2 y es consistente con b dirección de <o2, hacia abajo y a la

derecha. Por lo tanto, se dibuja un vector a es cab a p artir del origen del diagram a de velocidad para representar

a ta velocidad.

la e cu ad ón de velocidad relativa de los punto s B? y B« se escribe como:

V m - V * * •> V * , *

Cóm o el eslabón 4 está sujeto con u n perno al eslabón fijo, la vclod dad de B* o perpe ndicub r a la linea que

conecta B4 con el centro de rotación (el punto Q . En este caso, b velocidad relativa de B¡ con respecto a B4 es

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200 CAPITULO SIETE

c)

f i g u r a 7 .2 4 [C o n ti n u a c ió n ).

pa ral ela a l esla bó n 4 p orq u e & * des liza a l o l ar ga de l es labó n 4 . El d iagr am a de ve loc ida d mo st ra do en la f igu ra

724 b se elaboró a escala para obtener bs m agnitudes de velocidad de

Vw - 50.7 in /s ^5*"

V m » = 2 9J i n /s 7 ^ /

la distancia ait rc los punto s C y B4 de 3.8 in so obtuvo midiendo con c a d . Por consiguiente, la velocidad

angular del eslabón 4 se calcula como:

Va, 50.7 in/sai, ------ ■ __ ___ — ■ 13-3 rad /s , en s en tid o an tih orari o

' c m i- o m

Com o se determinó que la velocidad de B4 está hada abajo y a la derecha, b velocidad angular de B, debe

estar en sentido antihorario.

4 . Calcule las componente* d e la aceleración

Ltetermine las magnitud es de las aceleraciones cono cidas com o sigue:

= (58 -b ^ s ) . = 2 i5 3 ¡n/ sí = 2 04 f t/ s1 / ¿ *

(dirigida hacia el ce

rotación, pu nto A)

r<ac ,-4 'n(dirigida hacia el centr o de

A fc - 0 ( a , - 0 )

A£. - . <_3l n /s >_ . a 6 inJs! m 56ft/s2 / ¡ y

rCB* ,n(dirigida hacia e l centro de

rotación, el punto Q

a L « * " 0

(ya que B¡ se des li/a sobre B« y el m ovim iento relativo es de traslación pura)

AIz/m - 2(vm,flt)(a>4/ " 2(293 in/s) (13J r ad /s )

= 779 in/s* = 65 ft/sJ

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A n á l is i s d e a c e l e r a c i ó n 201

La dirección d e la co mpo nente de Coriolis es v®/*,, que es paralela a l a trayectoria de B¡ en relación con B,

(7W'’), girada 90* en la dirección de ca« (sentido a ntihorario). Entonces, la compo nente de Coriolis es perpen

dicular al eslabón 4, hacia abajo y a la derecha 0 ^5 °).

Construya el diagram a de aceleración

El paso siguiente es cons truir el diagrama de acderación qu e incluya los puntos B¡ y Bt. Com o se mencionó, ge

neralmen te resulta má s conveniente escribir la ecuación de aceleración con el punto que recorre la trayectoria,

Bj, del primer miem bro. C on esta directriz, la ecuación de la aceleración se escribe como:

A j í + > A ® - A jJ , + > A r , + > A ¡¡ ¡/ ¿ , + > A¡ (J/g ^ + > A ) n /f l ,

las incógnitas en h ecuación d e aceleración son Aj* y Afo j». R eagrupando la ecuación de aceleración de

manera que cada incóg nita sea el últim o térm ino d e <~a A fc ,* - A f o * + > A fc ,* ♦ > A L + > A¿,

El diagra ma de aceleración dibuja do a escala se presenta en la figura 7.24c.

M id a la s com po ne ntes d e la ac elerac ión q u e s e dese a con ocer

Se obtien en a escala las ma gnitud es de los vectores del diagram a usa ndo las siguientes ecuaciones:

A ’ bub í = » 2 tU i / & *

A ¿ = 3 7 ft/s2 = « 4 in / s2

y, finalmente.

rcw in

Com o se determ inó que la aceleración tangencial de B , es hacia abajo y a la derecha, la aceleración angular

correspondiente del eslabón 4 debe ser en el sentido antihorario: po r lo tanto,

r»« = 177 ra d i e n sentido antihorar io

7.12 MEC ANISM OS EQUIVALENTES

H a s ta o t e p u n to d e l li b ro , l o s e je m p lo s d e a n á l i s is d e m o

vimiento han inc lu ido tan so lo mecanismos con u nio no pr in

c ipales; o ded r , u nio no d e perno y de corred era Recuerde delcapí tu lo 1 qu e un a unión d e orden super ior , com o un a unión de

leva o de e ngran e, imp lica mo vim iento de rodam iento y desliza

miento. Tanto las levas com o los engran es son el tema d e estu

dio en capítulos posteriores. Sin emb argo, el análisis de m ovi

miento de m ecanismos con uniones de orden supe r ior se realiza

usand o los conceptos y a estudiados.

El análisis de velocidad y aceleración d e m ecanismos que

utilizan uniones de orden superior se simplifica significativamen te con la const rucc ión de un mecanismo equiva lente. Este

método convierte la configuración instantánea de un m ecanism o e n u n mecanismo equivalente, donde los eslabones estánconectados co n union es principales. La figura 7.25 ilustra dos

mecanism os de leva qu e tienen uniones de rodam iento y

deslizamiento. Las líneas punteadas representan los mecanis

m os equivalentes.

Observe qu e el acoplador de estos m ecanismos equivalen

tes está d ibujado desde los centros de curva tura respec tivos de

los dos eslabones aparejados. Para u n periodo de tiem po finito, los

dos centros de curva tura de los eslabones apare jados per

manecerán separados a u na distancia constante. En la figura 72 5

observe que el acoplador se util iza para sustituir la un ión de o r

den superior. Este acoplado r se extiende entre el centro de cur

vatura de las superficies en con tactod e los do s eslabones apareja

dos. Para un p eriodo de tiem po finito, los centros de curvatura

de dos superficies aparejadas permanecerán separados a una dis

tancia constante. El fundam ento proviene del concepto de centro

instantáneo introd ucid o en la sección 6. 10. ft>r lo tanto, se puede

usar un eslabón acoplador, con dos uniones de pe rno pa ra reem

pl az ar l a u nió n d e o rd en su per io r. Es im po rt an te ob se rvar q u e l a

ubicación del centro d e curvatura cambiará conforme el mecanis

mo se mueve. Sin e m bargo una vez qu e se haya const ru ido e l

mecanismo equivalente, el métod o de análisis es idéntico a los

pr oble m as ex pue st os an te ri orm en te en es te t ex to .

f i g u r a 7-25 M e c a n i s m o s e q u i v al e n te s .

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202 CAPITULO SIETE

7.13 CURVAS DE ACELERACIÓN

Los análisis presentado s hasta ah or a sirven pa ra calcular la <*e

le radón de pu ntos sobre un mecanismo en un instante espec i

f ica A un cuan do son importantes , los resul tados ofrecen tan

solo un a fo to instantánea de l movim iento . La desventa ja evi

dente de este análisis es qu e se dificulta la obtención d e las con di

ciones extremas du ran te u n ciclo. Se requieren investigar varias po si cione s de l m ec an is m o p a ra de scu bri r la s las es crí ticas .

Com o se m ostró con la velocidad, tam bién es convenientese g ui r l a m ^n i tu d d e l a a ce le ra ción d e d e r to p u n ta o e s la b ón ,

conforme e l m ecanismo se m ueve a t ravés de su ¿d o . Ta l se

guim iento brin da inform ación acerca de las foses crít icas del a-

d o . La c u rv a d e a c e l e rad ó n p ro p o rd o n a e se t r a z a La c u rv a d e

acelerad ón gráfica la aceleración de un p unto o un eslabón en

fund ón de l t iempo. Se puede generar a p ar t i r de la curva de ve

lodda d, la cua l se presentó en la secd ón 6 .14 .

Recuerde que la curva de ve loddad grá f ica la magni tud de

la ve loc idad de u n p unto o un eslabón en fund ón de l t iempo. La

curva de ve lod dad se genera a par t i r de la curva d e desplazamien to. la cual se presentó en la secdón 4.11. ft>r consiguiente,

se util iza un a curva de desplazamiento pa ra generar la curva de

veloddad que, a la vez, sirve p ara generar la curva d e aceleración.

Esto se debe a q ue la acelerad ón se puede expresar como:

A c e le ra d ó n -ii(v e l o d d a d )

El cálculo diferencial sugiere qu e la acelerad ón en u n ins

tante p ar t icu la r es la pendiente de la curva d e ve loddad en ese

instante. C om o la velocidad es la derivada del desplazamiento

co n respecto al tiem po, la aceleración tam bién se expresa como:

Aceler a c i ó n =(desplazamiento)

Esta ecu adó n sugie re qu e la ace le radón en un instante par

ticular es la curv atura en la curva de desp lazamiento. Se debe

a d m i t ir q u e l a c u rv a tu ra q u iz á n o se a m u y c o n v e n ie n t e p a racalcular la pendien te. Sin em bar ga es fodl visualizar las ubica-do ne s de aceleradon es extremas, localizando las regiones pu n

t iagudas de las curvas sob re e l d iag ram a de desplazamiento .

Aun cuando los valores sean difidles de calcular, el mecanismo

se puede configurar en la posid ón deseada y, lueg a e jecutar un

aná lis is de ace le radón exhaust iva com o se presentó en las sec

ciones anteriores.

Para determ inar los valores de las curvas de aceleración, es

me jor determ inar la pendien te en varias regiones de la cu rva de

ve lodd ad (véase la secdón 6 .14).

7.13.1 DIFEREN CIALES GRÁFICAS

La tarea consiste en es tima r la pend iente de la curva d e veloci

dad en var ios pun tos. La pendiente de un a curva en un p unto se

estima gráficamente dibujando una línea tangente a la curva en

el p un to de interés. La pendiente de la l ínea se determina calcu

lando el cambio m edido en la "elevación" (veloddad ) dividido

en tre e l cambio m edido en la “corr ida” ( tiempo) .

Este procedimiento se pu ede repe ti r en var ios pun tos a lo

la rgo de l d iagrama de ve lodd ad. Sin embargo, genera lmente tansolo se desean conocer los cambios abru ptos y ext remos en la

ace lerac ión . Usando los concep tos de cá lculo d i fe rend a l y de

p en die nte s , la s p o s id o n e s d e in te ré s se lo g ra n de te ct a r v is ual

men te. Estas incluyen:

■ la s par tes más indinad as de l d iagram a de ve loc idad , quecorrespond en a las aceleradones extremas, y

■ Las ubicaciones del diagram a de velodd ad con la curvatura

má s grande , las cuales corresponden a los cambios abruptos

de las aceleradones.

Se debe destacar que quizá ocurra n fádlm ente e rrores en la

de te rminac ión de la pendiente de una cu rva . Tales e rrores se

m a g n i f i c an c o n fo rm e l a p e n d ie n t e se m id e e n u n a c u rv a d e

rivada. Este es el caso cuan do la curv a de aceleración se obtiene

a pa rtir d e la curva de velocidad, la cual proviene a la vez de una

curva de desplazamiento. Po r ende, los valores obten idos para

de l d iagrama de ace le radón se deber ían usar con precaudón.

N o o b s ta n te , e s in va lu able la id enti fi caci ó n de las p o si

do nes ext remas de ace le radón. Se deber ía rea l iza r entonces u n

aná l is is de ace le rac ión exh aus t iva com o e l presentado en lassecc iones ante riores d e este capi tu la en esas or ientadon es delmecanismo para obtener va lores de ace le rac ión predsos. El

benefi ci o d e la cu rv a de acel e ra c ió n e s u b ic a r l as c o n f ig u ra

c io n e s im p o r t a n t e s d e l m e c a n ism o : p o r l o t a n t a se t ie n e q u e

realizar un análisis meticuloso d e la aceleración.


En el problema de ejemplo 6.18 se construyó la curva d e veloddad de u n mecanismo compresor. Con esos datos

gnifique u na curva d e aceleración.

SO LU CIÓ N : 1 . Id ent ifi qu e Im p a rte s h or iz on ta le s de l d ia gr am a d e ¡e lo eida d

La tarea principal en la constm cdón de un a curva de aceleradón es determinar la pendiente de muchos puntos

de la curv a de velocidad. Esta curva de v elodd ad se construyó en el problema de ejem plo 6.18 y se reproduce en

b figu ra 7.2 6.

En esta curva es evidente q ue hay tangentes horizontales, o de pend iente igual a cero, en 0.007 y 0 0 2 7 s.Entonces, la acelerad ón del pistón es cero en 0.007 y 0X127 s, cuyos pun tos están identificados com o t¡ y t,. res

pe ctiv amente.

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O ír » , de velocidad

( V n d l c n l e 1 0 0

p o s i t i v a

«n*ndc. <,

M á x i m a

peni tente

negativa, l¡

á t j m .00 5 s

f i g u r a 7 0 6 C u r v a d e v e lo c id a d d e l p r o b l e m a d e e je m p l o 7 .1 2 .

2. Calcule la pendie nte en las partes sobresalientes de la cur ra de telocidad

La pendiente m áxima lu cia arriba se encuentra en 0 s. Este pun to se identifica como to. Se puede hacer un esti

m ado de la velocidad a pa rtir de lo s valores de Av^ y A(q leídos en l a gráfica. La aceleración en 0 se estim a como:

| a . ¡ 2 S L . a c o t a d A lo 0002 5 s

Asimismo, la pendiente máxima hacia abajo aparece en 0.017 s. Este punto se identifica como t¡.

Nu evam ente, el es tim ad o de la acele rac ión s e hace a partir de los valores de A*j y Aí2 Hd os e n la gráfica. La ace

leradón en 0.017 s se estima como:

«■-i r

- ^A *2 0.003 s

3. Dibu je l a cu rv a de acele ració n

B p rocedimiento para determ inar la pendiente de la curva de veloddad se repite con otros valores de tiempo.

Recopilando la información de la pend iente y el tiempo, se construye la curva de aceleración (figura 727).

f i g u r a 7 0 7 C u r v a d e a c e l er a c ió n d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 7 .1 2 .

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204 CAPITULO SIETE

7 .1 3 .2 D i fe r e n c i a l e s n u m é r i c a s

Com o en la sección 6.14.2, la curva d e aceleración se determin a a

p ar ti r d e lo s d a to s d e ve lo cid ad m ed ia nte di fe renc ia les n u m é ri

cas. Nuevamente, se usa el m étodo d e Richardson [ref. 3) para

obtener la derivada de u na serie de datos puntuales, a intervalos

iguales, de la variable independiente. l)e m odo que la derivada

de la curva de ve loc idad- t iempo se aproxima num éricamente

co n la siguiente ecuación:

= h - t , = b - h = U - h

r, - t iempo en e l da to pun tua l i

Ta m b ié n se p u e d e d e t e rm in a r l a se g u n d a d e r iv a d a m e

diante aproximación numérica. Aun cuando no es exacta, esto

p erm it e q u e la c u rv a d e ac el erac ió n s e der iv e di rec ta m en te d e la

curva de desplazamiento- tiempo. De nuevo, se usa e l método

de Richardson para de te rm inar numéricamente la segunda de

rivada co n la siguiente ecuación:

2 A I

vi + J - 2 v ,+ | + 2 v ¿_ | - 2

1 2 A i(7.29)

d o n d e :

i ™ subíndice de d atos puntuales

v, = vdoc ida d en e l da to puntua l i

A R 1+, - 2 A R , + A

A r2

dande , además de la notac ión anter ior.

AR, = desplazamiento en el dato puntu al i

(7.30)


En el problema de ejemp lo 4.11 se graficó u n diagrama d e desplazamiento de un pistón qu e hinciona en un compre

sor. Partiendo de este diagrama, se derivó la curva de velocidad en el problem a de ejemplo 6.18. Use estos datos para

gm crar numéricamente la cur ra de aceleración.

SO LU CIÓ N : 1 . Dete rm in e e li n crem en to de t ie mpo en tr e lo* dat os pu ntua le s

Los datos de la hoja de cálculo del problema de ejemplo 6.17 (figura 6.40) se amplían para insertar un a columnaadicional qu e incluya la magnitud de la aceleración del pistón. Asimismo, en el problema de ejem plo 6.18 el in

cremento de tiempo se calculó como:

A t = t , - t, = (0.00286 - 0X1) = 0X0286 s

2 . l i e la ecuación (7 J9 ) para calcular loi dato* puntuales de aceleración

Para ilustrar el cálculo de las aceleraciones, a continuación se presentan un os cu antos ejem plos de cálculo u&an-

<k» la e cua ción (7 29 ):

v , - V, v4 - 2vj + 2v , - v ,j"a¡ -

2A í 1 12 A r

142.6 7 - 0 0 [ 1 3 73 0 - 2 (1 4 23 7 ) ♦ 2 (0 0 ) - ( -91 .47)1

2(.OG286) .! i 12(00286) ]

- 26898 in/s2

vio “ ‘b v „ - 2v10 + 2 v , - v i•'*» ■ 2Ar 12 Ar

(-1 42 .6 7) - [-9 5.4 8)- (-9 1.4 7) - 2 ( - 142.67) + 2 ( - 95 .4 8) -

2(00286) 12(00286)

- -1730 5 in/s2

«12 -[ **i> - *’ii

■v¡ - 2 v is + 2 v „ - v10]

[ 2A» 12 Ar

f (0.0) - ( -1 4 2 3 7) " (91.47) - 2 (0 .0 ) + 2( -9 1.4 7) - (1 4 2 3 7 )

l 2(00286) 12(00286)

- 26898 in/s2

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A n á l i s is d e a c e l e r a c i ó n 2 05

3. Re úna lo s m u lt a d o s d e acel erac ión y gr af iq ue la c u n a

l.i información resultante, con todas las mag nitudes de aceleración calculadas, se proporciona en la figura

Estos valores están graficados en la figura 7.29 para formar el diagram a de aceleración en rebción con el tiempo.

Observe que esta cu n a es todavía muy burda. Para efectos de exactitud, se recomienda ampliamente que el in

cremento en el ángulo d e la manivela se reduzca a 10* o 15*. Cuan do se usa un a h oja decálculo pa ra generar los datos

de aceleración, son aconsejables incluso incrementos men ores par a no volver la tarea m ás difícil.

- J O < >

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*1 Data C ran k Ptvtop Plvton P h to a

2 l’ Hnt An gle Time D H placrtn rn l V rlo c ltv A c celera tlon

i l a d r t (deg) ( 0 . 0 0 1 k c > ( m ) ( m i c e ) ( i a wc : )

4 1 0 0 .0 0 2 .00 0 0 0 0 3 4 6 5 5

5 V 3 0 2 .8 6 0 .1 3 6 9 1 .4 7 2 6 8 9 8

6 3 60 5 .72 0 .4 8 3 1 4 2 6 7 7 9 0 1

7 4 90 8 .57 0 .8 9 6 137 .50 - 1 0 1 8 1

8 5 1 20 1 1 4 3 1.233 9 5 48 -1 7 3 0 5

9 6 1 50 14 .2 9 1.435 46 .03 -1 6 7 6 1

10 7 1 80 17.15 1 .50 0 0 0 0 -1 5 7 5 9

II 8 2 1 0 2 0 .0 0 1.435 -4 6 .0 3 -1 6 7 6 1

12 9 2 4 0 2 2 8 6 1.233 - 9 5 4 8 - 1 7 3 0 5

13 10 2 7 0 25 .7 2 0 .8 9 6 - 1 3 7 .5 0 -1 0 1 8 1

14 II 3 0 0 2 8 58 0 .4 8 3 - 1 4 2 6 7 7901

15 12 3 3 0 31 .4 3 0 .1 3 6 - 9 1 . 4 7 2 6 8 9 8

16> -

• • •

13

* « M I .

3 6 0 3 4 2 9 0 .0 0 0 0 .0 0 3 4 6 5 5

f ig u r a 7 .28 D a t o s d e a c e le r a ció n d e l p r o b l e m a d e e je m p l o 7 .1 3 .

figura 7.29 Curva de aceleración del problema d e ejemplo 7.13.

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206 CAPITULO SIETE

PROBLEMAS r(ín*>

Las técnicas manuales de d ibujo son mu y didác t icas en los

pr ob le m as d o n d e se re qu ie re n so lu c io nes gráficas ; n o obst ante ,

se recomienda ampl iamente e l uso de u n sis tema de cad .

A c e le ra c ió n e n g e n e ra l

7-1.

7 -2 .

7 -3 .

7-4.

7-8.

7-9.

7-5.

7-6.

7-7.

Cuando se act iva una banda t ransportadora , hay a lgu

nos ca jas enc ima de e l la que se mueven hac ia laderecha . La ban da a lcanza u na ve locidad to ta l de 45

fpm (ft/m in) e n 0.5 s. D etermine la aceleración lineal

«le las cajas, sup on iend o que la aceleración es con s

tante. De termine tamb ién el desplazamiento lineal de

b s ca ja s du ra n te es te p e ri o do de ac elerac ió n.

Un vehículo de a l to rendimiento va de 0 a 60 (m ph)

en un t iempo de 8 3 s. Dete rmin e la aceleración lineal del

vehículo y la distancia recorrida para alcanzar 60 m ph.

Un e levador se m ueve hacia a rr iba a una v e loc idad

«le 12 ft/s. Determine la distancia reque rida p ara dete

ner lo , s i la desace le rac ión constante no excede los

10 f t/s 2.

B pu nto A se encuentra sobre una corredera que acele ra uniformemente hac ia a rr iba a lo la rgo de unatrayectoria recta vertical. La corredera tiene una veloci

dad de 100 mm/s cuando pasa por un punto , y de 300

m m /s c u a n d o p a sa p o r u n se g u n d o p u n to , 0.2 s m á s

ta rde . Dete rmine la ace le radó n l inea l y e l desplaza

miento l inea l de l pun to A duran te este in te rva lo de

tiempo.

Se usa un ac tuador l inea l para em pujar u na carga hacia

b iz qu ie rd a. P ar ti e n d o d e l r epo so , se re qu ie re n 1 .5 s

p i r a al ca nz ar u n a v e lo d d ad to ta l d e 0 .7 5 m /s . D ete r

m ine la aceleradó n lineal de la carga. Calcule asimismod desplazamiento lineal de la carga du rante esta fase de

aceleradón del movimiento.

Partiendo del repo so, una leva acelera uniformem ente

h a s ta 7 5 0 rp m e n 8 s e n se n tid o h o ra r i a D e term in e l aacelerad ón angu lar de la leva.

0 ro to r d e u n m o to r d e r e a e d ó n g i r a e n se n tid o h o

rario y se estabiliza en 10000 rpm . Cu ando se corta el

sum inistro de combus tible, el m oto r disminuye la ve-

b d d a d hasta d et en ers e en 2 m in . S u p o n ie n d o q u e la

ve loc idad se reduce u niformemente , de te rm ine la ace

le radó n angu la r de l mo tor . Ca lcule asimism o e l des

pl az am ie nt o an gula r d el ro to r d u ra n te es te p e ri od o d e

La velodda d angular de un eje se incrementa con ace

leradón constante de 1000 a 2500 rpm en 2 0 sen sentido

ho raria Determine la aceleradón angular del eje.

Una rue da g i ra 400 revoluc iones en sent ido an t iho

ra r io m ientras desace le ra de 1100 a 800 rpm . D ete r

m ine la aceleración ang ular de la rueda.

Perfiles de v elociilad

7 -1 0 . Ib a c tu a d o r se rv o im p u l sa d o e st á p ro g ra m a d o p a ra

extenderse de acuerdo con e l perf i l de ve loc idad

m ostrad o en la figura P7.10. Determine la aceleración

máxima, la desacelerad ón m áxima y el desplazamiento

lineal dur ante ese movim iento programado.

f i g u r a P7.I0 Problemas 10y II.

7-11 . Un ac tuador se rvoimpulsado está programado pa ra ex

tenderse de acue rdo con el perfil de velodd ad mo strado

en la figura P7.10. Use una h oja de cálculo pa ra generar

las gráficas de desplazamiento con tra t i em pa veloci«lad

contra t iempo y ace le radón contra t iem pa d urante este

m « m m ic n to p ro g ra m a d a

7-1 2. Un m oto r l inea l está program ado para moverse hacia

b dere ch a de ac u erd o co n el p er fi l de v e lo d d a d

mos trado en la figura P7.12. Determ ine la acelerad ón

máxima, la desaceleración máxima y el desplazamiento

l ineal duran te este movimiento progra m ada

r ( U . )

7-13. Un mo tor l inea l está programado p ara moverse had a laderecha de acuerdo con el perfil de velod dad m ostrado

en la figura P7.12. Use un a ho ja de cálculo para generar

b s g rá fica s de de sp la za m ie nt o co n tr a t ie m p a ve locida d

contra tiemp o y aceleración co ntra t iempo d uran te este

movimiento programado.

7-14. I b ac tuad or lineal está program ado para moverse 10

in. La velodd ad máxim a es «le 4 in/s, y ta aceleración y la

desaceleradón constantes están limitadas a 6 in/s2. Use

una ho ja de cá lculo para generar las grá f icas de des

pl az am ie nt o c o n tr a t ie m p a ve locid ad c o n tr a ti em p o y

ace le radón contra t iempo durante este movimiento

prog ra m ad o.

7-15. I b ac tuad or l inea l está program ado para moverse 75

m m . La v e lo d d a d m á x im a e s d e 5 0 m m /s , y l a a ce leradó n y la desaceleradón constantes están limitadas

a 100 m m /s2. Use un a hoja de cálculo para generar las

gráf icas de desplazamiento con tra t ie m pa ve loc idad

contra t iempo y ace le rac ión contra t iempo durante

este m ovimiento programado.

A c e le rac ió n n o rm a l y t a n g e n c ia l

7-16 . En la figura P7.16 se mues tra el eslabón 2 que se aisló

de un d iagrama dnem át ico y g i ra a una ve loddad cons

tante de 300 rp m en sentido antihorario. D etermine la

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B

¡celeración lineal total de lo s p untos A y B . Use y ■* 50*

y P m 60°.

7-1 7. En la figura P7 .I6 se presenta el eslabón 2 que se aisló

de un d iagrama c inem át ica El eslabón g i ra a u na velocidad de 200 rpm en sent ido ant ih ora r ia y ace le ra a

400 rad/s2. D etermin e la acdcra ción lineal total de los

p u nto s A y B Utilice y = 50* y 0 = 60° .

7-18 . En la figura P7.16 se presenta el eslabón 2 que se aisló

de un d iagrama c inem át ica EJ eslabón g i ra a u na ve

locidad de 300 rp m en sentido antiho rario y desacelera

a 800 rad/s2. D etermine la acelerad ón lineal total de los

punt os A y B U tilice y = 5 0 "y ( i = 60“.

La f igura P7.19 i lust ra un em brague centr i fugo

que acopla do s ejes a una velocidad angular crit ica.

H G U R A P 7 .I 9 Problemas 19 .2 0 y 2 1 .

7 - 1 9 . Determine la acelerad ón total del punto A sobre la za

pat a d e l e m b rag u e ce ntr if u g o m o s tr a d o en la fi gu ra

P7.19. En e l instante m os trad a e l e je im pulsor g i ra a

300 rpm constantes en sent ido horar io .

7-20 . Determine la acelerad ón total del punto A so b re b z a

pat a d e l e m b ra g u e ce ntr if u g o m o s tr a d o en b fi gu ra

P7.19. En el instan te m os tra da el eje impu lsor gira a

300 rpm en sent ido ho rar io y acele ra a 300 rad/s2!

7 - 2 1 . Determine la aceleradón total del pu nto A sobre la za

p a ta d e l e m b rag u e ce ntr if u g o m o s tr a d o en b fi gu ra

P7.I9 . En el instante m os trad a e l e je impu lsor g i ra a

300 rpm en sentido hora rio y desacelera a 300 rad/s2.

Ace le rac ión rebt iva

7 - 2 2 . En el d b g ra m a c in e m á t ic o m o s t r a d o e n l a f ig u raP7.22. b longitud del eslabón A B e s de 100 mm y 0 =

35°. El bloqu e A s e m u ev e h a d a a r r ib a a u n a v e lo d d a d

de 10 mm /s y ace le ra a 5 m m/s2. Al mismo t iempo, b

ve locidad de l b lo qu e B es de 7 m m/s y ace le ra a 25mm /s2. Determine gráficamen te la velod dad lineal de

A con respecto a B y la aceleradón lineal de A con res

pec to a B.

f i g u r a P 7 J 2 Problemas 2 2 y 23.

7 - 2 3 . En e l d b g ra m a c in em á t i c o m o s t r a d o e n b f ig u ra

P7.22, b longitud del eslabón AB es de 15 in y 0 = 40°.

H bloque A se mueve ha da a rr iba a un a ve loddad de50 in/s y desacelera a 125 in/s2. Al mism o tiemp o, b ve

lodd ad d el bloque 6 es de 42 in/s y acelera a 48.6 in/s2.

Determ ine analít icamente b velocidad lineal de A con

respecto a B y la acele radó n lineal de A con respecto

a B.

7 - 2 4 . En la figura P7.24 se ilustra un dispositivo pa ra abrir

ventanas que se encuentra com únm ente en s i tios e le

vado s de g imnasios y fábr icas. En e l instante en qu e

0 = 25° , b tuerca impulsora se m ueve a la derecha a

una ve lod dad d e 1 f t / s y ace le ra a 1 f t / s2. Al mismot iem pa b ve lodd ad de b zapa ta es de 0 .47 f t/ s , y acele

ra a una v e lod dad d e 0 .91 f t / s2. Dete rmine grá f ica

m ente la ve loc idad l inea l de C con respec to a B y la

aceleración lineal de C co n respecto a B.

7-25. En b f igura P7.24 se muest ra un d isposi tivo para abr i r

ventanas. En el instante en qu e 0 = 55*. la tuerca im

puls o ra s e m ue ve a b der ec ha a u n a ve lo cida d d e 2 ft/s

y ace le ra a 1 f t/ s2 . Al mismo t iem pa b ve lodd ad de la

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208 CAPITULO SIETE

zapata o de 2.85 ft/s. y acelera a 8.51 ft/s2. Determine

gráficamente la velocidad lineal de C co n respecto a B y

ti aceleración lineal de Cc on respecto a B

M é to d o d e a c l a ra c ió n r e l a t iv a : g rá f ic o

7 -2 6 . fó ra d m e c a n i sm o c o m p re so r m o s t r a d o e n l a fi g ura

P7.26, util ice el métod o d e aceleración relativa para de

te rminar grá f icamente la ve loc idad l inea l y la ace

leración lineal del pistón conform e la manivela gira auna ve loc idad constante de 1150 rpm en sent ido ho

ra r i a

Pistón

F IG U R A P 7 J 6 Problemas 2 6 . 2 7 . 2 8 . 4 4 . 7 5 . 8 1 y 8 7 .

7-27.

7-28.

7-29.

Ihra e l mecanismo compresor m ostrado e n la figura

P7.26, en el instante m os trad a la manivela gira a 2000rpm en sentido antihorario y acelera a 10000 rad/s2.

Use el métod o de la aceleración relativa para determi

tu r grá f icamen te la ve loc idad l inea l y la ace le rac ión

lineal del pistó n.

Ihra e l mecanismo compresor m ostrado e n la figura

P7.26 , en el instante m ostra da b m aniveb g i ra a 1500

rpm en sen t ido hora r io y dcsace le ra a 12000 rad/s2 .Use el mé todo de aceleración relativa pa ra determinar

gráficamente b velocidad lineal y b aceleración linealdel pistó n.

Para el m ecanismo de la máquin a de coser mo strado en

b figu ra P7 2 9 , en e l in st ante e n q ue 0 ■ 30*. la rueda

impulsora g i ra a 200 rpm constantes en sent ido a nt iho

rario. Use el m étodo d e b aceleración relativa para de

te rmina r grá f icamen te b ve locidad l inea l y la ace le

ración lineal de b aguja.

7-30. Ri ra e l m e c a n ism o d e l a m á q u in a d e c o se r m o s t r a d o

en la figura P7.29. en el instante en que 0 - 30°. la

rueda impulsora g i ra a 300 rpm en sent ido horar io y

acelera a 800 ra d/s2. Use el m étodo de aceleración rela

t iva para de te rm inar grá f icamente b ve lodd ad l ineal y

la ace le radón l inea l de b aguja.

7-31. Ri ra e l m e c a n ism o d e l a m á q u in a d e c o se r m o s t r a d o

en b f igura P7.29 . en el instante en que 8 » 120°. b

rueda impulsora g i ra a 200 rpm en sent ido horar io ydesacelera a 400 rad /s2. Use el m étodo d e acelera dón

relativa para determ inar gráficamente la velodd ad lineal

y b acelerad ón lineal de la aguja.

7-32. En b s ie rra de po tend a para meta les de b f igura P7.32 ,

e n e l i n s ta n t e m o s t r a d a b m a n iv e b d e 1 .75 in g ir a a

830 rpm constantes en sent ido horar io . Use e l métodode aceleradón relativa pa ra determ inar gráficamente la

sd oa da d l ineal y la ace le radón l inea l de b cuchil la de

b sierra.

7-33 . En la s ie rra de po tenc b para meta les de b f igura P7.32 ,

e n el i n s ta n t e m o s t r a d a b m a n iv e b d e 1 .75 in g ir a a

(O rp m en sentido h orario y acelera a 40 rad/s2. Use el

método de ace le radón re lat iva para de te rminar grá f i

camente la veloddad lineal y la aceleración lineal de bcuchi lla de b sierra.

F I G U R A P7J2 Problemas 32 .33 ,3 4 .46 .77 ,8 3 y 89.

7-34. En b s ie rra de po tenc b para m etales de b f igura P7.32 ,e n e l i n s ta n t e m o s t r a d a b m a n iv e b d e 1 .75 in g ir a a70 rpm en sent ido h orar io y desace le ra a 45 rad /s ' . Use

e l m étodo de b ace le radón re la tiva para de te rminar

gráf icamente b ve loddad l inea l y b ace le radón lineal

de b cuchil la de la s ie rra .

7-35. El m otor de l caba llo t ragam onedas de b f igura P7.35

gira a una ve lodd ad constante de 90 rpm en sent ido

F I G U R A P7J5 Problemas 3 5 . 3 6 , 3 7 , 4 7 . 7 8 . 8 4 y 9 0.

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7 - 3 6 .

7 - 3 7 .

7 - 3 8 .

ta ra r io . E n e l instante en que 0 = 30*. us e el méto do

de aceleración relativa para d eterm inar gráficamente la

velod dad an gular y la aceleradón angu lar del caballo.

En el instante en q ue 0 = 45*. el m oto r del caballo tra-gunoncdas de la f igura P7.35 g i ra a6 0 rpm en sentido

horario y acelera a 30 rad/s2. Use el métod o de acele

radó n re la t iva para de te rminar grá f icamente la v e lod

dad ang ular y la aceleradón angu lar del caballo.

En e l instante en q ue 0 = 120°, el moto r d el caballo

tragamonedas de la figura P7.35 gira a 40 rp m en sen

tido hora rio y desacelera a 2 0 rad /s2. Use el m étodo de

la acelerad ón relativa pa ra determinar gráficamente lavelodd ad angu lar y la acelerad ón ang ular del caballo.

E l m o to r d e l ro d a d o r p a ra l a va r a u to m ó v i l e s d e la

figura P7.38 gira a un a velo dda d con stante de 120 rpm

en sent ido ant ihorar io . Use e l m étodo de ace le radón

relativa, en el m om ento en que 0 - 4 0° , p a ra d e t e rm i

nar grá f icamente la ve loddad angula r y b ace le radón

a igu la r de l brazo d e la boquil la . método d e b ace le radón re lat iva para de te rminar grá

ficamente la velo dda d angular y la aceleradón angu lar

de b rueda de l ensamble .

7 - 4 2 . En e l instante mostrado, b m aniveb de 12 in sobre elengrane imp ulsor del tren de aterrizaje de un avión pe

queño, m ostrad o en la figura 1*7.41, gira a 15 rpm en

srntido an tihorario y acelera a 4 rad/s2. Use el métodode ace le radón rebt iva pa ra de te rminar grá ficamente b

ve loc idad angula r y b ace le radón angula r de b rueda

del ensamble.

7 - 4 3 . En el instante m ostrado, la ma niveb de 12 in sobre el

engrane imp ulsor del tren d e aterrizaje de un avión pe

queño, mo strado en la f igura P7.41 , g i ra a 18 rpm en

sent ido ant ih ora r io y desace lera a 3 .5 rad /s2. Use el

método de ace le radón rebt iva para d e te rminar grá f i

c a m e n te b v e lo d d ad a n g u b r y b a c e l era d ó n a ng u la r

de b rued a del ensamble .

f i g u r a P7J« Problemas 38 .39 ,40 ,48 ,79 ,85 y 91.

7 - 3 9 . En e l m omento en que 0 “ 90", el mo tor del rociador

jxi ra lava r a u to m óvi le s d e l a f ig u ra P7 .3 8 gi ra a u n a v e

loddad d e 150 rpm en sen t ido ant ihorar io y ace le ra a

200 rad/s2. Use el mé todo de ace leradón re btiv a para

de te rminar gráf icamente b ve locidad an gu br y b ace

l e ra d ó n a n g u b r d e l b ra z o d e b b o q u il la .

7 - 4 0 . En e l m o m e n to e n q u e 0 = 120°. el m oto r del rodad or

po ra b v a r au to m óvi le s d e b fi g u ra P 7. 38 g ir a a u n a v e

loddad d e 100 rpm en sent ido ant ihorar io y desacelera

a 100 rad/s2. Use el méto do de ace leradón relativa para

determ inar gráficamente b velocidad angu lar y la ace

le rac ión an gub r de l brazo de b boqui lla .

7 - 4 1 . La manivela de 12 in sob re el engrane im pulso r del tren

d e a t e r r iz a j e d e u n a v ió n p e q u e ñ o , m o s t r a d o e n bf igura P7.41 , g i ra a u na ve loddad constante de 20 rpm

en sentido a ntihorario. En el instante mostrado , use el

M é to d o a n a l í t ic o d e l a a c el e rac ió n r e b t iv a

7 - 4 4 . En e l mecanismo compresor de b f igura P7.26 , en el

instante mostrado, b m aniveb g i ra a 1800 rpm en sen

tido horario y acelera a 12000 rad/s2. Use el m étodo de

ace leradón re lat iva para de te rminar ana l í t icamente b

velodd ad lineal y la a celeradó n lineal del pistón.

7 -4 5 . P i r a e l m ec a n ism o d e b m á q u in a d e c o ser de b f ig u ra

P7.29, en el instante en qu e 6 - 30° . b rueda impulsora

g i ra a 2 5 0 rp m e n se n t id o h o ra r io y a c e le ra a 6 00 0

rad/s2 . Use e l méto do de b ace le radón rebt iva p ara de-

te rmina r ana l í t icamente b ve loc idad linea l y la ace

le radón l inea l de b aguja .

7 - 4 6 . Pi ra b s i e r r a d e p o te n d a p a ra m e ta le s d e l a fi g ura

P7.32, en el instante mostrado , b m anive b de 1.75 in

g i ra a 5 5 rp m e n se n t id o h o ra r io y d e sa c e le ra a 3 5rad/s2 . Use e l m étodo de b ace le radón rebt iva para de

t e rm in a r a n a lí ti c a m e n te b v e lo d d a d l i n ea l y b a ce le

radó n l inea l de b s ie rra .

7-4 7. En el instante en que 0 = 45°, el m oto r del caballo tra-

g imonedas de b f igura P7.35 g i ra a 45 rpm en sentido

Iwrario y acelera a 25 rad/s2. Use el m étodo de b ace

le radón rebt iva para de te rm inar ana lí ticamente b veloddad an gu br y la ace le radón angu br de l caba llo.

FIGURA P7.41 Problemas 4 1 , 4 2 . 4 3 . 4 9 , 8 0 , 8 6 y 9 2 .

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210 CAPITULO SIETE

7-4*. En e l mom ento en que 0 = 90", el m otor del rociador

p i r a la var au to m ó v il es de la fi g u ra P7 .3 8 g ir a a 130

rpm en sentido antih ora rio y desacelera a 180 rad/s2.Use el mé todo de aceleración relativa pa ra determinar

ana lí ticamente la ve locidad angula r y la aad era dó n a n

gular del brozo d e la boquilla .

7-4 9. En el instante mos trado, la manivela de 12 in sobre el

engrane im pulsor de l t ren de a te rr iza je de l av ión pe

queño m ostrado en la f igura P7.4I g i ra a 12 rpm ensentido an tihorario y acelera a 3 rad/s2. Use el m étodo

de aceleradón relativa para determ inar analíticamente

la ve loc idad ang ula r y la ace le rac ión ang ula r d e la

rueda del ensamble.

A c e le ra c ió n d e p u n to s so b re u n e s l a b ó n f lo t a n te :

m é to d o g rá f i co

H eslabón de 3.25 in del mecanismo d e la troqueladora

de la f igura P7.50 g i ra a una ve loddad constante de 20

rp m e n se n t id o h o ra r io . En e l m o m e n to e n q u e

8 = 60". determ ine gráficamente b aceler adó n linealdel pu nto X sibre la t roque ladora .

7-50.

4.32*

7-51.

7-52.

7-53.

7-54.

FIGURA P7j o Problemas 50 a 53 ,58 .

0 eslabón de 3 .25 in de l mecanismo de la t roque ladora

de la f igura P7.50 g i ra a una ve loddad constante de 20rp m e n se n t id o h o ra r io . En e l m o m e n to e n q u e

8 = 120", determine gráficamente la acelerad ón linealdel pu nto X sobre la t roqueladora.

0 eslabón de 3.25 in del mecanism o de la troqueladora

de la f igura P7.50 g i ra a 30 rpm en sent ido ho rar io y

acelera a 6 rad/s2. En el mo me nto en que 8 = 90". d e

term ine gráficamente la aceleración lineal del p un to X sobre la troqueladora.

0 eslabón de 3 .25 in de l mecanismo de la t roque ladora

de la figura P730 g i ra a 3 0 rpm en sent ido horar io y desace le ra a 6 rad/s 2. En e l m om ento en qu e 8 = 90°,

determine gráficamente la acelerad ón lineal del pun to

X sobre b t roqueladora .

0 eslabón de 0 .5 m de l m ecanismo levadizo de la

figura P7.54 gira a u na velocidad constante de 12 rpm

en sent ido ant iho rar ia En e l instante en que 8 = 20",

de te rmine grá f icamente la ace le radón l inea l de l

p u n to X

f i g u r a P 7 J 4 P r o b l e m a s 54 a 57,59.

7 -5 5 . H e s b b ó n d e 0 .5 m d el m e c a n ism o l e v a d iz o d e b

f igura P7.54 g i ra a una ve loddad constante de 20 rpmen sentido horar io . E n e l instante en que 8 = 30", de

te rmine gráf icamente b ace le radón l ineal de l pun to X

7 -5 6 . 0 e sb b ó n d e 0 .5 m d e l m e c a n ism o l e v a d iz o d e la

figura P7.54 gira a 30 rpm en sen tido h orario y acelera

a 5 rad/s2. En el instante en qu e 8 - 2 0" , d e t e rm in e g rá ficamente la aceleración lineal del pu nto X.

7 -5 7 . 0 e sb b ó n d e 0 .5 m d el m e c an i sm o l ev a d iz o d e b

figura P7.54 gira a 18 rpm en sen tido antihor ario y de-

sacelera a 5 ra d/s2. En el instante en qu e 8 = 0 °, deter

mine grá f icamente b ace le radón l ineal de l punto X

A c e le ra c ió n d e p u n to s so b re u n e s l a b ó n f lo t a n te :

m é to d o a n a l í t ic o

7-58.

7-59.

0 eslabón de 3 .25 in de l mecanismo de la t roqueladora

de b figura 1*7.50 gira a u na v eloddad constan te de 20

rpm en sent ido horar io . En e l m omento en que 8 = 60",

de te rm ine ana l í t icamen te b ace le rac ión l inea l de l

p u n to X s ob re b tr oqu el ad ora .E l e sb b ó n d e 0 .5 m d e l m e c a n i sm o l e v a d izo d e b

f igura P7.54 g i ra a u na v e loddad constante de 12 rpm

en sent ido antihorar io . En e l instante en que 8 = 20",

determine analít icamente la aceleración lineal del

pu n to X

Acele rac ión de Co rio l is

7-60. Para e l d iagrama c inem át ico mo strado en la f igura

P7.60, en el instante en que 8 = 60", la velo dd ad angu

b r del es la bó n 2 e s d e 30 rad /s en se n tid o h o ra ri o . La

corredera 3 tam bién se m ueve hacia afuera sobre el es

b b ó n 2 a u na v e lo d d a d d e 15 m m /s . D et e rm in e b ace

leradón d e Co riolis del punto fi sobre el eslabón 3 rela

t iva con e l esbbón 2 .

150 mm

f i g u r a P7 J O P r o b l e m a s 6 0 a 62 .

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7-6 1. Pi ra e l d iagrama c inem át ico m ostrad o en la f igura

P7.60. en el instante en q ue fl - 45®. la velocidad ang u

lar de l eslabón 2 es de 30 ra d/s en sent ido ant ih ora r ia

La corredera 3 tam bién se m ueve hacia afuera sobre el

e l a b ó n 2 a u n a v e lo c id a d d e 15 m m /s . D e term in e b

a :e le radón de Corio l is de l punto t í m bre e l esbbón 3relativa con el esb bó n 2.

7-62. Pa ra e l d b g ra m a c in e m á t i c o m o s t r a d o e n b f ig u ra

P7.60, en el instante en q ue 8 ■ 30°, la velocidad angula r de l esbb ón 2 es de 30 rad/s en sent ido ho rar io . La

corredera 3 también s e mu eve hac ia adentro sobre e l

eslabón 2 a una velocidad de 15 mm/s. Determine la

xe le rac ión de Corio l is de l punto t í a»bre e l esbbón 3

relativa con el eslabó n 2.

M e c a n i sm o c o n a c e le ra c ió n d e C o r io li s : m é to d o g rá f ic o

7 -6 3 . Pa ra el d b g ra m a c in e m á t ic o m o s t r a d o e n b f ig u raP7.63, la velocidad ang ular del eslabón 2 e s de 20 rad/s

en sentido antiho rario. Determ ine gráficame nte la ve

locidad an gu br del eslabón 4, la velocidad de desliza

miento del esb bó n 3 so bre el eslabón 4 y la aceleración

a igu la rde l eslabón 4.

se n t id o h o ra r io y a c el era a u n a t a sa d e 4 5 r a d / s2.

Determine gráficamente la aceleración lineal de la

cuchi lb de la s ie rra .

7-67. La f igura P7.67 presenta e l mecanismo d e un a bom ba

par a bici cl et a. En e l in st ante m o s tr a d a el c il in d ro se r e

t rae a un a ve loc idad constante de 2 in /s . Dete rmine

gráf icamente la ace le rac ión an gu br de l ensamble del

ped al y la ac el er ac ió n lin ea l de l p u n to X

p i n t o X

H G U R A P 7 6 7 Problemas 67,68 y 73.

7-64.

7-65.

h g u r a P7.63 f t o b l e m a s 6 3 , 6 4 y 7 1.

Pi ra e l d b g ra m a c in e m á t ic o m o s t r a d o e n b f ig u ra

P7.63, b velocidad ang ular del esb bón 2 es de 20 rad/s

en sentido a ntih or aria y acelera a 5 rad /s2. Determinegráficamente la velocidad angu lar del eslabón 4, b ve

locidad de deslizamiento del eslabón 3 so bre el eslabón4 y b a c el era ción a n g u b r d e l e sb b ó n 4 .

La figura P7.65 ilustra el mecanismo im pulso r de una

s ie r r a c a la d o ra . En e l i n s ta n t e m o s t r a d a b m a n iv e b

p r a a u n a v el oc id ad c o n sta n te de 30 0 rpm e n se ntido

ho raria De term ine gráficame nte ki aceleración lineal

d e b c u c h i lb d e l a s i er ra .

7-66. En e l mecanismo de b s ie rra ca ladora de la f igura

P7.65. b m aniveb g i ra a u na ve loc idad de 200 rp m en

7-68.

7-69.

En la bom ba para bicicleta de la figura P7.67. el cil in

dro se re t rae a una ve loc idad de 2 in /s y ace le ra a

3 in/s2. Determine gráficamente la aceleración angu

la r de l ensamble de l peda l y b ace le ración l inea l de l

p u n to X

La figura P7.69 presen ta el mecanismo del t im ón usa

do en b conducc ión de embarcaciones. En e l instantem ostra da e l im pulsor se está ex tendiendo a una ve lod

dad co nstante de 0 .1 m/s. D ete rmine grá f icamente la

v e lo d d ad y b a c e l e rad ó n a n g u b re s d e l e n sa m b le d el

timón.

0 . 3 m 0 . 4 r a

7-70. En e l mecanismo de l t im ón de b f igura P7.69 , e l im

p uls or se es tá ex te ndi en do a u n a v e lo d d a d d e 0 .1 m /s ydesacelera a u na velod dad de 0.3 m/s2. D etermine grá

f ic a m e nt e b v e l od d a d y b a c e le r a d ó n a n g u b r e s d el

ensamble de l t imón.

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212 CAPITULO SIETE

M e c a n i sm o c o n a c e l e ra c ió n d e Co r io li s :

m é to d o a n a l ít i co

7 -7 1 . Pa ra e l d i a g ra m a c in e m á t i c o m o s t r a d o e n l a fi g ura

P7.63, la velocidad angu lar del eslabón 2 es de 20 r ad/s

en sent ido ant iho rar io . Dete rm ine ana l í t icam ente lav e lo c id a d a n g u la r d e l e sb b ó n 4 , b v e lo c id a d d e

deslizamiento del eslabón 3 sobre el esb bón 4, y b ace

leración angular del eslabón 4.

7-7 2. la figura 1*7.65 mu estra el mecanism o impu lsor de una

sierra ca ladora . En e l instante mostrado, b m aniveb

gira a u na ve locidad constante de 300 rpm en sent ido

hora rio. Determ ine analít icamente b aceleración lineal

d e b c u ch i ll a d e b s i e rr a .

7-73. la f igura P7.67 m uest ra el mecanismo de una bomba

p i r a b ic ic le ta . En e l in st an te m o st ra do , el c il in d ro se r e

t rae a una ve loc idad constante de 2 in /s . Dete rmine

analít icamente b aceleración ang ular del ensamb le del

ped al y la a ce le ra ci ón lin ea l de l pu n to X.

7-7 4. La figura P7.69 presenta el mecanismo del t imó n usa

do en la cond ucción de embarcaciones. En el instante

mostrado, el impu lsor se extiende a u na velocidad cons

o m é d e 0 .1 m / s . D e term in e a n a l ít ic a m e n te b v e lo d dad y la acelerad ón angulares del ensamble del t imón.

Cu rv a s d e a c e le ra c ió n : m é to d o g rá fi c o

7-75. la m aniveb de l mecanismo compresor mostrado en la

f igura P7.26 es impulsada a u na ve loddad constante de

1 7 50 rp m e n se n t id o h o ra r io . Eb b o re g rá f ic a m e n te

un a curva de despbzamiento l ineal de l p is tón en fun

dó n de l ángulo de b manive la . Convie r ta a tiempo el

eje del áng ulo d e la m anivela. Luego, calcule gráfica

m e n te l a p e n d ie n te p a ra o b te n e r b s c u rv a s d e v e lo d

dad y de ace le radón de l p is tón en fun dón de l t iempo.

7 -7 6 . l a m a n iv e b d el m e c a ni sm o d e b m á q u in a d e c o ser

mostrada en b f igura P7.29 es impulsada a una v e lod

d a d c o n s t a n t e d e 1 7 5 rp m e n se n t id o a n t ih o ra r io .

Habore grá f icamente b curva de desplazamiento l ineald e l a a g u ja e n fu n c ió n d e l á n g u lo d e l a m a n iv e

la. Con vierta a t iem po el eje del ángulo de la m aniveb.

Luego, calcule gráficamente b pen diente pa ra obtener

b s curv as d e vel oc id ad y d e a ce le rad ó n d e b ag uj a en

f u n d ó n d e l t ie m p a

7 -7 7 . l a m a n i v e b d e b s i er r a d e p o t e n d a p a r a m e ta le smostrada en b f igura P7.32 es impulsada a una ve lod

d a d c o n s ta n t e d e 9 0 rp m e n sen t id o h o ra r i a Eb b o re

gtá f icamente la curva de de spbzam iento l inea l de la

sierra en fu nd ón del ángulo de la manivela. Conv ierta

a t i e m p o e l e j e d e l á n g u lo d e b m a n iv e l a Lu e g a c a l c u le gráf icamente la pendiente para o btener b s curvas de

v e lo c id a d y d e a c e l e ra d ó n d e b s i e rr a e n fu n d ó n d e l

tiempo.

7-78. 0 m otorde l cabal lo t ragamo nedasde la figura P7.35 es

im p u l sa d o a u n a v e lo d d a d c o n s t a n te d e 7 0 rp m e n

sentido ho rario. Elabore gráficamente la curva de des

p b z am ie n to an g u b r d el ca ba llo e n fu nci ón del án gu lo

de la manivela. Conv ierta a t iem po el eje del án gulo de

b m an iv el a. Lu ego, c al cu le grá fi ca m ente b p en die n te

para o b te n e r b s c urv as d e v e lo d d a d an gu la r y d e acel erad ón angula r de l cabal lo en fu nd ón de l t iempo.

7-79. El mo tor del m ecanismo roda dor para lavar automóviles

de b figura P7 J8 es impulsado a un a velocidad constan

te de 100 rpm en sent ido an t ihor ar ia Elabore grá fica

mente b curra d e despbzamiento angular de l brazo de b

bo quilb e n f u n d ó n del án gu lo d e b m an iv el a Co nv ie rta

a tiempo el eje del ángulo de b manivela Luego, calcule

gráficamente b pendiente p ara obtener b s curras de veloc idad an gu br y de ace le radón angu br de l brazo de b

bo quilb en fu n d ó n del t ie m p a

7-80. La man iveb sob re el engrane del m ecanismo del tren

de aterrizaje mo strado en la figura P7.4I es impulsada

a una ve loddad constante de 18 rpm en sent ido ant i

h o ra r io . Eb b o re g rá fi c a m e n te b c u rv a d e d e sp b z a

m ie n to a n g u la r d e l e nsa m b le d e b ru e d a e n fu n d ó n

del ángulo d e b manive la . Convie r ta a t iempo d e je de l

á n g ulo d e b m a n iv e b . L u e g a c a l cu l e g rá fi c a m e n te b pe nd ie nte p a ra obte n er las c urv as d e v e lo d d ad a ngul ar

y d e a e d e r a d ó n a n g u b r d e b r u ed a d e l e n s am b l e e n

función del tiemp o.

Cu rv a s d e a c e l e ra c ió n : m é to d o a n a l í t ic o

7 -8 1 . La m a n iv e b d d m e c an i sm o c o m p re so r m o s t r a d o en b

figura P7.26 es impu lsada a u na velocidad constante de1450 rpm en sent ido horar io . Use una hoja de cá lculo

p i r a o b te n e r an a lí ti cam e n te la cu rv a d e d e s p b z a

m iento l inea l de l p is tón en func ión de l án gulo de la

manivela. Co nvierta a t iem po el ángulo de la manivela.

Luego, use d i fe renc ia les numéricas pa ra obte ner las

c u rv a s d e v e lo d d a d y d e a e d e ra d ó n d d p i s tó n e n fu n

d ó n d d t ie m po .

7-82. La m a n iv e b d d m e c a n i sm o d e b m á q u in a d e c ose r

m o s t ra d o e n b f ig u ra P7 .29 e s im p u lsa d a a u n a v d o d

dad constante de 160 rpm en sentido antihorario. Use

una hoja de cá lculo para obtener ana l í t icamente la

curva de despb zam iento lineal de la aguja en fundó n

del ángu lo de la manivela. Convierta a t iem po d eje del

ángulo de b man ive la . Luego, use d i fe renc ia les nu

méricas para ob tener las curvas de velocidad y d e ace

l e ra d ó n d e l a a gu ja e n fu n d ó n d d t ie m p o .

7-83. La m a n iv e b d e b s i e rr a d e p o d e r p a ra m e ta le s m o st rada en b f igura P7.32 es impulsada a una ve loddad

constante de 85 rpm en se nt ido horar io . Use un a hoja

de cálculo para ob tener analíticamente b curva de de s

pl az am ie nt o lin ea l d e b cu ch ill a d e b si er ra en fu n d ó n

del ángu lo de la manivela. C onvierta a t iem po el eje del

ángulo de la m aniveb. Luego, use diferendales num éri

ca s p a ra o b te n e r l a s c u rv a s d e v e lo d d a d y d e a e d e -

ración de la cuchiDa de b sierra en fun dón d d tiempo.

7 -8 4 . E l m o to r d d c a b a llo tr a g a m o n e d a s m o s t r a d o e n la

f igura P7.35 es impulsado a un a vd od dad constante de80 rpm en sent ido horar io . Use una hoja de cá lculo

par a o b te n e r an a lí ti cam e n te b cu rv a d e d e s p b z a

miento ang ub r de l caba llo en func ión de l ángulo de b

manivela. Conv ierta a t iemp o el eje del ángulo de la ma

nivela. Luego, use diferenda les numéricas para obtener

b s cu rv as d e v e lo d d a d a n g u b r y d e ace le ra ci ó n a n

gu br de l cabal lo en fu nd ón d d t iempo.

7 -8 5 . H m o to r d e l m e c a n ism o ro d a d o r p a ra la v a r a u

tomóviles de b f igura P7 J8 es im pulsado a u na ve lod

dad constante de 110 rpm en sentido antihorario. Use

una ho ja de cálculo p ara obtener analít icamente la curva

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de desplazamiento angular de la b oquilla en (u nción del

ángulo de la m anivela. C onvierta a t iemp o el eje del án

gulo de la manivela, luego, use diferenciación num érica

p rra obte ner las cur va s de v eloc id ad a ng u la r y d e ace leración angular de la boquilla en función del t iempo.

7-86. La manivela sobre el engrane del mecanismo del tren de

a te rriza je mostrad o en la f igura P 7.41 es impulsada a

una ve loddad constante de 16 rpm en sent ido antiho-

ra r io . Use una h oja de cá lculo para obtener ana l í t ica mente la curva de desplazamiento ang ular del ensamble

de la rueda en fundón de l ángulo de la manive la .

Convie r ta a t iem po e l e je de l ángulo de la manive

la. luego, use diferenciación n um érica para obte ne r las

curvas de ve loddad angula r y de ace le radón angula r

de l ensamble de la rueda en fun dó n de l t iempo.

A c e lera c ió n u sa n d o W o rk in g Mo d e l

7-8 7. La manivela del mecanism o com presor mostrad o en la

figura P7.26 es impulsad a a u na velo ddad constante de

1750 rpm en sentido h orario. Use el software Wbrking

Model para c rear una s im uladón y gra f ica r la curva de

ace le radón l ineal de l p is tón en fun dó n de l t iempo.

7-88. la manive la de l mecanismo de la máquina de coser

mostrada en la f igura P7.29 es impulsada a u na ve lod

dad constante de 175 rpm en s entido antihor ario. Use

d sof tware Working M odel para c rear una s imu ladóny graficar la curva de acelerad ón lineal de la aguja en

fun dó n de l t iempo.

7-89. La manive la de la s ie rra d e potenc ia para m etales

mostrada en la f igura P7.32 es impulsada a u na ve lod

d a d c o n s t a n t e d e 9 0 rp m e n se n t id o h o ra r io . U se el

software W orking Model para crear u na simulación y

graficar la curva de aceleración lineal d e la cuchilla de

b s ie rr a en fu n d ó n del tiem po .

7-9 0. H m otor de l caba llo t ragamonedas de la f igura 17 .35 es

im p u l sa d o a u n a v e lo d d a d c o n s t a n t e d e 7 0 rp m e nsent ido h or ar ia Use e l sof tware Working Mo del para

crear una simu lación y graficar la curva de aceleración

a igu la rde l caba llo en fu nd ón de l tiempo.

7 -9 1 . E l m o to r d e l m e c a n i sm o ro d a d o r p a ra l av a r a u

tomóviles de la figura P7.38 es impulsado a una ve lod

dad constante de 100 rpm en s entido antihor ario. Use

é sof tware Working M odel para c rear un a s imuladóny gra f ica r la curva de ace le radón angula r de l brazo de

b b o q u il la en fu n d ó n del tiem po .

7-92. La m anive b sobre e l engrane de l mecanismo de l t ren

de aterrizaje m ostrad o en la figura P7.41 es impulsada

a un a ve loc idad constante de 18 rpm en sent ido ant t -

ho ra r ia Use e l software W orking Model para c rear una

sim uladó n y gra f ica r la curva de ace le radón angula rde la rueda de l ensamble en fun dó n de l t iempo.

ESTUDIOS DE CASO _________________________

7- 1. La figura E7.1 m uestra un a m áquina especializada im

pul sa da p o r dgO enal /. La sal ie n te su p eri o r H de la

máquina impulsa otro m ecanism a el cual no se muestra.

Examine cuidadosamente las com ponentes de l m eca

nismo y, luego, conteste las pre gun tas siguientes para

obtener m ayor conocimiento acerca de su operación.

fi g u ra E7.I (Cortesía d e Indus trial Press).

1. Co nfor m e el cigüeftal I g i ra 30° en sent ido h orar io a p a rt ir de b posic ió n m o str ad a, ¿cu ál es e l m ovi m ie nt o

de b corredera /?

2. Con form e el cigüeñal / gira uno s cuan tos grados más

en sent ido ho ra r ia ¿qué sucede con e l mecanismo?

3. ¿Para qué s i rve b par te C?

4. Co n fo rm e e l d g ü e n a l / c o n t in ú a g i r a n d a d e scr ib a e l

m o v im ie n to d e b c o r re d e ra .

5. ¿Para qué sirve la parte B?

6. Describa el objetivo de este mecanismo.

7 -2 . La fi g u ra E7.2 p re sen ta u n a m á q u in a q u e a l im e n

t a r e m a c he s a u n a m á q u in a e n sa m b b d o ra a u to m a t i

zad». Examine cuidadosamente b s componentes de l

mecanismo y , lue ga conteste bs preguntas s iguientes

p i r a o b te n er m ay o r co no ci m ie nto ac er ca d e su o peración.

f i g u r a E7.2 (C ortesía de Indu strial Press).

1. Conforme b mesa g i ra tor ia de b máquina g i ra en sen

t ido ant iho rar ia ¿qué sucede con la pa lanca £?2. ¿Para qu é sirve el resorte A?

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214 CAPITULO SIETE

3. Co nfor m e gira la mesa rotator ia, ¿cuál es el mo vi

miento de la par te D?

4. ¿Para qué sirve el resorte U

5. ¿Cuál es el nom bre general del t ipo de u nión entre las

p i n es B y IX Describa los detalles de su Junción.

6. ¿Cuál es el objetivo de las com pon entes de la parte H?

7. Describa el mo vimiento y las acciones que ocu rren du rante la operac ión de esta máquina .

7- 3. La figura E7.3 ilustra una má quin a especializada queacepta cajas enrolladas parcialmente desde la ran ura B.

l a máq uina pliega los desenrolladores superio r e infe

r ior, y mueve la caja had a o t ra op erad ón . En la posi

dó n q ue se i lust ra , se m uest ra una ca ja en A que está

sa l iendo de la máquina . Examine cuidadosamente las

com pon entes del mecanismo y, luego, conteste las siguientes preguntas para obtener m ayor conodm iento

acerca de su ope radón .

1. Co n fo rm e e l e sb b ó n / g i ra 90“ e n se n t id o h o ra r io a

p a r ti r d e la posic ió n m ost ra da, ¿cuá l e s el m ov im ie nt o

de b pa lanca acodada H?

2 . Co n fo rm e e l e sb b ó n / g i ra 9 0“ e n se n t id o h o ra r io a

p u t i r d e b p o s id ó n m ost ra da, ¿cuá l e s e l m ovi m ie ntod el a l im e n tad o r E y d e b p b e a O

3 . Co n fo rm e e l e sb b ó n / g i ra 90“ e n se n t id o h o ra r io a par ti r d e b p o s id ó n m ost ra da, ¿cuá l es el m ovi m ie nto

d e l p e rn o S i (O b se rv e q u e e l p e rn o S está su jeto a la

corredera D y no está restr ingido a m overse en b ra

nura).

4 . Co n fo rm e e l e sb b ó n / g i ra 9 0“ e n se n t id o h o ra r io a

p a rt ir d e la p o s id ó n m ost ra da, ¿cuá l e s e l m ov im ie n to

d e l p e rn o g u b R? (O b serv e q u e e l p e rn o R está l im i

tado a moverse en la ranura) .

FIGURAE7J (C or tcs bd e Industrial Press).

5 . Co n fo rm e e l e sb b ó n / g i r a 9 0° en se n t id o h o ra r io a

p ar ti r de b p o sid ó n m ostr ad a, ¿c uá l es e l m ov im ie nto

de b pa lanca acodada

6 . Co n fo rm e e l e sb b ó n / g i r a 9 0" en se n t id o h o ra rio a

p ar ti r de b p osi c ió n m o str ad a , ¿c uá l es e l m ov im ie nto

d e b c o r re d e ra L y d e b p b e a M i7 . ¿Por qué es necesario el eslabón corto N i ¿Puede el es

b b ó n P co n ec ta rs e d ir ec ta m ente a b co rr ed era ü

8. Com ente a lgo acerca de l espadamiento rebt ivo entre

b s p la ca s C y M d e sp u é sd e q u e e l esla bón / g ir a 9 0" en

sentido horario.

9 . Comente a lgo acerca de l movimiento cont inuo d e bs

placas C y Af a lo la rg o d e l a li m en ta d o r E.

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C A P I T U L O

O C H O

ANÁLISIS DE M ECAN ISMOS ASISTIDO

P O R C O M P U T A D O R A

O B J E T I V O S



1 . E n t e n d e r l o s f u n d a m e n t o s d e u n a h o j a d e c á l c u lo e n g e n er al .

2 . C o m p r e n d e r l a e s t ra t e g ia p o r a u s a r u n a h o j a d e c á l c u lo e n

g rn er m l e n d a n á l is i s d e m e c a n is m o s .

3 . C r e a r ru t i n a s d e c ó m p u t o p a r a d e t e r m i n a r l a s p ro p i ed a d e s

c i n e m á t i c a s d e m e c a n is m o s d e c u a t r o b a r i a s o d e m a n i r c l a -

t o r r e d e r a .

8.1 INTRODUCCIÓN

A lo la rgo de l l ibro , se han presentado técnicas tan to grá f i cas com o ana l ít icas para e l aná l is is de mecanismos. Com o son

más precisas, es m ejor utilizar soluciones analíticas para diversas

po si cion es d e u n m ec an is m o, a u n q u e e l n ú m e ro d e cá lc ulo s se

po d rí a v olv er d ifíc il d e m an ejar . En ta le s s itu ac ione s, lo m ás ad e

cuado son las so luc iones po r computado ra , las cua les también

son valiosas cuan do se deben analizar varias i teraciones del di

serto. En la secdó n 2 2 , “Simuladón por comp utadora de meca

nismos'. se m endo naron sistemas de software dedicado al análi

sis dinámico. Este capitulo se centra en o tros m étodos po r com pu

tadora para el análisis de meconismos. Dicho s métodos incluyen

d uso d e hojas de cálculo y la creadón de rutinas con el uso de

lenguajes de prog ramación .

8.2 HOJAS DE CÁI.CUI.O

las h ojas de cálculo, como Excel de Microsoft*, son m uy po pu

lares en el amb iente profesional para un a mu ltitud d e tareas. Las

hojas de cálculo tienen m ucha s fundo nes num éricas integradas,

facilidad para graficar los resultados y c apadd ad par a reconocerfórmulas. Son características analít icas qu e favo redero n el uso

generalizado de las hojas de cálculo para resolver los problemas

de mecanismos más ru tinarios. Se han utilizado hojas d e cálculo

en varias de las so lua on es de los problemas d e este texto. Esta

secdón describe los fundam entos en el uso de h ojas de cálculo.

Desde luego, se recomienda consultar los manuales del software

especifico pa ra mayores detalles.

Una hoja de cá lculo está conf igurada como una matr iz

glande de filas y columnas. El núm ero de filas y colum nas varía

entre los diferentes producto s d e software. Los encabezados de

las colum ñ as se identifican c on caracteres alfabéticos de la A a la

Z luego de la AA a la AZ, luego de la BA a la BZ, y asi sucesiva

mente. Las f ilas se ident i f ican nu m erándolas como 1, 2 , 3,

FI G U R A 8 .1 Hoja de c á l c u l o en general.

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216 CAPITULO OCHO

etcétera. En la figura 8.1 se m uestra la esquina sup erio r de una

hoja de cálculo en general. La intersección de una co lum na con

una fila se conoce com o celda. Cad a celda se identifica con una

direcdón . qu e se com pone con la co lum na y la f i la que la de

f inen . La ce lda D3 está def in ida po r la cuar ta co lum na (D ) y

la tercera fila . El cur sor se mueve a través de las celdas con el

teclado (tedas de Hechas) o c on el ratón.El va lor de una hoja de cá lculo radica en e l a lmace

nam iento , la manipu lac ión y e l desplegado de los da to s con

tenidos en un a celda. Los datos generalm ente son texto, números

o fórmulas. La hoja d e cálculo que se muestra en la figura 8.2

tiene texto en las celdas A l, F1 y F2, asi co m o núm eros en las cel

das A2 a A 24, G1 y G2.

Aunqu e quizás haya diferencias sutiles en la sintaxis entre

los programas de ho ja d e cálculo, la lógica subyacente para crear

las fórmulas es idént ica . La s in taxis que aq uí se p roporc iona

correspo nde a Excel de Microsoft. Se recom ienda con sultar elm anual de l usuar io de a lgún o t ro pro duc to para cono cer las

diferencias e n la sintaxis.La in t roducc ión de una fórmula en una ce lda in ic ia con el

s igno igual (■ ) . Luego, se const ruye la fórmula con e l u so de va

lores, op erad ore s ( + , *, /) , referencias a celdas (p. ej . G2) y

funcion es (p. ej. SENO , PROM EDIO , ATAN y RADIANE S). Las

fórmu las del análisis cinemático suelen s er bastantes complejas.

Co m o un ejemplo, se coloca una fórm ula simp le en la celda A8:

= A7 + 10 (8 .1)

Aun cuan do la celda contendría esta fórmula, m ostrarla visual

me nte e l n úm ero 6 0 en la ce lda A8. El cá lculo se rea l iza en

forma autom át ica . Com o o tro e jemplo , se inserta la s iguiente

expres ión e n la celda B2:

= ASE NO (Gl 4 SENO (A2 * PI( V 180)/G 2) * 180/PI() (8.2)

La expresión rep resenta el ángu lo en tre la biela y el plano de

deslizamiento de un mecanismo de manivela-corredera en linea

que se m ostró com o la ecuac ión (4 .3) en e l capi tu lo 4 :

La fórmula en la hoja de cá lculo supo ne que se in t rodu

je ro n l o s s ig ui en tes v alo res:

■ d¡ en la celda A2

■ £; en la ce lda G 1

■ L¡ en la celda G2

Se deber la observar que , com o en la m ayoría de las fun

ciones de com putadora, cualquier referencia a valores angulares

se tiene q ue especificar en radianes. Observe que A2, un ángulo

apre sad o en grados.se m ul t ip l ica po r i r /180 para conver t ir lo en

radianes. Despué s de usar la función inversa del seno, ASENO, el

valor resultante también es un ángulo en radianes. Por lo tanto,

se deb e convertir de nuevo a grados multiplicándo lo p or 180/rr.

Excel tam bién tiene p redefinidas las fu nciones de RADIANES y

GRADOS que pueden se r de ayuda en las conversiones. laecu adó n (4 .3) se inser ta a l te rna t ivamen te en la celda B2 de

b h o ja d e c ál cu lo com o:

- GRADOS(ASENO(G 1 * SENO<RADIANES(A2»/G2)) (8 .3)

Si la expresión (8.1) se tede ara en A 8 y la expresión (8.2) u

(8.3) se tedea ra en B2, la hoja de cálculo resultante sería com o

b q u e se il u str a e n la fi g u ra 8.3. Es im p o rta n te re co rd ar q ue

cuando se modif ica e l contenido de una ce lda que contenía

datos de entra da, todos los resultados se actualizan. Lo anterior

p erm it e q u e se e fe ct úe n i te rad o n es d e d is eñ o c o n fa dlidad .

$ A *»

A - * * W * • m rn 9- j ■ / u A . » V. •/ _ • * A -4 .1

c m

A ¡ -* — r V

a »

« “ iA .

A B C D E F Gi C r a n k A n g U n k 2 1 52 0 U n k 3 4 53 104 205 30e 407 508 609 7010 8011 9012 10013 11014 12015 13016 140

"i ^ 5 Sf i g u r a 8 J Hoja d e c á l c u l o c o n t e x to y n ú m e r o s e n l a s c e ld a s .

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An álisis de m eca nism os asistido por com putadora_________217

f i g u r a 8.3 Hoja de cálculo con fórmulas introducida s en A8 y B2.

O tra característica im portan te de un a hoja de cálculo es la

(unción d e copiar y pegar. EJ contenido de una celda se puede

duplicar e insertar en otra celda. La característica de co piar y pe

gar e l imina la in t roducc ión redun dante de ecuac iones en las

celdas.

La referencia a celdas en una fórm ula es relativa o absoluta.

Las referencias relativas se ajustan au tomá ticamente cuan do la

copia de un a ce lda se coloca en una nueva ce lda . Considere

la siguiente fórm ula introduc ida en la celda A8:

= A 7 + 1 0

La referencia a la celda A7 es un a referencia relativa a la celda in

mediatamen te arriba de la celda A8 que contiene la fórmu la. Siesta ecuación se copiara y se colocara en la celda A9, la fórmula

nueva s e convertiría en:

= A 8 + 10

Otra vez. la referencia a b celda A8 es relativa; po r lo tan to, b

hoja de cá lculo a justa rla au tomát icamente b fórmula .

La dirección absoluta n o mo difica automáticamente la refe-

ren cb a la ce lda después de usar la (unc ión de co pia r y pegar .

Sin embargo, p ara especificar una referencia absoluta, se debe

colocar un s ím bolo de pesos antes de b f i la y la columna . Por

e jemplo , una re fe rencb absolu ta a la ce lda G 1 tiene qu e apare cer com o SGS1.

Suponga que b expresión (8 .2) se va a colocar en b celda

B2. Para hacerlo de una man era más eficiente, esta fó rm ub se

modificaría ligeramente;

*= ASENO($G$l *(SENO(A2* PI()/180)/$G$2))* 180/PIQ

Así, tan solo el ángulo d e b celda A2 es una dir ecd ón relativa. Sik i fó rm u b se fu e ra a c o p ia r e n b c elda B3 , l a n u e v a fó rm u b

sería:

= ASENO($G$l *(SENO (A3* P l() /180)/$ í ¡$2))* 180/PIO

Observe qu e e l d i recc ionamiento de la celda A2 se a justó au

tom áticam ente p ara leer "A3". El ángu lo de la b iela se calcula

fwra el ángu lo de la ma niveb especificado en la celda A3.

Pira con t inuar con e l aná l is is de un mecanismo, se debe

t e d e a r b s ig u ie n te fó rm u b e n l a ce lda C2 :

= 1 80 - ( A2 + B2)

Esta fórmula , mostrada en b f igura 8 .4 , calcula d ángulo in te

r io r e n t r e b m a n iv e b y b b i el a ( e c u a d ó n 4 .4 ):

y = 180° - {0 j + 0 , ) (4.4)

Com o los ángulos s implemente se suman, y b fund ón no se ha

requerido, no se necesita el equivalente en radianes.

’lámbién se debe tec lear b s iguiente fórm ub en la cdd a D2:

=RAIZ(($G$1)A2+(SGS2)A2-(2* $G$I * $G $2 * COS(C2•PI ( ) /1 8 0 ) ) )

Esta fórmula ca lcub la d is tan da de l p ivote de b manivela a b

unión de perno de la corredera (ecuadón 4 .5) :

L , = V l ¡ + L \ - 2 ( I ?) (L ,) c o s y (4.5)

Si las do s fórm ulas se teclearan en C2 y D2, y se tedea ran des

cr ipdon es de texto en las ce ldas B l , C1 y D I, b hoja de cálculo

resultante serfo com o b de la figura 8.4.

R>r últim o, com o se debe tener m ucho cuidado al usar di-

recdones absolutas y relativas de celdas al crear b s fórm ulas en

B2, C2 y D2, es posib le copia r en b s cdd as de aba jo en s us res

pect iv as co lu m n as. Se re c o m ie n d a co n su lt a r e l m a n u a l de lusuario para los pasos reales necesarios pa ra copiar los datos en

las cdda s res tantes los cuales norma lme nte son procedimientossenc i llos de dos o t res pasos. La hoja de cá lculo resul tan te se

muest ra en b f igura 8.5.

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218 CAPITULO OCHO

FIGURAS.* fór m ula ag regad a a la celda C2.

a

- * ■ ' H• J - • > •

■ 10A •

A■ ■ ■ >¡(ir * *>■

* %• 4 . 1 * í " V-v-

i | /•¡ n4 '

m n

GA B . .. .J e ...... o [ E 7 F1 C ra n k Ang Theta3 G am m a S lk le r D ts t U nk 2 1.52 0 0 0 18 0 0 6 0 0 U n k 3 4 53 10 3 3 1 6 6 7 5 974 20 6 5 153 5 5 88

5 30 9 6 140 45 7 4

6 40 1 2 4 127 6 5 5 47 50 1 4 8 1 1 5 2 5 326 60 1 6 8 1 0 3 2 5 0 69 70 1 8 3 9 1 7 4 7910 80 1 9 2 8 0 8 4 5 1

90 1 9 5 7 0 5 4 241 2 100 1 9 2 6 0 8 3 9 913 110 18 3 51 7 3 7614 120 16 8 4 3 2 3 5 61 5 1 3 0 1 4 8 3 5 2 3 3 916 140 12 4 27 6 3 25

— * ------------->--------

FIGURA s ¿ Hoja d e cálculo final.


La figura 8.6 ilustra un mecan ismo que opera un a boquilla de agua en un lavado autom ático de automó viles. Co n el

uso de u na hoja de cálculo, determ ine analít icamente el movim iento angular de la boquilla a través del ciclo de

rotación de la manivela.

SO LU CIÓ N :

0 mecanismo de la boquilla es el conocido mecanismo de cuatro barras. La figura 8.7 mue stra la representación

cinemática de este mecanismo. Sectcó una hoja de cálculo para esteanálisis y se ilustra la porción supe rior en la figurad ^.

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An álisis de mecan ism o s asistido por com putadora_________219

f i g u r a s ¿ M e c a n i s m o d e l a b o q u i l l a d e a g u a d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 8 . 1 .

F I G U R A 8 . 7 D i a g r a m a c i n e m á t i c o d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 8 .1 .

»——» 1—• •«— —

r ú d % J ~ — •»<4 - - n

w ¡ A B C D E F G H1 C ra nk A ng BC G am ma TH3 TH4 Unk2 1. 5

2 0 Unk3 4 53 1 0

4 20

5 306 4 0

7 50

8 6 0

9 7 010 60

11 90

12 10013 11 014 12 0

15 130

16 14 0

F I G U R A 8 . 8 M o j a d e c á l c u l o p a r a l a s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 8 . 1 .

l a s e c u a d o n e s g e n e r a l e s q u e r i g e n e l m o v i m i e n t o d e l o s e s l a b o n e s d e u n m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s s e p r e s e n t a r o n e n

d c a p i t u l o 4 . l a e c u a d ó n 4 . 9 e s L a e c u a c i ó n p n e r a l d e L i d i a g o n a l d e l p u n t o B a l p u n t o D , c o m o s e i n d i c a e n L a f i g u r a 8 . 7 :

BD= V i ? + L\ - 2 ( l , ) (í o )c o s (e , )

I d v e r s i ó n p a r a h o j a d e c á l c u l o d e e s t a e c u a c i ó n s e c o l o c a y s e c o p i a h a c i a a b a j o d e l a c o l u m n a B . E n l a c e l d a B 2 s e i n

s e r t a l a s i g u i e n t e f ó r m u l a :

= RAIZ(SHS1A2 + $H S2 A2 - 2 - S HS l • SHS2 * CQS(RADIANES(A2)))

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220 CAPITULO OCHO

Observe qu e se utilizan direcciones absolutas y relativas para facilitar el copia do de la fórmu la. La ecuación 4.10 es la

ecuación general del ángulo de transm isión y ,com o se indica en la figura 8.7:

y = c o s - « ^ L ¡ + BD 2

Esta ecuación s e coloca y se copia abajo de Li colu m na C e n la forma adecuada p ara hoja de cálculo. En la celda C2 se

inserta la siguiente fórmula:

= CRAD OS(ACOS (($HS3A2 + $H S4A2 - B2A2)/(2 • SHS3 • SHS4)))

Replanteando la ecuación (4.11), se obtiene la ecuación general para el ángu lo 0 , del eslabón 4. com o se m uestra en la

figura 8.7:

04 - 2 ta n” 't j s e n f i, “ ^ « n y

L ¡e o s + I « - L¡ - Ly cos y

Esta ecuación s e coloca y se copia abajo de la colum na F. en la forma adecuada p ara hoja de cálculo. En la celda E2 se


- GRADOS(2 * ATAN((SH$2 *SENO(RADIANES(A2)) - $HS3 * SENO(RADIANES(C2)))/

(&HS2 • COS(RADIANES(A2)) + S H S 4 - SH SI - SHS3 • COS(RADIANES(C2))»J

finalmente, la ecuación (4.12) nos da b ecuación general para el áng ulo #, del eslabón 3, como se m uestra en la figura8.7:

- L , s e n 0 2 + i , se n y- 2 u n-1

¿ , + L y - L¡COS01 - L , c o sy

Esta ecuación se coloca y se copia abajo de la column a D en la forma adecuada p ara hoja de cálculo. En la celda D2 se


- GRADOS(2 * ATAN(( $HS2 • SENO(RADlANES(A2)) ♦ $H$ 4 • SENO(RADIANES(C2))V

(SHSI + SHS3 - $HS2 'COS(RADIANES(A2)) - SHS4 »COS(RADIANES(C2)))))

Las fórmulas de las celdas B2. C2 . D2 y E2 se copian y pegin en sus colum nas respectivas. En la figura 8.9 se ilustra la

porción s u peri or de l a ho ja de cálculo re su lta nt e.

• * — • io " - - o— • A r P -J -j • / ■ a . ■ ■ ■ i i » * • _ *>«— • i - n

/ _ ■ * a - * * * *ÍX S — - a-*— V W —im ■*—«• « __________ < 1

* ¿ - J u

m . A B _ C D E F G H |i i:ran k Ang B C Gamma TM3 TH4 LlnK 1 6 52 0 6.0 44 4 340 78 5 U nk 2 1 53 10 5 0 44 8 31 1 76 0 U nk 3 7 04 20 5.1 46 1 28 5 74 6 Llnk 4 4 05 30 5 3 48 1 26 3 74 46 40 5 4 5 0 7 245 75 37 50 5 7 53 9 23 1 7 7 0

e 60 5 9 57 3 22 1 79 49 70 6 2 6 1 0 21.4 82 410 80 6 4 648 210 85811 90 6 7 6 8 5 209 89 412 100 6 9 72 2 21.1 93 313 110 7 2 75 7 21.4 97 114 120 7 4 78 9 22 0 101015 130 7.6 81 8 229 104.716• • • 140 77

> — > ....... ■J 0 0 2

figura 8-9 Hoja de cálculo terminada del problema de ejem plo 8.1.

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An álisis de meca nism o s asistid o por com putadora_________221

8.3 PROGRAMAS DE CÓ MPU TO

DESARROLLADOS PO R EL USUARIO

Para resolver problemas d e mecanismos, el usuario puede desa

rrollar rutinas usand o software com o MA THCAD O MÁTLAB,

o bien, u n lenguaje de alto nivel com o Visual Basic o VisualC+ + .

El lengua je de programación se lecc ionado debe tener acceso

directo a las fu ndo nes trigonom étricas normales e inversas. Porel t iemp o y el esfuerzo requeridos p ara escribir un prog ram a es-

p e d a l, ú n ic am en te se u ti li zan cu an d o es ne ce sa rio re so lv er u n pr oble m a c om pl ej o q u e se en cu en tr a co n fre cu encia .

La lógica subyacente en lo s prog ramas desarrollados en es-

ped al p a ra r ea liz ar an ál is is cinem át ic os es prá ct ic am en te id én tic a

a la de l a hoja de cálculo. La estructura y la sintaxis de los dife

rentes lenguajes de program ación de alto nivel varían en forma

agnificativa. I.as siguientes secciones ofrecen u na estrategia para

escribir programas de cóm puto para obtener las propiedades d-

nemáticas de los dos mecanismos más comunes: el de manivela-

corredera yel de cu atro barras.

8 .3 .1 M e c a n i sm o d e m a n i v e la - c o r r e d e r a

d e s c e n t r a d o

El siguiente algoritm o calcula posidó n, veloddad y aceleradón

de todos los eslabones de un mecanismo de manivela-corredera

descentrado conform e la manivela gira a veloddad co nstante. En

la figura 8.10 se ilustra el diagrama dn em ático de un mecanismogenera l de manive la -corredera desc entrad a Las re ladones d -

ncmát icas en genera l, u sadas en e l a lgo r i tm a se presentan en

varias secdones d e este l ibro [re t 12).

fi g u ra 8.10 M ecanismo de manivela-corredera descentrado,

las dimensiones del m ecanismo se introducen com o datos y

el algoritmo efectúa los cábula» de u n d d o completo de l girode la

manivela. La salida puede imprimirse o escribirse en u n archivo.

Lueg a este archivo se convierte en hoja de cá bu la si asi se desea.

Paso 1: Aceptar los datos num éricos de ¿j, L* L$ y o»*, y alm ace

narlos

Paso 2 : Ca lcula r i r - 4 tan ' (1 .0)

Paso 3 : Entra r a u na i te radó n con e l Indice i desde 0 hasta 360

Paso 4: Calcular a = Kw/180)

Paso 5: Calcular b = L¡ sen a

Paso 6: Calcular c = L} eos a

Paso 7 : Ca lcula r d = sen U t t i + M/LjlPaso 8 : Ca lcula r 0 , = * 180/rr)

Paso 9: Calcular t = L ¡ sen d

Pa so 1 0: Ca lc u l a r / = L¡ eos d

Paso 11: Calcular g ~ Lj sen d

Paso 12: Ca lcular h ~ Lj «os d

Paso 13: C alcu lar L« ■ c + h

Paso 14: Ca lcula r « , = - to j {d f )

Paso 15: C alcu lar = -«2(1») - a>j(g)Pa so 16: C a lc u l a ra , = + ¿ « a )2) /*

Paso 17: Ca lcula r «i, = -Jg fa ,) + 4 * # + « « i ) 2}

Paso 18: Im prim ir (o escribir en u n archivo) i, 9j. <*j. I*. vt, o*Paso 19: Incre me ntar i y regresar al paso 3

Recuerde que las fondon es de una comp utadora suponen

«jue los ángulos están dados e n radian es. Ifor lo ta n ta es necesario

convertir la entrada y la salida angulares como se hizo en los pesos

4 y 8. Este algoritmo también funciona para u n m ecanismo de

manivela-corredera en linea especificando L, = 0 como en trada


El siguiente algoritmo calcula posidón, velocidad y aceleración

de todos los eslabones de un mecanismo d e cua t ro barras , en elcual la manivela gira a v elodd ad constante. En la figura 8.11 se

m u e s t r a e l d i a g ram a d n e m á t i c o d e u n m e c a n i sm o d e c u a t ro

bar ra s en gen er al . D e nue va cu en ta , la s r e la d o n es ci ne m át ic as

grnera les que se u t i l izan en este a lgor i tm o se presenta ron en

varias secd one s de este texto (ref. I 2 | .

Com o en el algoritmo anterior, las dim ensiones del meca

nismo se in t rodu cen com o da tos, m ientras e l a lgor i tmo rea liza

los cá lculos de l c ido comple to de un g i ro de la maniveb. La sa li

da pued e imprim irse o esc r ib i rse en un a rchivo . Luego, este

archivo se convierte en una hoja de cálculo, si asi se desea.

Paso 1: Aceptar los datos nu méricos d e L t, L¡ , L» L , y « 2, y a l

macenarlos

Paso 2: Calcular ir = 4 t a iH ( 1 .0 )

Paso 3: En trar a u na iteración con el Indice i desd e 0 hasta 360

Paso 4: Calcular a = i ( tr /180)

Paso 5 : C a lcub r b - (L,* + L ¿ - W ~ W V U h U )

Paso 6 : C a lcub r c = L¡/L)L,Paso 7 : C a lcub r d = L¡ sen a

Paso 8 : C a lcub r e = L , eo s «1

Paso 9 : C a lcub r f = eos < (b + ce)

Paso 10: Ca lcula r y = / (18Q/i r )

Paso 11: Calc ular g - sen /

Paso 12: C alcu br h - e o s /

Paso 13: C a lc u b rp - 2 t a i r ' ( ( - d + L*g)/( - e + £* +1 * -£ « h)}

Paso 14: C a lcub r 9 , - p( 180/ít)

Paso 15: Ca lcular q a 2 ta n- > | (d- L*g)/(e +

Paso 16: C al cu b r 9« = «j( 180/n )

Paso 17: Ca lcularlo , = ü>2L]S en{ q - a)HLyg)

Paso 18: C alcu br u>, = a»2L2se n (p -ú ) / (L ^ )Paso 19: Imp rim ir (o escribir en un archivo) i . y , 9 , . « , , 94, oja

Paso 20: Increm entar i y regresar al paso 3

Re c u e rd e q u e b s c o m p u ta d o ra s a su m e n q u e lo s á n gu los

están dad os en radianes. Po r e lla es necesario convertir las e n

t radas y sa l idas angula res , como se h izo en los pasos 4 ,10 ,14 y

16. Este algoritmo pro porcio na la solución p ara un mecanismo

de cu a tro barras en e l pr im er c i rcui ta Si e l mecanismo estuvie ra

e n sa m b la d o e n e l se g u n d o d rc u i to , t a l ru t i n a se m o d i f ic a rl a

rápidam ente p ara representar esa configuración, lo cual se l le

vad a a cabo si se cambiaran los s ignos más y m enos en los nu

merad ores de los pasos 13 y 15.

FIGURA 8.11 M ecan ism o de cuatr o barra s.

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2 2 2 C A P I T U L O O C H O

PROBLEMAS

En los problemas 8-1 y 8-2 desarrolle una hoja de cálculo donde

se analice la posición de to dos los eslabones de un mecanismo

de manivela-corredera descentrado en un rango de los ángulos de

b m an iv ela de O a 3 60 °. H ág ab flex ible, d e m o d o qu e se a pos ib le

modificar rápidamente b longitud d e cualquier eslabón. Use los

valores listados para elab orar un a gráfica de la distan da de la

corredera con tra el ángulo d e U manivela.8 -1 d e sce n tra d o - 0 .5 i n ; m a n iv e b = 1 .2 5 in ; a c o p b d o r

* 7 . 0 in

8-2 descentrado “ 10 mm ; manive la ” 25 mm ; acoplador

■ 140 mm

En los problemas 8-3 y 8-4 desarro l le una hoja de cá lculo que

ana lice la posid ón de tod os los esbbones de un mecanismo de

cua tro barras en los ángulos de b m aniveb que van de 0 a 360" .

H á g a b f le xibl e, d e m o d o q u e se m o d i f iq u e r á pid am e n te b l o n gi tud d e cua lquie r esbb ón. Use los va lores l i s tados para e labo

ra r u na grá f ica de l ángu lo de l seguidor contra e l ángulo de b

maniveb.

8 - 3 t u n ea d a = 7 50 m m ; m a n i v e b “ 5 0 m m ; a c o p b d o r

= 7 5 0 m m ; se g u id o r = 7 5 m m8-4 tuneada = 14 in ; manive la = 1 in ; acoplador = 16 in;

seguidor = 4 .0 in

En los problemas 8-5 y 8-6 desarro l le una ho ja de cá lculo que

determ ine posición, velocidad y aceleración de b corredera enlos á n g u lo s d e l a m a n iv e b q u e se e n c u e n t ran e n t r e 0 y 3 60 ".

H á g a la f l e xib le , d e m o d o q u e se m o d i f iq u e n r á p id a m e n te b

longi tud de cua lquie r esbbón. Use los va lores l i s tados para

e laborar una gráf ica de la ve locidad d e b corredera con tra e l án

gulo de la manivela.

8 -5 d e sc e n t ra d o 1 .2 5 in ; m a n iv e b = 3 .2 5 in ; a c o p b d o r

= 1 7 .5 i n ; v elo cid ad d e b m a n iv e b = 2 0 ra d / s : a c e

l erac ió n d e b m a n iv e b = 0 r a d /s2

8 - 6 d e sc en tr ad o 30 m m ; m a n iv e b - 7 5 m m ; a c o p b d o r=■ 420 m m; velocidad de b manivela = 35 rad/s: acele

r ac ió n d e b m a n iv e b ” 1 00 r a d / s2

En los problemas 8-7 y 8-8 desarro lle un a hoja de cákulo que

determine b posición y veloddad del sepjidor, en los ángulos de

la m aniveb que se encuentran e ntre 0 y 360". H á¿pb f lexible,

de modo qu e se modif ique rápidamente b longi tud de cua lquieresb bón . Use los va lores l is tados para e laborar una grá fica de b

ve loddad de l seguidor contra e l ángulo de b manivela.

8 - 7 t u n ea d a " 9 in ; m a n i v e b • 1 i n; a c o p b d o r ■ 1 0 in ;

seguidor = 3 .5 in ; ve loc idad de la man iveb = 200

rad/s; ace le rac ión de la maniveb “ 0 rad/s2

8 - 8 b a nc a da = 3 6 0 m m ; m a n i v e b = 4 0 m m ; a c o p b d o r= 400 mm ; seguidor = 140 mm; ve loddad de b m ani

veb = 6 rad/s; acele radón de b maniveb = 20 rad/s2

Fn los problemas 8-9 y 8-10 e labore un p rogram a de cómputo

qu e de te rmine posidón, ve locidad y ace le radón de todos los es

labones de un mecanismo d e m anivela-corredera en los ángulos

de la maniveb que van d e 0 a 360". Hágala flexible, de mod o qu e

se m odif ique rápidamente b longi tud de cua lquie r eslabón. Use

los va lores l i s tados para de te rm inar el ángulo de la m aniveb

qu e produ ce la aceleración de deslizamiento máxima.

8 - 9 d e s c en t ra d o = 3 in ; m a n i v e b = 7 .5 i n; a c o p b d o r

= 5 2 .5 i n ; v elo cid a d d e b m a n iv e b = 4 r a d /s ; ac e le r a d ó n d e l a m a n iv e b = 0 r a d /s 2

8 -1 0 d e sc e nt ra d o » 4 0 m m ; m a n iv e b • 9 4 m m ; a c op lad o r

“ 525 mm; ve loc idad de la maniveb “ 10 rad/s; ace le

r a d ó n d e l a m a n iv e la " 1 0 ra d / s2

En los problemas 8-11 y 8-12 e labore un p rograma de cóm puto

que de te rmine la posidó n y ve lodd ad de to dos los eslabones de

un mecanismo de cuatro barras pa ra los ángulos de la manivela

que van de 0 a 360". Use los valores l istados para d eterm inar el

á n g u lo d e b m a n iv e b q u e p ro d u c e b a c e l e ra d ó n d e d e sl iz a

miento máxima.8 - 1 1 bancada = 18 in ; manive la = 2 in; acoplador = 20 in;

seguidor = 7 in; velod dad de la manivela = 150 rad/s;

a ce le ra ción d e b m a n iv e b = 0 r a d / s2

8 - 1 2 b a n ca d a « 6 0 m m ; m a n i v e b » 18 m m ; a c o p b d o r

= 70 mm; seguidor — 32 m m; velocidad de b manive-

b = 360 ra d/s; a ce le ra d ó n d e la m an iv eb = 2 0 rad /s 2

ESTUDIO DE CASO

8-1 . 0 mecanismo m ostrado en la figura E8.1 son el cigüeñal

y la m aniveb d e un mecanismo de man ¡vela-corredera

elaborado qu e no se muestra, don de K es b biela. Exa

mine cuidadosamente los componentes del mecanismo

luego, conteste bs s iguientes preguntas para obtener

mayor conodm ientoacerca de b operadón.

1 . En b p o s id ó n m o s t r a da , c o n fo rm e b c o r re d e ra E jala

lu d a la izquierda, ¿cuál es el m ovimiento del esb bó n D?

2 . En b p o s id ó n m o s t r ad a , c o n fo rm e b c o r re d e ra E j a b

h id a b izquie rda , ¿cuá l es e l movimiento de desl iza

miento de l b loque P

3. La polea /es tá sujeta al eje A . Conform e la polea / g ira,

¿cuál es el movimiento d e la espiga de la manive b Cdel

cigüeñal?

4 . Conforme la polea / gira, ¿cuál es el mo vim iento de la

bar ra fc'que s e desl iza ?

5 . ¿Qué e fec to tiene e l movimiento ha da b izquierda de

L> barra £ que se desliza sobre b espiga de b mani

veb C y sobre el m ovimiento de l mecanismo de manivela-corredera qu e impulsa?

6 . El mangui to F e s tá su je to a b c a rc asa H . Co n fo rm e b

po le a / im p u ls a la fle cha A , ¿cuál es el mo vim iento del

mangui to R

7 . El mang ui to /está moldeado in tegra lmente con b par te

G. ¿Qué es la parte G?

8 . El mangui to / t iene una cuerda in te rna en su extremo

derecho, en tan to que e l m angui to F t iene un a cuerda

externa en su ext remo derec ha (Conforme b par te G

gira, ¿qué sucede co n e l m angui to P.

9 . Co n fó rm e b p a r t e G g i ra , ¿q u é su c e d e c o n b b a r ra £que s e desliza?

10. ¿Cuál es el propós ito de este mecanism o y cóm o fun-

d o n a ?

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C A P I T U L O

N U E V E

LEVAS: DISEÑ O Y ANÁLISIS CIN EM ÁT ICO

O B J E T I V O S

Al t e r m i n a r d e e s t u d i a r e s t e c a p it u lo , e l a l u m n o

s e r á c a p a z d e :

1. Identificar los diferentes tipos de leras y seguidores de levas.

2. Cre are! diagram a de desplazamiento del seguidor, a pa rtirdr criterios prescritos de movimiento del seguidor.

3. Entender los beneficios de diferentes esquemasde mov imiento del seguidor.

4. Utilizar ecuaciones para con struir diagramas

de desplazamiento del seguidor d e la leva.

5. Co nstruir geométricamente diagramas de desplazamientodel seg uidor de la leva.

6. C ons truir gráfica y analíticamente perfiles de levas

dr disco con varios tipos de seguidores.

7. C ons truir gráfica y analíticamente perfile» de levas

cilindricas.

O-sor* deh válvula

F I G U R A 9 .1 T r e n d e v á l v u l a s d e u n m o t o r d e g a s o l in a .

9.1 INTRODUCCIÓN

Una leva es un e lemento común de un mecanismo que imp ul

sa un a comp onente apare jada conoc ida com o seguidor . Desde

un p un to de vista funcional, un arreglo de leva-seguidores muy

similar a los eslabonam ientos estudiados a lo largo del l ibro. La

l ev a a c e p ta u n m o v im ie n to d e e n t r a d a p a re c id o a l d e u n a

manivela e im parte m ovim iento al seguidor.

La figura 9.1 m uestra u na de las aplicaciones más comunes

— a sab er , el tr e n de v ál vu las de u n m o to r au to m o tr iz — . En e st a

aplicación, la leva de form a ovalada está m aquinad a sob re un

eje. El árbol d e leva es impulsad o p or el m otor. Co nform e la leva

gira, un b alancín se barre sobr e la superficie ovalada. El balan

cín, a la ve?, im parte m ovim iento lineal reciprocante a la espiga

de la válvula. El m ovim iento de la válvula debe ser tal qu e lat rayec tor ia de escape esté ce rrada dura nte un m om ento de l c i

c lo d e c o m b u s t ió n y a b ie r t a d u ra n te o t ro m o m e n to d i s t i n t aEntonces, la aplicación es perfecta para u na leva porq ue el ri tm o

y e l m ovimiento de ben esta r secuenciados co n precisión.

Observe qu e se util iza un resorte alrededor de la espiga de la

válvula. El baland n seguido r necesita estar en c ontacto c on la su

pe rf ic ie d e la le va pa ra o b te n er el m ov im ie nt o d e sea d a A sí, e n la

mayoría de las aplicaciones de levas, el segu idor se fuerza con tra

la superficie de la leva a través de alg unos m edios m ecánicos. Los

resor tes son muy com unes para d icho propósi to . En los casos

don de el seguido r se encuen tra en el plan o vertical, el peso del

seguidor puede se r suf ic iente para m antener e l conta c ta En a l

b in o s d iser to s d e lev as, e l seg u id o r es tá at rap ado en u n a ra nu ra

p i r a m an te n er el c o n ta c ta El p u n to im p o rt an te es q u e el c o n

tacto entre la leva y el seg uidor debe ser perm anente.

La característica única de un a leva es que pued e im partir

movimientos mu y diferentes a su seguidor. De h ec ha las levas sir

ven para obtener m ovim iento inusual o irregular quesería dificil o

imposib le de conseguir con e l uso de o t ros eslabonamientos.

Com o el mov imiento de las levas es programable, son m uy adecuadas para aplicaciones don de desplazamientos diferentes y su

ancron izadón son de importancia fundamental. Las levas se em

pl ea n c o n fr ec uen ci a e n eq u ip o in du st ri a l a u to m áti co , p orq ue

pro gr am an lo s des pl az am ie nt os a u n co st o ra zo na bl e. Las levas

son componentes de m áquinas de precis ión q ue p or lo general

cuestan m ás que lo s eslabonamientos convencionales. La figura

9.2 presenta un gr up o de levas disertadas con reque rimien tos de

movimiento especiales. Observe la precisión d el maq uinado del perfil ex ter ior. Este c ap it u lo es u n a in trod uc ción a la s fu n dam en

tas del d iseño de levas.

9.2 TIP O S DE LEVAS

Liiy un a gran variedad de levas de compartías especializadas en

su diserto y m anu factura. Los fabricantes clasifican las levas

en subeategorfas y las comercializan segú n las diferentes aplica-

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224 CAPITULO NUEVE

f i g u r a 9j Varias levas especiales. (Cortesía de DE-STA-Co CA M CO P roducts).

do ne s o configurac iones. No obstante , la gran mayoría de las

levas se agru pan e n los tres tipo s generales siguientes:

l a s levas de placa o de disco son el t ip o de levas más simples

y comunes. En la figura 9J a se i lust ra una leva de p laca .

Este t ipo de leva se molde a sobre un disco o un a placa. La

distanc ia radia l a pa r t i r de l ce ntro de l d isco var ía a lo

b rg o d e l a d rc u n fe re n d a d e la le va . Si se h ac e q u e un

seguidor se mueva sobre el extremo exterior, se propo r

do na a l seguidor un movimiento radia l .

En la f igura 9 .3b se presenta un a í rvu cilindrica o de tambor.

Esta clase de leva se moldea sobre u n cilindro. Se corta

un a ranu ra en e l c i lindro con un emplazamiento varia

b le a l o la rg o d e s u ej e d e g iro. E ngan ch an do u n se gu id orque se mueve en la ranura , se da a l seguidor un m ovi

miento a lo largo del eje rotación.

En la f igura 9 .3c se muest ra una lesu l ineal Este tip o de leva

se moldea sobre u n b loque de traslac ión . Se cor ta una

ran ura en el bloq ue con una d istancia que varia desde el

p la no d e tr as la ción . A l su je ta r u n se g uid o r qu e se m ue ve

en la ranura , se proporc iona a l seguidor un movimiento

p er p en dic ula r al p la n o d e t ra sla d ó n.

Com o ya se se fta ló , las levas de p laca son e l tipo más

com ún. Una vez qu e se entiende la teoría subyacente, también

es posib le apl ica r a o t ro s t ipos de levas.

9.3 TIPO S DE SEGUIDORES

Los seguidores se clasifican po r su m ovimiento, su form a y su

po si ción . En la fi gur a 9 .4 se p re se nta n lo s d et al le s d e la s c las ifi

caciones y se analizan a continuación.

9 .3 .1 M o v i m i e n t o d e l s e g u i d o r

El m ovim iento de l seguidor se do si f ica en las dos ca tegorías

siguientes:

Los seguido res de tras lación están restringidos a movim iento

en linea recta, que se ilustran en las figuras 9.4a y c

Los se gu id or es co n bra zo os cila nt e o con p iv o te e s t á n r e s

t r ingidos a movim iento g i ra tor io y se m uest ran en lasfiguras 9.4b y d.

9 . 3 .2 P o s i c i ó n d e l s e g u i d o r

la posic ión de l seguidor , en re lac ión con e l centro d e ro tad ón

de la leva, se ve afectada gene ralmente p or los requerimientos

ó ) S e g u i d o r d e r o d i ll o , c o n p i v o t e

a) L e v a d e p l a c a i L e v a c i l i n d r i c a

afgana

* — • M o v im i e n to d e la l e v a

e l L e v a l in ea l

f i g u r a 9.3 Tipo s de levas.

a) S e g u i d o r d e e u f t a. e n l in e a

e) Seguidor <fc cara plana. d) Seguidor de cara esférica,descentrado con pivole

F IG U R A 9 .4 T i p o s d e s e g u i d o r .

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I.evas: diserto y an álisis ci n em ático_________225

d e e sp a d o d e l a m á q u in a . La p o s id ó n d e lo s seg u id o re s d e

traslación s e divide en do s categorías:

U n se gui do r en lin ea t iene mov imien to en l inea rec ta , de

modo qu e la l inea de t r asiad ón se ext iende a t ravés de l

centro de ro tac ión de la leva y se i lust ra en la f igu

ra 9.4a.

Un se guido r desce ntrado t iene m ovimiento en linea recta, de

modo que la línea de m ovimiento n o pasa po r el centrode r o tad ón de la leva (se presenta e n la f igura 9 .4c).

E n e l c a s o d e s e g u i d o r e s c o n p i v o t e , n o h a y n e c e s i d a d d e

d i s ti n g u i r e n t r e s e g u i d o r e s e n l in e a y d e s c e n t r a d o s , y a q u e t ie n e n

l a m i s m a d n e m á t i c a .

9 .3 .3 F o r m a d e l s e g u i d o r

Finalmente, la forma del segu idor se agrupa en las cuatro cate

gorías siguientes:

El se gu ido r de cuña consis te en u n seguidor formado po r un

p u n to , q u e se a r ra s t ra so b re el b o rd e d e la le va. El

seguidor de la figura 9.4a es u n segu idor de curta. Es laforma más simple, pero el extremo pu ntiagudo produce

altos estílenos de con tacto y se desgasta rápidamente. Enconsecuen cia, este tipo de seguid or se utiliza raras veces.

E l segu ido r de rodi llo consiste en un seguidor que t iene una

p a rt e se pa ra da : el ro d il lo q u e e st á su je to a la es pi ga d el se guidor . El seguidor mostrado en la f igura 9 .4b es un

seguidor de rodillo. Con form e la leva gira, el rodillo se

mant iene en con tac to con la leva y rueda sobre la super

f ic ie de esta . Es el seguidor m ás com únm ente usado,

ya qu e la f r icc ión y los esfuerzos de contac to son

menores que los del seguido r de curta. Sin em bargo, un

se g u id o r d e ro d i l lo se p o d r í a a t a sc a r d u ra n te u n d e s

p la za m ie nto a b ru p to d e la leva . U n estu d io m ás d e ta

l lado de la tendenc ia de un seguid ora b loquearse se pre senta m ás adelante.

Un seguidor de c ara p la na consiste en un seguido r formado

p o r u n a s up er fi ci e gran de y p la n a d e conta c to co n l a leva .

El seguidor de la f igura 9 .4c es un seguidor d e cara p la n a. Est e ti p o d e se g uid o r se u ti li za co n u n m o v i

miento abrupto de la lesa s in qu e se a tasque . Entonces,

este t ipo de seguidor es ú tU cuando se requie ren

movim ientos rápidos. No ob stante, cualquier deflexión

o desalineación del seguidor causa grandes esfuerzos su

perfi cia les . Asim ism o, las fu erz as d e fr ic ción so n m ay o

res que las del seguidor de rodillo debid o al intenso con

tacto de deslizamiento entre la leva y el seguidor.

U n se gu idor d e ca ra es féric a consis te en un seguidor fo r

mado con un radio de la ca ra qu e entra en con tac to conla leva . El seguidor m ostrad o en la f igura 9 .4d es un

seguidor con cara esférica. Co m o con el segu idor de cara

p la n a , el de ca ra esfé ri ca se u ti li z a co n m o vim ie nto

i i ru p to d e l a l ev a s in q u e se a tasque. El radio d e la caracom pensa la def lexión o la desal ineac ión . Com o e n e l

seguido r de cara plana, las fuerza s de fricción todavía

son mayores que las de l seguidor de rodil lo .

Observe que estas ca rac te r ís t icas de l seguidor son in te r

cambiables . Es dedr , se puede com binar cua lquie r form a de

seguidor con cua lesquie ra de sus m ovimientos o posidón .

9.4 MO VIMIEN TO PRESCRITO

DEL SEGUIDOR

Com o se h a indicado, la característica única de u na leva es que

imparte m ovimientos m uy di fe rentes a su seguidor . Desde

luego, el movim iento del segu idor depend e de la tarea requerida

y puede definirse con todo detalle.

f t> r e j e m p l o , s u p o n g a q u e s e u t i l iz a u n s e g u i d o r p a r a i m

p u l s a r l a s m a n e c i l l a s r e c o l e c t o r a s d e u n a m á q u i n a q u e m a n e j a

p a p e l . L a p r e s c r i p c i ó n d e s e a d a d e l s e g u i d o r i m p l i c a l a s e p a -

r a d ó n d e l m o v i m i e n to e n s e g m e n t o s , asi c o m o l a d e f in i c i ó n d e

l a a c d ó n q u e d e b e o c u r r i r d u r a n t e c a d a u n o d e l o s s e g m e n t o s .

P a ra d e s c r i b i r e s t e p r o c e s o s u p o n g a q u e l a s m a n e c i l la s r e c o le c

t a r a s d e b e n :

1. Permanecer cerrad os po r 0.03 s.

2 . A b r i rs e u n a d i s t a n c i a d e 0 . 2 5 i n , a p a r t i r d e l a p o s i c ió n

c e r r a d a , e n 0.01 s .

3 . f t r m a n e c e r e n p o s ic i ó n a b i e r t a d u r a n t e 0 .0 2 s .

4. Moverse a la po sidó n cerrada en 0.01 s.

De m odo que , l is tando los requer imientos prec isos de las ma

necillas recolectoras, se prescribe el mov imien to del seguidor.

En la realidad, el m ovim iento de l seguido r se expresa ent é rm in o s d e l d e sp la z a m ie n to a n g u b r d e b l e va e n v e z d e

t iemp o, lo cua l es m ás conveniente en apl icac iones do nde el

movim iento deb e estar sincronizado, tal com o el tren de válvu

las de b figura 9.1.Para las manecillas recolectoras qu e se acaban d e describir,

e l movimiento prescri to, estableado en té rminos de b ro tadó n

de la leva, se l ista como sigue:

1. Permanecen cerrados en 154.3® de rota dó n de b leva.

2 . Se a b re n u n a d i s ta n d a d e 0 .2 5 in , a p a r t i r d e b p o s id ó n

cerrada , en 51.4® de ro tad ón d e b leva

3. Perm anecen en esta posición abierta en 102.9® de r otad ón

d e b l ev a.

4. Se m u e v en a b p o s i c ió n c er ra d a e n 51.4® d e ro t a d ó n d e bleva.

Una vez que el movim iento del seguidor está prescrito, es con

veniente registrarlo en fo rm a gráfica.

La gráfica de desp bzam iento del seguidor contra el t iempo,

o e l despbzam iento angula r de b leva, se conoce como diagrama

de desp lazamiento del seguidor. Este dbg ram a es indispensable

para ex p lo ra r el m ovi m ie nt o y la dn em áti ca de l seg uid o r in de

pen die n te m en te de b fo rm a d e la leva m is m a. El ej e v er tica l de

este diagram a representa el despbza m iento lineal del seguidor,

expresado en pulgadas o milímetros. El eje horizontal representa

e l t iempo, medido en segundos o minutos,o bien, desplazamientos angula res de b leva, medidos en grados o en f racc iones de

un a revoluc ión . Este d iagrama norm almente se const ruye a es

c a b y , j u n to c o n d a n ál is is d n e m á t i c o d e l se gu id o r, e s e x t remadam ente ú ti l a l de te rm inar la forma d e la leva.

En d a n ál is is c ine m á t i co , es m e jo r b c u rv a d e d e sp b z a

miento de l seguidor contra e l t iem pa C om o ayuda en la tarea

de diserto de la form a de la leva, se prefiere la curva del des

p b zam ie n to d d se guid or co n tr a d á n gu lo de b le va . La re lación

d d g i ro de la leva con d t iempo es u n proceso senci l lo cuando

se util iza b teoría presentada en d capitulo 6. La ecuación (6.4)d a lo s iguiente:

A0

- 17 <M )

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226 CAPITULO NUEVE

Cuan do la leva gira a velocidad constante, lo cu al sucede en

la inmensa mayoría de las aplicaciones, el t iem po se pu ede rela

cion ar con el m ovimiento ang ular y viceversa. La rotación de la

leva dur ante un in te rva lo de l movim iento de l seguidor se ex

pre sa us ua lm en te p o r e l s ím b o lo (i . Asimismo, el tiem po tran s

c u r r id o d u ra n te u n in te rv alo d e l m o v im ien to d d se g u id o r sedesigna como T. La elevac ión o ca ída d d seguidor durante un

intervalo se designa com o H . Al replantear la ecuación (6.4), y

usar la no men cla tura de levas, se obt iene la re lac ión entre d g i ro

de la leva y d t iempo en u n in te rva lo a rb i t ra r io ¿

/ * , - = ( * 0 ( 7 ) ) ( 9 .1 )

La ecuación (9.1) sirve tam bién para determ inar la rapidez re

quer ida de la leva, considerando d t iempo t ranscurr ido durante

u n d d o .

donde

2 7 ; - t iempo to ta l de todos los in te rvalos de m ovimiento que

comprende u n c ic la

El per iodo d e ro tac ión d e la leva , cuan do no hay movi

miento de l seguidor , se conoce com o detención. Los detalles d d

movimiento duran te los intervalos de elevación y descenso del se

guidor se r igen pr inc ipa lmente por la ta rea que necesi ta re a l iza rse y po r co nsiderac iones d inámicas. Com o las fuerzas

grandes están asoc iadas con ace le rac iones grandes, resul ta

ben éf ic o d is m in u ir la ac dcra ci ón .


Se utiliza un a leva en u na p lataforma que constantemente levanta cajas desde un transpo rtado r inferior hacia un

transportad or superior. Esta m áqu ina se ilustra en la figura 9.5. Elabore un diagrama de desplazamiento y determine

la rapidez requerida de la leva cuand o la secuencia de movim iento del segu idor es com o sigue:

|t

h g u r a 9 . 5 Sistema de leva d d problem a de e jemplo 9 . 1 .

1. Elevar 2 in en U r .

2 . re tenc ión durante O3 s.

3. CWccnder 1 in en 0.9 s.

4. Detención duran te 0.6 s.

5. rw cen der 1 in en 0.9 s.

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule el t iempo de un ciclo completo

Es necesario el tiem po total de u n d elo com pleto para determinar la rapidez requerida de la leva.

2 T, = T, + T , + T , + Tt + T , = (1 2 + O J + 0 .9 + 0.6 + 0 .9 ) s = 3 .9 s

2 . Det er m in e l a v eloc id ad angu la r requ er id a d e l a /evoDe la ecuación (92 ).

= t t t : = 0 2 5 6r e v/ s = 1 5 J 8 r PmIrev _ I rev

ZT , 3.9 s

Calcule el giro de la leva para cada intervalo de mov imiento d el seguidor

H increm ento angular cons um ido p or la leva pora cada secuencia de mov imiento del seguidor se determina con

b ec ua ción (9 .1 ).

f l i - <«!«*.>< T.) - (02 56 rcv /s)( l2 s) - 0 .307rev

- (0J07rev)(360*/ l rev) - 1103*

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Leva»: diserto y aná lisis ci n em ático_________227

0 2 - (0 2 5 6 rcv / s )(0 Js ) = 0 0 7 7 r cv - 2 7 0*

0 , - (0.256 rev/s)<0.9s) - 0230 rev - 82.9"

04 - (OJ56rev/s)(OOs) - O.I54rev - 55J"

0 , = (0256 rev/s) (0.9s) = 0230 r*v = 82.9*

4 . deifique el diagrama de desplazamiento

En la figura 90 se muestra el diagrama de desplazamiento resultante, tanto con el Angulo de la leva com o con el

tiempo desplegido en el eje horizontal. Observe que se construyó el perfil de la curva de desplazamiento durante

b s secuenc ias de e lev ación y de sc en so Con side racio ne s d in ám icas d et er m in an la fo rm a re al de l as secc ione s de

elevación y descenso.

Ct ro d rh3¿0» bva (deg)

IVmpo 0»)

9 3 ESQUEMAS DE MOVIMIENTO

DEL SEGUIDOR H objetivo en el diserto de u na leva es identificar su for m a ade

cuada. El interés principal consiste en garantizar q ue el seguidor

logre los desplazam ientos deseados. Desde luego, tales desplaza

mientos se descr iben en e l d iagram a de desplazamiento . La

forma de la leva es s imp lemen te el medio para obtener este

movimiento.

En la secc ión ante r ior , e l movim iento de l seguidor durante

las secuenc ias de e levac ión y descenso no se identi f icó to ta l

mente . Se mencionó que las ca rac te r ís t icas d inámicas de lseguidor son impo rtantes. Aceleraciones grandes causan fuerzas

grandes y, p o r consiguiente, altos esfuerzos. El cambio rápido d e

b s ac el er ac io nes p ro v oca v ib ra c ió n y, p o r lo ta n to , ru id o .

Debido a los principios d inámicos fundamentales, los periodos

de elevación y descenso del diagram a de desplazam iento de una

leva son de vital im portancia.

Para levas con mo vim iento lento, las grandes aceleraciones

no son u n problema. Por ello la leva se diserta con la finalidad

de generar s implem ente los desplazamientos da do s en e l ins

tante especificado. La manera en la cual el seguidor llega al

p u n to de se ad o n o es re leva nt e. En e sto s c asos , la l ev a se fa br ica

del m od o más conveniente, siempre y cua ndo se obteng a el des p la zam ie n to re qu eri d o . Una le v a d e p la c a p u e d e s e r ta n so lo

una combinación de arcos circulares y lineas rectas, las cuales se

fabric an con facilidad.

En aplicaciones de alta velocidad, no es suficiente pro po r

cion ar únicamente el desplazamiento req ue rido L as caracterís

ticas dinámicas del segu idor dur an te las secuencias de elevación

y descenso se deben espec i ficar con mu cho de tal le pa ra m ini

mizar las fuerzas y vibraciones.

Hay una gran var iedad de esquemas de movimiento para el

movimiento del seguidor. El objetivo de estos esquemas es pro

ducir el mo vimiento con aceleraciones suaves. En el estudio de

b s c ar ac te rí st ic as d in ám ic as d el segu id or pa ra d if er en te s esq ue

mas d e m ovimiento, se util iza la siguiente notación:

H*~ Desplazamiento to ta l de l seguidor duran te e l in te r

valo de elevación o des censo en consideración. E n el

caso d e un seguidor co n p ivote, este es e l desplaza

m iento angula r to ta l de l eslabón seguidor , du

rante el intervalo particular.

T - Per iodo tota l de t iempo para e l in te rvalo de e levac ión

o descenso en consideración.

t - In te rva lo de t iempo de e levac ión o descenso que de

fine las propiedades instan táneas del seguidor.

0 - Ángulo de rotación de la leva du ran te el intervalo de

elevación o descenso en consideración (grados).

- Angulo d uran te el intervalo de elevación o descenso

que define las propieda des instantáneas del seguidor

(grados).

<o r a r- V e lo c id a d d e l a l e v a ( g r a d o s p o r u n i d a d d e t ie m p o ) .

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228 CAPITULO NUEVE

A R - M agnitud del desplazamiento instantáneo del seguidor

en el tiempo t o á n g u lo p de la leva. En el caso de u n

seguido r con p ivote, esto es sim ilar al desplazamiento

angu br instantáneo A0¿del eslabón seguidor.

v - m a g n it ud d e b v e l o d d a d i n st a n tá n e a d el s eg u i do r

■ dRJdt. En el caso de un seguido r con pivote esto es

similar a la rotación del esb bó n seguidor.

a ■= M agni tud de b ace le radón instantánea de l segu i

d o r = th ld t .

9 .5 .1 V e l o c i d a d c o n s t a n t e

El esquema m ás send l lo de mov imiento de l seguidor duran te

una c levad ón o un descenso es e l de v e loddad constante . El

movimiento con ve loddad constante se ca rac te r iza por un d ia

gram a de despbzam iento en l inea rec ta, porque b ve lodd ad es

uniform e. Las características dinám icas de una elevación a ve

locidad constante se listan en la tab b 9.1.

Aun cuando b idea de una ace leración igua l a ce ro es a t rac

t iva , los ext remos de este esquema de movimiento a tusan pr o

bl em as . T eó ri ca m en te , el s a lt o in sta n tá n e o d e cu a lq u ie r v a lo r

constan te de ve loddad a otro valo r constante de velocidad gene

ra un a ace le radón inf in i ta . Como las m áquinas impulsadas porel seguidor siempre tendrán masa, esto resulta teóricamente en

una tuerza infinita . En b práctica, es imposible un cambio ins

tantáneo en la v e loddad debid o a b f lex ib il idad de los e lemen

tos de u na m áqu ina N o obstante , cua lquie r sacudida es imp or

t a n t e y se d e b e m a n te n e r e n e l m ín im o . Po r l o t a n to , e s te

movimiento en su forma pu ra no se presenta , excepto en aplica

do ne s de baja velocidad.

En la f igura 9 .7 se muest ra un d iagrama d e desplazamiento

c o n v e lo d d a d c o n s ta n t e , j u n to c o n b s c u rva s d e v e lo d d a d y

ace le radón.

9 .5 .2 A c e l e ra c i ó n c o n s t a n t e

El mov imiento con aceleradó n constante dura nte un a secuenciade elevación o descenso genera los m enores valores posibles de

aceleración en un intervalo d e tiempo y elevación determinados.

El diagram a de desplazamiento de u n intervalo d e elevación o

descenso se d iv ide en do s m itades igua les , una de ace le rac ión

constante y la o t ra de desace le radón constante . Las formas de

c a d a m i t a d d e l d i a g ra m a d e d e sp b z a m ie n to so n p a rá b o la s

de im ágenes especulares. las características dinám icas de un a ele

vación con aceleración constante se listan en b tab b 9.2.

Es t e e sq u e m a d e m o v im ie n to , c o n o c id o t a m b ié n c o m o

movim iento parabólico o d e gravedad, t iene aceleraciones cons

tantes posi t ivas y nega tivas. N o obstante , presenta un cambio bru sc o de a ce le ra ci ón a l fin al del m ov im ie n to y en el p u n to de

transición en tre las mitades d e aceleración y desaceleración. Los

cambios br a sa » provocan un cambio brusco en las fuerzas iner-

ciales, los cuales po r lo gen eral causan vibracion es indeseables,

de mod o q ue este movimiento en forma pura n o es com ún, sa lvo

en aplicaciones de baja velocidad. En b figura 9.8 se m uestra un

dag ram a de despbz am iento con ace lerac ión constante , juntocon las curvas de velocidad y aceleradón.

Se re q u ie re u n d b g ra m a d e d e sp b z a m ie n to a e sc al a p a ra

construir el perfil real de b leva. Se pued en u tilizar b s ecuadon es

pr es en ta das en b ta b b 9 2 con una hoja de cálculo, o cualquier

o t ro sof tware que gra f ique ecuadones, para e laborar este d ia -

¡yama. Aunque este método ana l í tico es predso , se debe tener

cuidado p ara graficar el diagram a a escala.

La construcción gráfica de u n diagrama d e despbzam iento

es un m étodo alternativo para elaborar un diagrama de desplaza

mien to a escala. Su cons trucd ón se realiza usand o un esquema

de movimiento con ace le radón constante , remitiéndose a b f i

gura 9.9 y aplicando el siguiente procedimiento:

1. Dividir la secue nda de eleva dón (o descenso) del seguidor

en d os mitades iguales. En la figura 9.9, AE representa

é p e r io d o d e ti e m p o y Ü F b m a g n i tu d d e l a e l e v a d ó n d e

la pr im era m itad de este esquema de movimiento .

2. Dividir en partes iguales tanto el eje horizontal co m o elvertical del cuadran te AEFH .

3. Trazar lineas verticales a pa rtir de las divisiones horizontales.

4 . Trazar lineas rec tas a par t i r de la esquina A h ad a b s d iv i

siones verticales.

5 . Dibuja r una curva suave a través de los puntos de in te r

sección d e b s lineas verticales y de las lineas dibujadas

a p a r t i rd e l a e sq u in a A .

6 . Re pe tir lo s p aso s 2 a 5 p a ra b o t r a m i ta d d e b c u rv a qu e

se muest ra en e l cuadrante FJCG e n b f i gu ra 9.9.

El descenso con ace le radón con stante se const ruye como

un a imagen especular de la figura 9.9.

9 .5 .3 M o v i m i e n to a r m ó n i c o

Com o se vio en los esquem as polinomiales del seguidor qu e se

acaban de describir, se presentan pro blem as inerdales en las dis

cont inuidades de b s curvas de m ovimiento . Para abord ar esa

desventa ja , se debe es tud br e l m ovimiento a rmó nico , e l cua l

t iene su or igen en las fun done s t r igonométr icas y , po r ende , pre

senta curvas m uy suaves de m ovimiento. Desde el pu nto de vista

f ís ico, es la proy ecdó n de l mo vimiento de un pu nto sobre un

disco qu e gira proyectado en un a linea recta. Las características

d in ám ic as d e u n a d e v a d ó n a rm ó n ic a se l is t an e n b t a b la 9 .3 .

Este esquem a de mov imiento m ejora indudablemente las

curvas anteriores porque tie ne un a aceleración con tinua suave.

r ^ A B I - A 9 .1 Cine mát ic a de l se gu idor de b l eva par a m ov imie nto c on ve loc idad c ons tante |

rE l e v a d ó n D e s c e n s o

Desplazan)a m l o : ^ ^ + + " £

‘ i P ,A Ky - H , + 1

U r l o d d a d : » , H / o »

V' " T , “ p,

H ,

* - T

H f

fi l

Aceleración: a = 0 ( o o e n L b t ra n s id o n e s) a = 0 ( o o í 1* t ra n síd a n e t )

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Levas: diserto y aná lisis ci n em ático_________229

FVriodode elevación. Periodo de descenso

a

i

I

i41

1J S

*

<¡r

I

i*

&I

I

' / O f

- 4 Í .

H G U R A 9.7 C u r v a s d e m o v i m i e n t o c o n v e lo c id a d c o n s t a n t e.

j T ^ I A B L A 9 . 2 C i n e m á t i c a d e l s e g u i d o r d e b l e v a p a r a m o v i m i e n t o c o n a c e l e r a c i ó n c o n s t a n t e |

f -------------------------------------------------------------------

E l e v a c i ó n D e t c e m o

R u a O < r < Q 5 T(0<<f><03Pfr

D r t f il m i n i r n l o :A R , - H r + H ,

- ' O ' m H r + H ,

' /

V t l o á d a d : 4 H A 4

V' “ 7 f 0 ?

- 4 H > ,

v ' - ^ r A *

A c e l e r a c i ó n : 4 / / , 4 / W - 4 II, - 4 » y

n ■* )

R in i 0 J T < l < T ( Q 5 / » < t f t < 01

D c t p b n m i r o to :S R , - H > + H , - 2 h ( 1 -

~ H , *■ H j * 2 H , ( 1 - £ y

A R , - H , ♦ 111

- I I , * 2 II

(■-I,)’

H r \ t l o ó d * J : 4 H , / f , \ 4 f W

V í" t , V 1 " t J " a V " A ) v a i p , )A c e l e r a c i ó n : - 4 H , - 4 / W 4H, * H f ^

~ ¿ r

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230 CAPITULO NUEVE

P e r ta to d e e le v a c ió n Periodo d e d e v e n s o ,

4 Hj

'J°*¡

-2H,

T]

FIGURA 9¿ (iirv as de movim iento con aceleración constante.

fi g u ra 9.9 Co nstrucción de un diagra m a de desplazamiento

co n ace le radón constante.

Sin embargo, t iene un cambio repent ino de ace le radó n en los

extremos del m ovimiento. Nuevamente, este cam bio repentino

p o d ri a s er in ac ep ta bl e a g ra n des ve locida de s.

&i la figura 9.10 se muestra un diagrama de desplazamien

to armó nico, junto con las curvas d e velodd ad y aceleración.

Com o en o t ros esquemas, se requie re un d iagrama de des

p la za m ie nto a esca la p a ra c o n s tr u ir el pe rf il re al de l a leva . Se

pued en usa r la s e cu ad on e s de la t ab la 9. 3, ju n to c o n u n a h o ja d e

cá lculo u o t ro paque te que gra f ique ecuadones, para e laborareste diagrama. Aun cu ando este método analít ico es preciso, se

debe ten er cu idado en e labo rar e l d iagrama con exac ti tud .

La con st rucd ón grá fica de un d iagrama de desplazamiento

es un método a l te rna tivo para generar e l d iagrama de desplazamiento a esca la . Esta const rucc ión usando e l esquema de

m ovim iento a rmó nico se rea liza ob servando la f igura 9 .11 y

aplicando el siguiente procedim iento:

1 . C onst ru i r un sem idreulo con d iámetro igua l a la

e levadón (o descenso) deseada

2. Dividir el t iempo d e elevación en incrementos iguales

y sucesivos.

3. Dividir el semidreu lo en el mism o núm ero de divisionesiguales del perio do de ele vadó n del seguidor.

4. Trazar l íneas verticales a partir de las divisiones sobre

el eje de tiempo.

5 . Trazar l incas hor izonta les desde los p untos de las d iv i s iones sobre e l semidreulo hasta las l ineas de d iv isión

correspond ientes sobre el eje de tiempo.

6. Trazar una curv a suave a través de los pu ntos de intersec-

d ón obtenidos en e l paso anter ior.

El descenso arm ónico se construye co m o una imagenespecular de la figura 9.11,

9 .5 .4 M o v i m i e n t o c i c lo i d a l

El m o v im ie n to c id o id a l e s o t ro e sq u e m a d e m o v im ie n to d e

r ivado de fundones t r igonométr icas. Este esquema también

FVvación

dr l seguid™.

R-rtodo de e l eva ción

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I.e v u : d ise n o y an á lisis c in em ático 231

T A BL A 9 . 3 C i n e m á t ic a d e l s e g u i d o r d e u n a l ev a c o n m o v i m i e n t o a r m ó n i c o j¡r i

E k v a d ú n D o t m w

— ( ? ) ]

( t ' ) i

V d o ci da d : i r / / , f - » H j

*m-sl-ln)l *- 2T )

w H t m \ (w+,\ 1Vt l “ V fi, )J " 2 0 ,

- mn n

ftno(k) dr elevación, Periocto dr <kscriBo.

FIGURA9.10 Curv as de m ovim iento arm ónico .

pr es en ta c u rv as d e m ov im ie nt o m uy su av es y n o ti en e c am bios

repen tinos de aceleración en los extremo s del m ovimiento, lo

cual lo vuelve pop ular en aplicaciones de alta velocidad. Tiene

escaso desgaste por vibración y características de esfuerzo de to

das las curvas básicas descritas. Desde u n pu nto d e vista fisico,

es el movimiento de u n p unto sobre un d isco que rueda sobre

una linea rec ta Las características dinám icas de b elevación d -

doid al se l istan en la tabla 9.4. En b figura 9.12 se presenta un

diagram a de desplazam iento cicloidal, junto c on las curvas de

ve loddad y ace le radón.

( i>mo antes , se requie re un d iagram a de desplazamiento a

escala para const ru i r e l perf i l rea l de b leva . Se u t il izan las

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232 CAPITULO NUEVE

f i g u r a 9 .11 Construcc ión de u n diagrama de desplazamiento a rmón ica

ecuac iones presentadas en la tab la 9 .4, jun to con u na hoja de

cá lculo o un paque te que gra f íque ecuac iones para comple ta r

este d iagram a. Aunque este método ana l í t ico es p rec isa se debe

tener cuidado de graficar el diagra m a totalm ente a escala, si se

emp lean técnicas de cons t rucc ión grá f ica pa ra d iseñar la leva.

La construcción g ráfica de un d iagrama d e desplazamiento

es u n método a l te rna t ivo para g enerar el d iagrama de desplaza

miento a esca la . Esta const rucc ión , usando e l esquema de

m ovim iento cicloidal, se realiza remitiéndose a la figura 9.13 y

aplicando el siguiente procedimiento:

1. Sobre un a cuadrícula de u n diagram a de desplazamiento,

trazar una linea del pun to inicial de la elevación (o de s

censo) al pu nto final. La linea se dibuja de A a C e n l a

figura 9,13.

2. Extender la l ínea dibujada en el paso anterior y trazar un

c irculo de radio r = H l2 it , con centro en cua lquier lugar

sobre la Unta.

3 . Con st ru i r una l ínea vert ica l a t ravés de l centro de l drculo .

4 . Dividir el circulo en u n nú m ero par de partes.

5. Unir las l ineas que dividen al circulo com o se indica en

la figura 9.13 (1 a 4.2 a 5. etcétera).

6. M arcar los punto s de intersección d e las líneas dibujadas

en el paso 5 con la l inea vertical trazada en el paso 3.

7. Dividir el t iem po en el mism o núm ero de partes iguales

com o el circ ula Trazar l íneas verticales a partir de estos

p u n to s de di vi sión .

8. Proyectar los pun tos identificados en el paso 6 a lo largo

de una l ínea para lela a la l inea const ru ida en e l paso I .

9 . M arcar los puntos de intersección de las l íneas construida»

en el paso 8 con las l íneas verticales dibujad as en el paso 7,

com o se indica en la f igura 9 .13.

10. C onst ru i r una curva suave a t ravés de los puntos ident i fi

cados en el paso 9.

El descenso cicloidal se construye com o un a imagen especu

lar de la figura 9.13.

T AB LA 9 . 4 C i n e m á ti c a d e l s e g u i d o r d e u n a l e v a c o n m o v i m i e n t o c ic l oi d al

PJevadón D « c a i t o

Doplaimknto:

VCIocidad:

Aceleración:

^ ) ]- ( ¥ ) ]

w r ( ! ? ) ,

« i

T<

f i ,

I - cas

I

fi2 ,

- * ■ i t - * - & ) ]

- 3 1 — ( * ) ] fi , fi,

- 2 * H ,

r f

- 2 v H y

t ')1

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D e s p l a z a

m i e n t o

d e l

A c r f c r a c i d n « l e í s e g u i d »

a ,

V e l o c k f e d

d e l s e g u i d o r v ,

s e g u i

d o r

A r t ,


R>rio(k)deok\ación. ftriodo de descenso.

FIGURA9.12 (l irv as d e m ovim iento cicloidal.

f i g u r a 9 .1 3 C o n s t r u c c ió n d e u n d i a g r a m a d e d e s p l a z a m i e n t o c ic l o id a l .

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234 CAPITULO NUEVE


Se va a disertar una leva para una parte de un cargador automático, como se m uestra en la figura 9.14. Empleando las

ecuaciones de movim iento, construya u na tabla que ilustre los desplazamientos del seguidor contra el tie m po y c o n

tra la rotación de la lesa. También grañque estos datos cuand o el mov imiento prescrito de esta aplicación sea como

sigue:

1. Bevación de 50 mm en 13 s con el esquem a de mov imiento de velocidad constante.

2. Retomo en 2.0 s con el uso d d esquema de movimiento cicloidal.3. Detención de 0.75 s.

4 . Se repite la secuencia.

FIGURA 9.14 fó rted el cargador del proble m a de ejemplo 9 .2.

S O L U C I Ó N : I . Calcule el tiem po para com pletar un ciclo completo

B tiempo tra nscurr ido para completar un ciclo es necesario para determinar la velocidad requerida de la leva.

2 T , = T , + T , + T ,

= 1.5 + 2X1 + 0 .75 = 4 2 5 s

2. Calcule la velocidad angular requerida de la lesa

Si se parte de la ecuación (92),

‘ s í ‘ ■ u n ,p m

Det er min e la r otac ió n d e la l ev a pa ra c ad a int erv alo d e m ovim ie nt o d el seg uido r

B incremen to angular de la leva consum ido po r cada secuencia de mo vimiento del seguidor se calcula con la

ecuación (9.1).

0 , - h J ( T , ) - (<X235 r ev /s ) ( 1 .5s ) - 0 3 5 3 re v - 127.0*

p ¡ = (02 35 rev/s) (2JJs) = 0.470rev = 169.3*

P s = (Q 235rcv/s) (0.75$) » 0.177rev = 63.7*

Calcule el desplazamiento durante cada intervalo de m ovimiento del seguidor

0 primer intervalo del movim iento tiene H j = 50 m m y T, = 13 s. Para un a elevación co n velocidad constante, b ec ua ción de l de sp la za m ie nto est á d ad a por

u , . %

B segundo intervalo del mov imiento tiene l f* - 50 mm y T2 - 2-0 s. Para d descenso cicloidal, la ecuación de

desplazam iento está dada por

A R, - H j

B último intervalo de movim iento es una detención, donde AR es constante. Esta detención ocurre en la

po sic ión re tr aída d el se gu idor , por lo ta nt o, ARj - 0.

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I .e v a s : d i s e r t o y a n á l i s is c i n e m á t i c o 2 35

Estas ecuaciones se introdujeron en la hoja d e cálculo (figura 9.15). Los datos se usaron para generar la gráfica de

h figura 9.16.

A -7

Im«f1 •>»«» f o t * » C u l i «ni» Vt*w D * v » l I G » t S ‘

J¡R—sHt*»Ri • 10

B I U A'

□ * \

* % A

« l i g n « » o I N u m t > «

£ - l< -

2 - H

-Z ■

20

E 7

_ _ A _ B C D E ■tteopo A ^odrU Ira UopUwtoco dd Xptáx

to> C^ D (wm)0.00 0.0 000

0 25 : i : 833

050 42.4 1667

075 63 5 25.00

10 0 S47 33 33125 105 9 41 67

1 50 127.1 50 00 *

1.75 148 2 49 3820 0 169 4 45 46

225 1906 36 882.50 211 8 25002 75 232 9 13.12

3.00 254 1 4543.25 275.3 062

350 2965 0003.75 317.6 000

400 338 8 00042 5 360 0 000

f i g u r a 9.15 Ho ja de cálculo del problem a de ejemplo 9.2.

f i g u r a 9 .1 6 D i a g ra m a d e d e s p la z a m i e n t o d e l se g u i d o r d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 9 . 2 .

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236 CAPITULO NUEVE


Construya gráficamente el diagrama de desplazamiento del seguidor p ara la aplicación del problema d e ejemplo 9.2.

SO LU CIÓ N: Con los datos del problema de ejemplo 92 . se construye el diagrama de desplazamiento mostrado ai h figura 9.17.

Observe que el dreu lo usado para construir d descenso cidoidal t iene un radio de:

H, (50 mm)r ■ — - — ------ ■ 7.96 mm

2ir 2 i r

9 .5 .5 E s q u e m a s d e m o v i m i e n to c o m b i n a d o

En b selección de un esquema de movim iento particular, un o b

je tivo es m in im iz ar b s fue rza s d in ám ic as in duci d as du ra n te e l i n

tervalo de elevación o descenso. Lo ante rior se logra al m inimizar

la magn i tud de la ace le rac ión de l seguidor y mantener la con

tinua. Asimismo, la energía cinética almacenada en el seg uido r es pr opo rc io na l al cu ad ra do de b ve lo cida d. Por lo t an to , m in im iz ar

la veloc idad m áxima es o t ro obje t ivo qu e d eb erb considerarse

cuan do se especifica un esquem a de m ovimiento.

Además de estos objetivos, en aplicaciones de alta ve lod dad, es aconse jable mantener una ace le radón suave para e l imi

nar los cambios bruscos en b s ca rgas d inámicas. La der ivada de

b ac e le ra dó n c o n resp ec to al t ie m p o se co n o ce c o m o tirón. Los

cam bios repentinos en la acelerad ón se cuantifican com o m ag

ni tudes a l tas de un t i rón . Así, red ud r b magni tud y mantener

cont inua b curva de l t i rón co ntra e l tiemp o d a venta jas sobre la

carga de b máquina .

Co n frecuenc ia se a justan los aspec tos negi t ivos de b ve

loddad constante y b acele rac ión constante , así como los esque

ma s a rmó nico y c ic loidal , pa ra m ejora r b s ca rac te r íst icas de lmovim iento. El m ovimiento resultante se conoce como esquema

com binado. M ás adelante se presentan descripciones de algunos

de los esquemas comb inados más comunes. Se recomienda con

sulta r fuentes más com pletas de diserto de levas para obten er los

detalles de b s ecuaciones de m ovimiento [refe. 5,11 ,14 ], Existe

software com o D ynacam, Analytix/Cams y CamTrax para co ns

truir diagramas de movim iento del desplazamiento del seguidor

de estos y o t ros esquemas.

La a c e l e r a d ó n t r a p e z o i d a l es un esquema que mejora e l es

quem a de ace le radón constante que se presenta en b f igura 9 ,10 ,

d o n d e b c u rv a d e a c e l e ra d ó n c o n t ra e l t i e m p o a p a rec e c om ou n a o n d a c u ad rad a . La d i fi c ul ta d c o n b o n d a c u a d ra d a e s q u e b

aceleración y po r ende, la fuerza inercial camb ian bruscamente,

de mo do que se induce un t i rón en b máquina . El esquema de

aceleradón trapezoidal suaviza las transicione s don de la curva

de aceleración con tra el t iemp o aparece com o un trape cio. Sin

embargo, el área perdida al eliminar b s esquinas se debe sustituirincrementando la aceleración máxima.

La a c e l e r a c i ó n t r a p e z o i d a l m o d i f i c a d a mejora e l esquema

trapezoida l sust i tuyendo los bdos indinados de la curva deicc ic radón con tra e l t iempo con par tes de un a on da senoida l.

El iminando b s esquinas, se c rea u na curv a de ace le radón suave .

La pendiente con t inua ( t i rón) g arant iza que e l cam bio en las

tuerzas dinám icas sea suave.

H desplazamiento pol i no míaI 3-4-5 es o t ro esquema que me-

p r a el es quem a d e ace le rad ó n c onst an te . C o m o e s u n p o li n o

mio d e segund o orden , el esquem a de aceleración cons tante se

ve obstacul izado con una c urva d iscon t inua de ace le rac ión .

Co m o en e l esquema t rapezoida l, un método p ara e l iminar b

discont inuidad es u t i l iza r un pol inomio de orden super ior ,

de mo do que se form ub un esquema que incorpo ra té rminos de

t erce r, c u a r to y q u in to ó rd e n es . Co n u n t é rm in o d e q u in to

orden, este esquema da una pendiente con t inua de la curva de

ace le rac ión con tra e l t iempo. Sin em bargo, la curva de l l i rón

contra el t iem po tend rá discontinuidades.

E l d e sp l a z a m ie n to p o l in o m ia i 4 -5 -Ó -7 a m p lb e l e sq u e m a

ful inom ia l 3-4-5 , e l cua l indu>e un té rm ino de séptimo orden por a s u m in is tr a r u n t i ró n c o n ti n u o y sua ve.

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leva»: diserto y anál is is c inemático 2 37

La acelerad ón senoida l mo dificada m ejora el esquema cicloidal

incorpo rando un seg undo térm ino senoidal con un a frecuencia

diferente; de este m odo , la suavidad del mov imien to cicloidal se

retiene y el máx imo se reduce.

En la tab la 9 .5 se m uest ra un resumen de la ve loc idad p ico ,

la aceleración pico y el t iró n pico de los diferentes esquemas demovimiento , en fun dó n de la e levadón H y d e l p e r io d o d d in

tervalo T.

r TABLA 9 . 5 C o m p a r a c i o n e s d e l o s e s q u e m a s1

d e m o v i m i e n t o

E squem a d e V elod d ad A c eler a d ó n T ir ó n

m ov im ien to p ico p ic o p ic o

Ytloddad constante 1.000 HI T 00 co

Aceleración constante 2.000 HI T 4.000 HIT3 00

Armónico 1371 117 4.945 HIT* 00

Cicloidal 2.000 10 T 6 M JI 0 T* 40 t a r

Hapezoidal 2.000 HI T 5.300 HIT* 4 4 ¡ a r

Trapezoidal modificado 2.000 HI T 6i w r ’folinomial 3-4-3 1.875 tVT 5.777 H/T* 60

folinomól 4-S-6-7 2.188 HtT 7326 tBT* 52 IBT*

Senoidal modificado 1.760 H/T 3328 HIT3 69 HIT0

9.6 DISEÑO GRÁ FICO DEL PERFILDE UNA LEVA DE DISCO

Una ve* que en un d iagrama d e desplazamiento se def ine e l

movim iento deseado de un a leva y su seguidor, es posib le d ise

rtar la form a real de la leva. La forma de la leva depen de de sutamarto y de la conf iguradón d d seguidor . Antes de d iseñar d

pe rf il d e u n a l ev a de di sc o, se deb en d ef in ir a lg unas ca ra ct er ís ti

cas geom étricas. En la figura 9.18 se ilustran las siguientes ca

racterísticas.El dreulo base es d d r e u lo m á s p eq u e ñ o c o n c e n tr o e n d

eje de rotación d e la leva y es tang ente a la superficie de la leva.

El tamañ o d d c i rculo base está supedi tado no rmalm ente a las

restriedones espaciales de la aplicadón. En general, un d reu lo

ba se g ra n de ori g in a m en os p ro ble m as co n la tr an sm is ió n d e l a

fu er a . Sin em bargo, un c i rculo base grande y , po r consiguiente ,

un a leva grande se contraponen co n e l ob je tivo usua l de d iseñar

pro du c to s pe queñ os.El pun to d e t ra zo srve com o re ferenc ia para de te rm inar la

ubicac ión efect iva d d seguidor . En u n seguidor de cur ta es d

p u n to d o n d e e n tra n en c o n ta c to e l s e g u id o r y la leva . E n un

se g u id o r d e ro d il lo , d p u n to d e t r a z o se u b ic a e n d c e n tro d d

rodi l lo . En un seguido r de cara p lana o esfé r ica , e l pun to de

trazo se ubic a sobre la superficie de co ntacto del seguidor.

L a po sidó n de en trad a de la leva es la orientación qu e corres

p o n d e a u n a po si c ió n d e re fe re nci a de 0 * en u n di ag ra m a

de desplazamiento.

El dreulo pnm ario e s un dreulo que se d ibuja a t ravés de l

p u n to d e tr a zo d d se gu id or , m ie n tr as l a leva está e n su p o sid ó n de e nt ra da.

La curva de paso es la trayectoria d d cen tro del seguidor.

Pa ra fiidlitar la con strucción del perfil de l a leva, se utiliza la

inversión dnem ática. Se sup one qu e la leva está inmóv il. Luego

se gira el seguidor en direc dón opuesta al giro de la leva. La pos i

d ó n deseada dd seguidor , en var ias ubicadones, se const ruye a

p ar ti r del c ír cu lo ba se . C o n c ep tu a lm e n te , e s to es c om p ar ab le

a en rollar el diagrama de desplazamiento alrededo r del dre ulo

ba se , c re an do as í la fo rm a d e l a le va

En las secdones s iguientes se i lust ran los procedimientosespecíficos para diversas configu rado nes del seguidor. En todas

las construcciones se emplea d diagram a general de desplaza

m iento d e la figura 9.19. Observe que se han identificado dife

rentes desplazamientos del segu idor en án gulos específicos de la

leva , en las secuenc ias de dev ac ió n y descenso d d d iagrama.

Estos desplazamientos prescritos se convierten en el perfil de la

leva.

9 .6 .1 S e g u i d o r d e c u ñ a e n lí n e a

La form a m ás efidente de describ ir la construcción de u na leva

con u n seguidor de cur ta es a t ravés de la cons t rucaón rea l. Con

é d iagram a de desplazamiento de la figura 9.19, se h a construi-d o d perfil de una leva que se util iza con u n seguidor de curta, que

se muest ra en la f igura 9.20 .

Pira const ru i r grá f icamente un perf i l de este t ipo sedispone d d siguiente procedimiento genera l;

1 . ' l íazar e l dre ulo base de radio El tamaño norm almente

está en fu nd ón d e las rest r iedones espac ia les de la ap l ic a d ó n .

2 . Dibuja r e l seguidor en la po sidón de ent rada .

3. Trazar líneas radiales del centro d e la leva, en correspon

dencia con los án gulos de la leva identificados sobre el d ia

gram a de desplazamiento. Para efectos de con struc dó n, la

leva perm anecerá inmóvil y el seguidor girará en direcd ón

opu esta al giro real de la leva.

4 . Transferir los desplazamientos del diagram a de desplaza

miento a las l íneas radiales. Estos desplazamientos se m i

den desde e l dre ulo base .

H G U R A 9 .I 8 h f o m e n d a t u r a d e l a l ev a.

5. Dibujar una curva suave a través de los desplazamientos

pres cr ito s.

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238 CAPITULO NUEVE

f i g u r a 9 . 1 9 Diagrama general de desplazamiento del seguidor.

f i g u r a 9 j o Diseño d el perfil d e una leva : seguidor d e c u ñ a e n linea.

6. Para con stru ir un perfil con una p recisión consistente con

el diagrama de desplazamiento, es necesario transferir

p u n to s i n te rm ed io s ad ic io nal es de l os in te rv al os d e e le

vación y descenso.

9 . 6 .2 S e g u i d o r d e r o d i ll o e n l ín e a

De nuevo, la form a m ás eficiente de des cribir la cons trucción de

una leva con un seguidor de rodi l lo en l inca es con s u co nst ruc

ción reaL Co n el diagram a de desplazamiento de la figu ra 9.19,

se const ruyó e l perf il de una leva qu e se u t il iza rá con un se guid or de rodillo en linea, el cual se i lustra en la figura 9.21. Para

con st ru i r u n p erf il a si , se usa e l s iguiente procedim iento ge

neral:

1. Trazar el circulo base de rad io R(, El tam año norm almen te

está en fond ón de las restricciones espaciales de la apli

cación.

2 . D ib u ja r e l r a d io d d se gu ido r fy e n l a p o s id ó n d e e n tr a d a,

tangente a l dre ulo base .

3. Trazar l íneas radiales a partir del centro de la leva, en co

rrespond encia con los ángulos de esta, identificados en el

diagram a de desplazamiento. Para fines de construcción,

la leva permanece inm óvil y el seguidor gira en direcd ón

opu esta al giro real de la leva.

4. Identificar el pun to de trazo en su posición de entrada.

En un seguidor de rodi llo , este es e l pun to en e l centro

del rodillo.

5 . Trazar el dreulo p r im ario a través de l punto d e trazo en su

p o s id ó n de en tr ad a.

6. Transferir los desplazamientos del diagram a de desp laza

m iento a las lineas radiales. Estos desplazamientos se miden a par t i r de l c i rculo pr imario .

7 . Dibuja r e l contom o de l rodi l lo de radio Rf , con centro en

los desplazamientos prescritos identificados en el paso

anterior.

8. TVazar una curva suave tange nte a los con torno s del

rodillo en los desplazamientos prescritos.

9 . Para con st ru i r un perf i l con una prec is ión consistente con

el diagram a de desplazamiento, es necesario transferir

p un to s in te rm ed io s a d id on a le s d e lo s i nt er va lo s d e el e -

vación y descenso.

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Levas: dis eñ o y a nálisis ci n em ático_________239

0o (Entrada)

180°

F IG U RA 9 J I D i s e ñ o d e l p e r fi l d e u n a le v a : s e g u i d o r d e r o d i ll o e n l in e a .

9 . 6 .3 S e g u i d o r d e r o d i ll od e s c e n t r a d o

La form a más e f ic iente de descr ib ir la const rucc ión de una le

va con un seguidor de rodillo con descentrado es medrante una

const rucc ión rea l . Con e l d iagrama de despbzamiento de la

figura 9.19, se construyó el perfil de un a leva que se utilizará con

un seguidor d e rodillo con descentrado, el cual se m uestra en la

figura 92 2. S e tiene el siguiente proced imiento general pa ra cons

tru ir dicho perfil:

1. Dibuja r e l c i rculo base de radio El tamañ o norm al

m ente está en (unción de las restricciones espaciales de la

aplicación.

2. Trazar b linea central del seguidor en b posición de entrada.

3 . Dibuja r e l ci rculo pr imario cuyo radio es igua l a b suma

de los radios del dre ulo base y del ro dillo del seguidor

(R b< Rj).

4 . H a zar e l seguidor de radio fyen posic ión d e ent rada , con

centro en do nde b l ínea central de l seguidor in te rseca el

dreulo pr imario .

5 . Identi f ica r e l pun to de t razo en posic ión de ent rada . En un

seguido r de rodillo, este es el pun to que se encu entra en el

centro del rodillo.

6 . Dibuja r el dreulo con descentrado de radio e, con centroen e l e je de ro tad ón de la leva . Es tangente a b l inea cen

tral del seguidor.

7 . Trazar l ineas tangentes al circulo d e descentrado, en cor res

po nd en ci a co n lo s án g ulo s d e re fe re nc ia d e b leva d el dra-gram a de despbzam iento . Para f ines de const rucc ión , b

leva permanece inmó vi l y d seguidor g i ra en d i recdón

opu esta al giro real de b leva.

8. Transferir los desplazamientos del diagrama de desplaza

m iento a las l íneas de descentrado. Tales despb zam ientos

se miden a p ar t i r de l dreulo pr imario .

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240 CAPITULO NUEVE

FIGURA 9J 1 Diseño del perfil de una leva: seguido r de rodillo con descentrado.

9. Dibujar el contom o del rodillo de radio fy con centro en los

desplazamientos prescritos identificados en el paso anterior.

10. It az ar u na curva suave tangente al rodillo en los desplaza

mien tos prescritos.

11. Para constru ir un perfil con una precisión consistente con

el diagrama de desplazamiento, es necesario transferir

p u n to s i n te rm ed io s ad ic io nal es de l os in te rv al os d e e le vación y descenso.

9 .6 .4 S e g u i d o r d e tr a s la c i ó n c o n c a r a p l a n a

La form a m ás eficiente de describir la construcción de un a leva

con un seguidor de cara p lana es m ediante una const rucciónreal. Con el diagrama d e desplazamiento de la figura 9.19, se ha

con struido el perfil de un a leva que se utilizará con un seguidor

de traslación de car a plana y se ilustra en la figura 9.23.

Para constru ir gráficamente u n perfil como este se t iene el

siguiente procedim iento general:

I. Trazar el circulo base de rad io R f. El tamañ o normalmente

está en fund ón d e las restricciones espádales de la apli-

ca dó n. Recuerde que para este t ipo de seguidor, el dreu lo

ba se ta m bié n s ir ve com o d re u lo pri m ario .

2 . Dibuja r el seguidor en po sidó n de ent rada , tangente al

dre ulo base.

3. Trazar l incas radiales del c entro de la leva, en corrcspon -

dencia con los ángulos de la leva del diagrama de des

p la zam ie n to Par a e fe ctos de co n str u cd ó n , la l ev a p e r

manece inmóvi l y e l seguidor g i ra en d i recdón opuesta a l

giro real de la leva.4. Transferir los desplazamientos del diagram a de desplaza

m iento a las lineas radiales medidas a partir del dr eu lo base.

5 . Dibuja r e l contorno de cara p lana const ruyendo una l ínea

p er p en dic ula r a las li neas r ad ia le s e n l o s de sp la za m ie nto s

pr es cr ito s.

6 . Trazar una curva suave tangente a los contornos de cara

plan a.

7 . Para cons t ru i r un perf i l con una prec is ión consistente con

el diagram a de desplazamiento, es necesario transferir

p un to s in te rm ed io s a d id o n a le s d e lo s m ovim ie nt os de

eleva dón y descenso.

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L e w : diserto y a nálisis cin em ático_________241

0"< Entrada)

f i g u r a 9. 2 5 D i s e rt o d e l p e r f i l d e u n a le v a : s e g u i d o r c o n c a r a p l a n a .

9 . 6 .5 S e g u i d o r d e r o d i l l o c o n p i v o te

H seguidor con pivote proporciona m ovim iento rotacional en la

salida del sistema leva-seguidor. En los seguidores con traslación,

se utilizan las ecuaciones presentadas en la sección 95 para calcu

lar la magn itud del desplazamiento lineal instantáneo A R j, la ve

locidad vr y la ace le radón a F del cen tro del seguidor, el punto

F. Para seguido res con p ivote se usan las ecua don es presentadas

en la sección 9 5 para calcular la magn itud instantánea del des

pl az am ient o ro ta ciona l 5 0 ^ la v e lo d dad <uf y la a ce le ra dó n o h del eslabón seguidor. Al emp lear las ecuadones de la secdón 9 5

en el análisis de movimiento giratorio, el desplazamiento prescrito del seguidor debe ser el ang ular A 9¡ . en vez del lineal H.

O tra vez, la form a más efidentc d e describir la construcción

de u na leva con un seguidor de rodi l lo con p ivote es mediante

u n a c o n s t ru c d ó n rea l. Co n e l d ia g ra m a d e d e sp b z a m ie n to d e

b fi gura 9.19 , se ha c o n s tr u id o d perf il d e u n a lev a q u e se u ti

l izará con un se guidor de rodillo con pivote, que se m uestra en b

figu ra 9.24.

Para cons truir un perfil asi , se util iza el siguiente proced i

m iento general:

1. Dibuja r d c i rculo base de radio R& donde d tamaño está

en fund ón de las rest r icc iones espac ia les de b apl icadón.

2 . Dibuja r e l dreulo pr im ario , cuyo radio es igua l a b suma

de los radios del d reu lo base y del ro dillo del seguidor.

3 . D ib u ja r d d re u lo d d p iv o te d e r ad io Rr La d is tanda entre

d p i só t e y e l e je d e b l ev a t am b ié n e s u n a fu n d ó n d e lasrestriedo nes espaciales de la aplicadó n.

4 . Ubicar b pos idón de ent rada de l p ivote.

5 . Trazar un a rco centrado en d p ivote de entrada , con un

radio igua l a b longi tud R¡ d d e sb b ó n se g u id o r q u e

p iv o ta

6 . Dibuja r d seguidor de radio Rt, e n p o s id ó n d e e n t ra d a ,

con centro dond e e l a rco d ibujado en e l paso 5 in te rseca ddreulo pr imario .

7 . Trazar lincas radia les dd centro de b leva al c irculo dd

p iv ot e, e n c o rr espo nd en c ia c o n l o s á ng ulo s d e la leva

del diagram a de desplazamiento. Recuerde que el seguidor

gira en d i recc ión opuesta a l g i ro de b leva .

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242 CAPITULO NUEVE

8. Desde cada pun to p ivote, d ibu ja r un a rco de radio igual

a b longitud del brazo del seguidor RL hacia afue ra del

circulo primario.

9. Transferir los desplazamientos del diagram a de despla

zamiento a los arcos del pivote dibujado s en el paso 8.

Com o se mencionó, los desplazamientos prescritos paraun seguidor que p ivota son angub res. Se u ti l iza la

ecuación (9.3) para convertir el desplazamiento angular

del esb bó n seguidor, a desplazamiento lineal A R¡. del

centro de l rodi l la

A R f = R ¿ \ / 2 (1 - e os A 0¿). (9.3)

10. Dibuja r el contom o de l rodi l lo con centro e n los desplaza

mien tos prescritos identificados en el paso anterior.

11. Trazar un a curva suave tangente al rodillo en estos des-

pb zam ie n to s p re sc ri to s.

12. Para constru ir un perfil con una precisión consistente con

e l d iagrama de despbzam iento .quizá sea necesar io t ransferir punto s intermedios adicionales de los movimientos

de elevación y descenso.

9.7 ÁNGU LO DE PRESIÓN

Co m o b fu e rz a s ie m p re se t r a n sm i t e d e m o d o p e rp e n d ic u b r

a b s su p e r f ic i es e n c o n ta c t a b l ev a n o s i e m p re e m p u ja al

se g u id o r e n b d i re c c ió n d e su m o v im ie n to . Co m o se v io en

la secc ión ante rior , b curva tura de b leva a fec ta b posic ión de b

linea central del seg uidor y el pun to real de contacto.

La fuerza requerida par a empu jar el seguido r depende de la

indicación d on de se usa el sistema de leva. No ob stante, la fuerza

de contacto en tre b leva y el seguidor pu ede ser muy grande, lo

cual depend e de b ubicac ión de l pun to de contac to . En real i

dad , tan so lo un a compon ente de la fuerza de contac to produce

e l movim iento de l seguidor . La o t ra com ponen te de fuerza esindeseable , pues causa un a carga b te ra l . b cua l es absorbida por

los coj ine tes que g u b n a l seguidor .

0 ángulo de presión 8 correlaciona las d os com ponentes de la

fuerza de contacto. El ángulo de presión en cualquier pu nto sobre

d perfil de b leva es el ángulo entre el movim iento del seguidor y

b di re cc ió n en q u e la le va lo e m p uja . M ás prec isam en te , es el á n-

gi lo ent re b t rayec torb de l movimiento de l seguidor y b l inea

p e rp e n d ic u b r al perf il d e b leva en el p u n to de c o n ta c to de l

seguidor. Cada pu nto sobre b superficie de b leva t iene un án-91I0 de presión. En b figura 925 se indica el ángulo de presión.

Después de constr uir gráficamen te el perfil de una leva, bmagn i tud de l ángulo de presión se v isua liza observando b ubi

cac ión de l pun to de contac to en re lac ión con b l inea centra l del

seguidor. Se deben identificar b s regiones do nd e el perfil de laleva presenta b curva tura más gran de . Se t ienen que obtener

mediciones de los ángulos de presión en esta región. En general,

el ángulo de presión se debe rb mantener tan pequeño com o sea

pas ib le sin ex ce de r lo s 30* . La m ag nit u d de l á n gu lo d e pre si ón

se reduce de la siguiente manera:

1 . Incrementando e l tamañ o de l dreulo base,

2 . Disminuyendo la magni tud de l despbzam iento del

seguidor.

3 . Incrementando e l ángulo de ro tac ión de b leva prescri to

para la e leva ción o de sce ns o d el se gu id or ,

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Levas: diserto y an álisis cin em ático _________243

f i g u r a 9.25 A n g u l o d e p r es ió n .

Disminuyendo el tam año d el descentrado del seguidor,o bien.

Modif icando e l esquema de mov imiento de l seguidor .

un ángulo d e la leva igual a 135°. Advierta asimism o q ue, en esta

p ar te d e la lev a, l o s in cr em en to s d el án gu lo d e co n str u cc ió n s e

hicieron más pequeñ os pa ra au m enta r la precisión. El perfil de

la leva se construyó al ubicar los circuios del seguid or y dibujar

el perfil de la leva tangente a d ichos círculos. Observe q ue la leva

no hace con tacto con el seguidor en todas las posiciones. En unángu lo de 135* de la leva, esta n o em puja al rodillo a la posición

Tal situación se corrige con el uso d e un círculo base más

grand e o s i se reduce e l d iáme tro de l seguidor de rodi l lo . Sin

embargo, los esfuerzos de con tac to ent re la leva y e l seguidor

aumentan si el diámetro del rodillo se reduce. Por lo tanto, se

deberla evitar un rodillo con diámetro excesivamente pequeño.

Ocurre una s i tuac ión parec ida con un seguidor de cara

pl an a. La f ig u ra 9 .2 7a p re sen ta el se g m en to d e u n a lev a cu yo

seguidor tam bién req uie re una e levac ión rápida . O bserve que

una vez que se ubican las posic iones dd seguidor de cara p lana ,

no se puede con st ru i r una curva suave para representar d perfi lde la leva. Una l inea de const rucc ión dd seguidor (90°) queda

fuera de la intersección d e las l ineas adyacentes de co nstrucción

del seguidor, de m odo que . en un ángulo de la leva de 90°, esta

no em pujará al seguidor de cara plana a su posición deseada.

La f igura 9 .27b muest ra o t ro segmento de la leva con un

circulo base más grande. Esta leva tiene exactamente los mis

mos requerim ientos de desplazamiento que la de la figura 9.27a.

En este caso, es posible con struir u n p erfil suave de la leva tan

gen te a toda s las lineas de construcción del seguidor. De nueva

c u e n ta , se o b tu v o u n d i se ñ o fu n c io n a l i n c re m e n ta n d o e l

diám etro del circulo base.

9.8 LIMITACION ES DE DISEÑO

Com o se vio en la sección 9.6, no es posible iniciar el diseño del

per fi l d e u n a le va, s in o h as ta d e te rm in a r p r im e ro el ti p o de

seguidor , asi com o la ubicac ión y el tama ño de l c i rculo base .

Ta les dec isiones dependen norm almente de la m agni tud d e las

fuerzas t ransm it idas y de los requer imientos de tam año de la

maquinar ia impulsada por la leva Debe qued ar c laro que estasdecisiones quiz á no siem pre sean prácticas.

La figura 9.26 ilustra una leva en linea con un seguido r de

rodi l la Observe que t iene una e levac ión rápida y e l descenso en

9.9 DISEÑO ANALÍTICODEL PERFIL DE UNALEVA DE DISC O

Las secciones anteriores i lustran métodos gráficos para diseñar el

perfil d e u n a lev a. Se gú n la prec is ió n re que rida en la a pl ic ac ió n,tales m étodo s suelen dar com o resultado perfiles lo suficiente

m ente precisos. Desd e luego, la exactitud se inc remen ta cuand o la

construcción se realiza con un sistema de ca d . Con e l Cad , p o r lo

0* (Entrada)

FIG UR A 9 0 6 L e v a d i sf u n c i o n a l c o n u n s e g u i d o r d e r o d i l l o .

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244 CAPITULO NUEVE

• 0" (Entrada)

F IG U RA 9 2 7 L e va d i s fú n d o n a l c o n u n s e g u id o r d e c a r a p la n a.

general se utilizan lineas radiales para co nstruir la cur va suave del

pe rfi l d e la leva , ( io n frec ue nc ia , la s li ne as ra di al es t ie n e n e rror esde prec is ión que pod rían t ransg redir las restr icc iones de ta n

gencia. Para aum enta r la exactitud, se emplean menores increm entos de l ángulo de la leva.

En algunas situaciones se requieren levas de alta precisión,

don de es deseable de te rm inar ana l í ticamen te las coordenadasde los pu ntos sobre la superficie de la leva, asi co m o las coorde

nadas del cortado r qu e se usará p ara fabricar la leva. Se han de

sarrollado ecuaciones para las coorden adas d e diferentes t ipos

de seguidores. Esta sección solamente m uestra estas ecuaciones,

y el lector debe c on sultar fuentes m ás detalladas para las dedu c

ciones [ref. 4], La incorpo ración de las ecuaciones a un a hoja de

cá lculo o a a lgún o t ro d isposit ivo programable genera rápida

men te las coordenadas del perfil .

En genera l , se u t i l iza un s is tema de coordenadas car te sianas, de m odo qu e el origen sea el cen tro de la leva. El eje y

po si ti vo se en cu en tr a a lo la rg o d e la di re cc ió n d el m ov im ie nt o

del seguido r en la posición de entrad a. El eje x positivo se en

cuen tra a 90° en sentido horar io a par t i r de l e je y , e n c o n g ru e n

c ia con un sis tema de co ordenadas de m ano derecha. La figura9.28 pres enta este sistema d e coordenadas.

9 .9 .1 S e g u i d o r d e c u ñ a

Las coordenadas x y y del perfil de un a leva están dadas por:

R , = ( R f r + A R ) s c n * (9 .4 )

R y = (R* + A W c o s t f . (9.5)

don de se usa la siguiente notación:

R, ~ Coo rdenada x del pe rfil de la superficie de la leva

Ry. Co ordena da y d d perfi l de la superfic ie de la leva Ri, Radio de l dre ulo base

4> - A ngulo de rotación de la leva, medido co ntra la direcciónde giro de la leva a p ar t i r de la posic ión de ent rada

AR - Desplazamiento del seguido r en el ángu lo de la leva <£

la mayoría de las levas se obt ienen a t ravés de una ope

ra c ió n d e c o r t e u sa n d o m á q u in a s c o r t a d o ra s d e c o n t ro l

num érico por com putad ora. Estas má quinas son capaces de gi

ra r la leva una f racc ión de grado, mientras que e l cor tador

avanza milésimas de m ilímetro. Con un método asi, el perfil de b lev a se fab ri ca co n g ra n pr ec is ió n.

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Levas: diserto y an álisis ci n em ático_________245

Las coorden adas x y y del centro de la má quina cortad ora, do nd e se agrega la siguiente notación:

o ru e d a d e c o r te , e s tá n d a d as p o r : C x = c o o rd e n a d a * d e l c e n tro d e l c o r ta d o r

Cx = (R.- + R* + A R)se n<¿ (9 .6 ) Cy C o o r d e n a d a y del centro del cortado r R, = Radio del corta dor

C ^ Í R , + R* + A R ) co s ¿ (9.7)

P R O B I Í M A DF. E J E M P L O 9 .4

Para la aplicación del problema de ejemplo 9 2 , determine analíticamente las coordenadas del perfil de la leva cuando

se incorpora u n seguidor de cuna. Debido a las restricciones d e tam año de la máq uina, se debe emplear u na leva con

un dre ulo base de diámetro igual a 200 m m . La leva gira en sentid o antihorario.

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule las coordenadas de l perfil de la leva

El radio del circulo base es la mitad de su d iámetro; p or lo tanto:

Rft = 100 mm

Sustituyendo en las ccuadoncs (9.4) y (9 3),

R , - (R* ♦ A R)sen <¿ - |( IO O m m ) ♦ A R )se n ¿

Ry = (Rft + AR)cos«A = ((100 mm ) + AR)cos<¿

2. Obtenga las coordenadas del pe rfil para varios ángulos de la lesa

Usando estas ecuaciones en un a hoja de cálculo, se obtienen los resultados listados en la figura 9 2 9 ,

3. Grafu¡ue las coorden adas del perfil

Se debe us ar un a hoja de cálculo para ob tener feeilmente una gráfica con Las coordenadas d el pe rfil Esta gráfica se

mues tra en la figura 9 3 0 y presenta el perfil de la leva.

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o _ c * _

0 03 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 2 5 2 1 2 8 33 3 9 1 1 0 1 0

0 5 0 4 2 4 1 6 65 * 8 6 8 6 2

0 55 6 3 5 25 00 1 1 1 9 55 '

1 0 3 8 4 * 33 33 1 3 2 8 1 2 3

1 2 5 1 0 5 9 4 1 6 * 1 3 6 3 - 3 8 8

1 50 125 1 5 0 0 3 1 1 9 - - 9 0 4

1 *5 148 2 4 9 3 8 5 8 6 • 125 0

12 2 0 0169 4

45 462 6 5

- 1 4 3 0U 2 2 5 19 0 6 3 6 U -2 5 2 -1 3 4 5

i* 2 5 0 211 8 25 03 -6 5 8 -1 0 6 3

15 2 *5 2 3 2 9 13 12 -9 0 3 - 6 8 2

16 3 0 0 2 5 4 ) 4 5 4 - 1 0 0 6 -2 8 6

n 3 25 2’ 5 3 0 62 •1 0 0 2 9 3

u 3 50 2 9 6 5 0 0 0 -8 9 5 4 4 6

19 3 T5 31’ 6 0 0 3 - 6 * 4 53 9

:o 4 0 0 3 3 8 8 0 0 3 • 3 6 1 9 3 2

4116'•**>

425

O » *

3 6 0 0

t .

0 0 3 0 0 1 0 0 0

f i g u r a 9 .2 9 C o o r d e n a d a s d e l p r o b le m a d e e j e m p l o 9 . 4 .

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246 CAPITULO NUEVE

O j j A *> - c •

y « g . Kim fé t ta> D i i > n M r O n « a i C«1 i r * ra m. • v - ~ r

t**” — • ;. t0 : “ - - ' 4 2 'a ■ / h a a ■ • « ............ a

/ □ - i - A - .« » * |* • • u

FIGURA 9.30 Perfil de la leva de! proble m a d e ejem plo 9.4.

9 . 9 .2 S e g u i d o r d e r o d i l l o e n l ín e aEn general, un seguido r de rodillo es complicado cuando el p unto

de contacto con la leva no está en linea con el centro d d rod illa El

ángulo entre la l inea central del seguidor y el pun to de contacto

co n la leva varia según la curva tura del perfil de la leva. En un

seguid or de rodillo en linea, este ángu lo es el ángulo d e p resión. El

ángulo instantáneo se calcula como:

a = ta n - l ‘ y < K / + * + AR)

. "i ™ ( Rf + Rf , + A R)2= 5 (9.8)

En un seguidor de rod i l lo en l inea , este ángulo es e l ángulo de p re si ón . A dem ás d e la n o ta c ió n usa da en la secc ió n 9 .9 .1 , lo s

siguientes térm inos se definen como:

R j " Radio de l seguidor de rodil lo

v ■ Magnitud de b velocidad instantánea del seguidor

de b leva en e l ángulo <f>d e b l ev a

o»iÍT1 “ V eloddad an gu br de b leva en ra db nes por

u n id a d d e t ie m p o

El térm ino (v/roj,.») es una me dida de la razón de cam bio

de l desplazamiento del segu idor con respec to a l ángulo de b

l ev a . E n s i t u a d o n e s d o n d e l a v e l o c i d a d i n s ta n t á n e a d e l s e g u i d o rn o s e o b t i e n e c o n f ac ili da d , b p e n d i e n t e d e l d i a g r a m a d e d e s

p la z am ie n to s e e s ti m a c o n b e c u a d ó n (9 .7 ).

y dR A R

A«*>(9.9)

E n t o n c es , b s c o o r d e n a d a s x y y d e l p e rf il d e b l e va e s t á n

d a d a s p o r :

R* = - ( R / + R b + A R ]s en «£ + R / se n íd * - a ) (9 .10)

Ry - [ R / + Rf, + A R j co s ^ + fy c o s ( $ - a ) (9 .1 1)

L a s c o o r d e n a d a s x y y d e l c o r t a d o r e s t án d a d a s p o r :

Cx = - I R , + R „ + A R ) s cn d> + [R t - R ^ s c n ( « - a )

(9.12)

= [ t y + R b + A R ) e os (f> - [ R , - cos(«f> - a )

(9.13)

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Levas: dise rto y an álisis cin em ático _________247


Se utilizan dos levas para imp ulsar la pinza de un manipulado r mecánico de partes, la s dos levas generan movim ien

tos horizontales y verticales independientes e n la pinza. Estas máquinas pueden reubicar partes de m anera sim ilar a

un robot en un a fracción del costo. En la figura 931 se muestra el manipulador de partes.

B m ovim iento prescrito de un o de los seguidores de un a leva es el siguiente:

1. Elevación de 13 in en 13 s usando un esquema de movimiento armónico.

2. Otenc ión de 2 s.5. Regreso en 13 s usando un esquema de movimiento armónico.

4. Detención d e 2 s.

5. Se repite la secuencia.

I h seguidor de rodillo en linea con u n radio de 03 in se emplea sobre una leva con u n circulo base de radio igual

a 3 3 in. Tabule el movim iento del seguidor y especifique las coordenadas del perfil de la leva.

F IG UR A 9 3 1 M á q u i n a m a n ip u l a d or a d e p a r t e s d e l p r o b le m a d e e j e m p l o 9 . 5 .

SO LU CIÓ N : I . Calcule el tiempo d e u n ciclo completo

Es necesario determinar el tiem po total de un ciclo com pleto p ara calcular la velocidad requerida de la leva.

I T - T , + T 2 + T , + T4- 1 3 + 2 .0 + 1 3 + 2 .0 - 7 .0 s

2. Calcule la velodd ad angu la, requerida de la I n a

E* la ecuación (93).

" w * " 4 r ~ ■ ~ ~ ■ 0.143 rev/s - 0 3 9 9 r ad /s ■ 8 3 7 rp m¿ 7¿ 7s

3. l ietermine el giro de la leva para cada intervalo de mo vimiento d el seguidor

El incremento angular de la leva recorrido por cada secuencia de m ovimiento del seguidor se calcula con lacolación (9.1).

0 1 - (« i t a J (T i ) - (0 .1 4 3 re v / s )(1 3 $ ) “ 0 3 1 4 re v - 7 7 3 *

0 , = (0 .143 rev/s) (2.0$) = 0386rev = 1023"

0 , = (0 .143 rev/s) (1.5$) = 0314rev = 773*

0 4 - (0 .143 rev/s) (2.0$) - 03 86 rev - 1023*

4 . Calcule el desplazamiento durante cada intervalo de m ovim iento del seguidor

la ecuación de la elevación y el descenso armónicos se propo rcionaron en la tabla 9 3 . Si se sustituyen en las

colaciones de elevación armónica,

AR, - ? I I -

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248 CAPITULO NUEVE

” H ' \ / ' " M i Tr<l-5 in ) I ( n , < \ 41 “ 2 T, 2 (1 J s ) [ “ " l l J . J

Al sustituir en las ecuaciones de descenso armónico:

5 . Calcule las coordenadas del per fil de la lesa

Sustituyendo en las ecuacion es (9.8 ), (9.10) y (9.11),

« a h n " 1 V I f y + R b + s l V 1(0.5in) + (3.5in) t s)

a e ta n«%v, [R , + Rb + *1* .

- tan(0 8 9 9 ra d/ s) | ( 0 5 in ) + (3 5 in ) + s )1

R , = - | f y + R|, + AR)sen<£ + Rfxn{<¡> - a ) = - ) 0 . 5 + 3 3 + A R | se n ¿ + 0 3se n(< ¿ - a )

Ry - - \ R ¡ ♦ R,, + A R] eos ó ♦ fy«xis(* - a ) - - |0 . 5 + 3 5 *■ A R ] c o s ¿ - 0 .5 c os (* - a )

6 . Obtenga las coordenadas del perfil para to rios ángulos de la lera

Si se introduc en estas ecuaciones en u na hoja de cálculo, se obtienen los resultados listados en la figura 952 .7 . t ira fi q u e las c oo rd en ad as del perf il

Se utiliza u na hoja de cálculo para o btener ftcilm ente la gráfica de las coordenadas del perfil. Esta gráfica se

muestra en la figura 95 3 e ilustra el perfil de la leva.

A - > • > •

W i m r ¡ y l m « • ■ m u Ui 0 W. * »~ r» r t« w O r ^ io p .. » * i i n

* r * n i « «.« 10 • ■ - ■ ^ • A - i : \ i -

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A B c O E f G ~ ~ H • 2 1 K |

: r e i t V s Xx *> 1

3W W i . ) I r . . ) ,áe f) < - ) ( . 3

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 500

i 0 33 i* 0 19 105 1 5 6 -1 2 7 4 3 4SS

t 0 7 0 36 0 6 ’ 1 5 6 2 0 4 •2611 3 29*

7 105 54 1 19 1 2 7 1 5 2 -3 *16 2 661

1 I «0 »2 1<1 0 33 3 1 •4 731 15 0 9

* I 75 90 1 40 •0 79 - 9 2 •4 906 0 0*0

10 2 1 0 10» 1 50 0 00 0 0 •4 755 -1 54}

11 2 4 } 126 1 50 0 0 0 0 0 •4 045 - 2 939

12 : n 144 1 50 oco 0 0 •2 939 -4 045

13 3 15 162 1 50 0 M 0 0 •1 5 4 } •4 755

14 3 50 1*0 150 0 0 0 0 0 0 0 » -5CO0

n 3 * 5 19* 131 -1 0 5 - 1 2 4 1 3*7 - 4 616

16 4 2 0 21 6 0 1 3 -1 56 -1 9 1 2 4 2 5 -3 62517 4 55 234 0 31 -1 2 7 •1 * 2 3 010 - 2 3*0

11 4 9 0 252 0 02 0 33 - 5 2 3 332 -1 130

19 5 25 270 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 000

20 5 6 0 :* * 00 0 ooo 0 0 3 1 2 9 10*2

21 5 95 306 0 0 0 ooo 0 0 2 * 3 2 2 057

22 6 JO 324 0 0 0 0 0 0 0 0 2 057 2 * 3 2

23 6 6 5 342 00 0 ooo 0 0 1 0 * 2 3 329

24 7.C0 360 0 0 0 ooo 0 0 0 0 » ■ n a

FIGURA9.32 Coordenad as del perfil de la leva d d problem a de ejem plo 9.5.

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FIGURA 9J 3 Perfil de la leva del pro blem a de ejem plo 9.5.

9 .9 .3 S e g u i d o r d e r o d i l lo d e s c e n t ra d o

Un seguidor de rodi l lo descentrado o más compl icado porque

e l m ovim iento de l seguidor no está en l ínea con e l pun to de

contacto de la leva la cual, a su vez. no está en line a con el centrode l rodi l lo . Entonces, las ecuac iones de l perf i l se vue lven un

po co m ás co m ple ja s. El áng ulo e n tr e l as line as q u e u n en el c en

t ro de l seguidor con e l pun to de contac to de la leva y e l centro

de l seguidor con e l centro de la leva, se obt ien e como:

a = t a n f e )( r

R, 4 R*4 AR

{R f + Ry + AR)2 - e(p/tü\rya))] (9.14)

Com o en la ecuación (9 .8) , e l té rmino (v / t i*-^ es la medida de

la razón de cam bio de l desplazamiento de l seguidor con res

p e d o a l á n g u lo de l a le va. En sit ua ci on es d o n d e l a veloc id ad in s

tantánea del seguido r no se obtien e fácilmente, la pendien te deld iagrama de desplazamiento se est ima con la ecuac ión (9 .9) .

El ángu lo de presión d se calcula de la siguiente m anera:

S = a - t a n ' 1^R,+ Rb+ \R

(9.15)

Co m o antes, la distancia e del descentrado, se define como

la distanc ia entre la l inea central del seg uido r y d centro de la

leva. Un d escen trado positivo se define en la dirección positiva

de x Po r el contrario, un descentrado negativo se define en la di

rección negativa d e x El descentrado mostrado en la figura 92 8

tiene un valor positivo, de mo do q ue las coorde nadas x y y del

pe rf il d e la leva e st án da das p o r:

Rx = (e)cos4 - [Rf + Rf, 4 AR]scnd> 4 Rfxn{t¡> - a)

( 9 . 1 6 )

R , = (e)sen<¿ - |Ry 4 Rj, 4 A R ) e o s 4 4 f y c o s (<¿ - a )

(9.17)

Las coordenadas * y y del cor tad or están dadas por :

Cg = (e)cos<#> - [ R f+ Rj, 4 AR] sen d> ( 9 . 1 8 )

4 [R , - Ry| s e n ( 4 - a )

Cy = ( t ’)scn<¿ - [R f 4 R h 4 AR] eos ( 9 . 1 9 )

- [R( - IV) eos (* - a)

9 .9 .4 S e g u i d o r d e c a r a p l a n a c o n t r a sl a c ió n

la const rucc ión ana l í t ica de un seguidor de cara p lana con

traslación también presenta un pun to d e contacto que no está enlinca con la l inea central de la leva El án gulo entre la l inca central

del seguidor y la l inca que u ne el p un to de contacto de la leva con

d cen tro de la leva varia con la curv atur a del perfil de la leva y se

calcula como:

(9.20)

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250 CAPITULO NUEVE

Com o en las ecuadones (9.8) y (9 .14),e l té rmino ( r f w ^ ) es la

medida de la razón de cambio del desplazamiento del seguidor

con respecto al ángu lo de la leva. En situaciones dond e la velo d

dad instantánea de l seguidor n o se obt iene fáci lmente , la p en

diente de l d iagram a d e despbzam iento se est ima con la ecuad ó n ( 9. 9) .

Entonces, las coordenadas x y y del perfil de la leva están

dadas por:

\ c o s a /

„ / R * + A R \ , , R r = I -------------- )sen(d>

' \ c o s a /

cos(d> + a ) ( 9 . 2 1 )

+ a ) ( 9 . 2 2 )

Las coordenadas xy y del cor tad or están dadas por :

[ + A R +c o sy

c o s ( ¿ + y )

s e n( * + y )

( 9 . 2 3 )

( 9 . 2 4 )

Se usa la siguiente notación:

R£ = Longitud del eslabón seguidor con pivote

R P “ Distancia entre el centro d e la leva y la ubic adó n del

pivo te

A0¿ “ fcsic ión ang ula r instantánea de l eslabón seguidor

con pivote

(Oí - Ve loddad angula r instantánea de l eslabón seguidor

con pivote

a £ = A c e le ra d ó n a n g u la r i n s t a n tá n e a d e l e s l a b ó n se

guidor con p ivote

La d ife renc ia pr in dpa l en un seguidor que p ivota es que su

movimiento es g i ra tor io y e l movimiento prescr i to genera l

mente es la po sidón angula r de l seguidor contra e l t iempo, o el

ángulo de la leva . La ecuadó n (9 .3) da la re ladón entre e l des p la za m ie n to a n g u la r d e l e sl ab ón seg uid o r y el des pl az am ie nt o

lineal del centro del rodillo, el pun to F.

A R f = Rl V 2 { \ - eosA0¿) ( 9 . 3 )

La velo dd ad del centro del seg uidor está reladon ada con la ve

lod dad angular de l eslabón seguidor .

donde

y = ta n -I ' (Rfr + A R)lan (q)

. R t + Rf, + A R ( 9 . 2 5 )

9 . 9 .5 S e g u i d o r d e r o d i l l o c o n p i v o te

La con st rucd ón ana l í tica de un seguidor de rodi l lo co n p ivote

es s imi la r a la del seguidor de traslad ón d escentrad a Sin em

ba rg o, la g eo m etr ía y la s d e f in id o n e s so n al g o d if er en te s . l a

f igura 9 .34 presenta la nom end atura u t i l izada en un a leva con

seguido r de rodillo con pivote.

vr = R l ^ í ( 9 . 2 6 )

N ue va m en te , el án g ulo e n tr e las linc as q u e u n en el c en tr o

d d se g u id o r c o n e l p u n to d e c o n ta c to d e l a le v a y d c e n tro d dseguidor con d centro de la leva varia con la curva tura d d perfi l

de la leva y se calcula como:

- )v " Wa i = t an

- f t

1

(R f + A R + Rfc) - ( í f t ü ^ J c o s y )]( 9 . 2 7 )

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leva »: d iserto y a nálisis c in em ático_________251

Co m o antes, el término ( v¡l<o es la med ida de la razón

de cambio d el desplazamiento del seguido r con respecto al án

gulo d e la leva. En situaciones do nd e la velocidad instantánea delseguidor n o se ob tiene fácilmente, la pendiente del diagram a de

desplazamiento se estima con la ecuación (9.9).

Los ángulos in te rnos están dados por ;

<t> = e o s -1

R ¡ + ( R * + R f+ A R ) 1 - R 1

2 < R J ( R b + R* + s )

R j - f ( R , + ^ + AR) , - R Í

2 (Rp ) (Rb + Rb + s)

)]

) ] P = - + <¡> + a

( 9 . 2 8 )

( 9 . 2 9 )

( 9 . 3 0 )

h>r ú l t imo, las coordenadas x y y del perfil de la leva están da

das por:

R, = - [ R f + R/, + A R ] c o s /3 ~ R f s e n (/ 3 - a ) ( 9. 31 )

R , = - [Rf + Rf, + A R] s e n /? - Rf c o s ( 0 - a ){ 9 .3 2 )

y e l ángulo de presión está dado por :

( 9 . 3 3 )

Las coord enadas x y y del cor tad or están dadas por :

Cx = [ R f + R t + A R ] c o s0 - [Rc - Ry] se n ( 0 - a )

( 9 . 3 4 )

Cy = [Ry + R h + A R ] s c n0 - |R , - Ry]c o s ( f i - a )

( 9 . 3 5 )

9 . I 0 . I D i s e ñ o g r á f i c o d e l p e rf il

d e u n a l ev a c i l in d r ic a

La forma m ás e f ic iente para descr ib i r la const rucc ión de u na

leva cilindrica es a través de un a construcc ión real. Con el dia

gram a de desplazamiento de la figura 9.19, se con struyó el perfil

de una leva cilindrica y se m uestra en la figura 9.35. Para con s

truir este perfil se t iene el siguiente procedimiento general:

1. T az ar u na linea recta igual a la circunferencia de la levacilindrica.

2. Dividir esta l ínea en secciones que correspon dan con los

ángulos de referencia de la leva del diagrama de desplaza

miento.

3 . Transferir los desplazamientos del diagrama d e desplaza

miento a las l íneas que co rrespon den co n los ángulos de

referencia de la leva.

4 . Dibujar el seguido r de rodillo en los desplazamientos

pres cr ito s.

5 . Trazar un a curva suave tangente a los contornos del rodillo.

6. Para con stru ir un perfil con una precisión consistente con

d d iagrama d e desplazamiento , es necesario t ransfe r i r

pu nto s i n te rm ed io s ad ic io nal es de l os m o vim ie n to s dede va aó n y descenso .

0 9 0 1 8 0 2 7 0 3 6 0

f i g u r a 9 . 3 5 Diseño del perfil de u n a leva cilindrica .

9.10 LEVAS CILIND RICA S

Aun cu ando el t ipo m ás com ún de levas es la leva de disco, las

levas cilindricas tam bién se usan am pliamente. Co m o se indicó

en la sección 9.2 y s e ilustró en la figura 9.3b, un a leva cilindrica

consiste en u na ran ura alreded or de un cilindro. Una leva cilin

drica es una leva d e mov imiento positivo en la cual el seguidor

está caut ivo en una ran ura , por lo qu e no se necesi ta un e le

mento exte rno p ara mantener e l contac to ent re e l seguidor y b

leva . Hay muchas apl icac iones don de es necesario que b levaejerza un control positivo del seguidor du ran te b s secuencias de

elevación o descenso.

Con frecuenc ia se emplea un seguidor de rodi l lo en forma

d e c u ñ a c o m o e l q u e se m u e s t r a e n l a f i g u ra 9.3 b , p o rq u e e l bo rd e s u p e ri o r d e b ra n u ra viaja a u n a v el oc id ad m ay or q u e b

p a r te in fe ri o r, de m o d o q u e la c u n a co m pen sa la ve lo ci dad

diferencial, lo cual imp ide cualq uier deslizamiento y arra stre del

rodillo. Cu ando s e usa un rodillo cilindrico, es aconsejable usar

una anc hura angosta para minimizar b d i fe rencia de ve loc idad

a t ravés d e b ca ra de l rodil lo .

E n genera l, los proced imientos de cá lculo y t razado son

simibres a los de b leva de d isco . En b s s iguientes secc iones se

analizan las técnicas de generación de perfiles de u na leva cilin

dr ica con u n seguidor de t raslac ión . La generac ión de l perfi l

par a o tr o s t ip o s d e se g uid ore s es p arec id a.

9 . 10 .2 D i seño an a l í t i co de l pe r f i l

d e u n a l ev a c i l in d r ic a

Com o una leva c i lindr ica está enrollada a l rededor de u n c i l in

dro, se util iza u n sistema de coordenad as cilindricas para definird p e r fi l d e b r a n u ra . La c o o rd e n a d a a n g u b r 6 es el ángulo

alrededor de la leva, m ientras el eje z es la posición axial de la

leva. El ángulo en tre la l ínea central del seg uidor y el pun to de

con tado de la leva var ía con b curva tura de l perf il de la ranura ,

que se calcula como:

a L = ta n' ( £ )

( 9 . 3 6 )

La notación q ue se usa es b m isma de las secciones anterio

res. En un seguido r con traslación, este ángulo tam bién es el án-

gi lo de presión . Com o en b s levas de d isco , e l ángulo de presión

deb erb se r m ínimo sin exceder los 30° .

La coord enad a z del perfil supe rior de la ranu ra, cuan do el

centro de l seguidor está en <b, e s tá dada por :

R , = A R + R e co sa

= © - tan- m

( 9 . 3 7 )

( 9 . 3 8 )

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252 CAPITULO NUEVE

Aquí, Rf, es el radio la leva cilindrica.

La coordenada z del perfil m ás bajo de la ran ura , cuand o el

centro de l seguidor está en r¡>, está dada por:

S < d - a ( 9 . 4 7 )

R , = A R - R f t o s a

= d» + tan _ / R fc o s ac o s a \

r T )

Las coordenadas de l cor tad or están dadas po r :

Cz = A R

( 9 . 3 9 )

( 9 . 4 0 )

( 9 . 4 1 )

( 9 . 4 2 )

9.11 EL MEC ANISM ODE GINEBRA

El mecanismo de Ginebra es u n d iseño único que produce un

movimiento in te rmitente a pa r t i r de movimiento g i ra tor io cons

tante. Debido a este movim iento, el m ecanismo d e G inebra se

clasifica comú nm ente com o leva. En la figura 9.36 se presentaun mecanismo de Ginebra con cua t ro estac iones.

El mecanismo d e Gineb ra consiste en un rodillo imp ulsor y

una rued a de Ginebra . Esta ú l t ima es un d isco con var ias ra

nuras rad iales, que está sujeta a un eje de salida. El rodillo im

p u ls o r es tá su je to a u n b ra zo q u e . a la vez . se su je ta a u n ej e d e

en trad a El brazo po r lo genera l está su je to a un d isco de b lo

queo, que impide que la rued a g i re cuando e l rodil lo im pulsor

no recorre la ra nu ra El d isco de b loqueo se a justa a un recor te

so b re la ru e d a

El movimiento de l mecanismo de Ginebra se ca rac te r i

za p or el rodillo que e ntra a la ranu ra de la rueda y la impulsa.

( Alando el ro dillo se sale de la ra nu ra, la rueda se bloqu ea en esa

po si ci ón h as ta q u e el ro dil lo e n t ra en la si g uie nte ra n u ra . En

la figura 9 .36a el rodi llo g i ra en sent ido horar io y está a punto

de en trar a la rueda d e G inebra. En la figura 9.36b, el rodillo ya

entró a la ranu ra y g i ra la rueda en sent ido an t iho rar ia Observe

que e l d isco de b loqueo se va a lejando d e la rueda y le permite

Cua ndo se d iseña una rueda , es im portante qu e e l rodi llo

entre a la ranura tangenc ia lmente . De o t ra manera , se crean car

gas de impacto y e l mecanismo f t indonará de m anera deficiente

a altas velocidades o a cargas grandes. Deb ido a esta restricción,

se deducen las siguientes relaciones geométricas | ref. 7).

Remítase a la figura 9.36 par a las definiciones de las propiedades

geométricas.

360°

donde :

n = Núm ero de estac iones en la rueda de G inebra

yo= 9o°- y

a = d s e n

R = d eo s

( ? )

( ? )

( 9 . 4 3 )

( 9 . 4 4 )

( 9 . 4 5 )

( 9 . 4 6 )

La c inemát ica de la rued a de Ginebra tam bién se de te rmina

analít icamente. El áng ulo del rodillo A y se define a par tir del

in ic io de su recorr ido en la ranu ra El ángulo de b rueda , me

dido a par t i r de l in ic io de l re cor r ida está defin ido po r f i y se

ca lcub como:

0 = s e r r , [ ( ^ ) s e n ( 1 8 0 o - * )) ( 9 . 4 8 )

donde

r = V a 2+ d* - 2 a d e o s ( 1 8 0 - * ) ( 9. 49)

* = 1 80 ° - y 0 + A y ( 9. 50 )

donde

Ay = Cant idad d e ro tac ión de l im pulso a pa r t i r de la posic ión

dond e e l rodi llo acaba de ent ra r a b ranura .

La v e l o d d a d y a c e l e r a d ó n i n s ta n t án e a s d e b r u e d a d e

Gin ebra se calculan ¡reí. 7] con:

* W d . = ( * ) ( '■ V < w « r » d . ) c o s ( 0 - * ) ( 9 . 5 1 )

< *n * d . = - ( 7 ) ( * V d e « .t » .d » > Ji * n ( / ? - * ) ( 9 . 5 2 )

d f ran ad a) « * ( 0 - * )

+ ( f ) K e d e e « r a « k ) 2s e n ( 2 /? - 2 * )

Estas ecuaciones se dedu jeron con el uso d e la conven dón

típica de signos angulares, es dedr , 10 y a son posi tivas en sen

t ido ant ihorar io y negat ivas en sent ido ho rar ia

Rodad?Q n o b r a

E r o d il l o i m p u l s a e n t r a a l a

o r . u a d a La n i n f a d a C i m b r a

figura 9.36 Mecanismo de Ginebra co n cuatro estacones.

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En la figura 9 37 se m uestra el diserto de u n mecanismo d e Ginebra con seis estaciones. I.a distancia entre los ejes im-

fxjlsor e imp ulsadoes de 80 mm . El brazo impu lsor gira a un a velocidad constante de 80rpm en sentido horario.

Extermine b velocidad y b aceleración angulares de b rueda cuando el brazo impulsor gira 15* a partir de la posición

donde el rodillo acaba de entrar a la ranura.

SO LU CIÓ N : I . Calcule la geometría del mecanism o

Se usan b s ecuaciones (9.43) a (9.47) pa ra calcular las propiedades geométricas de este mecanismo de Ginebra.

S ° - „ - 6

To - 9 0“ - = 90» - - - 60"

a - d scn ^ y ) ■ (80 m m )srn y ) ■ 40m m

R = d eos y ) = ( 80 m m )c os ^ = 6 9.3 m m

S < d - a = 80 - 40 = -10 mm

2. Calcule las propiedades cinem áticas del mec anismo

Se usan b s ecuaciones (9.48) a (9.52) para determinar las relaciones cinemáticas cuando el brazo im pulsor

gira 15“ a partir de b posición donde el rodillo acaba de entrar a b ranura.

Ay = 15"

* - 180* - y , + A y - 180" - 6 0" + 15 " - 135"

r - W + d 2 — 2 a d e o s ! 1 8 0 - * )

- \ / ( 4 0 m m ) 2 ♦ ( 8 0 m m ) 2 - 2 ( 4 0 m m ) ( 8 0 m m ) c o s ( 4 5 " ) - 5 8 .9 4 m m

4 0 m m- i. 5 8 . 9 4 m m

" n « < U « n i r » d í “ 8 0 r p m ■ - 8 / 1 r a d / s . e n s e n t i d o h o r a r i o

s e n 4 5 " = 2 8 .7 "

FIGURA 9 .37 M e c a n i s m o d e G i n e b r a d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 9 . 6 .

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254 CAPITULO NUEVE

= I “ J(®-«í . .«nü.)cosO - <H = ( - ) ( - 8 . 4 r ad /s )a » (2 8 . 7 "- 135*) = + 1.6r ad /s = I 5.3 rp m, en s entid o a nli ho ra rio\ r / \ » .9 4 m m /

“ «•¿♦«niradj “ 0 (velocidad angu lar constante del eje de entrada)

- a ) - )(«V aeen w.u)‘CS(0 - <*)

+ ( 7 ) (w«id.«n<™4.),» , ' (20 - 2a)

( ^ ^ ) 2( - 8-4rad/l),‘ín(287° - ,350)- 0

¿ " " 7 ; ) ( - & 4 ra d /s )Js c n[ 2 (2 8 .D - 2<135«)1

= +67.1 rad/s* = +67.1 rad/s1, en sentido antihorario

PROBLEMAS

En b s soluciones gráficas, las técnicas manuales suelen ser muy

didác ticas, pero se recomienda amp l iamente e l uso de un sis

tema de CAD.

D ia g ra m a s g rá f i c o s d e d e sp l a z a m ie n to

9- 1. Se requiere una leva para un mecanismo de transieren-

da automático. El seguidor de la leva se debe elevar hacia

afuera 1.0 in a velocidad constante en 3 .0 s. hacer una

de ten dó n de 5 s descender a ve loc idad constante en

2.0 s y, luego, repetir la secuencia. Determ ine b velo d

dad requer ida de b leva y e labore grá f icamente e l d b grama de despbzamiento de l seguidor .

9 -2 Se requie re una leva para el seguidor redpro cante de l

mecanismo m anipulador de un brazo robót ico . El se

&iidor de la leva se debe elevar ha da afuera 0.75 in a velo d d a d c o n s t a n te e n 1 .4 s, h ac e r u n a d e t e n d ó n d e

23 s , descender a v e loddad constante en 0 .8 s , hacer

una de tend ón de 1 .9 s y, luego, repe t i r la secuenda .

1»etermine La vd od da d requerida de la leva y eb bo re gr á

ficamente el diagrama de desplazamiento del seguidor.

9-3 . Se requie re una leva para impulsar un a p la ta forma de

embarque qu e se u ti liza para eva luar b e f iciencb de em

ba rq ue d e lo s p aq ue te s. El seg uid or d e b lev a se deb e e le

var had a afuera 1X) in c on aceleradó n constante en 0.7 s,

hicer una d etención de 0 2 s, descender con aceleración

consta nte en 0.5 s y, luego, rep etir la secuencia. Deter

mine la veloddad requerida de b leva y elabore gráfica

mente el d iagram a de desplazamien to del seguidor.

9-4 . Se requiere una leva para impu lsar un mecanismo quea l imenta pape l en un a imprenta . El seguidor de b leva

se debe e levar ha da a fuera 1 .0 in con ace le radó n cons

tante en 1 .7 s , hacer una de ten dón de 0 .8 s , descender

0 .5 in con ace le radón constante en 0 .8 s , hacer una de

tend ón de 0 .3 s , descender 0 .5 in con ace le radón cons

tante en 0 .8 s y , luego, repe t ir la secu enda . D ete rmine

b v el o d d ad re q ueri d a d e la le va y eb b o re gr áf ic am en te

d diagram a d e desplazamiento del seguidor.

9-5 . Se requie re un a leva para impulsar un desl izador au

tomático sobre una máquina d e tom illo que gira partes

intrincadas. El seguidor de b leva se debe elevar ha da

afuera 1.5 in con aceleradó n con stante en 1.2 s, hacer

una detención de 0.7 s, desce nder 0.5 in con aceleradón

constante en 0.9 s, hac er una dete nd ón de 0.5 s, descender 1 in con aceleradón constante en 12 Sy, luego, repe

tir b secuencia. Determ ine la veloddad requerida de la

leva y ebbo re grá f icamente el db gr am a de desplazamiento del seguidor.

9-6 . Se usa una leva para impulsar un mecanismo que im

pu lsa a su vez u n a m áq uin a ens am blad or .! au to m át ic a. El

seguidor de b leva se debe elevar had a afuera 13 m m con

velocidad constante en 3 s> hace r un a detenció n d e 3 s,

descender 5 m m con aceleración constante en 2 s, hacer

una detención de 3 s, descender 8 m m con aceleradó n

constante en 2 s y, luego, rep etir la secuencia. Determine

b ve lo dd ad re qu er ida de b leva y eb b o re gráf ic am en te el

dbgram a de desp bzam iento del seguidor.

9-7 . Se usa una leva para impulsar un mecanismo que pruebal i d u ra b i li d a d d e b s p u e r ta s d e d e r to s h o rn o s . E l se guidor de b leva se debe e levar had a a fuera 2 in con

movimiento armónico en 1s, hacer una de tendón de 0 .5

s, descender 2 in con movim iento armónico en 1s, hacer

una detención d e I s y, luego, repetir la secuenda. D eter

mine la velocidad requerida de l a leva y elabore gráfica

mente el db gra m a de desplazamiento del seguidor.

9-6. Se usa una leva para impulsar un mecanismo que mueve

una herramienta en un proceso automát ico de ma

quinado d e tomillos. El seguidor de b leva se debe elevar had a a fuera 24 m m con m ovimiento a imó nico en

02 s . hacer una de tendón d e 03 s . descender 10 mm con

movimiento a rmónico en 03 s , hacer un a de tenc ión de

0 .2 s , descender 14 mm con movimiento a rmónico

en 0.2 s y, luego, repetir b s ecue nda. D etermine b veloci

dad requerida de b leva y elabore gráficamente el dia

grama de desp bzam iento del seguidor.

9-9 . Se usa una leva para impulsar un mecanismo que

coloca relleno en cajas pa ra embarqu e. El seguidor de

b leva se d eb e elev ar h a d a af uer a 1 in co n m ov im ie nto

c ic loidal en 1.5 s descender 1 in con mo vimiento d-

doid a l en 1 s, hacer una de tenc ión de 0 .5 s y , luego,

repetir la secuencia. Determine la velocidad requerida

de b leva y e labore grá ficamente e l d iagrama d e des

pl az am ie nt o d el seg ui dor .

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9-10. Se usa una leva para impulsar un mecanismo incorpo

rado a u na m áquina q ue cose zapatos. El seguidor de la

leva se debe elevar hacia aJuera 0 5 in con movimientocicloidal en 0 .7s. hacer una detención de 0 2 s , descender

Q?S in c on m ovimiento cicloidal en 0 5 s, hacer un a detenc ión de 0 .2 s , descender 02 5 in co n m ovimiento c i

cloidal en 0 5 s y, luego, repetir la secuencia Determinela velocidad req uerida d e la leva y elabore gráficamente

d diagrama d e desplazamiento del seguidor.

9-1 1 , Se requie re una leva impulsora para s incronizar los

movimientos de u n d isposi t iva de t ransferenc ia au

tomático. El seguidor de la leva se debe elevar hacia

afiiera 10 mm con aceleración constante en 90° de

rotación de la leva, hacer una detención a los 30", descender 10 mm eon aceleración constante en 18CT de rotación

de la leva y; luego, hace r un a detenc ión d e 60*. Elabore

gráficamente d d iagrama de desplazamiento d d se-

¡jii-dor.

9-1 2 . Se usa una leva para una vá lvula de escape en un motor

de gasolina. El segu idor de la leva se deb e elevar hacia

afuera 0 .5 in con movimiento a rmónico en 150° de

rotación de la leva, hacer un a deten ción de 30" y. luego,

descender 0.5 in con m ovim iento arm ónico en 180® derotación de la leva. Elabore gráficamente el diagrama

de desplazamiento d d seguidor.

9-1 3 . Se usa una leva para un d isposit ivo recolec tor de per ió

dico. El seguidor de la leva se debe d ev ar hacia afuera

0 .5 in con m ovimiento dd oid a l en 120“ de ro tadó n de

b le va , h a ce r u n a d et en ci ón d e 30 ". d es ce nder 0 .5 in

con m ovim iento c ic lo ida l en 120" de ro tac ión de la

leva, hacer una detenció n de 30® y. luego, des cend er 0.5

in c o n m o v im ie n to d d o id a l e n 6 0 " d e ro t a d ó n d e la

leva . Elabore grá f icamen te e l d iagram a de desplaza

m ie n to d d se gu id o r.

D ia g ra m a d e d e sp l a z a m ie n to a n a lf t ic o

En los problem as 9-14 a 9-23, determine ia velod dad d e la leva;además, use las ecuaciones de mov imiento y una hoja de cálculo

par a ela bor ar el di ag ra m a d e de sp la za m ie nt o del s eg ui do r. Ca lcu le

asimismo la velodd ad y la aceleración máximas d d seguidor.

9-14 . Use el m ovimiento requer ido de l seguidor de la leva

espedficada en el prob lema 9-1.

9-1 5. Use d movimiento requer ido d d seguidor de la leva es

ped fi ca da e n d p ro b le m a 9-2 .

9-16. Use el m ovimiento requer ido de l seguidor de la leva

espedficada en el problem a 9-3.

9-1 7. Use d movimiento requerido del seguido r de la leva es

pe ci fica da en el prob le m a 9 -4 .

9-18. Use el m ovimiento requer ido de l seguidor de la leva

espedficada en d problema 9-5 .

9-19 . Use d movimiento requerido del seguido r de la leva es

ped fi ca da e n e l p ro b le m a 9-6 .

9-2 0. Use el m ovimiento requer ido de l seguidor de la leva


9-2 1. Use d movimiento requer ido de l seguidor de la leva es

pe ci fica da en d p ro b le m a 9 -8 .

9-2 2. Use d m ovimiento requer ido de l seguidor de la leva


9-2 3. Use d movimiento requerido d d seguidor de b leva es

pe ci fic ad a en e l p rob le m a 9 -1 0.

En los problemas 9-24 a 9-26 , use b s ecuac iones de movimiento

y u n a h o ja d e c á lc u lo p a ra e b b o ra r e l d b g ra m a d e d e sp b z a

miento dd seguidor.

9-24 . Use e l movimiento requer ido dd seguidor de la leva es

p ed fi ca d a en el p ro b le m a 9 -1 1.

9 -2 5 . U se e l m o v im ie n to r e q u e rid o d d se g u id o r d e b l ev aespecificada en el problem a 9-1 2.

9 - 2 6 . Use el m ovimiento requ erido del seguidor de la leva es

p ed fi ca d a en el p ro b le m a 9 -1 3.

Cu rv a s d e m o v im ie n to a n a lí ti c a s

En los problemas 9-27 a 9-36 , use b s ecuac iones de movimiento

y una hoja de cálculo para generar grá f icas de desplazamien

to, v d o c id a d y a e d e ra d ó n d e l se g u id o rc o n t ra d t ie m p o .

9 - 2 7 . Use d movim iento requerido d d seguidor de la leva es

p ed fi ca d a en el p ro b le m a 9 -1 .

9 - 2 8 . Use el movimiento requerido del seguidor de la leva

espedficada en e l problema 9-2 .

9 - 2 9 . Use e l m ovimiento requer ido de l segu idor de la leva es

p ed fi ca d a en d p ro b le m a 9 -3 .

9 - 3 0 . Use el m ovim iento requer ido d d seguidor de la leva

especificada en el problem a 9-4 .

9 - 3 1 . Use e l movimiento requer ido d d seguidor de la leva es


9 -3 2 . U se e l m o v im ie n to r e q u e rid o d d se g u id o r d e b le va

espedficada en e l problema 9-6 .

9 - 3 3 . Use e l movimiento requerido d d seguidor de b leva es


9 - 3 4 . U se e l m o v im ie n to r e q u e r id o d d se g u id o r d e b le vaespecificada en el problem a 9-8 .

9-35 . Use e l movimiento requer ido dd seguidor de la leva es


9-36 . Use e l mov imiento requer ido de l seguidor de b leva

espedficada en e l problema 9-10.

D i se ñ o g rá f i co d e l p e rf il d e u n a l e va d e p b e a

9 - 3 7 . U n a le v a d e p l a c a ti e n e q u e p ro p o rd o n a r e l d e sp b z a

m ie n to q u e se m u e s t r a e n b f i g u ra P9 .3 7 p a ra u n

seguido r de curta reciprocante en línea. La leva debe

tener un c i rculo base de 3 .0 in y g i ra r en sen t ido ho

rario. Constru ya el perfil gráficamente.

9 - 3 8 . U n a l ev a d e p b e a t ie n e q u e p ro p o rd o n a r e l d e sp b z a


seguido r de curta reciprocante en línea. La leva debe

tener un d reulo base de 2 .0 in y g i ra r en sent ido ant i

horario. Construy a el p erfil gráficamente.

9 - 3 9 . U n a le v a d e p b e a t i e n e q u e p ro p o rd o n a r e l d e sp b z a


seguidor de rodillo redprocante en línea. El diámetro

del rodillo es de 1 in. 1.a leva debe tener u n d reu lo base

de 3 .0 in y g i ra r en se nt ido ho rar ia Const ruya grá fica

m ente el perfil y calcule el mayo r ángulo de presión.

9 - 4 0 . U n a l ev a d e p l a c a t i en e q u e p ro p o rd o n a r e l d e sp b z a


seguidor de rodillo redprocante en línea. El diámetro

del rodi l lo es de 0 .75 in . La leva debe tener un dreulo

ba se d e 2 .0 i n y g ir ar en se ntido a n ti ho ra ri o . C onst ru ya

gráficamente el perfil y calcule may or el ángu lo de pre-sión.

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256 CAPITULO NUEVE

Ángulo d* b leva (deg)

Angulo de

b leva

Císplazam.

del seguid *

* g ) <P)

0 0.000

10 0.000

20 0.000

30 0.000

40 0.004

50 0.029

60 0.091

70 0.196

80 0.337

90 0.500

100 0.683

110 0.804

120 0.909

Ángubde

b leva

ftsptaram.

* 1 seguidor

1*8) (in)

130 0.971

140 0.996

150 1.000

160 1.000

170 1.000

180 1.000

190 0.996

200 0.971

210 0.909

220 0.804

230 0.683

240 0.500

Ángubde

b leva

EMptazam

A l seguida

(deg) N

250 0.337

260 0.196

270 0.091

280 0.029

290 0.004

300 0 000

310 0.000

320 0.000

330 0 000

340 0.000

350 0 000

360 0.000

FIGURA P9.J7 Prob lem as 37 a 44 y 47 a 54.

9 - 4 1 . Una leva de p laca debe pr oporcion ar el desplazamiento

que se muestra en la figura P93 7 a un seguido r recipro

cante de rodillo descentrado. El seguidor se encuentra

en e l p lano ver t ica l contac tando la par te su per ior de

b leva . La d is ta n c ia del descen tr a do es d e 0. 75 in a laúquierd a del centro de la leva El diám etro del rodillo es

de 1 in. La leva debe tener un círculo base de 3.0 in y g i

rar en sentido ho rario. Construya el perfil gráficamente

y calcule el may or ángulo d e presión más grande .

9 - 4 2 . Una leva de p laca debe propo rcionar el desplazamientoque se muestra en la figura P93 7 a un seguido r recipro

cante de rodi l lo con d escentrado. El seguidor se e n

cuentra en el plano vertical contactando la parte supe

rior de la leva. La distancia del descen trado es d e 0.5 in

ala derecha del centro de la leva. El diáme tro del rodillo

o de 0.75 in. La leva debe tener un círculo base de 2.0 in

y girar en sentido an tiho raria Con struya el perfil gráfi

camcnte y calcule el mayor ángulo de presión.

9 - 4 3 . Una leva de p laca debe propo rcionar el desplazamiento

que se muest ra en la f igura P9 J7 a un seguidor rec ipro

cante de ca ra plana. La leva debe tener u n circulo base

de 5.0 in y girar en se ntido ho rario. Construya el perfil

p á fi cam en te y ca lc ul e e l m ay or án gulo d e p re sión .

9 - 4 4 . Una leva de placa debe p ropo rcionar el desplazamientoq u e se m u e s t r a e n b f i g u ra P9 .3 7 a u n se g u id o r r e c i

pro can te d e ca ra p la n a. La leva deb e t en e r u n c ír cu lo

base d e 6 .0 i n y g ir a r en sen ti d o a n ti h o ra r ia C o n str u ya

d perfil gráficamen te y calcule el may or ángulo d e pre

sión.

9 - 4 5 . Una leva de placa debe p ropo rcionar el desplazamiento

q u e se m u e s t r a e n b f i g u ra P9 .4 5 a u n se g u id o r d erodillo co n pivote. La longitud del eslabón segu idor es

de 4 in y p ivota a 5 in de l e je de ro tac ión de b leva . El

d iámetro de l rodi llo es de 1 in . La leva debe tener un

c irculo base de 3 .0 in y g i ra r en sent ido horar io .Construya el perfil gráficamente y calcule el mayo r án

gulo de presión.

9 - 4 6 . Una leva de placa debe p ropo rcionar el desplazamiento

q u e se m u e s t ra e n b f ig u r a P 9 .4 5 a u n s e g u id o r de

rodillo con pivote. La longitud del eslabón segu idor es

de 3 in y pivota a 3.5 in del eje d e rotación de la leva. El

diámetro del rodillo es de 0.75 in . La leva debe tener un

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Á n g u l o d e t i l e v a ( d e g)

Á n g u l o d e

la leva

D c s p b z a m .

del s eguidor

(deg) (mm)

0 0 . 0 0 0

10 0 .113

20 0 .8 65

30 2 .7 25

4 0 5.865

50 10.113

6 0 15 .000

70 19.887

80 24 .1 3 5

9 0 27.275

100 29.135

11 0 29 .887

12 0 30 .000

ÁnguVj d e D csplaz am

la leva del s eguidor

♦deg) ( m m )

130 3 0 .0 0 0

140 30 .000

150 3 0 .0 0 0

160 3 0 .0 0 0

170 3 0 .0 0 0

180 3 0 .0 0 0

190 29 .966

200 2 9 .7 3 6

210 29 .135

22 0 28 .035

230 2 6 .3 6 9

240 24 .135

Á ng ulo de Desplanam

la leva de l segui«kir

(d e g) (m m )

2 5 0 2 1 . 4 0 2

2 6 0 18.300

2 7 0 1 5 0 0 0

2 8 0 11.700

2 9 0 8 5 9 8

3 0 0 5 .8 65

3 1 0 3.631

3 2 0 1.965

3 3 0 0 .8 6 5

3 4 0 0 .2 6 4

3 5 0 0 0 3 4

3 6 0 0 .000

f i g u r a P 9.4 5 P r o b l em a s 4 5 , 4 6 , 5 5 y 5 6 .

d re u lo b a se d e 2 .0 i n y g i r a r e n se n t id o a n t ih o ra rio ,

(b ns tru ya el perfil gráficamente y calcule el m ayor án

gulo de presión.

D i se n o a n a l í t i c o d e l p e r f i l d e u n a l ev a d e p l ac a

En lo s problem as 9-47 a 9-5 6 use las ecuaciones especificas del

pe rf il de la leva y u n a h o ja d e cá lc ulo para genera r u n a ta b la

con las coor dena das del perfil para c ada 10° del áng ulo de la

leva.

9-4 7. Use la leva descrita en el problem a 9-37.

9-48 . Use la leva descrita en el problem a 9-38.

9-49 . Use la leva descrita en el problem a 9-39.

9-5 0. Use la leva descrita en el problem a 9-40.

9-5 1. Use b leva descr i ta en el problema 9-41.

9-5 2. Use b leva descr i ta en el problema 9-42.

9-53. Use b lesa descr i ta en e l problema 9-43.

9-5 4. Usela leva descrita en el problem a 9-44.

9-55. Use b leva descr i ta en d problem a 9-45.

9-56. Use b leva descr i ta en d problem a 9-46.

Diseno grá f ico de un a leva c i l indr ica

9-57. Una leva c i l indr ica debe proporc ionar e l desplaza-miento que se m uestra en la figura P9.37 a un seguidor

rec iprocante de rodi llo . El d iám etro de l rodi l lo es de

1.0 in. El diámetro del cilindro es de 5 in y gira en sen

tido ho ra ria Co nstruya el perfil gráficamente y calcule

d m a y o r á n g u lo d e p re s ió n .

9 -5 8 . U n a l ev a c i li n d r ic a d e b e p ro p o rc io n a r e l d e sp b z a

miento qu e se m uest ra en la f igura P9.37 a un seguidor

reciprocante de rodillo. El diámetro del rodillo es de

30 mm . El d iámetro de l d l indro es de 150 mm y g i ra

en sentido h orario. Con struya el perfil gráficamente y

calcule el mayor ángulo de presión.

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258 CAPITULO NUEVE

D ise n o a n a l í t ic o d e u n a l ev a c i l i n d ri c a

En los problemas 9-59 y 9-60 use las ecuac iones de l perf i l de

levas cilindricas y una hoja de cálculo par a generar u na tabla

con las coorden adas d el perfil para cada ángulo de 10° d e la leva.

9-5 9. Use la leva descrita en el problem a 9.57.

9-6 0. Use la leva descrita en el problem a 9.58.

P ro b le m a s d e m e c a n i sm o d e G in e b ra

9-61. Se diseñó u n mecanism o de Ginebra con cuatro esta-

don es. La distancia entre los ejes im pulso r e impu lsado

es de 3 in. El brazo impu lsor gira a u na velocidad con s

tante de 60 rpm en sent ido ant ihorar io . D ete rmine la

velocidad y la aceleración angulares de la ru eda, cu an

do e l brazo impu lsor g i ra 25“ a pa r t i r d e la posic ión

donde e l rodi llo acaba de ent r a ra la ranura .

9-62. Se d iseñó un m ecanismo de Ginebra con c inco esta-

don es. La distancia entre los ejes im pulso r e impu lsado

es de 60 mm . El brazo impulsor g i ra a una ve loddad

constante de 70 rpm en sent ido horar io . D ete rmine la

velocidad y la aceleración angulares de la rueda,

cuando e l brazo im pulsor g i ra 20" a pa r t i r de la posi

d ó n d o n d e e l ro d i ll o a c a ba d e e n t r a r a l a r a n u ra .9-63. Se d iseñó un m ecanism o de Gin ebra con se is esta -

don es. La distancia entre los ejes im pulso r e impu lsadoes de 4 in . El brazo im pulsor g i ra a un a ve locidad cons

tante de 90 rpm en sent ido ant ihorar io . D ete rmine la

ve loc idad y la ace le rac ión angula res de la rueda ,

cuando e l brazo im pulsor g i ra 25° a pa r t i r de la posi

d ó n d o n d e e l ro d i ll o a c a ba d e e n t r a r a l a r a n u ra .

HGURA F.9.1 (Co rtesía d e Ind us trial P ress).

ESTUD IOS DE CASO

9-1. la leva m ostrada en la figura E9.1 sirve para alimentar

po pe l a u na im p re n ta . Exa m in e cu id ad o sam e n te las

com ponentes de l mecanismo; luego, conteste b s pre guntas s iguientes para obtener mayor conoc imiento

acerca de su op eración.

1. Co nform e el eje G se fuerza a girar en sentido horario,

de te rmine e l movimiento de la par te E

2. ¿Cuál es e l nom bre de la un ión e ntre las par tes E y P.

3. ¿Qué hace qu e la p i la de pape l , ubicada en / . p e r

manezca a l nivel dond e u n mecanismo en B p u e d a e n

a n c h a r lo ?

4 . ¿Por qu é cambia el rad io de b par te H?

5. ¿Qué caracte rís tica perm ite qu e b ro tac ión de b par te

H se t r a n sm i t a a b p a r t e G ?6. Descr iba el mecanism o qu e rea liza b misma func ión

de esta leva en pilas más pequeñ as de papeles en im pre

sa ras de com putado ra y fo tocopiadoras.9-2. La leva de b figura E9.2 imp ulsa el eslabón I que, a la

vez, impu lsa otro m ecanismo qu e no se muestra. El es

labón A p ivota en la par te infe r ior de b bancada de la

máquina . Un espárrago se ext iende de l esbbón A a

t ravés de una ranu ra en e l esb bón f t Examine cuida

dosamente b s comp onentes del mecanismo; luego, con

teste b s s iguientes preguntas para obten er m ayorconocimiento acerca de su operadón .

1. Describa el mov imiento del eslabón B conforme b leva

D gira en sentido hor ario.

2. ¿Qué tipo de leva es IX

3. ¿Qué tipo de seguidor es C?

4 . ¿ Q ué ti p o d e c o m p o n e n te es b p a r t e f ?

5 . Describa la acdó n de b par te F.6 . ¿ Q ué ti p o d e c o m p o n e n te es b p a r t e R

7 . Describa la func ión de la par te E

H G U R A E 9 J ( C o r te s b d e I n d u s t r ia l Press).

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Leva»: diserto y aná lisis ci n em ático_________259

FIGURA E9J (Co rtesía de Ind ustria l Press).

8. Describa el m ovim iento cíclico de la parte tí.

9 . ¿ Q u é c a m b io o c u r r i r í a e n e l m o v im ie n to d e tí si se

alargara la parte E?

10 . ¿ Q u é c am b io o c u r r i r í a e n d m o v im ie n to d e tí si se

x o rta ra e l espárrago en la par te £?

9-3 . La máquina mostrada en la f igura E9.3 t roque la

y moldea par tes de acero . Examine cuidadosam ente

las comp onentes d el mecanismo; luego, conteste las si

guientes preguntas para obtener mayor conocimiento

acerca de su operación.

1. Conforme la varilla C comienza a desl iza rse hac ia

abajo, ¿cuál es el m ovim iento d e la leva fc?

2 . ¿ Cuá l e s d m o v im ie n to d d é m b o lo H i3. ¿Qué sucede con la t ira de metal sujeta en W?

4. Co nform e ia varilla C continú a deslizándose hacia aba

jo, ¿cu ál es e l m ovim ie nto del ém bo lo ?

5. ¿Cuál es el mo vimien to del deslizador P.

6. ¿Qué sucede con la t ira de acero en VV?

7 . Co n fo rm e l a v a r il la C comienza a desl iza rse had a

arr iba , ¿cuá l es d movimiento dd émbolo H?

8. ¿Cuál es d objetivo de este mecanismo?9. ¿Por qué hay resortes en contac to co n d deslizador 7?

10. ¿Porqu é un resor te soporta la par te K?.

11. ¿Qué tip o de mecanism o pod ría impulsar la varilla C?

9-4 . En la f igura E9.4 se muest ra un a máqu ina . Examine

cuidadosamente las componentes de l mecanismo;

luego, conteste las siguientes preguntas para obtener

may urconoc imiento acerca de su operac ión .

1 . Descr iba el movim iento d d eslabón f , cuan do e l en

grane K g i ra en sent ido horar io .

2 . Comente los de ta l les de l movimiento c íd ico dd es

Libón F.

3 . Descr iba e l m ovimiento de la corredera D, cuando el

engrane K gira en sentido horario.

4 . Describa d movimiento de l engran e N . c u a n d o e l e n

grane K gira en sentido horario.

5 . Describa el m ovimiento del eslabón Q, cuand o el engra

ne Kgira en sent ido horar io .

6 . ¿A qué t ipo d e compon ente per tenece la par te Pt 7. Descrita d mov imiento al que está restringida la parte V.

8. Comente con prec is ión la manera en que d eslabón Q

está sujeto a la parte V.

9 . Com ente e l movimiento dd ico de toda la máquina.

10. Explique la necesidad de una m áqu ina así.

FIGURA F9.4 (Co rtesía de Ind us tria l Press).

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C A P I T U L O

D I E Z

ENGRANES: ANÁLISIS CINE M ÁTIC O

Y SELECC IÓN

O B J E T I V O S

A l t e r m in a r d e e s tu d ia r e s te c a p it u la , e l a lu m n o


1. Reconocerlos diferente* tipos «le engrane*.

2 . I d e n t i f i c a r y u s a r l a s c a r a c t e r í st i c a s g e o m é t r i c a ? e s t á n d a r e s

( ir l o s e n g r a n e s .

3 . C a l c u l ar l a d i s t a n c i a e n t r e c e n t r o s , la r a t ó n d e c o n t a c t o , l a s

l i m i t a c i o n e s p o r l a i n t e r f e r e n c i a y l a s v a r i a c i o n e s e n h o l g u r a

4. Calcular y usar la razón de velocidad para de termina r las

pro piedad es c inem áti cas de l os eng ranes aco plados.

5 . D e t e r m in a r l a s p r o p i ed a d e s c in e m á t i c a s d e e n g r a n e s y I

d e e n g r a n e s p l a n e t a r io s .

10.1 INTRO DU CC IÓN

Los engranes so n comp onentes suma mente comu nes util izados

en much as máquinas . La figura 10.1 ilustra el mecan ismo im pu l

sor d e los rodillos alimentadores de pa pel de un escáner. En tal

aplicación, un mo tor eléctrico impu lsa un p equeño engrane que,

a la vez, impulsa engranes m ás grandes para ha cer girar los ro di

llos alimentadores. Después, los rodillos alimentadores jalan deldocum ento hacia el dispositivo de escaneado de la máquina.

En general , la func ión de un engrane es t ransm it i r movi

miento de un eje giratorio a otro. En el caso del alimen tador de

la figura 10. 1, d movim iento del m otor se transm ite a los ejes

que t ransportan los rodil los . Además de t ransm it ir m ovimien

to, los engran es se util izan con frecuencia par a increm entar o

dism inuir la ve loc idad , o b ien , pa ra cam biar la d irecc ión del

movimiento de u n e je a o t ro .

Son sum amente com unes en la salida de ftientes de poten

c ia mecánica , com o mo tores e léc t ricos y motore s de com b ust ió n in te rn a, q u e g ir an a ve lo ci da de s m u cho m ay or es de l o

que la aplicación requiere. Por ejemplo, un a m áquina fax nece

si ta que los rodi llos a l imen ten e l docum ento a t ravés de la

m íquina a una rap idez com pat ib le con e l d isposi t ivo de es

caneado. N o obstante , un m otor e léc t rico t íp ico g i ra a ve loci dades mayores de las necesarias en los rodillos. P or ello, la ve

lodda d de l m otor se debe redu c ir conform e se transm ite a losejes de los rodillos de a lim entad ón . Asimismo, los rodillos su

p er io re s t ie nen q u e g ir a r en d ir e c d ó n o p u es ta a la d e lo s r odi-

los infe r iores , de mod o que los engranes son una e lecdón na tu

ral para esta aplicación.

La figura 10.2a muestra dos engranes rectos acoplados, di

señados pa ra transm itir m ovim iento entre su s respectivos ejes.

La figura 10.2b presen ta dos rodillos o discos de fried ón , queQ m b i é n f u e ro n d i s e ñ a d o s p a r a t r a n s m i t ir m o v i m i e n to e n

tre los ejes. Es evidente que estos discos son men os costosos queLas comp lejas con figura don es de los engranes. Sin em bargo, los

discos dependen d e b f r icc ión para t ransm it ir b s tuerzas que

acompañan e l movimiento . Ya que muchas apl icac iones re

quieren transmisión de p ote nd a (m ovim iento y fuerzas), las su-

p er fid es lisas de los di sc os quiz á n o se an ca pa ce s d e gen er ar b sfuerzas de fricción sufidentes y, po r lo tan to, se deslizarbn con

mayores cargas.

Ifcra eliminar b posibilidad de deslizamiento, se crea un

e n g ra n e d e m o d o t a l q u e b s su p e r f id e s l isa s d e l o s d isc os sesustituyen p or dientes, que ofrecen un acoplam iento positivo y

dim inan e l deslizamiento. Desde un pu nto d e v is ta anemát ico ,

Rodiltas de ahmereaclón

f i g u r a 10.1 R o d i l lo s d e a l im e n t a d ó n d e u n e s c á n e r .

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Engrane»: an álisis cin e m átic o y selección _________261

F IG U RA 1 0J E n g r a n e s y r o d i ll o s .

el par de engranes de la figura 10.2a reemplazaría los discos de

la figura 10.2b, ya qu e los diám etros efectivos son idénticos.En este capítulo se estudian los principio s generales del en

granaje y las relaciones cinemáticas asociadas. El enfoque del li

br o es e l an ál is is y el d is en o d e m ec an is m os qu e s o n ne ce sa rios

par a s u m in is tr ar e l m o vim ie nto re qu er id o p o ru ñ a m áq u in a . En

congru encia con tal objetivo, el enfoqu e del p resente capítulo es

la selección de engranes estánd ar para prod ucir el movim ientonecesario en las máquinas industriales. Co m o so n los engranes

más util izados y men os complicados, se hace énfasis en los en

granes rectos. Se invita al lector a cons ultar otras fu entes para un

mayor detalle sobre los perfiles de dientes de engranes, m anufac

tura. calidad, diseño de resistencia y engranes má s comp lejos

[refe. 4.1 3 y 15).

a) H f?»"» racto

c) tztvno

MPlhOnyr»m»]l*M

4 Hnpar* hcl l tadil

10.2 TIPO S DE ENGRANESa Eryfar» <fc «p ú a d i

Ihiltcoutol d* le)

Los engranes reetos son los más sencillos y, por consiguiente, el

t ipo más com ún de los engranes. I-os dientes de u n e ngran e recto

son paralelos al eje de rotación. Los engranes rectos sirven pa

ra tran sm itir movimiento entre ejes paralelos, las cuales se en

cuentran en la mayoría de aplicaciones. En la figura 10.3a se

observa un par de engranes rectos acoplados.

Una cremallera es u n caso especial de engran e recto don delos d ientes no están configurados a l rededor de un d reulo , s ino

en u na base plana. La cremallera se visualiza com o u n engrane

rec to con un d iámetro inf in i tamente la rgo . Cuando la c re

mal le ra se acopla con un engran e rec to , se produce movimiento

de traslación. En la figura 10.3b se obse rvan u na cremallera y un

engrane recto acoplados.

l o s engranes o iremos o anulares t ienen los dientes con strui

dos sobre la superf ic ie in te r ior de un dreulo . Cuand o se acoplan

con un engrane rec to , e l engrane in terno ap orta la venta ja de re

duc ir la d is tanc ia ent re los centros de los engranes para lograr

d er ta variación d e velocidad. En la figura 10.3c se ilustra un en

grane in te rno acoplado con un engrane rec to t radiciona l.Los engranes helicoidales son p aread os a los engranes rec

tos, que sirven en las mism as aplicaciones qu e estos. La diferen-

d a es q ue los dientes de un engrane helicoidal se inclinan hacia el

eje de rotación. El ángu lo de inclinación se conoc e com o el <ln-

pr lo d e h éli ce (p. Este ángulo br inda un acoplamiento m ás gra

dual de los dientes durante el acoplamiento y pro duce impacto y

ruido menores. Por su accionamiento m ás suave, en las aplica-

do nes de a l ta ve lod dad se pre fie ren engranes he l icoida les . Sin

embargo, e l ángulo de hé l ice produce h ie ra s de empuje y pares

de f lexión , que no se generar ían en los engranes rec tos. En la

figura 10J d se ilustra un p ar de engranes helicoidales acoplados.

A) E w a m « p. 8 n

F IG U R A 1 0 J Tipos d e e n g r a n e s .

Los engranes de espina de pescado se util izan en las mismas

aplicaciones qu e las engranes rectos y helicoidales. De hecho, ta m

bi én se co no ce n c o m o engranes helicoidales dobles El engrane deespina dr pescado se parece a des engranes helicoidales opuestos

con los extremos colocadas un o co ntra o tro. Esta configuracióncompleja s i rve de contrapeso a la h ie ra de em puje de un engrane

helicoidal La figura 10J e ilustra un engrane deesp ina de pescado.

Los engranes clínicos tienen los dientes moldeados sobre un a

superficie cónica y sirven para transm itir m ovimiento entre ejes

no paralelas. Aun cuando b mayoría de sus aplicaciones implicanb conexión de ejes perpendiculares, los engranes cónicos tam

b ié n se u ti liza n e n ap lica cion es c o n ej es cu yas á n gu lo s so n may o

res y menores d e 90". Cuand o los engranes cónicos se acoplan, sus

conos presentan u n vértice com ún. S in embargo, el ángulo realde l cono de cada engrane depende de la razón de engrane de los

engranes acoplados. P or consiguiente , los engranes cónicos se

<r) Engranes redas

f l E i y f a i B C ú n x o

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262 CAPITULO DIEZ

dise rtan en conjunto , por lo qu e n o es posib le sust i tu i r un en

grane para m odificar la razó n d e engrane. En la figura 10.3f se

ilustra un par de engranes cónicos acoplados.

Los engranes de irísete son un caso espec ial de engranes

cónicos, donde los engranes son de l mismo tamaño y e l ángulo

de los ejes es de 90*. En la figura 10.3g se presenta u n pa r de e n

granes d e inglete acoplados.U n tomillo sin f in y u n engrane sin fin srven para t ransmit ir

m ovimiento ent re e jes no p ara le los qu e n o se in te rsecan . El

tomillo sin fin tiene un diente en forma de espiral alrededor de

un cilindro de paso. Este diente también se conoc e com o cuerda,

p orq ue s e a se m ej a a la c uerd a d e u n to m il lo . Sim ilar al en gr an e

helicoidal, la espiral de paso d el tom illo sin fin genera un a fuerza

axia l que se debe tom ar en cu en ta En la mayoría de las ap l ica

ciones, el tom illo sin fin impulsa al engrane sin fin pa ra efectuar

grandes reducciones de vd od dad . l \>r lo general, un engrane sinf in n o es revenir le , es dedr , d engrane s in f in n o pu ede impulsar

d tom illo sin fin. En la figura 10.3h se mues tran acoplados un

tomillo s in fin y u n engrane sin fin.

10.3 TERM INOLO GIA DE UN ENGRANERECTO

Co m o ya se mencionó , los engranes rectos so n el t ipo d e engranem ás com ún. Además, la terminología qu e se usa para describir

los engran es rectos también se aplica a o tros tipos d e engranes.

R>r lo tanto , se requiere un análisis concienzudo de las carac

terísticas y la term inología de los engran es rectos.

En la figura 10.4 se indican las características prindp ales

del d iente de un engrane rec ta

0 dreulo de paso de un engrane es d círculo que representa el

tamailo d d rodillo de fricción correspondiente qu e pod ría

sustituir al engran e. Tales rodillos equivalentes se presen

taron en la figura 102b. Cu ando dos engranes se acoplan, sus

dreulos de paso son tangentes en d pu nto de contac to sobre b lí nea qu e u n e el c en tro d é ambo s dreulos. E n la figura 10.4

se observa d dre ulo de paso .

El fu n to de pa so e s e l p u n to d e c o n ta c to d e l o s d o s d re u lo s

de paso.

0 pa so diam et ra l d de un engrane es simplem ente el diámetro

dr l dreu lo de paso . Com o b c inemática de u n engrane redo

es idéntica a la de un rodillo de fricción aná log a el paso dia

metra l es un parámetro de l engrane muy ut i l izada Sin em

b a rg a co m o d d re u lo d e pas o e st á ub ic ad o c erca d e la m it ad

de los d ientes de l engrane , d paso d iam etra l no es posib lemedirlo en form a directa en d engrane.

El núm ero de dientes N e s s implem ente d núm ero to ta l de

dientes del engrane. Es evidente que este valor hab rá de serun ente ra porque n o se pueden u t i liza r f raedones de d iente .

El pa so circ ular p es la distancia m edida a lo largo del círculo

d e p a so d e u n p u n to so b re u n d i e n te a l p u n to c o rre sp o n diente , en d d iente adyacente de l engrane . El paso dreula r

se ca lcula a par t i r dd núm ero de d ientes y e l paso d iametra l

d d engrane . La ecuadón aplicable es:

P =n d

N ( 10 . 1 )

El dreulo base d e u n e n g ra n e e s d d re u lo a p a r t i r d d c ua l se

construye la form a curva d d diente del engrane. En la si

guiente secdón se exponen los de ta lles acerca de la gene

rad ón de l perf il curvo dd d iente.

El diámetro base dk e s e l d iá m e t ro d e l d re u lo a p a r t i r d d

cual se genera d perfi l d d d iente d d engrane . En la secdón10.4 se explica com pletamente d dre ulo base.

El ancho de cara F e¡ l a l o n g i tu d d d d i e n t e d e l e n g ran e p a ra ld a a l eje d e La ficch a.

El adendo a e s la d is tanc ia radia l d d dreu lo de paso a la

par te su p eri o r d el d ie n te d el en gra ne.

El dedendo b e s l a d i st a n c ia r a d i a l d d d re u lo d e p a so a

la par te infe r ior de l d iente d d engrane .

La pr o fu ndid ad to ta l h T es la a l tura de l d iente d d engrane ,

q u e e s ig u al a l a su m a d e l a d e n d o y d d e d e n d a

La tolerancia ces la cantidad en la cual el dedend o excede al

adendo. Este es d espado entre la par te super ior dd d iente

d e l e n g ra n e y l a p a r t e i n fe r io r d e l d i e n t e d d e n g ra n eacoplada

La holgura tí e s la cantidad que d ancho d d espac io ent re

dientes excede a l espesor d d d iente dd engrane , medida so

b re d d re u lo d e p a s a

C h c u b d e l d e d e id o

FI G U R A 1 0 .4 Características d d dien te de un engrane recto.

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En g ra n e » : a n á l i s i s c in e m á t i c o y se le c ció n 2 63

Q/VVV}

48 32 24 20

1012

5 4

f i g u r a 105 Tam años estándar de d iente.

H fu so diam et ra l P j, o simplemente pasa, se refiere en reali-

cbd al tamañ o d d diente, que se ha convertido en un estándar

de espec if icación para d tamaño d d mismo. Formalmente,

d p a so d i a m e tra l e s el n ú m e ro d e d i e nt es p o r p u lg ad a d d paso d ia m et ra l.

« - 10 0 . 2)

El paso diam etral es un parám etro de engranes que se usa

com únm ente en las unidades estadounidenses tradicionales. De

nueva cuenta, es una m edida relacionada con el tamañ o dd dien

te de u n engrane. En la figura 1 05 se muestran las tamaños estándar de d ientes y sus pasos diametrales. Aun c uand o las engranes

acopladas suelen tener diferentes diámetros y diferente núm ero de

dientes, los engranes alopiados deben tener el mism o paso diam e

tral. Lo anterior debería ser evidente porque d paso diametral es

una medida de l tamaño d d d iente.

El paso d iametra l n o se m ide d i rec tam ente sobre el en

grane, aunq ue es un valor de referencia extremadam ente com ún.

En teoría, es posible prod ucir casi cualquier tamaño de dientes

de engrane; no obstante, en aras de la estandarización de h erra

mientas , la Asoc iac ión Estadounidense de Fabricantes de Engranes ( a g m a , p o r la s s ig las d e A m er ic an G ea r M an uta ct ure r' s

Associadon) designó las pasas diam etrales más usados, las cuales

se muestran en la tabla 10.1. Au n cuand o no hay un significado

fisico, los pasos diam etrales estándar preferidos están d ados en

enteros pares. Hay calibradores qu e m iden los pasos diametrales

estándar . Las unidades de l paso d iame tra l son e l rec íproco de

pu lg ad as (i n -1 ); de cu al qui er m o do, n o es (r ec uen te es pe ci fic ar

unidades cuand o se expresan los valores numéricos.

El módulo m e s un parám etro de engrane q ue se u t i lizacomú nmen te en el sistema internacional (st)d e unidades. El mó

dulo también es una m edida relativa al tam año del diente. Se de

fine com o la razón entre el paso diametral y el n úm ero de dientes

del engrane.

d

m= Ñ (10.3)

El m ódulo también es un a m edida relativa del tam año deldiente y, en teoría, el recíproco del paso diam etral. Sin em bargo,

cuan do se em plea en el si , se mide en milímetros. Entonces, el

mód ulo y el paso diametral n o son recíprocos numéricam ente.

La re lac ión entre e l paso d iametra l y e l m ódulo , tom ando en

cuenta las unidades, es

m =25.4

P j(10.4)

(a m o con e l paso d iametra l, los engranes rec tos métricos

comerc ia lmente d isponib les se fabr ican con módulos estan

darizados. Los valores comu nes se presentan en la tabla 10.2.

T A BL A 1 0 .1 P a s o s d i a m e t r a l e s e s t á n d a r

PuagracM Huoflao T A BL A 1 0 . 2 M ó d u l o s m é t r ic o s e s t a n d a r i z a d o s

2 6 20 80r

■ 4 16

2.25 8 24 96 L 29 5 20

2 5 10 32 120 L5 6 25

3 12 40 150 2 8 32

3 5 16 48 2 00 2 5 10 40

4 64 3 12 50

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264 CAPITULO DIEZ

Si «s us titu ye n las ecuaciones (10.2) y (10.3) en (10.1), el

pa so ci rc ula r t am bié n s e ex pre sa c om o:

Tld

N P = T 7 = ñ ; - * « (10.5)

El ángulo de presión 4>ts e l ángu lo entre una linea tangente

a amb os circuios de p aso de los engranes acoplados y una linea

pe rp en dic ul ar a l o s di en te s e n e l p u n to de c onta cto . La li ne a ta ngente a los drculos d e paso se conoce com o línea de paso. La linca per pen dic ula r a la su pe rf ic ie d e lo s d ie n te s e n el p u n to de c o n

tac to se conoce como I nea de presión o línea de contado. í\» r lotanto, el áng ulo de presión se mide entre la linea de paso y la l inca

de presión. En la figu ra 10.6 se muestra el ángulo de presión.

H á ngulo de pres ión afecta la forma relativa de un diente de

engrane , com o se indica en la f igura 10.7. Aun cuando los en

granes se fabrican en un rango am plio de ángulos de presión, la

mayoría de los engra nes están estandarizados en 20° y 25°. Los en

granes con un ángu lo de presión de 14'A°se usaron pródigam ente,

aun qu e aho ra se consideran obsoletos. Se fabrican todavía solo

com o sustitutos en trenes de engranes viejos que aún se utilizan.

Com o el ángulo de presión afecta la forma del diente, dos engranes acoplados también deben tener d mism o ángulo de p ro tó n .

Recuerde que las fuerzas se transmiten de m anera perp en

dicula r a las superf icies en con tac ta Po r e l lo , la fuerza qu e ac túa

sobre u n d iente lo hace a k> la rgo d e la l inea de presión . C om o se

verá en la s iguiente sección , los d ientes de un e ngrane están

m o ld e a do s p a ra m a n te n e r u n á n g u lo d e p re s ió n c o n s ta n t e d u

rante e l acoplam iento . Los engranes con m enores ángulos de

pre sión t ran sm it en ef ic ie nte m en te el to rq u e y ge ner an m en or es

cargas radia les sobre e l e je y los cojine tes de sopo rte . Sin em

bar go. co n fo rm e lo s á n g u lo s d e p re sió n se re d u c e n , ha y u n amay or tendenc ia de los d ientes de l engrane a in tc rfe r i rse con

forme se engranan.

1 0 . 4 P E R F I L E S D E D I E N T E S D E I N V O L U T A

Para obtener un movim iento suave , e l d iente de l engrane debe

tener una forma qu e m antenga e l engrane impulsado g i rando a

veloddad c onstante a través del proceso de engranaje y desen

granaje. Para ded rlo d e m anera concisa, los engranes necesitanun a re lac ión de ve loc idad constante . Esta con did ón requie re

que la t rayec tor ia de l contac to de l d iente de l engrane sea u na

l ínea recta , la cua l tam bién debe in te rsecar el pu nto co m ún a

ambos c i rcuios de paso . La f igura 10.8 muest ra dos d ientes«soplados en t res mom entos d i fe rentes de l proceso de engra

na je . Observe que e l pun to d e contac to t raza u na recta , cono-d d a c o m o línea de contacto. Esta l inea tam bién interseca el

p u n to ta n g en te a a m b o s cí rc ul os d e p a s a lo cu al es ne ce sa rio

p i r a q u e lo s eng ra n es m an te n g an u n a r e la d ó n d e v e lo dd ad

constante.

0 descubrimiento de una forma de d iente qu e cumpl iera

® n e l comet ido no fue tarea sendl la ; s in em bargo, se han identi

ficado varias fo rm as como p osibles candidatos. De las formas

posib les , la ¡n vo lu ta de u n d re u lo se ha c on ve rt id o en u n es tá n

da r en la mayoría de las ap licadones de engranes. La forma de

nvo luta se const ruye desenrol lando un a lambre tenso a par t i r

de un c i rculo base de d iámetro d f. La trayectoria trazada p or el

extremo del alambre se den om ina curva de im vluta de u n dreulo.

En la figura 10.9a se ilustra un perfil de inv oluta. Se utiliza un

segmento de esta curva de inwJu ta para form ar el perfil del diente del engrane.

Com o se establec ió en la secd ón ante rior , en u n perf il de

involuta la linea de contacto es idéntica a la linea de p resión. El

ángulo de p resión , o inc linación de la l inea de c on tac ta se de

te rmina a p ar t i r de l segmento de la curva de involu ta usado por

el diente del engrane. El ángulo de presión se incremen ta con

fo rm e a u m e n ta l a d i s ta n c i a e n t r e e l d re u lo b a se y e l c í r c u lo

de paso. Esto se mu estra en la figura 10.9b. La relad ón en tre el

tTkr ( V n r a li v , r e LAL.VJI

b a s e

4 * *

:Brutoi*

' B r u t a ! b a s e

♦ -20*

b a s e

♦-25*

F IG U R A 1 0.7 I n f lu e n c i a d e l á n g u l o d e p r e s i ó n s o b r e l a s f o r m a s d e l d i e n t e .

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Engrane»: an álisis d n e m átic o y selección _________265

ángulo de presión , d paso d iame tra l y e l d iám etro de l c í rculo

ba se s e e xp re sa co m o:

df , = d e o s ó (10.6)

(a m o p o r d e fin ic ió n u n a in w lu ta se e x ti e nd e a p a r t i r de l

c í rculo base , cua lquie r porc ión de l perf i l de l d iente dentro

d d círculo base no es de involuta. Es usual m aquinar esta parte

com o una línea radial con u n filete en d circulo del dedendo . La

porc ió n d d d ie nte d e n tr o d d cí rc ulo ba se n o íu e d is eñ ad a p ar aentra r en contac to con d d iente de l engrane acoplado. Este con

tacto prov ocarla interferencia.La desventaja m ás significativa en d us o de dientes de e n

granes con perfiles de involuta es la posibilidad de q ue haya in

terferencia entre la p un ta d el diente del engra ne y el flanco del

engrane acoplado. Esto ocur re cu ando el engrane más pequeño

tiene pocos dientes. En aer tas circunstancias, es posible m od i

f icar la forma d d d iente a costa de la form a de la profundidadtotal (figura 10.9b) para elim inar la interferencia. En b sección

10.6.3 se analizarán la interferencia y el em pleo de perfiles alter

nativos.

o) II

H G U K A 1 0.9 D i e n te d e e n g r a n e d e i n v o l u ta .

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266 CAPITULO DIEZ

PROBLEMA DE EJEM PLO 10.1

I h engrane recto de ¡nvoluta con 35 dientes y 20* profun didad total tiene un paso diametral de 10. Determ ine los

diámetros del circulo d e paso, del paso circular y del círculo base.

S O L U C I Ó N : I . Calcule el paso diametral

0 paso diametral se calcula reagru p an d o la e cuac ió n ( 1 0 2 ).

2 Dete rm in e el pa so ci rc ular

H paso circular se calcula con la ecuación (103 ).

3 . Calcule el diám etro d elcirculo base

0 diámetro del drc ulo base se cabula directamente con la ecuación ( 10 .6).

dh = deo s ó = 3 3 cos(20*) = 3289 in

Es e l d iámet ro de l d rc u lo don de se or ig ina la fo rma d e involu ta , que n o es una ca rac te rí s ti ca ev idente cuan do se ins pe cc io na u n en gra ne re al .

TABLA 10.3 Es pec if icac iones d e la m i m a d e l d i e n t e

d e e n g r a n e d e p r o f u n d i d a d t o ta l

1 0 . 5 E N G R A N E S E S T Á N D A R

Los engranes se fabr ican m ediante var ios procesos. Para en

granes metá licos, los procesos m is com unes son co r te con m ol

deadores o máquinas cortadoras, fundición y moldeado a través

de procesos con polvo m etalúrgico. Los engranes de plástico por

lo general se fabrican co n procesos de inyección. Se recomienda

a l lec tor consu l ta r fuentes esped ficas de manufac tura d e en

granes para b s detalles sobre las proceses individuales [rcf. 13| .

Com o en la mayoría de los procesos se util izan herramientasespecializadas, las cuales son únicas para c ada tam afto de e n

grane, desde el p un to de vista económ ico es deseable estandarizar

el tam año de lo s engranes. Los engranes estandarizados se en

a i entran fácilmente en la mayoría de los catálogos de equip o in

dust r ia l . Estos engranes se venden indist in tam ente y pueden

acoplarse con otros engranes que tengan el mism o paso diame

tral y el m ismo ángu lo de presión. Desde luego, para hacerio, los

fabricantes deben segu ir una convención estánd ar para moldear

los detalles del perfil del d iente del engra ne. La a g m a es la princi

pa l or ga ni za ción qu e supe rv is a este es que m a de e st an da riza ción .

Es una agrupación comercial de servicio completo que representa

a cerca de 400 fabricantes, asf como usu arios de engranes y en granajes, además d e a proveedores de equipo.

Com o se establec ió ante r iormente , dos engranes de invo

luta cualesquiera, con el m ismo paso diametral y el mism o án-

g u b de presión, se acoplarán. I\>r lo tanto, los dientes de engrane

se han estandarizado con base en el paso diam etral y el ángulo de

pr es ió n. C o m o se ex puso en la se cc ió n 103, b s áng ulo s d e pr e

sió n e stán dar so n 1456°, 20° y 25*. EJ áng ulo d e pres ión d e 14'A* se

ha vuelto obsoleto y sirve básicamente pa ra su stituir un engrane

usado.

E l p a s o d i a m e t r a l e s u n a m e d i d a d e l t a m a f l o d e l d i e n te . E n

a p l ic a c io n e s d o n d e l a s f u er z as q u e s e t r a n s m i t e n s o n a l t a s , se

Paso grueso Paso finoCaradetfstiau dd diente {P i< 2 0) <Ps*20) para un án gulo de presión <fc Mfc, o2 0* o2 5' 20°

.Viendo, a 1.000 1.000

Pj Pj

Rdendo, b 1030 ___ „ , 12

Pd0.002 + —

Pd

Profundidad de tr ahi ja. h¡ 2.000 2.000

Pj Pd

Profundidad to ul . h, 2250 22000.002 * Pj Pd

Espesor circularde diente, r 1371 1371

Pá Pd

Ridiodel fílete, ry 0300

Pj

no estandarizado

Tolerancia mínima,c 02300.002 * ^

Pj Pj

Toleranc»i c(al fondo dd 03500.002 * ^

diente) Pd Pd

Anchura min. en la parte 0250 no estandarizadosuperior P j

Estándar de la at.ma 201X12 207.04

Ancho de cara ]2 12

Pd Pd

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E n g r a n es : a n á l i si s d n e m á t i c o y s e le c c ió n __________ 267

requie ren d ientes más grandes, con m enores va lores de l paso

diametra l . Los engranes se u t il izan en un a gran var iedad de

aplicaciones, desde relojes mecánicos con fuerzas pequeñas,

hasta m ol inos con grandes rodi l los de acero para fuerzas ex

t remadam ente grandes. Po r consiguiente , hay d isponib le una

gran variedad de pasos diametrales. Los valores estandarizadosdel paso diam etral se indican en la tabla 10.1.

La m ayoría de las características de un diente de engrane,

como las que se identi f ican en la secc ión 103 y en la f igura 103,

están estandarizadas en relación con el paso diam etral y el ángulo

d e presió n. Las relaciones aplicables se prese ntan en la tabla 103.

Estas relaciones son actualizadas por la agma, q ue revisa y publica

los estándares nuevo s cada año, b mayoría de los cuales están cer

tificados por el Ins tituto Nacional Estadounidense d e Estándares

(ansí, por b siglas de American National Standards Institute). Losestándares de b a c m a ejercen gran influencia e n los merca dos a

nivel mundial.

PRO BLEMA D E EJEMPLO 1 0 .2

Considere el engrane recto de involuta con 35 dientes, a 20", profundidad total y con un paso diametral igual a 10 del

problem a d e eje m pl o 10 .1. D eter m in e el d iá m et ro de l cí rc ul o del a de nd o, del d re u lo d el de den do y la tol era nc ia.

S O L U C I Ó N : I . Calcule el aden do

B circulo del adendo es el diáme tro exterior del engrane. El adendo es la distancia desde el círculo de p aso sobre

un diente del engra ne has ta la parte superior del diente. La distancia estándar de este engrane se calcu b a partir

<le las ecuaciones de la tabla 103.

4 * ■ “ ■ O.lOOin P¿ 10

2. Calcule el diámetro del adendo

Observe que el adendo es b distancia entre los radios del dreulo de paso y el dreulo del adendo, de modo q ue el

dbm etro del dreu lo del adendo está descentrado una distanda a en ambos bdos del dreulo de pasa En el pro

blem a de eje mp lo 10.1 , el p aso diam etral es d e 33 in . Enton ces, el diá m et ro d el drcu lo d el aden do se ca lc ub con to:

da - d + 2 a - 3 .5 + 2(0 .100) - 3 .7 in

3. Calcule el diám etro d el dedendo

Cfc modo sim iar, el dedendo es la distancia entre los radios del dre ulo de paso y el dre ulo del dedendo. Por lo

tanto, el dede ndo se calcula como:

P j 10

en tanto que el diámetro del dreu lo del dedendo es:

db - d - 2b - 3 3 - 2(0.125 ) - 3 2 5 i n

4 . Calcule la can tidad del perfi l del diente que no es d e imvlu ta

Observe que el diámetro del dre ulo base d e este problema de ejemplo es de 3389 in. Com parando este con el del

dre ulo del dedendo, se obsecra que un a pequeña porción del perfil del diente del engrane se encuen tra de ntro

dd dre ulo base. Al considerar una distancia radial, b longitud de esta pequeña porción de l perfil del diente se de

termina pon

(3289) (3250)L on gitu d r ad ial q u e n o e s i ns o lu ta “ — - — - — - — “ 0.019

Recuerde que por definición una involuta se extiende únicame nte a partir del dreu lo hase. Esta pequeña pord ón

del perfil del diente no es un a involuta, p or lo que no deberla fn cer co nta do con el diente d d en grane acoplado.

5 . Calcule la tolerancia

fttr últim o, la tolerancia es la distancia que el dedendo excede al adendo . Es el espacio entre la p arte superior de

ixi diente de un engrane y la parte inferior del diente del engrane acopbdo . La distan cb estándar para este en

grane se calcub con las ccua don es de la tabla 103 .

0 2 5 0 2 5C - — - - —— - 0.025in

P d 0

Observe que la tolcranda es mayor que la distanda d e la partcqu c no es im o luta del diente del engrane. Por con

siguiente, no se espera qu e haya contacto entre los dientes de los engranes en esta pordó n.

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268 CAPITULO DIEZ

En la práctica, los perfiles m anufa cturado s del diente del

engran e se desvian del perfil teórico qu e se acaba de examinar.

la composición del erro r tom a en cuen ta las imperfecciones de

m anufactura del perfil del diente, asi como de l espaciamicnto

entre u n d iente y o t ro . La a g m a [estándar 2000-A88| define un

espectro de Índices de calidad que v an desde la m eno r precisión(3) ha sta la mayor precisión (16). La velocidad d e los dientes de

engra nes acoplados, la cu al se analizará en la sección 10.7, es un

fac tor que de te rm ina la ca l idad requer ida . Evidentemente , e l

costo del engra ne estará en (un ción de la calidad.

10.6 RELAC IONES DE LOS ENGRANES

ACOPLADOS

En la figura 10J se m uestran d os engranes en contacto. (Atando

das engranes se acoplan, po r lo general el engrane más pequeño se

d e n o m in a piñó n, el m ás grande se conoce com o engrane pr in cipa l

o simplemente engrane. Recuerde que para que d os engranes se

acoplen, deben tener el mismo pas o diametral y el mism o ángu

lo de p resión. En las siguientes secciones, se analizarán las reía

do ne s de das engranes acopladas.

1 0.6 .1 D i s ta n c i a e n t r e c e n t r o s

La distancia entre centros C se d e f in e c o m o l a d i s t a n d a d e u n

centro a o t ro ent re dos engranes acoplados, que tamb ién es la

PROB LEM A DF. EJEM PLO 10.3

Ltas engran es d e pro fundidad total a 20*. paso 5, se usan en un a peq ueña m ezcladora de concreto para construcción.

Los engranes transm iten potencia de un peque ño m oto r de combustión intern a a la olla mezcladora. En la figura

10.10 se ilustra esta máquina. El pin ón tiene 15 dientes y el engr ane 30 . Determine la distan cia ent re centros.

f i g u r a t a t o Mezcladora de concreto del problem a de ejemplo 1 0 . 3 .

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule los diám etros d e paso

Los diámetros de paso para ambos engranes se determina con la ecuadó n (102).

distan da entre los ejes que s opo rtan lo s engranes. En la confi-

gura dón com ún de engranes exte rnos ( f igura 10 .3) , la d is tanda

se expresa como:

« e r a o s = r , + r2 = <d' - ~ 2) (10.7)

y a q u e

La ecuad ón (10 .7) se replantea como:

W + Ni) 2 Pj

( 10 . 8 )

En engranes in te rnos ( f igura 10 .3c) , la d is tanda entre

centros es la d ife renc ia ent re los radios de paso y se expresa

como:

r ( 4 - dt) _ (Afe - Nt)''Cogn ac* mtrr-KB ’l M ^ ~ 2 P ¡

(10.9)

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Engranes: a ná lisis cine m áti co y selección _________269

4 .

2. Calcule la distanc ia entre centros

Com o los engranes son externos, la distancia entre centros se calcula con la ecuación (10.7).

(d, + d¡) (33) in + ó.Oin)C = ----- = ----------- ----------- = 4 .3m

3. Verifique la distancia entre centros

Desde luego, se utiliza laecu adó n (10.8) para alcu lar directamente la distancia entre centros a pa rtir de la información dada.

„ {Nl + N1) (15 + 30) . . .

c = ^ « ¡ r ° 4-5,°

1 0 .6 .2 R a z ó n d e c o n t a c t o

La mz ón de contacto es e l núm ero promedio de d ientes que es

tán en contac to en un mo mento de terminado. Evidentemente , larazón de contac todebe se r mayor que 1 , porque no es posib le quese pierd a el contacto entre las engranes. En la práctica, las razones

de contacto deberían se r mayores que 12 . Los diseños robustos

tienen razones de contacto de 1.4 o 15. Para ius tra r este prind -

p i a u n a ra zó n d e conta ct o d e 1.2 in dic a q u e u n p a r d e di en te s

siempre está en contac to , mientras un segundo p ar está en con

tacto 20% de las veces.

Los va lores más g randes de razones d e contac to implican

mayo r suavidad, pues o t ro d iente de l engrane com parte la ca rga

durante má s t iem po en e l proceso de engranaje /desengrana je.

Asimismo, con m ás d ientes que co m parten la ca rga , se suele

t ransm it i r m ás potenc ia . Com o qu ie ra que sea, la razón de contacto se incrementa de form a más d i rec ta con e l uso de eng rana

más grandes. Sin embargo, a to se contrapone a la mayoría delas metas de diseño de com pactibilidad.

N u m éri cam en te , la ra z ó n d e co n ta c to se ex pre sa co m o

la longitud d e la trayectoria de con tacto dividida e ntre el paso

ba se Pf . e l cual, a la vez, se define com o la distancia entre pu ntos

c o r re sp o n d ie n ta d e d i e n t a a d y a c e n ta , m e d id a so b re d d re u lo

ba se . El pas o b as e se c al cu la d e la s ig ui en te m an er a:

Pb =TTdt cos<f» v d j c o s d »

■V, N } ( 10 . 10 )

Desde luego, la t rayec tor ia de l p unto de con tac to en los

die nta de insolu ta a una l ínea recta (secdón 10 .4) . La longi tud

Z d e e s ta t ra y e c to r i a d e c o n ta d o se d e d u c e d e la s i n tm e c d o n a

de los respectivos dre ulo s del aden do y la l ínea de contacto. Esta

b n g it u d es (r eí . 9] :

Z = V ( r 2 + a i )1 - ( r2cos«*>)2 - r2sc n ¿

+ V ( r i + « i ) 2 - ( r , co s< ¿) 2 - r i sen<f> ( 1 0 . 1 1 )

De modo que u na expresión de la razón de contac to en té rminos de la geom etr ía de l d iente d e engrane está dada por :

Z

Pb( 10 . 12 )


Para los en gr an a de la mezcladora de concreto del problema de ejemplo 10 5, determine la razón de contacto.

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule las propiedad es básicas de l dienteLos radios de paso de ambos en gr an a se calculan a partir de los diámetros de paso.

d, 3.0¡n

r ' " T " 1 " - 1 3 ,n

d i 6.0in .r , - — - - y - - 33) m

Observando la tabla 105, el adendo para d ien ta de profundidad total a 20a a :

\_

P ja » r " t ■ 0 2 0 in

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270 CAPITULO DIEZ

Calcule el pa so base

H paso hase se calcula con la ecuación ( 10.10).

j r d ,c a s ¿ tt(3.0 in>CGs(20”)- 0 .6890 in

N , 15

Calcule la longitu d de contacto

la longitu d de la linea de contacto se calcula con la ecuación ( 10.11).

Z - V ( r j ♦ a j)2 - ( f ic o s ^ )2 - r j x n d t ♦ V ( n + m )1 - ( r , c o s¿ )2 - n s e n ó

= \ / ( 3 .0 + 0 .2)1 - (3 .0cos20°)2 - 3 .0sen20*

+ V ( \ 5 + 0 2 ) 1 - ( 15 co s2 0° )J - U s e n 2 0”

= 09255 in

luego, la ra /ón de contacto se determina con la ecuación ( 10.12).

Z 0 9 2 5 5 in= 1.3433

r pb 0.6890 m

Aun cuan do esta razón es aceptable, mayores valores serian m ejores (1.4 a U ).

10 . 6 . 3 I n t e r f e r enc i a

Com o se mencionó ante r iormente , b desventa ja m ás s ignif ica

tiva en el us o de perfiles de diente de engrane s de ins oluta es b

pos ib il id ad d e i n te rf er en ci a. Lo s d ie nte s d e l e ng ra n e t ie nen p er

f iles de invo lu ta ent re e l c i rculo base y e l c i rculo de l adendo.

Cu ando se const ruye un engrane con pocos d ientes y ángulos de pre sión peq ueñ os, el ci rc ul o del deden do es co nsid er able m en

t e m e n o r q u e e l d re u lo b a se d e b i n v o lu t a Po r lo t a n to , el d i

ente ent re e l dre ulo base y e l dedendo no es una involu ta . Si el

diente del engrane acoplado con tactara esta porción del diente,

se infr ingiría b condic ión fundamenta l de b razón de ve loddad

constante , 'la l condic ión se conoce com o interferencia y, cuandoocurre , los d ientes pueden ge nerar ru ido , v ibrad ón y desgaste

excesivos.

Los diseñadores provocan la interferen cb cuand o intentan

obtener ensambles comp actos usando mu y pocos d ientes en losengranes. La interferencia se presenta usualmen te cuan do u n en

grane pequeño se acop b con u no m ucho m ás grande . Se logró

obtener u na re lac ión que se emplea para d e te rminar e l número

de d ientes necesario en el en grane para elim inar la interferencia

| ref. 9]. La ecuación (10.13) determ ina el núm ero más grande

de dientes en el engrane para asegurar qu e no hay a interferen

c ia . La re ladón está dada como una func ión de l número de d ien

t e s e n e l p iñ ó n a c o p b d o , j u n to c o n e l á n g u lo d e p re s ió n y e l

t a m a ñ o d e l a d e n d o.

{■V?scn2d> - 4^ 1

41c - 2N ,sen 24>

d o n d e k está definida por la relación del adendo:

(10.13)

a =

la ecuación (10.13) sirve para tabula r combinaciones ade

cuadas de engranes que e l im inen b in te rfe rencb. 'Iá les combi

nac iones se presentan en b tab b 10.4.

TABI.A 10.4 Com binaciones de dientes de engra ne para e l imina r b interferencia

r - 1 4 ° ó = 20* * = 2 5 ”

N ú m e r o d e d í c a l e s N ú m e r o m á x i m o d e N ú m e r o d e d i e n t e s N ú m e r o m d x l m o N ú m e r o d e N ú m e r o m á x i m o d e

« W p i f i ó n • f i e m e s d e l e n g r a n e d e l p l A ú n d e d i e n t e s d e l e n g r a n e • fi en ! e s d e l p i f i ó n d e n t e s d e l e n g r a n e

<23 bitcrfr tmci* < 13 IntcrfeimcM < 9 Interferencia

23 2 6 13 1 6 9 1 3

2 4 3 2 1 4 2 6 1 0 3 2

2 3 4 0 1 3 4 5 I I 2 4 9

2 6 3 1 1 6 1 0 1 1 2 0 0

2 7 6 7 1 7 1 3 0 9

2 8 9 2 1 8 00

2 9 1 3 3

3 0 2 1 9

3 1 4 9 6

32 00

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Engran o : aná lisis cinem ático y selección_________271

Observe en la labia 10.4 que los pifiones de 1414*con más

de 32 dientes se acop lan, sin interferencia, con cualquier

tamaño de engrane . También qu e un p iñón estándar d e 14'/i*

con men os de 23 dientes sufre interferencia, indistintam ente del

tam año de l engrane acoplado. Estos l imi tes se obt ienen para

otros ángulos de presión estándar.En la tabla 10.4 es evidente que un p iñó n de involutaco n un

ángulo de presión de 25° permite el uso de engranes con m enos

dientes sin interferencia. Com o consecuencia, es posible lograr

ensambles más com pactos. Este es el motivo principal de la po

pu la ri d ad d e lo s d ie n te s a 25 ° y la ob so le sc en ci a d e lo s d ie nte s

a 14V,".

En el caso extremo d onde un p iñó n se acopla con cua lquie r

otro engrane, se sustituye N j = o o en la ecuación (10.13). Esto

da e l tamañ o de l p iñón que se acopla con cua lquie r engrane .

Com o ya se m encionó, un p iñón a I4>í* con 32 d ientes tiene

tales propiedades. Una vez qu e se sustituye = oo, se dedu ce la

sgu iente relación:

N t >2 k

se n? <f>(10.14)

Se debería notar que u n engrane con N ¡ = o o también ten

dría un radio d e paso infinito. Este es el concepto sub yacente de

una cremallera, com o la que se mues tra en la figura 10.3d.

Entonces, se debe satisfacer la ecuación (10 .14) para garantizar

que u n en grane se acopla con la cremallera y elimina la interfe

rencia.

PRO BLEMA D E EJEMPL O 1 0 .5

Para los engranes de la m ezcladora de concreto descrita en el problema de ejemplo 10.3, determine si la interferencia

deberla ser un a preocupación.

SO LU CIÓ N : I . IH li c e la ta b la d e in te rf ere n ci a p a ra ver if ic ar c ri te ri o*

En la tabla 10.4 se observa que un piñó n de 15 dientes, con dientes de profu ndidad total a 20°. no puede

acoplarse con u n engra ne con más de 45 dientes sin interferencia. Co n tan solo 30 dientes, la interferencia no es

un problema previsible.

2. l i e la ecua t ión d e in ter ferenc ia para ver i f i car lo t c r i te r ios

Se obtiene el m km o resultado con b ecuación (10.13). De b tabla 10J , el adendo es:

1

3 P

Por lo tanto,

1

Se utiliza b ecuac ión (10.13) pa ra verificar los problemas de interferencia.

_ |N fs cn : «6 - 4 * J)1V7 ^ -------------------- z----

4* - 2 N | it n

|15?s en?20* ~ 4(1)*1

* * < 4 (1 ) - 2 ( l 5 ) « n 220*

N ¡ < 45.48

B nú m ero de dientes del engrane impulsado, 30, es m eno r que e l valor limite de 45.48, por lo que la interferencia no es un problema.

Com o se m encionó anteriormente, el perfil del diente se puede

modificar a costa de la forma de h profun didad total, con la finali

dad de perm itir el acoplamiento de engranes pequeños con en

granes grandes. Desde luego, esto minimiza el tam año total d el sistema de engranes, el cual es un objetivo de diseño usual. la acma ha

incluido previsiones estánda r para modificar ios perfiles de invohita.

Se desarrollaron d e n l a d e m u ñ ó n (cortos) con un ángulo de

pre sió n gra nd e y die nt es peque ños . El si stem a de m uñ ón tie ne d ie n

tes más fuertes, pero un a profun didad de trabajo usualmente 20%

men or que los clientes d e profu ndidad total.

Otro sistema alternativo es el sis tem a de adendo s largo y corto.

En estos perfiles, aumenta el ad endo de un engrane y disminuye el

adendo del eng rane acoplado.

El resultado, desde luego, es qu e tales engran es n o estandariz a

dos ya no so n intercambiables co n los engranes estándar. Los en

granes especializados se usa n raras veces en el diseño de m áquina s

a i g eneral y los detalles están más allá del alcance de este libro. Se

deben cons ultar b s referencias para el análisis de perfiles no es

tandarizados (refs. 4,9 ,13 ,15 ).

10.6.4 Rebaje

La interferencia tam bién se elimina al remover material dd diente

<fel engrane entre d dr eu lo base y d dr eu lo del dedendo. Esta es

la porc ión de l d iente de l engrane que no es de im oluta e in te r

feriría co n el diente del engra ne acoplado. En la figu ra 10.11 se

muestra d diente rebajado de un engrane.

0 rebaje reduce evidentemente la resistencia de un engrane,

con lo cua l d isminuye la potenc ia que se puede t ransmit i r con

seguridad . Además, también reduce b longi tud de contac to , lo

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272 CAPITULO DIEZ

Perfil estándar deldiente de engrane

Rebaje para eliminar la Interferencia

(ociare en el área de mayor es ten o)

F I G U R A 1 0 .1 1 D i e n t e r e b a j a d o d e u n e n g r a n e .

c u a l d i s m i n u y e l a r a z ó n d e c o n t a c t o , m i e n t r a s g e n e r a u n a c -

d o n a m i c n t o m á s b u r d o y r u i d o s a f t » r l o t a n t a s e d e b e r i a e v i t a r

d r e b a j e a m e n o s q u e l a a p l i c a c i ó n r e q u i e r a d e f i n i t i v a m e n t e u n

e n g r a n a j e c o m p a c t o . E n t a l e s c a s o s , e s n e c e s a r i o r e a l i z a r a n á l i

s i s , a s i c o m o e x p e r i m e n t o s c i n e m á t i c o s y d e r e s i s t e n c i a a v a n z a

d o s p a r a g a r a n t i z a r u n a o p e r a c i ó n a d e c u a d a .

1 0 .6 .5 H o l g u r a ( ju e g o )

Co m o se estableció en la sección ÍO J. la holgura es la cantidadqu e el ancho del espacio entre d ientes excede al espesor del diente

del engrane, m edida sobre el círculo de paso. En térm inos más

prác tico s, es e l es pa cio q u e u n en gr an e p u ed e g ir a r sin q u e su e n

gran e acoplado gire. Si bien la ho lgura quizá parezca indeseable,

es necesaria cierta ho lgura para efectos de lubricación de los dien

tes del engrane. Los engranes que funcionan co ntinuam ente en

una dirección pueden tener realmente holg ura considerable. Los

engranes de arranqu e/parada frecuente o que invierten su direc

ción, deberían tener u na holgura m uy controlada.0 p e r f i l d e d i e n t e d e u n e n g r a n e s e d i s e ñ a c o n u n v a l o r d e

h o l g u r a n o m i n a l . E i t a m a ñ o d e l a h o l g u r a d e t e r m i n a e l e s p e s o r

del diente del engrane, ya que la holgu ra es una m edida d el espe

sor del dien te en el espacio del diente. La agma especifica valores

de holguras recomend adas [estándar 2002-B88). Aun cu ando es

tos valores so n algo conservadores, los engranes de transm isión

de potenc ia e n genera l t ienen va lores recomendados de holgu

ra de

0.05

Pj< B

0.1

- " ■ ¡ 5

En los engranes disponibles com ercialmente, los valores de

b ho lg ura so n m uch o m ay or es p a ra p erm it ir m ay or f le xibi lid ad

en las aplicaciones. Los valores de la holgura en estos engranes

son po r lo general:

0.3 0.5< « e n g r a n a - d í - n m n u r io <

De manera qu e se debe tener cu idado cu and o se espec if iquen

engranes de inventario par a las aplicaciones con inversión de las

direcciones o c on secuencias frecuentes de arranque/parada.

Los valores de la h olgura están mu y influidos po r cualquier

variación de la distancia entre los centro s de los engranes. Desde

b e g a e n c ual qui er am bie nte d e pr odu cc ió n , var ia la d is ta nci a en

tre centros de dos eng ranes. Sin embargo, u na desviación en ladistancia nom inal e ntre centros pued e especificarse a prop ósito

p o r u n d iseñ ad or , pa ra aj u sta r b ho lg ur a a u n rango deseado. La

variación de h olgu ra AB que se obtendrá con una variación AC

en la distancia entre centr os se aproxim a con la siguiente relación:

A B « 2 ( A C ) t a n ¿ (10.15)

La ecuación (10.15) se usa con la ecuación (10.7) o (10.8)

p ar a e sp ec ifi ca r b di st an c ia entr e c en tr o s qu e p ro d u ce lo s v alores de holgura que se deben mantener en un rango de te rmi

n ad a La reducc ión de b d is tanc ia ent re centros d isminuye la

holgura, y viceversa.

PRO BLEMA D F. EJEMPLO 1 0 .6

los engr anes de b mezcladora de concreto descrito en el problema de ejemplo 10.3 son artículos de catálogo con una

holgura de diseño igual a 0.4/Pj. Especifique b distancia entre centros qu e reduce b holgura a u n valor de 0.1 IP j re comendado por la a c m a.

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule la holgura del diseño

/ W u a . - " T " 0,08in

2 . Dete rm in e la holgu ra rec om en da da

0 .1 a i«rcamodadj “ “ 0Á)2,n

3. Calcule la distanc ia entre centros ajustada

Reagrupand o la ecuació n (10.15):

A B (0.02 - 0.08)A C =3 ------------ = -------------------- = 0.0824 in

(2 tan *) 2tan(20")

En el problema de ejemplo 10 J, b distancia nominal entre centros se determ inó igual a 45 in. Por lo ton ta para

ajustar el valor de la holgura, la distancia entre centros se deberia redu cir a

Canuda = 4 5 0 0 8 2 4 = 4 .4 17 6in

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Se tiene que pon er énfesis en que la reducción de la distancia entre centros producirá u n engranaje m uy apre

tado, además de q ue podría causar mucho ruido, sobrecalentamiento y so br eca ra estructural. Sin emb arg o algunas

aplicaciones requieren holgura mínima. Desde lu eg o hay que efectuar pruebas para confirm ar el diserto.

1 0.6 .6 Á n g u l o d e p r e s ió n d e o p e r a c i ó n

Com o se menc ionó e n las secciones anteriores, el ángu lo de p resión def ine la l ínea d e acc ión de la fuerza sobre e l d iente de l en

grane. H1 ángu lo de presión del diserto se co rta o mo ldea en el

diente del engra ne y afecta la form a real del dien te (figura 10.7).

Debe m encionarse que conforme la d is tanc ia en t re centros

de los engranes acoplados se desvia de su valo r nom inal, el án

g u lo d e p re sió n r e al d u ra n te l a o p e ra c ió n d i f ie re d d v a lo r d e

dise r to . En o t ras pa labras, dos engranes a 20° tendr ían rea l

men te un ángu lo de presión mayor durante la operación a l in

c rem entar e l va lor nom ina l de la d is tanc ia ent re centros. La

relación que se util iza para determinar la magnitud de la dis

crepancia se expresa [ref. 9] como:

'^operación {cop, | (10.16)

fcn las aplicaciones donde se requiere calcular con pre-

dsió n la fu er a rea l que se t ransm ite , se deber la usar d ángulode presión en oper ación , ya qu e refleja el desem peño real de las

fuerzas en d engrane .

PRO BLE MA D E EJEMPLO 1 0 .7

Para los engranes de la m ezcladora de concreto descrita en el problema de ejemplo 10.3, determine el ángulo d e pre

sión en operación cuand o la distancia entre centros es de 4.4176 in. com o en el pro blema de ejemplo 10A.

SO LU C IÓ N : Si se parte de los núm eros d d problema de ejemplo 10.6 y de la ecuación (10.16), se calcula lo siguiente:

} « * * - — ■■ { i ^ } 4» 20- - 09571

7

= 16.82»

10.7 CINEMÁ TICA DE UN ENGRANE RECTO

Una fu nc ión básica de los engranes consiste en propo rc io

nar una razón de velocidad cons tante entre sus respectivos ejes.

Cu a n d o u n p a r d e e n g ra n es t i e n e u n a r a z ón d e v d o d d a d c o n s

t a n te s ig n if ic a q u e d e n g ra n e im p u lsa d o m a n t ie n e u n a v d o d d a d u n i fo rm e , m ie n t ra s d e n g ra n e im p u l so r g i re a v d o d d a d

constante. Esta con did ón lleva al desarrollo del perfil de invo-

luta del diente. En la figura 10.12 se m uestra u n pa r de engranes

rectos acoplados.

Formalm ente, la razón de velocidad VR se define com o la

ve loc idad angula r de l engran e im pulso r (engrane 1) d iv id ida

e n tre l a v d o d d a d a n g u lar d d e n g ra n e im p u lsa d o ( e n g ran e 2 ).

V R =rt^unpubor

w n i p u la d o

OJ,(10 .17)

Co mo la razón es vá lida independientemente de las unida

des, la razón de ve lodd ad se define, asimismo, en té rminos de

re vo lu cio n es p o r m in u to , r ad i a n es p o r u n id a d d e t i e m p o o

cua lquier o t ro conjunto conveniente de unidades de ve loddad

angular. E n la práctica, un a razó n de velocidad igual a 3 se re

pr es en ta rl a co m o 3:1 , q ue s e lee c o m o “t re s a un o" . D e ig ua l m a

nera, un a razón d e velocidad d e 1/3 se representarla com o 1:3 y

se leerla como “uno a tres".

f i g u r a 1 0 . 1 2 C i n e m á t i c a d e e n g r a n e s a c o p l a d o s .

La vdod dad en la Unta de paso v , se define com o la magni

tud de la velocidad del pu nto de paso de los do s engranes acopla

dos . Esta velocidad tam bién se obs erva e n la figura 10.12. Es evi

dente que la ve lodd ad en la l ínea de paso d e am bos engranes

es idént ica , porque e l d iente de un engrane empuja e l d ien

te acoplado. Por lo tanto, la veloddad en b linea de p aso es una

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274 CAPITULO DIEZ

med ida lineal y está relacionada con las velocidades angulares de

los engranes y sus radios de paso mediante la ecu adón (65 ) .

y, = r¡ oj , = Tja*i (10.18)

Advierta que, com o en el capitulo 6, la velo dda d angular en esta

ecuadó n se debe espedficar en radianes por unidad de t iempo.

la com binac ión d e las ecuaciones (10 .17) y (10 .18) da la

siguiente re ladón:

^ = VR IO¡ Ti

Si se in t roducen los d iámetros de paso,

É l = ™ = H = V R

di (2r ,) I

asi como e l paso d iametra l y el nú mero de d ientes ,

* 2

É l = f á = y n d t

P j

Com o e l paso d iam etra l de los dos engranes debe se r idéntico

p ar a q u e los d ie nt es se ac o p le n .s e e lim in a P je n l a e c u a d ó n a n

terior:

É l = !É l = y o

d i N , ™

Reuniendo todas las re lac iones ante r iores se obt iene unaop res ión in tegral de la razón de ve loddad.

a = * = £ = £ri d¡ Nt

La convención de signos algebraicos define la dire cdó n re-

htiva del giro del engran e. En el engranaje extern o típico, los

centros de los e jes están en lados opuestos de la tangente común

a los dreulos d e paso, lo cua l establece que los engranes g i ran endirecciones opuestas. Para expresar tal hecho, la razón d e velo d

dad se pro po rdon a con un v a lor negat ivo.

Para engranes in te rnos, como e l mostrado en la f igura

10.3c, los centros d e los ejes están del m ismo lad o de la tangente

c o m ú n a l o s d re u lo s d e p a so Es to i n d i ca q u e lo s e n g ran e s g ir a n

en la misma di recdón. Po r lo tan to , la razón de ve loc idad se ex

pre sa c o n v a lo r po si ti vo .

Com o se m encionó en la in t roducc ión , m uchos engranes se

usan e n aplicaciones do nd e se debe red ud r la velocidad de una

fuente de potencia. Entonces, es norm al tener razon es de velod

dad mayores que 1. Como se observa en la ecuad ón (10.17), esto

indica que el engrane impu lsor gira más rápid o que el engrane

impulsado, lo cua l es e l caso en las redued ones d e ve loddad.

PROB LEM A DF. EJEM PLO 10.8

Se utiliza un g rup o de engrane s para reducir la velocidad de un m otor eléctrico qu e impulsa el eje de u n transporta

dor. en la caja registradora de u n s upermercado (figura 10.13). El engrane sobre el eje del m oto r es un pifión de paso

10, con 15 dientes y funciona a 1800 rpm en sentido horario. D etermine la velocidad dd engrane acoplado, el cual

tiene 45 dientes. Calcule tam bién la veloc idad en la línea de paso.

o *j • I S O O r p m

- 15 dientes

F I G U R A 1 0 . 1 3 Transportador d e la caja registradora del problema de ejemp lo 1 0 . 8 .

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule la razón d e it locidad

La razón de velocidad se calcula con la ecuación (10.19).

VR = — = — N , 15

- 3

En la práctica. este valor se expresa comúnm ente com o razón de engrane d e 3:1. Observe que el valor negitivo

hd ica qu e los engranes giran en direcciones opuestas, lo cual es congrue nte con los engran es extemos.

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F n g r a n o : a n á l i s is d n e m á t i c o y s e l e c c ió n __________^ 7 5

2. D e te rm in e la tr lo c id a d a ngu la r de l e ngr an e i m pu lsad o

l a v e l o c id a d a n g u l a r d e l e n g r a n e i m p u l s a d o s e c a lc u l a r e a g r u p a n d o la e c u a c i ó n ( 1 0 . 1 7 ) .

toi 1800 rp mo><= — = —— —— ■ - 600rpm = 6 00rpm, en sentido ant ihorano

3. Calcule la velocidad en la l inea de paso

L o s d iá m e t r o s d e p a so s e c a lc u l an c o n l a e c u a d ó n ( 1 0 3 ) .

N i 15

* ■ ü ■ » " u -

N ¡ 45

L a v e lo d d a d e n b l ín e a d e p a s o s e c a l c u la c o n l a e c u a c ió n ( 1 0 .1 8 ) .

v , - r[üi¡

r , ■ ■ 0 .7 5 in

2 i r r a d- ( 1 8 0 0 r p m ) - I I 3 0 9 . 7 r a d /m in

I rev

v , - ( 0 .7 5 i n ) ( H 3 0 9 .7 r ad /m i n ) - 8 4 8 2 3 in /m in

A l c o n v e r t ir l a s u n i d a d e s .

v , - 8 4 8 2 3 i n /m in | — - - 7 06 .9 f t /m in

T A B L A 1 0 . 6 P a s o s d i a m e t r a l e s a d e c u a d o s p a r a

e n g r a n e s a 2 0 ° d e a c e r o d u l c e , c o n

a n c h o d e c a r a e s tá n d a r

C o m o s e in d i c ó a n t e r io r m e n t e , b a g m a d e f i n e | e st á n d a r 2 0 0 0 -

A 8 8 ) u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s d e c o n t r o l d e c a li d ad q u e v a n d e 3 a

1 6 . E st a s c h s i f k a c i o n e s n u m é r i c a s re f le j a n b p r e c i s i ó n d e l p e r f i l d e l

d i e n t e , e l e s p a d a d o d i e n t e a d i e n t e y e l a c a b a d o s u p e r f ic i a l. L a v e

l o c i d a d v , e n b l in e a d e p a s o e s u n t a ct o r q u e d e t e r m i n a l a c a li da d

r e q u e ri d a d e l e n g r a n e . L a ta b b 1 0 3 p r e s en t a b c a li d a d d e l e n g r a n e

r e c o m e n d a d a e n s is t e m a s i m p u l s o r e s m e c á n i c o s d e p r e c is ió n .

T A B 1 A 1 0 .5 C a li d a d d e e n g r a n e 1

r e c o m e n d a d a p o r l a a g m a 9

V e lo dd ad « b

h n a d ep u so

( f t /m i n , f p m )

Calidad sugerida

d d e n g r an e

( d a s if ic a d ó n d e b agua )

0-8 0 0 6 -8

80 0-2000 8 -10

3 0 0 -4 0 0 0 10-12

M ás d e 4000 12-14

1 0 .8 S E L E C C I Ó N D E U N E N G R A N E R E C T O

E n u n p r o c e s o d e d i s e ñ o , s e d e b e n e l e g ir l o s e n g r a n e s p a r a re a

l iz a r d e r l a t a r e a. C o n f r e c u e n c i a , l a ta r e a e s o b t e n e r u n a r a z ó n

d e v e l o d d a d d e t e r m in a d a . D e b i d o a q u e la m a y o rí a d e l o s e n

g r an e s e n o p e r a c ió n c u m p l e n c o n e l e s tá n d a r d e l a a g m a , e l d i s e

ñ a d o r t a n s o l o n e c e s i ta d e t e r m i n a r l o s p a r á m e t r o s c l a v e: e l p a s o

d ia m e t r a l, e l á n g u l o d e p r e s ió n y e l n ú m e r o d e d i e n t e s e n c a d a

e n g r a n e . L a m a y o r í a d e o t r a s c a r a c t e r ís t ic a s d e u n e n g r a n e s e

« b l e n d a r p m d d p i fi ón

50 100 300 600 90 0 1200 1800 2400 3 6 0 0

0 .05 20 20 24 32 32 32 32 32 32

0 .10 16 20 20 24 24 24 32 32 32

0 2 5 12 16 20 20 24 24 24 24 24

0 3 3 10 12 16 20 20 24 24 24 24

0 3 0 10 12 16 20 20 20 20 24 24

0 .75 8 10 12 16 16 20 20 20 20

U ) 6 10 12 16 16 16 20 20 20

1 3 6 8 12 12 16 16 16 16 20

2a 6 6 10 12 12 12 16 16 16

3a 5 6 8 10 12 12 12 12 16

5. 0 4 5 6 8 10 10 12 12 12

7 3 4 5 6 8 8 8 10 10 10

10 3 4 6 6 6 8 8 8 10

15 2 4 5 6 6 6 6 6 8

20 2 3 4 5 6 6 6 6 —

25 — 3 4 5 5 5 6 5 —

30 — 2 4 4 5 5 5 — —

40 — 2 3 4 4 — — — —

50 — — 3 4 4 — — — —

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276 CAPITULO DIEZ

determ ina con el uso de las relaciones estándar de la agma p re

sentadas en secciones anteriores.

10 .8 .1 Paso d i am c t r a l

En un proceso t íp ico de d iseño, e l pr ime r parám etro a e legi r es

d p a so d i a m e t ra l a d e c u a d o . C o m o el p a so d i a m e t ra l e s e l

tam año re lat ivo de l d iente de l engrane , se mant iene e l a rgu

m ento de q ue las fuerzas transmit idas y las propiedades de l m aterial del engran e afectan tal dedsió n. Los criterios precisos de

selección requiere n el cálculo de los esfuerzos en el dien te y las

pr es io nes d e co nta c to del en gra ne. L os p ro ced im ie nto s d e cá lc u

lo se incluyen en las especificaciones de la agma . Este nivel de

detalle va más allá del alca nce de este libro.

Se pueden obte ner fácilmente estimaciones conservadoras

de pasos d iametrales adecuados con la mayoría de los provee

dores de engranes comerciales. Los proveedores util izan los es

tándares de la AGMA p ira determ inar la capacidad para tran s

p o rt a r p ote nc ia d e s us en gr an es d e in ve nt ar io . P ar tiendo d e estosdatos, se logra u na estimación d el paso diam etral adecuado, ya

que se conocen la potenc ia nomina l t ransmit ida por e l par d e en

granes, la velocidad angular d el piñón y el material d d engrane.

G im o ejemplo, se indu ven estos datos en la tabla 106. E sta tabla

Esta pasos diametrales adecuados p ara engranes, a 20°, de acero

dulce con anch o de cara estándar, con base en la velocidad del

p iñ ón y la p ot en ci a t ra n sm it id a . Ha y ta bl as simila res par a á ng u-

b s d e pre si ón y m ater ia le s a lterna tivo s. E l u so d e es tas ta bl as se

lust r a con un e jemplo .

PROBLEMA DF. EJEM PLO 10.9

Se va a seleccionar un p ar de engranes de acero du ke para b mezcladora de concreto descrita en el problema de ejem plo 10 .3. L a m ez eb dora e s i m pu lsad a p or un m oto r de c om bu st ió n in te rn a d e 10 hp , a u n a v elocidad de 1800 r pm .

Ctterm inc un p aso diametral adecuado.

SO LU CI ÓN : Están especificados los engranes de acero dulce que son capaces de funcionar a 10 hp con una veloddad del piñón de 1800ipm. Tomando en cuenta criterios de interferencia, b tabb 10J indica que un piñón de 18 dientes con un ángulo de

presión d e 20 ° se p ue de aco pbr con cua lquie r ot ro eng ran e. La tab b 10.6 sugiere q ue se de be util izar u n pa so diam etral

igual a och o para transmitir b potencia. Por ello, un piñón de acero dulce de 18 dientes con un paso diametral de ochodebería resultar adecuado. Para una selección más confiable, es necesario efectuar u n análisis de resistencia completo.

1 0 .8 .2 Á n g u l o d e p r e s i ó n

H segundo p arám etro que se debería seleccionar es el ángulo de

pr es ió n. C o m o s e m en ci o nó, lo s v alor es es tá ndar d e los án gu lo sde p resión son \A'A*, 20* y 25°. Recuerde que los engran es de 14/í°

se recom iendan únicam ente p ara sustituirlos engranes d e 14!4®en

las m áquin as ya existentes. Los engrane s con ángu los d e presión

iguales a 20" se ada ptan bien a las aplicaciones generales. Los en granes con ángulos de presión de 25° puede n ser más pequeños,

sin preocuparse po r la interferencia, pero su eficiencia es me nor en

la transm isión de la tue rza P or lo tanto, están m ejor adaptados

pa ra ap lic ac io ne s de al ta v eloc idad y baj a pot encia.

1 0 .8 .3 N ú m e r o d e d i e n te s

Fina lmente , se deb e de te rm inar e l núm ero de d ientes de l en

grane . Esta dec isión p or lo genera l depende de la razón de ve

locidad deseada. Se suelen preferir los en g ra ne más pequeños

p orq ue m in im iz an el ta m añ o, el pes o y el co sto. D es de lu eg o, el

tamañ o mínim o lo de te rmina n los c r i te r ios de in te rfe renc ia .

El núm ero de d ientes de u n engrane t iene que se r un ente ro .Aun cuando esta premisa p arece evidente, debe ser un a conside

rac ión permanente , ya que la obtenc ión de u n n úm ero ente ro se

dif icu l ta ría , además de que los fabr icantes de engranes no

t ienen en inventa rio engranes con incrementos de un d iente. La

t ib ia 10.7 li s ta los en g ra n a com unes d isponib les comerc ia l

mente . Se recomienda consu l ta r un ca tá logo espec í fico , como

Boston Gear. Browning Gears o M artin Sprock et 8c Gear, para

e legir el n úm ero d e d ientes , como o p c io n a adic iona les a las l is

tadas en la tabla 10.7,

TABI A 10 .7 Nú m e r o de d ie nte s de e ngr ane s e n inve ntar io c ome r c ia lmc nte d i s ponib le s

R b m d i a m e t r a l d e 3 2

1 2 1 6 2 0

14 18 24

( t o o d i a m e t r a l d e 2 4

12 18 24

1 5 2 1 2 7

R e o d i a m e t r a l d e 2 0

12 16 24

14 18 25

1 5 2 0 3 0

2 8 3 6 4 8

3 2 4 0 5 6

3 0 4 2 5 4

3 6 4 8 6 0

3 5 5 0 8 0

4 0 6 0 8 4

4 5 7 0 9 0

6 4 8 0 1 1 2

7 2 9 6 1 2 8

7 2 9 6 1 4 4

8 4 1 2 0

100 160

120 180

140 200

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E n g r a n e s : a n á l i s is c i n e m á t i c o y s e l e c c ió n __________ 277

P T A B L A 1 0 . 7 ( C o n t i n u a c i ó n ) |

r P i s o d i a m e t r a l d e 1 6

12 16 2 4 3 2 4 8 6 4 9 6 160

1 4 1 8 2 8 3 6 5 6 7 2 128 1 9 2

1 3 2 0 3 0 4 0 6 0 8 0 144

P u o d i a m e t r a l d e 1 2

1 2 15 2 0 2 8 4 2 6 0 8 4 120 1 6 8

13 16 21 3 0 4 8 6 6 9 6 132 1 9 2

1 4 18 2 4 36 5 4 7 2 108 14 4 21 6

A n o d i a m e t r a l d e 10

12 16 2 4 3 0 4 5 5 5 8 0 12 0 20 0

1 4 1 8 2 5 3 5 4 8 6 0 9 0 14 0

1 5 2 0 2 8 4 0 5 0 7 0 100 160

H i to d i a m e t r a l d e 8

1 2 16 2 2 32 4 4 6 0 8 0 11 2

1 4 18 2 4 3 6 4 8 6 4 8 8 120

1 5 2 0 2 8 4 0 5 6 7 2 9 6 128

P u t o d i a m e t r a l d e 6

1 2 16 2 4 33 4 8 6 6 9 6

1 4 1 8 2 7 3 6 5 4 7 2 10 6

1 5 21 3 0 4 2 6 0 8 4 1 2 0

A l to d i a m e t r a l d e 3

1 2 16 24 3 0 4 5 7 0 110 1 6 0

U 18 2 5 3 5 5 0 8 0 120 180

1 5 2 0 2 8 4 0 6 0 100 140

PRO BLEMA D E EJEMPL O 1 0 .1 0

Se utiliza u n engranaje reductor para un pequ eño mo tor en u n bote de pesca. I-os engranes deben transm itir 5 hp dem mo tor eléctrico que gira a 900 rpm a la hélice que gira a 320 rpm. Seleccione un conjun to de engranes para realizar

esta tarea.

SO LU CIÓ N : I . D et er m in e e l pa so d ia m etr a l y e l án gu lo d e pre sió n ade cu ad os

Com o esta aplicación requiere engranajes en general, se usa u n ángu lo de presión d e 20". Si se pa rte de la tabb 10.6,

m estimado del paso diametral adecuado es:

Pj - 10

2. Emplee la razón de velocidad requerida para iterar y determ inar el número de dientes adecuado

La razón de velocidad requerida es

= 2 l l25"bitpukadj 32 0 ipm

Reagrupando la ecuación (10.19)

N ) = = N^ 2M2>>

Co m o generalmente se prefiere un ensamblaje m ás pequeño, se sustituyen los valores de los dientes del

pi ñó n (im pu lsor ), in ic ia nd o c on u n pi ñón lo m ás pe qu eñ o posible. Obs er ve q u e se debe a pl icar u n proceso it e

rativo, porque el núm ero de dientes debe ser un entero. Usando:

NmfuUo, - 13, Nmiuh4do - 13 - 3 656

N t np lw r = 14. Nimpukedo = h ( ^ ) = 3 958

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278 CAPITULO DIEZ

^npdaof “ 15,

Nm.pubor = 16. H * * * " i í ( ü ) - 45

la combinación de enteros más pequeña es de 16 y 45 dientes. Asimismo, si se parte del análisis anterior, un paso

ciametral adecuado es de 10. l a tabla 10.7 confirma que estos engranes están disponibles comercialmente.

3 . Calcule lot diámetros d e paso y la distancia entre centros

Ib r últim o, los diámetros de paso correspondientes y la distancia entre centro s son:

d , =

Ni 16 — = — = 1.6 in

P j 1 0

4 = ^ 4 5 , = •- - - . 4 3 m

^«ngrínacucmcB B Id , + d ,) (1 .6 + 43 ) ____

2 2

Co n frecuenc ia , los engranes s e e ligen para mo dif ica r la

razón de ve loc idad entre los e jes de un máquina existente .

O curre u na situación parecida cuand o los ejes de los engranes

se deb en espaciar una distancia específica debid o a o tras restric

ciones. Ambas situaciones limitan la distancia entre centros de

los engranes. En casos así , e l núm ero d e d ientes e legido para

cada eng rane quizá no sea e l m ás pequeAo posib le , s ino e l nece

sario p ara satisfacer el requerim iento de distan cia entre los ejes.

También se puede u sar u n d iente m ás grande que e l necesar io

p i r a cu m p li r co n la d is ta nci a en tr e e je s. F in al m en te , es pos ib le

que se requiera alguna desviación de la razón m eta para especi

ficar los en gran es estándar. E n general, las relaciones explicadas

al o largo de este capítulo sirven par a especificar cualquier con

ju n to d e en gra nes . Lo s e je m p lo s sigui en te s m u e s tr a n al gu no s

escenarios posibles.

PRO BLEMA D E EJEMPLO 1 0.11Un par de engranes es impulsado por un motor eléctrico y se usan para impulsar el eje de u n tom o a 200 rpm . En la

figura 10.14 se ilustra este sistema impulsor. El mo tor de 1h p se sustituirá po r un mo tor más eficiente, pero de a lta ve

locidad. co n velocidad de 60 0 rpm. Para llevar a cabo tal modificación, se debe seleccionar un nue vo coiqu nto de en

granes que ma nten gin la velocidad del husillo a 200 rpm. Sin embargo, los engrane s están montados en u na car

casa complicada q ue no se pued e modificar. Por lo tanto, la distancia entre centros de los engranes d ebe permanecer

o í 7 5 in. Especifique el con jun to de engra nes a utilizar.

Engrano

figura to .u Impulsor del torno del problema de ejemplo 10.11.

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Engranes: a ná lisis cine m áti co y selección _________279

S O L U C I Ó N : I . tspecifique la razón d e engrane y la distancia e ntre centros

Los principales parámetros de este problema so n la razón de velocidad y la distancia entre centros, la razón de

velocidad requerida es:

“ • ímr ub o r» 6 0 0 r p mV R = — = ------ — = 3J)

•Ovnpdud» 20 0 rpm

Entonces,

VR - y - 3.04

lo cual se replantea como:

4 - 3 4

Adicionalmcntc, la distanc ia entre ce ntros es:

2. Det erm in e el d iá m et ro re qu er id o de los e n g ra n a

Usando estas relaciones, se determinan algebraicamente los diámetros de paso adecuados mediante:

4 + J , 4 + 3 4 < 4 _ . j " 2 “ 2 " 7 3

Despejando,

4 - 3 .75 i n

yd¡ - 3 (3 .7 5) - 1 1 25 in

3. Det erm in e el p aso d ia m etr a l ade cu ad o

Ahora el problema se reduce al cálculo del paso diam etral adecuado y del núm ero de dientes que resultan del paso

diametral requerido. Co mo esta aplka ción implica engranajes en ge neral se utiliza un ángulo de presión de 20*.

Remitiéndose a la tabla 10.6, un estim ado del paso diametral adecuado es de 14. Por consiguiente, se considerantan solo valores de P jt £ 14. Al relacionar el paso d iam etral el p aso diametral y el núm ero de dientes, se calcula lo

siguiente:

= ( 4 ) ( P ¿ = 3 . 7 5 P j

Ná ufám io - (Vfi)Nmpabo. - 3NU,ubo, - 3(3.75 P d - 1 12 5Prf

Se sustitu>'en lo s pasos diametrales de 14 y meno res en estas dos ecuaciones . Recuerde qu e tan so lo son váii-

dis las soluciones con núm eros de dientes enteros. D e la iteración a través de todas las combinaciones, solamente

tres so n los factibles.

La mejor alternativa depende ría d e la disponibilidad de engran es estándar, el costo y el peso del engranaje.

Advierta que la velocidad de salida será exactamente de 20 0 r pm . En muchas situaciones, no s e logra obtener exacta

mente la velocidad impulsada. En el siguiente problema se ilus tra este casa

PRO BLEMA D E EJEMPLO 1 0 .1 2

En la figura 10.15 se ilustra el ventilad or de escape de un engrane im pu lsa da v la carcasa. Para mejora r el flujo de aire,

h velocidad del ventilador necesita incrementarse a 460 rpm, o b ien, acercarse a esta velocidad tan to com o sea posible.

Se utilizará el moto r existente de 3 h p que fimeiona a 1750 r pm . La carcasa no se deberla alterar, pues tiene un sistema

de soporte con una distancia entre centros de 9 5 in. Seleccione un conjunto de engranes para esta aplicación.

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280 CAPITULO DIEZ

S O L U C I Ó N :

h g u r a 10.15 Ventilador del escape del problem a de ejemp lo 10.12.

Esp ec ifi qu e la razón de engrane y la distancia entre centros

Como en el problema de ejemplo 10.11. lo* parámetro* principales de este problema so n b razón de velocidad y

la distancia entre centros. La razón de velocidad requerida es:

«"ra pu1k>r« 1750rp m

VR= ■ T ü ¡ 5 = r - M 0

Este escenar io de d ise r to se com pl ica por una razón d e ve loc idad no f racc ionar ia . Es impo sib le

obtener una ve loc idad impulsada de 460 rpm exac tamente , usando u n número ente ro d e d ientes de en

grane. Lo anterior se resuelve si se redond ea la razón d e velocidad a un valor fraccionario.

(})VR - ( - r | *» 3.75

Este redondeo dará u na velocidad inducid a de:

/ n ,ra puliera \ /1 7 5 0 rp m \

- 1 . - 5 5 5 “ J - « ' P -

S se supone q ue el ventilador funciona adecuadamente a esta velocidad,

J ¡ = 3.75 d,

Como antes, la distancia entre centros es:

(4 + 4)‘-ragrinc. m m « - j ~ 5-5 111

2 . Dete rm in e lo s diám et ro s req ue rido s de los e ngr anesCon el uso de tales relaciones, se determ inan algcbrakamente los diámetros de paso adecuados.

(di + 3.75d|) 4.75d|C i n c n iM i M H M i ■ ~ “ ~ m

Despejando,

d¡ = 4 i n

r

d¡ = 3.75(4) = 15 in

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F njr ane>: an álisis cine m áti co y selección _________ 281

3. Det erm in e un pa so d ia m etr a l adecu ad a

Com o ante», el problema se reduce ahora al cálculo de u n paso diametral adecuado y del núm ero de diente» que

resulte de los diámetro» de paso requeridos. Como se mencionó, el cálculo de diente» enteros es im probable de

b id o a la r az ón d e la ve loc ida d de cim al. S e nec esi ta u na s oluc ión ite rativa.

Com o esta aplicación implica engranajes en general, se usa u n án gulo de presión de 20*. Remitiéndose a

la tabla 1 0 6 u n estim ado del paso diametral adecuado a de 12. Por lo tanto, se consideran tan solo valores de

P j s 12. Al relacionar la velocidad, el ( «so d iame tral el paso diametral y d núm ero de dientes, se calcula lo sí

gnente:

Nrapubo, - W W " 2 P4

N npu W o = = 3 .7 5N tapuhor = 3.7 5(2 P J = 7 5 P j

Se sustituyen los pasos diametrales de 12 y meno res en estas dos ecuaciones. Recuerde qu e tan so lo son váli-

ctas las soluciones con núm eros de d ientes enteros. Al calcula r todas las comb inaciones , tre s son factibles.

l -by o t ras combinac iones posib les con engranes que t ienen un paso d iametra l m enor de 8 . Otra vez , la

m ejor alternativa dependería de la disponibilidad d e engranes estándar, el costo y el peso del co njun to de

10.9 CIN EM ÁT ICA DE LA CREMALLERA

Y EL PIÑÓ NEn la sección 10.2 se analizó brevemen te un sistema de piflón-

cremallera, que se m uestra en la f igura 10.3b. Sirve para convertir

e l movimiento g i ra tor io de u n p i f ión en m ovimiento de t ras

lación d e la cremallera. La aplicación m ás digna de mención del

sistema cremallera-pifión está en la dirección d e lo s automóviles,

don de el movim iento giratorio del volante de la dirección em

pu ja b p a r te p o st e ri o r d e la s ru ed as de la n te ra s, d ir ig ie n d o al

vehículo en un a nueva d irección. Entonces, el m ovimiento gira

torio se convierte en lineal. Una cremallera y un pifión también

func ionan de ta l manera qu e el movim iento l inea l de la c re

mallera haga gira r el pifión.

Com o se mencionó brevemente en la secc ión 10 .5 .3 , una

cremal le ra es un cas o espec ia l de engrane rec to . Cu and o e l

diámetro d e un engrane se vuelve m uy grande, el perfil local de

los d ientes se asemeja a u na c rem al le ra . De hecho , una c re

m a l l era se p u e d e t r a t a r m a te m á t i ca m e n te c o m o u n e n g ra ne

recto con paso diametral infinito. Por consiguiente, todas las

pro pie dad es g eo m ét ri cas d e u n en g ra n e re ct o q u e se p re sen

ta ron ante r iorm ente tam bién se apl ican a un a c remal le ra . La

única diferencia es qu e en vez de referirse a un paso diametral,

la cremallera tiene u na línea de paso.

Desde el pu nto d e vista cinemático, el movimiento girato

rio del pifión y el lineal de la cremallera se relacionan med iante

los concep tos presentados en el capítulo 6, ecuación (6.5). La

ecuación de desplazamiento de b crem allera está dada por:

A Ro o n a ü = r (A 0 > =(*Wn)<A<W«>

( 10 . 2 0 )

do nd e A0pift6o se deb e especificar en radianes. La m agn itud de

b v e lo d d ad line al d e l a cr em al le ra e stá dad a p or :

b u l l e n = «"pútónrpémsn = ------------ (10 .21)

PRO BLEMA D E EJEMPL O 1 0 .1 3

Se utilizan un a cremallera y un pifión sobre u m p rensa para taladrar com o se indica en b figura 10.16. El pifión tiai e 16

«Scntcs y paso igual a 16. Determ ine b distancia que dcb e(n) girar el m ango (y el pifión) para avanza r el taladro 0.75 in.

SO LU CIÓ N: De b ecuación (10.20), la rotación que se desea del pifión es:

Y

V a n 16

* “ ■• * t í ■ IJJ,n

2(0.75in) . . ,

r'n6n = i L O b j " =

A l c o n v e r t ir a g r a d o s .

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282 CAPITULO DIEZ

Cremallera

f i g u r a 1 0 . 1 6 Prensa ta ladradora de p i ñ ó n y cremallera.

PROBLEMA DF, EJEM PLO 10.14

Para la prensa taladradora descrita en el problema de ejemplo 10.13, determine la velocidad a la que d ebe girar el

pi ñó n pa ra av anzar el t al ad ro a u na v elo cid ad de 12 in /m in .

SO LU CIÓ N: l> la ecuación (10 51), la velocidad angular del piñón se determina po r

2 V a m m 2(12in;m¡n)“ ' r ioon “ — i " — — ■ 2 4 r a d / m m

n d p n a n 0 0 i n )

Convirtiendo a revoluciones por m inuto,

“ [ . fw " 2 4 " 3<82 T m

10.10 CINEM ÁTICA DE UN ENGRANEHELICOIDAL

En la sección 10.2 se presen taron los engranes helicoidales, qu e

se m uestran en la figura 10.3d. El desarrollo de los engranes he

licoidales en realidad se dio cuando lo s operadores d e máquinas

descubrie ron que los engranes escalonados func ionab an más

suavemente y con m enos ru ido qu e los engranes rec tos. Un en

grane es calonado consistía en varios engranes rectos delgados

colocados lado a lado , don de cada engrane g i raba a un ángulo

p eq ueño en re la ción c o n el en g ra n e a dy ac en te . El en g ra n e a p ilado resultante no ejercía el m ism o impacto fuerte que norm al

mente t ienen do s d ientes cuando entran en contac to (p . e j . los

engranes rectos ordinarios).

Los engranes helicoidales son el caso extrem o d e engranes

escalonados, ya qu e los dientes n o están escalonados, sino in di

nados hacia el eje del engrane. C uand o se util izan sob re ejes p ara

lelos, los engranes helicoidales propo rcionan un co ntacto trasto

p odo d e lo s d ie nt es , e s d e d r , c u a n d o el ex tr em o fr on ta l d e un

diente entra en contacto y comienza a l levar la carga transmitida,

d extremo posterior del diente anterior también está en contacto.

Esto ocasiona un a operac ión más suave y menos ru idosa , con

forme un diente se carga de man era gradual. Po r tales motivos,con frecuencia se prefieren los engranes helicoidales, aun cu ando

son más difíciles de fabricar y, como res ultado, son más costosos.

Los engranes helicoidales se diseñan ha cia la derecha o ha da

b iz quie rd a, se gú n la p e n d ie n te d e in d in a d ó n del d ie nte . Los

dientes helicoidales, cuya pen dien te baja had a la izquierda, se di

señan con una hélice had a la izquierda. Por el contrario, un en

grane helicoidal con d iente s hacia abajo a la derecha, se diseña

con un a hélice had a la derecha. El engrane helicoidal supe rior

mostrado en la f igura 10Jd es un engrane had a la izquierda

Los engranes helicoidales tam bién se usan e n ejes no parale- b s s in m od if ic ar su geometría intrínseca. Tal configuración se co

n o c e c o m o engranes helicoidales cruzados . S in embargo, e n lasconfigurado nes cruzadas, las fuerzas requeridas para impu lsar

d conjun to de engranes se incremen ta dramát icamen te con el

ángulo del eje. Por lo tanto, configuraciones asf se recomiendan

en apl icadones de t ransmisión d e meno r potenc ia .

las relaciones geom étricas y cinemáticas de los engranes

he licoida les so n mu y pare adas a las d e los engranes rec tos. La

diferencia principa l es la definición del ángulo de hélice <¿,que es

d ángulo de ind inad ón de los d ientes . Este ángulo se muestra

en el engrane helicoidal h ad a la izquierda de la figu ra 10.17.

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Engrane»: análisi» d n e m á tico y selección 283

mal se relaciona asimismo con el án gulo d e presión transversal

mediante

La vista de la sección transversal de un engran e helicoidal,

pe rp end ic u la r a l ej e del en g ra ne , p ar ec e id én ti ca a la d e u n en grane r ec ta E sta vista es prod ucto d e la sección A-A d e la (¡gura

10.17, llamada sección tra nsve rsal . las propiedades geométricas

del diente definidas para lo s engrane s rectos se util izan en los

engranes he l ico ida les . Para e l iminar confusión , estas pro

p ie dad es se d es ig nan c o m o p ro pie d ad es tr an sv er sa le s. El pa so

circular transversal, el áng ulo de presión transversal y el pas o dia

metra l t ransversa l son idént icos a las def in ic iones correspon

dientes d e los engranes rectos. En la figura 10.17 se ilustra el

pas o c ir cu la r tra ns ve rs al .

Algunas prop iedades g eométr icas adic iona les se definen

observand o la sección transversal, norm al a los dientes d el en

grane. Esta vista se genera p o r b sección B-B en la figura 10.17,

llamada sec ció n n or m al

El p is o circular n or m al p n se define com o la distanda entre pu nto s co rresp ond ie nt es de u n en gr an e, m ed id os sob re e l d re ulo

de paso y normal al diente del engrane. El paso circular normal

también se m uestra en ki figura 10.17. El paso árcu lar normal se

re ladona con e l paso á rcula r t ransversa l por medio de t r i

gonometría.

p " = p e o s 4> ( 1 0 .2 2 )

El p is o diam et ra l no rm a l P¿".se define usando el paso árc u

lar normal, de m odo p are ad o a la ecuación (10.5).

P3 =

El módulo normal m" se def ine asimismo como:

m n = i r p n

También p or t r igonom etr ía ,

P j - P j jc o s4>

m " m = -

eo s 4»

(10.23)

(10.24)

(10.25)

(10.26)

t a n ^ " = ta n0cosd> (10.27)

Los engranes helicoidales ra ra vez se intercamb ian: p or lo

tan ta n o hay sistemas de d ientes estándares com o los descritos para lo s e n gra n es re ctos . Las di m en si o nes pr ef er id as d ep en den

usualmen te del m od o en qu e se crean los engranes helicoidales.

Cu a n d o e l e n g ra n e se c o r ta a t r a v é s d e u n a o p e ra d ó n d e f r esa d a el paso diametral norm al deberla ajustarse a los estándares

is tados en b tab la 10 .1 . Por e l co ntr a r ia cuando un engrane se

am a con un cor tador , e l paso d iametra l transversa l t iene que

a justa rse a los va lores de b tab la 10.1 .

O ángulo de hé l ice en b mayoría de los engranes var ía en

t re 15* y 45° . Com o los d ientes se encuentran a d er to ángu lo de l

eje. se prod uce un a carga de em puje en los engranes helicoidales

acoplados. La fuerza de empuje var ía d i rec tamente con b tan

gente d d ángu lo de hé l ice ; po r consiguiente , los ángulos dehé lice m ás grandes requie ren suf ic iente soporte axia l en d en

grane y en d eje.En aplicaciones con ejes paralelos, b razón d e velod dad de

h ecuación (10.19) tam bién se aplica a los engranes helicoidales.

Dos requerimientos adidon alcs a los de los engranes rectos, para

un acoplam iento adecuado de engranes helicoidales, son:

1. Los engranes deben tene r ángulos d e hélice iguales.

2. Las hélices de los dos engranes acoplados deben ser de

sentidos opuestos. Es de dr, un en grane de be tener la hélice

ha da b izquie rda y e l o t ro ha cb la derecha .

La presencia de un án gulo de hélice también ayuda a elimi

n a r l a i n te r f ere n c ia . Ya se d e d u jo u n a e c u a d ó n s im ib r a b

ecu adó n (10.13) para los engranes helicoidales, de m odo que el

n ú m e ro m ín im o d e d i e n t e s e n e l p if l ó n q u e se p u e d e u sa r

—cu a n d o se a c o p b co n u n e n g ran e d e cu a lq uie r ta m a f la sin

pre oc up ar se p o r b in te rf er en ci a— s e d et er m in a co m o:

> ( , a 2 8 )sen*d>

Los va lores obtenidos con esta ecuad ón se resumen en b láb i l

10.8 .

El ángulo de presión norm al 0" tam bién se def ine a par t i r de b vi st a n orm al d e b fo rm a d e l di en te . El án g u lo d e pre si ón n or-

T A B L A 1 0 . 8 D i e n t e s m í n i m o s p a ra e l im i n a r l a ¡j

i n te r fe r e n c ia e n u n e n g r a n e h e l i c o id a l H

r

A n g u l o d e h d l c t

A n g u l o d c p r c s i A n n o r u M l .¿ <1

14 '* 20“ 25*

0( en g ran e recio) 32 17 12

T W

15*

32 17 1231 17 12

29 16 II

a r

22J*

25 '

27 15 10

25 14 10

24 13 9

30-

1QI

21 12 8

1ti IA 7

« •

IB I U 7

■ 5 8 6

« • 1 2 7 3

F IG U RA 1 0.1 7 G e o m e t r ía d e u n e n g r a n e h e l ic o i d a l.

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284 CAPITULO DIEZ


Para reducirel m ido en un eng rane impulsor, je sustituyen dos engranes de paso 12, co n 20 y 65 dientes, por engranes

helicoidales. El nuevo conjun to de engranes debe tener la misma razón de velocidad. Com o se usará la misma carcasa,

la distancia entre centros también deb e permanecer igual. Su pong i que los engranes helicoidales se fabricaron por

fresado.

S O L U C I Ó N : I . Calcule la razón de selocidad deseada y la distancia entre centros

La razón d e velocidad original y la distanc ia entre cen tros se calcula como:

^mpubKlo 65VR = = 3.25

(N, + Nj) (20 + 65)C ngnna«ttcraat " ^ ^ « 3.4m

2 . Dete rm in e un pa so d ia m etr a l ad ecua do

Como los engranes se cortarán c on una fresa, el paso diametral normal se deberla ajustar a los estándares Estados

en h tabla 10.1. Los engranes originales tienen u n pas o diametral de 12; por lo tanto, se sup one que los dien tes son

b su fr ie n te res ist ent es. E nto nces, se selecc ion an los e ng ra ne s heEco idales con u n pa so di am etra l d e 12.

3. Det er min e el n úm er o a de cu ad o d e dien te s

Al sustituir b ecuación (10.22) en b ecuación (10.7), se realizan los siguientes cálculos:

_ w + l f r ) _ w +

^-eigrsim nlRROt ¿P Jc O S? 2(12 cOS?) ‘ “

Asimismo.

Por lo tanto.

lo cual se red uce a:

Ny

N,

( N t + 3 2 5 N ;)

24eosv

A192

Esta ecuación indica que Ni debe ser meno r que 192 en la aplicación. Por ensayo y erro r se consideran las

sguicntcs combinaciones de b tabla 10.9.

Se utiliza la prime ra solución par a generar núm eros enteros para am bos dientes. Se seleccionan u n pinón de 16

dientes y u n eng rane de 52 dientes con un ángu lo de héEce de 33.55°. Observe qu e al aplicar los criterios de interfe

rencia de b tabla 103, se utiliza un ángu lo de presión norm al de 20° o de 25°.

T A B L A 1 0 . 9 I t e r a c i o n e s d e l p r o b l e m a

d e e j e m p l o 1 0 . 1 5

D i a n a D i e n t a P a to A n g u l o P a so

d e l p i f ió n d d e n g r a n e d i a m e t r a l d e h d i c e d i a m e t ra l

N , N , n o r m a l P J 9 E í

19 61.75 12 82 7 1138

18 583 0 12 2036 1125

17 55 25 12 27.70 932

16 52 12 3335 9.00

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Engrane»: an álisis d n c m átic o y selección _________285

10.11 CINEM ÁTICA DE ENGRANES

CÓNI COS

Ixb engra nes cónicos se presentaron en la sección 102 y se ilus

tran en la figura 10J f . Ixxs engranes cónicos son útiles en la trans

misión de m ovimiento en tre do s ejes que se intersecan. Una de

b s p ro p ie dades m ás i m p o rt an te s d e u n a co n fi g u ra c ió n d e en granes cónicos e s el ángulo de eje £ . El ángulo de eje se define

como e l ángulo ent re 1as l ineas centrales de los ejes de soporte.

Las aplicaciones com unes de engranes c ónicos consisten en ejes

que se in te rsecan en ángulos rectos o q ue t ienen un ángulo de

ejes de 90*.

Co m o se expuso en la sección 10.1 y se m uestra en la figura

10.2, los engranes rectos tienen la m isma cinem ática qu e la de

dos rodillos de fricción, l íe m odo similar, es posible sustituir los

engranes cónicos p or d os con os de f r icc ión . Co n esta geometr ía

cónica , la profun didad de los d ientes de l engrane se est recha

desde aiuera ha cia la parte med ia. La mayoría de las característ ica geom étr icas de l d iente u t i l izadas en los engranes rectos,

tales como el paso diametral y el adendo , se aplican para los en

granes cónicos. Lo a nter ior se obse rva en la sección axial de los

dos engranes cónicos acoplados m ostrada e n la f igura 10.18 .

Co m o los dientes se angostan , las características del diente se

mide n en el borde exterior del diente.La razón de ve loc idad angular , com o se presentó para los

engranes rectos d e la ecuación (10.19), tam bién es aplicable a

los engranes cónicos. El paso diametral y el ángulo de presióntam bién tienen la m isma definición q ue en lo s engranes rectos y

deben ser idénticos en lo s engranes cónicos para q ue se acoplen.

0 paso diametral de los engranes cónicos generalmente sigue elestándar de valores presentado en la tab b 10.1. La mayoría de los

engranes cónicos se fabrican con u n á ngulo de presión de 20°;

sin embargo, b forma del diente n o es usualmente un a involuta

debido a la dificultad de su manufactura. Se han desarrolbdo

pe rf iles a lt er nat iv o s, q u e so n m ar ca s re gis tr ad as d e lo s v en d e

dores y sirven co m o ventajas competitivas.

Adem ás del paso diam etral y del ángulo de presión, los en

granes cónicos se clasifican po r su ángulo de paso y . El ángulo de pas o e s e l án g u lo g en era d o p o r el co n o so b re el cu al se cons

truye el engrane. Se ha n identificado los áng ulos de paso de los

dos engranes acoplados m ostrados en la figura 10.18. El ángulo

de paso de cada engrane es un a (unción d e la razón de velocidad

y se expresa como:

s e n S

(

t a n - y ^ ^ =

- « * f e ) }

s e n l

(10 .29)

(10 .30)

Co m o e l c o n o d e p a so e s u n a fu n d ó n d e b r a z ó n d e v e lo d

dad, no se puede sust i tu i r un eng rane cónico indiv idua l paramodificar la razón, com o es el caso en los engranes rectos. Por

lo tanto, los engranes cónicos se comercializan en paquete.

Bi la figura 10.18 es evidente que b sum a de los áng ulo; de

poso d e los d os en gra ne s aco plad os de be ser ig ua l al án gu lo d e eje.

Entonces,

^ Y p t ft dn y engrane (10 .31)

Un engrane de inglete, com o el mostrado e n la figura 10 Jg,es un cas o especial de eng rane cónico con u n ángu lo de eje de 90°

y una razón de ve loc idad de 1 , Co n b s ecuad ones (10 .29) y

(10JO ), el ángulo de paso de am bos engranes de inglete es de 45°.

El m ontaje de lo s engranes cónicos es crit ico. Para lograr un

¡xopbm icnto idea l, e l vér tice de los conos de am bos engranesdebe esta r en b misma ubicac ión . Cua lquie r desviadón pod ría

causar holgu ra excesiva o interferencia. Debido a b geometría

intrínseca de los engranes cónicos, por lo m enos un o de los en

granes debe estar sujeto en el extrem o d e u n eje en voladizo. Estaconfiguración trae p o r si m ism a deflexiones excesivas, b s cuales

también suelen causar problemas de holgura.

la s cargas de em puje axial desarrolladas po r los engranes

cónicos acoplados siemp re tienden a separar los engranes. Esto

pue de c o n tr ib u ir a la de flex ión del e je y ta m bié n s e d ebe t o m aren cu enta. Desde luego, los cojinetes de so porte del eje tamb ién

se t ienen q ue configurar para sopo rta r esta fuerza de empuje .

figura 10.18 Engranes cón icos acoplados.

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286 CAPITULO DIEZ


I h par de engranes cónicos tienen 18 y 27 dientes, que se usan en ejes qu e se intersecan en tre s( a un án gulo de 70*.

[>term ine la razón de velocidad y los ángulos de paso de am bos engranes.

S O L U C I Ó N : I . Calcule la razón de velocidad

l a r a z ó n d e v e l o c id a d s e d e t e r m i n a c o n l a e c u a c i ó n ( 1 0 . 1 7 ) .

VR - - 27dÍCn,CS - , .5 Njinán 18 dientes

2 . Calcule los ángulos de paso

Los ángulos d e paso se calculan con kisecuaciones (10.29) y (103 0).

s e n I lanypnón

^ [ s e n ( 70 * )

y p B fl n [ ( e o s 7 0 * ) + ( 2 7 / 1 8 )27 .02*

s e n S•anyBigran« =

k * ® ],1 sen(70*)

' 1 (00,70*) M - / 2 7 ) J = 429 r

10.12 CINE MÁ TICA DE UN ENGRANESIN FIN

En la sección 10.2 se describieron un tor nillo sin fin y un e n

grane sin fin, que se ilustran en la figura 10.3h. El tornillo sin finy e l engrane s in f in se emplean para t ransm it i r mov imiento en

tre ejes n o paralelos que n o se intersecan. C on un eng rane sin

f in, se podrían obtener razones de ve loc idad grandes en un es

paci o m u y lim it ad o . El e n g ran e p e q u e ñ o se con o ce co m o

tornillo sin f in ', e l e n g ra n e m á s g ra n d e , c o m o engrane sin f in,

rueda s in f in o s implemente engrane

El torn i l lo s in f in se asemeja a un s imple torn i l lo , po r lo

que co n frecuencia los dientes d d tom illo sin fin se denom inan

cuerdas (figura 10.3b). Los tornillos sin fin se fabrican com ún

mente con un a , dos o cua t ro cuerdas, de m odo q ue e l número de

dientes (cuerdas) de un tomiHo sin f in, N „ e s una propiedad im

po rt an te . FJ co nce pto de cu er da s m últ ip le s s u p erp u esta s e n un

tornillo sin fin individual se i lustra en la figura 10.19.

■ a

C u e r d a « to b le

FIGURA 10 .19 Concepto d e c u e r d a s m ú l ti p le s .

La forma del diente del engrane sin fin es usualmente una

involu ta . También es com ún cor ta r cóncavos los d ientes a t ravés

de la cara , de mo do qu e se a justen m ejor a l tomil lo s in f in c i lin

dr ico . Esta técnica se denomina diente de engrane sin f in em ol

iente. Es un in tento p or tene r un a m ayor hue l la de contac to so

br e la q u e se t ra n sfi e re n la s fuerza s. El to m il lo sin fi n ta m b ié n

se puede cor ta r con u na longi tud cóncava , de tal m anera que se

ajuste mejo r a la redondez, del eng rane sin fin. Cu and o se incor

p o ra n a m b a s o p c io n es, el en g ran a je s in fi n se d e n o m in a deibb le-emvl tura y brind a la huella de contacto más grande y la

mayor t rans m isión de potenc ia . En ta les conf igurac iones, el

tom illo sin fin y el engrane sin fin no s on intercambiables, dem odo q ue se adquie ren en paque te .

0 engrane s in f in es en rea lidad e l caso extremo de un en

grane helicoidal con un ángulo d e hélice grande, el cual enrolla

d d iente a l rededor de l engrane . Por lo tan to , e l to m il lo s in f in se

describe con todas b s propiedades geom étr icas de un engrane

helicoidal dadas en la sección 10.6. Los valores del paso dia m e

tral norm alme nte se ajustan a los estándares de la tabla 10.1. Los

ángulos de presión también se ajustan a los estándares de 14’/*,

20* y 25* usados en los engranes helicoidales. En b práctica, elángulo de presión también se e l ige con base en e l ángulo de des

p la za m ie nto del to m il lo s in fin, co m o se c o m en ta rá poste ri ormente.

0 tom illo sin fin se describe por el núm ero de cuerdas, el

¡aso diametral del tomillo sin f in paso pw y el ángulo de des-

fi a za m ie n to E l p a so d b m e t ra l de l t o rn i l lo s in f in se d e t e r

m ina de m odo parec ido a l de los engranes rec tos, com o el

diám etro del circulo tangente al paso diametral del engran e sin

fin. El pas o del tornillo sin fin tam bién es similar a b definición

de los engranes rec tos, es dec ir , es b d is tan cb en tre puntos co

rrespondientes sobre dientes (cuerdas) adyacentes. Estas pro

pi ed ad es geo m ét ri ca s d el to rn il lo s in fi n s e il ustr an en b fi gura

10.20 .

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Engrane»: an álisi» cine m átic o y selección _________287

FÍBO

Cbble cuerda -

fó si diametral

Angulo de desplazamiento

f i g u r a 10J O Geometría d e un tornillo sin fin.

En la f igura 10 .20 tam bién se m uest ra e l ángulo de des

pl az am ie nt o, el cu al es el án g u lo d e in cl in ac ió n de lo s d ie nte s

(cuerdas) . Dicho ángulo se ca lcula a t ravés de la re lac ión

trigonom étrica con otras características del tom illo sin fin.

t a n A = (10.32)

Para un engrana je s in f in aco plad a e l paso de l tom il lo s in

fin debe ser el mism o pa so del engrane sin fin. Entonces, de la

ecuación ( 10.1),

P w = P ,t r

P j(10 .33)

En ejes que están a 90°, lo cual es muy usual, el ángulo de

desplazamiento de l torn i l lo s in f in es igua l a l ángu lo de hé l i

ce d el engrane sin fin.

La razón de velocidad de u n en granaje sin fin se calcula

com o el núm ero de dientes del engrane sin fin dividido en tre el

núm ero d e cuerdas de l torn i l lo s in f in .

V R = N w (10.34)

Esto tamb ién es igual en la aplicación del engran e recto.

En la mayoría de los engranajes, el tom illo sin fin es el im

pu ls or , co nv ir ti en d o d e ese m o d o al c o nju n to en u n re d u ct o r d e

velocidad. La mayoría de los engranajes son irreversibles en el

sent ido d e qu e e l engran e s in f in n o puede hacer g i ra r e l tor

n i l lo . porqu e se desarro l la un a gran fuerza d e f r icc ión entrelos d ientes . Los impulsores i r reversib les tam bién se conocen

c o m o d e autobloquea Los torn i l los s in f in deben tener un án

gulo de desplazamiento m ayor de 10° aproximadam ente para

ser impu lsados po r el engran e sin fin acoplado. Esto daría lugar

a u n engranaje reversible, p e r o e s m u y r a r a

Aun cuando la i r reversib i l idad quizá suene como una

desventa ja , hay a lgunos benef ic ios. Por e jemplo , los equiposlevadizos po r lo general requ ieren que la carga se sostenga en

una altura d eterminad a, incluso cuan do se desactiva la fuente

de energía , como un m otor que se apaga . Com o e l tomil lo s in

fin ya no pued e hacer girar al engrane sin fin, la carga se bloqueaa cierta alt u ra E sta acción de freno se utiliza en varios disposi

t ivos m ecánicos co m o montacargas, ga tos y p la ta formas leva

dizas. En casos asi, se debe n an alizar la resistencia de los dientes

y la fricción prevista par a garantizar la seguridad.


Se necesita un engranaje sin fin para redu cir la velocidad de u n mo tor eléctrico de 1800 a 50 rpm. Con sideraciones de

resistencia requieren q ue se utilice un engr ane de paso 12, y se desea que el conjunto ten jp autobloquoo. Seleccione un jueg o q ue real ice es ta ta rea .

SO LU CIÓ N : I . Id ent ifi qu e e l núm er o d e di en te s ad em ado

La razón de v elocidad se calcuLi con l a ecuación (10.17).

IHOOrpm ^

afeen.. ' 50rpm

Cuando se sekcdo na u n tornillo sin fin de u na cuerda, el engrane sin fin debe tener

V R (36) „ a-• = • £ " 7 T 7

rx> la ecuac ión (1 0J3 ) y usand o un paso diametral de 12, el paso del tom illo se determina con:

2. Calcule el tamañ o del conjunto d e engranes

C o m o se desea autob loqu ea se utiliza un ángu lo de desplazamiento conservador de 5°. Con la ecuación (10.32),

se determina lo siguiente:

■ u - ü *n d w

(11(02618)tan5o = ----------------

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288 CAPITULO DIEZ

Al despejar,

d , - IXM99 in

El paso diametral dd en grane sin fin es:

w«n*r*n« 36 di en tes

Iter último , la distancia entre centros es:

(«Anillo + 4m r»r.) (1.0499 ♦ 3.0)c = -------------' ------------------------------ = 2.0 250 in

10.13 TREN ES DE ENGRANES

U n t r e n d e e n g ra n e s e s u n a se r i e d e c o n ju n to s d e e n g ran e sacoplados. Los trenes de engrane s se util izan com únm ente para

lograr reducciones d e velodd ad significativas. M uchas luentes

de potencia mecánica, com o los motores de com bustión interna,

las turbinas y los m otores eléctricos, op eran e n fo rm a efidente a

a l tas ve loc idades (1800 a 10000 rpm ). M uchas apl icadones de

esta potenc ia , como las puer tas au tomát icas de los esta

c ionamientos, las ruedas impulsoras de los autom óvi les y losvent i ladores de techo, requieren ba jas ve loc idades (10 a 100

rpm ) para su operac ión . Por e l lo , la reducc ión d e grandes ve loa-

dades es un requer imiento usua l , donde e l uso de t renes de en

granes es mu y com ún.

Por e jemplo, pod ría requer i rse la reduedó n de la ve loddad

d e u n e j e d e 1 80 0 a 10 rp m : u n a r e d u e d ó n d e v e lo d d a d d e180:1. Si se intentara esta reducción co n u n solo con junto de en

granes, la ecuad ón (10 .19) mostra r la que e l engrane impulsado

ser la 180 veces m ás gran de que e l engrane impulsor . Eviden

temente, el engran e impulsado seria demas iado grande, pesado

y

Una segunda op dó n, más lógica , se r ia red ud r la ve loc idad

en pasos, median te una serie de pa res de engranes. Se trata deun a estrategia qu e hace caer en cascadas las velocidades ang u

lares hasta la velocidad de salida deseada. Es exactamente la lógi

ca subyacente en lo s trenes de engranes.

O tándo se usan múltiples pares de engranes en serie, la razón

de velocidad total se cono ce como valor dd tre n TV, el cual se de

fine com o la velocidad de entrada al tren de engranes dividida en

tre la velocidad de salida del tren. Estoes congru ente con b defini

ción de la razón de veloñdad. El valor del tren es el produ cto de la

razón de velocidad de los pares individuales de engranes acoplados que integran el tren. En forma d e ecuación, se expresa como:

7 — = (V R ,)(V R I ) ( V R , ) .. . (10.35)w «i

0 signo algebraico resultante de la multiplicación de las ra

zones individuales de velocidad determina la dirección relativa

de giro de los ejes de en trada y de salida. Los valores positivos

indican que los e jes de ent rada y de sal ida g i ran en la misma di

rección, en tan to los valores ne gitivos indican giros opuestos.

PRO BLEMA D E E JEMPLO 1 0 .1 8En la figura 102 1 se m uestra un tren de engranes. Los engranes tim en las siguientes propiedades:

f i g u r a 10.21 T r e n d e e n g r a n e s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 0 .1 8 .

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Engranes: an álisi» d n em át ico y selección _________289

Engrane 2 :N¡ - 12 dientes y P¿ - 12

Engrane 3: d t = 2 5 in

Engrane 4: N t = 15 dientes

Engrane 5: dy = 30 in y P j - 10

Engrane 6: d6 = 13 in y P j = 8

Engrane 7: - 32 dientes

Determine la velocidad angular del engrane 7 cuando el engrane 2 im pulsa a 1800 rpm en sen tido antihorario.

Calcule asimismo la distancia entre los ejes que transportan los engranes 2 y 7.

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule las dimensione s adecuadas de los engranes

Para calcular el valor del tren, se deben determ inar las propiedades adecuadas de los engranes. En este problema

se utilizan y se deben calcular los diámetro s de paso de los engranes.

a ** 12 ,

H en grane 4 se acopla con el engra ne 5 y debe tener u n p aso diametral idéntico.

a N * 15 .< •a , = — = — = I j m P¿ 10

Bitonces. el engrane 7 se acopla con el engrane 6 y debe tene r un paso diametral idéntico.

N r 32 4in

2. Calcule las velocidades y las razones

El valor del tren se calcula como:

T V = ( V R ^ X V R ^ X V V t ) = ( - ^ ) ( - £ ) ( - | )

La velocidad del e ngran e 7 se determina con este valor del tren.

u>2

" 72 2 = r v

W , 1800 rp mto , - — - 13^ 3 ) - - 135 r pm - 135 r p m ,e n s en tid o h or ar io

La distancia entre los centros de los engranes 2 y 7 se determina su m and o los nidios de paso de todos los en

granes de 2 a 7, lo cual se observa e n la figura 10.21.

C = r2 + r, + r4 + r5 + r6 + r7

PRO BLEMA D E EJEMPLO 1 0.19

Disene un tren d e engranes que te npi un valor del tren de +300:1. Al aplicar los criterios de interferencia, ningún e n

grane debería tener menos de 15 dientes y, por restricciones de tamaño, ning ún eng rane p uede tener más de 7 5 dientes.

SO LU CIÓ N : 1 . Desco mpo ner el v al ordel tren e n razones de \rloc idad individuales

Con las restricciones de tamaño de los engranes usados en este tren, la razón de velocidad individual má xima se

determina po r

Com o en todos los problemas de diseno, hay más de u na solución. Ya que el valor del tren es el prod ucto

de las razones de velocidad individuales, un a solu ción se o btiene factorizando el valor del tr en co n valores

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290 CAPITUL O DIEZ

no m ayores que las razón d e velocidad individual máxima. En este problema, nin gún factor puede ser m a

yor de 5.

T V = 30 0 = ( 5 ) ( 6 0) = ( - 5 ) ( -5 > < 1 2 ) = ( - 5 ) ( - 5 ) < - 4 ) < - 3 )

Por lo tanto, un tren de engranes con pares de engranes con razones individuales de velocidad de -5 , -5 , -4

y- 3 dan un valor total de tren de 300. Se utiliza un valor ne^itivo para las razones individuales de velocidad,

po rq ue se des ean usar l os eng ra ne s e xt em os m ás co mun es .

2 . I d e n ti f iq u e e l n ú m e r o d e d ie n te s d e c a d a e n g r a n e

VR,_2 ■ - 5,use engranes externos con N¡ ■ 15 y m 75

VR,_4 - - 5 ,use engranes externos con N ,= 15 y Nt = 75

VR5- 6 =* - 4 , use engranes externos c o n . = 15 y.V6 “ 60

VR7_b ■ - 3,use engranes externos co n N , - 15 y N , = 45

En general, cuand o se usan engranes extem os para prod ucir giros opuestos, se debe emplear un nú m ero par de

pi res de en gran es pa ra ob tene r u n va lor po sit ivo de l tren de e ng ra ne s. C om o l a soluc ión de este ejem plo t ie ne c ua

tro pares de engranes, la rotación de salida tiene la m isma dirección que la de entrada.

10.14 ENGRA NES LOCOS

Considere e l t ren de engranes que se muest ra en la f igura 10.22 .

Observe que e l engrane m edio se acopla con e l engrane m ás pequeño para form ar la pr im era razón. El engrane m edio también

se acopla con e l engrane m ás grand e para form ar la segunda

razón. Com o siempre , e l va lor de l t ren se ca lcula como e l p ro

du cto d e las razones de velocidad.

F IG U RA 1 0 0 2 T r e n d e e n g r a n e s c o n u n e n g r a n e l o c a

T V - W m X H w ) - ( - ■ * ) ( - A )

Observe que d , aparece tan to en e l num erador com o en eldenom inador. En esta situación, se anu la la influencia del en

grane medio. Una configuración de engranes asi crea un valorde l tren igual a:

- ( - S ( - f ) - * íf t j r lo tan to , e l va lor de l t ren depende únicamente de l

t a m a ñ o d e l p r im e r e n g ra ne y d e l ú lt im o . E l d i á m e t ro , o

d núm ero de d ientes de l engrane centra l no influye en e l va lor

de l tren . El engrane centra l se conoce com o engrane loco, cuya

fon dó n es modificar la dirección del m ovimiento d e salida, sin

afectar la magnitud del m ovimiento. Para ilustrar esta fondón,

considere una co nfigu rarán donde e l engrane 2 se acopla d i rectamente con el eng rane 4. El valor d d tren resultante seria:

7 V = ( - V R 2_ < )= - ^

Asi, d engrane loco si rve únicamen te para inver ti r la d i rec

d ó n d e l a sa li da . C o m o s e m e n d o n ó , e l t am a ñ o d e l en g r an e b c o n o in fluy e e n l a c in em át ic a de l t re n . E n l a prá ct ic a, se d e te r

mina el tam año este engrane con la finalidad de u bicar de m ane

ta conveniente los centros de los engranes de en trada y de sali

da. Desde luego, com o los tres engranes están acoplados, deben

tener pasos diam etrales y áng ulos de p resión idénticos.

10.15 TRENES DF. ENGRANES PLANETARIOSLos trenes d e engranes presentado s en las secdo nes anteriores

tienen los centros de los engranes sujetos a cue rpos fijos. En lostrenes de engran es planetarios, se elimina tal restried ón, pues al

eslabón qu e sost iene los centros de los engran es se le permite

moverse. En la figura 10.23 se ilustra u n tren de engran es plane

ta r ia e l cua l también se conoce como tren epicidico.

Los trenes planetarios se usan p ara obte ner g randes reduc-

ó o n e s d e v e lo d d a d e s e n u n e sp ac io m e n o r q u e e l d e u n t r e n d e

engranes convencional. Sin em ba rg a el mayor beneficio es la

capaddad pa ra m odif ica r fádlmente e l va lor de l t ren . Go m o to

dos los eslabones son capaces de m overse, es factible mod ificar

d valor del tren al sujetar diferentes engranes o transpo rtadores.En b práctica, b conexión del es bb ón fijo se realiza con mecanis

mos d e f reno o de embrague , con lo qu e l ibera un esbbó n y f i jao t ro . Po r ta l mo t iva los engranes de t renes p laneta r ios son muy

comunes en las transm isiones automotrices.

Com o e l m ovimiento se asemeja a los p lane tas que g i ran

alrededo r del Sol de nuestro s istema solar, se aplicó a este sis

t e m a e l t é rm in o d e tren d e engranes planetario. Al amp liar la

com paradón , el engran e centra l se conoce com o solar. Los en

granes que g i ran a l rededor de l engrane sob r se conocen com o

plan etas . Un trans por tado r m antiene a los engranes planetarios

en órbita alrededor del Sol. Po r ú ltim a el tren suele estar ence

rrado en un engrane in terno l lamado engrane anularo de anillo. En la figura 10.23 se presen tan estos engranes.

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E n g r a n e » : a n á l i s is c in e m á t i c o y s e le c c i ó n _________ 291

Taitiportattor (2)

FJedrsalib

(sujeta al enffan eanubr)

FIGURA 10.23 T ren de eng ran es plane tario .

1 0.1 5.1 A n á l i s is d e e n g r a n e s p l a n e t a r i o s

p o r s u p e rp o s ic ió n

H m ovimiento d e un tren d e engranes planetario no siempre es

tan tácil de discernir como en los trenes de centro fija C onforme

los engranes y los t ransportadores g i ran , e l mo vimiento pare

cer ía mu y comple jo . Para ana liza r el m ovimiento de un t ren de

engranes planetarios, se utiliza el método de superposición para

"pasar a través de” los movim ientos de lo s engranes.

El método de superposición consiste en lo siguiente:

Paso uno

El pr im er pa so es flexibilizar la restricció n del eslabón fijo y

sup on er tem poralmen te que el transportad or está bloqueado. Segira una revolución el engrane que estaba fijo antes y se calcula el

efecto en el tre n com pleto.

Paso dos

El segundo paso es eliminar todas las restricciones y registrar elmovimiento a l g i ra r cada eslabón un a revoluc ión en d i recc ión

opuesta a l g i ro d d paso uno. Cu ando este movimiento se com bi na c o n d m ovi m ie nt o d d p r im e r p aso, d m ovim ie nto super

pues to del en g ra n e f ij o es ig ua l a cer o.

Paso t res

El movim iento de todos los eslabones se determina comb inando

los giros de los primeros dos pasos. Finalmente, las vdocidades

son propo rcionales a los m ovimientos de rotación.

Dicho e n té rminos genera les , aunqu e este m étodo parececomplejo, es bastante sencillo. El m étod o se ilustra me jor con

un prob lema d e e jemplo .


En la figura 10 24 se observa un tren de engranes planetario. El transportado r (esbbón 2) es b entrada al tren. El solar

(engrane I) es el engrane fijo y tiene 30 dientes. El engr ane pbne tario (engrane 3) tiene 35 dientes . El engrane anu-

b r si rv e c om o h sal ida d el t re n y t iene 100 dientes . De ter mine b ve locid ad a ngub r d e tod os los m iem bros d e es te tre n

de engranes, cuando el eje de entrada gira a 1200 rpm en sen tido horario.

SO LU CIÓ N : 1 . fr a il ee e l pa so I

H primer paso consiste en fijar temporalmente el tran sportado r y, luego, calcub r los movim ientos de todos los

engranes, cuando d engran e previamente fijado gira una revolución. De este m odo se determ ina lo siguiente:

H engrane 1 gira u na revolución.

A&i = +1 rev

F IG U R A 1 0 2 4 T r e n p l a n e t a r i o d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 0 .2 0 .

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292 CAPITULO DIEZ

&i relación con el engrane 1, el engrane 3 ( VR, j) gira lanío como:

A «s - (V R ,-j)(A fl,) - ^ ) ( + ! rev) - - 0 8 5 7 rev

Efe acuerdo con el engran e 3, el engrane 4 ( VRj^) gira tanto como:

¿0< = ( VRj _ 4) (A 0 j) = ( VR ,_a )( V ,_ 3)(A ^1) = ( ^ ¿ ) ( - ^ ) ( + , rev ) = - 0 J r ev

2 . Re al ice el pa so 2

0 segundo paso es girar lod os los eslabones -1 revolución. Esto regresa al engrane solar a su posición origi-nal,

generando asi un movimiento neto igual a cero.

3 . Re al ice el pa so 3

H método de superposición implica la combinación d e estos do s m ovimientos, lo cual da como resultado

e l movimiento rea l de l t ren de engranes p lan e ta r ia Asi, los g i ros de am bos pasos se suman a lgebra ica

mente. Los dos pasos se resum en en la tabla 10.10.

TA BLA 1 0 .1 0 Ta b u la c ió n d e l a n á l i s i s d e e n g ra n e s p l a n c tu rú

d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 0. 20

E s l a b d n S o l a r P l a n e t a A n u l a r T r a n s p o r t a d o r

R i s o 1:

Giro con d transportador fijo +1 -0-837 -0 3 0

R i s o 2:

Giro de to dos los eslabones -1 -1 -1 -1

R i s o ) :

Giren totales 0 “ 1857 -1 3 -1

4 . Dete rm in e las velo cid ades d e to do s los eslabones

Las velocidades se deter min an co n las razon es de lo s desplazamientos angulares.

*w ' ( axÜ Ü L . ) ” '™ '” -*" ■ ( r r ) ‘,20°T"’>■ «'I™

“ | W .ñ o “ ( - ! f f 7 ) <Jmn yo»ud cr " (+1 *8 57 ) (1 20 0 rp m ) «■ +2 2 2 8 rp m - 2 22 8 rp m . e n sen t id o h orar io

“ millo = ~ ^ “ rm.pauJor = (+ 13 ) (120Orpm) = + 1560 rpm = 1560rpm. en sentido horar io


En la figura 10 35 se mu estra un tren de engranes planetario. El transpo rtado r (eslabón 2) sirve como entrad a altren. El engrane anu lar (engran e 1) es el engrane fijo y tiene 120 dientes. FJ engran e planetario (engrane 4) tiene 40

dientes. El engrane solar (engran e 3) sirve com o la salida del tren y tiene 30 dientes. Determ ine b velocidad angular

de todos los miemb ros de este tren de engranes, cuan do el eje de entrada gira a 1200 rpm en sentido horario.

SO LU CIÓ N : 1 . Realice los p asos I a 3

0 prime r paso es fijar temporalmente el transportador. Luego se calculan los movimientos de todos lo s engranes. cuan do el eng rane fijado con anterioridad gira un a revolución.

0 segundo paso es girar todos los esbb ones -1 revolución. Esto regresa el engr ane an ub r a su posición origi-

rul, generando asi un movimiento neto igual a cera

Estos dos pasos se resumen e n b tabla 10.11.

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Engrane»: a ná lisis cine m átic o y sele cción _________293

pTA B LA 10 .1 1 P a so s d e la so lu c ió n d e l p r o b le m a d e e je m p lo 10 .21 ]

r -------------------------------EakMa S o l ar ( e n g r a n e 3 ) P la n e ta ( e n g ra n e » ) A nil lo (e n gra n e 1) T ra ns p or ta d or (e n gra n e 2 )

Pi*o 1 :

Giro con el transportador foo ( m > - ( 5 ) - “

+1 0

B w l :

Giro de t odo s los eslabones - i -1 -1 -1

R»*o M

Giros totales - 5 . 0 +2J> 0 -1

2. Calcule la velocidad de lodos los eslabones

1 as ve locidades se de te rm im n me d ian te las razones de los desp lazamien tos angu la res.

“ ’rt“0 = ( p ^ l dor) = ( r f ) ( 0 , Pm ) = 0 ,Pm

“•mn^artod® “ I200rp m.sen tido horario

“ V in r t. n o “ ^ - ^ 7 p ^ a , r» u r* *t .d o r ■ ( “ 2 . 0 ) (1 2 0 0r p m ) = - 2 4 0 0 rp m - 2 4 0 0 r p m , s e n ti d o a n t ih o r a ri o

“Vrfar ” í — J “’irampatiJof ~ (+5.0) (1200 rpm) = + 6000rpm = 6000 rpm, sent ido horario

1 0.1 5.2 A n á l is is p o r e c u a c i ó n d e e n g r a n e s

p la n e ta r io s

A d em á s d d m é to d o t a b u la r, e l m o v im ien to d e u n t r e n d e e n

granes p lane ta r io también se ana l iza m ediante una ecuac iónque s e ded uce de las velocidades angulares relativas. Para desa

rrollar el métod o de la fórmula, se examina el movim iento de los

engrane s acoplados en relación con el tran spo rtado r. Así, se uti

l iza la inversión cinem ática para visualizar el tren co m o si el

transportado r estuviera fijo. Se designa el engrane de un extremo

del tren com o d prim er engrane. El engrane del extremo opues

to d d t ren se designa como d ú l t imo engrane.

El tren está form ado po r pares de engranes acoplados con

sistentes en engranes imp ulsores e impu lsados. El prime r engrane

se designa co m od engrane impulsor , el ú l t imo engrane, como d

engrane impulsado. Los engranes intermedios se identifican

como corresponda , dependiendo de s i impulsan o son impulsa

dos. Al calcular la razón d e o d a par, la razón es negativa en engra

nes extem os acoplados y positiva en engran es con acoplamiento

interno.

Al cambiar d enfoque a velocidades absolutas, el prim er en grane t iene una ve loc idad angula r designada u>f y e l ú l t imo

engrane , un a vdoc idad angula r denominada cof. El transp orta

d o r tie ne un a v do cid ad an gu lar «>*|r, nip<Mt,aOI. La relació n en trelas velocidades angulares y el nú m ero de dientes es com o sigue:

t r a n s p o r t a d o »---------------------------- = ( 1 0 .3 6 )

« t r a n s p o r t a d o »

p ro duc to d el núm er o d e di en te s de lo s eng ra ne s im pu lso res

pro du ct o d el n ú m er o d e die nt es de los eng rane s im pu lsad os

<■*/. ~ “ transportado.

" F ~ “ > i ra m p or ta do r

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294 CAPITULO DIEZ

Co n la ecuac ión (10 .36) se obt iene cua lquie r té rm ino de

velocidad angular, conociendo los otros dos. Con frecuencia, se

fija ya sea el prim er engrane, el último o el transp ortado r, y ese

término se hace igual a cero. Aun c uand o es men os complicado

qu e e l m étodo tabula r , el método de la fórmula se l imi ta a casos

dond e la t rayec toria de acoplamiento u ne e l pr imero y e l ú l t imo

engranes. El méto do se ilustra en los siguientes problem as de

ejemplo.

PRO BLEMA D E EJEMPLLO 1 0 .22

&i b figura 10.24 se muestra un tren de engranes planetarios El transportado r (eslabón 2) sirve como la entrada al

trea El solar (engrane I ) es el engrane fijo y tiene 30 dientes. B engrane planetario (engrane 3) tiene 35 dientes. El en

grane anular sirve como salida del tren y tiene 100 dientes. En el problema de ejemplo 10.20 se determ inó que la velocidad angu lar del engra ne anular es de 1560 rpm e n sentido horario, mientras que el eje de entrada gira a 1200 rpm

en sen tido horario. Use el m étodo de la fórmula pa ra verificar este resultado.

S O L U C I Ó N : I . Especi fiq ue el p rimer o y el ú lt im o eng rane*

B s olar (engrane 1) se designa como el prime r engrane. Al estar en el otro extremo del tren, el engrane anular

(engrane 4) se designa com o el último engrane.

2. Sustituya las razones de engrane en la fó rm u la del tr en pla ne ta rio

B engrane 1 (primero) se acopfa con el engrane 3, d cual ala v a s e acopla con el engra ne4 (último). Al sustituir

oí la ecuación (1036):

• ‘ • W o . u d o -

I - 3 X - 8 ) - —OI

Ide nt if iq ue los térm in os d e ve lo ci da d ang ular

B solar está fijo y. por lo tanto, - 0. El transportador gira a 1200 rpm en sentido horario. Considerando el

sen tido horario co mo u na dirección negativa, o*I.nVorUd<r “ -1 200. El engr ane an ular se debe calcular, de modo

« g i e « ¿ - ?

destituy a los valores en la fó rm u la de l tren p la net ar io y d es pe je

Al sustituir los valores en la ecuación (1036 ):

( - m ) 0 - ( -1 2 0 0 )

Ltespejando,

io[ = 1200^— ío o ) -12 00 = - 1560 = 1560 rpm, en sentido horar io

PRO BLEMA D E EJEM PLO 1 0 .23

En la figura 1 025 se ilustra un tren de e ngranes planetario. El transp ortado r (eslabón 2) sirve com o la entrada al tren. El

engra ne anular (engrane 1) es el engrane f ijo y tiene 120 dientes. El engrane planetario (engra ne 4) tiene 40 dientes.

B en grane solar (engrane 3) sirve com o salida del tren y tiene 30 dientes. En el problema de ejemplo 1021se determi

nó que b velocidad angubr del engrane sob r es de 6000 rp m en sentido horario, mientras que el eje de entrada gira a

1200 rpm en sentido horario. Use el m étodo de b fórm ub para verificar este resultado.

S O L U C I Ó N : I . Especi fiq ue e l prim er o y e l úl ti m o e ngr anes

B s olar (engrane 3) se designa como el prime r engrane. Al estar en el otro extremo del tren, el engrane anular

(engrane 1) se designa como el últim o engrane.

2 . Sustituya las razones de e ngrane en la fórm ula d el tren planetario

B engrane 2 (prim ero) se acopla con el engrane 4, el cual a la v a se acopla con el engrane 1 (último).

Sustituyendo en b ecuación (1036):

( _ W + N A _ W‘ ~ tl,P»n»pom4cr

\ N , ) \ N , J < ü [ - « V . n. po .u d c

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Fn granes: anál is is c inem ático y se lecc ión 295

3. ¡deni ¡fique ios t t rm in os de velocidad angular

El anillo está fijo; por lo tanto, « i “ (XEI transportador gira a 1200 rpm en s onid o horario. Considerando el sentido

horario como u n dirección negativa, atma pm dor " ” 1200. Se debe calcular el engrane solar, de modo que to / - ?

4 . Su tituy a los valora en la fórmu la del tren planetario y despeje

Sustituyendo los valores en la ecuación ( 10J 6):

0 ~ ( -12 0 0 )

«>f —( —1200)

Despejando,

: » y + «C 4 0 / \ 120.

a i f - 1200^ - ~ 1200 ■ - 6 0 0 0 = 6 0 0 0 r p m ,e n sentido horario

PROBLEMAS

G e o m e t r ía d e e n g ra n e s r e c to s

En los problem as 10-1 a 10-4, determ ine lo siguiente:

a ) El d iám etro de l dreulo d e pasob) El d iám etro de l dreulo base

c) El d iám etro de l dreulo de l adendo

d) El d iám etro de l dreulo de l dedendoe) El paso circular

10-1 . Un engrane rec to de involu ta de profundid ad to ta l a

20°, con 18 dientes, que tien e un paso diam etral de 12.

10-2 . Un engrane rec to de involu ta de profund idad to ta l a

20", con 48 dientes, qu e tiene un paso diam etral de 8.

1 0 - 3 . U n e n g ra n e r e cto d e i n v o lu ta d e p ro fu n d id a d to t a l a14'/4",con 40 dien tes, que tiene u n p aso d iam etral d e 16.

10-4. Un engran e recto a 25*. con 21 dientes, que tiene un m ó

dulo métr ico de 4 . Dete rmine el d iám etro de l dreu lo de

p osa

En los prob lem as 10-5 a 10-8, dete rm ine lo siguiente:

n) La distancia entre centros

b) La razón de contac to

c) Si hay interferencia

d) La d is tand a entre centros que reduce la holgura deun va lor de ca tá logo de 0 .4 / P j a un va lor de 0 .1 /Pj

recomendado p or la mima.

1 0 - 5 . Dos engranes rec tos de involu ta de profundidad to ta l a

20”, con paso de 12, que s e util izan en u na sierra circu-

lar industrial para corta r madera. El pifión tiene 18 dien

tes y el engrane, 42.

10-8 . Etos engranes rec tos de involu ta d e profundidad to ta l

a 20", con paso igual a 4, se util izan en un a volteadora

p ar a e li m in ar las re bab as de ac er o de p a r te s t ro q u e-

b das . El p if ió n t ie n e 12 di e n te s y el e ngra ne , 28.

1 0 - 7 . Dos engranes rec tos de p l ls t ico de involu ta , con pro

fun didad total, a 25”, con pa so igual a 48, se utiliza n en

una m áqu ina de a fe i ta r e léc t r ica . El p i f ión t iene 18dientes y el engrane , 42.

10-8. Dos engranes rectos de invo luta de pro fundid ad total

a 1454°, con paso igual a 16, se util izan e n el to m o de

un taller mecánico. El pifión tien e 16 dientes y el en

grane 72.

En los problem as 10-9 a 10-14, determ ine lo siguiente:

á ) Los d iámetros de paso

b) La d is ta nc ia en tr e ce nt ro s

1 0 - 9 . Dos engr anes acoplados con paso igual a 12 tienen 18

dientes extemos y 48 d ientes internos, respectivamente.

10-10. Dos engr anes acoplados con paso igual a 20 tienen 15

dientes extemos y 60 dientes internos, respectivamente.

1 0 - 1 1. Dos engra nes acoplado s tienen 18 y 48 dientes, respecti

vamente, asi com o u na distancia entre centros de 4.125.

10-12. Dos engranes acoplados tienen 20 y 45 dientes, respec

tivamente, asi como una distancia entre centros d e 3.25.

1 ( 3 - 1 3 . Un pifión de 18 dientes co n un p aso igual a 8 se acopla

con u n engrane in te rno de 64 d ientes .

1 0 - 1 4 . Un pif ión de 24 d ientes con un paso igua l a 12 se

¡ topla con un engrane in te rno de 108 d ientes .

G n c m á t i c a d e e n g r a n es

En los prob lem as 10-15 a 10-18, determine lo siguiente:a) La velocidad del engrane

b ) La velodd ad e n la l ínea de paso

1 0 - 1 5 . Un pifión de 18 dientes con un paso igual a 8 gira en

sent ido ho rar io a 1150 rpm y se acopla con un engrane

de 64 dientes.

10-16 . Lto pifión de 15 dientes con un paso igual a 20 gira en

sent ido horar io a 1725 rpm y se acopla con un engrane

de 60 dientes.

1 0 - 1 7 . Un pifión de 21 dientes con un paso igual a 6 gira en

sent ido horar io a 850 rp m y se acopla con un engrane

de 42 dientes.

1 0 - 1 8 . Lh pif ión de 24 d ientes con u n paso igua l a 24 g i ra en

sent ido horar io a 1725 rpm y se acopla con un engranede 144 dientes.

Se le c ció n d e u n e n g ra n e c o n u n a d i s ta n c i a

e n t r e c e n t ro s d e f in id a

1 0 - 1 9 . Dos engranes con u n paso igual a 10 se van a mo ntarcon un a separac ión de 12 in y t ienen una razón de ve

loc idad de 5 :1 . Ca lcule los d iámetros de paso y e l

núm ero de d ientes de ambos engranes.

10-20. Dos engranes con un paso igua l a 16 se van a m ontar

c o n u n a se p a ra c ió n d e 3 .7 5 in y t ie n e n u n a r a z ó n d e

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296 CAPITULO DIEZ

velocidad de 4 :1 . Ca lcule los d iám etros de pa so y e l

núm ero de d ientes de am bos engranes.

Se l ec c ió n d e u n e n g ra n e c o n u n a d i s ta n c i a

entre centros def in ida

10-21. Dos engranes con un paso igua l a 32 se van a mo ntar

con una separac ión de 2 .25 in y t ienen una razón de

ve locidad de 8 :1 . Ca lcule los d iám etros de paso y e l

núm ero de d ientes de am bos engranes.

10-22. Dos engranes se van a m on tar con u n a separac ión de

5 in y tienen una raz ón d e velocidad de 4:1. Calcule los

diám etros de paso, los pasos diametrales y el núm ero

de d ientes adecuados en am bos engranes.

10-23. Dos engranes se van a m on tar con un a separac ión de

3.5 in y tien en u na raz ón d e velocidad de 6:1. Calcule

los d iámetros de paso , los pasos d iametra les y el

núm ero de d ientes adecuados en amb os engranes.

10-24. Dos engranes se van a mo ntar con u na separac ión de

10 in y t ienen un a razón d e ve loc idad de 3 :1 . Ca lcule

los d iámetros de paso , los pasos d iametra les y el

núm ero de d ientes adecuados en amb os engranes.

Se lecc ión de un eng rane de ca tá logo

10-25. Se va a se lecc ionar un p ar de engran es de acero dulce , a

20", para una aplicación donde se necesita transmitir

5 hp. El pifión imp ulsa a 1800 rpm y el engrane debe

gira r tan cerca com o sea posib le de 480 rpm . Dete rmi

ne u n conjun to adecuado de engranes de ca tá logo para

esta aplicación, usand o la tabla 10.7.

10-26. Se va a seleccionar un par de engranes de acero dulce a


2 5 hp. El pifión imp ulsa a 1500 rpm y el engrane debe

gira r tan cerca como sea posib le de 500 rpm. Dete r

m ine un co njunto adecuado de engranes d e catá logo

p i r a est a a pl ic ac ió n, u sa n do l a tab la 10.7 .10-27. Se va a seleccionar un par de engranes de acero dulce a



gira r tan cerca como sea posib le de 200 rpm. Dete r

m ine un co njunto adecuado de engranes d e catá logo

jo ra est a a p lica ci ón , u sa n do l a tab la 10.7 .

10-28. Se va a seleccionar un p ar de engranes de acero dulce a

20", para una aplicación do nd e se necesita transm itir

10 hp . El pifión impulsa a 800 rp m y el engrane debe gi

ra r tan cerca com o sea posible de 180 rpm . Detemiine

un con junto adecuado de engranes de ca tá logo para

esta aplicación, usando la tab b 10.7.

10-29. Se va a seleccionar un p ar de engranes de acero dulce a20", para una aplicación do nd e se necesita transm itir

1 hp. El pifión im pulsa a 1725 rpm y el engrane debe gi

ra r tan cerca com o sea posible de 560 rpm . D etermine

u n c o n ju n to a d e c u a d o d e e n g ran e s d e c a tá log o p a ra

esta aplicación, usando la tab b 10.7.

10-30. Se va a seleccionar un par de engranes de acero dulce a

20", para una aplicación d on de se necesitan transm itir


girar tan cerca com o sea posible de 230 rpm. Determine

u n c o n ju n to a d e c u a d o d e e n g ran e s d e c a tá log o p a raesta apl icac ión , usando b tab b 10.7.

10-31. Se va a seleccionar un par d e engranes de acero du lce a

7 0 par a u n a ap li cac ió n d o n d e se ne ce si ta tr a n sm it ir

10 hp. El pifión impu lsa a 1175 rpm y el engran e debe

girar tan cerca como sea posible de 170 rpm . Determ i

ne un conjun to adecuado de engranes de ca tá logo para

esta apl icac ión , usand o la tab b 10.7.

10-32 . Se va a seleccionar un par d e engranes de acero du lce a

20", para un a aplicación d ond e se necesita trans m itir

3 hp. El pifión impulsa a 1750 rpm y el engrane debegirar tan cerca como sea posible de 290 rp m . D etermi

ne un conjun to adecuado de engranes de ca tá logo para

esta aplicación, usan do la tab b 10.7.

10-33 . Se va a se lecc ionar un p ar de engranes de acero dulce

a 20", para un a aplicación don de se necesita transm itir

20 hp . El p i f ión impulsa a 825 rpm y e l engrane debe

girar tan cerca como sea posible de 205 rp m . D etermi

ne un conjunto adecuado de engranes de ca tálogo para

esta aplicación, m and o la ta b b 10.7.

Pi fión y c rem al le ra

10-34. Se usan una c remal le ra y u n p i f ión para a justa r b a l tura

de una cám ara de pie. El pifión tiene 18 dientes y un poso ig ua l a 24 . Det er m in e e l án gul o q u e d e b e (n ) g irar

el m ango (y el pifión) para elevar b cámara 5 in.

10-35. Se usan u na cremallera y un pifión para bajar el taladrode u na prensa taladradora . El pifión tiene 20 dientes y

un p aso igua l a 16 . Dete rmine e l ángulo q ue dcbe(n)

girar el mango (y el pifión) pa ra bajar el taladro 3 in.

10-36. Se usan un pifión de 18 dientesy paso igual a 8 para im

pu ls a r u n a c re mall era . D et er m in e b d is ta nci a q u e v ia ja

b cr em al le ra cu an d o e l p if ió n g ir a 3 re vo lu cio ne s.

10-37. Se usan un pifión de 24 dientes y paso igual a 12 para

impulsar una c remal le ra . Dete rm ine b d is tanc ia queviaja b cremallera cua ndo el pifión gira 5 revoluciones.

10-38. Se usan un p i f ión y una c remal le ra para d i r ig i r unmecanismo. El pifión tiene 18 dientes y un paso igual a

12. De term ine la velocidad req uerida del pifión para

impulsar b c remal le ra a una ve loc idad de 50 in /min .

10-39, Se usan u n p iñón y una c remal le ra pa ra d i r ig i r un

mecanismo. El p iñón t iene 20 d ientes y u n paso igual a

10. Determine b velocidad requerida de b cremallera,

si el pifión gira a u na velocidad de 80 rpm.

Eng ranes he l ico ida les

En los problemas 10-40 a 10-41, determine lo siguiente:

a) Los d iámetros de paso

b) El pa so d ia m etr al nor m al

c) El paso circular norm al

d) Si la interferencia es un problem a

10-40. Un pa r de engranes he lico ida les t ienen un ángulo de

pre sió n d e 20" , u n án g ulo de hé lice d e 45 ° y u n pas o

diametral igual a 8. El pifión tiene 16 dientes y el en

grane 32 .

10-41. Un par de engranes he l ico ida les t iene un ángu lo de

pre sió n d e 14'A°. un án g u lo d e hé lic e d e 30 " y u n pas o

diametral igual a 12. El pifión tiene 16 dientes y el en

grane 48.

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10-42 . Para reducir el ruido de un eng rane impulsor, se van a

sust i tu i r dos engranes rec tos con paso igual a 8 ,2 0 y 40

dientes , po r d os engranes he l ico ida les . El conjun to

nuevo debe tener la misma razó n de ve loc idad y d is

tancia entre cen tros. Especifique los dos engranes heli

coidales , los cua les se fabr ica ron con una f resadora ,[tira realizar la tarca.

1 0 - 4 3 . Para reducir el ruido en u n eng rane impu lsor, se van a

sustituir do s engranes rectos con paso igual a 12, 18 y54 dientes, po r do s engranes helicoidales. El conju nto

nuevo debe tener la misma razó n de ve loc idad y d is

tancia entre cen tros. Especifique los dos engranes heli

coidales , los cua les se fabr ica ron co n una f resadora ,

jxi ra re al iz ar l a ta re a.

En g ra n e s c ó n ic o s

1 0 - 4 4 . Un pa r de engranes cónicos qu e t ienen 20 y 7 5 d ientes

se util izan en ejes que se intersecan en un ángulo d e 90°.

Determine la razón de velocidad y los ángulos de paso

de am bos engranes.

1 0 - 4 5 . I h par d e engranes cónicos que t ienen 20 y 75 d ientes

se utilizan en ejes qu e se intersecan en un ángu lo de 60°.

Determine la razón de velocidad y los án gulos de pasode am bos engranes.

10-46. U i pa r de engranes cónicos qu e t ienen 18 y 90 d ientes

se utilizan en ejes qu e se intersecan en un ángu lo de 75°.

Determine la razón de velocidad y los án gulos de paso

de am bos engranes.

En g ra n e s s in f in

1 0 - 4 7 . Se necesita un engra naje sin fin para reducir la veloci

dad de un m otor e léc tr ico de 3600 a 60 rpm . Conside

raciones de resistencia requieren qu e se u sen engranescon un paso igua l a 16, y se desea que e l con junto sea de

auto bb qu eo . Especifique un conjun to que realice esta

1 0 - 4 8 . Se necesita un engranaje sin fin p ara reducir la veloci

dad de u n m otor eléc tr ico de 1800 a 18 rpm . Conside

raciones de resistencia requieren qu e se u sen engranes

con un paso igual a 12, y se desea qu e el conjunto sea de

aitob loq ueo . Especifique un con junto q ue realice esta

1 0 - 4 9 . Se necesita un engran aje sin fin para reducir la velocidad de un m otor e léc tr ico de 3600 a 40 rpm . Conside

raciones de resistencia requieren qu e se u sen engranes

con un paso igua l a 20 , y se desea que e l co njunto sea de

autobloqueo . Especifique un conjun to q ue realice esta

tarea.

Tre n e s d e e n g ra n e s1 0 - 5 0 . En la figura P10.50 se mu estra un tren de engranes. Los

engranes t iene n las s iguientes propiedades: N 2 = 18

dientes; Ny - 72 d ientes y P j • 10; N« ” 16 d ientes y

P j ■ 8 ; y m 48 dientes. Determine la velocidad del

engrane 5 cuando e l engrane 2 impulsa a 1200 rpm en

9ent ido ho rar ia Dete rmine asimismo la d is tanc ia ent re

centros de los engranes 2 y 5 .

1 0 - 5 1. En la figura P10.50 se mues tra un tre n de engranes. Los

engranes t ienen las s iguientes propiedades: N 2 = 2 0dientes y P j = 10; d , = 6 i n; 4 = 2 in y P j = & y Ny =

48 d ientes . Dete rmine la ve loc idad de l engrane 5cuan do e l engran e 2 impulsa a 1800 rpm en sent ido

ant ihorar io . Dete rmine asimismo la d is tanc ia ent re

centros de los engranes 2 y 5.

10-52. En la figura P 10.52 se mu estra un tren de engranes. Los

engranes t ienen b s s iguientes propiedades: N t = 15

dientes; Ny = 90 dientes y P j = 16; Ny = 15 dientes; N f = 7 5 dientes; N6 = 7 5 d ientes y P j = 12; N 7 = 15

dientes; y N a = 60 d ientes y P j = 8 . D e te rm in e b v elo d d a d d e l e n g ra n e 8 c u a n d o e l e n g ra n e 2 im p u l sa a

3600 rpm en sent ido h orar io . D ete rmine asimismo la

distan da entre centros de los engranes 2 y 8 .

FIGURA P 1032 Prob lem as 52 y 53.

10-53. En la figura PI0.52 se muestra un tren de engranes. Los

engranes t iene n b s s iguientes propiedades: N2 = 16

dientes y P j “ 16;dy ■ 8 in ; 4 - 1 5 in ; N , - 50 d ie nte s

y P j - 10; 4 - 5 .5 in ; N ? - 1.5 in y P j - 8 ; y N ¡ - 56

dientes . D ete rmine b ve loddad de l engrane 8 cuando

e l e n g ra n e 2 im p u l sa a 1 20 0 rp m e n se n t id o a n t ih o

ra r i a D e te rm in e a s im i sm o b d i s t a n d a e n t r e ce n tro s

de los engranes 2 y 8.

1 0 - 5 4 . En b f igura PI0 .54 se muest ra un t ren de engranes. Los

e n g ra n e s ti e n e n b s s ig u ie n t es p ro p ied a d e s : N \ ~ 20

dientes y P j = 16; d2 ■ 8 i n ; y d¡ " 1 .5 in y Pj = 10.Dete rmine la d is tancb q ue se m ueve b c remal le ra con

cada revoludó n de l engran e . Dete rmine asimismo la

distanda en tre centros ent re los engranes 1y 3 .

1 0 - 5 5 . En b figura PI0 54 se muestra un tren de engranes. Los

engranes t ienen b s s iguientes propiedades: N , = 18

f i g u r a P l 0 5 0 P r o b l e m a s 5 0 y 3 1 . F IG U R A P 1 0 3 4 P r o b l e m a s 5 4 - 5 6 .

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298 CAPITULO DIEZ

dientes y P j ■ 20; d¡ ■ 5 3 i n ; y d , • 2 3 in y P j • 8.

Determine la velocidad requerida del engrane I pa ra que

ki cremallera se mueva a una velocidad de 50 in/m in.

10-56. En la figura P10.54 se m uestra un tre n de engranes. Los

engranes tienen las siguientes propiedades: d t = 2.5 in;

N ¡ = 75 dientes y P j = 10: y N j = 24 d ientes .

Determine el paso diam etral requerido de la cremallera para q ue es ta s e m ue va 0 .5 in co n cad a re vo lu ción de l

engrane 1 .1 0 - 5 7 . E n la figura P10.57 se m uestra u n tre n d e engranes. Los

engranes t ienen las s iguientes propiedades: N , “ 16

dientes y P j ■ 16; d¡ = 8 in ; N} ■ 2 0 d ie nt es ; y N , -

50 d ientes . Dete rmine la ve loc idad de l engrane 4

cuan do el engran e I impu lsa a 1800 rpm .

f i g u r a P l 0 3 7 Problemas 5 7 y 5 8 .

D i s en o d e t r e n e s d e e n g r a n e s

10-61. Diserte un tren de engranes con un valor del tren de

400:1. Especifique el nú m ero d e d ientes en cada engrane.

Según los criterios d e interferencia, ningún e ngran e de-

be ria te ner m en os de 17 di en te s. D ebid o a res tri cc ione s

de tamaño, ningún eng rane debe tener más de 75 dien

tes. Bosqueje asimism o el concepto del tren.

1 0 - 6 2 . Diserte un t ren de engranes con un va lor d d t ren de

-200:1. Especifique d núm ero de dientes en cada engrane. Según los criterios d e interferencia, ningú n engrane

deberia tener m enos de 17 dientes. Debido a restriccio

nes de tamarto, n ingún engrane debe tener más d e 75

dientes. Bosqueje asimism o el concepto del tren.

10-63. Diserte un t ren de engranes con u n va lor d d t ren de

-900:1. Especifique d núm ero de dientes en cada engra

ne. Según los criterios d e interferencia, ningú n engrane

deberla tener men os de 17 dientes. Debido a res tric

ciones de tamarto, ning ún engran e debe tener más d e 75

dientes. Bosqueje asimism o el concepto del tren.

Me c a n i sm o s d e e n g ra n e s im p u l sa d o s

10-64. En la figura P10.64 se presenta el mecanismo de apertura de una ventana co n b isagras. Los engranes t ienen

las siguientes pro piedades: d , = 1 in; N 2 = 30 d ientes y

P j = 20; N} = 18 dientes y P j = 18; y = 4 in . Según b c o n fi g u ra c ió n m o str a d a , co n 0 = 20* . d e te rm in e

gráficamente (usando técnicas manuales de dibujo o el

c a d ) la ro tac ión angula r de la ventana cuando la

manivela gira una revolución.

1 0 - 5 8 . En e l t ren de engranes m ostrado en la f igura P10.57 .

los engranes tiene n las siguientes propiedades: N ( = 17

dientes y P j ■ 20; d i - 4 in; ■ 18 dientes; y N t ■

36 dientes. Determ ine la velocidad del engrane 1 para

que el engrane 4 impulse a 380 rpm.

10-59. En el tren d e engranes mo strado en la figura P1039, losengrane s tienen las siguientes prop iedades: N ^ ja a iU k i

= 1cuerda ; N ¡ = 45 dientes; N j = 18 dientes y P j = 16;

d , = 6 in; y rt/5 = 80 dientes. Determine la velocidad del

engrane 5 cuand o e l engran e 1 impulsa a 1800 rpm .

Determine asimismo la d is tanc ia e nt re centros de losengrane s 2 y 5.

10-60. En el tren d e engranes mo strado en la figura P10 39, los

eng rane s tien en las sigu ientes pro pied ade s: A’,»„iilownfin

= 2 cuerdas; N , = (O dientes: N , = 18 dientes y P j = 12; dt = 6 in ; y N f = 54 dientes. Determine la veloddad

requerida del engrane 1 (el tom illo sin fin) para qu e el

e n g ran e 5 im p u l se a 2 8 rp m . D e te rm in e a s im i sm o l adistancia entre centros de lo s engranes 2 y 5.

F IG U R A P I 0 8 4 Problemas 64 a 67.

1 0 - 6 5 . Para e l mecanismo de aper tura de una ventana

mo strado en la figura P10 64, determine analíticamente

la ro tad ón angula r de la ventana , cuando la manivelagira una revtdudón, usando b configuradón mostrada

O - 20•).

10-66. En e l mecanismo de aper tura de una ventana mostrado

en la figura P 10.64. los engrane s tienen b s siguientes

propi ed ad es : d , = 0.75 in; N¡ = 48 dientes y P j = 32;

<V, = 16 dientes y P j = 32 ; = 4 in . Par t iendo de b

configuradón mostrada ((¡ = 20°), determine gráficamente (usando técnicas manuales de d ibujo o e l c a d ) b

v e lo d d ad d e a n g u b r d e b v e n ta n a c o n b q u e s e ab r e b v en ta n a , cu an d o b m an iv e la g ir a a u n a v e lo d d a d

constante de 20 rpm .

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10-67. f t ra e l problema 10-66, de te rmine ana l í ticamente la

velod dad ang ular con la cual se abre la ventana a partir

de la conf iguradón m ostrada (f l = 20°) , cuando la ma

nivela gira a una velo ddad co nstante de 20 rpm.

Tre n e s d e e n g ra n e s p l a n e t a r io s

10-68. En la figura P 10.68 se m uestra un tren de engranes pla

netario. El transpo rtador (eslabón 2 ) sirve com o entrada

d tre n. El solar (engrane 1) está fijo y tiene 16 dientescon u n paso diametral de 16. El engran e planetario (en

grane 3) tiene un pas o diametral de 2 in. El anillo sirve

com o salida del tren y tiene un paso diam etral de 5 in.

Determine la veloddad angular de todos los m iembros

dr este tren d e engranes, cuand o el eje de en trada gira a

1800 rpm en sentido horario.

10-69 . En el tren de engranes planetario mo strado en la figura

P1 0 .6 8 , d t r a n sp o r t a d o r ( e s l a b ó n 2 ) s i rv e c o m o e n

trada al tren. El solar (engra ne 1) sirve co m o el engranede sa lida y t iene 18 d ientes con un paso d iam etra l de

12. El engrane planetario (engrane 3 ) t iene un paso d ia

metral de 2.5 in. El engrane anu lar está fijo y tiene un

fuso d iametra l de 6 .5 in . Dete rmine la ve loc idad ang u

lar de todos los miembros de este t ren de engranes,

cuando e l e je de ent rada g i ra a 800 rpm en sent ido an

tihorario.

10-70. En la figura P 10.70 se mu estra u n tren de engranes

p la n e ta ri a E l tr an sp o rt ad o r ( es la bó n 2 ) si rv e c o m o e n

trada al tren . El solar ( engrane 1) está (50 y tiene 12 5 in

de paso diametral con un p aso diametral de 16. El en

grane 3 tiene 42 dientes, y el engrane 4, 21 dientes. El

engrane 5 tiene 32 dientes y está acunado al m ismo eje

que el engrane 4. El engrane 5 se acopla con el engraneanular (eng rane 6), el cual sirve com o salida del tren y

tiene 144 dientes. Determine la velocidad angular de to

dos los miembros de este t ren de engranes, cuando el

e je de ent rada g i ra a 680 rpm en sent ido ho rar ia

10-71. En la f igura P10.70 se m uest ra un t re n de engranes

p la n e ta ri a E l t ra n sp o rta d o r ( es la bó n 2 ) s ir ve co m o e n

trada al tren. El solar (engrane I) sirve como la salida

d d tren y tiene un paso diametral de 1.0 in con un paso

diametral de 20. El engrane 3 tien e 45 dientes, y el en

ca n e 4 ,20 . El engrane 5 t iene 3 0 d ientes y está su je to a

b m is m a fle ch a qu e el e n g ra n e 4 . El e ng ra n e 5 se a co pla

con d engran e anu la r (engran e 6) , el cua l está f ijo y

t iene 150 d ientes . Dete rmine la vd od da d angu la r de

todos los miembros de este t ren de engranes, cuando eleje de en trada gira a 1125 rpm en sentido antihorario.

10-72. En la f igura P 10 .72 se m uest ra un t r en d e engranes pl an et ar io . El t ra n sp o rta d o r ( es la bó n 2 ) si rv e co m o e n

t rada a l t ren . El engrane 2 está f i jo y t iene 48 d ientes

c o n u n p a so d i a m e t ra l d e 1 2. E l e n g ra n e 1 t ie n e 2 4

dientes, el engrane 3 tiene un paso diam etral de 2.5 in,

mientras e l engrane 4 t iene 35 d ientes y un paso d ia

metral de 10. Determine la vdo cidad an gular de todos

los miem bros de este tren de engran es, cuan do el eje de

e n t rad a g i r a a 9 0 0 rp m e n se n tid o h o ra r io .

FIGURA p 10 .72 Problemas 72 y 73.

10-73. En la f igura P10.72 se m uest ra un t re n de engranes pl an et ar io . El t ra n sp o rta d o r ( es la bó n 2 ) si rv e co m o e n

trada al tren . El engrane 2 está fijo y tiene 4.0 in d e paso

diametra l con un paso d iametra l de 10. El engrane 1

t iene 25 d ientes , d engrane 3 t iene u n paso d iametra lde 2 .5 in , y d engrane 4 tiene 32 d ientes y un paso d ia

metra l de 8 . Dete rmine la ve loc idad angula r de todoslos miembros de este tren de engranes, cuando d e je de

sa lida g i ra a 210 rpm en sent ido horar io .

E S T U D I O S D E C A S O

10-1. En la figura E10.1 se m uestra u n m ecanismo que usa

dos engranes rectos y un a cremallera. Examine cuida

d o sa m e n te la s c o m p o n e n te s d d m e c a n i sm o y , lu e-

&>, conteste las siguientes pregun tas para o btener mayor

conocimiento acerca de su funcionamiento.

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300 CAPITULO DIEZ

FIGURA P.io.1 (C orte sía de In du str ial Pres s).

FIGURA EICU (C orte sía de Ind us tria l Press).

1. Con forme e l eslabón A se m ueve hac ia la izquie rda ,¿cuál es el m ovim iento del eslabón B?

2 . Co n fo rm e e l e s l a b ó n A se m ueve hac ia la izquie rda ,

¿cuál es el m ovim iento del engrane Q3. Con forme el eslabón A se m ueve hac ia la izquie rda ,

¿cuál es el movim iento del eng rane IX

4 . Con forme el eslabón A se m ueve hac ia la izquie rda ,

¿cuál es el movim iento del eslab ón fc?

5 . Con forme e l eslabón A se m ueve hac ia la izquie rda ,

¿cuál es el movim iento d el eslabón P

6 . C o n f o rm e e l e s b b ó n A se mueve ha da la izquie rda ,

¿cuál es el m ovim iento del eslabón G?

7. Descr iba espec íf icamente e l m ovim iento pro po rdonado a G. cuando e l eslabón A osc i la ha da a t rás y had a

adelante.

8 . ¿Cómo se mo dificarla el movim iento del eslabón G, si

e l m e c a n i sm o se e n sa m b la ra d e m o d o t a l q u e to d o

quedara idént ico , excepto qu e e l eslabón E girara 90*

en sentido horario?

1(3-3. En la figura E10.3 se ilustra un dispositivo que co ntr obe l m o v im ie n to d e u n e n g ra n e su j e to a l e n g ra n e D.

Examine cuidadosamente las com ponentes de l m eca

nismo y, luego, conteste las siguientes preg untas pa ra

o b te n e r m a y o r c o n o c im ie n to a c erc a d e su fu n d o n a -miento.

1 . Conform e e l engrane A gira en se ntido ho rario , ¿cuál

es el m ovim iento del engrane R

2 . Conform e e l engrane A gira en se ntido hora rio, ¿cuál

es el m ovim iento del engrane C?

3. Conform e e l engrane A gira en se ntido ho rario , ¿cuál

es el m ovim iento del engrane IX

4 . Co n fo rm e e l m a n g o f e s t o r r a d o h a d a a r r ib a , ¿ q ué

po sa co n l o s e ng ra ne s a co pl ad os ?

5. Conform e e l engrane A gira en sentido hora rio, ¿cuáles

s>n los mo vimientos de los engranes B, C y IX

6. ¿Cuál es el propó sito de este mecanismo?

7. ¿Qué problemas ocu rr i r ían cuando se ope re este meca

nismo?I ( 3 - 4 . En la figura E10.4 se ilustra un dispositivo que impulsa

un p istón (G ). Examine cuidadosam ente las compo

nentes del mecan ismo y, luego, conteste las siguientes

pre gu nta s p a ra o bte n er m ay or c o n o c im ie n to ac er ca desu funcionamiento.

f i g u r a El o.4 (Co rtesb de Indu strial Press).

1. Conform e el engran e Bg ira en sentido horario, ¿cuál es

d movimiento de l engrane C?

2. Co nform e el eng rane B gira en sentido horario, ¿cuál

es el m ovim iento del engrane IX

1. Cuando un segmento de l engrane A g i ra en sent ido an

t ihorar io a p ar t i r de b po sidó n m ostrada , ¿cuál es el

movimiento de b c remal le ra C?

2. Cuando un segmento de l engrane A g i ra en sent ido a n

t ihorar io a par t i r d e la posid ón m ostrada , ¿cuá l es e l

movim iento del engrane R 3 . Cuando e l engrane A g i ra hasta que e l d iente E se de-

a c o p b d e b c re m al le ra C , ¿qué movim iento p resenta

d engrane R

4. ¿Cuál es el rang o total de m ovimiento del engrane R

5. ¿Cuál es el ran go total d e mov imien to de la cremallera C?


7. ¿Cuáles son los probables problemas de operación con

este mecanismo?10-2. En la figura E10.2 se m ues tra el dispositivo de un a

má quina mo ldeadora de alambre. El eslabón B y el en

ca n e recto C están sujetos al mismo eje. Asimismo, el

e sb b ó n E y el engrane recto D están acuñados al mismo

e je . Ex a m in e c u id a d o sa m e n te b s c o m p o n e n te s d e l

mecanism o y, luego, conteste las siguientes preguntas

pu ra o b te n er m ay or co n oc im ie n to acerc a d e su fu n-

donamiento.

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Engrane»: aná lisi» cine m átic o y selección _________301

3. Si el eslabón /estuvier a articulado en A , pe ro n o estu

v iera su je to a l engrane f t¿qu é movim iento presentar ía

d eslabón / y qué causaría d icho movimiento?

4. ¿Cuál es el mov imiento del centro del engran e ü?

5. ¿Cuál es el movim iento del pistón G?

6. ¿Cuál es el propós ito de este mecanismo?1 0 - 5 . En la figura E10.5 se ¡lustra un dispo sitivo. El eje C se

mueve libremente a t ravés de los engranes H y / . pe ro

la pieza K e s t á su j e t a c o n u n p e rn o a l e j e . Ex a m in e

cuidadosamente las componentes de l mecanismo y ,luego, conteste las s iguientes preguntas para o btener

mayor conoc imiento acerca de su func ionamiento .

1 . Conform e e l e je Ggjra como se mu est ra , ¿en qu é d i rec

dó n g i ra e l engrane H?

2. ¿Qué t ipos de engrane son FJyHl 3. Co nform e el eje G gira com o se indica, ¿cuál es el m o

vimiento de la pieza M

4 . Co nfórm ela p ieza A e i t ru en co ntac to con e l co lla r ín

L, ¿qué cambios ocurren en e l movim iento de l meca

nismo?

5. ¿Coál es la finalidad de la pieza O?

6 . ¿ Po r q u é e x is t e u n c o n ju n to d e c u e rd a s e n lo s c o l la

r ines L y Q?


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C A P Í T U L O

O N C E

TRANSM ISIONES DE CORREA Y DE CADENA

O B J E T I V O S

Al te rm in a r de e st udia r est e cap itu la , el alum no se rá ca pa z de:

L D e s c r ib i r la s v e ni a) ** d e u n t r a i u n m i ó n d e c o rr e a.

2 . I d e n t if ic a r v a r i o s t i p o s d e d i s e n o d e u n a c o r re a .

1 D e t e r m i n a r la s r e la c i o n e s g e o m é t r ic a s d e u n a t r a n s m i s ió n

d e t

4 . A m i n a r l a s r e l ac i on e s c in e m á t i c a s d e d o s e j e s a c o p l ad o s

c o n u n a t r a n s m i s ió n d e c or re a .

5 . D e s c r i b i r l a s v e n t aj a s d e u n a tr a n s m i s ió n d e c a d e n a .

6 . I d e n t if i ca r v a r i o s t ip o s d e d i s e ñ o d e u n a ca d e n a .

7 . D e t e r m i n a r l a s r e l a c i o n e s g e o m é t r i c a s d e u n a t r a n s m i s i ó n

d e .

8 . A n a l iz a r la s r e b e l o n e s c i n e m á t i c a s d e d o s e j e s a c o p la d o s

c o n u n a tr a n s m i s ió n d e c a d e n a .

11.1 INTRODUCCIÓN

La fundón pr inc ipa l de un a t ransmisión de correa o d e cadenae s l a m i sm a q u e e n u n a t r a n sm is ió n d e e n g ra n e s . Los t re s

mecanismos sirven para transm itir potencia entre ejes que giran.

Sin embargo, el uso de engranes se vuelve impráctico cua ndo la

distancia e ntre los ejes es significativa. Tanto la transm isión de

correa com o la de cadena ofrecen flexibilidad al o per ar con efi-

d en d a a d is tanc ias grandes y pequeñas ent re centros.

Considere la cadena de una bicicleta: se util iza para transmi

t i r m ovimiento y fuerzas dd ensamble g i ra tor io del peda l a la

rueda trasera. La distancia entre estos dos compo nentes giratorios

es considerable, por lo que u na transmisión de engranes no serla

razonable. Asimismo, la razón d e velodd ad de la transmisión de

cadena se modifica fácilmente al cam biar la cadena p or u n c on

ju n to d e ca ta rin as . D e est e mo do , se ne ce si ta u n g ir o m ás le n to del

peda l —pe ro ma yo res fu erzas p ar a m ante n er la ro tación id én tica de la rue da trasera. La razón de velocidad d e un a transmisión

de correa se mod ifica de forma similar. Cam biar la razón de ve

locidad en u na transmisión de engranes es un proceso much o más

complejo, com o en una transmisión automotriz.

Las t ransm isiones de correa y de cadena se conocen co

m únm ente como conectores flexibles. Ambos tipo s de mecanis

mos pueden i r “en e l m ismo paque te” porque su c inemát ica esidéntica. La determ inación de la cinemática y las fuerzas en las

transmisiones de correa y de cadena es el propósito d e este capí

tu lo . Com o e l m ovimiento pr im ario de los e jes es de ro tación

p u ra , la s so lu ci ones gr áf ic as n o a p o r ta n m ay or co m p re n si ón .

ft>r lo tan to, únicam ente resultan prácticas b s técnicas analít i

cas qu e se presentan en este capi tu la

11.2 CORREAS

La fu n c ió n d e u n a t r a n sm is ió n d e c o r re a e s t r a n sm i t i r m o

vimiento g i ra tor io y torqu e de un e je a o t ro suavem ente , sin

ra ido y de m anera económica. las t ransmisiones de correa pro p o rc io n an b m ej or co m b in ac ió n in te gr al de fl ex ib il id ad en el

d i se ñ a b a jo c o s t a p o c o m a n te n im ie n ta f a ci li d ad d e e n sa m

bl aje y a h o rro d e e sp ac ia

Comparadas con o t ras formas de t ransmisión de potenc ia .

Lis transm isiones de correa tien en las siguientes ventajas:

■ Son menos costosas que b s t ransmisiones de engraneso de cadena.

■ La distan cia entre centros d e los ejes es flexible, mien tras

que en las transm isiones de engranes está restringida.

■ Operan suavemente y con menos ruido a grandes velocidades.

■ Se pueden diseñar pa ra que se deslicen cuan do se presenta

una sobrecarga en b máquina .

■ No requieren lubricación, com o es el caso de b s cadenas

y los engranes.■ Se sue len u ti l iza r en m ás de un pb no.

■ Son fáciles de en sam bb r e instalar, además de qu e tienen

tolerancias flexibles.

■ Requieren escaso mantenim iento.

■ Func ionan b ien en b absorción de cargas de choque .

Las correas por lo general se fabrican com o u na sola pieza sin

uniones, con materiales com o te b recubierta con ca uc ha cuerdas

tecubie r tas con cau cha p lást ico re forzada p id y te b (p . ej* a lg adón o teb s in tét ica ) . Com err ia lmen te hay muchas formas de

correas, las cuales se listan en segu ida

1. En b f igura 11. la se muest ra un a correa plan a, que es el

t ipo m ás s imple , pero por lo com ún ta n so lo se usa en

¿fr icac iones con poco torque , ya que la fu era impulsora

está restr ingida a f r icc ión pu ra en t re la correa y b polea .

2 . En b f igura 11.1 b se presenta una correa en V, la cual e s el

t ipo de correa más u t i l izada sobre tod o en máquinas a u

tomotrices e industriales. La form a en V hace que la correa

se ajuste mu y tensa en la polea, lo cual increm enta la fricc ión y perm ite b operac ión con mayor torque .

3. En b figura 11. 1c se ilustra una correa e n V m últiple. Este

diseno de co rrea equivale a colocar varias correas en V,

una a l lado de b o t ra , pero unidas in tegra lmente . Se usa para in cre m en ta r b ca ntidad de p o te n d a tr an sm it id a.

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T r a n sm i s io n e s d e c o r r e a y d e c a d e n a __________ 303

a) Carrea plana

elCWTM en V múltiple

e) C om a de distribución

F I G U R A 11.1 Tipos d e c o r r e a .

se muestra en la figura 11.2. Las poleas industriales se m aquinan

en acero o h ie rro tundido, dependiendo de l d iámetro . Para un

trabajo más ligero, las poleas acanaladas suelen fabricarse de a lu

minio. plástico o zinc vaciad a Su construcción es sólida o con

rayos radiales, según el tamarto. Las poleas gran des po r lo gene

ral tienen rayos radiales construidos de hierro colado.Las poleas acanaladas se clasifican p or su d i á m e tro d e p a sa

¿ cua l es un d iám etro l igeramente men or que e l borde de la ra

nura. correspondiente con la ubicación del cen tro de la correa.Las poleas acana ladas co merciales se vende n en fracciones de

pul gad a de l d iá m etr o in te ri o r d e la ra n u ra . La ta b la 11.1 li st a lo s

diám etros de las poleas disponibles.

(Liando las correas están en operación, se estiran con el paso

del t iempo. Las máquinas que util izan u na transmisión de correa

necesitan algo que compense el estiramiento de la correa, como

una base ajustaWe de l mo tor o un a polea l oc a. Esta últim a sirve p i r a m an te ner u n a te ns ió n co ns ta nt e e n l a c or re a. Po r lo ge ne ra l

se coloca en el lado flojo de la correa y se precaiga, sobre tod o conresortes, para man tener la correa ajustada.

Co m o ya se mencionó, la correa en V es e l t ipo m ás u t i

l izada Las correas en V industriales comercialmentc disponibles

están hechas en u no de los tam años estándar mo strados en la

figura 11J . Desde lu eg a las secciones transversales m ás grandes

p u ed en tr a n sm it ir m ay ore s p ote nci as . C o n fr ec uen ci a se us an

varias correas sobre poleas con ranuras múltiples para incremen

ta r la cant idad de potenc ia t ransm it ida po r la t ransm isión de

T A BL A 1 1. 1 P o l c a s a c a n a l a d a s c o m e r c i a le s

4. En la figura 11.1 d se observa un a correa corrugada. El diseño de la correa es similar al de l a correa en V, pero tiene

ranu ras e n la superficie interior. Esta característica increme nta la f lex ib i lidad d e la correa, permit iéndole g i ra re n

radios menores. Porconsiguiente .se usa en poleas más

p eq u eñ as , r ed uci en do a si e l ta m a ñ o d e la t ra ns m is ió n .

5. En la figura 11.1 es e mues tra una correa de distribución,

qu e t iene d ientes com o un engrane que se acoplan con losdientes de la polea. Su configuración co mb ina la flexibi

l idad de un a correa con e l agarre posi tivo de u na t rans

misión de engranes. Esta correa se usa am pl iamente enapl icaáones do nde se requie re un posic ionamiento re la

tivo d e los ejes respectivos.

Las po leas , c o n o c id a s t a m b i é n c o m o acanaladas, son las

ruedas que se su je tan a los e jes y t ransportan la correa . Las po

leas t ienen una ranura a l red edo r de l borde , cuya form a seacopla con la correa . Una polea acana lada para un a correa en V

D i á m e t ro s d e p a s o d e l a s p o l e a s a c a n a b d a s ( l a )

C orrea 3V C orrea 5V C orrea 8V

1 2 5 J 4 J 8.4 I 2 J

2-3 5.6 4 3 8. 9 1 3 0

1 * 6 0 4 3 9 3 1 3 3

2 3 6 3 4. 9 9.7 1 4 3

2 3 6.9 5.1 1 0 3 1 5 3

3 0 8 0 5.4 11.1 1 6 3

3.1 10.6 5 3 1 2 3 1 7 3

3 J 1 4 0 5 3 13.9 1 8 3

3 .6 1 9 0 5. 9 1 5 3 1 9 3

4.1 2 5 0 6-2 16.1 2 1 0

4-5 3 3 3 6 3 1 8 3 2 2 2

4.7 6 3 20.1 2 9 3

5 0 6 .7 2 3 3 3 9 3

7 0 25.1 4 7 3

7.1 27 .9 5 2 3

7 3 5 7 3

8.1 6 3 3

5 ' . I- 1' “ 1

. 3* , _ m J 1

W j '

f i g u r a 1 13 Secciones transversales de correa s en V industriales.

303

di Correa ro n upada

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304 CAPITULO ONCE

sexouno34503CD0

2500

2CC0o '«O

£ 1500

■g nao

300

200

mi

3V

Z

sv //

/

2 3 4 5 10 20 50 100 200 300

Cahnllm * pottnrk» de di»ré> (por correa)

f i g u r a 1 1 .4 Diagram a de selección de un a correa en V industrial .

500 1000

correa. En la figura 11.4 se presenta un a gula para la selección de

un a correa e n V. Los va lores de poten c ia se l i s tan “po r cadacorrea”. Cuand o la t ransmisión de correa debe t ransmit i r 6 hp

con u na correa de tres ranuras, cada un a de las tres correas debe

ser capaz de tran sm itir 2 hp.

Cabe aclarar que la figura 11.4 sólo es u na gula aproximada

p i r a sel ec ci on ar el ta m af to ad ec uad o d e la corr ea. Es im p ort an te

seleccionar la transmisión de correa más adecuada, con base en

un estudio m inuc ioso d e la ap l icac ión y los requer imientos de

t ransmisión de potenc ia . Estos procedimientos de se lecc ióndetallada se encu entran e n los catálogos de los fabricantes.

11.3 GE OM ETR ÍA DE LA TRAN SMISIÓNDE CORR EA

Una t ransmisión de correa está hecha para suminist ra r una

razón de velocidad co nstan te entre los ejes respectivos. En la

f igura 11.5 se observa un d iagram a de la geometr ía básica de

un a t ransmisión de correa .

Co m o y a se m e n c io n ó , e l diámetro de paso d de la polea se

m ide en e l punto d e la ranu ra donde se asienta el centro de la

correa . Este es l igeramente más pequeño qu e e l d iám etro exte

r io r d e l a p o l ea . O b se rv e q u e lo s d i ám e t ro s m o s t r a d o s d e l as

po le as d e la s f ig ura s 11.2 y 11 .5 so n lo s d iá m etr o s d e paso .

La distancia entre centros C es la distancia entre el centro

de las polcas impu lsora e im pulsada. Desde luego, esta tamb ién

es la d is tanc ia ent re los dos e jes acoplados p or la t ransm isión de

correa . Las d is tanc ias pequeñas ent re centros p odrían causar

fatiga co i carga máxima frecuente sobre las secciones de la correacuando entra a la polea pequeña . Las d is tan das grand es ent re

centros, con u na la rga d is tanc ia p o r sosten er , sue len causar

la tigazos y v ibrad one s en la correa . La d is tanc ia no rma l ent re

c e n t ro s p a ra co r re as e n V d e b e rí a e s t a re n d r a n g o d e

d j < C < 3(d¡ + d 2)

La longitt/d de la correa i es la longitud total de la correa. En

resumen, se especifica p o r lo general b longitu d ex terior. Esta es

b d im en si ón q u e se o b ti e n e al e nro ll ar u n a d n ta m étr ic a a lred e

dor de l lado exte r ior de b correa en posidó n de operac ión . Las

correas están d isponibles comercialmente en longitudes especifi

cas. La tab b 112 in d uje b s longi tudes d isponib les de correas en

V industr iales . La d is tan da en tre centros y los d iámetros de paso

se re ladonan m atemát icamente po r ( re í 2 | .

L = 2 C + d 2 + d ,) +{ d i ~ d t ) 2

4 C

C = B + V t f - 3 2 (d } - d ,) ’

16

donde

B = 4L - 27r(<ij + d | )

( 1 1 . 1 )

(1 1 . 2 )

(11.3)

El ángulo de contacto 0 e s b medida de l acoplamiento angu

lar de b correa sobre cada polca. Se calcula par a cada polea como:

0 , = 180° - 2 s e n_l

d 2 = 1 80 ° + 2 se n '

(11.4)

(11.5)

FIGURA I U Geometría de u na transmisión de correa.

Las clasificaciones de potencia de b s c orreas disponibles

comerd almen te, com o las mostradas en b figura 11.4, son para

t ransmisiones con poleas del mismo tam aña Por lo tan ta e l án

gulo de contac to “nom ina l" es de 180°. Para ángulos más pe

queño s, se reduce la cant idad de f r iedón que se desarro l la r ía

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Transm isio ne s de co rrea y de cad ena_________305

T A B L A 1 1 . 2 l o n g i tu d e s d e c o rr ea s e n V d is p o n i b l e s ]c o m e r c ia l m e n t e ( i n )

r longitu des de la correa 3V

25.0 40 0 63Al 100.0

26 3 42-5 67Al 106.0

28-0 450 71AI II2A)

30A) 47.5 75AI 1 ISA)

31.5 50.0 80Al 125Al

33.5 53A) 85Al 132A)

35.5 56 0 90Al 140Al

37.5 60A) 95A)

longitu des de la correa 5V

50.0 90.0 160.0 280.0

530 95.0 170Al 300A)

56 0 100A) 180Al 3I5AI

60.0 106.0 190Al 335AI

630 112A» 200A» 355A)

67 0 USA) 2I2AI

710 125Al 224AI

75.0 132A) 236.080.0 140Al 250A)

85.0 150AI 265AI

Longitudes de la correa 8V

100.0 160A) 236AI 355Al

112-0 170Al 250A) 400.0

118.0 180A) 265Al 450.0

125.0 190Al 280.0

132.0 2000 300Al

140.0 212.0 3I5AI

150O 224AI 335.0

alrededor de la polea; po r lo tanto, disminuye la cantidad d e po

tencia que la correa transm ite. La tabla 113 mu estra el porcentaje

de potenc ia nomina l rea l que se puede t ransmit i r por u na correaque func iona sobre una polea con un ángulo de contac to menor

de 180*. Los fabricantes de co rreas sugieren m antener el áng ulo de co ntado mayor de 120° cuando sea pasible.

1 1 .4 C I N E M Á T I C A D E U N A T R A N S M I S I Ó N

D E C O R R E A

Al igual que en las transmisiones d e engranes, la razón de vdo ci

dad VR se define com o la velocidad angular de la p olea imp ul

sora (polea I) dividida entre la velocidad angular de la polea

impulsada (polea 2),

V R ='•'impulsora W,

(11-6)"bnpulMda

C o m o u n a r a z ó n e s v á li d a i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l a s u n id a d e s ,

l a r a z ó n d e v e l o c id a d s e d e f i n e e n t é r m i n o s d e r e v o lu c i o n e s p o r

minuto , rad ianes p or un idad de t iempo, o cua lesquie ra o t ros

(yupos convenientes de unidades de velocidad angular. Usando

b m ism a ló gic a d e ded ucc ió n d e la ec ua ción (1 0 .1 9) , se o bti e

ne la siguiente ecuación;

5 - 3 - "Al in t roduc ir los d iámetros de paso,

4 = 2f2 = r , =d i 2 r , r ,

E n t o n c e s , u n a d e f i n i c i ó n g e n e r a l d e l a r a z ó n d e v e l o c id a d e s t á

d a d a p o r ;

' * = - = 7 = 7o»2 r , di(11.7)

N ot e qu e pa ra u na co nf ig urac ió n tí p ic a, co m o fa s mo st ra da s

en la figura 113 , fas poleas giran en la m isma dirección. Las tran s

misiones c ruzadas o de se rpentina , com o fas que se lu st ra n en la

figura 11.6, se utilizan p ara invertir fa dirección d el giro de

b po le a.

Muchas aplicaciones indus triales requieren poleas p ara re-

«iicir fa velocidad de u na fuente de potencia. Por lo tanto, es usualtener razones d e velocidad m ayores que 1. Com o se observa en fa

ecuación ( 11.6), lo an terio r indica que fa polea impulso ra gira

más rápido que fa polea impulsada, lo cual es el caso en las reduc

ciones de velocidad.

La wlocid ad de la correa vj, se define co m o 1a velocidad li

neal de fa corre a La magnitud de esta velocidad correspond e a fa

magn itud de fa velocidad lineal de u n p unto sobre el diámetro

de paso de cada polea Por lo tan to , fa ve loc idad de fa correa está

al Transmisión cruzada

b) Transmisión de serpentina

F IG U R A 1 1 .6 F o r m a s a l te r n a s d e t r a n s m i s i o n e s d e c o r r e a .

T A B L A 1 1 .3 R e d u c c i ó n d e l a c a p a c id a d d e p o t e n c i a p o r e l á n g u l o d e c o n t a c to

A n g u lo d e c o n t a c t a s

C a p a c i da d m i ( % d e p o t en c ia

180*

10 0 95

140"

89

120*

82

100"

74 63

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506 CAPITULO ONCE

relacionada con las velocidades de g iro de las poleas y sus radios

de paso m ediante la ecuación (6.5).

d\ d]vb = Ttio j = — cü| = r jíü = - < u j (11.8)

Advierta que. com o en el capitulo 6, la velod dad angular en estaecuac ión se debe espedficar en radianes po r unidad d e t iempo.

Una correa t ransmite la máxima potenc ia a ve loddades de

‘1000 a 5000 fpm (ft/min), d e ma nera qu e es me jor disertar una

transmisión de c orrea para qu e opere en este rang o. Las poleas

grandes de uso indus trial están fabricadas con hierro colado y

genera lmente t ienen un a ve loddad l imi te m áxima de la correa

de 650 0 fpm. Esto se debe a que las fuerzas de inercia creadas

p o r la ace le ra d ó n n orm al se v ue lv en exces iva s. Q uiz á s ea n ec esario un equilibrio especial pa ra velocidades po r arrib a de 5000

fpm, cuando la v ibra dó n es provocada po r la ace le radón cen

trífuga. Finalmente, es deseable otro tip o de transm isión, sobre

todo de cadena , para ve loc idades po r deba jo de 1000 fpm.

PRO BLEMA D E EJEM PLO 1 1 .1

Se usa un a transmisión de correa para transmitir potencia de un mo tor eléctrico al compresor de un cam ión refrige

rador. El comp resor debe funcionar aun cua ndo el camión esté detenido sin el mo tor encendido. El motor eléctrico de

10 hp tiene una velocidad nominal de 3550 rpm , mientras el diámetro de la polea del mo tor es de 5 in. La polea del

compresor tiene 7.5 in de diámetro. Determ ine el tamaño adecuad o de u na correa industrial, la velocidad de ope

ración del compresor y la velocidad d e la correa.

SO LU CIÓ N : 1 . Seleccione el tama ño adec uado de la correa

I¿i figura 11.4 sugiere que para u n m oto r de l O hp qu e funciona a 3550 rp m .se utilice un a correa 3V.

2 . Calcule la velocidad de la polea impulsora

Con la ecuación (11.8), la razón de velocidad se determ ina como:

V * = í = H Ü - ud | 5 in

la velocidad del compresor se calcula replanteando la ecuación ( 11.8).

d|Cü, (5 in) (3550 rpm ) ____

” 1 ‘ ü < « ta > 2367

las unidade s de la velocidad angu lar del eje del motor se convierten a radianes por un idad de tiempo.

( 2trrad

■ It s t

íi»i ■ 3550 rev/min [ ^ ■ 22305 rad/min

3 . Calcule la v elocidad de la correa

La velocidad de la correa se obtiene con la ecuac ión (1 1.7).

v a = ( y )o» i = - y (22 30 5 ra d/m in ) = 56 762 in /m in = 4 6 47 fp m

PRO BLEMA D E E JEMPLO 1 1.2

Se requiere un a transmisión de correa para reducir la velocidad del motor eléctrico de un a ru eda de esmeril, com o en

b fig ura 11.7. El m oto r e léct rico d e 50 hp ti en e un a ve loc ida d nom in al de 1725 rp m , por lo q ue se requ ier e u n a v elocidad en la rueda de esmeril de 600 rpm aproximadamente. D etermine el tamafto adecuado de la correa y calcule

dá m en os adecuado s de la po lea del inventario de poleas listado en la tabla 11.1. Seleccione, asimismo , una longitud

adecuada de la correa de la tabla 112 y calcule la distancia entre centros correspondiente.

S O L U C I Ó N : I . D et er min e el ta m a ñ o ad ecu ad o de la co rrea

La figura 11.4 sugiere qu e para un m oto r de 50 hp qu e funciona a 1725 tpm , se use un a correa 5V.

2 . Calcule el diámetro ideal de la po lea impulsora

Las velocidades angulares de los ejes respectivos so n c om o sigue:

. / 2jt rad \

,UW )1725 rev/m in — = 10838 rev/m in

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a>i = «DO rev/ mi n I — I = 3770 rev/m in* ( S )en tre 40O(La velocidad óptima de la corre a se encuentra entre 4000 y 5000 fpm. Al replantear la ecuación (1 1.7),

« 0 0 f t/m in \

10838 rad/m in/

- 0 8 3 f t - 9 .9 6 in

3. Seleccione un a p olea de ¡m entario

la elección de una polca impulsora de 1 030 in de la tabla 11.1 prod uce u n a ve locida d de:

di 1 030in , . . . . . .vb = y o » , = — - — (10 838 r ad /m in ) = 55274m/min = 4606 fpm

4. B ij a u n a po lea im pul sa da d e ¡ m ent ar io

Partiendo de la ecuación (1 18). la razón de velocidad deseada se determ ina po r

y p „ Í Ü _ 10838 ra d/m in _ ^

os¡ 3770 rad/m in

0 diámetro resultanle de la polea imp ulsada se calcula como :

d¡ - <VR)(*/,> - 287(103 in) - 293in

Se elige b polea de inventario más cercana de 27.9 in. Replanteando b ecuad ón ( 118), b velocidad real de b esmeriladora es

«o.d , (1725 rpm )(I03 in) ____

“ ' T T ---------2 7 T 5 -------------

5. Seleccione un a correa disponible

La distanda e ntre centros recom endada para transmisiones de correa está dentro del siguiente rango:

d ¡ < C < 3 (d | + d¡)

2 7. 9i n < C < U 4 3 i n

Se selecciona tentativamente el valor m edio de 72 in. Al sustituir en la ecuació n (11.1),

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308 CAPITULO ONCE

L - 2 C + | ( * + d x) + - —

n , . (2 7.9 - I 0 2 ) 1= 2 (72 m ) + - ( 2 7 . 9 + 1 0 2 ) + ------ — ------- = 204.9 m

Como se b isca una lo i^itu d estándar de correa, se elige un a de 212 in de la tabla 112. C on las ecuaciones (11J)y ( 11.4), se calcula la distancia real entre centro s requerida.

B 4- V i l 2 - 32(4, - r f,)2

16

5 80 .2 + \ / (5 80 2 )J - 3 2 (2 7 .9 - 1 02 ) J7 1 . 9 8 »

donde

B - 4 L - 2 ir (d ¡ *• d,)

= 4(204.9) - 2 i r (27 .9 + 10 2) = 5802 in

11.5 CADENASCo m o las correas, las transmisiones de cadena se emp lean para

transm itir mov imiento giratorio y torque de u n eje a otro, suave yálenciosamentc, asi como a bajo c os ta Las transmisiones de ca

den a proporcion an la flexibilidad de u na transmisión de correa

con la característica de acoplam iento positivo de una transmisión

de engranes, f tx consiguiente, las transmisiones de cad ena están

bi en ad ap ta das p a ra a pl icac io ne s c on di st an ci as g ra nd es entr e lo s

ejes, baja velocidad y torqu es grandes.

Comparadas con o t ras formas de t ransmisión de potenc ia ,

las transm isiones d e cadena tien en b s siguientes ventajas;

■ Son meno s costosas qu e las transm isiones de engranes.

■ No sufren deslizamiento, com o las correas, y brind an una

transm isión de p otencia m ás eficiente.

■ Tienen distancias flexibles entre los centros d e los ejes,

mientras que en las t ransmisiones d e engrane ta les d is tan

cias están restringidas.

■ Son m ás eficientes a bajas velocidades que las correas.

■ Sus cargas sobre los cojinetes de los ejes so n m ás pequeñas,

p o rq u e n o se r eq uie re te ns ió n in ic ia l, co m o en e l ca so de

las correas.

■ Ofrecen un a may or vida útil y no se deterioran con el calor,

e l ace ite o b ant igüedad, como sucede con b s correas.

a Requie ren poco a juste , mientras que bs correas necesi tan

ajustes frecuentes.

1 1.5 .1 T i p o s d e c a d e n a s

Las cadenas están hechas de un a serie de esbb on es interconec-

tados. Com erda lmente , hay muchos t ipos de d iseño de cadenas,

qu e se l is tan a cont inuac ión .

1. En b f igura 11.8ase muest ra un a cadena d e rodillos. Es

e l tipo m ás com ún de cadena qu e s i rve para t ransm it ir pote n ci a. Las ca de na s m ás gr an des d e ro d il lo s t ie nen

un a potenc ia nomina l de m ás de 600 hp . El d iseñode una cadena de rodi llos br inda una o perac ión silen

ciosa y eficiente, pero d ebe lub ricarse.

2. En b figura 11.8b se ilustra una cadena d e rodillos de tramo s múltiples. Este diseño utiÜ2a mú ltiples cadenas estánd ar de rodillos construidas en tram os paralelos, lo cual

incrementa b capac idad de po tenc ia de la t ransmisión de

c a d e n a

a i s:

cí C*V na d r rodillos con barra lateral descentrada

d) Cadena silenciosa

figura i ia Tipo s de cadenas.

a) Cadena rodillas

b) Ca leñ a de rodillo* de tramen múltiples

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T r a n sm i s io n e s d e c o r r e a y d e c a d e n a __________ 309

En la figura 11.8c se ilustra un a cadena d e rodillos con

barra lateral descentrada. Es m enos costosa qu e una

cadena de rodil los , pero t iene l igeramente meno r capa

c idad de potencia . También m uest ra un a const rucc ión

abie r ta que le perm ite soporta r suc iedad y contaminantes,

los cuales suelen desgastar otras cadenas. Tales cadenas seusan con frecuenc ia en equipo d e const rucc ión .

La figura 11.8d presenta una cadena silenciosa de die nte in -

vertido. Es la cadena m ás costosa d e fabricar y se utilizaeficientemente en aplicaciones qu e requ ieren alta veloci

dad, suavidad y transm isión d e potencia silenciosa. Se

necesita lubricación p ara m antener las cadena s en opera

ción confiable. Son com une s en m áquinas herramientas,

b o m b as y u n id ad es de tr an sm is ió n d e p ote nci a.

FIGURA 11.9 Paso de u n a cadena .

con pasos más grandes ofrecen m ayor capac idad d e potenc ia .

La selección del pas o de u na caden a de rodillos depende tanto

de la poten cia trans m itidi com o de la velocidad d el sistema. Enla figura 11.10 se ilustra un a gula general pa ra la selección del

pas o ad ec u a d o de u na cade na . Lo s ca tá logo s d e l o s fa br ic an te s

señalan proced imientos d etallados para elegir las transmisiones de

cadena más adecuadas, con base en un estud io detalladod e l a apl i

cación y los requerimientos de transmisión d e potencia.

1 1 .5 .2 P a s o d e c a d e n a

Algunas organizaciones técnicas tienen estándares (p.ej. el están

dar ANSI B29-1) para el diseño y las dimensiones d e cadenas de

transmisión d e potencia pa ra perm itir los intercambios. Las cade

nas de ro dillos se clasifican por el fo so p , que es b distancia entre

los per nos qu e un en los eslabones adyacentes. En la figura 11.9 se

muestra el paso. Las cadenas de rodillos t ienen denom inacionesdel tamaño que van de 25 a 240. La denominación del tam año se

refiere al paso de la cadena, en ochentavos de pulgada, d e m odo

que una cadena 120 tiene un paso de 120/83 o 1\ in. l a s cadenas

1 1.5 .3 C a d e n a s m u l t it r a m o s

De m odo p arecido a las correas, las cadenas m ultitramo s sirven

p a ra in c re m en ta r b c an ti d ad de p ote nefa t ra n s m it id a p o r la

t ransmisión de cadena . Sin embargo, una cadena m ul t i tramo

no proporc iona u n múl t ip lo exacto de la capac idad de un t ram o

indiv idua l. Cu ando la t ransm isión d e cadena requie re t ram os

múltiples, se util iza la ecuación (11.9) para calcular la potenciatransm itida a través de cada cadena. Se ha determinado experi-

m e n ta lm c n te u n f a c to r m u l t it r a m o , q u e se t a b u b e n b t a b la11.4.

N j w n i * t4 3 2 I

ICCO -* 0 : 70 0

r/ws

5 0 0 - x n

. 3 00

SCO -

4CD - 3CD 2 0 0

3 0 0 -20 3

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4

4

12

1. 5

4 -

5 -3

2

2

1 51.00 8

7 -

1 5 -

1.5 1 0

0 8

0 8

0 5

1.00 8

Q 4

1 0 - 0 8 0 5 0 3

2 ' -2 0 -

2 5 -7 4 —

0 8OS0 4

A7

0 4

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0 ?

Q 2

Uáa i

Nim en » de aidem

3 0 4 0 5 0 7 0 1 0 0 40) reo 800 1200 a n o so® soco ico »1 0 » 1 75 0 r o o o

d m i i t a t k « * n « u f H f j r p m

F IG U RA i i .i o G u b d e s e le c c ió n d e l p a s o d e c a d e n a .

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310 CAPITULO ONCE

T A B L A 1 1 .4 F a c to r m u l t it r a m o

N ú m e r o d e t r a m e s d e l a c a d e n a d e r o di ll o* 2 3 4 5 6 8 1 0

Factor mokferam o 1 .7 2 .5 3 J 3 .9 6 J 7 .5

„ . . . po tencia to ta l tra ns mitid aPotenc ia po r t ramo de la cadena = ------ —---------------

tac tor m ul t i t ram o

(11.9)

El eje vertical de la figura 11.10 correspo nde a la capacidad d e

pote nc ia c o n ba se e n el n ú m ero d e t ra m o s. La e cu ac ió n 11 .9 y a

lo tenia implem entado cuando se generó la figura 11. 10.

1 1 .5 .4 R u e d a s d e n t a d a s (c a t a r i n a s )

Las ruedas dentadas » n ruedas con d ientes unidas a l e je y seacoplan con la caden a Los dientes de la rueda dentada se diseñan

con una geo metría para ajustarse al perno y al eslabón de la ca

dena. l a forma de los dientes varia según el tamañ o de la cadena

y el núm ero de dientes. En la figura 11.11 se muestra una rue

da dentada diseña da para acoplarse con u na cadena de rodillos.Las ruedas dentadas se identifican por lo general m ediante

d tamaño correspondiente de la cadena y e l número de d ientes .

En la tab la 11.5 se l i s tan las rued as dentadas comerc ia lmente

disponibles. Co m o en los engranes y las poleas, d diám etro de

p as o es u na p ro p ie d ad c in em át ic a im p o rt a n te . E l d iá m etr o

de paso es e l d iámetro q ue pasa a t ravés de la mi tad de los d ien

tes de la rue da dentada, el cual corresp onde con la linea central de b ca de na. Se d e te rm in a a p a r ti r d d ta m a ñ o d e la ca den a y de l

núm ero d e dientes, tal como se indica en la siguiente secdón .

11.6 GEOM ETRIA DE UNA TRAN SMISIÓN

DE CADENA

La geom etría básica de una transmisión de caden a es práctica

mente idént ica a la de una t ransmisión de correa , como se in

dica en l a figura 11.12.

El número de dientes N de la ru eda dentada es por lo genera l

una pro piedad de referencia. Se suele recom endar q ue las ruedas

dentadas tengan p or lo m enos 17 dientes, a m enos que operen a

velocidades m uy bajas: por deb ajo de 100 rpm. Desde luego, un

mayor núm ero de d ientes resul ta rá en un a rueda dentada más

grande . La rueda dentada más grande no debe r ía tener común

m ente más de 120 dientes.Gamo ya se mencionó, e l diámetro de paso d de una rueda

dentada se mide en e l pun to sobre los d ientes dond e se mueved centro de la cadena. Este es l igeramente más pequeño q ue el

f i g u r a l l .u Rueda dentada de una cadena de rodil los . f i g u r a 1 1 . 1 2 Geometr ía de la t ransmisión d e cadena.

la m a n o d e l a c a d e n a

T A B L A 1 1 5 R u e d a s d e n ta d a s d e u n t r a m o s im p l e d i s p o n i b le s c o m e r c i a lm e n t e

N ú m e r o d e d i e n t o d e la r u e da d e n u d a

2 5 8 a 3 0 . 3 2 , 3 4 . 3 5 .3 6 , 4 0 . 4 2 , 4 5 . 4 8 . 5 4 , 6 0 . 6 4 . 6 5 . 7 0 ,7 2 . 7 6 . 8 0 . 8 4 . 9 0 . 9 5 , 9 6 . 1 0 2 . 1 12 .1 20

3 5 4 a 4 5 , 4 8 , 5 2 , 5 4 , 6 0 , 6 4 , 6 5 , 6 8 , 7 0 ,7 2 , 7 6 , 8 0 , 8 4 .9 0 . 9 5 , 9 6 . 1 0 2 , 1 1 2 ,1 2 0

4 0 8 a 6 0 . 6 4 . 6 5 , 6 8 . 7 0 , 7 2 , 7 6 . 8 0 , 8 4 , 9 0 , 9 5 . 9 6 . 1 0 2 , 1 1 2 , 12 0

5 0 8 a 6 0 . 6 4 . 6 5 . 6 8 . 7 0 , 7 2 , 7 6 . 8 0 . 8 4 , 9 0 , 9 5 . 9 6 . 1 0 2 , 1 12 . 1 2 0

6 0 8 a 6 0 . 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 , 6 6 , 6 7 ,6 8 , 7 0 , 7 2 , 7 6 ,8 0 , 8 4 , 9 0 , 9 5 ,9 6 , 1 0 2 , 1 1 2 , 1 2 0

8 0 8 a 6 0 . 6 4 . 6 5 . 6 8 . 7 0 , 7 2 . 7 6 . 7 8 , 8 0 . 8 4 . 9 0 . 9 5 . 9 6 . 1 0 2 , 1 1 2 , 1 2 0

1 00 8 a 6 0 . 6 4 . 6 5 , 6 7 . 6 8 , 7 0 . 7 2 , 7 4 , 7 6 , 8 0 , 8 4 . 9 0 , 9 5 . 9 6 . 1 0 2 , 1 1 2 , 1 2 0

1 20 9 a 4 5 . 4 6 . 4 8 . 5 0 . 5 2 . 5 4 , 5 5 . 5 7 . 6 0 . 6 4 . 6 5 . 6 7 , 6 8 . 7 0 , 7 2 . 7 6 , 8 0 . 8 4 . 9 0 , 9 6 , 1 0 2 , 1 1 2 . 1 20

14 0 9 a 2 8 . 3 0 . 3 1 .3 2 , 3 3 . 3 4 . 3 5. 3 6 . 3 7 . 3 9 . 4 0 . 4 2 , 4 3 . 4 5 . 4 8 , 5 4 . 6 0 . 6 4 . 6 5 . 6 8 . 7 0 , 7 2 ,7 6 . 8 0 . 8 4 . 9 6

1 60 8 a 3 0 . 3 2 a 3 6 , 3 8 . 4 0 . 4 5 , 4 6 . 5 0 . 5 2 , 5 3 . 5 4 . 5 6 . 5 7 . 6 0 , 6 2 . 6 3 , 6 4 . 6 5 , 6 6 , 6 8 , 7 0 . 7 2 , 7 3 . 8 0 . 8 4 . 9 6

1 80 1 3 a 2 5 , 2 8 , 3 5 , 3 9 , 4 0 . 4 5 . 5 4 . 6 0

2 0 0 9 a 3 0 . 3 2 , 3 3 , 3 5 , 3 6 , 3 9 , 4 0 . 4 2 ,4 4 . 4 5 . 4 8 , 5 0 , 5 1 . 5 4 , 5 6 . 5 8 . 5 9 , 6 0 . 6 3 , 6 4 , 6 5 . 6 8 .7 0 , 7 2

2 4 0 9 a 3 0 . 3 2 , 3 5 . 3 6 .4 0 . 4 4 . 4 5 . 4 8 . 5 2 ,5 4 . 6 0

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Transmi sion es de co rrea y de cad ena_________311

d i á m e t r o e x t e r io r d e l a r u e d a d e n t a d a . N o t e q u e l o s d i á m e t r o s

m o s t r a d o s d e l a s r u e d a s e n l a f i g u r a 1 1 . 1 1 s o n l os d i á m e t r o s d e

p a s a El d iá m e tr o d e paso d e u n a ru e d a d e n ta d a c o n N dientes

p a ra u n a c ad en a co n u n d iá m e tr o d e p a so p s e d e t e rm i n a p o r

q j e d e e n l a p a r t e i n f e r io r . Y a q u e la d i re c c i ó n d e l g i r o d e l e j e y a

las pos ic iones re la tivas d e los e jes im pulso r e im pu lsad a la con

figuración de la f igura 11.12 t i ene e l l ado f lo jo en la par te in fer io r.

d =s en ( 1 8 0 7 N )

( 11. 10 )

La dbtanc ia en t re cen tros C e s l a d is ta n c ia e n t r e d c e n t r o d e

l a r u e d a d e n t a d a i m p u l s o r a y l a r u e d a d e n t a d a i m p u l s a d a . D e s d e l u e g a e s ta t a m b i é n e s l a d i s ta n c i a e n t r e l o s d o s e j es a co p l a d o s

p o r l a t ra n sm is ió n d e c a d e n a E n a p li cac io n es típ ic as, la d is ta nc ia

en t re cen t ros debe r ía es ta r en e l s igu ien te rango:

3 0 p < C < 50 p

La l o n g i tu d d e c a d e n a e s la l o n g i tu d t o t a l d e l a c a d e n a .

C o m o l a c a d e n a e s tá f o r m a d a p o r e s la b o n e s i n t e rc o n e c t a d o s , la

l o n g i t u d d e l a c a d e n a d e b e s e r u n m ú l t ip l o e n t e r o d e l p a s o . Es

p re fe ri b le t e n e r u n n ú m e ro im p a r d e d ie n te s e n la r u e d a d e n

t a d a i m p u l s o r a ( 1 7 , 1 9 , e tc .) y u n n ú m e r o p a r d e p a so s ( e s

l a b o n e s ) e n l a c a d e n a p a r a e v i t a r u n e s l a b ó n e s pe c ia l. L a l o n g i

t u d d e la c a d e n a L , e x p r es a d a e n e l n ú m e r o d e e s b b o n e s o

pas o s, s e c a lc u b c o m o :

2 C + + N \ ) + ( p ( N 2 - N t ) 2 \

P 2 l 4 t t2C I

(11 .11)

L a d i st a n c i a e n t r e c e n t r o s p a r a u n a l o n g i t u d d e c a d e n a d e t e r m i

n a d a s e c a l c u b c o m o :

Cm p L _ 2 h ± H ¡ ) + <*>» *■> j* »< ~ N,>*j

(11.12)

S e d e b e r l a d ec i r n u ev a m e n t e q u e b l o n g i tu d d e b c a d e n a L

e n l a e c u a c i ó n ( 1 1 . 12 ) ti e n e q u e p l a n t ea r s e e n n ú m e r o d e e s b

bones .E l ángulo de con tac to 9 e s b m e d i d a d d a c op la m i en to a n

g u b r d e b c a d e n a e n c a d a d ie n te . S e c a l c u b c o m o :

= 180 ° - 2 s e n - ' { } ( 11 .1 3 )

- , Í P W - N , )9 í = 1 80 ° + 2 s e n ~ * | — j ( 1 1 . 1 4 )

L o s f a b ri c a n te s d e c a d e n a s r e c o m i e n d a n m a n t e n e r d á n g u l o d e

c o n t a c to p o r a r r ib a d e 120 ° c u a n d o s e a p o si b le .

F i n a lm e n t e , c u an d o o p e r a n , b s c a d e n a s ti e n e n u n l ad o

tenso y u n lado f lojo. En la mayor ía de ap l icac iones , bs t ransm i

s i o n e s d e c a d e n a s e d e b e r í a n d i s e ñ a r d e m o d o q u e e l l a d o f l o jo

1 1 .7 C I N E M Á T I C A D E I. A T R A N S M I S I Ó N

D E C A D E N A

De n u ev a b m z ó n d e v e lo c id a d V R se d e fi ne c o m o b v e lo d d a da n g u la r d e b r u e d a d e n t a d a i m p u l s o r a ( r u e d a 1) d i v i d i d a e n t r e

b v e lo d d a d a n g u la r d e la r u e d a d e n ta d a im p u ls a d a ( r u e d a 2) .

C o n e l u s o d e l a s m i s m a s d e d u c c i o n e s d e l a s t r a n s m i s i o n e s d e

e n g r a n e y d e c o r r e a , b r a z ó n d e v e l o c id a d e s:

VR =^impulsora _ <d|

" i mpUU*fci <*>2 ( , U 5 >

C o m o u n a r a z ó n e s v á li d a in d e p e n d i e n t e m e n t e d e l a s u n i d a d e s ,

b ra zó n d e v el o ci dad s e d efi n e e n té rm in o s d e re volu ci on es p o r

m i n u t o , r ad ia n es p o r u n i d a d d e t ie m p o o c u a lq u i er o t r o g r u p o

c o n v e n i e n t e d e u n i d a d e s d e v e l o c id a d a n g u b r . M u c h a s a p l ic a c iones indus t r ia les neces i tan cadenas pa ra reduc i r b ve loc idad de

u n a f u e n t e d e p o t e nc i a. P o r l o t a n t a e s n o r m a l te n e r r a z o n e s

d e v e l o c id a d m a y o r e s q u e 1. C o m o s e o b s e r v a e n l a e c u a c ió n

( 1 1 .1 5 ) , e s t o in d i c a q u e b r u e d a d e n t a d a i m p u l s o r a g i r a m á s

r á p id o q u e b r u e d a i m p u l s a d a , l o c u a l e s e l c as o e n l as r e d u c

ciones d e velocidad.

( ¡ o m o e n l a s c o r r e a s , l a v e lo c i d a d l i n ea l d e u n a c a d e n a , o

t e b c i d a d d e c a de n a, s e d e f in o c o m o vc La mag ni tud d e es ta ve-

b e id a d c o r re s p o n d e a b m a g n it u d d e b v e lo c id ad li n e a l d e u n

p u n to s o b re e l d iá m e tr o d e p a so d e c a d a ru e d a . C o m o b v e lo c i

d a d d e u n a c o rr ea , b v e lo c id a d d e u n a c a d en a s e c a lc u b c o m o :

d i d 2vc = T a , , = y e * (1 1 .16 )

E n l a e c u a c ió n ( 1 1 .1 6 ) , b s v e l o c i d a d e s a n g u l a r e s s e d e b e n e s

t ab l ec e r e n r a d b n e s p o r u n i d a d d e t i em p o .L a l u b r ic a c i ó n d e b s c a d e n a s e s i m p o r t a n t e p a r a d a r l a rg a

v i d a a b t r a n s m i s i ó n . L o s m é t o d o s d e f a b r i c a c i ó n a d e c u a d o s s e

d e t e rm i n a n p r in c i p a lm e n t e p o r l a v e lo c i d ad d e b c a d e na . L a l u

b ri ca c ió n re c o m e n d ad a es c o m o si gu e:

■ B a j a v e l o c i d a d ( vc < 6 5 0 f p m ) : f a b r i c a c ió n m a n u a l , d o n d e

d l u b r i c a n t e s e a p l ic a p e r ió d i c a m e n t e a l o s e s l a b o n e s

d e l a c a d e n a .

■ V e l o ci d ad m o d e r a d a (6 5 0 < vc < 1500 fpm ) : baf to lub r i

c a n t e, d o n d e l a p a r t e i n f e r i o r d e b c a d e n a e s t á s u m e r g i d a

e n u n b a ñ o d e lu b r ic a n te .

■ A l t a v e l o c id a d ( 1 5 0 0 f p m < vt): f a b r i c a c i ó n a c h o r r o , d o n d eu n a b o m b a g e n e ra u n c h o r r o c o n t i n u o s o b r e b c a de n a.

P R O B L E M A D E E J E M P L O 1 1 .3

Una transmisión de caden a de rodillos, de u n tra m o simple, conecta u n motor d e combustión interna de 10 hp

a una trituradora de residuos de césped, como se indica en b figura 11.13. Cu ando el m otor opera a 1200 rpm , losdientes trituradores deberían girar a 24 0 rpm . La rueda impu lsora tiene 18 dientes. Determine el paso adecuado de b

cadena, el núm ero d e dientes de la rueda impulsada, los diámetros de pis o de ambas ruedas y la velocidad de la ca

dena. Indique también el núm ero de e sbb ones d e un a cadena razonable y especifique la distancia entre centros re-

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312 CAPITULO ONCE

S O L U C I Ó N :

f i g u r a 11.13 T rituradora d d problem a de ejemplo 11.3.

1. Seleccione el paso adecuado de la cadena

Para el mo tor de combustión intern a de 10 hp qu e imp ulsa la rueda dentada a 1200 rpm , la figura 11.10 especi

fica qu e u na cadena de un solo tramo , con paso igual a 40, es la cadena adecuada.

2. Det er min e el n úm ero d e dien te s d e la ru eda denta da im pu lsad a

Replanteando la ecuación (11.15), se calcula d núm ero de dientes necesarios en la rueda dentada impulsada.

240 rpm

N ote en la t ab la 1 15 que com erdalm ente hay un a rueda dentada de 90 dientes para una cadena del núm ero 40.

3. Calcule el diám etro d e paso de las ruedas dentadas

Una cadena de rodillos del núm ero 40 tiene un paso de:

40 p - - - 0 3 m

I> la ecuación ( 11.10), los diám etros de paso de las ruedas dentadas son:

18 dientes

0 5 in

m - ü )14.33 in

4. Det er min e la v eloc idad d e l a cade na

La velo dda d de la cadena se calcula con la ecuac ión (11.16):

( 2v r a d \««i ■ 1200 rev/ mi n y - — I ■ 10838 rad/min

v, = = ( 2J<2 m ) 10833 rad/m in = 15603 in/m in = 1300 fpm

Con u na velocidad de la cadena igual a 1300 fpm. se recomienda un sistema de bafto de lubricante.

5. Calcule la distan cia adecuada e ntre centros

La distancia entre centros sugerida para la transm isión d e cadena es

3 0p < C < 5 0p

15in < C < 25in

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T r a n s m is i o n e s d e c o r r e a y d e c a d e n a __________3 1 3

Se elige tentativamente u n valor med io de 20 in . Si se sustituye en la ecuación (11.11):

2C (Afr + N ,) ( p iH , ~ N | ) ? )

P 2 \ \ i r !C I

- ^ ♦ < S ± “ > - U W h t a .(0 5 in) 2 l 4w (20 In) J

Se especifica un núm ero par de eslabones igual a 138. La correspon diente distancia real entr e centros se calcula

© n la ecuación ( 11.12).

. p \ . ( * & + * . ) . / í . W + AT,)V * 1 * 2 - N x ) *

c 4 L - — J — + V l L ----- i - / ....... S ? - -

(0.5 in) (90 +18) //,_ (90 418) 1 1 8 (9 0 - 1 8 ) 2

4( 1 3 8 )--- --- + /i"3»’ - 2 ) - 4„* =20.187 in

PROBLEMAS

Cin e m á t i ca d e c o r re a s

11-1 . Ih mo tor que opera a 1725 rpm en sent ido horar io seacopla a través de una transmisión de correa para hacer

girar la manivela de una má quina de coser industrial.0 d iámetro de la polea del m otor es de 3 .5 in y la poleade la manive la de la máq uina d e coser es de 8 in .

Dete rmine la velocidad d e la polea impulsada y la veloddad de la correa .

1 1 -2 I h m o to r q u e o p e ra a 1 15 0 rp m e n se n t id o h o ra r io seacopla a t ravés de una t ransmisión de correa para hacer

girar el ventilador industrial d e un escape. El diámetro

de la polea de l mo tor es de 5 in y e l de la polea de l ventilador es de 12 in. Determ ine la velo dd ad de la poleaimpulsada y la velo dda d de la correa.

11-3 . Un m otor de comb ust ión in te rna está acoplado a través

de un a t ransmisión de correa para hacer g i ra r un com pre so r d e ai re , e l cu al deb e o p e ra r a 1200 r p m en se nt ido horar io . El d iámetro d e la polea de l m oto r es de

4 in y e l de la polea de l com presor es de 10 in . Dete rmine la ve locidad requer ida de l m otor de com bust ión

interna y la velocidad de la correa.

11—4. Un m otor que opera a 1125 rpm e n sent ido ant ihorar io

<stá acoplado a t ravés de una t ransm isión de correa p ir a ha ce r gi ra r u n a pr en sa ta la dra do ra . El d iá m etr o d e

la polea del m oto r es de 2.5 in y la polea del vástago del

t i ladro e s de 9 in . Dete rmine la ve loc idad de la poleaimpulsada y la velocidad d e la correa.

11-5 . I h m otor que opera a 1750 rpm en sent ido ant ihorar ioestá acoplado a t ravés de una t ransmisión de correa

pa ra hac er g ir ar e l sop la do r de u n h o m o de c ale facc ión .0 d iámetro de la polea de l m otor es de 6 .5 in y la poleadel soplado r es de 105 in. Determine la velodda d de la

po le a im pu lsad a y la ve lo d d ad de l a co rr ea .

11-6 . Un m otor de comb ust ión in te rna está acoplado a travésde u na transmisión de correa para hacer girar un genera-

<br , e l cua l debe g i ra r a 1800 rpm en sent ido ant iho-rurio. El diámetro de la polea del m oto r es de 6 in y el de

la polea de l generador es de 9 in . Dete rmine la ve loddad requerida de la polea del m otor de com bustión interna y la velocidad de la correa.

G e o m e t rí a d e u n a t r a n s m i s i ó n d e c o r r ea

11-7. Dos poleas tienen diámetros de 3 5 in y 8 in, mien tras la

d istanda en tre centros es de 23 in . Com pare la dis tanc ia

entre centro s con el rango ideal y determ ine la longitudcorrespondiente de la correa. Calcule, asimismo, el án

gulo de contacto de la polea más pequeña.

11-8. Dos poleas tienen diám etros de 5 y 12 in. Determ ine ladistan da en tre centros de la transmisión , al util izar una

correa d e 72 in , luego compare la d is tanc ia ent re cent ros con e l rang o idea l . Determine tamb ién e l ángulode contac to de b polea más pequeña .

11-9. Dos poleas tienen diám etros de 8 y 12 in. Determine la

distancia entre centros de la transm isión al util izar una

correa de 88 in. luego compare b d is tan da entre centros con el ran go ideal. Determine, asimismo, el ángulo

de contac to de b polea más pequeña .

11—10. Dos poleas tienen d iámetro s de 8 y 24 in. Determine bdistan da en tre centros de la transm isión al util izar una

correa de 104 in, luego compare la distancia entre cent ros con e l rang o idea l . Determine tamb ién e l ángulode contac to de b polea más pequeña.

Se l ec c ió n d e u n a t r a n sm is ió n d e c o r re a

11-11 . Med iante una transm isión de correa, se desea acoplaru n m o to r c o n u n m c z d a d o r p a ra p ro c esa r j a r a b e d e

maíz. El mo tor eléctrico de 10 hp tiene u na velocidadnomina l de 3 550 rpm y e l mezc lador debe ope rar tan

cerca de 900 rpm como sea posib le . Se lecdone e ltam año adecuado de la correa , las poleas y la correacomerc ia lmente d isponib les para esta ap l icac ión .

Calcule, asimism o, la velocidad real de b corre a y lad istanda entre centros.

11 -1 2 Mediante una transm isión de correa se desea acoplar unm oto r con un mezclador para procesar jarabe de maíz.

0 motor e léct r ico de 25 hp t iene una ve loddad nomina lde 950 rpm y e l mezc ladordeb e operar tan cerca de 250

rpm como sea posib le . El ija e l tamaño adecuado de b

correa, las poicas y b banda comcrcialmente disponibles p a ra e st a ap lica ci ón . C alcu le ta m bié n la v e lo d d ad rea lde b correa y la d is tanda entre centros.

11-13. Mediante un a transmisión de correa se desea acoplar un

mo tor con un transportador. El m otor eléctrico de 5 hp

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314 CAPITULO ONCE

Cene una velocidad nominal de 1150 rpm y el eje im pul

sor del transpo rtador debe operar tan cerca de 250 rpmcomo sea posib le . Se lecc ione e l tamañ o adecuad o dela correa , las polcas y la banda comcrda lm cnte d ispo

nibles para esta aplicación. Calcule, asimismo , la velo ddad real de la correa y la distancia entre centros.

11-14. Mediante una transmisión de correa se desea acoplar un

m oto r de combustión interna con el eje de la cud iilla de

una podado ra de césped comerc ia l . El m otor de 10 hptiene una veloddad nominal d e 2000 rpm y el eje de lacuchi lla debe op erar tan cerca de 540 rpm como sea

posib le. El ija el t am añ o ad ec ua do d e la co rr ea , las po lea sy la banda comercialmen te disponibles para esta aplicación. Calcule también la velocidad real de la correa y ladistancia en tre centros.

11-15. Kfcdfante una transm isión de correa, se desea acoplar un

m o to r d e c o m b u s t ió n in t ern a c o n d s is t em a d e t r a n s misión de una motonieve . El motor de 7 0 hp func iona a3000 rpm y el eje de transm isión debe operar tan cerca

de 750 rp m como sea pasib le. Se lecdanc e l tamaño adecuado de la cor rea. las poleas y fa banda com ercialmentedisponibles para es ta aplicad ón . Calcule, asimismo, fa

veloddad real de fa correa y la distancia entre centros.

11-16. Mediante una transmisión d e correa, se desea acoplar unm otor e léc tr ico con e l cabeza l de u n to rn a El m otoreléctrico de 2 h p ope ra a 200 rpm y el cabezal debe fun

do na r tan cerca de 60 rpm com o sea posib le . Eli ja e ltamañ o adecuado d e fa correa , fas poleas y fa b and a c o m e rd a lm e n tc d i sp on ib le s p a ra e s ta a p l i c a d ó n .

Calcule también fa veloddad real de fa correa y fa distan

da entre centros.

C i n e m á ti c a d e u n a c a d e n a

11-17. 0 e je de una ca ja de t ransm isión de engranes está

so pla da a t ravés de una t ransmisión de cadena de l n ú

mero 60 , m ientras hace g i ra r una mez dado ra de concre to a 180 rpm en sent ido horar io . La rueda dentada

knpulsora tiene 19 dientes y fa rueda dentad a de fa mezc ladora tiene 84 . Dete rmine fa ve loddad d e fa ruedadentada impulsora , fa ve loddad de fa cadena y e lmétodo de lubricac ión recom endada

11-18. Un m otor de engranes, qu e opera a 220 rpm en sent ido

h o ra r i a e s t á a c o p la d o a u n a g i ta d o r d e l iq u ido s m e diante una t ransm isión de cadena de l núm ero 40 . Larueda dentada impulsora tiene 19 dientes y 1a rueda

dentada del ag itador tiene 50. Determ ine fa velocidad dela rueda dentada imp ulsada, 1a velocidad de fa cadena y

d m étodo de lubr icac ión recomend ada

11-19. Un motor de engranes, qu e opera a 180 rpm en sent ido

ho rar ia está acoplado a una esca ladora mediante unatransmisión de caden a de l núm ero 80 . La rueda de ntada imp ulsora tiene 27 dientes y fa rueda den tada del

escalador tiene 68. Determine fa velocidad de fa ruedadentada impulsada , fa ve loc idad de fa cadena y e lmétodo de lubr icac ión recom endada

11-20. El e je de u na ca ja de transm isión de engran es está

a co p la d a a t r av é s d e u n a t r a n sm is ió n d e c a d e n a d e lnúm ero 100, por lo q ue hace girar al eje de un aplasta-dor de pulpa en un a p lanta produc tora de pape l . El eje

del ap lastador g i ra a 250 rpm en sent ido horar io . La

rueda dentada im pulsora t iene 25 d ientes y 1a ruedaden tada del aplastador tien e 76. De term ine fa veloci

dad d e fa rueda dentada impulsora , fa ve loddad de facadena y e l método de lubr icac ión recomendado.

G e o m e t r ía d e u n a t r a n s m i s i ó n d e c a d e n a

11-21 . Dos ruedas dentadas para una cadena de l núm ero 60

tienen 17 y 56 dientes. La cadena tien e 120 eslabones.Dete rmine e l d iámetro de paso de cada rued a dentada ,

su distancia entre cen tros y el ángu lo de con tacto de 1arueda dentada más pequeña . También com pare la d is

tancia entre centros con el rango ideal.

11-22. Dos ruedas dentadas para una cadena de l número 80

tienen 19 y 64 dientes. La cade na tien e 140 eslabones.Determine el diám etro de paso de cada rueda dentada,su distancia entre cen tros y el ángu lo de contacto d e 1arueda dentada más pequeña . También comp are 1a d is

tancia entre centros con el rango ideal.

11-23. Dos ruedas dentadas para una cadena de l número 40tienen 21 y 84 dientes. La cade na tien e 200 eslabones.Determine el diám etro de paso de cada rueda dentada,

su distancia entre cen tros y el ángu lo de contacto d e farueda dentada más pequeña . También comp are 1a d istancia entre centros con el rango ideal.

11-24. Dos ruedas dentadas para una cadena de l núm ero 120tienen 25 y 72 dientes. La cade na tien e 150 eslabones.Dete rmine e l d iámetro de paso de c ada rueda dentada,

su distancia entre centros y el ángu lo de contacto de farueda dentada m ás peq ue ña También compare la distancia entre centros con el rango ideal.

Se le c ció n d e u n a t r a n sm is ió n d e c a d e n a

11-25. Se desea acopla r un m otor de engranes a l cubo de unelevador, a través de u na transmisión de c ad ena El mo

tor de engranes de 40 hp operará a 350 rpm y la t ransmisión del elevador debe fun cionar tan cerca de 60 rpm

com o sea posible. Seleccione el tama ño adecu ado de facadena , fas rued as dentadas y e l núm ero de eslabonesde b cade na comercialmente disponibles. Calcule también

b velocidad real de b cadena y b distanc b entre centros.

11-26 . Se desea un a transmisión de cadena en un recolector denulz para acopla r un motor h idrául ico con un e je impul

sa r . El mo tor de 30 hp ope rará a 550 rpm y e l eje im p uls o r d eb e fu nci onar t a n ce rc a d e 10 0 r p m co m o se a po sibl e Sele ccion e u n ta m año ad ec uado d e 1a ca den a, fas

ruedas dentadas y el n úm ero de eslabones de fa cadenacomercial me nte disp onible s. Calcule tam bién 1a velocidad real d e fa cadena y fa distancia entre centros.

11-27. Se desea una t ransm isión de cadena para acopla r un

motor de gasolina y 1a caja de transmisión con las ruedasimpulsoras de un vehículo todo te rreno. Cuan do d s is

tema mo tor/transmisión de 130 hp funcione a 600 rpm,

d e je impulsor debe operar tan cerca de 140 rpm com osea posib le . Sdecc ione un tamañ o ad ecuado de fa ca dena, fas ruedas dentada s y el núm ero de eslabones de fa

cadena comercialmente disponibles. Calcule también

b vdocidad real de fa cadena y fa distancia en tre centros.11-28. Se desea una t ransm isión de cadena para acopla r un

motor de engranes con fa t ransmisión de tomil lo de u na

pr en sa . El m o to r d e en g ra nes de 50 h p o p e ra rá a 60 0rpm y fa transmisión de torn i l lo debe func ionar tan

cerca de 100 rpm com o sea posible. Seleccione untamaño adecuado d e fa cadena. las ruedas dentadas y el

número de eslabones de fa cadena comerc ia lmentedisponibles. Calcule tam bién fa velocidad real de fa ca

dena y la distancia en tre centros.

11-29. Se desea una t ransmisión de cadena para acopla r unmo tor de gasolina y fa caja de transm isión con el taladro

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de una removedora de n ieve . C uan do e l s istema m o

tor/c^ a de t ransmisión de 8 h p opere a 300 rpm. e l ta la dro debe func ionar tan cerca de 40 rpm com o sea posi

bl e. Sel ec cion e u n ta m añ o ad ec u a d o d e la ca dena , la smedas dentadas y el n úm ero de eslabones de la cadena

comercialmente disponibles. Calcule tamb ién la velocidad real de la cadena y la distancia entre centros.

1 1 - 3 0 . Se desea una t ran sm isión de cadena para acopla r unmotor de eng ranes con u n carrusel de almacenamiento

de partes. El mo tor de engranes de 10 h p o perará a 425rpm y la flecha del carrusel debe ope rar tan cerca de75 rpm como sea posible. Elija un tamaño adecuado de la

cadena, las ruedas dentadas y el núm ero de eslabones de b ca de na co m erci alm en te disp on ib le s. C a l i lle ta m bié n la

velocidad real d e la cad ena y la distancia entre centros.

ESTUDIOS DE CASO _________________________

11-1. H dispositivo mostrad o en b figura El 1.1 impu lsa unarampa qu e cana liza bote l las indiv idua les de bebidagiseosa hac ia contenedores de 12 p iezas. El pe rno C

está sujeto rígidam ente a u n eslabón de la cad ena. El

yugo D e tá so ldado r íg idamente a la var il la £ b cua l se

a t ie n de hacia la ram pa (que n o se muest ra ) . Examinecuidadosamente los componentes de l mecanismo,luego conteste las preguntas s iguientes par a obtenermayo r conocimiento acerca de su funcionamiento.

1 . Dete rmine e l movimiento de la rued a dentada f t conforme la rueda d entada A impulsa en sent ido h ora r ia

2 . Especi fique e l mov imiento instantáneo de l pern o C,

c o n fo rm e l a ru e d a d e n ta d a A impulsa en sent idotora r io .

3 . Espec if ique e l m ovim iento instantáneo de l yugo D,conforme la rueda dentada A im p u l sa e n se n t id o h o rario.

4 . ¿ Cu á n to d e b e g i r a r la ru e d a d e n ta d a A pa ra mover

é pe rn o Cs obre la rueda?5. ¿Qué le sucede al m ovimiento de la varilla £ cua ndo el

pern o se m ue ve s o b re la r ue da ?6. ¿Qu é le sucede a la varilla E c u a n d o e l p e rn o C e st á so

bre la p a rt e su p e r io r de la t ra n sm is ió n d e ca de na ?7. Co me nte las características del m ovimien to general de

la varilla £

11—2. la p olea m ostr ada en la figura E l 1.2 im pulsa la flecha A, la cua l a la vez impulsa u n cor tado r de leña (que no

se incluye). Observe que la polea se divide en d os mitades, identificadas como B y C. Las dos m itades están

enroscadas en D. Examine cuidadosamente las com ponentes de l m ecanismo, luego con teste las s iguientes pr eg un ta s p a ra o b te n er m ay or c on oci m ie nto ac er ca de

su f i indonamiento .

1 . ( l iando g i ra e l mango H , ¿cuál es el m ovim iento del eje 1?

2. (l ia nd o gira el mango H , ¿cuál es el mov imiento de lamitad derecha C de la polea?

fi g u ra F.l 1.2 (Cortesía d e In du strial P ress).

Movimiento

a la rampa

3. ¿Cuál es el efecto resultante sob re la polea al gira r elmang o H?

4 . ¿Qué es la p ieza /y cuá l es su fundón?5. ¿Cuál es e l propósi to de la p ieza R ¿Debe ésta per

ma nece r en contacto co n la pieza fc?

6 . ¿ Q u é e s b p i ez a G y c u á l es su fu n d ó n ?7. ¿Qué no m bre daría a este dispositivo?

11-3 . La polea m ostrada en la f igura E l 1 .3 im pulsa un

mecanismo (q ue no se inc luye) en una m áquina que

agi ta la tas de p in tura . Estas máquina s se usan paramezc la r comple tamente la p in tu ra en e l m omento de lacompra y son comunes en b mayoría de las t iendas de

p in tu ra m in o ri s ta s. Exa m in e cu id ad osa m en te b s c o m ponente s del m ec an is m o, lu eg o c on te st e las si gu ient es pr eg un ta s p ar a o b te n e r m ay or co no c im ie n to ac er ca d e

su funcionamiento.1 . Dete rmine e l m ovimiento de b p ieza D, conforme b

ceja B s e fu erz a h a d a a r r ib a h a d a b p a la n c a C .

2 . D e te rm in e b a c d ó n r e su l ta n t e d e b p o le a G , c o n fo rm e

b ce ja t í s e fu er za hac ia a rri b a h a d a b p al an ca G3. Determine b acción resultante del mecan ismo agitador

de p in tura , conforme b ce ja B se fuerza had a a rr iba hacia la palanca G

4 . La pieza A e s b puer ta de l compart imiento agi tador de

p in tu ra ; c om ente el p ro p ó sit o de e st e m ec an ism o.5 . Com ente la razón de tan tas muescas, £ en la polea G.

6. Co me nte el objetivo del resorte H.7. ¿Qué nom bre d aría a este dispositivo?

FIGURA Eli. ! (Cor tesía d e Industrial Press). F IG U R A E l i J M e c an i s m o d e l estudio d e caso 1 1 . 3 .

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C A P Í T U L O

D O C E

MECANISMOS DE TORNILLO

O B J E T I V O S

A l te rm in ar de est udia r est e cap itu la , el alum no se rá ca pa z de:

1 . D e s c r i b i r l a o p e r a c i ó n d e u n m e c a n i s m o d e t o r n i l l o .

Z F a m i l i ar i z ar s e c o n l a s c a r a ct e r ís t ic a s d e l a s c u e r d a s

y l a s fo r m a s e s l i n d a r d e e s t a s.

3 . C o n o c e r l a f u n c i ó n d e l t o r n i l lo d e b o l a s.

4 . D e t e r m i n a r s i u n a c u e r d a e s d e a u t o b l o q u e o .

5 . C a l c u l ar e l t o r q u e r e q u e r i d o p a r a h a c e r g ir a r u n t o r n i ll o

y l a e fi c ie n c i a d e u n a u n i ó n d e t o r n i ll o .

6 . C a l c u l a r l a s r e la c i o n e» c i n e m á t i c a s d e u n m e c a n i s m o

d e t o r n i l l o e n g e n e r a l .

7 . E n t e n d e r l a o p e r a c i ó n d e u n t o r n i l lo d i fe r e n c i a l y c a l c u l a r

s u s r e la c i o n e s c i n e m á t i c a s .

8 . E n t e n d e r La o p e r a c i ó n d e u n t a l a d r o y c a l c u l a r s u s r e l a c i o n e »

c i n e m á t i c a s .

ñas están roscadas en el interior de un a pieza, com o una carcasa

fu n d id a , o m á s c o m ú n m e n te , d e n t ro d e u n a tu erc a. S i em p re

que sea posib le , se deber la e legi r una cuerda estándar para

m ejorar el in te rcambio en e l m antenimiento o la sust i tuc ión ,

la s cuerdas, internas o externas, se clasifican de acuerdo con las

siguientes características.

las do s características más comun es de una cu erda son el

fuso y el diám etro de p aso. El pa so p es la distancia paralela al eje

(U tomil lo , medidadesde un p unto sobre un h i lo , hasta e l punto

correspondiente del hilo adyacente. El diámetro de paso d es lad istanda medida desde e l pun to medio ent re la pu nta y la rafz

del perfil de la cuerda, pasan do po r la l inea del eje, hasta el punto

correspondiente de l lado op ue sta La f igura 12 .1 i lust ra ta les

pr op ie da de s.

Otras propiedades de la cuerda d e u n to m il lo ( f igura 12.1)

incluyen el diámetro mayor, e l diámetro menor, e l ángulo de

avance y el ángulo incluido. En e l s is tema t radic iona l estado

unidense , es má s común usar e l núm ero de cuerdas por pulgada

n a lo largo de la longitud del tornillo, que el pas o. El valor de

los hilos po r pulgada está relacionado con el paso med iante la

siguiente ecuación:

12.1 INTRODUCCIÓNEn genera l , los m ecanismos de torn i l lo están d iseñados para

c o n v e r t i r m o v im ie n to g i r a to r io e n m o v im ie n to l in e al . C o n

sidere la barra de un desodorante só lido . Conforme gi ra la pe r i

lla . la barra de desod oran te se extiende o se retrae den tro del en

vase . En e l in te r ior de l envase g i ra un tom il lo que em puja una

tuerca y la barra de des odorante a lo larpj de la cuerda. De este

m od a se emplea un mecanismo “desechable" de tom il lo en el

envase de l desodorante . El mism o concepto se u t i l iza genera lmente en los ga tos mecánicos automotr ices, en a lgunos m eca

nismos d t apertura de puertas, en m ecanismos de ajuste en asien

tos de automó viles y en las mesas de trab ajo de las fresadoras.

B objetivo de este capitulo es la determinación de la cine

mát ica y de las fuerzas en u n m ecanismo de torn i l la C om o e lmovim iento de una tuerca sobre u na cuerda es est r ic tamente

lineal, las solucione s gráficas no apor tan mayor com prensión.

Ifor lo ta n ta so lam ente las técnicas analíticas son útiles y se pre

sentan e n este capitulo.

12.2 CA RAC TER ÍSTICAS DE LAS CUERD AS

Para qu e un tornillo funcione, debe ha ber dos partes acopladas:una con cuerda in te rna y o t ra co n cue rda exte rna . Las cuerdas

exte rnas están superpuestas en la superf icie de un e je o un pr i

s ionero , com o en un p erno o en u n torn i l la Las cuerdas ín ter

n = - ( 12 . 1)

12.3 FOR MA S DF. CUE RD A

L a f o r m a d e l h i lo d e f in e l a f o r m a d e l a c u e r d a . L a s c a r a ct e r ís ti

c a s d e l a c u e r d a p r e s e n t a d a s e n l a s e c c i ó n a n t e ri o r c o r r e s p o n

d e n a u n a f o rm a d e c u e r d a u n i fic a d a . N o o b s t a n te , e s as d e f i n i

c i o n e s s o n a p l ic a b l e s a t o d a s l a s f o r m a s d e c u e r d a s . L a s f o r m a s

d e c u e r d a m á s p o p u l a r e s i n c l u y e n l a u n i fi ca d o , l a m é t r ic a , la

c u a d r ad a y l a a c m é .

f i g u r a 1Z I P e r f il d e u n a c u e r d a .

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Mecanismos de torni l lo 317

12.3 .1 C ue r da s un i f ic ad as

Las cuerdas u nificadas son las cuerdas m ás comunes q ue se em

p le an en su je ta do re s y m ec an is m os peq ueñ os. T am b ié n se u ti

l izan genera lmente en mecanismos de posidonamiento . La

figura 12.2a ilustra el perfil de una cuerda unificada, la cual se p rese n ta c o m o u n d ie n te tr ia n g u la r p u n ti a g u d a Las d im en

siones de u na cuerda unif icada se han estandar izado y se obser

van en b tabla 12.1. Las cuerdas unificadas se den om inan com o

de paso grueso ( u n c ) o de paso fino ( u n f ).

Una cuerda unificada estánd ar se especifica po r tamarto,

h i los po r pulgada , y paso f ino o paso grueso . Las denom ina-

do nes de cuerdas estándar se presentan como:

10-32 UNF

1/2-13 UNC

Una cuerda métr ica estándar se espedfica con b deno m i

nac ión m étr ica " M", e l d iámetro n omina l mayor y e l pa sa La de

nominac ión de la cu erda estándar s e presenta como:

MIO X 1 5

1 2.3 .3 C u e r d a s c u a d r a d a s

Las cuerdas cuadradas, como su nom bre lo indica , son cuerdas

cuadradas y planas en b parte superior. So n resistentes y se disertaron originalm ente para trans m itir potencia. En b figura 12.2c

se muest ra una cuerda de forma cuadrada . Aun cuand o t rans

miten con e fid en cb cargas grandes, estas cuerdas son difíciles de

m aquinar po r sus lados perpendiculares. En g eneral, las cuerdas

ACME ha n sus tituido las cuer das cuadra das.

6 0 '

v wa) Unificada

W Vb) Métrica

M H

c) Cuadrada

F IG U R A 1 2.2 f o r m a s d e c u e r d a .

1 2 .3 .2 C u e r d a s m é t r ic a s

Las aierdas de forma métrica también están definidas como for

mas triangulares y puntiagudas, pero con la raíz plana. Sin em

b a r g a b s d im en sio n es es tá n dar so n v a lo res m ét r ic os co nv e

nientes y supervisados p or la Organizac ión In te rnac iona l de

Estandarización (ISO. p o r las sigla s d e I n te rn at io na l O rg an iz at io nfor Stan darization ). La form a de esta cuerda se presenta en b

figura 12.2b. Las dim ensiones estándar d e b cuerda métrica seo b serv an e n b t a b b 1 2 3.

12 . 3 . 4 Cue r das acmé

Las cuerdas a c s i s son parec idas a b s cu erdas cuadradas, pero con

lados inc l inados. Se usan genera lmente cuando se requie renmovimientos rápidos o b t ransmisión de foerzas grandes. En b

figura 12.2d se ilustra un a cuerd a a c m é . Las dim ensiones están

d a r d e l a c u e rda a c m é de un torn i l lo se l i stan en b ta b b 12.3.

Esta cuerda es b form a más usua l u t i lizada en mecanismos delomil lo en m áquinas indust r ia les. Sus ven teas son un costo ba jo

y fáci l m anufac tura . Sus desventa jas son una e f iden cb ba ja ,

como s e verá más ade lante , y b d i f icu l tad para d e te rmina r su

vida útil.

12.4 TOR NILLO S DE BOLAS

Los tornillos d e bolas están disertados tamb ién pa ra con vertir el

movimiento g i ra torio de l torn i l lo o b tuerca en movimiento l i

neal relativamente len ta del miem bro acoplado, a lo largo del eje

del tornillo. N o obstan te, un tornillo de bolas t iene, po r mucho,

menos f r icc ión que un tomil lo de con fi^ i radón t radic iona l . El

contacto d e deslizamiento entre el tornillo y la tuerc a se ha sustitu ido por contac to de rodam iento de bs bolas en bs ranuras a lo

largo del tornillo. Por consiguiente, un tornillo de bo b s requiere

menos poten cb para impulsar un a carga . En b f igura 12.3 se ob

serva un torn i llo de bo bs.La operac ión de un tomil lo de b ob s es suave porque e l ro

damiento de b s bob s e l imina el m ovimiento de "deslizamiento dela curta", causado p or b fricción de un tom illo y b tuerca tradi

ciona l». Sin em barg a debido a la baja fricción de un tom illo de

b o b s , se su ele u sa r u n fr en o para m an te ner la ca rg a e n su luga r.

Id c inemática de un tom il lo de bolas es idént ica a la de un

«m il lo t rad ic iona l , de m anera que no hay d i fe renc ia cuando se

realiza su análisis cinem ática Los conc eptos siguientes se aplican

tanto a torn il los t rad ic iona les com o a torn il los de bo bs.

12.5 AVANCE

En b d e t e rm in a c ió n d e l m o v im ie n to de u n m e c a n i sm o d e

«m il lo , e l avance de l tomil lo es un parámetro c r it ico y debe en

tenderse. El o s u n a L es b dis tand a que viaja la tuerca a lo largo

del eje del tom illo con u na revoludó n del tornillo. En la mayoria

de los tornillos, el avance es igual al paso. No obs tante, los torn i

llos se fabrican con un a o d os cuerdas. Entonces, el número de

cuerdas N, superpuestas en un torn i l lo es una propiedad im por

tante. En b figura 12.4 se ilustra el concepto de cuerdas m últi

pl es su per pue st as en u n t o ra il la

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318 CAPITULO DOCE

T A BL A 1 2 .1 D i m e n s i o n e s e s t á n d a r «Je u n a c u e r d a u n i fi c a d a

C U cn la s g ru es a s O r e n la s A n a s

D iá m e tro P a so D iá m e tro Paso D iá m e t ro

m a y a r H i lo s p o r ( tu ) n o m in a l H ilo s p o r ( ln ) d e p a s o

n o m in a l p u lg m la.■

d e p as o p u lg m l. .1

n o m i n a l

Tamal to f ln) n•

(ln> H 8

f ln)

0 02)600 — — — 80 0.0125 02)519

1 0.0730 64 0.0156 0.0629 72 02)139 02)640

2 0.0860 56 0.0179 021744 64 02)156 02)759

3 00990 48 0.0208 0.0855 56 0.0179 02)874

4 0.1120 40 0.0250 0.0958 48 0.0208 0.0985

5 0.1250 40 0.0250 0.1088 44 02)227 0.1102

6 0.1380 32 0.0313 0.1177 40 02)250 0.1218

8 0.1640 32 0.0313 0.1437 36 02)278 0.1460

10 0.1900 24 02)417 0.1629 32 02)313 0.1697

12 0-2160 24 02)417 0.1889 28 02)357 0.1928

0.2500 20 02)500 00175 28 0.0357 0.2268

'A*0.3125 18 0.0556 00764 24 02)417 0.2854

'A 0-3750 16 02)625 0.3344 24 0.0417 0.3479

’A* 0.4375 14 0.0714 0.3911 20 02)500 0.4050

‘ A 0.5000 13 0.0769 0.4500 20 0.0500 0.4675

'A* 0.5625 12 021833 0.5084 18 02)556 0.5264

'A 0.6250 11 0.0909 0.5660 18 0.0556 03889

/ 0.7500 10 0.1000 0.6850 16 02)625 0.7094

A 0.8750 9 0.1111 0.8028 14 02)714 08286

i 1.0000 8 0.1250 0.9188 12 0.0833 0.9459

V A 1.2500 7 0.1429 1.1572 12 02)833 1.1959

V A 1.5000 6 0.1667 IJ9 1 7 12 02)833 1.4459

V A 1.7500 5 0.2000 1.6201 — — —

2 2.0000 4'A 00222 1.8557 — — —

Q a v an c e s e c a l c u la c o m o :

L = N , p ( 1 2 . 2 )

En l a f i g u r a 1 2. 1 se m u e s t r a e l á n g u l o d e a v a n c e A y se d e

f i n e c o m o e l á n g u l o d e i n d i n a d ó n d e l as cu e rd a s. Se c a l cu l a ap a r t i r d e r e l a d o n e s t r ig o n o m é t r i c a s c o n o t r a s c a r a c te r í st ic a s d e lt o r n i l l o .

C u a n d o l a c u e rd a de u n t o m i l lo es m u y p r o n u n c i a d a y t ie n e á n

g u lo s d e a v a n ce g ra n d e s , p u e d e s e r g r a n d e e l t o r « | u e re q u e r i d op a r a e m p u j a r u n a c a rg a a l o l a rg o d e l t o m i ll o . L o s t o m i ll o s t í p i c o s t ie n e n á n g u lo s d e a v a nc e q u e v a n a p r o x im a d a m e n t e d e 2* a

6 * . A d e m á s , l o s á n g u l o s d e a v a n c e p e q u e ñ o s e v i ta n q u e u n a

c a r g a se “ d e s li ce h a c i a a b a j o d e l t o r n i l l o " p o r l a g r a v e d a d . L af u e r a d e f r ic c i ó n y l a e scasa in c l i n a c i ó n d e l a c u e r d a se c o m b i n a n p a r a m a n t e n e r l a c a rg a e n s u lu g a r . Es to s e c o n o c e c o m o a u -t o b l o q u e o y e s de s ea b le e n d i s p o s i t iv o s l e v a d i z o s . P o r e j e m p lo , e l

g a t o m e c á n i co d e u n a u t o m ó v i l r e q u i e re q u e l a ca rg a s e m a n

t e n g a a c i e r t a a l tu r a , i n c l u s o c u a n d o l a f u e n t e d e p o t e n c i a c es a.C u a n d o l a c u e r d a e s d e a u t o b l o q u e o , l a c a r g a se b l o q u e a e n

c i e r t a p o s i c i ó n v e r t i c a l . Es t a c a r a c t e r í s t i c a d e f r e n a d o s e u s a

e n v a r i o s d i s p o s i t iv o s m e c á n i c o s , p e r o s e d e b e n a n a l i z a r la r es is t e n ci a d e l a c u e r d a y la f u e r a d e f r ic c i ó n p a r a g a r a n t iz a r l as e g u r id a d . M a t e m á t ic a m e n t e , l a c o n d i c i ó n q u e s e d e b e c u m p l i r

p a r a o b t e n e r e l a u t o b l o q u e o e s:

H > t a n A ( 1 2.4 )

E n l a e c u a c i ó n 12.4, n « e l c o e fi ci e n te d e f r i c c i ó n d e l a i n -

t e rf a s e t u e r c a - c u e r d a . E n c u e r d a s t r a d i c i o n a l e s , l o s v a l o r e s c o m u n e s d e l c o e f i c ie n t e d e f r i c c i ó n s o n :

fL = 0.10 p a r a s u p e r f i c ie s m u y l is a s , b i e n l u b r ic a d a s

/ ¿ ■ 0 . 1 5 p a ra t o m i ll o s c o n m a q u i n a d o n o r m a l , c on

s u p e r f ic i e s b i e n l u b r i c a d a s¡ l = 0.20 p a r a t o m i ll o s c o n m a q u i n a d o n o r m a l , c o n s u p e r

f i c ies o rd inar ias

I x t s t r a t a m ie n t o s s u p e r f ic i a l e s e s pe c ia le s y l o s r e c u b r i m i e n t o s

s u el en r e d u c i r e s to s v a lo r es , p o r l o m e n o s , a la m i ta d L o s t o m i

l l o s d e b o l a s , c o n b a j a fr i c c i ó n i n tr í n s e c a , p r á c t i c a m e n t e n u n c as e a u t o b l o q u e a n .

12.6 CINEM ÁTICA DE TORNILLOS

D e sd e u n p u n t o d e v i s t a c i n e m á t ic o , l a u n i ó n d e t o m i l lo u n e d o sc u e r p o s y l o s a c o p la c o n d o s g r a d o s d e l i b e r t a d . G e n e r a lm e n t e ,

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M e c a n is m o s d e t o r n i l lo 3 19

TARI-A 1 1 2 Dim ension es estándar d e una cuerda mátrica

Q i e r d a a g r u e a a t Q i e r d a a f in a s

I S á r a e t r o P a r o D iá m e tr o P a ao D i á m e t r o

m a y o r ( m m ) d e p a s o (m m ) d e p a s o

n o m i n a ) n o m i n a l n o m i n a l

1 1( m m ) ■

a

1 (m m ) ( m m )

1 02 5 0.84 _

U 035 1-37 05 0 1.47

2 040 1.74 05 5 154

2 5 045 2-20 055 257

3 OJO 167 05 5 2.77

4 0.70 354 OJO 357

5 OJO 4.47 OJO 457

6 1.00 554 0.75 5 JI

8 155 7.18 12)0 754

10 IJO 92)1 155 9.18

12 1.75 10.85 155 11.18

16 2.00 1458 IJO 152)1

» 2J0 1855 1JO 192)1

2* 3.00 222)2 22» 22.68

30 350 2759 2.00 28.68

36 4.00 3356 32» 342)2

42 4.50 392)3 — —

« 5JJ0 44.70 — —

la unión se configura de m odo tal que un cuerpo se t rasladará

con el movim iento de giro del otro cuerpo. Dependiendo de las

rest ricc iones de los dos c uerpos, son posib les los s iguientes

movimientos relativos:

I. Traslación de la tuerca conform e gira el tom illo: Sucedecuando e l torn i l lo está impedido para t rasladarse y la

tuerca no p uede girar.

II. Traslación del tomillo conform e gira la tuerca: Ocurre

cuan do la tuerca está imped ida par a trasladarse y el

torn i l lo no puede g i ra r.

III. Traslación del tom illo mientras gira: Sucede cuando la

tuerca está com pletam ente im pedida para moverse.

IV. Traslación de la tuerca m ientras gira: Ocurre cu ando el

tornillo está comp letamente imped ido pa ra moverse.

Indep endientem ente de la configuración real del sistema,

el movimiento relativo es el mis m a Un giro específico produce

un a traslación. Po r consiguiente, se han desarrollado ecuaciones

p u ra d e scri b ir e l m o v im ie n to re la tivo , en ta n to q ue el m o v imiento ab soluto se determ ina examinando la configuración real

del sistema. S e usa la n otació n siguiente:

A es la pa r te que pu ede g i rar .

B es l a o t r a p a r t e u n id a p o r b u n ió n d e t o rn i l l a

Com o ya se def inió , e l avance de un tomil lo es b d is tancb

que viaja b tuerca a lo largo del eje del tornillo con una resoluc ión d d torn i l lo . Entonces, b magni tud d d desplazamiento de

B en re lac ión con A se ca lcub como:

A R B A = L M Á ( 1 2 .5 )

TA BLA 1 2. 3 D i m e n s i o n e s e st á nd a r d e un a c u er d a ¡

ACME

r

Diámetro■ararnominal (In)

Hilo* por

pulgada.-

Faro (In)

1

Diámetrode patonominal (In)

16 0.0625 05043

Yu 14 02)714 05614

y. 12 0.083J 05161

Yu 12 0.0833 05783

'A 10 0.1000 0.4306

y. 8 0.125 0-5406

*/. 6 0.1667 05424

y> 6 0.1667 0.7663

i 5 05000 05726

va 5 0.2000 0.9967

IV. 05000 1.1210

4 0.2500 15188

VA 4 05500 15429

1 / i 4 0.2500 1J916

2 4 0.2500 154022/« 3 05333 2.0450

2'/ 3 05333 25939

2% 3 05333 25427

3 2 0.5000 2.7044

sA 2 OJOOO 35026

4 2 0.5000 3.7008

4 A 2 0.5000 4.1991

5 2 OJOOO 45973

f i g u r a 12 .4 C o n c e p t o d e c u e r d a m ú l t ip l e .

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320 CAPITULO DOCE

La diferenciación pro duce las ecuaciones de la ma gnitud de la

velocidad y d e la aceleración.

VíUA = la iA

H b a =

( 12 . 6 )

(12.7)

Advierta que el avance i se especifica com o el desplaz amien to re

lativo po r revolución. Por ello, en esta instancia, el mov imiento

ang ular se debe especificar en revoluciones, de man era que ioÁ tendria que especificarse en revoluciones po r min uto (o segun

d o ) , y a A en revoluciones po r minu to al cuadrado (o segun do al

cuadrado).

La dirección del mo vimiento relativo depende de la orien

tación de la cuerda. Los torn ilo s y las tuercas acopladas se clasi

f ican como hada la derecha o hac ia la izquie rda . La cuerda

derecha es la más com ún. En esta unión roscada , e l torn i l lo

avanza had a la tuerca cuando e l torn i llo g i ra en sent ido horar io .

La cuerda derecha se ind ina hac ia aba jo a la izquie rda en u nacuerda exte rna , cuando e l e je es hor izonta l . La ind ina dó n es

opuesta en una cuerda in te rna . Po r e l co ntra r io u na configu-rad ón h ad a la izquie rda genera d movimiento opuesto .

Los siguientes ejemplos ilustran la determina ción de la d -

nemát ica de un tomil lo .

PROBLEMA D E EJEM PLO 12.1

En la figura 123 se muestra un a corredera impulsada por un tom illo que se util iza en una máquina d e producción

que mueve la hoja de u na sierra para cortar el material sobrante en un a linea de p artes tundidas. Un eje roscado con

una cuerda *A-6 a c m é mueve la corredera. El tomillo gira a 8 0 rpm , mo viendo la corredera hacia la derecha.

Determine la veloddad d e la corredera. Calcule asimismo el nú me ro de revolud ones para mover la corredera 33 in.

( Motor

Soporte del eje rmearte

Gula lineal

FIGURA 123 C orredera del pro blem a de ejemplo 12.1.

S O L U C I Ó N : I . Dete rm in e el m o vim ie nto re lat ivo

fii esta configuración, el m otor gira el tom illo sobre los cojinetes, pero los hom bros del eje evitan b traslación del

tomillo. La tuerca está impedida p ara b rota dó n, aunque se le permite b traslación a lo brg o de bs guias lineales.

Este es el caso I previamente descrito. Se usará b sígue me notad ón:

La par te A es el tomillo.

U p a r t e H a la tuerca.

Calcule la g eom etría del tornillo

U ta cuerd a ’/.-6 a t m f de to millo tiene las siguientes propiedades:

N úm er o de hilos: N, = 1 hilo/rev

N úm er o de hi los p or pu lgad a: n = 6

Paso: p = - = j = 0 1 6 7 i n/ hi lon 6

Avance: i. = N , p - 0.167 irúrev

D ete rm in e e l de sp la za mient o de l to rn ill o

8 desplazamiento angular del tomillo para p roducir un desplazamiento lineal de 33 in de b tuerca y la corre

dera se calcula replanteando la ecu adó n (123).

En ausencia d e mayor información, se supon e que esta es u na cue rda derecha estándar. Por lo tanto, el

tomiDo gira en sentido antihorario, visto del extremo derecho, para mover la tuerca a la derecha.

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4 . Calcule la ve locidad de la tuerca

l a velocidad lineal de la tuerca se determina con la ecuación ( 12.6).

V » a = LaiÁ = (0.167in/rev)(80 rev/min) = 13J 6in/m in —►

Com o el tom illo está imp edido pa ra la traslación, la velocidad calculada es b velocidad absoluta de la tuerca.


En la figura 12.6 se ilustra una prensa operada p or un tomillo. El tornillo tiene un a cuerda / X 10 a c m é , con oríen-

tíción ta nto a b derecha como a la izquierda, como se indica. El ma ngo gira en sentido antihorario a 45 rpm, para im

pu lsa r la pl ac a de presión h a d a ab ajo . En la p osid ó n m os tr ad a, c on ¡3 = 25", determine la veloddad de la placa de presión.

FIGURA 1X6 Prensa del p rob lem a de ejem plo 12.2

SO LU CIÓ N : 1 . liste las propiedades del tom illo

Iha cuerda 'AX 10 a c m é tiene las siguientes propiedades:

N úm ero de d ie nt es po r p ulga da : n = 10

Paso: p ■ - ■ 7 - ■ O.lOinr n 10

N úm ero de hi lo s: N , = 1

Avance: L = N ,p = 0.10 in/rev

X Ü abore el diagrama cinemático e identif ique los grados de l ibertad

En la figura 12.7 se ilustra el diagrama cinemático de este m ecanismo. Al calcular la m ovilidad de este mecanis

mo. se identifican cinco eslabones. También existen cinco union es de perno . P or lo tanto.

r t = 5 jp = 5 (3 pernos y 2 uniones de corredera) j b = 0

M - 3 (n - 1) - 2jr - ; » — 3<5 — 1 ) — 2 (5 ) - 0 - 12 - 10 - 2

Con dos grados de libertad, ambas tuercas se m ueven. La configu radón del torniDo mostrada en b figura 12.6

i n pu lsa am bas tu ercas .

A

FIGURA 1X7 D i a g ra m a c in e m á t ic o d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 2 . 2 .

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322 CAPITULO DOCE

3 . Det er min e la v eloc idad d e la s tu er ca s

Observando la figura 12.6, el tom illo es libre de girar pero está im pedido p ara desplazamiento axial. Con las

cuerdas en o rientac iones opuestas, las dos tuercas se mueven también en direccio nes opuestas. ft>r consiguiente,

b velocidad relativa de ti tuerca, con respecto a la ecuación ( 12.6) del tomillo, es la velocidad absoluta de cada

tuerca. Cu ando el tornillo gira a un a velocidad de 45 rpm , la tuerca avanza a:

•Wa/iormiio = k*WU!o = (O.lOin/rev) (45rev/m in) = 4 3 in/min

Entonces:

VA - 4 .5 in/min • - y Vc ■ 4 .5 in /min -•

4 . Calcule la \rlo cidad de la placa

la ecuación d e velocidad se escribe com a

vfl- v * + > v , A - vc + > v jrc

Se form a u n diagrama de velocidad a pa rtir de ambas ecuaciones. Observe que debido a la simetría, el desplaza

miento y la velocidad Bson verticales (figura 12.8).

f i g u r a 12_8 D i a g r a m a d e v e l o c id a d d d p r o b l e m a d e e je m p l o 1 2. 2.

l i a n d o t ri g o n o m e t r í a, s e o b t i e n e l a s i g u ie n t e r e l ac i ón :

ta n ( 9 0 - 0 ) - ^

Para el caso m ostrada

0 = 25’

V fl - v * ta n (9 0 - 0 ) - ( 4 3 in / m i n ) ta n ( 9 0 " - 2 0 -) - 12 .4 i n /m i n i

12.7 FUERZAS Y TORQ UESEN EL TOR NILLO

En la figura 12.9 se pre sentan la tuerza y el torq ue qu e actúa so b re d to rn il lo y la t uer ca .

Se ha n de ducid o las relaciones en tre la tuerza y el torque

[re£ 2], en las cuales el coeficiente d e fricció n entre la cuerda yla tuerca, t iene una g ran influencia. La fricción se analizó en la

sec dó n 12.5. Cuand o se utilizan m ecanismos roscados, se pierde

una gran cantidad de energía po r la f r iedón.

H pr ime r caso a estudia r es aque l dond e e l movimiento de

la tuerca ocurre en la d i recc ión opuesta de la fuerza apl icada

q u e a c tú a so b re l a t u e rc a. Est e e s d c a so c o m ú n m e n te c o n o d d o

como de e levadón o em puje de u na carga . El torqu e requerido

para re al iz ar e ste m ov im ie n to se ca lc ula co m o:

/ F d \ r (¿ + w / x j ) i

V 2 J l ( n d - n L ) J

§ p

1 j ¡ l F

\1

< *

(12 .8)f i g u r a 12 .9 Fuerza y torque s o b r e un tornillo.

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donde;

F = m agnitud d e la fuerza aplicada sob re la tuerca

d = d iámetro de paso de las cuerdas

L = avance de las cuerda

/i = coeficiente de fricción en tre la tuerca y las cuerda

El segundo caso a estudia r es aque l do nde e l movimiento

de la tuerca está en la misma di recc ión qu e la fuerza que ac túa

sobre la tuerca. En esencia, la carga favorece el mo vimien to de b

tuerca. Esto se conoce comúnm ente com o e l caso de descenso de iota carga. El torque requerido para realizar este movimiento es

el siguiente:

= ( ? ) (TTd + fl L )(12.9)

La eficiencia e se def ine como e l po rcenta je de potenc ia

t ransfe rida a t ravés de las cuerdas had a b tuerca. Es la razón

de l torque requer ido p ara e levar b ca rga , en ausenc ia de f r ic -

aó n, a l torqu e requer ido para e levar la ca rga con fr icdón. De

n u ev a c u e n ta , se h a d e d u d d o u n a e c u a d ó n d e fo rm a c e r ra d a

par a b e f id e n d a .

-tai( i rd co s a - n L )

( n f i d + ¿ c o s a )( 1 2 . 1 0 )

Adem ás de las cantidades ya definidas, se emplea el ángulo de

cuerda incluido, a . Este ángulo se ilustra en la figura 12.2. Los

valores estánd ar son:

Cuerda unificada: a - 30°

Cuerda métr ica : a ■ 30®

Cuerda cuadrada : o = 0“

Cu e rd a a c m é : a = 14.5°

Los tomil los roscados sue len ten er e f idenc ias en t re 20 y 50%.

I\>r lo tanto , se pierd e un a gran c antidad d e energía po r fric-

dó n . E n oposic ión a los torn il los roscados, los tomil los de bolas

t ie n e n e f id e n d a s p o r a r r ib a d e 9 0 %. Pa ra l o s t o rn il lo s d e b o

las, las ecuaciones de torq ue operativo s e estiman com o:

T = 0 .1 7 7 FL(p a ra e le v a r u n a c a rg a ) (1 2.1 1)

T = 0 .143FZ.(para ba ja r una carga) (12 .12)


En la figura 12.10 se ilustra el mecanism o de tom illo de u n git o mecánico. Para elevar el gato se u tiliza un sistema de

correa/polea para girar un a tuerca aco pbd a con un tornillo con un a cuerda I -5 a c m é. Observe el pem o en una ranura

sirve para evitar que e l tom illo gire. La me rca gira a 30 0 rpm . Determine b velocidad de elevación del gato, el torque

tequerido y b eficienda del gito.

FIGURA 12.10 Gato mecánico del pr ob lem a de ejem plo 12.3.

SO LU CIÓ N : I . l iste las propiedadesdel tornillo

Un tomil lo con una cuerda 1- 5 a c m é tiene las siguientes propiedades:

N úm ero de d ie nt es po r p ulga da : n = 5

Paso: p = - = - = 0 20 inn 5

N ú m er o d e h ilos: N , - 1

Avance: L m N , p - 0.20 in/rev

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324 CAPITULO DOCE

2 . Calcule la irlo cidad del tom illo

En la figura 12.10, la tuerca está im pedida p ara la traslación. Por lo tanto, la velocidad calculada con la ecuación

(12.6) es la de avance del tornillo. Conforme la tuerca gira con un a velocidad de 30 0 rpm , la cuerda avanza a

través de la tuerca a u na velocidad de:

VuxiíUo " k**tum » " (0 .20in / rev)(300rev/min) - é f l in /m int

3 . D ete rm in e el u r q u e requ er ido

H torque requ erido para elevar la c arpí depend e del coeficiente estimado de fricción entre las cuerdas y la tuerca.

Como esta configuración del gato se emplea e n e ntorno s industriales estándar, se supone u n coeficiente de fríe-dón d e 0.2.En la tabb 12 J , el diámetro de paso nom inal para cuerdas 1 - 5 atme es de 0.8726 in. Asimismo, para

b s c ue rd as « m e .e l áng ulo incl u id o es d e 29°. Ento nc es, el to rq ue se ca lc ul a con la e cu ac ió n (1 2.8 ).

/ F d ) q n y d )

m \ 2 j ( * d - u L i

(50 0Ib)(0.8726 in) f 1(0.20 4 ¡7¡0.2) (0.8726)1 1

2 ( [«(0 .8726) - (0.2) (0 .2)| / = 6 0 A i a

4. Calcule la e ficiencia

finalmente, la eficiencia se calcu b con la ecuación ( 12.10).

„ ( L \ [ (V iJ co so ~ m D ]

C \ v d ) [ ( i r n d + L e m a ) JH I0 -2 ) / b ( 0 J 72 6 ) c o s( 2 9 ) - (0 -2 )(0 -2 )l 1

“ sr(0^726) 1 |w (02 ) (0.8726) + <0-2)(cos29“)| J "

U m eficiencia de 0 24 indica que ta n solo el 24% de la potencia transferida po r la tuerca se usa para elevar el peso. El

restante 76% s e pierde por fricción. Si estos valores no son aceptables, se debe sustituir la cuerda acmf por un tomillo

de bolas. Este último n o únicam ente tiene una eficiencia aproximada de 90% sino que tam bién su costo es mucho

ntís alto. Sin embarga, recuerde que un tomillo de bolas n o es de autobloqueo y no man tiene la carp í a una altura de

terminada.

12.8 TOR NILLO S DIFERENCIALES

Un tom il lo d i fe renc ia l es un m ecanismo diseñado pa ra propo r

c ionar movim ientos m uy f inos. Aun cuando suelen tener varias

formas, en la figura 12.11 se m uestra u na form a com ún . Esta

configuración especifica de torn illo diferencial consiste en dos

cuerdas d i fe rentes sobre e l mismo e je y una u nión de corredera.

HGURA I2 .ll Tb rnillo diferencial.

&i la figura 12.11, cuando el m ango gira un a revolución, la

cuerda A gira una revolución y avanza una distancia igual al

avance de la cuerda A. Desde luego, el movimiento de la cuerda tí

es idént ico a l de la cuerda A p orque está m aquinada so bre el

mism o eje qu e A. Entonces, la cuerda tí también gir a una revolu

c ió n y avanza un a d is tanc ia igua l a l avance de la cu erda A.

Co nform e la cuerda tí gira una revolución, la tuerca C se retrae

p orq ue est á im p ed id a p a ra g ir a r. Esp ec íf ic am en te , c o n fo rm e l a

cuerda t í g i ra una revolución , b tuerca C se re t rae una d is tan

d a igua l al avance de b cuerda t í .S in embargo, com o b cuerda t í

ya avanzó una revoludón, e l movimiento ne to de b tuerca Ces

la diferencia entre el avance de b s cuerdas A y tí. Por tal razón,

esta configurad ón de tom illo con avances diferentes se conoce

c o m o u m ilo diferencial.

Ibra los torn i l los d i fe renc iales , b s re ladones c inemát icas

e n t r e b m a g n i tu d d e l m o v im ie n to a n g u b r y b m a g n i tu d d e l

mov imiento lineal se modifican com o sigue:

ARtum» = (¿A - ¿B)A0 !oraluo (12 .13)

' ' t u n a = (L a - ( 12 .1 4)

«rara - = (L a “ L r f a , ^ (12.15)

N ue va m en te o bs er ve q u e e l av an ce L se especifica como el des

p b z a m ie n to d e b tu erc a p o r re vol uc ió n . I\> r lo ta n to , e n este

caso extraño, e l mov imiento ang ub r se deb erb espedficar enrevoluciones.

Cu ando los avances de b s dos cuerdas son más o menos de

la misma magnitud, se pueden generar movimientos pequeños

de la tuerca. Esta con figura dón es frecuente en ajustes finos o en

equipo de precis ión a u n costo rebt ivamente ba ja

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Un dispositivo hecho pura calibrar la lon gitud de panes se mues tra en la figura 12.12. El dbefto utilira u n tomillo

diferencial, de mod o que el giro de la per illa A desliza la tuerca D hasta que se presiona firmem ente contra la piexa E

la tuerca D también tiene u n a puntado r que sirve para determinar la longitud d e la piexa £ El objetivo es configurar

el sistema, de mo do qu e un giro de la perilla A au se que la tuerca D avance0.1 mm . Seleccione las cuerdas B y C par a

Oevar a ca bo este req uerimiento.

f i g u r a 12.12 Dispositivo de medición del pro blem a d e ejemplo 12.4.

SO LU C IÓ N : li e la siguiente ecuación cinemática diferencial del tomillo:

= d a - t e ) A e ^ u .0

0.1 mm = ( i .* - Le )(1 rev)

(L „ - Lc ) ■ 0.1 mm/rev

Son factibles varias configuraciones. Se u tilizan las cuerdas estánd ar listadas en la tabla 12.2. F.etas tienen un a sola

cuerda, de mo do que el avance y el paso son idénticos. Entonces, se necesitan seleccionar dos cuerdas que teng in u na

diferencia en el pis o igiul a 0.1 mm . Au n cuando son factibles algunas opciones, arbitrariamente se seleccionan cuer

das de paso grueso.

Para la cuerda f t M5 X 0.8

Para la c u erd a C M 4 X 0.7

12.9 TORN ILLOS DE TALADROHace muchos s ig los, Arquímedes usó ingeniosamente un

mecanism o de torn illo para elevar agua, el cual aho ra se conocecomo “ torn i l lo de Arquímedes” ( f igura 12 .13) . Cuando e l

torn il lo g i ra , cada cuerda de l torn i l lo t ransp orta c ie r to volumen

de agua . En este mecanism o de torn i llo , la tuerca acoplada es

realmente el l iquido q ue se transporta. Esta form a aún s e util iza

actualmente para tran spo rtar diferentes t ipo s de m ateriales. Las

apl icac iones comun es inc luyen e l transp orte d e p lást ico fun

dido ha da m oldes, mo ver sa l a t ravés de espá tu las de los

camiones recolectores h ad a caminos cubierto s de hielo, excavar

hoyos en la t ie rra p ara pos tes de cercas y abastecer el alimento

de l gana do a t ravés de comederos largos. Este m ecanismo de

torn il lo se conoce más comúnm ente como taladro.

Se po dr ian u sar las ecuaciones (12.16). (12.17) y (12.18) par a d e te rm in a r e l m ov im ie n to del m at er ia l q u e est á s e t r a n s

po rt a , co n o d en d o el m o vim ie nto del ta la dr o . E n c ongru en ci acon los torn i l los estándar , se def ine e l paso o avance de la

cuchil la de un ta ladro . La cant idad de t ransp orte volumétr ico

es, entonces, una fun dó n del espacio entre las cuchillas del tala

dro , las cua les a t rapan e l mate r ia l que se está transpo rtando.

Esto se escribe m atemáticam ente como:

Volumen a través del taladro ■

(volum en atrap ado e ntre las cuchillas del taladro)

(12.16)

(12 .17)

(12.18)

Hujo volumétr ico a t ravés de l ta ladro =

(volumen atrapado entre las cuchillas del taladro)

( L ^ l i d r o W t o m i ll o

Aceleración volum étrica a través del taladro =

(volumen atrap ado entre las cuchillas del taladro)( L u h á i o ) * * 5 o m i l io

PROBLEMAS

G e o m e t rí a d e l a c u e r d a d e u n t o m i l lo

12-1. Calcule el avance y el ángu lo de avance de un a cuerda de

/ - 2 0 un c . Dete rmine tam bién si es de autobloqueo,

cuando la cuerda tiene la calidad d e un maq uinado ge

neral.

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326 CAPITULO DOCE

1 2 - 3 .

12-2 . Dete rm ine e l avance y el ángulo de avance de u na

cuerda de Vi - 2 8 u n c . Determine asimismo si es de au-

tobloqueo, cuando la cuerda t iene la ca l idad de un

maquinado general.

Calcule el avance y el ángulo de avance de una cuerda

M 16 X 10 . Dete rmine tam bién si es de autobloqueo,

c u a n d o l a c u e rd a t i e n e la c a l id a d d e u n m a q u in a d o

general.

12-4 . Dete rmine e l avance y el ángulo de avance de unacuerda de 1 - 'A - 5 a c m f . Determine asimismo si es de

autobloqueo, cuand o la cuerda t iene la ca l idad de un

maquinado general.

D e s p l a z am i e n t o c o n t o m i l lo i m p u l s ad o

12-5. 0 envase de un desodo rante sólido util iza un tornillo

pa ra ex t raer y re t rae r la ba rra de l desodorante . La

rueda manual g i ra una cuerda de ' / . -20 estándar que

mueve la tuerca y la bar ra del desodo rante. Calcule la

d istanc ia qu e avanza la b arra cuando la ru eda manual

gira 3 revoluciones.

En la figura P12.16 se ilustra un a m áquina de pruchos aLa tensión. U n tom illo de u na sola cuerda de 2 - 4 a c m é

mueve la tuerca. Determin e el desp lazamiento del ariete

kvadizo q ue se eleva cuan do el tom illo gira 10 revolu-

dones.

Huidlos

12-Ó.

1 2 - 7 .

fi g u ra PI 2 4 P r o bl em a s 6 , 1 8 y 2 5.

En la figura P12.7 se mues tra el m ecanismo qu e abre la

p u e rt a d e u n a c och er a. U n to m il lo de u n a s o la cu er da

de 1—5 a c m é mueve la tuerca. Determine el desplaza

miento d e la parte inferior de la pu erta q ue desciende

cuan do el tornillo gira 10 revoluciones.

12-8 . En la f igura P12.8 se presenta un a m esa de t raba jo

ajustable. El eje de en trada está acoplado, a través de un

conjunto de engranes cónicos, a u na tuerca . la tuerca

gira empu jando un torn i l lo hacia a rr iba y hac ia aba ja

Los engranes cónicos t ienen una razón de 5 : 1 . El

to m i l lo t i e n e u n a c u e rd a d e 'A -1 3 u n c . Determine el

desplazamiento de la mesa q ue s e eleva cuand o el ejede entrad a gira 10 revoluciones.

f i g u r a Pl 2-8 Problemas 8, 2 0 y 27.

12-9. En la figura P12.9 se muestra una prensa operada po r

un torn i llo . El tom il lo t ien e una so la cuerda de 'A -1 0a c m é , con or ientac ión tan to a la derecha como a la

izquierda, como se indica. La prensa está configurada

inicialmente con p = 2 5 ° . Determine g ráficamente el

desplazamiento de la p laca d e presión que desc iende

cuan do la manivela gira 20 revoluciones.

f i g u r a P 12.9 Pro blem as 9 a 11 y 21.

12-10. La pren sa descrita en el pro blem a 12-9 se configura ini-

d a lm c n te c o n ( i = 45*. Determine gráficamente d des

p la za m ie n to d e la p la c a d e p re s ió n q u e des ci en de ,cua nd o la manivela gira 15 revoluciones.

12-11. La prensa descrita en el pro blem a 12-9 se configura ini

c ia lmente con p = 6 5 " . Determine grá f icamente e l

desplazam iento de la placa de presión que desciende,

cuan do la manive la g i ra 3 0 revoluciones.

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12—12- Una varilla con un a cuerda de y>- 10 un c imp ulsa una

pl at af orm a, c o m o se in dic a en la f ig ura P12 .I2 . D et er

mine gráficamente el desplazamiento de la p lataforma

que desc iende , cuando la manive la g i ra 12 revolu

ciones.

P l a t af o r m a

6 ‘ — ~ 1 0 ’

F I G U R A P I 2 . I 2 Problem as 12. 13 y 22.

12—13- R ira la plataform a descrita en el problema 12- 12,deter-

mine gráficamente el desplazamiento de la p lataformalevadiza, cuan do la manivela gira 8 revoluciones.

1 2 - 1 4 . Ü m otor mostrado en la f igura P12.I4 hace g i ra r una

var i l la con una cuerda de V, - 1 0 U NC pa ra v olt ea r

una plataforma q ue se usa para llenar cajas de embalaje.Determine gráficamente el desplazamiento angular de la

p la ta fo rm a le va di za , as i c o m o el de sp la za m ie nto lin ea l

del extrem o superior, cuan do el m otor gira 25 revolu

ciones.

Plataforma

Motor

■ l i lU ---------- 24- *1

f i g u r a P 1 2 . I 4 Problemas 1 4.15,2 3 y 28.

1 2 - 1 5 . Para la plataform a descrita en el prob lem a 12-14, de

te rmine grá f icamente el despbzam iento angula r de b

p la ta fo rm a q u e de sc ie nd e, a si co m o el d espb za m ie nto

lineal del bo rde sup erior, cuando el m oto r gira 15 revo

luciones.

1 2- 16 . l a a l t u ra y e l á n g u lo d e b m e sa d e d ib u jo m o s t r a d a

e n b f ig u r a P 1 2 .1 6 s e a ju s t a g i ra n d o b m a n i v e b b

cua l , a b vez , g i ra u n torn i l lo m oviendo b tuerca ym o d if ic a n do b d i s t a n d a L El tornillo t iene un a cuerda

de ’A - 14 u n f . La mesa se configura inicialmente con

f i g u r a p i 2 . 1 6 Problemas 16 ,17 y 24.

L = 9 in. Determ ine gráficamente el despbz am iento de b s b o rd es su p e ri o r e in fe ri o r d e b m es a le vad iz a,

cuando b m aniveb g i ra 5 revoluciones.

1 2 - 1 7 . La m e sa d e d ib u jo m o s t ra d a e n b f ig u ra P1 2 .1 6 se c o n

figura inicialmente con L • 8 in . El torn i llo t iene una

cuerda de 7A -1 4 unf . Determ ine gráficamente el des p b z a m ie n to d e lo s b o rd es su p e r io r e in fe ri o r d e la

mesa que desc iende , cuando b m aniveb g i ra 30 revoluciones.

Nf elo cid ad co n to rn il lo im p u ls a d o

12-18. 13 torn i l lo de b m áquina de pruebas de tensión des

crita en el problem a 12-6 gira a ‘10 rpm , haciendo bajar

e l ar ie te. D ete rmine b vdoc ida d l inea l d d a r ie te.

12-19. 0 tom il lo que abre b pu er ta de la cochera descr ito en

é p roblema 12-7 g ira a 1200 rpm , abr iendo la pue r ta

Determine la ve loc idad l inea l de b par te infe r ior de b

p u e r ta

12-20. El e je de ent rad a de b mesa de t raba jo descri ta en el

p ro b le m a 12 -8 g ir a a 60 0 rp m , d e v an d o b m e sa D et e rm in e l a v d o c id a d l i ne a l de b m e sa

12-21. El tornillo de la prensa descrita en el problema 12-9

gira a 45 rpm, hac iendo ba ja r b p laca de presión . La

pre nsa está co nfigura da co n p = 25*. Determine la ve

loddad l inea l de b p laca de presión .

12-22. La m aniveb de la p la ta forma d escr ita en e l problema

12-12 g i ra a 30 rpm , e levando b p la ta forma. Dete rmi

n e b v d o c id a d li n e a l d e b p l a t a fo rm a

0 t o m i l lo n o es t á

KUrtngklo

t a r t a n a lmente

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328 CAPITULO DOCE

12-23. El motor en el mecanismo d e la plataform a de volteo

descr i to en e l problem a 12-14 g i ra a 1800 rpm, e le

vando la plataforma. Determine la velocidad angular

de la plataforma.

12-24. La manive la de la mesa de d ibujo des cr i ta en e l pro

b le m a 12 -1 6 g ir a a 20 rp m , h a c ie n d o d escen d er la

mesa, la cual se configura inicialmente con L ■ 9 in.

Dete rmine la ve loddad d e los bordes super io r e infe

r io rde la mesa.

A c e le ra c ió n c o n to rn i l l o im p u l sa d o

1 2 - 2 5 . El torn i l lo de la m áquina de prueb as de tensión descrita en el problem a 12-6 gira a <10 rpm , had end o b ajar

e l a r ie te . El mo tor se apaga y le tom a 1 .7 s de tenerse

comp letamente. Calcule la aceleradón lineal del ariete

d u ra n te el p e r io d o d e a p a g a d a

12- 26. 0 torn il lo que abre la puer ta de la cochera descr ito en

é problem a 12-7 se activa para abrir la pue rta. Al m o

tor le tom a 0 .7 s a lcanzar su estado estable de fun-

don am iento a 1200 rpm . Dete rmine la ace le radón l i

nea l de la par te infe r ior d e la puer ta , en e l mom ento de

k ac t ivadón.12-27. 0 m otor de la mesa de traba jo descr ita en e l problema

12-8 se activa para elevar la tabla. Le to m a 20 revolu-

do ne s del eje de en trada alcanzar su estado estable de

funcionam iento a 1200 rpm. D etermin e la aceleración

lineal de la mesa.

12-28. El motor en el mecanismo d e la plataform a de volteo

descrito en el problem a 12-14 gira a 900 rpm , elevando

k p la ta forma y . lueg a se apaga . Le tom a 4 revoludones

de tenerse comple tamente . Ca lcule la ve loddad y laace le radón angula res de la p la taforma.

soporta 75 libras; determ ine el torqu e transferido a la

tuerca.

1 2 - 3 4 . Calcule la eficiencia del torn illo que se usa en la mesa

descrita en el problem a 12- 16.

Torni l los d i fe renc ia les

12-35. Se usa un torn i l lo d i fe renc ia l en un d isposi t ivo de

m edidó n simi lar a l descr ito en e l problema de e jemplo

12.4. Seleccione dos cuerdas estándar tales que una

ro t a d ó n d e la p e r i ll a d é c o m o re su l ta d o 0 .5 m m d e

avance de la tuerca.

12-36. Se usa un tornillo diferencial en un dispositivo de

m edidó n simi lar a l descr ito en e l problema de e jemplo

12.4. Seleccione dos cuerdas estándar tales que una

rotadón de la per i l la dé como resul tado 0 .25 in de

avance d e la tuerca.

12-37. Se usa un torn i l lo d i fe renc ia l en un d isposi t ivo de

med ición similar al descrito en el problem a de ejemplo

12.4 . Se lecc ione dos cuerdas estánda r ta les q ue una

rota dó n de la per i lla dé como resul tado 0 .05 in de

avance d e la tuerca.

ESTUD IOS DE CASO _________________________

12-1. El dispositivo mos trado en la figura E12.1 u til iza un

mecanismo de torn i l lo . Examine cuidadosamente

k s com ponentes de l mecanismo y , luego, conteste las

siguientes preguntas para obtener m ayor conodm iento

acerca de su funcionamiento.

Fu e rz a y t o rq u e e n e l t o m i l lo

12-29. Una cuerda atmf e s tándar de H in se emplea en unaiforazadera-C. Esta cue rda tiene una calidad general demaquinado con lub r icante minimo. Para que la abra

zadera ejerza una fuerza de 500 Ib sobre lo s materiales

que se sujetan, determine e l torque requerido.

1 2 - 3 0 . Calcule la eficienda de la abrazad era-C descrita en el

pr ob le m a 12-29.

1 2 - 3 1 . Un gato m ecánico util iza u n a cuerda a c m é de dos hilos

c o n e l d i á m e t ro m a y o r ig u a l a 2 5 m m y u n p a so d e

5 m m. El ga to está const ru ido para levanta r 4000 N.

Determine

d ángulo d e avance , s i e l ga to es de auto bl oq ue o,d torque p ara elevar la carga,

d torque para ba ja r b carga

y b e f ic i en c b d e l g a t a

12-32. Un gato mecánico util iza una cuerda a c m é 1 - 5 d e d o s

hilos. El gato está construido para levantar 2000 Ib.

Determined ángu lo d e avance, si el gato es de autobloqueo,

d torque para elevar b carga,

d torque para ba ja r b ca rga y b e f ic ienda de l ga to .

12-33. En la mesa de l problema 12-8, b cuerda es de cal idadgeneral de m aquinado con lubr icante mínimo. La mesa

1. ¿Cuál es b or ientac ión de b cuerda ¡9.

2. ¿Cuál es b orientación de la cuerda £?

3. Cua ndo el mang o A gira en sentido antih or aria ¿cuál

es el mo vimiento d e la tuerca C?

4 . Cuando e l mango A gira en sentido antih or ari a ¿cuál

es e l movimiento de b corredera H?

5. (á iando e l mango A gira en sentido an tih or ari a ¿cuál

es e l movimiento de b tuerca D?6 . Cuando e l mango A gira en sentido antihoraria ¿cuál

es el movimiento de b corredera /?

7 . ¿Cuál es b func ión de los esbb one s identi f icados

como R

8 . ¿Qué es la com ponen te G y cuá l es su fundón?

9 . ¿Cuál es b func ión de este d isposi t iva y cóm o lo l la

maría?

12-2. El dispositivo mos trado en la figura E 12.2 util iza un

mecanismo de torn i l lo . Examine cuidadosamente las

f i g u r a E12.I (C ortes íade Ind ustria l Press).

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FIGURA P.I2J (Co rtesía d e In dustria l Press).

com ponen tes del m ecanismo y, luego, conteste las si

guientes preguntas para obtener mayor conoc imiento

acerca de su funcionam iento.Cu a n d o l a m a n iv e b A g i ra en sent ido ant ihorar io ,

¿cuál es el movim iento del eje /?

2. ¿Cuál es la (unción del pe rno H?

3 . C u a n d o b m a n i v e b A g ira en sent ido ant iho rar io ,

¿cuál es el m ovimiento del m anguito roscado B?

4 . ¿Qué provoca rea lmente e l mo vimiento con junto de l

eje / y el mang uito roscado B?

5. 13 manguito roscado B tiene cuerdas derechas; cuando

b m a n iv e b A gira en sentido antih ora rio, ¿cuál es el

m o v im ie n to d e b t u e rca Q

6 . ¿ Q u é su c e d e c o n e s t e d i sp o s i ti v o c u a n d o b s a lm o -h i d i l b s l i y E entra n en contacto?

7 . ¿Qué c lase d e com pon ente es F y cuál es

su (unción?

8. ¿Cuál es b (unción de este dispositivo?

9. ¿Qué pasarla si se inmov ilizara b tuerca G?

10. ¿Qué ocu rrida con este dispositivo, si b inferíase / se

disertara co n un a inclinación más vertical?

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C A P I T U L O

T R E C E

ANÁLISIS DE FUE RZAS ESTÁTICAS

O B J E T I V O S

Al te rm in a r de e st udia r est e cap itu lo , el alum no se rá ca pa z de:

L Definir c identificar una fuemu

2. Calcu lar el mom ento de una fuerza.

1 Com prender U diferencia entre mata y peso.

4. Entender y aplicar las tres leyes de New Iondel movimiento.

5. Crear un diagrama de cuerpo libre de la componentedr u n máquina en general.

6. Identificar y usar las condiciones especiales de equ ilibriode un elemento con dos fuerzas.

7. Calcular la fuerza de fricción de deslizamientoe iden tificar su dirección.

8. Determ inarlas fuerzas que actúan en todo

un mecanismo.

13.1 INTRODUCCIÓN

la fund ón genera l de un a máquina es t ransmit i r movimiento y

fue ras de u n ac tuado r a las componentes que real izan la ta rea

deseada. Co nsid ere las escaleras mecánicas que se em plean en

mu chos edificios comerdales: la energía eléctrica se alimenta alos motores, los cuales im pulsan mecanism os qu e mueven y des

pl iega n los pe ld añ os. La fina lid ad es m ov er a l a ge nt e ha cia a r r i

ba y ha ci a ab aj o d e lo s ed if ic io s de var io s niveles, c o n s eg uridad y

eficiencia.

Ha sta esta parte del l ibro, el enfoque ha estado en el m o

vimiento de una m áquina . Este capi tu lo y e l s iguiente están

dedicados a la presentación de las fuerzas en un a máq uina. Una

tarea esencial en el diseño de m áquina s consiste en garan tizarqu e la resis tenda de los eslabones y las u niones sea suf idente

pa ra so p o rta r las f u e ra s ej e ra das so br e el las . P o r c ons ig uien te ,

e l c o n o d m ie n to c o m p le to d e l a s fu e rz a s so b re l as d i f e re n t es

componentes de la má quina es de v i ta l importanc ia .Com o se seña ló en e l capi tu lo 7 , una fuerza inerda l es pro

du c to de la ace le rac ión presente e n u n eslabonam iento . Este

capitu lo tr ata con el análisis de fuerzas en mecanism os sin acele-

rado nes, o do nd e b s aceleraciones n o sean significativas. Esta

c o n d id ó n se c o no c e c o m o a¡uilibrio estático, q ue es aplicable a

diversas máquinas en b s cua les los cambios en e l movimiento

s>n g ra d u a le s o l a m a sa d e b s c o m p o n e n te s e s m u y p e q u e ña ,

feto incluye abrazaderas, pasadores (pestil los), sopo rte de es-

h b o n a m ie n to s y m u c h a s o t r a s h e r ra m ie n ta s m a n ua le s , co m o

alicates y navajas.

El siguiente cap itulo trata sobre el análisis de fuerzas en

mecanismos con grandes ace le radones. En muchas m áquinas

de a l ta ve loc idad , b s fuerzas inerda les c readas por e l movi

miento d e un a m áquina exceden b s fuerzas requer idas para e je

c u t a r b t a re a a s ig n a d a Es t a c o n d id ó n se c o n o c e c o m o equili

brio dinámico. E n el análisis del equilibrio dinámico se util izanmu chos conceptos d e equ ilibrio estático. Po r ello, el equilibrio

estático (capitulo 13) se presenta antes de proceder con el equi-

ib rio dinám ico (capitulo 14).

13.2 FUERZAS

Una fu er za , F , es una cantidad vector ia l que representa b acdó n

de empu jar o ja la r una p ieza . Jala r a un n iño en un carr i to im

pl ica apl ic ar u n a fu er za ( a c d ó n d e ja la r) al ti ra d o r d el c a rri to . Al

ser un vector, esta fue ra se def ine con b magn i tud P y la direc-

a ó n en q ue se ja la . En e l s is tema t radid ona l estadounidense , b

u n ida d c o m ú n p a ra b m a g n i tu d d e u n a f u e ra e s b l i b ra in g le sa

o simplemente lib ra (Ib). En el sistema internacional, b prin d-

p d u n id ad q u e se u sa e s el new to n (N ).U n a d e b s o p e ra c io n e s m á s c om u n e s e s b d e t e rm in a d ó n

del efecto neto de varias fuerzas. Dos o más f ue ra s que se apli

can a una p ieza se pueden com binar para d e te rminar e l e fec to

resultante de las fu eras . La com binadó n de fu era s para ca lcu

b r b re su lt an te e s un p ro ced im ie n to id én tico a la s um a d e v ec

tores de desplazamiento , ve lod dad o ace le rad ón que se pre

sentó en las secdones 3 .9 y 3 .11. b>r e l contra r io , una f u er a se

pued e de sg lo sa r e n d os c o m p o n en te s a lo la rg o d e ejes per pen -

dicubres. Esto se presentó en b se cd ó n 3.10. C on frecuencia, el

uso de bs com ponentes de una fu era , junto con los e jes de coor

denadas co nvenientes, facilitan el análisis. Tra tándo se de can ti

dades vectoriales, bs f u er as se logran m anipular aplicando los

mé todos estudiado s en el capitulo 3.

13.3 MO MENTO S Y TORQUES

U n m o m e n to , o t o rq u e , e s b a c d ó n d e to r s ió n p ro d u d d a p o r

u n a fu e ra E l e m p u je so b re e l m a ng o d e u n a ll av e p ro d u ce u n a

a c d ó n q u e t i e n d e a h a c er g i r a r b t u e rc a d e u n p e rn o . D e m o d o

que la fu er a causa u na acc ión de torsión a lrededor de l centro

del pern o. El resultado de esta acción se conoce com o momento

o torque. La figura 13.1 ilustra una fu e ra com o esta, la cual genera una acd ón de torsión .

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An ál is is de fuerz as está t ica s 331

En m ecánica p lana , el mo m ento es una propiedad qu e se

define en relación con un pun to d e referencia. En la llave de la

figura 13.1, el objetivo de la fuerza es prop orcion ar u na acción

de torsión a la tuerca. l\>r lo tanto, un pu nto d e referencia ade

cuado es e l centro de la tuerca , e l punto A. La magni tud de l mo

m ento en relación con el pu nto A, M¿, creado p or la fuerza, se

calcula com o:

M a = <F)(d) 0 3 . 1 )

Donde F es la magni tud de la fuerza , d e s la d is tanc ia perpe n

dicular entre la fuerza y el pun to d e referencia A. Los mo me ntos

se expresan en u nidades d e ftierza mu ltiplicadas po r la distan

cia. En el sistema tradicional estadounidenses, las unidades co

m unes de los mom entos son pulgada-l ibra ( inlb ) o p ie - l ibra

( lb-f t) . En e l s istema in te rnac iona l , las un idades com unes sonn e w to n -m i l lm e t ro (N m m ) o n e w to n -m c t ro (N m ) .

Además de m agni tud , e l mom ento de u na fuerza t iene d i

rección, que depen de de la po sición relativa de la fuerza y del

p u n to de re fe renc ia . L a di re cci ón d e u n m om ento , o ac ci ón de

torsión, en relación con el pun to de referencia se designa sim

p le m en te c o m o se ntid o h o ra ri o o s en ti d o anti h ora ri o . Est a d i

recc ión debe se r congruente con la d i rección de torsión de la

fu er a a l rededor de l pun to de re fe rencia. La acc ión de torsión de

la fu e ra ilustrada en l a figura 13.1, en relación co n la tuerca, es

un mom ento en sent ido horar io . Convenc iona lmente , los mom entos se consideran posi t ivos cuando ac túan en sent ido an t i

horario y negativos cuan do actúan en sentido horario.La diferencia entre un m om ento y un to rque es muy sutil .

E l m o m e n to e s c u a lq u ie r a c ció n d e t o r s ió n d e l a fu e rz a . E l

torque es un t ipo espec if ico de mom ento . En las ap l icac ionesd e m á q u in as , u n to rq u e e s c ua lq uie r m o m e n to d o n d e e l p u n

to de re fe renc ia está en e l centro de un e je u o t ra conexión de

t ip o p e m o .

PROBLEM A DE EJEM PLO 13.1

t h mecanismo que abre automáticamente un a puerta ejerce una fu er a de 37 Ib sobre la puerta, aplicada en la direc-

dón que se indica en ti figura 132. Determine el m omento creado por la fu era , en relación con d pivote de la puerta.

f i g u r a 13.2 Puerta de l problema de e jemplo 13 .1 .

SO LU CIÓ N : 1 . Calcule la distanc ia perpendicular

0 mo me nto se calcula con la ecuación (13.1). Aun cuan do se conoce la fuerza, se debe examinar la geometría de

La pu erta para determinar la distancia perpendicular d.E nla figura 133 se aisló la geom etría y se descomp uso en

dos triángulos. Observe q ue am bos triángulos se construyeron com o triángulos rectángulos. El lado común a

ambos triángulos, identificado com o el lado c, se determina con los datos conocidos del triángulo superior.

A partir del teorem a de Pitágoras,

< = \ / (1 2i n )a + (3 in)? = 1237 in

0 ángu lo incluido 0 Ombién se calcula a partir de relaciones trigonométricas.

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332 CAPITULO TRECE

FIGURA 13.3 Geom etría de la pue rta del prob lem a de ejem plo 13.1.

Al enfocarse en el triángulo inferior, el ángulo incluido y puede calcularse porqu e se conoce el ángulo total

de 40*; por lo tan ta

y - 40* - 0 - 26“

finalmente, la distancia perpend icular se determ ina a prartir de relaciones trigonométricas del triángulo inferior.

d - c se n( y) - ( 1 2 J 7 in ) * n (2 6 ') - 5 4 2 in

2 . Calcule el mom ento

0 mo me nto en relación con el pivote A se calcula con la ecuación (13.1). La dirección debe ser con gruente con

la acción de torsión de la hi erra en relación con el privóte A. la cual es en sentid o hora rio en este caso.

M a - F (d ) - 37 Ib (542 in) - 2005 inIb,en sentido horario

SOLU CIÓN ALTERNATIVA:

I . De scom pong a la fu erza en t u s c om po nente* rec tang ula res

En la solución anterio r, el cálculo de la distancia perpendicu lar fue bastante complejo. Se po dría aplicar una solu

ción alternativa q ue implique la definición de un sistema de coordenadas conveniente alineado con las dimensiones dadas. Las compo nentes de Li tuerza original F se identifican com o F1y F2. y se m uestran en la figura 134.

la magnitud d e F: y F* se calcula como:

figura 134 Co m ponen tes de fuerza del problem a de ejemp lo 13.1.

P 1 = ( 37Ib) sen 40* = 2351b

P2 = (37 Ib) cas 40* - 2851b

Id ent if iq ue la di st an cia pe rp en di cu la r de cada c om po nen te

Observe que amb as componen tes causan un m omen to en rdación con el pu nto A.Sin embargo, la distancia per

pend icu lar de c ad a m om en to es e vidente. E n la fi gu ra 1 3 4 se obs erva qu e l a d ist ancia pe rp en di cu la r de F 1 yF2 es

de 12 y 3 in, rcspvcctivamentc. Advierta tam bién qu e F 1causa u na acc ión de torsión a lreded or del pninto A en

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A n á l i s is d e fu e rz a s e s t á t i c a s 3 33

sentido horario. 0 mom ento causado por P2 a en sentido antihorario. La convención tradicional de signos es

asignar un valor positivo a los mo men tos en sen tido antihorario.

3. Calcule el mom ento

Se calcula el m omento en reb dó n con el punto A,

M* = —F*(12 in) + P2(3 in)

- - [ (23.81b)(12in) | ■* «28.3 lb)(3 in»

= -200.5 in lb

• 200.5 inlb, en sentido horario

1 3 .4 L E Y E S D E L M O V I M I E N T O

Sir Isaac N ewton po stu ló t res leyes d e m ovimiento qu e s i rven

como base de l aná l is is de las fuerzas que ac túan sobre bs

máq uinas y sus com ponentes. Estas leyes se establecen como

sigue:

PRIMERA LEY: Todos los cu erpos perm anecen en reposo,o en movimiento a ve loc idad constante , a menos q ue ac túe

sobre ellos un a fuerza desequilibrante.

SEGUNDA LEY: U n cuerp o som etido a un a tuerza dese

quilibrante tiene

4t) Aceleración prop orcio nal a la tuerza.

b) Aceleración en dirección a la tuerza y

c) Aceleración qu e es inversamente prop orcio nal a la

masa del cuerpo.

TERCERA LEY: A cada acción cor respo nde una reacción

igual y e n sen tido opuesto.

Las tres leyes se util izan en el estudio d e mecanism os. No

obstante, en este capitulo do nd e se trata con el análisis de fuerzas

estáticas, únicam ente son aplicables la prim era y la tercera leyes.

En el siguiente capitulo b segu nda ley se inco rpo ra al análisis.

1 3 .5 D I A G R A M A S D E C U E R P O L I B R E

Para entender caba lmente b seguridad de un a m áquina, se de

b e rí an ex a m in ar to d as b s fu er zas q u e ac tú an so b re lo s es

labones. Es ampl iamente aceptado que b m ejor forma de ident i fica r estas fuerzas es m ediante b const rucción d e un diagrama

de cuerpo libre, que es una fotografía de un elemento aislado,

com o si estuvie ra f lo tand o l ibrem ente . La p ieza parece esta r

f lo tando porque se e l iminan todos los soportes y contac tos con

otras p iezas. Todos estos sopo rtes y contac tos se sust i tuyen

luego con tuerzas que representan b acc ión de soporte . Por consiguiente, el diagram a de cuerpo libre del elemento m uestra to

das Lis fuerzas qu e actúan so bre él.

13 .5.1 E l a b o r a c i ó n d e u n d i a g r a m ad e c u e r p o li b re

La f igura 13 .5 presenta un d iagrama de cuerpo l ibre de u n es

b b ó n ai slad o. O bse rv e q u e es ta p ar te se de si gn a c o m o el e s b

b ó n 3. Es es en cia l q u e se m u estr en t o d a s l as fu er za s en e l d b -

gram a de cu erpo libre. Una no tación conveniente es identificar

b s fu er za s e n con gru en c ia co n e l n ú m ero d e l e sla b ó n s o bre el

que ac túan y con e l núm ero de l csbbón que im pulsa la acdón.

Entonces, un a fuerza designada com o es un a fuerza qu e ac

túa sobre e l esb bón 3 por e l contac to con e l eslabón 4 .

C om o las fuerzas son vec tores, b de te rminac ión de unatuerza requie re que se conozcan la m agni tud y b d i recc ión de

b tu er za . Si se co noce b di re cc ió n d e la tu er za , s e deb er ía in

d icar sob re el diagrama de cuerpo libre. Este es el caso de Fu en

b fi g u ra 13 .5. C u an do n o se co no ce la d ir ec ción d e u n a fuerz a,

e s c o m ú n d ib u ja r b s d o s c o m p o n e n te s p e rp e n d ic u b re s d e l a

tuerza desconocida. Estas do s com ponen tes representan los dos

da tos qu e se necesi tan de te rminar para conocer comple tamente

b tu er za . O bser ve qu e es te es el c as o d e Fn en b fi gura 13 .5.

Los s iguientes pasos ayudan a l d ibujo s is temát ico de un

diagram a de cue rpo libre:

I. Aislé b (s) com ponen te!*) qu e se vaya(n) a estudiar.

U. Dibuje b com ponen te como si estuvie ra f lo tando libre

men te en el espado , eliminan do asi todo s los sopo rtes

visibles y el contacto fisico que tiene con otro s objetos.

III. Sustituya los soportes, o con tactos físicos, con las fuerzas

y to los m om entos adecuados, los cuales t ienen el mismo

efecto que los soportes.

1 3.5 .2 D e t e r m i n a c i ó n d e l a s f u e r z a sd e c o n t a c to

0 establecimiento de b s tuerzas de so po rte requiere de cuidado.Co m o re g b g e n e ra l, s i b n a tu ra le z a de l c o n ta c to im p id e el

m o v im ie n to e n d e r t a d i r e c c ió n , d e b e h a b e r u n a fu e rz a d e

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334 CAPITULO TRECE

e) L a reacción Impide la traslación y la rotación

f i g u r a 13A Fuerzas de reacción.

soporte en esa d i recdón. Los t ipos de reacdones se d iv iden en

tres grup os de acu erdo con el t ipo de co ntacto físico.

a) Se conoce la dirección de la reacción: las com pon en tes

de este gru po incluyen rodillos, correderas, pern os en ra

nura s y cables. Cad a uno de estos sop ortes evita el movi

miento en ta n so lo u na d i recdón . Las reacdones de estegrupo impl ican so lamente u na incógni ta ; a saber , la m agnitud de la fuerza de reacción. La figura 13.6a ilustra este

t ipo de contac to .

b) Se desconoce la dirección de la reacción: la scompo

nentes d e este grupo incluyen pern os sin fricción, bisagras

y correderas sobre superficies ásperas. Cada u no de estos

«p or tes evi ta la t raslac ión en ambas d i recc iones del

pl an o. Las re acd ones d e e ste gru po in d u y en d o s i nc ógn i

tas que , po r lo genera l, se muest ran com o las compo

nentes x y y de la fuerza de reaed ón . La figura 13.6b ilustra

este t ipo d e contacto.

c) Rotación impedida por la reaedón: bs com ponentes de

este grup o incluyen sop ortes f ijos y uniones de pern o enun induc tor (motor e léc t rico o de comb ust ión in te rna) .

Cada u no de estos soportes impide la t rasladó n en ambas

direcdones de l p lano y la ro tadó n l ibre . Las reacciones de

este grup o son d e t res incógni tas , generalmente conoddas

como las com ponentes x y y de b fuerza de reaedón, y e l

m om ento de la reaedón. La figura 13.6c mues tra este t ipo

de contacto.

PROBLEMA DE EJEMPLO 13.2

Fh b figura 13.7 se presenta un mo ntac ar^ u que levanta un motor. El mo tor que se levanta pesa 250 Ib. Ebbo re el dia

gram a de cuerpo libre del m ontacargss completo.

SO LU CIÓ N: Para construir el diagrama de cuerpo libre del montacargis completo, primero se debe aislar y dibujarse, com o si

estuviera flotando libremente en el espacio. Esto se hace eliminand o el piso, qu e es el ú nico m edio q ue sop orta el

montacargas. FJ m oto r también se elimina, ya que no forma parte integral del montacargas.

Una vez qu e se haya dibujado de nuevo el montacargas sin el mo tor y sin el piso, se colocan las hierras de reac-

oó n e n los pun tos de contacto de las piezas eliminadas. Primero, com o el motor pesa 250 Ib. una fuerza de magnitud

y dirección conocid as sustituye el efecto del motor.

Segundo, se debe replicar la acción del piso. El rodillo dd frente se encuentra en el caso a) , donde se conoce la di

rección de b fuerza de reacción. Cualquier rodillo sobre un a superficie lisa evita b traslación perpendicular a la su

per fici e. La rea cc ión en el r od il lo d d fren te se id en tif ica com o Fjia*

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A n á l i s is d e fu e rz a s e s t á t i c a s 3 35

la diferencia con el rodillo trasero es que tiene implcm entado u n dispositivo de frenado. Además de presentar

una tuerza de reacción vertical, k configuración rueda-freno también evita la tratac ión a lo largo del piso. Por con

siguiente, la reacción en el rodillo trasero tiene ambos com pon entes x y y. Las reacciones en el rod illo trasero se iden-

tifi ian como F jis y f J |P En la figura 138 se muestra un diagrama de cuerpo libre completo.

M ons ergas completo

■ 5 , .

t U

f i g u r a b a Diagrama de cuerpo l ibre de l problema d e e jemplo 13.2 .

13.6 EQU ILIBRIO ESTÁTICO

La pr ime ra ley de New ton se apl ica a todos los eslabones que

están en reposo o se mueven a ve loc idad constante : po r lo q ue b

situación se conoc e com o equilibrio estático. Para que un obje to

esté en eq uilibrio estático, se deben cum plir b s siguientes dos

condiciones necesarias y suficientes:

C o n d i c ió n I :

La combinac ión , o resul tante , de todas b s tuerzas exte rnas queac túan sobre un obje to es igua l a ce ro y no causa t raslac ión .

M atemát icamente , b pr im era condic ión de equi l ibr io se re

su m e c o m o :

(13.2)

Esta condic ión indica qu e todas b s fuerzas exte rnas que ac

túan sobre b com ponen te están en equi libr io . El símbolo £ im

p lica b su m a d e to da s la s t uer za s q u e ac tú an en el di ag ra m a d e

cuerpo l ibre . Co m o se seña ló en e l capi tu lo 3 , b s fuerzas son

vectores, y la ecuación (13.2) se p uede escribir como:

F , + > F¡ + > F , + > + > 0

'lodos los m étodos para el manejo de vectores qu e se presentaron en el capitulo 3 se util izan co n esta ecuación vectorial

p a ra d es pe ja r b s tu erza s d es co noc id as . Se pued en usa r m ét od os

gráficos o analít icos, pero el análisis de tuerzas es m ás adecuado

con m étodos ana l ít icos. Por lo tan to , la pr ime ra condic ión de

equi l ibr io está t ico se descom pone , g enerando do s ecuac iones

dgebraicas.

2 F * = 0 ( 13 .3 )

2 F r = 0 (1 3 .4 )

C o n d i c i ó n I I :

El m om ento debido a cua lquier tuerza exte rna se canc eb con

los mom entos de b s o t ra s fuerzas que ac túan sobre e l obje to y

no causan su g i ro a l rededor de pu nto a lg un a La segunda cond i

c ión de equi l ibr io se resume matemát icamente como:

2 M . = 0 (13 .5)

Esta condición indica que todo s los m om entos que actúan

sabré la com pon ente están equilibrados. 1-3 ubicación del pu ntoA es arbitrario.

13.7 ANÁLISIS DE UN ELEMENTO

CO N DO S FUERZAS

Un caso especial de equilibrio, el cual es m uy interesante, es el

de u n e lemento su je to a so lam ente dos fuerzas. Este t ipo de

componente de un a m áquina se conoce com o dem ento con dos

fu erz as . Muchos esb bone s de m ecanismos, sobre todo acopla

dores y bielas, son elementos con do s tuerzas. En b figura 13.9

se presenta un e lemento con dos fuerzas.

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336 CAPITULO TRECE

FIGURA 13 .9 Elemento con do s fuerzas.

Para que un elemento con dos fuerzas esté en equ ilibrio, las

dos fuera is deben:

2. Actuar a lo largo de la mism a línea y

3 . Tener sent idos opuestos.

Com o las do s fuerzas deben actuar a lo largo de la mism a línea,

h única línea que p uede satisfacer esta restricción es aquella que

se extiende entre los puntos d on de se aplican las fuerzas. Por lo

tanto , un eslabón con tan so lo dos fuerzas s implemente pre

senta tensión o compresión.

Este hecho es extrem adam ente útil en el análisis de fuerzas,(áian do s e conocen las ubicaciones de las fuerzas, la dirección

de las fuerzas está definida. Cuando se conocen la m agnitud y elsent ido de una so la fuerza , la magni tud y e l sent ido de la o t ra

fuerza se determina n inm ediatamente. Entonces, el análisis deun elemento c on do s fuerzas es sencillo.

I . Ser de la mism a magni tud ,


En b figura 13.10 se muestra un novedoso cascanueces. Se aplica una fuerza de 5 b al mango superior, como se indica.

yel m ecanismo no se mueve (queda estático). Dibuje un diagrama de cu erpo libre y determine las fuerzas sobre cadaeslabón. Par a este análisis, el peso d e cada eslabón se co nsidera insignificante.

f i g u r a 13.10 Cascanueces del problem a de ejem plo 13.3.

SO LU CIÓ N : 1 . B a b ó n los d ia gr am as d e cu er po libr e de los esl ab on es del meca ni sm o

Observe qu e el eslabón 3 (AC) es un eslabón simple, que solo contiene dos unio nes d e perno. Además, ninguna

otra fuerza actúa sobre este esb bón . Por lo tanto, es u n elemento con dos fuerzas, mien tras que las fuerzas queactúan sobre el eslabón deben ser iguales y a lo largo <fe la línea que une los dos pernos. En la figura 13.1 la se

muestra el diagrama de cuerpo libre del eslabón 3. Como se ind icó anteriormente, la notación qu e se usa es Fy,

m a fuerza aplicada al eslabón 3 com o resultado del contacto con el eslabón 2.

Al ser un elem ento con dos fuerzas, la dirección de las dos fuerzas, F* y PS2, está a lo largo de b linca que

m e los dos pernos. Se puede determinar el ángulo de inclinación 0 de esta Hnca.

« - « . " ( f f ) - w r

8 eslabón 2 también es un eslabón simple que solo contiene dos uniones de perno; sin embargo, se aplica

una fuerza adicional al mango. Por lo tanto, este eslabón no e s un elemen to de d os fuerzas. La tercera ley de

Ncwton e sta blece que u n a fue rza q ue ac tú a e n A será igu al y op ue st a a F y . Po r co ns ig uien te , la di rec ción d e F y

se conoce com o resultado de la figura 13.1 la. l a unió n grneral de perno en el pu nto R indica que se usarán dos

fuerzas de reacción. En la figura 13.11 b se flust ra el diag ram a de cu erpo libre del eslabó n 2.

8 eslabón 4 tiene un contacto de corredera con el eslabón 1. Despreciando cualquier fuerza de fricción, esta

b erza d e co ntac to a ct úa p erpe nd icularmen te a la su pe rf ic ie d e co ntac to . L i fu erza d e co nt ac to de b nu ez m ism a

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f i g u r a í x i i D i a g r a m a s d e c u e r p o l ib r e d e l p r o b l e m a d e e je m p l o 1 3.3 .

actuar á perpendicular a la superficie aparejada. Asimismo, la tercera ley de Newton estipula qu e la tuerza que ac

túa en B es igual y o puesta a FM. Por lo tanto, la dirección de Fi3 se conoce por la figura 13.1 la. Fji la figura

13.11c se ilustra el diagram a de cuerpo libre del eslabón 4.

Obtenga las ecuaciones de equilibrio del eslabón 2

Se examina p rime ro el eslabón 2 porqu e contiene la tuerza aplicada. Las tres tuerzas desconocidas sobre este es

labón (figura 13.1 Ib ) se despejan en las tres ecuacione s de equilibrio.

S F ’WO:

P2 ,co s59.0” + Py = 0

+ T £Fr= 0:

Pa sen 59X>- + F i - 5 Ib - 0

+ } Z A Íb = 0:

(5 1b )(8 in ) - (Fu c o s5 9 á )* )( l3 in ) - (Fü scn 5 9.0* )(3 in ) - 0

Resolviendo las tres ecuaciones;

Fa - + 11.96 Ib ■ 11.96 Ib A f

Fj i - — 6.16 Ib = 6.16 Ib —

Fj’ i - - 5 2 5 1 b - 5 2 5 Ib i

Obtenga las ecuaciones de equilibrio del eslabón 3Com o el eslabón 3 es un elemen to de dos tuerzas (figura 13.1 la) , las ecuaciones deequilibrio ind ican qu e lastuerzas son de la mism a ma gnitud, actúan a lo larg o de la m isma linea y tienen sentidos opuestos. Desde luego,

la tercera ley de Newton indica que Fj> = F y. Por lo tanto, las tuerzas que actúan sobre el eslabón 3 son:

Fj j - H.96 lb "59J7

Fm = 11.961b A f

Obtenga las ecuaciones de equilibrio del eslabón 4

H diagrama d e cue rp o libre del eslabón 4 (figura 13.11 c) revela la tuerza ejercid a sobre la nuez.. Por supuesto , la

tercera ley de Newton establece que FM - F43.Co m o las tuerzas sobre el eslabón 4 convergen en un pun to, n o se

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338 CAPITUL O TRECE

aplka la ecuación de equilibrio de mom ento. Las dos Hierras desconocidas sobre este eslabón se obtienen usando

b s d os ec ua cion es de b s c om po ne ntes de e qu ilib rio .

X F ' - O :

F«i - F „ eos 59D* = 0

+T SF^O:

F n u a - F t í s e n 5 9 .0 ° ■ 0

Resolviendo las dos ecuaciones se obtiene:

F „ = + 6.161b = 6.16 Ib —•

PM - + 103 5 Ib - 102 5 I bt

PRO BLE MA DF. F.JEMPI.O 13.4

La figura 13.12 ilustra un mecanismo qu e se emplea para tritura r rocas, l a manivela del mecanismo de 60 m m se

nu eve lentamente, por lo que se pueden ignorar b s filenas inerdales. En la posición indicada, determine el torque

requerido para impulsar la manivela de 60 m m y triturar las rocas.

SO LU CIO N : 1 . Elab ore los di ag ra mas de cu er po libr e de los esl ab on es del meca ni sm o

Se usa trigonometría para determ inar los ángulos internos de este mecanismo d e cuatr o barras y completarlo,

como se hizo en el capitulo 4. Una alternativaes construirel diagrama cinemático us ando el GU>.Se midieron los

ángulos internos y los resultados se presentan en la figura 13.13. Observ e que el eslabón 3 (B Q es un eslabónsimple, que tan sólo contiene dos uniones de pem o. Además, ningun a otra fuerza actúa sobre este eslabón. Por lo

tanto, se trata de un elem ento con do s fuerzas y las fuerzas que actúan sobre el eslabón deben ser iguales y estar

a lo largo de la linea que une los dos pernos. El diagrama d r cuerp o libre dd eslabón 3 se presenta en la figura

13.14a. Com o se señaló anteriormente, la notación usada es qu e F>; o una fuerza aplicada al eslabón 3, com o re

sultado del contacto con e l eslabón 2.

El eslabón 2 también es u n eslabón sim ple que só lo contiene dos uniones de perno: sin embargo, se aplicaun torque impulsor en el eje (punto A ) , por lo q u e est e es labó n n o es u n el em en to de d os tu er za s. La ter ce ra le y

de Newton estipula que la fuerza que actúa sobre el eslabón 2 en el p un to B a igual y opuesta a F (2. Por ende,

h dirección d e P y se obtiene como resultado en la figura 13.14c. La unión general de pem o en el punto A in

dica que se usarán dos fuerzas de reacción. En la figura 13.14b se mues tra el diagrama de c uerpo líbr e del es

b b ó n 2.

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A n á l is is d e f a e n a s e s t á ri c s s 339

F IG U R A 1 3 .1 3 D i a g r a m a d e c a d d d p r o b l em a d e e je m p l o 1 3 .4 .

F IG UR A 1 3. 14 D i a g r a m a s d e c u e r p o l ib r e d d p r o b l e m a d e e je m p l o 1 3 .4 .

H e s la b ó n 4 t a m b ié n c o n t i e n e d o s u n i o n e s d e p e r n o p e r o n o e s u n e l e m e n t o c o n d o s f u e rz a s . L a f u e r z a q u e

t r it u r a l as r o c a s s e a p l ic a e n u n t e rc e r p u n t o s o b r e e l e s la b ó n . E l á n g u l o d e e s t a f u e r z a t r it u r a d o r a , a p a r t ir d e

h o r i z o n t a l , s e c a l c u l a a p a r t i r d e l o s á n g u l o s m o s t r a d o s e n l a f ig u r a 1 3 . 1 3 . A l i n e a n d o l o s á n g u l o s a l o l a r g o

l a h o r i z o n t a l .

i80* - 970° - 70* = 130*

8 -

5 T

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340 CAPITULO TRECE

La tercera ley de Newton estipula también que la fuerza qu e actúa sobre el eslabón 4 en el pu nto C es igual y con

sentido opuesto a FM. La unión general del pern o Dindica que se deben usar dos fuerzas de reacción. En la figura

13.14a se m uestra el diagrama de cuerp o libre del eslabón 4.

Obtenga las ecuaciones de equ ilibrio del eslabón 4

H eslabón 4 se exam ina prim ero po rque contiene la fuerza aplicada. Las tres fuerzas desconocidas sobre este es-

Libón (figura 13.11a) se obtienen usa ndo las tres ecuaciones de equilibrio.

2 F ' = 0 :

4 Í l ¥ r - 0:

(9000 N) eos 13Ü- - F4,cas 17.3' - F4', - 0

(9000 N Jsr n 13J)* - ta s e n 17.3* 4- F4X, - 0

• O Z M p = 0 :

(9 0 0 0 N )(1 30 m m ) - (F^ sc n 6 5.7* )(18 0 m m ) - 0

La solución de las tres ecuaciones produce:

F«, = + 7132N= 7132N 1 7 ^

F'i = + 1960 N = 1960N —

F4T, - + 96 3 N « 9 63 N |


Como el eslabón 3 es un elemento con do s fuerzas (figura 13.14c), las ecuaciones de equilibrio indican q ue lastuerzas son de la mism a magn itud, actúan a lo largo de la misma línea y tienen sentidos opuestos. Desde luego,

la tercera ley de New ton indic a que FM = F4J. Por lo tanto, las fuerzas que actúan so bre el eslabón 3 son:

F* - 7 13 2 N A l i *

F „ = 7132 N 1 7 ^


H diagrama de cuerpo libre del eslabón 2 (figura 13.14b) revela el torque instantáneo requerido para operar eldispositivo. Por supuesto , la tercera ley de Newton indica que Fu = Fn .

-±* SF * = 0:

+ t I F 1 = a

- Fj* + F*, eos 173* - 0

- f J, + Fu se n 1 7 3 '

- O S M * = 0 :

- T „ + ( P y c as l7 3 ° )( 6 0m m ) - 0

La solución de las tres ecuaciones produce:

F?, - ♦ 6809 N - 6809 N —

f/ , = + 2121 N = 212 N i

T2| “ + 4D8561 Nmm ■ 409 Nm , en sentido horario

Com o el valor deseado es el torque, únicamente es necesario resolver la ecuación del mom ento.

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A n á l i s is d e f a e n a s e s t á t i c a s 341

T A B L A 1 3.1 C o e f ic i e n t e s a p r o x i m a d o s d e f ri c c i ó n

d e d e s l iz a m i e n to

13.8 FUERZA DE FRICC IÓN

DE DESLIZAMIENTO

Co m o se indicó en la sección 13.5, un a fuerza de contacto, co

mo resul tado de una u nión d e corredera , siempre ac túa perpen

dicular a la superficie de co ntacto. Esta fuerza se conoce co m ún

m e n te c o m o fu er za nor m al porque actúa perpendieularm ente alas superficies en con tacta

Cu a n d o n o se p u e d e ig n o ra r l a fu e rz a d e f r i c c ió n e n e l

aná lis is de u na máquina , se inc luye u na fuerza adic iona l , b fu erza de fr ic ció n F f. La fricción siempr e actúa pa ra im pedir el

movimiento . Po r lo tan ta la fuerza de f r icc ión ac túa sobre un

eslabón qu e se desliza, perpen dicular a la fuerza norm al, y en d i

rección opuesta al movim iento (velocidad).

En un cuerpo inmóvil, la fricción funciona para imped ir el

movim iento hasta qu e se a lcanza b máxima fuerza de f r icc ión .

Este va lor máximo es una func ión de l co e fde nle de fr icción f i ,

que es un a propiedad qu e se de te rmina expcr imenta lmcn te ydepende de los mate r ia les y b s condic iones de b superf icie de

los esbbo nes en con tac ta E n b tab la 13.1 se inc luyen va lores

p ro m ed io d e lo s co efi ci en te s de fr ic c ió n p a ra m ate ri a le s co munes. La m agni tud de b fuerza de f ricción que ac túa sobre b s

componentes desl izantes se ca lcubcom o:

Seto lubricado

A c e r o d u l c e

I f i e r r o c o l a d o

F , = M NA h í m i n i o

S o b r e a c e r o e n d u r e c i d o 0 . 4 5 0 * 8

S o b r e B ab b rt 0 J 5 0 .1 5

S o b r e a c e r o d u lc e 0 * 0 0 .1 2

S o b r e b r o n c e 0 3 4 0 . 1 7

S o b r e I t f ó n 0 4 4 —S o b c r c o b r e c o n p l o m o 0 - 3 6 0 . 1 5

S o b r e h i e r r o c o la d o 0 .2 3 0 1 3

S o b r e p l o m o 0 9 5 O J O

S o b r o a l u m i n i o 0 5 0 —S o b r o p l á s t ic o la m in a d o 0 J 5 0 .0 3

S o b r o t r f l ó n — 0 * 1

S o b r o h i e r r o c o la d o 0 .1 5 0 .0 7

S o b r e b r o n c e 0 2 2 0 . 0 7

S o b r o b a ú n 0 3 0 —

S o b r o c o b r e 0 2 9 —S o b r e ó n c 0 2 1 —

S o b r e a lu m in io L 4 0 _

(13 .6)

Co mo se mencionó, en obje tos que se m ueven, b fuerza de

fr icc ión ac túa en sent ido opu esto a b d i recc ión de l movimiento

deslizante relativo.


0 mecanism o de yugo escocés mostrado en b figura 13.15 sirve para imp ulsar un a válvub. Conforme el fluido se

bo mbe a en el ci li n d ra b pr es ió n crecien te impu lsa el mec an ism o y apl ica un to rq ue al eje de salida. Este t or qu e se u ti liza para activar (abrir y cerrar) las válvulas. En el ins tante mostrado, b carpí d e presión sobre el pistón es de 25 Ib.

[>Mermine el torque generado sobre el eje de salida. 0 coeficiente de fricción entre el pem o seguidor y la ran ura en

b cr uc et a es de 0 . 15.

Entrada de fluido

F IG U R A 1 3 .1 5 I m p u l s o r d e b v á l v u b d e l p r o b le m a d e e j e m p l o 13.5.

SO LU CIÓ N : 1 . Hab or e el diag ra m a cin em át ic o d el m ec an ismo

En b figura 13.16 se presenta el diagrama cinemático del m ecanismo de yugo escocés.

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542 CAPITULO TRECE

f i g u r a l 3 . 1 6 Diagrama cinemático del problem a de ejemplo 13.5.

2. tla bo rf los diagramas de cuerpo libre de los eslabones del mecanismo

B eslabón 2 es el ensamble de cruceta en la ranu ra y el pistóny varilla. El eslabón 4 es el seguidor. Observe que el

eslabón 3 n o es un eslabón tangible. Se ut ili a com o una simulación cinemática para separar la unió n de giro so

bre e l se gu id or y la un ió n de co rred era en L>ra nu ra de l a cr uc eta. E nto nces, e l m ec an ism o se m odd a co n tod as

hs uniones de men or o rde a 0 diagrama cinemático tiene cuatro eslabones, dos uniones d e perno y, por ende,

un gra do de libertad. El impu lsor de este mecanismo es d movim iento del fluido den tro del cilindro.

B i la figura 13.17 se ilustran los diagramas de cuerpo libre de los eslabones 2 y 4. El eslabón 3 no se requiere

en el análisis de f ue ra . Advierta qu e la f u e ra d e fricción se muestra en s entido opuesto al movim iento relativo.

La dirección quizá parezca confu sa y necesite u n a explicación adicional.

f i g u r a 13.17 Diagramas de cu erpo l ibre de l problema de e jemplo 13.5.

Considere el eslabón 4 (figura 13.17b). El perno se mueve hacia arriba en relación con la ra nu ra de la cru

ceta. Por lo tanto, la fricción actúa hacia aba jo para im pedir este movimiento del perno . Asimismo, considere el

«la bó n 2 (figura 13.17a). la ranura se mueve hacia abajo en relación con e l perno (recuerde la definición de

movimiento relativo). Entonces, la fricción actuará hacia arriba para evitar este m ovimien to de la ranu ra.

3 . Obtenga las ecuaciones de equilibrio del eslabón 2

B eslabón 2 (figura 13.17a) se exam ina primero porq ue condene la f u e ra aplicada. En este análisis, solo se re

quiere la ecuación de eq uilibrio en x.

^ Z F * - 0 :

F2, = 3001b —

4 . Obtenga las ecuaciones de equ ilibrio del eslabón 4B diagrama d e cuerpo libre del eslabón 4 (figura 13.17b) m ostrará el torque e n el eje de salida. Desde luego, la

pr im era le y de New ton in di ca q u e Ft í = FM.

P/42 * n f * 2 = (0.15) (300 Ib) = 451b

0 torque se determina usando la ecuación de mom ento de equilibrio.

O I M a = 0:

- (F42cos45*)(33in) + (MF«2C«45’)(33 in) + T2, - 0

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An álisis de fuerzas estáticas 343

- |( 3 0 0 Ib )cg s4 5 “ ) ( 3 J i n ) + ( ( 4 5 lb)cos45° (38 in)) + T2, - 0

Riulm entc. el to ique ejercido sobre el eje de salida es:

r 21 = +63 1 lb-in = 631 lb-in, en sentido horario

PROBLEMAS

Fu e rz a r e su l t a n t e

1 3 - 1 . Determine la resultante de las fuerzas que se ilustran enla figura P l3 . 1 . c u a n d o / ? = 2 5 ° .

13-2. Determine la resultante de las fuerzas qu e se muestran

en la f igura P13.I , cuando /3 " 65*.

13 -3. Determine la resultante de las fuerzas m ostradas en la

figura P13.1, cuan do /? = 105*.

M o m e n t o d e u n a f u er za

1 3 - 4 . Se apl ica una fuerza a una l lave de ca ja como la

mostrada en la figura P13.4. Determine el momento,

a i relación con el centro de la tuerca, cuando /? " 90°.

1 3 - 5 . Se aplica una fuerza a una llave de caja como la

mostrada en la figura PI3.4. Determine el momento,

en re lac ión con e l centro de b tuerca , cuando /3 ” 75° .

13-6 . Se apl ica una fuerza a una l lave de ca ja como b

mostrada en la figura P13.4. Determine el momento,

en re lac ión con d centro de b tuerca, cuando /? = 110°.

1 3 - 7 . Se apl ica una fuerza a b pab nca de contro l m ostradaen la figura P13.7. Determ ine el m om ento en relación

con el pivote fijo, cuando f i - 0*.

f i g u r a P I3 . 7 Problemas 7 a 9 .

1 3 - 8 . Se aplica un a fuerza a la palanca de con trol mostrada

en b f igura P13.7 . Dete rmine e l mo me nto en re lación

con el pivote fijo, cuando f i = 60 *.

1 3 - 9 . Se aplica una fuerza a b pab nca de contro l m ostrada

en b f igura P13.7 . Dete rmine e l mo me nto en re lación

con el pivote fijo, cuando f i * 130®.

Rie rz as e s t á t ic a s e n u n a m á q u in a

1 3 - 1 0 . La figura P 13.10 presenta un dispositivo levadizo. Si se

apl ica una fuerza de 600 Ib en la par te super ior de b

grúa mientras e l m ecanismo está inmóvi l, de te rmine

b fu erz a re q u e r id a en e l c il in d ro . La p a r te su p e r io r

de b grúa pesa 80 Ib y e l peso de l c i l indro es insignif i cante.

f i g u r a P I 3 . I 0 Problema 10 .

1 3 - 1 1. La figura PI3.11 mu estra un mecanismo qu e eleva pa

quetes en un mecanismo de transferencia. Si u n paquete

de 100 N descansa sobre el eslabón horizontal mientras

el mecanismo está inmóvil, determine el torque reque

rido del motor. Los pesos de los esbbone s son insignifi

cantes.

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344 CAPITULO TRECE

F l G U R A P 1 3 . i l Problem a 11.

13—12. la fig ura P13.12 presenta un mecan ismo qu e sirve para

cortar hojas de metal delgadas. Si se aplica u na hierra de

200 N com o se indica, determine la fuerza sob re la hoja

de m etal. Los pesos d e los eslabones son insignificantes.f i g u r a P I 3 . I 4 Problema 14 .

13—15. En la figura P13.15 se presenta u n v ehículo utilitario con

una grúa. Determine la tuerza requerida por el dlindro

hidráulico para m anten er la po sidó n de la cesta.

f i g u r a P13 . I2 Problem a 12.

13-13. La figura P13.13 ilustra u na plataforma ajustable que

sirve par a cargar y descargar camiones-refrigeradores.

Actua lmente está ubicado u n contened or de 1200 Ib

com o se indica. La platafo rm a pesa 400 Ib. y el peso de

los demá s eslabones se considera insignificante.

1 3 - 1 4 . El su je tad or m ostrado en la f igura P13.14 t iene una

ca iga nomina l de 1500 Ib . Determine la fuerza de com

pre si ón q u e e st o c rea e n la v ar ill a ro sc ad a, A R

f i g u r a P I 3 . 1 S Problema 15.

1 3 - 1 6 . En la figura P13.16 se ilustra un cargador frontal.

D e te rm in e la fu e rza r e q u e r id a p o r a m b o s d l in d ro s

hidráulicos para mantener la posidón de la pala.

F IG U R A P 1 3 . 1 6 Problema 16.

13-17. Una ay a de embala je de 500 Ib está soportada por una

mesa levadiza , como se indica en la f igura PI3 .17 .

Determine la fuerza requerida en el d lind ro hidráulico,

p ar a m an te n e r la p la ta fo rm a en la p o s id ó n m ost ra da .

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A n á l is i s d e f u e r z a s e s t á t i c a s 3 45

F I G U R A P 1 3 . I 7 Problem a 17.

Dete rmine e l torque instantáneo requer ido para op erar este mecanismo, el cual funcion a a baja veloddad,

de m odo que las fuerzas inerdales sean insignificantes.

13-18. La figura P 13.18 m ues tra un camió n pa ra recolectar

desechos capaz de m over un contenedor a par t i r de una

p o sid ó n ba ja , co m o se in dic a, a u n a posi c ió n ele va da y

volteada. La gravedad desaloja el contenido hacia la

a ja de l cam ión. HJ contenedor pesa 2400 Ib y dos hor

quetas frontales com parten el peso po r partes iguales.

Dete rmine la fuerza en los dos c i l indros h idrául icos.

ESTUDIO DE CASO

15-1. la figura E13.1 ilustra un mecanism o que da m ovi

miento al destapador de inodoros / . Examine cuidadosamente las compo nentes del mecan ismo y, luego, conteste

las s iguientes preguntas, para o btener mayor cono d-

miento acerca de su fundonamicnto.

13-19. La figura P13.19 ilustra un mecanism o para manejo de

materiales qu e desliza paquetes d e 8 Ib a lo largo d e un

mostrador. El coeficiente de fried ón cinética entre el

p aq u e te y el m o str ad o r es d e 0 .2 5 . El co e fi d e n tc de

friedón cin ética entre d collarín y la varilla es de 0. 10.

1 . Cu a n d o g i r a l a p a l a n c a A , ¿ q ué t i p o d e m o v im ie n to

pr es en ta C?2. ¿Qué t ipo de jun ta t ienen las p iezas A y C?

3. ¿Qué t ipo de m ovimiento t iene la bola H>

4 . ¿Qué t ipo de movimiento t iene d destapador /?

5. ¿Cuál es el pro pós ito del resorte K?

6. ¿Cuál «s el propó sito de la pieza Et


8. Com pare este m ecanismo con o t ro concepto mecánico

que tenga el m ismo objetivo.

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C A P Í T U L O

C A T O R C E

ANÁLISIS DE FUERZAS D INÁM ICAS

O B J E T I V O S

A l te rm in ar d e e st udia r est e cap itu la , el alum no se rá ca pa z de:

1 . Entender la diferenria cnlrc masa y peto.

2. Calcular el momento de inerda de un cuerpo suponiendoun parecido con un a forma básica o a partir del radio

dr giro.

3. Transferir el mom ento de inerda a un eje de referenciad tentativo.

4. Calcular las fuer/as y lo» torq uo inerciales.

5. Determ inar las fuerzas, incluyendo la inercia, que actúan

14.1 INTRO DU CC IÓN

En e l d iseño de un a máqu ina , la de te rminac ión de b s fuerzas

que o peran es u na tarea fundamental. Co nsidere el desarrollo deun sistema de limpiadores pa ra automóvil. Una tarea dave con

sis te en b se lecc ión de l m oto r e léc t r ico que im pulsará los

l impb dores. El torque requer ido pa ra op erar e l s is tema es el

atributo p rincipal en este proceso de selección. Se deben co nsi

derar diferentes escenarios, com o el hech o de q ue el automóvil

p o d rb es ta cion ar se d eba jo d e u n ár b ol de m ap le . El a um en to d e

la fricción en los l impiadores com o prod ucto de la savb qu e cae

de l á rbol dem andada un mayor torque a l motor . Un escenar io

com ún se presenta durante los per iodo s de fuer tes l luvias . Los

l impiadores t ienen que op erar en un entorno de a l ta vdoc idad.

Cua ndo los limp iadores oscilan a velocidades m ayores, se generan ace leraciones más grandes. Com o p roduc to de b s grandes

aceleraciones, se crearán fuerzas inerciales. Estas fuerzas podrían

se r l o su f ic i e n te m e n te g ra n de s c o m o p a ra d a ñ a r l a s c o m p o

nentes de l sis tema de l im pbdo res. De hecho, b s fuerzas iner-

da les c readas por e l m ovimiento de muchas m áquinas de a lta

velocidad exceden b s fuerzas requeridas para ejecutar b tarea

e n c o m e n d a d a . En u n m o to r r e c ipro c an te d e c o m b u s t ió n in

terna. como el d e un automóvil, b s fuerzas inerciales po drían ser

má s grandes que la fuerza produc ida po r b presión del gas. En

una turb ina de gas. las fuerzas inerdales sobre los cojinetes, de b id as a l d eseq u il ib r io del ro to r p u ed en se r m ag n it u d es m ás

grandes que el peso mism o del rotor.

ft jr lo ta nto, e n má quinas con aceleraciones significativas,

es necesario un an álisis de fuerzas dinámicas. En el capitulo an

terior se trató el análisis de fuerzas en mecanismos s in acelera

don es. Este capitulo exam ina el análisis de fuerzas en máquinas

con aceleraciones considerables. Esta situación se conoce com o

a¡uilibrio dinám ico. El análisis de equ ilibrio din ám ico util iza

muchos conceptos de equilibrio estático, de manera que antes

de estud iar este capitulo es necesario conoce r los temas presen

tados en el capitulo anterior.

14.2 MASA Y PESO

La masa y el peso no son idénticos. La masa, m mide la cantidad

de materia de un cuerpo. La ma sa también se describe com o la

resistencia de un objeto a la aceleración. Resulta más difícil

“acelerar” un objeto c on masa grande.

H pes o W d e u n c u e rp o e s l a m e d id a d e l a a tr a c c ió n d e b

gravedad sobre é l . Por ende , e l peso es una fu er a d i r ig ida hada

el centro de la t ierra . La aceleradón d e ¡ag rand ad g varia depen

d i en d o d e b u b ic a d ó n r e la ti v a d e b a t r a e d ó n d e b g rav e da d.

Entonces, el peso de un objeto varía. La masa, sin embargo, es

u n a c a n ti d ad q u e n o c a m b b c o n b a t r a e d ó n d e l a gr av ed ad .

Co m o ya se d i jo , s i rve para descr ib i r b cant idad de mater ia en

un obje to .

Las mag nitudes del peso y de la m asa están rebeion adas p o r l a le y d e N ew to n d e l a g rav it a d ó n .

W = m g (14.1)

En b m a y o rí a d e l o s a n ál is is so b re b t ie r r a , b a c e l era d ó n d e b

gravedad se supone com o:

g = 32 .2 f t / s 2 = 386.4 in /s2 = 9 .81 m/s2 = 9810 mm /s2

Este supuesto es aplicable a todas b s máq uinas y los m ecanis

m os estud iados en este libro. Desde luego, en el caso del diseño

de m áquinas para uso en el espa do exterior, existen diferentes

atraedon es gravitacionales.la masa y e l peso con frecuenda se confunde n en e l s is

tema t radid on a l estadounidense : es más conveniente usar una

unidad deriva da de b masa: el slug, que es resultado d irecto de b ec u ad ó n (1 4.1) :

slug = [lb/ft/s2) = Ib s2/f t

Ocasiona lmente , tamb ién se emplea b l ibra -masa ( lbn,) como

m e d id a de b m a sa . Es ta es b m a sa q u e p e sa u n a l i b ra e n b su-

p er fi d e d e b T ie rr a . S up onie ndo q ue s e a plica el va lo r es tá nd ar

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Anális is de fuerzas dinám icas 347

de la gravedad, la l ibra-masa se convierte a slug de la siguiente

manera:

1 slu g = 32.2 lbra

En genera l , cua lquie r cá lculo en e l s is tema t radic iona l esta

doun idense debería usar el slug como unidad d e masa. En el sis

tema in te rnac iona l , la unidad de m asa que se usa comúnm ente

es e l k i logramo (kg = N

14.3 CEN TRO DE GRAVEDAD

El centro de gravetlad cg de un c uerpo es el pun to de equilibrio de

ese cuerpo. Es decir, es el único p un to do nde es posible sostener el

pes o d el o b je to y p er m an ec er en equ il ib ri o en to d as las d ir ec

ciones. En com ponentes hechos de material hom ogéneo , el cg es

d centro geométr ico t r id imensiona l de la componente . En m u

chos elementos simples, com o u n cilindro, el centro geom étricoes evidente. En el análisis de tuerzas, la ubicación del c entro de

gravedad se vuelve im porta nte, porqu e esta es la ubicación d e la

fu er a de gravedad, o peso . En e l aná lis is de fu er as d inámicas,

cua lquie r e fec to de inerc ia debido a la ace le radón de la par te

también ac tuará en este punto .

En e l e m e n to s c o m p lejo s, l a u b i c a d ó n d e l c e n t ro d e g ra

vedad no es obvia. Un método com ún p ara ubicar e l centro degravedad es d iv id i r e l e lemento com ple jo en form as s imples,

do nd e el cen tro de gravedad de cada u na sea evidente. El centro

d e g ra v e d ad c o m p u e s to se d e t e rm in a a p a r t i r d e l p ro m e d io

p on dera do d e las co ord en ad as de l o s centros de gravedad indi

viduales. Por ejemplo, la com pon ente x del centro de gravedad

de un a form a com puesta se calcula con la s iguiente ecuac ión:

m »*<*! + + ...■*<rtoisl - . , . (14. 2)

n i| r m j + m j t .. .Como la ace le rac ión de la gravedad es la misma en todo e lcuerpo, e l peso se sust i tuye po r la m asa en la ecuac ión (14 .2) .

Desde luego, se pueden escr ib ir ecuac iones s imi la res para las

coordenadas y y z del centro de gravedad.

PROBLEMA D E EJEMPLO 14.1

la parte mostrada en la figura 14.1 está hecha de acero (0.283 Ib/in’). Determine las coordenadas del centro de

gravedad.

SO LU CIÓ N : I . Vivida e l eslabón en form as básicas

Esta parte se divide fckilmente en dos comp onentes. La placa de abajo se designará com o com ponente l.y el eje

de arriba se designará com o compon ente 2.

2. Calcule el peso d e las fo rm a s básicas

El peso de las partes se determina caku lando el volum en de las partes y multiplicándolo por la d ensidad del

arcro.

W , 10383 lb/in ((10 in) (4 in) (03 in)) = 5.66 Ib

W2 = (0 3 8 3 lb / in ') - ( 2 i n ) J (3 in ) 533 ib

E s to s p e so s y l a s c o o r d e n a d a s d e l c g s e o b s e r v a n e n b t a b la 1 4.1 .

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348 C A P I T U L O C A T O R C E

TABLA 14.1 Datos de las formas básicas d d problem a de e jem plo 14.1

C o m p o n e n t e (Ib) r „ 0 " )

5.66

5 JJ

(ion - 2) • 3

o

(0.3/2) • 025

(0.5/2) * 025

3 . Con la ecuación <14 3) calcule las coordenadas del centro de grave dad

Se calculan las co ordenadas del c entro de gravedad.

W p i r if iA q f p a n e l + W p . r w t ^ p a n e J

(5.66 Ib) (3 in ) ♦ <53 3 lb> <0 in> — --------------------------------------------- — 1345 in

(5.66 + 53 3) Ib

Wp.n.i/ p.n.1 +W j / , p.,*,* VVp.n,;

(5.66 Ib)(02 5 in) + (5 33 Ib) <2 in)

(5.66 + 53 3) Ib - 1-099 in

H cen tro de gravedad de ambas paites permanece sobre el eje z . Por consiguiente, el cen tro d e gravedad de la

parte c om pu es ta (to tal ) tam bién perm an ece so bre el ej e z . Entonces,

z ct x<*d 5 0

14.4 MO MEN TO DE INERCIA

El iwm en to de inercia I de u na parte m ide la resistencia de la pa rte a la ac d er ac ió n a ng ular . Es m ás di fic il “a ed er ar " u n obj et o

que gira con un mom ento de inercia grande. El mom ento de iner

c ia de una masa , o s implemente mom ento de inerc ia , depende

de la masa del objeto además de la forma y el tamarto del mismo.Asimismo, la inercia es u na prop iedad que se define en relación

con un pu nto d e referencia (o u n eje, cuando se consideran tres

dimension es). Este pu nto d e referencia es generalmente el centro

de gravedad de la parte.

La figura 142 muestra un objeto sólido cualquiera. Observe

qu e se resalta un p equeño elemento del objeto. El m om ento de

inercia de este elemento pequefto se d etermina multiplicando su

masa, dm , por e l cuadrado d e la distancia, r , a un eje de referencia, z. E sta distancia es la distancia perpendicu lar del eje al ele

me nto a rb i t ra r io dm .

El m om ento de inercia del objeto en tero es la sum a de todos los mom entos de todas las par t ícu las que in tegran e l objeto .

Matem áticamente, el mom ento de inercia se expresa como:

r 2d m (14.3)

F IG U R A 1 4 2 U n o b j e t o s ó li d o g e n e r a l .

Co m o la definición im plica r, el valor del m om ento de

inercia es diferente para cada eje. Por ejemplo, considere u na va

rilla delgada. El m om ento de inercia en relación con su eje long i

tudinal será pequeño p orque r es pequerto para cada elemento de

la varilla. Parau n eje perp end icub r a la varilla, el mo me nto de iner

cia será grande porq ue r es grand e para los elementos m ás aleja

dos del eje.

El m om ento d e inercia de una masa se expresa en unidadesde masa po r unidades de longi tud a l cuadrado. En e l s istema

tradicional estadouniden se, bs u nidades comu nes son slug-pies

cuad rado s (slug ft2), qu e se convierten a l ibras-pies-segundosa l cua drado (Ib f t s2) . En e l s is tema in te rnac iona l , las un ida

des comunes qu e se u t il izan son k i logramo-metros cuadrados

(kgm2).

14.4 .1 M om en t o de i ne r c i a de f o r m as b á s ica s

Se usó la ecuación (14.2) para dedu cir las ecuaciones deform as

pri m ari as . La tab la 14.2 p ro p o rc io n a e st as e cu ac io ne s, las cu ale s

sirven pa ra calcular el mo m ento de inercia de form as sólidas co

mu nes con densidad uniforme.

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A nálisis d e fuerzas d in ám icas 349

TA BLA 1 4.2 M o m e n to s d e i n e rc ia

N o m b r e d e b f o r m a M o m e n t o d e l n e r d a

Cilindro

Varilla delgada

{ [ " ' ‘ I

V - ¿ W 3 r 1 4 - r t |

4 - ¿ W 3 r > 4 . p ) l

0

D b c o d e lg a do/ . - j |m rl l

/ , « ± |« r > |

Bloque rectangular " ¿ I * A1)]

/ . - ¿ l - t * 1 * f1)!


L» parte d e la figura 143 pesa 3 Ib. Determine el mo me nto de inercia de la parte, en relación con el eje x en el centro

de la parte.

FIGURA 143 Par tedel pro ble m a d e ejem plo 14.2.

SO LU CIÓ N : 1 . Det er m in e la mas a d e l a pa rt e

l a parte pesa 3 Ib y se supone q ue se usará en la superficie de la tierra. La masa se calcula usando la ecuación( 1 4 . 1 ) .

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3 5 0 C A P I T U L O C A T O R C E

2 . Calcule el m om ento de inercia (cilindro sólido)

En sentido «tr id o , esta parte « un cilindro sólido con:

r = 13 in =0.125 f t

/ = 18 i n = 1 3 ft

B eje zen la tabla 14 2 « equivalente al eje x d d análisis. El m om ento de inercia en relación con « te eje en el cen

tro de la parte es:

í , - ^ [m(3rJ + lJ)J - - ¡ j [0 .093dug(3(0 .125ft )2 + ( I .Sf t)1)]

= 0 .0 1 7 8 d u g f r = 0 8 17 81 b f t s J

3 . Calcule el m om ento de inercia (varilla delgada)

Esta parte se aproxima com o u na varilla delgada. Usando «t e supuesto, el m omento de inercia se cabula a p artir de la tabla 14 2 como:

/x = ^ | n . ( l ) , ] = ^ [0 X ) 93 d ug (1 3 ft) J]

- 0 .0174dug f t* - 001741b f tsJ

la suposición de la varilla delgada subestima el mo m ento de inercia real por solo 1.15%. Aparentemente, « ta

pa rte pod ría aprox im arse co m o un a var illa de lg tda.

14 .4 .2 R ad i o de g i r o

En ocasiono, e l m om ento de inerc ia de u na par te con respec to

a un eje especifico se encuen tra en m anuales qu e usan el radio de giro k . Con ccptuaimentc. el rad io de giro es la distancia del

centro de gravedad al pu nto d ond e pod ría concentrarse el total

de la masa y tenere l mismo m om ento de inercia.

0 radio de g i ro se u ti l iza para calcula r el m omento de iner

cia, de la siguiente manera:

I = m k 2 (14.4)

E l r a d io d e g i ro se e x p ro a e n u n id a d o d e lo n g i tu d . En

e l s is tema t radic iona l estadounidense , las unidado comunes

son p ies ( ft ) o pulgadas ( in) . En e l s is tema in te rnac iona l , bs

u n i d a d e s co m u n e s q u e s e u s a n s o n m e t r o s ( m ) o m i lí m e

t ro s ( m m ) .

1 4 .4 .3 T e o r e m a d e l o s e j e s p a r a l e l o s

0 m om ento de ine rria se define en relación con un eje. A veces

se requeri rá el m omento de inerr ia en re lac ión con un e je para

lelo alternativo. Para realizar dich a tarea, se ha derivad o una

ecuación de tran sferen cb a un eje paralelo (ref. 11). Para trans

fe ri r e l m o m e n to d e i n e r r i a d e l e j e x a u n e j e p a ra le lo x \ l a

ecuación de transfe rencb o :

Ix . = lx ± m t f (14.5)

0 v a lo r d e n b e c ua c ió n (1 4 .5 ) o l a d i s ta n c b p e rp e n d ic u

la r en t re los dos e jes . Observe qu e e l segun do té rmino de b

ecuación (14 .5) se sum a o se resta . El té rm ino se sum a cuando

d e je de re fe rencb se ale ja de l centro de gravedad de b forma

básic a. P or el c on tr a ri o , e l té rm in o se r o t a cu an do b tr an sf er en -

cia se acerca hacia el centro d e gravedad.

PRO BLEMA D E E JEMPLO 1 4.3

Para b parte mostrada en b figura 14.4, determine el mom ento de in erc u de la parte en relación con el eje x en el ex

tremo de b parle.

FIGURA 14 .4 P a r t e d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 4 . 3 .

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A n á l i s i s d e f u e r z a s d i n á m i c a s 351

SO LU CIÓ N: H mom ento de inercia en relación con el centro de la parte se determinó en el problema de ejemplo 142 como:

/ , - OQ178 slugf t2

la distancia de la transferencia del cen tro al extremo de la parte es:

d = 9 in = 0.75 ft

Se usa la ecuación (145 ) para transferir el eje de referencia al extrem o de la parte. Observe que el segun do terminó se

suma porque la transferencia se aleja del centro de gravedad.

/ ,• - + m d! - 0 .0178slugf t2 + (0 .093slug)(0 .75 f t )2

= 03)701 dug ft2 = 00701 Ib ft s2

1 4.4 .4 C u e r p o s c o m p u e s t o s

En la práctica, las partes no siempre pued en aproximarse simple

m ente a las formas básicas de la tabla 14.2. Sin embargo, para

par te s m ás co m pl ej as , la det er m in ac ió n d el m o m ento d e ine rc ia

se obtiene d ividiendo las partes comp lejas en varias form as bási

cas de la tabla 142. Se calcula el mom ento de cada forma básica

en re lad ón con un e je qu e pase a través de l centro de la par te

comple ta . Fina lmente , se de te rmina e l mo m ento de in erda to-

tü com binan do los valores de las formas individuales.


la parte mostrada en b figura 145 está hecha de acero. Determine el mom ento de inerd a de la parte en relación con

el eje y en el centro de b parte.

FIGURA 14J Parte del pro ble m a d e ejem plo 14.4.

SO LU CIÓ N : 1 . Id ent ifi qu e la s for m as bási cas y d e te rm in e su mas a

La parte se divide en dos formas componentes, com o en el problema de ejemplo 14.1. Usando las pesos determi

nados en esc problema, la m asa de las dos partes es:

m,

m¡

*

W i

S

5561b

32 2 ft/s2

533 Ib

- a i 7 6 slug

- a i 6 5 slug322 ft/s2

IXetrrmine e l mom ento de i ne rc ia c en tr o id al d e la s fo rm a s b ási cas

la componente 1 es un bloque rectangular y e l componente 2 es un cilindro. Usando la tab b 14 2. d mom ento

de ine rcb d e cada parte se determina e n relación con sus centros de gravedad individuales.

Com ponente 1:

tr = y 2 l/nlre2 + I2)] = (0.176 slug |(4 in)2 + (10 in)2)

- 0 .701 slug in2 - 0 0 1 1 8 slugf t2 - 0 .0118 lbf t s2

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352 CAPITUL O CATORCE

Com ponente 2:

ly ■ l/n (rJ)] (q c longitudinal) - [0.165 slug(l in)2J

= 0.0138 slug in2 - 0.0001 slug ft2 = 0.0001 Ib fts2

3. A pl iq ue e l te or em a d el eje par ale lo

La información del ce ntro de gravedad, determinada en el problem a de ejemp lo 14.1, sirve para calcular el m o

mento de inercia de cada com ponente en relación con el centro d e gravedad compuesto. Se usa d teorema del eje p ir al elo p ar a rea liza r es to . Obs erve qu e la di st an cia p erpe nd icul ar en m ed io d el ej e y está a lo largo de la direc ción x

Com ponente 1:

d i - (30 - 1099) in - 1.901 in - 0 .138 f t

— u i) = + 'M i* = 0.0 118 slu g ft2 + (0 .176 s l u g ) ( a i 58 ft )2

- 0O162dug ft2 - 001621b f t s2

Com ponente 2:

d¡ - ( 1 09 9 - 0 ) in - 1 0 9 9i n - 0O 92 ft

V<o»p<— 1*2) = pama uti + " A * = 0.0001 slug ft2 + (0.165 slug) (00923 ft)2

= 0.0015slug ft2 = 000151b ft s2

4 . Calcule el m ome nto de inercia compuesto

V ~ ^ i ' i a n f o n m n I ) + ^ ' (a m p o n m i» 2)

= (0016 2 + 0OO15)slugft2 = 0.0177stug ft2 = 001771b fts2

1 4.4 .5 M o m e n t o d e in e r c i a : d e t e r m i n a c i ó n

e x p e r i m e n t a l

Un método popula r exper imenta l para de te rminar e l momento

de inerc ia de una pa r te consiste en hacer g i ra r esta como un

pénd ulo . Este m ét o d o s e il u st ra en la fi gura 14.6 .

F IG UR A 1 4 .6 E x p e r i m e n t o d e l m o m e n t o d e in e r c ia .

La parte oscilará si se desplaza un ángulo p equeño y se libe

ra. El mo m ento d e inercia se determina mid iendo el t iempo A r

pa ra co m ple ta r un a osci lac ión. E l m o m ento d e i ne rc ia de la p ar te ,

en relación con un eje que pase a través del centro d e gravedad, se

ha estable cido [ref. 11 ] com o:

14.5 FUERZ A INERCIAL

En la secc ión 13.4 se enu nc ia ron las t res pr inc ipa les leyes de

N ew to n d e m ec án ic a. La seg un da ley es fu nd am enta l p a ra las

p ar te s q u e e xp er im enta n a ce le ra ción y es tabl ec e lo s ig uien te :

SEGUNDA LEY: Un cuerp o co n u na tuerza desequilibrante

tiene:

a ) Aceleración prop orciona l a la tuerza,

W Aceleración en dirección de la tuerza y

c ) Aceleración inversamente prop orcional a la masa

del objeto.

Para movim iento lineal, esta ley se establece en térm inos de laaceleración A£del centro de g ravedad del eslabón: de m od o que.

2F=mA, (14.7)La ecuación (14.7) se escribe como:

£ F - > m A s = 0 (14 .8)

Advierta qu e se emplea e l s ímbo lo de sust racc ión ( - > ) porque

tanto la tuerza com o la aceleración son vectores.

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A n á l i si s d e f u e r z a s d i n á m i c a s 3 53

El segundo té rm ino de la ecuación (14.8) se conoce como

la inercia de u n cuerpo. Este té rm ino se def ine com o la fu er za

inerciaI F¿

F ; = - > mAf (1 4.9 )

El signo negativo indicia que la fi len a inercial se opo ne a la aceleración (a ctúa en direcció n opu esta a la aceleración). La inercia

es una propiedad pasiva qu e no ayud a a u n cuerp o a hacer a lgo ,excepto a opon erse a la aceleradón.

Este concepto se observa fácilmente. Imagine cómo un em

pu je sú b it o so b re el pe da l del ac e le ra dor d e u n auto m óv il ac e

le ra v io lentamente e l vehículo . Imagine la tendenc ia de su

cabeza a m overse hacia atrás durante la aceleradón. Esta es una

fu er a inercia ] qu e ac túa en d i recdón opuesta a b ace le radón

de l au tomóvi l . Además, la magni tud de l movimiento de la

cabeza ha da a t rá s es proporc iona l a la mag ni tud de la ace le

radó n. De manera s imi la r, cuando se f rena súbi tamente en un

vehículo, el vehículo se desacelera y su cabeza da una sacudida

ha da de lante, o t ra vez en d i recdón opuesta a b aceleración del

automóvi l . Esta es b segunda ley de Newton en b prác tica .

La ecuadó n (14 .8) se reexpresacomo

2 F + > F ¿ = 0 (14 .10)

El concepto de replantear la ecuad ón (14 .7) en la form a de la

ecuac ión (14 .8) se conoce como pr in cip io d e d 1 A te m b e n cuyo

uso en e l aná lis is de fu era s se denom ina método de la fuerza de

inerda del equilibrio dinámico. En el análisis de es bbo nes acele

rados, perm ite el uso d e los m ismos m étodos que se util izan en

el análisis estático.

PRO BIÜ M A D E EJEMPLO 1 4 .5

0 mecanismo comp resor mo strado en b figura 14.7 es impulsado en sentido horario por un mo tor de corrientedirecta, a un a v eloddad constante de 600 rpm . En b po sidó n m ostrada, la presión del cilindro es de 45 psi. El

pi stón pes a 0 5 Ib , y el co ef ici ente d e f ix ci ó n en tr e e l p is tó n y el c il in dro d el co m pre so r es d e 0.1. E l p es o d e losdemás esbbones es insignificante. Determine, en e l instante mostrad o, el torque requerido del m otor para o perar

d compresor.

f i g u r a 14.7 M ecanismo del problem a de ejemplo 14.5.

SO LU CIÓ N : 1 . B a b ó n e l dia gr am a cin em át ic o e id enti fi que lo tg ra d o i d e lib er ta d

Este es un m ecanismo comú n de manivela-corredera en línea, que tiene un solo grado de libertad. En b figura

145a se muestra u n diagram a cinemático a escab.

f i g u r a 145 Diagramas del problem a de ejemplo 14.5. (Gmtinúa) .

2. Hija el método para obtener el torque requerido del motor

Com o el pistón es el ú nico compo nente con peso significativo, se deben determ inar la fi ie ra inercial y b ace-t ru c ión de estecomp onente. La aceleración dd pistón (eslabón 4) es de traslación pur a e idéntica al movim iento

del punto C. Este análisis de aceleración se presentó am plu m enle en el capítulo 7.Una vez qu e se haya o btenid o b aceleración del pistó n, se calculan las tuerzas inerciales subsecuentes.

Finalmente, los diagramas de cuerp o libre y las ecuaciones correspondientes se util izan para determinar el

torque requerido.

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354

3 . Dete rm in e l a v eloc idad d e lo s pu nto s B y C

li te tipo de análisis se estudió ampliamen te en los primeros capítulos del libro. La manivela de 2 in gira a 600

rpm . La velocidad del pun to B es:

un = -^ (600 rev/min) = 628 rad/s. en sentido horar io

V a - «2 ' ab = (62 8 rad/s) (2 in) = 1258 in /s A f

la dirección de V B es perpendicular al eslabón 2 y congruente con b dirección de fi ¡ , bacia arriba a la derecha.

Usan do el CAD se dibuja un v ector a escala, a partir del origen del diagrama de velocidad, para represen tar estavelocidad. La ecuació n de velocidad relativa de los pun tos B y C se escribe como :

V c = V a + > V a n

&i la figura 1 48b se ilustra un diagrama de velocidad completo. Escalando las mag nitudes vcctorbles del dia

grama,

VC - * >3 in / s —

VOB = 8 2 2 in /s l ' J 7

CAPÍTULO CATORCE ______________________________________________________________________________________________

Vc 80.5

M

FIGURA 148 {Continuación).

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4 . D et er min e las co mpo ne ntes de la acele rac ión

H paso siguiente es con struir u n diagram a de aceleradó n, el cual incluya los punto s B y C Calculando las mag

nitud es de las aceleraciones conocidas,

<V„)3 (12 5.6in /s)J . ------

A„ = = — ---- = 7888 in/s \50 a (dirigida hacia el centrot ÁB 2.0in de rotación, el pu nt o A)

a'B = 0 (no hay aceleración angular en la manivela de 2 in)

a £ b " " <82 Q ~n - T /> ) " 8 4 4 i n /$ 2 ld i2 $ ¡ Í a ^ h a c i a B .f g c 8.0 in medida con el c a d )

Observe qu e el pu nto A no tiene aceleración normal porque el movim iento es estrictamente de traslación.

5 . Construya un diagram a de aceleración

la ecuación de aceleración relativa de los p unto s B y C ae escribe como:

A " + > A ¿ = A i + > A ¿ + > A ¿ « + > A ¿a

En la figura 14.8c se mues tra el diagra ma de aceleración completo.

6 . M id a la acel erac ión del pis tó n

Escalando las m agnitude s sectoriales del diagrama,

A¿ a - 3985 in /s2

\ 'c = 5378 in/s3 —

Com o la aceleración tangencial del pun to B tiene la m isma dirección qu e la velocidad, el pistón está acelerando

(incrementando su velocidad), no desacelerando.

7 . Calcule la fue rza inercial

Cómo el pistó n es el único eslabón con p eso significativo, su fuerza inercial se calcula combinan do las ecuaciones<14.9)y(14.1).

w* ;* = - > ">.a , 4 = — a , 4)

<° ’5lb) (5378 in/s3) = 6.961 b*-386 in/s3

Cóm o el pistón no tiene acderación angular, no se considera la inercia angular.

8 . Elabor e los d ia gr am as d e c ue rp o li bre de los es labo ne s de l m ec an ismo

Observe qu e el eslabón 3 ( B Q es un eslabón simp le que tan solo contiene do s uniones de perno. Además,

ningun a otra fuerza actúa sobre el eslabón. Por lo tanto, es un elemento con dos fuerzas y las fuerzas qu e actúan

sobre el eslabón deben ser iguales y estar a lo largo de la línea «jse conecta los dos pernos. El diagrama de cuerpo

libre del eslabón 3 se muestra en la figura 14.8d. Com o antes, la notación empleada indica qu e F,j es un a fuerza

aplicada al eslabón 3 , como resultado del contacto con el eslabón 2.

H eslabón 2 ta m ban es un eslabón simple y únicamente tiene dco unio nes de perno. Sin embargo, tambiénx aplica un m om ento (torque) a esta manivela. Entonces, este eslabón no es u n elemen to simple con dos fuerzas,

la tercera ley de Newton estipula que una fuerza qu e actúa en B es de igual magnitud y opu esta en dirección a

F)2. Por ello, la dirección de F jj se conoce com o resultado de la figura M B d El ángu lo entre los eslabones 2 y 3

se midió en d modelo del cad. La unión general de perno en el punto A ridica que dos fuerzas de reacción es

tarán presentes. El diagram a de cuerpo libre del eslabón 2 se ilustra e n la figura 14Be.

B eslabón 4 tiene un contacto de corredera con el eslabón I. Esta fuerza de co nt ad o actúa perpendicular a

b superf ici e «le co ntac to . As im ism o, l a fu erza d e c om pr es ió n de l g is ac tu ar á pe rp en di cu la r a la supe rfi cie del

listón . La fuerza de fricción se opon e al m ovimiento (velocidad) del eslabón 4. la tercera ley de Newton también

estipula qu e la fuerza qu e actúa e n C es igual y opuesta a FM. Por lo tanto, la dirección de F4, se conoce com o re

sultado de la figura MB d. El diagrama de cuerp o libre del eslabón 4 se presenta en l a figura 148C

9 . Re su el ta l as ecu ac ione s d e eq ui librio d in ám ic o del e slab ón 4

Se examina prim ero el eslabón 4 porque contiene la fuerza aplicada. La fuerza del gis se calcula como:

*■(1.5 in)2 f p , = P ^ A ^ = Pg*[ — = 45 lb /in3 795 Ib-

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356 CAPITULO CATORCE

F IG U R A 1 4 5 (Cjmt inUMÍÓl t ) .

L i fuerza de fricción es: F/=MF4 1 =O.IF4,Las dos fu m as desconocidas en este eslabón (figura 1 45f) se obtienen usan do las siguientes ecuaciones deequilibrio:

2 F * + > P ' = O

t X F ' = 0:

F « <0411.0" - Fg„ - F ¿« - F / - 0

Resolviendo estas ecuaciones.

- eos 11X)* + F41 - 05 1b - 0

F u - * 8 9.8 Ib = 8 9 5 1 b ^7 ®

F4, ** + 16.61b - 165 Ib T

10. Despeje el e qu il ib rio de l es labón 3

Com o el eslabón 3 es u n elemento co n dos fuerzas (figura I4.8d ), las ecuaciones de equilibrio indican que

b s fue rza s ti en en la m is m a m ag nitud , a ct úan a lo la rg o de b m is m a lin ea y ti en en se ntido o p u e s ta De sd e

luego, la tercera ley de New ton establece que FJ2 ” F¡y Entonces, las fuerzas que actúan sobre el eslabón 3

son:

Fm = 8 9 5 1 b l l K

Fj j - 8 95 1b

11. D es pej e e l eq uil ib rio d e l e slab ón 2

0 d iagrama de cuerpo l ibre de l eslabón 2 ( f igura 14 .8e) reve la rá d torque requer ido del motor . Desde

luego, la te rcera ley de New ton indica que Fn * F2> Las fuerzas y e l mom ento descono c idos de este

eslabón se obtienen usand o las siguientes ecuaciones de equilibrio:S P X - 0:

+ í 2 P ' - ( h

* ) Z M a - 0:

F ji - P j j c o s l l " = 0

F j | + F j js e n l l* = 0

-T j , + (Pj , sen39®)(2 in) = 0

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A n á l i s i s d e f u e r z a s d i n á m i c a s 3 57

Resolviendo las tres ecuac iones se obtiene:

PJ, - *88.1 Ib - 88.1 Ib —

F¡, - -17 .1 Ib - 17.1 Ib i

T2, = +113.0 Ib in = 113.01b in. cn sentido horario

Com o el torque es el valor deseado, tan solo es necesario resolver la ecuación d e mom ento.

14.6 TOR QU E INERCIAL

El concepto de fuerza inerdal. com o se describe en la ecuación

(14.7) , es una extensión de la segun da ley de New ton para el

mo vimiento l inea l. En e l caso de l m ovimiento angula r , la se*gunda ley se resume en té rminos de la ace le radón angula r y e l

m om ento de inerc ia , en re lac ión con u n e je qu e pase por e l cen

tro d e gravedad.

2 M g = f ga ( 1 4 . 1 1 )

Otra vez , e l subíndice “g” se refiere al pun to d e referencia en el

centro de gravedad del eslabón.Simila r a l m ovimiento l ineal , la ecuac ión (14 .11) se re

pl an te a c om o:

Z M s - > T ¿ = 0 ( 1 4 .1 2 )

Observe que se u t i liza el s ímbolo de sust racc ión ( - > ) , ya que

deben tomarse en cuenta las d irecc iones de l mom ento y de la

a:eleración angular. El segundo tér m ino d e la ecuación (14.12)

se llama inercia angular de u n cuerpo. Este té rm ino si rve paradefinir el torque inerciaí T ‘ ¿

T ¡ = - > l ga ( 1 4 1 3 )

N ue va m en te , e l si gn o ne ga tivo in dic a qu e el t o rq ue i n erd a l est á

en dire cdó n op uesta a la aceleración angular,

la ecu adó n (14 .12) se replantea como:

2 A Í + > r ¿ = 0 (1 4 1 4 )

La ecuac ión (14 .14) se conoce como ecuación de momento deequilibrio dinánaco. Es el equivalente angular del prin dp io de

d Alem bert descrito en la se cdón 14.5. Permite el análisis de es

labones ace le rados, u t i l izand o los m ismos m étodos qu e en e l

análisis estático.

H siguiente problem a de ejemplo com bina varios concep

tos del análisis de tuerzas dinám icas presentados e n este capítulo.


H mecanism o presentado en la figura 14.9 se utiliza para bajar y subir el tren de aterrizaje de pequeños aeroplanos. El

eslabón del ensamble de la rueda pesa 100 fc, y tiene su centro de gravedad com o se indica. El radio de giro del en

samble, en relación con el centro de gravedad, se ha determinado experimentalmente igual a 12 ft. El eslabón m otriz

gjra en sentido antihorario a 3 rad/s y co n una aceleración de 10 ra d /s\ Para estimar las propiedades de la m asa, laimnivcla mo triz pesa aproximadam ente 15 Ib y tiene 2 ft de largo, 1 ft de anch o y 02 5 ft de espesor. Se estima que el pe so de l es labó n con ec to r es d e 20 I b y se modela com o una varilla d elu da de 3.5 ft . Determine todas las fuerzas que

actúan sobre las unio nes d e todos los eslabones y el torqu e requerid o para impulsar el eslabón motriz.

f i g u r a 1 4 . 9 Tren d e a t e r r i z a j e d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 4 .6 .

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3 5 8 C A P I T U L O C A T O R C E

SO LU C IÓ N : I . ¡labore rl diagrama cinemático e identif ique los grados de l ibertad

B l e e s e l c o n o c i d o m e c a n s m o d e c u a t r o b a r r a s q u e t i e n e u n s o l o g r a d o d e l i b e r t a d . 0 d i a g r a m a c i n e m á t ic o s e

p r e s e n t a e n l a f i g u r a 1 4 . 1 0 a .

FIGURA 14.10 D iag ram ad d prob lem a de ejem plo 14.6.

2 . B ij a e l m éto do pa ra o bte ner el tor qu e requ er id o d el m oto r

Gomo todos los eslabones tienen u n peso sgnificativo, se debe determinar la aceleración del centro de gravedad

de todos los eslabones. Este análisis de acdcrac ión se es tudió exhaustivam ente en el capitulo 7. U na vez que se

luyan obtenido las aceleraciones, se calculan las fu er as inerdales y los torques subsecuentes. Por último, se usan

los diagramas de cuerpo libre y las ecuaciones correspondientes pa ra determinar el torque requerido.

3. Det er min e la v eloc idad d e los p untosH y C

Este tipo de análisis se estudió exhaustivamente en los primeros capítulos del libro. La manivela de 1.77 ft gira a

3 rad/s. La velocidad del pun to B es:

V « = m i to B (3rad/s)(1.77ft) = 531 ft/s A o *

la dirección de VBes perpendicular al eslabón 2 y es cong ruente con la dirección d e Mí. hacia arriba a la derecha.

Usando el cad se pued e dibujar un vector a escala, a partir del origen del diagrama d e velocidad, para represen

tar esta velocidad.

la ecuación de velocidad relativa de los p untos B y C se escribe ccmio:

VC- VB+>VOBEn la figura 14.10b se observa el diagrama se ctorial Escalando las ma gnitudes vectoriales del diagrama,

V c * 5 0 0 f t/ s A o J *

VOB - 2.63 f t/s Y 1 4 "

4 . Calcule las compone ntes d e aceleración

0 paso siguiente es con struir un diagrama de aceleración, el cual incluya los puntos B y C . Calculando las mag

nitud es de las aceleraciones conocidas,

A ? i 1 — ■ 15.93 f t/ s2 30 ^\ (d ir ig ida hacia d centrorAB 1.77 ft de rotación, el pu nto A)

A «*2rAH s (1 0rad /s7) (1.77 ft) * 17.70 ft/s2

„ (Vo* )? (2*63 ft/s)2 í /* . (dirigida de C hac ia Ba c b r JJ 23 0 ft/s ¿ A ° A . . medida con el cad)

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ti

f i g u r a u . i o (Continuación).

Ac - - 10.72 ft/*2 59. 3 \ (dirigida de C hacia D.

rcD " medida c o n el c a d )

Construya un diagram a de aceleración

la ecuación de aceleración relativa de los punto s B y Cs e escribe como:

A£ + > A¿: - Ag 4- > A¿ + > A&b +• > A ¿b

Bs b figura 14.10c se m uestra el polígono de aceleradón. Observe qu e se utilizó el concepto de imagen d e ace

leración que se presentó en la sección 7.10, para determ inar la aceleración del centro d e gravedad de los tres

esbbones móviles.

M id a la acel erac ión del centr o de gr os ed ad d e t odos lo s esla bones

b e a b n d o las m ag ni tu de s sec to rial es de l diag ra ma,

A ¿8 = 12.28 f t/ s2 ^ 5 Ü F A¿ = 1180 f t/ s2 /& .6°

ó

FIGURA 14.10 (Continuación).

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360 CAPITU LO CATORCE

A ,j = 11.91 ft/s3 78X >\ A p = 19.21 ft/s 2 & 9 ÁK

A ^ = 2032 f t/ s2 / t í .A'

Se determ inan la» aceleraciones angulares de los eslabones.

1228 ft/s2 . , .o » - —— ■ — r r r r — - 4.1 ra d/s , en se nt id o antiho ra rio

'BC ó ii lt

a , - — = ■ 5 .0 rad/s2, en sentido antihorar iorCD 233 ft

7 . Calcule las propiedades de la masa

la manivela motriz se pued e considerar un bloqu e rectangular. En la tabla 1 42.el mom ento de ineren, en el cen

tro de masa, en relación con un eje normal al lad o ancho del eslabón, es:

V - ¿ W wí + '2)1“ ¿ (¿ i7 ¿ ? )[<2ft)? + 0 ft)2*" al94lbfts2

H brazo conector (biela) se puede considerar u na w i l a delgada. En la tabla 14 2. el mo me nto de inercia, en el

centro de masa, en relación a un eje normal a la long itud del eslabón, es:

0 radio de giro del ensamble de la rueda se obtuvo experimentalmente. A partir de la ecuación (14.4). d m o

men to de inercia en d cent ro de m asa en relación con un eje norm al a la longitud del ensamble es:

Jg4 = m f = ( ^ ~ ^ ) ( | -2 ft)2 = 4.472 Ib fts2

8 . Calcule la fue rza inercia!

Para los tres eslabo nes móv iles, la fuerza inercia! se calcula com bin and o Las ecuaciones (14.9) y (14.1).

F¿2 - > m 2A ,2 - ^ ( - > A ,j)

F ' , - - > m y k g s - >)

- (1921 ft/s2) = 11.931b

F ‘t = - > m4A ,4 = y ( - > A ^ )

" S ? í2032fttf) " 6311 lb9 . Calcule el torque inertial

Para los tres eslabones móviles, el to rque inercial se calcula con la ecuación (14.13).

T ¿ ,= ~ > I't ¡ a ¡ = (0.1941b fts 2) (lOra d/s2)

= 1.94 f t l b , en sentido horario

T ; , - - > / ,y »j - (0.634 Ib f t s2) <4.1 rad/s2)

■ 2.60 ft lb, en sentido horario

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Tt * m ~ > ’t* 0 * = M-472Ib fts2) (5 rad/s2)

• 22J ó ft Ib. en sentido horario

1 0 . Bab ore lo s d ia gr am as d e c ue rp o li bre de los es labo ne s de l m ec an ismo

C o m o el peso de todos los eslabones se va a incluir en el análisis, no hay elementos co n dos fuerzas. Por con-

aguíente, todas las fuerzas de contacto en las union es son generales y están representadas por sus componentes

ortogonales. En la figura 14.1 Od se mu estra el diagram a de cuerpo libre del eslabón 4. El diagram a de cuer po li

br e d el es labó n 3 se p re se nta en la figu ra U .I O e. De sd e lue go, la ter cera le y d e Ne wton in dic a q ue F * y P*»tienen la m isma mag nitud y direcciones opuestas. Finalmente, el diagrama de cuerp o libre del eslabón 2 se ilus

tra en la figura 14.1Of. Com o cada eslabón tiene m ás de tres tuerzas desconocidas, las ecuaciones de equilibrio

de tod os los eslabones necesitarán resolverse simultáneamente.

11. Genere las ecuaciones de equilibrio d el eslabón 4

l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s d e e q u i l ib r i o d i n á m i c o s e g e n e r a n a p a r tir d e l d i ag r a m a d e c u e r p o l ib r e d e l e s l a b ó n 4

( f ig u r a 1 4 . 1 0 d ) .

2 F * + > F ¿ - 0 :

F Í l - F ¿ - F¿4 e os73.4* = 0

V*\ “ F ¿ - 18.03 Ib - 0

*«1 - F ' - W , - F ¿s en 73 .4 ° - 0

p Il “ Fü " l6 0-48 Ib - 0

+ 5 1 M d + > T ¿ - ( k

- F ¿[ 2 J3 f t (sen 59.4o» - F ¿J2 J3 f t (cas 59.4o» - W , |3 .0 f t(cos59.4°))

- F¿, |cos (73.4° - 30.6o» (3.0 ft] - = 0

+ T 2Fr + > F¿ = 0:

Y e)

f i g u ra 14.10 IC on tin ua ci ón ).

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362 CAPITU LO CATORCE

Sustituyendo los valores dados

- 2 .0 0 0 * 0 - I .I 86 1 *¿ - 3 13 .9 8 f t lb - O

12. Genere las ecua dones de equilibrio del eslabón 3

Las siguientes ecuaciones de equilibrio dinámico se generaron a partir del diagrama de cuerp o libre del eslabón

3 (figura 14.10e).

-*• 2 F ‘ + > F ¿ = a

+ T SF' + > F¿ - 0:

P Í » ~ F »2 - F á j e o s 8 9 .4 * = 0

P „ - Fj2 - a i 3 l b = 0

F* “ F¿ " W , - F ¿ sen89.4* - 0

F ¿ - P j j - 31.93 Ib - 0

+ ) 1 M b + > T ¿ - 0 :

F ¿ I3.0ft(cos 38 5')) - F ¿ [3.0ft(scn38.6°))(2.33 ft) 4 W ,[15 ft(cos38.6">)

+ F¿3 (eos(38.6* - 05* ) | [15 f t) - T¡,> - 0

Sustituyendo lo s valores,

2 3 4 4 F £ - 1 5 7 2 F J , + 3 4.95 f t lb - 0

13. Genere las ecuad ones d e equilibrio del eslabón 2

Las siguientes ecuaciones de equilibrio dinámico se generaron a p artir del diagram a de cu erpo libre del eslabón

2 (figura 14.10f).

s f * + > f; = O

+ t X F + > F¿ = 0:

F u + * 2Í + F ;2 £ O s7 8 ° = 0

Fú + F í i + 1 1 5 I b = 0

Fu + F /í “ W a - F j j se n78* - 0

F ¿ 4- F,r, - 20.43 Ib - 0

t > 2 M | - F > T f ' - 0:

T 2j 4- F ¿ |1.77 ft(scn 30°)1 * F ¿ ¡1.77 ft(cos30*)l - W2[05 9ft(cos30* )|

F¿ , | scn(78° - 30®)] [059 f t | - T¿¡ = 0

Sustituyendo lo s valores:

T¡, + 05 85 F2*3 4- 15 33 FJ , - 17.17 ftlb = 0

14. Re suelva las e cua don es de eq uil ibrio

Se generó u n total d e nueve ecuaciones de equilibrio. Com o se indicó anteriormente, la tercera ley de Newton es

tipula que las siguientes magnitudes son iguales.

F ¿ = P.M F *J = F34

F¿ = F£ F¿ = F¿

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A n á l i si s d e f u e r z a s d i n á m i c a s 3 63

De modo que permanecen nueve cantidades desconocidas. Resolviendo simultáneamente las nueve ecuaciones

de equilibrio, se obtienen los siguientes resultados:

F«'. " -78.41 Ib - 78.41 Ib —

F£ - + 58.38 b - 58J8 Ib T

F ¿ " - %.44 Ib - %-44 B) — *’ F j , - 96.44 b —

F ¿ - - 1 0 2. 09 b - 1 0 2. 09 b f r P j , - 1 02 .0 9 b l

Pj>“ -96.32 b - 96.32 Ib — r F,', - 9 6 J 2 b -

F*z "- 134X 13 b - 1 3 4. 03 b T y P j , - 134X 13 b i

F / . - ♦ 9 5 .1 7 b - 9 5 .1 7 b —

F Í , - * 1 5 4 .4 6 b - 1 54 .4 6 b T

- ♦ 307.88 ft Ib - 307.88 ft Ib. en sentido horario

PROBLEMAS

M a s a y m o m e n t o d e i n er c ia

1 4 - 1 . Se ha de te rminado qu e la masa de la b ie la de u n motorde combu st ión in te rna es de 2 .3 kg . Ca lcule el peso de

la biela.

14-2 . Una tenaza robó tica d e sujeción pesa 4.5 Ib. Determine

la ma sa d e la tenaza.

14-3. Una tenaza robó tica de sujeción pesa 4.5 Ib y tiene unradio de g i ro de 5 in e n re lac ión con a lg ún e je en el

centro de gravedad. D etermine el mo me nto de inercia

de la parte e n relación con ese eje.

1 4 - 4 . 0 eslabón de 6 kg de un mecanismo t iene un radio de

giro de 150 m m en relación con algún eje en el centro

de gravedad. D ete rmine e l mom ento de inerc ia de la[wrte en relación con ese eje.

1 4 - 5 . Para la par te mostrada en la f igura P14.5 , ca lcule

é mo me nto de inercia y el radio de giro, respecto al eje

longi tudina l centro ida l de un e je de t ran sm isión de

14 in de la rgo que pesa 5 Ib y t iene un d iámetrode 0.625 in.

( J b | H -------- longitudinal

E)e perpendicular a la longitud

f i g u r a p u j Pr ob le m as 5 a 8.

14-6 . Pi ra la par te m ostrada en la f igura P14.5 , calcule el

mo mento de inerc ia y e l rad io de g i ro respec to a u n e je

longi tudina l centro ida l de un e je de t ran sm isión de

1200 m m d e largo, cuya m asa es de 100 kg y tiene un

diámetro de 50 mm.

1 4 - 7 . La par te mostrada en la f igura PI4 .5 es un c i l indro

sólido de 2 ft de diáme tro, 3 ft de largo y qu e pesa 48 Ib.

D e te rm in e e l m o m e n to d e i n e rc ia r e sp e c to a su e jecentroidal axial.

1 4 - 8 . La par te m ostrada en la f igura P 14 .5 es u n c i l indro

sólido de 2 ft de diám etro, 3 ft de largo y qu e p esa 48 Ib.

Determine el m om ento d e inercia respecto al eje cen

troidal perpendicular a su longitud.

1 4 - 9 . La parte m ostrada en la figura P14.9 es un a varilla de l

gada de 14 in de largo, qu e gira alrededor de u n eje per

pen dic ula r a su lo n g it u d d e 3 in , a p a r ti r d e su ce nt rode gravedad. Si la varilla pesa 2 Ib y tiene u n diám etro de

1 .25 in . de te rm ine su m om ento de inerc ia a l rededor

de ese eje.

- L -

■ . . J -

F I G U R A P 1 4 . 9 Problem as 9 y 10.

1 4 - 1 0 . La parte mo strada en la figura P14.9 es u na varilla de lgada de 0.4 m d e largo, que gira alrededor de u n eje per

pen dic ula r a su lo n git u d y a 0.12 m d e su c e n tr o degravedad. Sabiendo que la varilla t iene una m asa de 6 kg,

determine su mom ento de inercia alrededor de ese eje.

14-11 . Determine el mom ento de inercia del eslabón de acero

(p " 0 .1 83 lb /in J ) m o s t r a d o e n l a f i g u ra P 1 4 . l l c o nres- p ecto al eje y.

0 0 .3 75 ’

F I G U R A P l 4. ll P r o b l e m a I I .

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1 4 - IX Dete rmine e l mom ento de inerc ia dd eslabón de acero

(p " 0183 Ib / in’) mo strado en la f igura P14.12 con res

pec to a l e je y.

Ü 3 75*

Fuerzas incrcialcs

14-13 . com presor mostra do e n la figura P14.13

e s im p u l sa d o e n se n t id o h o ra r io p o r u n m o to r d é c -

t r ico de corr ien te d i rec ta , a un a vdoc idad constante de8 00 rp m . En l a p o s id ó n m o s t r ad a , l a p res ió n d d a l i n

d o es de 70 p si y d p is tón pesa 0 .75 Ib. El coef idente def r i e d ó n e n t r e e l p is tó n y e l d l i n d ro d d c o m p re so r es

de 0.1. El peso de los de m ás eslabones es insignificante.

En el instante mo strado , determine el torque requerido

dd m otor para opera r e l compresor .

1 4 - 1 4 . f e ra d m e c a n ism o c o m p re so r d e sc ri to e n d p rob lem a

14-13, de te rmine d torque requer ido d d motor , s i estegi ra a 800 rpm y ace le ra a razón de 3000 Tadls’.

1 4 - 1 5 . f t t ra el mecanismo com presor descr ito en d problema

14-13, determine el torqu e requ erido d d motor, si este

gi ra a 800 rp m y desace lera a razón de 5000 rad/s2.

14—16. El m ecanismo m anipulado r de m ate r ia les presentado

en la figura P1 4.I6 desliza paquetes de 4 kg a lo largod e u n m o s t r a d o r . La m á q u in a fu n c io n a c o n l a m a n i

ve la qu e g i ra en sent ido ant iho rar io a una ve loc idad

constante de 120 rpm . El coeficiente d e fricción ciné

t ica ent re d paque te y d mo strador es de 0 .15 . El pesode todo s los eslabones del mecanismo es insignificante.Dete rmine d torque instantáneo requer ido de l motor

po ra o p e ra r e ste m ec an is m o.

1 4 - 1 7 . Para el mecanismo m anipulad or d e m ateriales descrito

e n d p ro b le m a 1 4-16 , d e t e rm in e d t o rq u e r e q u e r i

do de l m otor , s i este g i ra a 120 rpm y ace le ra a una

razón de 100 rad/s2.

1 4 - 1 8 . f t i ra e l m ecanismo man ipulador d e mate ria les descr i to

e n e l p ro b lem a 1 4 -1 6, d e t e rm in e d t o rq u e r e q u e r id o

del m otor , s i este g i ra a 120 rpm y desace le ra a una

razón de 100 rad/s .

f i g u r a P 14.16 Pro ble m as 1 6 a 18.

Tbrques inerciales

L a f ig u r a P 1 4 . 1 9 i l u s tr a u n e s l a b ó n q u e p e s a 4 I b y g ir a e n s em i d o h o

c i n o a 2 0 r a d / s . E n lo s p r o b le m a s 1 4 -1 9 y 1 4 - 2 0 d e t e r m i n e t i m a g n i t u d

i k l a fu e r z a i n e r d a l y e l t o i q u e i n c r d a l e n e l c r n l n » d e g r a v e d a d , s i:

f i g u r a P 14.19 Pro blem as 19 y 20.

1 4 - 1 9 . El eslabón aed era a 600 ra d/s2.

1 4 - 2 0 . El eslabón desa edera a 600 rad/s2.La figura P14.21 m uestra un eslabón d e 10 kg que gir a en

se n t id o a n t ih o ra r io a 1 5 r a d / s . D e te rm in e l a m a g n i tu d d e l a

fuerza inerda l y d torque inerda l en d centro de gravedad, sú

1 4 - 2 1 . El eslabón aed era a 400 rad/s2.

14- 22 . El eslabón desaedera a 400 rad/s2.

14-23. La figura P14.23 presenta un mecanismo d e manivela-

corredera . El eslabón 2 g i ra en sent ido h orar io a una

ve loddad constante de 200 rad/s . El peso dd eslabón 2es insignif icante , d eslabón 3 pesa 3 Ib y d eslabón 4

pe sa 2 Ib . El r ad io d e g ir o d d es la bón 3 re sp ec to al c en-

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3. La fuerza y el torque inercialesdel eslabón 4,

4 . Las fuerzas en los pern os de B y C y

5. 0 torque para imp ulsar e l mecanismo en esta posic ión .

14-26 . Repita el pro blem a 14-25 con p = 90®.

14-27 . La f igura P14.27 i lust ra un pequeño ga to h idráulico .

En este instante, se aplica al mango un a fuerza de 10 Ib,

lo cual provoca que el eslabón de 3.5 in gire en sentido

horario a razón con stante de 5 rad/s. El peso de lo s eslabones 2 y 3 es insignificante, y el esla bón 4 pe sa 1.5 Ib.

Determ ine lo siguiente:

1 5 0 m m v * y

—¡ l~ - 1 5 m m

f i g u r a P I 4 J 1 Problem as 21 y 22.

f i g u r a Pi 0 3 Problemas 23 y 24.

t ro de gravedad es de 3 in . Para P - 45°, determ ine lo

siguiente:

1. La aceleración lineal del eslabón 4 y el centro de grave

dad del eslabón 3,

2. La aceleración angular del eslabón 3,

3 . la fuerza y el torq ue inerciales del acoplador,

4. Las fuerzas en los pernos de B y C y

5. 0 torque para impulsar e l mecanismo en esta posición .

U - 2 4 . Repita el pro blem a 14-23 con p = 120°.

1 4 - 2 5 . La figura P14.25 mue stra un mecanismo de cuatro ba

rras. El eslabón 2 gira en sentido antiho rario a u na ve-

b d d a d co nsta nte de 10 rad /s . El pe so de lo s es labo ne s2 y 3 es insignificante, y el eslabó n 4 pes a 17 kg. El radio

de g i ro de l eslabón 4 en re lac ión con e l centro de

gravedad es de 45 mm. Para P - 45*, de te rm ine lo

siguiente:

1. La aceleración lineal d d centro d e gravedad de l esla

b ó n 4,

2 . La acd era dó n angula r de l eslabón 4,

f i g u r a P 1 4 J S P r o b l e m a s 2 5 y 2 6 .

fi g u ra PI4.27 Pro blem a 27.

1 . La acd erad ón l inea l de l p is tón ,2 . La fuerza inerda l dd eslabón 4 ,

3 . Las fuerzas en los pern os y

4 . La fuerza desarro l lada sob re e l p is tón po r e l f lu ido

hidráulico.

1 4 - 2 8 . La f igura P14.28 i lust ra un mecanismo t ransportador

de transferencia. El eslabón impulsor gira en sentido

ant ihorano a u na razón constante de 25 rpm . Com o se

indica, la caja pesa 50 Ib. F.1 peso d d eslabón im pu lsor y

d acoplad ores insignificante. El peso del eslabón tran s

p o r ta d o r es d e 28 Ib y el cen tr o de g ra ve da d es tá e n su

p u n to m ed io . El ra d io de gi ro del es labó n tr an sp o rt a

dor en re lación con d centro de gravedad es de 26 in.

Para p = 30°, determ ine gráficamente lo siguiente:

F IG U R A P 1 4 -2 8 P r o b l e m a s 28 y 29.

1. La aceleración lineal d d centro de gravedad d d eslabón

transportador,

2. La aceleración angular dd eslabón transportado r,

3. l a fu erz a y el torque inerciales del eslabón transpor

tador.

4. Las fuerzas en los pern os y

5. El torque requer ido para impulsar d mecanismo.

14-29. Repita el problem a 14- 28 con 0 - 100*.

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ESTUDIO DE CASO

14-1 La f igura El4 .1 es un mecanismo que proporc io-

m m ovimiento a las correderas C y D y se utiliza en

una m áquina de desmonta je de a lambre . Examine cui-

h g u r a F.I4.I (Co rtesía de Ind ustr ial Press).

dadosam ente las comp onentes de l mecanismo y , lue

go, conteste las siguientes preguntas para ob ten er ma

yor conocim iento acerca de su funcionamiento.

1 . Descr iba e l movimiento de l engran e H c u a n d o e l en

grane A gira en sentido horario.

2. Cua ndo el engrane A gira en sentido horario , ¿cuál es el

mov imiento inmedia to d e la corredera C?

3. Com ente la acc ión qu e ocurre cuando e l perno E al

canza e l ex t remo d e la ranura .

4 . Comente con exac t itud e l movimiento cont inuo d e las

correderas C y E.

5 . Co m e n te c ó m o se u sa r l a p o s ib l e m e n te e s t e m o v i

miento en u na máquina de desmonta je de a lambre .

6 . ¿Cuál es el pro pós ito del resorte G?

7. ¿Cómo cambiar la este m ecanismo si se insta la ra un re

sorte “más rígido”?

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RESPUESTAS A PROB LEM AS PARES

SELECCIONADOS

C a p i t u lo I1-26. n = 4 . jp = 4 . * , = 0 , M = 1

1-28. n = 4, ; p = 4 , j , = 0 . M = 1

1-30. n = 4 , jy = 4 , / h = 0 , M = 1

1-32. „ - 6 , / p - 7 , / h - 0 . M - 1

1-34. n - 4 , ¿ - 4 . Á - 0 , M - 1

1-36. n = 4, jp = 4, j¡, = 0, M = 1

1-38. rt = 6, jp = 7. ñ, = 0, M = 1

1-40. n = 6, jp = 7 . j h = 0 . M = 1

1-42. n = 6 . jp = 7 , j ), = 0 . M = 1

1-44. n - 9 , ) p - l l , ) h - 0 . M - 2

1-46. n - 4 , j p ~ 4 , j h - 0 , M - l

1-48. n = 8 , /p = 10 . ;h = O.M = 11-50. n = 6, jp = 7 , j h = 0. M = 1

1—52 M ani vela -bal and n

1—5 4 Man ivel a-ba lanc ín

C a p i t u lo 3

3-2 . A = 173 in

3-4 . R - 12 in

3-6 . i - 156.6 mm

3 - 8 . x - 1 13 i n y - 16.4 in

3-10. s ■ 175 mm

3-12. L = 8 f t . 8 i n

3-14. h - l l j f t3-16. y * 11.7 ft

3-18. h - 83.1 in

3-20. R - 24.18

3-22. R = 212.13

3-24. R - 221.20

3-26. R = 24.18

3-28. R = 212.13

3-30. R = 2212

3-32. | - 8 .074

3 -3 4. 1 = 5 5 87

3-36. I = 212.13

3-38. I = 8.074

3 -4 0 . J - 5 5 8 7

3-12. |

3-4 4. I = 26X194

3-46. | = 109.76

3-48. I = 101.68

3-52. 1 - 26.10

3-54. I - 109.8

3-56. | - 101.68

3 -5 8 . C - 1 9 22

E= 1752

3 - 60 . B - 8 8 1 C - 117 .7

3-62. D - 38.12 F - 238.9

C a p í tu l o 4

4-2. Ax - 2.189 in —*

4-4. A Rv « 8 .420 in \g75°

4-6. AApuan = 47.10 m m *—

4-8 . A0ram^ = 23.0° , sent ido ant ihorar io

4-10. A R rtVf mo = 20 29 in 55.1C\

4-12. &0n „go - 222". sentido antihorario

4-14. A 0,,clt - 176*. sentido antihorario

4 - 16 . A R a n e o - 2 2 64 4 i n 4 4 . 9 * \4-18 . A0Mngo = 34.4". sentido antihorario

4-20. A f i^ , = 165" , sent ido horar io

4 -2 2. A J U ™ = 203.4 7 3 ^

4-24. ARrau j<ff - 249.7 mm /3s .5"

4 -2 6. ARa - - 0 5 7 9 m i

4-28 . A ¿alma™ - 136 6 in

4-30. AR j j - 2962 m m 8 5 . 2 * \

4-32 . A Í 1M1I = 1.118 in. más corto

4-34. A0 ,!,!, = 383*. sentido horario

4-36. A0a j, = 148*. sentido antihorario

4-38. ARP - 7247 10 .<£/

4-40. ARj„Mn - 6682 mm *-4-42. AR.no = 1570 in i

4-4 4. A®«iíU. = 14.4*. sen tido horario

4-46. A 0 m a 0 tm fu lt r = 168". cw

4-48 . A ¿dlnd[0 ■ 68.1 m m . más corto

4-50. ARa nimaloi - 0 56 2 m i

4 - 52 . A R e . ■ 30 87 m m / 1 6 5 2 a

4-54. A " 5 5" . sentido horario

4 -5 6. ( A R p . a J , * , = 9 0 8 m m

4-58. = 465"

4-60. ( A f ie U . ** 5 76"

4 - 62 . ( A e . i c J m a = 2 95 "

4-64. (ARO.CÜI.U, - 1513 in4-66. (AflnoanmoolirapúdofJnU = 72

4-68. ( A R ^ ^ U , = 4450 m m

C a p i tu l o 5

3-2. P = 49.1°, <u = 109 rp m

5 -4 . / , = a i 8 8S .ÍJ = 0 .1 4 2 s

5 -6 . M = 0 0 6 7 s . í j = 0 5 3 s

5-8. Q = 1.7! 4 ,w = 63 2 rpm

5 -1 0. Q - 2 88 3.o» - 1 6 22 rpm

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36 8 R e s p u e s t a s » p r o b l e m a s p a r e s s e l e c c io n a d o s

5-12. L j = 4 m m , o> = 750 rpm

5-14. 0 = 20*. o» = 100 rp m

5-16. p = 12.6°, tu = 4286 rpm

5-18. P - 8 5 ® ,« - 1818 rp m

5-20. p - 0®.a» = 17.14 rpm

5-22. p - 195®, o . - 33J rpm

5-24. 0 - 16.36®, w = 200 rpm

5-26. P = 857", ü> = 300 rpm5-28. p = 692®. o> = 40 rpm

5-30 . 0 = 49.09®, <u = 175 rpm

5-32. p - 5143®, m - 2 40 rpm

C a p i tu l o 6

6 -2 . A l - 3 7.5 s

6-4 . v ■ 2257 min/h

6- 6- «"rato ” -0167 rpm

6 -8 . A RS0Ui - 7 2 in

6-10 . ARgou) = 7 5 in

6-12. V = 12556 ft/min

6 - 14 . V f l - 9 0 f t /s ^ 2 0 *6-16. Vft(, - 5.94 ft/s /59 .4®

£-18. VA. * - 15 .72 f t/ s 2 5 .9 * \

6 -2 0 . V - 2 72 5 5 in / s —

6 -2 2. V ^ a u = 5 9 5 3 i n /s —

6-24. = 5.94 in/sl

6-26 . “ bnwiimpjOo, = 25 0 rad/s, sentido antihorario

6-28. í^ n ^i í ■ 085 rad/s, sentido horario

6-30. - 2532 rad/s, sentido antihorario

6-32 . Vtojd<aifU = 112.91 m m /sí

6-34 . Váiind(0 = 45 9 in/s, compresión

6-36. Vriliand„ « ho = 15058 in/s 4 5 ¿ /

6 - 38 . V , . ^ , = 775 m m / s —*6-40. - 15.99 ft/min / 2 . 9 °

6 -4 2. V ^ a u - 1 12 54 in /s -

6-44. «WcluntuOor = 188 rad /s sentido horario

6- 46 . w*BnMnto«i*r»n« ■ 382 7 rad /s, se nt ido hora rio

6-48 . Vannaro = 45 9 in/s, compresión

6 -5 0. V w , = 953 m m /s —

6-74 . VpáujH - 230 5 in/s •—

6 -7 6. V ^ a u - 4 82 in /s l

6-7 8. war-(iirdc»gvií “ 1545 rad /s, sen tido horario

6-80. = 0.071 rad/s, sentido antihorario

6 -8 2 . = 2 8 8 5 in /s 4 5 £ /

6 -8 4. V ^ a ^ - 12.79 f t/m in /^ 2.9 ®6-86 . Vonhau = 91.11 in /s —»

6-8 8. a»br.íolinijúdoi “ 31 46 rad/s , sentido horario

6- 90 . Wnsmcntodccngmcí - 5.421 rad/s, se ntid o hora rio

6-92 . VáUnan, = 254 in/s, compresión

6-94. V -2 .A ,» ^, a = 10.60 f t/ s2

C a p i tu l o 7

7 - 4 . A R , - 40 m m t

7- 6. = 982 rad/s2, sentido horario

7-8. = 78 5 rad/s*. sentido horario

7 -1 0 . A V m a d or - 8 5 in

7-12. A R * ^ ^ - 1 5 in l

7- 14 . ARMUMjor = 10 in

7-16 . AS = 17,770 in/s1 7 0 ^ /

7-18. A„ = 22872 in/s* ^ 1 0 *

7-20. A , - 5158 in/s2 6.9* \

7-22. A** - 25.46 mm/*2 11 5® \7-2 4. AOJI - 155 ft/s2 425® \

7-26. A^wn - 31541 in/s2 -*

7-28. A p ,^ = 37 ,194 in/s2 -»

7-30. A ,ul< = 29571 m m /s ' f

7-32. A ^^ im - 58.97 in/s2 —

7-34. A ^ u ! , - 103.73 in /s2 -

7-36. Oahtiio ■ 55 2 rad/s2, sentido horario

7-38. a >w .,iu 3 98 0 rad/s2, sentido antihorario

7-40. o»^r .!. = 7 85 5 rad/s2, sentido horario

7-4 2. = 20 8 rad/s2, sentido horario

7-44 . ApIt0n = 93,195 in/s2 —

7 -60 . A ^f f l - 9 00 m m /s2 / V7-62. A'gva ; - 900 mm/s2 6 0 ¿ /

C a p i tu l o 8

(Los resultados del programa/hoja de cálculo se presentan con un

ángu lo de manivela de 120°)

8-2. AR, = 123.9 m m a 9¡ = 120®

8-4. 6 , = 165* a 0 , = 120“

8 -6 . V , - -2 5 7 7 m m /s a f l , - 120"

8-8. o», ■ 35 7 rad fca 02 ■ 120®

8-10. A, = 2349 mm /s2 a0¡ - 120®

8-12 . o», - 204.4 rad /s a fl2 = 120®

C a p i tu l o 9

9-14. = 10 .9 rpm. V ^ , = 05 in /s

9-16. - 42 .9 rpm, Vmj,- 4 .0 in /s

9-18. o»It J - 13.3 rpm. - 25 in/s

9-20. o * , . - 17.1rpm. Vmu - 3.1 in/s

9 -2 2. a v . . = 20 r pm , V ^ , = 2 0 i n /s

9 -2 8 . a v ,a = 9 .4 rp m . V ^ , = a 9 4 in /s

9-30. V ^ . - 1 5 5 i n /s , A ^ , = 3 .13 in /s 2

9 -3 2 . V™,, - 8 0 m m /s . Am Jl - 8 0 m m /s2

9-34. Vnu, - 189 mm /s. A»*, - 2961 mm/s2

9 -36 . V mj , - 1 4 3 in /s , A ,^ , - 6 4 1 in / s2

9-62. = 7.46 rad/s, o ^ i = 123 rad/s2

C api tu lo 10

10-2. p = 0 5 9 3 in

10-4. D = 81 mm

10-6. mp - 153

10-8. mp = 1.47

10-10. C = 1.125 in

10-12. D, = 2 ¡ n , D j = 4 5 in

10-14. C- 3 5 in

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Re spu estas a p rob lem a* pare» sele cció nado s_________369

10-16. V, = 67.7 in/s

10-18. V, = 903 in/s

10-20. N , = 24 dientes. N ¡ = 96 dientes

10-22. Pd - 8. N, - 16. N , « 6 1

10-24. P j = 4 . N, - 20. N¡ « 60

10-26. Pj - 12

10-28. D, = 3.0 in, D¡ = 1333 in

10-30. D, = 2X» in. D¡ = 1025 in10-32. P j = 12, D, = 40» in. D¡ = 24.0 in

10-34. A0 = 2.12 rev

10-36. As - 42.4 in

10-38. cu - 106 rpm

10-40. p n = 0 2 8 in

10-42. P j m T&, N\ = 19. N, = 38

10-44. y , = 14.9", y , = 75.1*

10-46. y , = 10.4".y g = 646*

10-48. P j - 1 2, N„. - 2 . N , - 5 0, A - 5 '

10-50. cu5 - 100 rpm . sentido hoarío c ■ 8 3 in

10-52. oia - 30 rpm, sentido horario; C - 17.97 in

10-54. s, = 0.74 in. c = 4625 in10-56. P j = 8

10-58. cu, = 3576 rpm

1 0-60 . « , - 2 52 0 rpm . C - 9 in

10-62. N ■ 17 - 6 8 .1 7 - 6 8 .1 8 - 45 ,1 8 - 45 .17- 34

10-64. Aflw-..-. - 8° sentido antihorario

10-66 . A O ^un , = 106° sentido antihorario

10-68. cu4 = 2160 rpm. sentido horario

10-70. cu6 = 536 rpm , sentido horario

10-72. cu» = 378 rpm, sentido antihorario

C a p í t u l o 1 1

11-2. cu,, = 479 rpm . sentido horario11 -4. cu„| - 3 1 3 rpm. sentido antihorario

11-6. cu,,, ■ 2700 rpm . sentido antihorario

11-8. c - 22375 in, T = 162*

11-10. c = 25618 in ,0 * 144'

11-12. 5V correa

11-14. 3V correa

11-16. 3V correa

11-18. cu,, - 84 rpm. sentido horario

11-20. tu<m ■ 76 0 rpm , sen tido horario

11-22. c = 48.724 in. 0 = 125'

11-24. c = 52.424 in. 0 = 9 6 '

11-26. No . 80 cadena11-28. No . 100 cadena

C a p í t u l o 12

12-2. p - .0357 in . A - 2 .87°

12-4. p - . 02 0 i n, A - 3 6 5 '

12-6. A R.n o, - 2 3 i n t

1 2-8 . A R ra ,^ = 0 .1 54 i n t

12-10. ARpUa = 2 .756 in i

12-12. ARpUtarariTu “ 2 36 4 in 2 9 . $ /

12-14. A Rrioono " &445 in /2 8 .3 '12-16. A K ^ m - 0.921 in A b .7 '

12-18. V . n « - 0 .1 67 i n / s i

12-20. Vmaa = 0.154 in ./s t

12-22. V f iMA n M» 7 2 3 6 in / s f a .8"

12-34. e = 26%

12-36. t = 47.2%

12-38. t - 2 4.5%

1 2-4 0. MIO X 1 3 0 y M8 X \2 5

C a p í t u l o 13

13-2. R - 2 48 / 6 6 *

13-4 . Ai = 200 in Ibs, sentido horario13-6. Af = 188 in Ibs. sentido horario

13-8. Af = 18.9 Nm . sentido horario

13-10. F,„ - 3733 lbs(C)

13-12. » W . I - 868 N i

13-14. Fw lli randa “ 120Olb(C>

13-16. di. frontal - 2137 lbs(C>

a l. trasero = 7182 Ibs(C)

13-18. d i . f rontal = 5000lbs(T)

di. trasero = U.110lbs(C)

C a p í t u l o 14

14-2. m = 0.14 slugs14-4. / = 0 .135 kg m 1

14-6. I , - 31 -25 lg m 1

14-8. / , - l .49 lb f ts2

14-10. I , = 0 .166 kgm 2

14-12. lylg = 0.00626 Ib in s1

14-14. Tmclc, = 199.49 in Ibs, sentid o horario

14-16. T m c t a = 14.04 Nm. sentido antihorario

14-18. Tmaor - 10.22 Nm , sentido antihorario

14-20. FJ* = 52 25 Ibs f 3.7*

T¡g = 1323 in Ibs, sentido horario

14-22. F;s = 1377 N ^49.4°

T¡t = 193 Nm. sentido antihorario

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REFERENCIAS

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ÍND ICE ANALÍTICO

A

A c e l e r a c i ó n , 1 7 0 . 1 7 8 . 3 4 6

a n á l i s is d e , 1 7 0 . 1 8 8

r e la t iv o . 1 8 8

« s g u l a r , 1 7 3 , 1 8 4

c o n t a n t e . 1 7 3

c o m p o n e n t e s d e b . 18 7

c o n s t a n t e . 1 7 1

c o n t o r n i l l o i m p u l s a d o , 3 2 8

c u r v a s d e . 2 1 2

d e C o r i o h s , 1 9 7 .2 1 0

m e c a n i s m o c o n , 2 11

d e U g r a v e d a d , 3 4 6

d r p u n t a s s o b re u n e s la b ó n , 2 1 0

d e u n e s l ab ó n , 1 73d r u n p u n t o e n g e n e r a l , 1 91

d e s e a J a , 1 9 8

d ü g r a m a d e , 1 8 4 . 35 9

e n g e n e r a l , 2 0 6

i m a g e n d e . 1 9 6

l i n e a l. 1 7 0 , 1 7 1 , 1 7 3

t fc p u n t o s q u e s e m u e r e n e n l i n e a r e ct a ,

17 0

n o r m a l . 1 7 3 , 1 7 5 , 1 7 6 , 1 7 8

y t a n g e n c i a l . 1 7 4 , 1 7 6 . 2 0 6

p u r i r o r t r o s d e m o v im ie n to d u r a n t e l x 17 2

p e rf il d e v e lo c id a d y , 17 1

p o lí g o n o d e , 17 9

r e c t i l í n e a c o n s t a n t e . 1 71r e la t iv a . 1 7 7

c o m p o n e n t e s d e l a, 1 7 9

e c u a c i ó n d e . 1 8 9

t a n g e n c i a l. 1 7 3 , 1 7 4 . 1 7 8

t o t a l . 1 7 5

u s an d o W o rk in g M o d e U l 3

A c t u a d o c l e s ) . 4

d e t o m a i o . 13

e i m p u l s o r e s , 1 2

A d e n d o , 2 6 2 ,2 6 7

A n á l i s i s , 2

d n c m á t k o , 22 3

d i s e ñ o y , 2 2 3

y s e l e c c ió n , 2 Mc o m p l e t o d e v e l o c id a d . 1 99

d e a c e l e r a c i ó n , 1 70

relativo , 181

d r f u e r a s e s t át ic a s , 33 0

d e l d e s p l a z a m i e n t o . 10 6

d e m e o m á m o s a s is ti d o p o r c o m p u t a d o ra ,

2 1 5

d e p o s i c i ó n y d e s p l a z a m i e n t o . 7 2

d e v e l o c i d a d . 1 2 3

c o m p l e t o , 19 9

p ro m é t ri c o d e l a c o n f ig u r a c ió n o r ig in a l. 82

g r á f i c o , 8 7

d e p o s i d ó n , 9 4

d e v d o d d a d . 1 3 0 ,1 4 9

v e c t o r i a l g r á f i c o , 4 3

c a n o á m i e n t o d e t r ig o n o m e t r ía r e q u e r i

d o » p a r a c L 4 4

c o n o c i m i e n t o re q u e r i d o s p a r a e l . 4 4

c o n o c i m i e n to r e q u e ri d o s d e C A D p a r a

e l . 4 4

t é c n ic a s d e d i b u j o r e q u e r id a s p a r a e l , 4 4

A n c h o d e c a r a , 2 62

A n g u l o ! » )

d e a v a n c e , 3 1 6

d r c o n t a c t o . 3 0 4

d e c u e r d a i n c l u i d o . 3 2 3

d e d e s p l a z a m i e n t o , 1 1 5

d r h é l i c e . 26 1

d é l a m a n i v e l a ,4 8

d e p r e s i ó n , 2 4 2 , 2 6 4 , 2 7 6

d e o p e r a c i ó n , 2 7 3

d r t r a n s m i s i ó n , 11 6

d d e j e . 2 8 5

m d u i d o , 3 1 6

n t e r i o r ( e s ) , 4 8 , 5 8

A r m a d u r a , 8

A u t o b l o q u e o , 2 8 7

A v a n c e , 3 1 7 , 3 1 8

BB a f a n e tn

b ra z o d e . 4

d o b l e , 2 0

m a n i v e f a - , 2 0

t r i p l e , 2 0

B a n c a d a , 2 , 8 . U , 1 3 . 1 5 ,1 7

B r a zo d e b a l a n d n , 4

cC a d e n a ! s ) , 3 0 8

a b i e r t a s o c e r r a d a s , 4

d e r o d i l l o . 3 0 8d e t r a m o m ú l t ip l e s , 3 0 8

b n g t t u d d e c a d e n a , 31 1

m u l t it r a m o s 3 09

p a t o d e . 3 09

t i p o s d e , 3 0 8

C a m i ó n d e a r r a s t re . 4 6

C a r r e r a , 1 13

d e u n m e c a n i s m o d e m a n i v e l a -c o r re d e r a,

11 4

C e n t r o ! » )

d e g r a v e d a d , 3 4 7 , 3 5 9

d e r o t a c i ó n , 1 4 2

d i s t a n c i a e n t r e , 2 6 8 , 3 0 4 . 3 1 1

i n s t a n t á n e o , 1 4 3 , 1 4 4 , 1 6 6

d i a g r a m a d e . 1 4 4 ,1 4 5 , 1 4 7

p r in c ip a le s . 1 4 5 .1 4 7

u b i c a c i ó n d e . 1 65

l o c a l iz a c i ó n d e , i n s t a n t á n e o s 14 2

p ri n c i p a le s , 14 3

C i e l o c o m p l e t o . 9 4 , 9 6

C i l i n d r o s h i d r á u l i c o s o n e u m á t i c o » , 12

C i n e m á t ic a , 1 , 2

d e l a c r e m a l l e ra y e l p i f i ó n , 2 8 1

d d s e g u i d o r , 2 32

d e t o r n i l l o s 3 1 8

d e u n a c a d e n a , 3 14

d e u n a c o r r e a , 31 3

d e u n a t ra n s m i s ió n

d e c o r r e a . 3 0 5

d e c a d e n a , 3 1 1 ,3 1 4

cfc u n e n g r a n e ! t ) , 2 7 3

c ó n i c o s 2 8 5

h e l i c o i d a l , 2 8 2

á n f i n . 2 8 6

m v e n ¿ 6 n .8

r e p r e s e n t a c i ó n , 5

C i r c u l o

d e p a s o . 2 6 2

p r im a r i o , 2 3 7

C i r c u i t o

d e f e c t o d e . 1 1 9d e u n m e c a n i sm o d e c u a t r o b a r r a s 8 7

C o e f i c i e n t e d e f r i c c i ó n , 34 1

C o m p o n e n t e s d e f a a c e l e r a c ió n , 1 8 7 . 1 95

C o n f i g u r a c ió n d e l m e c a n i s m o , 7 4

C o n s t a n t e

a c e l e r a c i ó n , 2 2 8

m o v i m i e n t o c o n , 2 2 9

v e l o c i d a d ,2 2 8

C o r r e a ! t ) . 3 0 2

d n e m á t ic a d e u n a t ra n s m i s i ó n d e , 3 0 5

c o r r u g a d a , 3 0 3

d e d s t r f c u c i ó n , 3 0 3

p to m e t r fa d e l a t r a n s m i s ió n d e , 3 0 4

b n g u t u d d e b , 30 4v e l o d d a d d e l a . 3 0 1

C r e m a l l e r a y p i f ió n . 2 9 6

C r i te r i o d e G r a s h o f , 1 9

C u e n l a l s ) , 2 6 2

A C M E , 31 7

c a n s í c r is t ic a s d e l a s 3 1 6

ú i * l r a d a s 3 17

d i m e n s i o n e s e s t á n d a r d e u n a , 3 1 9

f o r m a s d e , 3 1 6

m é t r i c a s 3 17

n ú m e r o d e , 31 7

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372 Indice ana lítico

o r ie n t a c i ó n d e 1 * 3 2 0

u n i f i c a d a s , 3 1 7

C u e r p o ! s )

c o m p u e s t o s , 3 51

U b r e , d i a g r a m a d e , 3 3 3

O i r v a í s )

d e i n s o l u t a , d e u n c i r c u l o , 2 6 4

d e p a s o , 2 3 7

d e v e l o c i d a d . 1 5 5 , 1 6 7

d e l a c o p l a d o r . 10 1

D e d e n d o , 2 6 2

D e f e c t o

d e c i r c u i t o , 1 1 9

d e r a m i f i c a c i ó n , 1 2 0

D e s c e n s o

a r m ó n i c o , 23 1

c i c l o i d a l . 2 3 3

D e s p l a z a m i e n t o , 1 7 1

a n á f is i s d e . 7 4 . 1 0 6

c i t g u l a r . 7 3 , 1 7 3d e l o s e s l a bo n e s i m p u l s a d o s ,7 5

d e l t o r n i l l o . 3 2 0

d e u n s i m p l e e s l a b ó n i m p ú l s a l o , 74

d e s e a d o , 81

d ú g r a m i d c l , 2 27

a r m ó n i c o , 2 3 2

l i n e a l ,7 3

p o s i d ó n y , a n á li s is d e , 7 2

p o h n o m ia L 23 6

p ro b le m a s d e . u s a n d o W o r k in g M o d e l, 1 07

r e s u l t a n te , 8 3 . 8 7

D e t e n c i ó n . 2 2 6

D i a g r a m a ! s )

d n e m á t i c o !s >. 5 , 8 - 1 1 , 1 4 - 1 7 , 7 8 - 8 4 , 9 0 - 9 1 ,

1 2 7 - 1 3 3 , 1 3 5 - 1 3 7 , 1 7 7 , 1 8 3 , 1 9 2 , 3 5 8

d e a c e l e r a c i ó n . 1 8 7 , 1 9 5 ,3 5 9

d e c e n t r o s i n s t a n t á n e o s , 1 44

d e c u e r p o I fc re . 3 3 3 , 3 3 8 , 3 4 2 , 3 5 5 , 3 6 1

d e d e s p l a z a m i e n t o . 9 8 , 9 9 , 1 0 7

a r m ó n i c o , 2 3 2

d e l s e g u i d o r . 2 2 5

d e t i e r o p o . U O . 1 12

d e v e c t o r a . 4 9 .5 0

s e c t o r i a l 5 6 , 5 7 , 5 8

D i á m e t r o

b a s e . 2 6 2

d e p a s o . 2 6 8 . 3 0 4 , 3 1 0 , 3 1 6

■ Jea l d e l i p o l e a i m p u l s o r a . 3 0 6

m a y o r . 3 1 6

m e n o r . 3 1 6

D i e n t e s

d e e n g r a n e s i n f í n . 2 8 6

d e m u A ó n , 2 71

n ú m e r o d e . 2 6 2 , 2 6 4 , 2 7 6 .3 1 0

p e rf il e s d e . 2 67 ,

d e m v o h l t * 2 6 4

( j i c n o s o n i n v o l u t * 2 6 7

D i f e r e n c i a l e s

g r á f icas , 1 5 7

r u m í r i c a s , 1 5 9

D i m e n s i o n e s e s t á n d a r d e u n a c u e r d a , 3 1 9

D i r e c c i ó n d e l a r e a c c i ó n , 3 3 4

D i s c n o ( s )

a n á l i s is c i n e m á t i c o y , 2 2 3

a n a l í t i c o d e t p e r f il d e u n a l e v a d e d i s c o , 2 4 3

d e m e c a n i s m o s , 1 09

d e m a n í s e l a - t u l a n d n . 1 20

d e m a n i s e l a - c e p i l l o , 1 1 7 , 1 2 0

d e m a n i v c l a - c o r t e d e r * 1 1 3

d e t r e n e s d e e n g r a n e s . 2 98

p i f i o d e l p e rf il d e u n a le v a d e d is c o , 2 3 7

l i m i t a c i o n e s d e l , 2 43

e n t r e c e n t r o s , 3 0 4 , 3 11

l e r p e n d i c u l a r , 3 31

d e c a d a c o m p o n e n t e , 3 3 2

E c u a d ó n ( e s )d e a n á l i s i s d e p o s i c i ó n , 8 1 , 8 4

d e e n g r a n e s p l a n e t a r io s , 2 9 3

d e e q u i l i b r i o . 3 3 7 . 3 4 0 , 3 4 2 , 3 5 5 , 3 6 1

d r G r u e b l e r , 8 ,1 6

a c e p c i ó n d e 1 * 18

d e m o v i l id a d , 1 6

d e p o s i d ó n p a r a u n m e c a n is m o c e r r a da

d e c u a t r o b u r r a s , 87

d e t e l o d d a d r e la t iv a , a d e c u a d * 131

g e n e r a l e s , 2 1 9

v e c t o r ia l e s ), 6 0 6 5

a p l i c a c i ó n d e , 6 2

g e n e r a l e s , 7 0

E f i c i e n c i a . 3 2 3E l e m e n t o co n d o s f u e r a s , 3 3 5

E l e v a c i ó n

a r m ó n i c * 23 1

d d o i d a l 2 33

E n g r a n e ! s ) , 2 6 0

a c o p l a d o s , 2 63

a n á l i s is p o r e c u a c i ó n d e . p l a n e t a r i a s , 2 91

m u l a r ! e s ) , 26 1

o d e a n i ll o , 2 9 0

c i n e m á t i c a d e . 2 9 5

t a n u n a d t s U n c u e n t r e c e n t ro s , 2 95

c ó n i c o s , 2 6 1 , 2 9 7

d e c a t i k g o , 2 9 6

d e e s p i n a d e p e s c a d o , 2 61

d e i n g l e t e . 2 6 2

d B e f l o d e t r e n e s d e , 2 9 8

e s t á n d a r . 2 6 6

p o m e t r k a d e , re c to s , 2 9 5

h e l i c o i d a l e s ) , 2 61

c i n e m á t i c a d e u n , 28 2

d o b l e s , 2 6 1

« s t e m o s . 2 61

m e c a n i s m o d e , i m p u l s a d o s . 2 9 8

r e c t o , 2 6 2

r e l a c i o n e s d e l o s , 2 6 8

r e v e r s i b l e . 2 8 7

s e l e c c i ó n d e u n , 2 7 5

s i n f i n . 2 6 2 , 2 9 7

d i e n t e s d e . 2 8 6

t i p o s d e , 2 6 1

t r e n e s d e , 2 9 7

v d o d d a d d e u n . 2 75

E q u i l i b r i o

d i n á m i c o , 3 3 0 , 3 4 6

e c u a c i o n e s d e . 3 3 7

e s t á t i c o , 3 3 0 , 3 3 5

E s c a l a r l e s ) , 4 3

y v e c t o r e s , 4 3

E s f a bó n ( es ) , 2 . 8 , 1 0 , 1 1 , 1 4 .1 6 , 1 7

c o m p l e jo , 4 , 5

c r e a r u n , 37

d e t e n s i ó n o d e c o m p r e s ió n , 94

d e s p l az a m i e n to d e l 7 8

f l o t a n t e , 1 7 9

k n p u l s o r . 7 7 , 7 8

r e d i m e r o i ó n d e . 3 6

s e g u i d o r . 8 9

s i m p l e . 3 . 5

t r a y e c t o ri a d e l o s , 7 7

E s l a b o n a m i e n t o , 2 , 8

E s q u e m a d e m o v i m i e n to c o m b i n a d o , 23 6

E s t r u c t u r a , 10

d e r e fe r e n c ia , 9 5 , 9 9

i i tc r v a l o d e . 9 5 . 9 9

F r i c c i ó n , c o e f ic i e n t e d e , 3 4 1

F u e r a i s ) , 3 30

d e f r i c c i ó n , 3 41d e t e r m i n a c i ó n d e l o s , d e c o n t a c t o . 3 33

d i n á m i c a s , 3 4 6

d e m e n t o c o n d o s . 33 5

e n s u s c o m p o n e n t e s r e c t a n g u l a re s . 3 32

i n e r c k i le s ) , 1 7 0 , 3 5 2 , 3 5 3 , 3 6 0 . 3 6 4

m d o d o d e 1 * d e i n e rc i a d e l e q u i l i b r ó

d i n á m i c o . 3 5 3

r e í rm a l 3 41

r e s u l t a n t e , 3 4 3

y t o r q u e e n e l t o m i l lo , 3 2 8

G r a d a s d e l ib e r t a d i n a c t i v o s . 18

G e o m e t r ía d e l a c o n fi g u r a c ió n

d e l m e c a n i s m o , 1 3 8 , 14 1

4 *1 t o r a A l o . 3 2 0

d e s p l a z a d * 8 1 , 8 3 , 8 6

d e u n a t ra n s m i s ió n

d e c o r r e * 3 0 4 .3 1 3

d e c * J c r u , 3 10

o r i g i n a l 8 1

G i r o d e l a l e v a . 2 2 6

G r á f i c o d e v e l o c i d a d , a n á fi s is . 1 3 0

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Indice ana lítico 373

H

H o j s d e c á k u l a 2 4, 21 5

Holgura , 262 ,272

I

Imoftn

de aceleración, 196 de v tkx idj i l . 137

Inercia. 170

Interferencia. 27 0

Inversiones geom étricas, 74

l n w s t i g * j ó n c i n em á t ic a . 74

LLeva. 223

ci l indrica. 224,25 1

c i n em á t i ca d d s eg u id o r d e U 2 3 1 . 2 3 2

de piara o d e di sco . 224

•fceflo

ana l ít i co d d perfi l de una . 25 1

g r á f v o d d p e r fi l d r u n a , 2 3 7 , 25 1

p r o d e b . 226

lineal, 224

pos ición de en trada de la , 237

t ipos de . 223

vdocidad angular requerida de b . 226

l e y ( e s )

del movim iento , 333

de lo s cosenos , 46

de los senos , 46 ,47

Limi tac iones de d i sen a 243

Linea

d e c o n t a c t a 2 6 4

d e p a s a 27 3

depres ión. 264

l ong i tud de cadena , 311

MMa gnitud , 331

d e b f u e r a 3 31

de la resul tante , 51 ,58

d i re c ci ó n d e U , 5 1 , 5 8

vectoriales . 66 ,70

determinación grifara de, 63

Man ejo de vectores , 48

Manivela , 3 .22 -ba landn. 20 ,115

-cep i l l a 117

•corredera, 113,142, 190,221

de campana . 4

doble , 20

excéntrica, 14

m ecanism os de. -corredera en Hnea. 1 1 3

veloc idad de la . 110

Máquinas , I

Masa. 346

momento de inercia y, 363

peso y. 346

propiedades de b masa , 360

M e c a n i s m o !s ) , i

bloqueadas , 8

com un es, soluciones algebraicas para, 142

de cuatro barras. 19 ,142 . 191 ,221

de engrane s , impulsadas , 298

de Ginebra, 252

del motor de gaso l ina . 48

d e l i n e a r e c t a 22

de maniveb-balancín, 115

de m anivcb-cepi l lo , 117

de manivela-corredera . 142 .190 , 221

descentrada 114

e n U n e s , 1 13

d e p a r a k l o g r a m a 22

d e p u n t a d e c a m b i a 20

de retorno rápido , 23

d e to r n d l a 3 ! 6

d e y u g a 2 3

diseno de . 109

equivalentes, 201

p r o m e l r b d e l . 1 3 8

manuales, 13

para mover u n es labón, 1 18

entre dos p os i c iones , 119

entre tres pos i c iones , 119

para propós i tos espec ules , 22

solucione s algebratras d e. 190

técnicas dr anális is de , 23

lermino iag la de , 2

M e d i a u n i ó n , 3

M é t o d o ! s)

analítico para velocidad. 152

relativa, 164

de acelerad ón relativa. 208

ana l í t i ca 209

de comp onentes , 59

d e i á n g u l a 5 3 . 6 6

del centro ins tantáne a 149

del tr iángula 50 .57

gráf i ca 106 ,165

del centro ins tantánea 166

por computadora , 24

punta con co la . 48

M ó d u l o . 2 63

M o m e n t o ! s ) . 3 3 2

d e i n c i d a , 3 4 8 , 3 5 2

e m e r c a . 3 48

y t o r q u e , 3 30

Motarle» )

dr a i re o h idrául i co , ' 12

d e c s b b o n a m i c n t a 3 5

de gasol ina, 12

eléctricos de corriente

alterna, 12

cont inua . 12

Movi l idad.8 . 1 1 , 1 4 . 1 6 - 1 7 . 7 6 , 9 4

e c u a c ió n d e , 16

Movimiento

a b s o l u t a 8

a r m ó n i c a 228

ciclo idaL 23 0

con acd eradón cons tante , 231

del s eguidor . 226 ,227

e s qu e m a s d e , c o m b i n a d a 2 3 6

leyes deL 333

lineal. 172

perf i l de vdocidad deL 124

parámetros d e l 172

prescr ito dd seguidor . 225

rect i l ínea 171

r e b i n a 8 . 1 7 7 ,3 2 0

NN ú m e r o

d e c u n d a s . 3 1 7

de dientes . 262 .276 , 310

PPab cargadora, «5

Paso

circular. 262

normal, 283

circulo de , 262

diametra l , 262 ,263 , 276

p i n t o d e . 262

f t r rn a u n i ó n d e . 5 . 1 4 , 3 8

P e s a 3 46

masa y . 346

Pifión y cremallera. 296

Pivote. 116

único , 120

Poleas, 302

acanaladas, 303de inven taría 307

«npul sora , 306 ,307

Pol ígono de ve loc idad. 132 .139 ,141

Pos idó n!es ) , 72

®igubr,72

de entrada de b leva, 237

de un mecani smo. 73

i u n p u n to . 72

l im i t e . 8 7 . 9 1 , 9 9 . 1 0 6 - 1 0 7

extendida . 90

retraída,8 9 . 9 0 , 9 1

mecan ismo para mover un eslabón entre dos,

118

m étodo ana l í t i co y , 79 ,91

s íntes is de d os .1 18.120o m u n e s la b ó n , 118

con un soplador , 118

síntesis d e tres, 121

y desplazam ienta aná l is i s de , 72

Primera ley de New ton, 335

Pri sma, unión d e , 3

Profundidad total , 262

Programa!s)

de anális is diná m ico comerciales , 24

d c c ó m p u t a 22 1

escr ito p or e l usuario , 24

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3 7 4 I n d i c e a n a l í t ic o

P r o p i e d a d » d d t o r n i ll o . 321

P u n í a c o n c o l a , m é t o d o , 4 8

P u n t o ! s )

c o i n c i d e n t e s , 1 3 5

d e c a m i n o , m e c a n i s m o d e , 2 0

d e i n te r és , 4 , 8 . 1 0 . 1 1 , 1 4 . 1 7 , 3 3

d e t r a » , 23 7

n r d i r l a p o si c ió n d e u n . 3 6

p a s o . 2 6 2

s o b re e s l a b o n a . 1 3 0

t r a y e c t o r i a d e u n . d e i n t e r é s . 3 7

RR a d i á n . 1 2 6

R a d io d e g i r a 3 5 0

R a n u r a , 3 8

R a z ó n ( e s )

d e c o n t a c t a 2 69

d e t i e m p o . 1 0 9 . 1 2 0

d e v e l o c i d a d . 2 7 3 , 2 7 4 . 2 8 5 . 3 1 1

R e a c c i ó n

d i re c c i ó n d e t i , 3 3 4r o t a c ió n i m p e d i d a p o r l a . 3 3 4

Reb a je . 2 7 1

R e s u l t a n te . 4 9 , 5 0 , 5 3

c o m p o n e n t e s d e b,54

m i g n i t u d d e l a . 5 1

R u e d a s d e n t a d a s ( c a t a r in a s ) , 3 10

sS e c c i ó n

n o r m a l , 28 3

t r a n s v e r s a l , 2 8 3

S e g u i d o r » e s )

c i n e m á t i c a d e l . d e u n a l e v a . 2 3 2

c o n b r e o o s c i l a n te . 2 2 4

c o n p i v o t e . 2 2 5

d e c a r a

e s f é r i c a . 2 2 5

p l a n a . 2 25

d e c u n a . 2 2 5 .2 4 4

e n l i n e a , 2 3 7

d e U l e v a, 2 3 1 . 2 3 2

d e m u n ó n , 27 1

d e r o d i l l a 2 25

a m p i v o t e. 2 4 1 , 2 5 0

d e s c e n t r a d a 2 3 9 ,2 4 6

a i l i n c a . 2 3 8 , 2 4 6

d e t r a s k a d ó n , 2 24

c o n c a r a p l a n a . 24 0

d e s c e n t r a d a 2 25

d i ag r am a d e d e s p la z a m i e n t o d e t 2 2 5

e n l i n e a . 2 2 5

t u r m a d e l , 2 2 5

m o v i m i e n to d e t 2 2 4 ,2 2 6 . 2 2 7

p r e s c r i t a 22 5

p o s ic ió n d e t 2 24

t i p o s d e . 2 2 4

S e g u n d a l e y d e N e w t o n .3 5 2

S e n t i d o

a n t i h o r a r i a 1 25

h o r a r i o , 1 2 5

S e r v o m o t o r e s , 12

S i m u l a c ió n p o r c o m p u t a d o r a , 31

S í n t e s i s . 2

d e d o s p o s i c i o n e s , 1 1 8 . 1 2 0

c o n u n e s l a b ó n . 11 8

c o n u n « i p b d o r , 1 18

d e t r e s p o s i c i o n e s , 1 21

S i s t e m a

d e a d e n d o s , 2 71

d e C A D . 2 4

S o f t w a r e W b r k in g M o d e t 3 2

S o l u c i o n e s a l g e b r a ic a s p a r a m e c a n i s m o s , 1 9 0

c o m u n e s . 1 42

S u j e t a d o r a d e a b r a z a d e r a . 8

S u j e ta d o s p a r a m a q u i n a d a 72

S u m a

a n a l í t ic a d e v e c t o r e s , 5 0

g r á f i c a d e v e c t o r e s , 4 8 , 6 9

o s u s t ra c c i ó n v e c t o r b t 5 5

v e c t o r i a l a n a l í t ic a . 6 9

S u s t r a c c i ó n g r á f i c a d e v e c t o r e s . 55

T

T é e n k a í s )

a n a l í t i c a . 2 4

d e a ñ i l á i s d e m e c a n i sm o s , 23

t r a d i c i o n a l e s d e r e p r e s e n t a c i ó n g r á f ic a . 2 4

T e o r e m a

d e K e n n e d y . 1 4 4 - 14 7

d e l o s ej e s p a r a l e l o s , 3 5 0

d e P i t i g o n i s ,4 5

T i e m p o

d e l c i c lo

c o m p l e t a 2 26

d e l m c c a n á m a 1 10

y bv e l o c i d a d d e l a m a n i v e l a . 1 1 2

d i a g r a m a d e . 11 0 , 1 1 2 ,1 2 0

r a z ó n d e , 1 10

y e l á n g u lo d e d e s e q u ü í b r i a 1 1 0

T i p o s

d e l e v » , 2 23

d e s e g u i d o r e s , 2 2 4

T o l e r a n c i a , 2 6 2 , 2 6 7

T o m f l l o ( s )

a c e l e ra c i ó n c o n , i m p u l s a d a 3 2 8

a v a n c e d e l . 3 1 7

d e b o l a s , 3 17

d e t a b d r a 32 5

d e s p b z a m i e n t o d e t 3 20

d e s p b z a m i e n t o c o n t o m i l lo i m p u l s a d a 3 2 6

d i f e r e n c i a l e s . 3 2 4 . 3 2 8

f u er z as y t o t q u e s e n e t 3 2 2 , 3 2 8

g e o m e l r b d e t 3 2 0

i m p u l s a d a a c e l e ra c i ó n c o n , 3 2 8

s án f i n , 2 6 2 , 2 8 6

u n i ó n d e . 15

v e l oc i da d c o n , i m p u l s a d a 3 2 7

T o t q u e ( s )

i n e r e b t 3 5 7

y m o m e n t o s , 33 0

T r a n s m i s i ó n ( e s )

c i n e m á t i c a d e u n a . d e c o r r e a , 3 0 5

d e c o r t e a y d e c a d e n a , 3 02

s e le c c ió n d e u n a , d e c o r r e o , 3 13

T r a s l a c i ó n

d e

bt u e r c a . 3 1 9

d e l t a r a d l a 3 1 9

T r i á n g u l o

m é t o d o d e t 5 0 .5 1

o b l i c u a 4 6

t r a b a j o c o n , 6 7

r e c t á n g u l a 4 4

T r e n t e s ) , 2 9 3

d e e n g r a n c ( s ) , 2 8 8 , 2 9 8

p l a n e ta r ia s . 2 9 0 .2 9 9

A v e n o d e . d e e n g r a n e s , 2 9 8

v a lo r d e l . 2 8 S

T r i g o n o m e t r ía . 4 7

ul ) n i ó n ( e s ) , S , 8 , 1 0 . I I . 1 4 , 1 6 , 1 7

c a m ó d e n l e s . 16

d e c o r r e d e r a , 3 . 6

áe e n g r a n e s . 6

d e l e v a . 6

d e o r d e n s u p e r i o r . 3

d t p e r n o . 5 , 1 4 , 3 8

o í u n a r a n u r a . 14

d e p i s tó n o p r i s m á t i c a . 3

d e p r i s m a , 3

d e r a n u r a , 3 8

d e r e s o l u t a , 3

d e t o r a a l o , 1 5

V

V e c t o r í e s ) . 4 3 . 4 8 . 4 9

c o m p o n e n t e s d e . 5 2

d e s c o n o c i d a s 6 4 , 6 5

d e v e l o c i d a d . 1 7 3

d i a g ra m a d e v e c t o r e s 4 9 , 5 0

m a n e j o d e , 4 8

n g a t i v o , 5 5

s im p le . 5 1

s u m a

a n a l í t i c o d e . 5 3

g r á fi c a d e . 4 8

V d o á d a d ( e s ) . 1 70 , 27 3

a c e l e r a c i ó n y e l p e r f i l d e . 1 71

a n á l i s i s d e . 1 2 3

a n á l is i s g r á f ic o d e , 1 4 9

« v g u b r ( e s ) . 1 2 5 , 1 2 9 , 1 3 2 , 1 41

d e bl ev a . 2 2 6

d e l e n g r a n e . 2 7 5

c o n s t a n t e . 2 2 8

a i n N t o rk i ng M o d e t 16 8

a i r v o s d e . 1 5 5 . I 6 7

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I n d i c e a n a l ít i c o 3 75

de cadena ,311

d e b m a n iv e b , 1 10

t i empo de l c i c lo y b , 112

d e b s t u e r c a s 3 2 1 ,3 2 2

<WD run to(s ) , 132 , MI

de entrada , 132 ,136

sobre e l e sbbón , 135

sobre e l s eguidor , 137

<k un engrane, 275

d e u n e s b b ó n , 1 25

dfagramad c, 183

e n b l in c a d e p a s o , 2 7 5

es tudio ana l í ti co de , 137

imagen de, 137

l ineal , 123. 126,127, 12»

de p un tos rect i líneos , 123

de un pu nto cua lquiera , 124

perf i l de . 206 ,171

de l movimiento l inea l . 124

pol ígono de . 132 ,139

razón de . 273 ,274 ,31 1

re lac ión entre b s l inea l y angub r, 126

tebl iva . 128

ecuación adecuada de. 131

ímgcnciaL 126

vector de. 173

wV f or k in g M o d e l 3 2 , 3 7 , 1 0 7 , 1 6 8 , 2 1 3

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Máquinas y mecanismos, 4ta Edicion- Myszhka.pdf

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