Faculdades Integradas do Vale do Ivaí Instituto Superior de Educação - ISE

Recredenciado pela Portaria MEC nº. 545 de 11/05/2012 D.O.U. – 14/05/2012

MARCELA CRISTINA SCHENK BIDA PATRICIA ARRUDA DOS SANTOS

OS CINCO SÓLIDOS DE PLATÃO NO CAMPO DA GEOMETRIA

IVAIPORÃ 2015

MARCELA CRISTINA SCHENK BIDA PATRICIA ARRUDA DOS SANTOS

OS CINCO SÓLIDOS DE PLATÃO NO CAMPO DA GEOMETRIA

Trabalho de Conclusão de Estágio apresentado ao Curso de

Licenciatura em Matemática, para obtenção total de nota e

parcial à aquisição do título de Licenciado em Matemática

pelas Faculdades Integradas do Vale do Ivaí.

Orientadora: Professora Dircéia Portela

IVAIPORÃ 2015

MARCELA CRISTINA SCHENK BIDA

OS CINCO SÓLIDOS DE PLATÃO NO CAMPO DA GEOMETRIA

Trabalho de Conclusão de Estágio apresentado ao Curso de

Licenciatura em Matemática, para obtenção total de nota e

parcial à aquisição do título de Licenciado em Matemática

pelas Faculdades Integradas do Vale do Ivaí.

COMISSÃO EXAMINADORA

__________________________________________ Coordenadora do Curso: Profª Ms. Kátia Regina Figueiredo Lemos

Faculdades Integradas do Vale do Ivaí

___________________________________________ Orientadora de Estágio: Profª Esp. Dircéia Portela

Faculdades Integradas do Vale do Ivaí

___________________________________________ Professor (a) Convidado (a)

Faculdades Integradas do Vale do Ivaí

IVAIPORÃ

2015

PATRICIA ARRUDA DOS SANTOS

OS CINCO SÓLIDOS DE PLATÃO NO CAMPO DA GEOMETRIA

Trabalho de Conclusão de Estágio apresentado ao Curso de

Licenciatura em Matemática, para obtenção total de nota e

parcial à aquisição do título de Licenciado em Matemática

pelas Faculdades Integradas do Vale do Ivaí.

COMISSÃO EXAMINADORA

__________________________________________ Coordenadora do Curso: Profª Ms. Kátia Regina Figueiredo Lemos

Faculdades Integradas do Vale do Ivaí

___________________________________________ Orientadora de Estágio: Profª Esp. Dircéia Portela

Faculdades Integradas do Vale do Ivaí

___________________________________________ Professor (a) Convidado (a)

Faculdades Integradas do Vale do Ivaí

IVAIPORÃ 2015

DEDICATÓRIA

Dedicamos esse trabalho a todas as pessoas envolvidas, as nossas famílias,

pois a cada incentivo e motivação nos davam mais ânimo para realizarmos um

trabalho excepcional e em especial a nossa amiga Paula Cristina e o Professor

William José Gonçalves, que nos ajudaram de uma forma muito significativa com

relação à escolha do tema.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos a Deus em primeiro lugar, por iluminar e nos proteger durante

toda a elaboração desta pesquisa, bem como agradecemos a nossa orientadora, a

Profª Dircéia Portela, por acreditar e nos auxiliar durante todo o desenvolvimento

desse trabalho; a todos os nossos familiares que sempre nos apoiaram em todas as

nossas escolhas; a todos os professores do curso de Licenciatura em Matemática da

UNIVALE, em particular as Professoras: Kátia, Nerli, Talita e Fernanda, que

contribuíram de alguma forma para o aumento da nossa afeição a essa ciência e em

especial a todos os nossos amigos, que sempre nos auxiliaram durante todo o

decorrer do curso.

Sinto-me compelido ao trabalho literário: (...) pelo meu não

reconhecimento da fronteira realidade-irrealidade;

pelo meu amor platônico às matemáticas; (...)

porque através do lirismo propendo à geometria.

(Murilo Mendes)

BIDA, Marcela Cristina Schenk; SANTOS, Patricia Arruda dos. Os cinco sólidos de Platão no campo da geometria. Faculdades Integradas do Vale do Ivaí. Trabalho de Conclusão de Estágio do Curso de Licenciatura em Matemática. Ivaiporã, 2015.

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo apresentar um estudo detalhado sobre os cinco sólidos platônicos. Em um primeiro momento, faremos uma breve apresentação da história da Geometria, citaremos alguns dos mais importantes matemáticos e suas principais contribuições para a o estudo destes sólidos, como Platão. Descrevemos como este assunto é transmitido nas escolas atualmente e porque é tão importante trabalhá-lo com os alunos. Desenvolvemos uma pesquisa de cunho quali-quantitativo através de um questionário como forma de coleta de dados, o qual foi aplicado em uma sala de nono ano, composto de perguntas abertas que nos ajudarram a descobrir o que estes alunos sabem sobre o conteúdo dos cinco sólidos de Platão. A partir desta coleta de dados constatamos que os alunos estudam estes sólidos de uma forma muito ampla e vaga, não compreendendo sua importância para o desenvolvimento histórico e tecnológico do nosso mundo.

Palavras - chave: Sólidos Geométricos. História da Geometria. Sala de Aula.

ABSTRACT

The current work aims to present a detailed study of the five platonic solids. At first, we will make a brief presentation of the history of Geometry, citing some of the most important mathematicians and their main contributions to the study of these solids. We will describe how this subject is transmitted in schools nowadays and why it is so important to work about it with the students. We will develop a questionnaire as a way of collecting data, which will be applied in a ninth grade classroom, made up of some questions that will help us to find out what these students know about the subject around the five platonic solids. From this data collection, we found that students study these solids broadly and vaguely, not studying their history and importance for the historical and technological development of our world.

Keywords: Geometric Solids. History of Geometry. Classroom.

Sumário

1 INTRODUÇÃO .................................................................................. 11

2 HISTÓRIA DA GEOMETRIA ............................................................. 12

2.1 UM POUCO SOBRE EUCLIDES ................................................ 13

2. 2 AS CONTRIBUIÇÕES DE PLATÃO ............................................ 15

2.3 OS CINCO SÓLIDOS DE PLATÃO ............................................. 16

3 COMO É TRABALHADO A TEORIA DOS CINCO SÓLIDOS

GEOMÉTRICOS DE PLATÃO NA SALA DE AULA ............................ 22

5 A IMPORTÂNCIA DO TRABALHO DESTE CONTEÚDO COM OS

ALUNOS NA SALA DE AULA ............................................................. 24

6 DESENVOLVIMENTO....................................................................... 27

6.1 VERIFICANDO RESULTADOS .................................................. 28

7 CONCLUSÃO ................................................................................... 32

8 REFERÊNCIAS ................................................................................. 33

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Modelo Neolítico dos Sólidos de Platão................................17

Figura 2 - Sólidos Associados aos Elementos Primordiais....................18

Figura 3 – Esquema do modelo cosmológico geométrico de Kepler.....20

LISTA DE TABELAS

Tabela 1- Relações entre os Sólidos Platônicos....................................23

Tabela 2 – Resultado da Questão 4 da Coleta de Dados......................30

11

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho terá como assunto central os cinco sólidos de Platão no campo

da geometria. Onde será feita uma persuasiva pesquisa bibliográfica e uma coleta

de dados, com o intuito de aprofundar nossos conhecimentos acerca desse assunto.

Abordaremos também, um pouco sobre a história da geometria, sendo esta

uma parte da matemática que é rica em história e perfeição, destacando assim a

vida e as façanhas de alguns dos mais formidáveis matemáticos que existiram. Em

meio a esta beleza, iremos explorar os cinco sólidos geométricos de Platão,

contando sua história, suas características e como Platão utilizou, de uma forma

extraordinária, esses sólidos para tentar explicar a natureza a nossa volta.

Mostraremos como o estudo desses sólidos revolucionou e inspirou vários

estudiosos durante o decorrer dos séculos e como continua despertando a

curiosidade daqueles que os estudam. Destacaremos ainda, o que alguns dos mais

importantes matemáticos e estudiosos pensam sobre esse assunto, transmitindo

suas ideias e seus pontos de vista. Além disso, descreveremos como este assunto é

transmitido nas escolas atualmente e qual a sua importância para a vida e

aprendizagem dos alunos.

A partir da coleta de dados, observaremos o que os alunos do nono ano do

ensino fundamental sabem a respeito dos cinco sólidos de Platão. Buscando saber

se estes alunos aprenderam de fato o que são e como surgiram esses sólidos, ou

seja, se conseguiram captar a essência existente nesses sólidos ou se somente os

veem como simples figuras geométricas.

12

2 HISTÓRIA DA GEOMETRIA

Quando pensamos em geometria logo nos perguntamos o porquê de sua

origem, pois, pesquisas feitas indicam que a sua existência teve origem da

necessidade dos povos na antiguidade, esse conhecimento geometricamente teve

início quando os homens foram em busca de conhecer melhor o lugar onde viviam e

como o próprio nome já diz geometria vem do grego “geometrein” que tem como seu

significado medição de terras aonde geo: terra e metrein: medir. Segundo Piaget &

Garcia (1987), sem dúvida, a geometria é, nas matemáticas gregas, o ramo que deu

prova de uma tal perfeição que se transformou, durante vários séculos, no próprio

paradigma da ciência. ( p. 91).

As civilizações antigas sofriam muito com as enchentes do rio Nilo, pois,

todos os anos as terras eram inundadas e as áreas de cultivos acabavam tendo

seus marco derrubados e com isso desaparecendo tudo que fizeram no ano anterior

e com isso tinham que demarcar tudo novamente, quando as demarcações eram

totalmente destruídos eles acabaram tendo que demarcar fazendo com que se

dividisse de forma igual o número de propriedades. Um ponto positivo dessas

enchentes era que deixavam as terras férteis para o cultivo aonde eles podiam

cultivam e ter uma boa terra com nutrientes. Um fato curioso era que se tal indivíduo

que recém falecer deveria jurar aos deuses que em hipótese alguma tenha

enganado seu vizinho em relação às divisões de terras. E se alguém cometesse tal

pecado teria como punição seu coração comido por um animal que era conhecido

como o devorador, pois, quem cometesse tal barbaridade era considerado pecador e

isso nos dias de hoje era como assassinar e descumprir alguma lei ou regra.

Com o fato de ano após anos terem que refazer todas as demarcações das

terras os egípcios acabaram criando habilidades em delimitar as terras e

provavelmente acabaram descobrindo a utilização de vários princípios da

matemática onde teve a utilização de linhas, dos ângulos e também de figuras que

podem nos dar uma base de que para obter todo o processo de divisão das terras

eles poderiam utilizar o processo dos ângulos. Alguns documentos históricos

mostravam que antes mesmo dos gregos aos egípcios e babilônios tinham o

conhecimento do teorema de Pitágoras, que era demonstrado dessa forma 32 + 42 =

52, a maneira em que os egípcios tiveram a visão de observar e experimentar fez

13

com que os resultados obtidos fossem pelo método de raciocínio indutivo. E com

isso fez com que os egípcios se limitassem de acumular tal conhecimento.

Com o passar dos tempos foram começando a surgir as primeiras academias

que buscavam exclusivamente conhecer melhor tudo sobre a geometria. Foi Tales

de Mileto que buscou deduzir em suas tentativas a geometria existente e tentar

explicar o porquê e como é desenvolvida. Mas quem realmente conseguiu

desenvolver uma ciência dedutiva foi Euclides que tem um nome muito importante

quando falamos em geometria. A seguir apresentaremos estudos relevantes sobre

as contribuições de Euclides no campo da geometria.

2.1 UM POUCO SOBRE EUCLIDES

Em certo dia um jovem discípulo foi até seu mestre e o fez a seguinte

pergunta: Que lucro um dia terei em estudar geometria? E como resposta Euclides

foi um grande mestre e pai da geometria pediu para que um escravo entregar

moedas a esta jovem e a partir dai esse aluno perdeu a chance de aprender com o

pai da geometria, pois não pôde mais ser aluno de Euclides.

Não se sabe muito sobre a trajetória que Euclides de Alexandria teve ao

longo de sua vida, pesquisas falam que sua origem é grega, foi um professor

matemático das escolas platônicas, foi o mais famoso conhecido e nomeado o pai

da geometria, seu nascimento foi na síria por volta dos 330 a.C., Euclides recebeu

um convite para lecionar matemática em uma instituição que era conhecida como

Museu e acabou tendo um destaque pela forma que ensinava geometria e álgebra

nas suas aulas. Todas as informações que tem sobre o pai da geometria foram

extraídas de textos que foram escritos depois de sua morte, alguns desses escritos

por Proclo e também por Pappus de Alexandria. Onde um deles traz umas das suas

mais importantes obras que é Os Elementos.

O matemático alemão Benno Artmann, no prefácio do seu livro “Euclid. The

Creation of Mathematic” (Euclides. A criação da matemática), escreve a seguinte

frase sobre o livro de Euclides:

Mesmo que o material coberto por Euclides possa ser considerado elementar na sua maior parte, o modo como ele o apresenta estabeleceu o padrão por mais de mil anos. Conhecer os Elementos de Euclides pode ser da mesma importância para o matemático hoje que o conhecimento da arquitetura grega para um arquiteto.

14

Essa teoria em toda a construção da matemática foi uma que teve muita

importância, com isso a partir do momento que foi lançado, este passou a ser o

principal livro utilizado em disciplinas, principalmente, de geometria.

O famoso livro “Os Elementos” de Euclides é dividido em treze volumes, todos

de forma textual, onde cinco deles fala sobre geometria plana; outros três abordam

os numerais; um deles sobre as teorias das proporções; um deles relata sobre os

incomensuráveis; e por fim os três últimos tratam sobre a geometria no espaço.

Falando um pouco sobre cada livro de Euclides, o livro I começa abordando

definições, postulados e também de axiomas e contém quarenta e oito preposições.

O livro II expõe quatorze preposições onde relata a transformação das áreas e a

álgebra geométrica que também fala dos equivalentes geométricos da várias

identidades algébricas. Livro III contém trinta e nove proposições, que traz os

teoremas sobre os círculos, as medidas dos ângulos, tangentes e secantes. Livro IV

apresenta dezesseis preposições, que relata as construções com compassos e

também as réguas, os polígonos regulares contendo três a seis e quinze lados,

dependendo do tipo de polígonos em um círculo dado. Livro V expõe a teorias de

proporções de Eudoxo. Foi a partir dela que conseguiu aplicar tanto a grandeza

comensurável como a incomensurável, que com isso pode resolver um problema

dos números irracionais que foram descobertos pelos Pitagóricos. O Livro VI ressalta

sobre o que hoje conhecemos como algoritmo euclidiano, que é usado para achar o

máximo divisor comum de mais de um número inteiro e também verificar se quando

dois números inteiros são primos em comum, cita também as teorias das proporções

numérica ou no caso Pitagórica. Livro VIII apresenta de forma bem extensa as

proporções contínuas e as progressões geométricas que são relacionadas. Livro IX

traz vários teoremas de muita importância, um deles é o teorema fundamental da

aritmética, a fórmula dos vários termos de uma progressão geométrica, a fórmula

para os números perfeitos. Livro X foca nos irracionais, que mostra o certo

comprimento dos segmentos da reta incomensuráveis com o segmento da reta que

é dado. Os livros XI, XII, XIII falam da geometria sólida. Traz as definições, seus

teoremas de retas e planos no espaço e os teoremas dos paralelepípedos que é

relatado no livro XI. No livro XIII é onde fala sobre as construções dos cinco

poliedros regulares numa esfera. Para complementar nossos estudos, buscamos por

excelência as contribuições de Platão. Vejamos.

15

2. 2 AS CONTRIBUIÇÕES DE PLATÃO

O grande filósofo e matemático Platão nasceu em meados de 427 a.C. e

faleceu em 347/6 a.C. (não se sabe ao certo em qual destes anos ele morreu) na

cidade de Atenas, na Grécia. Platão era filho de Perictíone e Aristão, sendo que o

seu nome verdadeiro era Aristócles, igual o nome de seu avô, e teria sido o seu

treinador de luta que o teria apelidado de Platão, devido o seu vigor físico e também

da largura de seus ombros, pois “platon” em grego significa grande.

Quando Platão atingiu 20 anos, mais ou menos, teve o ensejo de conhecer o

filósofo Sócrates, e assim virar seu discípulo. Mas quando o governo Ateniense

condena Sócrates à morte, Platão resolveu deixar Atenas e viajar em busca de

novos conhecimentos. Este percorre várias partes do mundo grego, desde o norte

da África até a Itália e, durante essa caminhada, acaba se deparando com os

ensinamentos pitagóricos. Em aproximadamente 388 a.C., quando já estava com

quase quarenta anos, Platão viajou para a Magna Grécia com o intuito de conhecer

mais de perto as comunidades pitagóricas. Durante sua viagem, também veio a

conhecer Arquitas de Tarento e Dionísio I, que o convidou para ir a Siracusa. Ao

chegar lá, Platão tentou implantar seus ideais, mas acabou se desentendendo com

Dionísio I e acabou regressando para sua cidade de origem.

De volta a Atenas, Platão começou a se dedicar a filosofia e a matemática,

fundando assim uma escola intitulada “Academia” a qual trazia em sua porta a

seguinte frase: “Que ninguém que ignore a geometria entre”. A de se notar que

Platão, ao colocar essa frase a porta de sua escola, não queria impedir o acesso das

pessoas desconhecedoras dessa ciência a sua escola, mas Platão, de uma forma

admirável e ate mesmo metafórica, condensa tudo o que ele dizia sobre a

matemática, ou seja, que ela é o vestíbulo, pela qual se chega à filosofia

(EUCLIDES, 2009). Desta maneira, a Academia em pouco tempo despertou o

interesse de muitos jovens que gostariam de ter conselhos para que rumo seguir e

ao mesmo tempo de vários homens importantes, dentre eles podemos citar:

Leodamas de Thasos, Árquitas de Taranto, Teeteto de Atenas, Neocleides, Eudoxo

de Cnido, Amyclas de Heracleia, Menaechmus, Deinostratos, Athenaeus de Cyzicus,

Hermotimus de Colofon, Felipe de Mende, Euclides, Asioteia de Filos, Lastênia de

Mantineia, Aristóteles e muitos outros, que iam ate a Academia para debater sobre

várias ideias e assuntos. J. Cajori (1985, p.26), em “A History of Mathematics”, dá a

16

seguinte opinião a respeito do grande número de matemáticos que frequentavam a

Academia:

Com Platão como chefe da Escola não nos devemos surpreender que a escola platônica tenha produzido um tão grande número de matemáticos. Platão realizou pouco trabalho realmente original, mas fez aperfeiçoamentos valiosos na lógica e nos métodos empregados.

Platão esteve no comando da Academia até a sua morte e depois dela, a

Academia, ainda se manteve funcionando, e somente oito séculos após sua morte

que a escola acabou fechando suas portas devido à ordem do imperador Justiniano.

E foi durante o período da Primeira Guerra Mitridática (esta foi à primeira das

três guerras que procederam na Grécia e na Ásia Menor entre Mitrídates VI, rei do

Ponto, e a República de Roma), em 88 a.C., durante um cerco que a Academia foi

cruelmente destruída.

A quantidade de conhecimento e sabedoria que foram destruídos e perdidos

para sempre junto com a Academia é incomensurável. Mesmo assim, a filosofia e os

conhecimentos platônicos sobreviveram e mantiveram sua influência sobre os

estudiosos e pensadores, até os dias de hoje. Os ensinamentos de Platão foram e

são tão inspiradores, que são estudados e cobrados nos currículos escolares da

atualidade.

Uma das mais extraordinárias descobertas que Platão fez, no campo da

geometria, foi constatar, juntamente com os pitagóricos, a existência de apenas

cinco sólidos regulares, sendo estes conhecidos como “Os Cinco Sólidos de Platão”.

A seguir, veremos com mais calma e cuidado este assunto.

2.3 OS CINCO SÓLIDOS DE PLATÃO

A matemática da antiguidade teve um grande desenvolvimento graças aos

estudos de grandes matemáticos e filósofos da época, que dedicaram suas vida aos

estudos de várias áreas da matemática e em especial da geometria. Enquanto que a

escola Pitagórica tinha como lema “Tudo são números”, a escola que Platão fundou

(a famosa Academia) tinha escrito sobre a sua porta “Que ninguém que ignore a

geometria entre”.

Platão admirava e se deslumbrava tanto com os conhecimentos geométricos

que chegou a afirmar que a geometria possuía a chave para se desvendar os

17

segredos do universo. Foi através dessa incomensurável admiração que Platão fez

incontáveis descobertas a esse respeito, mas uma delas merece maior atenção.

Platão foi o primeiro a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o

cubo, o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Estes poliedros foram

estudados e analisados com tamanha intensidade por Platão e seus seguidores, que

acabaram ficando conhecidos como “os poliedros de Platão”. Mas há quem discorde

dessa afirmação, dizendo que chamá-los de “os poliedros de Platão” é incorreto, isso

pode se confirmar nas palavras de Eves (2004, p.114): “[...] três deles, o tetraedro, o

cubo e o dodecaedro se devem aos pitagóricos, ao passo que o octaedro e o

icosaedro se devem a Teeteto”.

Existem evidências também, de que os Povos Neolíticos que habitaram as

regiões da Escócia, a partir de 8000 a.C., tenham esculpido alguns desses sólidos

geométricos aproximadamente 1000 anos antes de Platão aprofundar seus estudos.

Alguns destes modelos rústicos dos sólidos construídos pelos Neolíticos encontram-

se no Museu Ashmolean em Oxford, no Reino Unido, conforme apresentamos na

figura 1 logo abaixo:

Figura 1 – Modelo Neolítico dos Sólidos Platônicos.

FONTE:https://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/Manhas/PoliedrosNeolitico.gif&imgrefurl=http://interart

escastanheiro.blogspot.com/p/blogpage_22.html&h=211&w=709&tbnid=pmDZRC0Pw6iQgM:&docid=Zk88pLwYsflWCM&ei=0kz4VcOJ

cWZNraUneAO&tbm=isch&ved=0CB4QMygCMAJqFQoTCMPv4pHA-ccCFcWMDQodNkoH7A

Estes sólidos possuem uma beleza simétrica que fascinou e fascina ainda,

homens de todos os tempos. Os estudos de Platão, a respeito destes sólidos

parecem ter tido início num encontro que ele tivera com Arquitas, durante uma

viagem que fez para Cecília, no sul da Itália. Para Platão, o Universo era formado

um corpo e uma alma, ou também chamada de inteligência. Na matéria havia

porções restringidas por triângulos ou quadrados, formando-se assim elementos que

18

se diferenciam entre si pela natureza das formas de suas superfícies periféricas. Isso

se comprova, em uma das passagens de seu livro Timeu, onde diz:

“(...) De início, que o fogo, a terra, o ar e a água sejam corpos, isto é sem dúvida evidente para qualquer um. Ora, a essência do corpo possui sempre uma espessura. Mas toda espessura envolve necessariamente a natureza da superfície. E toda superfície formada retilineamente é composta de triângulos. (...)” (PLATÃO, 360 a.C., p. 119).

Neste livro, Platão também apresenta especulações sobre a natureza do

mundo físico, associando assim, os quatro sólidos mais fáceis de se construir, sendo

eles: o octaedro, o icosaedro, o tetraedro e o cubo, com os quatro elementos

primordiais de todos os corpos materiais (fogo, terra, ar e água).

À terra atribuamos a figura cúbica. Pois a terra, das quatro espécies, é a mais difícil de mover e é, de todos os corpos, o mais tenaz. E é mui necessário que o que tenha tais propriedades tenha recebido, ao ser gerado, as bases mais sólidas. (...) Logo, a um tempo, segundo a ortodoxia e a verossimilhança, a figura sólida da pirâmide é o elemento e o germe do fogo; a segunda, pela ordem do nascimento, dizemos ser o elemento do ar, e a terceira o da água.(PLATÃO, 360 a.C., p.124).

No entanto, Platão teve certa dificuldade em associar e explicar o quinto

elemento, o dodecaedro. Só após muito pensar, acabou associando-o com o

universo a nossa volta. Essa passagem encontra-se em seu livro Timeu (360 a.C., p.

122) da seguinte forma: “(...) Restaria ainda uma só e última combinação; Deus dela

serviu-se para o Todo, quando determinou o arranjo final”. A figura 2 a baixo ilustra

de uma maneira mais fácil à associação de Platão:

Figura 2 – Sólidos associados aos elementos primordiais.

FONTE:https://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://convergencias.esart.ipcb.pt/temp_img/image/Figura1O.gif&imgrefurl=http://con

vergencias.esart.ipcb.pt/artigo.php?id%3D131&h=155&w=679&tbnid=kaAx-m3c2r4WOM:&docid=a

eLoCE3SA7M&ei=aGL5VeLTHcObwATol734AQ&tbm=isch&ved=0CDwQMygZMBlqFQoTCOKn2-7I-8cCFcMNkAod6EsPHw

19

Alguns anos mais tarde, o alemão Johann Kepler (1571-1630), nos apresenta

um estudo mais profundo sobre a associação de Platão. Este estudo pode ser

encontrado em “Introdução à História da Matemática” de Eves (2004, p. 114):

Johann Kepler (1571-1630), mestre da astronomia, matemático e numerologista, deu uma explicação engenhosa para as associações do Timeu. Intuitivamente ele assumiu que, desses sólidos, o tetraedro abarca o menor volume para a sua superfície, ao passo que o icosaedro o maior. Agora, essas relações volume – superfície são qualidades de secura e umidade, respectivamente, e como fogo é o mais seco dos quatro “elementos” e a água o mais úmido, o tetraedro deve representar o fogo e o icosaedro a água. Associa-se o cubo com a terra porque o cubo, assentando quadradamente sobre uma de suas faces, tenha maior estabilidade. O octaedro, seguro frouxamente por dois de seus vértices opostos, entre o indicador e o polegar, facilmente rodopia, tendo a estabilidade do ar. Finalmente, associa-se o dodecaedro com o Universo porque o dodecaedro tem 12 faces e o zodíaco tem 12 seções.

Kepler, alguns anos mais tarde, inspirou-se nos poliedros regulares para

estudar o movimento dos seis planetas até então conhecidos na época (Saturno,

Mercúrio, Marte, Terra, Venus e Júpiter) e foi com esses estudos que publicou a

obra “The Cosmographic Mystery” (O Mistério cosmo gráfico), onde utilizou os cinco

poliedros de Platão para afirmar que as órbitas em volta do Sol estavam

circunscritas em esferas que abrangiam os cinco poliedros platônicos. A órbita de

Saturno, que era o planeta mais longe do Sol, por exemplo, estava inscrita em um

cubo. A este, se inseria outra esfera que continha a órbita de Júpiter. Nesta se

inscrevia um tetraedro e sobre ele uma esfera com a órbita de Marte. Entre Marte e

Terra o dodecaedro, entre Terra e Vênus um icosaedro e finalmente entre Vênus e

Mercúrio um octaedro. Um exemplo desse esquema geométrico complexo pode ser

visto no canto superior direito da figura 3 logo a baixo:

20

Figura 3 – Esquema do modelo cosmológico geométrico de Kepler.

FONTE:https://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://static.naukas.com/media/2011/02/3.jpg&imgrefurl=http://naukas.com/2011/03/0

1/una-razon-tan-estupida-como-otra-cualquiera-o-no-para-creer-en-la-teoria-de-cuerdas-y-otras-dimensiones-del-mas- aca/&h=360&w=600&tbnid=vMiLKWtZ7LKxCM:&docid=GCLNcu21OYIAZM&hl=ptBR&ei=ZG_5VdSSO8KGwgSQp5WgBw&tbm=isch&

ved=0CBQQMygRMBE4ZGoVChMI1NT5n9X7xwIVQoOQCh2QUwV0

Contudo, Kepler foi obrigado a abandonar sua pesquisa devido à descoberta

de outros três planetas: Urano, Netuno e Plutão, pois, não existem sólidos platônicos

adicionais que determinem suas distâncias ao Sol. Mas, só foi a partir de suas

pesquisas que puderam descobrir que as órbitas dos planetas são em forma de

elipses e não de círculos como propunham inicialmente; e foi a partir delas também,

que criaram as Leis do movimento planetário.

Porém, estes poliedros regulares não são encontrados somente em pesquisas

e livros. Se pararmos para analisar, podemos achá-los na natureza, sob a forma de

cristais, organismos vivos, moléculas, esqueletos de animais marinhos, dentre

outros. Alguns destes poliedros regulares podem ser encontrados presentes na

antiga arquitetura egípcia.

A simetria e a beleza que estes sólidos possuem, estimularam o interesse do

ser humano através dos séculos. E mesmo não existindo uma disciplina matemática

baseada especificamente nestes cinco sólidos platônicos, muitas coisas importantes,

(como foi lido acima) só foram descobertas por meio do estudo dessas figuras.

21

Atualmente, devido ao grande avanço tecnológico, o interesse por este assunto

diminuiu muito, chegando a quase não ser citado, e infelizmente os sólidos

platônicos nunca mais atingiram o ápice e a importância que tiveram no passado.

Diante de todo o estudo, começamos a nos perguntar: será que todos esses

valiosos conhecimentos estão sendo trabalhados de maneira significativa nas salas

de aulas para que os alunos possam enriquecer seus conhecimentos com fatos que

marcaram a história da matemática nas contribuições de grandes matemáticos? No

próximo capítulo tentamos achar respostas para estes questionamentos.

22

3 COMO É TRABALHADO A TEORIA DOS CINCO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS DE

PLATÃO NA SALA DE AULA

Quando falamos em estudos da geometria na sala de aula logo estaremos

estudando e mexendo em um ponto que gera muitas dificuldades por parte dos

alunos, sabendo que esse conteúdo é de estrema importância. Um dos motivos é

pelo fato de que as escolas sempre deixam esses conteúdos para serem estudados

no fim do ano letivo e isso faz com que os professores não os aprofundem da forma

que deveriam, em outros casos o professor por insegurança acaba não abordando

o conteúdo da forma certa, por falta do seu próprio conhecimento, fazendo assim

com que os alunos fiquem apenas focados em memorizar as formulas algébrica,

sabem reconhecer os sólidos geométricos e como se aplica, mas, em muitos casos

não traz significado algum para quem esta aprendendo. Mas isso traz certa

preocupação pelo fato de ser uma das ciências mais importante para a formação de

um indivíduo. Então isso deveria ser de estrema importância para que o indivíduo

tivesse total conhecimento para entender melhor o mundo a sua volta.

Quando olhamos a nossa volta muitas vezes não reparamos que estamos

cercados por coisas simétricas, paralelismos, congruentes, e também pelos fatores

que envolvem as medidas das áreas e volumes, como quando usamos volume para

simplesmente saber quantos litros de água cabem em uma caixa de água, ou

quantos metros de piso iram ser utilizados na minha calçada. São coisas muitos

simples que se passam despercebidos em nosso dia a dia e que as pessoas podem

ate não estar por dentro de forma formal do que é área e volume, mas muitas

dessas formas intuitivas podem ate distinguir isso.

Uma das formas de se trabalhar a geometria, de forma que o aluno poderá

estar vendo as figuras geométricas de uma maneira mais precisa e descobrir muito

mais, é utilizando os softwares educacionais. Claro que para isso as escolas terão

que ter a tecnologia disponível para que seja colocada em pratica essa atividade,

isso fará com que o aluno possa estar explorando determinados conceitos

geométricos que seriam impossíveis sua visualização precisa fazendo manualmente

com lápis e papel.

Uma das maneiras de ser trabalhar na sala de aula os poliedros é a partir de

sua visualização, isso faz com que o aluno veja a geometria e construa seu

desenvolvimento relacionado a geometria espacial. Muitas vezes esse assunto é

23

abordado por alguns professores apenas com o livro didático, mas isso traz apenas

imagem, bidimensionais que dificulta a visualização e muitas vezes os alunos não

enxergam o que realmente deveria ser visto, que seria os objetos tridimensionais,

portando a utilização do quadro negro e livro didáticos não é a melhor maneira para

explorar esse conteúdo. Uma forma bem legal de se trabalhar é confeccionando

esses poliedros, pois de forma concreta o aluno conseguiria estar vendo as

dimensões e umas das melhores alternativas para se explorar esse assunto. Os

objetivos de se trabalhar os cinco sólidos de Platão é fazer com que os alunos

posam então identificar a planificação de alguns poliedros, também mostrar a eles

que esses sólidos tem sua formação através de composição de figuras planas e

fazer com que o aluno consiga visualizar a geometria de uma forma tridimensional

representada em um plano e no decorrer da aula o aluno poderá estar aprendendo a

diferenciar e identificar o que são arestas, vértices e faces de um poliedro, fazendo

então que ele crie em sua mente uma visão mais ampla desenvolvendo habilidades

ao estar em contato com essas figuras.

Como já vimos anteriormente Platão foi o primeiro que demonstrou a existência

de apenas cinco poliedros regulares que são o cubo ou hexaedro, tetraedro,

octaedro, dodecaedro e icosaedro. E são conhecidos pelos nomes de sólidos de

Platão pelo fato de terem sido estudados por esse grande homem que foi Platão.

Podemos observar algumas características presentes nestes poliedros, como por

exemplo: todos eles são convexos, ou seja, contém o mesmo números de lados em

todas as faces, e todos os vértices dos poliedros chegam ao mesmo número de

arestas. É possível ver essas características na tabela a seguir:

TABELA 1 – RELAÇÃO ENTRE OS SÓLIDOS PLATÔNICOS

Propriedade\Poliedro Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Vértices 4 8 6 20 12

Arestas 6 12 12 30 30

Faces 4 6 8 12 20

Forma da Face Triângulo Quadrado Triângulo Pentágono Triângulo

24

5 A IMPORTÂNCIA DO TRABALHO DESTE CONTEÚDO COM OS ALUNOS NA

SALA DE AULA

Conforme foi abordado no capítulo três, intitulado “As Contribuições de Platão”,

percebe-se que o estudo dos cinco sólidos geométricos de Platão é de grande valia

para todo e qualquer aspecto que envolva a vivência matemática, principalmente na

sala de aula.

Este conteúdo possui imensa riqueza histórica e intelectual, que encanta e

desperta a curiosidade daqueles que o estudam. Pode-se dizer que os professores

de matemática têm o privilégio de poder ensinar este conteúdo em suas aulas.

Apesar disso, notamos que o ambiente escolar tem se tornado um lugar de

constantes conflitos. De um lado, encontram-se professores tentando convencer os

alunos da importância de se estudar Matemática e que se preocupam em dar conta

dos tópicos presentes no currículo escolar e do outro lado encontramos vários

alunos que se comportam de maneira indiferente ao processo de ensino, por

considerá-lo monótono e sem aproveitamento para seu cotidiano.

Estes conflitos presentes na sala de aula, muitas vezes devem-se ao fato dos

professores utilizarem metodologias rudimentares e ultrapassadas para a

abordagem dos conteúdos que serão ensinados. Durante uma entrevista para o site

O Globo, no dia quatro de julho de 2015, o matemático Artur Ávila, primeiro brasileiro

a recebeu a medalha Fields (Medalha Internacional de Descobrimentos

Proeminentes em Matemática, mais popularmente conhecida como o “Prêmio Nobel

dos Matemáticos”), destaca que o ensino da disciplina de matemática nas escolas

está ultrapassado, dificultando assim a aproximação deste assunto com os alunos.

Ávila também comentou que seria melhor se os professores tratassem da

matemática de um modo mais utilitário, buscando relaciona-la com o cotidiano dos

alunos.

“A matemática poderia ser abordada com um processo da atividade humana. Esse aspecto poderia ser passado (nas escolas) através de problemas mais interessantes, ao invés de uma repetição mecânica, como uma receita de bolo repetida duzentas vezes”. (LOBO, 2015).

Para o matemático russo-americano Edward Frenkel, que atua como

25

pesquisador na Universidade de Berkeley (na Califórnia – USA), um dos erros mais

comuns cometidos pelos professores é pensar que a matemática está centrada

apenas ao redor de números e cálculos. Frenkel salienta que:

“Estamos desinformados. É como se tivéssemos uma aula de arte, mas só se ensina o aluno a pintar paredes e cercas. E ele nunca verá o trabalho de Leonardo da Vinci. Quando eu ouço alguém dizer que odeia matemática, eu penso: Você não odeia a matemática. Você odeia pintar parede.” (LOBO, 2015).

Os professores que assumem esse tipo de postura monótona herdaram esse

comportamento dos professores mais antigos, que utilizavam sua autoridade para

obrigar os alunos a fazer as atividades. Contudo, atualmente vivemos em um século

onde é quase inadmissível que os professores ainda insistam na ideia de ensinar

através do autoritarismo. Com tantos avanços tecnológicos e científicos, hoje em dia

um professor não pode querer ganhar a confiança de seus alunos através de

punições e ameaças, pois ao fazer isso, o professor só conseguirá que o aluno crie

mais antipatia e raiva por essa disciplina.

O ensino vai muito além do simples sentido de transmitir os conteúdos. É

necessário que os professores busquem novas metodologias que tornem as aulas

mais dinâmicas e que transmitam os encantos escondidos por de traz de simples

números.

O educador de matemática possui o desafio de ensinar os alunos a

enxergarem que a matemática encontra-se em tudo, por exemplo: em nosso corpo,

em nosso cotidiano, na música, na natureza, entre outros. Este desafio muitas vezes

não é fácil, mas certamente não é impossível e se for bem feito fará uma grande

diferença na vida do aluno.

Se analisarmos o conteúdo de geometria, por exemplo, quando conectado a

outras áreas do conhecimento, pode qualificar e capacitar o aluno, que passa a ter

uma visão muito mais ampla e integra, trazendo assim, a matemática do abstrato

para o mundo concreto. LORENZATO (1995, p.3-13), afirma que a geometria auxilia

as pessoas a resolverem seus problemas diários, que muitas vezes são

geometrizados. Sendo assim, porque os alunos não conseguem visualizar e muitos

menos entender essa ligação que existe entre a geometria e o mundo a nossa volta?

26

Nas palavras de BALDISSERA (2011, p. 4), isso acontece porque “(...) muitas

vezes tratam a Geometria como se fosse um dicionário de definições”. Os próprios

livros didáticos apresentam as propriedades geométricas como fatos dados, não

expondo, muito menos explicando as relações que existem entre os objetos

geométricos com o universo a nossa volta.

Para averiguar se alunos estudaram e têm conhecimentos sobre os Sólidos

Geométricos, optamos em realizar uma pesquisa de campo através de questionários

apresentados para uma turma de nono ano em um colégio estadual. Tivemos como

resultado desta prática as seguintes considerações.

27

6 DESENVOLVIMENTO

Esta coleta de dados foi realizada no Colégio Estadual A, na cidade de

Cândido de Abreu, onde se propusemos a ir a uma sala de nono ano do período

vespertino e fazer essa pesquisa com os vinte alunos que estavam presentes. Ao

adentrar na sala nos apresentamos e informamos que iríamos fazer uma pesquisa

sobre o que eles haviam ouvido ou estudado sobre os cinco sólidos de Platão,

pedimos a eles também, que respondessem todas as questões e que escrevesse

tudo que eles sabiam sobre essa matemática maravilhosa.

Essa pesquisa foi feita através de um questionário contendo quatro questões,

onde os alunos deveriam responder três deles de forma descritiva e uma delas era

para ligar cada imagem dos sólidos em seus respectivos nomes.

Veja a seguir as perguntas:

1) Você sabe quem foi Platão?

2) Você já estudou sobre os sólidos de Platão?

3) Você já estudou os sólidos de Platão na escola? Se sim, escreva de que

maneira o seu professor trabalhou este conteúdo.

4)Curiosidade

Ligue cada desenho ao seu nome:

ICOSAEDRO

DODECAEDRO

TETRAEDRO

28

CUBO

OCTAEDRO

Essa pesquisa tinha como objetivo saber o que os alunos sabiam sobre os

sólidos de Platão e de que forma eles aprendiam esse conteúdo na sala de aula,

procurando assim saber se o professor abordava esse conteúdo de forma ampla ou

apenas superficial. A seguir, iremos ver qual foi os resultados obtidos e a conclusão

obtida através desta coleta de dados.

6.1 VERIFICANDO RESULTADOS

Agora veremos o que os alunos responderam e analisaremos os métodos e a

aprendizagem dos alunos na sala de aula e a partir disso saber se os alunos estão

aprendendo os conteúdos dos sólidos de Platão de forma ampla ou apenas

superficialmente. Vejamos a seguir, á analise referente a cada questão:

Questão 1: Você sabe quem foi Platão?

Resposta dos alunos “A”: “Foi um matemático muito famoso”.

Essa foi a resposta de 11 deles, escreveram de uma forma bem simples

apenas que era uma matemático famoso mas não colocaram o porque da sua fama

e qual a contribuição dele na geometria e em relação aos sólidos de Platão.

Resposta dos alunos “B”: “Foi um famoso matemático grego que

desenvolveu o estudo dos sólidos geométricos”.

Verificamos também que nove deles além de dizer que Platão foi um

matemático muito famoso, sabiam também que ele havia contribuído para a

descoberta dos sólidos geométricos, mas nenhum deles especificou que eram os

poliedros regulares que são apenas cinco.

29

Questão 2: Você já estudou sobre os sólidos de Platão?

Resposta dos alunos “A, B, C...”: “sim”.

Na questão numero dois, 17 alunos responderão apenas com um sim, não

especificaram a forma que aprenderam e o que havia aprendido. Os outros 3 alunos

responderam que não, provavelmente deve ter faltado ou não prestado atenção na

explicação segundo eles.

Questão 3: Você já estudou os sólidos de Platão na escola? Se sim, escreva

de que maneira o seu professor trabalhou este conteúdo.

Resposta do aluno “D”: “sim, o professor trouxe as figuras na sala mostrou e

explicou”.

Percebemos que os alunos não estavam apenas falando dos poliedros de

Platão, mas sim das figuras geométricas como o (cilindro, cone, esfera, prismas,

paralelepípedo). O professor levou ate a sala de aula as figuras geométricas e

mostrou a eles qual era o nome de cada uma delas e explicou sobre quantas faces,

vértices e arestas tinha cada figura. Provavelmente teve ter levado também a figura

dos poliedros regulares e mostrado a eles, mas como normalmente os professores

utilizam as figuras mais simples, acabam não utilizando os poliedros regulares na

hora dos exercícios.

Questão numero 4: Curiosidade

Ligue cada desenho ao seu nome:

ICOSAEDRO

DODECAEDRO

TETRAEDRO

30

CUBO

OCTAEDRO

O propósito dessa quarta questão era por em pratica tudo que eles haviam

estudados e verificar se realmente aprenderam de fato algo sobre essas figuras.

Vejamos a tabela 1 a seguir, qual foi o número de erros e acertos desta questão,

lembrando que foram feitos com vinte alunos essa coletas de dados:

POLIEDROS

REGULARES

ACERTOS ERROS

CUBO 20 0

ICOSAEDRO 6 14

DODECAEDRO 8 12

TETRAEDRO 11 9

OCTAEDRO 12 8

TABELA 2 – RESULTADO DA QUESTÃO 4 DA COLETA DE DADOS.

Quando averiguamos as ligações de cada figura a seu respectivo nome,

percebemos um grande numero de erros, os alunos não sabiam os nomes

corretamente e isso mostra que não ouve um aprendizado correto, percebemos que

eles aviam aprendido o que eram arestas, vértice e lados das figuras geométricas

que não eram as dos sólidos de Platão, isso nos mostra que eles aprenderam, mas,

de for superficial e não de maneira planificada como deveria ser.

Quando começamos a fazer a análise dos dados tínhamos a impressão de que

os alunos sabiam o que estavam falando e o que era realmente os sólidos de Platão,

mas, quando nos deparamos com a questão número quatro percebemos que a

maioria não sabia identificar o nome desses sólidos à sua figura. Isso nos mostrou,

31

que apesar deles já terem estudado e terem visto esses sólidos, o conhecimento

que eles adquiriram sobre esse assunto foi muito vago, pois para a consolidação

deste conteúdo eles deveriam, no mínimo, ter aprendido a identificar essas figuras e

saber os seus nomes corretamente.

32

7 CONCLUSÃO

Quando começamos a fazer a análise dos dados tínhamos a impressão de que

os alunos sabiam o que estavam falando e o que era realmente os sólidos de Platão,

mas, quando nos deparamos com a questão número quatro percebemos que a

maioria não sabia identificar o nome desses sólidos à sua figura. Isso nos mostrou,

que apesar deles já terem estudado e terem visto esses sólidos, o conhecimento

que eles adquiriram sobre esse assunto foi muito vago, pois para a consolidação

deste conteúdo eles deveriam, no mínimo, ter aprendido a identificar essas figuras e

saber o seus nomes corretamente.

Este tipo de comportamento por parte dos alunos leva-nos a observar que

faltaram métodos ou metodologias de ensino que pudessem contribuir para a

assimilação dos conteúdos. Para tal constatação, Libâneo (1994) corrobora dizendo

que:

O ensino se caracteriza como uma ação vinculada à aprendizagem e não

uma mera transmissão de conhecimentos, mas a criação de possibilidades

de sua produção ou de sua construção. O professor a prende no processo

de ensinar, mas é um aprendizado diferente daquele realizado pelo aluno

porque há uma especificidade no seu trabalho. (LIBÂNEO, 1994, 127)

Nas contribuições de Libâneo, podemos averiguar que a aprendizagem não

deve se restringir a transmissão de conhecimentos e, sim, criar condições para que

o aluno possa construir conhecimentos.

Contudo, pode – se dizer que não houve a consolidação dos conhecimentos

a certa dos Sólidos Geométricos de Platão, porque faltou um pouco mais de

flexibilidade nas ações pedagógicos dos professores de matemática, bem como,

fazer uso de materiais concretos ou na construção dos mesmos.

33

8 REFERÊNCIAS

ARTMANN, B. Euclid.The Creatian of Mathematics. Nova York: Springer, 1999.

BALDISSERA, Altair. A Geometria trabalhada a partir da construção de figuras e

sólidos geométricos. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gv.br>. Acesso

em: 13 mar. 2011.

CAJORI, J. A History of Mathematics. Nova York: Chelsea, 1985, p.26.

EUCLIDES. Os Elementos. Tradução e Introdução de Irineu Bicudo. São Paulo:

UNESP, 2009.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp,

2004.

LORENZATO, S. Por que não ensinar geometria? A Educação Matemática em Revista

– SBEM, n. 1, p.3-13,1995.

PIAGET, J. & GARCIA, R. Psicogêneses e História das Ciências, Ciência Nova, Nº 6,

Lisboa: Dom Quixote, 1987.

PLATÃO. Timeu e Crítias ou a Atlântida. Tradução, Introdução e Notas: Norberto

de Paula Lima. São Paulo: Hemus, 1981.

Revista Cálculo. Artigo: Euclides ensinava para poucos.Curitiba: Segmento, ano

2, n. 19, out. 2012.

NA FLIP, matemáticos criticam ensino nas escolas e defendem inspiração para

resolver problemas. O Globo, São Paulo: jul. 2015. Disponível em:

<http://oglobo.globo.com/cultura/livros/na-flip-matematicos-criticam-ensino-nas-

escolas-defendem-inspiracao-para-resolver-problemas-

16666320?utm_source=Facebook&utm_medium=Social&utm_campaign=compartilh

ar&fb_ref=Default> Acesso em: 4 jul. 2015.

Sites para pesquisa:

<http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/minicursos/descobrindoospoliedros.pdf>

Acesso em 17/09/2015

<http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/solidos-platonicos-br.html>

Acesso em: 17/09/2015

<http://www.infoescola.com/biografias/euclides/>

34

Acesso em: 20/09/2015

<http://www.matematica.br/historia/euclides.html>

Acesso em: 21/09/2015

<http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_FernandaMartins.pdf>

Acesso em: 21/09/2015

<https://books.google.com.br/books?id=F8XgBwAAQBAJ&pg=PA18&dq=euclid+the

+creation+of+mathematics+benno+artmann+intitle:Euclid+intitle:The+intitle:Creation

+intitle:of+intitle:Mathematics+inauthor:Benno+inauthor:Artmann&hl=pt-

BR&sa=X&ved=0CBsQ6AEwAGoVChMIzraqxIuLyAIVw4GQCh3PZwnX#v=onepage

&q&f=false>

Acesso em: 22/09/2015

<http://www.webartigos.com/artigos/geometria-historia-e-ensino/21366/>

Acesso em: 22/09/2015

<http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=

106>

Acesso em: 07/10/2015

<http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_altai

r_baldissera.pdf>

Acesso em: 12/10/2015

<http://cursoathenas.webnode.com.br/news/geometria-espacial-platao/>

Acesso em: 15/10/2015