Maria Isabel Ribeiro António Pascoal - Autenticação · o Cap.3 – dolivro de Franklin, Powel,...

Controlo ‐2ºsem‐2007/2008 © Isabel Ribeiro, António Pascoal

Capítulo 3‐ Resposta no Tempo

Cap 3 – Resposta no Tempo

Maria Isabel RibeiroAntónio PascoalMarço de 2008

Transparências de apoio às aulas teóricas

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

CONTROLO2º semestre – 2007/2008



Objectivos

• Rever conceitos sobre a resposta no tempo de SLITs

• Pólos, zeros, ganho estático e a resposta dinâmica deSLITs

• Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª ordem e ordem superior

• Sistemas de fase não mínima

• Relação tempo‐frequência

Referênciaso Cap.3 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)

o Sinais e Sistemas, Isabel Lourtie, Escolar Editora (para revisão de conceitos sobre TL)



Função de Transferência: definição

SLITr(t) y(t)

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

0.i.c)s(R)s(Y)s(G

=

=

G(s)R(s) Y(s)

Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y =

• A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída

• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente osistema do ponto de vista de entrada‐saída

Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais



Resposta no Tempo

SLITr(t) y(t)

Uma maneira de resolver o problema

Resolver a equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada‐saída

Dados •a equação diferencial que representa um modelo do SLIT•a entrada r(t)•as condições iniciaisPretende‐se:• Conhecer a evolução temporal da saída, y(t)



Função de Transferência e a Resposta no Tempo

SLITr(t) y(t)

0.i.c)s(R)s(Y)s(G

=

=

G(s)R(s) Y(s)

r(t) y(t)

R(s) Y(s)

TLu TLu-1

)s(R).s(G)s(Y =

Se as condições iniciais forem nulas

Resolução da eq.diferencial


Capítulo 3‐ Resposta no TempoResposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem

Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo‐1ªordem

msm1)s(Gβ+

=b

m f(t) )s(VG(s)

)s(F

u(t) = escalão de Heaviside

1 sF))t(f(TL

s1))t(u(TL =→=

β+=

ms1.

sF)s(V

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+

== −−

ms1.

sFTL))s(V(TL)t(v 11

TL‐1

f(t) = F u(t) = entrada do sistema

F

assume‐se que o sistema está

inicialmente em repouso



βF

F

saída

β1

Ganho emregime estacionário

Resposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+

== −−

ms1.

sFTL))s(V(TL)t(v 11

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β

−β

=β+

=β+ )ms

1s

1.F)ms(s

m1Fms

1sFdecomposição em fracções parciais

0t para e1F1F)t(v

)t(ue1F)t(u1F)t(v

tm

tm

≥β

−β

=

β−

β=

β−

β−

msm1)s(Gβ+

=


Capítulo 3‐ Resposta no TempoA FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i. não nulas

Utilização da Função deTransferência na obtenção daresposta de um SLIT

r(t) y(t)

R(s) Y(s)

TL TL‐1

)s(R).s(G)s(Y =

Resolução da eq.diferencial

Se as condições iniciais forem nulas

E se as condições iniciais não forem nulas?

Não é possível continuar a usar (directamente) a Função de Transferência ?

G(S)

R(s)

c.i. ≠0

TLueq.diferencial Y(s) y(t)

TLu‐1

Já tem em linha de contaas c.i.


Capítulo 3‐ Resposta no TempoA FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i. não nulas

exemplo

Y(s)/R(s)as

KG(s) =+

=

1)0(y =−

Kr(t)ay(t)dt

dy(t)=+

KR(s)aY(s))y(0sY(s) =+− −

R(s)as

Kas)y(0Y(s)

++

+=

−

0t ),e(1aK)ey(0y(t) atat- ≥−+= −−

TL‐1

TLu considerando c.i. não nulasu(t)r(t) =

Sistema linearPrincípio da sobreposição

s1

asK

as)y(0Y(s)

++

+=

−

Resposta devida à excitação pelas condições

iniciais

Resposta devida à excitaçãopela entrada r(t)



Função de transferência: caso geral. Pólos e Zeros

G(s)R(s) Y(s)

n grau de polinómiom grau de polinómio

D(s)N(s)G(s) ==

001

1n1n

nn

011m

1mm

m Nnm, ,asasbsabsbsbsb

D(s)N(s)G(s) ∈

++++++++

== −−

−−

L

L

Função de transferência

• própria ⇔ n≥m

• estritamente própria⇔ n>m

• não própria ⇔ n<m

Só estudaremos este tipo de FT

Pólo do SLIT

λ∈C é um polo do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=∞

Zero do SLIT

λ∈C é um zero do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=0

Se N(s) e D(s) não tiverem factores comuns• Os pólos do sistema são os zeros de D(s)• Os zeros do sistema são as zeros de N(s)

cuidado ao cancelar factores comuns nospolinómios N(s) e D(s)



Função de Transferência: outras representações

001

1n1n

nn

011m

1mm

m Nn,m ,asasbsabsbsbsb

)s(D)s(N)s(G ∈

++++++++

== −−

−−

L

L

Representações alternativas ( Se não houver pólos e/ou zeros na origem, n≥m )

0n21

m21 Nn,m ,)ps)....(ps)(ps()zs)....(zs)(zs(K

)s(D)s(N)s(G ∈

++++++

==

ii p

1=τ

ii z

1T =

Pólos {‐p1, ‐p2, ... , ‐pn} Zeros {‐z1, ‐z2, ... , ‐zm}

Se ‐pi for um pólo real

constante de tempo

(em rad/seg)

(em seg)

ii p

1=τ

0n21

m210 Nnm, ,

)s)....(1s)(1s(1)sT)....(1sT)(1sT(1K

D(s)N(s)G(s) ∈

++++++

==τττ

Forma dasconstantes detempo

0K ganho estático Atenção ao valor do ganho estático quando houver pólos

e/ou zeros na origem



Resposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt)

msm1)s(Gβ+

=b

m f(t)

)s(VG(s)

)s(F

σ

jw

mβ

−

pólo =mβ

−

não tem zerosconstante de tempo=

βm

β+β=

ms111)s(G

FT na forma das constantes de tempo

Ganho estático= = 1.33β1

(seg)

(rad/seg)

Quando aumenta,

• a resposta do sistema torna‐se mais rápida.

• a constante de tempo diminui

• o regime transitório atenua‐se mais rapidamente

mβ

−

1m

=β

375.0m

=β

|pólo| a aumentar

75.0=β

O pólo determina a natureza da componente natural da resposta; pólo real exponencialamortecidaComo é a resposta em frequência para estas duas situações?



Resposta no Tempo: caso geral de 1ª ordem

R(s) Y(s)as

aK)s(G 0 +=

σ

jw

a−

Pólo = ‐a (rad/seg)

Constante de tempo = 1/a (seg)

Ganho estático = K0r(t)=u(t)

s1)s(R =

asK

sK

asa.

s1KY(s) 00

0 +−=

+=

at00 eKKy(t) −−= Para t≥0 K0

a1

a2

a3

a4

a5

a.Ktempo de tetancons

1.Kdeclive 00 ==

86.5%

Tempo de estabelecimento (a 2%)–tempo ao fim do qual a resposta se confina a uma faixa de ±2% do valor final.

tempo de constante*4a4(2%)ts ==

ts a 5%

tempo de constante * 3a3(5%)ts ==



Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)

)]t(x[TL)s(X =

De que modo estes teoremas podem ser usados na análise do comportamento (da saída) de SLITs ?

G(s)R(s) Y(s)

)s(R).s(G)s(Y =

Sem o cálculo explícito da saída para uma dada entrada é possível avaliar valores particulares da saída:

),....0(),0(),(),0( ++

∞→

+ yytyyt

&&& lim

Teorema do Valor Inicial

)s(sX lim)t(xlims0t ∞→→

=+

Teorema do Valor Final

)s(sX lim)t(xlim0st →∞→

=

Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.e



Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)

no cálculo de características da saída de um SLIT

Valor Inicial da Saída

)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylimss0t ∞→∞→→

==+

Valor Final da saída)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylim

0s0st →→∞→==

G(s)R(s) Y(s)

Entrada escalão unitário

G(s) lims1sG(s) limy(t)lim

ss0t ∞→∞→→==

+s1R(s) =

Entrada escalão unitário

)s(G lims1)s(sG lim)t(ylim

0s0st →→∞→==

s1)s(R =

Valor do ganho emregime estacionário



Ganho Estático: exemplo

bm f(t)

)s(X)s(F)s(G1

)s(V)s(Fms

m1β+

)s(Xs1

)ms(sm1)s(G1 β+

=

∞==→

(s)GlimK 10s

0

X

Entrada=f(t)

Saída = x(t)

este sistema tem um pólo na origem (aposição é o integral da velocidade)



Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem

bm f(t)

X

Objectivo: controlar o sistema em posição

)s(V)s(Fms

m1β+

)s(Xs1K+

_)s(R

Qual é a função de transferência do sistema controlado?

)s(G1

[ ])s(X)s(RK)s(G)s(F)s(G)s(X 11 −==

)s(R)s(KG)s(X))s(KG1( 11 =+

)s(KG1)s(KG

)s(R)s(X

1

1

+= m

Km

ssmK

)s(R)s(X)s(G

2 +β

+==

• sistema de 2ª ordem, com 2 pólos, sem zeros• ganho estático = ?

exemplo



Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem. Caso geral

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=G(s)

R(s) Y(s)

Qual é a resposta para uma entrada escalão de amplitude unitária ?

• depende da localização dos pólos

0wsw2s 2nn

2 =+ζ+

Pólos complexosconjugados

1ζwζws 2nn −±−=

10 <ζ≤

1=ζ

1>ζ

Pólo real duplo

Pólos reais distintos

2nn 1jww ζ−±ζ−

nn ww −=ζ−

1ww 2nn −ζ±ζ−

Sistema subamortecido

Sistema criticamente amortecido

Sistema sobreamortecido

>>ζ

nw

nw−

njw

njw−

djw

djw−

ζ=θ arcsin

0=ζ

0=ζ

1=ζ

nwζ−

21 ζ−= nd ww



Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)

0 ,1wn =ζ= 0.3 ,1wn =ζ=

1 ,1wn =ζ= 2 ,1wn =ζ=

Sistema subamortecido

Sistema criticamente amortecido Sistema sobreamortecido



Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)

0.3 ,1wn =ζ= 2 ,1wn =ζ=Sistema subamortecido Sistema sobreamortecido

zoom zoom

A derivada na origem é nula

Demonstre este resultado usando o teorema do valor inicial, mostrando que:

0wsw2s

swlim)t(ylim 2

nn2

2n

s0t=

+ζ+=

∞→→ +

&



Sistema de 2ª ordem Subamortecido 10 <ζ≤

43421dw

2nn2,1 1wjws ζ−±ζ−=

pólos complexos Wn – freq. oscilações naturais NÃO amortecidas

‐‐ coeficiente de amortecimento

Wd – frequência das oscilações amortecidas

ζ

Resposta a uma entrada escalão unitária

)t1wsin(e1

11)t(y 2n

tw

2n Ψ+ζ−

ζ−−= ζ−

ζζ−

=Ψ21arctg

parte real dos pólos

parte imaginária dos pólos

Consequência de o ganhoestático ser unitário

Nota: wn actua apenas como factor de escalade tempo

S

Td

tp ts

%2±

sobreelevação

Tempo de pico

Tempo de estabelecimento

Período das oscilações0t ≥

trTempo desubida

1

0.9

0.1



Especificações no domínio do tempo

• As especificações para o desempenho de um sistema controlado são, porvezes, expressas em termos da sua resposta no tempo

• Especificações típicas em termos de:– Tempo de subida (tr) – tempo que o sistema demora a atingir a vizinhança de

um novo set‐point• Vulgarmente o intervalo entre 0.1 e 0.9 do valor final

– Tempo de estabelecimento (ts) – tempo que o regime transitório demora adecair

• Vulgarmente o tempo até a saída se confinar a uma faixa de 5% do valor final

– Sobreelevação ‐ (S%) – valor máximo da saída menos o valor final divido pelo valor final

– Tempo de pico (tp) – é o tempo que o sistema demora a atingir o valor máximo da saída

• Para sistemas de 2ª ordem, sem zeros, subamortecidos, estasespecificações podem expressar‐se como função de ζ e de ωn

±



Sistema de 2ª ordem SubamortecidoCaracterísticas da resposta

• Pontos em que a derivada se anula

•Período das oscilações ‐ Td

•Tempo de pico ‐ tp

0dt

)t(dy= ,...2,1,0n

1wn

wnt

2nd

=ζ−

π=

π=

dd w

2T π=

Para n=0 0)0(y =+& A derivada na origem é nula

Tempo ao fim do qual ocorre o máximo absoluto de y(t)

2T

wπt d

dp == n=1

↓↑⇒⇔↑−= p2

nd t pólos dos imaginária parte ζ1ww




• Sobreelevação – S%

final

finalmax

yyy100S% −

=

2ζ1

ζπ

pmax e1)y(ty −−

+==

21e.100%S ζ−

ζπ−

=

Só depende do coeficiente de amortecimento

↑⇒↓ S% ζ

Tempo requerido para a saída evoluir de 10% a 90% do valor final

tr

Não há uma expressão analítica simples que relacione trcom o coeficiente de amortecimento e a frequência wn.

Mas há expressões aproximadas

nr wt 8.1≅

• Tempo de subida ‐ tr




• Tempo de estabelecimento a 2% (ts(2%))

ns w

4tζ

=

Valores aproximadosVerifique a analogia com os sistemas de 1ª ordem

ns w

3tζ

=a 5%

•Instante de tempo em que a saída atinge e se mantém numa faixa de ± 2% do valor final•A mesma definição usada nos sistemas de 1ª ordem

)t1wsin(e1

11)t(y 2n

tw

2n Ψ+ζ−

ζ−−= ζ−

02.0e1

1 tw

2n =

ζ−ζ−

1)t1wsin( 2n =Ψ+ζ−

aproximação

ns ζw

4.6t =a 1%

a 2% ↓↑⇒⇔↑ sn tw |pólos dos real parte| ζ



Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos

Figuras retiradas deAnálise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001



Sistema de 2ª ordem SubamortecidoLugar geométrico dos pólos que correspondema determinadas especificações

constante ωn

constanteξ

constante ξωn

constante ωd

Tempo de subida constante

Sobreelevação, constante

Tempo de estabelecimento constante

Tempo de pico constante



Exercício

2s1+ s

1K

+

_

• O ganho estático do sistema em cadeia fechada depende de K?• Determine o valor de K para que a resposta do sistema em cadeia fechada a umaentrada escalão de amplitude unitária tenha sobreelevação de 20%.

• Para esse valor de K qual é o tempo de estabelecimento a 5% da resposta?

Y(s)R(s)

K2ssK

2)s(sK1

2)s(sK

R(s)Y(s)

2 ++=

++

+= Ganho estático unitário, independente de K

O sistema em cadeia fechada tem uma f.t. da forma

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

Por comparação:

⎩⎨⎧

==

2

22

n

n

Kξω

ωξ1

=nω

2.0ln2.0ln2.0%20% 22

21 2

+=⇒=⇒= −

−

πξξ

ξπ

eS

46.0=ξ

Das especificações pretendidas:

8.42.2 =⇒= Kωnsegt

ns 33%)5( ==

ξωConfirme resultados usando Matlab



Sistema de 2ª ordem – Criticamente amortecido

nw−

1=ζ

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

2n

2n

)ws(w)s(G+

=

1=ζ

s1)s(R =entrada escalão de amplitude unitária

n

32

n

212

n

2n

wsc

)ws(c

sc

)ws(sw)s(Y

++

++=

+=

twtwn

nn etew1)t(y −− −−=

twn

nt)ew(11y(t) −+−=

0t ≥

0t ≥

ganho estático unitário



Sistemas de ordem superior. Efeito de pólos adicionais

)as)(wsw2s(w.a)s(G 2

nn2

2n

++ζ+=

s1)s(R = as

Rw)ws(

wR)ws(Rs

R)s(Y 42d

2n

d3n21

++

+ζ++ζ+

+=

at4d3d2

tw1 eR)twsinRtwcosR(eR)t(y n −ζ− +++= 0t ≥

• De que modo um pólo influencia a resposta global?

Através de:

– tipo de pólo (real, complexo, simples, duplo)

– parte real ‐ que determina o ritmo dedecaimento da componente transitória associada

– resíduo associado – que depende da localização dos outros pólos e zeros.

ate−atat tee −− ,

)sin( Ψ+− bte at

Contribuição de pólos para a resposta transitória

pólo simples

pólo duplo

pólos complexos



Sistema de 3ª ordem sem zeros

)25s4s)(as(a*25)s(G 2 +++

=

-1-3-8

-2

Quando |a| aumenta• a influência do pólo real diminui• O pólo torna‐se “menos dominante”• A resposta é “dominada” pelos pólos complexos

Em qualquer das situações o sistema torna‐se mais lento• A largura de banda DECRESCE quando |a| diminui

a =1, 3, 8 rad/seg

a=1

a=3

a=8

sistema de 2ª ordem

sistema de 3ª ordem c/ 2 pólos complexos conjugados e um pólo real

Compare o diagrama de Bode para as quatro situações



Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes

)25s4s)(as(a*25)s(G 2 +++

=

Quando |a| aumenta• a influência do pólo diminui• O pólo torna‐se “menos dominante”• Os pólos complexos são pólos dominantes

Em que condições é possível desprezar o pólo (real) não dominante ?

Quando o regime transitório associado é desprezável, no conjunto de todas ascontribuições transitórias, ao fim de aproximadamente 5 constantes de tempo.

Quando o módulo do pólo real é pelo menos cinco vezesmaior que o módulo da parte real dos pólos dominantes.



Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes

)25s4s)(as(a*25)s(G 2 +++

=

)25s4s)(10s(250)s(G 2 +++

=

)25s4s)(1s101(

25)s(G2 +++

=

)25s4s(25)s(G 2 ++

≅

O desprezo de pólos não dominantes tem que preservar o

ganho estático

3ªordem

2ªordem

Aproxima o sistema de 2ªordem, no que respeita à resposta no

tempoQue acontece no domínio da frequência?

Qual é o conceito de pólo não dominante no domínio da frequência?

10=a



Efeito de zeros adicionais

Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?

c)b)(s(sa)(s

abcG(s)

+++

=ganho estáticounitário

Entrada escalão de amplitude unitária

)cs

Rbs

Rs

R(a

bc)s(Y 321

++

++=

‐b

‐c ‐a

Cálculo geométrico dos resíduos

)cb)(c(acR

)bc)(b(baR

bcaR

3

2

1

−−+−

=

−−−

=

=

• Os resíduos R2 ou R3 serãopequenos se o zero estiverpróximo de pólo em –b ou do pólo em –c, respectivamente.

)eReRR(a

bc)t(y ct3

bt21

−− ++=

32 RR << )eRR(a

bc)t(y ct31

−+=

aproximação

s1R(s) =

Os zeros determinam o valor dos resíduos



Pólos não dominantes: Redução de ordem

Em que condições

Sistemas de ordem superior podem ser aproximados por sistemas de ordem mais baixa?

• Quando há PÓLOS NÃO DOMINANTES

– o resíduo associado ao pólo é pequeno

• Proximidade com um zero

– a parte real do pólo é elevada

• Regime transitório extingue‐se muito rapidamente

Como se faz a aproximação ?

– despreza‐se o pólo e o zero

– despreza‐se o pólo

Cuidado a ter na aproximação

O sistema original e o aproximado devem ter o mesmo ganho estático

]3)2s)[(20s)(1s()1.1s(236)s(G 22 ++++

+=

exemplo



Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional

2n

2n

)ws()bs(

bw)s(G

++

=

Para entrada escalão unitário

n2

n

nn2

n

2n

ws1

)ws(b/w)bw(

s1

)ws(s)bs(

bw)s(Y

+−

+−

+=++

=

0t ,e1tb

)bw(w1)t(y twnn n ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+= −

1 pólo duplo e 1 zero

1)(yb

w)0(y

0)0(y2n

=∞

=

=

+

+

&

Características da respostaUse os teoremas dos valores inicial e final para chegar a

estas conclusões

Pode ser negativo se o zero estiver no spcd




2n

2n

)ws()bs(

bw)s(G

++

=

-wn-b

bw0 n << nwb0 <<

-wn-b

4b2wn

==

Existe sobreelevação

)s(bY)s(sY)ws(s

1b

w)bs(

)ws(s)bs(

bw)s(Y

11

)s(Y

2n

2n

2n

2n

1

+=+

+=

=++

=

44 344 21

Combinação linear de um sinal e da sua derivada

1b2wn

==




2n

2n

)ws()bs(

bw)s(G

++

=

-wn-b

nw0b <<

Derivada na origem é negativa

Sistema tem um zero no spcd

‐ sistema de FASE NÃO MÍNIMA

Pólo duplo e zero no spcd

• Sistema de fase não mínima é aquele quetem pelo menos um pólo e/ou um zero nosemi‐plano complexo direito

– Pólo no spcd – instabilidade

– Qual é o efeito de um zero no spcd ?



Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete

Exemplo – Barrilete– Centrais termoeléctricas

– Produção de vapor

r(t) h(t)

Caudal de água fria à entrada

Altura da água no barrilete

• Relação entre a abertura da válvula da água fria e a altura da água no barrilete depende de:

• Efeito rápido de contracção da águadevido à injecção de água fria

• Efeito de integração devido à adição de massa

barrilete

Lento

Rápido



Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete

• Para certa relação de K1 e τ o sistema tem um zero no semi‐plano complexo direito (τ <1/ K1 )• Nos sistemas reais τ<<1, K1<<1.

)s(R)s(H

)s(R)s(H

)s(R)s(H)s(G 21 +==

)1s(ss)1K(K

1s1

sK)s(G 111

+τ−τ+

=+τ

−=

entrada escalão r(t) =u(t)

Exemplo – Barrilete



Sistema de fase não mínima: Manipulador Flexível

Manipulador Rígido

θΤ

T‐binário motor

t0

T(t)

t0

θ(t)entrada

saída

t0

T(t)

t

θ(t)entrada

saída

θΤ

T‐binário motorEfeito de “chicote” (FASE NÃO MÍNIMA)

Manipulador Flexível

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