Mariano Jose Valderrama Bonnet Modelos Estocasticos Dinamicos

8/17/2019 Mariano Jose Valderrama Bonnet Modelos Estocasticos Dinamicos

1/27

Academia de Ciencias Matemáticas,

Físico-Químicas y Naturales de Granada

MODELOS ESTOCÁSTICOS

DINÁMICOS

DISCURSO LEÍDO EN EL ACTO DE SU RECEPCIÓN

COMO ACADÉMICO NUMERARIO POR EL

ILMO. SR. D.

MARIANO J. VALDERRAMA BONNET

GRANADA, 2009


2/27

Academia de Ciencias Matemáticas,

Físico-Químicas y Naturales de Granada

MODELOS ESTOCÁSTICOS

DINÁMICOS

DISCURSO LEÍDO EN EL ACTO DE SU RECEPCIÓN

COMO ACADÉMICO NUMERARIO POR EL

ILMO. SR. D.

MARIANO J. VALDERRAMA BONNET

GRANADA, 2009


3/27

MODELOS

ESTOCÁSTICOS

DINÁMICOS


4/27

MODELOS ESTOCÁSTICOS DINÁMICOS

M ARIANO J. V ALDERRAMA BONNET

Siempre evito profetizar de

antemano porque es mucho

mejor hacerlo después de quehan ocurrido los hechos

Winston Churchill

Excmo. Sr. Presidente de la Academia

Excmos. e Ilmos. Sres. AcadémicosQueridos amigos y compañeros

El término academia proviene del héroe griegoHekademos, (o Academo) que fue quien reveló a losDioscuros, Cástor y Pollux el lugar donde se encontraba

prisionera su hermana Helena, que había sido raptada porTeseo. Hekademos tenía su sepultura en las afueras de Atenas y la tumba estaba rodeada de un bosque sagradoen el que Platón instaló su escuela de educación superiorel año 387 a.C., siendo pues una mera coincidenciageográfica la identificación de academia como lugar delsaber.

A partir del Renacimiento las academias se

convirtieron en centros donde se debatían las cuestionescientíficas de más alto nivel. Sus miembros eran los másreputados sabios en las correspondientes ramas delsaber, mientras que las universidades se limitaban, caside forma exclusiva, a la enseñanza superior.

A principios de siglo XX, y como continuadora de

la Institución Libre de Enseñanza, se crea la Junta para la Ampliación de Estudios e Investigaciones Científicas (J.A.E.), presidida por Santiago Ramón y Cajal, cuyoobjeto era organizar la actividad investigadora española,equiparándola a la de países del entorno europeo. Tras laGuerra Civil, sobre la infraestructura de la J.A.E., seconstituyó el Consejo Superior de Investigaciones

Científicas (C.S.I.C.), cuya misión era articular lainvestigación española en todos los niveles científicos ysocio-humanísticos. No obstante, el máximo gradoinvestigador reconocido en la legislación española, que esel título de doctor, siempre fue expedido por laUniversidad.

A partir de mediados de los años sesenta, losdepartamentos universitarios comienzan a desarrollar unaprogresiva actividad investigadora que se intensifica apartir de la Ley de Reforma Universitaria de 1983 y de laposterior entrada en vigor de la evaluación investigadora,quedando por otra parte relegada a un segundo término laactividad docente universitaria.


5/27


6/27

como los borrachos, que usan las farolas para apoyarse y

no para iluminarse.

En base al nivel de conocimiento sobre elresultado del fenómeno sobre el que se ha construido unmodelo, éste puede clasificarse en determinista, donde elresultado se conoce a prior i sin incertidumbre, oestocástico, donde no se tiene certeza sobre el mismosino tan solo se conoce la probabilidad de diversas

opciones. Así puede decirse que la principal diferenciaentre un matemático puro y un probabilista es que elprimero les afirmaría que la persona que ahora les dirigela palabra está viva, mientras el segundo les diría que laprobabilidad de que eso ocurra es igual a la unidad o,incluso si se trata de un probabilista puro, les diría que esde 0,999.

Acotando el campo de mi disertación, ésta secentrará en los modelos aleatorios o estocásticos, pero, asu vez, cabe hacer una distinción entre el caráctertemporal del fenómeno objeto de estudio. Cuando se tratade representar una situación concreta en un momentodado, el modelo en cuestión será de naturaleza estática,

mientras que cuando se pretenda recoger su evolución alo largo del tiempo, tendremos un modelo dinámico. Lateoría de la Probabilidad engloba el estudio de losmodelos estáticos, mientras que el análisis de losdinámicos corresponde a la teoría de ProcesosEstocásticos.

El tema que voy a desarrollar estará divido en lascinco secciones siguientes:

1. Antecedentes y origen de los modelosmatemáticos

2. La incorporación de la incertidumbre3. De un concepto estático a uno dinámico de

probabilidad4. Modelización mediante procesos estocásticos

de segundo orden5. Análisis de datos funcionales

1. Antecedentes y origen de los modelos matemáticos

Desde el momento en que un homínido fue dotado

de alma y adquirió raciocinio, comenzó a preguntarse elporqué de las cosas. De manera innata quiso aprender,no limitándose a contemplar pasivamente lo que ocurría asu alrededor, sino formando parte activa del medio en quese desenvolvía e interactuando con el mismo enbúsqueda de su propio provecho. Aún, sin él mismosaberlo, comenzó a desarrollar el método científico,

basado en la observación de los fenómenos para suposterior explicación y utilización. Así, comprendió quefrotando piedras de pedernal saltaban chispas que podíanprender yesca encendiendo un fuego, o que fabricandotrampas en las rutas observadas de los animales podíancapturarlos de forma más sencilla que con la persecución.


7/27


8/27


9/27


10/27


11/27


12/27


13/27


14/27


15/27

matemático, por lo que en honor de ambos, es tambiénconocido como proceso de Wiener o de Wiener-Lévy.

El físico francés Juan Perrin (1909) supuso que laenergía cinética del movimiento Browniano de unapartícula microscópica debe coincidir con la de unamolécula, y preparó un experimento consistente en unasuspensión de gomaguta y almáciga, obteniendopartículas esféricas de magnitud uniforme de 13x10-4 cm

de diámetro mediante un proceso de centrifugaciónfraccionada. Así, denominando m y r, respectivamente, ala masa y radio de una partícula, d y d' las densidades dela partícula y del medio, y n0 y n el número de partículasexistentes a niveles separados por una distancia verticalh, se obtiene la ecuación:

30 4ln ( ')3

n RT r gh d d N n

π = −

A partir de esta ecuación, Perrin y sus colaboradoreslograron determinar por varios métodos el número de Avogadro N a partir del desplazamiento lineal medio μ deuna partícula en movimiento Browniano:

23

RTt N

r πη μ =

siendo t el tiempo desde el origen y η la viscosidad delmedio. Así mismo, encontraron que los desplazamientosreales se ajustaban a una distribución de Maxwell, y con

objeto de obtener un valor medio preciso era necesarioefectuar un gran número de medidas sucesivas. Las

investigaciones de Perrin fueron reconocidas en 1926 conel Premio Nobel de Física.

A diferencia del modelo Browniano enunciado porEinstein y Smulokhowski, Paul Langevin, cuya tesisdoctoral fue dirigida en 1902 por Pierre Curie, realizó unenfoque alternativo basado en principios de la mecánica

Newtoniana. Así, denotando por m la masa de unapartícula inmersa en un medio líquido y por v(t) suvelocidad en el instante t, consideró que había dosfuerzas actuando sobre ella. Una es la fuerza de fricciónejercida por el medio que, según la ley de Stokes, vienedada por - β v(t), donde la constante positiva β depende dela viscosidad del líquido y de la masa y diámetro de la

partícula. La segunda fuerza w(t) es debida al efecto delbombardeo molecular, que produce cambios aleatorios enla aceleración instantánea de la partícula. Aplicando lasegunda ley de la dinámica de Newton, se verifica que

mΔv(t) = - β v(t)Δt + Δw(t)

Suponiendo que el proceso w(t) verifica las hipótesis deWiener, George Eugene Uhlenbeck y LeonardSalomon Ornstein (1930) modelizaron la velocidad de lapartícula mediante la expresión:

( ) ( )( )

dv t d t m v t

dt dt

ξ β = − +


16/27


17/27


18/27


19/27


20/27


21/27


22/27

ha quedado exenta de ello, sino que por el contrario, altratarse de una extensión del análisis de datos multiva-

riante, los métodos computacionales han ocupado un lu-gar prioritario.

Para finalizar quiero hacer una reflexión genéricasobre el concepto de investigación. Aprendí del Prof. Gu-tiérrez Jáimez, que aunque no se vea de forma inmediatael resultado de nuestro trabajo, lo importante es mantener

engrasada la máquina de la investigación para que la su-ma de nuestros pequeños esfuerzos redunde en un finalque en un momento determinado pueda ser aprovechadopor alguien. De hecho, la integral de dx en el intervalo[0,1] no es cero, sino uno.

En mi caso, la integral de la investigación ha dado

un resultado positivo gracias, en primer lugar, al excelentemaestro que tuve, y posteriormente a mis discípulos, ac-tuales compañeros, a los que tuve el honor de dirigir. En-tre ellos quiero destacar a los que conforman mi grupo deinvestigación, los profesores de la Universidad de Grana-da Ana Mª Aguilera del Pino, Francisco A. Ocaña Lara,Francisco Jiménez Gómez, Paula Rodríguez Bouzas,

Manuel Escabias Machuca y Francisco M. Ocaña Peina-do, así como la profesora Mónica Ortega Moreno, de laUniversidad de Huelva. Igualmente quiero destacar a misantiguos colaboradores, que actualmente desarrollan supropia investigación, los profesores Juan Carlos Ruiz Mo-lina y Nuria Ruiz Fuentes, de la Universidad de Jaén, MªDolores Ruiz Medina y María José del Moral Ávila, de la

Universidad de Granada y Juan Luis González Caballero,de la Universidad de Cádiz.

Sin lugar a dudas, mi familia ha sido decisiva, nosolo en mi vida personal, sino también académica. Dehecho, el título de este discurso contiene los términos quemejor reflejan su influencia: Modelos estocásticos dinámi-cos. De mi esposa Pilar, principal motor de mi existencia,he aprendido a tener un pensamiento dinámico capaz de

afrontar problemas con decisión y autocrítica; mis cincohijos me han obligado a coexistir con la aleatoriedad,asumiendo plenamente la frase de Churchill que encabe-za este discurso; finalmente, mis primeros maestros, quefueron mis padres, me enseñaron que la honradez y eltrabajo reflejan el modelo de persona que hay que ser enla vida.

Yo, si soy alguien dentro de la Universidad y de lasociedad, se lo debo a ellos.

He dicho


23/27


24/27


25/27

Valderrama M.J. (2007). An overview to modelling functionaldata. Comp. Stat., 22 (3), 331-334.

Valderrama M.J., Ocaña-Lara, F.A., Aguilera A.M. y Ocaña-Peinado F.M. (2009). Forecasting pollen concentration by atwo-step functional model. Biometrics, en prensa.

Von Neumann J. (1932). Proof of the quasi-ergodic hypothesis.Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 18, 70-82.

Wang M.C. y Uhlenbeck G.E. (1945). On the theory ofBrownian motion II. Rev. Mod. Phys., 17, 323-342.

Weibull W. (1939). A Statistical Theory of the Strength ofMaterials. Ing. Vetenskaps Akad. Handl., 151,Stockholm.

Wiener N. (1923). Differential space. J. Math. Phys. Mass. Inst.Tech., 2, 131-174.

Wiener N. (1930). Generalized harmonic analysis. Acta Math., 55, 117-258.

CONTESTACIÓN DEL EXCMO. SR. D. R AMÓN GUTIÉRREZ J AÍMEZ

Excelentísimo Sr. Presidente,Excelentísimos e Ilustrísimos Sres. Académicos,Sras. y Sres.:

Es para mí un honor y un placer contestar al discurso deingreso como Académico de Número del Profesor Doc-tor Mariano J. Valderrama Bonnet. Agradezco vivamentea esta Academia el que me haya designado para ello.

Sólo con una sólida madurez científica y cultural en uncampo del conocimiento es posible dibujar tan acertadasíntesis de una línea de investigación de desarrollo tanamplio en el tiempo, en resultados y en aplicaciones ennumerosos e importantes campos científicos.

En efecto, en su discurso sobre Modelos estocásticos

dinámicos, Mariano Valderrama nos presenta una bri-llante y magistral síntesis del desarrollo de la modeliza-ción estocástica en los últimos cien años, mostrándoselas principales ideas y métodos que han marcado laevolución y progreso de uno de los campos de mayorinterés teórico y aplicado de las teorías probabilísticas,resaltándose los hitos más significativos de su desarrolloen relación con importantes problemas, de carácter es-


26/27


27/27

y Probabilidad y otras áreas y campos científicos degran interés y desarrollo actual, en los que ambas mate-rias constituyen poderosas herramientas de modeliza-ción y análisis. Muestra palpable de ello es su clara vo-cación de desarrollar la aplicabilidad de sus investiga-ciones teóricas a situaciones reales y problemas abier-tos de campos tan variados como la Economía estocás-tica, las Ciencias Medioambientales, o las Ciencias Bio-sanitarias, entre otros. Otra muestra significativa de es-ta actitud, es la realización de estudios de Economíaculminados en la realización del Doctorado en Ciencias

Económicas (Granada, 1997), cuando ya era catedráticode Universidad.

Completando su perfil profesional, no quiero dejar pasaresta ocasión, sin destacar sus cualidades humanas queimpregnan su vida académica y personal. De sólida for-mación cultural y humana, su ética y firmes conviccio-nes, le hacen acreedor de la máxima consideración en-

tre todos los que le rodeamos.

En nombre de la Academia le doy la más sincera bien-venida, le deseo los mayores éxitos en todos los órde-nes de la vida y le pido expresamente su colaboraciónpara que, en el futuro, la Academia y especialmente suSección de Matemáticas, desarrollen cada vez más ymejor sus objetivos.

Muchas gracias.

Mariano Jose Valderrama Bonnet Modelos Estocasticos Dinamicos

Documents

Transcript of Mariano Jose Valderrama Bonnet Modelos Estocasticos Dinamicos