Simulação de Sistemas (TE102)Simulação de Sistemas (TE102)Aula 5 – Introdução à Teoria das Filas

Prof. Anselmo Pitombeira

2011

CENTRO DE TECNOLOGIADepartamento de Engenharia Mecânicae de Produção

Sistemas de filas

Clientes

Demandam serviço. São imediatamente atendidos se encontram o servidor desocupado.

Servidor

Atende os clientes. Selecionam clientes da fila para atendimento.

Fila

Acúmulo de clientes que encontram o servidor ocupado ao chegarem no sistema.

Sistemas de filas

Fila Servidor

Sistema

Clientes chegam Clientes partem

Exemplos de sistemas de filas

Lojas, bancos e supermercados:

Clientes: Pessoas que requerem atendimento nos guichês

Servidores: Guichês de atendimento

Fábrica

Clientes: Peças que demandas processamento nas etapas de produção

Servidores: Máquinas e estações de trabalho

Exemplos de sistemas de filas

Portos

Clientes: Navios que demandam o uso do terminal de carga e descarga

Servidores: Máquinas e equipamentos de carga e descarga

Interseção em um sistema viário

Clientes: Veículos que demandam passagem

Servidor: Sistema de controle de tráfego (semáforo)

Elementos de um sistema de filas

Tempo entre chegadas de clientes (TEC): Intervalo de tempo entre clientes sucessivos. Ex.: A cada 2 min chega um cliente em média.

Tempo de atendimento (TA): Tempo que o servidor leva para prestar o serviço a um cliente. Ex.: Um cliente é atendido em média em 1 min.

Elementos de um sistema de filas

Taxa de chegada de clientes (λ)

Ritmo de chegada dos clientes. Inverso do TEC médio.

Ex.: λ = 10 clientes/h TEC = 6 min (em média)→

Taxa de atendimento de clientes (μ)

Ritmo de atendimento. Inverso do TA médio.

Ex.: μ = 5 clientes/h TA = 12 min (em média)→

Elementos de um sistema de filas

Número de servidores:

Um servidor.

Múltiplos servidores. Ex.: Caixa caixa de banco, caixa rápido.

Infinitos servidores. Ex: Sistema de self-service.

Elementos de um sistema de filas

Tamanho da fila

Finita: Há um limite máximo para o tamanho da fila. Ex.: Área de espera em uma agência bancária

Infinita: A fila não possui limitação teórica de tamanho. Ex.: Clientes esperando por uma linha em um sistema de telefonia.

Elementos de um sistema de filas

Disciplina da fila

PEPS (Primeiro-que-entra-primeiro-que-sai): Chamada em inglês de FIFO (first-in-first-out). O servidor seleciona da fila o cliente que espera há mais tempo.

LIFO (last-in-first-out): O cliente que espera há menos tempo na fila é o primeiro a ser atendido. Ex.: Processos em um birô de um funcionário de escritório.

Aleatório: Clientes são selecionados “por sorteio”.

Prioridade: Clientes são selecionados por certa “ordem de importância”. Ex.: Emergência de um hospital, ordens de produção com urgência.

Elementos de um sistema de filas

População de clientes:

Finita: O número de clientes que requerem o serviço é limitado. Ex.: Máquinas que demandam o serviço de manutenção em uma fábrica.

Infinita: Não há limitação teórica para o número de clientes que pode requerer serviço. Ex.: O número de clientes de uma agência bancária pode ser teoricamente considerado infinito.

Comportamento dos clientes

Clientes podem trocar de fila na esperança de reduzir o tempo de espera.

Clientes podem desistir de entrar na fila.

Clientes podem abandonar a fila.

Medidas de desempenho deum sistema de filas

Ls – Número médio de clientes no sistema

Lq – Número médio de clientes na fila

Ws – Tempo médio dos clientes no sistema

Wq – Tempo médio dos clientes na fila

- Número médio de servidores ocupados

u – Utilização média dos servidores

p0 – Probabilidade de um cliente encontrar o servidor desocupado

c̄

Relações entre asmedidas de desempenho

Lei de little

λef – Taxa efetiva de chegada dos clientes

Relação entre Ws e W

q

L s = λ efW s

Lq = λ efW q

W s = W q+1μ

Relações entre asmedidas de desempenho

Relação entre Lq e Ls

Número médio de servidores ocupados

Utilização média dos servidores

L s = Lq+λefμ

c̄ = Ls−Lq =λefμ

u =c̄c

Exercício 1

A taxa efetiva de chegada de clientes em uma fila de banco é de λ = 100 /h.

O tempo médio de atendimento por um guichê é de 2 min.

Há 4 guichês de atendimento.

Ademais, o tempo médio na fila é de 10 min (medido pelo sistema de senhas da agência).

Calcule: O número médio de clientes no sistema e na fila, e a utilização média dos servidores.

Notação de Kendall

Notação simplificada para caracterização do sistema de filas.

(a/b/c):(d/e/f)

a – distribuição dos tempos entre chegadas

b – distribuição dos tempos de atendimento

c – número de servidores

d – disciplina da fila

e – número máximo de clientes no sistema

f – tamanho da população de clientes (finito ou infinito)

Notação de Kendall: Exemplo

(M/D/10):(GD:20:∞)

M Tempo entre chegadas segue uma distribuição exponencial→

D Tempo de atendimento constante (determinístico)→

10 10 servidores paralelos→

GD Disciplina da fila qualquer (general discipline)→

∞ → População infinita

Modelo generalizado de fila de Poisson

Tempos entre chegadas e tempos de atendimento seguem distribuições exponenciais.

Isso implica que as chegadas de clientes e saída de clientes do sistema seguem processos de Poisson.

Distribuição exponencial

f X ( x) = λ e−λ x x ≥ 0 λ > 0

Diagrama de transição de estados

Seja n o número de clientes no sistema em um dado instante.

n é uma variável de estado.

N = 0, 1, 2, 3, …

λn – Taxa de chegadas de clientes no estado n

μn – Taxa de partida dos clientes no estado n

n clientesλ

nμn

Diagrama de transição de estados

0 1 2 ... n-1 n n+1

λ0 λ1 λn-1 λn

μ1 μ2 μn μn+1

Fluxo médio de entrada no estado n = λn−1 pn−1+μn+1 pn+1

Fluxo médio de saída do estado n = (λn+μn ) pn

pn – Probabilidade do sistema se encontrar no estado n

Equações de equilíbrio

Sistema de filas em equilíbrio (estável).

Fluxo de entrada médio no estado n deve ser igual ao fluxo de saída médio do estado n.

λn−1 pn−1+μn+1 pn+1 = (λn+μn ) pn n = 0,1, 2...

Resolvendo as equações de equilíbrio

Para n = 0:

Para n = 1 (resolvendo em função de p0):

Por indução:

μ1 p1 = λ0 p0p1 = (λ0

μ1) p0

p2 = ( λ1 λ0

μ2μ1) p0

pn = ( λn−1 ...λ0

μn ...μ1) p0 p0 = 1−∑

n=1

∞

pn

Número médio de clientes

Dadas as probabilidades de equilíbrio p0, p1, ...pn, ...

L s = ∑n=0

∞

n pn

Exercício 2

Um estacionamento de uma loja está limitado a apenas 5 vagas.

Carros chegam segundo um processo de Poisson a uma taxa de 6 carros por hora.

O tempo de permanência de um veículo no estacionamento segue uma distribuição exponencial com média de 30 min.

Carros que chegam e não encontram vaga esperam na rua (máximo de 3 carros) até uma vaga ser liberada.

Exercício 2 (cont.)

Determine:

O número médio de carros no sistema (estacionamento+fila).

A taxa efetiva de chegada para carros que conseguem utilizar o estacionamento.

O tempo médio que um carro espera por uma vaga.

O número médio de vagas ocupadas.

A utilização média do estacionamento.

A probabilidade de um carro chegar e ter uma vaga disponível.

Modelo (M/M/1):(GD:∞:∞)

É o modelo mais simples e mais utilizado em Teoria de Filas.

Admite λn = λ e μ

n = μ (taxas de chegada e de atendimento

independentes do estado)

A probabilidade pn é dada por:

pn = ( λμ )n

p0

pn = ρn p0 e ρ = λ

μ

Modelo (M/M/1):(GD:∞:∞)

Pode-se provar que:

Logo:

pn = ρn p0 e ρ = λμ

p0 = 1−ρ

pn = ρn(1−ρ)

Modelo (M/M/1):(GD:∞:∞)Número médio de clientes no sistema

L s = ∑n=0

∞

n pn

L s = ∑n=0

∞

nρn(1−ρ)

L s =ρ

1−ρ

Exercício 3

Considere um lava-jato com apenas uma baia para lavagem.

Veículos chegam a uma taxa média de λ = 4 carros por hora.

O tempo de lavagem é exponencial, com média de 10 min.

Carros que não encontram a baia livre, podem esperar estacionados na rua.

Determine as medidas de desempenho do lava-jato.