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TEMA 3 Trigonometria e Números Complexos

FICHA DE CONSOLIDAÇÃO 12

NOME: N.O: TURMA: DATA:

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.

1 Observe o quadrado [ABCD ] em que M é o ponto médio do lado [AD ] D C

e o ponto P é o ponto médio do lado [BC ].Calcule um valor aproximado de i em graus e minutos. M θ P

A B

2 Considere a expressão: A ( x )=1−(sen x−cos x)2

1−sen2 x, x≠ π

2+kπ ,k∈

2.1 Mostre que: A ( x )=2 tg x , x≠ π2+kπ , k∈

2.2 Sabendo que: A (α )=4 e α∈3. °Q, determine o valor exato de: C

cos (π2 −θ)+sen (α−3π )

2.3 Resolva a equação: A ( x )=−2√3

2.4 O triângulo [ABC ], na figura, é retângulo em A.θ

Sabe-se que 0<θ< π2

é a amplitude do ângulo em B e que AB=2.

Mostre que a expressão que representa a área do triângulo [ABC ]em função de θ é dada por A (θ ).

3 Simplifique a expressão: cos (π2 −θ)cos (3 π2

−θ)−cos (−θ ) sen ( π2−θ) 4 Resolva, em IR, as condições:

a) 1+2sen x=cos π c) sen (2x )=cos( 2π3 ) e) tg2 x−π

3=−1

√3

b) 1−2cos2 x=0 d) sen x=1−2 sen2 x f) tg ( πx )=0

5 Determine k , de modo que exista α , tal que:

a) cos α=1−2k3

c) sen α=√k2˄ cos α= k

2√2

b) tgα=2k 2−k ˄α ∈ [ 0 ° , 45° ] d) tgα=√k+1˄ cosα=1k

6 Considere: f ( x )=2−4 sen (2x )Sem usar a calculadora, determine:

a) o valor exato de f ( 7π6 ); c) o período positivo mínimo de f ;

b) os zeros de f ; d) o contradomínio de f .

7 Determine o domínio e o período positivo mínimo de:

a) f ( x )=tg (2 x) b) g ( x )= 3tg x

8 Resolva, recorrendo a processos analíticos, em [ 0 ,2π ], em [−π ,2 π ] e em IR:

a) sen x≥−√32

c) tg x>1

b) cos x< √22

d) sen x>cos x

9 Seja: f ( x )= 12−2 sen ( x )

+ 12+2 sen ( x )

9.1 Mostre que f ( x )=1+tg2(x ) e determine o domínio de f .

9.2 Determine o contradomínio de f .

9.3 Resolva a equação f ( x )=2.

10 Seja: f ( x )= (1+cos x )2−(1−cos x )2

2(x∈ [−π ,π ] )

10.1 Mostre que: f ( x )=2cos x

10.2 Represente graficamente, sem recorrer à calculadora, e indique o contradomínio de cada uma das funções g, h e p.

a) g ( x )=−f (x) b) h ( x )=1+ f (x) c) p ( x )=f (x−π2 )10.3 Resolva a equação: f ( x )=−1em [−π , π ]

11 Considere a expressão: A8 x¿=4 sen x cos x (em radianos)

11.1 Mostre que: 2 2

A (−x )+A ( π2 −x)=0 α α

11.2 Determine o valor exato de A (α ) sabendo que: tg (α )=−23eα∈4 ° .Q .

11.3 Resolva a equação: A ( x )=2 sen x .11.4 Mostre que a área do triângulo isósceles da figura é dada em função de α por A (α ), com α agudo.

12 Considere a expressão f ( x )=A+Bcos (C x ). Sempre que se atribuem valores reais positivos a A, B e C , obtemos uma função de domínio IR.

12.1 Prove que 2πC

é o período de qualquer função definida por uma expressão do tipo indicado.

12.2 Num certo rio, existe um ancoradouro para atracagem de barcos. A distância do ancoradouro ao fundo do rio varia com a maré.Admita que, num certo dia, a distância do ancoradouro ao fundo do rio, x horas depois das zerohoras desse dia, pode ser modelada por uma função do tipo:

f ( x )=A+B cos (Cx ) , com x∈ ¿¿Admita ainda que, no intervalo de tempo x∈¿:• a distância máxima do ancoradouro ao fundo do rio é de 17 metros, e a mínima é de 11 metros;• ocorrem duas marés altas, uma às 0 horas e outra às 12 horas;• ocorrem duas marés baixas, uma às 6 horas e outra às 18 horas.

Justifique que, no modelo f ( x )=A+B cos (C x ), se tem

C=π6

tenha em conta a alínea 12.1 e o facto de não existir nenhum período

positivo inferior a 2 πC ).

Em seguida, determine os valores de A e B (positivos) adequados ao modelo.