MAT 1107 - CD 4[1]

FUNÇÃO COMPOSTASeja f uma função de A em B e seja g uma função de B em C.Chama-se função composta de g com f a função h definida

de A em C, tal que h(x) = g(f(x)) para todo x pertencente a A.Indicaremos esssa composição por gof(x).Esquema:

Exercícios1. Dadas as funções em IR: f(x) = x + 1 e g(x) = 3x + 5,

obtenha:

a) f(g(2)) =

f(11) = 12

b) g(f(2)) =

g(3) = 14

c) f(g(x)) =

g(x) + 1= (3x + 5) + 1= 3x + 6

d) f(f(x)) =

f(x) + 1= (x + 1) + 1= x + 2

2. Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [1, 3] pelográfico:

Calcule:a) f(f(1)) =

f(2) = 3

b) f(f(f(1))) =

f(3) = 0

3. Sendo f(2x – 1) = x2, calcule f(5).

Temos: 2x – 1 = 5∴ x = 3

Logo, f(5) = 32 = 9

4. Dado f(x) = 2x – 3 e f(g(x)) = x2, obtenha g(x).

f(g(x)) = x2

2 ⋅ g(x) – 3 = x2

2 ⋅ g(x) = x2 + 3

∴ g(x) = x2 + 3

2

y

3

2

0 1 2 3 x

A B Cf g

h

ALFA-4 ★ 850750409 5 ANGLO VESTIBULARES

Aula 25FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES)

setor 110711070409

11070409-SP

• Veja o exemplo 4, cap. 8.• Resolva o exercício 1, série 7.• Resolva os exercícios 3 e 4, série 7.

• Resolva os exercícios 2, 6 e 8, série 7.• Resolva os exercícios 5 e 7, série 7.

Tarefa Complementar

Tarefa Mínima

� Livro 1 — Unidade III

Caderno de Exercícios — Unidade II

ORIENTAÇÃO DE ESTUDO


Aula 26EXERCÍCIOS

1. Na figura, temos esboços dos gráficos das funções f e g, da-das por f(x) = ax3 e g(x) = x, em que a é uma constante.

a) Obtenha o valor da constante a.b) Calcule a área da região sombreada.

a) Como (2, 2) ∈ f, temos f(2) = 2, ou seja, a ⋅ 23 = 2 e,portanto, a = 0,25.

b)

Como as regiões I e III são equivalentes (suas áreas sãoiguais), podemos concluir que a área da região II + III éigual à área da região I + II. Essa área é igual a 2.

2. Na figura, temos um esboço do gráfico de uma função fperiódica. Para todo real x e para todo inteiro h, temosf(x + h ⋅ 3) = f(x).

Dado que f(1) = 1, obtenha:a) f (3,14)b) f (2006)c) f (–2006)

a) Para 3 � x � 4, temos Δy = Δx. Isto é, com 0 � Δx � 1,temos f(3 + Δx) = Δx.Logo, f (3,14) = 0,14

b) Na divisão euclidiana de 2006 por 3, temos quoci-ente 668 e resto 2.Assim, 2006 = 2 + 668 ⋅ 3 e, portanto,f (2006) = f (2 + 668 ⋅ 3)

= f(2)= 0,5

c) 1º- modo: –2006 = – 2 + (– 668) ⋅ 3f (– 2006) = f (– 2)

= 12º- modo: Na divisão euclidiana de – 2006 por 3,temos quociente – 669 e resto 1.Assim, – 2006 = 1 + (– 669) ⋅ 3 e, portanto,f(–2006) = f(1)

= 1

–1 0 1 2 3 4

f(x)

x

y

2 x

g

f

III

III

y

2 x

g

f

III

III

y

2 x

g

f

• Faça os exercícios a seguir:

1. Obtenha os pontos de intersecção da curva y = x2 – 2x com a retay = – x + 2 .

2. Na figura, cada ponto da semi-reta representa um par ordenado(t, v), com t � 0 e v = 2 + 10t. Obtenha a área S do trapézio emfunção de t.

• Faça os exercícios a seguir:

1. Obtenha os pontos de intersecção da curva y = x3 – 2x com aparábola y = x2.

2. Na figura, temos esboços dos gráficos das funções f e g, dadaspor f(x) = ax4 e g(x) = x, em que a é uma constante.

Obtenha o valor de a, sabendo que a área da região sombreada éigual a 1.

3. Sabe-se que, para todo valor positivo da constante k, a área daregião determinada pelas retas x = k e y = 0 e a parábola y = x2 é

igual a k3. Obtenha a área da região determinada pela parábola

y = x2 e as retas y = 0, x = 1 e x = 2.

13

yf

g

x

Tarefa Complementar

(r)

t

v

(t, v)

S

Tarefa Mínima



Aula 27NÚMEROS REAIS: NÚMEROS RACIONAIS E NÚMEROS IRRACIONAIS

1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS: ININ = {0, 1, 2, 3, …}IN* = {1, 2, 3, …}

2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: ��

� = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…}

�* = {…, –3, –2, –1, 1, 2, 3,…}

�+ = {0, 1, 2, 3,…}

�– = {…, –3, –2, –1, 0}

3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: ��

� =

isto é, um número x é racional se, e somente se, existirem

números inteiros a e b, b ≠ 0, tais que x = . Assim:

a)

b) 0,3 =

c) 0,666 … =

OBSERVAÇÃO:A representação decimal de todo número racional ou é

finita ou é periódica infinita.

Exemplos:

a) c)

b) d)

4. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAISExistem dízimas infinitas não periódicas; são os números

irracionais. Como exemplos de números irracionais, podemoscitar:

π = 3,1415926535…

0,515511555111…

Os números irracionais não podem ser escritos na for-

ma com a e b inteiros e b ≠ 0.ab

2 1 414213562= …,

3 1 7320508075= …,

15099

1 5151= …,54

1 25= ,

13

0 333= …,25

0 4= ,

23

∈ �

310

∈ �

13

∈ �

ab

ab

a e b| *∈ ∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

� �

5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: IRÉ o conjunto união do conjunto dos números racionais com oconjunto dos números irracionais.

OBSERVAÇÃO:

Indicamos o conjunto dos números irracionais por IR – �.

6. SUBCONJUNTO DE IRVejamos alguns subconjuntos de IR:IR* = {x ∈ IR | x ≠ 0}IR+ = {x ∈ IR | x � 0}

IR*+ = {x ∈ IR | x � 0}

IR– = {x ∈ IR | x � 0}

IR*– = {x ∈ IR | x � 0}

7. OBSERVAÇÕESa) Número par

Todo número da forma 2n com n ∈ � é chamado númeropar. O conjunto dos números pares é

{… , –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …}

b) Número ímpar

Todo número da forma 2n + 1 com n ∈ � é chamadonúmero ímpar. O conjunto dos números ímpares é

{…, –5, –3, –1, 1, 3, 5, …}

c) Números opostos (simétricos)Dois números são chamados opostos (ou simétricos) se asoma deles é zero. Assim, os números a e –a são opostos,pois a + (–a) = 0.Exemplo: 5 e –5

d) Números inversos (recíprocos)Dois números são chamados inversos (ou recíprocos) se o

produto deles é 1. Assim, os números a (a ≠ 0) e são

inversos, pois a ⋅ = 1

Exemplo: 5 e

ExercícioO número N = é racional ou irracional?

N =

N =

N = = 2 (racional)

• Leia os itens 1 a 5, cap, 1.

• Resolva os exercícios a seguir:

1. Quantos elementos tem o conjunto

a) 14 d) 17b) 15 e) 18c) 16

2. Ache dois números pares e consecutivos sabendo que o dobrodo menor mais o maior dá resultado 56.

3. Ache três números ímpares e consecutivos cuja soma seja 111.


1. (FUVEST) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-sedizer que:

a) x ⋅ y é irracional.b) x ⋅ y é racional.c) y2 é irracional.d) x + y é racional.e) x + y é irracional.

2. (MACK-SP) Se a, b e c são números naturais não nulos tais que c = 5a e b + 3c = 60, os possíveis valores de c são em número dea) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

Tarefa Complementar

A x x= ∈{ | }?� 2 10 3� �

Tarefa Mínima



2 (2 + ��3 )2 + ��3

4 + 2��32 + ��3

1 + 2��3 + 32 + ��3

( )1 3

2 3

2++

15

1a

1a

IN IR��


Sendo a e b, a � b, números reais, definiremos os seguintes conjuntos chamados de intervalos:

a) [a, b] = {x ∈ IR | a � x � b}

b) ]a, b[ = {x ∈ IR | a � x � b}

c) [a, b[ = {x ∈ IR | a � x � b}

d) ]a, b] = {x ∈ IR | a � x � b}

e) [a, + ∞[ = {x ∈ IR | x � a}

f) ]a, + ∞[ = {x ∈ IR | x � a}

g) ]– ∞, a] = {x ∈ IR | x � a}

h) ]– ∞, a[ = {x ∈ IR | x � a}

IRa b

IRa b

IRa b

IRa b

IRa

IRa

IRa

IRa


Aula 28NÚMEROS REAIS: EXERCÍCIOS

Exercícios1. Escrever na forma com a e b inteiros:

a) 0,33…

10x = 3,33 …

–

x =

b) 5,888…

10x = 58,888 …

–

x =

c) 3,515151…

100x = 351,515151 …

–

x =

x =

2. Dados A = [1, 5] e B = ]3, 7[, obter:a) A ∩ Bb) A ∪ B

logo,a) A ∩ B = ]3, 5]b) A ∪ B = [1, 7[

1A

B

5

3 7

11633

34899

x = 3,515151…99x = 348

539

x = 5,888…9x = 53

13

x = 0,33…9x = 3

ab


1. Escreva na forma , com a e b inteiros e b ≠ 0, os seguintes

números:a) 0,1b) 0,111…c) 0,888…d) 0,898989…e) 1,2898989…

2. Qual é o milésimo algarismo da parte periódica da dízima gerada

por


1. Classificar os seguintes números em rac. (racional) ou irrac. (irra-cional):a) 3,1416b) π

c)

d)

e)

f) 12,121212…

2. Sendo A = [3, �[ e B = [1, 5 [, obtenha:

a) A ∩ Bb) A ∪ B

22

8

4

Tarefa Complementar

157

?

ab

Tarefa Mínima




Aula 29NÚMEROS COMPLEXOS — INTRODUÇÃO

A equação x2 = 1 possui duas soluções reais e distintas, osnúmeros 1 e –1.

Temos que 12 = 1 e (–1)2 = 1.

A equação x2 = –1 possui duas soluções não reais e dis-tintas, os números i e – i

Temos que i2 = –1 e (– i)2 = –1.

O número i é chamado de unidade imaginária.

O conjunto de todos os números da forma a + bi, com a eb reais, é o conjunto dos números complexos e será indicado

por �.

Sendo z = a + bi, com a e b reais, dizemos que:a é a parte real de zb é a parte imaginária de z

Observe que z é um número real se, e somente se, b = 0.Os números complexos não reais são chamados de números

imaginários.Em particular, os números da forma bi, com b ∈ IR*, são

chamados de números imaginários puros.

Exercícios1. Resolver em � as equações

a) x2 = –4

a) x2 = – 4x2 = 4 (– 1)x2 = 4 i2

x2 = (2i)2

x = ± 2iResposta: {2i, – 2i}

b) x2 – 2x + 2 = 0

b) x2 – 2 x + 2 = 0 = (– 2)2 – 4 (1) (2) = 4 – 8 = – 4 ⇒ = 4i2

=

Resposta: {1 + i, 1 – i}

2 ± 2 i2

PRODUTOS NOTÁVEIS

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

a2 – b2 = (a – b)(a + b)a2 + b2 = (a – bi)(a + bi)a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

2. Obter as soluções não reais da equação x3 = 8.

x3 – 8 = 0x3 – 23 = 0(x – 2) (x2 + 2x + 4) = 0x – 2 = 0 ⇒ x = 2x2 + 2x + 4 = 0 = 4 – 4 (1) (4) = 4 – 16 = – 12 = 12i2

x =

Resposta: – 1 + i e – 1 – i

• Leia os itens 1 a 5, cap. 13.• Faça o exercício 2(a, b, c, d), série 11.

• Faça o exercício 2(e, f, g, h), série 11.

Tarefa Complementar

Tarefa Mínima

� Livro 1 — Unidade IV

Caderno de Exercícios — Unidade III


�3�3

– 2 ± 2 i �32


Aula 30NÚMEROS COMPLEXOS — IGUALDADE E CONJUGADO

IGUALDADE DE COMPLEXOSSendo a, b, c e d números reais, temos que

a + bi = c + di ⇔

Exercícios1. Obter os reais x e y tais que:

a) x + 3 + (y – 4) i = 5 + 7ib) 2x + y + (x – y) i = 4 – i

a) x + 3 = 5 e y – 4 = 7Resposta: x = 2, y = 11

b)

Somando membro a membro, temos 3x = 3∴ x = 1Substituindo em (2) temos 1 – y = – 1∴ y = 2Resposta: x = 1, y = 2

2. Obter todos os pares ordenados (x, y), com x ∈ IR e y ∈ IR,de modo que x2 – y2 + (y – 1) i = 4

x2 – y2 + (y – 1) i = 4 + 0i

De (2) temos: y = 1Substituindo em (1):x2– 1 = 4

x2= 5 ∴ x = ±

Resposta: ( ) e (– )�5 , 1�5 , 1

�5

x2 – y2 = 4 (1)y – 1 = 0 (2)

��

�

2x + y = 4 (1)x – y = – 1 (2)

��

�

a = cb = d

��

�

CONJUGADO COMPLEXODado o número complexo z = a + bi, com a e b reais, chama-

se de conjugado complexo de z ao número –z = a – biExemplos

z = 2 + 3i ⇒ –z = 2 – 3iz = 5 – i ⇒ –z = 5 + iz = 4i ⇒ –z = –4iz = 10 ⇒ –z = 10

Exercício3. Resolver em �:

2z + i –z = 7 + 8i

Sendo z = a + bi, com a e b reais, segue que2 (a + bi) + i (a – bi) = 7 + 8i2a + 2bi + ai – bi2 = 7 + 8i2a + 2bi + ai + b = 7 + 8i(2a + b) + (a + 2b) i = 7 + 8i

4a + 2b = 14– a – 2b = – 8

+3a = 6 ∴ a = 2a + 2b = 82 + 2b = 8

2b = 6 ∴ b = 3Logo, z = 2 + 3i

Resposta: {2 + 3i}

• Leia o item 7, cap. 13.• Faça o exercício 1, série 11.• Faça o exercício 3(a, b, c), série 11.

• Faça o exercício 8, série 11.• Faça o exercício 3(d, e), série 11.

Tarefa Complementar

Tarefa Mínima




2a + b = 7a + 2b = 8

��

�


Exercícios1. Obtenha a forma algébrica de:

a) b)

a) ⋅ =

=

=

Resposta: 2 + i

b) ⋅ =

=

=

Resposta: 1 + 5 i

2. Simplificar

a) i1

i

b) i2

– 1

c) i3

i2 ⋅ i = – i

d) i4

i2 ⋅ i2 = 1

e) i5

i4 ⋅ i = i

f) i6

i4 ⋅ i2 = – 1

g) i7

i4 ⋅ i3 = – i

h) i8

i4 ⋅ i4 = 1

3. Seja n um número inteiro e seja r o resto da divisão de npor 4. Mostre que in = ir.

demonstraçãon = 4q + r, onde q é o quociente da divisão de n por 4.in = i4q + r

= i4q ⋅ ir

= (i4)q ⋅ ir

= (1)q ⋅ ir

= 1 ⋅ ir

= ir(c. q. d)

4. Simplificar

a) i1996

b) (1 + i)96

a) 1996 439 499

360

∴ i1996 = i0Resposta: 1

b) (1 + i)96 = [(1 + i)2]48

= (2i)48

= 248 ⋅ i48

= 248 ⋅ i0

Resposta: 248

2 + 10 i2

(6 – 4) + (6 + 4) i1 + 1

6 + 6 i + 4 i + 4 i2

1 – i 2

1 + i1 + i

6 + 4 i1 – i

50 + 25 i25

(6 + 44) + (33 – 8) i9 + 16

6 – 8 i + 33 i – 44 i2

9 – 16 i2

3 – 4 i3 – 4 i

2 + 11 i3 + 4 i

6 41

+ ii–

2 113 4

++

ii


Aula 31NÚMEROS COMPLEXOS: DIVISÃO E POTÊNCIAS NATURAIS DA UNIDADE

• Leia o item 6, cap. 13.• Faça o exercício 6(a, b, c), série 11.• Faça o exercício 4, série 11.

• Faça o exercício 6(d, e), série 11.• Faça os exercícios 5 e 7, série 11.

Tarefa Complementar

Tarefa Mínima





Aula 32NÚMEROS COMPLEXOS: PLANO DE ARGAND-GAUSS, MÓDULO

• Até este ponto, usamos, para representar um número com-plexo a expressão a + bi, em que a e b são números reais ei é a unidade imaginária.

Com a, b, c e d reais, temos que:a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi) ⋅ (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Podemos representar cada número complexo simplesmentepor um par ordenado (a, b), com a e b reais. Assim, temos,por exemplo:3 + 4i = (3, 4)4 + 3i = (4, 3)i = (1, 0)i = (0, 1)

Desse modo, o conjunto � dos números complexos podeser descrito como sendo um conjunto de pares ordenadosde números reais, tais que:(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)(a, b) ⋅ (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

• O plano de Argand-Gauss é uma representação gráfica

do conjunto �; nele, cada número complexo (a, b), ouseja a + bi, com a e b reais, é representado pelo ponto Pde abscissa a e ordenada b. O ponto P é chamado de afixodo número complexo.

• Dado o complexo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de

módulo de z ao número real não negativo |z| = .

Note que, no plano de Argand-Gauss, o módulo de z é à dis-tância da origem a seu afixo.

• PropriedadesPara quaisquer números complexos z e w, temos

|z| � 0|z|2 = z ⋅ z–

|z ⋅ w| = |z| ⋅ |w|

(w ≠ 0)

|z + w| � |z| + |w||z – w| � ||z| – |w||

zw

|z || w |

=

Im(z)

Re(z)

Pb

a

|z|

a b2 2+

Im(z)

Re(z)

Pb

a

Exercícios1. Sejam z = 3 + 4i e w = iz. Represente z e w no plano de

Argand-Gauss e calcule |z|, |w| e |z + w|.

w = i(3 + 4i) ∴ w = – 4 + 3i

|z| = ��32 + 42� = 5

|w| = ��(–4)2� + 32�� = 5z + w = (3 + 4i) + (– 4 + 3i)z + w = – 1 + 7i

|z + w| = ��(–1)2� + 72�� = ��50�

|z + w| = 5 ��2 Note que |z + w| � |z| + |w|

2. Represente, no plano de Argand-Gauss, o conjunto

{z ∈ �: z = z– + 2i}

Sendo z = x + yi, com x e y reais, temos:x + yi = x – yi + 2i2yi = 2iy = 1

• Faça o exercício 9, série 11.

• Faça os exercícios 15 a 18, série 11.

Tarefa Complementar

Tarefa Mínima

� Livro 1 — Unidade IV (Cap. 13)



Im(z)

Re(z)

1

–4 3

3

4

Im(z)

Re(z)

(Z)

(W)


Aula 33NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA, OPERAÇÕES

• Dado o complexo não nulo z = a + bi, com a e b reais, cha-mamos de argumento de z ao número real θ, 0 � θ � 2π,

tal que cos θ = e sen θ = , com ρ = |z|

• Do item anterior, temos a = ρ ⋅ cos θ e b = ρ ⋅ senθ. Logo,a + bi = ρ ⋅ cosθ + i ⋅ ρ ⋅ senθ. Assim, nessas condições, te-mos que, todo complexo não nulo z = a + bi pode serrepresentado pela expressão ρ(cosθ + i ⋅ senθ), em que ρe θ são, nessa ordem, o módulo e o argumento de z. Essarepresentação é chamada de forma trigonométrica (ouforma polar) de z.

Im(z)

Re(z)

b

a

ρ

θ

b

ρa

ρ

Exercícios1. Obtenha a forma trigonométrica de cada um dos complexos

a seguir:a) z = 1 + i

z = ��2 cos + i sen

b) z = + i

z = 1 cos + isen

c) z = –3i

|z| = 3

z = 3 cos + i sen

2. Sendo α e β números reais, mostre que

(cos α + i sen α)(cos β + i sen β) =

cos(α + β) + i sen(α + β)

(cos α + i sen α)(cos β + i sen β) == cos α ⋅ cos β + i cos α ⋅ sen β ++ i sen α ⋅ cos β + i2 ⋅ sen α sen β= cos α cos β – sen α sen β ++ i(sen α cos β + sen β cos α)= cos(α + β) + i sen (α + β)



Tarefa Complementar

Tarefa Mínima




⎞⎟⎠

3π2

3π2

⎛⎜⎝

Im(z)

Re(z)

–3

Im(z)

Re(z)

–3

⎞⎟⎠

π3

π3

⎛⎜⎝

Im(z)

Re(z)

1

12

√32

π/3

Im(z)

Re(z)

1

12

√32

π/3

32

12

⎞⎟⎠

π4

π4

⎛⎜⎝

Im(z)

Re(z)

π/4

1

1

√2—

Im(z)

Re(z)

π/4

1

1

√2—


• Dados, pelas suas formas trigonométricas, os números comple-xos z = r(cosα + i ⋅ senα) e w = s(cosβ + i ⋅ senβ), temos:

• Sendo |z| = r e |w| = s, temos:

• Também são importantes as propriedades:

Exercícios1. Dado que z = 2(cos45º + i ⋅ sen45º) e que

w = cos15º + i ⋅ sen15º, obtenha a forma algébrica de:

a) z ⋅ wb) z3

c)

a) z ⋅ w = 2 ⋅ 1[cos(45º + 15º) + i ⋅ sen(45º + 15º)]

= 2(cos 60º + i ⋅ sen 60º)

= 2 + i

= 1 + i��3

b) z3 = 23[cos(3 ⋅ 45º) + i ⋅ sen(3 ⋅ 45º)]

= 8(cos 135º + i ⋅ sen 135º)

= 8 + i

= – 4��2 + 4i ��2

c) = [cos(45º – 15º) + i ⋅ sen(45º – 15º)]

= 2 (cos 30º + i ⋅ sen 30º)

= 2 + i

= ��3 + i

2. Sendo z = + i, determine:

a) o módulo de z10.b) o menor inteiro positivo n, tal que zn seja um número real.

a) |z| = (��3 )2 + 12 |z| = 2|z|10 = 210 |z|10 = |z10| = 1024

b) z = 2(cos 30º + i ⋅ sen 30º)

zn = 2n[cos (n ⋅ 30º) + i ⋅ sen (n ⋅ 30º)]

zn ∈ IR ⇔ sen(n ⋅ 30º) = 0Nessas condições, o menor valor inteiro positivo de n é 6.

3

⎞⎟⎠

12

��32

⎛⎜⎝

21

zw

⎞⎟⎠

��22

–��22

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

��32

12

⎛⎜⎝

zw


Aula 34NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA — OPERAÇÕES

z ⋅ w = r ⋅ s[(cos(α + β) + i ⋅ sen(α + β)]

[cos(α – β) + i ⋅ sen(α – β)]

zn = rn [cos(n α) + i ⋅ sen(n α)], com n ∈ �

zw

rs

=

|z ⋅ w| = r ⋅ s = |z| ⋅ |w|

|zn| = rn = |z|n

zw

rs

zw

= = | || |

z ⋅ z– = |z|2

|z + w| � |z| + |w|��

LEITURA COMPLEMENTAR• Consideremos as equações, na incógnita z, da forma

zn = k, em que n é uma constante inteira positiva e k éuma constante complexa não nula. Como, por exemplo,z3 = 8i e z5 = 32.

Sendo ρ(cos θ + i ⋅ sen θ) a forma trigonométrica de k, po-demos resolver essas equações do seguinte modo:Como k não é nulo, podemos concluir que z ≠ 0 e, portan-to, z também tem uma forma trigonométrica.Suponhamos então que z = r(cos α + i ⋅ sen α).De zn = k, temos[r(cos α + i ⋅ sen α)]n = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ)rn[cos(nα) + i ⋅ sen(nα)] = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ)Essa igualdade ocorre se, e somente se rn = ρ,cos (nα) = cos θ e sen(nα) = sen θ.

Devemos ter r = e nα = θ + 2hπ, ou seja,

, com h ∈ �.

Note que com h � n, temos α � 2π e, com h � 0,temos α � 0, pois 0 � θ � 2π. Assim, 0 � h � n.

• Exemplo: De z3 = 8i, temos:

[r(cos α + i ⋅ sen α)]3 = 8(cos + i ⋅ sen )

r3[cos(3α) + i ⋅ sen(3α)] = 8(cos + i ⋅ sen )

r3 = 8 e 3α = + h ⋅ 2π, h ∈ {0, 1, 2}

e , h ∈ {0, 1, 2}

r = 2 e α ∈ { }

Logo, z = 2(cos + i ⋅ sen ), ou

z = 2(cos + i ⋅ sen ), ou

z = 2(cos + i ⋅ sen ).

Na forma algébrica, temos:

z = + i, ou z = + i, ou z = –2i

Esses três números são chamados de raízes cúbicas de 8i.

• Observações importantesNas condições anteriores, considerando a equaçãozn = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ), temos:– há exatamente n raízes distintas;

– todas as raízes tem módulo igual a ;– os afixos das n raízes pertencem à circunferência λ, de

raio e centro (0, 0);– os argumentos das raízes, tomados em ordem crescente,

formam uma PA de primeiro termo e razão ;

– os afixos das raízes ‘dividem’ a circunferência λ em n par-

tes ‘iguais’ a .

• Os afixos das raízes cúbicas de 8i:

Exercício ResolvidoRepresente no plano de Argand-Gauss as raízes quintas daunidade imaginária.

z5 = i[r(cos α + i sen α)]5 = 1(cos90º + i sen90º)r5 = 1 ∴ r = 15 α = 90º + h ⋅ 360ºα = 18º + h ⋅ 72º, h ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

Z1

Z2

Z3 Z4

Z0

Im(z)

8i

– �3 + i �3 + i

– 2i

Re(z)

2πn

2πn

θn

ρn

ρn

– 33

32

π32

π

56

π56

π

π6

π6

π π π6

56

32

, ,

α π π= + ⋅6

23

hr = 83

π2

π2

π2

π2

π2

α θ π= + ⋅n

hn

2

ρn


Resumindo, de zn = ρρ(cos θθ + i ⋅⋅ sen θθ), temos

z = r(cos αα + i ⋅⋅ sen αα), com

e

, h ∈ {0, 1, 2, ..., n – 1}α θ π= +n

hn

2

rn= ρ

z0, z1, z2, z3 e z4

São as raízes da equação z5 = iz0 = cos18º + i sen18ºz1 = cos90º + i sen90º = iz2 = cos162º + i sen162ºz3 = cos234º + i sen234ºz4 = cos306º + i sen306º


• Faça os exercícios 19 e 20, série 11.

Aula 26

1. (–1, 3) e (2, 0)

2. 2t + 5t2

Aula 27

1. C

2. 18 e 20

3. 35, 37 e 39

Aula 28

1. a)

b)

c)

d)

e)

2. 8

Aula 26

1. (0, 0), (2, 4) e (–1, 1)

2.

3.

Aula 27

1. E

2. B

Aula 28

1. a) racb) irracc) racd) irrace) irracf) rac

2. a) [3, 5[b) [1, +∞[

73

24

Respostas das Tarefas Complementares

1277990

8999

89

19

110

Respostas das Tarefas Mínimas

Tarefa Complementar

Tarefa Mínima





MAT 1107 - CD 4[1]

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