MAT 1351 : Calculo para Funcoes de UmaVariavel Real I

Sylvain Bonnot (IME-USP)

2016

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Transformacoes de graficos: translacoes

Translacoes:para cima, para baixo, para esquerda , para direita

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Transformacoes de graficos: esticamento e reflexao

Esticamento e reflexao: suponha c > 11. y = cf (x) estique o grafico de y = f (x) verticalmente por

um fator de c2. (1/c)f (x) comprima.3. f (cx) comprima horizontalmente.4. f (x/c) estique horizontalmente por um fator de c,5. −f (x) reflita o grafico em torno do eixo x6. f (−x) reflita em torno do eixo y.

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Exemplos de esticamentos: com a funcao co-seno /Aplicacao

ExercıcioDemostrar que o grafico de qualquer funcao quadratica pode ser obtidoa partir do grafico de y = x2 com translacoes, esticamentos e reflexoes.

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Alguns exemplos

ExercıcioEsboce o grafico das funcoes : f (x) = 3 + |3x + 2|, g(x) = 1

x+3 ,h(x) = −4(x− 2)2 + 5.Funcao definida por partes:

ExercıcioEsboce o grafico da funcao: f (x) = 3 + 5x se x ≤ 2f (x) = 13 + (x− 1)2 se x > 2.

ExercıcioDado o grafico de f , esboce o grafico de f (3x + 1), f (−x)− 2.

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Exemplos

ExercıcioEsboce o grafico de f (x) = x2 + 10x + 27. De g(x) = |x2 + 2x− 8|,de h(x) = |(x + 1)3 − 1|.

ExercıcioEsboce o grafico de |x3 − 2x|.

ExercıcioO grafico de y =

√3x− x2 e dado. Use as transformacoes para criar

uma funcao cujo grafico e mostrado.

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A funcao Piso f (x) = [[x]]

Definicao

A funcao piso e definida por f (x) = maior inteiro menor ou igul a x.

ExercıcioObtenha o grafico de f (x) = x− [[x]].

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Funcao composta

Imagem de f : lembra que a imagem de f eImf = {f (x) | x ∈ Df }.

Definicao

Sejam f e g duas funcoes tais que Imf ⊂ Dg, entao a funcao dada por

y = g(f (x)), x ∈ Df

e chamada funcao composta de g e f , e e denotada por g ◦ f .Pergunta: g ◦ f = f ◦ g? ou nao?

ExercıcioDetermine g ◦ f e f ◦ g para f (x) = x + 1, g(x) = x2.

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Exemplos de composicoes

Encontre as funcoes f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g e seus domınios

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Composicoes

ExercıcioVerifique que Im(f ) ⊂ Dg e determine h(x) = g(f (x))1. g(x) = 3x + 1 e f (x) = x + 22. g(x) =

√x e f (x) = 2 + x2

3. g(x) = x+1x−2 e f (x) = x2 + 3

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Funcoes trigonometricas: seno e co-seno

TeoremaExiste um unico par de funcoes definidas em R chamadas sen e costais que :1. sen0 = 0, cos 0 = 12. Para todo a e b, sen(a− b) = sena cos b− senb cos a.3. Para todo a e b, cos(a− b) = cos a cos b + sena senb.4. Existe r > 0 tal que 0 < senx < x < tg(x) onde tg(x) = senx

cos x .5. Existe um menor numero positivo π tal que cos(π/2) = 0.

Exercıcio

1. Mostre que (cos x)2 + ( senx)2 = 1.2. Mostre que sen e uma funcao impar e cos e uma funcao par.

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Exemplos

Exercıcioesboce o grafico de sen(2x), cos(1/x), x2. sen(1/x).

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Funcoes Exponenciais: introducao e algumas propriedadesI Caso mais simples: para n um inteiro ≥, e a um numero

real:an = a.a . . . .a (n vezes)

I Caso 2: seja n > 0 inteiro, a ∈ R: vamos definir:

a−n =1an .

I Caso ax onde x = pq e racional: vamos simplesmente

definir:a

pq =

q√

ap = ( q√

a)p

Pergunta

Como definir ax quando x e um numero real?Ideia: seja x = x0, x1x2x3x4 . . . (exemplo, x = π = 3, 1415 . . .).Os numeros 3, depois 3, 1, depois 3, 14, etc sao racionais, entaopodemos considerar ax

0, e depois ax0,x1 , e depois ax0,x1x2 . Essasequencia vai ter um limite, que a gente vai denotar por ax.

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Primeiras propriedades das funcoes exponenciais

Conclusao: para cada a > 0, existe uma funcao x 7→ ax.

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Primeiro encontro com o limiteConstrucao de

√2: como o limite de 1, depois 1, 4, depois 1, 41 ;

1, 414 . . .

TeoremaSeja uma sequencia (xn) de numeros reais que e crescente (isto exn ≤ xn+1) e limitada (isto e: existe um numero real M tal que todosos xn sao ≤ M). Entao (xn) tem um limite.

Demonstracao.

As partes inteiras dos xn sao limitadas, entao eu posso pegar amaior (seja E ∈ Z. Tem um numero na sequencia cuja parteinteira e E (vamos denotar ele xN0). Todos os xn com n ≥ N0 vaoter a mesma parte inteira (porque?).Agora: para todos os numeros depois de xN0 , eu posso olhar aprimeira decimal e pegar a maior (vamos denotar ela de E1):entao existe um xN1 cuja expansao comeca com E0, E1. Todos osxn com n ≥ N1 vao comecar com E0, E1.

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Primeiro encontro com o limite II

Demonstracao.

Agora: para todos os numeros depois de xN1 , eu posso olhar asegunda decimal e pegar a maior (vamos denotar ela de E2):entao existe um xN2 cuja expansao comeca com E0, E1E2. Todosos xn com n ≥ N2 vao tambem comecar com E0, E1E2 (porque).Continuar assim, sem parar: a gente vai construir um numeroreal L = E0, E1E2E3 . . ., chamada o limite da sequencia (xn), edenotado por L = limn∈N xn.

Observacao

Para cada εk =1

10k = 10−k, existe Nk ∈N tal que todos os xn comn ≥ Nk vao satisfazer |xn − L| ≤ εk = 10−k

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Exponencial II: propriedades

Teorema (Lei dos expoentes)

Se a e b forem numeros positivos e x e y, numeros reais quaisquer,entao:

ax+y = axay (ax)y = axy

ax−y =ax

ay (ab)x = axbx

Definicao de ex: o numero e = 2, 718 . . . e o unico tal que afuncao ex tem uma reta tangente de inclinacao m = 1 no ponto(0, 1).Historia: primeira definicao de e: como limite de

(1 + 1

n

)n

(Bernoulli 1680).

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Exponencial III: propriedades

Teorema

1. Se a = 1 entao ax = 1x = 1 para cada x ∈ R,2. Se a > 1 entao x 7→ ax e estritamente crescente (isto e:

x < y⇒ ax < ay), e limx→+∞ ax = +∞, e limx→−∞ ax = 0.3. Se a < 1 entao x 7→ ax e estritamente decrescente (isto e:

x < y⇒ ax > ay), e limx→+∞ ax = 0, e limx→−∞ ax = +∞4. Para todos a > 0, x 7→ ax e uma funcao continua.

Definicao

A notacaolimx→∞

f (x) = ∞

(lida como ”o limite de f (x) quando x tende a infinito e o infinito”)significa: para qualquer numero M, existe um numero N tal quef (x) > M sempre que x > N.

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Praticar com limx→∞ f (x) = ∞

ExercıcioMostrar que limx→∞ 3x = ∞.

ExercıcioMostrar que limx→∞ x2 = ∞.

ExercıcioMostrar que limx→∞ x− cos(2x) = ∞.

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Exponencial IV

Na verdade ja podemos demostrar tudo! Por exemplo:

Demonstracao.

(2) Para inteiros N1 < N2, temos que aN1 < aN2 , e tambema1/N1 < a1/N2 . Entao se x < y (e x, y sao racionais) temos queax < ay. Depois no caso geral, quando x, y sao reais, e suficienteencontrar numeros racionais u < v tais que x < u < v < y emostrar

ax < au < av < ay.

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Funcoes potencia x 7→ xα

Grafico:

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Exemplos: Frequencia cardiaca e Taxa metabolica basal

Exemplo de funcao potencia:

Freq.Card. = K.(Peso)−1/4

(passarinho: 800 , rato: 250-450 pulsacoes, humano : 60-100(mas ciclista M. Indurain tem 28 ...), cavalo:30 )

Definicao

A TMB (”Taxa metabolica basal”) e a quantidade de energiaproduzida cada dia por um animal .

Definicao (Lei de Kleiber)

TMB = M3/4, onde M e a massa do animal.

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Limites: que significa limx→a f (x) = L?

Como ler: ”o limite de f (x), quando x tende a a, e igual a L. Ou,tambem f (x) tende a L quando x tende a a.Outra notacao: f (x)→ L quando x→ a.Def. intuitiva 1: ”eu posso fazer f (x) arbitrariamente proximode L, tomando x suficientemente proximo de a.Def. intuitiva 2: ”a distancia entre f (x) e L pode serarbitrariamente pequena, tomando-se a distancia de x a asuficientemente pequena (mas nao igual a 0)”.

Definicao

Seja f ua funcao definida sobre um intervalo aberto que contem a,exceto possivelmente no ponto a. A frase limx→a f (x) = L significa:para todo numero ε > 0 ha um numero correspondente δ > 0 tal que

|f (x)− L| < ε sempre que 0 < |x− a| < δ

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