MAT-140 Integrais 140/2016-II/slides/Prof. Walter Parte III 2016-II - MAT... · f px qdx F px q C...
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Integral Indefinida
Definição
Seja I um intervalo e F : I Ñ R. Uma função F : I Ñ R tal que
F1
pxq “ f pxq, para todo x P I , é chamada de primitiva ou antiderivada de
f em I o que denotaremos por:
F pxq “ Antpf pxqq,@x P I
Exemplo
Achar antiderivadas para as seguintes funções:
1 f pxq “ 4x3
2 gpxq “ ex
Integral Indefinida
Definição
Seja I um intervalo e F : I Ñ R. Uma função F : I Ñ R tal que
F1
pxq “ f pxq, para todo x P I , é chamada de primitiva ou antiderivada de
f em I o que denotaremos por:
F pxq “ Antpf pxqq,@x P I
Exemplo
Achar antiderivadas para as seguintes funções:
1 f pxq “ 4x3
2 gpxq “ ex
Proposição
Seja F : I Ñ R uma função denida no intervalo aberto I e F : I Ñ R uma
antiderivada ou primitiva de f . Se F1 : I Ñ R é uma outra primitiva de f ,
então:
F1pxq “ F pxq ` C
Para alguma constante C P R.
Definição
Seja F pxq uma primitiva de f pxq denida no intervalo I . A integral
indenida de f pxq é o conjunto de todas as primitivas de f pxq denidas no
intervalo I e denotaremos por:
ż
f pxqdx “ F pxq ` C
Onde C é uma constante, chamada de constante de integração, f pxq é
chamado de integrando, f pxqdx é chamado de elemento de integração,ş
f pxqdx é chamada da integral indenida de f pxq em relação à x
Proposição
Seja F : I Ñ R uma função denida no intervalo aberto I e F : I Ñ R uma
antiderivada ou primitiva de f . Se F1 : I Ñ R é uma outra primitiva de f ,
então:
F1pxq “ F pxq ` C
Para alguma constante C P R.
Definição
Seja F pxq uma primitiva de f pxq denida no intervalo I . A integral
indenida de f pxq é o conjunto de todas as primitivas de f pxq denidas no
intervalo I e denotaremos por:
ż
f pxqdx “ F pxq ` C
Onde C é uma constante, chamada de constante de integração, f pxq é
chamado de integrando, f pxqdx é chamado de elemento de integração,ş
f pxqdx é chamada da integral indenida de f pxq em relação à x
Observação
Da denição anterior deduzimos:
1
d
dxp
ż
f pxqdxq “ p
ż
f pxqdxq1
“ pF pxq ` C q1
“ f pxq
2 Se f é uma função derivável em I , então uma primitiva de f1
é f ,
assim:ż
f1
pxqdx “ f pxq ` C
Exemplo
Calcular as integrais indenidas:
1
ş
4x3dx
2
ş
exdx
3
ş
lnpxqdx , calcule pxLnpxq ´ xq1
4
ş
dx1`x2
1a Aula
Observação
Da denição anterior deduzimos:
1
d
dxp
ż
f pxqdxq “ p
ż
f pxqdxq1
“ pF pxq ` C q1
“ f pxq
2 Se f é uma função derivável em I , então uma primitiva de f1
é f ,
assim:ż
f1
pxqdx “ f pxq ` C
Exemplo
Calcular as integrais indenidas:
1
ş
4x3dx
2
ş
exdx
3
ş
lnpxqdx , calcule pxLnpxq ´ xq1
4
ş
dx1`x2
1a Aula
Observação
Da denição anterior deduzimos:
1
d
dxp
ż
f pxqdxq “ p
ż
f pxqdxq1
“ pF pxq ` C q1
“ f pxq
2 Se f é uma função derivável em I , então uma primitiva de f1
é f ,
assim:ż
f1
pxqdx “ f pxq ` C
Exemplo
Calcular as integrais indenidas:
1
ş
4x3dx
2
ş
exdx
3
ş
lnpxqdx , calcule pxLnpxq ´ xq1
4
ş
dx1`x2
1a Aula
Propriedades
Proposição
Se f e g são funções que admitem antiderivadas no intervalo I e k P Ruma constante qualquer, então as funções f ˘ g e kf admitem
antiderivadas em I e tems:
1ż
rf pxq ˘ gpxqsdx “
ż
f pxqdx ˘
ż
gpxqdx
2ż
rkf pxqsdx “ k
ż
f pxqdx
Exemplo
Calcularż
rex ´ 4x3 ` Lnpxqsdx
Propriedades
Proposição
Se f e g são funções que admitem antiderivadas no intervalo I e k P Ruma constante qualquer, então as funções f ˘ g e kf admitem
antiderivadas em I e tems:
1ż
rf pxq ˘ gpxqsdx “
ż
f pxqdx ˘
ż
gpxqdx
2ż
rkf pxqsdx “ k
ż
f pxqdx
Exemplo
Calcularż
rex ´ 4x3 ` Lnpxqsdx
Propriedades
Proposição
Se f e g são funções que admitem antiderivadas no intervalo I e k P Ruma constante qualquer, então as funções f ˘ g e kf admitem
antiderivadas em I e tems:
1ż
rf pxq ˘ gpxqsdx “
ż
f pxqdx ˘
ż
gpxqdx
2ż
rkf pxqsdx “ k
ż
f pxqdx
Exemplo
Calcularż
rex ´ 4x3 ` Lnpxqsdx
Integrais Imediatas
Se conhecemos f1
pxq, pela observação anterior, deduzimos que:
ż
f1
pxqdx “ f pxq ` C
Integrais Imediatas
Se conhecemos f1
pxq, pela observação anterior, deduzimos que:
ż
f1
pxqdx “ f pxq ` C
ş
dx “ x ` cş
xndx “ xn`1
n`1` c , n ‰ ´1
ş
undu “ un`1
n`1` c , n ‰ ´1
ş
audu “ au
Lnpaq` c , a ą 0, a ‰ 1
ş
eudu “ eu ` cş
senpuqdu “ ´cospuq ` cş
cospuqdu “ senpuq ` c
ş
tgpuqdu “ Lnp|secpuq|q ` cş
ctgpuqdu “ Lnp|senpuq|q ` cş
secpuqdu “
Ln|secpuq ` tgpuq| ` cş
cscpuqdu “
Ln|cscpuq ´ ctgpuq| ` cş
sec2puqdu “ tgpuq ` cş
csc2puqdu “ ´ctgpuq ` c
Integrais Imediatas
ş
secpuqtgpuqdu “ secpuq ` cş
cscpuqctgpuqdu “
´cscpuq ` cş
duudu “ Lnp|u|q ` c
ş
duu2`a2
“ 1
aarctgpu
aq ` c
ş
duu2´a2
“ 1
2aLn|u´a
u`a| ` c
ş
dua2´u2
“ 1
2aLn|a`u
a´u| ` c
ş
du?a2´u2
“ arcsenpuaq ` c
ş
du?u2´a2
“
Ln|u `?u2 ´ a2| ` c
ş
du?u2`a2
“ Ln|u`?u2 ` a2|`c
ş
du
u?u2´a2
“ 1
aarcsecpu
aq ` c
ş
du?a2`u2
“ ´1
aLnpa`
?a2`u2
uq`c
ş
du?a2´u2
“ ´1
aLnpa`
?a2´u2
uq`c
ş?a2 ´ u2du “
1
2u?a2 ´ u2 ` a2
2arcsenpu
aq ` c
ş
a?u2 ˘ a2du “
1
2u?u2 ˘ a2 ˘ a2
2Ln|u `
?u2 ˘ a2| ` c
Integrais Imediatas
Exemplo
Calcule as seguintes integrais:
1
ş
p?2´
?xq2dx
2
ş
3x5´6x2`?x
x3dx
3
ş
x2`2x2px2`4q
dx
4
ş
dxx4´9
5
ş
x2`13?x2`9
dx
6
ş
sen2pxqdx
7
ş
p1` x3q665x2dx
métodos de integração: Mudança de Variável
Proposição
Se y “ f puq é uma função derivável em u, u “ gpxq função derivável em x
e F é uma antiderivada de f , então:
ż
f pgpxqqg1
pxqdx “ F pgpxqq ` C
Se fazemos u “ gpxq, então du “ g1
pxqdx, então:
ż
f pgpxqqg1
pxqdx “
ż
f puqdu “ F puq ` C
Exemplo
Calcular as seguintes integrais:
1
ż
x4
7?x5 ` 1
dx
2
ż
arcsenpxqdx?x ´ x2
3
ż
xdx
e3xp1´ xq4
4
ş
c
2`b
2`a
2` 2cosp5?x ` 4qx´
1
2 dx
2a Aula
métodos de integração: por partes
Sejam u e v funções denidas e deriváveis no intervalo I , temos
dpuvq “ vdu ` udv
de onde temos:
udv “ dpuvq ´ vdu
integrando obtemos:ż
udv “ uv ´
ż
vdu
Exemplo
Calcular:
1
ş
Lnpxqdx
2
ş
px2 ` 3x ´ 1qe2xdx
3cospxq`xsenpxq´1
psenpxq´xq2dx
4
ż
esenpxqpxcos3pxq ´ senpxqq
cos2pxqdx
3a Aula
métodos de integração: frações parciais
simples
Diremos que uma fração é simples se tem alguma das formas abaixo:
1 f pxq “ ax´r
com integral
ż
a
x ´ rdx “ aLn|x ´ r | ` C
2 f pxq “ apx´rqn
com integral
ż
a
px ´ rqndx “
a
p1´ nqpx ´ rqn´1` C
3 f pxq “ ax`bpx2`qx`r
dx para calcular esta integral, devemos fazer:
ax ` b “a
2pp2px ` qq ´
aq
2p` b
métodos de integração: frações parciais
1 Seja a função racional f pxq “ Ppxq
Qpxq, onde Ppxq e Qpxq são polinômios
de grau m e n respetivamente. Se m ă n diremos que a função
racional é própria e se m ě n, diremos que ela é imprópria.
2 Se pxq “ Ppxq
Qpxqé uma função racional imprópria, pelo algoritmo de
divisão, existem polinômios C pxq e Rpxq únicos tais que
Ppxq
Qpxq“ C pxq `
Rpxq
Qpxq
Onde o grau de Rpxq é menor que o grau de Qpxq, C pxq e Rpxq são,
respetivamente, o quociente e o resto da divisão entre Ppxq e Qpxq.
3 Do item anterior, temos que:
ż
f pxqdx “
ż
Ppxq
Qpxqdx “
ż
C pxqdx `
ż
Rpxq
Qpxq
Teorema
Se Ppxq e Qpxq são polinômios de grau n e m respetivamente com n ě 1 e
m ă n, então:
Qpxq“apx´r1qn1 px´r2q
n2 ¨¨¨px´rkqnk px2`p1x`q1q
m1 px2`p2x`q2qm2 ¨¨¨px2`psx`qsq
ms
Onde todos os fatores são polinômios irredutíveis e
n “ n1 ` n2 ` ¨ ¨ ¨ nk `m1 `m2 ` ¨ ¨ ¨ms
Teorema (continacao do teorema anterior)
e temos que:
Ppxq
Qpxq“ A11
x´r1` A12
px´r1q2` ¨ ¨ ¨
A1n1
px´r1qn1
` A21
x´r2` A22
px´r2q2` ¨ ¨ ¨
A2n2
px´r1qn2
` ¨ ¨ ¨
`Ak1
x´rk`
Ak2
px´rkq2 ` ¨ ¨ ¨
Aknk
px´r1qnk
` B11x`C11x2`p1x`q1
` B12x`C12px2`p1x`q1q2
` ¨ ¨ ¨B1m1
x`C1m1
px2`p1x`q1qm1
` B21x`C21x2`p1x`q1
` B22x`C22px2`p1x`q1q2
` ¨ ¨ ¨B2m2
x`C2m2
px2`p1x`q1qm2
` ¨ ¨ ¨
` Bs1x`Cs1
x2`p1x`q1` Bs2x`Cs2
px2`p1x`q1q2` ¨ ¨ ¨
Bsms x`Csms
px2`p1x`q1qms
Exemplo
1 Calcularş
x3´3x`3x2´x´2
dx
2 Calcularş
x2´6x`8x2`x`5
dx
3 Calcularş
1
x3`1dx
4 Calcularşa
tanpxqdx
3a e 4a Aula
métodos de integração:Substitução
Trigonomêtrica
ż
Rpx ,a
px2 ` qx ` rqdx
Completando quadrados, podemos mudar a expressão numa das formas:
1 a2 ´ u2, fazemos a substituição
"
u “ asenpθq, a ą 0
du “ acospθqdθ
2 a2 ` u2, fazemos a substituição
"
u “ atanpθq, a ą 0
du “ asec2pθqdθ
3 u2 ´ a2, fazemos a substituição
"
u “ asecpθq, a ą 0
du “ asecpθqtanpθqdθ
Exemplo
Calcular as seguintes integrais:
1
ş?9´ x2dx
2
ş
dx
x2?16`9x2
3
ş
dx
p1`x4q??
1`x4´x2
4
ş
e´xdx
p9e´2x`1q3
2
5
ş
x?1´xdx?2´x
Integral Definida: Somatorios
Definição
Sejam m, n P Z tal que m ď n e f piq uma função denida para todo i P Z.Denotaremos
nÿ
i“m
f piq “ f pmq ` f pm ` 1q ` ¨ ¨ ¨ f pnq
i é chamado de indice, m é chamado de limite inferior e n é chamado de
limite superior.
Exemplo
1 Se f piq “ i2, calcular6ÿ
i“2
f piq
2 Se f piq “ senpixq, calcularnÿ
i“1
f piq
Integral Definida: Somatorios
Definição
Sejam m, n P Z tal que m ď n e f piq uma função denida para todo i P Z.Denotaremos
nÿ
i“m
f piq “ f pmq ` f pm ` 1q ` ¨ ¨ ¨ f pnq
i é chamado de indice, m é chamado de limite inferior e n é chamado de
limite superior.
Exemplo
1 Se f piq “ i2, calcular6ÿ
i“2
f piq
2 Se f piq “ senpixq, calcularnÿ
i“1
f piq
propriedades dos sumatorios
Seja f e g funções denidas para todo inteiro e k uma constante, então:
1
nÿ
i“m
“ pn ´m ` 1qk
2
nÿ
i“m
kf piq “ k
nÿ
i“m
f piq
3
nÿ
i“m
pf piq ˘ gpiqq “
nÿ
i“m
f piq ˘
nÿ
i“m
gpiq
4
nÿ
i“m
rf piq ´ f pi ´ 1qs “ f pnq ´ f pm ´ 1q
5
nÿ
i“m
rf pi ` 1q ´ f pi ´ 1qs “ f pn ` 1q ` f pnq ´ f pmq ´ f pm ´ 1q
propriedades dos sumatorios
Seja f e g funções denidas para todo inteiro e k uma constante, então:
1
nÿ
i“m
“ pn ´m ` 1qk
2
nÿ
i“m
kf piq “ k
nÿ
i“m
f piq
3
nÿ
i“m
pf piq ˘ gpiqq “
nÿ
i“m
f piq ˘
nÿ
i“m
gpiq
4
nÿ
i“m
rf piq ´ f pi ´ 1qs “ f pnq ´ f pm ´ 1q
5
nÿ
i“m
rf pi ` 1q ´ f pi ´ 1qs “ f pn ` 1q ` f pnq ´ f pmq ´ f pm ´ 1q
propriedades dos sumatorios
Seja f e g funções denidas para todo inteiro e k uma constante, então:
1
nÿ
i“m
“ pn ´m ` 1qk
2
nÿ
i“m
kf piq “ k
nÿ
i“m
f piq
3
nÿ
i“m
pf piq ˘ gpiqq “
nÿ
i“m
f piq ˘
nÿ
i“m
gpiq
4
nÿ
i“m
rf piq ´ f pi ´ 1qs “ f pnq ´ f pm ´ 1q
5
nÿ
i“m
rf pi ` 1q ´ f pi ´ 1qs “ f pn ` 1q ` f pnq ´ f pmq ´ f pm ´ 1q
propriedades dos sumatorios
Seja f e g funções denidas para todo inteiro e k uma constante, então:
1
nÿ
i“m
“ pn ´m ` 1qk
2
nÿ
i“m
kf piq “ k
nÿ
i“m
f piq
3
nÿ
i“m
pf piq ˘ gpiqq “
nÿ
i“m
f piq ˘
nÿ
i“m
gpiq
4
nÿ
i“m
rf piq ´ f pi ´ 1qs “ f pnq ´ f pm ´ 1q
5
nÿ
i“m
rf pi ` 1q ´ f pi ´ 1qs “ f pn ` 1q ` f pnq ´ f pmq ´ f pm ´ 1q
propriedades dos sumatorios
Seja f e g funções denidas para todo inteiro e k uma constante, então:
1
nÿ
i“m
“ pn ´m ` 1qk
2
nÿ
i“m
kf piq “ k
nÿ
i“m
f piq
3
nÿ
i“m
pf piq ˘ gpiqq “
nÿ
i“m
f piq ˘
nÿ
i“m
gpiq
4
nÿ
i“m
rf piq ´ f pi ´ 1qs “ f pnq ´ f pm ´ 1q
5
nÿ
i“m
rf pi ` 1q ´ f pi ´ 1qs “ f pn ` 1q ` f pnq ´ f pmq ´ f pm ´ 1q
Exemplo
1 Calcular400ÿ
i“5
p?i ´
?i ´ 1` 4q
2 Prove quenÿ
i“1
i “npn ` 1q
2
3 Prove quenÿ
i“1
i2 “npn ` 1qp2n ` 1q
6
Integral definida
Definição
Seja ra; bs um intervalo fechado. Uma particão do intervalo ra; bs é o
conjunto P de pontos x0, x1, ¨ ¨ ¨ xn com x0 “ a ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xn “ b e será
denotado por P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu.
Observação
1 A partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs divide ra; bs em n
subintervalos.
2 O comprimento do subintervalo rxi´1; xi s, para i “ 1, 2, ¨, n, édenotado por ∆ix “ xi ´ xi´1 e temos
nÿ
i“1
∆ix “ b ´ a
Integral definida
Definição
Seja ra; bs um intervalo fechado. Uma particão do intervalo ra; bs é o
conjunto P de pontos x0, x1, ¨ ¨ ¨ xn com x0 “ a ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xn “ b e será
denotado por P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu.
Observação
1 A partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs divide ra; bs em n
subintervalos.
2 O comprimento do subintervalo rxi´1; xi s, para i “ 1, 2, ¨, n, édenotado por ∆ix “ xi ´ xi´1 e temos
nÿ
i“1
∆ix “ b ´ a
Integral definida
Definição
Seja ra; bs um intervalo fechado. Uma particão do intervalo ra; bs é o
conjunto P de pontos x0, x1, ¨ ¨ ¨ xn com x0 “ a ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xn “ b e será
denotado por P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu.
Observação
1 A partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs divide ra; bs em n
subintervalos.
2 O comprimento do subintervalo rxi´1; xi s, para i “ 1, 2, ¨, n, édenotado por ∆ix “ xi ´ xi´1 e temos
nÿ
i“1
∆ix “ b ´ a
Observação1 Denominaremos norma da partição P ou diámetro da partição P ao
número denido por:
P “ máxt∆ix ; i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu
2 Se o intervalo ra; bs for dividivo em n subintervalos de mesmo
comprimento, então temos
∆ix “b ´ a
n
e
x0 “ a, x1 “ a `b ´ a
n, x2 “ a ` 2
b ´ a
n, ¨ ¨ ¨ xn “ a ` n
b ´ a
n“ b
Observação1 Denominaremos norma da partição P ou diámetro da partição P ao
número denido por:
P “ máxt∆ix ; i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu
2 Se o intervalo ra; bs for dividivo em n subintervalos de mesmo
comprimento, então temos
∆ix “b ´ a
n
e
x0 “ a, x1 “ a `b ´ a
n, x2 “ a ` 2
b ´ a
n, ¨ ¨ ¨ xn “ a ` n
b ´ a
n“ b
Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em
ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas
x “ a, x “ b e o eixo X (chamada região embaixo da gráca de f de a até
b).
Como calcular áreapRq?
1 Denamos uma partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs.
2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher
pontos ui P rxi´1, xi s de forma tal que f pui q seja o valor mínimo de f
em rxi´1, xi s.
3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos
denidos por P e de alturas f pui q, estes retângulos tem área igual a
f pui q∆ix .
4 Os n retângulos considerados denem o polígono retangular inscrito
em R , a área deste poligono será denotado por I pPq e temos
I pPq “
nÿ
i“1
f pui q∆ix
Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em
ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas
x “ a, x “ b e o eixo X (chamada região embaixo da gráca de f de a até
b).
Como calcular áreapRq?
1 Denamos uma partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs.
2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher
pontos ui P rxi´1, xi s de forma tal que f pui q seja o valor mínimo de f
em rxi´1, xi s.
3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos
denidos por P e de alturas f pui q, estes retângulos tem área igual a
f pui q∆ix .
4 Os n retângulos considerados denem o polígono retangular inscrito
em R , a área deste poligono será denotado por I pPq e temos
I pPq “
nÿ
i“1
f pui q∆ix
Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em
ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas
x “ a, x “ b e o eixo X (chamada região embaixo da gráca de f de a até
b).
Como calcular áreapRq?
1 Denamos uma partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs.
2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher
pontos ui P rxi´1, xi s de forma tal que f pui q seja o valor mínimo de f
em rxi´1, xi s.
3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos
denidos por P e de alturas f pui q, estes retângulos tem área igual a
f pui q∆ix .
4 Os n retângulos considerados denem o polígono retangular inscrito
em R , a área deste poligono será denotado por I pPq e temos
I pPq “
nÿ
i“1
f pui q∆ix
Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em
ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas
x “ a, x “ b e o eixo X (chamada região embaixo da gráca de f de a até
b).
Como calcular áreapRq?
1 Denamos uma partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs.
2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher
pontos ui P rxi´1, xi s de forma tal que f pui q seja o valor mínimo de f
em rxi´1, xi s.
3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos
denidos por P e de alturas f pui q, estes retângulos tem área igual a
f pui q∆ix .
4 Os n retângulos considerados denem o polígono retangular inscrito
em R , a área deste poligono será denotado por I pPq e temos
I pPq “
nÿ
i“1
f pui q∆ix
Outra forma de calcular áreapRq?
1 Denamos uma partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs.
2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher
pontos vi P rxi´1, xi s de forma tal que f pvi q seja o valor máximo de f
em rxi´1, xi s.
3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos
denidos por P e de alturas f pvi q, estes retângulos tem área igual a
f pvi q∆ix .
4 Os n retângulos considerados denem o polígono retangular
circunscrito em R , a área deste poligono será denotado por C pPq e
temos
C pPq “
nÿ
i“1
f pvi q∆ix
Outra forma de calcular áreapRq?
1 Denamos uma partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs.
2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher
pontos vi P rxi´1, xi s de forma tal que f pvi q seja o valor máximo de f
em rxi´1, xi s.
3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos
denidos por P e de alturas f pvi q, estes retângulos tem área igual a
f pvi q∆ix .
4 Os n retângulos considerados denem o polígono retangular
circunscrito em R , a área deste poligono será denotado por C pPq e
temos
C pPq “
nÿ
i“1
f pvi q∆ix
Outra forma de calcular áreapRq?
1 Denamos uma partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs.
2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher
pontos vi P rxi´1, xi s de forma tal que f pvi q seja o valor máximo de f
em rxi´1, xi s.
3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos
denidos por P e de alturas f pvi q, estes retângulos tem área igual a
f pvi q∆ix .
4 Os n retângulos considerados denem o polígono retangular
circunscrito em R , a área deste poligono será denotado por C pPq e
temos
C pPq “
nÿ
i“1
f pvi q∆ix
Observação
1 Sejam P1 e P2 partições de ra; bs, então
I pP1q ď ApRq ď C pP2q
2 Se L “ tI pPq;P é uma partição de ra; bsu eU “ tC pPq;P é uma partição de ra; bsu, podemos denir
Ai “ suppLq e As “ inf pUq
, como isso temos
I pPq ď Ai ď A ď As ď C pPq
3 Podemos provar que Ai “ As “ ApRq
4 Podemos provar que se t1, t2, ¨ ¨ ¨ tn são pontos escolhidos nos n
subintervalos, então:
A “ limPÑ0
˜
nÿ
i“1
f pti q∆ix
¸
Observação
1 Sejam P1 e P2 partições de ra; bs, então
I pP1q ď ApRq ď C pP2q
2 Se L “ tI pPq;P é uma partição de ra; bsu eU “ tC pPq;P é uma partição de ra; bsu, podemos denir
Ai “ suppLq e As “ inf pUq
, como isso temos
I pPq ď Ai ď A ď As ď C pPq
3 Podemos provar que Ai “ As “ ApRq
4 Podemos provar que se t1, t2, ¨ ¨ ¨ tn são pontos escolhidos nos n
subintervalos, então:
A “ limPÑ0
˜
nÿ
i“1
f pti q∆ix
¸
Observação
1 Sejam P1 e P2 partições de ra; bs, então
I pP1q ď ApRq ď C pP2q
2 Se L “ tI pPq;P é uma partição de ra; bsu eU “ tC pPq;P é uma partição de ra; bsu, podemos denir
Ai “ suppLq e As “ inf pUq
, como isso temos
I pPq ď Ai ď A ď As ď C pPq
3 Podemos provar que Ai “ As “ ApRq
4 Podemos provar que se t1, t2, ¨ ¨ ¨ tn são pontos escolhidos nos n
subintervalos, então:
A “ limPÑ0
˜
nÿ
i“1
f pti q∆ix
¸
Observação
1 Sejam P1 e P2 partições de ra; bs, então
I pP1q ď ApRq ď C pP2q
2 Se L “ tI pPq;P é uma partição de ra; bsu eU “ tC pPq;P é uma partição de ra; bsu, podemos denir
Ai “ suppLq e As “ inf pUq
, como isso temos
I pPq ď Ai ď A ď As ď C pPq
3 Podemos provar que Ai “ As “ ApRq
4 Podemos provar que se t1, t2, ¨ ¨ ¨ tn são pontos escolhidos nos n
subintervalos, então:
A “ limPÑ0
˜
nÿ
i“1
f pti q∆ix
¸
6a Aula
Exemplo1 Calcular a área da região limitada pelo gráco de y “ x ` 1, x “ 0,
x “ 3 e o eixo X .
2 Calcular a área da região limitada pelo gráco de y “ x2, x “ 3 e o
eixo X .
Integral
Definição
1 Seja f : ra; bs Ñ R uma função limitada, e P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu uma
partição de ra; bs denamos a soma superior de f em relação a P por
Spf ,Pq “nÿ
i“1
supxPrxi´1;xi spf pxqq∆ix
2 Seja f : ra; bs Ñ R uma função limitada, e P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu uma
partição de ra; bs denamos a soma inferior de f em relação a P por
I pf ,Pq “nÿ
i“1
infxPrxi´1;xi spf pxqq∆ix
Integral
Definição
1 Seja f : ra; bs Ñ R uma função limitada, e P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu uma
partição de ra; bs denamos a soma superior de f em relação a P por
Spf ,Pq “nÿ
i“1
supxPrxi´1;xi spf pxqq∆ix
2 Seja f : ra; bs Ñ R uma função limitada, e P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu uma
partição de ra; bs denamos a soma inferior de f em relação a P por
I pf ,Pq “nÿ
i“1
infxPrxi´1;xi spf pxqq∆ix
Definição
Considere uma função limitada f : ra; bs Ñ R. Se
limPÑ0
Spf ,Pq “ limPÑ0
I pf ,Pq
Diremos que a integral de Riemann de f existe ou que a função f é
Riemann integrável e denotaremos porşb
af pxqdx, assim temos:
ż b
a
f pxqdx “ limPÑ0
Spf ,Pq “ limPÑ0
I pf ,Pq
Exemplo
Considere a função de Dirichlet f : r0; 1s Ñ R denida por:
f pxq “
"
0 se x P I1 se x P Q
Verique que ela não é integrável.
Definição
Considere uma função limitada f : ra; bs Ñ R. Se
limPÑ0
Spf ,Pq “ limPÑ0
I pf ,Pq
Diremos que a integral de Riemann de f existe ou que a função f é
Riemann integrável e denotaremos porşb
af pxqdx, assim temos:
ż b
a
f pxqdx “ limPÑ0
Spf ,Pq “ limPÑ0
I pf ,Pq
Exemplo
Considere a função de Dirichlet f : r0; 1s Ñ R denida por:
f pxq “
"
0 se x P I1 se x P Q
Verique que ela não é integrável.
Definição1 Se a ă b, deniremos
ż a
b
f pxqdx “ ´
ż b
a
f pxqdx
2 Se f esta denida em a, então
ż a
a
f pxqdx “ 0
Propriedades da Integral Definida
1 Se f é uma função contínua no intervalo ra; bs então ela é integrável.
2 Se f é uma função integrável em ra; bs então ela é integrável em
qualquer subintervalo rc ; d s Ă ra; bs.3 Se f é integrável em ra; bs, e k é qualquer constante, então kf é
integrável e temos:ż b
a
pkf qpxqdx “ k
ż b
a
f pxqdx
4 Se f e g são integráveis em ra; bs, então f ˘ g é integrável e temos:ż b
a
pf ˘ gqpxqdx “
ż b
a
f pxqdx ˘
ż b
a
gpxqdx
5 Se f é integrável em ra; cs e em rc ; bs, então f é integrável em ra; bs etemos:
ż b
a
f pxqdx “
ż c
a
f pxqdx `
ż b
c
f pxqdx (c qualquer)
Propriedades da Integral Definida
1 Se f é uma função contínua no intervalo ra; bs então ela é integrável.2 Se f é uma função integrável em ra; bs então ela é integrável em
qualquer subintervalo rc ; d s Ă ra; bs.
3 Se f é integrável em ra; bs, e k é qualquer constante, então kf é
integrável e temos:ż b
a
pkf qpxqdx “ k
ż b
a
f pxqdx
4 Se f e g são integráveis em ra; bs, então f ˘ g é integrável e temos:ż b
a
pf ˘ gqpxqdx “
ż b
a
f pxqdx ˘
ż b
a
gpxqdx
5 Se f é integrável em ra; cs e em rc ; bs, então f é integrável em ra; bs etemos:
ż b
a
f pxqdx “
ż c
a
f pxqdx `
ż b
c
f pxqdx (c qualquer)
Propriedades da Integral Definida
1 Se f é uma função contínua no intervalo ra; bs então ela é integrável.2 Se f é uma função integrável em ra; bs então ela é integrável em
qualquer subintervalo rc ; d s Ă ra; bs.3 Se f é integrável em ra; bs, e k é qualquer constante, então kf é
integrável e temos:ż b
a
pkf qpxqdx “ k
ż b
a
f pxqdx
4 Se f e g são integráveis em ra; bs, então f ˘ g é integrável e temos:ż b
a
pf ˘ gqpxqdx “
ż b
a
f pxqdx ˘
ż b
a
gpxqdx
5 Se f é integrável em ra; cs e em rc ; bs, então f é integrável em ra; bs etemos:
ż b
a
f pxqdx “
ż c
a
f pxqdx `
ż b
c
f pxqdx (c qualquer)
Propriedades da Integral Definida
1 Se f é uma função contínua no intervalo ra; bs então ela é integrável.2 Se f é uma função integrável em ra; bs então ela é integrável em
qualquer subintervalo rc ; d s Ă ra; bs.3 Se f é integrável em ra; bs, e k é qualquer constante, então kf é
integrável e temos:ż b
a
pkf qpxqdx “ k
ż b
a
f pxqdx
4 Se f e g são integráveis em ra; bs, então f ˘ g é integrável e temos:ż b
a
pf ˘ gqpxqdx “
ż b
a
f pxqdx ˘
ż b
a
gpxqdx
5 Se f é integrável em ra; cs e em rc ; bs, então f é integrável em ra; bs etemos:
ż b
a
f pxqdx “
ż c
a
f pxqdx `
ż b
c
f pxqdx (c qualquer)
Propriedades da Integral Definida
1 Se f é uma função contínua no intervalo ra; bs então ela é integrável.2 Se f é uma função integrável em ra; bs então ela é integrável em
qualquer subintervalo rc ; d s Ă ra; bs.3 Se f é integrável em ra; bs, e k é qualquer constante, então kf é
integrável e temos:ż b
a
pkf qpxqdx “ k
ż b
a
f pxqdx
4 Se f e g são integráveis em ra; bs, então f ˘ g é integrável e temos:ż b
a
pf ˘ gqpxqdx “
ż b
a
f pxqdx ˘
ż b
a
gpxqdx
5 Se f é integrável em ra; cs e em rc ; bs, então f é integrável em ra; bs etemos:
ż b
a
f pxqdx “
ż c
a
f pxqdx `
ż b
c
f pxqdx (c qualquer)
Propriedades da Integral Definida
1 Se f é integrável em ra; bs e f pxq ě 0 para todo x P ra; bs então:ż b
a
f pxqdx ě 0
2 Se f e g são integráveis em ra; bs e f pxq ď gpxq para todo x P ra; bsentão:
ż b
a
f pxqdx ď
ż b
a
gpxq
3 Se f é integrável em ra; bs e m ď f pxq ď M para todo x P ra; bsentão:
mpb ´ aq ď
ż b
a
f pxqdx ď Mpb ´ aq
4 Se f é integrável em ra; bs então:
|
ż b
a
f pxqdx | ď
ż b
a
|f pxq|dx
Propriedades da Integral Definida
1 Se f é integrável em ra; bs e f pxq ě 0 para todo x P ra; bs então:ż b
a
f pxqdx ě 0
2 Se f e g são integráveis em ra; bs e f pxq ď gpxq para todo x P ra; bsentão:
ż b
a
f pxqdx ď
ż b
a
gpxq
3 Se f é integrável em ra; bs e m ď f pxq ď M para todo x P ra; bsentão:
mpb ´ aq ď
ż b
a
f pxqdx ď Mpb ´ aq
4 Se f é integrável em ra; bs então:
|
ż b
a
f pxqdx | ď
ż b
a
|f pxq|dx
Propriedades da Integral Definida
1 Se f é integrável em ra; bs e f pxq ě 0 para todo x P ra; bs então:ż b
a
f pxqdx ě 0
2 Se f e g são integráveis em ra; bs e f pxq ď gpxq para todo x P ra; bsentão:
ż b
a
f pxqdx ď
ż b
a
gpxq
3 Se f é integrável em ra; bs e m ď f pxq ď M para todo x P ra; bsentão:
mpb ´ aq ď
ż b
a
f pxqdx ď Mpb ´ aq
4 Se f é integrável em ra; bs então:
|
ż b
a
f pxqdx | ď
ż b
a
|f pxq|dx
Propriedades da Integral Definida
1 Se f é integrável em ra; bs e f pxq ě 0 para todo x P ra; bs então:ż b
a
f pxqdx ě 0
2 Se f e g são integráveis em ra; bs e f pxq ď gpxq para todo x P ra; bsentão:
ż b
a
f pxqdx ď
ż b
a
gpxq
3 Se f é integrável em ra; bs e m ď f pxq ď M para todo x P ra; bsentão:
mpb ´ aq ď
ż b
a
f pxqdx ď Mpb ´ aq
4 Se f é integrável em ra; bs então:
|
ż b
a
f pxqdx | ď
ż b
a
|f pxq|dx
Teoremas Fundamentais do Cálculo
7a Aula
Teorema (valor intermediario para integrais)
Se f é uma função contínua em I “ ra; bs então existe c P I tal que
ż b
a
f pxqdx “ f pcqpb ´ aq
Teoremas Fundamentais do Cálculo
Teorema (Primeiro teorema Fundamental do Cálculo)
Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R a função denida
por:
F pxq “
ż x
a
f ptqdt
Então:
F1
pxq “d
dx
ˆż x
a
f ptqdt
˙
“ f pxq
Observação1 Este teorema é uma ponte entre as integrais indenidas e integrais
denidas: Pois prova que para uma função contínua em ra; bs admite
uma antiderivada F pxq “şx
af ptqdt pois F
1
pxq “ f pxq
2 Este é um teorema de existência: Para f existe F tal que
F1
pxq “ f pxq para todo x P ra; bs. Como F paq “ 0, F é uma
antiderivada de f passando pelo ponto pa; 0q.
Teoremas Fundamentais do Cálculo
Teorema (Primeiro teorema Fundamental do Cálculo)
Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R a função denida
por:
F pxq “
ż x
a
f ptqdt
Então:
F1
pxq “d
dx
ˆż x
a
f ptqdt
˙
“ f pxq
Observação1 Este teorema é uma ponte entre as integrais indenidas e integrais
denidas: Pois prova que para uma função contínua em ra; bs admite
uma antiderivada F pxq “şx
af ptqdt pois F
1
pxq “ f pxq
2 Este é um teorema de existência: Para f existe F tal que
F1
pxq “ f pxq para todo x P ra; bs. Como F paq “ 0, F é uma
antiderivada de f passando pelo ponto pa; 0q.
Teoremas Fundamentais do Cálculo
Teorema (Primeiro teorema Fundamental do Cálculo)
Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R a função denida
por:
F pxq “
ż x
a
f ptqdt
Então:
F1
pxq “d
dx
ˆż x
a
f ptqdt
˙
“ f pxq
Observação1 Este teorema é uma ponte entre as integrais indenidas e integrais
denidas: Pois prova que para uma função contínua em ra; bs admite
uma antiderivada F pxq “şx
af ptqdt pois F
1
pxq “ f pxq
2 Este é um teorema de existência: Para f existe F tal que
F1
pxq “ f pxq para todo x P ra; bs. Como F paq “ 0, F é uma
antiderivada de f passando pelo ponto pa; 0q.
Teoremas Fundamentais do Cálculo
Teorema (Segundo teorema Fundamental do Cálculo)
Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R uma
antiderivada de f , Então:
ż b
a
f ptqdt “ F pbq ´ F paq “ rF pxqsba
Observação
1 A diferença F pbq ´ F paq independe la eleção da antiderivada de f ,
pois todas a s antiderivadas deferem aprenas numa constante.
8a Aula
Teoremas Fundamentais do Cálculo
Teorema (Segundo teorema Fundamental do Cálculo)
Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R uma
antiderivada de f , Então:
ż b
a
f ptqdt “ F pbq ´ F paq “ rF pxqsba
Observação
1 A diferença F pbq ´ F paq independe la eleção da antiderivada de f ,
pois todas a s antiderivadas deferem aprenas numa constante.
8a Aula
Exemplo
1 Se F pxq “şx
0
1
1`t2dt calcular F
1
pxq.
2 Calcularş
1
0exdx
3 Seja G pxq “şu
af ptqdt, onde f : ra; b Ñ Rs e u : rc ; d s Ñ ra; bs é uma
função diferenciável, então:
G1
pxq “ f puqu1
“ f puqd
dxpupxqq
4 Seja Hpxq “şa
uf ptqdt, onde f : ra; b Ñ Rs e u : rc ; d s Ñ ra; bs é uma
função diferenciável, então:
H1
pxq “ ´f puqu1
“ ´f puqd
dxpupxqq
5 Se G pxq “şx4
´31
1`9seneptqdt, calcular G
1
pxq.
6 Calcularş
1
´1
|x |
1`x2dx
cálculo de áreas de regiões planas
Caso I: Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e f pxq ě 0 para
todo x P ra; bs, a área da região R limitada pelo gráco de f ,
o eixo X , as retas x “ a e x “ b é dado por:
ApRq “ p
ż b
a
f pxqdxqu2
cálculo de áreas de regiões planas
Caso II: Sejam f , g : ra; bs Ñ R funções contínuas e gpxq ď f pxq
para todo x P ra; bs, a área da região Ω limitada pelos
grácos de f e de g , e as retas x “ a e x “ b é dado por:
ApRq “ p
ż b
a
rf pxq ´ gpxqsdxqu2