MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 1 : Página 1 de 10

Tipo 1 : Página 2 de 10

Questão 1 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) é verdadeira.

B Todas são verdadeiras.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 2 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 1 : Página 3 de 10

Questão 3 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 2π .

C 12π .

D −1.

E 1π .

Questão 4 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B − 12 , 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 1 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 6 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B√

2π4 e π2.

C −√

28 e π.

D −√

2π4 e π2.

E√

2π4 e π.

Tipo 1 : Página 5 de 10

Questão 7 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D a0 = π2 .

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Questão 8 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Tipo 1 : Página 6 de 10

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Questão 10 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Tipo 1 : Página 7 de 10

Questão 11 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A25

6!x6

B −25

6!x6

C23

4!x4

D −23

4!x4

E24

6!x6

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 49π2 .

C − 169π2 .

D − 83π .

E − 43π .

Tipo 1 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 1 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 1 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 2 : Página 1 de 10

Tipo 2 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B24

6!x6

C −23

4!x4

D23

4!x4

E −25

6!x6

Tipo 2 : Página 3 de 10

Questão 3 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E S(π) = 12 .

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 89π2 .

C − 83π .

D − 169π2 .

E − 43π .

Tipo 2 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 6 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D −√

28 e π.

E −√

2π4 e π2.

Tipo 2 : Página 5 de 10

Questão 7 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2π .

B 12π .

C −1.

D 2.

E 1π .

Questão 8 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Tipo 2 : Página 6 de 10

Questão 9 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 10 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 2 : Página 7 de 10

Questão 11 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Questão 12 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Tipo 2 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 2 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 2 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 3 : Página 1 de 10

Tipo 3 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 , 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 2 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B 2π .

C 2.

D 12π .

E −1.

Tipo 3 : Página 3 de 10

Questão 3 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Só (III) é verdadeira.

Questão 4 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −25

6!x6

B25

6!x6

C23

4!x4

D24

6!x6

E −23

4!x4

Tipo 3 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Tipo 3 : Página 5 de 10

Questão 6 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Questão 7 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

Tipo 3 : Página 6 de 10

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C a0 = π2 .

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(π) = 12 .

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 43π .

C − 83π .

D − 89π2 .

E − 49π2 .

Questão 10 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π.

C√

24 e 1.

D√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Tipo 3 : Página 7 de 10

Questão 11 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 12 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Tipo 3 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 3 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 3 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 4 : Página 1 de 10

Tipo 4 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 2 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Tipo 4 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 4 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π.

B −√

2π4 e π2.

C√

24 e 1.

D −√

28 e π.

E√

2π4 e π2.

Tipo 4 : Página 4 de 10

Questão 5 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B −1.

C 12π .

D 2π .

E 1π .

Questão 6 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B −23

4!x4

C24

6!x6

D −25

6!x6

E23

4!x4

Questão 7 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Tipo 4 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B a0 = π2 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(π) = 12 .

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 43π .

C − 49π2 .

D − 169π2 .

E − 83π .

Tipo 4 : Página 6 de 10

Questão 10 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 11 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 4 : Página 7 de 10

Questão 12 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas são verdadeiras.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

Tipo 4 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 4 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 4 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 5 : Página 1 de 10

Tipo 5 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 5 : Página 3 de 10

Questão 2 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Questão 3 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Tipo 5 : Página 4 de 10

Questão 4 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) é verdadeira.

D Todas são verdadeiras.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 5 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B 0, 0, 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 5 : Página 5 de 10

Questão 6 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Questão 7 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B√

2π4 e π2.

C −√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π.

E −√

28 e π.

Questão 8 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B −23

4!x4

C −25

6!x6

D23

4!x4

E24

6!x6

Tipo 5 : Página 6 de 10

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 89π2 .

C − 49π2 .

D − 43π .

E − 83π .

Questão 10 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 2π .

C 12π .

D −1.

E 1π .

Questão 11 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A a0 = π2 .

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Tipo 5 : Página 7 de 10

Questão 12 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 5 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 5 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 5 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 6 : Página 1 de 10

Tipo 6 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −23

4!x4

B24

6!x6

C25

6!x6

D −25

6!x6

E23

4!x4

Questão 3 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 1π .

C −1.

D 12π .

E 2π .

Tipo 6 : Página 3 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 83π .

B − 49π2 .

C − 169π2 .

D − 43π .

E − 89π2 .

Tipo 6 : Página 4 de 10

Questão 6 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas são verdadeiras.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 7 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Tipo 6 : Página 5 de 10

Questão 8 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Questão 9 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B −√

28 e π.

C√

2π4 e π.

D√

24 e 1.

E −√

2π4 e π2.

Tipo 6 : Página 6 de 10

Questão 10 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

Questão 11 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B S(π) = 12 .

C a0 = π2 .

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Questão 12 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 0, 0, 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Tipo 6 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

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7

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9

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1

2

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6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 6 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 6 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 7 : Página 1 de 10

Tipo 7 : Página 2 de 10

Questão 1 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Questão 2 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π2.

C −√

28 e π.

D√

2π4 e π.

E√

24 e 1.

Tipo 7 : Página 3 de 10

Questão 3 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 4 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B 2.

C −1.

D 2π .

E 12π .

Tipo 7 : Página 4 de 10

Questão 5 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B a0 = π2 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Questão 6 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 7 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B23

4!x4

C25

6!x6

D −23

4!x4

E −25

6!x6

Tipo 7 : Página 5 de 10

Questão 8 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Questão 9 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Tipo 7 : Página 6 de 10

Questão 10 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Tipo 7 : Página 7 de 10

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 83π .

C − 49π2 .

D − 43π .

E − 89π2 .

Tipo 7 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

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1

2

3

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6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 7 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 7 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 8 : Página 1 de 10

Tipo 8 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B −1.

C 12π .

D 1π .

E 2π .

Questão 2 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Tipo 8 : Página 3 de 10

Questão 3 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(π) = 12 .

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Questão 4 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Tipo 8 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 6 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 8 : Página 5 de 10

Questão 7 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B −√

2π4 e π2.

C√

24 e 1.

D −√

28 e π.

E√

2π4 e π.

Questão 8 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Tipo 8 : Página 6 de 10

Questão 9 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B25

6!x6

C −25

6!x6

D24

6!x6

E −23

4!x4

Questão 10 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 11 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 8 : Página 7 de 10

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 83π .

B − 49π2 .

C − 89π2 .

D − 43π .

E − 169π2 .

Tipo 8 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

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1

2

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4

5

6

7

8

9

0

1

2

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4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 8 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 8 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 9 : Página 1 de 10

Tipo 9 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 2 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Tipo 9 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 4 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C a0 = π2 .

D S(π) = 12 .

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Tipo 9 : Página 4 de 10

Questão 5 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 6 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π.

B −√

28 e π.

C√

24 e 1.

D√

2π4 e π2.

E −√

2π4 e π2.

Questão 7 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 12π .

C 2.

D 2π .

E 1π .

Tipo 9 : Página 5 de 10

Questão 8 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 49π2 .

C − 43π .

D − 89π2 .

E − 83π .

Questão 9 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Tipo 9 : Página 6 de 10

Questão 11 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Todas são verdadeiras.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 12 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A −25

6!x6

B25

6!x6

C24

6!x6

D23

4!x4

E −23

4!x4

Tipo 9 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

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9

0

1

2

3

4

5

6

7

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9

0

1

2

3

4

5

6

7

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9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 9 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 9 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 10 : Página 1 de 10

Tipo 10 : Página 2 de 10

Questão 1 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Todas as afirmações são verdadeiras.

Tipo 10 : Página 3 de 10

Questão 2 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Tipo 10 : Página 4 de 10

Questão 3 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

Questão 4 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

24 e 1.

C√

2π4 e π2.

D −√

28 e π.

E√

2π4 e π.

Tipo 10 : Página 5 de 10

Questão 5 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B 2.

C 1π .

D 2π .

E −1.

Questão 6 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B a0 = π2 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Questão 7 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Tipo 10 : Página 6 de 10

Questão 8 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 9 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (III) é verdadeira.

Tipo 10 : Página 7 de 10

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 49π2 .

C − 89π2 .

D − 43π .

E − 83π .

Questão 11 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Questão 12 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A25

6!x6

B24

6!x6

C23

4!x4

D −25

6!x6

E −23

4!x4

Tipo 10 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 10 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 10 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 11 : Página 1 de 10

Tipo 11 : Página 2 de 10

Questão 1 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Questão 2 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Tipo 11 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 4 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Tipo 11 : Página 4 de 10

Questão 5 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Questão 6 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

Questão 7 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B 2.

C 2π .

D 12π .

E −1.

Tipo 11 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E S(π) = 12 .

Questão 9 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π.

B√

24 e 1.

C√

2π4 e π2.

D −√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 49π2 .

C − 169π2 .

D − 89π2 .

E − 83π .

Tipo 11 : Página 6 de 10

Questão 11 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A −25

6!x6

B25

6!x6

C23

4!x4

D24

6!x6

E −23

4!x4

Questão 12 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 11 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

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0

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2

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0

1

2

3

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5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 11 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 11 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 12 : Página 1 de 10

Tipo 12 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Tipo 12 : Página 3 de 10

Questão 2 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 3 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 12 : Página 4 de 10

Questão 4 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 12π .

C 2π .

D −1.

E 1π .

Questão 5 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Questão 6 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 43π .

C − 49π2 .

D − 83π .

E − 169π2 .

Tipo 12 : Página 5 de 10

Questão 7 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Todas são verdadeiras.

E Só (III) é verdadeira.

Questão 8 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

E Todas as afirmações são verdadeiras.

Tipo 12 : Página 6 de 10

Questão 9 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B −23

4!x4

C −25

6!x6

D24

6!x6

E25

6!x6

Questão 10 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

Questão 11 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B −√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Tipo 12 : Página 7 de 10

Questão 12 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D S(π) = 12 .

E a0 = π2 .

Tipo 12 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 12 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 12 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 13 : Página 1 de 10

Tipo 13 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B 2.

C 2π .

D −1.

E 12π .

Questão 2 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 0, 0, 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Tipo 13 : Página 3 de 10

Questão 3 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (II) é verdadeira.

Questão 4 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Tipo 13 : Página 4 de 10

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B −23

4!x4

C25

6!x6

D −25

6!x6

E23

4!x4

Questão 6 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Questão 7 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

28 e π.

B −√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π.

E√

24 e 1.

Tipo 13 : Página 5 de 10

Questão 8 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 49π2 .

C − 89π2 .

D − 169π2 .

E − 83π .

Tipo 13 : Página 6 de 10

Questão 10 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Questão 11 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Tipo 13 : Página 7 de 10

Questão 12 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

C S(π) = 12 .

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E a0 = π2 .

Tipo 13 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 13 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 13 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 14 : Página 1 de 10

Tipo 14 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

C a0 = π2 .

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B −25

6!x6

C23

4!x4

D25

6!x6

E −23

4!x4

Tipo 14 : Página 3 de 10

Questão 3 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) é verdadeira.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Todas são verdadeiras.

Questão 4 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Tipo 14 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 6 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 14 : Página 5 de 10

Questão 7 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2π .

C 12π .

D 1π .

E 2.

Questão 8 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B√

24 e 1.

C√

2π4 e π.

D −√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Tipo 14 : Página 6 de 10

Questão 9 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Questão 10 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Tipo 14 : Página 7 de 10

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 89π2 .

C − 83π .

D − 43π .

E − 49π2 .

Questão 12 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Tipo 14 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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2

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1

2

3

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5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 14 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 14 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 15 : Página 1 de 10

Tipo 15 : Página 2 de 10

Questão 1 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −25

6!x6

B −23

4!x4

C23

4!x4

D24

6!x6

E25

6!x6

Questão 2 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D 0, 0, 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 49π2 .

C − 43π .

D − 83π .

E − 169π2 .

Tipo 15 : Página 3 de 10

Questão 4 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Questão 5 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Tipo 15 : Página 4 de 10

Questão 6 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B√

24 e 1.

C −√

2π4 e π2.

D −√

28 e π.

E√

2π4 e π.

Questão 7 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Tipo 15 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B −1.

C 1π .

D 2.

E 2π .

Questão 9 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E a0 = π2 .

Tipo 15 : Página 6 de 10

Questão 10 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (III) é verdadeira.

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Tipo 15 : Página 7 de 10

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Tipo 15 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

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5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 15 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 15 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 16 : Página 1 de 10

Tipo 16 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2.

C 2π .

D 1π .

E 12π .

Questão 2 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Questão 3 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 , 34 .

C 0, 0, 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Tipo 16 : Página 3 de 10

Questão 4 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E a0 = π2 .

Questão 5 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Tipo 16 : Página 4 de 10

Questão 6 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 7 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 49π2 .

C − 83π .

D − 89π2 .

E − 43π .

Tipo 16 : Página 5 de 10

Questão 8 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π.

C√

24 e 1.

D −√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Questão 9 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 16 : Página 6 de 10

Questão 10 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) e (III) são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Todas são verdadeiras.

Questão 11 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Tipo 16 : Página 7 de 10

Questão 12 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A −25

6!x6

B −23

4!x4

C24

6!x6

D23

4!x4

E25

6!x6

Tipo 16 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

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0

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2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 16 : Página 9 de 10

y

y y

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y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 17 : Página 1 de 10

Tipo 17 : Página 2 de 10

Questão 1 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

28 e π.

B −√

2π4 e π2.

C√

24 e 1.

D√

2π4 e π.

E√

2π4 e π2.

Questão 2 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Questão 3 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 17 : Página 3 de 10

Questão 4 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2π .

C 2.

D 12π .

E 1π .

Questão 5 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 6 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B24

6!x6

C −25

6!x6

D −23

4!x4

E25

6!x6

Tipo 17 : Página 4 de 10

Questão 7 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A a0 = π2 .

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E S(π) = 12 .

Questão 8 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 0, 0, 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Tipo 17 : Página 5 de 10

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Tipo 17 : Página 6 de 10

Questão 10 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Questão 11 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Tipo 17 : Página 7 de 10

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 169π2 .

C − 49π2 .

D − 43π .

E − 83π .

Tipo 17 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 17 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 17 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 18 : Página 1 de 10

Tipo 18 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Questão 2 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B −√

2π4 e π2.

C −√

28 e π.

D√

24 e 1.

E√

2π4 e π.

Tipo 18 : Página 3 de 10

Questão 3 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 89π2 .

C − 43π .

D − 83π .

E − 169π2 .

Questão 5 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E a0 = π2 .

Tipo 18 : Página 4 de 10

Questão 6 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 7 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Questão 8 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

Tipo 18 : Página 5 de 10

Questão 9 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B 2.

C 2π .

D 12π .

E −1.

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Tipo 18 : Página 6 de 10

Questão 11 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) e (III) são verdadeiras.

B Todas são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 12 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A23

4!x4

B −25

6!x6

C24

6!x6

D25

6!x6

E −23

4!x4

Tipo 18 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 18 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 18 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 19 : Página 1 de 10

Tipo 19 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B 1π .

C 2π .

D −1.

E 2.

Questão 2 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Todas são verdadeiras.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

Tipo 19 : Página 3 de 10

Questão 3 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 4 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 19 : Página 4 de 10

Questão 5 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Questão 6 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

Tipo 19 : Página 5 de 10

Questão 7 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Questão 8 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B25

6!x6

C −23

4!x4

D −25

6!x6

E23

4!x4

Tipo 19 : Página 6 de 10

Questão 9 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 89π2 .

C − 83π .

D − 43π .

E − 49π2 .

Questão 11 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B −√

28 e π.

C −√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π.

E√

2π4 e π2.

Tipo 19 : Página 7 de 10

Questão 12 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A a0 = π2 .

B S(π) = 12 .

C bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Tipo 19 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 19 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 19 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 20 : Página 1 de 10

Tipo 20 : Página 2 de 10

Questão 1 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 2 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C a0 = π2 .

D S(π) = 12 .

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Questão 3 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 0, 0, 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Tipo 20 : Página 3 de 10

Questão 4 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B −√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D −√

28 e π.

E√

24 e 1.

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Tipo 20 : Página 4 de 10

Questão 6 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 83π .

C − 89π2 .

D − 43π .

E − 169π2 .

Questão 7 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B25

6!x6

C −23

4!x4

D24

6!x6

E −25

6!x6

Questão 8 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 12π .

C 2.

D 1π .

E 2π .

Tipo 20 : Página 5 de 10

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 10 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 20 : Página 6 de 10

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 12 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Todas são verdadeiras.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 20 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 20 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 20 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 21 : Página 1 de 10

Tipo 21 : Página 2 de 10

Questão 1 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −23

4!x4

B25

6!x6

C −25

6!x6

D23

4!x4

E24

6!x6

Questão 3 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Tipo 21 : Página 3 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 83π .

C − 169π2 .

D − 89π2 .

E − 43π .

Questão 5 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π.

C −√

28 e π.

D√

24 e 1.

E −√

2π4 e π2.

Questão 6 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2π .

B 12π .

C 1π .

D 2.

E −1.

Tipo 21 : Página 4 de 10

Questão 7 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Questão 8 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 21 : Página 5 de 10

Questão 9 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(π) = 12 .

C bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E a0 = π2 .

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Tipo 21 : Página 6 de 10

Questão 11 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) e (III) são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Só (II) é verdadeira.

E Todas são verdadeiras.

Questão 12 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Tipo 21 : Página 7 de 10

Tipo 21 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 21 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 21 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 22 : Página 1 de 10

Tipo 22 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 22 : Página 3 de 10

Questão 2 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Questão 3 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 22 : Página 4 de 10

Questão 4 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) e (III) são verdadeiras.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (III) é verdadeira.

E Todas são verdadeiras.

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B −23

4!x4

C24

6!x6

D −25

6!x6

E25

6!x6

Tipo 22 : Página 5 de 10

Questão 6 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 169π2 .

C − 49π2 .

D − 89π2 .

E − 83π .

Questão 7 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 8 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2.

C 12π .

D 2π .

E 1π .

Tipo 22 : Página 6 de 10

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Questão 10 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B a0 = π2 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(π) = 12 .

Questão 11 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 0, 0, 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 22 : Página 7 de 10

Questão 12 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B −√

2π4 e π2.

C√

24 e 1.

D√

2π4 e π.

E −√

28 e π.

Tipo 22 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 22 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 22 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 23 : Página 1 de 10

Tipo 23 : Página 2 de 10

Questão 1 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B24

6!x6

C25

6!x6

D −25

6!x6

E −23

4!x4

Questão 2 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Tipo 23 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 4 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C 0, 0, 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Tipo 23 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 6 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 169π2 .

C − 43π .

D − 83π .

E − 49π2 .

Tipo 23 : Página 5 de 10

Questão 7 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B −√

28 e π.

C√

24 e 1.

D −√

2π4 e π2.

E√

2π4 e π.

Questão 8 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Todas são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 23 : Página 6 de 10

Questão 9 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D a0 = π2 .

E S(π) = 12 .

Questão 10 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2π .

B 2.

C 12π .

D −1.

E 1π .

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Tipo 23 : Página 7 de 10

Questão 12 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Tipo 23 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

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2

3

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6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 23 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 23 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 24 : Página 1 de 10

Tipo 24 : Página 2 de 10

Questão 1 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 2 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Questão 3 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B −1.

C 12π .

D 2.

E 2π .

Tipo 24 : Página 3 de 10

Questão 4 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Todas são verdadeiras.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (II) é verdadeira.

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B −23

4!x4

C25

6!x6

D −25

6!x6

E23

4!x4

Tipo 24 : Página 4 de 10

Questão 6 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Questão 7 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Tipo 24 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

D a0 = π2 .

E S(π) = 12 .

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Tipo 24 : Página 6 de 10

Questão 10 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 169π2 .

C − 89π2 .

D − 83π .

E − 49π2 .

Questão 12 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

28 e π.

B√

24 e 1.

C√

2π4 e π2.

D −√

2π4 e π2.

E√

2π4 e π.

Tipo 24 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

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5

6

7

8

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9

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1

2

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5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 24 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 24 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 25 : Página 1 de 10

Tipo 25 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

D a0 = π2 .

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Questão 2 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Tipo 25 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Questão 4 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 25 : Página 4 de 10

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B25

6!x6

C −23

4!x4

D23

4!x4

E −25

6!x6

Questão 6 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Questão 7 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B −1.

C 12π .

D 2.

E 2π .

Tipo 25 : Página 5 de 10

Questão 8 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 9 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 25 : Página 6 de 10

Questão 10 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B −√

28 e π.

C√

2π4 e π.

D√

24 e 1.

E −√

2π4 e π2.

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 43π .

C − 169π2 .

D − 49π2 .

E − 83π .

Tipo 25 : Página 7 de 10

Questão 12 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Tipo 25 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

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8

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0

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2

3

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7

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9

0

1

2

3

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0

1

2

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5

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0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 25 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 25 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 26 : Página 1 de 10

Tipo 26 : Página 2 de 10

Questão 1 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π.

C√

24 e 1.

D −√

28 e π.

E −√

2π4 e π2.

Questão 2 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B −1.

C 2.

D 1π .

E 2π .

Questão 3 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Tipo 26 : Página 3 de 10

Questão 4 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 5 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 0, 0, 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 26 : Página 4 de 10

Questão 6 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Questão 7 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B25

6!x6

C24

6!x6

D −25

6!x6

E −23

4!x4

Tipo 26 : Página 5 de 10

Questão 8 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 169π2 .

C − 49π2 .

D − 43π .

E − 83π .

Tipo 26 : Página 6 de 10

Questão 11 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(π) = 12 .

C a0 = π2 .

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Questão 12 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Tipo 26 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 26 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 26 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 27 : Página 1 de 10

Tipo 27 : Página 2 de 10

Questão 1 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Questão 2 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π.

C −√

28 e π.

D√

24 e 1.

E√

2π4 e π2.

Tipo 27 : Página 3 de 10

Questão 3 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Questão 4 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C a0 = π2 .

D S(π) = 12 .

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Questão 5 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B 1π .

C 2.

D 2π .

E −1.

Tipo 27 : Página 4 de 10

Questão 6 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Questão 7 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −25

6!x6

B25

6!x6

C24

6!x6

D23

4!x4

E −23

4!x4

Tipo 27 : Página 5 de 10

Questão 8 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Todas são verdadeiras.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Tipo 27 : Página 6 de 10

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 10 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 0, 0, 34 .

Tipo 27 : Página 7 de 10

Questão 11 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 89π2 .

C − 169π2 .

D − 83π .

E − 43π .

Tipo 27 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 27 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 27 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 28 : Página 1 de 10

Tipo 28 : Página 2 de 10

Questão 1 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Questão 2 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 12π .

C 1π .

D 2π .

E −1.

Questão 3 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Tipo 28 : Página 3 de 10

Questão 4 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B23

4!x4

C −25

6!x6

D24

6!x6

E −23

4!x4

Tipo 28 : Página 4 de 10

Questão 6 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) e (III) são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Todas são verdadeiras.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Só (III) é verdadeira.

Questão 7 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B√

24 e 1.

C√

2π4 e π.

D −√

28 e π.

E −√

2π4 e π2.

Tipo 28 : Página 5 de 10

Questão 8 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C 0, 0, 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Tipo 28 : Página 6 de 10

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Questão 11 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B a0 = π2 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Tipo 28 : Página 7 de 10

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 89π2 .

C − 169π2 .

D − 49π2 .

E − 83π .

Tipo 28 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 28 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 28 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 29 : Página 1 de 10

Tipo 29 : Página 2 de 10

Questão 1 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B −√

28 e π.

C√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π.

E −√

2π4 e π2.

Questão 2 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Questão 3 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 0, 0, 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Tipo 29 : Página 3 de 10

Questão 4 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B −25

6!x6

C25

6!x6

D24

6!x6

E −23

4!x4

Tipo 29 : Página 4 de 10

Questão 6 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Todas são verdadeiras.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 7 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 49π2 .

C − 83π .

D − 89π2 .

E − 169π2 .

Tipo 29 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 12π .

C 2.

D 1π .

E 2π .

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

Tipo 29 : Página 6 de 10

Questão 10 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Questão 11 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Tipo 29 : Página 7 de 10

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Tipo 29 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 29 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 29 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 30 : Página 1 de 10

Tipo 30 : Página 2 de 10

Questão 1 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B√

2π4 e π.

C −√

28 e π.

D −√

2π4 e π2.

E√

2π4 e π2.

Questão 2 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 0, 0, 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Questão 3 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 30 : Página 3 de 10

Questão 4 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2π .

B 1π .

C 12π .

D 2.

E −1.

Questão 5 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C a0 = π2 .

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(π) = 12 .

Questão 6 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Tipo 30 : Página 4 de 10

Questão 7 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 8 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 83π .

B − 43π .

C − 169π2 .

D − 49π2 .

E − 89π2 .

Tipo 30 : Página 5 de 10

Questão 9 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) é verdadeira.

E Todas são verdadeiras.

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Tipo 30 : Página 6 de 10

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 12 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A −23

4!x4

B23

4!x4

C25

6!x6

D −25

6!x6

E24

6!x6

Tipo 30 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 30 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 30 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 31 : Página 1 de 10

Tipo 31 : Página 2 de 10

Questão 1 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Todas são verdadeiras.

Questão 2 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C 0, 0, 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Tipo 31 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 89π2 .

C − 49π2 .

D − 169π2 .

E − 83π .

Questão 4 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Tipo 31 : Página 4 de 10

Questão 5 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Todas as afirmações são verdadeiras.

Tipo 31 : Página 5 de 10

Questão 6 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 7 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −23

4!x4

B23

4!x4

C −25

6!x6

D25

6!x6

E24

6!x6

Tipo 31 : Página 6 de 10

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

C a0 = π2 .

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(π) = 12 .

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Tipo 31 : Página 7 de 10

Questão 10 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

Questão 11 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2π .

B 12π .

C −1.

D 2.

E 1π .

Questão 12 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B −√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D −√

28 e π.

E√

2π4 e π2.

Tipo 31 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 31 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 31 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 32 : Página 1 de 10

Tipo 32 : Página 2 de 10

Questão 1 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B√

24 e 1.

C −√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π.

E −√

28 e π.

Questão 2 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 0, 0, 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 49π2 .

C − 89π2 .

D − 83π .

E − 43π .

Tipo 32 : Página 3 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Questão 5 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B 2π .

C 2.

D 12π .

E −1.

Tipo 32 : Página 4 de 10

Questão 6 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Questão 7 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Tipo 32 : Página 5 de 10

Questão 8 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Todas são verdadeiras.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Tipo 32 : Página 6 de 10

Questão 10 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

C S(π) = 12 .

D a0 = π2 .

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 12 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A25

6!x6

B24

6!x6

C −25

6!x6

D23

4!x4

E −23

4!x4

Tipo 32 : Página 7 de 10

Tipo 32 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

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8

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0

1

2

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0

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2

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0

1

2

3

4

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6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 32 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 32 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 33 : Página 1 de 10

Tipo 33 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B −25

6!x6

C24

6!x6

D23

4!x4

E −23

4!x4

Questão 3 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B −1.

C 2π .

D 12π .

E 2.

Tipo 33 : Página 3 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 33 : Página 4 de 10

Questão 5 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Questão 6 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Só (III) é verdadeira.

Tipo 33 : Página 5 de 10

Questão 7 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A a0 = π2 .

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Questão 8 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Questão 9 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B −√

28 e π.

C −√

2π4 e π2.

D√

24 e 1.

E√

2π4 e π.

Tipo 33 : Página 6 de 10

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 83π .

B − 49π2 .

C − 43π .

D − 169π2 .

E − 89π2 .

Questão 11 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Questão 12 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Tipo 33 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 33 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 33 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 34 : Página 1 de 10

Tipo 34 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D a0 = π2 .

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Questão 2 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Tipo 34 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Tipo 34 : Página 4 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 5 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

24 e 1.

C√

2π4 e π.

D√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Tipo 34 : Página 5 de 10

Questão 6 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Questão 7 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 8 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2π .

C 2.

D 12π .

E 1π .

Tipo 34 : Página 6 de 10

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 169π2 .

C − 49π2 .

D − 83π .

E − 89π2 .

Questão 10 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 34 : Página 7 de 10

Questão 11 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Todas são verdadeiras.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 12 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A24

6!x6

B −25

6!x6

C25

6!x6

D −23

4!x4

E23

4!x4

Tipo 34 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 34 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 34 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 35 : Página 1 de 10

Tipo 35 : Página 2 de 10

Questão 1 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −23

4!x4

B24

6!x6

C −25

6!x6

D23

4!x4

E25

6!x6

Questão 2 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 3 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2π .

C 1π .

D 12π .

E 2.

Tipo 35 : Página 3 de 10

Questão 4 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

28 e π.

B√

24 e 1.

C −√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π2.

E√

2π4 e π.

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 169π2 .

C − 83π .

D − 89π2 .

E − 43π .

Questão 6 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D a0 = π2 .

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Tipo 35 : Página 4 de 10

Questão 7 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 8 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Tipo 35 : Página 5 de 10

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Questão 10 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 , 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Tipo 35 : Página 6 de 10

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Tipo 35 : Página 7 de 10

Questão 12 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) é verdadeira.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Todas são verdadeiras.

Tipo 35 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 35 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 35 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 36 : Página 1 de 10

Tipo 36 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 43π .

C − 169π2 .

D − 89π2 .

E − 83π .

Questão 2 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D a0 = π2 .

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Tipo 36 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Questão 4 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Tipo 36 : Página 4 de 10

Questão 5 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Questão 6 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −25

6!x6

B23

4!x4

C −23

4!x4

D25

6!x6

E24

6!x6

Tipo 36 : Página 5 de 10

Questão 7 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Todas são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

Questão 8 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B −√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Tipo 36 : Página 6 de 10

Questão 9 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 1π .

C 12π .

D −1.

E 2π .

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 36 : Página 7 de 10

Questão 11 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 12 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Tipo 36 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 36 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 36 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 37 : Página 1 de 10

Tipo 37 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 2 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

Tipo 37 : Página 3 de 10

Questão 3 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Questão 4 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Tipo 37 : Página 4 de 10

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B −23

4!x4

C −25

6!x6

D24

6!x6

E23

4!x4

Questão 6 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A a0 = π2 .

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Questão 7 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B −1.

C 2π .

D 12π .

E 2.

Tipo 37 : Página 5 de 10

Questão 8 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 43π .

C − 49π2 .

D − 169π2 .

E − 83π .

Questão 9 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D −√

28 e π.

E√

24 e 1.

Tipo 37 : Página 6 de 10

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Questão 11 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 37 : Página 7 de 10

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 37 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 37 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 37 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 38 : Página 1 de 10

Tipo 38 : Página 2 de 10

Questão 1 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

28 e π.

B −√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D√

2π4 e π2.

E√

24 e 1.

Questão 2 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Tipo 38 : Página 3 de 10

Questão 3 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Tipo 38 : Página 4 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 5 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 12π .

C 1π .

D 2π .

E 2.

Tipo 38 : Página 5 de 10

Questão 6 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Questão 7 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A a0 = π2 .

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Questão 8 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B24

6!x6

C −23

4!x4

D23

4!x4

E −25

6!x6

Tipo 38 : Página 6 de 10

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 83π .

C − 169π2 .

D − 89π2 .

E − 43π .

Questão 11 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Tipo 38 : Página 7 de 10

Questão 12 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) e (III) são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Todas são verdadeiras.

Tipo 38 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 38 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 38 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 39 : Página 1 de 10

Tipo 39 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(π) = 12 .

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E a0 = π2 .

Questão 2 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Tipo 39 : Página 3 de 10

Questão 3 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D −√

28 e π.

E −√

2π4 e π2.

Questão 4 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) é verdadeira.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (III) é verdadeira.

D Todas são verdadeiras.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 39 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 83π .

C − 169π2 .

D − 89π2 .

E − 49π2 .

Questão 6 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B23

4!x4

C −25

6!x6

D −23

4!x4

E24

6!x6

Questão 7 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 0, 0, 34 .

Tipo 39 : Página 5 de 10

Questão 8 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Todas as afirmações são verdadeiras.

Questão 9 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Tipo 39 : Página 6 de 10

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Questão 11 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 1π .

C 2π .

D 12π .

E 2.

Questão 12 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Tipo 39 : Página 7 de 10

Tipo 39 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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1

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7

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9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 39 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 39 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 40 : Página 1 de 10

Tipo 40 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Questão 2 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 40 : Página 3 de 10

Questão 3 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B −1.

C 12π .

D 2.

E 2π .

Questão 4 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B −23

4!x4

C25

6!x6

D24

6!x6

E −25

6!x6

Questão 5 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π.

B −√

28 e π.

C −√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π2.

E√

24 e 1.

Tipo 40 : Página 4 de 10

Questão 6 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Questão 7 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 83π .

C − 43π .

D − 169π2 .

E − 49π2 .

Tipo 40 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D a0 = π2 .

E S(π) = 12 .

Questão 9 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Todas são verdadeiras.

E Só (III) é verdadeira.

Tipo 40 : Página 6 de 10

Questão 10 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 0, 0, 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 11 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Questão 12 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Tipo 40 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

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4

5

6

7

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0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 40 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 40 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 41 : Página 1 de 10

Tipo 41 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B25

6!x6

C −25

6!x6

D −23

4!x4

E24

6!x6

Questão 3 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 , 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Tipo 41 : Página 3 de 10

Questão 4 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Questão 5 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B −√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π2.

D −√

28 e π.

E√

2π4 e π.

Questão 6 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(π) = 12 .

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Tipo 41 : Página 4 de 10

Questão 7 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 41 : Página 5 de 10

Questão 8 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) e (III) são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Todas são verdadeiras.

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Tipo 41 : Página 6 de 10

Questão 10 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 89π2 .

C − 83π .

D − 49π2 .

E − 169π2 .

Questão 12 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 1π .

C 12π .

D 2π .

E −1.

Tipo 41 : Página 7 de 10

Tipo 41 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

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9

0

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0

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2

3

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1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 41 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 41 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 42 : Página 1 de 10

Tipo 42 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 2 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Questão 3 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Tipo 42 : Página 3 de 10

Questão 4 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

E Todas as afirmações são verdadeiras.

Questão 5 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Tipo 42 : Página 4 de 10

Questão 6 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 7 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B 2π .

C 1π .

D −1.

E 2.

Tipo 42 : Página 5 de 10

Questão 8 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 9 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E a0 = π2 .

Tipo 42 : Página 6 de 10

Questão 10 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B −√

28 e π.

C√

2π4 e π.

D√

24 e 1.

E√

2π4 e π2.

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 83π .

B − 89π2 .

C − 169π2 .

D − 43π .

E − 49π2 .

Questão 12 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A23

4!x4

B −25

6!x6

C24

6!x6

D25

6!x6

E −23

4!x4

Tipo 42 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 42 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 42 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 43 : Página 1 de 10

Tipo 43 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E a0 = π2 .

Questão 2 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Tipo 43 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 4 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π.

C√

24 e 1.

D√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Tipo 43 : Página 4 de 10

Questão 5 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 6 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) e (III) são verdadeiras.

B Todas são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Só (III) é verdadeira.

Tipo 43 : Página 5 de 10

Questão 7 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Questão 8 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −23

4!x4

B25

6!x6

C24

6!x6

D23

4!x4

E −25

6!x6

Questão 9 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B 2.

C 2π .

D −1.

E 12π .

Tipo 43 : Página 6 de 10

Questão 10 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 11 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Tipo 43 : Página 7 de 10

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 169π2 .

C − 83π .

D − 89π2 .

E − 49π2 .

Tipo 43 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 43 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 43 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 44 : Página 1 de 10

Tipo 44 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 44 : Página 3 de 10

Questão 2 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Todas são verdadeiras.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 3 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Tipo 44 : Página 4 de 10

Questão 4 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 5 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Tipo 44 : Página 5 de 10

Questão 6 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −25

6!x6

B25

6!x6

C24

6!x6

D23

4!x4

E −23

4!x4

Questão 7 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 8 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 89π2 .

C − 83π .

D − 169π2 .

E − 49π2 .

Tipo 44 : Página 6 de 10

Questão 9 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 0, 0, 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Questão 10 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B −√

28 e π.

C√

2π4 e π.

D√

24 e 1.

E −√

2π4 e π2.

Questão 11 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A a0 = π2 .

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D S(π) = 12 .

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Tipo 44 : Página 7 de 10

Questão 12 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2π .

B 12π .

C 1π .

D −1.

E 2.

Tipo 44 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 44 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 44 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 45 : Página 1 de 10

Tipo 45 : Página 2 de 10

Questão 1 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −23

4!x4

B −25

6!x6

C25

6!x6

D24

6!x6

E23

4!x4

Questão 2 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B a0 = π2 .

C S(π) = 12 .

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Questão 3 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 45 : Página 3 de 10

Questão 4 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

Questão 5 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

28 e π.

B −√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D√

2π4 e π2.

E√

24 e 1.

Questão 6 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Tipo 45 : Página 4 de 10

Questão 7 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Questão 8 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Tipo 45 : Página 5 de 10

Questão 9 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 45 : Página 6 de 10

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 83π .

B − 169π2 .

C − 89π2 .

D − 49π2 .

E − 43π .

Tipo 45 : Página 7 de 10

Questão 12 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B −1.

C 2π .

D 2.

E 1π .

Tipo 45 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 45 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 45 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 46 : Página 1 de 10

Tipo 46 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B 2π .

C 2.

D 1π .

E −1.

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B25

6!x6

C −25

6!x6

D24

6!x6

E −23

4!x4

Questão 3 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A a0 = π2 .

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E S(π) = 12 .

Tipo 46 : Página 3 de 10

Questão 4 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B 0, 0, 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Questão 5 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 6 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Tipo 46 : Página 4 de 10

Questão 7 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 8 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

28 e π.

B√

24 e 1.

C −√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π.

E√

2π4 e π2.

Tipo 46 : Página 5 de 10

Questão 9 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 49π2 .

C − 83π .

D − 89π2 .

E − 43π .

Tipo 46 : Página 6 de 10

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 12 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Tipo 46 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

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8

9

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1

2

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5

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0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 46 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 46 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 47 : Página 1 de 10

Tipo 47 : Página 2 de 10

Questão 1 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Questão 2 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

C bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

D a0 = π2 .

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Questão 3 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

28 e π.

B√

2π4 e π.

C√

2π4 e π2.

D√

24 e 1.

E −√

2π4 e π2.

Tipo 47 : Página 3 de 10

Questão 4 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 43π .

C − 169π2 .

D − 89π2 .

E − 83π .

Tipo 47 : Página 4 de 10

Questão 6 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 7 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Tipo 47 : Página 5 de 10

Questão 8 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 9 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 12π .

C 2π .

D −1.

E 1π .

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Tipo 47 : Página 6 de 10

Questão 11 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (II) é verdadeira.

E Todas são verdadeiras.

Questão 12 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A −23

4!x4

B24

6!x6

C −25

6!x6

D25

6!x6

E23

4!x4

Tipo 47 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

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0

1

2

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0

1

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9

0

1

2

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7

8

9

0

1

2

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4

5

6

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9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 47 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 47 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 48 : Página 1 de 10

Tipo 48 : Página 2 de 10

Questão 1 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B25

6!x6

C23

4!x4

D −25

6!x6

E −23

4!x4

Tipo 48 : Página 3 de 10

Questão 3 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) e (III) são verdadeiras.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (III) é verdadeira.

E Todas são verdadeiras.

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 43π .

C − 49π2 .

D − 169π2 .

E − 83π .

Tipo 48 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Questão 6 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Questão 7 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2π .

B 1π .

C 2.

D −1.

E 12π .

Tipo 48 : Página 5 de 10

Questão 8 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 9 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

24 e 1.

C −√

28 e π.

D√

2π4 e π2.

E√

2π4 e π.

Tipo 48 : Página 6 de 10

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Questão 11 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Tipo 48 : Página 7 de 10

Questão 12 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E S(π) = 12 .

Tipo 48 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

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6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 48 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 48 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 49 : Página 1 de 10

Tipo 49 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 49 : Página 3 de 10

Questão 2 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Todas as afirmações são verdadeiras.

Questão 3 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B −1.

C 2π .

D 12π .

E 1π .

Questão 4 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

Tipo 49 : Página 4 de 10

Questão 5 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 6 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Todas são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Tipo 49 : Página 5 de 10

Questão 7 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −25

6!x6

B −23

4!x4

C25

6!x6

D24

6!x6

E23

4!x4

Questão 8 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Tipo 49 : Página 6 de 10

Questão 9 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π2.

C√

24 e 1.

D −√

28 e π.

E√

2π4 e π.

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 83π .

B − 43π .

C − 49π2 .

D − 169π2 .

E − 89π2 .

Questão 11 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

D a0 = π2 .

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Tipo 49 : Página 7 de 10

Questão 12 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E 0, 0, 34 .

Tipo 49 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 49 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 49 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 50 : Página 1 de 10

Tipo 50 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B 2π .

C 12π .

D 2.

E −1.

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −25

6!x6

B −23

4!x4

C24

6!x6

D23

4!x4

E25

6!x6

Tipo 50 : Página 3 de 10

Questão 3 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Todas são verdadeiras.

Questão 4 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Tipo 50 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 43π .

C − 49π2 .

D − 89π2 .

E − 83π .

Questão 6 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π.

B√

24 e 1.

C −√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Questão 7 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B 0, 0, 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 50 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B a0 = π2 .

C bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

D S(π) = 12 .

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Tipo 50 : Página 6 de 10

Questão 10 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Questão 11 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Tipo 50 : Página 7 de 10

Questão 12 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Tipo 50 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 50 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 50 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 51 : Página 1 de 10

Tipo 51 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 51 : Página 3 de 10

Questão 2 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 3 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Tipo 51 : Página 4 de 10

Questão 4 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π2.

B√

24 e 1.

C√

2π4 e π.

D −√

28 e π.

E −√

2π4 e π2.

Questão 5 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Questão 6 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B 0, 0, 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E − 12 , 1

2 , 34 .

Tipo 51 : Página 5 de 10

Questão 7 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) é verdadeira.

B Todas são verdadeiras.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 8 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

Tipo 51 : Página 6 de 10

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 89π2 .

C − 43π .

D − 49π2 .

E − 83π .

Questão 10 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(π) = 12 .

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Questão 11 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A25

6!x6

B23

4!x4

C24

6!x6

D −23

4!x4

E −25

6!x6

Tipo 51 : Página 7 de 10

Questão 12 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B −1.

C 12π .

D 1π .

E 2π .

Tipo 51 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 51 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 51 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 52 : Página 1 de 10

Tipo 52 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 2 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 12π .

C 1π .

D −1.

E 2π .

Questão 3 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 0, 0, 34 .

Tipo 52 : Página 3 de 10

Questão 4 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 5 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π.

B −√

28 e π.

C√

2π4 e π2.

D√

24 e 1.

E −√

2π4 e π2.

Tipo 52 : Página 4 de 10

Questão 6 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B −25

6!x6

C23

4!x4

D −23

4!x4

E24

6!x6

Questão 7 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Tipo 52 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(π) = 12 .

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 52 : Página 6 de 10

Questão 10 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 43π .

C − 89π2 .

D − 169π2 .

E − 83π .

Tipo 52 : Página 7 de 10

Questão 12 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

Tipo 52 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 52 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 52 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 53 : Página 1 de 10

Tipo 53 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B − 12 , 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 2 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2π .

C 12π .

D 1π .

E 2.

Questão 3 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Tipo 53 : Página 3 de 10

Questão 4 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) é verdadeira.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Todas são verdadeiras.

Tipo 53 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Tipo 53 : Página 5 de 10

Questão 6 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

Questão 7 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E a0 = π2 .

Tipo 53 : Página 6 de 10

Questão 8 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 83π .

B − 49π2 .

C − 43π .

D − 169π2 .

E − 89π2 .

Questão 9 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Questão 10 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A −23

4!x4

B23

4!x4

C24

6!x6

D25

6!x6

E −25

6!x6

Tipo 53 : Página 7 de 10

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Questão 12 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π.

C√

24 e 1.

D√

2π4 e π2.

E −√

28 e π.

Tipo 53 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 53 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 53 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 54 : Página 1 de 10

Tipo 54 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 49π2 .

C − 89π2 .

D − 83π .

E − 43π .

Questão 2 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Tipo 54 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 4 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B 2.

C 2π .

D 1π .

E −1.

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −23

4!x4

B23

4!x4

C −25

6!x6

D25

6!x6

E24

6!x6

Tipo 54 : Página 4 de 10

Questão 6 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

Questão 7 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) é verdadeira.

B Todas são verdadeiras.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 54 : Página 5 de 10

Questão 8 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 9 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B a0 = π2 .

C S(π) = 12 .

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Tipo 54 : Página 6 de 10

Questão 10 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B −√

2π4 e π2.

C√

2π4 e π.

D −√

28 e π.

E√

2π4 e π2.

Questão 11 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 , 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 12 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Tipo 54 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 54 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 54 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 55 : Página 1 de 10

Tipo 55 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 43π .

C − 169π2 .

D − 83π .

E − 49π2 .

Questão 2 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Todas são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

Tipo 55 : Página 3 de 10

Questão 3 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(π) = 12 .

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E a0 = π2 .

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Tipo 55 : Página 4 de 10

Questão 5 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π.

B√

2π4 e π2.

C√

24 e 1.

D −√

28 e π.

E −√

2π4 e π2.

Questão 6 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Questão 7 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 0, 0, 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Tipo 55 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2π .

B 1π .

C −1.

D 12π .

E 2.

Questão 9 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Questão 10 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof (x) = sen2 x?

A −25

6!x6

B25

6!x6

C23

4!x4

D −23

4!x4

E24

6!x6

Tipo 55 : Página 6 de 10

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 12 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

C an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Tipo 55 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

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Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 55 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 55 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 56 : Página 1 de 10

Tipo 56 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 89π2 .

C − 43π .

D − 83π .

E − 49π2 .

Questão 2 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Tipo 56 : Página 3 de 10

Questão 3 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

Questão 4 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −23

4!x4

B24

6!x6

C25

6!x6

D23

4!x4

E −25

6!x6

Questão 5 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 12π .

C 1π .

D −1.

E 2π .

Tipo 56 : Página 4 de 10

Questão 6 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 , 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 7 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π.

C√

2π4 e π2.

D√

24 e 1.

E −√

28 e π.

Tipo 56 : Página 5 de 10

Questão 8 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Tipo 56 : Página 6 de 10

Questão 10 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B a0 = π2 .

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Tipo 56 : Página 7 de 10

Questão 12 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Tipo 56 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

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4

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0

1

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Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 56 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 56 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 57 : Página 1 de 10

Tipo 57 : Página 2 de 10

Questão 1 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −23

4!x4

B23

4!x4

C −25

6!x6

D24

6!x6

E25

6!x6

Questão 2 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 43π .

C − 83π .

D − 169π2 .

E − 89π2 .

Tipo 57 : Página 3 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

Tipo 57 : Página 4 de 10

Questão 5 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Todas são verdadeiras.

Questão 6 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E a0 = π2 .

Tipo 57 : Página 5 de 10

Questão 7 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 , 1

2 ,− 34 .

B − 12 , 1

2 , 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D 0, 0, 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 8 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

E Todas as afirmações são verdadeiras.

Questão 9 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Tipo 57 : Página 6 de 10

Questão 10 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

Questão 11 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 1π .

C 12π .

D −1.

E 2π .

Questão 12 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B −√

28 e π.

C√

2π4 e π2.

D√

24 e 1.

E√

2π4 e π.

Tipo 57 : Página 7 de 10

Tipo 57 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

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0

1

2

3

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0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 57 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 57 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 58 : Página 1 de 10

Tipo 58 : Página 2 de 10

Questão 1 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Questão 2 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Tipo 58 : Página 3 de 10

Questão 3 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B23

4!x4

C −25

6!x6

D −23

4!x4

E25

6!x6

Questão 4 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 89π2 .

B − 43π .

C − 49π2 .

D − 169π2 .

E − 83π .

Tipo 58 : Página 4 de 10

Questão 6 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 7 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

C a0 = π2 .

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(π) = 12 .

Tipo 58 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2π .

C 12π .

D 2.

E 1π .

Questão 9 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 10 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

Tipo 58 : Página 6 de 10

Questão 11 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B√

2π4 e π2.

C −√

28 e π.

D√

2π4 e π.

E −√

2π4 e π2.

Questão 12 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Tipo 58 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 58 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 58 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 59 : Página 1 de 10

Tipo 59 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2.

C 1π .

D 2π .

E 12π .

Questão 2 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

2π4 e π2.

C√

24 e 1.

D√

2π4 e π.

E −√

28 e π.

Questão 3 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Tipo 59 : Página 3 de 10

Questão 4 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B24

6!x6

C25

6!x6

D −23

4!x4

E −25

6!x6

Questão 6 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Tipo 59 : Página 4 de 10

Questão 7 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Todas são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

Questão 8 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 59 : Página 5 de 10

Questão 9 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A a0 = π2 .

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C S(π) = 12 .

D S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Tipo 59 : Página 6 de 10

Questão 11 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Questão 12 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 43π .

B − 49π2 .

C − 83π .

D − 89π2 .

E − 169π2 .

Tipo 59 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 59 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 59 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 60 : Página 1 de 10

Tipo 60 : Página 2 de 10

Questão 1 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Questão 2 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

Tipo 60 : Página 3 de 10

Questão 3 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Tipo 60 : Página 4 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 5 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 12 ,− 1

2 , 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 0, 0, 34 .

Tipo 60 : Página 5 de 10

Questão 6 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Todas são verdadeiras.

C Só (I) e (II) são verdadeiras.

D Só (II) e (III) são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

Questão 7 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B −25

6!x6

C −23

4!x4

D25

6!x6

E23

4!x4

Tipo 60 : Página 6 de 10

Questão 8 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

2π4 e π.

B√

24 e 1.

C√

2π4 e π2.

D −√

28 e π.

E −√

2π4 e π2.

Questão 9 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 43π .

C − 89π2 .

D − 169π2 .

E − 83π .

Questão 10 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

B bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E S(π) = 12 .

Tipo 60 : Página 7 de 10

Questão 11 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Questão 12 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2π .

C 2.

D 1π .

E 12π .

Tipo 60 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 60 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 60 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 61 : Página 1 de 10

Tipo 61 : Página 2 de 10

Questão 1 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Todas as afirmações são verdadeiras.

Tipo 61 : Página 3 de 10

Questão 2 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 3 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

2π4 e π2.

B√

24 e 1.

C√

2π4 e π2.

D√

2π4 e π.

E −√

28 e π.

Tipo 61 : Página 4 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 89π2 .

C − 83π .

D − 49π2 .

E − 43π .

Questão 5 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D 0, 0, 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 6 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

B a0 = π2 .

C S(π) = 12 .

D bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Tipo 61 : Página 5 de 10

Questão 7 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

Questão 8 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A −25

6!x6

B23

4!x4

C24

6!x6

D −23

4!x4

E25

6!x6

Questão 9 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Tipo 61 : Página 6 de 10

Questão 10 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Questão 11 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 1π .

C 2.

D 2π .

E 12π .

Tipo 61 : Página 7 de 10

Questão 12 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Todas são verdadeiras.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Tipo 61 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 61 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 61 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 62 : Página 1 de 10

Tipo 62 : Página 2 de 10

Questão 1 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B − 12 , 1

2 ,− 34 .

C 12 ,− 1

2 , 34 .

D 12 , 1

2 ,− 34 .

E 0, 0, 34 .

Questão 2 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Todas são verdadeiras.

Tipo 62 : Página 3 de 10

Questão 3 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 43π .

C − 89π2 .

D − 83π .

E − 169π2 .

Questão 5 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A25

6!x6

B24

6!x6

C −23

4!x4

D −25

6!x6

E23

4!x4

Tipo 62 : Página 4 de 10

Questão 6 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A −1.

B 2.

C 12π .

D 2π .

E 1π .

Questão 7 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

Questão 8 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Tipo 62 : Página 5 de 10

Questão 9 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B√

2π4 e π.

C −√

28 e π.

D√

2π4 e π2.

E −√

2π4 e π2.

Questão 10 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(π) = 12 .

C a0 = π2 .

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Tipo 62 : Página 6 de 10

Questão 11 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

Tipo 62 : Página 7 de 10

Questão 12 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Tipo 62 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

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4

5

6

7

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9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 62 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 62 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 63 : Página 1 de 10

Tipo 63 : Página 2 de 10

Questão 1 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B −25

6!x6

C25

6!x6

D24

6!x6

E −23

4!x4

Questão 2 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 1π .

B 2π .

C −1.

D 12π .

E 2.

Questão 3 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 169π2 .

B − 83π .

C − 89π2 .

D − 49π2 .

E − 43π .

Tipo 63 : Página 3 de 10

Questão 4 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

Questão 5 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

C A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

Tipo 63 : Página 4 de 10

Questão 6 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A −√

28 e π.

B√

2π4 e π2.

C −√

2π4 e π2.

D√

24 e 1.

E√

2π4 e π.

Questão 7 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

Tipo 63 : Página 5 de 10

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

C S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

D S(π) = 12 .

E a0 = π2 .

Questão 9 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B − 12 , 1

2 , 34 .

C 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 ,− 34 .

E 12 ,− 1

2 , 34 .

Questão 10 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

Tipo 63 : Página 6 de 10

Questão 11 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) é verdadeira.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 12 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

Tipo 63 : Página 7 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

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4

5

6

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1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

yTipo 63 : Página 9 de 10

y

y y

yTipo 63 : Página 10 de 10

y

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

Tipo 64 : Página 1 de 10

Tipo 64 : Página 2 de 10

Questão 1 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 2.

B 12π .

C 1π .

D −1.

E 2π .

Questão 2 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 83π .

B − 169π2 .

C − 49π2 .

D − 89π2 .

E − 43π .

Questão 3 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

B an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

C an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

D an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

Tipo 64 : Página 3 de 10

Questão 4 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Tipo 64 : Página 4 de 10

Questão 5 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

C

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

Questão 6 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A23

4!x4

B −23

4!x4

C −25

6!x6

D24

6!x6

E25

6!x6

Tipo 64 : Página 5 de 10

Questão 7 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

Questão 8 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A S(π) = 12 .

B a0 = π2 .

C bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

D S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

E S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

Questão 9 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B√

2π4 e π.

C −√

28 e π.

D −√

2π4 e π2.

E√

2π4 e π2.

Tipo 64 : Página 6 de 10

Questão 10 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamospor S(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A − 12 , 1

2 , 34 .

B 12 , 1

2 ,− 34 .

C 0, 0, 34 .

D 12 ,− 1

2 , 34 .

E − 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 11 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (II) é verdadeira.

D Todas são verdadeiras.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

Tipo 64 : Página 7 de 10

Questão 12 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

D A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

E A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

Tipo 64 : Página 8 de 10

y yMAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

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7

8

9

0

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0

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2

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4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

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y y

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MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP

Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixeapenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas,blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (nãocusta repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindoas orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas decada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qualalternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipoda prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificoutodas as regras aqui listadas.

8. Ao final da prova o aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folhade questões pode ser levada para casa.

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Questão 1 Seja f (x) = x2 − 1, para 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = f (x− 1) para 1 < x ≤ 2. Denotamos porS(x) a soma da série de senos da função f (x). Quais são os valores de S(1), S(−1) e S(− 1

2 )?

A 0, 0, 34 .

B 12 ,− 1

2 , 34 .

C − 12 , 1

2 ,− 34 .

D − 12 , 1

2 , 34 .

E 12 , 1

2 ,− 34 .

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f (x) =sen2 x?

A24

6!x6

B −23

4!x4

C −25

6!x6

D23

4!x4

E25

6!x6

Questão 3 Considere as séries numéricas

(I)∞

∑n=1

1n

(23

)n,

(II)∞

∑n=1

n(

23

)n.

Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para − ln( 23 ) e a série (II) converge para 6.

B A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(3) e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln( 52 ) e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para − ln( 52 ) e a série (II) converge para − 6

25 .

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Questão 4 Sejam f (x) = arctan(x) e α ∈ R.Podemos afirmar que:

A limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= ∞ para todo α ≥ 7.

B limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x5 = −1

7.

C limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

15

.

D limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)x7 =

17

.

E limx→0+

arctan(x)−(

x− x3

3 + x5

5

)xα

= 0 para todo α < 7.

Questão 5 Sejam c0, c1, c2, c3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível∫ π

−π

[x− c0 − c1 cos(x)− c2 sen(x)− c3 sen(2x)

]2 dx.

Então c2 é igual a:

A 12π .

B 1π .

C 2π .

D 2.

E −1.

Questão 6 Seja f : [0, 2]→ R definida por

f (x) ={

x se x ∈ [0, 1]2− x se x ∈]1, 2]

.

O terceiro coeficiente b3 da série de senos de f (x) é igual a:

A − 49π2 .

B − 89π2 .

C − 43π .

D − 83π .

E − 169π2 .

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Questão 7 Sejaa0

2+

∞

∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] a série de Fourier da função f , periódica de

período 2π, definida por

f (x) =

{1 se x ∈ [0, π]

0 se x ∈]− π, 0[

e seja S(x) sua soma. Podemos afirmar que:

A bn = 2(2n−1)π para todo inteiro n > 0.

B S(x) = f (x) apenas se x ∈ [0, π[.

C a0 = π2 .

D S(π) = 12 .

E S(x) = f (x) para todo x ∈]− π, π].

Questão 8 Dadas três funções

f (x) = ex, g(x) =∞

∑n=0

xn

n!, h(x) =

∞

∑n=0

e(x− 1)n

n!.

Considere as afirmações:

(I) Existe x ∈ R tal que f (x) 6= h(x).

(II) limx→0

g(x)− 1x

= 1.

(III) h′(2) = e2.

Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

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Questão 9 Seja f (x) a função definida por

f (x) =

1 se x = 0ln(1 + x)

xse x 6= 0, x > −1.

Se∞

∑n=1

anxn é a série de Taylor de F(x) =∫ x

0 f (t)dt em torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) <

12 .

B an =(−1)n+1

n2 e F( 12 ) >

12 .

C an =(−1)n+1

ne F( 1

2 ) <12 .

D an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) >12 .

E an =(−1)n+1

n + 1e F( 1

2 ) <12 .

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Questão 10 Seja f : [0, 2]→ R a função

f (x) =

{1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

A soma da série de cossenos da f (x) é :

A

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = −1.

B

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈]− 1, 1[,

1 + x, x ∈]1, 2],32 , x = ±1.

C

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈ [−1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

D

1− x, x ∈ [−2,−1[,

1, x ∈ [−1, 1],

1 + x, x ∈]1, 2].

E

−1 + x, x ∈ [−2,−1[,

−1, x ∈]− 1, 0[,

1, x ∈ [0, 1],

1 + x, x ∈]1, 2],

− 32 , x = −1.

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Questão 11 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência ]−∞, 1[.

(II) Se∞

∑n=0

anxn uma serie de potências com raio de convergência R > 0 então a série

∞

∑n=1

nanxn−1

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série∞

∑n=0

an2n converge então o raio de convergência da série de potências

∞

∑n=0

anxn

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (III) é verdadeira.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Todas são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

Questão 12 Sabe-se que

2π

∞

∑n=1

(−1)n+1n(n2 − 1/4)

sen(nx) = sen( x

2

), −π < x < π.

Os valores das somas das séries∞

∑n=1

(−1)n+1(2n− 1)(2n− 1)2 − 1/4

e∞

∑n=1

4n2

(n2 − 1/4)2 são respetivamente:

A√

24 e 1.

B√

2π4 e π.

C −√

28 e π.

D√

2π4 e π2.

E −√

2π4 e π2.

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Segunda Prova — 15/10/2019

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP noscampos ao lado. Caso tenha menos de8 dígitos deixe as últimas colunas embranco.

Número USP

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6

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Respostas:

Questão 01: A B C D E

Questão 02: A B C D E

Questão 03: A B C D E

Questão 04: A B C D E

Questão 05: A B C D E

Questão 06: A B C D E

Questão 07: A B C D E

Questão 08: A B C D E

Questão 09: A B C D E

Questão 10: A B C D E

Questão 11: A B C D E

Questão 12: A B C D E

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