Eleclerc - hasta 70x100 Dia de la Madre - 24.04 al 05.05 del 2013
MAT 8A AULA 22 22 - Portal Positivoblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/...Sendo assim A...
110
MAT 8A AULA 22 22.01 2 2 2 2 2 L L x 4 4 2 2 2 L L x 2 2 2 4 2 2 2 L x L x L x L L q a a q 2 2 1 2 2 2 q 22.02 2 2 l l ; 42 ... Razão = 1 2 22.03
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MAT 8A AULA 22
22.01
22
2
22
LLx
44
222 LL
x
2
2
24
2 22 L
xL
xL
x
L
L
qa
aq 2
2
1
2
2
2q
22.02
2 2l l;
4 2 ...
Razão = 1
2
22.03
x = 2 21·
x = 8
22.04
P.G. (2;x;...;y;512)
10245122 xyxy
22.05
a, b, c
PA
b = a c
2
b =
2c
2 b = c
PG
b2 = a c
2a c
2
= a c
a2 + 2ac + c2 = 4ac
a2 + 2ac + c2 = 0
(a c)2 = 0 a = c
a = b = c
22.06
D = l 2
PG (l, 4l, l2)
(4l)2 = l l2
16l2 = l3
l = 16
D = l 2 D = 16 2
22.07
Numa progressão geométrica de número ímpar de termos, o termo médio (em módulo) é a
média geométrica dos termos extremos.
2
1 naa
22.08
(a1, a1q, a1q2, ...)
a3 = q
2 = a1q
2 a1q = 1
2
a2 = 1
2
P = a1 a2 a3 = a2 2
2a = 3
2a
Mas 2
2a = a1 a3
31
2
= 1
8
22.09
M = 2 _ _ _ _ _ _ _ 16 2
aq = 16 2 = a1q8
16 2 = 2 q8
24 = q8 q = 2
M = 2 , 2, 2 2 , 4, 4 2 , 8, 8 2 , 16, 16 2
2 + 4 + 8 + 16 = 30
22.10
a , b, ab
b2 = a ab b = a2
22.11
3 _ _ 24 _
a4 = a1 q3 24 = 3 q3 q3 = 8 q = 2
a6 = 3 q5 = 3 (2)5 = 3 32 = 96
22.12
(1 + x, 1 + x, 4 + x)
(1 + x)2 = (1 + x)(4 + x)
1 + 2x + x2 = 4 + 4x x + x2
x = 5
(4, 6, 9)
q = 6 3
4 2
22.13
(a, b, c, d) PA(a, a + 3, a + 6, a)
PG = (a + 6)2 = (a + 3) a
a2 + 12a + 36 = a2 + 3a 9a = 36 a = 4
(4, 1, 2, 4) 4 1 + 2 4 = 7
22.14
(xy)2 = 3x2
x2y2 = 3x2
y = 3
22.15
(a1, a1q, a1q2, a1q
3)
3311 1
2 21 1 1
a 1 q 112a a q 112
a q a q 48 a q q 48
3
2
1 q 112
48q q
21 q 1 q q 7
31 q q
3 3q + 3q2 = 7q
3q2 10q + 3 = 0
q = 3 ou q = 1
3
22.16
10 000 0,95 = 5 904,90
22.17
an = a n 1
2
an = n 1
22
P2 = (a1 an)n
(239)2 = (1 n 1
22
)n
278 =
2n n
22
n2 n 156 = 0
n’ = 12 e n’’ = 13
22.18
Fig. 1 1
Fig. 2 cada segmento mede 1
3 = 4
1
3 =
4
3
Fig. 3 Cada segmento mede 1
9 = 16
1
9 =
216 4
9 3
Fig. 4 Cada segmento mede 1
81 = 64
1
81 =
364 4
81 3
Sendo assim
A Fig. 5 =
44
3
Fig. 6
54
3
cm
22.19
8, 8k, 8k2, ..., 8k6
87 k21 = 1
(23)7 k21 = 1
(2k)21 = 1
2k = 1
k = 1
2 = 0,5
22.20
(x + 7)2 = x(x + 14)
x2 + 14x + 49 = x2 + 14x
49 = 0
A equação correspondente não apresenta solução.
MAT 8A AULA 23
23.01
1a251
999 1 q
1 0,0011000
251 251
1000 1 000 000
·
23.02
4, 2 2 , ...
q = 2
2
a5 = 42
2
4 = 1
S =
2 2
2 2
21 4
2 82
2 2 21
2
·
·
·
S = 14 6 2
2
= 7 + 3 2
23.03
S = 1a
1 q
S = 2 2
1 21
3 3
= 3
23.04
a5 = 35
S5 = 53 3 3
3 1
·
729 3
2
S5 = 363
23.05
S =
22 5 25
2 5 3 31
5
·
23.06
a10 = 512
S = 512 2-1
2 1
·
S = 1 023
23.07
x
11
3
= 60
3x 60
2 x = 40
23.08
1 1 2
3 311
22
23.09
(1, 5, 25, ..., an)
Sn = 19 531
na 5-1
4
· = 19 531
5an = 78 124 + 1
5an = 78 125
an = 15 625 = 56
23.10
a1 = 3 e a3 = 12
12 = 3 q2 q = 2
S8 = 83(2 1)
2 1
255 3 = 765
23.11
Sn = 1 640
q = 3
na 3 1
3 1
= 1 640
3an + 1 = 4 1 640
3an = 6 560 1
an = 2 187
(1) (3)n1 = 2 187
(3)n1 = 2 187
n 1 = 7 n = 8 termos.
23.12
(1, 2, 22, …)
S = 171 2 1
2 1
·
S = 2 17 1
23.13
S = 1a
1 q = 42
7
1 q = 42
7 = 42 42q
q = 35 5
42 6
23.14
cos[S = 31
12
] + sen[S = 31
13
]
cos[S = 2
3
] + sen[S =
2
] cos
2
3
+ sen2
1
2 + 1 =
1
2
23.15
n 2n 4 8n
precisa vender 7n de 8n
7n
8n = 0,875 = 87,5%
23.16
2 2 2R R R, , , ...
2 8 32
q = 1
4
S =
2 2
2 21
R Ra R 2 R 2 92 2
1 3 31 q 3 31
4 4 2
S = 6 S
= 6
23.17
c = 2
(a, b, c) PG (b
q, b, b q)
V = a b c = b
q b b q =
27
8
b3 = 27
8 b =
3
2
Como c = 2
b q = 2 3
2 q = 2 q =
4
3
a = b 3 3 9
q 2 4 8 ·
23.18
(1, 2, 4, …, 2 048)
an = a1qn1 = 1 2n1 = 2n n = 12
a cada 12 meses, a soma depositada é:
S12 = 1212
11 2 1a (q 1)
q 1 2 1
= 4 095
Em 21 anos 4 095 21 = 85 995,00
23.19
a)
lados (3; 3 3
; 2 4
; ...)
Perímetro (9, 9 9
, 2 4
, ...)
q = 1
2
S = 1a 9 9
1 11 q1
2 2
= 18 cm
b)
área
2
2
33
23 3, , ...
4 4
3 99, , ...
4 4
Sn = 9 9
1 31
4 4
Sn = 12 3
4 Sn = 3 3 cm2
23.20
1ª Etapa: S = 1
2ª Etapa: S =1 + 3
21
3
1 + 1
3
3ª Etapa: S = 1 + 1
3 + 9
21
9
= 1 + 1
3 +
1
9
q = 1
3
. . . S = 1 + 1
3 +
1
9 +
1
27 + ...
Sn = 1 1 3
1 2 21
3 3
= 1,5 cm2
MAT 8A AULA 24
24.01
PA 4, 4 + r, 4 + 2r
PG 4, 4q, 4q2
24 2r 4q
4 r 4q 2
4 + 8q 4 = 4q2 q’ = 0 e q’’= 2
r = 4q 2
a3 = 4q2 = 4 22 = 16
24.02
01)
an = 150 = 20 + (n 1) 1
n = 131
02)
C = 2R
maior R = 150 C = 300
menor R = 20 C = 40
04)
40, 42, 44 ...
08)
220 150
2
131
2 1 135
22 270 mm 2 227 cm
24.03
a1 = 1
2
q = 1
2
n =?
Sn > 0,99
n
1a q 1
q 1
> 0,99
1 n2 2 1
11
2
= 2n + 1 > 0,99
2n > 0,01
2n < 0,01 = 102
Aplicando log.
n log2 < 2 n > 6,6
24.04
1 1
1 1
a 5 3=b
1a 2 3 =b
2
·
· ·
a1 b1 = 15 (1)
2a1 b1 = 12
a1 = 3
b = 18
a1 + b = 21
24.05
Ímpar
1
2
a
1 q = 20
a1 = 20 20q2
a1 = 15
a3 = 15
21
2
= 15
4
Par
1
2
a q
1 q = 10
20(1 q2)q = 10(1 q2)
q = 1
2
24.06
x = 1 49 25
2
= 625
y = 2 50 25
2
= 650
x y = 25
24.07
Somando os trechos temos:
8 1,5 = 12
14 0,75 = 10,5
12 + 10,5 = 22,5 cm
24.08
10, 20, 40, ..., a10
a10 = 10 29 = 5 120
Recebeu 10 a10 = 51 200
Gatou 1010 2 1
2 1
= 10 230
Sendo assim teve lucro de R$ 40 970,00
24.09
I)
b a = a + b b
2a = b
II)
b
a
16 2
162
(24)2 = 2a 2b
a + b = 8
3a = 8
a = 8
3
24.10
(x r, x, x + r)
3x = 420 x = 140
140(140 r)(140 + r) = 2 688 000
1402 r2 = 19 200
r2 = 19 600 19 200
r2 = 400
r = 20
(120, 140, 160)
24.11
(16, ..., aq) Crescimento
aq = 16
81
2
= 24
Sq =
91
4 916 2 1 2 2 1
1 11
2 2
Sq = 5 42 2 0,03125 16
1 1
2 2
Sq 2 15,96 32
24.12
PA)
(x r, x, x + r) (8, 10, 12)
3x = 30 x = 10
PG)
(14 r, 6, 1 + r)
(14 r)(1 + r) = 36
r2 13r + 22 = 0
r = 2 ou r = 11
24.13
Se Tn representa o enésimo número triangular, então:
11 T
212 T
3213 T
100321 ...Tn
Portanto,
1002
1001100
T
T100 = 5 050
24.14
_ a2 _ 10 _ _ _ _ aq
a2 = 10 2r aq = 10 + 5q
(a2, 10, aq) PG
102 = (10 2r)(10 + 5r)
100 = 100 + 50r 20r 10r2
10r2 30r = 0
r = 0 ou r = 3
(6, 10, 25)
q = 25
10 = 2,5
24.15
3 _ _ _ _ _ 5
PA: Crescente linear
7 colunas n = 7
a7 = a1 + 6r
5 = 3 + 6r
r = 1
3
24.16
(4, 20, 36, ...) PA
r = 16
a10 = 4 + 9 16 = 148 ladrilhos
24.17
PG q = 2
a)
63,5 31,5 = 32 min para resolver a penúltima
05, 1, 2, 4, 8, 16, 32, na
63,5 7 questões + ultima = 8 questões
b)
0,5, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
63,5 + 64 = 127,5 min.
24.18
PA
(y r, y, y + r)
3y = 48 y = 16
PA
(16 r, 16, 24 + r)
162 = (16 r)(24 + r)
256 = 384 + 16r 24r r2
r2 + 8r 128 = 0
r = 16x r = 8
z = 16 + 8 z = 24
24.19
(1, 2, 3, ..., 30)
S30 = 1 30 30
2
= 465
465 300 = R$ 165,00 a mais
24.20
L, L 2
2
q = 2
2
a50 = a1
49
2
2
sendo an a medida do lado quadrado AnBnCnDn.
MAT 8B AULA 22
22.01
20
64 = 0,3125 31,25%
22.02
Fig.1 l = 1
Fig. 2 l = 2
Fig. 3 l = 3
Fig. 4 l = 4
Fig. 5 l = 5
l = 20 1 + 2 + 3 + … + 20
Sn = (1 + 20)10
Sn = 210
22.03
210 + 252 + 210 + 120 = 792
22.04
n!
n 2 !2! = 28
n(n 1) = 56
n2 n 56 = 0
n’ = 7 e n’’ = 8
S = 1
P = 56
22.05
35 + 35 35 = 35
22.06
4x 1 = 6
x = 7
4
ou
4x 1 = 12
x = 13
4
7
4 +
13
4 =
20
4 = 5
22.07
100100
100
100
99
100
2
100
1
100
0
2
...
22.08
(1 + 1)100 = 2100
22.09
51 51 52
21 22 23
52 52
22 23
53
23
22.10
4 6
n nC C
n! n!
n 4 !4! n 6 !6!
6 5 = (n 4)(n 5)
n2 9n + 20 30 = 0
n2 9n 10 = 0
n’ = 10 e n’’ = 1
22.11
nn
n
n
n
nnn
... 21210
A soma de todas as combinações de uma mesma linha é igual a uma potência de base 2 cujo expoente é o
numerador desta linha.
I é verdadeira
n...,,,,k,INn,n
kn
n
k
210
Numa mesma linha do triângulo de Pascal, as combinações equidistantes dos extremos são complementares e,
portanto, têm resultados iguais.
II é verdadeira
50
6
50
44
III falsa é igual.
22.12
?n
p
n
p
1
1
nn
n
n
n
nnnn
p
n
p
... 212100
n
n
nn
n
n
nnn
p
n
p
...0121
1
1
2
22121
1
1
nn
n
nnn
p
n
p
...
22.13
(10 + 45 120 + 210 252 + 210 120 + 45 10 + 1) = 0
(1 x)10 = 10
0
10
1
x + ... 10
9
x9 + 10
10
x10
Colocando x = 1 temos
(1 1)10 = 10
0
10
1
+ ... 10
9
+ 10
10
0 = 0
22.14
01) (F)
26 = 64
02) (V)
03) (V)
2x = 5 + 5 x = 5
2x + 5 + x = 14 3x = 9 x = 3
08) (F)
16) (F)
x 2 = 5 x = 7
22.15
22.16
m 1 m 1 m
p 1 p p
= 462
m m m 1
p p 1 p 1
m
p 1
= 924 462 = 462
22.17
b = 18 a
1818!
a! 18 a ! a
Então a soma é:
18 18
0 1
+ ... +
18
18
= 218 = (23)6 = 86
22.18
01) (F)
02) (V)
(n + 1)n = 930
n2 + n 930 = 0
n’ = 30 e n’’ = 3!
04) (V)
25! 6!19! 6
20!5! 25! 20· = 0,3
08) (V)
n 2 n 1 n(n 1)! n 1 n 1 !
n 1 n 1 !
= (n + 2)n + 1
= n2 + 2n + 1 (n + 1)2
16) (F)
n 1 ! n 1 n
2n 1 2!
22.19
Se estivesse completa a coluna seria: 13
6
Basta tirar:
5 6 7 8
5 5 5 6
22.20
Exercício resolvido no material
22.21
Exercício resolvido no material
MAT 8B AULA 23
23.01
Tp+1 = n
p
an-p xp
100 p = 2 p = 98
Tp+1 = 100
98
y10098 198
Tp+1 = 100!
98!2! x2
Tp+1 = 100 99
2
·
Tp+1 = 4 950
23.02
26 15 = 960
23.03
(m + f)4 = m4F0 + 4m3F1 + 6m2F2 + 4mF3
6
16 = 0,375 = 37,5%
23.04
7 + 1 = 8
23.05
5m = 625
m = 4
23.06
(x + 1)(x + 1)(x + 1)
x2 + x + x + 1 (x + 1)
x2 + 2x + 1 (x + 1)
x3 + x2 + 2x2 + 2x + x + 1
x3 + 3x2 + 3x + 1
23.07
x4 + 4 3x3y + 6 32x2y2 + 4 33xy3 + 34 1y4
x4 + 12x3y + 54x2y2 + 108xy3 + 81y4
23.08
43221344 22426242 aaaa)a(
16322482 2344 aaaa)a(
Penúltimo termo: a32
23.09
? 432234 3310343103631034103
4432234 31033310343103631034103 )(
84432234 101003310343103631034103
23.10
(x + p)3 = 3
0
x3 43
1
x2 + 163
2
x 643
3
Note que os números sublinhados são múltiplos de 4.
23.11
3
6
x y 64
x y 64
x y 4
x y 2
2x = 6 x = 3 e y = 1
Ou
x y 4
x y 2
x = 1 e y = 3
Duas soluções.
23.12
6 5 4 3 24 2 4
6
2 6 5 4 3 2
x 6 2 x +15 4 x +20 8x 15 16x 6 32x+1 64C 2 x
15 4x x 12x 60x 160x 240x 192x 64
· · · · · · · ··
·
(F)
(V)
(V)
(F)
(V)
23.13
(x + y)4 = 24
x y 2
x y 1
2x = 3 x = 3
2
23.14
3º termo = 2
8C x6 22
5º termo = 4
8C x4 24
3º t = 5º t
28 x6 4 = 70 x4 16
x2 = 10
x = 10 3,1
3 < x < 4
23.15
2 1
n nC C 54
n!
n 2 !2 n = 54
n(n 1) 2n = 108
n2 n 2n 108 = 0
n2 3n 108 = 0
n’ = 9 e n’’ = 12
23.16
1 3
3 6 + 3 2
3 6 6 + 3 2
3 6 6 + 1 3
6
6 + 3 3 26 6 + 3 6 3 6 + 6 6
6 + + 3 6 3 6 + 6 6
6(1 + 3 6 6 + 3 3 6 + 6 )
23.17
(mx)5 = 32x5
m5 = 32
m = 2
5(mx)4(nx)1 = 80x4
5 16x 4ny = 80x4y
8-x4 ny = 80x4y
(m + 4n)3 = (2 4)3 = 8
23.18
01) (V)
101 elevado a qualquer expoente tem final 01, que subtraído de 1 resulta em final 00, que é
múltiplo de 4
02) (F)
A terceira equação do sistema é o triplo da primeira. E a segunda equação é o dobro da
primeira. Então temos:
x y z 1
z 0
0 3
Sistema impossível, SI
04) (V)
5º termo
4
n 4n 1 x
x4
· ·
n
4
n 4
2x
x4
n
4
n 44
2x
n
4
n 12
2x
08) (V)
Lei dos senos
a b c
senA senB senC = 2R
a = 2R senA
b = 2R senB
c = 2R senC
a 2ª linha é proporcional a 3ª linha
det 0
23.19
Exercício resolvido no material
23.20
Exercício resolvido no material
MAT 8B AULA 24
24.01
4 2
6 3
24.02
?),( 10021
...,C,C),( 191
10
0100
10
10 020102010201
...,, 020101021 10
1,0210 = 1,2
24.03
x3 1 + 3x 3x2 = 343
x3 3x2 + 3x 1 = 73
(x 1)3 = 73
x 1 = 7 x = 7
24.04
(2x 3)(2x 3)
4x2 6x 6x + 9 = 0
4x2 12x + 9 = 0
24.05
T4+1 = 4
9C 14 x5
T5 = 126x5
24.06
1º (3x)4 = 81x4
Último (2y)4=16x4
81x4 + 16x4 = 97x4
24.07
T2+1 = 2
6C 22 x4
T3 = 15 4X4
T3 = 30x4
24.08
T2+1 = 2
100C (1)2 x98
T3 = 4 950 x98
24.09
T3+1 = 3
6C
32
x
(2x)3
T4 = 20 8 8
T4 = 1 280
24.10
T5 =
4
4
6
3C
x
· (x2)2
T5 = 15 81 = 1 215
(x1)p (x2)6p
xp2p+12 = x0
3p = 12
p = 4
24.11
T2+1 =
2
2
5
1C
a
· a3 = 10a
24.12
T3+1 =
3
2
10
1C
x
· x7 = 120x4
T4+1 =
4
4
10
1C
x
· x6 = 210 x2
424
2
5
T 120x 4x
T 7210x
24.13
01) (F)
(a + b)5 = 25
02) (F)
04) (V)
a b 2
a b 1
2a = 1 a = 1
2
b = 3
2
08)(V)
1 9 10 5
4 4 4 2
16)(V)
12 12
3 6 3
2
24.14
6 pp11
32x x
· = x0
1
2p + 2
1
3p = 0
5p = 12 p = 2,4
24.15
5 2 p = 2
T2+1 = 2
5C (3a)2 x3
T3 = 10 9a2 x3
T3 = 90a2x3 = 360x3
a2=4 4 = 2
24.16
(4 1)n = 6 561
3n = 38 n = 8
n
n
8
1C
x
· (4x)8n
n
8C (1)n 48n = 448
Para ter 7
n 6
8C =
87
2
· 42 = 43 7
24.17
xp (x2)27p = x18
3p + 54 = 18
p = 12
12
27
27!C
15!12!
24.18
(x1)p x2n+1p = x0
2n 2p + 1 = 0
p = 2n 1
2
decimal
24.19
Exercício resolvido no material
24.20
Exercício resolvido no material
MAT 8C AULA 22
22.01
t0 = 0oC
0
0
10 t 13a
20 t 21a
10 = 8a = a = 1,25
10 = t0 + 13 1,25
t0 = 6,25
T(x) = t0 + ax
T(x) = 6,25 + 1,25x
x = 6,25 + 1,25x
0,25x = 6,25
x = 25oC
22.02
K(x) = 29,90, 0 x 200
0,2x 29,9, x>200
Z(x) = 49,90, 0 x 300
0,1x+49,9, x>300
22.03
a)
AB = 50
50 50 = 2 500
b)
22.04
01) (F)
m(t) =
1 t 1013 000 400t
t 109 000-300t
02) (V)
9 000 300(t 10) = 7 500 t = 15
04) (F)
m(t) = 9 000 300t + 3 000 m = 300
08) (F)
13 000 400t = 9 000 300(t 10) t = 10
16) (V)
1º dia = 400g = x e 13 00g = 100%
x 3,1
32 (V)
9 000 300(t 10) = 0 t = 40
64) (F)
9 000 300(t 10) = 0 t = 40
22.05
Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular.
a) x + y = 5 e 2x – y = 3
m1 = –1 e m2 = 2 não são paralelas
b) y = 5x + 2 e y = – 5x – 2
m1 = 5 e m2 = – 5 não são paralelas
c) y = – 3x + 2 e 103
1 xy
3
13 21 mem não são paralelas
d) 2x + 3y + 1 = 0 e 2x + 3y – 1 = 0
3
221 mm são paralelas
Letra correta D
e) y = x e y = – x
m1 = 1 e m2 = –1 não são paralelas
22.06
m = 8
1
y + 3 = 8(x 1)
y + 3 = 8x 8
8x y 11 = 0
22.07
y = 2x 10
m m
y = mx 5
8 8
2 m
m 8
m2 = 16 m = ±4
22.08
x 3y + k = 0
2 3 4 + k = 0
k = 10
y 3y + 10 = 0
22.09
y = 3 x
k k
y = 2x + 5
1
k = 2 k =
1
2
22.10
a)
m = tg60o = 3
y 4 = 3 (x 1)
y 4 = 3 x 3
3 x y 3 + 4 = 0
b)
m = tg30o = 3
3
y 1 = 3
3(x 0)
3 x 3y + 3 = 0
22.11
2x y = 3
2x + ay = 5
a = 1
22.12
m = 7
5
y 0 = 7
5
(x 0)
7x 5y = 0
22.13
2x 3y + k = 0
2 3 3(5) + k = 0
k = 21
y = 2x 21 2
x3 3
7
22.14
y = 2x 18
3
e y =
5x 1
4
8x 72 = 15x 3
23x = 69
x = 3 e y = 4
22.15
y = 2m
m
x
8
m
y = m 1
3
x +
9
3
m = 3 1
3
3m = m + 1 m = 1
4
22.16
y = 1
2x + k
11 = 1
2 16 + k
k = 3
y = x
2 + 3
x = 7 7
2 +
6 13
2 2
(7, 13
2)
22.17
mBC = mr
h b 2
b b
h = b 2
22.18
d = 8 2 = 4
3x 4y 1 = 0
22.19
A Ɇ r e A Ɇ s a interseção entre r e s é o vértice oposto (C) a A
* Coordenadas de C
3x = 2x + 5
x = 5 e y = 15
C = (5, 15)
* u//r um = 3 e Au
y = 3x + b 11 = 3 4 + b
b = 1 e y = 3x 1
* t//s mt = 2 e At
y = 2x + b 11 = 2 4 + b
b = 3 e y = 2x + 3
* coordenadas B Su
2x + 5 = 3x 1
x = 6 e y = 17
B = (6, 17)
* coordenadas D rt
3x = 2x + 3
x = 3 e y = 9
D = (3, 9)
22.20
a)
mr = 2
2 = 1
r : y 0 = 1(x 1)
y = x + 1
S : y + 1 = 1
2(x 2)
y = 1
2x
b)
1
2x = x + 1
x
2 = 1
x = 2 e y = 1
P = (2, 1)
d)
y 0 = 1
2(x 1)
2y = x + 1
X + 2y 1 = 0
MAT 8C AULA 23
23.01
ms = 1
3
y 0 = 1
3(x 10)
3y = x + 10
X + 3y 10 = 0
23.02
3 3x = x + 10
10x = 10
x = 1 e y = 3
23.03
dPE = 2 29 3
dPE = 90 = 3 10 9,48 m
23.04
Assinale V ou F, conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa,
(V) Duas retas perpendiculares formam entre si um ângulo reto.
(F) Duas retas perpendiculares têm coeficientes angulares iguais.
1 sr mm
(V) O produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares, não paralelas aos
eixos coordenados, e igual a – 1.
(F) As retas de equações y = 2x + 1 e y = – 2x + 5 são perpendiculares.
m1 = 2 e m2 = – 2 421 mm
(V) As retas de equações 4x – 3y + 2 = 0 e 3x + 4y – 2 = 0 são perpendiculares.
3
41 m e
4
32 m 121 mm
Conclui-se que o numero de afirmações verdadeiras é:
Três afirmações verdadeiras.
23.05
m = 1
2
y 2 = 1
2(x 3)
2y 4 = x + 3
x + 3y 7 = 0
23.06
y = x 3
2 2
2x + y = 0
23.07
1 a 1
a 2
= 1
a + 1 = a 2
2a = 3
a = 3
2
23.08
414 mmxy)x(my
6336 mmxy)x(my
634 mmxmmx
22
1 sr mm
23.09
ms = 1
2
y + 1 = 1
2(x 4)
2y + 2 = x + 4
y = 1
2x + 1
23.10
y = 1
2x
3
2
y 3 = 2(x 2)
y 3 = 2x 4
2x y 1 = 0
23.11
mAB = 3
4
m = 4
3
y 3 = 4
3(x 4)
3y 9 = 4x + 16
4x + 3y 25 = 0
23.12
y = 2 2
x5 5
y 2 = 5
2(x + 1)
x = 0 y = 5
2 + 2 y =
1
2
(0, 1
2)
23.13
m = 6
6 = 1
M = (1, 1)
Y + 1 = 1(x 1)
x y 2 = 0
23.14
y = 1
3x 2
m = (3, 1)
y + 1 = 3(x 3)
3x + y 8 = 0
23.15
a = 1
2
A = (2, 3)
3 = 2(1
2) + b
b = 4
(1
2e 4)
23.16
(V)
x y + k = 0
2 1 + k = 0
k = 1
(V)
(F)
x y 1 0
x y 3 0
2x = 4 x = 2
y = x + 1 y = 1
(F)
A = (2, 1)
m = 1
y 1 = 1(x 2)
y x 3 0
y x 1 0
2x = 2 x = 1 e y = 2
23.17
I) (V)
mOA = 2
6 mOB =
6
2
II) (F)
mAB = (2, 4)
III) (F)
L.C
22 = 40 + 40 2 40 40· cos
76 = 2 40 cos cos = 38 19
40 20
dPA = 2 2
3 3 1 3 3
dPA = 40
IV) (V)
dPO = 2
3 3 1 3 3 2
dPO = 9 6 3 3 1 6 3 27
dPO = 40
23.18
mBC = 4
4 = 1
y 1 = 1(x 1)
y + x 2 = 0
23.19
113 sr mmxy
1514 xy)x(y
121
3
yex
xy
xy
2 yx
23.20
t y = 3y + 10
t : y 0 = 1
3(x 0)
x 3y
y 3x 10
10y = 10
y = 1 e x = 3
P = (3, 1)
dPO = 9 1 10
l = 10
d = 10 2
d = 20 d = 2 5
23.21
mAB = 2
5
mBC = 5
2
y 3 = 5
2(x 2)
2(2 3) = 5x + 10
5x = 20 x = 4
(4; 2)
23.22
m = 6
6 = 1
M = (1, 1)
Y + 1 = 1(x 1)
x y 2 = 0
23.23.
Triângulo OPQ
O(0,0), P(1,2) e o simétrico de P em relação à reta y = x é (2,1)
.a.uA||A 3
112
121
100
2
12
23.24.
3
133 sr mmxy
Reta que passa por A(1,3)
10313
13 xy)x(y
24
3
10
3
103
yexxy
xy
),(B 24
Reta que passa pela origem
30
3
10
xy)x(y
13
3
103
yexxy
xy
),(C 13
23.25.
a) Como A(k,5) a reta s 5 = k – 1 k = 6
231
135
yex
xy
xy
C(3,2)
11 ts mstem
11615 xy)x(y
7411
135
yex
xy
xy
B(4,7)
b) .a.uA||A 6
174
123
156
2
1
MAT 8C AULA 24
24.01
Em 20 anos ela cresceu 16 cm. De 2011 para 2 021 crescerá mais 8 cm. E de 2 021 até 2 026
mais 4 cm. Chegando a 28 cm até 2 026.
24.02
m1 = 4
1 m2
m2 = 2
1
m1 = 2m2
24.03
mr = 3
4
mt = 4
3
t: y 7 = 4
3(x 9)
3y 4x 21 + 36 = 0
34x 3y 15
3x 4y 30 4
·
·
25y = 75 y = 3 e x = 6
y + x = 9
24.04
m = 2
1 = 2
24.05
x 2y 3
22x y 1
·
5x = 5 x = 1 e y = 1
(1, 1)
24.06
Analisando as coordenadas de x e y temos:
y 3x 1 0
y 3y 9 0
As retas são paralelas entre si.
24.07
1ª m = 1
2
2ª m = 1
2
As retas são concorrentes e não perpendiculares entre si.
24.08
mAC = 1
4
y 3 = 1
4(x 2)
4y 12 = x 2
x 4y + 10 = 0
24.09
mr = 4
3
y = 4
3x
24.10
Área 2 : 1
360o 3 = 120o
mr = tg30o = 3
3
y = 3
3x
24.11
mr = 1
2
y 9
2 = 2(x 0)
2y 9 = 4x
4x 3y 9 0
x 2y 4 0
5x = 5
x = 1 e y = 5
2
(1, 5
2)
24.12
6 12
2
· = 36
24.13
5x 12y 42 (-1)
5x 16y 56
·
28y = 14 y = 1
2
x = 48
5
Substituindo em t
5 48
5 + 20
1
2 = m
m = 48 + 10 58
24.14
m = 2
3
mr = 3
2
y = 3
2x
24.15
y = 2x
32
(x, 2x
32)
dPx = dPy
2
22x 2 x
3
22
x 23
= x2
2
3x + 2 = x
2x + 6 = 3x
x = 6 e y = 6
ou
2
3x + 2 = x
2x + 6 = 3x
5x = 6
x = 6
5 e y =
6
5
24.16
x x
2
· = 32
x2 = 64
x = 8
mr = 1
S:
y 0 = 1(x 8)
x y = 8
24.17
m = 4
2 = 2
ms = 1
2
y 4 = 1
2(x + 2)
2y 8 = x + 2
x 2y + 10 = 0
24.18
mr = 3
2
S: y = 2
3x
r: y = 3
2x + 3
2
3x =
3
2x + 3
4x = 9x + 18
13x = 18
x = 18
13
24.19
I) (F)
mr = 1
1
= 1
r: y 0 = 1(x 3)
x + y 3 = 0
II) (V)
mr = 1
2
r: y 2 = 1
2
(x 0)
2y 2 + x = 0
III) (V)
mr = 1
r: y 1 = 1(x 2)
y = x + 3 x 0y 3
y 0x 3
S3 3 9
2 2
·
24.20
Passa obrigatoriamente pelo ponto m, interseção das diagonais AC e DB.
m = 1 6 1 3 7
, ,22 2 2
S: 3x 5y + k = 0 e ms
3 7
2 5 2 + k = 0
k = 1
2
Então:
S:
3x 5y 1
2 =
6x 10y 1 = 0
24.21
mr = tg120o = 3
y 2 = 3 (x 1)
y = 3 x + 3 + 2
24.22
Exercício resolvido no material
MAT 8D AULA 22
22.01
Sb = comprimento x largura
V = Sb H
Assim temos o volume.
22.02
18 6 2 + 18 3 2 + 6 3 2
216 + 108 + 36
360
22.03
123 83
1 728 512 = 1 216 cm3
22.04
90 90 60 = 486 000 cm3 = 486 dm3
22.05
27 m3 R$ 12,00 = R$ 324,00
22.06
2(600 160 + 160 400) + 600 400
2(96 000 + 64 000) + 240 000
320 000 + 240 000
560 000 400 = 1 400
22.07
No triângulo ARS 2
2
22
22
2
RSRS
2
2 RSOT
No triângulo VBT 2
5
2
2
22
VTVT
No triângulo VOT 222 OTVOVT
2
3
2
2
2
52
2
2
VOVO
22.08
V = 192 cm3
1
3 V = 64
22.09
01) ahahahaSt 421642 222
028 22 aahh
haa
h 22
, portanto O1 verdadeira.
02) Falsa, pois as arestas não são todas iguais.
04) 222222 22 haDh)a(D
hDhhD 342 222 , logo 04 falsa.
08) 28244 hShhSahS lll , portanto 08 verdadeira.
16) 322 44 hVhhVhaV , verdadeira.
22.10
x3 (x + 0,5)3 = x3 + 2 375
(x2 + 10x + 25)(x + 5) = x3 + 2 375
x3 + 10x2 + 25x + 5x2 + 50x + 125 = x3 + 2 375
15x2 + 75x 2 250 = 0
x2 + 5x 150 = 0
x' = 15 e x’’ = 10 dm = 1 m
22.11
(x 1), x, (x + 1)
x(x + 1)(x 1) = 8 3x
x3 x = 24x
x3 25x = 0
x(x2 25) = 0
x = 0 e x = ±5
(4, 5, 6)
01) (V)
4 + 5 + 6 = 15
02) (F)
(4, 5, 6)
V = 120 cm3
04) (V)
St = 2 (4 5 + 4 6 + 5 6)
St = 2 74 St = 148
08) (F)
D = 16 25 36 77
16) (V)
22.12
d = m
v
40 30 20 4 103
24 000 4 000
V = 20 000 cm3
78 = m
20 000
m = 156 000 g/m = 156 Kg
22.13
mdc entre 30, 42, 18 mdc = 6
V = 22 680 cm3 63 = 216
105 = 22 680
216
22.14
AH = 9 1 = 2 2
SACD = 2 2 2
2
· = 2 2
AC = 7 2 = 3
V = 1
3
2 2 77 =
2 3
V = 1
3 SACD d
7
3 =
1
3 2 2 d
d = 2
2
7
2 2 d =
14
4
22.15
01) (V)
Sl = 1 5 + 1 6 12
2
2 5 6
Sl = 5 + 42 2 + 30
Sl = 119 m2
02) (V)
1420 000 cm2 400 cm2 = 3 550 azuleijos
04) (V)
h h 5
2
12 5 = 192
(2h 5) 30 = 192
60h 150 = 192
h = 5,7 h 5 = 0.7 = 70 cm
08) (F)
192 000L x
10 000 30
x = 576
16) (F)
V = 42 5 = 210 m3 192 = 18 m3
22.16
a)
Vm = 56 39 10 = 21 840
VN = 14 6,5 0,02 = 1,82
N
Vm
V = 12 000 notas 50 = 600 000 reais.
b)
Peso de cada nota = 1,82 0,75 = 1, 365 g
1,365 g 12 000 = 16 380 g = 16,38 Kg
16,38 Kg + 2,6 = 18,98 Kg
22.17
01) Verdadeira, pois D1 é hipotenusa de um triângulo pitagórico, então D1 = 5 cm.
02) Verdadeira 5045 2
2
10 DD
Dsen
04) Falsa 2
2
25
2
55cmSS
08) Verdadeira 360543 cmVV
16) Verdadeira )acbcab(St 2
22 940945354432 dm,ScmS)(S ttt
32) Falsa, pois 2
2
2
cossen
22.18
a)
V = 2 4 4 + 4 0,5 4
2
· ·
V = 32 + 4 V = 36 m3
b)
cos30o = 2 3
x 2 x =
3
3
4
3 =
4 3
3
x = 2,3 4
corda 9,2 m
22.19
a)
V = 2x x x
5 =
32x
5 = 50
x3 = 125
x = 5 dm ou x = 50 cm
b)
St = 120 70 = 8 400 cm2 = 0,84 m2
0,84 10 = R$ 8,40
22.20
V = V1 + V2
V = 1 10 10 + 1,5 10 5
V = 175 m3 = 175 000 L
175 000 L 2 500 L = 70 Kg
MAT 8D AULA 23
23.01
R = 2
V = 22 10
V = 3 4 10
V = 120 ml
Vol. De açúcar = 1
6V
Vol. H2O = 5
6 V =
5
6 120 = 100 ml
23.02
O ponto A, mais alto do cilindro, tem velocidade igual ao dobro da velocidade do centro C do
rolo cilíndrico. Quando o rolo dá uma volta completa, o seu centro C se desloca 2R e o bloco
de pedra que está em contato com o ponto A vai deslocar-se o dobro, isto é: 4R.
23.03
V = (1,2)2 4 12 4
V = 4(1,44 1)
V = 4 3,1 0,44 = 5,456 10 = R$ 54,56
23.04
V = 63
R2 H = 63
9H = 63 H = 7 cm
23.05
R1 = 1h
2 e R2 = 2
h
2
1
2
V 8
V 27
2
11
2
22
h h
2 8
27h h
2
·
·
3
1
3
2
h 8
27h 1
2
h 2
h 3
23.06
VL = 42 20 = 320
VC = 22 4 16
VH2O = 20 1
2 16 = 160
VL = 20 VC
23.07
I) V = 32 12 0,06 = 6,48 m3
II) V = 42 10 0,06 = 9,6 m3
Densidade massa
I) m = 6,48 0,77 = 2,99 toneladas
II) m = 9,60 0,78 = 7,49 toneladas
3 toras 3 4,99 = 14,97
2 toras 2 7,49 = 14,98
14,97 + 14,98 = 29,95 toneladas.
23.08
R = h
2
t
L
S
S =
2 22
2
h h h2 +2 h h
34 2 2h 2h
2 h2
· · · ·
·
23.09
C = 2R = 2,64
R 0,4203
h = 1,5 5 = 7,5
V = 3,14(0,4203)2 7,5
V 4,16015 m3
23.10
6 R + 8 R = 10
2R = 4
R = 2 cm
23.11
1)
Sendo AI, AII e AIII as áreas laterais desses tanques, em metros quadrados, tem-se:
AI = 2 2 6 = 24
AII = 2 2 8 = 32
AIII = 2 3 8 = 48
2)
Sendo VI, VII e VIII as capacidades de armazenamento desses tanques, em metros cúbicos,
tem-se:
VI = 22 6 = 24
VII = 22 8 = 32
VIII = 32 8 = 72
Assim, a relação área/capacidade de armazenamento de cada tanque é dada por:
I
I
II
II
III
III
A 241
V 24
A 321
V 32
A 48 2
V 72 3
Como 2
3 > a, então se pode concluir que o tanque com menor custo por metro cúbico de
capacidade é o III.
23.12
V = 1,52 12
V = 27 cm3
23.13
C1)
C = 25 = 2R = 25
2
SL = 25 9 = 225
V = 2
625
4 9 =
5625
4
C2)
C = 9 = 2R R = 9
2
SL = 25 9 = 225
V = 2
81
4 25 =
2025
4
I) (V)
II) (V)
III) (F)
IV) (F)
23.14
I. Falsa.
SLQ = 4(l) (H) = 4 10 20 = 800 cm2
SLR = 2 π R H = 2 3,14 5 20 = 628 cm2
II. Verdadeira
VQ = L2 H = 102 20 = 2 000 cm3
VR = π r2 h = 3,14 52 20 = 1 570 cm3
III. Falsa.
STQ = SL + SB = 4 L H + L2 = 900 cm2
STR = SL + SB = 2 π R H + π R2 = 706,5 cm2
23.15
01) Verdadeira BABBBA hhdmhhVV 44
3432 22
02) Falsa dmhB4
3
04) HA altura total do cilindro B.
dmHHHrV AAAATA 6224 22 , falsa.
08) 372
3
124
3
1dmVVVV TBTBTBTA
dmHHHrV BBBBTB2
9472 22
BB hH 6 , verdadeira.
16) Verdadeira, calculado no item 08.
32) 324
72
TA
TB
V
V
23.16
VP = 92 1,5
VP = 81 1,5
VD = (132 92) 1,5
VD = 88 1,5
P
D
V 81 1,5 81
V 88 1,5 88
·
·
23.17
(, h, r)
Sn = r 3
2
= 6
+ r = 4 r = 3
h = r 3
2 2
h = 2
St = 2R2 + 2Rh
St = 2 92 + 2 3 2
St = 18R3 + 123 St = 303
23.18
(vol. Cilindro vol. Do prisma triangular) 3
VC = 12 6 = 6 m3 6 000 L
VP = 2L 3
4 6 =
3 3
4 3 = 4,5 3 4 500 3 L
Mas h = 3 L 3
2 2 L = 3
C PV V 6000 4500 3
3 3
= 2 000 1500 3
23.19
Vparalelepípedo Vcilindro
(18 5 5) (42 5)
450 251,2 = 198,8 m3
23.20
2 = 1
3h h = 6
L 3
2 = 6 L = 4 3
VP VC =
2
4 3 3
4
· 82 22 8
VP VC = 96 3 32
VP VC = 32(3 2 ) cm3
MAT 8D AULA 24
24.01
Iguais dois a dois.
24.02
Um para cada face, exceto a que contem V
6 1 = 5
24.03
VT = 1 L L L 1 L
3 2 2 2 2 2
· · · · ·
VT = 1
48 L3
3C
3T
V 1L
1VL
48
24.04
h2 = 4 2
h = 2
24.05
VP = 1
9VC
1
3 122 h =
1
9 123
h = 3 1
9 12 h = 4 cm
24.06
6 1
3 L3 + L3
2L3 + L3 = 3L3
24.07
d = 2 2
l 2 = 2 2
l = 2
Vprisma = Vpiramide
2 h =
1
3 (2)2 h’
h 4
h' 3
24.08
VP = 1
3 VC
1
3 42 h =
1
3 43
h = 4
24.09
01) Verdadeira cmacmS bb 636 2
cmaaa
ha ppb
p 62
633
2
22
2
2
22
2722
664
24 cmSS
aaS
pb
bS.S 2
02) Verdadeira 21083672 cmSSSSS ttbt
21083633 cmSSSS ttbt
04) Verdadeira 218
2
66cmSS ff
2186
1cmSSS ftf
08) Verdadeira 2
3
72
108
S
S
S
S tt
16) Falsa 33363336
3
1
3
1cmVVhSV b
24.10
01) (V)
SD =
2
23R 3 3 3R
4 4 cm2
02) (V)
SQ = 2
2R = 2R2
04) (F)
d = 2R
l4 2 = 2R
l4 = 2 R
08) (F)
2
3h = R
2
3 3
l 3
2 = R l3 = 3 R
16) (V)
V4 = V3
1
3 2R2 h4 =
1
3
3 3
4 R2 h3
h4 = 3 3
8 h3
24.11
sen60o = h
6
3 h
2 6 h = 3 3
cos60o = x
6 =
1
2 x = 3
6 = l 2 l = 3 2
V =
2
3 2 3 3
3
· = 18 3
24.12
VP = 21 l
l3 2
· ·
VP = 1
6 l3
24.13
01) Falsa, o octaedro têm 12 arestas.
02) Verdadeira 222
222
444cba
cbaAAA IIIIII
04) Falsa maaahSV bbbb 63
172
3
1 2
08) Verdadeira
22
4
2
1
2
1
hrVh
rV
hrV 2
2
Como V2 = 2V1. o custo deveria ser o dobro; como é menor, a lata L2 é mais econômica.
24.14
H2 +
2
230 2
2
= 2302
H2 = 2302 2230
2
H = 230 2
2
V = 1
3 2302
230 2
2 =
3230 2
6 m3
24.15
4l2 = l2 + 27
3l2 = 27 l = 3 cm
cos60o = 3 3 1
2x 2 x = 3 3
St = 6 3 3
4 + 6
3 3 3
2
·
St = 27 3
2 +
54 3
2 =
81 3
2
24.16
Sl = 4 8 4 2
2
· Sl = 64 2
24.17
DVABNDVA’B’
1m
G
m m
2VV 3
V V A razão de semelhança é de
2
3, então A’B’ =
2
3
SG = 1
2 SA’B’C’D’
SG = 1
2
22 2
3 9
24.18
4 h
5 350
h = 280 cúbitos
280 0,52 = 145,60 m
24.19
a)
2l + l 2 = 6 + 3 2
l(2 + 2 ) = 3(2 + 2 )
l = 3
h2 = 32
2
3 2
2
h2 = 9 9
2 =
9
2
h = 2
2
3
2 h =
3 2
2
b)
V = 1
2 9
3 2
2 =
9 2
2
St = 9 + 4 23 2
2 9 + 9 3
24.20
a)
AB = 10 2
SD =
2
10 2 3 100 2 3
4 4
· = 50 3 cm2
b)
St = 50 3 + 3 10 2 5 2
2
·
St = 50 3 + 150
St = 50(3 + 3 ) cm2
c)
25 2 = h2 + 25 6
9
·
450 = 9h2 + 150
h2 = 300 10 3
9 3
V = 1
3 50 3
10 3
3
V = 500
3 cm3
MAT 8E AULA 22
22.01
z = a + b i
z’ = a – b i
z + z’ = 2a
22.02
z = a + b i
z’ = a – b i
z z’ = a2 – b2 (i)2
z z’ = a2 + b2
22.03
4 + 9 =13
22.04
i2 + i3 + i0 +i
1 i +1 +i
z = 0
22.05
539 4
Quociente = 134
Resto 3
i3 = i
22.06
917062007 4
Quociente = 22926501
Resto = 3
i3 = i
22.07
z = 1 1 i
1 i 1 i
z =
1 i
2
=
1 1i
2 2
22.08
n =
4 2i
4 2i
8 6i
4 2i
n = 32 16i 24i 12
16 4
n = 44 8i
20
n =
11 21
5 5
22.09
(3 3 i)2 = 27i2
22.10
z = 2
2
i 1 2i i
i i
z =
i 1
i 1
3i
i 1
z = 3 3i
2
z =
3 3i
2 2
Re(z) = 3
2
22.11
(i)
(i)
4 16i 16 12 16i
1 2i i 2i
·
· 8 6i
22.12
z = i0 i3 z = 1 + i
22.13
2000i 1 i 1 ...i + i1 + i2 + i3
0 + i 1 + i = 1
22.14
[(1 i)2]50 [(i + i)2]50
(2i)50 (2i)50
2100 i100 = 2100
z é uma potência de 2
22.15
(x +yi)(x yi i)
(x + yi)(x (y + 1)i)
x2 x(y + 1)i + xyi y(y + 1)i2
x2 xi + y2 + y
x2 + y2 + y = 0
22.16
n(n 1)
2
= i4
N(n + 1) = 8
22.17
ni...iii 32 P.G. de razão = I, para que Sn = 0, n deve ser múltiplo de 4.
22.18
* P(0) = 2
P(i) + iP(0) = i2 + 2
P(i) 2 = i2 + 2
P(i) = 3
22.19
na primeira linha: soma = 0
na primeira coluna: soma 4i
a) Não é um quadrado mágico.
b) 011
16
1
nn
nn S
i
iiiS
q
aqaS
22.20
a + bi + a bi = 3 b
2a = 3b b = 2a
3 = b = 4
(a + bi)(a bi) = 52
a2 + b2 = 52
a2 + 24a
9 = 52
9a2 + 4a2 = 468
13a2 = 468
a2 = 36
a = ±6 a = 6
Z = 6 + 4i
MAT 8E AULA 23
23.01
2 210 10 200 = 10 2
23.02
tg = 10
10
= 1 = 315o
23.03
p = 2
a = p cos135o = 2 2
2
a = 1
b = p sen135o = 2
2 2
· b = 1
Z = 1 + i
23.04
a = 2 cos30o = 2 3
2 = 3
b = 2 sen30o = 2 1
2 = 1
Z = 3 + i
23.05
z = (1 3i)(2i i) = 2i 1 + 6i2 + 3i
= 7 + i
z 49 1 50 = 5 2
1 9 4 1 10 5 50 · ·
23.06
tg = b 3
3a 1
120º = 2
3
23.07
16 9 25 = 5
23.08
tg = b 3
a 3 = 150º
a = 3
2
b = 3
2
9 3z
4 4 = 3
23.09
p = 2
a = p coso = 2 1
2 = 1
b = p sen60o = 2 3
32
Z = 1 + i 3
23.10
z = 4i 4
2
z = 2i + 2
p = 4 4 = 2 2
tg = 2
2 = 1 = 45-
23.11
1 i
1 i
i 3
3 i
·
·
1 2i 3 3
3 1
2 2i 3 1 i 3
4 2
1 3z
4 4 = 1
23.12
(a + bi)(a bi) = 25
a2 + b2 = 25
23.13
I. Correta. |z|2 = a2 + b2 = |z’|2 = a2 + b2
II. Incorreta. i2 = –1
III. Correta. |i| = 1
23.14
i 1
1
= 1 i
tg = 1 e = 7
4
p = 2
23.15
a + bi + 2 2a b = 2 + 8i
2 2
b 8
a a b 2
2 2a 8 = 2 a
a2 + 64 = 4 4a +a2
4a = 60 a = 15
Z = 15 + 8i
2z = (15)2 + 82 = 225 + 64 = 289
23.16
= 3x 3yi 4xi 4y 3x 4y (3y 4x)i
9 16 25
2 2
2 2 2 23x 4y 3y 4x 9x 24xy 16y 9y 24xy 16xz
625 625
2 225 x y 20 2 5z
625 25 5
23.17
p = 2
a = p cos = 2 cos120o = 21
2
a = 1
b = p sem = 2 3
32
b = 3
Z = 1 + 3 i
23.18
2 2
2 2
4a 9b 64
b 4a 16 2
·
8b2 = 32
b2 = 4
b = ± 2
4a2 = 32 4
a2 = 28
4
a = ± 7
a bi 11
23.19
Z1 tg = 1 1 = 45o
Z2 2 = 2 1 = 90º
Z2 = 5(cos90o + i sen90o)
Z2 = 5(0 + i)
Z2 = 5i
23.20
a)
Z1 =
1 3i
1 3i
1 1 3i 1 3i
1 3 41 3i
·
·
b)
tg = 3
1 = 60o =
3
z 1 3 2
Z = 2 (cos 3
+ i sen
3
)
MAT 8E AULA 24
24.01
z1 z2 = 4(cos270o + i sen270o)
z1 z2 = G
24.02
2
4
z
z = 3(cos180o + i sen180o)
2
4
z
z = E
24.03
z1 = 3 (1 + i 0) = 3
z2 = 4/3 (0 + i 1) = 4/3 i
Z = 3 4/3 i = 4i ponto G
24.04
z1 =
5 ×2
2+ i × -
2
2
æ
èçç
ö
ø÷÷
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
= 52
2× 1 + i( )
z2 =
5
3×– 2
2+ i ×
2
2
æ
èçç
ö
ø÷÷
= 52
6× –1 + i( )
z1/z2 ponto J
24.05
10i
210 = 10
tg = 10
0 90o
24.06
1 3 2 1
4 24 12
24.07
tg = 3 = 300º
tg = 2 3
2 = 60º
= 240º
24.08
z = 2(cos150o + isen 150º)
z = 23 1
i2 2
z = 3 + i
24.09
1(cos90o + isen 90º)
1(0 + i) = i
24.10
tg = 3 = 300o
tg = 1 = 135o
= 165o = 11
12
24.11
3 + i 3 tg = 3
3 = = 30o
(3 + 3 )i 3i 3
tg = 3
3 = 3 = 120o
90o no sentido anti-horário.
24.12
z = 2 2 2
i2 2
z = 2 + i 2
z2 = 2 + 4i 2
z2 = 4i
2z = 4i
24.13
z2 = a2 + 2abi b2
z2 = a2 b2 + 2abi
2z = a2 b2 2abi
a2 b2 e 2abi
3º quadrante.
24.14
0
111 303
3
3
1 tgtg
Logo 0
212 602
213 1
22
1 zz
)isen(cosz)isen(cosz 0022
1
00
1 302302230302
)isen(cosz 002
1 60604
2
12
00
2 60604 zz)isen(cosz
24.15
z = 6(cos300o + isen300o)
z = 61 3
i2 3
z = 3 3 i
24.16
a + bi + a bi = 4
a + bi (a bi) = 4i
2a = 4 a = 2
2bi = 4i b = 2
z = 2 2i
z2 = 4 8i 4
z2 = 8i
24.17
z1 = 2 tg1 = 1 1 = 315o
z2 = 2 tg2 = 3 2 = 60o
2z
2 = 255o
2 17e
2 12
24.18
z2 = 135º
z6 = 315º
ângulo entre z8 e z7 = 45o.
1(cos495o + 1sen495o)
1(cos135o + isen135o) = z2
z2 conjugado de z4
24.19
u = u (cos15o + isen15o)
z = z (cos45o + isen45o)
u z = u z· (cos60o + isen60o)
u z = 41 3
i2 2
u z = 2 + 2 3 i
24.20
2 a bi i a bi 2
2 a b 1 i a 2 bi
2 2 22 2a b 1 a 2 b
1 4
12 3
a a 112
qa 1 q 48a a 48
a1 + a2 + a3 + a4 = 160 a1 (a + q + q2 + q3) = 160
a1 (a + q) (1 + q2) = 160 a1 48
q (1 + q2) = 160 16
3(1 + q2) = 10q 3q2 10q + 3 = 0
4(a2 + b2 2b +1) = a2 2a + 4 + b2
4a2 + 4b2 8b + 4 = a2 2a + 4 b2
3a2 + 4a + 3b 8b = 0
a2 + 4
3a + b2
8
3b = 0
a2 + 4
3a +
4
9 + b2
8
3b +
16
9 =
4 16
9 9
2 22 4 20
a b3 3 9
C 2 4
3 3
· R = 2 3
3
9(a2 + b2 + r2)
9 4 16 20
9 9 9
9
40
9 = 40
