Mat Ypsilon caderno exercícios

7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios

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MATEMAacuteTICA A

CADERNO DE EXERCIacuteCIOSE PROBLEMAS

ANOCARLOS ANDRADE | CRISTINA VIEGASPAULA PINTO PEREIRA | PEDRO PIMENTA



33

Acircngulo de dois vetores

bull Define-se acircngulo de dois vetores (natildeo nulos no plano ou no espaccedilo) como o menor acircngulo natildeo orientado formadopor dois segmentos de reta orientados com a mesma origem representantes de cada um dos vetores

A amplitude do acircngulo de dois vetores uជ e v ជ simboliza-se por uជ and v ជ ou v ជ and uជ

Produto escalar

bull O produto escalar de dois vetores uជ e v ជ representa-se por uជ middot v ជ e tem-se

bull Se uជ e v ជ satildeo vetores natildeo nulos entatildeo uជ middot v ជ = ||uជ|| times ||v ជ|| times cos (uជand

v ជ)

bull Se algum dos vetores uជ e v ជ eacute o vetor nulo entatildeo uជ middot v ជ = 0

bull Propriedades do produto escalar

bull uជ middot v ជ gt 0 hArr cos (uជand

v ជ) gt 0 hArr 0o le uជand

v ជ lt 90o

bull uជ middot v ជ lt 0 hArr cos (uជand

v ជ) lt 0 hArr 90o lt uជand

v ជ le 180o

bull uជ middot v ជ = 0 hArr uជ = 0ជ or v ជ = 0ជ or uជ and v ជ = 90o

bull O produto escalar de dois vetores natildeo nulos eacute zero se e soacute se os vetores forem perpendiculares uជperp v ជ hArr uជ middot v ជ = 0

bull Outras propriedades

bull uជ middot uជ = ||uជ||2 (Quadrado escalar)

bull k (uជ middot v ជ) = (kuជ) middot v ជ = uជ middot (kv ជ) (Propriedade associativa mista)

bull uជ middot v ជ = v ជ middot uជ (Propriedade comutativa)

bull uជ middot (v ជ + w ជ) = uជ middot v ជ + uជ middot w ជ e (uជ + v ជ) middot w ជ = uជ middot w ជ + v ជ middot w ជ

(Propriedade distributiva do produto escalar relativamente agrave adiccedilatildeo de vetores)

Expressatildeo do produto escalar nas coordenadas dos vetores

bullNum referencial on do plano dados dois vetores quaisquer uជ(u1 u2) e v ជ(v 1 v 2) uជ middot v ជ = u1v 1 + u2v 2

bull Num referencial on do espaccedilo dados dois vetores quaisquer uជ(u1 u2 u3) e v ជ(v 1 v 2 v 3) uជ middot v ជ = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3

Acircngulos de dois vetores e acircngulo de duas retas

bullNum referencial on do plano dados dois vetores quaisquer natildeo nulos uជ(u1 u2) e v ជ(v 1 v 2)

uជ

and

v ជ

= cosndash1

bullNum referencial on do espaccedilo dados dois vetores quaisquer natildeo nulos uជ(u1 u2 u3) e v ជ(v 1 v 2 v 3)

uជandv ជ = cosndash1

bull Dadas duas quaisquer retas r e s no plano ou duas quaisquer retas complanares r e s no espaccedilo e dois quaisquervetores diretores de r e s r ជ e sជ respetivamente

cos (r ands) = |cos (r ជ

andsជ)| =

u1v 1 + u2v 2

ᎏᎏᎏ||uជ|| ||v ជ||

u1v 1 + u2v 2 + u3v 3ᎏᎏᎏᎏᎏ||uជ|| ||v ជ||

|r ជ middot sជ|ᎏᎏ||r ជ|| ||sជ||

Siacutentese

GEOMETRIA ANALIacuteTICA



Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica34

Inclinaccedilatildeo e declive de uma reta

bullNum referencial on do plano a inclinaccedilatildeo de uma reta eacute a amplitude do menor acircngulo medido no sentido positivoque a reta faz com o semieixo positivo das abcissas tomando este semieixo para lado origem

bull O declive m de uma reta natildeo vertical eacute a tangente trigonomeacutetrica da inclinaccedilatildeo α da reta tg α = m

Condiccedilatildeo de perpendicularidade de vetores

bull Dois vetores natildeo nulos satildeo perpendiculares se e soacute se o seu produto escalar eacute zero

uជperp v ជ hArr uជ middot v ជ = 0

bull Dado um vetor uជ(u1 u2) num referencial on do plano qualquer vetor de coordenadas (ndashku2 ku1) com k ʦ IR k 0 eacute perpendicular a uជ

Relaccedilatildeo entre o declive de retas perpendiculares

bull Num referencial on do plano dada uma reta de declive m (natildeo nulo) o declive de uma reta perpendicular eacute ndash

Conjuntos de pontos definidos por condiccedilotildees

bull A mediatriz de um segmento de reta [AB] de ponto meacutedio M eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazema condiccedilatildeo ABជ middot MP ជ = 0

bull A circunferecircncia de diacircmetro [AB] eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem a condiccedilatildeo AP ជ middot BP ជ = 0

bull A reta tangente a uma circunferecircncia de centro C no ponto T eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazema condiccedilatildeo CT ជ middot TP ជ = 0

bull O plano mediador de um segmento de reta [AB] de ponto meacutedio M eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que

satisfazem a condiccedilatildeo ABជ

middot MP

ជ

= 0

bull A superfiacutecie esfeacuterica de diacircmetro [AB] eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que satisfazem a condiccedilatildeo AP ជ middot BP ជ = 0

bull O plano tangente a uma esfera de centro C no ponto T eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que satisfazem acondiccedilatildeo CT ជ middot TP ជ = 0

1ᎏ

m



35

Vetor normal e equaccedilotildees de planos e retas

bull Chama-se vetor normal a uma reta a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a um vetor diretor dessareta

bullNum referencial on do plano dada uma reta r de declive m (1 m) satildeo as coordenadas de um vetor diretor de r e(ndashm 1) satildeo as coordenadas de um vetor normal a r A famiacutelia de vetores diretores de r tem coordenadas da formak (1 m) e a famiacutelia de vetores normais a r tem coordenadas da forma k (ndashm 1) para k ʦ IR0

bull Chama-se vetor normal a um plano a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a todas as retas desse plano

bull Em geral num referencial on do espaccedilo Oxyz sendo a b e c nuacutemeros reais com a e b natildeo nulos simulta-neamente

bull ax + by + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oz

bull ax + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oy

bull ay + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Ox

bull Dado um plano α um ponto A do plano e um vetor nជ normal a α o plano eacute o conjunto P dos pontos do espaccedilocujas coordenadas satisfazem a equaccedilatildeo vetorial AP ជ middot nជ = 0

bull Uma equaccedilatildeo cartesiana do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute

a( x ndash x A) + b( y ndash y A) + c( z ndash z A) = 0

bull Uma equaccedilatildeo geral do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute

ax + by + cz + d = 0

com d = ndashax A ndash by A ndash cz A

bull = = satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta do espaccedilo que passa no ponto de coordenadas

( x A y A z A) e que admite o vetor diretor de coordenadas (u1 u2 u3) (para u1 u2 e u3 natildeo nulos)

Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos

bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo paralelos se e soacute se os vetores normais satildeo colineares

α β hArr aជ bជ hArr aជ = kbជ

bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo perpendiculares se e soacute se os vetores normais satildeo perpen-diculares

α perp β hArr aជ perp bជ hArr aជ middot bជ = 0

z ndash z AᎏᎏϪᎏ

u3

y ndash y AᎏᎏϪᎏ

u2

x ndash x AᎏᎏϪᎏ

u1




bull Uma reta r natildeo contida num plano α eacute paralela ao plano se e soacute se um vetor diretor de r for perpendicular aum vetor normal a α

Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α natildeo nulos

r β hArr uជ perp nជ hArr uជ middot nជ = 0

bull Uma reta r eacute perpendicular a um plano α se um vetor diretor de r for colinear com um vetor normal a α

Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α

r perp α hArr uជ nជ hArr uជ = knជ

Interseccedilatildeo de planos

bull Dois planos podem ou natildeo intersetar-se Se os planos se intersetarem satildeo concorrentes ou coincidentes se natildeose intersetarem satildeo estritamente paralelos

bull A interseccedilatildeo de trecircs planos pode ser

bull o conjunto vazio ndash se pelo menos dois dos planos forem estritamente paralelos ou se se intersetarem no maacuteximodois a dois segundo retas paralelas

bull um plano ndash se os trecircs planos forem coincidentes

bull uma reta ndash se os planos forem concorrentes segundo uma mesma reta

bull um ponto ndash se os planos se intersetarem dois a dois segundo retas concorrentes



Itens resolvidos

1a) Classifica a respeito dos acircngulos o triacircngulo cujos veacutertices satildeo os pontos Aᎏ92ᎏ 0 Bndash ᎏ

92ᎏ 3

e C

ᎏ

3

2

ᎏ 9

b) Determina o seno do acircngulo das retas de equaccedilotildees y ndash 2 x ndash 3 = 0 e y + x = 1

Adaptado de Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 5 1968-69

Resoluccedilatildeo

1a) Comecemos por calcular as coordenadas dos vetores definidos pelos lados do triacircngulo

rarr

AB rarr

BC erarr

CA por exemplo

rarr

AB = B ndash A = ndash ᎏ

92ᎏ 3 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash9 3) e

rarr

BA(9 ndash3)

rarrBC = C ndash B = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 3 = (6 6) e rarrCB(ndash6 ndash6)

rarr

AC = C ndash A = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash3 9) erarr

CA(3 ndash9)

Calculando os produtos escalares obtemosrarr

AB middotrarr

AC = (ndash9 3) middot (ndash3 9) = 27 + 27 = 54 gt 0 pelo que angBAC eacute agudorarr

BA middotrarr

BC = (9 ndash3) middot (6 6) = 54 ndash 18 = 36 gt 0 pelo que angCBA eacute agudorarr

CA middotrarr

CB = (3 ndash9) middot (ndash 6 ndash 6) = ndash 18 + 54 = 36 gt 0 pelo que angBCA eacute agudo

Assim como o triacircngulo tem os trecircs acircngulos agudos eacute um triacircngulo acutacircngulo

b) Vamos comeccedilar por determinar o cosseno do acircngulo das duas retas Para isso devemos em primeiro lugarobter por exemplo a equaccedilatildeo reduzida das retas digamos r e s respetivamente para tomarmos vetoresdiretores de cada uma delas r

rarr e srarr

y ndash 2 x ndash 3 = 0 hArr y = 2 x + 3 (a reta r tem declive 2)

y + x = 1 hArr y = ndash x + 1 (a reta s tem declive ndash1)

Podemos considerar por exemplo r rarr(1 2) e s

rarr(1 ndash1) Assim

cos (r and

s) = cos (r rarr and

srarr)= = = = =

Aplicando a foacutermula fundamental da trigonometria e atendendo a que sen (r and

s) gt 0 temos

sen2 (r and

s) + 2

= 1 hArr sen2 (r and

s) = 1 ndash ᎏ110ᎏ hArr sen(r

ands) = Ίᎏ19 0

ᎏ = =

r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ

r rarrs

rarr

1 times 1 + 2 times (ndash1)ᎏᎏᎏᎏ

1 ෆ2 ෆ + ෆ 2 ෆ2 ෆ 1 ෆ2 ෆ + ෆ ( ෆndash ෆ1 ෆ)2 ෆ

ndash1ᎏᎏ

5 ෆ 2 ෆ

1ᎏᎏ

1 ෆ0 ෆ 1 ෆ0 ෆᎏᎏ

10

1 ෆ0 ෆᎏ

10

3ᎏ

1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ

10

37



2 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz o poliedro[VNOPQURST ] que se pode decompor num cubo e numa piracircmide qua-drangular regular

Sabe-se que

bull a base da piracircmide coincide com a face superior do cubo e estaacute contida

no plano xOy bull o ponto P pertence ao eixo Ox

bull o ponto U tem coordenadas (4 ndash4 ndash4)

bull o plano QTV eacute definido pela equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12

21 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos escreve uma con-

diccedilatildeo cartesiana que o defina

a) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial

b) Plano perpendicular agrave reta QN e que passa no ponto V

c) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U d) Superfiacutecie esfeacuterica de centro em U e que passa no ponto T

22 Considera um ponto A com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U

Sabe-se querarr

OA middotrarr

OT = 8

Determina a cota do ponto A

23 Determina o volume do poliedro [VNOPQURST ]

in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011

Resoluccedilatildeo

21

a) Como o plano eacute paralelo ao plano QTV ambos admitem um mesmo vetor normal Assim uma equaccedilatildeodo plano pedido eacute da forma 5 x + 2 y + 2 z = d para algum d ʦ IR Como o plano passa no ponto de coor-denadas (0 0 0) obtemos d = 0 Ou seja uma equaccedilatildeo do plano pedido eacute

5 x + 2 y + 2 z = 0

b) Um plano perpendicular agrave reta QN eacute paralelo ao plano yOz

Portanto o plano pedido pode ser definido por uma equaccedilatildeo da forma x = k

Como o ponto V tem abcissa 2 uma condiccedilatildeo cartesiana do plano perpendicular agrave reta QN e que passa

no ponto V eacute x = 2

c) A reta eacute perpendicular ao plano QTV pelo que um vetor normal ao plano eacute um vetor diretor da reta Por-tanto o vetor de coordenadas (5 2 2) eacute um vetor diretor da reta As coordenadas do ponto U que per-tence agrave reta satildeo (4 ndash4 ndash4) Portanto

ᎏ

x ndash5

4ᎏ =ᎏ

y +2

4ᎏ =ᎏ

z +2

4ᎏ

satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta


z

y

x

V

N

P Q

U

R

T

S

O



d) O centro da superfiacutecie esfeacuterica tem coordenadas (4 ndash4 ndash4) pelo esta admite a equaccedilatildeo

( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = r 2 sendo r o respetivo raio

Substituindo as coordenadas do ponto T (4 0 ndash4) na equaccedilatildeo obtemos

(4 ndash 4)2 + (0 + 4)2 + (ndash4 + 4)2 = r 2 hArr r 2 = 16

Portanto uma equaccedilatildeo cartesiana da superfiacutecie esfeacuterica eacute

( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16

22 Designando por z a cota do ponto A temos A(4 ndash4 z )

Temos aindararr

OA(4 ndash4 z ) erarr

OT (4 0 ndash4) Portantorarr

OA middotrarr

OT = 8 hArr (4 ndash4 z ) (4 0 ndash4) = 8 hArr 16 ndash 4 z = 8 hArr 4 z = 8 hArr z = 2

Em conclusatildeo a cota de A eacute 2

23 O volume do poliedro [VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST ] com ovolume da piracircmide [VNOPQ]

Comecemos por determinar o volume do cubo 43 = 64

Para se determinar o volume da piracircmide eacute necessaacuterio conhecer a sua altura que eacute igual agrave cota de V Desig-nando por z essa cota temos V (2 ndash2 z )

Ora o plano QTV admite a equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V Substituindo as coordenadas deV na equaccedilatildeo obtemos z

5 times 2 + 2 times (ndash2) + 2 z = 12 hArr 2 z = 6 hArr z = 3

Portanto a altura da piracircmide eacute 3 e o seu volume eacute dado porᎏ

4 times 43 times 3ᎏ

= 16

Em conclusatildeo o volume do poliedro eacute 64 + 16 = 80


3 Na figura estaacute representado o quadrado [ABCD]

Sabe-se que

bull o ponto I eacute o ponto meacutedio do lado [DC ]

bull o ponto J eacute o ponto meacutedio do lado [BC ]

Prova querarr

AI middotrarr

AJ = ||rarr

AB||2

Sugestatildeo Comeccedila por exprimir cada um dos vetoresrarr

AI erarr

AJ

como soma de dois vetores


39

BA

D C I

J



Resoluccedilatildeo

rarr

AI =rarr

AD +rarr

DI erarr

AJ =rarr

AB +rarr

BJ

rarr

AI middotrarr

AJ = (rarrAD +rarr

DI ) middot (rarr

AB +rarr

BJ ) =rarr

AD middotrarr

AB +rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB +rarr

DI middotrarr

BJ

Sendo querarr

AD erarr

AB satildeo perpendiculares tal comorarr

DI erarr

BJ tem-serarr

AD middotrarr

AB = 0 erarr

DI middotrarr

BJ = 0 Entatildeorarr

AI middotrarr

AJ =rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB

Comorarr

AD erarr

BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr

DI erarr

AB rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB = rarr

AD times rarr

BJ + rarr

DI times rarr

AB

Sendo rarr

AD = rarr

AB e rarr

BJ = rarr

DI = ᎏ

21ᎏ rarr

AB mostra-se como queriacuteamos que

rarr

AI middotrarr

AJ = ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB + ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB = rarr

AB2

Itens de seleccedilatildeo

1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr

AD erarr

AE denormas 12 e 15 respetivamente

No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B

No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C

O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento

Indica o valor do produto escalarrarr

AD middotrarr

AE

(A) 108

(B) 128

(C) 134

(D) 144

in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008

2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4

Qual eacute o valor do produto escalarrarr

CA middotrarr

CB

(A) 16

(B) ndash16

(C) 4 2 ෆ

(D) ndash4 2 ෆ



15

35

B

A E

D

C 4

1 2



3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano

(A)rarr

SC middotrarr

PC = 0

(B)rarr

CS middotrarr

SP = 0

(C)rarr

CP middotrarr

SP = 0

(D)rarr

CP middotrarr

CS = 0

4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

35ᎏ

Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)

Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s

(A) y = 2 x + 2

(B) y = ndash2 x + 6

(C) y = ndash2 x + ᎏ

35ᎏ

(D) y = 2 x + ᎏ

35ᎏ


5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por

r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ

43ᎏ x + 1

Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o

(B) 39o

(C) 41o

(D) 43o


6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4

A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute

(A) o conjunto vazio

(B) um ponto

(C) uma circunferecircncia

(D) um ciacuterculo


41



7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees

α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1

A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute


(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano


8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por

r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ

3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O

Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α

(A) Eacute o ponto (0 2 3)

(B) Eacute o ponto (0 0 0)

(C) Eacute o conjunto vazio

(D) Eacute a reta r


9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por

( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR

Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r

(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1


10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x

Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r

(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ

Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990




11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz

(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z

in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999

12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define

(A) um ponto

(B) o conjunto vazio

(C) uma reta

(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999

13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)

(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0

in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992

14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1

Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo

(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)


15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3

(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4

Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992

43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ



16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ

32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo

(A) paralelas

(B) concorrentes no ponto (3 2)

(C) perpendiculares

(D) concorrentes no ponto (0 3)

17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x

2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2

1ᎏ seja perpendicular ao plano

α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0

(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2

18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema

x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12

Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo

(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13


19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y

Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel

Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema

Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά



20 Considera o seguinte problema

Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga

Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga

Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga

Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro

Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema

(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a

x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10

(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a

x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4

(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a

x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10

(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a

x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ



Itens de construccedilatildeo

1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB

e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5

Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia

O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ

21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas

seguintes

a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0

b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)

c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)

Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B


2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25

O ponto C eacute o centro da circunferecircncia

a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia

A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A

Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t

b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia

A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2

65πᎏ

Determina o valor do produto escalarrarr

CP middotrarr

CQ


3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]

Mostra que o produto escalarrarr

AB middotrarr

AC eacute igual a mdashAB2


C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y



4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC

Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado

O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12

Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC

Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010

5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4

Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)

pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E

Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P

in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o

ano maio de 2010

6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)

a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B

b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]

c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles

in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980

z

y

x

O B

C

A

47



7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3

a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB

b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno

c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]

d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com

rarr

AB um acircngulo de 45o de

amplitude

in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984

8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que

bull A(ndash4 0) B(0 2)

bull AB perp BC DEBC

bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O

a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0

b) Determina as coordenadas do ponto C

c) Indica um vetor diretor da reta DE

d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira


O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D




9 Num referencial cartesiano on

bull A(4 0)

bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas

bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo

a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB

b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)

c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo

k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0

represente uma reta estritamente paralela a AB

in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979

10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado

101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio

102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR

a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia

b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia

103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia

in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984

11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)

111Escreve uma equaccedilatildeo que defina

a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas

b) a mediatriz de [AB]

112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u

rarr

113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u

rarr

114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto

in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984

49



12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)

a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo

b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC

c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por

( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR


13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)

A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado

a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C

b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado

c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado

in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)

Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991

14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0

Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]

a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v

rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v

rarr||

b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O

e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u

rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C




15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve

a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B

b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem

c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]

d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B

in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990

16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)

161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana

a) da reta AB

b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr

AC

162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]

17

171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P

M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)

172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ

a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)

b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto

in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969

18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular

Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos

Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que

bull a piracircmide permanece sempre regular

bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-

pre x + c = 6

Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE


51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)



19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz


O ponto P pertence ao plano ABC

O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes

veacutertices pertencem aos planos coordenados

O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9

Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC

Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r


20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1

Sejam (r s) as cordenadas do ponto P

Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P

Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox

Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ

r

1ᎏ

Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007

21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5

O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial

Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente

O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125

a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α

b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β

Apresenta o resultado arredondado agraves unidades

Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais

Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N



z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO



22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )

O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯

OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2

222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯

OA e ⎯

MP respetiva-mente Determina

⎯

CD em funccedilatildeo de a e b

Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956

23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)

a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo

y ndash x ndash 5 = 0

in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965

24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz

uma piracircmide quadrangular regular

O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz

O veacutertice R pertence ao plano xOy

O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)

Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR

a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0

b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)

c)Determina o volume da piracircmide


53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M



25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz

bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial

bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12

bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este

resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)

Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono

b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo

3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12

c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma

d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)

Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas

Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio

Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal

Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3

2

3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono

Volume do prisma = Aacuterea de base times altura

Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997

26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo

Sabe-se que

bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial

bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base

bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox

bull

o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz

a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4

b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone

c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α

in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999


z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO



27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)

a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A

b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC

in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974

28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema

ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2

in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968

29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)

a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR

b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto

c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-

gramo

in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966

30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr

) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)

a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo

y = 6

x

b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f

rarr

e B ndash A sejam colineares


55

Ά



31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro

a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF

b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas

32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz

A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy

O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy

Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees

6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0

a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C

b) Determina as coordenadas do veacutertice V

c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C

z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D




33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que

bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial

bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy

bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)

a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4

b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas

c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau

d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]

e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica

f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo

34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base

Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo

35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares

Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho

Sabe-se que

bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros

bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros

bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros

bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros

Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo


C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O



33

Acircngulo de dois vetores

bull Define-se acircngulo de dois vetores (natildeo nulos no plano ou no espaccedilo) como o menor acircngulo natildeo orientado formadopor dois segmentos de reta orientados com a mesma origem representantes de cada um dos vetores

A amplitude do acircngulo de dois vetores uជ e v ជ simboliza-se por uជ and v ជ ou v ជ and uជ

Produto escalar

bull O produto escalar de dois vetores uជ e v ជ representa-se por uជ middot v ជ e tem-se

bull Se uជ e v ជ satildeo vetores natildeo nulos entatildeo uជ middot v ជ = ||uជ|| times ||v ជ|| times cos (uជand

v ជ)

bull Se algum dos vetores uជ e v ជ eacute o vetor nulo entatildeo uជ middot v ជ = 0

bull Propriedades do produto escalar

bull uជ middot v ជ gt 0 hArr cos (uជand

v ជ) gt 0 hArr 0o le uជand

v ជ lt 90o

bull uជ middot v ជ lt 0 hArr cos (uជand

v ជ) lt 0 hArr 90o lt uជand

v ជ le 180o

bull uជ middot v ជ = 0 hArr uជ = 0ជ or v ជ = 0ជ or uជ and v ជ = 90o

bull O produto escalar de dois vetores natildeo nulos eacute zero se e soacute se os vetores forem perpendiculares uជperp v ជ hArr uជ middot v ជ = 0

bull Outras propriedades

bull uជ middot uជ = ||uជ||2 (Quadrado escalar)

bull k (uជ middot v ជ) = (kuជ) middot v ជ = uជ middot (kv ជ) (Propriedade associativa mista)

bull uជ middot v ជ = v ជ middot uជ (Propriedade comutativa)

bull uជ middot (v ជ + w ជ) = uជ middot v ជ + uជ middot w ជ e (uជ + v ជ) middot w ជ = uជ middot w ជ + v ជ middot w ជ

(Propriedade distributiva do produto escalar relativamente agrave adiccedilatildeo de vetores)

Expressatildeo do produto escalar nas coordenadas dos vetores

bullNum referencial on do plano dados dois vetores quaisquer uជ(u1 u2) e v ជ(v 1 v 2) uជ middot v ជ = u1v 1 + u2v 2

bull Num referencial on do espaccedilo dados dois vetores quaisquer uជ(u1 u2 u3) e v ជ(v 1 v 2 v 3) uជ middot v ជ = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3

Acircngulos de dois vetores e acircngulo de duas retas

bullNum referencial on do plano dados dois vetores quaisquer natildeo nulos uជ(u1 u2) e v ជ(v 1 v 2)

uជ

and

v ជ

= cosndash1

bullNum referencial on do espaccedilo dados dois vetores quaisquer natildeo nulos uជ(u1 u2 u3) e v ជ(v 1 v 2 v 3)

uជandv ជ = cosndash1

bull Dadas duas quaisquer retas r e s no plano ou duas quaisquer retas complanares r e s no espaccedilo e dois quaisquervetores diretores de r e s r ជ e sជ respetivamente

cos (r ands) = |cos (r ជ

andsជ)| =

u1v 1 + u2v 2

ᎏᎏᎏ||uជ|| ||v ជ||

u1v 1 + u2v 2 + u3v 3ᎏᎏᎏᎏᎏ||uជ|| ||v ជ||

|r ជ middot sជ|ᎏᎏ||r ជ|| ||sជ||

Siacutentese

GEOMETRIA ANALIacuteTICA



















middot MP

ជ

= 0



1ᎏ

m



35













ax + by + cz + d = 0










u3


u2


u1



















Itens resolvidos


92ᎏ 3

e C

ᎏ

3

2

ᎏ 9



Resoluccedilatildeo


rarr

AB rarr

BC erarr

CA por exemplo

rarr



rarr

BA(9 ndash3)


rarr


CA(3 ndash9)


AB middotrarr


BA middotrarr


CA middotrarr




rarr e srarr





cos (r and


srarr)= = = = =


s) gt 0 temos

sen2 (r and

s) + 2



ands) = Ίᎏ19 0

ᎏ = =

r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ

r rarrs

rarr



ndash1ᎏᎏ

5 ෆ 2 ෆ

1ᎏᎏ


10

1 ෆ0 ෆᎏ

10

3ᎏ

1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ

10

37




Sabe-se que











Sabe-se querarr

OA middotrarr

OT = 8




Resoluccedilatildeo

21


5 x + 2 y + 2 z = 0






ᎏ

x ndash5

4ᎏ =ᎏ

y +2

4ᎏ =ᎏ

z +2

4ᎏ



z

y

x

V

N

P Q

U

R

T

S

O








( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16


Temos aindararr



OA middotrarr










= 16




Sabe-se que



Prova querarr

AI middotrarr

AJ = ||rarr

AB||2


AI erarr

AJ



39

BA

D C I

J



Resoluccedilatildeo

rarr

AI =rarr

AD +rarr

DI erarr

AJ =rarr

AB +rarr

BJ

rarr

AI middotrarr

AJ = (rarrAD +rarr

DI ) middot (rarr

AB +rarr

BJ ) =rarr

AD middotrarr

AB +rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB +rarr

DI middotrarr

BJ

Sendo querarr

AD erarr


DI erarr

BJ tem-serarr

AD middotrarr

AB = 0 erarr

DI middotrarr


AI middotrarr

AJ =rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB

Comorarr

AD erarr


DI erarr

AB rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB = rarr

AD times rarr

BJ + rarr

DI times rarr

AB

Sendo rarr

AD = rarr

AB e rarr

BJ = rarr

DI = ᎏ

21ᎏ rarr


rarr

AI middotrarr

AJ = ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB + ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB = rarr

AB2



AD erarr






AD middotrarr

AE

(A) 108

(B) 128

(C) 134

(D) 144




CA middotrarr

CB

(A) 16

(B) ndash16

(C) 4 2 ෆ

(D) ndash4 2 ෆ



15

35

B

A E

D

C 4

1 2




(A)rarr

SC middotrarr

PC = 0

(B)rarr

CS middotrarr

SP = 0

(C)rarr

CP middotrarr

SP = 0

(D)rarr

CP middotrarr

CS = 0


21ᎏ x + ᎏ

35ᎏ



(A) y = 2 x + 2



35ᎏ

(D) y = 2 x + ᎏ

35ᎏ



r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ

43ᎏ x + 1


(B) 39o

(C) 41o

(D) 43o





(B) um ponto


(D) um ciacuterculo


41







(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano



r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ






(D) Eacute a reta r



( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR


(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1




(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ






(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O



















middot MP

ជ

= 0



1ᎏ

m



35













ax + by + cz + d = 0










u3


u2


u1



















Itens resolvidos


92ᎏ 3

e C

ᎏ

3

2

ᎏ 9



Resoluccedilatildeo


rarr

AB rarr

BC erarr

CA por exemplo

rarr



rarr

BA(9 ndash3)


rarr


CA(3 ndash9)


AB middotrarr


BA middotrarr


CA middotrarr




rarr e srarr





cos (r and


srarr)= = = = =


s) gt 0 temos

sen2 (r and

s) + 2



ands) = Ίᎏ19 0

ᎏ = =

r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ

r rarrs

rarr



ndash1ᎏᎏ

5 ෆ 2 ෆ

1ᎏᎏ


10

1 ෆ0 ෆᎏ

10

3ᎏ

1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ

10

37




Sabe-se que











Sabe-se querarr

OA middotrarr

OT = 8




Resoluccedilatildeo

21


5 x + 2 y + 2 z = 0






ᎏ

x ndash5

4ᎏ =ᎏ

y +2

4ᎏ =ᎏ

z +2

4ᎏ



z

y

x

V

N

P Q

U

R

T

S

O








( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16


Temos aindararr



OA middotrarr










= 16




Sabe-se que



Prova querarr

AI middotrarr

AJ = ||rarr

AB||2


AI erarr

AJ



39

BA

D C I

J



Resoluccedilatildeo

rarr

AI =rarr

AD +rarr

DI erarr

AJ =rarr

AB +rarr

BJ

rarr

AI middotrarr

AJ = (rarrAD +rarr

DI ) middot (rarr

AB +rarr

BJ ) =rarr

AD middotrarr

AB +rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB +rarr

DI middotrarr

BJ

Sendo querarr

AD erarr


DI erarr

BJ tem-serarr

AD middotrarr

AB = 0 erarr

DI middotrarr


AI middotrarr

AJ =rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB

Comorarr

AD erarr


DI erarr

AB rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB = rarr

AD times rarr

BJ + rarr

DI times rarr

AB

Sendo rarr

AD = rarr

AB e rarr

BJ = rarr

DI = ᎏ

21ᎏ rarr


rarr

AI middotrarr

AJ = ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB + ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB = rarr

AB2



AD erarr






AD middotrarr

AE

(A) 108

(B) 128

(C) 134

(D) 144




CA middotrarr

CB

(A) 16

(B) ndash16

(C) 4 2 ෆ

(D) ndash4 2 ෆ



15

35

B

A E

D

C 4

1 2




(A)rarr

SC middotrarr

PC = 0

(B)rarr

CS middotrarr

SP = 0

(C)rarr

CP middotrarr

SP = 0

(D)rarr

CP middotrarr

CS = 0


21ᎏ x + ᎏ

35ᎏ



(A) y = 2 x + 2



35ᎏ

(D) y = 2 x + ᎏ

35ᎏ



r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ

43ᎏ x + 1


(B) 39o

(C) 41o

(D) 43o





(B) um ponto


(D) um ciacuterculo


41







(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano



r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ






(D) Eacute a reta r



( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR


(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1




(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ






(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O



35













ax + by + cz + d = 0










u3


u2


u1



















Itens resolvidos


92ᎏ 3

e C

ᎏ

3

2

ᎏ 9



Resoluccedilatildeo


rarr

AB rarr

BC erarr

CA por exemplo

rarr



rarr

BA(9 ndash3)


rarr


CA(3 ndash9)


AB middotrarr


BA middotrarr


CA middotrarr




rarr e srarr





cos (r and


srarr)= = = = =


s) gt 0 temos

sen2 (r and

s) + 2



ands) = Ίᎏ19 0

ᎏ = =

r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ

r rarrs

rarr



ndash1ᎏᎏ

5 ෆ 2 ෆ

1ᎏᎏ


10

1 ෆ0 ෆᎏ

10

3ᎏ

1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ

10

37




Sabe-se que











Sabe-se querarr

OA middotrarr

OT = 8




Resoluccedilatildeo

21


5 x + 2 y + 2 z = 0






ᎏ

x ndash5

4ᎏ =ᎏ

y +2

4ᎏ =ᎏ

z +2

4ᎏ



z

y

x

V

N

P Q

U

R

T

S

O








( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16


Temos aindararr



OA middotrarr










= 16




Sabe-se que



Prova querarr

AI middotrarr

AJ = ||rarr

AB||2


AI erarr

AJ



39

BA

D C I

J



Resoluccedilatildeo

rarr

AI =rarr

AD +rarr

DI erarr

AJ =rarr

AB +rarr

BJ

rarr

AI middotrarr

AJ = (rarrAD +rarr

DI ) middot (rarr

AB +rarr

BJ ) =rarr

AD middotrarr

AB +rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB +rarr

DI middotrarr

BJ

Sendo querarr

AD erarr


DI erarr

BJ tem-serarr

AD middotrarr

AB = 0 erarr

DI middotrarr


AI middotrarr

AJ =rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB

Comorarr

AD erarr


DI erarr

AB rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB = rarr

AD times rarr

BJ + rarr

DI times rarr

AB

Sendo rarr

AD = rarr

AB e rarr

BJ = rarr

DI = ᎏ

21ᎏ rarr


rarr

AI middotrarr

AJ = ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB + ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB = rarr

AB2



AD erarr






AD middotrarr

AE

(A) 108

(B) 128

(C) 134

(D) 144




CA middotrarr

CB

(A) 16

(B) ndash16

(C) 4 2 ෆ

(D) ndash4 2 ෆ



15

35

B

A E

D

C 4

1 2




(A)rarr

SC middotrarr

PC = 0

(B)rarr

CS middotrarr

SP = 0

(C)rarr

CP middotrarr

SP = 0

(D)rarr

CP middotrarr

CS = 0


21ᎏ x + ᎏ

35ᎏ



(A) y = 2 x + 2



35ᎏ

(D) y = 2 x + ᎏ

35ᎏ



r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ

43ᎏ x + 1


(B) 39o

(C) 41o

(D) 43o





(B) um ponto


(D) um ciacuterculo


41







(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano



r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ






(D) Eacute a reta r



( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR


(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1




(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ






(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O



















Itens resolvidos


92ᎏ 3

e C

ᎏ

3

2

ᎏ 9



Resoluccedilatildeo


rarr

AB rarr

BC erarr

CA por exemplo

rarr



rarr

BA(9 ndash3)


rarr


CA(3 ndash9)


AB middotrarr


BA middotrarr


CA middotrarr




rarr e srarr





cos (r and


srarr)= = = = =


s) gt 0 temos

sen2 (r and

s) + 2



ands) = Ίᎏ19 0

ᎏ = =

r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ

r rarrs

rarr



ndash1ᎏᎏ

5 ෆ 2 ෆ

1ᎏᎏ


10

1 ෆ0 ෆᎏ

10

3ᎏ

1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ

10

37




Sabe-se que











Sabe-se querarr

OA middotrarr

OT = 8




Resoluccedilatildeo

21


5 x + 2 y + 2 z = 0






ᎏ

x ndash5

4ᎏ =ᎏ

y +2

4ᎏ =ᎏ

z +2

4ᎏ



z

y

x

V

N

P Q

U

R

T

S

O








( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16


Temos aindararr



OA middotrarr










= 16




Sabe-se que



Prova querarr

AI middotrarr

AJ = ||rarr

AB||2


AI erarr

AJ



39

BA

D C I

J



Resoluccedilatildeo

rarr

AI =rarr

AD +rarr

DI erarr

AJ =rarr

AB +rarr

BJ

rarr

AI middotrarr

AJ = (rarrAD +rarr

DI ) middot (rarr

AB +rarr

BJ ) =rarr

AD middotrarr

AB +rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB +rarr

DI middotrarr

BJ

Sendo querarr

AD erarr


DI erarr

BJ tem-serarr

AD middotrarr

AB = 0 erarr

DI middotrarr


AI middotrarr

AJ =rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB

Comorarr

AD erarr


DI erarr

AB rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB = rarr

AD times rarr

BJ + rarr

DI times rarr

AB

Sendo rarr

AD = rarr

AB e rarr

BJ = rarr

DI = ᎏ

21ᎏ rarr


rarr

AI middotrarr

AJ = ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB + ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB = rarr

AB2



AD erarr






AD middotrarr

AE

(A) 108

(B) 128

(C) 134

(D) 144




CA middotrarr

CB

(A) 16

(B) ndash16

(C) 4 2 ෆ

(D) ndash4 2 ෆ



15

35

B

A E

D

C 4

1 2




(A)rarr

SC middotrarr

PC = 0

(B)rarr

CS middotrarr

SP = 0

(C)rarr

CP middotrarr

SP = 0

(D)rarr

CP middotrarr

CS = 0


21ᎏ x + ᎏ

35ᎏ



(A) y = 2 x + 2



35ᎏ

(D) y = 2 x + ᎏ

35ᎏ



r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ

43ᎏ x + 1


(B) 39o

(C) 41o

(D) 43o





(B) um ponto


(D) um ciacuterculo


41







(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano



r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ






(D) Eacute a reta r



( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR


(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1




(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ






(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O




Sabe-se que











Sabe-se querarr

OA middotrarr

OT = 8




Resoluccedilatildeo

21


5 x + 2 y + 2 z = 0






ᎏ

x ndash5

4ᎏ =ᎏ

y +2

4ᎏ =ᎏ

z +2

4ᎏ



z

y

x

V

N

P Q

U

R

T

S

O








( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16


Temos aindararr



OA middotrarr










= 16




Sabe-se que



Prova querarr

AI middotrarr

AJ = ||rarr

AB||2


AI erarr

AJ



39

BA

D C I

J



Resoluccedilatildeo

rarr

AI =rarr

AD +rarr

DI erarr

AJ =rarr

AB +rarr

BJ

rarr

AI middotrarr

AJ = (rarrAD +rarr

DI ) middot (rarr

AB +rarr

BJ ) =rarr

AD middotrarr

AB +rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB +rarr

DI middotrarr

BJ

Sendo querarr

AD erarr


DI erarr

BJ tem-serarr

AD middotrarr

AB = 0 erarr

DI middotrarr


AI middotrarr

AJ =rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB

Comorarr

AD erarr


DI erarr

AB rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB = rarr

AD times rarr

BJ + rarr

DI times rarr

AB

Sendo rarr

AD = rarr

AB e rarr

BJ = rarr

DI = ᎏ

21ᎏ rarr


rarr

AI middotrarr

AJ = ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB + ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB = rarr

AB2



AD erarr






AD middotrarr

AE

(A) 108

(B) 128

(C) 134

(D) 144




CA middotrarr

CB

(A) 16

(B) ndash16

(C) 4 2 ෆ

(D) ndash4 2 ෆ



15

35

B

A E

D

C 4

1 2




(A)rarr

SC middotrarr

PC = 0

(B)rarr

CS middotrarr

SP = 0

(C)rarr

CP middotrarr

SP = 0

(D)rarr

CP middotrarr

CS = 0


21ᎏ x + ᎏ

35ᎏ



(A) y = 2 x + 2



35ᎏ

(D) y = 2 x + ᎏ

35ᎏ



r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ

43ᎏ x + 1


(B) 39o

(C) 41o

(D) 43o





(B) um ponto


(D) um ciacuterculo


41







(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano



r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ






(D) Eacute a reta r



( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR


(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1




(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ






(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O








( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16


Temos aindararr



OA middotrarr










= 16




Sabe-se que



Prova querarr

AI middotrarr

AJ = ||rarr

AB||2


AI erarr

AJ



39

BA

D C I

J



Resoluccedilatildeo

rarr

AI =rarr

AD +rarr

DI erarr

AJ =rarr

AB +rarr

BJ

rarr

AI middotrarr

AJ = (rarrAD +rarr

DI ) middot (rarr

AB +rarr

BJ ) =rarr

AD middotrarr

AB +rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB +rarr

DI middotrarr

BJ

Sendo querarr

AD erarr


DI erarr

BJ tem-serarr

AD middotrarr

AB = 0 erarr

DI middotrarr


AI middotrarr

AJ =rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB

Comorarr

AD erarr


DI erarr

AB rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB = rarr

AD times rarr

BJ + rarr

DI times rarr

AB

Sendo rarr

AD = rarr

AB e rarr

BJ = rarr

DI = ᎏ

21ᎏ rarr


rarr

AI middotrarr

AJ = ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB + ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB = rarr

AB2



AD erarr






AD middotrarr

AE

(A) 108

(B) 128

(C) 134

(D) 144




CA middotrarr

CB

(A) 16

(B) ndash16

(C) 4 2 ෆ

(D) ndash4 2 ෆ



15

35

B

A E

D

C 4

1 2




(A)rarr

SC middotrarr

PC = 0

(B)rarr

CS middotrarr

SP = 0

(C)rarr

CP middotrarr

SP = 0

(D)rarr

CP middotrarr

CS = 0


21ᎏ x + ᎏ

35ᎏ



(A) y = 2 x + 2



35ᎏ

(D) y = 2 x + ᎏ

35ᎏ



r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ

43ᎏ x + 1


(B) 39o

(C) 41o

(D) 43o





(B) um ponto


(D) um ciacuterculo


41







(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano



r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ






(D) Eacute a reta r



( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR


(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1




(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ






(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O



Resoluccedilatildeo

rarr

AI =rarr

AD +rarr

DI erarr

AJ =rarr

AB +rarr

BJ

rarr

AI middotrarr

AJ = (rarrAD +rarr

DI ) middot (rarr

AB +rarr

BJ ) =rarr

AD middotrarr

AB +rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB +rarr

DI middotrarr

BJ

Sendo querarr

AD erarr


DI erarr

BJ tem-serarr

AD middotrarr

AB = 0 erarr

DI middotrarr


AI middotrarr

AJ =rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB

Comorarr

AD erarr


DI erarr

AB rarr

AD middotrarr

BJ +rarr

DI middotrarr

AB = rarr

AD times rarr

BJ + rarr

DI times rarr

AB

Sendo rarr

AD = rarr

AB e rarr

BJ = rarr

DI = ᎏ

21ᎏ rarr


rarr

AI middotrarr

AJ = ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB + ᎏ

21ᎏ rarr

AB times rarr

AB = rarr

AB2



AD erarr






AD middotrarr

AE

(A) 108

(B) 128

(C) 134

(D) 144




CA middotrarr

CB

(A) 16

(B) ndash16

(C) 4 2 ෆ

(D) ndash4 2 ෆ



15

35

B

A E

D

C 4

1 2




(A)rarr

SC middotrarr

PC = 0

(B)rarr

CS middotrarr

SP = 0

(C)rarr

CP middotrarr

SP = 0

(D)rarr

CP middotrarr

CS = 0


21ᎏ x + ᎏ

35ᎏ



(A) y = 2 x + 2



35ᎏ

(D) y = 2 x + ᎏ

35ᎏ



r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ

43ᎏ x + 1


(B) 39o

(C) 41o

(D) 43o





(B) um ponto


(D) um ciacuterculo


41







(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano



r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ






(D) Eacute a reta r



( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR


(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1




(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ






(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O




(A)rarr

SC middotrarr

PC = 0

(B)rarr

CS middotrarr

SP = 0

(C)rarr

CP middotrarr

SP = 0

(D)rarr

CP middotrarr

CS = 0


21ᎏ x + ᎏ

35ᎏ



(A) y = 2 x + 2



35ᎏ

(D) y = 2 x + ᎏ

35ᎏ



r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ

43ᎏ x + 1


(B) 39o

(C) 41o

(D) 43o





(B) um ponto


(D) um ciacuterculo


41







(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano



r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ






(D) Eacute a reta r



( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR


(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1




(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ






(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O







(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano



r x = ᎏ

2 y ᎏ = ᎏ






(D) Eacute a reta r



( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR


(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR

(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR

(C) x = 2 and y = 1

(D) x = 2 and z = 1




(A) y = ndash ᎏ

21ᎏ x ndash ᎏ

52ᎏ

(B) y = ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

32ᎏ

(C) y = 2 x + 4

(D) y = ndash ᎏ

21ᎏ x + ᎏ

52ᎏ






(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O




(A) Ά x = 2 y = 1

(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR

(C) z = 1

(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ

3 y ᎏ = z



(A) um ponto


(C) uma reta



(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0

(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0

(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0

(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0




(A) (5 5) (10 3) (3 1)

(B) (6 5) (10 3) (3 1)

(C) (5 5) (6 5) (3 1)

(D) (5 5) (10 3) (6 5)



(A) 5

(B) ᎏ57ᎏ

(C) 6

(D) 4


43

3 x + 4 y + 5 z = 2

ᎏ

3 x ᎏ = ᎏ

4 y ᎏ = ᎏ

5 z ᎏΆ





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O





(A) paralelas


(C) perpendiculares



2+ 1ᎏ =ᎏ

y

m

ndash 1ᎏ =ᎏ

z ndash2



(A) ndash1

(B) 1

(C) 4

(D) ndash2


x ge 0

y ge 0

x le 5

y le 6

2 x + y le 12


(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13





Em qual delas

(A) x = 1 e y = 1

(B) x = 0 e y = 2

(C) x = 3 e y = 1

(D) x = 0 e y = 1



O x

y

O x

y

1

2

4

1 3

Ά










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O










x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

3 y ᎏ le 10


x ge 0

y ge 0

ᎏ

2 x ᎏ + ᎏ

23 y ᎏ le 5

ᎏ

2

x ᎏ

+ᎏ

3

y ᎏ

le 4


x ge 0

y ge 0

x + 2 y le 12

x + y le 10


x ge 0 y ge 0

x + 2 y le 5

x + y le 4


45

Ά

ΆΆΆ









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O









seguintes













65πᎏ


CP middotrarr

CQ




AB middotrarr



C

B

D

A


O x

y

B

A

5

O

t

Q

C

A

P

x

y













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

x

V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O













ano maio de 2010






z

y

x

O B

C

A

47








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

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V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O








rarr


amplitude











O x

y

B

A

O x

y

C A E

B

D





bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

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t

s

r x

y

z

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x

S

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U

V

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RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

O

z

y

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V

C

A

BO








ᎏ

m

x ᎏ ndash ᎏ

p

y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

y

x

C B

A

H E

F G

D


















Sabe-se que







C

BA

D

V

z

y

x S

T

V

R

U

O




bull A(4 0)






k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0















rarr


rarr



49




















rarr||



rarr e v rarr


O

3

x

y

N

P M

C












a) da reta AB


AC


17












pre x + c = 6



51

z

y

x

O

B

E (0 0 c)

AD

C

( x x 0)

















r

1ᎏ













z

y

x

O B

C

P

A

O

P

Q

t

s

r x

y

z

y

x

S

N

M

U

V

T

P Q

RO





OA = a e seja ⎯

MP = b

221 Mostra que

a) ⎯

OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


OA e ⎯


⎯

















53

z

y

x

V

P

Q

R

O

(-2 11 5)

r

O

A P

M

















2





Sabe-se que




bull







z

y

x

F

D

G

C

E

BA

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x

V

C

A

BO








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m

x ᎏ ndash ᎏ

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y ᎏ = 1

(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)

mx + y = m2






gramo





y = 6

x


rarr



55

Ά










6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0




z

y

x

A

V

B

C O

z

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3

x

y

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P M

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AC


17












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z

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x

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C

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z

y

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C

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r x

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MP = b

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OM 2 + ⎯

AP 2 = b2 ndash a2

b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2


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⎯

















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