7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 126
MATEMAacuteTICA A
CADERNO DE EXERCIacuteCIOSE PROBLEMAS
ANOCARLOS ANDRADE | CRISTINA VIEGASPAULA PINTO PEREIRA | PEDRO PIMENTA
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 226
33
Acircngulo de dois vetores
bull Define-se acircngulo de dois vetores (natildeo nulos no plano ou no espaccedilo) como o menor acircngulo natildeo orientado formadopor dois segmentos de reta orientados com a mesma origem representantes de cada um dos vetores
A amplitude do acircngulo de dois vetores uជ e v ជ simboliza-se por uជ and v ជ ou v ជ and uជ
Produto escalar
bull O produto escalar de dois vetores uជ e v ជ representa-se por uជ middot v ជ e tem-se
bull Se uជ e v ជ satildeo vetores natildeo nulos entatildeo uជ middot v ជ = ||uជ|| times ||v ជ|| times cos (uជand
v ជ)
bull Se algum dos vetores uជ e v ជ eacute o vetor nulo entatildeo uជ middot v ជ = 0
bull Propriedades do produto escalar
bull uជ middot v ជ gt 0 hArr cos (uជand
v ជ) gt 0 hArr 0o le uជand
v ជ lt 90o
bull uជ middot v ជ lt 0 hArr cos (uជand
v ជ) lt 0 hArr 90o lt uជand
v ជ le 180o
bull uជ middot v ជ = 0 hArr uជ = 0ជ or v ជ = 0ជ or uជ and v ជ = 90o
bull O produto escalar de dois vetores natildeo nulos eacute zero se e soacute se os vetores forem perpendiculares uជperp v ជ hArr uជ middot v ជ = 0
bull Outras propriedades
bull uជ middot uជ = ||uជ||2 (Quadrado escalar)
bull k (uជ middot v ជ) = (kuជ) middot v ជ = uជ middot (kv ជ) (Propriedade associativa mista)
bull uជ middot v ជ = v ជ middot uជ (Propriedade comutativa)
bull uជ middot (v ជ + w ជ) = uជ middot v ជ + uជ middot w ជ e (uជ + v ជ) middot w ជ = uជ middot w ជ + v ជ middot w ជ
(Propriedade distributiva do produto escalar relativamente agrave adiccedilatildeo de vetores)
Expressatildeo do produto escalar nas coordenadas dos vetores
bullNum referencial on do plano dados dois vetores quaisquer uជ(u1 u2) e v ជ(v 1 v 2) uជ middot v ជ = u1v 1 + u2v 2
bull Num referencial on do espaccedilo dados dois vetores quaisquer uជ(u1 u2 u3) e v ជ(v 1 v 2 v 3) uជ middot v ជ = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3
Acircngulos de dois vetores e acircngulo de duas retas
bullNum referencial on do plano dados dois vetores quaisquer natildeo nulos uជ(u1 u2) e v ជ(v 1 v 2)
uជ
and
v ជ
= cosndash1
bullNum referencial on do espaccedilo dados dois vetores quaisquer natildeo nulos uជ(u1 u2 u3) e v ជ(v 1 v 2 v 3)
uជandv ជ = cosndash1
bull Dadas duas quaisquer retas r e s no plano ou duas quaisquer retas complanares r e s no espaccedilo e dois quaisquervetores diretores de r e s r ជ e sជ respetivamente
cos (r ands) = |cos (r ជ
andsជ)| =
u1v 1 + u2v 2
ᎏᎏᎏ||uជ|| ||v ជ||
u1v 1 + u2v 2 + u3v 3ᎏᎏᎏᎏᎏ||uជ|| ||v ជ||
|r ជ middot sជ|ᎏᎏ||r ជ|| ||sជ||
Siacutentese
GEOMETRIA ANALIacuteTICA
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 326
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica34
Inclinaccedilatildeo e declive de uma reta
bullNum referencial on do plano a inclinaccedilatildeo de uma reta eacute a amplitude do menor acircngulo medido no sentido positivoque a reta faz com o semieixo positivo das abcissas tomando este semieixo para lado origem
bull O declive m de uma reta natildeo vertical eacute a tangente trigonomeacutetrica da inclinaccedilatildeo α da reta tg α = m
Condiccedilatildeo de perpendicularidade de vetores
bull Dois vetores natildeo nulos satildeo perpendiculares se e soacute se o seu produto escalar eacute zero
uជperp v ជ hArr uជ middot v ជ = 0
bull Dado um vetor uជ(u1 u2) num referencial on do plano qualquer vetor de coordenadas (ndashku2 ku1) com k ʦ IR k 0 eacute perpendicular a uជ
Relaccedilatildeo entre o declive de retas perpendiculares
bull Num referencial on do plano dada uma reta de declive m (natildeo nulo) o declive de uma reta perpendicular eacute ndash
Conjuntos de pontos definidos por condiccedilotildees
bull A mediatriz de um segmento de reta [AB] de ponto meacutedio M eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazema condiccedilatildeo ABជ middot MP ជ = 0
bull A circunferecircncia de diacircmetro [AB] eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem a condiccedilatildeo AP ជ middot BP ជ = 0
bull A reta tangente a uma circunferecircncia de centro C no ponto T eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazema condiccedilatildeo CT ជ middot TP ជ = 0
bull O plano mediador de um segmento de reta [AB] de ponto meacutedio M eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que
satisfazem a condiccedilatildeo ABជ
middot MP
ជ
= 0
bull A superfiacutecie esfeacuterica de diacircmetro [AB] eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que satisfazem a condiccedilatildeo AP ជ middot BP ជ = 0
bull O plano tangente a uma esfera de centro C no ponto T eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que satisfazem acondiccedilatildeo CT ជ middot TP ជ = 0
1ᎏ
m
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 426
35
Vetor normal e equaccedilotildees de planos e retas
bull Chama-se vetor normal a uma reta a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a um vetor diretor dessareta
bullNum referencial on do plano dada uma reta r de declive m (1 m) satildeo as coordenadas de um vetor diretor de r e(ndashm 1) satildeo as coordenadas de um vetor normal a r A famiacutelia de vetores diretores de r tem coordenadas da formak (1 m) e a famiacutelia de vetores normais a r tem coordenadas da forma k (ndashm 1) para k ʦ IR0
bull Chama-se vetor normal a um plano a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a todas as retas desse plano
bull Em geral num referencial on do espaccedilo Oxyz sendo a b e c nuacutemeros reais com a e b natildeo nulos simulta-neamente
bull ax + by + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oz
bull ax + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oy
bull ay + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Ox
bull Dado um plano α um ponto A do plano e um vetor nជ normal a α o plano eacute o conjunto P dos pontos do espaccedilocujas coordenadas satisfazem a equaccedilatildeo vetorial AP ជ middot nជ = 0
bull Uma equaccedilatildeo cartesiana do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute
a( x ndash x A) + b( y ndash y A) + c( z ndash z A) = 0
bull Uma equaccedilatildeo geral do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute
ax + by + cz + d = 0
com d = ndashax A ndash by A ndash cz A
bull = = satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta do espaccedilo que passa no ponto de coordenadas
( x A y A z A) e que admite o vetor diretor de coordenadas (u1 u2 u3) (para u1 u2 e u3 natildeo nulos)
Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos
bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo paralelos se e soacute se os vetores normais satildeo colineares
α β hArr aជ bជ hArr aជ = kbជ
bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo perpendiculares se e soacute se os vetores normais satildeo perpen-diculares
α perp β hArr aជ perp bជ hArr aជ middot bជ = 0
z ndash z AᎏᎏϪᎏ
u3
y ndash y AᎏᎏϪᎏ
u2
x ndash x AᎏᎏϪᎏ
u1
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 526
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica36
bull Uma reta r natildeo contida num plano α eacute paralela ao plano se e soacute se um vetor diretor de r for perpendicular aum vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α natildeo nulos
r β hArr uជ perp nជ hArr uជ middot nជ = 0
bull Uma reta r eacute perpendicular a um plano α se um vetor diretor de r for colinear com um vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α
r perp α hArr uជ nជ hArr uជ = knជ
Interseccedilatildeo de planos
bull Dois planos podem ou natildeo intersetar-se Se os planos se intersetarem satildeo concorrentes ou coincidentes se natildeose intersetarem satildeo estritamente paralelos
bull A interseccedilatildeo de trecircs planos pode ser
bull o conjunto vazio ndash se pelo menos dois dos planos forem estritamente paralelos ou se se intersetarem no maacuteximodois a dois segundo retas paralelas
bull um plano ndash se os trecircs planos forem coincidentes
bull uma reta ndash se os planos forem concorrentes segundo uma mesma reta
bull um ponto ndash se os planos se intersetarem dois a dois segundo retas concorrentes
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 626
Itens resolvidos
1a) Classifica a respeito dos acircngulos o triacircngulo cujos veacutertices satildeo os pontos Aᎏ92ᎏ 0 Bndash ᎏ
92ᎏ 3
e C
ᎏ
3
2
ᎏ 9
b) Determina o seno do acircngulo das retas de equaccedilotildees y ndash 2 x ndash 3 = 0 e y + x = 1
Adaptado de Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 5 1968-69
Resoluccedilatildeo
1a) Comecemos por calcular as coordenadas dos vetores definidos pelos lados do triacircngulo
rarr
AB rarr
BC erarr
CA por exemplo
rarr
AB = B ndash A = ndash ᎏ
92ᎏ 3 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash9 3) e
rarr
BA(9 ndash3)
rarrBC = C ndash B = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 3 = (6 6) e rarrCB(ndash6 ndash6)
rarr
AC = C ndash A = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash3 9) erarr
CA(3 ndash9)
Calculando os produtos escalares obtemosrarr
AB middotrarr
AC = (ndash9 3) middot (ndash3 9) = 27 + 27 = 54 gt 0 pelo que angBAC eacute agudorarr
BA middotrarr
BC = (9 ndash3) middot (6 6) = 54 ndash 18 = 36 gt 0 pelo que angCBA eacute agudorarr
CA middotrarr
CB = (3 ndash9) middot (ndash 6 ndash 6) = ndash 18 + 54 = 36 gt 0 pelo que angBCA eacute agudo
Assim como o triacircngulo tem os trecircs acircngulos agudos eacute um triacircngulo acutacircngulo
b) Vamos comeccedilar por determinar o cosseno do acircngulo das duas retas Para isso devemos em primeiro lugarobter por exemplo a equaccedilatildeo reduzida das retas digamos r e s respetivamente para tomarmos vetoresdiretores de cada uma delas r
rarr e srarr
y ndash 2 x ndash 3 = 0 hArr y = 2 x + 3 (a reta r tem declive 2)
y + x = 1 hArr y = ndash x + 1 (a reta s tem declive ndash1)
Podemos considerar por exemplo r rarr(1 2) e s
rarr(1 ndash1) Assim
cos (r and
s) = cos (r rarr and
srarr)= = = = =
Aplicando a foacutermula fundamental da trigonometria e atendendo a que sen (r and
s) gt 0 temos
sen2 (r and
s) + 2
= 1 hArr sen2 (r and
s) = 1 ndash ᎏ110ᎏ hArr sen(r
ands) = Ίᎏ19 0
ᎏ = =
r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ
r rarrs
rarr
1 times 1 + 2 times (ndash1)ᎏᎏᎏᎏ
1 ෆ2 ෆ + ෆ 2 ෆ2 ෆ 1 ෆ2 ෆ + ෆ ( ෆndash ෆ1 ෆ)2 ෆ
ndash1ᎏᎏ
5 ෆ 2 ෆ
1ᎏᎏ
1 ෆ0 ෆ 1 ෆ0 ෆᎏᎏ
10
1 ෆ0 ෆᎏ
10
3ᎏ
1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ
10
37
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 726
2 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz o poliedro[VNOPQURST ] que se pode decompor num cubo e numa piracircmide qua-drangular regular
Sabe-se que
bull a base da piracircmide coincide com a face superior do cubo e estaacute contida
no plano xOy bull o ponto P pertence ao eixo Ox
bull o ponto U tem coordenadas (4 ndash4 ndash4)
bull o plano QTV eacute definido pela equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12
21 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos escreve uma con-
diccedilatildeo cartesiana que o defina
a) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial
b) Plano perpendicular agrave reta QN e que passa no ponto V
c) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U d) Superfiacutecie esfeacuterica de centro em U e que passa no ponto T
22 Considera um ponto A com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U
Sabe-se querarr
OA middotrarr
OT = 8
Determina a cota do ponto A
23 Determina o volume do poliedro [VNOPQURST ]
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Resoluccedilatildeo
21
a) Como o plano eacute paralelo ao plano QTV ambos admitem um mesmo vetor normal Assim uma equaccedilatildeodo plano pedido eacute da forma 5 x + 2 y + 2 z = d para algum d ʦ IR Como o plano passa no ponto de coor-denadas (0 0 0) obtemos d = 0 Ou seja uma equaccedilatildeo do plano pedido eacute
5 x + 2 y + 2 z = 0
b) Um plano perpendicular agrave reta QN eacute paralelo ao plano yOz
Portanto o plano pedido pode ser definido por uma equaccedilatildeo da forma x = k
Como o ponto V tem abcissa 2 uma condiccedilatildeo cartesiana do plano perpendicular agrave reta QN e que passa
no ponto V eacute x = 2
c) A reta eacute perpendicular ao plano QTV pelo que um vetor normal ao plano eacute um vetor diretor da reta Por-tanto o vetor de coordenadas (5 2 2) eacute um vetor diretor da reta As coordenadas do ponto U que per-tence agrave reta satildeo (4 ndash4 ndash4) Portanto
ᎏ
x ndash5
4ᎏ =ᎏ
y +2
4ᎏ =ᎏ
z +2
4ᎏ
satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica38
z
y
x
V
N
P Q
U
R
T
S
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 826
d) O centro da superfiacutecie esfeacuterica tem coordenadas (4 ndash4 ndash4) pelo esta admite a equaccedilatildeo
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = r 2 sendo r o respetivo raio
Substituindo as coordenadas do ponto T (4 0 ndash4) na equaccedilatildeo obtemos
(4 ndash 4)2 + (0 + 4)2 + (ndash4 + 4)2 = r 2 hArr r 2 = 16
Portanto uma equaccedilatildeo cartesiana da superfiacutecie esfeacuterica eacute
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16
22 Designando por z a cota do ponto A temos A(4 ndash4 z )
Temos aindararr
OA(4 ndash4 z ) erarr
OT (4 0 ndash4) Portantorarr
OA middotrarr
OT = 8 hArr (4 ndash4 z ) (4 0 ndash4) = 8 hArr 16 ndash 4 z = 8 hArr 4 z = 8 hArr z = 2
Em conclusatildeo a cota de A eacute 2
23 O volume do poliedro [VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST ] com ovolume da piracircmide [VNOPQ]
Comecemos por determinar o volume do cubo 43 = 64
Para se determinar o volume da piracircmide eacute necessaacuterio conhecer a sua altura que eacute igual agrave cota de V Desig-nando por z essa cota temos V (2 ndash2 z )
Ora o plano QTV admite a equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V Substituindo as coordenadas deV na equaccedilatildeo obtemos z
5 times 2 + 2 times (ndash2) + 2 z = 12 hArr 2 z = 6 hArr z = 3
Portanto a altura da piracircmide eacute 3 e o seu volume eacute dado porᎏ
4 times 43 times 3ᎏ
= 16
Em conclusatildeo o volume do poliedro eacute 64 + 16 = 80
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
3 Na figura estaacute representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que
bull o ponto I eacute o ponto meacutedio do lado [DC ]
bull o ponto J eacute o ponto meacutedio do lado [BC ]
Prova querarr
AI middotrarr
AJ = ||rarr
AB||2
Sugestatildeo Comeccedila por exprimir cada um dos vetoresrarr
AI erarr
AJ
como soma de dois vetores
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
39
BA
D C I
J
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 926
Resoluccedilatildeo
rarr
AI =rarr
AD +rarr
DI erarr
AJ =rarr
AB +rarr
BJ
rarr
AI middotrarr
AJ = (rarrAD +rarr
DI ) middot (rarr
AB +rarr
BJ ) =rarr
AD middotrarr
AB +rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB +rarr
DI middotrarr
BJ
Sendo querarr
AD erarr
AB satildeo perpendiculares tal comorarr
DI erarr
BJ tem-serarr
AD middotrarr
AB = 0 erarr
DI middotrarr
BJ = 0 Entatildeorarr
AI middotrarr
AJ =rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB
Comorarr
AD erarr
BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr
DI erarr
AB rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB = rarr
AD times rarr
BJ + rarr
DI times rarr
AB
Sendo rarr
AD = rarr
AB e rarr
BJ = rarr
DI = ᎏ
21ᎏ rarr
AB mostra-se como queriacuteamos que
rarr
AI middotrarr
AJ = ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB + ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB = rarr
AB2
Itens de seleccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr
AD erarr
AE denormas 12 e 15 respetivamente
No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B
No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C
O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento
Indica o valor do produto escalarrarr
AD middotrarr
AE
(A) 108
(B) 128
(C) 134
(D) 144
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual eacute o valor do produto escalarrarr
CA middotrarr
CB
(A) 16
(B) ndash16
(C) 4 2 ෆ
(D) ndash4 2 ෆ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica40
15
35
B
A E
D
C 4
1 2
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 226
33
Acircngulo de dois vetores
bull Define-se acircngulo de dois vetores (natildeo nulos no plano ou no espaccedilo) como o menor acircngulo natildeo orientado formadopor dois segmentos de reta orientados com a mesma origem representantes de cada um dos vetores
A amplitude do acircngulo de dois vetores uជ e v ជ simboliza-se por uជ and v ជ ou v ជ and uជ
Produto escalar
bull O produto escalar de dois vetores uជ e v ជ representa-se por uជ middot v ជ e tem-se
bull Se uជ e v ជ satildeo vetores natildeo nulos entatildeo uជ middot v ជ = ||uជ|| times ||v ជ|| times cos (uជand
v ជ)
bull Se algum dos vetores uជ e v ជ eacute o vetor nulo entatildeo uជ middot v ជ = 0
bull Propriedades do produto escalar
bull uជ middot v ជ gt 0 hArr cos (uជand
v ជ) gt 0 hArr 0o le uជand
v ជ lt 90o
bull uជ middot v ជ lt 0 hArr cos (uជand
v ជ) lt 0 hArr 90o lt uជand
v ជ le 180o
bull uជ middot v ជ = 0 hArr uជ = 0ជ or v ជ = 0ជ or uជ and v ជ = 90o
bull O produto escalar de dois vetores natildeo nulos eacute zero se e soacute se os vetores forem perpendiculares uជperp v ជ hArr uជ middot v ជ = 0
bull Outras propriedades
bull uជ middot uជ = ||uជ||2 (Quadrado escalar)
bull k (uជ middot v ជ) = (kuជ) middot v ជ = uជ middot (kv ជ) (Propriedade associativa mista)
bull uជ middot v ជ = v ជ middot uជ (Propriedade comutativa)
bull uជ middot (v ជ + w ជ) = uជ middot v ជ + uជ middot w ជ e (uជ + v ជ) middot w ជ = uជ middot w ជ + v ជ middot w ជ
(Propriedade distributiva do produto escalar relativamente agrave adiccedilatildeo de vetores)
Expressatildeo do produto escalar nas coordenadas dos vetores
bullNum referencial on do plano dados dois vetores quaisquer uជ(u1 u2) e v ជ(v 1 v 2) uជ middot v ជ = u1v 1 + u2v 2
bull Num referencial on do espaccedilo dados dois vetores quaisquer uជ(u1 u2 u3) e v ជ(v 1 v 2 v 3) uជ middot v ជ = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3
Acircngulos de dois vetores e acircngulo de duas retas
bullNum referencial on do plano dados dois vetores quaisquer natildeo nulos uជ(u1 u2) e v ជ(v 1 v 2)
uជ
and
v ជ
= cosndash1
bullNum referencial on do espaccedilo dados dois vetores quaisquer natildeo nulos uជ(u1 u2 u3) e v ជ(v 1 v 2 v 3)
uជandv ជ = cosndash1
bull Dadas duas quaisquer retas r e s no plano ou duas quaisquer retas complanares r e s no espaccedilo e dois quaisquervetores diretores de r e s r ជ e sជ respetivamente
cos (r ands) = |cos (r ជ
andsជ)| =
u1v 1 + u2v 2
ᎏᎏᎏ||uជ|| ||v ជ||
u1v 1 + u2v 2 + u3v 3ᎏᎏᎏᎏᎏ||uជ|| ||v ជ||
|r ជ middot sជ|ᎏᎏ||r ជ|| ||sជ||
Siacutentese
GEOMETRIA ANALIacuteTICA
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 326
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica34
Inclinaccedilatildeo e declive de uma reta
bullNum referencial on do plano a inclinaccedilatildeo de uma reta eacute a amplitude do menor acircngulo medido no sentido positivoque a reta faz com o semieixo positivo das abcissas tomando este semieixo para lado origem
bull O declive m de uma reta natildeo vertical eacute a tangente trigonomeacutetrica da inclinaccedilatildeo α da reta tg α = m
Condiccedilatildeo de perpendicularidade de vetores
bull Dois vetores natildeo nulos satildeo perpendiculares se e soacute se o seu produto escalar eacute zero
uជperp v ជ hArr uជ middot v ជ = 0
bull Dado um vetor uជ(u1 u2) num referencial on do plano qualquer vetor de coordenadas (ndashku2 ku1) com k ʦ IR k 0 eacute perpendicular a uជ
Relaccedilatildeo entre o declive de retas perpendiculares
bull Num referencial on do plano dada uma reta de declive m (natildeo nulo) o declive de uma reta perpendicular eacute ndash
Conjuntos de pontos definidos por condiccedilotildees
bull A mediatriz de um segmento de reta [AB] de ponto meacutedio M eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazema condiccedilatildeo ABជ middot MP ជ = 0
bull A circunferecircncia de diacircmetro [AB] eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem a condiccedilatildeo AP ជ middot BP ជ = 0
bull A reta tangente a uma circunferecircncia de centro C no ponto T eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazema condiccedilatildeo CT ជ middot TP ជ = 0
bull O plano mediador de um segmento de reta [AB] de ponto meacutedio M eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que
satisfazem a condiccedilatildeo ABជ
middot MP
ជ
= 0
bull A superfiacutecie esfeacuterica de diacircmetro [AB] eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que satisfazem a condiccedilatildeo AP ជ middot BP ជ = 0
bull O plano tangente a uma esfera de centro C no ponto T eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que satisfazem acondiccedilatildeo CT ជ middot TP ជ = 0
1ᎏ
m
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 426
35
Vetor normal e equaccedilotildees de planos e retas
bull Chama-se vetor normal a uma reta a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a um vetor diretor dessareta
bullNum referencial on do plano dada uma reta r de declive m (1 m) satildeo as coordenadas de um vetor diretor de r e(ndashm 1) satildeo as coordenadas de um vetor normal a r A famiacutelia de vetores diretores de r tem coordenadas da formak (1 m) e a famiacutelia de vetores normais a r tem coordenadas da forma k (ndashm 1) para k ʦ IR0
bull Chama-se vetor normal a um plano a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a todas as retas desse plano
bull Em geral num referencial on do espaccedilo Oxyz sendo a b e c nuacutemeros reais com a e b natildeo nulos simulta-neamente
bull ax + by + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oz
bull ax + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oy
bull ay + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Ox
bull Dado um plano α um ponto A do plano e um vetor nជ normal a α o plano eacute o conjunto P dos pontos do espaccedilocujas coordenadas satisfazem a equaccedilatildeo vetorial AP ជ middot nជ = 0
bull Uma equaccedilatildeo cartesiana do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute
a( x ndash x A) + b( y ndash y A) + c( z ndash z A) = 0
bull Uma equaccedilatildeo geral do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute
ax + by + cz + d = 0
com d = ndashax A ndash by A ndash cz A
bull = = satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta do espaccedilo que passa no ponto de coordenadas
( x A y A z A) e que admite o vetor diretor de coordenadas (u1 u2 u3) (para u1 u2 e u3 natildeo nulos)
Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos
bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo paralelos se e soacute se os vetores normais satildeo colineares
α β hArr aជ bជ hArr aជ = kbជ
bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo perpendiculares se e soacute se os vetores normais satildeo perpen-diculares
α perp β hArr aជ perp bជ hArr aជ middot bជ = 0
z ndash z AᎏᎏϪᎏ
u3
y ndash y AᎏᎏϪᎏ
u2
x ndash x AᎏᎏϪᎏ
u1
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 526
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica36
bull Uma reta r natildeo contida num plano α eacute paralela ao plano se e soacute se um vetor diretor de r for perpendicular aum vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α natildeo nulos
r β hArr uជ perp nជ hArr uជ middot nជ = 0
bull Uma reta r eacute perpendicular a um plano α se um vetor diretor de r for colinear com um vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α
r perp α hArr uជ nជ hArr uជ = knជ
Interseccedilatildeo de planos
bull Dois planos podem ou natildeo intersetar-se Se os planos se intersetarem satildeo concorrentes ou coincidentes se natildeose intersetarem satildeo estritamente paralelos
bull A interseccedilatildeo de trecircs planos pode ser
bull o conjunto vazio ndash se pelo menos dois dos planos forem estritamente paralelos ou se se intersetarem no maacuteximodois a dois segundo retas paralelas
bull um plano ndash se os trecircs planos forem coincidentes
bull uma reta ndash se os planos forem concorrentes segundo uma mesma reta
bull um ponto ndash se os planos se intersetarem dois a dois segundo retas concorrentes
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 626
Itens resolvidos
1a) Classifica a respeito dos acircngulos o triacircngulo cujos veacutertices satildeo os pontos Aᎏ92ᎏ 0 Bndash ᎏ
92ᎏ 3
e C
ᎏ
3
2
ᎏ 9
b) Determina o seno do acircngulo das retas de equaccedilotildees y ndash 2 x ndash 3 = 0 e y + x = 1
Adaptado de Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 5 1968-69
Resoluccedilatildeo
1a) Comecemos por calcular as coordenadas dos vetores definidos pelos lados do triacircngulo
rarr
AB rarr
BC erarr
CA por exemplo
rarr
AB = B ndash A = ndash ᎏ
92ᎏ 3 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash9 3) e
rarr
BA(9 ndash3)
rarrBC = C ndash B = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 3 = (6 6) e rarrCB(ndash6 ndash6)
rarr
AC = C ndash A = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash3 9) erarr
CA(3 ndash9)
Calculando os produtos escalares obtemosrarr
AB middotrarr
AC = (ndash9 3) middot (ndash3 9) = 27 + 27 = 54 gt 0 pelo que angBAC eacute agudorarr
BA middotrarr
BC = (9 ndash3) middot (6 6) = 54 ndash 18 = 36 gt 0 pelo que angCBA eacute agudorarr
CA middotrarr
CB = (3 ndash9) middot (ndash 6 ndash 6) = ndash 18 + 54 = 36 gt 0 pelo que angBCA eacute agudo
Assim como o triacircngulo tem os trecircs acircngulos agudos eacute um triacircngulo acutacircngulo
b) Vamos comeccedilar por determinar o cosseno do acircngulo das duas retas Para isso devemos em primeiro lugarobter por exemplo a equaccedilatildeo reduzida das retas digamos r e s respetivamente para tomarmos vetoresdiretores de cada uma delas r
rarr e srarr
y ndash 2 x ndash 3 = 0 hArr y = 2 x + 3 (a reta r tem declive 2)
y + x = 1 hArr y = ndash x + 1 (a reta s tem declive ndash1)
Podemos considerar por exemplo r rarr(1 2) e s
rarr(1 ndash1) Assim
cos (r and
s) = cos (r rarr and
srarr)= = = = =
Aplicando a foacutermula fundamental da trigonometria e atendendo a que sen (r and
s) gt 0 temos
sen2 (r and
s) + 2
= 1 hArr sen2 (r and
s) = 1 ndash ᎏ110ᎏ hArr sen(r
ands) = Ίᎏ19 0
ᎏ = =
r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ
r rarrs
rarr
1 times 1 + 2 times (ndash1)ᎏᎏᎏᎏ
1 ෆ2 ෆ + ෆ 2 ෆ2 ෆ 1 ෆ2 ෆ + ෆ ( ෆndash ෆ1 ෆ)2 ෆ
ndash1ᎏᎏ
5 ෆ 2 ෆ
1ᎏᎏ
1 ෆ0 ෆ 1 ෆ0 ෆᎏᎏ
10
1 ෆ0 ෆᎏ
10
3ᎏ
1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ
10
37
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 726
2 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz o poliedro[VNOPQURST ] que se pode decompor num cubo e numa piracircmide qua-drangular regular
Sabe-se que
bull a base da piracircmide coincide com a face superior do cubo e estaacute contida
no plano xOy bull o ponto P pertence ao eixo Ox
bull o ponto U tem coordenadas (4 ndash4 ndash4)
bull o plano QTV eacute definido pela equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12
21 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos escreve uma con-
diccedilatildeo cartesiana que o defina
a) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial
b) Plano perpendicular agrave reta QN e que passa no ponto V
c) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U d) Superfiacutecie esfeacuterica de centro em U e que passa no ponto T
22 Considera um ponto A com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U
Sabe-se querarr
OA middotrarr
OT = 8
Determina a cota do ponto A
23 Determina o volume do poliedro [VNOPQURST ]
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Resoluccedilatildeo
21
a) Como o plano eacute paralelo ao plano QTV ambos admitem um mesmo vetor normal Assim uma equaccedilatildeodo plano pedido eacute da forma 5 x + 2 y + 2 z = d para algum d ʦ IR Como o plano passa no ponto de coor-denadas (0 0 0) obtemos d = 0 Ou seja uma equaccedilatildeo do plano pedido eacute
5 x + 2 y + 2 z = 0
b) Um plano perpendicular agrave reta QN eacute paralelo ao plano yOz
Portanto o plano pedido pode ser definido por uma equaccedilatildeo da forma x = k
Como o ponto V tem abcissa 2 uma condiccedilatildeo cartesiana do plano perpendicular agrave reta QN e que passa
no ponto V eacute x = 2
c) A reta eacute perpendicular ao plano QTV pelo que um vetor normal ao plano eacute um vetor diretor da reta Por-tanto o vetor de coordenadas (5 2 2) eacute um vetor diretor da reta As coordenadas do ponto U que per-tence agrave reta satildeo (4 ndash4 ndash4) Portanto
ᎏ
x ndash5
4ᎏ =ᎏ
y +2
4ᎏ =ᎏ
z +2
4ᎏ
satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica38
z
y
x
V
N
P Q
U
R
T
S
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 826
d) O centro da superfiacutecie esfeacuterica tem coordenadas (4 ndash4 ndash4) pelo esta admite a equaccedilatildeo
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = r 2 sendo r o respetivo raio
Substituindo as coordenadas do ponto T (4 0 ndash4) na equaccedilatildeo obtemos
(4 ndash 4)2 + (0 + 4)2 + (ndash4 + 4)2 = r 2 hArr r 2 = 16
Portanto uma equaccedilatildeo cartesiana da superfiacutecie esfeacuterica eacute
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16
22 Designando por z a cota do ponto A temos A(4 ndash4 z )
Temos aindararr
OA(4 ndash4 z ) erarr
OT (4 0 ndash4) Portantorarr
OA middotrarr
OT = 8 hArr (4 ndash4 z ) (4 0 ndash4) = 8 hArr 16 ndash 4 z = 8 hArr 4 z = 8 hArr z = 2
Em conclusatildeo a cota de A eacute 2
23 O volume do poliedro [VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST ] com ovolume da piracircmide [VNOPQ]
Comecemos por determinar o volume do cubo 43 = 64
Para se determinar o volume da piracircmide eacute necessaacuterio conhecer a sua altura que eacute igual agrave cota de V Desig-nando por z essa cota temos V (2 ndash2 z )
Ora o plano QTV admite a equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V Substituindo as coordenadas deV na equaccedilatildeo obtemos z
5 times 2 + 2 times (ndash2) + 2 z = 12 hArr 2 z = 6 hArr z = 3
Portanto a altura da piracircmide eacute 3 e o seu volume eacute dado porᎏ
4 times 43 times 3ᎏ
= 16
Em conclusatildeo o volume do poliedro eacute 64 + 16 = 80
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
3 Na figura estaacute representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que
bull o ponto I eacute o ponto meacutedio do lado [DC ]
bull o ponto J eacute o ponto meacutedio do lado [BC ]
Prova querarr
AI middotrarr
AJ = ||rarr
AB||2
Sugestatildeo Comeccedila por exprimir cada um dos vetoresrarr
AI erarr
AJ
como soma de dois vetores
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
39
BA
D C I
J
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 926
Resoluccedilatildeo
rarr
AI =rarr
AD +rarr
DI erarr
AJ =rarr
AB +rarr
BJ
rarr
AI middotrarr
AJ = (rarrAD +rarr
DI ) middot (rarr
AB +rarr
BJ ) =rarr
AD middotrarr
AB +rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB +rarr
DI middotrarr
BJ
Sendo querarr
AD erarr
AB satildeo perpendiculares tal comorarr
DI erarr
BJ tem-serarr
AD middotrarr
AB = 0 erarr
DI middotrarr
BJ = 0 Entatildeorarr
AI middotrarr
AJ =rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB
Comorarr
AD erarr
BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr
DI erarr
AB rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB = rarr
AD times rarr
BJ + rarr
DI times rarr
AB
Sendo rarr
AD = rarr
AB e rarr
BJ = rarr
DI = ᎏ
21ᎏ rarr
AB mostra-se como queriacuteamos que
rarr
AI middotrarr
AJ = ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB + ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB = rarr
AB2
Itens de seleccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr
AD erarr
AE denormas 12 e 15 respetivamente
No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B
No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C
O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento
Indica o valor do produto escalarrarr
AD middotrarr
AE
(A) 108
(B) 128
(C) 134
(D) 144
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual eacute o valor do produto escalarrarr
CA middotrarr
CB
(A) 16
(B) ndash16
(C) 4 2 ෆ
(D) ndash4 2 ෆ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica40
15
35
B
A E
D
C 4
1 2
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 326
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica34
Inclinaccedilatildeo e declive de uma reta
bullNum referencial on do plano a inclinaccedilatildeo de uma reta eacute a amplitude do menor acircngulo medido no sentido positivoque a reta faz com o semieixo positivo das abcissas tomando este semieixo para lado origem
bull O declive m de uma reta natildeo vertical eacute a tangente trigonomeacutetrica da inclinaccedilatildeo α da reta tg α = m
Condiccedilatildeo de perpendicularidade de vetores
bull Dois vetores natildeo nulos satildeo perpendiculares se e soacute se o seu produto escalar eacute zero
uជperp v ជ hArr uជ middot v ជ = 0
bull Dado um vetor uជ(u1 u2) num referencial on do plano qualquer vetor de coordenadas (ndashku2 ku1) com k ʦ IR k 0 eacute perpendicular a uជ
Relaccedilatildeo entre o declive de retas perpendiculares
bull Num referencial on do plano dada uma reta de declive m (natildeo nulo) o declive de uma reta perpendicular eacute ndash
Conjuntos de pontos definidos por condiccedilotildees
bull A mediatriz de um segmento de reta [AB] de ponto meacutedio M eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazema condiccedilatildeo ABជ middot MP ជ = 0
bull A circunferecircncia de diacircmetro [AB] eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem a condiccedilatildeo AP ជ middot BP ជ = 0
bull A reta tangente a uma circunferecircncia de centro C no ponto T eacute o conjunto dos pontos P do plano que satisfazema condiccedilatildeo CT ជ middot TP ជ = 0
bull O plano mediador de um segmento de reta [AB] de ponto meacutedio M eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que
satisfazem a condiccedilatildeo ABជ
middot MP
ជ
= 0
bull A superfiacutecie esfeacuterica de diacircmetro [AB] eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que satisfazem a condiccedilatildeo AP ជ middot BP ជ = 0
bull O plano tangente a uma esfera de centro C no ponto T eacute o conjunto dos pontos P do espaccedilo que satisfazem acondiccedilatildeo CT ជ middot TP ជ = 0
1ᎏ
m
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 426
35
Vetor normal e equaccedilotildees de planos e retas
bull Chama-se vetor normal a uma reta a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a um vetor diretor dessareta
bullNum referencial on do plano dada uma reta r de declive m (1 m) satildeo as coordenadas de um vetor diretor de r e(ndashm 1) satildeo as coordenadas de um vetor normal a r A famiacutelia de vetores diretores de r tem coordenadas da formak (1 m) e a famiacutelia de vetores normais a r tem coordenadas da forma k (ndashm 1) para k ʦ IR0
bull Chama-se vetor normal a um plano a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a todas as retas desse plano
bull Em geral num referencial on do espaccedilo Oxyz sendo a b e c nuacutemeros reais com a e b natildeo nulos simulta-neamente
bull ax + by + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oz
bull ax + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oy
bull ay + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Ox
bull Dado um plano α um ponto A do plano e um vetor nជ normal a α o plano eacute o conjunto P dos pontos do espaccedilocujas coordenadas satisfazem a equaccedilatildeo vetorial AP ជ middot nជ = 0
bull Uma equaccedilatildeo cartesiana do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute
a( x ndash x A) + b( y ndash y A) + c( z ndash z A) = 0
bull Uma equaccedilatildeo geral do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute
ax + by + cz + d = 0
com d = ndashax A ndash by A ndash cz A
bull = = satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta do espaccedilo que passa no ponto de coordenadas
( x A y A z A) e que admite o vetor diretor de coordenadas (u1 u2 u3) (para u1 u2 e u3 natildeo nulos)
Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos
bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo paralelos se e soacute se os vetores normais satildeo colineares
α β hArr aជ bជ hArr aជ = kbជ
bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo perpendiculares se e soacute se os vetores normais satildeo perpen-diculares
α perp β hArr aជ perp bជ hArr aជ middot bជ = 0
z ndash z AᎏᎏϪᎏ
u3
y ndash y AᎏᎏϪᎏ
u2
x ndash x AᎏᎏϪᎏ
u1
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 526
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica36
bull Uma reta r natildeo contida num plano α eacute paralela ao plano se e soacute se um vetor diretor de r for perpendicular aum vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α natildeo nulos
r β hArr uជ perp nជ hArr uជ middot nជ = 0
bull Uma reta r eacute perpendicular a um plano α se um vetor diretor de r for colinear com um vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α
r perp α hArr uជ nជ hArr uជ = knជ
Interseccedilatildeo de planos
bull Dois planos podem ou natildeo intersetar-se Se os planos se intersetarem satildeo concorrentes ou coincidentes se natildeose intersetarem satildeo estritamente paralelos
bull A interseccedilatildeo de trecircs planos pode ser
bull o conjunto vazio ndash se pelo menos dois dos planos forem estritamente paralelos ou se se intersetarem no maacuteximodois a dois segundo retas paralelas
bull um plano ndash se os trecircs planos forem coincidentes
bull uma reta ndash se os planos forem concorrentes segundo uma mesma reta
bull um ponto ndash se os planos se intersetarem dois a dois segundo retas concorrentes
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 626
Itens resolvidos
1a) Classifica a respeito dos acircngulos o triacircngulo cujos veacutertices satildeo os pontos Aᎏ92ᎏ 0 Bndash ᎏ
92ᎏ 3
e C
ᎏ
3
2
ᎏ 9
b) Determina o seno do acircngulo das retas de equaccedilotildees y ndash 2 x ndash 3 = 0 e y + x = 1
Adaptado de Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 5 1968-69
Resoluccedilatildeo
1a) Comecemos por calcular as coordenadas dos vetores definidos pelos lados do triacircngulo
rarr
AB rarr
BC erarr
CA por exemplo
rarr
AB = B ndash A = ndash ᎏ
92ᎏ 3 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash9 3) e
rarr
BA(9 ndash3)
rarrBC = C ndash B = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 3 = (6 6) e rarrCB(ndash6 ndash6)
rarr
AC = C ndash A = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash3 9) erarr
CA(3 ndash9)
Calculando os produtos escalares obtemosrarr
AB middotrarr
AC = (ndash9 3) middot (ndash3 9) = 27 + 27 = 54 gt 0 pelo que angBAC eacute agudorarr
BA middotrarr
BC = (9 ndash3) middot (6 6) = 54 ndash 18 = 36 gt 0 pelo que angCBA eacute agudorarr
CA middotrarr
CB = (3 ndash9) middot (ndash 6 ndash 6) = ndash 18 + 54 = 36 gt 0 pelo que angBCA eacute agudo
Assim como o triacircngulo tem os trecircs acircngulos agudos eacute um triacircngulo acutacircngulo
b) Vamos comeccedilar por determinar o cosseno do acircngulo das duas retas Para isso devemos em primeiro lugarobter por exemplo a equaccedilatildeo reduzida das retas digamos r e s respetivamente para tomarmos vetoresdiretores de cada uma delas r
rarr e srarr
y ndash 2 x ndash 3 = 0 hArr y = 2 x + 3 (a reta r tem declive 2)
y + x = 1 hArr y = ndash x + 1 (a reta s tem declive ndash1)
Podemos considerar por exemplo r rarr(1 2) e s
rarr(1 ndash1) Assim
cos (r and
s) = cos (r rarr and
srarr)= = = = =
Aplicando a foacutermula fundamental da trigonometria e atendendo a que sen (r and
s) gt 0 temos
sen2 (r and
s) + 2
= 1 hArr sen2 (r and
s) = 1 ndash ᎏ110ᎏ hArr sen(r
ands) = Ίᎏ19 0
ᎏ = =
r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ
r rarrs
rarr
1 times 1 + 2 times (ndash1)ᎏᎏᎏᎏ
1 ෆ2 ෆ + ෆ 2 ෆ2 ෆ 1 ෆ2 ෆ + ෆ ( ෆndash ෆ1 ෆ)2 ෆ
ndash1ᎏᎏ
5 ෆ 2 ෆ
1ᎏᎏ
1 ෆ0 ෆ 1 ෆ0 ෆᎏᎏ
10
1 ෆ0 ෆᎏ
10
3ᎏ
1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ
10
37
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 726
2 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz o poliedro[VNOPQURST ] que se pode decompor num cubo e numa piracircmide qua-drangular regular
Sabe-se que
bull a base da piracircmide coincide com a face superior do cubo e estaacute contida
no plano xOy bull o ponto P pertence ao eixo Ox
bull o ponto U tem coordenadas (4 ndash4 ndash4)
bull o plano QTV eacute definido pela equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12
21 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos escreve uma con-
diccedilatildeo cartesiana que o defina
a) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial
b) Plano perpendicular agrave reta QN e que passa no ponto V
c) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U d) Superfiacutecie esfeacuterica de centro em U e que passa no ponto T
22 Considera um ponto A com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U
Sabe-se querarr
OA middotrarr
OT = 8
Determina a cota do ponto A
23 Determina o volume do poliedro [VNOPQURST ]
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Resoluccedilatildeo
21
a) Como o plano eacute paralelo ao plano QTV ambos admitem um mesmo vetor normal Assim uma equaccedilatildeodo plano pedido eacute da forma 5 x + 2 y + 2 z = d para algum d ʦ IR Como o plano passa no ponto de coor-denadas (0 0 0) obtemos d = 0 Ou seja uma equaccedilatildeo do plano pedido eacute
5 x + 2 y + 2 z = 0
b) Um plano perpendicular agrave reta QN eacute paralelo ao plano yOz
Portanto o plano pedido pode ser definido por uma equaccedilatildeo da forma x = k
Como o ponto V tem abcissa 2 uma condiccedilatildeo cartesiana do plano perpendicular agrave reta QN e que passa
no ponto V eacute x = 2
c) A reta eacute perpendicular ao plano QTV pelo que um vetor normal ao plano eacute um vetor diretor da reta Por-tanto o vetor de coordenadas (5 2 2) eacute um vetor diretor da reta As coordenadas do ponto U que per-tence agrave reta satildeo (4 ndash4 ndash4) Portanto
ᎏ
x ndash5
4ᎏ =ᎏ
y +2
4ᎏ =ᎏ
z +2
4ᎏ
satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica38
z
y
x
V
N
P Q
U
R
T
S
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 826
d) O centro da superfiacutecie esfeacuterica tem coordenadas (4 ndash4 ndash4) pelo esta admite a equaccedilatildeo
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = r 2 sendo r o respetivo raio
Substituindo as coordenadas do ponto T (4 0 ndash4) na equaccedilatildeo obtemos
(4 ndash 4)2 + (0 + 4)2 + (ndash4 + 4)2 = r 2 hArr r 2 = 16
Portanto uma equaccedilatildeo cartesiana da superfiacutecie esfeacuterica eacute
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16
22 Designando por z a cota do ponto A temos A(4 ndash4 z )
Temos aindararr
OA(4 ndash4 z ) erarr
OT (4 0 ndash4) Portantorarr
OA middotrarr
OT = 8 hArr (4 ndash4 z ) (4 0 ndash4) = 8 hArr 16 ndash 4 z = 8 hArr 4 z = 8 hArr z = 2
Em conclusatildeo a cota de A eacute 2
23 O volume do poliedro [VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST ] com ovolume da piracircmide [VNOPQ]
Comecemos por determinar o volume do cubo 43 = 64
Para se determinar o volume da piracircmide eacute necessaacuterio conhecer a sua altura que eacute igual agrave cota de V Desig-nando por z essa cota temos V (2 ndash2 z )
Ora o plano QTV admite a equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V Substituindo as coordenadas deV na equaccedilatildeo obtemos z
5 times 2 + 2 times (ndash2) + 2 z = 12 hArr 2 z = 6 hArr z = 3
Portanto a altura da piracircmide eacute 3 e o seu volume eacute dado porᎏ
4 times 43 times 3ᎏ
= 16
Em conclusatildeo o volume do poliedro eacute 64 + 16 = 80
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
3 Na figura estaacute representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que
bull o ponto I eacute o ponto meacutedio do lado [DC ]
bull o ponto J eacute o ponto meacutedio do lado [BC ]
Prova querarr
AI middotrarr
AJ = ||rarr
AB||2
Sugestatildeo Comeccedila por exprimir cada um dos vetoresrarr
AI erarr
AJ
como soma de dois vetores
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
39
BA
D C I
J
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 926
Resoluccedilatildeo
rarr
AI =rarr
AD +rarr
DI erarr
AJ =rarr
AB +rarr
BJ
rarr
AI middotrarr
AJ = (rarrAD +rarr
DI ) middot (rarr
AB +rarr
BJ ) =rarr
AD middotrarr
AB +rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB +rarr
DI middotrarr
BJ
Sendo querarr
AD erarr
AB satildeo perpendiculares tal comorarr
DI erarr
BJ tem-serarr
AD middotrarr
AB = 0 erarr
DI middotrarr
BJ = 0 Entatildeorarr
AI middotrarr
AJ =rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB
Comorarr
AD erarr
BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr
DI erarr
AB rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB = rarr
AD times rarr
BJ + rarr
DI times rarr
AB
Sendo rarr
AD = rarr
AB e rarr
BJ = rarr
DI = ᎏ
21ᎏ rarr
AB mostra-se como queriacuteamos que
rarr
AI middotrarr
AJ = ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB + ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB = rarr
AB2
Itens de seleccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr
AD erarr
AE denormas 12 e 15 respetivamente
No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B
No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C
O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento
Indica o valor do produto escalarrarr
AD middotrarr
AE
(A) 108
(B) 128
(C) 134
(D) 144
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual eacute o valor do produto escalarrarr
CA middotrarr
CB
(A) 16
(B) ndash16
(C) 4 2 ෆ
(D) ndash4 2 ෆ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica40
15
35
B
A E
D
C 4
1 2
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 426
35
Vetor normal e equaccedilotildees de planos e retas
bull Chama-se vetor normal a uma reta a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a um vetor diretor dessareta
bullNum referencial on do plano dada uma reta r de declive m (1 m) satildeo as coordenadas de um vetor diretor de r e(ndashm 1) satildeo as coordenadas de um vetor normal a r A famiacutelia de vetores diretores de r tem coordenadas da formak (1 m) e a famiacutelia de vetores normais a r tem coordenadas da forma k (ndashm 1) para k ʦ IR0
bull Chama-se vetor normal a um plano a qualquer vetor natildeo nulo que seja perpendicular a todas as retas desse plano
bull Em geral num referencial on do espaccedilo Oxyz sendo a b e c nuacutemeros reais com a e b natildeo nulos simulta-neamente
bull ax + by + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oz
bull ax + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Oy
bull ay + bz + c = 0 define um plano paralelo ao eixo Ox
bull Dado um plano α um ponto A do plano e um vetor nជ normal a α o plano eacute o conjunto P dos pontos do espaccedilocujas coordenadas satisfazem a equaccedilatildeo vetorial AP ជ middot nជ = 0
bull Uma equaccedilatildeo cartesiana do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute
a( x ndash x A) + b( y ndash y A) + c( z ndash z A) = 0
bull Uma equaccedilatildeo geral do plano de vetor normal nជ(a b c) e que passa no ponto A( x A y A z A) eacute
ax + by + cz + d = 0
com d = ndashax A ndash by A ndash cz A
bull = = satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta do espaccedilo que passa no ponto de coordenadas
( x A y A z A) e que admite o vetor diretor de coordenadas (u1 u2 u3) (para u1 u2 e u3 natildeo nulos)
Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos
bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo paralelos se e soacute se os vetores normais satildeo colineares
α β hArr aជ bជ hArr aជ = kbជ
bull Dois planos α e β de vetores normais aជ e bជ satildeo perpendiculares se e soacute se os vetores normais satildeo perpen-diculares
α perp β hArr aជ perp bជ hArr aជ middot bជ = 0
z ndash z AᎏᎏϪᎏ
u3
y ndash y AᎏᎏϪᎏ
u2
x ndash x AᎏᎏϪᎏ
u1
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 526
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica36
bull Uma reta r natildeo contida num plano α eacute paralela ao plano se e soacute se um vetor diretor de r for perpendicular aum vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α natildeo nulos
r β hArr uជ perp nជ hArr uជ middot nជ = 0
bull Uma reta r eacute perpendicular a um plano α se um vetor diretor de r for colinear com um vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α
r perp α hArr uជ nជ hArr uជ = knជ
Interseccedilatildeo de planos
bull Dois planos podem ou natildeo intersetar-se Se os planos se intersetarem satildeo concorrentes ou coincidentes se natildeose intersetarem satildeo estritamente paralelos
bull A interseccedilatildeo de trecircs planos pode ser
bull o conjunto vazio ndash se pelo menos dois dos planos forem estritamente paralelos ou se se intersetarem no maacuteximodois a dois segundo retas paralelas
bull um plano ndash se os trecircs planos forem coincidentes
bull uma reta ndash se os planos forem concorrentes segundo uma mesma reta
bull um ponto ndash se os planos se intersetarem dois a dois segundo retas concorrentes
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 626
Itens resolvidos
1a) Classifica a respeito dos acircngulos o triacircngulo cujos veacutertices satildeo os pontos Aᎏ92ᎏ 0 Bndash ᎏ
92ᎏ 3
e C
ᎏ
3
2
ᎏ 9
b) Determina o seno do acircngulo das retas de equaccedilotildees y ndash 2 x ndash 3 = 0 e y + x = 1
Adaptado de Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 5 1968-69
Resoluccedilatildeo
1a) Comecemos por calcular as coordenadas dos vetores definidos pelos lados do triacircngulo
rarr
AB rarr
BC erarr
CA por exemplo
rarr
AB = B ndash A = ndash ᎏ
92ᎏ 3 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash9 3) e
rarr
BA(9 ndash3)
rarrBC = C ndash B = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 3 = (6 6) e rarrCB(ndash6 ndash6)
rarr
AC = C ndash A = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash3 9) erarr
CA(3 ndash9)
Calculando os produtos escalares obtemosrarr
AB middotrarr
AC = (ndash9 3) middot (ndash3 9) = 27 + 27 = 54 gt 0 pelo que angBAC eacute agudorarr
BA middotrarr
BC = (9 ndash3) middot (6 6) = 54 ndash 18 = 36 gt 0 pelo que angCBA eacute agudorarr
CA middotrarr
CB = (3 ndash9) middot (ndash 6 ndash 6) = ndash 18 + 54 = 36 gt 0 pelo que angBCA eacute agudo
Assim como o triacircngulo tem os trecircs acircngulos agudos eacute um triacircngulo acutacircngulo
b) Vamos comeccedilar por determinar o cosseno do acircngulo das duas retas Para isso devemos em primeiro lugarobter por exemplo a equaccedilatildeo reduzida das retas digamos r e s respetivamente para tomarmos vetoresdiretores de cada uma delas r
rarr e srarr
y ndash 2 x ndash 3 = 0 hArr y = 2 x + 3 (a reta r tem declive 2)
y + x = 1 hArr y = ndash x + 1 (a reta s tem declive ndash1)
Podemos considerar por exemplo r rarr(1 2) e s
rarr(1 ndash1) Assim
cos (r and
s) = cos (r rarr and
srarr)= = = = =
Aplicando a foacutermula fundamental da trigonometria e atendendo a que sen (r and
s) gt 0 temos
sen2 (r and
s) + 2
= 1 hArr sen2 (r and
s) = 1 ndash ᎏ110ᎏ hArr sen(r
ands) = Ίᎏ19 0
ᎏ = =
r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ
r rarrs
rarr
1 times 1 + 2 times (ndash1)ᎏᎏᎏᎏ
1 ෆ2 ෆ + ෆ 2 ෆ2 ෆ 1 ෆ2 ෆ + ෆ ( ෆndash ෆ1 ෆ)2 ෆ
ndash1ᎏᎏ
5 ෆ 2 ෆ
1ᎏᎏ
1 ෆ0 ෆ 1 ෆ0 ෆᎏᎏ
10
1 ෆ0 ෆᎏ
10
3ᎏ
1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ
10
37
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 726
2 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz o poliedro[VNOPQURST ] que se pode decompor num cubo e numa piracircmide qua-drangular regular
Sabe-se que
bull a base da piracircmide coincide com a face superior do cubo e estaacute contida
no plano xOy bull o ponto P pertence ao eixo Ox
bull o ponto U tem coordenadas (4 ndash4 ndash4)
bull o plano QTV eacute definido pela equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12
21 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos escreve uma con-
diccedilatildeo cartesiana que o defina
a) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial
b) Plano perpendicular agrave reta QN e que passa no ponto V
c) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U d) Superfiacutecie esfeacuterica de centro em U e que passa no ponto T
22 Considera um ponto A com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U
Sabe-se querarr
OA middotrarr
OT = 8
Determina a cota do ponto A
23 Determina o volume do poliedro [VNOPQURST ]
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Resoluccedilatildeo
21
a) Como o plano eacute paralelo ao plano QTV ambos admitem um mesmo vetor normal Assim uma equaccedilatildeodo plano pedido eacute da forma 5 x + 2 y + 2 z = d para algum d ʦ IR Como o plano passa no ponto de coor-denadas (0 0 0) obtemos d = 0 Ou seja uma equaccedilatildeo do plano pedido eacute
5 x + 2 y + 2 z = 0
b) Um plano perpendicular agrave reta QN eacute paralelo ao plano yOz
Portanto o plano pedido pode ser definido por uma equaccedilatildeo da forma x = k
Como o ponto V tem abcissa 2 uma condiccedilatildeo cartesiana do plano perpendicular agrave reta QN e que passa
no ponto V eacute x = 2
c) A reta eacute perpendicular ao plano QTV pelo que um vetor normal ao plano eacute um vetor diretor da reta Por-tanto o vetor de coordenadas (5 2 2) eacute um vetor diretor da reta As coordenadas do ponto U que per-tence agrave reta satildeo (4 ndash4 ndash4) Portanto
ᎏ
x ndash5
4ᎏ =ᎏ
y +2
4ᎏ =ᎏ
z +2
4ᎏ
satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica38
z
y
x
V
N
P Q
U
R
T
S
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 826
d) O centro da superfiacutecie esfeacuterica tem coordenadas (4 ndash4 ndash4) pelo esta admite a equaccedilatildeo
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = r 2 sendo r o respetivo raio
Substituindo as coordenadas do ponto T (4 0 ndash4) na equaccedilatildeo obtemos
(4 ndash 4)2 + (0 + 4)2 + (ndash4 + 4)2 = r 2 hArr r 2 = 16
Portanto uma equaccedilatildeo cartesiana da superfiacutecie esfeacuterica eacute
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16
22 Designando por z a cota do ponto A temos A(4 ndash4 z )
Temos aindararr
OA(4 ndash4 z ) erarr
OT (4 0 ndash4) Portantorarr
OA middotrarr
OT = 8 hArr (4 ndash4 z ) (4 0 ndash4) = 8 hArr 16 ndash 4 z = 8 hArr 4 z = 8 hArr z = 2
Em conclusatildeo a cota de A eacute 2
23 O volume do poliedro [VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST ] com ovolume da piracircmide [VNOPQ]
Comecemos por determinar o volume do cubo 43 = 64
Para se determinar o volume da piracircmide eacute necessaacuterio conhecer a sua altura que eacute igual agrave cota de V Desig-nando por z essa cota temos V (2 ndash2 z )
Ora o plano QTV admite a equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V Substituindo as coordenadas deV na equaccedilatildeo obtemos z
5 times 2 + 2 times (ndash2) + 2 z = 12 hArr 2 z = 6 hArr z = 3
Portanto a altura da piracircmide eacute 3 e o seu volume eacute dado porᎏ
4 times 43 times 3ᎏ
= 16
Em conclusatildeo o volume do poliedro eacute 64 + 16 = 80
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
3 Na figura estaacute representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que
bull o ponto I eacute o ponto meacutedio do lado [DC ]
bull o ponto J eacute o ponto meacutedio do lado [BC ]
Prova querarr
AI middotrarr
AJ = ||rarr
AB||2
Sugestatildeo Comeccedila por exprimir cada um dos vetoresrarr
AI erarr
AJ
como soma de dois vetores
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
39
BA
D C I
J
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 926
Resoluccedilatildeo
rarr
AI =rarr
AD +rarr
DI erarr
AJ =rarr
AB +rarr
BJ
rarr
AI middotrarr
AJ = (rarrAD +rarr
DI ) middot (rarr
AB +rarr
BJ ) =rarr
AD middotrarr
AB +rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB +rarr
DI middotrarr
BJ
Sendo querarr
AD erarr
AB satildeo perpendiculares tal comorarr
DI erarr
BJ tem-serarr
AD middotrarr
AB = 0 erarr
DI middotrarr
BJ = 0 Entatildeorarr
AI middotrarr
AJ =rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB
Comorarr
AD erarr
BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr
DI erarr
AB rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB = rarr
AD times rarr
BJ + rarr
DI times rarr
AB
Sendo rarr
AD = rarr
AB e rarr
BJ = rarr
DI = ᎏ
21ᎏ rarr
AB mostra-se como queriacuteamos que
rarr
AI middotrarr
AJ = ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB + ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB = rarr
AB2
Itens de seleccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr
AD erarr
AE denormas 12 e 15 respetivamente
No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B
No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C
O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento
Indica o valor do produto escalarrarr
AD middotrarr
AE
(A) 108
(B) 128
(C) 134
(D) 144
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual eacute o valor do produto escalarrarr
CA middotrarr
CB
(A) 16
(B) ndash16
(C) 4 2 ෆ
(D) ndash4 2 ෆ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica40
15
35
B
A E
D
C 4
1 2
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 526
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica36
bull Uma reta r natildeo contida num plano α eacute paralela ao plano se e soacute se um vetor diretor de r for perpendicular aum vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α natildeo nulos
r β hArr uជ perp nជ hArr uជ middot nជ = 0
bull Uma reta r eacute perpendicular a um plano α se um vetor diretor de r for colinear com um vetor normal a α
Sendo uជ(u1 u2 u3) um vetor diretor da reta r e nជ(a b c) um vetor normal ao plano α
r perp α hArr uជ nជ hArr uជ = knជ
Interseccedilatildeo de planos
bull Dois planos podem ou natildeo intersetar-se Se os planos se intersetarem satildeo concorrentes ou coincidentes se natildeose intersetarem satildeo estritamente paralelos
bull A interseccedilatildeo de trecircs planos pode ser
bull o conjunto vazio ndash se pelo menos dois dos planos forem estritamente paralelos ou se se intersetarem no maacuteximodois a dois segundo retas paralelas
bull um plano ndash se os trecircs planos forem coincidentes
bull uma reta ndash se os planos forem concorrentes segundo uma mesma reta
bull um ponto ndash se os planos se intersetarem dois a dois segundo retas concorrentes
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 626
Itens resolvidos
1a) Classifica a respeito dos acircngulos o triacircngulo cujos veacutertices satildeo os pontos Aᎏ92ᎏ 0 Bndash ᎏ
92ᎏ 3
e C
ᎏ
3
2
ᎏ 9
b) Determina o seno do acircngulo das retas de equaccedilotildees y ndash 2 x ndash 3 = 0 e y + x = 1
Adaptado de Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 5 1968-69
Resoluccedilatildeo
1a) Comecemos por calcular as coordenadas dos vetores definidos pelos lados do triacircngulo
rarr
AB rarr
BC erarr
CA por exemplo
rarr
AB = B ndash A = ndash ᎏ
92ᎏ 3 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash9 3) e
rarr
BA(9 ndash3)
rarrBC = C ndash B = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 3 = (6 6) e rarrCB(ndash6 ndash6)
rarr
AC = C ndash A = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash3 9) erarr
CA(3 ndash9)
Calculando os produtos escalares obtemosrarr
AB middotrarr
AC = (ndash9 3) middot (ndash3 9) = 27 + 27 = 54 gt 0 pelo que angBAC eacute agudorarr
BA middotrarr
BC = (9 ndash3) middot (6 6) = 54 ndash 18 = 36 gt 0 pelo que angCBA eacute agudorarr
CA middotrarr
CB = (3 ndash9) middot (ndash 6 ndash 6) = ndash 18 + 54 = 36 gt 0 pelo que angBCA eacute agudo
Assim como o triacircngulo tem os trecircs acircngulos agudos eacute um triacircngulo acutacircngulo
b) Vamos comeccedilar por determinar o cosseno do acircngulo das duas retas Para isso devemos em primeiro lugarobter por exemplo a equaccedilatildeo reduzida das retas digamos r e s respetivamente para tomarmos vetoresdiretores de cada uma delas r
rarr e srarr
y ndash 2 x ndash 3 = 0 hArr y = 2 x + 3 (a reta r tem declive 2)
y + x = 1 hArr y = ndash x + 1 (a reta s tem declive ndash1)
Podemos considerar por exemplo r rarr(1 2) e s
rarr(1 ndash1) Assim
cos (r and
s) = cos (r rarr and
srarr)= = = = =
Aplicando a foacutermula fundamental da trigonometria e atendendo a que sen (r and
s) gt 0 temos
sen2 (r and
s) + 2
= 1 hArr sen2 (r and
s) = 1 ndash ᎏ110ᎏ hArr sen(r
ands) = Ίᎏ19 0
ᎏ = =
r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ
r rarrs
rarr
1 times 1 + 2 times (ndash1)ᎏᎏᎏᎏ
1 ෆ2 ෆ + ෆ 2 ෆ2 ෆ 1 ෆ2 ෆ + ෆ ( ෆndash ෆ1 ෆ)2 ෆ
ndash1ᎏᎏ
5 ෆ 2 ෆ
1ᎏᎏ
1 ෆ0 ෆ 1 ෆ0 ෆᎏᎏ
10
1 ෆ0 ෆᎏ
10
3ᎏ
1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ
10
37
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 726
2 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz o poliedro[VNOPQURST ] que se pode decompor num cubo e numa piracircmide qua-drangular regular
Sabe-se que
bull a base da piracircmide coincide com a face superior do cubo e estaacute contida
no plano xOy bull o ponto P pertence ao eixo Ox
bull o ponto U tem coordenadas (4 ndash4 ndash4)
bull o plano QTV eacute definido pela equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12
21 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos escreve uma con-
diccedilatildeo cartesiana que o defina
a) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial
b) Plano perpendicular agrave reta QN e que passa no ponto V
c) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U d) Superfiacutecie esfeacuterica de centro em U e que passa no ponto T
22 Considera um ponto A com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U
Sabe-se querarr
OA middotrarr
OT = 8
Determina a cota do ponto A
23 Determina o volume do poliedro [VNOPQURST ]
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Resoluccedilatildeo
21
a) Como o plano eacute paralelo ao plano QTV ambos admitem um mesmo vetor normal Assim uma equaccedilatildeodo plano pedido eacute da forma 5 x + 2 y + 2 z = d para algum d ʦ IR Como o plano passa no ponto de coor-denadas (0 0 0) obtemos d = 0 Ou seja uma equaccedilatildeo do plano pedido eacute
5 x + 2 y + 2 z = 0
b) Um plano perpendicular agrave reta QN eacute paralelo ao plano yOz
Portanto o plano pedido pode ser definido por uma equaccedilatildeo da forma x = k
Como o ponto V tem abcissa 2 uma condiccedilatildeo cartesiana do plano perpendicular agrave reta QN e que passa
no ponto V eacute x = 2
c) A reta eacute perpendicular ao plano QTV pelo que um vetor normal ao plano eacute um vetor diretor da reta Por-tanto o vetor de coordenadas (5 2 2) eacute um vetor diretor da reta As coordenadas do ponto U que per-tence agrave reta satildeo (4 ndash4 ndash4) Portanto
ᎏ
x ndash5
4ᎏ =ᎏ
y +2
4ᎏ =ᎏ
z +2
4ᎏ
satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica38
z
y
x
V
N
P Q
U
R
T
S
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 826
d) O centro da superfiacutecie esfeacuterica tem coordenadas (4 ndash4 ndash4) pelo esta admite a equaccedilatildeo
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = r 2 sendo r o respetivo raio
Substituindo as coordenadas do ponto T (4 0 ndash4) na equaccedilatildeo obtemos
(4 ndash 4)2 + (0 + 4)2 + (ndash4 + 4)2 = r 2 hArr r 2 = 16
Portanto uma equaccedilatildeo cartesiana da superfiacutecie esfeacuterica eacute
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16
22 Designando por z a cota do ponto A temos A(4 ndash4 z )
Temos aindararr
OA(4 ndash4 z ) erarr
OT (4 0 ndash4) Portantorarr
OA middotrarr
OT = 8 hArr (4 ndash4 z ) (4 0 ndash4) = 8 hArr 16 ndash 4 z = 8 hArr 4 z = 8 hArr z = 2
Em conclusatildeo a cota de A eacute 2
23 O volume do poliedro [VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST ] com ovolume da piracircmide [VNOPQ]
Comecemos por determinar o volume do cubo 43 = 64
Para se determinar o volume da piracircmide eacute necessaacuterio conhecer a sua altura que eacute igual agrave cota de V Desig-nando por z essa cota temos V (2 ndash2 z )
Ora o plano QTV admite a equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V Substituindo as coordenadas deV na equaccedilatildeo obtemos z
5 times 2 + 2 times (ndash2) + 2 z = 12 hArr 2 z = 6 hArr z = 3
Portanto a altura da piracircmide eacute 3 e o seu volume eacute dado porᎏ
4 times 43 times 3ᎏ
= 16
Em conclusatildeo o volume do poliedro eacute 64 + 16 = 80
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
3 Na figura estaacute representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que
bull o ponto I eacute o ponto meacutedio do lado [DC ]
bull o ponto J eacute o ponto meacutedio do lado [BC ]
Prova querarr
AI middotrarr
AJ = ||rarr
AB||2
Sugestatildeo Comeccedila por exprimir cada um dos vetoresrarr
AI erarr
AJ
como soma de dois vetores
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
39
BA
D C I
J
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 926
Resoluccedilatildeo
rarr
AI =rarr
AD +rarr
DI erarr
AJ =rarr
AB +rarr
BJ
rarr
AI middotrarr
AJ = (rarrAD +rarr
DI ) middot (rarr
AB +rarr
BJ ) =rarr
AD middotrarr
AB +rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB +rarr
DI middotrarr
BJ
Sendo querarr
AD erarr
AB satildeo perpendiculares tal comorarr
DI erarr
BJ tem-serarr
AD middotrarr
AB = 0 erarr
DI middotrarr
BJ = 0 Entatildeorarr
AI middotrarr
AJ =rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB
Comorarr
AD erarr
BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr
DI erarr
AB rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB = rarr
AD times rarr
BJ + rarr
DI times rarr
AB
Sendo rarr
AD = rarr
AB e rarr
BJ = rarr
DI = ᎏ
21ᎏ rarr
AB mostra-se como queriacuteamos que
rarr
AI middotrarr
AJ = ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB + ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB = rarr
AB2
Itens de seleccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr
AD erarr
AE denormas 12 e 15 respetivamente
No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B
No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C
O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento
Indica o valor do produto escalarrarr
AD middotrarr
AE
(A) 108
(B) 128
(C) 134
(D) 144
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual eacute o valor do produto escalarrarr
CA middotrarr
CB
(A) 16
(B) ndash16
(C) 4 2 ෆ
(D) ndash4 2 ෆ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica40
15
35
B
A E
D
C 4
1 2
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 626
Itens resolvidos
1a) Classifica a respeito dos acircngulos o triacircngulo cujos veacutertices satildeo os pontos Aᎏ92ᎏ 0 Bndash ᎏ
92ᎏ 3
e C
ᎏ
3
2
ᎏ 9
b) Determina o seno do acircngulo das retas de equaccedilotildees y ndash 2 x ndash 3 = 0 e y + x = 1
Adaptado de Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 5 1968-69
Resoluccedilatildeo
1a) Comecemos por calcular as coordenadas dos vetores definidos pelos lados do triacircngulo
rarr
AB rarr
BC erarr
CA por exemplo
rarr
AB = B ndash A = ndash ᎏ
92ᎏ 3 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash9 3) e
rarr
BA(9 ndash3)
rarrBC = C ndash B = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 3 = (6 6) e rarrCB(ndash6 ndash6)
rarr
AC = C ndash A = ᎏ32ᎏ 9 ndash ᎏ92ᎏ 0 = (ndash3 9) erarr
CA(3 ndash9)
Calculando os produtos escalares obtemosrarr
AB middotrarr
AC = (ndash9 3) middot (ndash3 9) = 27 + 27 = 54 gt 0 pelo que angBAC eacute agudorarr
BA middotrarr
BC = (9 ndash3) middot (6 6) = 54 ndash 18 = 36 gt 0 pelo que angCBA eacute agudorarr
CA middotrarr
CB = (3 ndash9) middot (ndash 6 ndash 6) = ndash 18 + 54 = 36 gt 0 pelo que angBCA eacute agudo
Assim como o triacircngulo tem os trecircs acircngulos agudos eacute um triacircngulo acutacircngulo
b) Vamos comeccedilar por determinar o cosseno do acircngulo das duas retas Para isso devemos em primeiro lugarobter por exemplo a equaccedilatildeo reduzida das retas digamos r e s respetivamente para tomarmos vetoresdiretores de cada uma delas r
rarr e srarr
y ndash 2 x ndash 3 = 0 hArr y = 2 x + 3 (a reta r tem declive 2)
y + x = 1 hArr y = ndash x + 1 (a reta s tem declive ndash1)
Podemos considerar por exemplo r rarr(1 2) e s
rarr(1 ndash1) Assim
cos (r and
s) = cos (r rarr and
srarr)= = = = =
Aplicando a foacutermula fundamental da trigonometria e atendendo a que sen (r and
s) gt 0 temos
sen2 (r and
s) + 2
= 1 hArr sen2 (r and
s) = 1 ndash ᎏ110ᎏ hArr sen(r
ands) = Ίᎏ19 0
ᎏ = =
r 1s1 + r 2s2ᎏᎏ
r rarrs
rarr
1 times 1 + 2 times (ndash1)ᎏᎏᎏᎏ
1 ෆ2 ෆ + ෆ 2 ෆ2 ෆ 1 ෆ2 ෆ + ෆ ( ෆndash ෆ1 ෆ)2 ෆ
ndash1ᎏᎏ
5 ෆ 2 ෆ
1ᎏᎏ
1 ෆ0 ෆ 1 ෆ0 ෆᎏᎏ
10
1 ෆ0 ෆᎏ
10
3ᎏ
1 ෆ0 ෆ3 1 ෆ0 ෆᎏ
10
37
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 726
2 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz o poliedro[VNOPQURST ] que se pode decompor num cubo e numa piracircmide qua-drangular regular
Sabe-se que
bull a base da piracircmide coincide com a face superior do cubo e estaacute contida
no plano xOy bull o ponto P pertence ao eixo Ox
bull o ponto U tem coordenadas (4 ndash4 ndash4)
bull o plano QTV eacute definido pela equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12
21 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos escreve uma con-
diccedilatildeo cartesiana que o defina
a) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial
b) Plano perpendicular agrave reta QN e que passa no ponto V
c) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U d) Superfiacutecie esfeacuterica de centro em U e que passa no ponto T
22 Considera um ponto A com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U
Sabe-se querarr
OA middotrarr
OT = 8
Determina a cota do ponto A
23 Determina o volume do poliedro [VNOPQURST ]
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Resoluccedilatildeo
21
a) Como o plano eacute paralelo ao plano QTV ambos admitem um mesmo vetor normal Assim uma equaccedilatildeodo plano pedido eacute da forma 5 x + 2 y + 2 z = d para algum d ʦ IR Como o plano passa no ponto de coor-denadas (0 0 0) obtemos d = 0 Ou seja uma equaccedilatildeo do plano pedido eacute
5 x + 2 y + 2 z = 0
b) Um plano perpendicular agrave reta QN eacute paralelo ao plano yOz
Portanto o plano pedido pode ser definido por uma equaccedilatildeo da forma x = k
Como o ponto V tem abcissa 2 uma condiccedilatildeo cartesiana do plano perpendicular agrave reta QN e que passa
no ponto V eacute x = 2
c) A reta eacute perpendicular ao plano QTV pelo que um vetor normal ao plano eacute um vetor diretor da reta Por-tanto o vetor de coordenadas (5 2 2) eacute um vetor diretor da reta As coordenadas do ponto U que per-tence agrave reta satildeo (4 ndash4 ndash4) Portanto
ᎏ
x ndash5
4ᎏ =ᎏ
y +2
4ᎏ =ᎏ
z +2
4ᎏ
satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica38
z
y
x
V
N
P Q
U
R
T
S
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 826
d) O centro da superfiacutecie esfeacuterica tem coordenadas (4 ndash4 ndash4) pelo esta admite a equaccedilatildeo
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = r 2 sendo r o respetivo raio
Substituindo as coordenadas do ponto T (4 0 ndash4) na equaccedilatildeo obtemos
(4 ndash 4)2 + (0 + 4)2 + (ndash4 + 4)2 = r 2 hArr r 2 = 16
Portanto uma equaccedilatildeo cartesiana da superfiacutecie esfeacuterica eacute
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16
22 Designando por z a cota do ponto A temos A(4 ndash4 z )
Temos aindararr
OA(4 ndash4 z ) erarr
OT (4 0 ndash4) Portantorarr
OA middotrarr
OT = 8 hArr (4 ndash4 z ) (4 0 ndash4) = 8 hArr 16 ndash 4 z = 8 hArr 4 z = 8 hArr z = 2
Em conclusatildeo a cota de A eacute 2
23 O volume do poliedro [VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST ] com ovolume da piracircmide [VNOPQ]
Comecemos por determinar o volume do cubo 43 = 64
Para se determinar o volume da piracircmide eacute necessaacuterio conhecer a sua altura que eacute igual agrave cota de V Desig-nando por z essa cota temos V (2 ndash2 z )
Ora o plano QTV admite a equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V Substituindo as coordenadas deV na equaccedilatildeo obtemos z
5 times 2 + 2 times (ndash2) + 2 z = 12 hArr 2 z = 6 hArr z = 3
Portanto a altura da piracircmide eacute 3 e o seu volume eacute dado porᎏ
4 times 43 times 3ᎏ
= 16
Em conclusatildeo o volume do poliedro eacute 64 + 16 = 80
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
3 Na figura estaacute representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que
bull o ponto I eacute o ponto meacutedio do lado [DC ]
bull o ponto J eacute o ponto meacutedio do lado [BC ]
Prova querarr
AI middotrarr
AJ = ||rarr
AB||2
Sugestatildeo Comeccedila por exprimir cada um dos vetoresrarr
AI erarr
AJ
como soma de dois vetores
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
39
BA
D C I
J
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 926
Resoluccedilatildeo
rarr
AI =rarr
AD +rarr
DI erarr
AJ =rarr
AB +rarr
BJ
rarr
AI middotrarr
AJ = (rarrAD +rarr
DI ) middot (rarr
AB +rarr
BJ ) =rarr
AD middotrarr
AB +rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB +rarr
DI middotrarr
BJ
Sendo querarr
AD erarr
AB satildeo perpendiculares tal comorarr
DI erarr
BJ tem-serarr
AD middotrarr
AB = 0 erarr
DI middotrarr
BJ = 0 Entatildeorarr
AI middotrarr
AJ =rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB
Comorarr
AD erarr
BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr
DI erarr
AB rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB = rarr
AD times rarr
BJ + rarr
DI times rarr
AB
Sendo rarr
AD = rarr
AB e rarr
BJ = rarr
DI = ᎏ
21ᎏ rarr
AB mostra-se como queriacuteamos que
rarr
AI middotrarr
AJ = ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB + ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB = rarr
AB2
Itens de seleccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr
AD erarr
AE denormas 12 e 15 respetivamente
No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B
No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C
O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento
Indica o valor do produto escalarrarr
AD middotrarr
AE
(A) 108
(B) 128
(C) 134
(D) 144
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual eacute o valor do produto escalarrarr
CA middotrarr
CB
(A) 16
(B) ndash16
(C) 4 2 ෆ
(D) ndash4 2 ෆ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica40
15
35
B
A E
D
C 4
1 2
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 726
2 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz o poliedro[VNOPQURST ] que se pode decompor num cubo e numa piracircmide qua-drangular regular
Sabe-se que
bull a base da piracircmide coincide com a face superior do cubo e estaacute contida
no plano xOy bull o ponto P pertence ao eixo Ox
bull o ponto U tem coordenadas (4 ndash4 ndash4)
bull o plano QTV eacute definido pela equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12
21 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos escreve uma con-
diccedilatildeo cartesiana que o defina
a) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial
b) Plano perpendicular agrave reta QN e que passa no ponto V
c) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U d) Superfiacutecie esfeacuterica de centro em U e que passa no ponto T
22 Considera um ponto A com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U
Sabe-se querarr
OA middotrarr
OT = 8
Determina a cota do ponto A
23 Determina o volume do poliedro [VNOPQURST ]
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Resoluccedilatildeo
21
a) Como o plano eacute paralelo ao plano QTV ambos admitem um mesmo vetor normal Assim uma equaccedilatildeodo plano pedido eacute da forma 5 x + 2 y + 2 z = d para algum d ʦ IR Como o plano passa no ponto de coor-denadas (0 0 0) obtemos d = 0 Ou seja uma equaccedilatildeo do plano pedido eacute
5 x + 2 y + 2 z = 0
b) Um plano perpendicular agrave reta QN eacute paralelo ao plano yOz
Portanto o plano pedido pode ser definido por uma equaccedilatildeo da forma x = k
Como o ponto V tem abcissa 2 uma condiccedilatildeo cartesiana do plano perpendicular agrave reta QN e que passa
no ponto V eacute x = 2
c) A reta eacute perpendicular ao plano QTV pelo que um vetor normal ao plano eacute um vetor diretor da reta Por-tanto o vetor de coordenadas (5 2 2) eacute um vetor diretor da reta As coordenadas do ponto U que per-tence agrave reta satildeo (4 ndash4 ndash4) Portanto
ᎏ
x ndash5
4ᎏ =ᎏ
y +2
4ᎏ =ᎏ
z +2
4ᎏ
satildeo equaccedilotildees cartesianas da reta
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica38
z
y
x
V
N
P Q
U
R
T
S
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 826
d) O centro da superfiacutecie esfeacuterica tem coordenadas (4 ndash4 ndash4) pelo esta admite a equaccedilatildeo
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = r 2 sendo r o respetivo raio
Substituindo as coordenadas do ponto T (4 0 ndash4) na equaccedilatildeo obtemos
(4 ndash 4)2 + (0 + 4)2 + (ndash4 + 4)2 = r 2 hArr r 2 = 16
Portanto uma equaccedilatildeo cartesiana da superfiacutecie esfeacuterica eacute
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16
22 Designando por z a cota do ponto A temos A(4 ndash4 z )
Temos aindararr
OA(4 ndash4 z ) erarr
OT (4 0 ndash4) Portantorarr
OA middotrarr
OT = 8 hArr (4 ndash4 z ) (4 0 ndash4) = 8 hArr 16 ndash 4 z = 8 hArr 4 z = 8 hArr z = 2
Em conclusatildeo a cota de A eacute 2
23 O volume do poliedro [VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST ] com ovolume da piracircmide [VNOPQ]
Comecemos por determinar o volume do cubo 43 = 64
Para se determinar o volume da piracircmide eacute necessaacuterio conhecer a sua altura que eacute igual agrave cota de V Desig-nando por z essa cota temos V (2 ndash2 z )
Ora o plano QTV admite a equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V Substituindo as coordenadas deV na equaccedilatildeo obtemos z
5 times 2 + 2 times (ndash2) + 2 z = 12 hArr 2 z = 6 hArr z = 3
Portanto a altura da piracircmide eacute 3 e o seu volume eacute dado porᎏ
4 times 43 times 3ᎏ
= 16
Em conclusatildeo o volume do poliedro eacute 64 + 16 = 80
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
3 Na figura estaacute representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que
bull o ponto I eacute o ponto meacutedio do lado [DC ]
bull o ponto J eacute o ponto meacutedio do lado [BC ]
Prova querarr
AI middotrarr
AJ = ||rarr
AB||2
Sugestatildeo Comeccedila por exprimir cada um dos vetoresrarr
AI erarr
AJ
como soma de dois vetores
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
39
BA
D C I
J
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 926
Resoluccedilatildeo
rarr
AI =rarr
AD +rarr
DI erarr
AJ =rarr
AB +rarr
BJ
rarr
AI middotrarr
AJ = (rarrAD +rarr
DI ) middot (rarr
AB +rarr
BJ ) =rarr
AD middotrarr
AB +rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB +rarr
DI middotrarr
BJ
Sendo querarr
AD erarr
AB satildeo perpendiculares tal comorarr
DI erarr
BJ tem-serarr
AD middotrarr
AB = 0 erarr
DI middotrarr
BJ = 0 Entatildeorarr
AI middotrarr
AJ =rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB
Comorarr
AD erarr
BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr
DI erarr
AB rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB = rarr
AD times rarr
BJ + rarr
DI times rarr
AB
Sendo rarr
AD = rarr
AB e rarr
BJ = rarr
DI = ᎏ
21ᎏ rarr
AB mostra-se como queriacuteamos que
rarr
AI middotrarr
AJ = ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB + ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB = rarr
AB2
Itens de seleccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr
AD erarr
AE denormas 12 e 15 respetivamente
No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B
No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C
O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento
Indica o valor do produto escalarrarr
AD middotrarr
AE
(A) 108
(B) 128
(C) 134
(D) 144
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual eacute o valor do produto escalarrarr
CA middotrarr
CB
(A) 16
(B) ndash16
(C) 4 2 ෆ
(D) ndash4 2 ෆ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica40
15
35
B
A E
D
C 4
1 2
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 826
d) O centro da superfiacutecie esfeacuterica tem coordenadas (4 ndash4 ndash4) pelo esta admite a equaccedilatildeo
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = r 2 sendo r o respetivo raio
Substituindo as coordenadas do ponto T (4 0 ndash4) na equaccedilatildeo obtemos
(4 ndash 4)2 + (0 + 4)2 + (ndash4 + 4)2 = r 2 hArr r 2 = 16
Portanto uma equaccedilatildeo cartesiana da superfiacutecie esfeacuterica eacute
( x ndash 4)2 + ( y + 4)2 + ( z + 4)2 = 16
22 Designando por z a cota do ponto A temos A(4 ndash4 z )
Temos aindararr
OA(4 ndash4 z ) erarr
OT (4 0 ndash4) Portantorarr
OA middotrarr
OT = 8 hArr (4 ndash4 z ) (4 0 ndash4) = 8 hArr 16 ndash 4 z = 8 hArr 4 z = 8 hArr z = 2
Em conclusatildeo a cota de A eacute 2
23 O volume do poliedro [VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST ] com ovolume da piracircmide [VNOPQ]
Comecemos por determinar o volume do cubo 43 = 64
Para se determinar o volume da piracircmide eacute necessaacuterio conhecer a sua altura que eacute igual agrave cota de V Desig-nando por z essa cota temos V (2 ndash2 z )
Ora o plano QTV admite a equaccedilatildeo 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V Substituindo as coordenadas deV na equaccedilatildeo obtemos z
5 times 2 + 2 times (ndash2) + 2 z = 12 hArr 2 z = 6 hArr z = 3
Portanto a altura da piracircmide eacute 3 e o seu volume eacute dado porᎏ
4 times 43 times 3ᎏ
= 16
Em conclusatildeo o volume do poliedro eacute 64 + 16 = 80
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
3 Na figura estaacute representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que
bull o ponto I eacute o ponto meacutedio do lado [DC ]
bull o ponto J eacute o ponto meacutedio do lado [BC ]
Prova querarr
AI middotrarr
AJ = ||rarr
AB||2
Sugestatildeo Comeccedila por exprimir cada um dos vetoresrarr
AI erarr
AJ
como soma de dois vetores
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
39
BA
D C I
J
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 926
Resoluccedilatildeo
rarr
AI =rarr
AD +rarr
DI erarr
AJ =rarr
AB +rarr
BJ
rarr
AI middotrarr
AJ = (rarrAD +rarr
DI ) middot (rarr
AB +rarr
BJ ) =rarr
AD middotrarr
AB +rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB +rarr
DI middotrarr
BJ
Sendo querarr
AD erarr
AB satildeo perpendiculares tal comorarr
DI erarr
BJ tem-serarr
AD middotrarr
AB = 0 erarr
DI middotrarr
BJ = 0 Entatildeorarr
AI middotrarr
AJ =rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB
Comorarr
AD erarr
BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr
DI erarr
AB rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB = rarr
AD times rarr
BJ + rarr
DI times rarr
AB
Sendo rarr
AD = rarr
AB e rarr
BJ = rarr
DI = ᎏ
21ᎏ rarr
AB mostra-se como queriacuteamos que
rarr
AI middotrarr
AJ = ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB + ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB = rarr
AB2
Itens de seleccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr
AD erarr
AE denormas 12 e 15 respetivamente
No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B
No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C
O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento
Indica o valor do produto escalarrarr
AD middotrarr
AE
(A) 108
(B) 128
(C) 134
(D) 144
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual eacute o valor do produto escalarrarr
CA middotrarr
CB
(A) 16
(B) ndash16
(C) 4 2 ෆ
(D) ndash4 2 ෆ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica40
15
35
B
A E
D
C 4
1 2
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 926
Resoluccedilatildeo
rarr
AI =rarr
AD +rarr
DI erarr
AJ =rarr
AB +rarr
BJ
rarr
AI middotrarr
AJ = (rarrAD +rarr
DI ) middot (rarr
AB +rarr
BJ ) =rarr
AD middotrarr
AB +rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB +rarr
DI middotrarr
BJ
Sendo querarr
AD erarr
AB satildeo perpendiculares tal comorarr
DI erarr
BJ tem-serarr
AD middotrarr
AB = 0 erarr
DI middotrarr
BJ = 0 Entatildeorarr
AI middotrarr
AJ =rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB
Comorarr
AD erarr
BJ satildeo colineares e com o mesmo sentido tal comorarr
DI erarr
AB rarr
AD middotrarr
BJ +rarr
DI middotrarr
AB = rarr
AD times rarr
BJ + rarr
DI times rarr
AB
Sendo rarr
AD = rarr
AB e rarr
BJ = rarr
DI = ᎏ
21ᎏ rarr
AB mostra-se como queriacuteamos que
rarr
AI middotrarr
AJ = ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB + ᎏ
21ᎏ rarr
AB times rarr
AB = rarr
AB2
Itens de seleccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representados dois vetoresrarr
AD erarr
AE denormas 12 e 15 respetivamente
No segmento de reta [AD] estaacute assinalado um ponto B
No segmento de reta [AE ] estaacute assinalado um ponto C
O triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo e os seus lados tecircm 3 4 e5 unidades de comprimento
Indica o valor do produto escalarrarr
AD middotrarr
AE
(A) 108
(B) 128
(C) 134
(D) 144
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
2 Seja [AB] um diacircmetro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual eacute o valor do produto escalarrarr
CA middotrarr
CB
(A) 16
(B) ndash16
(C) 4 2 ෆ
(D) ndash4 2 ෆ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica40
15
35
B
A E
D
C 4
1 2
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1026
3 Sendo P um ponto geneacuterico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfiacutecie qualdas seguintes equaccedilotildees define esse plano
(A)rarr
SC middotrarr
PC = 0
(B)rarr
CS middotrarr
SP = 0
(C)rarr
CP middotrarr
SP = 0
(D)rarr
CP middotrarr
CS = 0
4 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
35ᎏ
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1 4)
Qual eacute a equaccedilatildeo reduzida da reta s
(A) y = 2 x + 2
(B) y = ndash2 x + 6
(C) y = ndash2 x + ᎏ
35ᎏ
(D) y = 2 x + ᎏ
35ᎏ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
5 Considera num referencial on xOy as retas r e s definidas respetivamente por
r ( x y ) = (1 3) + k (2 0) k ʦ IR s y = ᎏ
43ᎏ x + 1
Qual eacute a amplitude em graus do acircngulo destas duas retas (valor arredondado agraves unidades)(A) 37o
(B) 39o
(C) 41o
(D) 43o
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
6 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
A interseccedilatildeo desta superfiacutecie com o plano xOy eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferecircncia
(D) um ciacuterculo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2009
41
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1126
7 Num referencial on Oxyz sejam α e β os planos definidos pelas equaccedilotildees
α x + y ndash z = 1 e β 2 x + 2 y ndash 2 z = 1
A interseccedilatildeo dos planos α e β eacute
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
8 Considera num referencial on Oxyz a reta r e o plano α definidos respetivamente por
r x = ᎏ
2 y ᎏ = ᎏ
3 z ᎏ e α 3 x ndash z = O
Qual eacute a interseccedilatildeo da reta r com o plano α
(A) Eacute o ponto (0 2 3)
(B) Eacute o ponto (0 0 0)
(C) Eacute o conjunto vazio
(D) Eacute a reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
9 Considera num referencial on Oxyz a reta r definida por
( x y z ) = (1 2 3) + k (0 0 1) k ʦ IR
Qual das condiccedilotildees seguintes define uma reta paralela agrave reta r
(A) ( x y z ) = (1 2 3) + k (0 1 0) k ʦ IR
(B) ( x y z ) = (0 0 1) + k (1 2 3) k ʦ IR
(C) x = 2 and y = 1
(D) x = 2 and z = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
10 Considera num referencial on xOy a reta r de equaccedilatildeo y = 2 x
Qual das seguintes eacute uma equaccedilatildeo para a reta s que passa pelo ponto (5 0) e eacute perpendicular agrave reta r
(A) y = ndash ᎏ
21ᎏ x ndash ᎏ
52ᎏ
(B) y = ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
32ᎏ
(C) y = 2 x + 4
(D) y = ndash ᎏ
21ᎏ x + ᎏ
52ᎏ
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica IST 2a chamada 19891990
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica42
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1226
11 Num referencial on Oxyz qual das seguintes condiccedilotildees define uma reta parelela ao eixo Oz
(A) Ά x = 2 y = 1
(B) ( x y z ) = (1 2 0) + k (1 1 0) k ʦ IR
(C) z = 1
(D) ᎏ2 x ᎏ = ᎏ
3 y ᎏ = z
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
12 Num referencial on Oxyz a condiccedilatildeo define
(A) um ponto
(B) o conjunto vazio
(C) uma reta
(D) um planoin Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1999
13 Qual eacute a equaccedilatildeo da circunferecircncia tangente ao eixo dos yy e cujo centro eacute o ponto de coordenadas (2 ndash3)
(A) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 11 = 0
(B) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 4 = 0
(C) x 2 + y 2 ndash 4 x + 6 y + 9 = 0
(D) x 2 + y 2 + 4 x ndash 6 y + 9 = 0
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 1992
14 Os lados de um triacircngulo estatildeo contidos nas retas de equaccedilotildees cartesianas y ndash 2 x = ndash5 5 y + 2 x = 35 e 7 y ndash 2 x = 1
Quais satildeo as coordenadas dos veacutertices do triacircngulo
(A) (5 5) (10 3) (3 1)
(B) (6 5) (10 3) (3 1)
(C) (5 5) (6 5) (3 1)
(D) (5 5) (10 3) (6 5)
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
15 Qual eacute o raio da circunferecircncia de centro (ndash2 4) e tangente agrave reta de equaccedilatildeo 4 y + 3 x = 3
(A) 5
(B) ᎏ57ᎏ
(C) 6
(D) 4
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 2a chamada 1992
43
3 x + 4 y + 5 z = 2
ᎏ
3 x ᎏ = ᎏ
4 y ᎏ = ᎏ
5 z ᎏΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1326
16 Num referencial ortonormado do plano as retas r y = ᎏ
32ᎏ x + 3 e s ndash2 x + 3 y ndash3 = 0 satildeo
(A) paralelas
(B) concorrentes no ponto (3 2)
(C) perpendiculares
(D) concorrentes no ponto (0 3)
17 Qual eacute o valor de m de modo que a reta definida por r ᎏndash x
2+ 1ᎏ =ᎏ
y
m
ndash 1ᎏ =ᎏ
z ndash2
1ᎏ seja perpendicular ao plano
α de equaccedilatildeo ndash4 x + 8 y + 4 z = 0
(A) ndash1
(B) 1
(C) 4
(D) ndash2
18 Na figura ao lado estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel de um pro-blema de programaccedilatildeo linear Esta regiatildeo corresponde ao sistema
x ge 0
y ge 0
x le 5
y le 6
2 x + y le 12
Qual eacute o valor maacuteximo que a funccedilatildeo objetivo definida por z = x + y pode alcanccedilar nesta regiatildeo
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
19 Num certo problema de programaccedilatildeo linear pretende-se minimizar a funccedilatildeoobjetivo a qual eacute definida por L = 2 x + y
Na figura estaacute representada a regiatildeo admissiacutevel
Numa das opccedilotildees seguintes estaacute a soluccedilatildeo desse problema
Em qual delas
(A) x = 1 e y = 1
(B) x = 0 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1
(D) x = 0 e y = 1
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2011
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica44
O x
y
O x
y
1
2
4
1 3
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1426
20 Considera o seguinte problema
Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga
Bebida X com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Bebida Y com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga
Para confecionar estas bebidas a frutaria dispotildee diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros desumo de manga Cada litro de bebida X daacute um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y daacute um lucro de 5 eurosSupondo que a frutaria vende diariamente toda a produccedilatildeo destas bebidas quantos litros de bebida X e quantoslitros de bebida Y deve confecionar por dia para maximizar o lucro
Sendo x o nuacutemero de litros de bebida X e sendo y o nuacutemero de litros de bebida Y qual das opccedilotildees seguintes tra-duz corretamente este problema
(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ23 y ᎏ le 12
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
3 y ᎏ le 10
(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
ᎏ
2 x ᎏ + ᎏ
23 y ᎏ le 5
ᎏ
2
x ᎏ
+ᎏ
3
y ᎏ
le 4
(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a
x ge 0
y ge 0
x + 2 y le 12
x + y le 10
(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a
x ge 0 y ge 0
x + 2 y le 5
x + y le 4
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
45
Ά
ΆΆΆ
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1526
Itens de construccedilatildeo
1 Na figura estatildeo representadas em referencial on xOy uma reta AB
e uma circunferecircncia com centro na origem e raio igual a 5
Os pontos A e B pertencem agrave circunferecircncia
O ponto A tambeacutem pertence ao eixo das abcissasAdmitindo que o declive da reta AB eacute igual a ᎏ
21ᎏ resolve as trecircs aliacuteneas
seguintes
a) Mostra que uma equaccedilatildeo da reta AB eacute x ndash 2 y + 5 = 0
b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3 4)
c) Seja C o ponto de coordenadas (ndash 3 16)
Verifica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo em B
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
2 Na figura estaacute representada num referencial on xOy a circunferecircncia de equaccedilatildeo( x ndash 4)2 + ( y ndash 1)2 = 25
O ponto C eacute o centro da circunferecircncia
a) O ponto A de coordenadas (0 ndash2) pertence agrave circunferecircncia
A reta t eacute tangente agrave circunferecircncia no ponto A
Determina a equaccedilatildeo reduzida da reta t
b) P e Q satildeo dois pontos da circunferecircncia
A aacuterea da regiatildeo colorida eacute ᎏ2
65πᎏ
Determina o valor do produto escalarrarr
CP middotrarr
CQ
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2010
3 Na figura estaacute representado um retacircngulo [ABCD]
Mostra que o produto escalarrarr
AB middotrarr
AC eacute igual a mdashAB2
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1626
4 Na figura estaacute representada num referencial on Oxyz parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo 6 x + 3 y + 4 z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao plano ABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2010
5 Considera num referencial on Oxyz a superfiacutecie esfeacuterica E de equaccedilatildeo x 2 + y 2 + ( z ndash 2)2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo ΅0 ᎏπ2ᎏ΄ o ponto P de coordenadas (tg α sen α 2 + cos α)
pertence agrave superfiacutecie esfeacuterica E
Determina os valores numeacutericos das coordenadas do ponto P
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o
ano maio de 2010
6 Em relaccedilatildeo a um referencial cartesiano ortogonal e monomeacutetrico considera os pontos A(2 0) B(0 3) e C (ndash3 1)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B
b) Mostra que x 2 + y 2 ndash 2 x ndash 3 y = 0 eacute uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
c) Prova por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo isoacutesceles
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar Liceal 1a eacutepoca 2a chamada 1980
z
y
x
O B
C
A
47
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1726
7 No referencial ortonormado de origem O a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem ndash3
a) Calcula a distacircncia da origem agrave reta AB
b) Sabendo que [AB] eacute diacircmetro do semiciacuterculo colorido define analiticamente esse semiciacuterculo incluindoo contorno
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial da reta que passa em A e eacute tangente agrave circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) Determina k real de modo que o vetor v rarr(2k 1 ndash k ) tenha norma 1 e faccedila com
rarr
AB um acircngulo de 45o de
amplitude
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1984
8 Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que
bull A(ndash4 0) B(0 2)
bull AB perp BC DEBC
bull AD eacute um arco de circunferecircncia com centro em O
a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equaccedilatildeo x ndash 2 y + 4 = 0
b) Determina as coordenadas do ponto C
c) Indica um vetor diretor da reta DE
d) Define analiticamente a regiatildeo colorida incluindo a fronteira
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Teacutecnicos Noturnos 2a fase 1985
O x
y
B
A
O x
y
C A E
B
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica48
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1826
9 Num referencial cartesiano on
bull A(4 0)
bull B eacute um ponto do eixo das ordenadas
bull a reta AB tem 135o de inclinaccedilatildeo
a) Prova que y + x ndash 4 = 0 eacute uma equaccedilatildeo da reta AB
b) Investiga analiticamente qual eacute a posiccedilatildeo do ponto P (ndash1 3) em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia que passa pelospontos A B e O (sendo O a interseccedilatildeo dos eixos coordenados)
c) Determina k (real) de modo que a condiccedilatildeo
k 2 y + (k + 2) x ndash 8k = 0
represente uma reta estritamente paralela a AB
in Prova Escrita de Matemaacutetica Curso Complementar 1a eacutepoca 2a chamada 1979
10 Considera fixado no plano um referencial ortonormado
101 Verifica que o conjunto dos pontos do plano definido por x 2 + y 2 + 4 x ndash 2 y = 0 eacute uma circunferecircncia que passapela origem do referencial e indica as coordenadas do centro e do raio
102Considera a famiacutelia de retas definida por 2 x ndash y + k = 0 k ʦ IR
a) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa das retas da famiacutelia
b) Indica as coordenadas de um vetor diretor de uma reta da famiacutelia
103Qual eacute a posiccedilatildeo relativa da reta da famiacutelia que passa pela origem do referencial em relaccedilatildeo agrave circunferecircncia
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 1a fase 2a chamada 1984
11 Relativamente a um referencial ortonormado considera os pontos A(ndash1 2) e B(ndash3 0) e o vetor urarr(1 ndash1)
111Escreve uma equaccedilatildeo que defina
a) a circunferecircncia que tem centro em A e eacute tangente ao eixo das ordenadas
b) a mediatriz de [AB]
112Determina as coordenadas do ponto C tal que C = A + 2u
rarr
113Quais satildeo os vetores de norma igual a 2 perpendiculares a u
rarr
114Mostra que o ponto A pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por x ndash y ndash 3 le 0 e representa gra-ficamente este conjunto
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1984
49
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 1926
12 Relativamente a um referencial ortonormado satildeo dados os pontos A(ndash2 2) B (1 5) e C (6 0)
a) Mostra por via analiacutetica que o triacircngulo [ABC ] eacute retacircngulo
b) Escreve uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de centro B tangente agrave reta AC
c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por
( x y ) = (ndash1 ndash1) + λ (1 3) λ ʦ IR
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio 2a fase 1985
13 O quadrado [MNOP ] representado na figura seguinte tem um veacutertice na origem dos eixos coordenados e outrono ponto (3 0)
A circunferecircncia de centro C estaacute inscrita no quadrado
a) Indica as coordenadas dos veacutertices P e M e do centro C
b) Define analiticamente o domiacutenio plano representado a encarnado
c) Escreve uma equaccedilatildeo vetorial de cada uma das retas que conteacutem uma diagonal do quadrado
in Prova Escrita de Matemaacutetica Cursos Complementares Diurnos (11o ano)
Curso Complementar Liceal Noturno 1a fase 2a chamada 1991
14 Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A de coordenadas (a 0) e B de coordenadas (0 b) com a ne 0 e b ne 0
Seja M o ponto meacutedio do segmento de reta [AB]
a) Determina as coordenadas dos vetores urarr e v
rarr definidos pelos segmentos orientados [A B] e [O M ] emostra que ||urarr|| = 2||v
rarr||
b) Determina equaccedilotildees cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O
e M no caso em que a = ndash 2 3 ෆ e b = 2 Determina a amplitude do acircngulo dessas duas retas em radianosusando o produto escalar dos vetores u
rarr e v rarr
Adaptado de Prova Especiacutefica de Matemaacutetica 1a chamada 19891990
O
3
x
y
N
P M
C
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica50
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2026
15 Considerando os pontos A e B definidos em relaccedilatildeo a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo numplano pelas coordenadas (1 3) e (3 5) respetivamente escreve
a) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta definida por A e B
b) uma equaccedilatildeo cartesiana da reta paralela agrave reta definida por A e B mas que passa pela origem
c) uma equaccedilatildeo da circunferecircncia de diacircmetro [AB]
d) uma equaccedilatildeo da reta tangente agrave circunferecircncia referida na aliacutenea anterior no ponto B
in Prova Especiacutefica de Matemaacutetica CEUL 1a chamada 19891990
16 Considera relativamente a um referencial cartesiano ortonormado os pontos A(2 1) B(3 4) e C (5 0)
161 Determina uma equaccedilatildeo cartesiana
a) da reta AB
b) da circunferecircncia de centro C e raio rarr
AC
162 Mostra que eacute retacircngulo em A o triacircngulo [ABC ]
17
171 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes trecircs pontos M N e P
M (1 3) N (ndash2 1) e P (2 + k k ndash 1)
172 Dada a famiacutelia de retas definidas pela equaccedilatildeo (3p + 5) x + (2p ndash 3) y = 12p + 1 pʦ IRΆᎏ23ᎏ
a) determina a reta que passa no ponto A(2 3)
b)mostra que as retas da famiacutelia satildeo concorrentes em um e soacute um ponto
in Coleccedilatildeo Editora 3o ciclo exerciacutecio no 11 1968ndash1969
18 Na figura estaacute representada em referencial o n Oxyz umapiracircmide quadrangular
Admite que o veacutertice E se desloca no semieixo positivo Oz entre a origem e o ponto de cota 6 nunca coincidindo com qual-quer um destes dois pontos
Com o movimento do veacutertice E os outros quatro veacutertices dapiracircmide desolocam-se no plano xOy de tal forma que
bull a piracircmide permanece sempre regular
bull o veacutertice A tem sempre abcissa igual agrave ordenadabull sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E tem-se sem-
pre x + c = 6
Admite agora que x = 1 Indica para este caso as coordenadasdos pontos A B e E e determina uma equaccedilatildeo cartesiana doplano ABE
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2008
51
z
y
x
O
B
E (0 0 c)
AD
C
( x x 0)
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2126
19 Na figura estaacute representado um referencial on Oxyz
Cada um dos pontos A B e C pertence a um eixo coordenado
O ponto P pertence ao plano ABC
O ponto P desloca-se no plano ABC de tal modo que eacute sempreveacutertice de um prisma quadrangular regular em que os restantes
veacutertices pertencem aos planos coordenados
O plano ABC eacute definido pela equaccedilatildeo x + 2 y + 3 z = 9
Seja r a reta que passa no ponto A e eacute perpendicular ao planoABC
Determina uma equaccedilatildeo vetorial da reta r
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2009
20 Considera um ponto P do primeiro quadrante (eixos natildeo incluiacutedos) pertencenteagrave circunferecircncia de centro na origem e raio 1
Sejam (r s) as cordenadas do ponto P
Seja t a reta tangente agrave circunferecircncia no ponto P
Seja Q o ponto de interseccedilatildeo da reta t com o eixo Ox
Prova que a abcissa do ponto Q eacute ᎏ
r
1ᎏ
Adaptado de Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2007
21 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cubo[OPQRSTUV ] de aresta 5
O veacutertice O do cubo coincide com a origem do referencial
Os veacutertices P R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox Oy e Oz respetivamente
O triacircngulo escaleno [MNQ] eacute a secccedilatildeo produzida no cubo pelo plano αde equaccedilatildeo 10 x + 15 y + 6 z = 125
a) Escreve uma condiccedilatildeo que defina a reta que passa por U e eacuteperpendicular ao plano α
b) Seja β a amplitude em graus do acircngulo MQN Determina β
Apresenta o resultado arredondado agraves unidades
Se em caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos con-serva no miacutenimo trecircs casas decimais
Sugestatildeo Comeccedila por determinar as coordenadas dos pontos M e N
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano janeiro de 2008
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica52
z
y
x
O B
C
P
A
O
P
Q
t
s
r x
y
z
y
x
S
N
M
U
V
T
P Q
RO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2226
22 Na figura seguinte a reta r eacute perpendicular ao plano π (r perp π) no ponto O A reta AP eacute aposta ao plano π e perpendicular a OA (OA perp AP )
O ponto M pertence agrave reta r Seja ⎯
OA = a e seja ⎯
MP = b
221 Mostra que
a) ⎯
OM 2 + ⎯
AP 2 = b2 ndash a2
b) ⎯ AM 2 + ⎯ OP 2 = a2 + b2
222 Representa por C e D os pontos meacutedios de ⎯
OA e ⎯
MP respetiva-mente Determina
⎯
CD em funccedilatildeo de a e b
Adaptado de Exames de Admissatildeo ao estaacutegio nos Liceus Normais 1956
23 Considera os pontos A(1 2) e B(7 8)
a) Define por uma equaccedilatildeo o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e de B b)Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [ABC ] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y ndash x ndash 5 = 0
in Prova de Matemaacutetica 3o ciclo Liceus Nacionais de Passos Manuel e Pedro Nunes 1965
24 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz
uma piracircmide quadrangular regular
O veacutertice O eacute a origem do referencial O veacutertice P pertence ao eixo Oz
O veacutertice R pertence ao plano xOy
O veacutertice V tem coordenadas (ndash2 11 5)
Uma equaccedilatildeo vetorial da reta que conteacutem a altura da piracircmide eacute( x y z ) = (7 ndash 1 5) + k (6 ndash8 0) k ʦ IR
a) Mostra que a base da piracircmide estaacute contida no plano de equaccedilatildeo 3 x ndash 4 y = 0
b) Justifica que o centro da base da piracircmide eacute o ponto de coordenadas (4 3 5)
c)Determina o volume da piracircmide
in Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 2000
53
z
y
x
V
P
Q
R
O
(-2 11 5)
r
O
A P
M
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2326
25 Considera o prisma representado num referencial on Oxyz
bull Os pontos A B e C pertencem agrave base inferior do prisma a qual estaacute con-tida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial
bull Os pontos D E F e G pertencem agrave base superior do prisma a qual estaacutecontida no plano de equaccedilatildeo z = 12
bull O ponto C tem coordenadas (0 4 0) a) Mostra que o ponto B tem coordenadas ( 1 ෆ2 ෆ 2 0) e aproveita este
resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (ndash 1 ෆ2 ෆ 2 12)
Nota O lado de um hexaacutegono regular eacute igual ao raio da circunferecircncia cir-cunscrita ao hexaacutegono
b)Mostra que a reta DG pode ser definida pela condiccedilatildeo
3 ෆ x + y = ndash 4 and z = 12
c)Determina a interseccedilatildeo da reta DG com o plano que conteacutem a face[ABFE ] do prisma
d)Considera agora que a unidade do referencial eacute um centiacutemetro (1 cm)
Admite que o prisma eacute uma caixa que conteacutem doze pastilhas
Sabendo que cada uma das doze pastilhas tem um volume de 30 cm3 determina com aproximaccedilatildeo agraves unida-des a percentagem do volume da caixa que no momento da compra se encontra vazio
Nota Sempre que nos caacutelculos intermeacutedios procederes a arredondamentos conserva no miacutenimo uma casadecimal
Aacuterea do hexaacutegono =ᎏ3
2
3 ෆᎏ l2 em que l representa o lado do hexaacutegono
Volume do prisma = Aacuterea de base times altura
Adaptado de Exame Nacional de Matemaacutetica 12o ano 2a fase 1997
26 Na figura estaacute representado em referencial on Oxyz um cone de revo-luccedilatildeo
Sabe-se que
bull a base do cone estaacute contida no plano xOy e tem o seu centro na origemdo referencial
bull [AC ] e [BD] satildeo diacircmetros da base
bull o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
bull
o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy bull o veacutertice V pertence ao semieixo positivo Oz
a) Sabendo que uma equaccedilatildeo do plano ABV eacute 4 x + 4 y + 3 z = 12 mostraque o comprimento do raio de base eacute 3 e a altura do cone eacute 4
b)Determina uma condiccedilatildeo que defina a esfera cujo centro eacute o ponto V e cuja interseccedilatildeo com o plano xOy eacute abase do cone
c)Designando por α a amplitude do acircngulo BVD determina o valor de sen α
in Exame Nacional de Matemaacutetica 1a fase 1a chamada 1999
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica54
z
y
x
F
D
G
C
E
BA
O
z
y
x
V
C
A
BO
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2426
27 Considera num referencial ortogonal e monomeacutetrico o triacircngulo [ABC ] de veacutertices A(5 0) B(1 2) e C (ndash 3 2)
a) Escreve uma equaccedilatildeo da reta que conteacutem a altura do triacircngulo [ABC ] relativa ao veacutertice A
b)Determina a distacircncia de A ao ponto meacutedio do lado BC
in Prova Escrita de Matemaacutetica Ensino secundaacuterio liceal Curso Complementar 2a eacutepoca 1a chamada 1974
28 Resolve em ordem a x e a y o seguinte sistema
ᎏ
m
x ᎏ ndash ᎏ
p
y ᎏ = 1
(m ne 0 p ne 0 m2 + p ne 0)
mx + y = m2
in Prova Escrita de Matemaacutetica 2o ciclo do ensino liceal 1a chamada 1968
29 Dados os pontos A(4 6) B(1 0) e C (ndash2 ndash3)
a) identifica geometricamente o conjunto dos pontos P tais que P = A + t (B ndash C ) com t ʦ IR
b) escreve uma equaccedilatildeo cartesiana desse conjunto
c) determina de preferecircncia por via vetorial um ponto D de modo que o quadrilaacutetero [ABCD] seja um paralelo-
gramo
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 1a chamada 1966
30 Fixado no plano um referencial on (O erarr f rarr
) considera os pontos A(1 1) e B(5 9)
a) Determina o veacutertice C do triacircngulo isoacutesceles [CAB] de base AB sabendo que C pertence agrave reta de equaccedilatildeo
y = 6
x
b)Determina o nuacutemero real a de modo que os vetores a erarr + (6 + a) f
rarr
e B ndash A sejam colineares
in Prova Escrita de Matemaacutetica Moderna Liceus de Lisboa 3o ciclo 2a chamada 1966
55
Ά
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2526
31 No referencial ortonormado da figura estaacute representado um cubo [ABCDEFGH ] cuja aresta mede 8 unidadesO veacutertice D coincide com a origem do referencial e os veacutertices A e C pertencem respetivamente aos eixoscoordenados Oy e Ox No cubo estaacute inscrito um tetraedro
a) Mostra que a reta BH eacute perpendicular ao plano ACF para em seguida determinares uma equaccedilatildeo cartesianado plano ACF
b) Define analiticamente a reta CF atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
32 Na figura seguinte estaacute representada uma piracircmide [OABCV ] num referencial ortonormado do espaccedilo Oxyz
A base da piracircmide eacute retangular e estaacute contida no plano xOy
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto C ao eixo Oy
Os planos ABV BCV e COV ficam definidos respetivamente pelas equaccedilotildees
6 x + z = 24 6 y + 5 z = 18 e 12 x ndash 6 z = 0
a) Determina as coordenadas dos veacutertices A B e C
b) Determina as coordenadas do veacutertice V
c) Escreve as equaccedilotildees cartesianas de uma reta perpendicular a BV que passe no ponto C
z
y
x
A
V
B
C O
z
y
x
C B
A
H E
F G
D
Geometria no plano e no espaccedilo II ndash Geometria analiacutetica56
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
7272019 Mat Ypsilon caderno exerciacutecios
httpslidepdfcomreaderfullmat-ypsilon-caderno-exercicios 2626
33 Na figura ao lado estaacute representada em referencial on Oxyz uma piracircmideregular Sabe-se que
bull a base eacute um quadrado de periacutemetro 16 com centro na origem do referencial
bull a aresta [RS ] eacute paralela ao eixo Oy
bull o veacutertice V tem coordenadas (0 0 4)
a) Mostra que uma equaccedilatildeo cartesiana do plano VST eacute 2 y + z = 4
b) Define a reta VS atraveacutes de equaccedilotildees cartesianas
c) Determina a amplitude do acircngulo interno do triacircngulo [TSV ] no veacutertice S Apresenta o resultado aproximado agraves centeacutesimas de grau
d) Recorrendo ao produto escalar de vetores determina uma equaccedilatildeo cartesiana do plano mediador do segmentode reta [VS ]
e) Qual eacute a posiccedilatildeo relativa de VS e do plano de equaccedilatildeo x + 3 y + 2 z = ndash4 Justifica
f) Resolve e classifica o sistema definido pelas equaccedilotildees 2 x + z = 4 x ndash y = 0 e pela equaccedilatildeo cartesiana doplano VST Interpreta geometricamente o sistema de equaccedilotildees referindo nomeadamente a posiccedilatildeo relativados planos correspondentes agraves equaccedilotildees e a sua interseccedilatildeo
34 Considera a piracircmide quadrangular [VABCD] cujas arestas da base medem b unidades e a altura mede a uni-dades Considera tambeacutem que VA eacute perpendicular ao plano da base
Escolhendo um referencial ortonormado apropriado e recorrendo ao produto escalar demonstra que a face [DCV ]eacute um triacircngulo retacircngulo
35 Um agricultor deseja semear trigo e milho numa aacuterea natildeo superior a 160 hectares
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho
Sabe-se que
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de trigo eacute de 1500 euros
bull o custo de produccedilatildeo de um hectare de milho eacute de 1000 euros
bull cada hectare de trigo daacute um lucro de 600 euros
bull cada hectare de milho daacute um lucro de 500 euros
Sabendo que o agricultor natildeo pode investir mais do que 200 000 euros nesta produccedilatildeo quantos hectares de trigoe quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro maacuteximo
in Teste Intermeacutedio de Matemaacutetica 11o ano maio de 2006
C
BA
D
V
z
y
x S
T
V
R
U
O
Top Related