MAT016 Cálculo I Cap. 1: Números reais, funções e...

MAT016 – Cálculo I

Cap. 1: Números reais, funções e gráficos

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R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b – a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a > 0 e b > 0 então ab > 0 (o produto de dois números positivos é positivo) iv) se a < b e b < c então a < c (é válida a propriedade transitiva) v) se a < b então a + c < b + c (a desigualdade não se altera se somamos um número) vi) se a < b e c > 0 então ac < bc (a desigualdade não se altera se multiplicamos um número positivo) vii) se a < b e c < 0 então ac > bc (a desigualdade se altera se multiplicamos um número negativo) viii) se a < b e c < d então a + c < b + d (podemos somar os membros de duas desigualdades)

Intervalos: subconjuntos dos R

(a, b) = {x R/ a < x < b } (números reais entre a e b, a e b não pertencem ao conjunto )

[a, b] = {x R/ a ≤ x ≤ b } (números reais entre a e b, a e b pertencem ao conjunto )

(a, b] = {x R/ a < x ≤ b } (números reais entre a e b, a não pertence ao conjunto )

[a, b) = {x R/ a ≤ x < b } (números reais entre a e b, b não pertence ao conjunto )

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)

Duas expressões lineares sem denominador: ax + b < cx + d Agrupamos os termos semelhantes, usando as propriedades citadas acima e encontramos o intervalo solução.

Exemplo:

(multiplicamos por 2, um número positivo, logo não inverte a desigualdade)

5x >-12 (multiplicamos por -1,um número negativo logo inverteu a desigualdade)

x >-12/5 (estes são os valores de x que satisfazem a inequação, ou seja é o intervalo solução que procurávamos)

Expressões lineares no produto ou quociente:

(ax + b)(cx + d)> 0 ou

< 0 (ou ≤ , )

Separamos cada fator para analisar o sinal, representando a reta que ele representa: crescente ou

decrescente. Exemplo:

≤ 2

Primeiramente reescrever a inequação, para que no lado direito sempre fique zero, ou seja, sempre iremos analisar onde a expressão se torna positiva ou negativa.

- 2 ≤ 0 (deixar os denominadores iguais)

( ) ( )

≤ 0

≤ 0

Separamos os dois termos para analisar: 1º) y =-5x + 10: reta decrescente; Calculamos onde intercepta o eixo x usando y=0

-5x + 10 = 0 x = 2 2º) y = 2x - 3: reta crescente; Intercepta o eixo x em

2x - 3 = 0 x =3/ 2 3º) Reunir os resulta dos das duas retas e analisar o sinal, escrevendo o intervalo solução.

Se a expressão é de 2º grau:

ou Fazer o esboço da parábola que ela representa: calcular as raízes por Báskara e desenhar uma parábola com concavidade para cima ( se a > 0) ou para baixo (se a < 0). Nesse desenho, analisar o sinal, onde ela é positiva (acima do eixo x) e onde é negativa (em que intervalo fica abaixo do eixo x).



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Valor Absoluto i) |x| = x, se x>0 ou |x| = - x, se x < 0.

ii) |x| = √ (muito útil para substituir o módulo)

iii) |x| < a -a < x < a , se a > 0 (se temos inequa ções que envolvem módulo, usamos esta propriedade para ”tirar” o módulo e resolver a inequação)

Exemplo: |3x - |≤3 -3 ≤ 3x - ≤ 3

iv) |x| > a x > a ou x < -a (observe que aqui, o valor de x não fica entre a e –a. Cuide isso ao resolver as inequações!!)

Exemplo: |3x - |> 3 3x - > 3 ou 3x - <-3

Distância entre dois pontos no plano Sejam os pontos A( ) e B( ), a distância entre A e B é calculada por:

√( ) ( )

Essa definição decorre do Teo. de Pitágoras

Ponto médio Sejam os pontos A( ) e B( ), as coordenadas do ponto médio entre A e B são calculadas por:

e

Inclinação de uma reta Dados os pontos A( ) e B( ), a inclinação da reta que passa por eles é calculada por

m =

Equação Linear: o gráfico é uma reta Forma geral : Forma ponto-inclinação: ( ) m é a inclinação: se m>0 a reta é crescente se m<o a reta é decrescente ( ) é um ponto da reta. Forma reduzida: m é a inclinação. b é o intercepto no eixo y.

Retas especiais Reta horizontal: Reta vertical: Reta passando na origem:

Retas paralelas e perpendiculares

Duas retas são paralelas se possuem a mesma inclinação, ou seja,

Duas retas são perpendiculares se suas inclinações possuem sinal oposto e são recíprocas uma da outra, ou seja,

Circunferência Todos os pontos numa circunferência estão a uma mesma distância R do centro C(h, k):

√( ) ( ) ou seja, ( ) ( )

Circunferência centrada na origem Nesse caso a equação fica mais simples, pois ficando na forma: . Uma forma equivalente e muito usada é:

√

Completamento de quadrado Expressões do tipo ( ) ou ( ) podem ser completadas para que se tornem o produto notável ( ) ou ( ) , para isso devemos descobrir o valor que está faltando. Para isso, geralmente é suficiente analisar o termo 2ab do produto notável.

Exemplo: Como no produto notável temos 2ab, este deve ser o valor do segundo termo e já sabendo que a=x, observamos que

2ab=2xb=6 b =3 Então o número com que devemos completar é o 9: ( )



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Parábolas com eixo vertical (eixo paralelo ao y)

Se a > 0: concavidade para cima

Se a < 0: concavidade para baixo

Nesta figura, o gráfico é simétrico em relação

ao eixo y: para x e –x, o valor de y é o mesmo

Parábolas com eixo horizontal (eixo paralelo ao x)

Se a > 0: concavidade para direita

Se a < 0: concavidade para esquerda

Nesta figura, o gráfico é simétrico em relação

ao eixo x: para y e –y, o valor de x é o mesmo

Hipérbole

Y =

O gráfico é simétrico em relação à origem, pois se temos o ponto (a, b) o outro será (- a, - b). À medida que x cresce, y diminui, se aproximando de zero.

Se x está próximo de zero, os valores de y crescem muito positivamente ou decrescem muito. Não existe um valor para y quando x=0.

Função Uma função pode ser considerada como uma corres- pondência de um conjunto X de números reais x a um conjunto Y de números reais y, onde o número y é único para um valor específico de x.

Domínio da função: todos os valores admissíveis de x Imagem da função: todos os valores resultantes de y

Teste da reta vertical O gráfico de uma função pode ser interceptado por uma reta vertical em um único ponto. Exemplo: a equação de uma circunferência não é uma função, pois uma reta vertical intercepta o seu gráfico em dois pontos. Uma semi-circunferência é uma função.

Cálculo com Funções Se ( ) é uma função representada por uma fórmula (expressão matemática envolvendo a variável ): i) calcular ( ), significa substituir, na fórmula de o pelo número . ii) calcular ( ) , significa igualar toda a expressão de ao número e encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Cálculo da variação de uma função Tomando dois pontos da função ( ), podemos calcular o quociente

que é a razão entre a variação ocorrida no eixo y, pela variação ocorrida no eixo x (inclinação da reta)

Para realizar o cálculo de f(x + h), fazemos a substituição de x por x + h e calculamos a expressão resultante. Exemplo: se ( ) , então ( ) ( ) ( ) Observe que onde havia a variável , substituímos pelo parênteses ( ) Agora subtraímos essas duas expressões e dividimos por (que é a variação no )

( ) ( )

=

( ) ( )

Cuide sempre o sinal negativo antes da expressão de ( ), pois todos os termos terão o sinal mudado!!!



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Operações com funções a) ( )( ) ( ) ( ) b) ( )( ) ( ) ( ) c) ( )( ) ( ) ( ) d) ( )( ) ( ) ( ), para os valores ( ) e) ( )( ) ( ( )), função composta, onde a variável da função é substituída pela expressão da função ( )

Função par Uma função é par quando ( ) ( ), ou seja, é simétrica em relação ao eixo : os resultados são iguais, não modificam quando usamos positivo ou negativo. Exemplo: ( )

Função ímpar Uma função é ímpar quando ( ) ( )

Função polinomial É do tipo ( )

. i) Se n=1: função linear, gráfico é uma reta. ii) Se n=2: função quadrática, gráfico é uma parábola

ou seja, é simétrica em relação à origem: os resultados só diferem no sinal, quando usamos positivo ou negativo. Exemplo: ( )

iii) Se n=3: função cúbica Função raiz

Domínio: todos os reais/ Imagem: analisar

( ) √

Se n é par, o domínio são os números positivos. Se n é ímpar, o domínio são todos os reais.

Função valor absoluto ou função modular

( ) {

.

É um exemplo de função definida por partes, pois cada intervalo, tem sua própria expressão e repre- sentação gráfica.

Função racional

É do tipo ( ) ( )

( ) . Nas funções que envolvem

quocientes, no domínio precisamos excluir os valores de que zeram o denominador: ( ) . Esses valores de são assíntotas verticais da função (retas verticais que a função não intercepta, apenas se aproxima delas).

Função maior inteiro O símbolo ⟦ ⟧ é usado para denotar o maior inteiro, menor ou igual a , onde n é um inteiro .

Função raiz de índice par, composta

Se temos uma função do tipo ( ) √ ( ) , onde n é um índice par e ( ) é uma expressão, então devemos analisar o domínio da função: os números para os quais a expressão é positiva ou zero ( ) (Geralmente recaímos no estudo do sinal, realizados anteriormente nas inequações)



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Ângulos e orientações Ângulo positivo: medi- do a partir do eixo no sentido anti-horário. Ângulo negativo: medi- do a partir do eixo no sentido horário. 180°

Razões trigonométricas No triângulo retângulo, define-se as seguintes razões trigonométricas

=

Razões trigonométricas de alguns ângulos

0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 2π

seno 0 1/2 √ /2 √

1 0 0

cosseno 1 √ /2 √ /2 1/2 0 -1 1

Definição da função seno e cosseno no círculo trigonométrico Considerando a circunferência unitária, para um ângulo central t o valor do sen t e cos t são as coordenadas do ponto (x, y) sobre essa circunferência. Assim temos

Relação entre inclinação da reta e tangente Se α for o ângulo de inclinação da reta L, não-parale- la ao eixo , então a inclinação de L é dada por

Relações trigonométricas e propriedades a) b) c) d) ( ) ( ), é uma função par e) ( ) ( ), é uma função ímpar f) ( ) ( ), é uma função ímpar

g) se ( ) ou ( )

o período da função será

.

h) se ( )

o período da função será

i) ( ) j) ( )



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Gráficos e propriedades da função seno É uma função ímpar.

Gráficos e propriedades da função cosseno É uma função par.

Gráficos e propriedades da função tangente ( ) É uma função ímpar.

Gráficos e propriedades da função cotangente É uma função ímpar.

Gráficos e propriedades da função secante ( ) É uma função par.

Gráficos e propriedades da função cossecante É uma função ímpar.

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