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Profa. Luciana Chimendes Universidade Federal de Pelotas Instituto de F ´ ısica e Matem ´ atica Departamento de Matem ´ atica e Estat ´ ıstica 2017
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Profa. Luciana Chimendes
Universidade Federal de PelotasInstituto de Fısica e Matematica
Departamento de Matematica e Estatıstica
2017
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1 Matematica Basica
O bom aproveitamento na disciplina depende grande parte do conhecimento de conteudosde Matematica que voce estudou no Ensino Fundamental e Medio, por isso comecamos comessa revisao.
Exemplo 1.1 . Calcule:a) 5−3 =
b) 4−1/2 =
c) x5.(1
x)−2 =
Exemplo 1.2 . Simplifique:
a)x2 − 4
x2 − 5x+ 6=
b)2x+ 6
x2 − 9=
c)x2
x2 − 4− x+ 1
x+ 2
Exemplo 1.3 . Complete o quadrado:a) y2 + 6y =
b) 5x2 − 20x =
1.1 Exercıcios propostos
1. Avalie cada expressao sem usar uma calculadora:
a) (−3)4 b) −34 c) 3−4
d)523
521e) (
2
3)−2 f) 16−3/4
2. Simplifique as expressoes racionais:
a)x2 + 3x+ 2
x2 − x− 2
b)2x2 − x− 1
x2 − 9.x+ 3
2x+ 1
3. Reescreva, completando o quadrado:
a) x2 + x+ 1
b) 2x2 − 12x+ 11
2
2 Matrizes
Muitas situacoes que estudamos nos levam a registrar dados que sao organizados em tabelas,como por exemplo, o registro da temperatura de tres substancias em diferentes horas damanha:
Substancia I Substancia II Substancia III8h −1.00C 120C 500C9h 0.70C 00C 450C10h 1.00C −50C 3500C11h 1.50C 00C 300C
Considerando somente os numeros organizados em linhas e colunas, obtemos o quadro
A =
que e chamado matriz. De forma geral, uma matriz de ordem m por n um quadro dem× n elementos (numeros, funcoes...) dispostos em m linhas e n colunas
A =
a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2na31 a32 a33 . . . a3n...
......
. . ....
am1 am2 am3 . . . amn
e representamos a ordem da matriz por A(m,n) ou Am×n; cada elemento da matrizpor aij, onde o primeiro ındice, i, indica a linha e o segundo, j, a coluna a que o elementopertence.
Exemplo 2.1 : Indique a ordem, numero de linhas, colunas e enumere os elementos damatriz A representada acima.
2.1 Matrizes especiais
Ao utilizarmos matrizes para representar diversas situacoes que trabalhamos, ou problemasque resolvemos, observamos que algumas delas apresentam caracterısticas especiais e, assim,tambem recebem uma denominacao especıfica. Vejamos algumas delas.
- Matriz linha: e a matriz de ordem 1× n
A =[a11 a12 a13 . . . a1n
].
3
- Matriz coluna: e a matriz de ordem m× 1
A =
a11a21a31...
am1
.
- Matriz quadrada: e uma matriz de ordem n× n
A =
a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2na11 a32 a33 . . . a3n...
......
. . ....
an1 an2 an3 . . . ann
.
- Matriz diagonal: e uma matriz quadrada que tem os elementos aij = 0quando i = j
A =
a11 0 0 . . . 00 a22 0 . . . 00 0 a33 . . . 0...
......
. . ....
0 0 0 . . . ann
.
-Matriz identidade: e a matriz diagonal que possui todos elementos igual a um. Indica-sea matriz identidade por I.
Exemplo 2.2 : construir a matriz identidade de ordem 2× 2 e 3× 3.
2.2 Operacoes com matrizes
Organizado os dados em linhas e colunas, ou seja, em matrizes, podemos realizar operacoesentre elas.
1. Igualdade de matrizes
Duas matrizes A = (aij) e B = (bij), de ordem m× n, sao iguais se, e somente se, aij = bij,para todos i, j.
Exemplo 2.3 : Calcular m e n para que obtenhamos A = B:
A =
[(m2 − 40) (n2 + 4)
6 3
]B =
[41 136 3
].
2. Produto de uma matriz por um escalar
Se k e um escalar, o produto de uma matriz A = (aij) por esse escalar e uma matrizB = (bij), tal que
bij = kaij .
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Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m×n e os numeros k, k1 e k2, temos as seguintespropriedades:
• k(A+B) = kA+ kB
• (k1 + k2)A = k1A+ k2A
• 0.A = [0]
• k1(k2A) = (k1k2)A
3. Matriz transposta
A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, e obtida permutando-se as linhaspelas colunas e denotamos essa nova matriz por AT .
Exemplo 2.4 : seja a matriz A. Determine AT e sua ordem.
A =
[−2 0 1/20 −5 3
]Exemplo 2.5 : a) dada a matriz
B =
1 5 95 3 89 8 7
,
determine a matriz BT .
b) O que podemos concluir sobre B e BT ?
Observacao: dada uma matriz An×n, se AT = A, entao dizemos queA e uma matriz simetrica.
Temos as seguintes propriedades:
• (At)t = A
• (A+B)t = At +Bt
• (kA)t = kAt, onde k qualquer escalar.
Exemplo 2.6 : determine x de modo que a matriz A seja simetrica:
A =
(−2 x2
4 0
)
5
4. Adicao e subtracao de matrizes
A soma de duas matrizes A = (aij) e B = (bij), de ordem m× n, e uma matriz C = (cij),de mesma ordem, tal que
cij = aij + bij .
A diferenca A − B de duas matrizes, de mesma ordem, e uma matriz Dm×n, onde cadaelemento e obtido da forma
dij = aij − bij .
A adicao de matrizes possui as seguintes propriedades:
• A+B = B + A
• (A+B) + C = A+ (B + C)
• Existe a matriz O tal que A+O = A.
Exemplo 2.7 : Uma pessoa possui 3 paginas no Facebook e quer criar algumas metricaspara medir o desempenho delas. Como sabemos quando publicamos algo no Facebook exis-tem 3 categorias basicas de interacao com o mesmo que sao: comentarios, curtidas e com-partilhamentos. Muito bem, com esses dados e possıvel criar uma tabela para cada mes devida das paginas.Organize os dados a seguir na forma de matriz:a) Primeiro mes:- Pagina 1: 21 curtidas, 85 compartilhamentos, 27 comentarios;- Pagina 2: 28 comentarios, 55 curtidas, 91 compartilhamentos;- Pagina 3: 78 compartilhamentos, 25 curtidas, 10 comentarios.b) Segundo mes:- Pagina 1: 50 curtidas, 12 compartilhamentos, 35 comentarios;- Pagina 2: 36 comentarios, 101 curtidas, 50 compartilhamentos;- Pagina 3: 10 compartilhamentos, 15 curtidas, 9 comentarios.c) Considerando a matriz do item (a) como A e a do item (b), como B, utilize-as paracalcular o total de curtidas, compartilhamentos e comentarios de cada pagina nesses doismeses.d) Escreva a matriz AT . Qual o significado dessa matriz?e) Determine a matriz C, com os valores de curtidas, compartilhamentos e comentarios quecada pagina deve ter no terceiro mes para que atinja o triplo dos resultados do primeiro mes.
2.3 Exercıcios propostos
1. a) Sendo A uma matriz, qual o significado de A4×5 e a45?
b) O que e uma matriz transposta?
c) O que e uma matriz simetrica?
d) O que e uma matriz identidade? Escreva as matrizes I(3, 3) e I4×4.
e) Quando a soma de duas matrizes e possıvel?
6
2. A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, tres vezes aodia (manha, tarde e noite), durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixocorresponde a temperatura observada no instante i do dia j.
A =
35, 6 36, 4 38, 6 38, 0 36, 036, 1 37, 0 37, 2 40, 5 40, 435, 5 35, 7 36, 1 37, 0 39, 2
a) Qual o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura?
b) Qual a temperatura media do paciente no terceiro dia de observacao?
3. A partir de um site de pesquisa de uma biblioteca, identificou-se a quantidade deacessos a dois livros de Calculo, durante a semana (de segunda a sabado).
a)Escreva uma matriz A2×6 que represente a quantidade de acessos na primeirasemana:
- segunda-feira: o livro 1 teve 12 acessos e o livro 2 teve 5 acessos;
- tera-feira: o livro 1 teve 7 acessos e o livro 2 teve 8 acessos;
- quarta-feira: o livro 1 teve 10 acessos e o livro 2 teve 12 acessos;
- quinta-feira: o livro 1 teve 9 acessos e o livro 2 teve 4 acessos;
- sexta-feira: o livro 1 teve 20 acessos e o livro 2 teve 8 acessos;
- sbado: o livro 1 teve 11 acessos e o livro 2 teve 9 acessos.
b)Escreva uma matriz B2×6 que represente a quantidade de acessos na segundasemana:
- segunda-feira: o livro 1 teve 8 acessos e o livro 2 teve 5 acessos;
- tera-feira: o livro 1 teve 10 acessos e o livro 2 teve 15 acessos;
- quarta-feira: o livro 1 teve 13 acessos e o livro 2 teve 20 acessos;
- quinta-feira: o livro 1 teve 19 acessos e o livro 2 teve 13 acessos;
- sexta-feira: o livro 1 teve 7 acessos e o livro 2 teve 18 acessos;
- sbado: o livro 1 teve 4 acessos e o livro 2 teve 12 acessos.
c) Determine a matriz C que representa o total de acessos em cada dia da semanade cada um dos dois livros.
3 Multiplicacao de matrizes
O produto de uma matriz Am×n e Bn×p, e uma matriz Cm×p, obtida atraves do produto decada linha de A por cada coluna de B, ou seja os elementos da matriz produto serao obtidos,por exemplo, da seguinte maneira:
a11 = produto da 1a linha de A pela 1a coluna de B;
a12 = produto da 1a linha de A pela 2a coluna de B;
a13 = produto da 1a linha de A pela 3a coluna de B...
7
a21 = produto da 2a linha de A pela 1a coluna de B;
a22 = produto da 2a linha de A pela 2a coluna de B;
a23 = produto da 2a linha de A pela 3a coluna de B...
Note que: o produto AB so e possıvel se o numero de linhas de B e igual ao numero decolunas de A:
Exemplo 3.1 : Se as notas de cinco alunos em 4 avaliacoes sao as seguintes
Aluno 1: 3.0, 5.8, 6.4, 5.0Aluno 2: 7.7, 7.0, 7.5, 8.0Aluno 3: 6.5, 6.8, 7.5, 6.0Aluno 4: 8.0, 6.0, 7.0, 8.0Aluno 5: 5.5, 7.7, 8.0, 6.5e o peso de cada avaliacao, respectivamente, e 6, 2,1,1, calcule a media desses alunos.
Exemplo 3.2 : Uma companhia manufatura tres produtos. Suas despesas de producao saodivididas em tres categorias. Em cada categoria e feita uma estimativa do custo de producaode um item de cada produto. Essas estimativas sao dadas nas Tabelas 1 e 2. Na reuniaode acionistas, a companhia gostaria de apresentar uma tabela mostrando o custo em cadatrimestre em cada uma das tres categorias: materias-primas, mao de obra e outras despesas.
a) De que forma pode ser obtida a tabela com o custo total desejado?
b) Matricialmente, apresente o calculo e o resultado desejado.
c) Como obter o custo total em cada trimestre?
Table 1: Custos de Producao por Item (dolares)
Despesas Produto A Produto B Produto CMaterias-primas 0,10 0,30 0,15
Mao de obra 0,30 0,40 0,25Outras despesas 0,10 0,20 0,15
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Table 2: Quantidade Produzida por Trimestre
Produto Verao Outon0 Inverno PrimaversA 4000 4500 4500 4000B 2000 2600 2400 2200C 5800 6200 6000 6000
3.1 Propriedades das multiplicacoes de matrizes
Na multiplicacao de matrizes temos as seguintes propriedades:
• Em geral AB = BA
• AI = IA = A
• A(B + C) = AB + AC
• (A+B)C = AC +BC
• (AB)C = A(BC)
• (AB)t = BtAt
• 0.A = 0 e A.0 = 0
3.2 Utilizando ferramentas computacionais
A maioria dos softwares ou programas matematicos trabalham com matrizes. Os maissimples de se utilizar sao as planilhas, como por exemplo do Excel, nas quais digitamos ouinserimos os valores e podemos utilizar funcoes ja definidas para trabalhar com matrizes.Estude como utilizar o Excel para trabalhar com matrizes e resolva os problemas anterioresutilizando multiplicacao de matrizes.
3.3 Representacao Matricial de um sistema
Voce ja estudou alguns sistemas lineares no ensino medio, mais adiante, aprofundaremoseste estudo. Aqui, gostarıamos de ja utilizar uma aplicacao muito importante das matrizes,que e a representacao desses sistemas. Para um sistema de 2 equacoes e 3 incognitas, temos,por exemplo:
{a11x+ a12y + a13z = c11a21x+ a22y + a23z = c21
⇒[a11 a12 a13a21 a22 a23
].
xyz
=
c11c21c31
Nesse caso, organizamos nas linhas os coeficientes de cada equacao, cuidando para que emcada coluna fique o coeficiente correspondente a mesma variavel do sistema. Obtivemosentao tres matrizes. Descreva com suas palavras o que representa cada uma dessas matrizese qual sua ordem:
Matriz dos coeficientes:
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Matriz das variaveis:
Matriz dos termos independentes:
Exemplo 3.3 : Escreva na forma de multiplicacao de matrizes os seguintes sistemas:1) {
3x+ 5y = −19y + 4x = −6
2) 4a− b− 3c− 15 = 03a− 2b+ 5c+ 7 = 02a+ 3b+ 4c− 7 = 0
3) x+ 3z − 10 = 03y − 6z = 233z + 2x+ 3 = 0
4) {2x1 + 3x2 + 4x3 = 27x3 = 15
3.4 Exercıcios Propostos
1. a) Quando a multiplicacao de matrizes e possıvel?
b) Calcule [2 31 4
].
[1 23 5
]2. Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestao de uma
quantidade mınima de certos alimentos (frutas, leite e cereais) necessaria para umaalimentacao sadia (balanceada de acordo com as proteınas, gorduras e carboidratos).A quantidade mınima diaria de frutas e 200g, de leite 300g e de cereais 600g e sabendoque a matrizM fornece a quantidade (em gramas) de proteınas, gorduras e carboidratos(i) fornecida por gramas ingerido de frutas, leite e cereais (j), determine a matriz quemostra a quantidade diaria mınima (em gramas) de proteınas, gorduras e carboidratosfornecida pela ingestao desses alimentos.
M =
0, 006 0, 033 0, 1080, 001 0, 035 0, 0180, 084 0, 052 0, 631
4 Sistemas de equacoes lineares
A solucao de sistemas lineares e uma ferramenta matematica muito importante em variasareas do conhecimento, especialmente quando associada as matrizes. Nesta unidade, vamosdefinir o que e uma equacao linear, a forma de um sistema linear, sua classificacao e metodosde resolucao.
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Equacao linear
Ao resolvermos problemas que envolvem incognitas (que sao as variaveis) a serem determi-nadas, estamos sempre trabalhando com equacoes.Por exemplo, quando queremos descobrir a medida do lado de um quadrado cuja areaadicionada ao dobro do lado e igual a 3, resolvemos a seguinte equacao :
x2 + 2x = 3.
Considerando um segundo exemplo, se queremos determinar a velocidade que um corpoatinge apos t segundos, sabendo que partiu a uma velocidade de 2m/s, com uma aceleracaoconstante de 1m/s2, resolvemos a equacao :
v = v0 + at
v = 2 + t
v − t = 2
Dessas duas equacoes, somente a do segundo exemplo e uma equacao linear, pois e daforma
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . .+ anxn = b,
onde:
• x1, x2, x3, . . . , xn sao as variaveis,
• a1, a2, a3, . . . , an sao os coeficientes e
• b e o termo independente.
Exemplo 4.1 : Classifique as equacoes em linear ou nao-linear:i) 4x+ 3y − 2z = 0ii) 2x− 3y − w = −3iii) 3x+ 3y
√x = −4
iv) x2 = 9v) x1 − 2x2 + 5x3 = 1
4.1 Solucao de uma equacao linear
Dada uma equacao linear a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn = b, procuramos uma n-upla ordenada(x1, x2, x3, ..., xn), que torne a igualdade verdadeira. Dizemos entao que (x1, x2, x3, ..., xn) esolucao da equacao.
Exemplo 4.2 : Encontre a solucao das seguintes equacoes, se existir:a) 2x− 7 = 0, ou seja a = 0b) ax+ b = 0, se a = 0 e b = 0c) ax+ b = 0, se a = 0 e b = 0
Exemplo 4.3 : Verifique se a tripla ordenada (2, 1,−3) e solucao da equacao linear 2x −y + z = 1.
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4.2 Sistemas de Equacoes lineares
Na natureza, as coisas estao sempre mudando, se transformando e o ser humano, para garan-tir sua sobrevivencia e melhorar sua existencia, precisa conhecer e dominar estes processosde mudanca. Um dos metodos encontrados para se descrever estas transformacoes foi o deprocurar nestas o que permanece constante durante a mudanca. Vejamos um exemplo:Sabemos que o hidrogenio (H2) reage com o oxigenio (O2) para produzir agua (H2O). Masquanto de hidrogenio e de oxigenio precisamos? Esta e uma mudanca que podemos descreverdo seguinte modo: x moleculas de H2 reagem com y moleculas de O2 produzindo z moleculasde H2O, ou esquematicamente
xH2 + yO2 −→ zH2O. (1)
O que permanece constante nessa mudanca?Como os atomos nao sao modificados, o numero de atomos de cada elemento no inıcio dareacao deve ser igual ao numero de atomos desse mesmo elemento, no fim da reacao. Assim,para o hidrogenio devemos ter 2x = 2z, e para o oxigenio, 2y = z. Portanto, as nossasincognitas x, y e z devem satisfazer as equacoes:{
2x− 2z = 02y − z = 0
Este procedimento que consiste em identificarmos o que permanece constante na mundanca,leva a obtermos um conjunto de equacoes, ou seja, um sistema de equacoes que, em muitoscasos sao lineares, como no exemplo anterior.Assim, de forma geral, um sistema de equacoes lineares com m equacoes e n incognitas eum conjunto de equacoes do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . .+ a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . .+ a3nxn = b3...am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . .+ amnxn = bm
Evidentemente, voce ja sabe um pouco como resolver este tipo de sistema, mas quandoo numero de equacoes se torna muito grande, ou temos menos equacoes do que incognitas(como no exemplo citado anteriormente), podem surgir muitas duvidas, ate mesmo sobre aexistencia ou nao de solucao para o sistema.Por outro lado, em sistemas que apresentam mais do que uma solucao e necessario ter-seuma forma clara de se expressar todas elas. Por exemplo, no sistema apresentado nessasecao, voce pode encontrar duas solucoes distintas para (x, y, z) (por exemplo, (1, 1/2, 1)e (2, 1, 2)), mas so o tera resolvido se conseguir expressar o conjunto de todas as solucoespossıveis. Por isso, nosso objetivo nesse capıtulo e estudar um metodo para a resolucao desistemas lineares em geral. A tecnica que sera utilizada pode nao ser a melhor no caso desistemas muito simples, mas tem a vantagem de poder ser aplicada sempre e ser facilmentemecanizada. E particularmente util em sistemas com grande numero de incognitas onde ouso de calculadoras e inevitavel. Em sıntese, este metodo consiste em substituir o sistemainicial por sistemas cada vez mais simples, sempre ”equivalentes” ao original. Antes deapresentarmos este metodo, vamos formalizar alguns conceitos.
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4.3 Solucao de sistemas lineares
Dizemos que a sequencia ordenada (x1, x2, x3, ..., xn) e solucao de um sistema linear de nvariaveis quando e solucao de cada uma das equacoes do sistema.
Exemplo 4.4 : Verifique se (1,−1, 0) e solucao dos seguintes sistemas:
{2x+ 3y + z = −1x− 2y − z = 3
{3x− y + 2z = 42x+ 2y + z = 1
4.4 Sistemas e matrizes
Vimos que a seguinte multiplicacao de matrizes A.X = B,a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2na11 a32 a33 . . . a3n...
......
. . ....
am1 am2 am3 . . . amn
.
x1
x2
x3...xn
=
b1b2b3...bn
onde A e a matriz dos coeficientes, X e a matriz das incognitas e B, a matriz dos termosindependentes, representa o conjunto de equacoes lineares:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . .+ a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . .+ a3nxn = b3...am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . .+ amnxn = bm
Assim percebemos que um sistema pode ser representado na forma matricial. Nessa re-presentacao, a matriz dos coeficientes e dos termos independentes, podem ser representadasnuma unica matriz, que sera ento chamada de MATRIZ AMPLIADA do sistema:
A =
a11 a12 a13 . . . a1n b1a21 a22 a23 . . . a2n b2a11 a32 a33 . . . a3n b3...
......
.... . .
...am1 am2 am3 . . . amn bm
A matriz ampliada do sistema e que utilizaremos na resolucao do sistema.
Exemplo 4.5 : escreva a matriz ampliada de cada sistema a seguira)
x1 + 4x2 + 3x3 = 12x1 + 5x2 + 4x3 = 4x1 − 3x2 − 2x3 = 5
b) x = 14x− y = 44y − 3x = −1
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4.5 Exercıcios Propostos
1. Suponha que voce vai fazer um lanche, constando de iogurte, pastel e chocolate e quetem 18,00 disponıvel. Segundo os nutricionistas, um lanche deve conter 1350 calorias e 66gramas de proteınas.Para cada 100g dos alimentos acima, temos:Iogurte: 50 Calorias, 4 Protenas (g), Custo 2,00Chocolate: 600 Calorias, 24 Protenas (g), Custo 6,00Pastel: 200 Calorias, 28 Protenas (g), Custo 8,00.Escreva o sistema que calcularia a quantidade de cada elemento que poderia ser consumidade acordo com as condicoes dadas.
2. Considere que o trafego de carros de uma certa regiao da cidade seja monitorado pordia em alguns pontos e que seja necessario descobrir o valor em outros. Se as vias emquestao possuem sentido unico e sabendo que a quantidade de carros que entram num certocruzamento e a mesma que sai, escreva um sistema que represente o trafego apresentado nafigura a seguir.
Por exemplo, em A, entram 40 carros/hora e saem x1 e x2, logo temos 40 = x1 + x2.
5 Metodos de Solucao de Sistemas Lineares
Existem muitos metodos de solucao de sistemas lineares, alguns inclusive ja conhecidos e tra-balhados por voce. Aqui apresentaremos o metodo de Gauss ou escalonamento, que consistebasicamente em realizar operacoes elementares na matriz ampliada do sistema para obteruma matriz mais simples, mas equivalente. Depois, na continuidade de nosso estudo, discu-tiremos o o metodo de Crammer, cuja base de solucao envolve o calculo de determinantes.
5.1 Operacoes Elementares
Considere os dois sistemas apresentados a seguir:2x1 + 4x2 + 6x3 = 102x1 + 5x2 + 4x3 = 4x1 − 3x2 − 2x3 = 5
x1 + 2x2 + 3x3 = 52x1 + 5x2 + 4x3 = 4x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Observe que se tomarmos a primeira equacao do primeiro sistema e multiplicarmos toda
ela por1
2, obteremos a primeira linha do segundo sistema. Multiplicar toda uma equacao
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por um escalar nao altera a solucao do sistema. Essa e uma operacao chamada elementar.Os dois sistemas apresentados sao chamados de sistemas equivalentes por terem o mesmoconjunto solucao.Dado um sistema, para encontrarmos sua solucao, buscaremos encontrar um sistema equiv-alente a ele, mas que seja escrito de forma mais simples. Para se chegar nesse sistemaequivalente mais simples, utiliza-se operacoes elementares nas linhas da matriz ampliada.Vamos entao conhecer as tres as operacoes elementares possıveis sobre as linhas de umamatriz:i) Permuta das i-esima e j-esima linhas (Li ↔ Lj)
Exemplo 5.1 : Copie a matriz ampliada do primeiro sistema e realize a operacao elementarL1 ↔ L3, ou L13
ii) Multiplicacao da i-esima linha por um escalar nao-nulo k (Li ← kLi)
Exemplo 5.2 : A partir da matriz obtida no exemplo anterior, realize L2 ←1
2L2
iii) Substituicao da i-esima linha pela i-esima linha mais k vezes aj-esima linha (Li → Li + kLj)
Exemplo 5.3 : Realize L3 ← L3 − 2L1, na matriz obtida noexemplo anterior.
Definicao: Se A e B sao matrizes m × n, dizemos que B e linha equivalente a A, se Bfor obtida de A atraves de um numero finito de operacoes elementares sobre as linhas de A.Notacao: A → B ou A ∼ B.
Exemplo 5.4 : Considere o seguinte sistema¿x = 14x− y = 44y − 3x = −1
Escreva a matriz ampliada e obtenha uma matriz B, linha equivalente a A, realizando, nasequencia indicada, as seguintes operacoes elementares e registre suas observacoes sobre oresultado obtido em cada linha.a) L2 ← L2 − 4L1
b) L3 ← L3 + 3L1
c) L2 ← −L2
d) L3 ← L3 − 4L2
A matriz B obtida no final dessas operacoes elementares e da forma escada, conformepoderas observar a partir da definicao a seguir.
Forma Escada
Uma matriz m× n e linha reduzida a forma escada se:
a) O primeiro elemento nao nulo de uma linha nao nula e 1.
b) Cada coluna que contem o primeiro elemento nao nulo de alguma linha tem todos os seusoutros elementos iguais a zero. Dizemos que essa e uma coluna pivo e o elementonao nulo e o elemento pivo.
15
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nao nulas (isto e, daquelas que possuempelo menos um elemento nao nulo).
d) Se as linhas 1, ..., r sao linhas nao nulas e se o primeiro elemento nao nulo da linha iocorre na coluna ki, entao k1 < k2 < k3 < ...kr.
Esta ultima condicao impoe a forma escada a matriz, ou seja, o numero de zeros precedendoo primeiro elemento nao nulo de uma linha aumenta a cada linha, ate que sobrem somentelinhas nulas, se houver.
Exemplo 5.5 : Verifique se as matrizes a seguir estao na forma escadaa)
A =
1 0 0 00 1 −1 00 0 0 0
b)
B =
0 2 11 0 −30 0 0
c)
C =
0 1 −3 0 10 0 0 0 00 0 0 −1 2
d)
D =
0 1 −3 0 20 0 0 1 20 0 0 0 0
Observacao: Note que, encontrando a forma escada da matriz dos coeficientes, encon-tramos a solucao do sistema. Considere a matriz ampliada de um sistema que ja foi colocadana forma escada e observe que reescrevendo-a na forma de sistema, encontramos a solucao:
D =
0 1 −3 0 20 0 0 1 20 0 0 0 0
⇒ {y − 3z = 2z = 2
⇒{
y = 2 + 3zw = 2
5.2 Metodo de Gauss ou Escalonamento
Este metodo para resolucao de sistemas e um dos mais adotados quando se faz uso docomputador, devido ao menor numero de operacoes que envolve. Ele consiste em se reduzira matriz ampliada do sistema por linha-equivalencia a uma matriz que s difere da linhareduzida a forma escada na condicao b), que passa a ser:b’) cada coluna que contem o primeiro elemento nao nulo de alguma linha, tem todos oselementos abaixo desta linha iguais a zero.Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solucao final do sistema e obtida porsubstituicao.
Exemplo 5.6 : Determine a solucao do sistema que possui a seguinte matriz ampliada naforma escalonada: 1 1 −3 0 2
0 1 2 1 20 0 0 1 0
⇒
16
Exemplo 5.7 : Determine a solucao dos sistemas propostos como exercıcio na aula anterior,utilizando o metodo de Gauss.
5.3 Exercıcios Propostos
1. a) Qual o objetivo de realizarmos o escalonamento de uma matriz ampliada?
b) O que e um sistema equivalente? Como obtemos um sistema equivalente?
c) Escreva a matriz ampliada do seguinte sistema:x+ y + z = 1y − z + 2x = 9x+ 2z − 2y = 2
d) Realize as seguintes operacoes elementares, na sequencia dada, para obter aforma escalonada do sistema.
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − L1
L2 ← −L2
L3 ← L3 + 3L2
L3 ← L3/10
e) A partir da matriz escalonada, escreva a solucao do sistema.
2. Utilizando o metodo de Gauss, determine a solucao do seguinte sistema:−3y − 6z + 4w = 9−x− 2y − z + 3w = 1x+ 4y + 5z − 9w = 7
6 Classificacao de um sistema linear quanto ao numero
de solucoes
Observamos que ao resolver um sistema linear podemos chegar em uma das tres situacoes:
1. Uma unica solucao.
2. Infinitas solucoes.
3. Nenhuma solucao.
Vamos estudar uma forma de classificar um sistema quanto ao numero de solucoes quepossui.
17
6.1 Posto e nulidade de uma matriz
A forma escada de uma matriz nos permite definir dois conceitos importantes para analisarse um sistema possui solucao: o posto e a nulidade de uma matriz.Definicao: Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida a forma escada,linha equivalente a A. O posto de A, e o numero de linhas nao nulas de B.Utilizaremos a seguinte notacao:
pa: posto da matriz ampliada;
pc: posto da matriz dos coeficientes;
se pa = pc, entao podemos denotar apenas por p.
Definicao: Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida a forma escada,linha equivalente a A. Considerando n o numero de colunas da matriz dos coeficientes (quecorresponde ao numero e variveis do sistema), a nulidade da matriz A e o numero nul= n−p.
Observe que so determinaremos a nulidade da matriz quando o posto da matriz ampliadafor igual ao da matriz dos coeficientes.
Exemplo 6.1 : Considere a matriz A.
A =
1 2 1 0−1 0 3 51 −2 1 1
a) Se interpretarmos a matriz A dada acima como sendo uma matriz ampliada, escreva o
sistema linear que ela representa.
b) Determine a forma escada dessa matriz.
c) Determine pa, pc, nul A.
d) Classifique o sistema quanto ao numero de solucoes e apresente-as, se existirem.
Exemplo 6.2 : Responda as mesmas questoes do exemplo anterior agora considerando amatriz B.
B =
2 −1 31 4 21 −5 14 16 8
Observacao: O sistema do exercıcio anterior possui equacoes redundantes. A terceira ea quarta equacoes (que se tornam nulas no final do processo) podem ser desprezadas. Istosignifica que o sistema inicial (associada a matriz B de ordem 4×2), e equivalente ao sistemaobtido pela matriz na forma escada (matriz de ordem 2× 2). Dizemos tambem que as duasprimeiras equacoes sao independentes e que as demais sao dependentes destas.Ainda segundo esta terminologia, denominamos posto de uma matriz ao numero de linhasindependentes desta. Voce pode observar que uma linha sera dependente de outra (istoe, sera igual a zero no final do processo de reducao) se ela puder ser escrita como somade produtos destas outras linhas por constantes: ela e combinacao linear das outras. Por
18
exemplo, na matriz B podemos dizer que a primeira e a segunda linhas sao independentes,enquanto que a terceira e a quarta sao combinacoes lineares das duas primeiras linhas.Voce viu assim que o posto da matriz ampliada de um sistema nos da o numero de equacoesindependentes deste. Este fato tambem nos ajuda a verificarmos se um sistema tem solucao,ou seja, veremos que o posto tambem esta relacionado com o numero de solucoes de umsistema.O teorema a seguir, relaciona o posto de uma matriz com o seu numero de solucoes.
Teorema:
i) Um sistema de m equacoes e n incognitas admite solucao se, e somente se, o posto damatriz ampliada e igual ao posto da matriz dos coeficientes.
ii) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p = n, a solucao sera unica.
iii) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n − p incognitas(grau de liberdade do sistema), e as outras p incognitas serao dadas em funcao destas.
Assim, podemos construir o seguinte esquema:
Observacao: Se utilizamos o metodo de Gauss, obtemos a forma escalonada da matriz enao a forma escada. Mesmo assim e possıvel determinar o numero de solucoes do sistema.:
a) Se uma linha da matriz dos coeficientes for toda nula e o termo independente dessa linhanao for nulo, o sistema e impossıvel.
b) Se o sistema for possıvel e toda coluna da matriz for coluna pivo, entao o sistema edeterminado.
c) Se o sistema for possıvel e alguma coluna nao for coluna pivo, entao o sistema e indeter-minado.
Exemplo 6.3 : Dadas as matrizes linha reduzida a forma escada de uma matriz ampli-ada, indique o posto da matriz dos coeficientes, da matriz ampliada, o grau de liberdade eclassifique o sistema.
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a)
1 0 0 30 1 0 −20 0 1 2
b)
[1 0 7 −100 1 5 −6
]
c)
1 0 7 −100 1 5 620 0 0 2
d)
1 0 −10 −2 −100 1 7 1 40 0 0 0 0
Exemplo 6.4 : Resolver o sistema{x+ 2y + z + t = 0x+ 3y − z + 2t = 0
Observacao: Vimos que sistemas indeterminados resultam em solucoes que sao conjun-tos de pontos: pares ordenados (x, y), trios ordenados (x, y, z)... Estes conjuntos de pontospodem representar retas, planos ou outros conjuntos de pontos. Nosso objetivo e saber iden-tificar, quando possıvel, estes tipos de conjuntos e isto sera realizado nos proximos capıtulos,depois de estudarmos os determinantes, que possuem importantes aplicacoes associadas amatrizes quadradas.
6.2 Exercıcios propostos
1. Considerando a forma escalonada das matrizes de um sistema, determine se o sistemae possıvel determinado, possıvel indeterminado ou impossıvel.
a)
1 2 4 00 1 2 90 0 0 3
b)
1 2 4 00 1 2 90 0 1 3
c)
1 2 3 00 1 2 90 0 0 0
2. Encontre solucdos sistemas representados nas seguintes matrizes ampliadas, atraves do
metodo de Gauss:
a)
1 2 −7−1 −1 12 1 5
b)
2 −4 3−6 12 −94 8 6
3. Foram estudados tres tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) determinou-
se que:
i) o alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidadesde vitamina C;
ii) o alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C;
iii) o alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina C e naocontem vitamina B.
Se sao necessarias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitaminaC, encontre todas as possıveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem aquantidade de vitaminas desejada.
20
4. Numa placa, as temperaturas em cada ponto sao a media das quatro temperaturasmais proximas (abaixo, acima, a direita e a esquerda de cada ponto). Determine astemperaturas T1, T2 e T3 representadas na figura abaixo.
Lembre-se: para obter a media dessas temperaturas devemos soma-las e dividir o totalpor quatro.
7 Determinantes
A solucao de sistemas lineares, por meio de matrizes, ja era conhecida desde a antiguidade(250 a. C.) e o uso de determinantes estava associado a estes calculos, conforme podemosnotar nos exemplos a seguir.
No sistema linear ax = b, com a = 0, a solucao e da forma x =b
a. Observe que o
denominador e um numero associado a matriz [a].No caso de um sistema linear 2× 2,{
a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2
resolvendo-o, desde que as operacoes sejam possıveis, obtem-se a solucao
x1 =b1a22 − b2a12a12a22 − a12a21
e x2 =b2a11 − b1a21a12a22 − a12a21
.
Observe que os denominadores sao iguais e estao associados a matriz dos coeficientes dosistema [
a11 a12a21 a22
].
Isto ocorre para sistemas n × n e iremos estudar esses numeros que aparecem nos denom-inadores das solucoes dos sistemas e que estao associados o as matrizes quadradas, que saochamados de determinante.Assim a toda matriz quadrada A esta associado um numero, que chamaremos determinantede A e que representaremos por det A ou |A| , cujo calculo estudaremos a seguir.
7.1 Calculo do determinante de 2a ordem
Para calcular o determinante de uma matriz A, de ordem 2 × 2, fazemos o produto doselementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundaria.Assim
21
detA = a11a22 − a12a21 .
Exemplo 7.1 : dada a matriz
A =
[7 52 3
],
determine o valor de det A.
Exemplo 7.2 : resolva a equacao ∣∣∣∣ 6x 23x x
∣∣∣∣ = −12.7.2 Calculo do determinante de 3a ordem
Para calcular o determinante de uma matriz A, de ordem 3 × 3, vamos utilizar a regra deSarrus, que consiste em realizar os seguintes procedimentos:
10) Repetimos as duas primeiras colunas a direita da matriz A.
20) Multiplicamos os tres elementos da diagonal principal, bem como os tres elementosde cada paralela a essa diagonal, mantendo o sinal de cada produto.
30) Multiplicamos os tres elementos da diagonal secundaria, bem como os de cada paralelaa essa diagonal, trocando o sinal de cada produto.
40) Somamos todos os produtos obtidos.
Exemplo 7.3 : dada a matriz B abaixo, determine o valor do det B.
B =
2 4 31 −5 7−3 8 9
Exemplo 7.4 : resolva a equacao∣∣∣∣∣∣
1 −1 1−1 (5− x) −11 −1 (3− x)
∣∣∣∣∣∣ = 0
Exemplo 7.5 : determine o valor de x de modo que det B = 8, onde
B =
3 2 x1 −2 x2 −1 x
7.3 Calculo do determinante de ordem maior
Para matrizes de ordem maior que n = 3, usaremos o desenvolvimento de Laplace, que euma formula de recorrencia que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n,a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n− 1. Para entendermos oprocedimento, observemos que, para o caso de uma matriz A, de ordem 3× 3, temos
|A| =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
22
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.Mas esta soma pode ser escrita de uma outra forma= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 + a23a31) + a13(a21a32 − a22a31),ou ainda, usando determinantes de segunda ordem, para os termos que estao nos parenteses,obtendo
|A| = a11|A11| − a12|A12|+ a13|A13| =3∑
j=1
(−1)1+ja1j|A1j|
onde A1j e a submatriz da inicial, de onde a primeira linha e a j-esima coluna foram retiradas.Neste caso, dizemos que o determinante foi desenvolvido pela primeira linha.De forma geral, para uma matriz A, de ordem n × n, o calculo do determinante de A eentao dado pela formula
detA =n∑
j=1
(−1)i+jaij|Aij|.
Observacao: ao numero ∆ij = (−1)i+j|Aij| (que e o determinante afetado pelo sinal(−1)i+j da submatriz Aij), chamamos cofator ou complemento algebrico do elemento aij.Observe que na formula dada, o determinante foi ”desenvolvido” pela i-esima linha. Umaforma analoga e valida para as colunas.
Exemplo 7.6 : calcule det A, onde
A =
−1 2 3 −44 2 0 0−1 2 −3 02 5 3 1
R : 372
Exemplo 7.7 : calcule |B|, onde
B =
1 −2 32 1 −1−2 −1 2
R : 5
Exemplo 7.8 : verifique o que ocorre com o determinante da matriz anterior, se realizarmosantes a seguinte operacao nas linhas da matriz B: L3 → L3 + L2.
7.4 Propriedades dos determinantes
O exemplo anterior nos mostra que o determinante apresenta algumas propriedades:
1) detA = detAT ; daı inferimos que as propriedades que sao validas para linhas tambem osao para colunas.
2) Se A tem uma linha (ou uma coluna) de zeros, entao detA = 0; a razao disso e que emcada termo da somatoria ha um elemento da linha (ou coluna).
3) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) de A, obtem-se −|A|, ou seja, o deter-minante troca de sinal, isto porque alteramos a paridade do numero de inversoes dosındices e, portanto trocamos o sinal dos termos.
4) Se A tem duas linha identicas (ou colunas), entao detA = 0; isto porque se trocarmos asposicoes das linhas que sao iguais, a matriz, e portanto, o determinante permaneceraoos mesmos. Por outro lado, pela propriedade anterior, o determinante deve trocar desinal e, portanto, a unica possibilidade e que o determinante seja nulo.
23
5) Se multiplicarmos uma linha (ou uma coluna) da matriz A, por um numero k, entao odeterminante fica multiplicado por esse numero, ou seja, obtemos k detA.
6) O determinante nao se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por umaconstante (operacoes elementares).
7) det (A . B) = det A . det B.
Exemplo 7.9 : escolha matrizes de ordem 2 × 2 e verifique cada uma das propriedadesenunciadas acima. Repita o procedimento escolhendo agora matrizes de ordem 3× 3.
7.5 Exercıcios Propostos
1. Utilize o metodo de Laplace para calcular o determinante de: 1 2 31 1 26 1 2
2. Calcule o determinante de :
2 1 3 22 0 0 41 5 2 32 1 4 6
8 Aplicacoes do Determinantes
Tendo estudado o calculo de determinantes e suas propriedades, vamos agora aplica-los emduas situacoes: encontrar a matriz inversa de uma matriz quadrada e resolver sistemaslineares de ordem n × n. Mais adiante, no desenvolvimento dos outros capıtulos, outrasaplicacoes surgirao.
8.1 Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n×n, se existir uma matriz quadrada B, de mesmaordem, que satisfaca a condicao AB = BA = I, onde I e a matriz identidade, dizemos queB e a matriz inversa de A e representamos por A−1:
AA−1 = A−1A = I .
Exemplo 8.1 : dadas as matrizes abaixo, verifique se B = A−1.
A =
[8 53 2
]B =
[2 −5−3 8
]Dada uma matriz quadrada A, procuraremos a partir de agora determinar se ela tem inversae quem seria essa matriz. Estudaremos dois metodos para determinar a inversa de umamatriz: por meio de operacoes elementares (ja vistas no capıtulo anterior) e por meio dedeterminante. Para isso, vamos precisar de algumas definicoes que apresentamos agora.
Matriz inversıvel: e uma matriz quadrada An×n que possui matriz inversa.
24
Matriz singular: e uma matriz quadrada An×n que tem determinante igual a zero:
detA = 0.
Teorema: Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente se, det A = 0.
IMPORTANTE:Assim se o detA = 0, podemos concluir que a matriz nao e inversıvel, ou seja, umamatriz singular nao tem inversa.
Exemplo 8.2 : quais das matrizes abaixo nao sao inversıveis?
A =
[−1 20 4
]B =
[5 102 4
]C =
0 2 01 6 1−3 4 −3
Matriz dos cofatores: e uma matriz formada com os cofatores da matriz original e deno-tamos por
A = [∆ij] = (−1)i+j|Aij|.
Exemplo 8.3 : dada a matriz:
A =
2 1 0−3 1 41 6 5
verifique que
A =
−19 19 −19−5 10 −114 −8 5
Matriz adjunta: e a matriz transposta da matriz dos cofatores de A e denotamos por
ajdA = AT.
Exemplo 8.4 :
a) escreva a matriz adjunta de A, apresentada no exemplo anterior;
b) calcule det A;
c) calcule A . adj A;
A partir desse exemplo, podemos observar queA . adj A = -19 I = (det A) I.Esse resultado nao e um caso isolado e e expresso no seguinte teorema, que nos fornece umaferramenta para calcularmos entao a matriz inversa de A.
Teorema: A . adj A = (det A) I.
25
8.2 Calculo da inversa de uma matriz
Aqui apresentaremos duas formas de se obter a inversa de uma matriz: por meio de deter-minantes e por operacoes elementares. Na primeira forma, partimos do teorema da secaoanterior e escrevemos
A.adj A = (det A).I
A.adj A
det A= I
de onde concluımos que
A−1 =1
det A.adj A.
Exemplo 8.5 : determine a inversa das matrizes
a)A =
2 1 0−3 1 41 6 5
b) B =
[2 31 4
]Na segunda forma, utiliza-se o fato de que a mesma sucessao finita de operacoes elementaresque transformam uma matriz quadrada A na matriz identidade I, transforma a matriz I namatriz A−1, inversa de A.Assim, de forma pratica, para determinarmos a matriz inversa de A realizamos os seguintesprocedimentos:
1. colocamos ao lado da matriz A a matriz identidade I;
2. transformamos, por meio de operacoes elementares, a matriz A na matriz identidade;
3. simultaneamente, as mesmas operacoes que realizamos em A, efetuamos na matriz Ique esta a direita;
4. a matriz obtida a direita e a matriz A−1.
Exemplo 8.6 : determine a matriz inversa da matriz a seguir e das matrizes do exemploanterior, utilizando operacoes elementares:
M =
[7 63 4
]N =
1 −3 1−2 3 −1−1 2 −1
8.3 Solucao de sistemas
Conforme comentamos no capıtulo anterior, podemos utilizar determinantes para resolversistemas lineares. Este metodo e conhecido como metodo de Cramer e o descrevemosbrevemente a seguir.Este e um metodo restrito, pois resolve apenas sistemas de ordem n × n, ou seja, queenvolvem matrizes quadradas. Isto decorre do fato de que a base do metodo consiste emutilizar o calculo de determinantes, que so e possıvel para matrizes quadradas.Considere A, uma matriz de ordem n × n, a matriz dos coeficientes e B, a matriz dostermos independentes associadas a um sistema. Denotaremos Ai a matriz obtida a partir
26
de A, trocando sua i-esima coluna pela matriz B. A solucao unica x de Ax = B temcomponentes da forma
xi =detAi
detA.
Exemplo 8.7 : use a regra de Cramer para resolver o sistema{3x1 − 2x2 = 6−5x1 + 4x2 = 8 R : x1 = 20 x2 = 27
8.4 Exercıcios propostos
1. Determine a adjunta e a inversa da matriz
A =
2 1 31 −1 11 4 −2
2. Determine a inversa da matriz
C =
[6 211 4
].
3. Resolva os sistemas de ordem n× n, propostos nos capıtulos anteriores, pela regra deCramer.
9 Vetores
Ao abordarmos a solucao de sistemas, em capıtulos anteriores, observamos que para sistemaspossıveis, de ordem m× n:
• se o sistema era determinado, tınhamos uma unica solucao, formada por uma n-uplaordenada (x1, x2, x3, . . . , xn);
• se o sistema era indeterminado, a solucao consistia de um conjunto infinito de pontos,descrito por uma expressao matematica.
Exemplo 9.1 : Para um sistema determinado 2 × 2, a solucao (-1, 2) corresponde a umponto no plano R2 e para um sistema 3× 3, a solucao (-1, 2, 4) corresponde a um ponto doespaco R3.
27
O conjunto R2 = R× R = {(x, y)/x, y ∈ R} e interpretado como sendo o plano cartesianoXOY .O conjunto R3 = R × R = {(x, y, z)/x, y, z ∈ R} e interpretado como sendo o espacotridimensional.
Exemplo 9.2 : Para um sistema indeterminado 2 × 2, terıamos, por exemplo, a solucaoy = 2x+ 4, com grau de liberdade 1, ou seja, nul=1. Qual seria a representacao geometricadesse conjunto de pontos?
Exemplo 9.3 : J para um sistema indeterminado 3× 3, terıamos, por exemplo, dois casos:
• nul=1:
• nul=2:
Nosso objetivo entao, a partir de agora, e entender o significado e fazer a representacaogeometrica desses conjuntos de pontos no plano e no espaco. Para chegarmos nessas repre-sentacoes, precisamos ter algumas nocoes sobre vetores e como operamos com eles.Iniciemos identificando quando uma grandeza pode ser chamada de escalar ou de vetorial.Uma grandeza fısica, como massa, temperatura ou energia cinetica, e completamente definidapor um unico numero real e e chamada de grandeza escalar ou simplesmente escalar.Ha entretanto, outras grandezas que precisam da dimensao, direcao e sentido para seremcaracterizadas: sao as grandezas vetoriais, que sao representadas por vetores.Imagine, por exemplo, uma forca atuando sobre um corpo, conforme indica a figura:
Para descreve-la precisamos determinar sua intensidade, direcao e sentido. Forca e umexemplo tıpico de grandeza que e representada por vetor. Outros exemplos sao velocidade edeslocamento. No nosso estudo, desenvolveremos posteriormente o conceito de vetor de umaforma bem ampla, de modo que, por exemplo, solucoes de sistemas de equacoes lineares,matrizes, funcoes... tambem possam ser representados como vetores.Para representar geometricamente as grandezas vetoriais que ocorrem na vida real, os con-ceitos da geometria euclidiana no plano e no espaco fornecem os elementos ideais para estu-dar os vetores nestes ambientes. As propriedades matematicas de vetores que sao estudadascom as representacoes geometricas permitem estender o conceito de vetor, posteriormente,para ambientes mais abstratos, chamados espacos vetoriais, que constituem uma ferramentaessencial para o entendimento da Matematica e suas aplicacoes em outros ramos da Ciencia.Sendo assim, nessa unidade, apresentamos inicialmente definicoes preliminares que nos aju-darao a definir um vetor e, a seguir, iniciamos o estudo de propriedades, representacao eoperacoes com vetores.
28
9.1 Reta orientada:
Uma reta r e orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo eindicado por uma seta.
O sentido oposto e negativo. Uma reta orientada e denominada eixo.
9.2 Segmento orientado:
Um segmento orientado e determinado por um par ordenado de pontos, sendo o primeirochamado origem e o segundo, extremidade do segmento. Representamos o segmento
por AB ou−→AB e, geometricamente, por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do
segmento.
NOTA
• dizemos que um segmento e nulo quando a origem coincide com a extremidade;
• se AB e um segmento orientado, entao BA e seu oposto (ou -AB).
Exemplo 9.4 : Represente os segmentos orientados−→BA e
−−→CD, considerando os seguintes
pontos: A(−1, 4), B(2, 1), C(1, 3, 2) e D(0, 0, 4).
9.3 Medida de um segmento:
E o comprimento, ou o modulo do segmento relacionado com uma unidade de medida pre-
fixada. Indicamos a medida de um segmento por AB ou |−→AB|.
Dadas as coordenadas da origem e da extremidade do segmento, podemos determinar ocomprimento do segmento aplicando o teorema de Pitagoras:
|−→AB|2 = (y2 − y1)
2 + (x2 − x1)2 ⇒ |
−→AB| =
√(y2 − y1)2 + (x2 − x1)2
29
Exemplo 9.5 : Obtenha, de forma analoga, a expressao que calcula o comprimento de umsegmento orientado no espaco.
Exemplo 9.6 : Calcule o comprimento dos segmentos−→BA e
−−→CD, onde os pontos foram
definidos no exemplo 9.4.
9.4 Direcao e sentido:
Dois segmentos orientados, nao nulos, AB e CD tem a mesma direcao se suas retas suportessao paralelas ou coincidentes (significando que tem a mesma inclinacao).O sentido esta relacionado a orientacao (da esquerda para a direita, da direita para aesquerda, para cima, para baixo...).
Observacao: So podemos comparar os sentidos de segmentos que posssuem a memadirecao.
Exemplo 9.7 : Um exemplo simples pode ser dado pelo conceito de velocidade de umapartıcula que se desloca ao longo de uma curva.Supondo o caso simples da curva ser retilınea, considere um ponto A que se desloca emlinha reta com velocidade de 4km/h dirigindo-se a um ponto B situado sobre a reta.
Ao conceito de velocidade no ponto A esta associado o numero real 4 (unidade: km/h), adirecao (horizontal)da reta r onde ocorre o deslocamento e o sentido de percurso (para adireita).Considere outro ponto X se deslocando sobre a mesma reta, no mesmo sentido de percursode A e com mesma taxa de variacao do espaco percorrido em relacao a unidade de tempo,4km/h.
Podemos dizer que A e X se deslocam a mesma velocidade.Se o ponto X estiver se deslocando sobre a mesma reta, mas no sentido de B para A, a4km/h, nao temos mais a mesma velocidade, pois os sentidos sao opostos.
Com esse exemplo, podemos perceber que ha conjuntos de segmentos orientados que pos-suem a mesma direcao, sentido e comprimento. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 9.8 : Represente no plano cartesiano os segmentos orientados AB, CD, EF eGH, considerando os pontos A(0, 0), B(1, 1), C(3, 3), D(4, 4), E(−4, 1), F (−3, 2) G(2,−2)e H(3,−1).
30
9.5 Vetor
Ao o conjunto de todos os segmentos orientados que possuem a mesma direcao, sentido e
comprimento de AB, damos o nome de vetor e representamos por−→AB ou −→v .
Algumas definicoes importantes:
• Vetores iguais: sao aqueles representados por segmentos equipolentes: mesma direcao,sentido e comprimento.
• Vetor nulo: e formado pelo conjunto dos segmentos nulos que sao equipolentes entresi.
• Vetores opostos: se −→v ou−→AB sao vetores, seus opostos serao: −−→v , ou
−→BA ou (−AB).
• Vetor unitario: aquele que possui comprimento de medida igual a uma unidade.
• Versor: o versor de um vetor −→v e um vetor unitario de mesma direcao e sentido que−→v .
• Vetores colineares: quando tiverem a mesma direcao e pertencerem a uma mesma retaou a retas paralelas.
• Vetores coplanares: quando pertencerem a um mesmo plano.
9.6 Vetores no R2
O ponto P (x, y) caracteriza um vetor −→v =−→OP , que tem origem na origem do sistema e
extremidade no ponto P . Assim, cada ponto P do plano e a extremidade de um vetor.
Exemplo 9.9 : represente, no plano, os vetores determinados pelos seguintes pontos:
a) −→v1 =−−→OP1, onde
−→P1 = (1, 3).
b) −→v2 =−−→OP2, onde
−→P2 = (−1, 2).
c) −→v3 =−−→OP3, onde
−→P3 = (−1,−1).
d) −→v4 =−−→OP4, onde
−→P4 = (2,−2).
31
9.7 Vetores no R3
De forma analoga, no espaco, o ponto P (x, y, z) caracteriza um vetor −→v =−→OP , que tem
origem na origem do sistema e extremidade no ponto P .
Exemplo 9.10 : represente os vetores determinados pelos seguintes pontos:
a) −→v1 =−−→OP1, onde
−→P1 = (1, 4, 2).
b) −→v2 =−−→OP2, onde
−→P2 = (−1,−3,−2).
9.8 Operacoes com Vetores
• Adicao geometrica de dois vetores: usamos a regra do paralelogramo, que consisteem tomar os vetores −→u e −→v como lados de um paralelogramo. A soma e a diagonaldo paralelogramo formado.
Exemplo 9.11 : Construa −→u +−→v e −→u −−→w , dos vetores indicados na figura a seguir.
• Adicao geometrica de tres ou mais vetores: neste caso, usamos a regra dopolıgono, que consiste em ir adicionando cada vetor na extremidade do ultimo ve-tor adicionado. Obtemos o vetor resultante unindo a origem do primeiro vetor comaextremidade do ultimo.
Exemplo 9.12 : Represente −→u + −→v + −→w e −→u − −→v − −→w , dos vetores indicados nafigura anterior.
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• Adicao de vetores: Sejam dois vetores −→u =−−→OP1 = (x1, y1) e
−→v =−−→OP2 = (x2, y2).
Definimos a soma de dois vetores como sendo:
−→u +−→v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
De forma semelhante, no R3, definimos a soma de dois vetores −→u =−−→OP1 =
(x1, y1, z1) e−→v =
−−→OP2 = (x2, y2, z2), como sendo:
−→u +−→v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
Exemplo 9.13 : dados os vetores −→u = (−1, 0, 2), −→v = (1, 2, 3) e−→w = (0,−1,−2), determine:
a) −→u +−→v b) −→v +−→w c) −→w +−→u +−→v .
• Multiplicacao de um numero real por um vetor: dado um vetor −→v e um numeroreal k = 0, dizemos que o produto −→p = k−→v e um vetor com as seguintes caracterısticas:
– a direcao de −→p e a mesma de −→v ;
– o sentido sera o mesmo de −→v se k > 0 e sera o contrario de −→v se k < 0.
Definimos o produto de k pelo vetor −→u como sendo:
k−→u = k(x1, y1) = (kx1, ky1).k−→u = k(x1, y1, z1) = (kx1 + ky1, kz1).
Exemplo 9.14 : considerando os vetores do exemplo 4, determine:a) 2−→u +−→v b) −−→v + 3−→w c) −4−→w +−2−→u .
Exemplo 9.15 : determine os seguintes vetores representados por 2−→u ; −2−→u ; 12−→v , usando
os vetores do exemplo anterior.
9.9 Exercıcios propostos
1. Determine, analıtica e geometricamente, −→u + −→v + −→w , onde −→u = (3, 5), −→v = (−1, 4)e −→w = (−2, 0).
2. Considerando os vetores indicados na figura, determine as coordenadas de um vetor−→w tal que 2−→u −−→v = −→w .
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10 Combinacao linear
Quando realizamos as operacoes da secao anterior, observamos que cada uma delas resultouem um novo vetor. Assim, dizemos que esse novo vetor e uma combinacao linear dos vetoresdados. Por exemplo, se chamarmos −→v1 o novo vetor obtido de 2−→u + −→v , temos que −→v1 ecombinacao linear de −→u e −→v :
−→v1 = 2−→u +−→v ,
onde 2 e 1 sao os escalares.De forma geral:
−→v = a1−→v1 + a2
−→v2
Exemplo 10.1 : faca a combinacao linear dos vetores −→u = (2,−1) e −→v = (6,−3):a) −→w = 2−→u − 3−→v b) −→w = 2−→u +−→v c) −→w = 3−→u −−→v .
Observacao: No terceiro exemplo, obtivemos uma combinacao linear em que os escalaressao a1 = 3 e a2 = −1, ou seja sao diferentes de zero, mas o resultado foi zero. Nesse caso,dizemos que os vetores −→u e −→v sao linearmente dependentes. Esta e a definicao que vamosdesenvolver a seguir.
10.1 Vetores linearmente independentes
Vimos anteriormente como fazer a combinacao linear de dois vetores. De forma analoga,podemos fazer a combinacao linear de n vetores. Aqui estamos interessados em observar see possıvel tornar essa combinacao linear igual a zero sem que todos os escalares sejam zero.Assim, dados n vetores −→v1 , −→v2 , −→v3 ,..., −→vn, dizemos que eles sao linearmente independentes(LI) se a combinacao linear deles for nula somente quando todos os escalares forem iguais azero:
a1−→v1 + a2
−→v2 + a3−→v3 + ...+ an
−→vn = 0a1 = a2 = a3 = a4 = ... = an = 0.
Observacao: Se algum dos escalares aj for diferente de zero, dizemos que os vetores saolinearmente dependentes (LD). Dados dois vetores, podemos determinar se eles saolinearmente dependentes de uma forma mais pratica: observando que um e combinacaolinear do outro (que tambem significa que sao colineares)
−→v1 = k−→v2obtemos assim
(x1, y1, z1) = k(x2, y2, z2) ⇒x1
x2
=y1y2
=z1z2
= k
e podemos concluir que a razao entre suas ordenadas da sempre o mesmo valor k.
Exemplo 10.2 : Verifique se os seguintes conjuntos de vetores sao linearmente dependentesou independentes:a) {(-5,3),(15,-9)}b) {(-5,3,2),(0,-1,2), (1,1,1)}
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10.2 Expressao cartesiana de um vetor
Quando escrevemos um vetor −→v como combinacao linear de um conjunto de vetores lin-earmente independentes, os escalares {aj} recebem o nome de coordenadas do vetor −→v emrelacao ao conjunto de vetores dados.Ao representarmos o vetor −→v1 = (1, 3),em exemplos anteriores, estamos usando as coorde-nadas (1,3) em relacao a um conjunto de vetores {−→u1,
−→u2}. Que conjunto e este?
(1, 3) = 1( , ) + 3( , )
Na pratica, os vetores desse conjunto sao escolhidos de forma que sejam LI’s e este conjuntoe chamado de base. Quando os vetores dessa base sao unitarios e perpendiculares entre si,dizemos que essa base e ortonormal.No R2 e no R3, a base ortonormal mais utilizada e a base canonica:
−→i = (1, 0)
−→i = (1, 0, 0)
−→j = (0, 1)
−→j = (0, 0, 1)−→k = (0, 0, 1)
Assim a expressao cartesiana de um vetor em relacao a suas coordenadas e base doespaco e expressa por:
−→v = x−→i + y
−→j , no R 2 e
−→v = x−→i + y
−→j + z
−→k , no R3.
Exemplo 10.3 : Escreva a expressao analtica dos vetores indicados na figura:
10.3 Exercıcios propostos
1. Determinar o valor de m e n para os quais os vetores −→u = (2, 3,m) e −→v = (n,−6, 2)sejam colineares.
Resposta: m = -1 e n = -4
2. Verifique se os vetores abaixo sao linearmente dependentes ou independentes:
a) −→u = (3, 4,−1) e −→v = (−1, 2, 1)b) −→u = (5, 6, 3), −→v = (2, 1, 3) e −→w = (3, 1, 4)
c) −→u = (1/3, 5/4) e −→v = (2/3, 5/2)
Resposta: a) LI b) LI c) LD
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11 Produto de vetores
Ate agora, trabalhamos somente com a adicao, subtracao de vetores e multiplicacao por umescalar. Pretendemos entao, nessa unidade, definir o produto de vetores. Vamos trabalharcom o produto escalar, o produto vetorial e o produto misto. Estes produtos de vetores temimportantes aplicacoes na Geometria e na Fısica.
11.1 Produto escalar
Dados dois vetores −→u = x1−→i +y1
−→j +z1
−→k e −→v = x2
−→i +y2
−→j +z2
−→k , ou seja, −→u = (x1, y1, z1)
e −→v = (x2, y2, z2), chamamos de produto escalar dos vetores −→u e −→v o numero real definidopor:
de onde obtemos:
−→u .−→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Exemplo 11.1 : sejam os vetores −→v1 = 3−→i − 5
−→j + 8
−→k e −→v2 = 4
−→i − 2
−→j −−→k , determine:
a) −→v1 .−→v2b) −→v1 .
−−−→−2v2
11.2 Aplicacoes do produto escalar
1. Calculo do angulo entre dois vetores Se −→u e −→v sao vetores nao nulos, entao oangulo θ formado entre os vetores sera calculado pela seguinte expressao
cos θ =−→u .−→v
|−→u ||−→v |,
onde 0 ≤ θ ≤ π. Observamos que nessa expressao vamos obter o valor do cosseno do anguloe a partir deste numero e que iremos concluir qual e o angulo θ formado entre os vetores.Assim, por exemplo, se obtivermos:
• cos θ = 1, entao o angulo θ = 0o
• cos θ = −1, entao o angulo θ = 180o
• cos θ =√3/2, entao o angulo θ = 30o
• cos θ =√2/2, entao o angulo θ = 45o
• cos θ = 1/2, entao o angulo θ = 60o
• cos θ = 0, entao o angulo θ = 90o.
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Este ultimo resultado e de fundamental importancia do produto escalar para a geome-tria, pois nos permite, de um modo muito simples, determinar se dois vetores sao ou naoperpendiculares:
−→u e −→v sao perpendicularesse, e somente se, o produto
escalar e zero: −→u .−→v = 0
Exemplo 11.2 : verifique se os vetores −→u e −→v sao perpendiculares:a) −→u = (1, 1, 4) e −→v = (−1, 2, 2)b) −→u = −2−→i + 3
−→j − 2
−→k e −→v = −−→i + 2
−→j + 4
−→k .
Exemplo 11.3 : sabendo que o vetor −→u = (2, 1,−1) forma um angulo de 60o com o vetor−→AB determinado pelos pontos A(3, 1,−2) e B(4, 0,m), calcular o valor de m.
Exemplo 11.4 : provar que o trianguloABC, de verticesA(2, 3, 1) , B(2, 1,−1) e C(2, 2,−2)e um triangulo retangulo.
Exemplo 11.5 : dados os vetores −→v =−→i − 2
−→j + 2
−→k e −→u = c
−→k −−→i , determine o valor
de c para que os vetores sejam perpendiculares.
2. Calculo do trabalho A aplicacao fısica mais simples do uso do produto escalar efornecida pelo conceito de trabalho. Lembramos que o trabalho W realizado por uma forcaconstante F exercida ao longo da trajetoria de uma partıcula numa distancia d e dado por
W = Fd (2)
Mas se a forca for um vetor constante−→F apontando em alguma direcao (e sentido) diferente
da linha de movimento de P a Q, determinamos o trabalho por
Exemplo 11.6 : calcule o trabalho realizado pela forca−→F = 2
−→i − 5
−→j + 3
−→k , quando seu
ponto de aplicacao move-se de P a Q, onde P = (1, 2,−2) e Q = (3,−1, 1).
3. Projecao de um vetor Sejam os vetores −→u , −→v , nao-nulos, e o angulo θ entre eles.Pretendemos calcular o vetor −→w que representa a projecao de −→u sobre −→v . A figura a seguirilustra as duas situacoes possıveis, podendo ser θ um angulo agudo ou um angulo obtuso.
37
O vetor −→w , que e a projecao de −→u sobre −→v , e determinado pela seguinte expressao
−→w =(−→u .−→v|−→v |2
)−→vExemplo 11.7 : determine a projecao pedida considerando os vetores −→u = (2, 3, 4) e−→v = (1,−1, 0)a) −→w1 e a projecao de −→u sobre −→vb) −→w2 e a projecao de −→v sobre −→u .
Exemplo 11.8 : sejam os pontos A(1, 2,−1), B(−1, 0,−1) e C(2, 1, 2), pede-se: a) mostrarque o triangulo ABC e retangulo em A;b) calcular a medida da projecao do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
11.3 Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores −→u , −→v e −→w e o escalar m, o produto escalar apresenta asseguintes propriedades:
1. −→u .−→v > 0
2. −→u .−→u = 0, somente se −→u = 0
3. −→u .−→v = −→v .−→u (e comutativa)
4. −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w (e distributiva em relacao a adicao)
5. (m−→u ).−→v = m(−→u .−→v ) = −→u (m−→v )
6. −→u .−→u = |−→u |2
Exemplo 11.9 : escolha vetores do R2 e verifique as propriedades acima. Repita o proced-imento, escolhendo agora vetores do R3.
11.4 Exercıcios Propostos
1. Determine o produto escalar entre os vetores dados e conclua se o angulo entre osvetores e agudo, obtuso ou reto:
a) −→u = (1, 4,−3) e −→v = (−1, 2, 0)b) −→m = (7, 3, 5) e −→n = (−8, 4, 2)c) −→r = (4, 1, 6) e −→s = (−3, 0, 2).
2. Sejam os pontos A(1, 2,−1), B(−1, 0,−1) e C(2, 1, 2), mostrar que o triangulo ABCe retangulo em A.
3. Determine o angulo, dois a dois, dos seguintes vetores −→v = (1, 2, 3),−→t = (−5, 1, 1) e
−→w = (0, 0, 1).
38
12 Produto Vetorial e Misto
Muitos problemas de Geometria recaem na determinacao de um vetor simultaneamente per-pendicular a dois vetores dados −→u e −→v (figura ??).
Uma das formas usuais para determinar este vetor e o produto vetorial de −→u e −→v ,denotado por −→u ×−→v . O produto vetorial e muito diferente do produto escalar −→u .−→v . Bastauma distincao: −→u ×−→v e um vetor, enquanto −→u .−→v e um numero.Vamos entao, inicialmente, definir esse novo produto, depois descreve- remos suas pro-priedades e algumas aplicacoes.
Assim, dados os vetores −→u = x1−→i + y1
−→j + z1
−→k e −→v = x2
−→i + y2
−→j + z3
−→k , o produto
vetorial e definido por
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
x1 y1 z1x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣ .Exemplo 12.1 : dados os vetores −→w = (5, 4, 3) e −→v =
−→i +−→k , determine:
a) −→u ×−→v b)−→v ×−→u .
12.1 Aplicacoes do produto vetorial
1. Calculo do vetor perpendicular Como vimos na introducao inicial de produto vetorial,o produto −→u ×−→v define um novo vetor −→w que e perpendicular tanto a −→u , quanto a −→v .
Exemplo 12.2 : a) determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores −→u =(2,−6, 3) e −→v = (4, 3, 1);b) verifique que o novo vetor obtido e realmente ortogonal aos vetores −→u e −→v .
Exemplo 12.3 : determine um vetor unitario, simultaneamente orto- gonal aos vetores−→u = 2
−→i − 6
−→j + 3
−→k e −→v = 4
−→i + 3
−→j + z
−→k .
2. Calculo da area do paralelogramo Geometricamente, o modulo do produto vetorial−→u ×−→v mede a area do paralelogramo ABCD, cujos lados sao formados pelos vetores−→u =
−→AB e −→v =
−→AC.
39
A partir dessa expressao, tambem podemos determinar a area do triangulo ABC, pois elerepresenta a metade do paralelogramo, conforme mostrado na figura (?? b).
Exemplo 12.4 : dados os vetores −→u = (1, 2,−1) e −→v = (0,−1, 3), determine:a) a area do paralelogramo determinado por −→u e −→v ;b) a area do paralelogramo definido pelos vetores 3−→u e −→v −−→u ;c) a area do triangulo determinado pelos vetores −→u e −→v ;d) a area do triangulo determinado pelos vetores −→u e −−→v .
Exemplo 12.5 : calcule a area do triangulo de verticesA(1,−2, 1), B(2,−1, 4) e C(−1,−3, 3).
Exemplo 12.6 : sejam os vetores −→u = 3−→i +−→j −−→k e −→v = a
−→i + 2
−→k , calcular o valor de
a para que a area do paralelogramo determinado por −→u e −→v seja igual a 2√6.
3. Verificando se os vetores sao paralelos Dois vetores −→u e −→v sao paralelos, oucolineares, se obtivermos
−→u ×−→v = 0.
Exemplo 12.7 : determine se os vetores a seguir sao ou nao colineares:a) −→v = (2,−3, 0) e −→u = (−1, 4,−2)b) −→v1 = (2,−1, 0) e −→v2 = (3, 1, 2)
c) −→u = 3−→i +−→j + 2
−→k e −→v = 7
−→i −−→j + 2
−→k
12.2 Propriedades do produto vetorial
Algumas dessas propriedades ja vimos anteriormente, no entanto, vamos apenas formaliza-las nessa secao. Observemos, tambem, que algumas propriedades do produto vetorial estaointimamente relacionadas com propriedades dos determinantes.
1. −→u ×−→u = 0, para qualquer que seja o vetor −→u .
2. −→u ×−→v = −−→v ×−→u .
3. −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w .
4. (m−→u )×−→v = m(−→u ×−→v )
5. −→u ×−→v = 0 se, e somente se, um dos vetores e nulo, ou se os vetores sao colineares.
6. −→u ×−→v e ortogonal simultaneamente aos vetores −→u e −→v .
40
12.3 Produto Misto
Dados os vetores −→u = (x1, y1, z1),−→v = (x2, y2, z2) e −→w = (x3, y3, z3), definimos o produto
misto dos vetores −→u , −→v , −→w por
(−→u ,−→v ,−→w ) =
∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣ .O produto misto e um numero e tambem podemos denota-lo por −→u .(−→v ×−→w ).
12.4 Aplicacoes do produto misto
1. Verificando se os vetores sao coplanares Os vetores −→u = (x1, y1, z1),−→v = (x2, y2, z2)
e −→w = (x3, y3, z3) sao coplanares se obtivermos
(−→u ,−→v ,−→w ) = 0
Exemplo 12.8 : dados os vetores−→u = (2, 3, 5), −→v = −−→i +3−→j +3
−→k e−→w = 4
−→i −3−→j +2
−→k ,
determine:a) −→v ×−→wb) −→u .(−→v ×−→w )c) se os vetores sao coplanares.
2. Calculo do volume do paralelepıpedoGeometricamente, o produto misto (−→u ,−→v ,−→w )e igual, em modulo, ao volume do paralelepıpedo cujas arestas sao determinadas pelos vetores−→u =
−→AB, −→v =
−−→AD e −→w =
−→AC, conforme mostra a figura a seguir
A partir dessa expressao, tambem podemos calcular o volume do tetraedro, pois todoparalelepıpedo equivale a dois prismas triangulares iguais e cada prisma equivale a trespiramides (que sao os tetraedros).Assim
41
Exemplo 12.9 : calcular o volume do tetraedro e do paralelepıpedo cujos vertices sao ospontos A(1, 2, 1), B(7, 4, 3), C(4, 6, 2) e D(3, 3, 3).
Exemplo 12.10 : dados −→u = x−→i + 5
−→j , −→v = 3
−→i − 2
−→j +
−→k e
−→w = (1, 1,−1), calcular o valor de x para que o volume do paralelepıpedo, determinado por−→u , −→v e −→w , seja 24.
12.5 Exercıcios propostos
1. Sao dados os pontos A(1, 2, 0), B(3, 0, 1) e C(4, 1, 0). Calcule a area do triangulo ABC.
2. Sejam A(1, 2,−1), B(5, 0, 1), C(2,−1, 1) e D(6, 1,−3), vertices de um tetraedro. Cal-cular:
a) o volume do tetraedro;
b) a altura relativa ao vertice D.
3. Determinar o valor de k para que os vetores −→u = (3, 1, 4), −→v = (2, k, 0) e −→w = (1, 1, 5)sejam coplanares.
13 Equacoes da reta
Tendo estudado a definicao e algumas operacoes envolvendo vetores, vamos agora utilizaresse conhecimento para determinar a representacao analıtica de retas e planos no espaco, ouseja, determinar suas equacoes.Comecamos com o estudo das retas. Observe na figura tres maneiras de obter a repre-sentacao geometrica de uma reta:
• como o suporte do segmento que une dois pontos (a)
• como a interseccao de dois planos (b)
• ou como a reta que passa por um ponto e tem uma direcao especificada (c).
13.1 Equacao vetorial
A terceira maneira envolve a nocao de direcao, assim, aqui podemos usar o que estudamossobre vetores. Suponha que r seja a reta no espaco que passa pelo ponto A(a1, a2, a3) e eparalela a um dado vetor nao-nulo −→v = (v1, v2, v3).Para que um outro ponto P (x, y, z) pertenca a esta mesma reta e preciso que os vetores−→AP e −→v sejam colineares, ou seja, que
−→AP seja um multiplo escalar de −→v :
42
−→AP = t−→v .
Esta e a equacao vetorial da reta, o numero t e chamado parametro e quando varia de− ∝ a ∝, o ponto P descreve toda a reta.
Exemplo 13.1 : a) Determine a equacao vetorial da reta r que passa pelos pontosA(3, 0,−5)e B(1, 0, 1).
13.2 Equacao parametrica da reta
Partindo da equacao vetorial da reta e usando a igualdade entre vetores, obteremos asequacoes parametricas da reta (equacoes que descrevem as ordenadas em cada eixo).
Assim, escrevendo a equacao vetorial−→AP = t−→v ⇒ P = A + tv ⇒ (x, y, z) = (a1, a2, a3) +
t(v1, v2, v3) e igualando as ordenadas, obtemosx = a1 + tv1y = a2 + tv2z = a3 + tv3
que sao as equacoes parametricas da reta.
Exemplo 13.2 : Obtenha as equacoes parametricas da reta do exemplo dado anterior-mente.
13.3 Equacoes simetricas da reta
Partindo das equacoes parametricas da reta, se isolarmos o parametro t em cada uma dasequacoes, obtemos
x− a1v1
=y − a2v2
=z − a3v3
.
Estas equacoes sao denominadas equacoes simetricas de uma reta que passa pelo ponto(a1, a2, a3) e tem a direcao do vetor (v1, v2, v3).
Exemplo 13.3 : Obtenha as equacoes simetricas da reta do exemplo dado anteriormente.
13.4 Equacoes reduzidas da reta
A partir das equacoes simetricas da reta, pode-se dar outra forma, isolando as variaveis y ez, expressando-as em funcao de x:
- igualamos as expressoes de x e de y e usamos as propriedades da proporcao:
x− a1v1
=y − a2v2
(x− a1)v2 = (y − a2)v1
y = ........................................... (3)
- igualamos as expressoes de x e de z e usamos as propriedades da proporcao:
x− a1v1
=z − a3v3
(x− a1)v3 = (z − az)vz
z = ...........................................
43
Exemplo 13.4 : Expresse as equacoes reduzidas da reta do exemplo anterior.
13.5 Exercıcios propostos
1. Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:
a) { x+ 1
3=
z − 3
4y = 1
b) {x = 2yz = 3
c) x = 2ty = −1z = 2− t
d) {y = 3z = −1
e) {y = −xz = 3 + x
f) x = y = z
2. Representar graficamente a reta x = −1 + ty = 5t− 10z = 9− 3t
14 Trabalhando com as equacoes da reta
Tendo estudado como definimos uma reta no plano ou no espaco, vamos agora resolver algunsexemplos.
Exemplo 14.1 : a) Determine a equacao vetorial da reta r que passa pelo ponto A(−3, 1, 2)e B(−1, 0, 2).b) verifique se o ponto P (−3, 2, 3) pertence a esta reta r;c) determine quais sao os pontos dessa reta r quando t = 0, t = −1 e t = 4.
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Exemplo 14.2 : Considere o ponto P (3,−1, 2) e o vetor diretor −→v = −2−→j +−→k :
a) determine a equacao vetorial da reta;b) determine as equacoes parametricas da reta;c) determine o ponto da reta quando t = 3;d) verifique se o ponto P1(−9,−9, 6) pertence a reta;e) determine as equacoes simetricas dessa reta.
Exemplo 14.3 : Uma reta L passa pelos pontos P0(3,−2, 1) e P1(5, 1, 0).a) Determine as equacoes parametricas, vetorial e simetricas dessa reta.b) Determine os pontos em que a reta intercepta os planos coordenados.
Exemplo 14.4 : Expresse as equacoes reduzidas da reta do exemplo anterior.
Exemplo 14.5 : Apresente, analıtica e geometricamente, a solucao dos seguintes sistemaslineares
a)
{x+ 2y + z = −15y − 2z + 4x = −1
b)
2x+ y + 11w = 2x+ 3w = 12x+ z + 4w = −2
Exemplo 14.6 : como sera a representacao grafica de um sistema com tres variaveis emque
a) pa = pc = 2?b) pa = pc = 3?
14.1 Exercıcios propostos
1. Em que ponto a reta que passa por A(2, 3, 4) e B(1, 0,−2), intercepta o plano xy?
2. Resolva os seguintes sistemas e represente graficamente sua solucao:
a) 3x+ z = 0x− 4y + z = −6−2y − z = −7
b) 4x+ y + z − 9w = 56x+ 3y − 15w = −32x+ y + z − 5w = 3
Respostas dos exercıcios propostos
1. (43 , 1, 0
2. a) (-1, 2, 3)
b) x = 1 + 2ty = −3 + tz = 4
