MAT_7ANO

CADERNO

COMPLEMENTAR

Matemática 7° ano do Ensino Fundamental

COLÉGIO MILITAR DE MANAUS

SEÇÃO DE ENSINO A DISTÂNCIA

Produção

CÉSAR AUGUSTO PEREIRA COSTA

Coordenação Pedagógica

Robson Santos da Silva

Marnice Oliveira da Silva

Edson Maia

Design Instrucional

Robson Santos da Silva

Design Gráfico

Wancley Garcia Santos

Design Web

Adolfo de Oliveira Franco

Revisão

Marnice Oliveira da Silva

Cleber de Souza Bezerra

COLÉGIO MILITAR DE MANAUS

Seção de Ensino a Distância

Rua José Clemente, 157- Centro – Manaus - AM

CEP 69010-070

Brasil

Tel / Fax: +55 92 36224976 – 92 36333555

E-mail: [email protected]

Website: www.ead.cmm.ensino.eb.br

Apresentação

A matemática é a disciplina mais antiga utilizada antes mesmo dos inícios de concepção de

ciência. Desde a época das cavernas quando as pessoas ainda se utilizavam de marcações nas paredes e

em ossos para contar alguns elementos necessários para sua sobrevivência.

Hoje, o objeto de estudo da matemática é alvo de discussão de inúmeros matemáticos, porém

podemos citar alguns dos objetos desta ciência em âmbito micro como números, aritmética, conjuntos,

álgebra, geometria, desenho, estatística, probabilidades, entre outros.

A modalidade de ensino à distância exige do aluno muita disciplina nos estudos. Para estudar

matemática sugere-se que leia atentamente a apostila, recorrendo a dicionários, ao caderno

complementar, ao ambiente virtual de aprendizagem e outras fontes quando surgirem dúvidas. Além,

disso faça os exercícios conferindo com os gabaritos e na dúvida consulte o professor através de uma

das formas de contato dadas posteriormente neste caderno.

Lembre-se que, mesmo a modalidade em que você estuda seja o Ensino à Distância existem

formas de diminuir as dificuldades e sanar as dúvidas, por isso, quando precisar, estamos à disposição

para poder ajudá-lo e tentar fazer a aprendizagem de matemática se tornar mais efetiva e prazerosa.

CÉSAR AUGUSTO PEREIRA COSTA

Tutor de Matemática do E. Fundamental

Conteúdo Programático

1o. Bimestre

Unidade I - O CONJUNTO “Z” Unidade I - O CONJUNTO “Z”

- Conceitos e propriedades;

- Operações em “Z”;

- Expressões numéricas.

- Conceitos e propriedades;

- Operações em “Z”;

- Expressões numéricas.

2o BIMESTRE

Unidade III - EQUAÇÃO DO 1 GRAU COM UMA VARIÁVEL

Unidade IV - INEQUAÇÕES DO 1 GRAU

- Introdução ao cálculo algébrico;

- Equações do 1° grau;

- Problemas do 1º grau com uma variável.

- Ineqüações do 1 grau com uma variável;

Unidade V - EQUAÇÃO DO 1 GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

- Sistema de Coordenadas Cartesianas;

- Equação do 1 grau com duas variáveis.

3o BIMESTRE

Unidade V - EQUAÇÃO DO 1 GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

Unidade VI - GRANDEZAS PROPORCIONAIS

- Sistemas de equações do 1 grau com duas variáveis;

- Problemas do 1 grau com duas variáveis.

- Razões;

- Proporções;

- Números diretamente proporcionais;

- Números inversamente proporcionais.

4º BIMESTRE

Unidade VI - GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Unidade VII - INTRODUÇÃO À GEOMETRIA

- Regra de três simples;

- Regra de três composta;

- Porcentagem;

- Juros simples;

- Médias;

- Estatística e gráficos.

- Ângulos;

- Medidas de um ângulo;

- Operações com medidas de ângulos;

- Ângulos congruentes;

- Ângulos complementares e ângulos suplementares.

Sumário

Caderno Complementar de MATEMÁTICA

Como esse documento é estruturado .....................................................................................................7

Resumo do Curso

Visão Geral .............................................................................................................................................. 8 Resultados da disciplina........................................................................................................................... 8 Calendário................................................................................................................................................ 8 Habilidades do estudo.............................................................................................................................. 9 Precisa de Ajuda?..................................................................................................................................... 9

Atribuições.............................................................................................................................................. 10

Avaliações.............................................................................................................................................. 10

Localização

Simbolos e ícones...................................................................................................................................11

Unidade 1

O conjunto Z .............................................................................................................................................12 Números positivos e números negativos...................................................................................................13 O conjunto dos números inteiros...............................................................................................................14 Representação geométrica do conjunto dos números inteiros...................................................................17 Operações com números inteiros...............................................................................................................21

Multiplicação e propriedades da multiplicação de números inteiros.........................................................25

Gabarito....................................................................................................................................................34

Unidade 2

O conjunto Q ............................................................................................................................................37 Conjunto dos númros racionais.................................................................................................................38 Operações com números racionais............................................................................................................39 Gabarito.....................................................................................................................................................53

Unidade 3

Equação polimonial do 1º grau com uma incógnita..................................................................................54 Introdução ao cálculo algébrico................................................................................................................55 Resolução das equações polimoniais do 1º grau.......................................................................................57 Gabarito.....................................................................................................................................................60

Unidade 4

Equação polinomial do 1º grau com duas incógnitas...............................................................................61 Conceitos e propriedades..........................................................................................................................62 Sistemas de equações polimoniais do 1º grau com duas incógnitas.........................................................67 Gabarito....................................................................................................................................................72

Unidade 5

Inequação polinomiais do 1º grau.............................................................................................................73 Resolução de inequeções polinomiais do 1º grau com uma incógnita......................................................74 Gabarito.....................................................................................................................................................82

Unidade 6

Proporcionalidade......................................................................................................................................83 Razões e proporções..................................................................................................................................84 Grandezas proporcionais...........................................................................................................................98 Porcentagens e juros simples....................................................................................................................102

Gabarito....................................................................................................................................................109

Unidade 7

Geometria plana..............................................................................................................................,..........110 Ângulos, definições, unidade de medida e classificação...........................................................................111 Operações com medidas de ângulos..........................................................................................................127 Gabarito.....................................................................................................................................................131

Unidade 8

Noções de estatística.................................................................................................................................132 Medidas aritmética simples e ponderada..................................................................................................133 Moda e mediana........................................................................................................................................134 Gráficos.....................................................................................................................................................135 Gabarito.....................................................................................................................................................143

Matemática

7

Sobre este Caderno Complementar Este material foi produzido pela Seção de Ensino a Distância com base

nos Planos de Estudo e Planos de Disciplina do Sistema Colégio Militar

do Brasil. Seu objetivo é ampliar e integrar os conteúdos constantes das

apostilas e livros didáticos das áreas de estudo / disciplinas.

Como este material está estruturado

O Caderno se encontra dividido em unidades. Nelas, podem ser

apresentados:

Textos de Apoio.

Glossários.

Explicações.

Dicas de leituras e sites.

Recordação dos temas abordados.

Respostas das atividades.

Exercícios.

Gabarito dos exercícios.

Recursos

Para um melhor desenvolvimento dos estudos, este material se integra a

outras mídias e tecnologias com destaque para: livros, artigos, websites,

ambientes 3D, ambientes virtuais de aprendizagem, CDRom e DVD.

Matemática O Conjunto “Z”

8

Visão geral do Caderno

Matemática 7º Ano do Ensino Fundamental O conteúdo de matemática do 7º ano é muito necessário tanto para o uso

no dia-a-dia quanto como base para os conteúdos de todas as séries

posteriores por isso, procure entender o que está sendo trabalhado nesta

série utilizando todos os recursos possíveis.

Resultados da disciplina

Ao concluir o estudo do Caderno:

Aplicar as propriedades operatórias dos números inteiros e dos

números racionais.

Resolver situações-problema envolvendo equações e inequações

polinomiais do 1o grau.

Analisar grandezas proporcionais.

Operar com medidas de ângulos.

Aplicar as medidas de tendência central a um rol de valores.

Construir gráficos estatísticos.

Calendário

Consulte o calendário do Curso que se encontra no CADERNO DE

INFORMAÇÕES DO ALUNO. Você pode ter acesso ao mesmo

consultando a versão impressa enviada juntamente com o material didático,

o CD do aluno ou o Portal: www.ead.cmm.ensino.eb.br – link: Downloads.

Matemática

9

Habilidades do estudo

Saber como estudar é fundamental para que você possa realizar um bom

curso. Para ajudá-lo nessa caminhada, preparamos para você o GUIA DE

ESTUDOS DO ALUNO. Você pode ter acesso ao mesmo consultando a

versão impressa enviada juntamente com o material didático, o CD do aluno

ou o Portal: www.ead.cmm.ensino.eb.br – link: Downloads.

Precisa de Ajuda?

Para entrar em contato com o seu tutor, você poderá utilizar os seguintes

meios:

- Ambiente Virtual de Aprendizagem: via caixa de mensagens.

- E-mail: [email protected]

- Skype: matefcmm

- Correio conforme endereço constante do Caderno de Informações.

- Telefone / FAX: (92) 36224976 / (92) 36333382.


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Atribuições

O Caderno de Informações do Aluno contém todas as instruções relativas a

cada um dos participantes do processo de ensino aprendizagem do Curso

Regular de Ensino a Distância do Colégio Militar de Manaus. A você, aluno

(a), cabe estudar com afinco aproveitando ao máximo os recursos

disponibilizados. Fique de olho, converse com seus pais e orientadores.

Contamos com sua participação efetiva.

Avaliações

Nossa disciplina é anual e se encontra dividida em 04 bimestres. Em cada

bimestre, você terá uma avaliação parcial (AP) e uma avaliação de estudo

(AE). No entanto, lembramos que trabalhos complementares podem ser

solicitados.

A data para realização e remessa das avaliações para o CMM constam do

Caderno de Informações e deverão ser seguidas com muita atenção.

Lembrando, ainda, que as AP possuem formato de trabalho e podem ser

realizadas em casa. No entanto, as AE deverão ser realizadas, no caso dos

alunos na Amazônia, nas organizações militares de apoio.

Matemática

11

Símbolos e Ícones Ao consultar os materiais didáticos do CREAD, você observará

ícones e figuras. O objetivo é permitir que, rapidamente, você

possa identificar uma informação, conteúdo, tarefa ou avaliação a

realizar. É interessante se familiarizar com cada um deles antes

de iniciar os seus estudos.

Atividade / Exercício

Avaliação Atribuição Atividade de Pesquisa

Calendário Atividade de grupo

Fale com seu tutor

Informações no AVA

Dicas de Filmes, músicas, leituras

Atenção / “Fique de Olho”

Para refletir Atribuições

Perfil Participantes Fórum Atenção para o tempo

Glossário Entre em contato

Observe a Unidade / Capítulo

Resultados


12

Unidade 1

O Conjunto “Z”

Introdução

Nesta unidade introduziremos uma nova classe de números bastante utilizada no nosso

dia a dia. Classe essa que levará ao surgimento de um novo conjunto numérico

denominado Conjunto dos Números Inteiros.

Ao concluir esta unidade, utilizando o livro o caderno

Resultados

Associar os números negativos à expressões (a – b),

nas quais a e b N , sendo a b.

Classificar o conjunto Z.

Verificar que N Z.

Reconhecer os subconjuntos naturais de Z (Z+, Z-,

Z*+, Z*-, Z*).

Representar na reta numérica o conjunto Z.

Determinar o simétrico de um número inteiro.

Determinar o módulo de um número inteiro qualquer.

Comparar dois ou mais números inteiros.

Enunciar a propriedade do elemento oposto na adição.

Identificar soma algébrica.

Determinar a diferença de dois número inteiros

quaisquer pela adição do simétrico.

Explicar que, na diferença em Z, vale a propriedade

fechamento.

Reconhecer que as propriedades da multiplicação em

N são válidas em Z.

Efetuar divisões de números inteiros.

Efetuar a potenciação de números inteiros.

Reconhecer que as propriedades da potenciação nos

números naturais são válidas nos números inteiros.

Definir raiz quadrada aritmética de um número.

Calcular raiz quadrada de números quadrados

perfeitos.

Efetuar radiciação de números inteiros.

Resolver expressões numéricas com números inteiros

que envolvam as operações estudadas e os símbolos

de associação (adição, subtração, multiplicação,

divisão exata e potenciação de números inteiros).

Matemática

13

1.1 Números positivos e números negativos

Numa região monhanhosa, aconteceu o seguinte:

durante o dia, o termômetro marcou 5 graus acima

de zero; durante a noite, marcou 5 graus abaixo de

zero.

As duas temperaturas são de 5 graus, mas elas não

são iguais.

A temperatura de 5 graus acima dde zero é indicada

pelo é indicada pelo número -5 (menos cinco ou

cinco negativo).

O número -5 não é um número natural. Dizemos que -5 é um número

negativo. Quanto ao número natural 5, dizemos que é um número positivo. O número 5

também é indicado por +5. Os números positivos e os negativos são újteis para

expressar medidas, como as de temperaturas.

Altitudes

Considera-se que a altitude zero é a do

nível do mar. Existem altitudes maiores que

zero. Por exemplo, a cidade de São Paulo está

localizada a uma altitude de +800m. Isso

significa que ela está 8900 metros acima do

nível do mar. Também existem altitudes

menores que zero. O vale da morte, um lugar

desético dos Estados Unidos (figura 2), tem

altitude -86m, ou seja, está 86 metros abaixo

do nível do mar.

Saldo Bancário

Muitas pessoas têm cheque especial. Com ele, as pessoas podem retirar do banco

mais dinheiro do que elas possuem em suas contas. Poisso, essas contas podem ter

saldo positivo(por exemplo, R$500,00), negativo (por exemplo-R$200,00) ou zero. A

pessoa fica com saldo negativo quando retira do banco mais dinheiro do que possui.

Se tem R$300,00 e retira R$450,00, ela fica com saldo negativo (-R$150,00). A frase

tem 300, retira 450, fica com -150 pode ser resumida com o uso de símbolos

matemáticos:

150450300

Figura 1-Região montanhosa

Figura 2-vale da morte (USA), 85 metros

abaixo do nível do mar.


14

1.2. O Conjunto dos números inteiros

Você já estudou o conjunto dos números naturais. é

representado pelo símbolo N.

Temos então:

N=0, 1, 2, 3, 4, 5,...

As reticências indicam que a sequência dos números naturais é

infinita.

Para cada número natural diferente de zero, vamos imaginar um

número negativo correspondente: -1, -2, -3, -4, -5, etc. A reunião

entre todos os números naturais e os números negativos formam o

conjunto dos números inteiros, indicado pelo símbolo ℤ (zê).

Observe que todo número natural pertence ao conjunto dos números inteiros. O conjunto

N, portanto, está contido no conjunto ℤ, ou seja, ℤ (lê-se está contido em ℤ).

Subconjuntos de ℤ

A seguir, destacaremos alguns importantes subconjuntos de ℤ e suas representações.

Números naturais:

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

Números inteiros não nulos:

ℤ* = ..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...

Números inteiros não negativos:

ℤ+ = 0, 1, 2, 3, 4,...

Números inteiros não positivos:

ℤ- =..., -4, -3, -2, -1, 0

Números inteiros positivos:

ℤ+*= 1, 2, 3, 4, 5,...

Números inteiros negativos:

ℤ-*=-5,-4,-3,-2,-1

Algumas observações importantes:

1. Podemos dispensar o uso do sinal + antes dos números inteiros positivos. Exemplos:

+12=12 +15=15 +9=9 +2=2

2. O asterisco que acompanha o símbolo dos conjuntos acima listados indica que o zero não

pertence a esses conjuntos. Exemplos:

N* =0, 1, 2, 3, 4, 5,... ℤ* = ...,-3, -2, -1, 1, 2, 3,...

3. O conjunto ℤ+ é igual ao N: ℤ+ = N

4. N é um subconjunto de ℤ: N ℤ

Matemática

15

1) Eis algumas informações:

O gelo vira água a uma temperatura de 0 grau.

A água ferve a uma temperatura de 100 graus acima de zero.

O corpo humano mantém uma temperatura de 36 graus acima de zero.

Um congelador doméstico (freezer) mantém uma temperatura de 18 graus abaixo de zero.

Indique cada uma dessas temperaturas, usando números positivos, negativos ou nulos.

Você deve ter notado que, de modo geral, os números negativos estão sempre relacionados a

certas expressões, como antes de, abaixo de, à esquerda de e outras. Já os números positivos

estão relacionados às situações opostas, como depois de, acima de, à direita de e outras.

Convide alguns colegas, para resolverem estas questões com você. Em cada item, um de vocês

diz qual é o número correspondente e se ele é positivo ou negativo. Os demais conferem a

resposta e todos anotam o resultado no caderno.

a) 20 metros acima do nível do

mar.

b) Uma dívida de R$ 100,00.

c) 3

52 para trás.

d) 457 metros para a direita.

e) Descer 12 degraus.

f) Ano 25 antes de Cristo (25 a.C.).

g) Ganhar R$ 6,20.

h) 8ºC abaixo de zero.

i) Ficar parado.

j) Avançar 2

1m.

l) Débito de R$ 40,00.

m) Crédito de R$ 65,00.

n) 21,5 metros abaixo do nível do

mar.

o) Recuar 6 metros.

p) lucro de R$ 200,00.

q) Prejuízo de R$ 50,00.

2) Em alguns campeonatos de futebol, quando dois ou

mais times estão com o mesmo número de pontos,

recorre-se ao saldo de gols como critério de

desempate. Veja a classificação do campeonato

paulista de 2001 após a realização de quatro rodadas.

O saldo de gols do Rio branco é +5, porque o time

marcou 12 gols e sofreu 7 gols, isto é, marcou 5 gols a

mias do que sofreu. O saldo de gols do Corinthians é -

2 porque ele marcou 7 e sofreu 9, isto é, sofreu 2 gols a

mais do que marcou. Observe os dados que faltam na

tabela e responda em seu caderno.

Compreendendo o que você estudou


16

a) Qual é o saldo de gols da Ponte preta?

b) Qual é o saldo da Inter?

c) Porque o saldo do Botafogo é zero?

d) Quantos gols marcou o Palmeiras?

e) Quantos gols marcou o São Paulo?

f) Que time está com o melhor saldo: Santos ou Matonense?

g) Que time está com melhor saldo: Portuguesa Santista ou Palmeiras?

3) De acordo com o que foi estudado, coloque (V) se a afirmação for verdadeira, ou (F) se for falsa:

a) Todo número natural é um número inteiro, porém, nem todo número inteiro é natural. ( )

b) A divisão entre dois números inteiros é sempre um número inteiro. ( )

c) A adição de dois números inteiros nem sempre resultará em um número inteiro. ( )

d) O time A de futebol, em um campeonato regional de futebol, fez 23 gols e sofreu 27. Nesse

caso o saldo de gols do time „A‟ será positivo. ( )

4) O lugar mais alto da Terra é o poico do Everest, na Ásia: 8848 m acima do nível do mar. O lugar

mais baixo é a fossa de Mindanao, no oceâno Pacífico, cerca de 11500 m abaixo do nível do mar.

a) Represente essas altitudes, usando números positivos ou negativos.

b) Quantos metros o Everest é mais alto que a fossa de Mindanao?

Matemática

17

1.5 Representação geométrica do conjunto dos números inteiros

Podemos representar os números inteiros através de uma reta numérica. Nessa

reta, chamanos de origem o ponto onde se localiza o número zero.

Usando uma mesma unidade de comprimento, assinalamos pontos consecutivos

à direita da origem e, para cada ponto, fazemos corresponder um número inteiro

positivo.

Repetimos o mesmo procedimento para pontos situados à esquerda da origem,

aos quais fazemos corresponder os números negativos.

1.6 Números inteiros opostos ou simétricos.

Dois números inteiros são opostos quando são representados por pontos que estão à

mesma distância do zero, mas de lados opostos na reta. Quando dois números inteiros são

opostos dizemos também que eles são simétricos. Por exemplo:

O simétrico de -7 é 7.

O simétrico de 15 é -15.

O simétrico de 0 é o próprio 0.

1.7 Módulo de um número inteiro

Chamamos de módulo de um número inteiro a distância desse número ao zero na reta dos

inteiros. Por exemplo, para encontrarmos o módulo de -4, procuramos na figura a distância de

-4 a 0.

Então, o módulo de -4 é igual a 4: 44

Outros exemplos:

55

1111

00

1.8 Comparação de números inteiros e de seus módulos

Comparar dois números consiste em verificar se um deles é maior, menor ou igual ao

outro. De modo semelhante ao processo utilizado na comparação de números naturais,

podemos afirmar que:

Dados dois números inteiros quaisquer, o menor deles será aquele que estiver à esquerda do

outro na reta numerada.


18

Vamos, por exemplo, ordenar os números inteiros -3, -15, +5, 0 e -25 em ordem

crescente, ou seja, do menor para o maior. Como já foi citado acima, menor será o número

inteiro que estiver mais à esquerda na reta numérica, logo, -25 é o menor número dentre todos

acima citados. Logo após, à direita de -25 vem -15, em seguida -3, depois 0 e finalmente +5.

Vamos então à sequência correta: -25, -15, -3, 0 e +5.

Para comparar dois números inteiros podemos também utilizar os símbolos < (menor que)

e > (maior que). Vejamos alguns exemplos:

-12 > -20, pois, -12 está à direita de -20.

+4 < +15, pois, +4 está à esquerda de +15.

Comparar módulos é o equivalente a comparar números inteiros positivos, uma vez que

módulo é distância e, como tal, deverá sempre ser positivo. Vejamos alguns exemplos:

73 , pois, -3<-7 1325 , pois, 25>13

É necessário porém, atentarmos para algumas situações, principalmente quando há um

sinal externo à indicação de módulo. Vejamos outros exemplos:

413 , pois, -13<4 (observe que o sinal negativo externo influencia na

comparação dos módulos).

1.9 Dicas de Livros, Filmes, Sites e vídeos

Que tal aprender um pouco mais? Acesse o link abaixo e conheça mais sobre os

números inteiros:

http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/matematica-ef/numeros-inteiros.php

Matemática

19

1) No calendário cristão, o nascimento de Cristo é considerado o marco zero (0). Os fatos

acontecidos antes de Cristo têm os anos indicados pela sigla a.C. ou com o sinal de menos (-). São,

por isso, considerados números negativos. Já os fatos acontecidos depois de Cristo têm os anos

indicados com d.C. ou com o sinal de +, ou sem sigla nem sinal. São números positivos. Examine o

diagrama abaixo, conhecido por linha do tempo:

Copie a reta graduada r em seu caderno, coloque nela os seguintes pontos, que indicam algumas

datas importantes da época do Império Romano:

a) A: +325 – O cristianismo torna-se religião oficial.

b) B: -509 – Fundação da República.

c) C: +395 – Divisão do Império em duas partes: Império Romano do Ocidente (capital: Roma) e

Império Romano do Oriente (capital: Constantinopla).

d) D: -750 – Fundação de Roma.

e) E: -600 – Época em que viveu o filósofo e matemático grego Pitágoras.

2) Na Reta dos números inteiros, a distância de -3 até 2 é 5.

Diga qual é a distância:

a) de -2 até 2;



20

b) de 13 até -13;

c) de -15 até 0;

d) de -17 até -9;

e) de -30 até 2.

3) Determine as sentenças verdadeiras:

a) 15 b) 2.15 c) 75 d) 1515

4) Sucessor de um número inteiro é o que está representado imediatamente à direita dele, na reta

dos inteiros. Antecessor é o que está imediatamente à esquerda.

a) Dê o sucessor de -39;

b) Dê o antecessor de -999;

c) Dê o sucessor de +17;

5) Estimando-se que Pitágoras tenha nascido no ano de 580 a.C.; e Tales de Mileto, em 624 a.C.,

pergunta-se:

a) Quem nasceu primeiro?

b) Qual a diferença entre as suas idades?

6) O matemático grego Euclides escreveu um livro sobre

Geometria no ano -290, isto é, no ano 290 antes de cristo. O

matemático grego Eratóstenes estudou os números primos

no ano de -240. O livro de Euclides foi escrito antes ou

depois dos estudos de Eratóstenes? Quantos anos antes ou

depois?

7) Considere os números -133, -231, -345, 132 e 2.

a) Escreva-os em ordem crescente.

b) Escreva seus módulos em ordem crescente.

c) Escreva seus opostos em ordem crescente.

8) Determine os valores inteiros de x nas sentenças abaixo:

a) 𝑥 = 17

b) 𝑥 = 300

c) 𝑥 = 0

d) 𝑥 < 1

e) 𝑥 ≤ 5

f) 𝑥 = 𝑎

Matemática

21

1.12 Operações com números inteiros

ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A adição de números inteiros pode vir indicada com ou sem parênteses. No geral, utilizaremos

duas regras básicas a fim de simplificarmos essa operação. Abordaremos dois casos específicos:

1. Adição de números inteiros com sinais iguais;

2. Adição de números inteiros com sinais diferentes.

1. Adição de números inteiros com sinais iguais

Observe os exemplos a segui:

(-15)+(-13) = -28

-15-13 = -28

(+19)+(+16) = 35

19+16 = 35

Observe que em todos os casos a colocação de parênteses para indicar uma soma de números

inteiros não alterou o resultado. Isso significa que podemos indicar a adição de números inteiros de

duas formas, uma com parênteses, a outra sem. De forma geral: para adicionar números inteiros

com sinais iguais, basta efetuarmos a soma dos módulos e repetirmos o sinal. Ou seja, a adição

de dois números inteiros positivos será sempre um número inteiro positivo, e a adição de dois

números inteiros negativos será sempre um número inteiro negativo.

2. Adição de números inteiros com sinais diferentes

Observe os exemplos a seguir:

(-15)+(+25) = 10

-15+25 = 10

+32-65 = -33

(+32)+(-65) = -33

Insistimos que, na adição de números inteiros, a utilização de parênteses não é relevante. Quando

se trata da adição de números inteiros de sinais diferentes, devemos subtrair os módulos e

adicionar à resposta o sinal do número que possuir o maior módulo.


22

Outros exemplos:

(-15) + (+12) = -13 -230 + 180 = -50 -12 + 17 = 5

_ _ _

(-15) + (+12) + (-6) + (+4) = (-21) + (+16) = -5

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Você já estudo no ano anterior as propriedades da adição de números naturais, vamos relembrar?

São elas:

i. Propriedade comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma de números

naturais;

ii. Propriedade associativa: Na adição de três ou mais números naturais podemos

associa as parcelas de modos diferentes. Essa é a propriedade associativa da

adição.

iii. Existência do elemento neutro da adição de números naturais: Zero é o único

número que, adicionando a outro, em qualquer ordem, dá como soma esse outro.

Por esse motivo, o número zero é chamado de elemento neutro da adição.

iv. Fechamento: A soma de dois números naturais quaisquer será sempre um número

natural.

Como todo número natural é um número inteiro, as propriedades da adição de números

naturais também serão válidas também para os números inteiros. A segui listaremos as

propriedades da adição de números inteiros.

I. Elemento neutro: O zero é o elemento neutro da adição de números inteiros.

Exemplos: (+6)+0 = 6; -3+0 = -3; -13+0 = 0

II. Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma de números inteiros.

Exemplos: 5+7=7+5=12; (-15)+(-6)=(-6)+(-15)=-21

III. Associativa: Numa adição com mais de duas parcelas, podemos substituir duas

dessas parcelas pela sua soma. Exemplos:

[5+(-3)]+(-8) = 2+(-8) = -6 ; 5+[(-3)+(-8)] = 5+(-11) = -6, ou seja,

[5+(-3)]+(-8) = 5+[(-3)+(-8)

IV. Fechamento: A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

Exemplos: (-8)+(-7) = -15; (+12)+(-27) = -15

Com mais de

duas parcelas,

preciso antes

somar as de

mesmo sinal.

Matemática

23

V. Elemento oposto: Todo número possui um elemento oposto ou simétrico, sendo a

soma desse número com o seu oposto igual a zero. Exemplo: -10 é o oposto ou

simétrico de +10, pois (-10)+(+10) = 0

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Antes de abordarmos a subtração de números inteiros, analisemos o que significa, graficamente, o

sinal negativo de um número. Localizando-se o número inteiro 5 na reta, este ficará à direita do

zero, pois é positivo. Ao colocarmos o sinal negativo à esquerda do 5, tornando-o um número

negativo, passaremos a localizá-lo à esquerda do zero. Isso significa que o sinal negativo

representa, na verdade, o oposto. No exemplo, -5 é o oposto ou simétrico de 5, assim como -3 é o

oposto de 3.

Seguindo o raciocínio exposto acima, vamos analisar as seguintes expressões:

-(-13) -(+7) -(+9) -(+6)

Levando em consideração que o sinal negativo simboliza o oposto ou simétrico dos números que

estão dentro dos parênteses, fica fácil ver que:

-(-13)=13 -(+7)=-7 -(+9)=-9 -(+6)=-6

Passemos então para a subtração de números inteiros. No ano anterior, foram estudadas subtrações

como 9-5, por exemplo, onde o minuendo era sempre maior ou igual ao subtraendo. Com a nova

modalidade de números, os negativos, serão possíveis realizar subtrações como: 9-15.

Podemos escrever a subtração acima de outra forma: 9+(-15), ou seja, subtrair nada mais é que a

soma com o oposto de um número. Vejamos alguns exemplos:

(-9) - (-13) = (-9) + (+13) = 4 12-15=-3

ADIÇÃO ALGÉBRICA DE NÚMEROS INTEIROS

Quando adicionamos ou subtraímos números inteiros, podemos

entender de uma forma geral como uma adição. Quando isso acontece,

dizemos que estamos adicionando algebricamente os números.

Na adição algébrica de números inteiros não é necessária a colocação entre parênteses dos

mesmos, porém, as regras citadas para a adição permanecem válidas. Vejamos alguns exemplos:

3-7 = -4 -12 + 6 = -6 5 – 4 + 13 – 9 = 18 – 13 = -5


24

1) Determine as seguintes somas:

a. (-5) + (-7)

b. (+13) + (-16)

c. (-10) + (+3) + (+8)

d. (-2) + (-4) + (-1)

e. (-35) + (-12) + (+55)

f. (-12) + (+25) + (-16) + (+33)

g. (-1) + (-3) + (-4) + (+8)

h. (-27) + (+42) + (+13) + (-33)

2) De acordo com o que foi estudado sobre a subtração de números inteiros, efetue:

a. (+4) – (-13)

b. (-34) – (-43)

c. 9 – (-5)

d. (-15) – (+17)

e. (-152) – (-253)

f. (+75) – (-421)

3) As duas adições algébricas a seguir têm o mesmo resultado:

a. 12-33+8-21-13-20

b. Δ33-21-13-20Φ12+8

No lugar de Δ, que sinal se deve colocar? + ou -? E no lugar de Φ?

4) A soma de um número inteiro com 75 é -57. Qual é o número inteiro?

5) Subtraindo 12 de um certo número inteiro, obtém-se este resultado: -40. Qual o

número inteiro?

6) Nos cinco primeiros meses do ano, a empresa A apresentou o seguinte demonstrativo:

Janeiro Lucro R$12500,00

Fevereiro Prejuízo R$2500,00

Março Lucro R$1230,00

Abril Prejuízo R$11700,00

Maio Lucro R$350,00

a. Qual o saldo final dessa empresa no período?

b. Devemos representar esse saldo por um número positivo ou negativo?

7) A soma de um número inteiro com 75 é -77. Qual é o número inteiro?


Matemática

25

8) Subtraindo 25 de um certo número inteiro, obtém-se este resultado: -42. Qual é o

número inteiro?

9) Coloque (V) se a afirmação for verdadeira, ou (F) se for falsa.

a. O elemento neutro da adição de números inteiros é o número 1. ( )

b. A soma de dois números inteiros oposto é sempre igual a zero. ( )

c. A adição de dois números inteiros é sempre um número inteiro, porém, a

multiplicação de dois inteiros nem sempre pertencerá ao conjunto Z. ( )

d. Em uma adição de números inteiros, a ordem das parcelas influencia

diretamente no resultado. ( )

e. Podemos escrever de forma simplificada expressões algébricas que

contenham adições e subtrações. Como por exemplo:

(+8) – (-2) + (+5) = (+8) + (+2) + (+5) = 8+2+5 + =15 ( )

f. A divisão entre dois números inteiros será sempre um número inteiro. ( )

10) Euclides, geômetra grego, nasceu em 306 a.C. Qual aniversário de seu nascimento

será comemorado no ano 2010?

11) Elimine os parênteses e calcule as somas algébricas:

a. (-5) + (-3) - (+4)

b. (-4) - (-9) + (-12)

c. (+13) – (+15) + (-1)

d. (-5) + (-11) – (+13) + (+8)

1.15 Multiplicação e Propriedades da Multiplicação de Números Inteiros

A multiplicação , como estudado para o conjunto dos números naturais, trás-nos a idéia de

uma adição de parcelas iguais. Assim, por exemplo:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 × 7 = 35

Para multiplicar números inteiros, vamos utilizar os conhecimentos sobre a multiplicação

de números naturais. Os matemáticos dos séculos xI e xII , procederam dessa maneira:

Sabemos que: 5 × 9 = 9+9+9+9+9 = 45

Dessa forma, já sabemos o resultado desta multiplicação de inteiros:

5 × (-6) = (-6)+(-6)+(-6)+(-6)+(-6) = -30.

Sabemos que, em N, a multiplicação é comutativa. Por exemplo: 5 × 6 = 6 × 5

Usando a mesma propriedade com números negativos, teremos: 5 × (-6) = (-6) × 5

Assim, descrobrimos o resultado de outra multiplicação de inteiros: (-6) × 5 = -30

Do exposto acima, concluimos que a multiplicação de dois números inteiros com sinais

diferentes (um positivo e o outro negativo) é um número negativo. E o produto de dois

números negativos?

Vamos, por exemplo, calcular o produto: (-3) × (-2)


26

Aplicando as propriedades da adição de números inteiros teremos:

(-3) × (-2) = -(+3) × (-2) = -[3 × (-2)] = -[(-2) + (-2) + (-2)] = -[-6] = +6

Num produto de dois fatores de sinais iguais, o resultado é o produto dos módulos dos fatores

com sinal positivo.

Confira, ao lado, a tabela da multiplicação entre sinais.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

Veremos, a seguir, as propriedades da multiplicação em ℤ:

1ª Elemento Neutro

O número +1 é o elemento neutro da multiplicação.

Exemplos: (-7) × (+1) = (-7)

(+13) × (+1) = +13

2ª Comutativa

A ordem dos fatores não altera o produto.

Exemplos: (-3) × (-4) = (-4) × (-3) = +12

(+9) × (-2) = (-2) × (+9) = -18

3ª Associativa

Num produto de três ou mais fatores, podemos associar os fatores de formas diferentes,

sem alterar o produto.

Exemplo: [(-7) × (+3)] × (-3) = (-21) × (-3) = +63

(-7) × [(+3) × (-3)] = (-7) × (-9) = +63

4ª Fechamento

O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

Exemplos: (-15) × (-8) = +120

Se (-15) ℤ e (-8) ℤ, então (+120) ℤ.

5ª Distributiva

O produto de um número inteiro por uma soma algebrica pode ser obtido multiplicando-se o número por cada um dos termos da soma e adicionando-se, a seguir, os produtos obtidos.

Exemplo: (+4) × [(-3) + (+2)] = (+4) × (-3) + (+4) × (+2) = -4

DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Numa divisão exata, o quociente é o número que multiplicado pelo divisor tem como

resultado o dividendo. Assim temos:

(+25) ÷ (+5) = +5 (+5) × (+5) = +25

(-25) ÷ (-5) = +5 (+5) × (-5) = -25

Matemática

27

(+25) ÷ (-5) = -5 (-5) × (-5) = +25

(-25) ÷ (+5) = -5 (-5) × (+5) = -25

Daí, podemos estabelecer que:

Sendo o divisor diferente de zero, o quociente de uma divisão exata entre dois números

inteiros terá módulo igual ao quociente dos módulos do dividendo pelo divisor. O sinal será:

Positivo, se o dividendo e divisor tiveremos mesmos sinais.

Negativo, se divijendo e divisor tiverem sinais contários.

Exemplos:

(-63) ÷ (+9) = -7 (-144) ÷ (-12) = +12

sinais diferentes sinais iguais

Uma regra prática para efetuar a divisão exata de dois números inteiros é esta:

Dividimos seus módulos.

O quociente será positivo se o dividendo e o divisor tiverem sinais iguais e será

negativo se o divideno e o divisor tiverem sinais diferentes.


28

1) Calcule cada produto abaixo.

a) (+7) × (-6)

b) (+12) × (+5)

c) (-4) × (-13)

d) (+11) × (-11)

e) (-11) × (-12)

f) (+3) × (-1) × (-4)

g) (+7) × (+2) × (-4) × (-1)

h) (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2)

i) (-1) × (+20) × (-3) × (-1)

2) Calcule o valor da expressão -4 × (-5+3), de dois modos diferentes.

3) Encontre o valor das seguintes expressões numéricas:

a) −30 − 5 × ,(−1) × (15 − 3 × 6) + 9 − 3 × 4-

b) −5+[(-20) ×(-15+30) ×1]

c) 18 + 4 × ,−6 − 4 × (−5 + 6)-

d) 2 −3×[1-(2-8+4×2)-5]

e) 8 + (−1) × ,6 − 20 − (25 × 2) − 3 × 5 × (−6)]

4) Calcule o valor da expressão: −2. *,−3. (−2 − 5.3 + 4) − 2-+.

5) Calcule o produto dos quatro maiores números inteiros negativos.

6) Multiplicando-se qualquer inteiro positivo por -1, encontra-se o oposto desse número inteiro.

Por exemplo, (-1) . 27 é igual a -27, que é o oposto de 27. Seguindo o mesmo padrão, se

multiplicarmos um inteiro negativo por -1, também encontraremos o oposto desse inteiro? Dê

um exemplo.

7) Encontre o valor de x:

a) 𝑥 ÷ (−17) = 3

b) (−12).𝑥 = 84

c) (−90)÷x=6

d) 𝑥. (−19) = 76


Matemática

29

n fatores

n fatores

base

expoente

8) Observe os dados da tabela e faça o que se pede em seguida. Use calculadora.

a) Determine o gasto médio por consumidor,

arredondando para valores inteiros, de cada um dos

setores:

Metalurgia

Minerais não metálicos

Química

Produtos alimentares

b) Que opoeração você usou para responder à questão

anterior?

c) Qual dos serores industriais gasta, em média, mais energia por consumidor?

1.18 Potenciação de números inteiros

Já definimos para os números naturais que:

𝑎𝑛 = 𝑎.𝑎.𝑎.𝑎… .𝑎, com 𝑎 ∈ 𝑁 𝑒 𝑛 > 1

A mesma definição será usada para os números inteiros, ou seja:

Dados dois números inteiros a e n, com n>1, a expressão an representa um produto de n fatores

iguais a “a”.

𝑎𝑛 = 𝑎.𝑎.𝑎.𝑎… .𝑎


30

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS DE NÚMEROS INTEIROS

Vejamos, a seguir, as propriedades da potenciação no conjunto Z:

1ª Propriedade: Produto de potências de mesma base.

(−3)2 × (−3)3 = (−3)2+3 = (−3)5

(+2)3 × (+2)5 × (+2)4 = (+2)3+5+4 = (+2)12

Ou seja, no caso do produto de potências de bases iguais, basta conservar a base e adicionar os

expoentes.

2ª Propriedade: Quociente de potências de mesma base.

(−7)7 ÷ (−7)3 = (−7)7−3 = (−7)4

(+3)11 ÷ (+3)7 = (+3)11−7 = (+3)4

Ou seja, no caso do quociente entre potências de bases iguais, basta conservar a base e subtrair os

expoentes.

3ª Propriedade: Potência de uma potência.

,(−5)5-3 = (−5)5×3 = (−5)15

,(+9)2-3 = (+9)2×3 = (+9)6

Ou seja, para calcularmos a potência de uma potência, basta conservar a base e multiplicar os

expoentes.

4ª Propriedade: Potência de um produto ou de um quociente.

,(−5) × (−4)-2 = (−5)2 × (−4)2

,(−10) ÷ (+2)-5 = (−10)5 ÷ (+2)5

A potência de um produto ou quociente é o produto ou quociente entre as potências.

Observação:

As expressões (−2)2 e −22 são diferentes.

(−2)2 representa o quadrado do número -2; assim, (−2)2 = (−2) × (−2) = +4

−22 representa o oposto do quadrado do número 2; assim, −22 = −(2 × 2) = −4

Matemática

31

1.19 Raiz quadrada exata de números inteiros

Considere os exemplos:

1. Quais os números inteiros cujos quadrados são iguais a 16?

Os números +4 ou -4, pois (+4)2 = 16

(−4)2 = 16

1. Quais os números inteiros cujos quadrados são iguais a 81?

Os números +9 ou -9, pois (+9)2 = 81

(−9)2 = 81

Como, em Matemática, uma operação (como a raiz quadrada) não pode apresentar dois

resultados diferentes, fica definido que:

A raiz quadrada de 16 é o número positivo +4. Indica-se: 𝟏𝟔 = +𝟒

A raiz quadrada de 81 é o número positivo +9.

Raiz quadrada exata de um número inteiro é também um número inteiro que,

elevado ao quadrado, dá o número inicial.

Então, podemos

dizer que a raiz

quadrada de 16 é

+4 ou -4.

E a raiz quadrada

de 81 é +9 ou -9?


32

1. Sabe-se que o número x é inteiro negativo, o número 𝒙𝟐 será inteiro positivo ou negativo?

2. Sabe-se que o número a é inteiro negativo. O número expresso por 𝒂𝟑 será inteiro positivo

ou negativo?

3. Encontre:

a. O quadrado de -13.

b. O quadrado de +40.

c. O cubo de -30.

d. A quarta potência de -2.

e. A sétima potência de -3.

f. A quarta potência de +5

4. Calcule:

a. (+9)2

b. (-9)2

c. (+9)3

c. (-9)3

d. (+2)5

e. (-2)5

f. (-1)10

g. (-3)4

h. (-7)3

i. (-11)0

k. (-1)101

l. (-25)2

m. (+1n. (-1)9 m. (-1)

200

n. (+1)99

5. Reduza a uma só potência:

a. (-8)5

.(-8).(-8)4

b. ,66-2

c. (-10)9:(-10)

6

d. (+9).(+9)11

.(+9)8

e. (-13)20

:(-13)14

f. ,(+7)4-3

g. (+10)5.(+10).(+10)

8

h. (+20)7:(+20)

6


Matemática

33

6. Qual é o número inteiro, se existir, que representa a raiz quadrada de :

a. 25?

b. 64?

c. -81?

d. 1?

7. Calcule:

a. 36

b.− 64

c. 100

d. - 49

e. 400

f. − 900

g. − 2500

h. 144

8. Se o número p representa o valor da expressão 1-(- 100). Qual o valor do número p?

9. Se x = 81: (42 − 52), qual é o valor de x?

10. Existe algum número inteiro que represente −25? Justifique.


34

GABARITO – REFORÇANDO O CONHECIMENTO

Unidade 1

Página 15

2. a) 20 ou +20; b) –100,00; c) - 3

52

d) +457 ou 457; e) -12; f) -25 g) +6,20 ou 6,20 h) -8º

i) 0 (zero), nem positivo nem negativo; j) +1/2 ou 1/2; l) –40,00

m) + 65,00 ou 65,00 n) -21,5; o) -6; p) +200 ou 200 q) -50

2. a) +3 ou 3; b) -3; c) Porque o número de gols marcados é igual à quantidade de gols

sofridos; d) 9 gols; e) 8 gols; f) Santos; g) Palmeiras;

3. V, F, F, F

4. a) +8848 ou 8848; b) 20348 metros

Página 19

1)

2) a)4 b)26 c)15 d)26 e)32

3) A; C

Matemática

35

4) a) O sucessor de -39 é -38; b) O antecessor de -999 é -1000; c) o sucessor de +17 é

+18.

5) a) Tales de Mileto; b) -580-(-624)= 44 anos.

6) Foi escrito 50 anos antes.

7) a) -345, -231, -133, 2, 132; b) 2, 132, 133, 231, 345; c) -132, -2, 133, 231, 345.

8) a) x=+17 ou x=-17; b) x=+300 ou x=-300; c) x=0; d) x=0, -1, -2, -3,... ; e) x=5, 4, 3,

2, 1, 0, -1,...; f) x=+a ou x=-a

Página 24

1) a) -12; b) -3; c)1 ou +1; d)-7; e) 8 ou +8; f) 30 ou +30; g) 0; h) -5.

2) a) 17 ou +17; b) 9 ou +9; c) 14 ou +14; d) -32; e) 101 ou +101; f) 596 ou +596.

3) Δ=- e Φ=+ (propriedade comutativa da adição).

4) -132

5) 28 ou +28

6) a) prejuízo de R$120,00 b) -120

7) -152

8) -17

9) F; V; F; F; V

10) 2316

11) a) -12 b) -7 c) -3 d) -21

Página 28

1. a) -42; b) +60; c) +52; d)-121; e) +132; f) +12; g) +56; h) -32; i)-60.

2. i) −𝟒 × (−𝟐) = +𝟖 ii) −𝟒 × (−𝟓) + (−𝟒) × (+𝟑) = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟐 = +𝟖

3. a) -30; b) -305; c) -22; d) 20; e) -18.

4. +82

5. (−𝟒) × (−𝟑) × (−𝟐) × (−𝟏) = +𝟐𝟒.

6. Sim, por exemplo: (−𝟏) × (−𝟑) = +𝟑. +3 é o oposto de -3.

7. a) 𝒙 = −𝟓𝟏; b) 𝒙 = −𝟕; c) 𝒙 = −𝟏𝟓; d) 𝒙 = −𝟒.

8. a) Metarlugia: 638 Mwh por consumidor;

Minerais não metálicos: 749 Mwh por consumidor;

Química: 2305 Mwh por consumidor;

Produtos alimentares: 149 Mwh por consumidor.


36

b) Divisão, entre o número total do consumo e o número de consumidores de cada

setor específico.

c) O setor químico, que tem média de 2305 Mwh por consumidor.

Página 32

1. Positivo; 2.Negativo; 3. a) +169; b) +1600; c) -27000; d) +16 e) -2187; f) +625;

4. a) +81; b) +81; c) -729; d) +32; e) -32; f) +1; g) +81; h) -343; i) 1; k) -1; l) +625; m) +1; n) +1;

5) a) (-8)10

; b) 612

c) (-10)3; d) (+9)

20; e) (-13)

6; f) (+7)

12; g) (+10)

14; h) +20; 7) a) 6; b) -8; c)

10; d) -7; e) 20; f) -30; g)-50; h) 12; 8) p=11; 9) ∄𝑝 ∈ ℤ; 10) Não, pois não podemos calcular

a raiz quadrada de um número inteiro negativo.

Matemática

37

Unidade 2

O Conjuto “Q”

Introdução

Os números racionais são largamente utilizados em nosso dia-a-dia. Em jornais, revistas,

televisão e outros vários meios de comunicação eles estão presentes, assim como em encartes de

supermercados ou placas de propaganda. A necessidade de uma nova categoria de números fez

com que surgissem os números racionais, que nada mais são que a ampliação dos conjuntos por

nós já estudados. Por isso, é necessário que conheçamos esse novo conjunto, suas

particularidades e operações que tanto serão úteis para as nossas vidas.

Ao concluir esta unidade, utilizando o livro o caderno complementar e as fontes citadas você

será capaz de:

Resultados

Reconhecer como número racional todo número que pode ser

escrito na forma a/b, com a Z e b Z*.

Reconhecer o conjunto dos números racionais.

Identificar, na reta numérica, a abscissa de um ponto.

Identificar a representação decimal de um número racional.

Reconhecer que N Z Q.

Reconhecer os subconjuntos notáveis de Q (Q+, Q-, Q*+,

Q*).

Representar geometricamente números racionais.

Determinar o simétrico de um número racional. Determinar o módulo (valor absoluto) de um número racional

qualquer.

Comparar dois ou mais números racionais. Reconhecer que as propriedades da adição nos números inteiros

são válidas nos números racionais.

Determinar a diferença de dois números racionais quaisquer pela

adição do simétrico.

Reconhecer que em Q vale a propriedade fechamento.

Determinar o produto de números racionais.

Reconhecer que as propriedades da multiplicação em Z são

válidas em Q.

Efetuar a divisão de números racionais. Efetuar a potenciação de números racionais com expoentes

naturais.

Reconhecer que as propriedades da potenciação nos

números inteiros são válidas nos números racionais.

Identificar números racionais quadrados perfeitos. Extrair a raiz quadrada aritmética de um número racional positivo

quadrado perfeito.

Matemática O Conjuto “Q”

38

2.1 Conjunto dos números Racionais

No dia-a-dia, em noticiários de tevê, jornais e revistas, encontramos números expressos de formas

bem variadas.

Todos esses números são chamados de números racionais e fazem parte

de um conjunto que contém os números naturais N, números inteiros Z e

números que não pertencem às duas classes já citadas. Número

racional é todo o número que pode ser representado por

uma razão (ou fração) entre dois números inteiros.

O conjunto dos números racionais (representado por , o uso da letra

é derivada da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já

que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois

números inteiros, com o denominador diferente de 0) é definido por:

Onde é o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números

inteiros excluindo o 0.

Exemplos de números racionais: ; ; ; ; ; .

TAXA DE

ANALFABETISMO

URBANO CHEGA A

9,5% ENQUANTO O

RURAL É DE 28,7%

BOLO (Ingredientes)

1

2 Kg de farinha

de trigo

3

4 de xícara de

amendoim

torrado, sem

casca e sem sal

8 ovos grandes

1

2 xícara de óleo

vegetal,...

FUSO HORÁRIO(UTC)

CIDADE CIDADE

ARACAJU-UTC-3 MACEIÓ-UTC-3

BELÉM-UTC-3 MANAUS-UTC-4

BELO

HORIZONTE-

UTC-3

PALMAS-UTC-3

BRASÍLIA-UTC-3 RIO BRANCO-UTC-

5

http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=Raz%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1

http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=Fra%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1

http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=N%C3%BAmeros_inteiros&action=edit&redlink=1

Matemática

39

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Os números racionais opõem-se aos números irracionais ( ).

Para representar o conjunto dos racionais positivos podemos usar Q + e

para representar o conjunto dos números racionais negativos podemos

utilizar Q-. O número zero também faz parte do conjunto dos racionais.

Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações

(próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações

impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que

são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos

infinitos. Eis alguns exemplos:

fração:7

5;

número misto: 53

2;

números decimais de escrita finita: 8,35;

dízimas: 8,(23); 1,23(5); 7,23(965);

nesta notação os números entre parênteses repetem-se ao infinito.

2.2 Operações com números Racionais

Operações com números racionais decimais

Adição

Considere a seguinte adição:

1,28 + 2,6 + 0,038

Transformando em frações decimais, temos:

http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=N%C3%BAmeros_irracionais&action=edit&redlink=1

http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=N%C3%BAmeros_mistos&action=edit&redlink=1

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40

Método prático

1º) Igualamos o números de casas

decimais, com o acréscimo de zeros;

2º) Colocamos vírgula debaixo de

vírgula;

3º) Efetuamos a adição, colocando a

vírgula na soma alinhada com as

demais.

Exemplos:

1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007

Subtração

Considere a seguinte subtração:

3,97 - 2,013

Transformando em fração decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o

acréscimo de zeros;

2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;

3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na

diferença, alinhada com as demais.

Exemplos:

3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987


Multiplicação

Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5

Matemática

41

Transformando em fração decimais,

temos:

Método prático

Multiplicamos os dois números decimais como se fossem

naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o

número de casas decimais do produto seja igual à soma dos

números de casas decimais do fatores.

Exemplos:

3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

Observação:

1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal,

utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de

casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator

decimal. Exemplo:

5 · 0,423 = 2,115

2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta

deslocar a vírgulapara a direita uma, duas, três, ..., casas decimais.

Exemplos:


42

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens.

Exemplos

0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = =

580%


Divisão

1º: Divisão exata

Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05

Transformando em frações decimais,

temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o

acréscimo de zeros;

2º) Suprimimos as vírgulas;

3º) Efetuamos a divisão.

Exemplos:

1,4 : 0,05

Igualamos as casa

decimais: 1,40 : 0,05

Suprimindo as

vírgulas: 140 : 5

Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é

28.

Efetuado a divisão

6 : 0,015 Efetuando a divisão

Matemática

43

Igualamos as casas

decimais 6,000 : 0,015

Suprimindo as

vírgulas 6.000 : 15

Logo, o quociente de 6 por 0,015 é

400.

4,096 : 1,6

Igualamos as casas

decimais 4,096 : 1,600

Suprimindo as

vírgulas 4.096 : 1.600

Efetuando a divisão

Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto

corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando

a parte decimal do quociente. Para a determinação dos décimos,

colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma

vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos.

Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando

outro zero ao novo resto, uma vez que 960 décimos correspondem a

9600 centésimos.

O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo.

Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.


0,73 : 5

Igualamos as casas decimais 0,73 : 5,00

Suprimindo as vírgulas 73 : 500

Efetuando a divisão


44

Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e

acrescentamos um zeroà direita do três. Assim:

Continuamos a divisão, obtemos:

Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146.

Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna

possível a divisão. Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e

acrescentar mais um zero ao resto. Exemplos:

2,346 : 2,3

Verifique 460 (décimos) é inferior

ao divisor (2.300). Colocamos,

então, um zero no quociente e

acrescentamos mais um zero ao

resto.

Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02.

Observação:

Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta

deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ..., casas decimais.

Exemplos:

Matemática

45


2º : Divisão não-exata No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente

aproximado por falta ou por excesso.

Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21:

Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos

cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente real encontra-se

entre 3 e 4.

Logo:

Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que:

3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade.

4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma

unidade.

Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos:

Podemos afirmar que:

3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo.

3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um

décimo.

Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos:

Podemos afirmar que:

3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um

centésimo.

3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um

centésimo.


46

Observação:

1. As expressões têm o mesmo significado:

- Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação

de décimos.

- Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação

de centésimos e, assim, sucessivamente.

2. Determinar um quociente com aproximação de décimos,

centésimos ou milésimos significa interromper a divisão ao atingir a

primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente,

respectivamente. Exemplos:

13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos)

13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos)

13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo)

Cuidado!

No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão

exata, devemos completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do

quociente necessária(s) para atingir tal aproximação. Exemplo:

O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é


Representação Decimal de uma Fração Ordinária

Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal,

devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma.

Exemplos:

Converta em número decimal.

Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato.


Matemática

47

Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples.


Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta.

Dízima Periódicas

Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo:

= 0,333... = 0,8333...

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um

ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais

periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o algarismo

ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período

dessadízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e

dízimas periódicascompostas. Exemplos:

= 0,555...

(Período: 5)

= 2,333...

(Período: 3)

= 0,1212...

(Período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se

logo após a vírgula.

= 0,0222...

Período: 2

Parte não periódica: 0

= 1,15444...

Período: 4


= 0,1232323...

Período: 23


São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a

vírgula existe uma parte não periódica.

Observações

1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado

entre a vírgula e o período. Excluímos portanto da parte não

periódica o inteiro.

2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes

maneiras:


48

0,555... ou ou 0,0222... ou ou

2,333... ou ou 1,15444... ou ou

0,121212... ou 0,1232323... ou


Geratriz de uma Dízima Periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma

dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima

periódica.

Procedimentos para determinação de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para

numerador o período e para denominador tantos noves

quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima composto

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da

forma , onde:

n parte não-periódica seguida do período, menos a

parte não-periódica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do

período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos

da parte não-periódica.

Matemática

49

Exemplo:

12,53262626... = 12 + 0,53262626... =


Potenciação

As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um

número natural seguem as mesma regras desta operação, já definidas.

Assim:

(3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (0,64)

1 = 0,64

(0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 =

0,064 (0,18)

0 = 1

Raiz Quadrada

A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com

facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim:

Expressões Numéricas

No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais

seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números

fracionários.

Em expressões contendo frações e números decimais, devemos

trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número

racional. Exemplo:


50

= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25

= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25

= 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38

Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente

suas geratrizes. Exemplos:

Dicas de Livros, Filmes, Sites e vídeos

Que tal resolver alguns exercícios online para ampliar o

conhecimento que já foi adiquirido? Acesse

http://www.paulomarques.com.br/arq11-11.htm. Bons estudos!

http://www.paulomarques.com.br/arq11-11.htm

Matemática

51

1) Calcule:

a) 5

8+

12

5−

7

16

b) 13

7−

25

7+

1

7+

6

7

c) 5

12−

13

18−

11

6

d) 6

5+ 2,13 − 4,52

e) 12,25+13+5,67

f) -7+15

3− 2

g) 5

8×

4

15×

16

7

h)

7

123

4

− 7

i)

2

3+

4

57

8−

5

12

2) Um trem tem capacidade para transportar 480 passageiros sentados. Em certa viagem, ele

transportou o equivalente a 5

8 de sua capacidade. Quantos passageiros ele levou nessa

viagem?

3) Calcule:

a) O dobro de −4

5

b) O quíntuplo de −7

10

4) Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 1

6 das figurinhas, enquanto

Cristina contribuiu com 3

4 das figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas

contribuíram?

5) Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1

4do livro e no dia seguinte leu

1

6 do livro. Então

calcule:

a) a fração do livro que ela já leu.

b) a fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

6) Em um pacote há 4

5 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há

1

3. Quantas gramas de açúcar o

primeiro pacote tem a mais que o segundo?

7) e) A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5

9 da rua já foram asfaltados. Que fração

da rua ainda resta asfaltar?

8) Calcule:



52

a) 1

2− .

1

4−

1

8/

b) .1

2−

1

4/ −

1

8

9) No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1

3 desses apartamentos foi vendido

e 1

6 foi reservado. Assim:

a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?

b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

10) Calcule o valor da expressão:.1

2−

1

3/ − .

1

6−

1

10/

11) Numa turma do colégio, 12 alunos gostam de azul, 1/5 da turma gosta de verde e 1/2 da

turma gosta d amarelo. Calcule o total de alunos da sala.

12) Um produto foi vendido por 100 reais. Se o vendedor lucrou 1/4 do preço de custo. Calcule

este lucro.

13) Numa sala, 1/3 dos alunos têm 10 anos, 1/6 têm 11 anos e 15 alunos têm 9 anos. Qual é o

número de alunos da sala?

14) Uma família tem 1/3 de homens, 1/4 de mulheres e 25 crianças. Qual o total de pessoas da

família?

15) Numa partida de Futebol, 1/4 torciam para o time A, 1/6 para o time B e 2000 pessoas não

torciam para nenhum dos dois times. Quantas pessoas assistiram ao jogo?

16) Douglas tem uma caixa de tomates. No domingo, 1/8 dos tomates da caixa estragaram; na

segunda-feira estragou 1/3 do que sobrou de domingo. Sobraram 70 tomates em boas

condições. Calcule o total de tomates na caixa?

17) Junior ganhou um pacote de bolinhas. No primeiro dia perdeu 1/4 das bolinhas, no 2º dia

perdeu a terça parte do que restou e sobraram ainda 50 bolinhas. Qual o número total de

bolinhas?

18) Durante uma festa, as crianças tomaram metade dos refrigerantes, os adultos tomaram a terça

parte do que havia restado e ainda sobraram 120 garrafas cheias. Qual era o total de

refrigerantes?

19) A soma de dois números é 20. Calcule-os, sabendo que o número maior é 3/2 do número

menor.

20) Numa festa de aniversário há ao todo 80 garrafas de refrigerantes e suco. Sendo 3/8 das

garrafas de suco, determine o total de garrafas de refrigerantes? R = 50

21) Em uma reunião de um grupo de trabalho tinha 28 alunos. Determine o número de meninas,

se elas representam 3/7 do total de alunos.

22) Sabendo que 3/5 da idade de Roberta é 9 anos, determine a idade de Roberta.

Matemática

53


23) A soma de dois números é 40. Se o valor menor é 3/5 do maior, calcule o número maior.

24) Um número vale 3/7 de um número maior. Sabendo que a soma entre eles é 40, calcule o

menor número.

25) A diferença entre dois números é 4 e o maior é igual a 5/3 do número menor. Calcule o

número maior.

Unidade 2

Página 51

1) a) 𝟐𝟎𝟕

𝟖𝟎; b) −

𝟓

𝟕; c) −

𝟕𝟕

𝟑𝟔; d) -1,19; e) 30,92; f) -4; g)

𝟖

𝟐𝟏; h) −

𝟓𝟔

𝟗; i)

𝟏𝟔

𝟓; 2) 300

passageiros; 3) a) −𝟖

𝟓; b) −

𝟕

𝟐; 4)

𝟏𝟏

𝟏𝟐; 5) a)

𝟓

𝟏𝟐; b)

𝟕

𝟏𝟐 ; 6) ≅ 𝟔𝟑𝟑,𝟑𝟑𝒈; 7)

𝟒

𝟗; 8)

a) 𝟑

𝟖; b)

𝟏

𝟖; 9) a)

𝟏

𝟐; b)

𝟏

𝟐; 10)

𝟏

𝟏𝟎; 11) 40; 12) 20; 13)30; 14) 60; 15) 24000; 16)

120; 17) 100; 18) 360; 19) 8 e 12; 20) 50; 21) 18; 22) 15; 23) 25; 24) 12.

Matemática Equação Polinomial do 1º Grau Com Uma Incógnita

54

Unidade 3

Equação Polinomial do 1º Grau Com Uma Incógnita

Introdução

A Álgebra nos ajuda em muitas coisas, com ela podemos generalizar situações. No estudo da

álgebra usamos constantemente letras representando números: elas apenas representam, não

quer dizer que são números. Poderíamos muito bem usar quadradinhos, palavras, um desenho

qualquer. Mas é mais simples usar as letras, por diversos motivos: todo mundo as conhece,

todos sabem escrevê-las, é fácil ler e podemos usar várias delas, sem precisar ficar criando

mais e mais símbolos para representar números diferentes. É muito melhor usar letras, do que

qualquer outro símbolo. Universalmente, são usadas na matemática. Uma que comumente

representa um número desconhecido, uma incógnita, é a letra x. O “x” da questão! Como

algumas vezes precisamos de mais números, usamos mais letras, como y, z, etc. Convenciona-

se usar as últimas letras do alfabeto, mas você pode usar qualquer uma em seus cálculos e

rascunhos.


será capaz de:

Resultados

Reconhecer sentenças matemáticas abertas e fechadas.

Identificar o conjunto universo de uma sentença

aberta.

Identificar o conjunto verdade (solução) de uma

sentença aberta num determinado conjunto universo.

Identificar como equação toda sentença matemática

aberta expressa por uma igualdade.

Diferenciar identidade de equação.

Identificar o primeiro e o segundo membro de uma

equação.

Identificar numa equação o elemento desconhecido.

Verificar se um número é ou não raiz de uma equação

dada.

Reconhecer, como equação polinomial do 1º grau com uma variável, toda a equação que pode ser

transformada numa equação equivalente da forma a x + b = 0 onde a, b Q e a 0

Resolver equações polinomiais do 1° grau com uma variável , aplicando os princípios aditivos e

multiplicativos.

Matemática

55

3.1 Introdução ao Cálculo Algébrico

Cálculo Algébrico

Sentença matemática

É um conjunto de palavras que expressa um sentido definido.

Exemplo: A Matemática é uma ciência exata.

SENTENÇA MATEMÁTICA – é uma sentença que envolve números e

pode ser escrita em linguagem corrente ou em linguagem matemática.

Quando a sentença matemática apresenta termo desconhecido, chama-se

esse termo de variável ou incógnita e dizemos que essa sentença é aberta.

Quando a sentença matemática não apresenta termo desconhecido,

variável ou incógnita dizemos que essa sentença é fechada.

Exemplos:

1) sete menos dois é igual a cinco (sentença matemática fechada,

verdadeira em linguagem normal)

2) 7 – 2 = 5 (sentença matemática, fechada verdadeira em

linguagem matemática)

3) 2.3 = 5 (sentença matemática fechada, falsa em linguagem

matemática)

4) dois mais um é igual a três........(sentença matemática

fechada, verdadeira em linguagem normal)

5) x + 3 = 15 (sentença matemática aberta em linguagem

matemática)

Equação

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma

relação de igualdade. A palavra

equação tem o prefixo equa,

que em latim quer dizer "igual".

Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:


56

ax+b = 0

nde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples:

subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

Dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

𝑥 =−𝑏

𝑎

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "

desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da

igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode

ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais,

com a diferente de zero.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados

raízes da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer

à seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número.

Determinar o valor de cada membro da equação.

Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número

considerado é raiz da equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes

das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Matemática

57

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = 0, 1, 2, 3.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0

=> -2 = 0. (F)


=> -1 = 0. (F)


=> 0 = 0. (V)


=> 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = 2.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = -1, 0, 1, 2.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1)

- 5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5

= 1 => -5 = 1. (F)


= 1 => -3 = 1. (F)


= 1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

3.2 Resolução das Equações Polinomiais do 1º Grau

Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações

de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais

simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do

conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu

conjunto verdade, dentro do conjunto universo

considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita,

devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades

(aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo , resolva a equação .

MMC (4, 6) = 12

-9x = 10 => Multiplicador por (-1)

Interessante,...


58

9x = -10

Como −10

9∈ 𝑄, então 𝑉 = −

10

9 .

Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

Como −1

3∈ 𝑄, então 𝑉 = −

1

3

Equações impossíveis e identidades

Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).

Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1

12x - 8 = 12x - 3

12x - 12x = - 3 + 8

0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação

é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e

Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.

Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 8

0 . x = 0

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui

infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a

equação verdadeira, são denominadas identidades.

Matemática

59

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

2) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) - x2 = 5x

2

3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

4) Resolver as seguintes equações U=Q:

a) 4m – 1 = 7

b) 3m – 9 = 11

c) 3x + 2 = 4x + 9

d) 5m – 2 + 12 = 6m + 4

e) 2b – 6 = 15

f) 2m – 4 + 12 = 3m – 4 + 2

g) 4m – 7 = 2m – 8

h) 6m – 4 = 12 – 9m

i) m + 4 – 3m = 4 +12 m

j) 3 + 4m – 9 = 6m – 4 + 12

k) –5 + 3x + 4 = 12 + 9x

l) 3x + 5 - 2 = 2x + 12

m) 3( x + 2) = 15

n) 12m + 3 (m – 1) = -2(m +1) + 12

o) 2 ( x-1) = 0

p) –3 (m +2) = 1

q) 2 ( x + 2 ) = 12

r) m = -3 ( m – 4 )



60


s) 2 ( m + 5 ) = -3 ( m – 5 )

t) –2 ( y + 4 ) = -7+ 9 ( y – 1)

u) 5 ( x – 4) = -4 + 9 ( x – 1)

v) –5 ( x – 4 ) + 4 = 2 ( - 2 x – 2 ) + 9

w) -2 ( m – 5 ) + 3m = - ( m + 2 ) – 7

x) - ( x + 5) – 6 = -9 ( x – 3 ) – 2

y) x - 7 + 2 ( x – 4 ) = -3 ( x + 2 ) – 8

Unidade 3

Página 59

1) 130,131,132; 2) a) x=6; b) x=𝟑

𝟒; c) y=21; d) x=2; e) x=-21; f) x=12; 3) a=22; 4) a) m=2; b) m=

𝟐𝟎

𝟑;

c) x=-7; d) m=6; e) 𝒃 =𝟐𝟏

𝟐; f) 𝒎 =

𝟖

𝟏𝟏; g) 𝒎 = −

𝟏

𝟐; h) 𝒎 =

𝟏𝟔

𝟏𝟓; i) m=0; j) -7; k) x=−

𝟏𝟑

𝟔; l) x=9;

m) x=3; n) m=𝟏𝟑

𝟏𝟕; o) x=1; p) m=−

𝟕

𝟑; q) x=4; r) m=3; s) m=1; t) y=

𝟖

𝟏𝟏; u) x=−

𝟕

𝟒; v) x=19; w)

m=−𝟏𝟗

𝟐; x) x=

𝟐𝟕

𝟖; y) x=

𝟏

𝟐.

Matemática

61

Unidade 4

Equação Polinomial do 1º Grau Com Duas Incógnitas

Introdução

Já tivemos a oportunidade de aprender o que é uma equação do 1º grau e como resolvê-la. Nessa

unidade continuaremos a estudar as equações do 1º grau, entretanto, dessa vez abordaremos

equações com duas incógnitas, seus vários tipos de resolução, incluindo a resolução gráfica,

sistemas de equações do 1º grau com o significado gráfico desses sistemas e métodos de

resolução de sistemas de equações do 1º grau. Para tal, é necessária a utilização te todo

conteúdo aprendido ao longo do ano.

Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em

várias áreas ( matemática, química, física, engenharia,...) e aparecem sempre em

concursos e exames, como é o caso do vestibular. Os sistemas, geralmente, são

resolvidos com certa facilidade o que causa muitas vezes uma desatenção, por parte do

aluno, já que ele não tem dificuldade para encontrar a solução do sistema. Mas ele

esquece que a dificuldade está na armação e principalmente na solução final da questão.

Os sistemas são ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o

construir com elas.


será capaz de:

Resultados

Identificar par ordenado como conjunto ordenado especial e

sua propriedade fundamental.

Associar ao primeiro elemento do par ordenado a abcissa do

ponto e ao segundo elemento do par ordenado a ordenada do

ponto.

Introduzir o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.

Representar graficamente um par ordenado de números

racionais.

Localizar, no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,

um ponto do plano, dadas suas coordenadas.

Reconhecer, numa equação, o número de variáveis e o grau da

equação.

Identificar uma equação polinomial do 1 grau com duas

variáveis.

Reconhecer que a solução de uma equação polinomial do 1

grau com duas variáveis é constituída por pares ordenados, em

que o 1 elemento representa o valor da variável “x” e o 2

elemento representa o valor da variável “y”.

Matemática Equação Polinomial do 1º Grau Com Duas Incógnitas

62

4.1. Conceitos e Propriedades.

Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais,

numa certa ordem.

Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y,

onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: .

Exemplos

2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.

Representação gráfica de um Par Ordenado

Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.

Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

Matemática

63

Coordenadas Cartesianas

Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par.

Assim:

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.

Esse plano é formado por duas retas,x e y, perpendiculares entre si.

A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).

A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).

O ponto comum dessas duas retas é denominado

origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

Localização de um Ponto

Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.

O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.

No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto

procurado. Exemplo:

Localize o ponto (4, 3).


64

Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = 1, 2, 3 e B = 3, 4.

Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos

os pares

ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

Assim , obtemos o conjunto: (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)

Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

Logo:

Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o

conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde

Equações de primeiro grau

(com duas variáveis)

Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y

Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa

equação equivalente mais simples. Assim:

2x + 3y = 5 + 6

2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .

Matemática

65

Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser

reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

Na equação ax + by = c, denominamos:

x + y - variáveis ou incógnita

a - coeficiente de x

b - coeficiente de y

c - termo independente

Exemplos:

x + y = 30

2x + 3y = 15

x - 4y = 10

-3x - 7y = -48

2x- 3y = 0

x - y = 8

Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?

Observe os pares abaixo:

x = 6, y = 1

x - 2y = 4

6 - 2 . 1 = 4

6 - 2 = 4

4 = 4 (V)

x = 8, y = 2

x - 2y = 4

8 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 4

4 = 4 (V)

x = -2, y = -3

x - 2y = 4

-2 - 2 . (-3) = 4


66

-2 + 6 = 4

4 = 4 (V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.

Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - ,

sendo, portanto, seu conjunto universo .

Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis,

calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.

Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim:

3x - y = 8

3 . (1) - y = 8 3 - y = 8

-y = 5 ==> Multiplicamos por -1

y = -5

O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.

V = (1, -5)

Resumindo:

Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação

ax + by = c

(ae b não-nulos simultaneamente),

se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num

plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa

equação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Matemática

67

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.

1º par: A (4, 0)

2º par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos

soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.

4.2. Sistemas de equações polinomiais do 1 grau com duas incógnitas

Considere o seguinte problema:

Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos.

Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:

x + y = 25 (total de arremessos certo)

2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)

Essas equações contém um sistema de equações.

Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do

sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.

x Y

4 0

0 4


68

Resolução de Sistemas

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um

par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:

Método de substituição

Solução

determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y) -3y = 3

Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 3

8 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por -1

5y = 5

y = 1

Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3

A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = (3, 1)

Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da

adição.

Matemática

69

Resolva o sistema abaixo:

Solução

Adicionamos membros a membros as equações:

2x = 16

x = 8

Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

V = (8, 2)


70

1) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 7,00. Seu irmão

Joãozinho comprou uma coxinha e um refrigerante a mais, pagando R$ 11,50. Qual é o preço do

refrigerante e o da coxinha?

2) Em uma prateleira há 42 produtos em embalagens de 400 g e de 500 g, num total de 18,5 kg.

Quantas embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número de embalagens de 400 g

seja o mesmo que o número de embalagens de 500 g?

3) Um certo jogo possui fichas com duas ou quatro figuras cada uma. Um certo jogador possui 8

fichas com um total de 22 figuras. Quantas fichas de cada tipo possui este jogador?

4) Possuo R$ 2.300,00 em notas de R$ 50,00 e R$ 100,00, totalizando 30 notas. Quantas notas

possuo de cada valor?

5) Comprando 5 unidades de um produto A mais 3 unidades de um produto B, terei que desembolsar

R$ 90,00. Se eu comprar 15 unidades do produto A e 9 unidades do produto B, pagarei

R$ 250,00. Qual é o preço unitário de cada um dos produtos?

6) A soma de dois números é 530 e a diferença entre eles é 178. Quais são estes números?

7) Num depósito existem 24 extintores de incêndio, sendo de espuma química e dióxido de carbono.

Sabendo-se que o de dióxido de carbono é o triplo do de espuma química, conclui-se que o

número de extintores de espuma química existentes nesse depósito é:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

8) Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferença de nossas idades é 23 anos, minha idade

é:

a) 40 anos b) 46 anos c) 48 anos d) 50 anos

9) A soma da minha idade com a da minha filha é 72. Daqui a 3anos a minha idade será o dobro da

idade da minha filha. A minha idade atual , em anos é:

a) 47 b) 49 c) 51 d) 53

10) Luís e Maria resolveram comparar suas coleções de “compact disc” . Descobriram que têm ao

todo 104 CDs e que se Maria tivesse 12 CDs a menos teria o triplo do número de CDs do Luís. É

possível afirmar que a quantidade de CDs que Luís possui é:


http://www.matematicadidatica.com.br/SistemasEquacoesPrimeiroGrauDuasIncognitasExercicios.aspx#anchor_ex2














Matemática

71

a. 46

b. 40

c. 32

d. 23

11) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2

pessoas num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas duas pessoas é ?

a. 4

b. 5

c. 6

d. 7

12) Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50

exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou?

a. 35

b. 30

c. 25

d. 15

13) Em um restaurante existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras num total de 16 mesas. Ocupando todos os

lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que

o restaurante acomoda no máximo 72 pessoas, quantas mesas de cada tipo ( 3, 4 e 6) ,

respectivamente, existem?

a. 6, 4 e 6

b. 6, 6 e 4

c. 4, 6 e 6

d. 3, 7 e 6

14) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com seu clube: cada vez que ele

convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse pagaria R$

5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00.

Pode-se afirmar que o número de arremessos convertidos pelo jogador foi:

a. 0

b. 5

c. 10

d. 15

15) Um copo cheio tem massa de 385g; com 2/3 de água tem massa de 310g. A massa do copo

com 3/5 da água é:

a. 160 g

b. 225 g

c. 260 g

d. 295 g


72


16) Num escritório de advocacia trabalhavam apenas dois advogados e um secretária. Como

Dr. André e Dr. Carlos sempre advogam em causa s diferentes, a secretária, Cláudia, coloca

um grampo em cada processo do Dr. André e dois grampos em cada processo do Dr. Carlos,

para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que ao todo são 78 processos, nos quais

foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é

igual a:

a. 64

b. 46

c. 40

d. 32

Unidade 4

Página 70

1) Coxinha: R$ 2,50 e Refrigerante: R$ 2,00; 2) 8 embalagens; 3) Este jogador possui 5 fichas

com duas figuras e 3 fichas com quatro figuras; 4) Possuo 14 notas de R$ 50,00 e 16 notas de

R$ 100,00; 5) Não é possível obtermos o preço unitário de cada um dos produtos, pois o

sistema é impossível.; 6) Os números são 354 e 176; 7) D; 8) B; 9) B; 10) D; 11)B; 12) A; 13)

C; 14) C 15) D; 16) D.

Matemática

73

Unidade 5

Inequações Polinomiais do 1º Grau

Introdução

Estudar matemática é internalizar os conhecimentos vivenciados para depois poder aplicá-los

de alguma forma. Ao longo de todo nosso caminho no estudo da matemática nos deparamos

com algumas dificuldades e desafiadores obstáculos, porém nada mais satisfatório que, ao

final de uma jornada, ter alcançado os objetivos aos quais nos propusemos a atingir. Diante de

nós mais um desafio, as inequações polinomiais do 1º grau que, com o nosso conhecimento

acumulado durante anos de estudo, será mais uma etapa que, com toda certeza, concluiremos.

Quando resolvemos uma equação do 1º grau, usamos recursos matemáticos tais como: somar

ou subtrair um mesmo valor aos dois membros da equação e multiplicar ou dividir os dois

membros por um mesmo valor, sem alterar a equação. Será que esses recursos também são

válidos na inequação do 1º grau? É o que descobriremos a seguir.

Ao concluir esta unidade, utilizando o livro o caderno complementar e as

fontes citadas você será capaz de:

Reconhecer que toda sentença matemática aberta, expressa por

uma desigualdade, é uma inequação.

Identificar o primeiro membro e o segundo membro de uma

inequação.

Identificar como equivalentes duas ou mais inequações que

possuem o mesmo conjunto-solução.

Aplicar os princípios de equivalência de uma desigualdade nas

inequações.

Verificar as conseqüências da aplicação dos princípios de

equivalência.

Reconhecer inequações equivalentes.

Reconhecer como inequação polinomial do 1 grau com uma

variável, toda inequação que pode ser transformada numa

inequação equivalente da forma ax + b 0, ax + b 0, ax +

b 0 com a, b Q e a 0.

Resolver, pelo processo geral, uma inequação polinomial do 1

grau com uma variável, aplicando os princípios de equivalência

das desigualdades (princípio aditivo e multiplicativo).

Representar simbolicamente, o conjunto-solução de uma

inequação do 1 grau como uma variável.

Matemática Inequações Polinomiais do 1º Grau

74

5.1. Resolução de inequações polinomiais do 1 grau com uma incógnita.

Analisando as condições de vida da população brasileira, certamente encontraremos um

verdadeiro desequilíbrio, tanto na área social como na área econômica. Esse desequilíbrio pode ser

percebido em situações como:

Moradia: a cada dia, a população de rua vem aumentando nas grandes cidades.

Alimentação: 42,79% da população rural vive em situação de indigência.

Salário: enquanto o salário de uns é baixíssimo, o salário de outros é excessivamente alto.

Também podemos perceber esse desequilíbrio nas áreas de saúde, educação, saneamento básico etc.

Observe o gráfico abaixo. Ele representa o desequilíbrio na área da alimentação:

Se usarmos a imagem de uma balança para .pesar. essas desigualdades,

ela estará permanentemente desequilibrada... Mas, até quando?

Matemática

75

Mas o que tudo isso tem a ver com a nossa aula de Matemática?

Vamos estudar inequações do 1º grau. E as inequações representam uma

desigualdade matemática.

EXEMPLO 1

O número de pessoas que entram no 1º grau é maior do que o número de

pessoas que terminam o 1º grau. Esse fato é comprovado em diversas pesquisas

realizadas.

Se representarmos por x o número de pessoas que entram no 1º grau e por

y o número de pessoas que terminam o 1º grau, poderemos escrever essa frase

em linguagem matemática, assim:

x > y onde o símbolo > indica é maior que.

A balança pode ser usada para mostrar esse desequilíbrio ou essa desigualdade

na educação.

A inequação do 1º grau

Assim como a equação do 1º grau, a inequação também é uma frase

matemática, só que, em vez do sinal de = (igual), tem um desses sinais: > (maior) ou <

(menor) ou ≥ (maior ou igual) ou ≤ (menor ou igual).

2x + 1 > 4𝑥 − 5y − 1 < 0

2x − 10 ≤ x + 1y + 4 ≥ 5 − 2y

Estas frases matemáticas são exemplos de inequações

do 1º grau com uma incógnita


76

Propriedades da inequação do 1º grau

Quando resolvemos uma equação do 1º grau, usamos recursos matemáticos

tais como: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros da equação

e multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo valor, sem alterar a

equação. Será que esses recursos também são válidos na inequação do 1º

grau?

Vamos tomar a desigualdade 5 > 4, que é uma desigualdade verdadeira,

para verificar a validade desses recursos.

l Recurso: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros.

5 > 4

somar 2

5 + 2 > 4 + 2

7 > 6 _ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.

5 > 4

subtrair 1

5 - 1 > 4 - 1

4 > 3 _ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.

Podemos concluir que esse recurso (somar ou subtrair um mesmo valor aos

dois membros) é válido também para resolver inequações do 1º grau.

Matemática

77

Recurso: multiplicar ou dividir por um mesmo valor os dois membros da

inequação:

Esse valor é um número positivo

5 > 4 x (+ 2)

5 x 2 > 4 x 2

10 > 8

Esse valor é um número negativo.

5 > 4 _ x (- 1)

(- 1) . 5 ? 4 . (- 1)

- 5 < - 4

Observação: - 5 < - 4 só será uma desigualdade verdadeira se o símbolo for invertido.

5 > 4

5 : 2 > 4 : 2

2,5 > 2

5 > 4 : (- 2)

5 : (- 2) ? 4 : (- 2)

−5

2<

4

2

- 2,5 < - 2


78

Portanto, devemos ter cuidado ao utilizar esse recurso (multiplicar ou dividir por um mesmo valor os dois

membros) para resolver uma inequação do 1º grau: se esse valor for um número negativo, o sinal da

desigualdade deve ser invertido.

Como resolver uma inequação do 1º grau?

Vamos aplicar os recursos que acabamos de ver na resolução de uma inequação do 1º grau.

EXEMPLO 2

Quais os valores de x que tornam a inequação - 2x + 5 > 0 verdadeira?

Inicialmente, resolvemos como se fosse uma equação do 1º grau:

- 2x + 5 > 0

- 2x > - 5

𝑥 <5

2

x < 2,5

Observe que 2,5 não é solução da inequação, mas qualquer ponto menor que 2,5 é solução.

Vamos verificar:

Para x = -1 _-2 (-1) + 5 > 0 _2 + 5 > 0 _ 7 > 0 (verdadeiro)

Para x = 2 _-2 (2) + 5 > 0 _-4 + 5 > 0 _ 1 > 0 (verdadeiro)

Para x = 2,5_-2 (2,5) + 5 > 0 _-5 + 5 > 0 _ 0 > 0 (falso)

Para x = 3 _-2 (3) + 5 > 0 _-6 + 5 > 0 _ -1 > 0 (falso)

Comprovamos, então, que somente os valores menores que 2,5 tornam a inequação verdadeira.

O gráfico de inequação de 1º grau

Na unidade anterior, você aprendeu a representar graficamente uma equação do 1º grau com duas

incógnitas. Agora vamos representar no plano cartesiano uma inequação do 1º grau com duas incógnitas.

como a operação inversa à somar 5 é subtrair 5, +5 fica -5

2x<5 multiplicando os dois lados por (-1) e

invertendo o sinal de desigualdade

Matemática

79

EXEMPLO 3

Represente no plano cartesiano a inequação x + 2y < 8

Vamos partir da equação x + 2y = 8

A região abaixo da reta representa os pontos em que x + 2y < 8. E a região acima da reta

representa os pontos em que x + 2y > 8.

Experimente! Pegue um ponto de cada uma das regiões indicadas e substitua suas coordenadas na

inequação x + 2y < 8. O que ocorre?

Para explicações teóricas e práticas sobre inequações do 1º grau veja o seu livro texto. Ele está bem

completo e didático. Caso tenha dúvidas, fale com seu tutor, ele está a sua disposição através do skype ou

no ambiente virtual de aprendizagem. Em seguida apresentaremos alguns exercícios para que você possa

exercitar mais para ter um melhor desempenho.


Um site muito legal e que pode te ajudar muito a tirar dúvidas de frações é o site

http://www.matematicamuitofacil.com. Além disso você pode encontrar várias outras coisas, como

exercícios, curiosidades, história da matemática, softwares matemáticos, entre outros. Um bom site para

consultar este conteúdo ou conteúdos futuros.

x 𝑦 =

8 − 𝑥

2

(x;y)

0 4 (0;4)

2 3 (2;3)

http://www.matematicamuitofacil.com/


80

1) Resolva as seguintes inequações, em Q:

a) 2x + 1 x + 6

b) 2 - 3x x + 14

c) 2(x + 3) > 3 (1 - x)

d) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7

e) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4

f) (x + 3) > (-x-1)

g) [1 - 2×(x-1)] < 2

h) 6x + 3 < 3x + 18

i) 8(x + 3) > 12 (1 - x)

j) (x + 10) > ( -x +6)

2) Resolva as inequações:

a) 𝑥 + 4 > 7

b) −3𝑥 ≤ 15

c) 2𝑥 − 10 ≤ 4

d) 3𝑥 ≤ −15

e) 3𝑥+1

2−

𝑥

3< 1

f) 𝑥

2+

4−2𝑥

5≥ −2

3) Represente na reta numérica as soluções da inequações do exercício 2.

4) A balança ao abaixo está equilibrada. Escreva uma sentença matemática que represente

esse equilíbrio.


Matemática

81

5) Represente no plano cartesiano as inequações:

a) 𝑥 + 2𝑦 > 8

b) 3𝑥 − 𝑦 ≤ 0

c) 𝑥 + 𝑦 < 5

6) Qual é a solução da inequação 𝑥 − 2(𝑥 + 1) <𝑥+3

5, no conjunto Q dos números

racionais?

7) Uma indústria se instalou em uma cidade A. De acordo com os seus estatutos, o número

de funcionários que residem na cidade A deve ser maior que o número de funcionários

vindos de outras cidades. Sabendo-se que 50 trabalhadores vieram de outras cidades, e sendo

x o número de funcionários residentes na cidade A, que inequação representa as exigências

do estatuto dessa indústria?

8) Dentre os números a seguir, quais pertencem ao conjunto solução da inequação 𝑥−7

5+

𝑥

10≤ 1, sendo U= ?

9) Quais números inteiros negativos fazem parte do conjunto solução da inequação?

10) Um espião de guerra enviou ao seu comando a seguinte mensagem:

O comando sabia que a letra n representava o número de foguetes do inimigo. Fazendo os

cálculos, o comando descobriu que o total de foguetes era:


82


Unidade 5

Página 80

1) a) x≤5; b) x≤3; c) x>−𝟑

𝟓; d) x>

𝟖

𝟗; e) x<9; f) x>-2; g) x>

𝟏

𝟐; h) x<5; i) x>−

𝟑

𝟓; j) x>-2; 4)

2y<x;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10)

Matemática

83

Unidade 6

Proporcionalidade

Introdução

A todo o momento efetuamos cálculos, por exemplo, de consumo de

combustível quando estamos em um veículo. Assim como é comum se

pensar quanto tempo se gastará para realizar certo trabalho ou quantas

pessoas seriam necessárias para fazê-lo. Nosso objetivo nesta unidade é

estudar a proporcionalidade, que será um valioso instrumento para

cálculos dessa espécie.



Reconhecer uma razão em a e b ( b 0 ) como o quociente entre

esses dois números racionais, com o termos antecedentes e

conseqüentes.

Identificar os termos de uma razão.

Identificar proporções como a igualdade de duas razões.

Reconhecer, em uma proporção, os meios e os extremos.

Reconhecer a propriedade fundamental das proporções.

Aplicar a propriedade fundamental das proporções para calcular

um termo desconhecido de uma proporção.

Reconhecer proporções contínuas.

Verificar se os números de uma sucessão são diretamente

proporcionais aos número de outra sucessão.

Determinar o fator de proporcionalidade.

Efetuar a divisão de um número em partes diretamente

proporcionais a números dados.

Explicar se os números de uma sucessão são inversamente

proporcionais aos números de outra sucessão.

Determinar o fator de proporcionalidade.

Efetuar a divisão de um número em partes inversamente

proporcionais a números dados.

Reconhecer grandezas diretamente proporcionais e grandezas

inversamente proporcionais.

Aplicar a regra de três simples na resolução de problemas que

envolvam duas grandezas diretamente ou inversamente

proporcionais.

Aplicar a regra de três composta na resolução de problemas que

envolvam grandezas proporcionais a outras.

Matemática Proporcionalidade

84

6.1 Razões e Proporções

Razões - Introdução

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e

um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas

dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro.

Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho

do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do

comprimento do carro de corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma

divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa

que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois

números a e b (b diferente de zero)

o quociente a

b ou a:b.

A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão".

Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que

utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.

Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1

foi aprovado).

Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de

convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram

mulheres).

Matemática

85

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada

de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa

com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários.

Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é :

A razão entre é .

Termos de uma razão Observe a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou 𝑎

𝑏, o número a é denominado antecedente e o número b é

denominado consequente. Veja o exemplo:

3:5 =

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Razões inversas

Considere as razões .


86

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja,

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.

Duas razões são inversas entre si quando o produto

delas é igual a 1.

Exemplo:

são razões inversas, pois .

Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o

consequente da outra, e vice-versa.

Observações:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.

2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos

permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .

Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da

seguinte maneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma

razão por um mesmo número racional (diferente de

zero), obtemos uma razão equivalente.

Matemática

87

Exemplos:

são razões equivalentes.

são razões equivalentes.

Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:

Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o

quociente entre os números que expressam as medidas

dessas grandezas numa mesma unidade.

Exemplos:

1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o

primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2=

1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de

vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de

162m2 e a de basquete possui uma área de 240m

2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: .

Razões entre grandezas de espécies diferentes

O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de

espécies diferentes, determina-se o quociente entre as

medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser

acompanhada da notação que relaciona as grandezas


88

envolvidas.

Exemplos:

1) Consumo médio:

Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro.

Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a

razão entre a distância e o combustível consumido? O que

significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

Essa razão significa que a cada litro consumido foram

percorridos em média 11,5 km.

2) Velocidade média:

Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas.

Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que

significa essa razão?

Solução:

Razão =

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em

média 90 km.

3) Densidade demográfica:

O estado do Ceará no último censo teve uma população

avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694

km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a

área desse estado. O que significa essa razão?

Solução:

Razão =

Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro

quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado

existem em média 46 habitantes.

4) Densidade absoluta ou massa específica:

Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g.

Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O

que significa essa razão?

Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Matemática

89

Razão =

Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro

cúbico").

Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

Proporções - Introdução

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa

120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão,

16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos

afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas

razões.

Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem,

dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º

for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção.

a e d os extremos da proporção.


90

Exemplo:

Dada a proporção , temos:

Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.

Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporções

Observe as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 =

120

Produto dos extremos = 3.40

= 120


180


= 180


360


= 360

De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao

produto dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

Matemática

91

Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 120

x = 24

Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade

fundamental)

5x - 15 = 8x + 4

5x - 8x = 4 + 15

-3x = 19

3x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção.

Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 8 . 35

5x = 280

x = 56

Logo, o valor de x é 56.


92

Resolução de problemas envolvendo proporções

Exemplo:

Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são

retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m

3de sal, quantos

metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água

salgada.

Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e

armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m

3.


1 . 2 = 0,04 . x

0,04x = 2

x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

Quarta proporcional

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-

se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a

proporção:


8 . x = 12 . 6

8 . x = 72

Matemática

93

x = 9

Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:

Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso,

denominada proporção contínua. Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os

meios iguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional

Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-

se terceira proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo:

Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.

Solução

Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:


20 . x = 10 . 10

20x = 100

x = 5

Logo, a terceira proporcional é 5.


94

Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua , o número b é

denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c.

Exemplo:

Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.

Solução:

5 . 20 = b . b

100 = b2

b2 = 100

b =

b = 10

Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções

1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está

para o 2º (ou 1º) termo,

assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou

3º).

Demonstração

Considere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro

obtemos:

Matemática

95

Exemplo:

Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.

Solução:

Assim:

x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.

Logo, x=36 e y=48.

2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos

está para o 2º (ou 1º) termo,

assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º

(ou 3º).

Demonstração

Considere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2 membros

por -1)

Exemplo:


96

Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção

.

Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.

Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a

soma dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o seu

consequente.

Demonstração

Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a

diferença dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração


Matemática

97

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .

Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o

produto dos consequentes,

assim como o quadrado de cada antecedente está para

quadrado do seu consequente.

Demonstração


Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:


98

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer

número de razões. Exemplo:

Proporção múltipla

Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

é uma proporção múltipla.

Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e

4ª propriedade, podemos escrever:

6.2 Grandezas Proporcionais

Grandezas - Introdução

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem

ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.

Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a

capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por

exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor

será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo

de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

Matemática

99

Grandezas diretamente proporcionais

Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis

dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.

5 min ----> 100Kg

10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.

5 min ----> 100Kg

15 min ----> 300Kg

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando

a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores

correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois

valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma

velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125


100

10 100

16 62,5

20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe

que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.

5 m/s ----> 200s

10 m/s ----> 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.

5 m/s ----> 200s

20 m/s ----> 50s

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando

a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os

valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois

valores correspondentes da outra grandeza.

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as

proporções, porem não chegaram a aplica-las na resolução de problemas.

Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o

italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o

nome de Regra de Três Números Conhecidos.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam

quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a

partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples

· Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e

mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

· Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Matemática

101

· Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido?

Observe que as grandezas são diretamente proporcionais,

aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.

Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas.

A quantia a ser paga é de R$234,00.

b) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do

carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo

diminui na razão inversa.

Resolução:

Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas.

Regra de Três Composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta

ou inversamente proporcionais.

Exemplo:

a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos

caminhões serão necessários para descarregar 125m3?


102

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões.

Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a

relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão

que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Resolução:

Será preciso de 25 caminhões.

6.3 Porcentagem e Juros Simples

Porcentagens

Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio

nome por cem.

Exemplo:

Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.

Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com

muita

frequência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.

Exemplos:

O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.

A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano.

Desconto de 25% nas compras à vista.

Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de

números decimal, observe os exemplos.

Exemplos:

Matemática

103

Trabalhando com Porcentagem

Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.

Exemplos:

1. Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%.

Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?

(primeiro representamos na forma de fração decimal)

10% de 100 →10% x 100→

300 – 30 = 270

Logo, pagarei 270 reais.

2. Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de

mangueira Pedro usou.

32% =

Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira.

3. Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um

lucro de 25% sobre o preço de custo.


104

O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro.

Então, 2000 + 500 = 2500 reais.

Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais.

4. Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu

obtive de lucro?

Lucro: 25 000 – 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo)

(resultado da divisão do lucro pelo preço de custo)

5. O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000

reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

Juros Simples

A idéia de juros todos nós temos, é muito comum ouvirmos este termo em jornais,

revistas. Mas o que realmente significa juros.

Juro é aquela quantia que é cobrada a mais sobre uma determinada quantia a ser paga

ou recebida.

Juros Simples ou simplesmente Juros, são representado pela letra j.

O dinheiro que se empresta ou se deposita chamaremos de Capital e representaremos pela

letra c.

O Tempo que este dinheiro ficara depositado ou emprestado, representaremos pela letra t.

A Taxa é a porcentagem que devera ser cobrada, pelo tempo que o dinheiro ficou depositado

ou emprestado. É representado pela letra i.

Observe:

Capital = c Juros = j Tempo = t Taxa = i

Resolução de Problemas

Estes problemas, podem ser resolvidos por regra de três composta, mas para facilitar os

cálculos podemos usar uma fórmula.

Matemática

105

Exemplos:

1. Quanto rende de juros um capital de 1 500 reais, durante 3 anos, à taxa de 12% ao

ano?

Logo, rendera de juro 540 reais

2. Qual o capital que rende 2 700 reais de juros, durante 2 anos, à taxa de 15% ao ano?

Logo, o capital era de 9 000 reais.

3. Por quanto tempo o capital de 6 000 reais esteve emprestado à taxa de 18% ao ano

para render 4 320 de juros?

Logo, durante 4 anos

4. A que taxa esteve emprestado o capital 10 000 reais para render, em 3 anos,14 400

reais de juros?


106

Logo, a taxa é de 48%.

Observação:

Devemos ter o cuidado de trabalharmos com o tempo e taxa sempre na mesma unidade.

Taxa em ano = tempo em anos

Taxa em mês = tempo em mês

Taxa em dia = tempo em dia

Exemplos:

5. Vamos calcular os juros produzidos por 25 000

reais à taxa de 24% ao ano durante 3 meses.

Matemática

107

1) Resolva as seguintes proporções:

a) b)

c) d)

e) f)

g)

2) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção .

3) Sabendo que a + b = 55, determine a e b na proporção .

4) A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para

a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a idade do pai e do

filho.

5) Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e

responda:

Número de acertadores Prêmio

3 R$ 200.000,00

4 R$ 150.000,00

a) Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 para o prêmio de

R$150.000,00?

b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores?

c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?



108

6) Diga se é diretamente ou inversamente proporcional:

a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá consumir.

b) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante.

c) Número de erros em uma prova e a nota obtida.

d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa.

e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago.

7) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os

números x e y.

8) Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 480, determine

os números a, b e c.

9) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?

10) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x?

11) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam

Matemática nessa escola?

12) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$

102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?

13) Calcule as porcentagens correspondentes:

a) 2% de 700 laranjas

b) 40% de 48 m

c) 38% de 200 Kg

d) 6% de 50 telhas

e) 37,6% de 200

f) 22,5% de 60

14) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

15) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125

dias.

16) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

17) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um

capital aplicado através de capitalização simples?

Matemática

109


Unidade 6

Página 107

1) a) x = 3; b) x = 35; c) x = 13; d) x = -2; e) x = 5; f) x = -1,35; g) x = 15/11;

2) x = 15 y=27; 3) a=20, b=35; 4) a idade do filho é 10 anos, a idade do pai é 35 anos.; 5)

a) 𝟑

𝟒; b)

𝟒

𝟑; c) Inversamente proporcionais.; 6) a) IP; b) DP; c) IP d) IP; e) DP; 7) x=10, y=18; 8)

a=45, b=30 e c=50; 9) 45%; 10) 1600 metros; 11) 6 professores; 12) 120 reais; 13) a) 14 laranjas;

b) 19,2m; c) 76 kg; d) 3 telhas; e) 75,2; f) 13,5; 14) 234 reais; 15) R$ 5000,00; 16) R$116.666,67;

17) 8 meses.

Matemática Geometria Plana

110

Unidade 7

Geometria Plana

Introdução

Nesta unidade, mostraremos um pouco mais sobre geometria plana,

algumas curiosidades e desafios pra você aprender matemática.

Trabalharemos com a noção de ângulo, aprenderemos a medir um ângulo,

operar com medidas de ângulos e a resolver problemas envolvendo

medidas de ângulos.



Reconhecer o ângulo como a figura geométrica constituída por

duas semi-retas de mesma origem e e não-

coincidentes.

Identificar vértice e lados de um ângulo.

Medir um ângulo com um transferidor em graus.

Reconhecer as unidades-padrão para medir ângulos.

Reconhecer o símbolo de cada unidade e seu valor em relação ao

grau.

Reconhecer ângulo reto, agudo e obtuso.

Associar a noção de ângulo reto com a definição de retas

perpendiculares.

Identificar ângulo raso ou de meia volta.

Identificar ângulo nulo e ângulo de uma volta.

Reconhecer ângulos congruentes como aqueles que possuem

medidas iguais.

Reconhecer a congruência de ângulos como uma relação de

equivalência.

Identificar bissetriz de um ângulo.

Reconhecer ângulos complementares.

Calcular a medida do complemento de um ângulo.

Reconhecer ângulo suplementares.

Calcular a medida do suplemento de um Transformar uma

unidade em outra, usando as relações entre elas.

Efetuar operações com medidas de ângulo.

Matemática

111

7.1. Ângulos, Definição, Unidade de Medida e Classificação

O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS

Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma

origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas

semi-retas determinam dois ângulos:

Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que

determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.

O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA

ou Ô.


112

Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na

mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma

volta.

As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-

volta.

Matemática

113

Podemos, então, estabelecer que:

Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-

que têm a mesma origem.

MEDIDA DE UM ÂNGULO

A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de

medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.

Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais,

determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um

ângulo de 1º grau (1º).

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor

já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor:

Transferidor de 180º e de 360º.

O grau compreende os submúltiplos:

O minuto corresponde a 1

60 do grau. Indica-se um minuto por 1'.

1º=60'

O segundo corresponde a 1

60 do minuto. Indica-se um segundo por 1''.


114

1'=60''

Logo, podemos concluir que:

1º = 60'.60 = 3.600''

Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema

sexagesimal.

Como medir um ângulo, utilizando o transferidor

Observe a seqüência

O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.

A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do

ângulo .

Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ângulo

Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:

15º (lê-se "15 graus'')

45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')

30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')

Observações

Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior

precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante,

utilizado em navegação.

A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra

minúsculaou de um número.

Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.

O ângulo de uma volta mede 360º.

Questões envolvendo medidas de ângulos

Matemática

115

Observe a resolução das questões abaixo:

Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

Solução

Medida de AÔB = x

Medida de BÔC = 105º

Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:

m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)

x + 105º = 180º

x = 180º - 105º

x = 75º

Logo, a medida de AÔB é 75º.

Determine a medida do angulo não-convexo na figura:

Solução

Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam,

juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360º


116

x = 360º - 50º

x = 310º

Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.

Como construir um ângulo utilizando o transferidor Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

Traçamos uma semi-reta .

Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).

Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.

Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.

Eles podem ser desenhados com esquadro.

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema

sexagesimal. Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

Transforme 30º em minutos.

Solução Sendo 1º = 60', temos:

30º = 30 . 60'= 1.800

'Logo, 30º = 1.800

Transforme 5º35' em minutos.

Solução 5º = 5 . 60' = 300'

300' + 35'= 335'

Logo, 5º35'= 335'.

Transforme 8º em segundos.

Solução Sendo 1º = 60', temos:

8º = 8 . 60'= 480

'Sendo 1'= 60'', temos:

480'= 480 . 60'' = 28.800''

Matemática

117

Logo, 8º = 28.800''.

Transformando uma medida de ângulo em número misto Transforme 130' em graus e minutos.

Solução

Transforme 150'' em minutos e segundos.

Solução

Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos.

Solução


118

ÂNGULOS CONGRUENTES

Observe os ângulos abaixo:

Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a

seguinte indicação:

Assim:

Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

Matemática

119

Propriedades da Congruência

Reflexiva:

Simétrica:

Transitiva:

ÂNGULOS CONSECUTIVOS

Observe a figura:

Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.

Verifique em cada uma das figuras abaixo que:

Os ângulos AÔC e CÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:


120

Os ângulos AÔC e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:

Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC são denominados ângulos consecutivos.

Assim:

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o

mesmo vértice e um lado comum.

ÂNGULOS ADJACENTES

Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

Os ângulos AÔC e CÔB não possuem

pontos internos comuns

Os ângulos AÔC e AÔB possuem

pontos internos comuns

Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos

comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.

Assim:

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos

e não possuem pontos internos comuns.

Matemática

121

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Observe a figura abaixo:

m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º

Verifique que a semi-reta divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB )

congruentes.

Nesse caso, a semi-reta é denominada bissetriz do ângulo AÔB.

Assim:

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e

que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo

Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.

Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os

pontos C e D sobre as semi-retas , respectivamente.

Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à

metade da distância de C a D traçamos arcos que se cruzam em E.


122

Traçamos , determinando assim a

bissetriz de AÔB.

ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.

Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:

Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:

Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:

Matemática

123

RETAS PERPENDICULARES As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.

Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:

Observação

Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas

de oblíquos. Exemplo:

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:


124

Verifique que:

m (AÔB) + m (BÔC) = 90º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares.

Assim:

Dois ângulos são complementares quando

a soma de suas medidas é 90º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.

Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença

entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Complemento

x 90º - x

Exemplo:

Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução

Medida do complemento = 90º - medida do ângulo

Medida do complemento = 90º - 75º

Medida do complemento = 15º

Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

Matemática

125

As semi-retas formam um ângulo raso.

Verifique que:

m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:

Dois ângulos são suplementares quando

a soma de suas medidas é 180º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.

Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.

Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença

entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Suplemento

X 180º - X

Exemplo:

Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?

Solução

Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo

Medida do suplemento = 180º - 55º

Medida do suplemento = 125º

Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:


126

Verifique que:

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v).

Assim:

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados

de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que:

X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

Então:

Logo: y = k

Assim:

m (AÔB) = m (CÔD) AÔB CÔD

Matemática

127

m (AÔD) = m (CÔB) AÔD CÔB

Daí a propriedade:

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

7.2 Operações com Medidas de Ângulos

Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos:

Adição

30º48' + 45º10'

43º18'20'' + 25º20'30''

10º36'30'' + 23º45'50''

Simplificando 33º81'80'', obtemos:

Logo, a soma é 34º22'20''.

Subtração

Observe os exemplos:

70º25' - 30º15


128

38º45'50'' - 27º32'35''

Multiplicação por um número natural


2 . ( 36º 25')

4 .(15012‟)

5 . ( 12º36'40'')

Logo, o produto é 63º3'20''.

Divisão por um número natural


( 40º 20') : 2

Matemática

129

( 45º20' ) : 4


Você achou interessante o estudo da geometria? Que tal conhecer um pouco mais sobre essa parte

da matemática tão apaixonante? Uma sugestão muito legal para aprender mais é o livro Saída Pelo Triângulo - A Descoberta da Matemática editado pela editora Ática.

1) Nos relógios desenhados, qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de

cada relógio?

2) Na figura abaixo as retas AC e BD se interseptam no ponto O. Pergunta-se:

i) a) Quais são ângulos agudos?

b) Quais são ângulos obtusos?

c) Quais são os nomes de quatro pares de ângulos suplementares?

d) Quais ângulos são opostos pelo vértice?

e) Identifique dois ângulos que são adjacentes ao ângulo DÔA.

3) A soma de dois ângulos adjacentes é 120 graus. Calcule a medida de cada ângulo,

sabendo que a medida de um deles é o triplo da medida do outro menos 40 graus.

4) Dois ângulos são suplementares, a medida de um deles é 24 graus menor do que o dobro

da medida do outro.Calcule a medida de cada ângulo.



130

5) Um entre dois ângulos complementares tem medida 18º menor do que o dobro da medida

do outro. Calcule as medidas de cada ângulo.

6) Dois ângulos complementares têm medidas respectivamente iguais a 3x-10 e 2x+10.

Determinar a medida de cada ângulo.

7) Em quantos graus, a medida do suplementar de um ângulo agudo excede a medida do

complementar deste ângulo?

8) Se (3x-15) graus é a medida de um ângulo agudo, que restrições devemos ter para o

número x?

9) A soma das medidas de dois ângulos complementares é 86º maior do que a diferença de

suas medidas. Calcule a medida de cada ângulo.

10) Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:

a)

b)

c)

d)

11) Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do

triângulo:

Matemática

131


12) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?

Unidade7

Página 129

1) Relógio verde, aproximadamente 150o, relógio lilás, aproximadamente, 120

o. ; 2) a)

Ângulos agudos são BÔA e CÔD.; b) Ângulos obtusos são BÔC e DÔA; c) Quatro pares

de ângulos suplementares são DÔC e CÔB, CÔB e BÔA, BÔA e DÔA, BÔA e CÔD; d)

Ângulos opostos pelo vértice: DÔC e AÔB, AÔD e BÔC; e) Dois ângulos adjacentes ao

ângulo DÔA são: BÔA e DÔC; 3) x=40o e y=80

o 4) x=112º e y=68º; 5) 36º e 54º; 6) 44º e

46º; 7) 90º; 8) 5<x<35; 9) 43º e 47º; 10) a) x=15o; b) x=20

o; c) x=10

o; d) x=42

o; 11) x=15; 12)

360o.

Matemática Noções de Estatística

132

Unidade 8

Noções de Estatística

Introdução

Ao lermos um jornal, abrimos uma revista, assistirmos a um telejornal ou acessarmos uma

página da web, podemos notar a presença de gráficos e dados estatísticos. Estatística é uma

ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e

apresentar dados. Saber como ler e interpretar gráficos, calcular médias modas e medianas nos

ajudaram a possuir uma visão mais ampla do mundo em que vivemos. Vamos então a ela.


será capaz de:

Calcular média aritmética simples entre dois ou mais valores.

Calcular média aritmética ponderada entre dois ou mais valores.

Calcular a moda e a mediana

Coletar e tabular os dados de uma pesquisa.

Construir e interpretar gráficos estatísticos: colunas, barras e

setores.

.

.

Matemática

133

8.1 Média Aritmética Simples e Ponderada

Em uma família com 4 integrantes, o primeiro consome 1200 ml de leite por dia, o segundo

1400 ml, o terceiro 1000 ml e o quarto integrante consome 1600 ml de leite por dia.

O consumo total diario desta família também seria de 5200 ml se cada um dos seus 4

integrantes consumisse 1300 ml diarios de leite.

A função da média é justamente esta, transformar um conjunto de números diversos em um

único valor, a fim de que se possa ter uma visão global sobre os dados.

Média Aritmética Simples

Dos vários tipos de médias utilizados, o mais simples e o mais comum é a média aritmética

simples.

Dados os números 1200, 1400, 1000 e 1600, para apurarmos o valor médio artimético deste

conjunto, simplesmente o totalizamos e dividimos o total obtido pela quantidade de valores

do conjunto:

Agora preste atenção neste conjunto de números após o colocarmos em ordem crescente:

1000, 1200, 1400, 1600

Observe que se fossemos inserir o valor médio de 1300 neste conjunto de números

ordenados, a sua posição seria exatamente no meio da sequência, ou seja, seria o valor

médio.

Observe ainda está propriedades das médias, que se o valor médio for inserido ao conjunto

de números originais, a média ainda continuará a mesma:

Digamos que em um concurso você tenha feito três provas e tenha tirado as seguintes

notas: 10, 8 e 3. Qual foi a sua nota média afinal?

Vejamos:

Como a nota mínima para passar no concurso era a nota 7, você se sente feliz e aliviado por

ter conseguido alcançá-la.

Média Aritmética Ponderada

Mas foi aí que lhe veio a surpresa! Na última hora você soube que a nota média seria

calculada atribuindo-se um peso diferente a cada prova. Você fica apreensivo. E agora?!?

Nos bastidores você soube que a primeira prova teria peso 3, a segunda peso 2 e a terceira

teria peso 5. Vamos aos cálculos:

Que pena meu rapaz! Infelizmente a sua média de 6,1 não atingiu o valor mínimo de 7.


134

Epa! Espere um pouco! Você cometeu um erro! Os pesos não estão na ordem correta! A

primeira prova teria peso3, a segunda peso 5 e a terceira teria peso 2. Vejamos se houve

alguma mudança, parece-me que você ainda tem chances:

Parabéns! Você foi aprovado, afinal de contas a sua média final até melhorou!

Como você pode perceber, a média aritmética ponderada possibilita atribuir peso ou

importância diferentes a cada valor. Provavelmente por ser mais importante no processo de

seleção, a segunda nota tinha um peso maior. Por isto os itens com maior peso influenciam

mais na média final que os de menor peso. Veja o exemplo abaixo:

Você percebe que o primeiro valor tem peso 1, sete vezes menor que o peso do segundo

valor que é igual a 7. Por isto a média final se aproximou muito mais de segundo valor (2),

que do primeiro (10), embora este tenha sido cinco vezes maior que o segundo.

Resumindo, para se apurar a média aritmética ponderada, primeiramente multiplique cada

valor pelo seu respectivo peso. Some todos os produtos encontrados e divida este total pela

soma dos pesos.

8.2 Moda e Mediana

Moda

Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais freqüência se os dados são

discretos, ou, o intervalo de classe com maior freqüência se os dados são contínuos.

Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a

moda ou a classe modal.

Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto

de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se

pode calcular a média e por vezes a mediana.

Mediana

A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados,

definida do seguinte modo:

Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à

amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais

à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana .

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de

n elementos:

Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.

Matemática

135

Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.

8.3 Gráficos

Observe algumas estatísticas relativas aos alunos de uma classe de estudantes do 9º ano

feita por Gabriela. Ela apresentou em tabelas os dados coletados:

Para melhor visualização dos resultados, podemos representá-los em figuras denominadas

gráficos.

GRÁFICO DE COLUNAS

As colunas do gráfico são retângulos de bases iguais, que ficam apoiadas numa linha reta. A medida

das bases ( largura das colunas) não importa, escolhemos uma que deixe o gráfico bem visível. A

altura das colunas corresponde às porcentagens observadas, sendo determinada por certa escala.

Considerando, por exemplo, que uma altura de 1 cm corresponde a 20%, a altura da coluna referente

ao sexo masculino da classe da Gabriela terá 2 cm (2 vezes 20%), e a referente ao sexo feminino, 3 cm

(3 vezes 20%). Acima de cada coluna anotamos as porcentagens correspondentes. Ou, então,

iniciamos a escala de altura.


136

Para o gráfico dos dados relativos ao local de residência, vamos considerar outra escala em

que cada milímetro de altura deve corresponder a 2,5%. Assim, a altura da coluna representativa da

zona Norte será de 10 mm, a do centro, de 22 mm e a da zona sul, de 8 mm. Para facilitar a leitura do

gráfico, as colunas devem ficar igualmente espaçadas.

É importante observar que todo gráfico deve ter um título que o identifique.

GRÁFICO DE BARRAS

A construção do gráfico de barras é parecida com a do gráfico de colunas. As barras são

retângulos de mesma altura e com comprimento proporcional às porcentagens observadas. Elas ficam

encostadas numa linha reta vertical, à esquerda.

Veja os exemplos:

GRÁFICO DE SETORES

Esse tipo de gráfico lembra uma pizza repartida em

tantas fatias quantas são as categorias que queremos representar.

Veja, por exemplo, como ficam os dados observados a respeito

do sexo no gráfico ao lado.

O gráfico é um círculo dividido em partes denominadas setores.

O tamanho de cada fatia (setor) é determinado pelo seu ângulo central

(x). o círculo tem 360º. Para calcular o ângulo de cada setor

multiplicamos a taxa porcentual por 360º.

Assim, para fazer o gráfico anterior, começamos calculando os ângulos correspondentes a

cada categoria:

Sexo masculino: (40% de 360º) = 0,4 . 360º = 144º

Sexo feminino: fica com o restante; portanto, com 360º -

144º, que dá 216º.

Depois disso, traçamos a circunferência e, com o auxílio

de régua e transferidor, desenhamos ângulos com vértices no

centro do círculo, dividindo-o nas medidas desejadas.

Finalizando, é só pintar cada parte comum a cor, escrever

o nome da categoria e a porcentagem que cada uma representa.

Não é preciso marcar as medidas dos ângulos. Esse tipo de gráfico tem também grande impacto visual.

É o mais adequado quando queremos comparar cada parte com o

total. Podemos também comparar as partes entre si. É como

associar o total a um bolo e mostrar que fatia desse bolo cada

categoria representa.

Por exemplo, para representar os dados sobre o local de residência dos alunos por um gráfico

setorial, começamos calculando os ângulos de cada setor:

Matemática

137

Zona Norte: (25% de 360º) = 0,25 . 360º = 90º

Zona Sul: (20% de 360º) = 0,2 . 360º = 72º

Centro: ficará com o restante (360º-90º-72º = 198º)

Desenhamos os setores:


138

1) Observe o gráfico abaixo, publicado pela revista Eépoca em 1999.

As colunas azuis referem-se a dados de 1998, no finalzinho do século XX, e as vermelhas, as

estimativas feitas então para o ano 2050 bem no meio do século XXI.

Considerando a população mundial da época da publicação, calculada em 6 bilhoes de pessoas, e a

estimativa para 2050, de 9 bilhoes, quantas eram as pessoas de 80 anos ou mais e, aproximadamente,

que percentagem da população mundial representavam? E quantas serão no ano 2050?

2) Os gráficos apresentados têm como fonte a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios 2006 do

IBGE e referem-se a “pessoas que estão trabalhando”.

Responda:

a) Qual a porcentagem de homens, com emprego em 2006, que não completaram o ensino

fundamental? E de mulheres?

b) No gráfico referente às mulheres, quantos graus tem o setor com “até 7 anos de estudo”?

3) O gráfico ao lado mostra os conceitos dados pelo professor de matemática no 1º bimestre para os 40

alunos do 7º ao A.


Matemática

139

4) a) calcule quantos alunos receberam os conceitos A, B E C.

b) Quantos graus mede o ângulo central do setor que representa os alunos de conceito A? e do B? e

do C?

4) No gráfico ao lado está representado o local de nascimento dos 800 funcionários de uma grande

loja de departamentos da cidade de São Paulo.

a) Quantos funcionários nasceram na capital (São Paulo)?

b) E no interior do estade de São Paulo?

c) Que porcentagem correspondente aos funcionários nque nasceram em outros estados?

5) Na tabela estão computadas as opiniões de 60 pessoas sobre um filme que acabava de estrear na cidade

a) Represente os dados num gráfico de barras.

b) Calcule as porcentagens relativas às opiniões e represente-as num gráfico de setores.

6) Em cada item observe os dados da tabela e construa com eles o gráfico pedido:

a) Gráfico de barras dos totais de medalhas de ouro obtidas em todas as Olimpíadas de 1896 a 2008.


140

b) Gráfico de setores do total de medalhas obtidas pelo Brasil nas Olimpíadas de 1896 a 2008.

7)A tabela abaixo mostra a produção e as vendas, relativas a um mês, de três fábricas de automóveis.

a) Considerando os carros produzidos, represente as quantidades nuim gráfico de colunas e as

porcentagens referentes a cada fábrica num gráfico de setores.

b) Considere que o sucesso de vendas seja a porcentagem que representa o número de carros vendidos em

relação aos produzidos. Represente num gráfico o sucesso de vendas de cada fábrica.

c) Que fábrica vendeu mais carros nesse mês? Que bábrica teve o maior sucesso de vendas?

8) O gráfico ao lado resulta de uma estatística sobre a cor dos olhos de 720 crianças.

a) Que porcentagem corresponde a crianças com olhos castanhos?

b) Quantas crianças têm olhos azuis?

9) O colégio Feliz Cidade promoveu um concurso de redação para os alunos

do 6º ao 9º ano. As redações recebêramos conceitos A, ótima; B, regular; D,

fraca. Veja os resultado do concurso:

a) Represente os resultados em gráficos de setores fazendo um gráfico para cada ano.

b) faça um gráfico de barras incluindo os alunos de todos os anos.

10) Abaixo estão os gráficos representativos dos conceitos finais de Matemática dos alunos do 6º ano e do

7º ano do colégio Feliz Cidade. Alunos com conceito D ficaram em recuperação; os demais já foram

aprovados.

Matemática

141

a) Qual aporcentagem dos alunos do sétimo ano que ficaram com conceito A?

b) Qual porcentagem dos anos do sexto ano que já estão aproados?

c) Pense bem antes de responder: Em que ano ficaram menos alunos em recuperação?

11) Considerando os conjuntos de dados:

a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6

b. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 2, 15, 7

c. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9

d. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14

calcule:

I. a média; II. a mediana; III. a moda.

12) O salário-hora de cinco funcionários de uma companhia, são:

R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00 e R$88,00

Determine:

a. a média dos salários-hora;

b. o salário-hora mediano.

13. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.

Determine:

a) a nota média;

b) a nota mediana;

c) a nota modal.

14. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:

Determine:

NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº DE

ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1


142

a) a nota média;

b) a nota mediana;

c) a nota modal.

15. Você fez dois trabalhos num semestre e obteve as notas 8,5 e 5,5. Qual deve ser a nota que você deve

tirar no 3º trabalho para que a média dos três seja 7?

16. Numa empresa, vinte operários têm salário de R$ 4.000,00 mensais; dez operários têm salário de R$

3.000,00 mensais e trinta têm salário de R$ 2.000,00 mensais. Qual é o salário médio desses operários?

17. Um carro, numa viagem, andou 5 horas a 60 km por hora. Determine a velocidade horária média

nessas 8 horas de viagem.

18. Um ourives fez uma liga fundindo 200 g de ouro 14 k (quilates) com 100 g de ouro 16 k. O número

que dá a melhor aproximação em quilates de ouro obtido é:

a) 14,5 k b) 14,6 k c) 14,7 k x d) 15,0 k e) 15,5 k

19. Num concurso de vestibular para dois cursos A e B, compareceram 500 candidatos para o curso A e

100 candidatos para o curso B. Na prova de Matemática, a média aritmética geral, considerando os dois

cursos, foi 4,0.

Mas, considerando apenas os candidatos ao curso A, a média cai para 3,8.

A média dos candidatos ao curso B, na prova de Matemática, foi:

a) 4,2 b) 5,0 c) 5,2 d) 6,0 e) 6,2

20. Seja M a média aritmética de 15 números quaisquer. Subtraindo-se 10 unidades de cada um desses

números, obtêm-se 15 novos números, cuja média aritmética é:

a) M – 15 b) M + 150 c) M – 10 d) M + 10 e) 10 M

21. Considere um grupo formado por cinco amigos com idade de 13, 13, 14, 14 e 15 anos. O que acontece

com a média de idade desse grupo, se um sexto amigo com 16 anos juntar-se ao grupo?

a) Permanece a mesma b) Diminui 1 ano c) Aumenta 12 anos

d) Aumenta mais de 1 ano e) Aumenta menos de 1 ano

22. A média aritmética dos números pares de dois algarismos é: positivo

a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54

Matemática

143


23. Numa população, a razão do número de mulheres para o de homens é de 11 para 10. A

idade média das mulheres é 34 e a idade média dos homens é 32. Então, a idade média da

população é aproximadamente:

a) 32,9 b) 32,95 c) 33,00 d) 33,05 e) 33,10

Unidade 8

Página 138

1) 66 milhors (1,1%; 370,4 milhoes (4,1%); 2) a) 50% e 40%; b) 144º; 3) a) 12;18;10; b) 108º; 162

º; 90 º; 4) a) 160; b) 400; c) 30%; 5) b) 15%; 25%; 30%; 20%; 5%; 5%; 7) a) A:20%; B:50%;

C:30%; b) A:85%; B:72%; C:90% (gráfico de colunas ou barras); c) B;C

; 8) a) 32,5%; b) 126 crianças; 9) b) A=56(11,2%; B=130 (25%); C=189 (37,8%); D=125 (25%);

10) a) 25%; b) 75%; c) do 6º ano, ficaram 25%; do 7 º ano, menos 25%. Mas não é possível saber

em que ano ficaram menos alunos em recuperação porque não foi dado o número de alunos de cada

ano; 11) a) x = 5,1; Md = 5; Mo = 5; b) x = 9; Md = 7; Mo = 7; c) x = 49,8; Md = 49,5; Mo = ; d)

x = 15,1; Md = 15; Mo = ; 12) a) R$ 96,00; b) R$ 88,00; 13) a) 7,9; b) 7,8; c) 7,2; 14) a) 5,9; b) 6;

c) 6; 15) 7; 16) X = 2.833,33; 17) 76,25 km/h; 18) Letra C; 19) Letra B; 20) Letra C; 21) Letra E;

22) Letra E; 23) Letra D.


144

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade. 3ª

ed. São Paulo: Atual,1996.

FILHO, Djanir Angelim da Silva. Aritmética. Manaus: CPA, 2004.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática: 2006.

MORI, Iracema. ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: Idéias e Desafios. São Paulo:

Saraiva, 2005.

JÚNIOR, Giovanni; RUY, José. A conquista da matemática, Ed. Renovada. São Paulo:

FTD 2009.

IMENES; MÁRCIO, Luiz. Matemática: Imenes & Lellis/Luiz Marcio, Ed. Moderna. 1ª Ed.

São Paulo

Sites consultados e/ou sugeridos

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http://www.matematicadidatica.com.br

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http://portaldoprofessor.mec.gov.br

http://matematiques.sites.uol.com.br

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