MatAplic - 01 - Introdução...2016/03/08 · Prof. Fabio Lima - fabionl.wordpress.com Matemática...

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Matemática Aplicada

IntroduçãoConjuntos Numéricos

Operações com FraçõesCálculo de Expressões NuméricasRegras de 3 Simples e Composta

PotenciaçãoPercentuais

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Números Naturais

• Formado pelos Números Inteiros Positivos, incluindo o Zero.

• Representado pela letra N.

• N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … }

2



Números Inteiros

• Formado pelos Números Inteiros Negativos, os Números Inteiros Positivos e o Zero.

• Representado pela letra Z.

• Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

3


Matemática Aplicada4



Números Racionais

• Formado por:

• Números Inteiros

• Frações

• Números Decimais Finitos

• Dízimas Periódicas

• Raízes Exatas.

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Números Irracionais

• Formados por números que NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros.

6



Números Reais

• Formado por:

• Números Racionais

• Números Irracionais.

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Naturais

Inteiros

RacionaisReais

Irracionais



Conjuntos - Diagrama de Venn• É utilizado para melhor visualizar as propriedades

dos conjuntos.

• Facilita o cálculo e a interpretação de situações problemas.

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slid

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126/



Conjuntos - Exercício 1

• Uma Avaliação contendo 2 questões foi dada a 200 alunos. Sabendo que:

• 50 alunos acertaram as duas questões.

• 100 alunos acertaram a primeira questão.

• 99 alunos acertaram a segunda questão.

• Responda:

• Quantos alunos erraram as duas questões?

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126/




11

Total 200

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slid

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126/



Conjuntos - Exercício 2• Um levantamento socioeconômico entre 200 famílias

de um bairro revelou que:

• 34 têm casa própria.

• 44 têm automóvel.

• 16 têm casa própria e automóvel.

• Responda:

• Qual o número dessas famílias que não têm casa própria nem automóvel?

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126/

Total 200



Conjuntos - Exercício 3• Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente

as publicações A Hora da Estrela (HE), Memórias Póstumas de Brás Cubas (BC) e Grande Sertão: Veredas (GS).

• Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:

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slid

e/43

126/• 600 leram HE;

• 400 leram BC;

• 300 leram GS;

• 200 leram HE e BC;

• 150 leram HE e GS;

• 100 leram GS e BC;

• 20 leram as três obras.

• Calcule o número de pessoas que leu apenas uma das obras.




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slid

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126/

O número de pessoas que leu apenas uma das obras é:270 + 120 + 70 = 460.



Conjuntos - Exercício 4• Uma pesquisa sobre preferência dos leitores de uma

cidade em relação aos jornais A, B e C foi realizada.

• Foram entrevistados 360 leitores entre homens e mulheres maiores de 18 anos de idade.

• Os dados coletados na pesquisa foram os seguintes:

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126/

• 120 leem o jornal A;

• 170 leem o jornal B;

• 150 leem o jornal C;

• 40 leem os jornais A e B;

• 15 leem os jornais A e C;

• 30 leem os jornais B e C;

• 5 leem os jornais A, B e C.

• Quantos leitores preferem ler somente o jornal C?




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126/

• 110 preferem ler somente o jornal C;

• 70 preferem ler somente o jornal A;

• 105 preferem ler somente o jornal B.



Operações com Frações

• Adição/Subtração

• Multiplicação/Divisão

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Adição/Subtração de Frações

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Denominadores Iguais

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e/38

7179

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MMC (Mínimo Múltiplo Comum) de 4 e 6:

> 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24,…}> 6 = {6, 12, 18, 24,…}

Denominadores Diferentes



Multiplicação/Divisão de Frações

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7179

/



Expressões Numéricas

• Para resolver expressões numéricas é preciso respeitar a ordem de prioridades dos elementos da expressão.

• Ordem a ser seguida:

• Parênteses (), Colchetes [] e Chaves {}.

• Potência e Raiz.

• Multiplicação e Divisão

• Soma e Subtração

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Exercícios Propostos

22



Exercícios Propostos

23

÷

÷



Regras de 3

• Regras de Três Simples

• Regras de Três Compostas

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avio

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e-3-

sim

ples

-e-c

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http://pt.slideshare.net/HoracimarCotrim/regra-3-simples-e-composta?related=1



MDC - Máximo Divisor Comum• O Máximo Divisor Comum (MDC) entre 2 ou mais

números naturais não nulos é o maior número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles.

35

40, 72, 80, 124 2

20, 36, 40, 62 2

10, 18, 20, 31

Decomposição Simultânea

http://www.tecnicodepetroleo.ufpr.br/apostilas/matematica/matematica_para_concursos.pdf



MMC - Mínimo Múltiplo Comum• O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 2 ou mais

números naturais não nulos, é o menor número múltiplo de todos eles.

36

30, 36, 48 215, 18, 24 215, 9, 12 215, 9, 6 215, 9, 3 3 5, 3, 1 3 5, 1, 1 5 1, 1, 1

http

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role

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r/ap

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Potenciação

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9929

/



Potenciação

• Base Positiva: Potência Positiva

• Base Negativa:

• Expoente PAR: Potência Positiva

• Expoente IMPAR: Potência Negativa

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2999

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Propriedades da Potenciação

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Radiciação• É a operação inversa da Potenciação.

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Expoente Inteiro Negativo

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R* = Números Reais não Nulos.



Expoente Fracionário Racional

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N* = Números Naturais não Nulos.



Propriedades da Radiciação

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Simplificação de Radicais

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• Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão mais simples.

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Racionalização de Denominadores

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• Consiste em multiplicar-se o numerador e o denominador por um mesmo fator chamado racionalizante (o que não altera a fração).

• Esse fator racionalizante é escolhido de forma a desaparecer a raiz do denominador.

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Percentuais

• O que é?

• A Centésima parte de uma grandeza, ou

• O cálculo baseado em 100 unidades.

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esha

re.n

et/L

etin

ha47

/por

cent

agem

-250

4015



Taxa de Porcentagem• Valor obtido aplicando uma determinada taxa a um

certo valor.

• Numerador de uma fração que tem como denominador 100.

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cent

agem

-250

4015



Número Decimal, Fração Centesimal e Taxa Percentual

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et/L

etin

ha47

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cent

agem

-250

4015



Representação de Figuras na forma de Taxa Percentual

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et/L

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cent

agem

-250

4015



Cálculo de Porcentagem

50 http://pt.slideshare.net/Letinha47/porcentagem-2504015



Cálculo de Porcentagem - Exemplo

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Cálculo de Porcentagem - Exemplo

52

20X1 20X2 20X3 20X4 20X5

PIB % -3,00% -2,00% -0,50% 5,73%

PIB 100,00 97,00 95,06 94,58 100,00

Inflação % 10,00% 5,00% 4,00% 20,12%

Preços 100,00 110,00 115,50 120,12

5,5%

19,0%



Valor Numérico de Expressões Algébricas

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• Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.

• Substituir o valor da variável pelo valor solicitado; e

• Efetuar as operações.

• Sugestão: Utilizar parênteses para evitar confundir-se



Valor Numérico de Expressões Algébricas

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ƒ(-1)=2ƒ(1)=5ƒ(0)=0ƒ(-2)=3

ƒ(-2)=27/8ƒ(-1)=1/√2ƒ(4)=17/2



Expressões Algébricas - Generalidades

• Conceito

• Expressão Algébrica é uma expressão matemática composto por números, letras, operações e sinais indicativos de prioridade.

• Exemplos:

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Expressões Algébricas - Generalidades• Monômio – É uma expressão algébrica que não contém

operações de adição e nem subtração.

•

• Binômio – É uma soma ou uma diferença de dois monômios.

•

• Trinômio – É a soma ou diferença de três monômios.

•

• Polinômio – É a soma ou diferença de mais que três monômios.

•

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Expressões Algébricas - Generalidades

• Monômios Semelhantes – São os que possuem exatamente a mesma parte literal.

• A soma (e a diferença), de 2 monômios semelhantes pode ser reduzida a um só monômio.

•

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Expressões Algébricas - Soma/Subtração

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Expressões Algébricas - Simplificação

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• Uma Expressão Algébrica é Simplificada se nela não aparecem dois ou mais termos semelhantes.

• A expressão “b" abaixo foi simplificada, os símbolos de agrupamento mais internos foram removidos primeiro;

• os parênteses ( ) foram removidos em primeiro lugar, os colchetes [ ], em segundo, e as chaves { }, em terceiro.



Expressões Algébricas - Soma/Subtração

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Expressões Algébricas - Multiplicação/Divisão

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• Para multiplicar expressões algébricas, cada monômio da primeira expressão deve ser multiplicado por cada monômio da segunda expressão.

• A expressão Algébrica resultante é simplificada.

• Para dividir expressões algébricas, deve-se colocá-las na forma de fração e simplificar a expressão obtida.




62

÷

÷

÷




63



Expressões Algébricas - Produtos Notáveis

64



Expressões Algébricas - Produtos Notáveis

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Expressões Algébricas - Fatoração

• Uma expressão matemática está fatorada quando está escrita na forma de uma multiplicação.

• Exemplos: 2x || x(2+y) || (3x+2)(2y+5)

• Casos de Fatoração

• Caso 1: Evidência – consistem em colocar em evidência os fatores comuns em todas as parcelas.

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Expressões Algébricas - Fatoração• Casos de Fatoração (cont.)

• Caso 2:

•

• Caso 3:

•

• Caso 4:

•

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Expressões Algébricas - Fatoração

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Expressões Algébricas - Simplificação• Para simplificar uma fração é preciso que o

numerador e o denominador estejam fatorados e apresentarem pelo menos um fator comum.

• Exemplo1:

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Expressões Algébricas - Simplificação• Exemplo2:

70



Expressões Algébricas - Simplificação

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Bibliografia• Bibliografia Básica

• SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2009.

• MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. 2a Ed. rev. e ampl.. São Paulo: Cengage Learning, 2013.

• Bibliografia Complementar

• BONAFINI, Fernanda Cesar. Matemática. São Paulo: Pearson Hall, 2012.

• LEITE, Angela. Aplicações da Matemática - Administração, Economia e Ciências Contábeis. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

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