Mate Matic A

NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS

1. Números Inteiros

Tendo em vista que já conhecemos os números Naturais (0, 1, 2, 3, 4 ...), vejamos alguns exemplos

do cotidiano onde esses números não são suficientes para representar as situações reais.

1º Exemplo: Quando dizemos que determinado fato ocorreu no ano 257, ficamos sem saber se esse

fato ocorreu no ano 257 após o nascimento de Cristo ou antes do nascimento de Cristo. Isto é, o número

natural 257 não foi suficiente para representar essa situação. Podemos, então, utilizar o símbolo a.C. (antes

de Cristo) para identificar fatos que ocorreram antes do nascimento de Cristo e d.C. (depois de Cristo) para

identificar fatos que ocorreram depois do nascimento de Cristo.

257 a.C. : ano 257 antes do nascimento de Cristo

257 d.C. : ano 257 depois do nascimento de Cristo

2º Exemplo: Quando dizemos que a temperatura ambiente de uma determinada cidade, é de 2º

Celsius, com isso não identificamos se esta temperatura está acima de zero ou abaixo de zero.

Para representarmos a situação acima, podemos utilizar os símbolos + e - . Assim teremos:

+ 2ºC representa 2ºC positivos ou 2ºC acima de zero;

- 2ºC representa 2ºC negativos ou 2ºC abaixo de zero.

Essa notação também é utilizada para demonstrarmos uma conta bancária, uma dívida ou crédito no

comércio, ou seja:

Crédito de 100 reais ou saldo positivo de 100 reais (+ 100 reais);

Débito de 100 reais ou saldo negativo de 100 reais (- 100 reais).

Nas situações exemplificadas, utilizamos os números naturais precedidos pelos sinais + ou - .

Os números precedidos pelo sinal + são chamados de números inteiros positivos (+1, +2, +3, ...)

Os números precedidos pelo sinal - são chamados de números inteiros negativos (-1, -2, -3, ...).

Para visualizarmos melhor essas situações podemos utilizar a reta numérica, onde nosso referencial é

o número zero. Os números negativos ficarão à esquerda do zero e os números positivos ficarão à direita do

zero.

Esses números formam o conjunto dos Números Inteiros ( representado pelo símbolo Z).

ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Vejamos agora como adicionar números inteiros. Para isso, usaremos a reta numérica inteira,

adotando o seguinte critério:

Um número inteiro positivo representa um deslocamento para a direita (sentido positivo) na reta numérica.

Um número inteiro negativo representa um deslocamento para a esquerda (sentido negativo) na reta

numérica.

Usando este critério, podemos verificar na reta o resultado de uma adição de números inteiros.

(+ 1 ) + (+ 3)

Usando a reta numérica:

(+ 1): a partir da origem 0 fazemos um deslocamento de 1 unidade no sentido positivo.

(+ 3): a partir do ponto associado a + 1 fazemos um deslocamento de 3 unidades no sentido positivo.

O deslocamento final é de 4 unidades no sentido positivo: + 4.

Então: (+ 1) + (+ 3) = + 4

(-3) + (- 7)


(- 3): a partir da origem 0 fazemos um deslocamento de 3 unidades no sentido negativo.

(- 7): a partir do ponto associado a - 3 fazemos um deslocamento de 7 unidades no sentido negativo.

O deslocamento final foi de 10 unidades no sentido negativo: - 10.

Então: (- 3) + (- 7) = - 10

(+ 5) + (- 2)


(+ 5): a partir da origem 0 fazemos um deslocamento de 5 unidades no sentido positivo.

(- 2): a partir do ponto associado a + 5 fazemos um deslocamento de 2 unidades no sentido negativo.

O deslocamento final é de 3 unidades no sentido positivo: + 3.

Então: (+ 5) + (- 2) = + 3.

(- 6) + (+ 4)


(- 6): a partir da origem 0 fazemos um deslocamento de 6 unidades no sentido negativo.

(+ 4): a partir do ponto associado a - 6 fazemos um deslocamento de 4 unidades no sentido positivo.

O deslocamento final é de 2 unidades no sentido negativo: - 2.

Então: (- 6) + (+ 4) = - 2.

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A subtração de números inteiros pode ser entendida como a operação inversa da adição.

Vejamos alguns exemplos:

(+ 5) - (+ 2) = ____ equivale a encontrar o número que somado a +2 seja igual a +5 ____ + (+ 2) =

+ 5

(+ 5) - (+ 2) = + 3 pois (+ 3) + (+ 2) = + 5

Note que esse resultado é o mesmo de (+ 5) + (- 2) = +3

(+5) - (+2) = +3

ENTÃO: (+5) – (+2) = (+5) + (-2)

(+5) – (-2) = +3

(+ 7) - (- 4)=___ equivale a encontrar o número que somado a -4 seja igual a +7 ____ + (- 4) = + 7

(+ 7) - (- 4) = + 11 pois (+ 11) + (- 4) = + 7

Note que esse resultado é o mesmo de (+ 7) + (+ 4) = + 11.

(+7) - (-4) = +11

ENTÃO: (+7) – (-4) = (+7) + (+4)

(+7) + (+4) = +11

Logo, pelos exemplos vistos podemos concluir que subtrair dois números inteiros é o mesmo que

adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Na multiplicação de números inteiros, devemos considerar os seguintes casos:

Os dois fatores são números positivos.

Considerando a multiplicação dos números naturais, temos:

(+ 6) x (+ 4) = 6 x 4 = 24 ou + 24

Então podemos cocluir que a multiplicação de dois números inteiros positivos resulta em um número

inteiro positivo.

Um fato é um número inteiro positivo e o outro é um número inteiro negativo.

Vejamos:

(+6) x (-4) = 6 x (-4) = (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) = - 24

(+6) x (-4) = - 24

Consideremos agora, a multiplicação:

(-6) x (-4) = - (+6) x (+4) = - (+ 24) = - 24

Então: (+ 6) x (-4) = - 24 e (-6) x (+ 4) = -24

Logo podemos concluir que a multiplicação de um inteiro positivo por um inteiro negativo, em qualquer

ordem, resulta em um número inteiro negativo.

Os dois fatores são números inteiros negativos.

Consideremos a tabela de multiplicação:

X -4 -3 -2 -1 0 +1 +2

-6

Sabemos que:

(-6) x (0) = 0

(-6) x (+1) = -6

(-6) x (+2) = -12

Colocando esses resultados na tabela, temos:

X -4 -3 -2 -1 0 +1 +2

-6 0 -6 -12

Observando a linha dos resultados, notamos que cada resultado tem 6 unidades a mais que o número

a sua direita.

Aplicando esse fato, vamos preencher os quadrados restantes.

X -4 -3 -2 -1 0 +1 +2

-6 +24 +18 +12 +6 0 -6 -12

Essa tabela nos leva a concluir que:

A multiplicação de dois números inteiros negativos resulta em um número inteiro negativo.

DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Considerando a divisão exata dos números naturais, temos:

40 : 5 + 8, pois 5 x 8 = 40

36 : 9 = 4, pois 9 x 4 = 36

Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata dos números inteiros.

Vejamos os cálculos abaixo:

(+20) : (+5)

(+20) : (+5) = q então (+5) x q = (+20) então q = (+4)

Logo: (+20) : (+5) = (+4)

(+20) : (-5)

(+20) : (-5) = q então (-5) x q = (+20) então q = (-4)

Logo: (+20) : (-5) = (-4)

(-20) : (+5)

(-20) : (+5) = q então (+5) x q = (-20) então q = (-4)

Logo: (-20) : (+5) = (-4)

(-20) : (-5)

(-20) : (-5) = q então (-5) x q = (-20) então q = (+4)

Logo: (-20) : (-5) = (+4)

Considerando os exemplos dados, concluímos que:

Para efetuar a divisão exata de um número inteiro por um outro número inteiro, diferente de zero,

dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.

Daí:

Quando o dividendo e o divisor tem o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.

Quando o dividendo e o divisor tem sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.

A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto dos inteiros, pois o resultado pode não ser um

número inteiro.

Números Racionais, operações e propriedades

Matemática para Concursos– 34ª Parte

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e

que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de

consultas e recursos. Neste tutorial serão tratados assuntos sobre dízimas periódicas, representações

fracionárias e exercícios para fixação de conteúdo.

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em

livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como

uma fonte de direcionamento e consulta.

2. NÚMEROS RACIONAIS

Relacionando números racionais com frações

Um número racional é o que pode ser escrito na forma

m

n

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero.

Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão,

simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim:

ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números

racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto

dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na

forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números

racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos

números racionais.

Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracoes.htm

m,npppp...

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos

os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período

dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período

sublinhado.

Exemplos: Dízimas periódicas

1. 0,3333333... = 0,3

2. 1,6666666... = 1,6

3. 12,121212... = 12,12

4. 0,9999999... = 0,9

5. 7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3

2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por

exemplo:

1. 0,83333333... = 0,83

2. 0,72535353... = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que

pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar

uma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para

pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência,

deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números

racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino

Superior.

A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número

racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos

trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como

funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo.

Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

10 S - S = 3

donde segue que

9 S = 3

Simplificando, obtemos:

S =

1

3

= 0,33333... = 0,3

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

0,99999... = 0,9 = 1

2. Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem

agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da

forma:

T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:

100 T = 31 + T

de onde segue que

99 T = 31

e simplificando, temos que

T =

31

99

= 0,31313131... = 0,31

3. Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número com

1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este

número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para

o primeiro membro para obter:

R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...


Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8

Assim:

10R - 71 - R + 7,1 = 0,8

Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

90 R = 647

Obtemos então:

T =

647

90

= 7,1888... = 7,18

4. Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3

algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo.

Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para

o primeiro membro para obter:

U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...


Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

1000(U-7) - (U-7) = 4

Assim:

1000U - 7000 - U + 7 = 4

Obtemos então

999 U = 6997

que pode ser escrita na forma:

T = 6997 = 7,004004... = 7,004

999

Representação, ordem e simetria dos racionais

Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada.

Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida

como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da

esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada

por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva.

Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor

do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita

na reta numerada.

Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é

caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que

é 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 é -3/4.

(b) O oposto de 5 é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um

espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do

ponto virtual -q ao espelho.

Módulo de um número racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -

q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a

origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.

A soma (adição) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição

entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

a

b

+

c

d

=

ad+bc

bd

Propriedades da adição de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é

um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q + 0 = q

Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (-q) = 0

Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição

do número p com o oposto de q, isto é:

p - q = p + (-q)

Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

A Multiplicação (produto) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de

dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

a

b

×

c

d

=

ac

bd

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum

sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em

toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)

(+1) × (-1) = (-1)

(-1) × (+1) = (-1)

(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois

números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da multiplicação de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um

número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a × b = b × a

Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1

=b/a em Q, tal que

q × q-1

= 1

Esta última propriedade pode ser escrita como:

a × b = 1

b

a

Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação

do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da

forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?

A divisão de números racionais esclarece a questão:

a

b

÷

c

d

=

a

b

×

d

c

=

ad

bc

Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é

também desnecessária no conjunto dos números racionais.

Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Potenciação de números racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o

número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125

(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8

(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25

(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25

Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é

n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado

pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por

V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.

Raízes de números racionais

A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número

racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número

q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).

Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste

trabalho. Assim:

r = Rn[q] equivale a q = r

n

Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-

ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número

racional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número

racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.

Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.

Exemplos:

(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.

(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.

(c) R[144] = 12 pois 12²=144.

(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais.

A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no

contexto dos Números Complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o

aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro

número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são

válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.

Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.

(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.

(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.

(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:

(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.

(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.

3. Números Reais

O conjunto dos números reais compreende todos os números que permitam representação na forma

decimal, periódica ou não periódica. Isto compreende todos os números inteiros, todos os números

racionais e mais os números com representação decimal não periódica.

São exemplos de números reais:

2 = 2,000...

1/5 = 0,2000...

4/9 = 0,444...

π = 3,141592653...

2 =1,414213...

Números Irracionais

Alguns números têm representação decimal infinita e aperiódica não sendo, portanto, números racionais. A

estes números denominamos números irracionais.

O conjunto dos números irracionais é usualmente representado por I.

São exemplos de números irracionais:

π = 3,14159265358979323846...

e = 2,71828182846...

2 = 1,41421356237...

A operação de radiciação produz, freqüentemente, números irracionais. A raiz de um número natural qualquer,

ou resultará também número natural ou será um número irracional.

Representação dos Números por Pontos da Reta

Podemos representar todos os números reais como pontos em uma reta orientada denominada reta

numérica. Inicialmente, escolhe-se um ponto sobre a reta para indicar o número zero.

Depois, marcam-se os demais números inteiros, mantendo sempre a mesma distância entre dois inteiros

consecutivos quaisquer, sendo:

• os positivos, à direita de zero, a partir do 1 e em ordem crescente para a direita;

• e os negativos à esquerda de zero, a partir do -1 e em ordem decrescente para a esquerda;

Todos os demais números reais não inteiros, racionais ou irracionais, podem ser localizados entre dois

números inteiros.

Observe, por exemplo, onde estão localizados os números : π e 3/5 2, −

Intervalos de Números Reais

É comum designarmos por intervalo a qualquer subconjunto de R que corresponda a segmentos ou a semi-

retas ou a qualquer reunião entre segmentos ou semi-retas da reta dos números reais.

Exemplos:

SISTEMAS LEGAL DE MEDIDAS

ALGUMAS TABELAS DAS PRINCIPAIS MEDIDAS DE VOLUMES E ÁREAS

Definição

Como informado no tutorial de número 10, “Sistema Métrico Decimal”, faz parte do Sistema de

Medidas, e este é adotado no Brasil e tem como unidade principal fundamental o metro.

No sistema de Medidas, são consideradas também outras unidades de medidas, consideradas

também fundamentais:

Múltiplos e Submúltiplos Diversos

- O grama

Pertence ao gênero masculino. Tenha cuidado, por tanto, ao escrever e pronunciar essa unidade de

medidas em seus múltiplos e submúltiplos, fazendo as devidas concordâncias.

Ex.:

cinco quilogramas

setecentos miligramas

trezentos e vinte gramas

novecentos e dois gramas

Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

10 dag = 100 hg

1 g = 10 dag

- O Litro

Pertence ao gênero masculino. É uma unidade de medida de volume que está veiculada diretamente

ao sistema métrico decimal e, por tanto, obedecendo aos seus padrões.

Cada Litro corresponde a 01 decímetro cúbico. Em referência ao litro de água (01 l), corresponde a

aproximadamente 01 quilograma da substância medida.

Ex.:

(01 l água), um litro de água.

(2,478 dal), dois decalitros e quatrocentos e setenta e oito centilitros

(30, 252 dal), trinta decalitros e duzentos e cinqüenta e dois centilitros

Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

10 l = 100 l

1 l = 10 dal

- O Prefixo Quilo

É simbolizado pela letra (K), que indica que a unidade é resultado da multiplicação por mil. Este prefixo

Quilo não pode ser usado sozinho.

Observe:

Errado: quilo; k

Certo: quilograma, kg

Medidas Diversas

- Medidas comprimento

Unidade principal: METRO (m)

Ex.: 01 Km = 1000 m

Ex.: 100 m = 10 dam

Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:

- Medidas de área

Unidade principal: METRO QUADRADO (m²)

Ex.: 1000 m²

Ex.: 1 m²


- Medidas de volume

Unidade principal: METRO CÚBICO (m

Ex.: 1000 m

Ex.: 1 m


- Medidas de capacidade

Unidade principal: LITRO (l)

Ex.: 1 l

Ex.: 1000 Litros


- Medidas agrárias

Unidade principal: ARE (a)

Ex.: 1 a

Ex.: 100 hectare


- Medidas para lenha (madeira)

Unidade principal: ESTÉREO (st)


(metro cúbico) Obs.: Uma unidade de st (estéreo) equivale a 01 m

- Medidas de ângulos

Unidade principal: ÂNGULO RETO (r)

Uma das unidades de ângulo plano é o ângulo reto, e que o símbolo é representado pela letra (r).

Veja a tabela abaixo:

Obs. Importante: os múltiplos e submúltiplos do ângulo reto não têm designação própria, exceto o

“grado”, que é a única designação usada para submúltiplo.

Tabela com algumas unidades de medidas

RAZÃO E PROPORÇÃO

RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre diferente de

zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.

Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12

a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10

a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18

Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número é

conseqüente.

Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente.

seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente.

Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de outra, ou vice-versa,

dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c

PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.

Obs.:

Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º termos são

chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos

de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extr emos.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

1 – Propriedade Fundamental

Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.

2/5 = 4/10 » 5 x 4 = 20 | 2 x 10 = 20

Aplicação:

7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos

Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35.

2 – Composição

Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma

dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação:

A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor desses números.

a = menor

b = maior

Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.

3 – Decomposição

Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo,

assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação:

Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é 48.

a = maior

b = menor

a – b = 48

Portanto,

Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36

4 – Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquer

antecedente está para seu conseqüente.

Aplicação:

Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4

Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.

5 – Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos conseqüentes, assim

como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.

6 – Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o

quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.

Aplicação:

A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar essas

medidas.

a = largura b = comprimento

a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10

a = largura = 10m, b= comprimento = 15m

7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma nova proporção.

Aplicação:

A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. Determinar esses

números.

Logo, a² = 144, a = 12.

Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor de “a”.

DIVISÃO PROPORCIONAL

Definição

Conforme definições vista em tutoriais anteriores, em que é informado que GRANDEZA é todo valor que ao

ser relacionado a um outro certo valor de tal forma que, quando um varia, como conseqüência direta o outro

valor também varia.

Desta forma, podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma de divisão no qual

determinam-se valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão que

não tem variação.

Exemplos para fixação de definição

Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema

de modo que a+b=120, cuja solução segue de:

a/2 = b/3 à a + b = a+b/2+3 à 120/5 = 24

Então: a=48 e b= 72.

Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e 2. Desta forma, será montado o

sistema de modo que a + b = 60, cuja solução sugue no cálculo abaixo:

a/4 = b/2 à a + b = a + b/4+2 à 60/6 = 10

Então: a=40 e b= 20.

A divisão proporcional pode ser:

- Direta

- Inversa

- Direta e Inversa ao mesmo tempo.

Divisão em partes diretamente proporcionais

O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o número proporcional

está para a parte que a representa.

Exemplos de fixação de definição:

a) Uma pessoa divide o valor de R$ 12.000,00 proporcionalmente as idades de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qual

o valor que cada um receberá?

Resolução:

2 + 4 + 6 = 12

12 : 12.000

2 : X

12 : 12.000

4 : X

12 : 12.000

6 : X

O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.000,00 + R$ 4.000,00+R$ 6.000,00 tendo

o resultado geral o capital de R$ 12.000,00.

b) Dividir o número 240, em partes diretamente proporcional a 2, 4 e 6.

Resolução:

Chamaremos das incógnitas “x”, “y” e “z” as partes que serão determinadas, assim:

x + y + z = 240

Pela definição dada, temos: x/2 = y/4 = z/6

x + y + z = 240

x/2 = y/4 = z/6 (aplica-se a propriedade das proporções)

x + y + z = 240 = 20

2 + 4 + 6 = 12 = 1

Para determinar as partes, é necessário montar uma proporção para cada uma delas, com a proporção

encontrada.

20 = x --> x . 1 = 20 . 2 à x = 40

1 2

20 = y --> y . 1 = 20 . 4 à y = 80

1 4

20 = z --> z . 1 = 20 . 6 à x = 120

1 6

Checando os resultados:

x + y + z = 240

40 + 80 + 120 = 240

c) Dividir o número 360, em partes diretamente proporcional a 4, 5 e 6.

Resolução:

Chamaremos das incógnitas “x”, “y” e “z” as partes que serão determinadas, assim:

x + y + z = 360

Pela definição dada, temos: x/4 = y/5 = z/6

x + y + z = 360

x/4 = y/5 = z/6 (aplica-se a propriedade das proporções)

x + y + z = 360 = 24

4 + 5 + 6 = 15 = 1

Para determinar as partes, é necessário montar uma proporção para cada uma delas, com a proporção

encontrada.

24 = x --> x . 1 = 24 . 4 à x = 96

1 4

24 = y --> y . 1 = 24 . 5 à y = 120

1 5

24 = z --> z . 1 = 24 . 6 à z = 144

1 6

Checando os resultados:

x + y + z = 360

96 + 120 + 144 = 360

d) Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a 1/2, 1/3, 1/4

Resolução:

Vale observar que agora estamos tratando de números fracionários.

Como os números quocientes são predeterminados são em frações, temos que determinar as frações

equivalentes, assim:

m.m.c (2,3,4) = 12

1/2, 1/3, 1/4 à 6/12, 4/12, 3/12

Montando os cálculos:

x + y + z = 169

x/1/2 = y/1/3 = z/1/4

Com o mmc das frações:

x + y + z = 169

x/6 = y/4 = z/3

x + y + z = 169

6 + 4 + 3 = 13

Logo: 13/1 é a razão equivalente

Calculando as partes separadamente:

13/1 = x/6

x . 1 = 6 . 13

x = 78

13/1 = y/4

Y . 1 = 4 . 13

y = 52

13/1 = z/3

Z . 1 = 3 . 13

z = 39

Checando os cálculos temos:

78 + 52 + 39 = 169

78/6 = 13

52/4 = 13

39/3 = 13

Regra de Três Simples e Composta

Regra de Três Simples

* Definição

Podemos definir REGRA DE TRÊS ao cálculo ou processo matemático utilizado para resolver

problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou grandezas inversamente proporcionais.

O problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra

de três simples.

Exemplos de fixação da definição:

1) Um ingresso de show custa R$ 15,00, então, o custo de 06 bilhetes será ?

Grandeza 1: Número do bilhete

Grandeza 2: Preço do bilhete

Cálculos:

01 bilhete = R$ 15,00

06 bilhetes = R$ 15,00 x 6

Total: R$ 90,00

2) Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06

horas?

Grandeza 1: Distância percorrida

Grandeza 2: Tempo necessário

Cálculos:

Distância 1 = 480 km / 02 horas

Distância 2 = ? / 06 horas

01 hora percorrida = 240 km

06 horas percorrida = 240 km x 6

Resultado: 1440 Kms

* Variantes da regra de três

Direta ou Inversa - È definido na regra de três os termos de “direta ou inversa”, dependendo do tipo de

relação que existem entre as duas grandezas envolvidas no processo do problema.


a) Regra de três simples direta

Nesta modalidade de regra de três é envolvida duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja,

quando a variação de uma delas corresponde à mesma variação da outra grandeza dada no problema a ser

resolvido.

A montagem da solução deste tipo de problema é feita na mesma ordem de todas as grandezas.

1 – Um certo alimento tem o custo de R$ 5,00 por 05 quilos. Calcular o preço de 10 quilos deste

alimento

5

Assim: 10 Kgs do alimento Y custam R$ 10,00

b) Regra de três simples inversa

Nesta modalidade de regra de três são envolvidas duas grandezas inversamente proporcionais, ou

seja, quando existe a variação de uma das grandezas a outra varia, porém de forma contrária, mais na mesma

proporção.

A montagem da solução deste tipo de problema é feita invertendo as ordens das grandezas.

2 – Um certo homem percorre uma via de determinada distância com uma bicicleta. Sabendo-se que

com a velocidade de 05 Km/h, ele demora 06 horas, quanto tempo este homem gastará com sua bicicleta para

percorrer esta mesma distância com uma velocidade 03 Km/h.

03

Assim: O tempo gasto é de 10 horas

* Quadro de fixação da Regra de três direta e inversa

- Regra de três simples direta

- Regra de três simples inversa

Regra de três composta

Regra de três composta – Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas

proporcionais.


1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens

serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?

Grandeza 1 : Número de homens trabalhando

Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho

Grandeza 3 : Tamanho do muro

2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros

usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??

Grandeza 1: Número de carros

Grandeza 2: Número de dias

Grandeza 3: Quantidade combustível

- Método mais prático de solução da regra de três composta

Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for

inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.

A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o

valor que se procura.

Veja:

Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são

comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.

Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração

PORCENTAGEM

* Definição

PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado

em 100 unidades.

É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução

nos preços de produtos ou serviços.

Alguns exemplos:

- O Leite teve um aumento de 25%

Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00

- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans

Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00

- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.

Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa.

* Noção da porcentagem em números

Exemplos:

a)

60 de 150 dias de trabalho = 90 dias

100

O número 90 dias de trabalho representa : PORCENTAGEM

b)

70 de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00

100

O valor de R$ 84,00 representa : PORCENTAGEM

* O que é taxa de porcentagem

É definido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor.

Também pode-se fixar a taxa de porcentagem como o numerador de uma fração que tem como denominador

o número 100.

* Como calcular porcentagem

Todo o cálculo de porcentagem, como informado, é baseado no número 100.

O cálculo de tantos por cento de uma expressão matemática ou de um problema a ser resolvido é

indicado pelo símbolo (%), e pode ser feito, na soma, por meio de uma proporção simples.

Para que se possam fazer cálculos com porcentagem (%), temos que fixar o seguinte:

1) A taxa está para porcentagem (acréscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 está para a

quantia a ser encontrada.

Exemplificando:

Um título tem desconto 10%, sobre o valor total de R$ 100,00. Qual o valor do título?

30% : R$ 100,00

100% : X

X = R$ 30,00

2) O número que se efetua o cálculo de porcentagem é representado por 100.

Exemplificando:

Efetue o cálculo 10% de 50

100% : 50

10% : X

X = 5

Obs. Nos dois exemplos dados foram usados o sistema de cálculo de regra de três, já ensinados em

tutoriais anteriores.

3) O capital informado tem sempre por igualdade ao 100.

Exemplificando:

Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtem-se um desconto de 20%

100% : R$ 150,00

20% : X

X = R$ 30,00

* Exemplos para fixação de definição

1) Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram de cestas

de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos.

10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25

100 100

Portanto, do total de 250 pontos o jogador fez 25 pontos de 02 pontos.

2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa

percentual de lucro ?

Neste caso é procurado um valor de porcentagem no qual são somados os R$ 300,00 iniciais com a

porcentagem aumentada e que tenha como resultado o valor de R$ 340,00

300 + 300.X/100 = 340

3X = 340 – 300

X = 40/3

X = 13,333 (dízima periódica)

Assim, a taxa de lucro obtida com esta operação de revenda foi de 13,33%

* Fator Multiplicante

Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver

acréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor

do produto/serviço pelo fator de multiplicação.

Veja:

Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de

pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto ao invés de

30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 1,20.

Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 = R$ 23,40

E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.

Da mesma forma como é possível, ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a um certo

valor, também no decréscimo ou desconto, pode-se ter este fator de multiplicação.

Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 – taxa de desconto (isto na forma decimal)

Veja:

Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o

valor do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o

fator multiplicante é 0,80.

Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = R$

53,94

E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.

EQUAÇÕES DE 1º GRAU e 2º GRAU

Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios.

Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita

De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é

verdadeira ou falsa.

Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.

2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4

Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.

1. EQUAÇÃO DO 1º GRAU

* Definição

É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita

para alguns valores que estejam agregados em seus domínios.

Exemplos:

3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os

valores das incógnitas são desconhecidos.

É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:

x = 2, veja:

3x – 4 = 2

3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2

y = 1, veja:

3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1

Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente

- Equação do 1º grau

Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda

equação que satisfaça a forma:

ax + b = 0

Onde, tem-se:

a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)

Observe:

4x + 10 = 1

a = 4

b = 10 >> constantes (4,10)

3x – 6 = 0

a = 3

b = 6 >> constantes (3,6)

Exemplo de fixação:

x + 2 = 6 »

Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número

4, pois, 4 + 2 = 6.

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais

anteriores:

ax + b = 0 » ax = - b

x = -b/a

Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta

segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um

mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema.

Exemplo:

x – 4 = 0 » x –4 + 2 = 0 + 2 » x = 4

2x = 4 » 3.2x = 3.4 » x = 2

* Resolução de uma equação do 1º grau

Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que

satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação.

Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos

números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da

igualdade e do outro lado as constantes.

Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:

a) Determine o valor do X:

4x – 12 = 8

4x = 8 + 12

4x = 20

x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}

b) Qual o valor da incógnita x:

2 – 3.(2-4x) = 8

2 – 6 + 12x = 8

12x = 8 - 2 + 6

12x = 6 + 6

x = 12/12 » x = 1 >> V = {1}

Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:

x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4

2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)

Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do

primeiro grau, sempre é colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim

a solução verdadeira da questão.

Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.

Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam

agregados na sentença.

* Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)

Observe:

a ≠ 0 >> b ≠ 0, temos:

x = -b/a

S = {-b/a}

a ≠ 0 >> b = 0, temos:

x = 0/a

S = {0}

Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0)

b ≠ 0 >> x = -b/0

V = {0}

Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero ( a = 0), temos a conjunto

“V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que

satisfaça a equação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”.

Ainda, se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:

b = 0 >> 0x = 0 >> V = R

Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se

torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.

* Incógnita com valor negativo

Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiver

acompanhando a variável seja um número negativo (-).

Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dos

princípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores.

Veja alguns exemplos:

a) 4x – 2 = 6x + 8

Reduzindo os termos:

4x – 6x = 8 + 2

-2x = 10

Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então

multiplica-se os termos da equação por (-1).

Assim, temos aos valores:

-2x = 10 .(-1)

2x = - 10

Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na forma

positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.

x = -10/2 >> x = -5

Como o valor de x = -5, então V = {-5}

Observação:

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=)

e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre:

Observe:

2x + 4 = 8

Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado".

Veja o que acontece:

2x + 4 - 4 = 8 - 4

2x = 4

x = 2

V={2}

A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grande

dica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculos

dos problemas e sentenças.

EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIAVEIS

* Definição

É definido como equação do primeiro grau com duas variáveis sejam elas, x e y, a toda e qualquer

equação que pode ser indicada nas formas:

ax + by = c

Sendo que: a e b, são números e diferentes de zero ( a e b ≠ 0 ), respectivamente.

Exemplos:

3x – 4y = 2 » os número “x” e “y” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.

3y + 4x = 7 » os número “y” e “x” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.

* Solução de equação do 1º grau com “duas” variáveis

As equações do primeiro grau que estejam na forma com duas variáveis, x e y, possuem infinitas

soluções.

Estas soluções infinitas podem ser obtidas dando valores “soltos” para uma das variáveis, e em

seguida efetua-se o cálculo da outra variável.

Encontrando estes valores de x e y, significa dizer que foi obtido o par ordenado de números x e y, o

qual tornará a sentença ou o problema fornecido verdadeiro.

Exemplo de fixação:

a) 3x + 2y = 20

Como já informado esta equação tem infinitas soluções:

1) x = 2

3x + 2y = 20

3.2 + 2y = 20

2y = 20 – 6

2y = 14

y = 7

Assim, temos o par ordenado x e y (2 e 7).

Veja se a sentença é verdadeira:

3x + 2y = 20 (quando x = 2, y = 7)

3.2 + 2.7 = 20

6 + 14 = 20

20 = 20

b) 2x + 4y = 8

Agora tomaremos os valores de x e y respectivamente:

x = 2 e y = 6

2x + 4y = 8

2.2 + 4.6 = 8

4 + 24 = 8

28 ≠ 8

Desta forma, o par 2 e 6 não é a solução verdadeira para o a sentença acima.

2. Equação do 2º grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes

numéricos a.b e c com .

Exemplos:

Equação a b c

x²+2x+1 1 2 1

5x-2x²-1 -2 5 -1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9=0 » x²=9 » x= » x=

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x

x(x-9)=0 » x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0 » x=0

Resolução de equações do 2º grau:

A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver

equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de

Bháskara.

Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?

Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x²+4abx+4ac=0

4a²x²+4abx=-4ac

Somamos b² aos dois membros:

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de (delta) b²-4ac:

(2ax+b)²=

2ax+b=

2ax=-b

Logo:

ou

Fórmula de Bháskara:

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

=

e

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

» x=2

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )

3) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5

= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui

nenhuma raiz real.

Logo: » vazio

Propriedades:

Duas raízes reais e diferentes

Duas raízes reais e iguais

Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:

e

A soma das raízes será:

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo:

Substituindo por e :

f

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0

Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução

destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a) Onde , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

»

Aplicando a fórmula de Bháskara:

Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}

b ) e

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então:

Eliminando os denominadores:

» » »

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo

a solução da equação será somente:

x=-1 » S={-1}

Resolução de equações literais do 2º grau:

Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.

Equação a b c

x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0

[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=1, b=-3a, c=2a²

, Logo:

x = 2a e x = a » S={a,2a}

Resolução de equações biquadradas

Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado

duas vezes, sua forma é:

onde

Exemplo resolvido:

1)

Fazendo x² = y , temos

Substituindo os valores na equação, temos:

y² - 5y + 4 = 0

Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4 e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4 » e x²=1 »

Então a solução será » S={-2,-1,1,2} ou simplesmente

INEQUAÇÕES DO 1° E DO 2º GRAUS

Resolver uma inequação num dado conjunto numérico U (universo) significa encontrar o conjunto de todos os

valores de U que tornam verdadeira a inequação. Este subconjunto de U é chamado conjunto-solução ou

conjunto-verdade da inequação.

Inequações do 1º grau

Denominamos inequações do primeiro grau às inequações redutíveis a uma das seguintes formas:

Obs.: É sempre possível multiplicar os dois lados de uma inequação por -1 para obter a > 0, lembrando que

ao multiplicar a inequação por -1 os sinais > e < serão sempre trocados um pelo outro.

Sendo a > 0, teremos:

Inequações do 2° Grau

Denominamos inequações do segundo grau às inequações redutíveis a uma das seguintes formas:

positiva, para todo x fora do intervalo limitado pelas duas raízes;

igual a zero, para x igual a qualquer uma das duas raízes;

negativa, para todo x dentro do intervalo limitado pelas duas raízes.

igual a zero quando x for a raiz;

positiva para todos os outros valores de x.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Resolver a inequação x2 - 3x + 2 >0

2. Resolver a inequação - 4x2 + 4x - 1 < 0

3. Resolvera inequação x2 - 5x +8 < 0

Sistemas Lineares

Introdução aos sistemas lineares

Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Tipo do Recipiente I II III A 4 3 2 B 5 2 3 C 2 2 3

Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Montagem do sistema linear

4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42 3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.

Equação linear

É uma equação da forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas;

a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos);

b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares

1. 4 x + 3 y - 2 z = 0 2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3 3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1 4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i

Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.

Exemplos de equações não-lineares

1. 3 x + 3y R[x] = -4 2. x

2 + y

2 = 9

3. x + 2 y - 3 z w = 0 4. x

2 + y

2 = -9

Solução de uma equação linear

Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:

a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1

Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na equação dada, teremos:

2×5 + 3×6 - 2×7 = 14

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ..., amn são os coeficientes; b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

Solução de um sistema de equações lineares

Uma sequência de números (r1,r2,...,rn) é solução do sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4 x + 3y = 2 x + 5y = 2

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Consistência de Sistemas Lineares

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.

a. Se tem uma única solução, o sistema é determinado. b. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.

Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.

Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções

Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -1 2x - y = 8

Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

4x + 2y = 100 8x + 4y = 200

Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.

x + 3y = 4 x + 3y = 5

Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:

pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.

Operações elementares sobre sistemas lineares

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

Troca a Linha 1 com a Linha 3 x + 2y - z = 2 2x-3y+2z=0

4x + y - 5z = 9 ~

4x + y - 5z = 9 2x-3y+2z=0 x + 2y - z = 2

2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

Multiplica a Linha 1 pelo número 3 x + 2y - z = 2 2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9

~ 3x + 6y - 3z = 6

2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9

A equação resultante fica na linha 1

3. Adição de duas equações do sistema

Adição da Linha 2 com a Linha 3 x+2y-z=2

2x -3y + 2z = 0 4x + y - 5z = 9

~ 3x+6y-3z=6 2x-3y+2z=0

6x - 2y - 3z = 9

A equação resultante fica na linha 3

Resolução de sistemas lineares por escalonamento

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

3x + y + z = 20 2x - y - z = -15

-4x + y -5z = -41

Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.

Passo 1: L1-L2->L1 3x + 1y + 1z = 20 ~ 1x + 2y + 2z = 35

S1 3x + 6y = 42 2x - 4y = 12

S2 1x + 2y = 14 1x - 2y = 6

2x - 1y - 1z = -15 -4x+1y-5z=-41

2x-1y-1z=-15 -4x+1y-5z=-41

Passo 2: L2-2.L1->L2

1x + 2y + 2z = 35 2x - 1y - 1z = -15

-4x+1y-5z=-41 ~

1x+2y+2z=35 0x - 5y - 5z = -85 -4x+1y-5z=-41

Passo 3: L3+4.L1->L3 1x + 2y + 2z = 35

0x-5y-5z=-85 -4x + 1y - 5z = -41

~ 1x+2y+2z=35 0x-5y-5z=-85

0x + 9y + 3z = 99

Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3

1x+2y+2z=35 0x - 5y - 5z = -85 0x + 9y + 3z = 99

~ 1x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 17 0x + 3y + 1z = 33

Passo 5: L3-3.L2->L3 1x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 17 0x + 3y + 1z = 33

~ 1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -18

Passo 6: (-1/2)L3->L3

1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -18 ~

1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17

0x + 0y + 1z = 9

Passo 7: L2-L3->L2 1x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 17 0x + 0y + 1z = 9

~ 1x+2y+2z=35

0x + 1y + 0z = 8 0x+0y+1z=9

Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1 1x + 2y + 2z = 35 0x + 1y + 0z = 8 0x + 0y + 1z = 9

~ 1x + 0y + 0z = 1

0x+1y+0z=8 0x+0y+1z=9

Passo 9: Simplificar coeficientes

1x + 0y + 0z = 1 0x + 1y + 0z = 8 0x + 0y + 1z = 9

~ x = 1 y = 8 z = 9

Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.

Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

2x - y + 3z = 0 4x + 2y - z = 0 x - y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.

Regra de Cramer

Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X).

Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2

... ... ... ... an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn

A este sistema podemos associar algumas matrizes:

Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A.

Matriz dos coeficientes a11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... anj ... ann

Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes.

Matriz Aumentada a11 a12 ... a1j ... a1n b1 a21 a22 ... a2j ... a2n b2

... ... ... ... ... ... an1 an2 ... anj ... ann bn

Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema.

Matriz da incógnita xj

a11 a12 ... b1 ... a1n a21 a22 ... b2 ... a2n ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... bn ... ann

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az.

Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:

xj = det(Aj) / det(A)

Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do sistema forem iguais a zero.

Um sistema impossível: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 7z = 40

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo.

Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o determinante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:

2 3 27 1 -2 15

3 1 40

Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 na última linha!)

2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 7z = 42

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo:

Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então o sistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y em função de z.

Um sistema com solução única: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 6z = 40

A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.

2 3 4 1 -2 3 3 1 7

2 3 4 27 1 -2 3 15 3 1 7 40

2 3 4 1 -2 3 3 1 7

2 3 4 27 1 -2 3 15 3 1 7 42

Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das três equações, temos:

Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:

x = det(Ax)/det(A) = 65/7 y = det(Ay)/det(A) = 1/7 z = det(Az)/det(A) = 14/7

FUNÇÕES E GRÁFICOS

Definições

Dados dois conjuntos não vazios, A e B, chama-se função de A em B a qualquer relação tal que a cada um

dos elementos do conjunto A corresponda sempre um único elemento do conjunto B.

Indicamos que uma relação é uma função de A em B, escrevendo . O conjunto A é o domínio

da função e o conjunto B é o contradomínio.

Domínio de

Contradomínio de

Numa função , chamamos de conjunto Imagem da função ao conjunto de todos os elementos de B

(contradomínio) que tiveram alguma correspondência com valores de A (domínio).

Lei de uma função

Para o nosso estudo interessam apenas as funções definidas para conjuntos numéricos, cujas relações sejam

definidas por operações aritméticas.

Exemplos:

2 3 4 1 -2 3 3 1 6

27

15

40

27 3 4

15 -2 3 Ax= 40 1 6

2 27 4

1 15 3 Ay= 3 40 6

2 3 27

1 -2 15 Az= 3 1 40

1 - A função definida por f(x) = 3x +2 associa a cada o número chamado

imagem do elemento x.

A imagem do elemento x = 5 será 17, pois 3(5) + 2 = 17 e anotamos f(5) = 17.

2 - A função definida por f(x) = 3x2 + 2 associa a cada o número chamado

imagem do elemento x.

A imagem do elemento x = -2 será 14, pois 3(-2)2 + 2 =3 X 4 + 2 = 14 e anotamos f(-2) = 14.

Gráfico de uma função

Considere todos os pares ordenados (x , y) onde x pertence ao domínio da função é a imagem de x

pela função

O gráfico cartesiano de uma função numérica é a representação gráfica onde cada um desses pares

ordenados é mostrado como um ponto do plano cartesiano.

Discutiremos os detalhes dos gráficos de funções no estudo das funções do 1° e do 2° graus.

Função do 1° Grau

Denominamos função do primeiro grau a qualquer função , tal que:

O gráfico de uma função do 1° grau é sempre uma reta inclinada que encontra o eixo vertical quando y = b.

O valor constante b da expressão ax + b é chamado coeficiente linear.

O coeficiente a da expressão ax + b é chamado coeficiente angular e está associado ao grau de inclinação

que a reta do gráfico terá (na verdade o valor de a é igual à tangente de um certo ângulo que a reta do gráfico

forma com o eixo horizontal).

Se a > 0 a função será crescente, ou seja, quanto maior for o valor de x, maior será também o valor

correspondente de y e o gráfico vai ficando mais alto para a direita.

Se a < 0 a função será decrescente, ou seja, quanto maior for o valor de x, menor será o valor

correspondente de y e o gráfico vai ficando mais baixo para a direita.

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Denominamos função do segundo grau a qualquer função f: , tal que:

Os gráficos das funções do 2° grau são sempre parábolas.

O que é exatamente uma parábola? As parábolas são curvas especiais construídas de uma tal maneira que

cada um dos infinitos pontos que formam a parábola ficam à mesma distância de uma certa reta (reta diretriz

da parábola) e de um certo ponto (foco da parábola) que está fora da reta diretriz.

Na função é chamado discriminante da expressão

quadrática.

Dependendo do sinal do discriminante ( ∆) e também do sinal de a, teremos uma das seis situações descritas

abaixo, que mostram a posição da parábola em relação ao eixo horizontal:

1ª- Se há duas raízes reais e a parábola encontrará o eixo horizontal (x) em dois pontos distintos

(que são as raízes de ax2 + bx + c = 0).

2ª- Se há uma só raiz real e a parábola encontrará o eixo horizontal em um único ponto (que é a

única raiz de ax2 + bx + c = 0).

3ª - Se não há raízes reais e o gráfico não encontrará o eixo horizontal.

Vértice da Parábola

O vértice de uma parábola é um ponto da parábola com várias características interessantes. Ele será o ponto

mais alto (ponto de máximo) ou o ponto mais baixo (ponto de mínimo) da parábola. Além disto, o vértice da

parábola divide a parábola em duas partes, sendo uma crescente e outra decrescente.

Coordenadas do Vértice

As coordenadas do vértice podem ser obtidas com as seguintes expressões:

Uma forma alternativa de se conseguir estas coordenadas é fazendo:

1° - Conhecidas as raízes da função, o x do vértice pode ser calculado como a média aritmética das raízes

da função.

2° - Conhecido o valor de x, pode-se calcular o y do vértice como o valor que a função assume para x

= xy:

O vértice da parábola será:

- ponto de mínimo sempre que a > 0;

- ponto de máximo sempre que a < 0.

SEQUÊNCIAS NÚMERICAS

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS

Progressões Aritméticas

Definição

Dados os números reais a e r, denominamos progressão aritmética (P.A.) a toda seqüência (a1 , a2, a3 , ...)

tal que:

Onde r é chamado razão da P.A.

Exemplos:

1º) A seqüência (3, 7, 11, 15, 19) é uma P.A. com 5 termos onde a1 = 3, a2 = 7, a3 = 11, a4 = 15, a5 = 19 e a

razão é 4.

2º) Numa Pa de 20 termos onde a1 = 50 e r = -2, os quatro primeiros termos são a1 = 50, a2 = 48, a3 = 46 e

a4 = 44.

Propriedades

• A diferença entre um termo qualquer, a partir do segundo, e o termo anterior é igual à razão da P.A.

• Qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética dos termos vizinhos a ele (antecedente e

sucessor).

• Considerando n termos consecutivos de uma P.A. , a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é

igual à soma dos termos extremos.

Termo geral de uma P.A.

Numa P.A. de razão r, vale a seguinte igualdade:

Exemplos:

1º Numa P.A. de razão 3, cujo 8º termo vale 10, o valor do 15º termo é:

2º Se o 5º termo de uma P.A. é 13 e o 9º termo é 45, pode-se determinar a razão da seguinte forma:

3° Numa P.A. de razão 6, o valor do 8° termo é 40 e o último termo vale 106. Pode-se determinar o número de

termos da P.A. como segue:

Soma de n termos consecutivos de uma P.A. (Sn)

Para calcularmos a soma de n termos consecutivos de uma PA., devemos:

1° Calcular a média aritmética dos dois extremos;

2° Multiplicar a média pelo número de termos somados.

Exemplo: Numa P.A. com 30 termos o primeiro e 12 e o último, 58. Qual o valor da soma de todos eles?

Progressões Geométricas

Definição

Dados os números reais não nulos a e q, denominamos progressão geométrica (P.G.) a toda seqüência (a1,

a2, a3, ...) tal que:

1º A seqüência (3, 6, 12, 24) é uma P.G. onde a1 = 3, a2 = 6, a3 = 12, a4 = 24 e a razão é q=2.

2º Numa P.G. onde a1 = 320 e q = 1/2, os quatro primeiros termos são a1 = 320, a2 = 160, a3 = 80 e a4 = 40

Propriedades

• o quociente entre um termo qualquer, a partir do segundo, e o termo anterior é igual à razão da P.G.;

• qualquer termo, a partir do segundo, é, em módulo, a média geométrica dos termos vizinhos a ele

(antecedente e sucessor);

• considerando n termos consecutivos de uma P.G., o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é

igual ao produto dos termos extremos.

Termo geral de uma P.G.

Numa P.G. de razão q, vale a seguinte igualdade:

Exemplo: Numa P.G. de razão 3, cujo 5º termo vale 8, o valor do 9º termo é:

Soma de n termos consecutivos de uma PG.

A soma de n termos consecutivos de uma PG. é dada pela seguinte expressão:

Exemplo: Numa P.G. com 10 termos, o primeiro vale 25 e a razão é 2. Determinar a soma destes termos.

Soma-limite de uma P.G. infinita

Numa PG. onde o módulo da razão seja menor que 1, a soma dos seus infinitos termos será um número

finito dado por:

Funções exponenciais e logarítmicas

Chamamos de função exponencial qualquer função de R em R (números reais), definida por f(x) = a

x

, onde a Î R*

+ (a é um número real positivo) e a # 1.

Exemplos: f(x) = 6

x

(a=6) ; f(x) = (1/2)2x

(a=1/2); f(x) = 9x+2

(a=9)

Gráfico da Função Exponencial

Função Crescente (a > 1) Função Decrescente (0 < a <1)

Observe que a função exponencial é crescente quando a for um número maior que 1. Observe que a

função exponencial é decrescente quando a for um número maior que 0 e menor que 1.

Equações Exponenciais

Denominamos equações exponenciais as equações em que a incógnita (variável) se encontra no expoente.

Exemplos:

6

x + 5 = 6

2

2x + 3

= 8

DEIA.CASTILHO – Reprodução Proibida 56

Resolvendo Equações Exponenciais

a) 9

x + 3

= 9 (observe que as bases são iguais) x + 3 = 1 (igualamos os expoentes) x = 1 - 3 x = - 2 S = {-2}

b) 2

x

= 16 (devemos fatorar o número 16) 2

x

= 24

x = 4 (igualamos os expoentes) S = {4}

c) 5

x

= 1/25 (devemos fatorar o número 25) 5

x

= 1/52

(devemos inverter a fração) 5

x

= 5-2

(quando invertemos o expoente fica negativo)

x = - 2 (igualamos os expoentes) S = {-2}

d)

(1 é igual a 3 elevado a 0) x

2

+ 7x + 12 = 0 (igualamos os expoentes) x1 = 3 e x2 = 4 (resultado da equação do 2º grau) S = {3 ; 4}

e)

S = {3/10}

d)

9x

- 12.3x

+ 27 = 0 (vamos fatorar o 9) 3

2x

- 12.3x

+ 27 = 0 (3

x

)2

- 12.3x

+ 27 = 0 (32x

= (32

)x

, vamos substituir 3x

por y) y

2

- 12y + 27 = 0 (equação do 2º grau)

y1

= 9 ou y2

= 3 (resultado da equação do 2º grau)


m

3x

= y1

logo 3x

= 9 logo 3x

= 32

logo x = 2 3

x

= y2 logo 3x

= 3 logo x = 1 S = {1;3}

Logaritmo

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550- 1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir. Assim, por exemplo, como sabemos que 4

2

= 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é? Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.

Definição de logaritmo

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N(positivo) e x , que satisfaçam

a relação bx

= N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

a

x

b x log a

b

sendo b>0 ,a>0 e a 1

Na igualdade

x log a

b obtemos :

a= base do logaritmo b= logaritmando ou antilogaritmo x= logaritmo

Exemplos :

1) log

2

32 5

pois

25

32

2) log

4

16 2

pois

4 2

16

3) log

5

1 0

pois

50

1

Consequências da definição

Sendo b>0 ,a>0 e a 1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição de logaritmo:

log a 1 0

log a

a

1

log a

a

m a

loga b b

log a b log a c b c

m

n m

Propriedades operatórias dos logaritmos

1) Logaritmo do produto:

2) Logaritmo do

log a ( x.y) log

a

x

x log a y (a>0, a 1, x>0 e y>0)

quociente: (a>0, a 1, x>0 e

y>0) log a

log a

x log a

y

y

3) Logaritmo da potência: log a

x m.log a

x

(a>0, a 1, x>0 e m )

n

x m

m

x n

Caso particular: como , temos:

log a

x m

log a

x n

m .log x n a

Cologaritmo

Chamamos de cologaritmo de um número positivo b numa base a (a>0, a 1) e indicamos colog

a b o logaritmo inverso desse número b na base a

1

colog a

b log a b

(a>0, a 1 e b>0)

Como log

1 log a

b a

1 log

a

b 0 log

a

b log

a

b, podemos também escrever :

Mudança de base

colog a b log a b

Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases

diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usa-se:

Matemática


log a x logb x

logb a

NOÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

Num experimento aleatório, sendo n(U) o número de elementos do espaço amostral U e n(A) o número de

elementos do evento A, a probabilidade de que ocorra o evento A é dada por: Ex. U= {1,2,3,4,5,6}

n(U) = 6 = 3/6 = 1/2 A = {2,3,5} n(A)=3 Espaço Amostral Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um experimento aleatório. Evento Todo subconjunto do espaço amostral U é um evento. Ex. No lançamento de um dado, o evento obter um número maior ou igual a 4 é representado por A = {4,58,6}, subconjunto de U ={1,2,3,4,5,6}. Quando A = U, o evento é certo, se A = Ø, o evento é impossível. Quando, para os eventos A e , A = U e A ∩ = Ø, esses dois eventos são complementares. Propriedades Se A = Ø, n(A) = 0 e P(A) = 0. Se A = U, n(A) = n(U) e P(A) = 1. Se A U, 0 ≤ n(A) ≤ n(U).

Se A e são eventos complementares, n(A) + n( ) = n(U). Probabilidade da união de eventos Se A e B são eventos de um espaço amostral U, n(A U B) = n (A) + n(B) – n(A ∩ B)

Matemática


Dividindo essa igualdade por n(U) ≠ 0:

Probabilidade de não ocorrer um evento P ( ) é a probabilidade de não ocorrer o evento A onde E é um espaço amostral finito e não vazio e A um evento de E.

Adição de Probabilidades Se E é um espaço amostral finito e não-vazio e A e B dois eventos de E, podemos dizer que a probabilidade da união de A e B é igual a soma da probabilidade de A mais a probabilidade de B subtraída pela intersecção de A e B. Ex.

Matemática


Multiplicação de Probabilidades Se A é evento de probabilidade p e, em seguida, ocorrer o evento B de probabilidade q, então a probabilidade é p.q: P ( A ∩ B) = P (A) . P (B) = p.q Ex. A probabilidade de sair o número 5 em dois lançamentos sucessivos de um dado, sendo A o evento obter 5 no primeiro lançamento e B obter 5 no segundo lançamento. U = {1,2,3,4,5,6} n (U) = 6 n (A) = 1 n (B) = 1 temos P (A) = 1/6 e P (B) = 1/6. A probabilidade pedida é dada por: P (A) . P (B) = 1/6 . 1/6 = 1/36’ Probabilidade Condicional É quando A é probabilidade de B condicionada ao fato de que A já ocorreu, sendo B em relação a A.

Matemática


MATEMÁTICA FINANCEIRA

Termos usados

i = do inglês Interest , é usado para representar os juros envolvidos em quaisquer operações financeiras. C = do inglês Capital , é usado para representar o Capital utilizado numa aplicação financeira. M = do inglês amount , é usado para representar o Montante que é o resultado da soma do Capital com os juros. n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão : "levou n dias para devolver o dinheiro..." a.d. = abreviação usada para designar ao dia a.m. = abreviação usada para designar ao mês a.a. = abreviação usada para designar ao ano d = do inglês Discount , é usado para representar o desconto conseguido numa aplicação financeira. N = do inglês Nominal , é usado para representar o valor Nominal ou de face de um documento financeiro. A = do inglês Actual , é usado para representar o valor real ou atual de um documento financeiro em uma determinada data. V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou anuidades T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou anuidades an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos. Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos.

JUROS SIMPLES

É composto da seguinte fórmula :

j = C.i.n

Exemplo Você pediu a seu chefe um empréstimo de $ 10.000,00 e ele, que não é bobo, vai lhe cobrar uma taxa de juros de 5% ao mês , sobre o capital inicial . 6 meses depois você quita sua dívida. Quanto a mais você terá de pagar , a título de juros? Aplicando a fórmula: j : o que você quer descobrir C:R$ 10.000,00 i:5% a.m. n:6 meses Logo: j=10000. 0,05.6 resultando R$ 3.000,00 de juros pagos (Whoa!). Quase um terço do total emprestado

Matemática


Cuidado com as taxas mensais supostamente baixas . Pelo exemplo acima , fica evidenciado que mesmo taxas pequenas, se forem aplicadas por um período mais ou menos longo,pode causar um verdadeiro prejuízo ao bolso.Um grande exemplo do dia-a-dia? Cre-di-á-rio !

MONTANTE (JUROS SIMPLES) Montante nada mais é do que a soma de um capital com os juros aplicados a ele. Seguindo o exemplo da seção anterior, o Capital inicial (principal) era de $ 10.000,00 e os juros incidentes foram de $ 3.000,00 (ou seja , M = C+j). Logo, o Montante é de R$ 13.000,00. Bico, não? A fórmula para calcular o Montante direto é: M = C. (1 + i.n) Exemplo Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pressionado pelo Sindicato, informou que, no mês que vem, dará um aumento de 3% no salário de todos os funcionários . Supondo-se que você ganhe $ 1.100,00 , para quanto vai o seu salário? Aplicando a fórmula => M = o que você quer descobrir C=1.100,00 i=3% a.m. n=1 mês Logo: M=1100. (1 + 0,03.1) resultando $ 1.133,00 , o que já dá para pagar um cineminha ou então comprar mais alguns lanchinhos no McDonald's para a criançada. (eheheheh)... DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

O desconto é aplicado quando um empréstimo é saldado antes do vencimento previsto e, claro, desde que esse desconto esteja previsto em contrato. A fórmula é:

d = N.i.n

Exemplo Qual o desconto de um título no valor de R$ 50.000,00, se ele for pago 2 meses antes do vencimento à uma taxa de 5,5 % a.m.? Aplicando a fórmula: d : o que você quer saber N :50.000,00 i :5,5% - 0,055 n:2 Logo : 50000 . 0,055 . 2 = > R$ 5.500,00 de desconto

VALOR ATUAL / NOMINAL

Matemática


O cálculo do valor atual está para o Desconto Simples como o Montante para o cálculo de Juros Simples , ou seja, é o valor final após calcular o desconto. Seguindo o exemplo da seção anterior, o Valor Nominal do título era de R$ 50.000,00 e o desconto incidente foi de $ 5.500,00 ( ou seja , A = N-d ). Logo, o Valor Atual é de $ 44.500,00. Bico, não? A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é:

A = N. (1-i.n)

Exemplo Após receber sua devolução do I.R., você resolve quitar de uma vez as suas parcelas restantes do seu consórcio, num valor total de $ 70.000,00. Faltam 5 parcelas mensais e o desconto será de um 1% a.m. .Quanto você terá de pagar em cash ? Aplicando a fórmula: A = o que você quer descobrir N=70.000,00 i=1% a.m. n=5 meses Logo: A=70000. (1 - 0,01.5) resultando $ 66.500,00 .

TAXAS EQUIVALENTES

Em linguagem simples, são duas taxas ou mais taxas que, quando aplicadas, em determinado lapso de tempo em determinada quantia têm como resultado o mesmo valor. Digamos assim: você tem uma aplicação que rende 1 % a.m. se você aplicar durante 6 meses . E você tem outra que rende 12 % a.a. se você aplicar durante um ano. Qual é mais vantajosa? É tudo a mesma coisa , ou seja, elas são equivalentes, ou não? Ou será que é melhor pagar antecipadamente uma dívida ou aplicar o dinheiro e pagá-la no vencimento previsto? Muitas vezes você vai ouvir sobre Taxas Nominais, Taxas Efetivas, Taxas Reais e Aparentes. Mas, afinal, do que se trata tudo isso? Vamos lá: Taxa Nominal - é quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referenciada. - quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 35% ao ano só que a capitalização é mensal ou que a aplicação financeira é de 0,85% ao mês só que a capitalização é diária, como os FIFs ou FAQs, de capitalização diária, dos bancos. Taxa Efetiva - quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital coincidem com aquele a que a taxa está referenciada. - quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 1 % ao mensal e capitalização é mensal, como a poupança.

Taxa Real - é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período. Seguindo o exemplo da poupança, quando o

Matemática


Governo diz que a poupança tem um rendimento real de 0,5% ao mês (taxa aparente), significa que seu dinheiro foi corrigido primeiro pela inflação do período e sobre este montante foi aplicado 0,5%. Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples É só pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividí-la) pelo período correspondente ao que deseja descobrir.

Exemplo :

você tem uma taxa de 5% a.m. e quer saber quanto é equivalente ao ano. Um ano tem 12 meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60% a.a. O inverso também é verdadeiro : você tem uma taxa de 15% a.m. e quer saber quanto é ao dia . É só dividir 15% por 30 dias e você tem 0,5% a.d.

Equivalência entre duas taxas no regime de juros composto Se você quer passar de uma unidade de tempo "menor" para uma "maior" , como de mês para ano, você eleva a taxa de juros pelo número de períodos correspondente. Se for o contrário, como por exemplo de ano para mês, você eleva ao inverso do período .

De a. m. para a.a.= > ia = (1+im)12

-1

De a.d. para a.m. = > im = (1+id)30

-1

De a.d. para a.a. = > ia = (1+id)360 -1

De a.a. para a.m. => im = (1+ia)1/12

-1

De a.m. para a.d. = > ia = (1+im)1/30

-1

De a.a para ad. = > id = (1+ia)1/360

-1

Exemplo :

você tem uma taxa de 24% a.a. e quer saber quanto é equivalente ao mês. Usando a fórmula dá

aproximadamente 1,81% a.m.

Faça uma prova de confirmação : use as duas taxas sobre um valor simples como R$ 1.000,00 e veja se o

resultado é igual.

Equivalência entre uma aplicação e um desconto no regime de juros simples Há ocasiões em que será necessário verificar se a taxa de juros aplicada a um capital e a taxa de juros aplicada para fins de desconto são equivalentes. Isso é fundamental para decidir se vale a pena pagar antes, aplicar , reinvestir , etc.. A fórmula para determinar uma taxa equivalente é : Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a taxa de juros correspondente:

Matemática


i / 1- i.n

Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer descobrir a taxa de desconto correspondente:

i / 1+ i.n

Exemplo:

Vamos pegar um capital de $ 60.000,00 investido a juros simples de 8% a.m. por 3 meses. Qual a taxa de desconto simples equivalente ? Usando a fórmula : i / 1+ i.n = > 0,08 / 1,08*3 = >0,0645 Ou seja 6,45% a.m. de desconto é equivalente a 8% a.m. para aplicação, em regime de juros simples, num prazo de 3 meses.

JUROS COMPOSTOS Os juros compostos referem-se às situações em que os juros são integrados ao Capital, a cada cálculo. Para facilitar, vamos pegar um exemplo clássico: Caderneta de Poupança. A cada mês os juros são incorporados ao Capital e no próximo mês os juros incidirão sobre esse montante e assim sucessivamente.Nos

caso dos juros compostos, o resultado é o próprio Montante. A fórmula é:

Cn=C. (1 + i)n

Exemplo Uma aplicação bancária está oferecendo juros fixos de 3% a.m. por 6 meses, sobre um valor mínimo de $ 10.000,00. Quanto renderá ao final desse período? Aplicando a fórmula: Cn ou M - o que você quer saber C - 10.000,00 i - 3 % - 0,03 n - 6 Logo : 10000. (1+0,03)

6 => 11.940,52.

DESCONTO COMPOSTO

O conceito de desconto em juro composto é similar ao de desconto em juro simples. A fórmula é:

A= N. 1/ (1+i)

n

No final deste texto existe uma tabela com o cálculo dos fatores (1+i)n.

Exemplo Suponhamos que você quer descontar um título de $ 25.000,00 , 2 meses antes do vencimento, de um banco

http://users.cmg.com.br/~pschwind/montante.htm

Matemática


que utiliza uma taxa de juro composto de 3% a.m.Calcule o valor atual do título . Aplicando a fórmula: A - o que você quer saber N - 25.000,00 i - 3 % - 0,03 n - 2 Logo : 25000.1/ (1+0,03)2 => 23.564,90

RENDAS CERTAS OU ANUIDADES

Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto a nível de financiamentos quanto de investimentos. Se a renda possui um número finito de termos será chamada de temporária caso contrário é chamada de permanente. Agora, se os termos da renda certa forem iguais é chamada de renda certa de termo constante ou renda certa uniforme; senão é uma renda certa de termo variável Finalmente, quando o período entre as datas correspondentes aos termos tiverem o mesmo intervalo de tempo , diz-se que a renda certa é periódica ; caso contrário é não periódica. Exemplo - Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável (sujeito à variação da TR) e periódica. - Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termo constante (você sabe quanto pagará de juros) e periódica. - Já a caderneta de poupança pode se considerar como um caso de renda certa perpétua (pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação ), de termo variável e periódica. As rendas periódicas podem ser divididas em : Postecipadas Antecipadas Diferidas As Postecipadas são aquelas na qual o pagamento no fim de cada período e não na origem. Exemplo: pagamento de fatura de cartão de crédito As Antecipadas são aquelas na qual os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. Exemplo: financiamentos com pagamento à vista E as Diferidas são aquelas na qual o primeiro pagamento é feito após um determinado período. Exemplo: promoções do tipo, compre hoje e pague daqui a x dias

Os cálculos envolvendo renda certa lembram os cálculos de Juros Compostos e Descontos Compostos comentados em capítulos anteriores.

Em linguagem leiga,a diferença entre esses e os casos de Renda Certa , é que nesse último você calcula

quanto teve de juros , sobre uma base de cálculo fixa, podendo a mesma ser dividida em n parcelas ; no caso dos Juros Compostos e Descontos Compostos, a base de cálculo varia por período.

CALCULANDO VALOR ATUAL EM CASOS DE RENDAS CERTAS

Matemática


Trabalharemos aqui com cálculos de renda certas do tipo periódicos, de termos constantes e temporários, os quais são , usualmente, os mais pedidos em concursos. Para se calcular o Valor Atual num caso de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizada depende de ser postecipada , antecipada ou diferida. Assim , se for: Postecipada a fórmula é : V=T.an¬i

Antecipada a fórmula é : V=T+T.an-1¬i

Diferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i)

m

m é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda é diferida de 3 meses, m será 2 . Para saber o valor de an¬i, você pode:

-usar as tabelas -calcular usando a fórmula (1+i)

n-1/i(1 + i )

n.

Exemplo Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de $2.800,00 (num total de $ 36.000,00), sendo a primeira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso " com entrada" , ou ainda, um caso de renda certa antecipada. Sendo que a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m. , calcule o preço à vista desse carro. Aplicando a fórmula: n=12 T=2800 V=2800+2800.a11¬8%=>$ 22.789,10 Outro exemplo Um dormitório é vendido em 4 prestações de $ 750,00, com o primeiro pagamento para 3 meses após a compra (ou seja, esse é um caso de diferida) Sabendo que a loja trabalha com juros de 6% a.m. , calcule o valor à vista . Aplicando a fórmula: n=4 T=750 m=2 i= 6% V=750.a4¬6%/(1+.06)2=>750.3,465106/1.1236=>$2.312,95

CALCULANDO O MONTANTE EM CASOS DE RENDAS CERTAS

Como você deve se lembrar, montante nada mais é do que a somatória dos juros com o capital principal. No caso de rendas certas , a fórmula é dada por:

M=T.Sn¬i

http://users.cmg.com.br/~pschwind/tabela2.htm

Matemática


Para saber o valor de Sn¬i você pode:

-usar as tabelas -calcular usando a fórmula (1+i)

n-1/i.

Exemplo Calcule o Montante de uma aplicação de $ 100,00 , feita durante 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimento é um mês após a aplicação) : n=5 T=100 i=10% a.m. M=100.S5¬10%=>$ 610,51 Quando for uma situação de antecipada : subtraia 1 de n

diferenciada : após determinar Sn¬i, divida o resultado por (1+i)

m

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE

Neste sistema, o devedor obriga-se a restituir o principal em n prestações nas quais as cotas de amortização são sempre constantes. Ou seja, o principal da dívida é dividido pela quantidade de períodos n e os juros são calculados em relação aos saldos existentes mês a mês. A soma do valor de amortização mais o dos juros é que fornecerá o valor da prestação.

Não há necessidade de fórmulas complicadas mas você precisará montar uma planilha em situações de períodos mais ou menos longos. Esse tipo de empréstimo é usado pelo SFH e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. Exemplo Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal. O valor da amortização é calculado dividindo-se o principal pela quantidade de períodos, ou seja, 300.000 por 5, o que perfaz 60.000 Os juros são calculados sobre os saldos da prestação desta forma:

1º mês 300.000 * 4% = 12.000,00

2º mês 240.000 * 4% = 9.600,00

3º mês 180.000 * 4% = 7.200,00

4º mês 120.000 * 4% = 4.800,00

5º mês 60.000 * 4% = 2.400,00

Os saldos são calculados subtraindo-se apenas o valor da amortização. Por exemplo, no primeiro mês você pagará $ 72.000,00 de prestação mas do saldo devedor será subtraído apenas o valor da amortização que é $ 60.000,00.

http://users.cmg.com.br/~pschwind/tabela3.htm

Matemática


Ou seja, você ao final você pagará $ 336.000,00 em 5 prestações, sendo a primeira de $ 72.000,00 , a segunda de $ 69.600,00 , a terceira de $ 67.200,00 , a quarta de $ 64.800 e a quinta de $ 62.400,00. Disso, $ 300.000, 00 corresponde ao principal e $ 36.000,00 aos juros.

SISTEMA PRICE DE AMORTIZAÇÃO

Batizado em homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos, no século XVIII, é uma variante do Sistema Francês. O sistema Price caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais mensais, periódicas e sucessivas. A prestação é calculada pela fórmula :

T. an¬i

Os juros são calculados sobre o saldo devedor e o valor da amortização é a diferença entre o valor dos juros e da prestação.

Exemplo Na compra de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses.Calcule a prestação mensal: Aplicando a fórmula: F= T. an¬i 300000=T. a5¬4% T=67.388,13 Ou seja, ao final você pagará R$ 336.940,65 em 5 prestações, correspondente R$ 300.000,00 ao valor de amortização e R$ 36.940,65 aos juros .

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM)

Esse sistema é baseado no SAC E no Sistema Price. Nesse caso, a prestação é igual à média aritmética entre as prestações dos dois outros sistemas, nas mesmas condições. Exemplo Na compra de um big de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses.Calcule a prestação mensal: Esse problema já foi resolvido pelos outros dois sistemas, logo, tudo o que se tem a fazer é somar os valores das prestações dos dois casos e dividir por dois . Ou seja, você ao final você pagará $ 336.470,34 em 5 prestações,divididas da seguinte forma :

1ª $ 69.694,06

2ª $ 68.494,07

Matemática


3ª $ 67.294,07

4ª $ 66.094,07

5ª $ 64.894,07

Disso, $ 300.000,00 corresponde ao principal e $ 36.470,34 aos juros.

SISTEMA AMERICANO

Neste sistema, o devedor obriga-se a devolver o principal em um único pagamento, normalmente ao final, enquanto os juros são pagos periodicamente. Nesse caso , não existem cálculos complexos. Se for uma taxa de juros fixa, basta usar um cálculo de juros simples que você terá o total de juros, dividindo o mesmo pelo período terá os pagamentos mensais Exemplo: Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses.Calcule a prestação mensal: Calculando: 300.000 *4%*5=>60.000,00 Ou seja, você ao final você pagará $ 360.000,00 em 5 prestações, correspondendo $ 300.000,00 ao valor de amortização, paga de uma única vez ao final do período e $ 60.000,00 de juros, pagos em 5 prestações iguais de $ 12.000,00

Há casos em que o cliente , não desejando pagar de uma só vez o valor do principal, negocia com o banco a criação de um fundo de amortização denominado SINKING FUND de forma que, ao final do período, o total de fundo seja igual ao valor a pagar . Um tipo de caderneta de poupança forçada vamos assim dizer. A prestação é calculada pela fórmula :

M=T. Sn¬i

Ou se você preferir, divida o principal pelo número de prestações, que você terá o valor do depósito mensal a ser feito.

Fator de Acumulação de Capital

an= (1+i)

n

n\ i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10

%

1 1,0100

0

1,0200

0

1,0300

0

1,0400

0

1,0500

0

1,0600

0

1,0700

0

1,0800

0

1,0900

0

1,1000

0

2 1,0201

0

1,0404

0

1,0609

0

1,0816

0

1,1025

0

1,1236

0

1,1449

0

1,1664

0

1,1881

0

1,2100

0

Matemática


3 1,0303

0

1,0612

1

1,0927

3

1,1248

6

1,1576

3

1,1910

2

1,2250

4

1,2597

1

1,2950

3

1,3310

0

4 1,0406

0

1,0824

3

1,1255

1

1,1698

6

1,2155

1

1,2624

8

1,3108

0

1,3604

9

1,4115

8

1,4641

0

5 1,0510

1

1,1040

8

1,1592

7

1,2166

5

1,2762

8

1,3382

3

1,4025

5

1,4693

3

1,5386

2

1,6105

1

6 1,0615

2

1,1261

6

1,1940

5

1,2653

2

1,3401

0

1,4185

2

1,5007

3

1,5868

7

1,6771

0

1,7715

6

7 1,0721

4

1,1486

9

1,2298

7

1,3159

3

1,4071

0

1,5036

3

1,6057

8

1,7138

2

1,8280

4

1,9487

2

8 1,0828

6

1,1716

6

1,2667

7

1,3685

7

1,4774

6

1,5938

5

1,7181

9

1,8509

3

1,9925

6

2,1435

9

9 1,0936

9

1,1950

9

1,3047

7

1,4233

1

1,5513

3

1,6894

8

1,8384

6

1,9990

0

2,1718

9

2,3579

5

10 1,1046

2

1,2189

9

1,3439

2

1,4802

4

1,6288

9

1,7908

5

1,9671

5

2,1589

2

2,3673

6

2,5937

4

11 1,1156

7

1,2433

7

1,3842

3

1,5394

5

1,7103

4

1,8983

0

2,1048

5

2,3316

4

2,5804

3

2,8531

2

Tabelas Fator de Valor Atual de uma série de Pagamentos

an¬i=(1+i)n-1 / i*(1+i)

n

n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10

%

1 0,9900

99

0,9803

92

0,9708

74

0,9615

38

0,9523

81

0,9433

96

0,9345

79

0,9259

26

0,9174

31

0,9090

91

2 1,9703

95

1,9415

61

1,9134

70

1,8860

95

1,8594

10

1,8333

93

1,8080

18

1,7832

65

1,7591

11

1,7355

37

3 2,9409

85

2,8838

83

2,8286

11

2,7750

91

2,7232

48

2,6730

12

2,6243

16

2,5770

97

2,5312

95

2,4868

52

4 3,9019

66

3,8077

29

3,7170

98

3,6298

95

3,5459

51

3,4651

06

3,3872

11

3,3121

27

3,2397

20

3,1698

65

Matemática


5 4,8

53431

4,7134

60

4,5797

07

4,4518

22

4,3294

77

4,2123

64

4,1001

97

3,9927

10

3,8896

51

3,7907

87

6 5,7954

76

5,6014

31

5,4171

91

5,2421

37

5,0756

92

4,9173

24

4,7665

40

4,6228

80

4,4859

19

4,3552

61

7 6,7281

95

6,4719

91

6,2302

83

6,0020

55

5,7863

73

5,5823

81

5,3892

89

5,2063

70

5,0329

53

4,8684

19

8 7,6516

78

7,3254

81

7,0196

92

6,7327

45

6,4632

13

6,2097

94

5,9712

99

5,7466

39

5,5348

19

5,3349

26

9 8,5660

18

8,1622

37

7,7861

09

7,4353

32

7,1078

22

6,8016

92

6,5152

32

6,2468

88

5,9952

47

5,7590

24

10 9,4713

05

8,9825

85

8,5302

03

8,1108

96

7,7217

35

7,3600

87

7,0235

82

6,7100

81

6,4176

58

6,1445

67

Fator de Acumulação de Capital de uma série de Pagamentos

Sn¬i = (1+i)n-1 / i n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10

%

1 1,0000

00

1,0000

00

1,0000

00

1,0000

00

1,0000

00

1,0000

00

1,0000

00

1,0000

00

1,0000

00

1,0000

00

2 2,0100

00

2,0200

00

2,0300

00

2,0400

00

2,0500

00

2,0600

00

2,0700

00

2,0800

00

2,0900

00

2,1000

00

3 3,0301

00

3,0604

00

3,0909

00

3,1216

00

3,1525

00

3,1836

00

3,2149

00

3,2464

00

3,2781

00

3,3100

00

4 4,0604

01

4,1216

08

4,1836

27

4,2464

64

4,3101

25

4,3746

16

4,4399

43

4,5061

12

4,5731

29

4,6410

00

5 5,1010

05

5,2040

40

5,3091

36

5,4163

23

5,5256

31

5,6370

93

5,7507

39

5,8666

01

5,9847

11

6,1051

00

6 6,1520

15

6,3081

21

6,4684

10

6,6329

75

6,8019

13

6,9753

19

7,1532

91

7,3359

29

7,5233

35

7,7156

10

Matemática


7 7,2

13535

7,4342

83

7,6624

62

7,8982

94

8,1420

08

8,3938

38

8,6540

21

8,9228

03

9,2004

35

9,4871

71

8 8,2856

71

8,5829

69

8,8923

36

9,2142

26

9,5491

09

9,8974

68

10,259803

10,636628

11,028474

11,435888

9 9,3

68527

9,7546

28

10,159106

10,582795

11,026564

11,491316

11,977989

12,487558

13,021036

13,579477

10 10,

462213

10,949721

11,463879

12,006107

12,577893

13,180795

13,816448

14,486562

15,192930

15,937425

CUSTO REAL E EFETIVO DAS OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO Noções básicas

No mundo real, existe uma grande confusão a respeito do significado da ``taxa de juro'' que está sendo utilizada na operação financeira.

A taxa de juro que é especificada em contratos nem sempre corresponde à taxa de juro que está sendo efetivamente praticada na operação financeira. Isso ocorre, de um lado porque o procedimento utilizado para definição da operação financeira resulta numa taxa de juro efetiva que pode diferir substancialmente da taxa especificada no contrato. A utilização ou não de valores reais no cômputo dessa taxa efetiva, define se essa taxa efetiva é nominal ou real.

Utilizaremos a terminologia introduzida no próximo quadro para distinguir mais claramente as noções existentes.

Matemática


Matemática


De um modo geral podemos encontrar a taxa de juros efetiva real a partir da taxa de inflação e da taxa efetiva nominal utilizando o resultado apresentado no próximo quadro.

Matemática


Esse último resultado pode ser facilmente provado por argumentos elementares apresentados a seguir.

Se VFR representa o valor final em termos reais em valor do período inicial e VI o valor inicial, temos pela definição de taxa de juro real que

mas, se VF representa o valor final em termos nominais,

dado que i representa a taxa de inflação do período. Logo

mas, por definição,

Se substituirmos esse resultado na expressão anterior e re-arranjarmos os termos chegamos ao resultado desejado:

DESCONTO DE TÍTULOS

Um exemplo comum que ilustra bem a questão associada a juros contratuais e efetivos é o desconto comercial de títulos.

É uma prática comercial usual o desconto de títulos correspondentes a um valor a ser recebido em um dado período futuro. Os possuidores desses títulos freqüentemente desejam vendê-los no momento presente para investidores/instituições financeiras que aceitam esperar para recebimento do valor estipulado no título na data do pagamento, o qual é chamado valor de resgate.

Matemática


A compra desses títulos usualmente é efetuada por um valor calculado a partir do valor de resgate do título, do qual é subtraído um desconto, que é freqüentemente calculado em termos percentuais.

No desconto comercial ou bancário, também chamado de desconto ``por fora'', que é o mais comumente utilizado no Brasil, a taxa de desconto é calculada sobre o valor de resgate. A taxa efetiva nesse caso é sempre superior à taxa de desconto definida.

Um exemplo comum de operações desse tipo é o desconto de ``duplicatas", que correspondem a uma promessa de pagamento de um valor determinado por uma empresa ou pessoa física para um determinado período.

Deve-se ter cuidado com o desconto de títulos que pressupõem a aplicação dos juros sobre o capital final, como no desconto comercial de duplicatas da forma usual, pois os juros efetivamente pagos são superiores aos estabelecidos nominalmente na operação de desconto. Existe também o conceito de desconto ``racional'', menos utilizado na prática, no qual a taxa de desconto é definida de forma a ser idêntica a taxa efetiva da operação.

Matemática


PRAZOS EXATOS, COMERCIAIS E BANCÁRIOS

A determinação do prazo considerado para uma operação financeira é algo fundamental para determinação exata dos valores devidos através do processo de capitalização.

Matemática


O leitor deve ter bastante cuidado em examinar a definição do tipo de prazo considerado no contrato associado à operação financeira em questão dada a influência direta deste sobre o computo do juro devido.

EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTO

Nesta seção apresentaremos alguns métodos comuns utilizados para o pagamento de dívidas que usualmente refletem empréstimos ou financiamentos. Esses métodos envolvem a aplicação prática de alguns conceitos que desenvolvemos nas seções anteriores.

Num contexto simples, uma dívida é constituída, de um lado, do recebimento de uma quantia pelo tomador do empréstimo no início do período inicial, chamado de período 0, quantia essa que chamaremos de capital inicial. De outro lado a dívida é caracterizada pelo método utilizado para reembolso desse valor ao provedor dos recursos através de prestações periódicas. Esse provedor dos recursos é usualmente uma instituição financeira como um banco, por exemplo.

Essas prestações são geralmente constituídas de duas parcelas: uma para restituição do capital inicial tomado, a qual é chamada de parcela de amortização, e outra para pagamento do juro sobre o saldo devedor da dívida.

Na prática, o ``custo'' do empréstimo ou financiamento pode incluir, além do juro para remuneração do capital, impostos, encargos diversos, seguro e outros custos indiretos (manutenção de um saldo médio em conta corrente, por exemplo). Pode, também, incluir algum processo para correção monetária do saldo devedor.

Matemática


Toda a dívida formal contraída junto a uma instituição financeira usualmente envolve um contrato entre as partes envolvidas. Nesse contrato são definidos os procedimentos específicos que deverão ser utilizados para recebimentos e pagamentos. As condições contratuais estabelecidas para definição do método a ser utilizado para pagamentos especificam detalhadamente a operação. Essas condições podem ser relativamente complexas em muitos casos.

Apresentaremos, a seguir, alguns métodos gerais, usualmente citados em contratos:

Matemática


Método de amortização constante. Método francês. Método misto e misto generalizado. Amortização pela ``tabela Price''. Método americano. Método alemão.

Ao final da descrição desses métodos apresentamos uma análise detalhada da questão de taxas contratuais e efetivas nos diversos métodos e princípios utilizados para incorporação de correção monetária nos métodos de pagamento.

Na seção que trata de estudos de caso, apresentaremos alguns exemplos que consideram situações mais realistas que incluem encargos, correção monetária e outras complexidades usualmente consideradas em situações práticas.

MÉTODO DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE

Nesse método de pagamento o princípio geral utilizado é a utilização de parcelas de amortização com valor constante. Essas parcelas são definidas pela divisão do saldo devedor inicial pelo número de períodos correspondente ao prazo da operação. O juro devido a cada período é calculado diretamente a partir do saldo devedor existente ao final do período anterior. As prestações, nesse caso, não tem valor constante, como ocorre no método francês que será visto na próxima seção.

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No método de amortização constante, a existência de um prazo de carência de k períodos para início do pagamento das amortizações pode ser tratado de três formas alternativas.

Na primeira alternativa o pagamento das amortizações é postergado k períodos (carência) e durante esse período as prestações incluirão somente o juro sobre o saldo devedor existente. Uma descrição mais detalhada dessa alternativa é apresentada no quadro introduzido a seguir.

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Na segunda alternativa para inclusão de um prazo de carência de k períodos para início dos pagamentos, o juro é capitalizado ao saldo devedor durante a carência e pago integralmente no período que segue a esse prazo. Uma descrição mais detalhada dessa alternativa é apresentada no quadro introduzido a seguir.

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Na terceira alternativa para inclusão de um prazo de carência de k períodos para início dos pagamentos, o juro é capitalizado ao saldo devedor durante a carência incluído no saldo devedor para pagamento após a carência.

Uma descrição mais detalhada

dessa alternativa é apresentada no

quadro introduzido a seguir.

MÉTODO FRANCÊS

O método francês em lugar de utilizar parcelas de amortização constantes, como no método de amortização constante descrito na seção anterior, utiliza prestações constantes. Esse método é formalmente introduzido no quadro apresentado a seguir.

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No método francês de amortização, a expressão para o valor fixo da prestação P depende do computo do valor da série:

que é uma função de j, a taxa de juros considerada. Se o número de termos dessa série for grande, o cálculo ``braçal'' do valor de s seria tedioso. Se observarmos, contudo, que

onde , podemos achar o valor geral de S em função de x usando o seguinte truque: se subtrairmos s de s multiplicado por x chegamos a

ou

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Substituindo na expressão que define P chegamos a

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A consideração de períodos de carência não oferece nenhuma dificuldade para aplicação do método francês. Nesse caso, consideraremos duas situações. No primeiros caso, para uma carência de k períodos, os pagamentos durante a carência incluirão somente o juro sobre o saldo devedor. Após os k períodos de carência, tudo se processará de forma idêntica à aplicação do método francês sem consideração de carência.

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Alternativamente, se nenhum pagamento é feito durante os períodos de carência, o juro devido a cada período é capitalizado ao saldo devedor. O valor da prestação constante é então calculada sobre o saldo devedor, que nesse caso inclui os juros capitalizados a cada período.

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MÉTODO MISTO E MISTO GENERALIZADO

No método misto, que é utilizado no Brasil pelo Sistema Financeiro de Habitação, as amortizações, juros e prestações são obtidas a partir da média aritmética entre os valores computados pelo método de amortização constante e pelo método francês.

A obtenção da planilha financeira para o método misto pode ser realizada a partir da planilhas calculadas utilizando-se o método de amortização constante e o método francês. Cada célula da planilha do método misto é calculada pela média aritmética das células correspondentes das outras 2 planilhas. O próximo exemplo ilustra o procedimento descrito acima.

O método misto torna as prestações um pouco mais leves no início dos pagamentos e um pouco mais pesadas no final dos pagamentos quando comparadas às prestações derivadas do método de amortização constante.

Se em lugar de uma média aritmética simples utilizarmos um fator de ponderação , um número real qualquer, para cálculo de uma média ponderada entre o método francês e o método de amortização constante, podemos gerar uma família de métodos mistos que é dependente do valor de . A esse método chamaremos método misto generalizado. As prestações, amortizações e juros nesse caso seriam calculados a partir do uso de

como fator de ponderação para as células das planilhas dos dois métodos utilizando:

onde, é a célula da linha i e coluna j da planilha financeira do método misto e e são as células correspondentes nas planilhas do método francês e do método de amortização constante. O caso mais comum considera

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e corresponde à média aritmética entre os dois métodos. O caso em que corresponde ao método francês e o caso em que ao método de amortização constante.

Num resultado que demonstrado nas próximas seções, verifica-se que a taxa de juros efetiva e contratual no sistema misto generalizado é sempre igual a taxa de juro contratual e efetiva j que foi utilizada para elaboração das planilhas para o método de amortização constante e para o método francês, para qualquer valor de

utilizado na ponderação.

Quando os valores das prestações serão sempre decrescentes com a evolução dos períodos ou

iguais (no caso em que ). Se as prestações serão crescentes em valor. No exemplo introduzido a seguir mostramos a evolução das prestações quando .

Tabela ``Price''

Introduziremos a seguir o método de amortização pela ``tabela Price'' que é uma especialização do método francês para o caso em que definimos uma taxa de juro anual com capitalização mensal.

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MÉTODO AMERICANO

No método americano, que é usado freqüentemente em outros países, o tomador do empréstimo devolve o capital inicial em uma só parcela de amortização no período final da operação. As prestações periódicas consideram um juro simples calculado sobre o capital inicial. É usual que o tomador do empréstimo constitua um fundo de amortização destinado à reposição do valor integral do capital inicial ao final do empréstimo.

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O próximo exemplo ilustra o uso do método americano para amortização de um empréstimo.

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MÉTODO ALEMÃO

No método alemão as prestações são sempre idênticas, como ocorre no método francês. A diferença fundamental entre esses dois métodos está no fato de que no método alemão o juro sobre o saldo devedor é pago de forma antecipada. A quantia inicial recebida pelo tomador do empréstimo no período 0, nesse caso, já vem deduzida do juro antecipado correspondente a esse período. Nos métodos discutidos nas seções anteriores esse mesmo juro só seria pago no início do período 1.

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No início de cada período i ( ) o tomador do empréstimo deve pagar que inclui uma parte do capital inicial e juros antecipados sobre o saldo devedor existente. A dificuldade maior nesse caso é a obtenção

de de modo que . Se representarmos por a parcela para amortização do capital devemos ter:

mas, no último período (n) o saldo devedor será zero dado que

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por definição de que é exatamente a parcela de amortização do capital e com isso temos que a última prestação será definida por

Como os valores de devem ser os mesmos para podemos igualar as definições de e

para chegarmos a

mas como , temos

Se resolvermos recursivamente para , usando o mesmo raciocínio, chegaremos a relação geral

Com essa última relação podemos em princípio conhecer qualquer valor em função de . O problema no

momento é exatamente acharmos o valor de . Como temos

podemos substituir a usando a última relação chegando a

ou

mas o termo do parênteses é uma progressão geométrica de razão logo

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Como sabemos o valor de podemos encontrar por

e com isso podemos resolver recursivamente os valores dos outros períodos por

Finalmente, com esses últimos resultados, podemos calcular os valores das parcelas usando

O uso do método alemão de amortização é ilustrado pelo próximo exemplo.

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É importante salientar que no método alemão a taxa de juro efetiva é superior à taxa de juro contratual da operação dado que o pagamento do juro é antecipado. No último exemplo a taxa de juro contratual era 10% mas a taxa de juro efetiva seria de aproximadamente 11,11%. A taxa efetiva, nesse caso, é computada pela taxa interna de retorno da operação em que se recebe 100.000,00 no período 0 com a restituição dada em 5 pagamentos iguais de 27.132,70 UM nos períodos 1 a 5.

Avaliação de alternativas de investimento em uma economia estável

Na seção em que discutimos a transformação de valores nominais em valores reais estávamos preocupados em eliminar os efeitos da inflação em séries de valores monetários, para fins de análise e comparação. Quando analisamos uma série extensa de valores no tempo, algo comum em muitas operações financeiras, usualmente desejamos que os valores dessa série estejam corrigidos para valores reais (de um certa data de interesse). Isso tenta garantir que a quantidade de mercadorias comprada com 100 UM disponíveis num dado período corresponde a exatamente a mesma quantidade de mercadorias comprada com 100 UM disponíveis em outro período. Isso não seria possível se tivéssemos utilizando valores nominais na análise pois a inflação nos reduziria o valor do dinheiro na troca por mercadorias.

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Nesta seção estamos preocupados com outro problema relacionado a determinação do valor do dinheiro no tempo. Queremos saber agora qual o valor hoje de uma quantia em UM disponível em uma data futura. Para todos os efeitos, nossa discussão considerará que todos os valores utilizados já se encontram corrigidos para valores reais.

Suponha que você tem uma dívida de 100 UM a ser paga dentro de um mês e que a taxa de juro que o banco está oferecendo para investimento por um mês é de 5%.

Qual seria o valor dessas 100 UM hoje, considerando um cenário de inflação zero?

Como a taxa de juro é de 5% ao mês, poderíamos aplicar nesse investimento oferecido pelo banco a quantia de 95,24 UM para depois de um mês receber 100 UM e pagar a dívida contraída, dado que

Essa quantia de 95,24 UM, se disponível hoje, é chamada de valor presente ou valor atual de 100 UM disponíveis em 1 mês, considerando uma taxa de juro de 5%. Alternativamente, poderíamos dizer que 100 UM em um mês é o valor futuro de 95,24 UM disponíveis hoje.

Para realizar essa operação, nos privaríamos do consumo propiciado por 95,24 UM hoje para receber 100 UM dentro de um mês. Ou seja 100 UM disponíveis dentro de um mês valem somente 95,24 UM hoje em termos de consumo em decorrência da alternativa de investimento oferecida pelo banco. Isso não significa que 100 UM disponíveis dentro de um mês possam comprar mais mercadorias que 100 UM comprariam hoje (se a inflação fosse zero). Significa somente que o valor de 100 UM disponíveis dentro de 1 mês, no dia de hoje, valeria somente 95,24 UM. Usando o mesmo raciocínio, 100 UM disponíveis em 2 meses valeriam somente 90,70 UM hoje pois esse valor aplicado a 5% ao mês nos renderia 100 UM ao final de 2 meses. De forma análoga poderíamos dizer que o valor futuro de 90,70 em 2 meses seria de 100 UM.

Na grande maioria das operações financeiras usuais é necessário que comparemos valores reais disponíveis em momentos diferentes no tempo e para isso precisamos utilizar a noção de valor presente e valor futuro que introduzimos informalmente no exemplo do último parágrafo.

Valor presente e valor futuro

Comumente desejamos saber o valor presente de um fluxo de recebimentos ou pagamentos considerando uma determinada taxa de juro j.

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Da mesma forma que definimos o valor presente como o valor no período 0 de uma quantia disponível no período 1, podemos também, utilizando raciocínio similar, definir o valor futuro de como o valor no período n de uma quantia disponível no período 0.

Podemos formalizar a noção de valor presente para o caso de um fluxo de pagamentos ou recebimentos por

TAXA INTERNA DE RETORNO

Em muitas situações práticas (investimentos e empréstimos por exemplo), é necessário o cômputo da taxa de

juro que ao ser usada para obtenção do valor presente de um fluxo de recebimentos ou de pagamentos, torna esse valor igual a zero. A taxa de juro que apresenta essa propriedade com relação a um dado fluxo de recebimentos e pagamentos é chamada taxa interna de retorno desse fluxo.

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Alguns exemplos e estudos de caso:

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Art. 103. Quem editar obra literária, artística ou científica, sem autorização do titular, perderá para este os

exemplares que se apreenderem e pagar-lhe-á o preço dos que tiver vendido.

Parágrafo único. Não se conhecendo o número de exemplares que constituem a edição fraudulenta, pagará o

transgressor o valor de três mil exemplares, além dos apreendidos.

Pena: Reclusão de 1 (um) a 5 (cinco) anos, e multa, se o documento é público, e reclusão de 1(um) a 3 (três)

anos, e multa, se o documento é particular.

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