Mate Matic A

Concurso Público 2011 : Prefeitura de Aracaju – SE

MatemáticaGuarda Municipal

1 www.apostile.com.br


Conjuntos Numéricos

Definição de Conjunto: Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números.Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem.

O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... } Relação de pertinência Sendo x um elemento do conjunto numérico A , escrevemos x 0 A , onde o símbolo 0significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y A.

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por φ . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: i= { x; x ≠ x} e U = {x; x = x}.

Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A d B. Notas: a) todo conjunto numérico é subconjunto de si próprio. ( A d A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (id A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {φ , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: Conjunto dos números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos números inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: é evidente que N d Z.

Conjunto dos números racionais

Q = {x; x = p/q com p 0 Z , q 0 Z e q … 0 }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero! São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: a) é evidente que N d Z d Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9 _

Conjunto dos números irracionais

I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais: Π = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) √ 3 = 1,732050807... (raiz não exata).

Conjunto dos números reais

R = { x; x é racional ou x é irracional}. Notas: a) é óbvio que N d Z d Q d R b) I d R c) I cQ = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

Intervalos numéricos

Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.



Os números inteiros: o conjunto Z

Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.

É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N ⊂ Z.

Define-se o módulo de um número inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico. Assim é que , representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etcO módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.

Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a.

Propriedades dos números inteiros:

1 – Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. Exemplos: suc(– 3) = – 3 + 1 = - 2; suc(3) = 3 + 1 = 4.

2 – Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições :m = n [ m igual a n ] (igualdade)m > n [ m maior do que n ] (desigualdade)m < n [ m menor do que n] (desigualdade).Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.

Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ≥ ou ≤ os quais possuem a seguinte leitura:a ≥ b [ a maior do que b ou a = b ].a ≤ b [ a menor do que b ou a = b ]

Assim por exemplo, x ≤ 3, significa que x poderá assumir em Z os valores3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ...

Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...

É óbvio que o zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número negativo é menor do que zero.

... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Operações em Z

1 – Adição: a + b = a mais b.

A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras:

a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum.

Exemplos:

(-3) + (-5) + (-2) = - 10(-7) + (-6) = - 13

b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em módulo.

Exemplos:


http://www.paulomarques.com.br/arq1-7.htm


(-3) + (+7) = + 4(-12) + (+5) = -7

Propriedades:

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

1.1 – Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.

1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

1.3 – Comutativa: a + b = b + a

1.4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.

1.5 – Unívoca: o resultado da adição de dois números inteiros é único.

1.6 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número inteiro a ambos os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.

2 – Subtração: Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição.Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números inteiros, sempre será um outro número inteiro. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7.

A subtração de dois números inteiros será feita de acordo com a seguinte regra:

a – b = a + (-b)

Exemplos:

10 – (-3) = 10 + (+3) = 13(-5) – (- 10) = (-5) + (+10) = +5 = 5(-3) – (+7) = (-3) + (-7) = - 10

3 – Multiplicação: é um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número inteiro a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x nNa igualdade a . n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.

A multiplicação de números inteiros, dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais:

(+) x (+) = +

(+) x (-) = -

(-) x (+) = -

(-) x (-) = +

Apresentaremos uma justificativa para a regra acima, mais adiante neste capítulo, ou seja, o porquê de MENOS x MENOS ser MAIS!

Exemplos:

(-3) x (-4) = +12 = 12



(-4) x (+3) = -12

Propriedades:

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

3.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros é sempre outro número inteiro. Dizemos então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à operação de multiplicação.

3.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c

3.3 – Comutativa: a x b = b x a

3.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

3.5 – Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números inteiros é único.

3.6 – Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo número inteiro positivo, ou seja, se a > b então a . c > b . c

3.7 - Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo número inteiro negativo, ou seja: a > b então a . c < b . c

Exemplo: 10 > 5. Se multiplicarmos ambos os membros por (-1) fica - 10 < - 5. Observe que o sentido da desigualdade mudou.

3.8 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, através de um exemplo, para o fato do produto de dois números negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir:

Considere o seguinte produto:A = (7 – 5) x (10 – 6) cujo resultado já sabemos ser 2 x 4 = 8.Desenvolvendo o primeiro membro, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição,vem:A = (7x10) + [7x(-6)] +[(-5)x10] + [(-5)x(-6)]A = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]Como já sabemos que A = 8, substituindo fica:8 = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]Isolando o produto [(-5)x(-6)], vem:[(-5)x(-6)] = 8 – 70 + 42 + 50 = 8 + 42 + 50 – 70 = 100 – 70 =

30

Observa-se então que realmente

[(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30.

4 – Potenciação: é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a n , onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.

Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que:

a) Toda potencia de base negativa e expoente par não nulo, tem como resultado um número positivo.



Exemplos:

(-2)4 = +16 = 16(-3)2 = +9 = 9(-5)4 = +625 = 625(-1)4 = + 1 = 1

b) Toda potencia de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo.

Exemplos:

(-2)3 = - 8(-5)3 = - 125(-1)13 = - 1

5 – Divisão: O conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o quociente de dois números inteiros nem sempre é um inteiro.

A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a multiplicação, ou seja:

(+) : (+) = +

(+) : (-) = -

(-) : (+) = -

(-) : (-) = +

Exemplos:

(–10) : (– 2) = + 5 = 5(– 30) : (+ 5) = – 6

Para finalizar, vamos mostrar duas regras de eliminação de parêntesis ( ), que poderão ser bastante úteis:

R1) Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores.

Exemplo:

+ (3 + 5 – 7) = 3 + 5 – 7 = 1

R2) Todo parêntese precedido do sinal – pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das parcelas interiores.

Exemplos:

– (3 + 4 – 7) = – 3 – 4 + 7 = 0– (–10 – 8 + 5 – 6 ) = 10 + 8 – 5 + 6 = 19– (–8 – 3 – 5 ) = 8 + 3 + 5 = 16

Exercícios resolvidos

1 – A temperatura de um corpo variou de – 20º C para 20º C. Qual a variação total da temperatura do corpo?



Solução: Sendo ∆T a variação total da temperatura, vem:∆T = Tfinal – Tinicial = 20 – (– 20) = 20 + 20 = 40 º C.

2 – Um veículo movendo-se a uma velocidade de 20 m/s, parou após 50 m. Qual a variação da velocidade até o veículo parar?

Solução: Sendo ∆v a variação total da velocidade, vem:∆V = vfinal – vinicial = 0 – 20 = – 20 m/s.

Operações com números reais

Operações com frações

Adição e Subtração: usamos o menor múltiplo comum.

1514

3028

3051815

61

53

21 ==−+=−+

Multiplicação: O produto de duas frações é uma fração que tem por numerador o produto dos numeradores e que tem por denominador o produto dos denominadores.

103

206

52

43 ==⋅

Divisão: O quociente de duas frações é uma fração resultante do produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração.

32

64

34

21

4321

43

21 ==⋅==÷

Cálculo do valor de expressões numéricas: deve-se obedecer à prioridade dos sinais indicativos e das operações matemáticas.

Prioridade dos Sinais Prioridade das Operações1 ( ) 1 Exponenciação e Logaritmação2 [ ] 2 Potenciação e Radiciação3 { } 3 Multiplicação e Divisão

4 Adição e Subtração

Calcule o valor numérico das expressões:

• 3}4]1)105(3[5{2 −++−−+

R: 48



•51

94

21

57

34 −

++

R: 221/90 ou 2,46

•

−×

+

52

817

101

1143

R: 30429/4400 ou 6,92

•

392

137

54

−

−

R: -48/125 ou – 0,38

•

−

−

−+−+− 11

3114131213

R: -414

Potenciação

Potenciação de expoente inteiro: Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Então:

mmmmm

n

aa

aaaaaan ...

........⋅⋅=

=(n vezes) nmnm aaa +=⋅

0;1

11

0

≠=

==

− aa

a

aaa

n

( )

nnn

n

nn

nmnm

nmn

m

baba

bba

ba

aa

aaaa

⋅=⋅

≠=

=

≠=

⋅

−

)(

0;

0;



a) 43 2541 −−+

R: 2003/16 ou 125,1875

b) 53 )4(2 −− −+

R: 127/1024

c) 28320)2()2(1 07344 ⋅+++−−−+

R: 42

d) ( ) 22

2

543111

21

54

−

−

−−++

+−

R: 1069/1521

Potenciação de expoente não inteiro: Toda raiz pode ser escrita na forma de potência.

0,

0,1

>=

>=

naa

naan

mn m

nn

Observação: se n for par e se a < 0, não caracteriza um número real: R25 ∉− (R conjunto dos números reais).

Sejam a > 0 um real e 1≥n um natural. O único real positivo α tal que an =α é indicado por n a . Dizemos que α é a raiz n-ésima (ou de ordem n) positiva de a.

Sejam a > 0 e b > 0 dois reais, 1≥m e 1≥n dois naturais e p um inteiro. Assim vale as seguintes propriedades das raizes:

nn

mnn m

mn mpn p

nnn

baba

aa

aa

baba

<⇔<

=

=

⋅=⋅

4.

3.

2.

1.

a) 255325)1()2( 3203 ÷−−−−+−−

R: 0



b) 2)53(27)2(

0

32

−+−−−−

R: 7

Exercícios1) Calcule o valor das expressões:

a)

32

32

52

54

41

÷+⋅

R: 7/5

b) 2

541

51

43

211

−

+

−

R: 17/3

c)

−÷−÷+

215,08,0419,0

41

R: 7/20

d) 02,02,001,01,0

−−

R: ½

2) Aplicando as propriedades das potências, simplifique as expressões:

a) 7

9

84256 ⋅

b) 2

743

24331

3279

⋅

⋅⋅ −

c) ( ) 732

36

255

25125

⋅

⋅−

−

d) 41

943

1010310101012

⋅⋅⋅⋅⋅

−

−−



Respostas: a) 3225 = b) 932 = c) 62554 = d) 0,4

3) Escreva os números abaixo como o produto de um número inteiro por uma potência de 10:

a) 0,3 = b) 3000 = c) 0,005 =

d) 0,0625 = e) 3,45 = f) 8000000 =

4) Calcule o valor de:

a) 6 64 = b) 4 81 =

c) 21

25 = d) 31

8

5) Calcule o valor das expressões:

a) 31

413 27)2(168 +−−+− b) 3

24 825,05,04 −++⋅

R: a) 5 b) 1

6) Simplifique os radicais:

a) 2352 b) 3 32 c) 5 1024

R: a) 328 b) 3 42 c) 4

8) Efetue:

a) 5132

5132

+−+

−+

b) 8

1181

21 −+

Respostas: a) 2

152 −− b)

1225



9) Calculea) 3 8− b) 4 16

Respostas: a) -2 b) 2

Sistema métrico decimal

1 - Medidas de comprimento

No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir comprimentos é o metro, cuja abreviação é m. Existem os múltiplos e os submúltiplos do metro, veja na tabela:

Múltiplos u.f. Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro

metro Decímetro centímetro Milímetro

km hm dam m Dm cm mm

1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as relações entre algumas dessas unidades e as do sistema métrico decimal:

1 polegada = 25 milímetros1 milha = 1 609 metros1 légua = 5 555 metros1 pé = 30 centímetros

Obs: valores aprximados

1.1 - Transformação de unidades de comprimento

Observando o quadro das unidades de comprimento, podemos dizer que cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10. Concluí-se então que para transformar uma unidade para um submúltiplo, basta multiplicar por 10n onde n é o número de colunas à direita do número na tabela. Já para passar para um múltiplo, basta dividir por 10n onde n é o número de colunas à esquerda do número na tabela.

Por exemplo: 7 m = 7 x 102 cm = 700 cm

500 m = 500 x 10-3 km = 0,5 km

2- Medidas de superfície

No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado, cuja representação é m2 . O metro quadrado é a medida da superfície de um quadrado de um metro de lado. Como na medida de comprimento, na área também temos os múltiplos e os submúltiplos:




km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2

2.1 - Transformação de unidades de superfície

Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 102 e não 10. Veja os exemplos:

a) 5 m2 = 5 x 102 dm2 = 500 dm2

b) 3 km2 = 3 x 106 m2 = 3 000 000 m2

c) 20 000 m2 = 20 000 x 10-6 km2 = 0,02 km2

obs. Quando queremos medir grandes porções de terra (como sítios, fazendas etc.) usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).

O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.

1 hectare (há) = 1 hm2 = 10 000 m2

Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma unidade não legal chamada alqueire.

- 1 alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m2.

- 1 alqueire paulista é equivalente a 24 200 m2.

3 - Áreas das figuras geométricas planas

Constantemente no estudo de gráficos, precisamos determinar a área compreendida entre a curva e o eixo-x. Daremos aqui as fórmulas, para o cálculo da área, das figuras mais utilizadas na Física.

4 - Medidas de volume

No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir volume é o metro cúbico, cuja abreviatura é m3 . O metro cúbico (m3) é o volume ocupado por um cubo de 1 m de aresta. Como nas medidas de comprimento e de área, no volume também temos os múltiplos e os submúltiplos:




km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1 000 000 000 m3

1000 000 m3

1000 m3 1 m3 0,001 m3 0,00001 m3 0,000000001 m3

As mais utilizadas, além do metro cúbico, são o decímetro cúbico e o centímetro cúbico.

4.1 - Transformação de unidades de volume

Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 103 e não 10. Veja os exemplos:

a) 8,2 m3 = 8,2 x 103 dm3 = 8 200 dm3

b) 500 000 cm3 = 500 000 x 10-6 m3 = 0,5 m3

5 - Medidas de capacidade

A unidade fundamental para medir capacidade de um sólido é o litro.

De acordo com o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, aproximadamente, o volume equivalente a um decímetro cúbico, ou seja:

1 litro = 1,000027 dm3

Porém, para todas as aplicações práticas, simples, podemos definir:

1 litro = 1 dm3

Veja os exemplos:

1) Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36 m3. Quantos litros de água foram consumidos?

Solução: 36 m3 = 36 000 dm3 = 36 000 litros

2) Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de uma vacina que devem ser colocados em ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essa quantidade de vacina?

Solução: 1 400 litros = 1 400 dm3 = 1 400 000 cm3

(1 400 000 cm3) : (35 cm3) = 40 000 ampolas.

5.1 - Outras unidades para medir a capacidade

São também utilizadas outras unidades para medir capacidade, que são múltiplos e submúltiplos do litro:


hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

hl dal l dl cl ml

100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

Obs. 1) Não é usado nem consta da lei o quilolitro.

Obs. 2) Além do litro, a unidade mais usado é o mililitro (ml), principalmente para medir pequenos volumes, como a quantidade de líquido de uma garrafa, de uma lata ou de uma ampola de injeção.



5.1.1 - Transformação de unidades de capacidade

Observando o quadro das unidades de capacidade, podemos verificar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10.

Veja os exemplos:

1) Expressar 15 l em ml.

Solução: 15 l = (15 x 103) ml = 15 000 ml

2) Expressar 250 ml em cm3.

Solução: 250 ml = 0,25 l = 0,25 dm3 = 250 cm3

Sistema de Medida de tempoIntrodução

É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:

Qual a duração dessa partida de futebol?

Qual o tempo dessa viagem?

Qual a duração desse curso?

Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.

A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

Segundo

O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.

As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Múltiplos e Submúltiplos do Segundo

Quadro de unidades

Múltiplos

minutos hora diamin h d60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo:

• décimo de segundo



• centésimo de segundo

• milésimo de segundo

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe:

Outras importantes unidades de medida:

mês (comercial) = 30 dias

ano (comercial) = 360 dias

ano (normal) = 365 dias e 6 horas

ano (bissexto) = 366 dias

semana = 7 dias

quinzena = 15 dias

bimestre = 2 meses

trimestre = 3 meses

quadrimestre = 4 meses

semestre = 6 meses

biênio = 2 anos

lustro ou qüinqüênio = 5 anos

década = 10 anos

século = 100 anos

milênio = 1.000 anos



Razão e Proporção

RAZÃO

Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:

•

•

As razões acima podem ser lidas como:

• razão de a para b • a está para b • a para b

Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.

Razão inversa ou recíproca

Vejamos as seguintes razões:

e

Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.

Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.

Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.

Agora vejamos as seguintes razões:

e

A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação a outra.

Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:

A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.

Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.

Razão centesimal

Como visto acima, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de 4. 75% nada mais é que uma razão de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada de razão centesimal.

Exemplos

O salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um salário de R$ 1.000,00. Qual a razão de um salário para outro?

Temos: Salário de Paulo : Salário de João.

Então:

A razão acima pode ser lida como a razão de 2000 para 1000, ou 2000 está para 1000. Esta razão é igual a 2, o que equivale a dizer que o salário de Paulo é o dobro do salário de João, ou seja, através da razão estamos fazendo uma



comparação de grandezas, que neste caso são os salários de Paulo e João.

Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2.

Eu tenho uma estatura de 1,80m e meu filho tem apenas 80cm de altura. Qual é a razão de nossas alturas?

Como uma das medidas está em metros e a outra em centímetros, devemos colocá-las na mesma unidade. Sabemos que 1,80m é equivalente a 180cm. Temos então a razão de 180cm para 80cm:

2,25 é a razão de nossas alturas.

Proporção

A igualdade entre razões denomina-se proporção.

Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a : b for igual à razão c : d.

Indicamos esta proporção por:

Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.

Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).

A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).

Podemos então afirma que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:

Lê-se a proporção acima da seguinte forma:

"10 está para 5, assim como 14 está para 7".

Propriedade fundamental das proporções

Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao produto de b por c:

Segunda propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

ou

Ou

ou

Terceira propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos



consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:

ou

Ou

ou

Quarta proporcional

Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a proporção:

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.

Terceira proporcional

Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

Exemplos

Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razão do preço de compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporção?

Os termos da nossa suposta proporção são: 15, 1, 25 e 2.

Podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou não uma proporção.

Temos então:

Como 30 difere de 25, não temos uma igualdade, consequentemente não temos uma proporção.

Poderíamos também ter analisado as duas razões:

Como as duas razões possuem valores diferentes, obviamente não se trata de uma proporção.

Como uma das razões resulta em 15 e a outra resulta em 12,5, concluímos que não se trata de uma proporção, já que 15 difere de 12,5.

A proporção não ocorreu porque ao comprar 2kg de carne, eu obteria um desconto de R$ 2,50 no preço do quilograma, o que deixaria as razões desproporcionais.

A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números?



Para a resolução deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

Concluímos então que os dois números são 100 e 140.

Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?

Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:

O valor do número x é 20.

Exercícios 1

1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.

Resolução:

Vamos igualar as razões.

8 = 2

X 7

2x = 8 x 7

2x = 56

X = 56/2

X = 28

Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7



2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho:

Resolução:

Escala: 1

20

Sabendo que 1m = 100 cm.

Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.

O comprimento no desenho será:

500 x 1 = 500 / 20 =

20

25 cm

Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho será 25 cm.

3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?

Resolução:

Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y.

x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)

x + y = 45 (Soma total de alunos)

x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)

x 5

45/x = 9/5

45 x 5 = 9x

225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças



Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :

25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes

Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças

Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.

EXERCÍCIOS 2

01. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é: a) 20b) 22c) 24d) 28e) 32 02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais. 03. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. 04. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos. 05. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é: a) 90b) 96c) 180d) 72e) -124

06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6b) x = 2 e y = 12c) x = 1 e y = 12d) x = 4 e y = 2e) x = 8 e y = 12 07. Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual: a) a sentença que relaciona y com x?b) o gráfico da função f: [-2; 3] ® definida pela sentença anterior?ℝc) o valor de y quando x = 2?



08. São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a: a) 1, 2 e 3b) 1, 2 e 5c) 1, 3 e 4d) 1, 3 e 6e) 1, 5 e 12

09. Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é: a) 35b) 49c) 56d) 42e) 28 10. Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente: a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00

Resolução:

01. E

02. x = 3 e y = 6

03. As partes são: 32, 48 e 80.

04. A 1ª pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2ª pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoa R$ 225.000,00.

05. B

06. C

07. a) y = 2x

c) y = 4

08. C09. B10. Cvg



REGRA DE TRES SIMPLES E COMPOSTA

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m²) Energia (Wh)1,2--------4001,5-------- x

Identificação do tipo de relação:

Área--------Energia1,2---------400↓1,5---------- X↓

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Área--------Energia1,2---------400↓1,5-----------x↓

1,2X = 400.1,5

x= 400.1,5 / 1,2

x= 500

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)400-----------------3



480---------------- x

2) Identificação do tipo de relação:

velocidade----------tempo400↓-----------------3↑480↓---------------- x↑

Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os numeros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai para cima

velocidade----------tempo400↓-----------------X↓480↓---------------- 3↓

480X = 400 . 3

x = 400 . 3 / 480

X = 2,5

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas----preço (R$)3------------- 1205---------------x

3x=5.120

o três vai para o outro lado do igual dividindo

x = 5.120/3

x= 200

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia-----Prazo para término (dias)



8↑------------------------20↓5↑------------------------x ↓

invertemos os termos

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑-------------------------x↑5↑------------------------20↑

5x = 8. 20

passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:

5x = 8. 2 / 5

x = 32

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

EXERCICIOS

1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)

2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)

3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)

4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8)

5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8)

6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R: 90)

7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R: 4)

8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)

9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)

10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)

11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10)

12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10)

13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças produzirá em 1 hora? (R:240)

14) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4)



15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricará em 7 horas? (R:17.500)

16) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00)

17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa? (R:20)

18) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 420)

19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens serão necessários? (R:25)

20) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)

21) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro? (R:360)

Regra de três composta

regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:Horas --------caminhões-----------volume8↑----------------20↓----------------------160↑5↑------------------x↓----------------------125↑

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.Observe que:Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas --------caminhões-----------volume8↑----------------20↓----------------------160↓5↑------------------x↓----------------------125↓

20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidos

simplificando fica

20/x = 4/5

4x = 20 . 5

4x = 100

x = 100 / 4

x = 25

Logo, serão necessários 25 caminhões



2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?Solução: montando a tabela:

Homens----- carrinhos------ dias8-----------------20--------------54-------------------x-------------16

Observe que:Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

20/x= 8/4 . 5/16

20 / x = 40 / 64

40x = 20 . 64

40 x = 1280

x = 1280 / 40

x = 32

Logo, serão montados 32 carrinhos

Método mais prático de solução da regra de três composta

Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.

A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.

Veja:

1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.

Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração

2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?

Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)



Assim: 22 metros custarão R$ 110,00

3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)

EXERCÍCIOS

01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?

02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?

03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?

04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?

06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?

07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?

08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?

09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?

10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?

11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?

12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?

13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?



b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?

c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?

14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?

16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?

17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?

18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?

19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?

20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?

21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?

22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?

23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?

24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?

25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?

27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?

28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).

29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?

30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?

31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas



dessa tinta?

32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?

33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?

34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?

35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?

36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :

a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?

b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?

37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?

38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?

39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?

40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?

41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 cm3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?

42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?

43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?

44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?

45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?

46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?

47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?



48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?

49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?

50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?

51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?

52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?

53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?

54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?

55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?

56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?

57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?

58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?

60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?

61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?

62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?

63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?

64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?

65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?

66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.



67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?

68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?

69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?

70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?

72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?

73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?

74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?

75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?

76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?

79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?

80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.

81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?

82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?

83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.



Regra de Três – Questões Objetivas

84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:

a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias

85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :

a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50

86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:

a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000

87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:

a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km

88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?

a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas

89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?

a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias

90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?

a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias

91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:

a) 2 min b) 2 min e 19 segundos

c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos

92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :

a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros

93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18

94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?

a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas



95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?

a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00

c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00

96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :

a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.

c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.

97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :

a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.

c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00

98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?

a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5

99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :

a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.

100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:

a) 8 dias b) 9 dias

c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.

101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?

a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos

102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:

a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos

d) 5 gatos e) 6 gatos

102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :

a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias



103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :

a) triplicar o nº de operários

b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia

c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de

operários

d) duplicar o nº de operários

e) duplicar o nº de operários e o número de horas

trabalhadas por dia

104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?

a) 7h 42 min

b) 7h 44 min

c) 7h 46 min

d) 7h 48 min

e) 7h 50 min

105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:

a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias

d) 45 dias e) 180 dias

106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?

a) 30 b) 40 c) 45 d) 50

107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :

a) b) c) d) e)



Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta

01) 40 kg 02) 14 sacas03) 42 litros 04) 60 min05) 60 minutos = 1 hora 06) 8 máquinas07) 702 litros08) 77 caixas09) 532 km 10) 15 litros11) 33 h 20 min12) 6 minutos13) 9 min / 54 min / 15 dias14) 14 cm15) 10 cm16) 40 m317) 5.250 voltas18) 110 g19) 18 cm20) 55 fitas21) 56.250 litros22) Nota 823) 9 metros24) 30 m25) 371 cm ou 3,71 m26) 7.840 litros27) 43.925 cm28) 3.600 g29) 300 azulejos30) 40 graus31) 770 m232) 42 m/s33) 108 km/h 34) 270 recenseadores35) 1.034 voltas36) a)84 min b) 1 h 24 min 37) 14 dias38) 10 dias39) 4 horas40) 60 km/h41) 20 caminhões42) 41 m43) 20 metros44) 40 dias45) 14 peças46) 16 pessoas47) 4 h 15 min48) 96 horas49) 25 operários50) 40 latas51) 3 minutos52) 10 caminhões53) 4 horas54) 25 m55) 20 cm56) 16 dias e 16 horas57) 320 páginas58) 420 páginas59) 80 km/h60) 75 voltas61) 2.170 km62) 2 horas



63) 4 dias64) 150 kg65) 50 dias66) 250 litros67) 32 operários68) 15 dias69) 16 dias 70) 4 dias71) 216 caixas72) 7 kw73) 24 ovos74) 5 min75) 12 máquinas76) 5 kg77) 9 horas78) 1.800 toneladas79) 18 dias80) 300 litros81) 360 famílias82) 480 colares83) 5 horas84) letra d85) letra b86) letra c87) letra d88) letra b89) letra c90) letra b91) letra c92) letra d93) letra c94) letra c95) letra b96) letra a97) letra a98) letra d99) letra c100) letra a101) letra c102) letra a103) letra e104) letra d105) letra d106) letra d107) letra e



Porcentagem

* Definição

PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 100 unidades.É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos preços de produtos ou serviços.

Alguns exemplos:

- O Leite teve um aumento de 25%Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00

- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeansQuer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00

- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa.

* Noção da porcentagem em números

Exemplos: a) 60 de 150 dias de trabalho = 90 dias100 O número 90 dias de trabalho representa : PORCENTAGEM

b) 70 de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00100 O valor de R$ 84,00 representa : PORCENTAGEM

* O que é taxa de porcentagem

É definido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor. Também pode-se fixar a taxa de porcentagem como o numerador de uma fração que tem como denominador o número 100. * Como calcular porcentagem Todo o cálculo de porcentagem, como informado, é baseado no número 100. O cálculo de tantos por cento de uma expressão matemática ou de um problema a ser resolvido é indicado pelo símbolo (%), e pode ser feito, na soma, por meio de uma proporção simples. Para que se possam fazer cálculos com porcentagem (%), temos que fixar o seguinte: 1) A taxa está para porcentagem (acréscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 está para a quantia a ser encontrada. Exemplificando: Um título tem desconto 10%, sobre o valor total de R$ 100,00. Qual o valor do título?



30% : R$ 100,00 100% : X X = R$ 30,00

2) O número que se efetua o cálculo de porcentagem é representado por 100. Exemplificando: Efetue o cálculo 10% de 50 100% : 50 10% : X X = 5 Obs. Nos dois exemplos dados foram usados o sistema de cálculo de regra de três, já ensinados em tutoriais anteriores.

3) O capital informado tem sempre por igualdade ao 100. Exemplificando: Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtem-se um desconto de 20% 100% : R$ 150,00 20% : X X = R$ 30,00

* Exemplos para fixação de definição

1) Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram de cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos. 10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25 100 100 Portanto, do total de 250 pontos o jogador fez 25 pontos de 02 pontos.

2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ? Neste caso é procurado um valor de porcentagem no qual são somados os R$ 300,00 iniciais com a porcentagem aumentada e que tenha como resultado o valor de R$ 340,00 300 + 300.X/100 = 340 3X = 340 – 300 X = 40/3 X = 13,333 (dízima periódica) Assim, a taxa de lucro obtida com esta operação de revenda foi de 13,33%



* Fator Multiplicante

Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver acréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator de multiplicação. Veja: Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 1,20. Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 = R$ 23,40 E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso. Da mesma forma como é possível, ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a um certo valor, também no decréscimo ou desconto, pode-se ter este fator de multiplicação. Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 – taxa de desconto (isto na forma decimal) Veja: Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 0,80. Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = R$ 53,94



E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.

* Exercícios resolvidos de porcentagem Os exercícios propostos estão resolvidos, em um passo-a-passo prático para que se possa acompanhar a solução de problemas envolvendo porcentagem e também para que se tenha uma melhor fixação sobre o conteúdo. 1) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%? Solução: 100% : 55517 X X = 555x17 /100 = 9435/100 X = 94,35 Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35 Preço Final: R$ 649,35 Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35

2) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas ? Solução: 100% : 3030% : X X = 30.30 / 100 = 900 / 100 = 9 X = 9 Assim, o total de faltas que o aluno poderá ter são 9 faltas.

3) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto? 100% : 15.2500,7% : X Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital principal que é o valor do cheque é : R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00 Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$ 305,00. Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00



Equações de primeiro grauPara resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variável

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;

Um sinal de igualdade, denotado por =.

Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;

Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2 x + 2 = 141o. membro sinal de igualdade 2o. membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14 Equação original



2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros

2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros

x = 6 SoluçãoObservação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:

c + a = 22c + (c - 4) = 222c - 4 = 222c - 4 + 4 = 22 + 42c = 26c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:

a + b = 100.0003b + b = 100.0004b = 100.000b = 25.000

Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.

3x + 140 = 2603x = 260 -1403x = 120x = 40

Resposta: Cada quarto tem 40m2.

Exercícios: Resolver as equações

1. 2x + 4 = 102. 5k - 12 = 203. 2y + 15 - y = 224. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variável

Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:



< menor > maior < menor ou igual > maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:

Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equação original

Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membros

Passo 3 2x < 12 Dividir pelo número 2 ambos os membros

Passo 4 x < 6 SoluçãoConcluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:

S = {1, 2, 3, 4, 5}

Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade

2x + 2 < 14

obteremos o conjunto solução:

S = {2, 4}

Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:

12 < 2x + 2 < 20

poderemos seguir o seguinte processo:

12 < 2x + 2 < 20 Equação original

12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros

10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros

5 < x < 9 SoluçãoO conjunto solução é:

S = {6, 7, 8, 9}

Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades

12 < 2x + 2 < 20

obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

S = Ø = { }

Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:



a x + b y < c

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 0

observamos que o conjunto solução contém os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;

(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Sistemas linear de equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações:

2 x + 3 y = 383 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.

x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10,6) }

Método de substituição para resolver este sistema

Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 383 x - 2 y = 18



Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:

2x + 3y = 38 Primeira equação

2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos 3y de ambos os membros

2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2

x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de ySubstituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:

3x - 2y = 18 Segunda equação

3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses

57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2

114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes

114 - 13y = 36 separamos variáveis e números

114 - 36 = 13y simplificamos a equação

78 = 13y mudamos a posição dos dois membros

13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6

y = 6 Valor obtido para ySubstituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:

x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema:

x + y = 2x - y = 0

Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Relação entre sistemas lineares e retas no plano

No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Reta 1: ax + by = cReta 2: dx + ey = f

Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:

Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;

Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;

Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Exemplos das três situações

Tipos de retas Sistema



Concorrentes x + y = 2x - y = 0

Paralelas x + y = 2x + y = 4

Coincidentes x + y = 22x + 2y = 4

Problemas com sistemas de equações:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

C + A = 22C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 9

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

A + B = 100000A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

3D + O = 260O = 140

Resposta: D = 40

Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveis

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < cd x + e y > f

onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 65x + 2y < 20

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);



(2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeira desigualdade;

(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);

(4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul);

(5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessário que seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade;

(6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)

(7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.

Equações do segundo grau

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

1. a x + b = 0

2. a x² + bx + c = 0

3. a x4 + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)



Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:



onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

D = b² - 4ac

Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

a x² + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1. 2 x² + 7x + 5 = 0

2. 3 x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1. 4 x² + 6x = 0

2. 3 x² + 9 = 0

3. 2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a

Exemplos gerais



1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.

2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]

3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.

4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.

1. x² + 6x = 0

2. 2 x² = 0

3. 3 x² + 7 = 0

4. 2 x² + 5 = 0

5. 10 x² = 0

6. 9 x² - 18 = 0

Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

2. Se D=0, há duas soluções iguais:

x' = x" = -b / 2a

3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:

x' = (-b + R[D])/2ax" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.

Equação a b c Delta Tipos de raízesx²-6x+8=0 1 -6 8 4 reais e diferentes

x²-10x+25=0 x²+2x+7=0 x²+2x+1=0

x²+2x=0

O uso da fórmula de Bhaskara

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6



2. Escrever o discriminante D = b²-4ac.

3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1

4. Escrever a fórmula de Bhaskara:

5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:

x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

Exercícios

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a. x² + 9 x + 8 = 0

b. 9 x² - 24 x + 16 = 0

c. x² - 2 x + 4 = 0

d. 3 x² - 15 x + 12 = 0

e. 10 x² + 72 x - 64 = 0

2. Resolver as equações:

a. x² + 6 x + 9 = 0

b. 3 x² - x + 3 = 0

c. 2 x² - 2 x - 12 = 0

d. 3 x² - 10 x + 3 = 0

Equações fracionárias do segundo grau

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

2. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

1. Consideremos o primeiro exemplo:

3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:

MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)

Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:

[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0

o que significa que o numerador deverá ser:



3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0

que desenvolvido nos dá:

x2 + 3x - 13 = 0

que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.

2. Consideremos agora o segundo exemplo:

(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)

O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:

(x+3)(x+4)=2x(2x-1)x² + 7x + 12 = 4x² - 2x-3x² + 9x + 12 = 03x² - 9x - 12 = 0x² - 3x - 4 = 0(x-4)(x+1) = 0

Solução: x'=4 ou x"= -1

3. Estudemos outro exemplo:

3/(x²-4)+1/(x-2)=0

O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:

3 + (x+2)=0

cuja solução é x= -5

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:

1. x + 6/x = -7

2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)

3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x

4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1

Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x²

para gerar

a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que

x² = y' ou x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:



1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:

x² = 4 ou x² = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = { 2, -2, 3, -3}

2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:

x² = -4 ou x² = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = {3, -3}

3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:

x² = -4 ou x² = -9

o que garante que o conjunto solução é vazio.

Inequação do 1º Grau

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:ax + b > 0;ax + b < 0;ax + b ≥ 0;ax + b ≤ 0.

Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0x – 10 ≤ 02x + 5 ≤ 012 – x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.

Solução:-2x > -7Multiplicando por (-1)

2x < 7x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: Resolva a inequação 2x – 6 < 0.



Solução:2x < 6x < 6/2x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;2. Localiza-se a raiz no eixo x;3. Estuda-se o sinal conforme o caso.Exemplo 1:-2x + 7 > 0-2x + 7 = 0x = 7/2

Exemplo 2:2x – 6 < 02x – 6 = 0x = 3

Inequação de 2º Grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que<: menor que≥: maior ou igual≤: menor ou igual≠: diferente



As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

S = {x ? R / –7/3 < x < –1}

Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x ? R / x ≤ –1 ou x ≥ 1/2}

Exemplo 3

Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.



S = {x ? R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}

Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x ? R / x < 3 e x > 3}



Introdução aos sistemas linearesEsta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Tipo do Recipiente I II IIIA 4 3 2B 5 2 3C 2 2 3

Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Montagem do sistema linear4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 423 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 272 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.

Equação linearÉ uma equação da forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas;

a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos);

b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares1. 4 x + 3 y - 2 z = 0

2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3

3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1

4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i



Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.

Exemplos de equações não-lineares1. 3 x + 3y R[x] = -4

2. x2 + y2 = 9

3. x + 2 y - 3 z w = 0

4. x2 + y2 = -9

Solução de uma equação linearUma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:

a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1

Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na equação dada, teremos:

2×5 + 3×6 - 2×7 = 14

Sistemas de equações linearesUm sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2... ... ... ...am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas;

a11, a12, ..., amn são os coeficientes;

b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

Solução de um sistema de equações linearesUma sequência de números (r1,r2,...,rn) é solução do sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2



... ... ... ...am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4x + 3y = 2x + 5y = 2

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Consistência de Sistemas LinearesO número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.

a. Se tem uma única solução, o sistema é determinado.

b. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.

Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.

Exemplos de sistemas com respeito às suas soluçõesSistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -12x - y = 8

Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

4x + 2y = 1008x + 4y = 200

Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.

x + 3y = 4x + 3y = 5

Sistemas equivalentesDois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:

S1 3x + 6y = 42



2x - 4y = 12

S2 1x + 2y = 141x - 2y = 6

pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.

Operações elementares sobre sistemas linearesExistem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

Troca a Linha 1 com a Linha 3x + 2y - z = 22x-3y+2z=0

4x + y - 5z = 9~

4x + y - 5z = 92x-3y+2z=0x + 2y - z = 2

2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

Multiplica a Linha 1 pelo número 3x + 2y - z = 22x-3y+2z=04x+y-5z=9

~3x + 6y - 3z = 6

2x-3y+2z=04x+y-5z=9

A equação resultante fica na linha 13. Adição de duas equações do sistema

Adição da Linha 2 com a Linha 3x+2y-z=2

2x -3y + 2z = 04x + y - 5z = 9

~3x+6y-3z=62x-3y+2z=0

6x - 2y - 3z = 9A equação resultante fica na linha 3

Resolução de sistemas lineares por escalonamentoCom o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

3x + y + z = 202x - y - z = -15



-4x + y -5z = -41

Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.

Passo 1: L1-L2->L13x + 1y + 1z = 202x - 1y - 1z = -15-4x+1y-5z=-41

~1x + 2y + 2z = 35

2x-1y-1z=-15-4x+1y-5z=-41

Passo 2: L2-2.L1->L21x + 2y + 2z = 352x - 1y - 1z = -15-4x+1y-5z=-41

~1x+2y+2z=35

0x - 5y - 5z = -85-4x+1y-5z=-41

Passo 3: L3+4.L1->L31x + 2y + 2z = 35

0x-5y-5z=-85-4x + 1y - 5z = -41

~1x+2y+2z=350x-5y-5z=-85

0x + 9y + 3z = 99

Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L31x+2y+2z=35

0x - 5y - 5z = -850x + 9y + 3z = 99

~1x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 170x + 3y + 1z = 33

Passo 5: L3-3.L2->L31x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 170x + 3y + 1z = 33

~1x+2y+2z=350x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -18

Passo 6: (-1/2)L3->L31x+2y+2z=350x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -18~

1x+2y+2z=350x+1y+1z=17

0x + 0y + 1z = 9

Passo 7: L2-L3->L21x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 170x + 0y + 1z = 9

~1x+2y+2z=35

0x + 1y + 0z = 80x+0y+1z=9

Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L11x + 2y + 2z = 350x + 1y + 0z = 80x + 0y + 1z = 9

~1x + 0y + 0z = 1

0x+1y+0z=80x+0y+1z=9



Passo 9: Simplificar coeficientes1x + 0y + 0z = 10x + 1y + 0z = 80x + 0y + 1z = 9

~x = 1y = 8z = 9

Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.

Sistemas lineares homogêneosUm sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

2x - y + 3z = 04x + 2y - z = 0 x - y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.

Regra de CramerEsta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X).

Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2... ... ... ...an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn

A este sistema podemos associar algumas matrizes:

Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A.

Matriz dos coeficientesa11 a12 ... a1j ... a1na21 a22 ... a2j ... a2n... ... ... ... ... ...

an1 an2 ... anj ... ann

Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes.

Matriz Aumentada



a11 a12 ... a1j ... a1n b1a21 a22 ... a2j ... a2n b2

... ... ... ... ... ...an1 an2 ... anj ... ann bn

Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema.

Matriz da incógnita xj

a11 a12 ... b1 ... a1na21 a22 ... b2 ... a2n... ... ... ... ... ...

an1 an2 ... bn ... ann

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az.

Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:

xj = det(Aj) / det(A)

Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do sistema forem iguais a zero.

Um sistema impossível: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 271x - 2y + 3z = 153x + 1y + 7z = 40

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo.

2 3 41 -2 33 1 7

2 3 4 271 -2 3 153 1 7 40

Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o determinante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:

2 3 271 -2 153 1 40



Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 na última linha!)

2x + 3y + 4z = 271x - 2y + 3z = 153x + 1y + 7z = 42

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo:

2 3 41 -2 33 1 7

2 3 4 271 -2 3 153 1 7 42

Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então o sistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y em função de z.

Um sistema com solução única: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 271x - 2y + 3z = 153x + 1y + 6z = 40

A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.

2 3 41 -2 33 1 6

271540

Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das três equações, temos:

Ax=27 3 415 -2 340 1 6

Ay=2 27 41 15 33 40 6

Az=2 3 271 -2 153 1 40



Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:

x = det(Ax)/det(A) = 65/7y = det(Ay)/det(A) = 1/7z = det(Az)/det(A) = 14/7

Funções, Constante, 1º e 2 Grau

Tipos particulares de funções

FUNÇÃO CONSTANTE

Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x .Exemplos:a) f(x) = 5b) f(x) = -3

Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .

Veja o gráfico a seguir:

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

Propriedades da função do 1º grau :

1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .



2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim .Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) - excepcional matemático suíço - 1701/1783).3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto deabcissa x = - b/a .4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 6) se a > 0 , então f é crescente .7) se a < 0 , então f é decrescente .8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

Exercício resolvido:

1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:Podemos escrever:5 = 2.a + b-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)15 = - a \ a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

Agora resolva esta:A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:*a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )

Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .



Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :

1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: xv = - b/2a

yv = - D /4a , onde D = b2 - 4ac4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 .5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.7) ymax = - D / 4a ( a < 0 )8) ymin = - D /4a ( a > 0 )9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :y = a(x - x1).(x - x2)

Exercícios Resolvidos

1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:a) o seu valor máximo é 1,25 b) o seu valor mínimo é 1,25 c) o seu valor máximo é 0,25 d) o seu valor mínimo é 12,5 *e) o seu valor máximo é 12,5.

SOLUÇÃO:Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.

Portanto, poderemos escrever:y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)y = a(x + 2)(x - 3)

Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)8 = a(1)(-4) = - 4.aDaí vem: a = - 2

A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)y = -2x2 + 6x - 4x + 12y = -2x2 + 2x + 12



Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.Isto já elimina as alternativas B e D.

Vamos então, calcular o valor máximo da função.D = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5Logo, a alternativa correta é a letra E.

2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?*a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2

SOLUÇÃO:Seja x o número procurado.O quadrado de x é x2 .O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 .

Podemos escrever:y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função).

Assim,xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2Logo, a alternativa correta é a letra A .

Agora resolva estes similares:

1 - A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser:a) 16 b) 8 *c) 4 d) -4e) -16

2 - A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é:a) 16 b) 8 c) 4 d) -4 *e) -16



PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS E ARITMÉTICAS

Progressão Aritmética

Definição

É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo. É a soma do anterior com uma constante, denominada razão. Esta razão e representada pela letra r.

Elementos

a1 - 1o termo

an - termo genérico (ou n-ésimo termo)

r - razãon - número de termosSn - soma dos termos

TM - termo médio

Fórmula do termo Geral da P.A.

an = a1 + (n-1).r

Interpolação Aritmética

Interpolar ou inserir 'k' meios aritméticos entre os termos a1 e an significa formar uma progressão aritmática de 'k + 2' termos, onde a1 e an são extremos.

Soma dos Termos da P.A.

A soma dos termos de uma P.A. limitada (ou finita) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos.

Termo Médio de uma P.A.

Consequência da Fórmula da Soma

P.A. de número ÍMPAR de termos Sn = TM .

Si - Sp = TM

onde: Si = a1 + a3+ a5 + ... e Sp = a2 + a4 + a6 + ...

P.A. de número PAR de termos:



Representação de 3 termos na P.A.

Quando três termos desconhecidos estão em progressão aritmética, pode-se usar o seguinte artifício:

(x-r) ; x ; (x+r)

Exercícios - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - P.A.

Questões

1-) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).

2-) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...).

3-) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).

4-) Qual é o centésimo número natural par ?

5-) Ache 0 5o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...).

6-) Ache o sexagésimo número natural ímpar.

7-) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ?

8-) Ache a1 numa P.A., sabendo que r=1/4 e a17=21.

9-) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16 ?

10-) Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).

11-) Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39 ?

12-) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos ?

13-) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ?

14-) Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8 ?

15-) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.

16-) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8 ?

17-) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500.

18-) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilometro 3 e outro no quilometro 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.

19-) (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

20-) Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:

a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987 ?

b) Quantas unidades foram produzidas em 1991 ?



Respostas

Questão 1

Dados: a1 = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; an = ? ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).ran = 2 + (n -1).5 an = 2 + 5n - 5 an = 5n - 3

Resposta: an = 5n - 3

Questão 2

Dados: a1 = 7/3 ; r = 11/4 - 7/3 = (33 - 28)/12 = 5/12 ; an = ? ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).ran = 7/3 + (n -1). 5/12 an = 7/3 + 5/12n - 5/12 an = 5/12n + 28/12 - 5/12 an = 5/12n + 23/12

Resposta: an = 5/12n + 23/12 ou an = (5n + 23)/12

Questão 3

Dados: a1 = 4 ; r = 10 - 4 = 6 ; an = a15 = ? ; n = 15

Resolução: an = a1 + (n-1).ra15 = 4 + (15 -1).6 a15 = 4 + 14.6 a15 = 4 + 84 a15 = 88

Resposta: a15 = 88

Questão 4

Dados: a1 = 0 ; r = 2 - 0 = 2 ; an = a100 = ? ; n = 100

Resolução:an = a1 + (n-1).ra100 = 0 + (100 -1).2 a100 = 0 + 99.2 a100 = 198

Resposta: a100 = 198



Questão 5

Dados: a1 = a+br = (3a-2b)-(a+b) r = 3a-2b - a-b r = 2a-3b an = a5 = ? ; n = 5

Resolução: an = a1 + (n-1).ra5 = a+b + (5-1).(2a-3b) a5 = a+b + 4.(2a-3b) a5 = a+b +8a-12b a5 = 9a - 11b

Resposta: a5 = 9a - 11b

Questão 6

Dados: a1 = 1 ; r = 3 - 1 = 2 ; an = a60 = ? ; n = 60

Resolução:an = a1 + (n-1).ra60 = 1 + (60 -1).2 a60 = 1 + 59.2 a60 = 1 + 118 a60 = 119

Resposta: a60 = 119

Questão 7

Dados: a1 = 4 ; r = 5 ; an = 44 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r44 = 4 + (n-1).5 44 = 4 + 5n -5 44 -4 + 5 = 5n 45 = 5n 45/5 = n 9 = n ou n = 9

Resposta: 9a posição

Questão 8

Dados: a1 = ? ; r = 1/4 ; a17 = 21 ; n = 17

Resolução:



an = a1 + (n-1).ra17 = a1 + (17-1).(1/4) 21 = a1 + 16/421 = a1 + 421 - 4 = a117 = a1

Resposta: a1 = 17

Questão 9

Dados: a1 = -5 ; r = 3 ; an = 16 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r16 = -5 + (n-1).316 = -5 + 3n -316 = 3n - 816 + 8 = 3n 24 = 3n24/3 = n8 = n

Resposta: n = 8

Questão 10

Dados: a1 = 5 ; r = 5 ; an = 785 ; n = ?

Resolução: an = a1 + (n-1).r785 = 5 + (n-1).5785 = 5 + 5n -5785 = 5n785/5 = n 157 = n

Resposta: n = 157

Questão 11

Dados: a1 = ? ; an = a7 = 46 ; a6 = 39 ; r = a7 - a6 ; r = 46 - 39 ==> r = 7 ; n = 7

Resolução:an = a1 + (n-1).r46 = a1 + (7-1).7 46 = a1 + 6.7 46 = a1 + 42 46 - 42 = a1 4 = a1

Resposta: a1 = 4



Questão 12

Dados: P.A.(105,...,994); a1 = 105 ; an = 994 ; r = 7 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r994 = 105 + (n-1).7 994 = 105 + 7n - 7 994 = 105 - 7 + 7n994 = 98 + 7n994 - 98 = 7n896 = 7n 896/7 = n 128 = n

Resposta: n = 128

Questão 13

Dados: P.A.(0,...,95);a1 = 0 ; an = 95 ; r = 5 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r95 = 0 + (n-1).5 95 = 0 + 5n - 5 95 + 5 = 5n 100 = 5n100 = 5n100/5 = n20 = n

Resposta: n = 20

Questão 14

1-) Calculamos a quantidade de números, entre 100 e 500, que são divisíveis por 8.Dados: P.A.(104,...,496); a1 = 104 ; an = 496 ; r = 8 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r496 = 104 + (n-1).8 496 = 104 + 8n - 8 496 = 96 + 8n 496 - 96 = 8n 400 = 8n 400/8 = n 50 = n

2-) Calculamos a quantidade de todos os números, entre 100 e 500.Dados: P.A.(100,...,500); a1 = 100 ; an = 500 ; r = 1 ; n = ?

Resolução: an = a1 + (n-1).r500 = 100 + (n-1).1 500 = 100 + n - 1



500 = 99 + n 500 - 99 = n 401 = n

3-) Calculamos o número de termos que não são divisíveis por 8, fazendo: n = 401 - 50 = 351

Resposta: n = 351

Questão 15

P.A.(1, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,37)Dados: a1 = 1 ; r = ? ; an = a13 = 37 ; n = 13

Resolução: an = a1 + (n-1).ra13 = 1 + (13-1).r 37 = 1 + 12.r 37 -1 = 12r 36 = 12r 36/12 = r 3 = r

Calculamos as 11 interpolações:

a2 = a1 + r = 1+3 = 4a3 = a2 + r = 4+3 = 7a4 = a3 + r = 7+3 = 10a5 = a4 + r = 10+3 = 13a6 = a5 + r = 13+3 = 16a7 = a6 + r = 16+3 = 19a8 = a7 + r = 19+3 = 22a9 = a8 + r = 22+3 = 25a10 = a9 + r = 25+3 = 28a11 = a10 + r = 28+3 = 31a12 = a11 + r = 31+3 = 34

Resposta: an = P.A.(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37)

Questão 16

Dados: P.A.(2,...,66); a1 = 2 ; an = 66 ; r = 8 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r66 = 2 + (n-1).8 66 = 2 + 8n - 8 66 = 8n - 6 66 + 6 = 8n 72 = 8n 72/8 = n 9 = n

Subtraímos 2 termos dos 9 termos encontrados: n = 9 - 2 = 7.

Resposta: n = 7



Questão 17

Dados: P.A.(10, _, _, _, _, _, _,500); a1 = 10 ; an = a8 = 500 ; r = ? ; n = 8

Resolução:an = a1 + (n-1).r500 = 10 + (8-1).r 500 = 10 + 7.r 500 - 10 = 7r 490 = 7r 490/7 = r 70 = r


a2 = a1 + r = 10+70 = 80a3 = a2 + r = 80+70 = 150a4 = a3 + r = 150+70 = 220a5 = a4 + r = 220+70 = 290a6 = a5 + r = 290+70 = 360a7 = a6 + r = 360+70 = 430

Calculamos a média aritmética:

M.A. = Adição dos termos / número de termos adicionados = (a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7) / 6 M.A. = (80 + 150 + 220 + 290 + 360 + 430) / 6 = 1530 / 6 = 255

Resposta: M.A. = 255

Questão 18

P.A.(3,..,88)Dados: a1 = 3 ; r = ? ; an = a18 = 88 ; n = 18

Resolução: an = a1 + (n-1).ra18 = 3 + (18-1).r 88 = 3 + 17.r 88 - 3 = 17r85 = 17r 85/17 = r 5 = r


a2= a1 + r = 3+5 = 8a3= a2 + r = 8+5 = 13a4= a3 + r = 13+5 = 18a5= a4 + r = 18+5 = 23a6= a5 + r = 23+5 = 28a7= a6 + r = 28+5 = 33a8= a7 + r = 33+5 = 38a9= a8 + r = 38+5 = 43



a10= a9+ r = 43+5 = 48a11= a10+ r = 48+5 = 53a12= a11+ r = 53+5 = 58a13= a12+ r = 58+5 = 63a14= a13+ r = 63+5 = 68a15= a14+ r = 63+5 = 73a16= a15+ r = 73+5 = 78a17= a16+ r = 78+5 = 83

Resposta: Marcos quilométricos: 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83

Questão 19

Dados: M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000. M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.M(1) = 1, 2, ..., 10000.

Resolução:

Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r => 10000 = 1000 + (n - 1). 5 => n = 9005 / 5 => n = 1801.Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r => 9996 = 1001 + (n - 1). 7 => n = 9002 / 7 => n = 1286.Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r => 9975 = 1015 + (n - 1).35 => n = 8995 / 35 => n = 257.Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r => 10000 = 1000 + (n - 1).1 => n = 9001.

Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos).

Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171

Resposta: n = 6171

Questão 20

P.A.(6530, _ , 23330)

Dados: a1 = 6530 ; r = ? ; an = 23330 ; n = 3

Resolução:an = a1 + (n-1).ra3 = 6530 + (3-1).r 23330 = 6530 + 2.r 23330 - 6530 = 2r 16800 = 2r 16800/2 = r 8400 = ra2 = a1 + r a2 = 6530 + 8400 a2 = 14930

P.A.(6530, 14930, 23330, _ , _, _)

Dados:

a1 = 6530 ; r = 8400 ; an = a6 = ? ; n = 6



Resolução:

an = a1 + (n-1).ra6 = 6530 + (6-1).8400 a6 = 6530 + 5.8400 a6 = 6530 + 42000 a6 = 48530

Resposta: a) 14930; b) 48530

Progressão GeométricaDefinição

É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma constante, denominada razão, representada pela letra 'q'.

Elementos

a1 - 1o termo

an - termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)

q - razãon - número de termosSn - soma dos termos

Pn- produto dos termos

Fórmula do Termo Geral da P.G.



an = a1 . qn-1

Produtos dos Termos de uma P.G.

O produto dos 'n' termos de uma P.G. é dado por:

ou

Soma dos Termos da P.G.

P.G. limitada (ou finita)

ou

P.G. ilimitada (ou infinita) decrescente

Obs.: para -1 < q < 1 e o número de termos tendendo ao infinito.

Termo Médio de uma P.G.

TM2 = a1.an

Representação de 3 termos na P.G.

Para representar três termos em P.G., sendo dado o produto dos termos, use:

Exercícios - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G.

Questões

1-) Escreva os cinco primeiros termos de cada P.G., sendo dados:

a) a1 = 2 e q = 3

Resposta: P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...)

b) a1 = 3 e q = -1

Resposta: P.G. (3, -3, 3, -3, 3, ...)



c) a1 = -6 e q = 1/2

Resposta: P.G. (-6; -3; -1,5; -0,75; -0,375; ...) ou (-6; -3; -3/2; -3/4; -3/8; ...)

d) a1 = -2 e q = 5/4

Resposta: P.G. (-2; -5/2; -25/8; -125/32; -625/128; ...)

e) a1 = 7 e q = 0

Resposta: P.G. (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

f) a1 = q = 1

Resposta: P.G. (1, 1, 1, 1, 1, ...)

2-) Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo é -108 e a razão é q = 3.

3-) A soma do 2o com o 3o termo de uma P.G. vale 16 e o produto do 1o com o 3o é 16. Determine essa P.G. sabendo que ela é crescente.

Resolução:a2 + a3 = 16 (I)a1 . a3 = 16 (II)

Fazer a3 = a1 . q 2 e substituir em (II).

a1 . a1 . q 2 = 16

a1 2 .q 2 = 16

Extrair a raiz quadrada dos dois membros.a1 .q = 4a1 = 4/qSe a2 = a1 .qa2 = 4/q . qa2 = 4 Como a2 + a3 = 16, temos:a3 = 12q = a3 / a2 = 12/4 = 3Daí a1 = 4/qa1 = 4/3

Resposta: P.G. (4/3, 4, 12, ...)

4-) Interpole quatro meios geométricos entre 1/8 e 4.

5-) Interpole seis meios geométricos entre 1 e 2187.

Resolução:an = a1. q

n-1

2187 = 1.q 8-1

2187 = 1.q 7

Fatorando 2187, temos: 2187 = 37.Então, 37 = q 7

Se os expoentes são iguais, as bases das potências também são iguais. Logo, q = 3a2 = a1 . q a3 = a2 . q a4 = a3 . q a5 = a4 . q



a6 = a5 . q a7 = a6 . q P.G.(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187)

6-) Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 à taxa de 2,5 por cento ao mês. Calcule por quanto tempo esse dinheiro deve ficar aplicado para que o montante seja de R$ 11.586,38. (Use log 1,025 = 0,0107 e log 1,4129732 = 0,1501.)

7-) Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...).

Resolução:Sn = a1. (q

n-1) / q-1S6 = 7.(26-1) / 2-1S6 = 7.(64-1) / 1S6 = 7.63S6 = 441

Equações transcendentais - Exponenciais

Equações Exponenciais

INTRODUÇÃO

Seguindo a ordem natural dos artigos sobre Potenciação e Radiciação será abordado agora as equações exponenciais. Antes, será fornecida uma breve noção sobre o conceito e propriedades da função exponencial. Considera-se, também, como pré requisito para o entendimento deste artigo o conceito de função.

Com este artigo espero atender aos questionamentos, pertinentes ao assunto, colocados nos comentários dos artigos mencionados acima.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

a) Definição

Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que associa a cada x real o número real ax. Simbolicamente:

Observações, Propriedades e Exemplos:

• A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial;

• A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;



• A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;• Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1)

pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;

• Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);

• Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);• No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 <

a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;• A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2). Esta

propriedade é decorrência direta da propriedade acima;• Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da

função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;• Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;• Exemplos de funções exponenciais:

b) Teoremas

Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.

T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:

Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.

T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:

Demonstração:

Daqui, pelo teorema T1 temos:

T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

Demonstração:

Pelo teorema T1, vem que:



T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

a) Definição

Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.

Exemplos:

Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:

• Método de redução a uma base comum;• Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

b) Método de redução a uma base comum

Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.

Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:

ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.

c) Exercícios Resolvidos

Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.



Para termos uma equação devemos ter uma igualdade,ou seja, alguma coisa igualada à outra.E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.

Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado. Quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os lados da igualdade. Isso mesmo, o objetivo é esse IGUALAR AS BASES. Veja abaixo vários exemplos resolvidos.

Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável (X) está como expoente do termo à esquerda desta igualdade.Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao objetivo. Agora devemos “CORTAR” as bases de ambos os lados.

Pronto, com as bases “cortadas” mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.

x=2 Esta é a solução!!

Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:

O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados.

Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação

Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente.

2x-2=5 Aplicando as propriedades operatórias.2x=5+22x=7x=7/2 Esta é a solução



Vamos aumentar mais uma vez o nível.

Novamente começamos fatorando.

Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.

Com as bases iguais vamos operar os expoentes

Esta é a nossa solução x=4

Mais um exemplo um pouco mais difícil.

Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoento no expoente. Note que teremos que igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar

Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.

Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.

Corta-se as bases.

x+1=2x=2-1x=1 Esta é a nossa solução, x=1

Novamente vamos aumentar a dificuldade:

Como sempre, vamos fatorar.

Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de mesma base.

Pronto, objetivo alcançado. Cortando…8x-7=x-38x-x=7-3

Esta é a solução



7x=4x=4/7

Agora com mais raízes.

Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas a dificuldade é a mesma, você precisa ter os mesmo conhecimentos para resolve-la. As bases já estão definidas, vai ser 2. O que devemos fazer é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação. Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro.Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.

Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras.

Mais uma vez para matar a última raiz.

Bases iguais, corta-las…

Agora é só operar e isolar “x”.

Esta é a nossa solução.

Veja uma que precisa de Bhaskara para resolver:

Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 (Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o.Agora com as bases igualadas vamos corta-las.

x2-x-6=0 Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Bhaskara achamos suas raízes.{-2 e 3} Esta é a solução, “x” pode ser qualquer um destes valores.

Última agora



3·2x+3=192

A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que “passar” o três que está multiplicando para o lado direito dividindo.

2x+3=192/3

Efetuando o cálculo

2x+3=64

Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases.

2x+3=26

Cortando…

x+3=6x=6-3x=3 Esta é a nossa solução.

Faça agora alguns exercícios que utilizam este mesmo método para resolução. Após isso veja mais exemplos resolvidos com outros métodos de resolução.

Exercícios:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

Se , então “x” vale:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

9) (PUC-RS) A soma das raízes da equação é:(A) -4(B) -2(C) -1(D) 2(E) 4

10) (UFRGS) Sabendo-se que , tem-se que vale:



(A) -4(B) -2(C) 0(D)

(E) 2

11) (UFRGS) O valor de x que verifica a equação é:

(A) -1

(B)

(C) 0

(D)

(E) 1

12) (UFRGS) A solução da equação é

(A)

(B)

(C)

(D) (E)

13) (UFRGS) Sabendo que então vale

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

14) (PUCRS) A soma das raízes da equação é:

(A) -2(B) -1(C) 0(D) 1(E) 2



GABARITO

01- 05- {3; 1} 09- D 13- E

02- ±2 06- {9; 1} 10- D 14- A

03- {4; 3} 07- -1 11- A

04- 1 08- B 12- B

Equações transcendentais: LogarítmicasNo artigo sobre equações exponenciais citamos os dois principais métodos utilizados para resolver este tipo de equação:

• o de redução a potências de mesma base, e• o que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.•

O primeiro foi tratado naquele artigo com a colocação de conceitos, exemplos e exercícios resolvidos, em que estes, foram propositalmente selecionados, visando apresentar o uso de técnicas diferenciadas na resolução de equações exponenciais.

O segundo será abordado agora, como já dito, com o intuito de auxiliá-lo a resolver equações do tipo 3x = 7, entre outras, em que não é possível reduzir seus termos a uma potência de mesma base.Apesar de podermos afirmar com facilidade que x assume um valor entre 1 e 2, pois 3 < 3x= 7 < 9, não sabemos qual é exatamente esse valor e nem o processo para determiná-lo, tomando-se por base os conceitos publicados até aqui no VICHE.Para isto é necessário acrescentar a seu repertório de conhecimentos a definição e propriedades dos logaritmos.

Definição

Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:

Observações e consequências da definição:

1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a primeira

igualdade na expressão acima;3. Decorre da definição de logaritmo que loga1 = 0, pois a0 = 1. Em outras palavras, que o logaritmo de 1 em

qualquer base é igual 0;4. Do mesmo modo, observe que logaa = 1, uma vez que a potência de grau 1 de a é o próprio a. Ou seja, que o

logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da definição, é igual a 1;5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que alogab = b;6. logab = logac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = alogac) e do fato acima (alogac = c). Traduzindo:

dois logaritmos em um mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais;7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o logaritmo aos seus membros

essa igualdade não se altera;


http://www.blogviche.com.br/2006/04/16/equacoes-exponenciais/


8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a > 0 e diferente de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a;

9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente importantes: o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de logaritmo neperiano (também chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);

10. O logaritmo decimal é representado pela notação log10x ou simplesmente log x. E o neperiano por logex ou ln x;

11. Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 1000 em 1617;

12. Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.

Exemplos:

Antilogaritmo

Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, então b é oantilogaritmo de x na base a. Em símbolos:

Exemplos:

Propriedades dos Logaritmos

L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:

Demonstração:

Fazendo z = loga(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:az = b.cDaqui, obtemos pela observação 5. acima:

az = alogab.alogac => az = alogab+logac => z = logab + logacSubstituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.

Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. Fazendo:

z = loga(b.c), x = logab e y = logac



vamos provar que z = x + y.

Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:

az = bc, ax = b e ay = cSubstituindo b e c na primeira igualdade vem que:

az = axay => az = ax+y => z = x + yA propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:

loga(b1.b2. … .bn) = logab1 + logab2 + … + logabnA prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:

• demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;• supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.

Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.

L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:

Demonstração:

De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = loga(b/c) obtemos:

Como consequência direta da propriedade L2 temos que:

Cologaritmo

Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:

cologab = -logab = loga(1/b)L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:

Demonstração:

Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:



Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para provar a propriedade L1.

Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:

Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3

• São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de multiplicação, divisão e potenciação;

• Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [loga(b + c) ou loga(b - c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.

Mudança de Base

É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em que seus membros estejam em bases diferentes.

Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é fundamental saber como isto é feito.

Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.

Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.

L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:

Demonstração:

Fazendo logab = x, logcb = y e logca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por definição a é diferente de 1). De fato:



Como consequência da propriedade L4 temos:

1. logab = logcb.logac: a demonstração é feita transformando logcb para a base a no segundo membro da igualdade;

2. logab = 1/logba: transforme logab para a base b.Exercícios Resolvidos

1. Resolver a equação 3x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:

log 3x = log 7Pela propriedade L3:

x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771

2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:

onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.

Solução:

Sejam M1 e M2 os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:M1 = 50000(1 + 0,05)t e M2 = 45000(1 + 0,06)tTemos que determinar o tempo para que M1 = M2. Assim:

Matemática Financeira

Elementos básicos em Matemática Financeira

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.

Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.

Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas.

Regime Processo de funcionamento

Simples Somente o principal rende juros.



Compostos Após cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros.

Notações comuns que serão utilizadas neste material

C Capital

n número de períodos

j juros simples decorridos n períodos

J juros compostos decorridos n períodos

r taxa percentual de juros

i taxa unitária de juros (i = r / 100)

P Principal ou valor atual

M Montante de capitalização simples

S Montante de capitalização composta

Compatibilidade dos dadosSe a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de unidades.

Exemplo: Na fórmula

F(i,n) = 1 + i n

a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de períodos n, ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês, então n deverá ser um número indicado em meses.

Juros simples1. Se n é o numero de periodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os juros simples são

calculados por:

j = P i n

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:

j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00

2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos i por r/100 e obtemos a fórmula:

j = P r n / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:

j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00

3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula:

j = P r m / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por:

j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00

4. Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros exatos (número exato de dias) ou comerciais simples com a fórmula:

j = P r d / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de 0,02% ao dia são dados por:



j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00

Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por:

j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50

Montante simplesMontante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas:

M = P + j = P (1 + i n)

Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M=2P

Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in)

Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo

n = 2/3 ano = 8 meses

Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?

Contagem do tempo:

Período Número de dias

De 10/01 até 31/01 21 dias

De 01/02 até 28/02 28 dias

De 01/03 até 31/03 31 dias

De 01/04 até 12/04 12 dias

Total 92 diasFórmula para o cálculo dos juros exatos:

j = P r (d / 365) / 100

Cálculo:

j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05

Fluxo de caixaApresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. O internauta interessado em obter mais detalhes, poderá acessar outro link que construímos sobre Fluxo de caixa. Em nossa Página, existem muitos outros links sobre Matemática Financeira que construímos para dar suporte a este curso.

Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações.

A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.

Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de R$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destes depósitos.


http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/flcaixa/flcaixa.htm


Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.

Juros compostosEm juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.

Tempo Data Valor Principal Juros Montante

0 01/01/94 100,00 0 100,00

1 01/02/94 100,00 50,00 150,00

2 01/03/94 150,00 75,00 225,00

3 01/04/94 225,00 112,50 337,50

4 01/05/94 337,50 168,75 506,20

5 01/06/94 506,25 253,13 759,38Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.

Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:

S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde

Sn Soma ou montante

P Valor Principal aplicado inicialmente

i taxa unitária

n número de períodos da aplicaçãoObservação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.

Montante compostoA fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número de períodos n, é dada por:

S = P (1+i)n

Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?

Objetivo: S=2P

Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:



S=P(1+i)n

Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2

Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano

Fator de Acumulação de Capital (Fator de P para S)Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, definimos o Fator de Acumulação de Capital ou Fator de P para S, denotado por FAC(i,n) ou FPS(i,n), como:

FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1 + i)n

Agora, podemos escrever o montante composto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n):

S = P FAC(i,n) = P FPS(i,n)

Utilidade: O FAC(i,n)=(1+i)n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e a seguir tecla-se o sinal de igualdade n-1 vezes.

Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo:

S = P (1 + i)n

P = S (1+i)-n

Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual P de um capital futuro conhecido S.

P=S(1+i)-n

Fator de Valor AtualSe i é a taxa ao período, n é o número de períodos, o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou Fator de Desconto, denotado por FVA(i,n) ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(i,n):

FVA(i,n) = FSP(i,n) = (1+i)-n

Utilidade: O FVA(i,n)=(1+i)-n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e o sinal = (igual) n-1 vezes para obter FAC(i,n) e a seguir teclamos o sinal de divisão e finalmente o sinal = (igual) para obter o FVA(i,n), que é o inverso do FAC(i,n).

Cálculo de juros CompostosJ = P [(1+i)n-1]

Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?

Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.



Dúvida: Qual será a fórmula para juros compostos quando a taxa é anual e o período está indicado em uma unidade diferente de 1 ano? A idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter:

n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano

Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1. A fórmula empregada é:

J = P [(1+i)n-1]

Solução:

J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21

Teste: Você saberia obter a raiz quarta de um número com uma calculadora que só extrai a raiz quadrada? E a raiz oitava de um número que só extrai a raiz quadrada?

TaxasTaxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira.

Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: "No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira 'poluição' de taxas de juros."

Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:

Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

1. 1200% ao ano com capitalização mensal.2. 450% ao semestre com capitalização mensal.3. 300% ao ano com capitalização trimestral.

Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

1. 120% ao mês com capitalização mensal.2. 450% ao semestre com capitalização semestral.3. 1300% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:

vreal = 1 + ireal

que pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)

isto é:

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02



o que significa que a taxa real no período, foi de:

ireal = 2%

Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.

Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o valor de:

V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77

Taxas equivalentesDuas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.

Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que :

S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00

Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto, teremos:

S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00

Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo trimestre.

Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao ano capitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês a mês, porque:

i = 300/12 = 25

Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre, aplicada a cada trimestre, porque:

i = 300/4 = 75

É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.

Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processos de capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.

Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano é indicado por Np.

Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias.

A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:

1 + ia = (1+ip)Np

onde

ia taxa anual



ip taxa ao período

Np número de vezes em 1 ano

Situações possíveis com taxas equivalentes

Fórmula Taxa Período Número de vezes1+ia = (1+isem)2 isem semestre 21+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 31+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4

1+ia = (1+imes)12 imes mês 121+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24

1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 521+ia = (1+idias)365 idias dia 365

Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês?

Vamos entender a frase: "12% ao ano capitalizada mês a mês". Ela significa que devemos dividir 12% por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito "12% ao ano capitalizada trimestralmente" deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número de trimestres de 1 ano) que é 3%.

Vamos observar o fluxo de caixa da situação:

Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por

1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247

logo

i2 = 0,1268247 = 12,68247%

Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva.

Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a ser usada é:

1+ia = (1 + imes)12

Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter:

1,12 = [1 + i(mes)]12

Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 a ambos os lados da igualdade para obter:

log(1,12) = 12 log[1+i(mes)]log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)]0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)]0,004101501889182 = log[1+i(mes)]

assim

100,004101501889182 = 10log[1+i(mes)]

Desenvolvendo a potência obtemos:



1,009488792934 = 1 + i(mes)0,009488792934 = i(mes)i(mes) = 0,9488792934%

Observação: Interprete os últimos exemplos com muito cuidado!

DescontosNotações comuns na área de descontos:

D Desconto realizado sobre o título

A Valor Atual de um título

N Valor Nominal de um título

i Taxa de desconto

n Número de períodos para o descontoDesconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo título.

D = N - A

Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).

Tipos de descontosDescontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculos exponenciais.

Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.

Desconto por fora Juros simples

D = N i n j = P i n

N = Valor Nominal P = Principal

i = taxa de desconto i = taxa de juros

n = no. de períodos n = no. de períodosO valor atual no desconto por fora, é calculado por:

A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)

Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.

O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.

Desconto por dentro Juros simples

D = A i n j = P.i.n

N = Valor Atual P = Principal

i = taxa de desconto i = taxa de juros

n = no. de períodos n = no. de períodosO valor atual, no desconto por dentro, é dado por:

A = N / (1 + i n)

Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título.



Desconto composto por fora Juros compostos

A = N(1-i)n S = P(1+i)n

A = Valor Atual P = Principal

i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros

n = no. de períodos n = no. de períodosApenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicações repetidas do desconto simples para 1 período.

Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:

A1 = N(1-i)

onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é:

A2 = A1(1-i) = N(1-i)2

Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n:

An = N(1-i)n

Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por:

S = P(1+i)n

Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.

Como D = N - A e como N = A(1 + i)n , então

D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.

Solução:

D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30

Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento de R$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições de resgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa?

Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045

Número de períodos para o desconto: n=12-5=7

Fórmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n


Mate Matic A

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