Disciplina Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção 

Bimestre 2 

Atividade de Portfólio da Semana 2  Aulas 5 e 6 Exercício 1 

 Faça uma pesquisa sobre o Teorema de Pitágoras. Escreva seu enunciado,                     

apresente e discuta uma demonstração e, ao final, crie um exercício acompanhado de                         sua resolução. A pesquisa pode ser feita, por exemplo, no Caderno dos Professores de Matemática                         da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (7a Série, 8o Ano, Volume 2).  

O Teorema de Pitágoras pode ser considerado um dos mais importantes do seu                         descobridor, o próprio Pitágoras, matemático grego, pois com ele é possível compreender                       as relações existentes em um triângulo retângulo. 

Ao observar um triângulo de linha reta, 90°, se percebe uma regra a ser seguida. A                               formação de um triângulo retângulo segue a ordem de dois catetos e uma hipotenusa,                           onde a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Catetos: são os lados menores, a e b Hipotenusa: lado maior, c  Exemplo:  

        

 

 

 

 

 

 

 

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Exercício resolvido 

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir. 

   

x² = 3² + 4² x² = 9 + 16 x² = 25 √x² = √25 x = 5 

Exercício 3  

Rotacionando um quadrado de lado 2 cm em torno de um eixo que passa por um                               de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura. Determine a área                             total do cilindro e seu volume.  

i) Área da base: p(1)2 = pcm2 ii) Volume: (p)(2) = 2pcm3 = 2.(3,14)cm3 = 6,28cm3. 

        

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Aulas 7 e 8  Exercício 1, Texto 2  

Procure um livro em que a dedução da fórmula de Bhaskara seja realizada e                           acompanhe passo a passo para entender como ela surge. Pode ser, por exemplo, o Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de                         Estado da Educação de São Paulo (8a Série, 9o Ano, Volume 1, p. 58 a 86).  

Esta fórmula foi uma homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado o                     mais importante matemático indiano do século XII. 

A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas de fórmula geral ax2+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:  

  chamamos de discriminante: Δ = b2­4ac Dependendo do sinal de Δ, temos: 

Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais.  Δ>0, então a equação tem duas raízes diferentes.  Δ<0, então a equação não tem raízes reais. 

A ideia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados. Seja: ax2+bx+c=0 a2x2+abx+ac=0 4a2x2+4abx+4ac=0 4a2x2+4abx+b2+4ac=b2 (2ax)2+2(2ax)b+b2=b2­4ac (2ax+b)2=b2­4ac  

 Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para 

a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau. Sendo x1 e x2 raízes da equação ax2+bx+c=0, então: 

 S = x1+x2 = ­b/a 

 P = x1.x2 = c/a 

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A importância da Fórmula  de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações importantes, como na Física por exemplo.    Exercício Texto 5  

Busque em um livro de Álgebra as definições das estruturas algébricas mais                       simples: semi­grupo, grupo, anel e corpo.  Semi­grupo pode ser definido de 2 maneiras completamente equivalentes 

1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes 

propriedades: 

1. fechamento: dado a,b∈G o elemento resultante da composição de a e b pertence a G (a∗b∈G) 

2. associatividade: para todos a,b,c∈G vale (a∗b)∗c=a∗(b∗c)=a∗b∗c 2. é um grupóide dotado da propriedade associativa (associatividade) 

1. associatividade: para todos a,b,c∈G vale (a∗b)∗c=a∗(b∗c)=a∗b∗c  

Grupo é um conjunto de elementos associados a uma operação que combina dois                         

elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e                           

a operação devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo:                   

associatividade, elemento neutro e elementos inversos. Apesar destes serem comuns a                     

muitas estruturas matemáticas familiares ­ e.g. os números inteiros munidos da adição                       

formam um grupo ­ a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do                           

grupo e sua operação. Isso permite lidar­se com entidade de origens matemáticas                       

completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais                     

essenciais de muitos objetos da álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em                           

inúmeras áreas ­ dentro e fora da matemática ­ os tornam um princípio organizador                           

central da matemática contemporânea. 

 

 

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Anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto A com um elemento 0 e                             duas operações binárias + e que satisfazem as seguintes condições: 

1. Associatividade de + :  

2. Existência de elemento neutro (0) de +:  

3. Existência de simétrico de + :  

4. Comutatividade de + :  

5. Associatividade de x :  

6. Distributividade de em relação a + (à esquerda e à direita): 

  

Corpo  Mais formalmente, um anel comutativo F com unidade é chamado de corpo se: 

  

Resulta da comutatividade de F que o y a definição anterior também satisfaz a condição y.x= 1. Por outro lado, só pode haver um único y naquelas condições. 

De fato, se y e y' forem tais que x.y=x.y'=1, então: y = y.1=y.(x.y')=(y.x).y'=1.y'=y' 

Este elemento y designa­se por inverso de x e representa­se por 

Um corpo F não tem divisores de zero. Efectivamente, se x e y forem dois elementos                               

de F diferentes de 0 então X.Y ≠ 0 pois x^{­1}.(x.y)=(x^{­1}.x).y=1.y=y ≠ 0. 

 Mas se se tivesse x.y= 0, então ter­se­ia x^{­1}.(x.y)0 

  

 

 

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