Matemática

Departamento Regional de São PauloEscola SENAI “Oscar Rodrigues Alves”

(MAR)MATEMÁTICA APLICADA

À REFRIGERAÇÃO

São Paulo2005

_________________________Treinamento de Matemática Aplicada à Refrigeração

Prof. ARRUDA 3

Direção Paulo Roberto VidigalCoordenação Paulo Egevan Rossetto

Lilian Cristina Genzerico

Elaboração e Conteúdo Técnico Fábio Pinto ArrudaMauro Airoldi

Equipe de Editoração:Coordenação Fábio Pinto Arruda

Revisão Gramatical Fábio Pinto ArrudaDigitação Mauro Airoldi

ComposiçãoDiagramação Ana Paula Baum Achilez

Ficha Catalográfica

SENAI.SP. Escola SENAI “Oscar Rodrigues Alves”. MAR – Matemática Aplicada aRefrigeraçãoSão Paulo: 2005. 36p. Apostila elaborada para uso do Curso Técnico.

MAR – Matemática Aplicada à Refrigeração – 2º Edição

CDU:


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SUMÁRIO

Escalas Termométricas 05

Unidades de Medida 06

Exercícios 07

Perímetro, Área e Volume 09

Exercícios 10

Adição e Subtração das Frações 14

Exercícios 14

Multiplicação e Divisão das Frações 16

Exercícios 16

Equação do 1º Grau (uma variável) 21

Exercícios 22

Problemas 23

Regra de Três Simples 25

Exercícios 28

Potenciação 29

Exercícios 32

Bibliografia 36


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ESCALAS TERMOMÉTRICAS

1. Calcule as variações de temperatura, em módulo, indicadas abaixo:

a)________________________________________________________ºC

b)________________________________________________________ºC

c)________________________________________________________ºC

d)________________________________________________________ºF

Respostas:

a)__________; b)_________; c)_________; d)__________

-30º 23º 0º

-13º 09º 0º

-33º 0º-13º

-4º 158º 32º


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UNIDADES DE MEDIDASExistem muitos instrumentos para medir comprimento, para cada situaçãodeve-se utilizar o instrumento adequado.Relacionamos aqui, alguns instrumentos de medição:Paquímetro; Micrômetro; Trena; Fita Métrica; Metro Articulado; Régua.Existem muitos instrumentos para medir comprimento, para cada situaçãodeve-se usar o instrumento adequado.

Tabela para unidades de medida de comprimento

Unidade menores que o metroUnidades maioresque o metro Unidade menores que o

milímetro

quilô-metro

hectômetro

Decâ-metro metro decí-

metrocentí-metro

milí-metro

décimode mm

centésimode mm

mícron

km hm dam m dm cm mm -- -- µ

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m0,0001m

ou0,1mm

0,00001mou

0,01mm

0,000001mou

0,001mm

Transformação de MedidasExemplo

• Transformar 3,456 km em cm.

km hm dam m dm cm mm Décimode mm

Centésimode mm µ

3 , 4 5 6 0 0 0


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A vírgula caminha para a direita

3 4 5 6 0 0 , 0 Resultado

• Transformar 34,56 cm em dam

0 0 0 0 3 4 , 5 6

A vírgula caminha para a esquerda

0 0 0 , 0 3 4 5 6 Resultado

Exercícios

1) Escreva na ordem da tabela o nome das unidades de comprimento.

Kilômetro,

2) Assinale a alternativa correta. Um centímetro vale:

a) 10m b) 100m c) 0,01m d) 0,1m

3) Complete escrevendo no traço o valor correto.

a) 1km é o mesmo que_____________m.

b) 1mm é o mesmo que______________m.

4) transforme as medidas abaixo, e escreva as respostas nos traços:

3,432 m para dm ⇒ 3,432 m = _____________dm

25,32 mm para cm ⇒ 25,32 mm = ____________cm

128,7 cm para m ⇒ 128,7 cm = _____________m


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0,750 m para dm ⇒ 0,750 m = _____________dm

5) Escreva a medida 0,7558m em dm, cm e mm .

6) Escreva a medida 1850,7mm em cm, dm e m .


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PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME


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EXERCÍCIOS PRÁTICOS UTILIZADOS EMREFRIGERAÇÃO E CLIMATIZAÇÃO

GINCANA DO COMPRIMENTO, ÁREA e VOLUMEEscola SENAI "Oscar Rodrigues Alves"

Um Técnico em Refrigeração e Climatização freqüentemente efetuarámedições de ambientes e objetos para efetuar o cálculo de carga térmica.Também é de costume, fazer a medição de ambientes já existentes, propondoa melhoria de uma disposição ou lay-out existente num ambiente.


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Separamos aqui, algumas simulações e problemas do dia a dia, sendo que otécnico deva usar o raciocínio lógico matemático para solucionar problemas esituações práticas do cotidiano.

PARTICIPANTES:

INSTRUMENTOS UTILIZADOS:

• RÉGUA DE 30cm• TRENA DE 5m

REGRAS:• O grupo que utilizar outros instrumentos será desclassificado e terá que

trazer na próxima aula 03 caixas de Bombons. (chocolate nestlé é uma boapedida).

• O grupo que apresentar erros “toleráveis” nas suas medições terá que trazerum saco de balas na próxima aula. (de preferência as caramelizadas).

• O grupo que efetuar medições absurdas terá que trazer 02 caixas debombons na próxima aula.

• O grupo que quiser trazer balas e bombons na próxima aula de livre eespontânea vontade será bem vindo.

PROBLEMA Nº 1

a) Na sala do Diretor Vidigal será colocado um objeto que possui a suamedida 0,5 cm menor do que o vão da porta (largura e altura). O grupodeverá fazer a medição do vão da porta com uma fita graduada ou régua, eposteriormente em sala de aula, determinar os valores das medições emCENTÍMETROS.

VÃO DA PORTA – Altura___________cm ; Largura___________cm

OBJETO - Altura___________cm ; Largura___________cm


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PROBLEMA Nº 2

b) Na sala dos professores, existe uma mesa onde é utilizada para refeições egeralmente se colocada a garrafa de café. Efetuar a medição dos seus ladose calcular a área desta mesa em MILÍMETROS.

Lado 1___________mm ; Lado 2_____________mm ; Área________________mm2

PROBLEMA Nº 3

c) Um empresário deseja climatizar a SALA 27 da Escola SENAI “OscarRodrigues Alves”, porém, para iniciarmos um cálculo de carga térmica doambiente são necessárias a obtenção dos valores de comprimento, largura ealtura da sala de aula e comprimento e altura das janelas, demonstrandotambém, o valor calculado da área das janelas e área e volume da sala deaula. OBS.: Todas as medidas em METROS.

SALA DE AULA – Comprimento_________m ; Largura________m ; Altura_________m

Área_________m2 ; Volume_____________m3

JANELAS - Altura___________m ; Largura___________m ; Área____________m2

PROBLEMA Nº 4

d) Qual é a "medida interna" (em METROS) do vão das traves da quadra defutebol da escola?

TRAVE AO LADO DO VESTIÁRIO – Altura___________m ; Largura___________m

TRAVE PARALELA AO MURO – Altura___________m ; Largura___________m


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PROBLEMA Nº 5

e) Qual é a medida em METROS do perímetro útil da quadra de esportes daescola. Calcule também à área útil da quadra em METROS.

Lado 1___________m ; Lado 2_____________m ; Perímetro________________m

Área________________m2.

PROBLEMA Nº 6

f) Calcular o diâmetro externo e a área deste diâmetro da lata de refrigeranteem MILÍMETROS.

Diâmetro Externo___________mm ; Área________________mm2.

g) Calcular a área do diâmetro interno e a área do diâmetro externo do canoem MILÍMETROS.

Área do Diâmetro Interno___________mm2 ;

Área do Diâmetro Externo________________mm2.

h) Calcular a área da medalha em CENTÍMETROS.

Área ________________cm2.


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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DASFRAÇÕES

Simplificação de Frações

a) 3/9 b) 12/10

c) 8/10 d) 27/54

e) 12/60 f) 35/40

Mesmo Denominador

Exercícios

1) Calcule a soma ou a diferença conforme o caso.

a) (-5/11) + (-4/11) = b) (-1/6) – (-5/6) =


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c) (+3/7) + (-2/7) = d) (-1 5/9) + (+7/9) =

Denominadores Diferentes

Exercícios

1) Calcule as diferenças ou somas.

a) (-5/6) + (-1/4) = b) (-6/7) – (-1/14) =


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c) (+1/3) + (-1/6) = d) (-2) – (+3/8) =

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DASFRAÇÕES

Regras dos sinais

1- O produto de dois números racionais de sinais iguais é positivo.

(+) . (+) = + e (-) . (-) = +

2- O produto de dois números racionais de sinais diferentes é negativo.

(-) . (+) = - e (+) . (-) = -


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Multiplicação das Frações

Exercícios

1) Calcule os produtos:

a) (+5/6) . (-2/3) = b) (-5/8) . (+4/3) . (-3/10) =

c) (-3/4) . (-6/5) = d) (-7/3) . (-6/7) . (-1/4) =


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Divisão das Frações

Exercícios

1) Efetue as divisões.

a) (-4/5) : (-2/7) = b) (-3) : (-2/5) =

c) –1/4/-3/5 = d) 1/-2/5 =


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Soma e Multiplicação das Frações

Exercícios

1) Calcule o valor das Expressões:

a) ¾ + (-5/6) . (-3/5) = b) [3/4 + (-5/6)] . (-3/5) =

c) [3/4 . (-5/6)] + (-3/5) = d) ¾ . [(-5/6) – (-3/5)] =


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Associação de Capacitores em Série

Para obter o valor do capacitor equivalente de uma associação decapacitores ligados em série, podemos utilizar a expressão matemática aseguir:

Ceq = 1 : 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + ..... + 1/Cn

Onde:Ceq = Capacitor equivalenteC1 , C2 , C3 ..... Cn = valores dos capacitores associados

Veja o exemplo a seguir:

C1 C2 Ceq

Neste caso, temos:

C1 = 25µFC2 = 20µFCeq = ?

Aplicando a expressão matemática temos:

Ceq = 1 : 1/C1 + 1/C2

Ceq = 1 : 1/25 + 1/20Ceq = 1 : 20+25 / 25x20Ceq = 1x25x20 / 20+25Ceq = 25x20 / 45Ceq = 500 / 45Ceq = 11,11µµF


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Exercício

C1 C2 C3 Ceq

1) Qual o valor do capacitor equivalente da associação indicada em que oscapacitores, ligados em série, apresentam 10µF, 15 µF e 30 µFrespectivamente?

EQUAÇÃO DO 1º GRAU(uma variável)

A equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação deigualdade. A palavra equação tem o prefixo “equa”, que em latim querdizer “igual”. Exemplos:

2x + 8 = 05x – 4 = 6x + 8


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A equação geral do primeiro grau:

ax + b = 0

Onde a e b são números conhecidos e a>0, se resolve de maneira simples:subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

Dividindo agora por a, temos:

x = -b/a

Exemplo:

Considerando a equação 2x – 8 = 3x – 10A letra “x” é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa“desconhecida”

Temos:

2x – 8 = 3x -102x – 3x = -10 +8-x = -2 ⇒⇒ x =2

Exercícios

1) Resolva as seguintes equações do 1º grau:

a) 5x – 40 = 2 – x


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b) 20 + 6x = -2x + 26

c) 7p + 15 – 5p + 10 = 17 + 13p

d) 5 – a – 11 = 4a - 22

Problemas

1) Em um terreno há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46pés. Quantas galinhas e quantos coelhos há nesse terreno?


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2) Numa turma de 30 alunos, 6 escrevem com a mão direita e 2escrevem com as duas mãos. Quantos alunos escrevem apenas com amão direita?

3) Uma empresa em São Paulo, concedeu férias coletivas aos seusempregados. Sabe-se que 48% dos empregados viajaram para ointerior, na Zona Leste de São Paulo, e 28% viajaram para o LitoralPaulista e os 12 restantes ficaram em São Paulo. Nessas condições,quantos empregados tem essa empresa?


Conversão de Unidades Termométricas

Para converter graus Celsius em Fahrenheit, aplique a fórmula:

ºF = (9/5 x ºC) + 32

Exemplo:


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Transformar 20ºC em graus Fahrenheit

ºF = (9/5 x 20) + 32 ⇒ ºF = 36 + 32 ⇒ ºF = 68

Exercícios

a) Converter –30ºC em ºF

b) A temperatura do gabinete interno de um refrigerador é de 10ºC, o queem graus Fahrenheit equivale a______ºF.

Para converter grau Fahrenheit em Celsius, aplique a fórmula:

ºC = 5/9 x (ºF – 32)

Exemplo:

Transformar 68ºF em graus Celsius

ºC = 5/9 x (68-32) ⇒ ºC = 5 x 36/9 ⇒ 180/9 ⇒ ºC = 20

Exercícios

a) Converter -40ºF em ºC.

b) A temperatura de uma substância é de 32ºF. Sua temperatura em grausCelsius é______ºC.

REGRA DE TRÊSComo profissional da refrigeração, freqüentemente você vai precisar fazerconversões de unidades, como, por exemplo, converter Kcal em Btu ou Btuem Kcal. È recomendável que você saiba fazer matematicamente asconversões de unidade, aplicando a “regra de três simples” de razãodireta.


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Formulando uma regra de três de razão direta

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas queenvolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos,portanto, determinar um valor x a partir dos três já conhecidos

A regra de três simples pode ser formulada da seguinte maneira:

a/b = c/d

a = cxb/d ou b = axd/c ou c = axd/b ou d = cxb/a

Como você pode observar, os valores a,b,c,d de cada uma das fórmulasrepresentam o valor desconhecido que, geralmente, é expresso por x. Porexemplo:

x = cxb/d

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º - Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie emcolunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentesem correspondência.2º - Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamenteproporcionais.3º - Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2 m2 , uma lancha commotor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora deenergia. Aumentando-se essa área para 1,5 m2 , qual será a energiaproduzida?

Solução:


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Montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:


1,5 x

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ºcoluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solaraumenta. Como as palavras correspondem (aumentando – aumenta),podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assimsendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ºcoluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


1,5 x

1,2/1,5 = 400/x ⇒⇒ 1,2x = 1,5 x 400 ⇒⇒ x = 1,5 x 400/1,2 = 500

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 Km/h, fazdeterminado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmopercurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 Km/h?

Solução:


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Montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

Velocidade(Km/h) Tempo (h)400 3

480 x

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ºcoluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percursodiminui. Como as palavras são contrárias (aumentando – diminui),podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima)na 1º coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Velocidade(Km/h) Tempo(h)400 3

480 x

3/x = 480/400 ⇒⇒ 480x = 3 x 400 ⇒⇒ x = 3 x 400/480 = 2,5

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

Exercícios

1) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$ 120,00. Quanto ela pagaria secomprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


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2) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizoudeterminada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzidopara 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Vejamos agora algumas aplicações da regra de três na conversão deunidades de medida de quantidade de calor.

Exercícios

a) Desejamos saber em Kcal/h a capacidade térmica de um condicionadorde ar de 18000 Btu/h

Três valores aqui são previamente conhecidos:

18000 Btu/h = valor da capacidade térmica do aparelho em Btu/h1Kcal/h = 3,97 Btu/h ≅ 4Btu/hx = valor não conhecido em Kcal/h

Aplique a fórmula da regra de três a/b = c/d, temos:

a = 1Kcal/hc = 4Btu/hd = 18000 Btu/hb = x


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b) Desejamos fazer a conversão da capacidade térmica de umarcondicionado de 18000 Btu/h em Kw.

Três valores aqui são previamente conhecidos:

18000 Btu/h = valor da capacidade térmica do aparelho em Btu/h1Btu/h = 0,000293Kwx = valor não conhecido em Kw

Aplique a fórmula da regra de três a/b = c/d, temos:

a = 0,000293Kwc = 1Btu/hd = 18000 Btu/hb = x


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POTENCIAÇÃOPotência de expoente natural

Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2,definimos a n-ésima (enésima) potência de a como sendo:

an = a . a . a . a . ........ .a

Onde o fator a é repetido n vezes, ou seja, o produto possui n fatores.Denominamos o fator a de BASE e n de EXPOENTE; an é a n-nésima(enésima) potência de a.

Portanto, potência é um produto de n fatores iguais.A operação da qual se obtém uma potência, é denominada potenciação.Exemplos:

72 = 7.7 = 4925 = 2.2.2.2.2.= 3263 = 6.6.6 = 216107 = 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 (dez milhões)106 = 10.10.10.10.10.10 = 1000000 (um milhão)

NotaObserve que a potência 10n é igual a 1 seguido de n zeros.Assim, por exemplo, 1010 = 10000000000 (dez milhões)

Convenções

a) Potência de expoente zero

a0 = 1

Exemplos: 45670 = 1 ; 2430 = 1 ; (-2001)0 = 1

b) Potência de expoente unitário

a1 = a

Exemplos: 231 = 23 ; 20011 = 2001


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As potências de expoente 2 e 3 recebem nomes especiais, a saber:

a2 = a . a, é lido como a ao quadrado.

a3 = a . a . a, é lido como a ao cubo.

Propriedades das potências

P1) am . an = am+n

Exemplo: 25.23 = 25+3 = 28 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256

P2) am : an = am-n

Exemplo: 57.54 = 27-4 = 53 = 5 . 5 . 5 = 125

P3) (am)n = am.n

Exemplo: (42)3 = 42.3 = 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4096

P4) am . bm = (a . b)m

Exemplo: 23 . 43 = (2 . 4)3 = 83 = 8 . 8 . 8 = 512

P5) am : bm = (a : b)m

Exemplo: 124 : 34 = (12 : 3)4 = 44 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256

P6) a-n = 1/an

Exemplo: 5-2 . 1/52 = 1 / 5 . 5 = 1/25

Esta propriedade decorre de P2, ou seja: a-n = a0/an = a0-n = a-n

Nota: Estas propriedades também são válidas para expoentes reais.

1) Calcule:

a) (3)2 b) (23)2


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c) 232 = d) (3 . 10 -4)2 =

e) 5-2 . 45 = f) 4 . 105 : 2.10-2

g) 55 . 45 = h) 2-3


Vejamos agora algumas aplicações na Eletricidade.

Tabelas (tensão)

Denominação Símbolo EquivalênciaMegavolt MV 1MV=106V ou 1000000VMúltiplos Quilovolt KV 1KV=103V ou 1000V

Unidade Volt V 1VMilivolt MV 1Mv=10-3V ou 0,001VSubmúltiplos Microvolt µV 1µV=10-6V ou 0,000001V


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Tabelas (corrente elétrica)

Denominação Símbolo EquivalênciaMúltiplos quiloampère KA 1KA=103VA ou 1000AUnidade ampère A 1A

miliampère mA 1mA=10-3A ou 0,001Amicroampère µA 1µA =10-6A ou 0,000001ASubmúltiplosnanoampère nA 1nA=10-9A ou 0,000000001A

Tabelas (resistência elétrica)

Denominação Símbolo EquivalênciaMegaohm MΩ 1MΩ=106Ω ou 1000000ΩMúltiplos Quilohm KΩ 1KΩ=103Ω ou 1000Ω

Unidade ohm --- 1ΩMiliohm MΩ 1MΩ=10-3Ω ou 0,001ΩSubmúltiplos Microohm µΩ 1µΩ=10-6Ω ou 0,000001Ω

Exercícios

1) Considerando os números abaixo como sendo valores de correnteelétrica (ampère), transforme-os em potência de 10 e indique a simbologiacorreta.

a) 0,001 b) 0,000000001

c) 0,000002 d) 0,0005


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2) Calcule:

a) 106 : 100 (Ω) b) 102 : 10-6 (V)

c) 102 . 105 : 103 . 106 (V) d) 10-5 . 104 : 10-3 . 106 (A)


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BIBLIOGRAFIA

WWW.SOMATEMÁTICA.COM.BR

WWW.TERRA.COM.BR/MATEMÁTICA

MECÂNICA DE REFRIGERAÇÃO – ENSINO A DISTÂNCIA- Fundamentos da Refrigeração – módulo 1 / unidade 1- Eletricidade – módulo 1 / unidade 2- Noções de Termodinâmica – módulo 1 / unidade 3

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