Matemática

Curso de Matemática – Nível Médio

Objetivo

O curso objetiva a vivência da matemática no dia-a-dia, através de exemplos do cotidiano,

colocando o aluno em situações desafiadoras e interessantes da matemática aplicada, buscando

complementar e colaborar com os estudos para a participação em concursos.

Os conteúdos serão abordados com uma linguagem bem simples e detalhados, sem, contudo,

comprometer a qualidade do trabalho, o qual, para a maioria dos alunos, é de grande ajuda, pois

envolve conceitos matemáticos já esquecidos.

Metodologia A metodologia utilizada contempla a transmissão das aulas on line.

Nível do Curso

Preparatório para concursos e Curso de Extensão

PÚBLICO-ALVO

Alunos interessados em prestar concursos: tribunais, bancários ou fiscais, assim como polícia

federal de nível médio e superior. O curso pode ser administrado também para professores da rede

pública e particular, alunos dos cursos da área de Ciências Exatas e demais interessados.

Carga horária

O curso terá a carga horária dividida em 11 Unidades Temáticas.

PROGRAMA

Conjuntos: simbologia

Noções e conceitos básicos

o Triângulo de Pascal

o Seqüência de Fibonacci

o Outras aplicações e seqüências

01. Conjuntos: Operação com conjuntos, simbologia, problemas.

02. Conjuntos numéricos. Relações.

Aritmética.

03. Sistema Métrico Decimal (MKS)

04. Matemática Comercial

Razão: conceitos e aplicações

Problemas envolvendo velocidade, usando o conceito de velocidade relativa da

Física.

Escalas: o uso de escala para comprimento, área e volume.

Problemas envolvendo números fracionários na forma de razão.

Proporção

Grandezas diretas e inversamente proporcionais usando as propriedades básicas

de proporção.

o Aplicações do uso de cotas em problemas de regra da sociedade.

Regra de Três

o Simples

o Composta

Média Harmônica : uso e aplicações

Porcentagem

o Cálculo

o Uso da taxa unitária como melhor alternativa para matemática financeira.

o Definições e conceitos básicos

o Operações com mercadorias

o Descontos e aumentos sucessivos

o Aplicação no dia-a-dia

Juros

Simples: fórmula e problemas

Compostos: dedução da fórmula e aplicações.

Esboço do gráfico comparativo dos dois sistemas: simples e composto

Problemas envolvendo situações de juros do nosso dia a dia

Taxas real, efetiva, proporcional, equivalentes e aparentes usadas no sistema

financeiro.

Situações polêmicas aplicando o uso dessas taxas e interpretação das mesmas.

05. Função; conceito, domínio e eimagem

Análise degráficos

Valor numérico

Função composta

Função inversa

Função do 1º grau

Função do 2º grau

Inequações

Gráfico de exponenciais e logarítmica

Translação e rotação de eixos

Análise de gráficos através datranslação e rotação

Questões diversas

06. Equações exponenciais

07. Logaritmo

08. Sequências

Progressões aritméticas

Progressões geométricas

09. Análise Combinatória

10. Probabilidades

11. Estatística

Conceitos

Freqüências absoluta e relativas

Tabelas e gráficos

Moda, mediana e média

Medidas de dispersão

Questões envolvendo médias

Variância

Desvio padrão

Família: Nível Médio

Disciplina: Matemática

Conteudista: Valéria Lanna

UT 01: Conjuntos

UE 01: Introdução e Simbologia: Considerações iniciais; Símbolo de pertinência e inclusão;

Bloco de conteúdo: 01

Resumo: Daremos início ao estudo de Matemática

A idéia de conjunto e seus subconjuntos devem estar diretamente relacionados com a lógica e toda

sua simbologia:

Simbologia:

pertence

não pertence

está contido

não está contido

contém

não contém

união (ou)

interseção(e)

diferença(exceto)

Dica:

A ou B é o mesmo que A B

A e B é o mesmo que A B

Exceto B é o mesmo que

A – B ; Não B...Jamais B.

SUBCONJUNTOS OU PARTES DE UM CONJUNTO

Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B estão contidos em A, então dizemos que B A

(B está contido em A) ou que A B (A contém B). O conjunto vazio está contido em qualquer

conjunto.

Obs.: Número de Subconjuntos é dado por 2n, onde n é número de elementos do conjunto.

Ex.: A = { 1,2,3} o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos, ou seja,

P(A)={ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}




UT 01: Conjuntos

UE 02: Subconjuntos / Triângulo de Pascal


Na última unidade de estudos vimos que : Número de Subconjuntos é dado por 2n, onde n é número

de elementos do conjunto.

Resumo: Questão de subconjuntos e construção do Triângulo de Pascal.

Questão: Um conjunto passa a possuir 512 subconjuntos depois de retirarmos 3

elementos de um outro conjunto. Quantos subconjuntos tinha o primeiro conjunto?

Resolução:

512 = 2n, logo ao fatorarmos 512 = 2

9, ou seja, o novo conjunto tem n = 9, mais 03 elementos

teremos 12 elementos.

Então o primeiro conjunto ficará com 212

= 4.096 subconjuntos.

O Triângulo de Pascal assim como o conhecemos, na verdade não foi descoberto por Pascal,

ou por Tartaglia, como é conhecido na Itália; na verdade o cálculo de combinações e arranjos,

data 200 a.c. com Pingala, na Índia.

Na China, 1700 antes de Pascal, mas em 1.654 um famoso jogador denominado “O Cavaleiro

de Méré” escreveu uma carta ao famoso matemático Blaise Pascal, propondo-lhe resolver

alguns problemas matemáticos como jogos de dados e probabilidades.

Triângulo de Pascal

N=0 1

N=1 1 1

N=2 1 2 1

N=3 1 3 3 1

N=4 1 4 6 4 1

N=5 1 5 10 10 5 1

N=6 1 6 15 20 15 6 1

N=7 1 7 21 35 35 21 7 1

N=8 1 8 28 56 70 56 28 9 1

P=0 P=1 P=2 P=3 P=4 P=5 P=6 P=7 P=8




UT 01: Conjuntos

UE 03: Triângulo de Pascal e suas propriedades / descobertas


CURIOSODADE

Cor da pele humana

No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fenótipos, envolvendo dois pares de

genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de

melanina à pele, se efetivos (N ou B) ou não acrescentar nada, se não efetivos (n ou b).

Se acontecer um cruzamento entre dihíbridos, quais serão as proporções fenotípicas da

descendência?

Usando a Genética: (quais são os gametas e os tipos possíveis de filhos gerados?)

Apresentação: Propriedades do Triângulo de Pascal

Toda linha começa e termina com o número 1.

Relação de Stifel: Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente

acima e do antecessor do número de cima.

Simetria: O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura.

A soma das linhas é sempre 2n, onde n é o número da linha.

Os números naturais aparecem na segunda diagonal.

Aplicação matemática do Triângulo de Pascal

(a+b)² = 1a² + 2ab + 1b² (n=2)

(a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ (n=3)

(a+b)4 = 1a

4 + 4a

3b

1 + 6a

2b

2 + 4a

1b

3 + 1b

4 (n=4)

Método · em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b ;

· a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”;

· a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio;

· o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;

· o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;

· a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.

· em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a0 = b

0= 1, a

1= a , b

1= b)

· expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente)

· expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente)

· soma do expoentes de a e de b em cada

monômio:5 (expoente do binômio)

· a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)

Qual é o desenvolvimento do binômio ( a + b )6




UT 01: Conjuntos

UE 04: Triângulo de Pascal : Problemas de Combinatória


O triângulo de pascal também pode ser usado como ferramenta nos problemas de análise

combinatória, onde teremos a linha representando os elementos disponíveis e a coluna

representando os elementos “pedidos”.

Questão 01 – (ESAF) 1.Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de

uma escola.

O número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas é:

a)35

b)45

c)210

d)73

Comentário: N=7 e P=3 35 (Vide triângulo).

Questão 02 – (CESPE) Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem.

2. (UNB/Téc. Ad./ANCINE/2006) Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de

animação e 5 comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o

número de formas distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2

sejam comédias e 2 sejam de animação.

Comentário:

- Comédia: N=05 e P=02 10

10 x 15 = 150. O item está correo.

- Animação: N06 e P=02 15

Questão 03 –(CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma

repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2

tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um

funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras

diferentes para distribuir essas tarefas.

Comentário:

- 3 em 7 (N=07 e P=03) = 35

- 2 em 4 (N=04 e P=02) = 6 35 x 6 x 1 = 210.

- 2 em 2 (N=02 e P=02) = 1

4.(TRT/9ª) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas

por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a quantidade de

maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12.

5. (FUNIVERSA - 2010 - CEB – Advogado) A cela da delegacia D1 tem capacidade para

abrigar, em caráter provisório, 6 detentos. Na noite em que foram capturados 4 homens e 5

mulheres, 3 dessas pessoas tiveram que ser transportadas para a cela de outra delegacia. De

quantas maneiras distintas puderam ser selecionados os 6 que ficariam na se, de acordo com

as normas dessa delegacia, o número de homens não pode exceder o número de mulheres

naquela cela?

a) 44 b) 54 c) 64 d) 74 e) 84

6. Se M = { 1, 2, 3, … 7}; o número de subconjuntos de M, com 3 elementos, é igual a:

a) 6

b) 21

c) 35

d) 49

e) 210

7. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos

formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/funiversa-2010-ceb-advogado




UT 01: Conjuntos

UE 05: Números Triangulares


Apresentação: Estudaremos os Números Triangulares.

Números Triangulares, também chamados de números figurados, é um número que pode ser

representado na forma de um triângulo eqüilátero. Tais números são calculados através de duas

fórmulas:

T(n) = 1+2+3+...+n que é o mesmo que: Tn = [n(n+1)]/2

Ou como no teorema: O quadrado de todo número inteiro maior que um é a soma de dois números

triangulares consecutivos.

T(1) = 1

T(n+1) = T(n)+(n+1)

Questão de prova: (FCC)Um número que pode ser representado pelo padrão abaixo é chamado

número triangular.

A soma dos oito primeiros números triangulares é

a) 110

b) 120 d) 140

c) 130 e) 150

Comentário: Resposta: 120. 1+2 = 3+3 = 6+4 = 10+5 = 15+6 = 21+7 = 28+8 = 36. 1+3+6+10+15+

21+28+36 = 120.

Questão de Prova (FUNDEP)

“No meio do caminho tinha uma pedra tinha uma pedra no meio do caminho.”

Carlos Drummond de Andrade

Suponha que Ronando passa por esse caminho todo dia. Suponha, ainda, que, no caminho de

Ronando, uma nova pedra se soma às anteriores, a cada dia. Assim sendo, é CORRETO afirmar

que, no final de 100 dias, Ronando terá tido em seu caminho

a)100 pedras.

b)5.050 pedras.

c)6.250 pedras.

d)8.850 pedras

Comentário: Fórmula: 2

)1(nnn = (100 x 101):2 = 5050.




UT 01: Conjuntos

UE 06: Números figurados, Sequência de Fibonacci e suas aplicações


(FCC) Números figurados são assim chamados por estarem associados a padrões geométricos. Veja

dois exemplos de números figurados.

A tabela abaixo traz algumas seqüências de números figurados.

Questão:

Observando os padrões, os elementos da quinta coluna,

respeitando a ordem da tabela, devem ser

a) 20, 30, 40, 50

b) 18, 28, 45, 50

c) 16, 36, 46, 56

d) 15, 25, 40, 50

e) 15, 25, 35, 45

Gabarito: E




UT 01: Conjuntos

UE 07: Fibonacci


Muitos estudantes de matemática , ciências ou artes ouviram falar de Fibonacci somente por causa

do seguinte problema do Liber abaci: um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por

todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um

ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz a um novo par que é fértil a partir do segundo

mês?

Logo a sequência fica: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...

"as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de

Fibonacci".Na tentativa de visualizar melhor as diagonais em questão, façamos uma reorganização

dos elementos do Triângulo de Pascal:

Se dividirmos cada termo desta sequência, a partir do 21, pelo seu precedente obteremos

aproximadamente o número 1,618, o “número de ouro” dos gregos:

21:13=1,61538; 34:21=1,61904; 55:34=1,61764; 89:55=1,61818

Razão Áurea pode ser escrita como:

Existem várias aplicações da sucessão de Fibonacci, ou mesmo da razão áurea, tais como O

Nautilus, a razão entre as diversas configurações de uma borboleta, a razão entre os ossos de cada

membro do nosso corpo, as simetrias dos animais e plantas, a simetria do nosso rosto, em

odontologia a Peri ontologia é baseada na razão áurea, movimentos de freqüência na física, etc.




UT 01: Conjuntos

UE 08: Diagramas de Venn


INTERSEÇÃO: Se dois conjuntos quaisquer possuem elementos em comum, estes

formam a INTERSEÇÃO destes conjuntos. A B = {x / x A e x

B}

Exemplos: Propriedades

1) A A = A

2) A =

3) A B = B A

Ques

tão:

11.(F

CC -

2010

-

SJC

DH -

BA -

Agen

te

Penit

enciá

rio )

Em

relaç

ão às

pesso

as

prese

ntes em uma festa, foi feito o diagrama abaixo, no qual temos:

P: conjunto das pessoas presentes nessa festa;

M: conjunto dos presentes nessa festa que são do sexo masculino;

C: conjunto das crianças presentes nessa festa.

Assinale o diagrama em que o conjunto dos presentes na festa que são do sexo feminino está

representado em cinza.

a)

UNIÃO: Dados dois conjuntos quaisquer, a UNIÃO destes conjuntos é agrupar em um

só conjunto os elementos de ambos os conjuntos. A B = { x / x A ou x

B}

Exemplos: Propriedades

DIFERENÇA: Dados dois conjuntos quaisquer, a DIFERENÇA entre eles é tirar do

primeiro os elementos comuns aos dois. A - B = { x / x A e x B }

Exemplos: Observação

1) A A = A

2) A = A

3) A B = B A

B A então (A – B) é

o conjunto complementar

de B em relação a A.

AB

com B,-A=B

AC

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/fcc-2010-sjcdh-ba-agente-penitenciario












b)

c)

d)

e)

A alternativa (A) é a resposta.

12.(Prova: FCC - 2010 - BAHIAGÁS – Téc.Processos Organizacionais – Adm) Admita as

frases seguintes como verdadeiras.

I. Existem futebolistas (F) que surfam (S) e alguns desses futebolistas também são tenistas (T). II. Alguns tenistas e futebolistas também jogam vôlei (V). III. Nenhum jogador de vôlei surfa. A representação que admite a veracidade das frases é:

a)

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/fcc-2010-bahiagas-tecnico-de-processos-organizacionais-administrativo

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/fcc-2010-bahiagas-tecnico-de-processos-organizacionais-administrativo

b)

c)

d)

e)

A alternativa (A) é a resposta.

Questão 13: Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o

jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais,

determine o percentual de alunos que lêem ambos?

Resposta : 40%

Prova: UPENET - 2010 - SERES - PE - Agente Penitenciário

Uma pesquisa de opinião envolvendo, apenas, dois candidatos (A e B) determinou que 57% das pessoas eram favoráveis ao candidato A e que 61% eram favoráveis ao candidato B. Sabendose que 23% eram favoráveis tanto ao candidato A quanto ao B, é CORRETO afirmar que

a) a pesquisa não é válida, pois o total das preferências, considerando o candidato A e o candidato B, é de 118%, o que não é, logicamente, possível.

b) exatamente 5% das pessoas entrevistadas não são favoráveis a nenhum dos dois candidatos.

c) exatamente 4% das pessoas entrevistadas são favoráveis ao candidato A, mas não, ao candidato B.

d) exatamente 4% das pessoas entrevistadas são favoráveis ao candidato B, mas não, ao candidato A.

e) exatamente 38% das pessoas entrevistadas são favoráveis ao candidato A e indiferentes ao candidato B.

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/upenet-2010-seres-pe-agente-penitenciario

A alternativa (B) é a resposta.



UT 01: Conjuntos

UE 09: Dica de resolução


Para resolvermos as questões de conjunto devemos antes demais nada ler atentamente o enunciado e

iniciarmos a solução pelas interseções, para depois computarmos os outros dados do problema.

Veja as questões e acompanhe a solução:

1. Numa escola de 870 alunos, 450 deles estudam Finanças, 320 estudam Lógica e 110 deles

estudam as duas matérias (Finanças e Lógica). Pergunta-se:

a) quantos alunos estudam APENAS Finanças?

b) quantos alunos estudam APENAS Lógica?

c) quantos alunos estudam Finanças ou Lógica?

d) quantos alunos estudam nenhuma das duas disciplinas?

RESPOSTAS:

340 estudam apenas Finanças

210 estudam apenas Lógica

660 (340 + 210 + 110) estudam Finanças ou Lógica

210 não estudam nem Finanças e nem Lógica, pois estão fora dos diagramas.

(FUNDEP) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas

preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que:

210 pessoas compram o produto A

210 pessoas compram o produto B

250 pessoas compram o produto C

20 pessoas compram os 3 produtos

100 pessoas não compram nenhum dos 3

60 pessoas compram os produtos A e B

70 pessoas compram os produtos A e C

50 pessoas compram os produtos B e C

Quantas pessoas foram entrevistadas?

a) 670

b) 970

c) 870

d) 610

Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:

Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados ( letra d).

E se perguntássemos o seguinte:

Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja:

a) Consumidora de apenas um dos produtos?

61

37

610

3701P

b) Consumidora de no mínimo 02 produtos?

61

14

610

1402P




UT 01: Conjuntos

UE 10: Problema da Pizza


Neste bloco trabalharemos com a primeira lei da lógica que é a Lei da Exclusão, ou seja, só existem

dois valores : certo ou errado; gosto ou não gosto; verdade ou mentira, etc.

Na questão a seguir podemos resolvê-la usando esta idéia:

Questão: (FUNDEP)Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos.

Alguns resultados dessa pesquisa foram:

• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate;

• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e

• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.

Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam,

ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de

A) 25%. B) 30%. C) 35%. D) 40%.

Solução:

Quando somamos 82% + 78% + 75% = 235%, ou seja passam 135% de um todo( 100%) que é o

equivalente às interseções de choc. com pizza e com batata( a flor do centro); porém ao somarmos

dois a dois como se os alunos sempre consumissem no mínimo dois tipos de alimento, teremos:

82 + 75 = 157%, passou 57%

82 + 78 = 160%, passou 60%

75 + 78 = 153%, passou 53%

Somando agora o que passou obtemos 170% e deveria ser 135%, como achamos acima, logo 35%

“estão repetidos”, ou seja, consomem os três alimentos, no mínimo.

Ou ainda usando a lei da exclusão, acompanhe a explicação.

18. (DESAFIO) Uma pesquisa foi feita no melhor curso do Brasil, IOB , contando-se 1000

alunos, 800 dos quais são mulheres, 850 prestarão prova em Campinas, 750 usarão caneta

azul e 700 levarão garrafinha de água. Qual o número mínimo de alunos que apresentam, ao

mesmo tempo, todas as características citadas?

a) 50

b) 100

c) 150

d) 200




UT 01: Conjuntos 1

UE 11: Férias em Cabo Frio


Questão das Férias do Prof. Délio em Cabo Frio

No último verão, o professor Délio passou com sua família alguns dias na praia. Houve sol pela

manhã em 7 dias e sol à tarde em 12 dias. Em 11 dias houve chuva e se chovia pela manhã, não

chovia à tarde. Quantos dias o professor Délio passou na praia?

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

7̂Ma :Esta dica serve apenas para este estilo de problema:

É só somarmos tudo e o resultado dividirmos por 2:

7 + 12 + 11 = 30 30 : 2 = 15 dias




UT 01: Conjuntos

UE 12: Questões envolvendo sistemas lineares


Neste bloco vamos resolver questões importantes de conjuntos que utilizam álgebra linear na

solução, ou seja, o problema requer um pré-requisito de álgebra para a solução.

Na resolução de problemas deste tipo devemos utilizar apenas operações aritméticas

simples, para não alterar a dimensão do problema, ou seja, apenas operações lineares, como soma ,

subtração e multiplicação por uma constante, não alterando assim a grandeza em questão.

Veja a solução das questões abaixo:

Questão 01:Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que freqüentam, pelo menos, uma das

três livrarias, A , B e C. Foram obtidos os seguintes dados:

das 90 pessoas que freqüentam a Livraria A, 28 não freqüentam as demais;

das 84 pessoas que freqüentam a Livraria B, 26 não freqüentam as demais;

das 86 pessoas que freqüentam a Livraria C, 24 não freqüentam as demais;

oito pessoas freqüentam as três livrarias.

a) Determine o número de pessoas que freqüentam apenas uma das livrarias.

b) Determine o número de pessoas que freqüentam, pelo menos, duas livrarias.

c) Determine o número total de pessoas ouvidas.

Solução:

De acordo com diagrama acima teremos:

54

50

54

teremosoperações as efetuando

86824

84826

90828

zy

zx

yx

zy

zx

yx

se somarmos todas as

03 equações teremos :

25x

29y

25z

logo

7954

7950

7954

79

158222

x

y

z

zyx

zyx

R1) 28 + 26 + 24 = 78 pessoas

R2) x + y + z + 8 = 79 + 8 = 87 pessoas

R3) 78 + 87 = 165 pessoas

Resp.: a) 78 b) 87 c) 165

Questão 02:.Na compra de equipamentos para um grupo de técnicos, foram gastos R$ 1.040,00 em

4 arquivos, 3 cavaletes e 2 walkie talkie; logo depois foram gastos R$ 1.000,00 na compra de 2

arquivos, 3 cavaletes e 4 walkie talkie. Para adquirir um objeto de cada, ou seja, uma arquivo, um

cavalete e um walkie talkie serão necessários:

a)R$ 324,00

b)R$ 360,00

c)R$ 280,00

d)R$ 340,00

A B 28 X 26

8 Y Z 24 C

e)R$ 420,00

Resposta: Letra D




UT 01: Conjuntos

UE 13: Questões


Questão 03.(ESAF/Tec.M.Faz/2009) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos

participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3

dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e

1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com

outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim,

qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações?

a) 40%

b) 33%

c) 57%

d) 50%

e) 25%

Questão 04: Na seqüência de números 1, 2, 3, ..., 100, quantos números não são múltiplos de 3 e

nem de 4 ?

a) 50 b) 48 c) 46 d) 44 e) 42 SOLUÇÃO:

Múltiplos de 3 de 1 até 100 , é só dividir por 3 100 ÷ 3 = 33 e resto 1

Múltiplos de 4 de 1 até 100 , é só dividir por 4 100 ÷ 4 = 25

Múltiplos de 12 de 1 até 100 , é só dividir por 12 100 ÷ 12 = 8 e resto 4 O resto não é importante , mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são divisíveis por 12, logo:

Logo temos 50 números que não múltiplos nem de 2 e nem de 4,ok!

Questão 05:

Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis; 18

jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual

ao número de pessoas que jogam tênis.

a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?

b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?

c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

Respostas

a) 36 b) 59 c) 20

M(3) M(4) 33 – 8 = 8 25 – 8 =

25 17

100 – (25 + 8 + 17 ) = 50




UT 01: Conjuntos

UE 14: Questão do Delegado Federal


Questão da cespe: delegado federal.

Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições

sanitárias, foi constatada a presença de três tipos de vírus – A, B e C. O resultado dos exames

revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80;

os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado

nenhum dos três vírus e o número de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos

infectados apenas pelo vírus B.

Com base nessa situação, julgue os itens abaixo.

I. O número de pessoas contaminadas pelos três vírus simultaneamente representa 9% do total de

pessoas examinadas.

II. O número de moradores que apresentaram o vírus C é igual a 230.

III. 345 moradores apresentaram somente um dos vírus.

IV. Mais de 140 moradores apresentaram, pelo menos, dois vírus.

V. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa de 16% do

total de pessoas examinadas.

Solução:

40 + x + 80 – x + 80 + x + x + 70 – x + 90 – x + y + 5 = 500

365 + y = 500

y = 135

C = 2 de apenas B

90 – x + x + 70 – x + y = 2(80 + x)

160 – x + 135 = 160 + 2x

135 = 3x

x = 45

I )45/500 = 9%( item certo) II ) C = 90 – x + x + 70 – x + y = 90 + 70 – 45 + 135 = 250 ( item errado) III ) 40 + x + 80 + x + y = 120 + 45 + 45 + 135 = 345 ( item correto) IV ) 80 – x + 90 – x + 70 – x + x = 240 - 90 = 150 ( item correto) V) B e C = 70; restante = 430 Logo : 430/500 > 16% ( item errado)

(UnB/Téc./STF/2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40

possuíam o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre

e não eram professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores

universitários, 15 possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10

possuíam os títulos de mestre e doutor e não eram professores universitários.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

( ) (UnB/Téc./STF/2008) Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas

não são professores universitários.

( ) (UnB/Téc./STF/2008) Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são

professores universitários. Solução:

A B 40 + x 80 + x 80 - x x

90 – x 70 - x y C 5

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

( ) (UnB/Téc./STF/2008) Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas

não são professores universitários.

CERTO = 15 + 10 + 20 = 45

( ) (UnB/Téc./STF/2008) Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são

professores universitários.

CERTO = 5




UT 01: Conjuntos

UE 15: Princípio das Gavetas de Dirichlet


Exemplo 1

Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas fazendo

aniversário no mesmo mês?

Resposta: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que meses

(12) é certo que pelos menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês.

O argumento empregado acima é conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet ou Princípio

das Casas do Pombos. Um possível enunciado para este princípio é o seguinte:

Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá

pelo menos dois objetos.

(Uma maneira um pouco mais formal de dizer o mesmo é: se o número de elementos de um

conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma

função de A em B não pode ser injetiva.)

Exemplo 2. Uma prova de concurso possui 10 questões de múltipla escolha, com cinco alternativas

cada. Qual é o menor número de candidatos para o qual podemos garantir que pelo menos dois

deles deram exatamente as mesmas respostas para todas as questões?

Solução: Neste caso, os objetos são os alunos e as gavetas são as possíveis seqüências de respostas .

Como cada questão pode ser respondida de 5 modos, a prova pode ser preenchida de 5 5 5 …

5 = 510

= 9 765 625 modos. Logo, só se pode ter a certeza de que dois candidatos fornecem

exatamente as mesmas respostas se houver pelo menos

9 765 626 candidatos.

Doutores Mestres 15 10 20 10 5 10 15

Prof.Univ.

Ricardo Erse veste-se apressadamente para um encontro muito importante. Pouco antes de pegar as

meias na gaveta, falta luz. Ele calcula que tenha 13 pares de meias brancas, 11 pares de meias

cinzas, 17 pares de meias azuis e 7 pares de meias pretas. Como elas estão todas misturadas ele

resolve pegar certo número de meias no escuro e, chegando no carro, escolher duas que tenham cor

igual para calçar. Qual é o menor número de meias que Ricardo Erse poderá pegar para ter certeza

de que pelo menos duas são da mesma cor?

a) 12

b) 10

c) 8

d) 6

e) 5

Questão de Prova

O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 29 e 30.

Em uma urna, há 18 esferas: 5 azuis, 6 brancas e 7 amarelas. Não é possível saber a cor de uma

esfera sem que ela seja retirada. Também não é possível distingui-las a não ser pela cor. N esferas

serão retiradas simultaneamente dessa urna.

29. Qual o menor valor de N para que se possa garantir que, entre as esferas retiradas, haverá 2 da

mesma cor?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 7 (E) 8

Resposta: alternativa C

30. Qual o menor valor de N para que se possa garantir que, entre as esferas retiradas, haverá 2 com

cores diferentes?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 7

(E) 8

Resposta: alternativa E




UT 02: Conjuntos Numéricos

UE 01: conhecimentos básicos


Testando seus conhecimentos ...

Apenas com seus conhecimentos básicos julgue os itens a seguir, v se verdadeiro ou f, se falso:

01. ( ) Se x < y , então .

02. ( ) xx 2 , x R

03. ( ) Todo número natural é divisível por ele mesmo.

04. ( ) O conjunto dos múltiplos de um número natural é infinito.

05. ( ) 981)27()3()27()3(

06. ( ) Se x2 = 25 x = 5, assim 525

07. ( ) Se o que já passou são 3/5 do que falta, então agora são 14 horas e 24 min.

08. ( ) Pai e filho moram juntos e trabalham na mesma fábrica. O filho vai de casa à fábrica em 20

minutos, e o pai, em 30 minutos. Então, se o pai sair de casa 5 minutos antes do filho, este levará 10

minutos para alcançar o pai.

09. ( ) Número primo é todo número que divide apenas por um e ele mesmo.

10. ( ) Se Amanda recebe 50% a mais que Carla e Beatriz recebe 25% a mais que Carla, então

Amanda ganha 20% a mais que Beatriz.

22 yx





UE 02: conhecimentos básicos: resolução continuação


05. ( ) 981)27()3()27()3(

06. ( ) Se x2 = 25 x = 5, assim 525

07. ( ) Se o que já passou são 3/5 do que falta, então agora são 14 horas e 24 min.

08. ( ) Pai e filho moram juntos e trabalham na mesma fábrica. O filho vai de casa à fábrica em 20

minutos, e o pai, em 30 minutos. Então, se o pai sair de casa 5 minutos antes do filho, este levará 10

minutos para alcançar o pai.

09. ( ) Número primo é todo número que divide apenas por um e ele mesmo.

10. ( ) Se Amanda recebe 50% a mais que Carla e Beatriz recebe 25% a mais que Carla, então

Amanda ganha 20% a mais que Beatriz.





UE 03: números naturais


Números Naturais

N= { 0,1,2,3,...} *={1,2,3,4,...}

01.(FUNDEP)Em relação aos números naturais, a única afirmativa falsa é:

a) Todo número divisível pelo produto de dois outros é divisível por qualquer um deles.

b) Se um número divide o produto de dois outros, ele divide um deles.

c) Um divisor comum de dois números divide a soma deles.

d) Se um número divide dois outros, ele divide o máximo divisor comum deles.

e) Se um número é múltiplo de dois outros, ele é múltiplo do mínimo múltiplo comum deles.

Resposta: Alternativa B

Para escrevermos um número, usamos o sistema de numeração decimal. Esse sistema utiliza dez

símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Dependendo das posições que ocupam, esses símbolos (algarismos)

tem um valor.

Ex.: a) 547 = 500 + 40 + 7

b) 1234 = 1000 + 200 + 30 + 4

c) XYZ = 100X + 10Y + 1Z

Questão01. Considere um número de dois algarismos tal que a soma desses algarismos seja 13.

Adicionando-se 9 ao número, obteremos outro nº formado com os algarismos dispostos em ordem

inversa. O novo número é

A) menor que 49

B) maior que 50 e menor que 60

C) maior que 61 e menor que 77

D) maior que 78 e menor que 86

Solução:

Sejam a e b os algarismos das dezenas e das unidades do número

10a + b tais que a + b = 13 (1)

O número formado com os mesmos algarismos na ordem inversa é

10b + a .

Da hipótese, temos:

(10a + b ) + 9 = 10b + a , ou seja, a – b = -1 (2)

Das equações (1) e (2), obtemos o sistema:

Cuja solução é a = 6 e b= 7

Portanto , o novo número obtido com os algarismos em ordem inversa é 76.

Resposta:Alternativa C

CURIOSIDADE

SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA

Os romanos usavam um sistema interessante para representar os números.

Eles usavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1.000

Os numerais I, X, C, M só podem ser repetidos até três vezes.

I = 1 II = 2 III =3

X = 10 XX = 20 XXX = 30

C = 100 CC = 200 CCC = 300

M = 1.000 MM = 2.000 MMM = 3.000

Vamos aprender alguns numerais romanos.

I = 1 XX = 20 CCC = 300

II = 2 XXX = 30 CD = 400

III = 3 XL = 40 D = 500

IV = 4 L = 50 DC = 600

V = 5 LX = 60 DCC = 700

VI = 6 LXX = 70 DCCC = 800

VII = 7 LXXX = 80 CM = 900

VIII = 8 XC = 90 M = 1.000

IX = 9 C = 100 MM = 2.000

X = 10 CC = 200 MMM = 3.000

ATENÇÃO!

Os numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aos

desses numerais.

Exemplos:

VII = 7 ( 5 + 2 ) LX = 60 ( 50 + 10 ) LXXIII = 73 (50+20+3)

CX = 110 (100+10) CXXX = 130 (100+30) MCC = 1.200 (1.000+200)

Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valores aos

desses numerais.

Exemplos:

IV = 4 (5-1) IX = 9 (10-1) XL = 40 (50-10)

XC = 90 (100-10) CD = 400 (500-100) CM = 900 (1.000-100)





UE 04: Números naturais:Contagem de algarismos


Questão 02 (UFRJ/TEC./MAPA/2005) Sabemos que o número 4 é escrito com um algarismo, o

número 27 com dois algarismos e o número 123 com três algarismos. O total de algarismos escritos

para enumerar as páginas de um livro com 150 páginas é um número:

a) Menor que 300

b) Entre 300 e 349

c) Entre 350 e 399

d) Entre 400 e 449

e) Maior que 450

Resposta:Alternativa B

Questão 03. (TRT) Um técnico responsável pela montagem de um livro, observou que na

numeração de suas páginas, haviam sido usados 321 algarismos. O número de páginas desse livro

era

a) 137

b) 139

c) 141

d) 143

e) 146

Resposta:Alternativa D

Quantas vezes o numero 1 aparece ou repete entre 1 e 1111?

Antes vamos recordar o QVL ou QI de hoje, vejamos:

1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 123 dezenas + 4 unidades = 12 centenas + 34 unidades = 1 milhar +

234 unidades.

Quando representamos no QVL, cada vez que contamos 10 unidades , amarramos e ela vai para

casa das dezenas ; a cada 10 dezenas amarramos e ela vai para casa das centenas e assim por

diante.

Assim cada vez que amarramos 10 unidades cada algarismo aparece uma única vez por serem

unidades;

Cada vez que amarramos 10 dezenas, o algarismo em questão aparece 10 vezes por serem dezenas;

cada vez que amarramos 10 centenas o algarismo parece 100 vezes por serem centenas e assim por

diante...

Por exemplo quantas vezes escrevemos o algarismo 5 quando escrevemos de 1 até 1234?

1234 = são 123 dezenas mais 4 unidades;

1234 = 12 centenas mais 34 unidades;

1234 = 1 milhar mais 234 unidades.

Milhar Centenas Dezenas Unidades

0.1000 + 0 1. 100 + 0 12 . 10 + 0 123 . 1 + 0

0 100 120 123

Total: 100 + 120 + 123 = 343 vezes





UE 05: Números naturais:quantas aparece o algarismo 1 quando escrevemos de 1 até 1000?


Quantas vezes escrevemos o algarismo 2 quando escrevemos de 1 até 789?

Unidades: 78.1 + 1 = 79

Dezenas: 7.10 + 10 = 80

Centenas: 0.100 + 100 = 100

Total : 259 vezes

Na unidade de estudo anterior vimos o método da questão:

Quantas vezes o numero 1 aparece ou repete entre 1 e 1111?

1111 = 111 + 1

1111 = 110 + 2

1111 = 100 + 12

1111 = 112

Total = 448





UE 06: Números naturais:Operações e propriedades


Questão 04. Considere a seqüência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o

resultado anterior: Comece com um número X, subtraia 2; multiplique por 3/5; some 1; multiplique

por 2; subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o número 21. O número x pertence ao

conjunto

a) {1, 2, 3, 4}

b) {-3, -2, -1, 0}

c) {5, 6, 7, 8}

d) {-7, -6, -5, -4}


05.José decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado;

nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por diante. Nesse caso, na centésima vez

em que José for nadar será

a) terça-feira

b) quarta-feira

c) quinta-feira

d) sexta-feira

e) sábado


Extras

Questão 01. Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm

31 dias. O dia 31 de março de um certo ano, ocorreu numa quarta-feira. Então, 15 de outubro do

mesmo ano foi

a) quinta-feira

b) terça-feira

c) quarta-feira

d) sexta-feira


Questão 02.Sejam N um número natural de dois algarismos não-nulos e M o número obtido

invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N - M = 45. Então, quantos são os

possíveis valores de N ?

A) 7

B) 4

C) 5

D) 6






UE 07: Números naturais:Quadro posicional


SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

Como o nome diz, é o sistema de base 10. Utiliza os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Baseia-se na propriedade a seguir:

“Se um algarismo está escrito à esquerda de outro, seu valor é 10 vezes mais que esse outro.”

Desse modo, no número 352, o algarismo 2 vale 2 unidades, pois não está escrito à esquerda de

nenhum outro, o algarismo 5 vale 50 unidades e o 3 vale 300 unidades. Como o valor do algarismo

depende da posição que ele ocupa no numeral, dizemos que esse é um sistema posicional.

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO EM OUTRAS BASES

A base de um sistema de numeração não precisa ser necessariamente 10. O fato de usarmos o

sistema decimal é uma “fatalidade” anatômica: temos 10 dedos nas mãos. Mas nada impede de

usarmos outras bases.

Assim, por exemplo, no sistema binário, ou seja, de base 2, usaríamos apenas os algarismos 0 e 1, e

a propriedade:

”Se um algarismo está escrito à esquerda de outro, seu valor é 2 vezes mais que esse outro.”

Portanto, no sistema binário, no número (111)2, o primeiro 1 representa 1 unidade, o segundo 1 x 2

ou seja 2 unidades e o terceiro 1 representa 1 x 2 x 2 = 4 unidades, representando portanto no

sistema decimal o valor 7.

De um modo geral, se b é a base do sistema e pqr representa um número desse sistema, temos:

(pqr)b = r + q . b + p . b2

06.Se m é um número de três algarismos e n é obtido de m, permutando-se os algarismos das

unidades e das centenas, então m – n é sempre um múltiplo de :

a) 2

b) 7

c) 11

d) 13

e) 15


07. Um número inteiro, de dois dígitos, é k vezes a soma dos seus dois dígitos. Trocando-se a

posição desses dígitos, a soma dos dígitos desse novo número fica multiplicada por

a) 9 – k

b) 9 + k

c) 11 + k

d) 11 – k


08. Qual o menor valor do algarismo a para que o número natural

510610710103 234 ..a..M

seja divisível por 15?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Resposta:Alternativa A





UE 08: Números naturais:Sudoku


SUDOKU

Sudoku é um jogo de raciocínio e lógica. Apesar de ser bastante simples, é divertido e viciante.

Basta completar cada linha, coluna e quadrado 3x3 com números de 1 a 9. Não há nenhum tipo de

matemática envolvida.

Cada jogo dura de 10 a 40 minutos, dependendo do nível de dificuldade e da experìência do

jogador.

Solução:

http://sudoku.net.br/puzzle/facil/1/

Julgue o item a seguir:

09.(UnB/Escrit./BB-NE/2007) O quadro abaixo pode ser completamente preenchido com

algarismos de 1 a 6, de modo que cada linha e cada coluna tenham sempre algarismos

diferentes.

Resposta:

Certo

A B C D E F G H I

1 3 9 8 6 7 1

2 8 2 1 3 4 6

3 6 7 4 9 8 2 4 3 7 5 6 1 4 5 9 4 8 1 2 5 6 8 5 3 2 6 9

7 1 2 4 8 6 7 8 7 9 6 2 5 3 8 9 8 7 3 9 2

Um quebra-cabeças que se tornou bastante popular é o chamado SUDOKU. Para preenchê-

lo, basta um pouco de raciocínio lógico. Na tabela anterior, que ilustra esse jogo, cada célula é

identificada por uma letra, que se refere à coluna, e por um algarismo, que se refere à

respectiva linha. Após preencher as células em branco com os algarismos de 1 a 9, de modo

que cada algarismo apareça uma única vez em cada linha e em cada coluna, julgue os itens a

seguir.

10. ( ) (UnB/Analista/SEGER/ES/2006)Está correto preencher com o algarismo 4 a célula B6.

Desenvolvendo...teremos:

A B C D E F G H I

1 3 4 9 8 6 2 5 7 1

2 5 8 2 1 3 7 4 9 6

3 6 7 1 4 5 9 8 2 3

4 2 3 7 5 9 6 1 4 8

5 9 6 4 7 8 1 2 3 5

6 8 1 5 3 2 4 7 6 9

7 1 2 3 9 4 8 6 5 7

8 7 9 6 2 1 5 3 8 4

9 4 5 8 6 7 3 9 1 2

Resposta:ERRADO

11.(UnB/Analista/ PRODEST /ES/2006) Os algarismos 5 e 6 são os que preenchem as células

B9 e D9, respectivamente.

Resposta:

Certo

12.(UnB/Analista/ PRODEST /ES/2006) As três células vazias do cruzamento das linhas 1, 2 e

3 com as colunas G, H e I devem ser preenchidas 5, 9 e 3, respectivamente.

Resposta:

Certo





UE 09: Números números Inteiros: Introdução


Números Inteiros (Z)

= { ...,-3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2, 3 , ...}

* = { ...,-3 ,-2 ,-1,1 ,2, 3 , ...}

+ = { 0 ,1 ,2, 3 , ...} → Inteiros não negativos

- = { ...,-3 ,-2 ,-1 ,0} → Inteiros não positivos

*

+ = { 1 ,2, 3 , ...} → Inteiros positivos

*

- = { ...,-3 ,-2 ,-1 } → Inteiros negativos

Neste capítulo será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição,

subtração, multiplicação e divisão com números inteiros.

Questão 09. Se a,b Z*, então certamente serão números inteiros:

a) a + b, a – b , a/b

b) a + b, a/b, ab

c) ab, ab, a + b

d) a + b, ,ab

e) a + b, a – b , ab

ADIÇÃO Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado

soma ou total.

1ª parcela + 2ª parcela = soma ou total

A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição:

a + b = b + a

O zero é elemento neutro da adição:

0 + a = a + 0 = a

SUBTRAÇÃO

O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da

operação de subtração é denominado resto ou diferença.

Minuendo – subtraendo = resto ou diferença

A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração:

a – b b – a

Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k.

Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k.

A subtração é a operação inversa da adição:

M – S = R R + S = M

A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do

minuendo.

M + S + R = 2 x M

Valor absoluto O valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando

consideramos a representação dele na reta numérica.

Atenção:

O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa

uma distância.

A representação do valor absoluto de um número n é |n|. (Lê-se

“valor absoluto de n” ou ”módulo de n”.)

Definição

Chamamos de módulo o número:

Questão 10.

O valor de :é 5352

1

5

52 + 5

52 - 5

)

)

)

)

d

c

b

a






UE 10: Números números Inteiros: operações


Números simétricos

Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando:

a + b = 0

Exemplos:

-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.

4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

O oposto de 5 é –5.

O simétrico de 6 é –6.

O oposto de zero é o próprio zero.

Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo.

Exemplo:

|-3| = 3 e |3| = 3

Operações com números inteiros (z)

Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um

número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou,

equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações.

Adições e subtrações com números inteiros

Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros.

Observe os exemplos seguintes:

Exemplo 1:

Calcular o valor da seguinte expressão:

10 – 7 – 9 + 15 – 3 + 4

Solução:

Faremos duas somas separadas

– uma só com os números positivos:

10 + 15 + 4 = +29

– outra só com os números negativos:

(-7) + (-9) + (-3) = -19

Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados.

+29 – 19 = +10

Atenção:

É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que

tiver o maior valor absoluto!

Exemplo 2:

Calcular o valor da seguinte expressão:

– 10 + 4 – 7 – 8 + 3 – 2

1º passo: Achar os totais (+) e (–):

(+): +4 +3 = +7

(–):–10 – 7 – 8 – 2 = – 27

2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo:

– 27 + 7 = – 20

14.Questões de Prova(CESGRANRIO)

MULTIPLICAÇÃO

Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de

multiplicação é denominado produto.

1º fator x 2

º fator = produto

O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser

chamado multiplicador,

A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação:

a x b = b x a

O número 1 é elemento neutro da multiplicação:

1 x a = a x 1 = a

Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o

outro fator:

a x b = c (a + k) x b = c + (k x b)

Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k.

a x b = c (a x k) x b = k x c

Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer:

a x (b c) = (a x b) (a x c)

Divisão inteira

Na divisão inteira de N por D 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que:

Q x D + R = N e 0 R |D| (onde | D | é o valor absoluto de D)

A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo.

Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados:

N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero);

Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).

Exemplos:

1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.

8 x 7 + 4 = 60 e 0 4 | 7 |

2) Na divisão inteira de – 60 por 7 o dividendo é – 60, o divisor é 7, o quociente é – 9 e o

resto é 3.

– 9 x 7 + 3 = – 60 e 0 3 | 7 |

Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q x D = N e diremos que a

divisão é exata indicando-a como N D = Q;

Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de N

ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N.

O zero é divisível por qualquer número não nulo:

D 0 0 D = 0;

Todo número inteiro é divisível por 1: N, N 1 = N;

Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k 0,

o quociente (Q) não será alterado mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se R x k D, ou será

igual ao resto da divisão de R x k por D, se R x k D.

Questão 11.Sejam x e y dois números inteiros positivos. Dividindo-se x por y, o quociente é 5 e o

resto o maior possível. Dividindo-se x pelo dobro de y, o quociente é 2 e o resto 45. O valor de x+y

é:

a) 160

b) 170

c) 172

d) 178

e) 179

Resposta:

Alternativa A

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da

segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

Solução:

Seja t o total da adição inicial.

Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8

Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: t + 8 – 5 = t

+ 3

Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

02. Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o

valor do minuendo?

Solução: Sejam m o minuendo, o s o subtraendo e o r o resto de uma subtração qualquer, é

sempre verdade que:

m – s = r s + r = m

(a soma de s com r nos dá m)

Ao somarmos os três termos da subtração, m + s + r, observamos que a adição das duas

últimas parcelas, s + r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever:

m + (s + r) = m + m = 2m

O total será sempre o dobro do minuendo.

Deste modo, temos:

m + s + r = 264

2m = 264

m = 264 2 = 132

Resp.: O minuendo será 132.

03. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o

dividendo?

Solução: Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode superar nem

igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos.

n = (quociente) x (divisor) + (resto)

n = 5 x 12 + 11

n = 60 + 11

n =71

O dividendo procurado é 71.





UE 11: múltiplo e divisor de um número


Múltiplo de um número

Múltiplo de um número inteiro é o produto deste número por um inteiro qualquer.

Todo número inteiro não nulo tem infinitos múltiplos. Assim, sendo n um número inteiro positivo

qualquer, podemos indicar o conjunto dos múltiplos de m por:

M(n) = {0, 1n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n, ...}

Qualquer número inteiro é um múltiplo de 1:

M(n) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Somente o próprio zero é múltiplo de zero: M(0) = {0}

O zero é múltiplo de todos os números inteiros (zero é o múltiplo universal).

DIVISOR DE UM NÚMERO

Divisor de um número inteiro a é qualquer inteiro d tal que a = d x n para algum inteiro n.

Deste modo, podemos indicar o conjunto dos divisores de um inteiro a por:

D(a) = {d Z / n Z, d x n = a}

Quando d é um divisor de n diz-se que n é divisível por d.

O menor divisor positivo de um inteiro n qualquer é 1.

O maior divisor de um inteiro n qualquer é |n|.

O número 1 é divisor de todos os números inteiros (1 é o divisor universal).

O zero não pode ser divisor de qualquer número inteiro.

OBS: NÚMERO DE DIVISORES:

O conjunto dos divisores de um número natural x é o conjunto D(x) formado por todos os

números naturais que são divisores de x.

Exemplo: o conjunto dos divisores de 36.

D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Roteiro para obter todos os divisores naturais de um número:

( vamos utilizar o 36 como exemplo).

1º) fatoramos o número

36 2

18 2

9 3

3 3

1

2º) colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos

1

36 2

18 2

9 3

3 3

1

3º) na linha de cada fator primo vamos colocando os produtos dele pelos números já colocados nas

linhas de cima.

1

36 2 2

18 2 4

9 3 3

3 3 9, 6, 12, 18, 36 D(36) = { 1, 2 , 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }

1

Roteiro para obtermos o número de divisores naturais de um número: nD(x)

( vamos utilizar o 36 como exemplo).

1º) fatorar o número

36 2

19 2

9 3

3 3

1 22 . 3

2 36 = 2

2 . 3

2

2º) a cada expoente acrescentamos uma unidade e a seguir efetuamos o produto, resultando assim o

número de divisores naturais do número

36 = 22 . 3

2

( 2 + 1 ) . ( 2 + 1 ) = 3 . 3 = 9 então 36 possui 9 divisores naturais

OBS: De um modo geral, o número de divisores naturais do número natural

x = an . bm . cp . ...

nD(x) = ( n + 1 ) . ( m + 1 ) . ( p + 1 ) . ...

16.( TRE/Cargo: Técnico Judiciário – Administrativa) Considere que

A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {(x, y) A × A : 2|(x - y)},

ou seja, B é o subconjunto de pares ordenados (x, y) A × A tais que x - y seja múltiplo de 2.

Nessa situação, a quantidade de elementos do conjunto B é igual a

A 0.

B 2.

C 5.

D 13.

E 25.






UE 12: Divisibilidade


CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Um critério de divisibilidade é uma regra que permite decidir se uma divisão é exata ou não, sem

que seja preciso executar a divisão.

DIVISIBILIDADE POR 2

Um número é divisível por 2 sempre que o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8.

Assim, 91.956 é divisível por 2, pois seu algarismo das unidades é 6.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 sempre que o algarismo das unidades for 0 ou 5.

Então 74.380 é divisível por 5, pois seu algarismo das unidades é zero.

Divisibilidade por 10, 100, 1000, etc

Um número é divisível por 10, 100, 1.000, etc, quando termina, respectivamente, com 1, 2, 3, etc

zeros à direita.

Então 1.900, 14.000, e 780 são divisíveis, respectivamente, por 100, por 1.000 e por 10.


Um número é divisível por 4 quando os seus dois últimos algarismos formam um número divisível

por 4.

Deste modo, 7.996, que termina em 96, é divisível por 4, pois o próprio 96 é divisível por 4.


Um número é divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formarem um número divisível

por 8.

Assim, 158.960 é divisível por 8 porque os seus três últimos algarismos formam o número 960 que

é divisível por 8.


Um número é divisível por 25 quando os seus dois últimos algarismos formam 25, 50, 75 ou 00.

Portanto, os números 17.475, 854.325, 79.000 e 123.450 são todos divisíveis por 25.





UE 13: Divisibilidade e aplicações



Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos do número é

divisível por 3.

O número 74.022 é divisível por 3 pois 7 + 4 + 0 + 2 = 15 que é divisível por 3.


Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos do número é

divisível por 9. O número 8.514 é divisível por 9 pois 8 + 5 + 1 + 4 = 18 que é divisível por 9.


Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e também por 3.

O número 317.100 é divisível por 2 porque é par e também é divisível por 3 pois 3 + 1 + 7 + 1 + 0 +

0 = 12. Logo o número 317.100 é divisível por 6.


Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e também por 4.

O número 231.456, por exemplo, é divisível por 3 pois 2 + 3 + 1 + 4 + 5 + 6 = 21 e também é

divisível por 4 pois os dois últimos algarismos formam o número 56 que é divisível por 4. Logo

231.456 é divisível por 12.


Um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu

algarismo das unidades é divisível por 7.

Assim, em 819 temos 81 dezenas e 9 unidades.

Como 81 – (9 x 2)m= 81 – 18 = 63 é divisível por 7, então o número 819 também é divisível por 7.

17.(BACEN/2010) Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o seguinte

procedimento:

Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado é

subtraído do número que restou sem o algarismo à direita.

Procede-se assim, sucessivamente, até se ficar com um número múltiplo de 7, mesmo que seja

zero.

Veja os exemplos a seguir:

Seja a um algarismo no número a13.477.307. O valor de a para que este número seja divisível por 7

é

(A) 1

(B) 3

(C) 5

(D) 7

(E) 9

Resposta:

Alternativa C





UE 14: Divisibilidade por 11 e por 13



Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos valores absolutos dos

algarismos de ordem ímpar (a partir das unidades) e a soma dos valores absolutos dos algarismos

de ordem par é um múltiplo de 11.

No número 23.859, os algarismos de ordem ímpar, a partir das unidades, são 9, 8 e 2 cuja soma

resulta 9 + 8 + 2 = 19. Os algarismos de ordem par são 5 e 3 cuja soma nos dá 5 + 3 = 8. Como a

diferença entre estas duas somas é 19 – 8 = 11, o número 23.859 será divisível por 11.

18.(Cesgranrio/Cef)Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000?

(A) 90

(B) 142

(C) 220

(D) 229

(E) 232

Resposta:

Alternativa C


Um número é divisível por 13 quando a soma das suas dezenas com o quádruplo do valor do seu

algarismo das unidades é divisível por 13. O número 351 é divisível por 13 pois 35 + (1 x 4) = 35 +

4 = 39 que é divisível por 13.

REGRA GERAL DE DIVISIBILIDADE

Sejam a e b dois números, decompostos em seus fatores primos. O número a será divisível por b se

ele contiver todos os fatores primos de b, com expoentes maiores ou iguais.

Exemplo.:

a) O número 23 . 32 . 7 é divisível por 3 . 7.

b) O número 34 . 52 . 7 é divisível por 32 . 52

c) O número 25 . 32 . 5 não é divisível por 23 . 35.

d) O número 32 . 5 . 73 não é divisível por 2 . 3 . 72.





UE 15: Divisibilidade :questões de prova


19.Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, e seja P o conjunto

de todos os números distintos de dois algarismos formados com os algarismos de N, incluindo o

próprio N.

A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por

(A) 2

(B) 3

(C) 5

(D) 7

(E) 11

Resposta:

Alternativa E

20.Seja n = 235ab um número natural , cujos 5 algarismos são 2,3,5,a e b. Sabe-se que n é ímpar e

que n é divisível por 5 e por 9. A diferença b – a é igual a:

a) 2

b) 3

c) 5

d) 7

e) 8

Resposta:

Alternativa A

21.O algarismo da unidade da potência 31475

é:

a) 1

b) 3

c) 7

d) 9

Resposta:

Alternativa C

22. (BACEN/2010) Considerando-se N um número inteiro e positivo, analise

as afirmações seguintes, qualquer que seja o valor de N:

I - N2 + N + 1 é um número ímpar;

II - N⋅ (N + 1) ⋅ (N + 2) é um número múltiplo de 3;

III - N2 tem uma quantidade par de divisores;

IV - N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6.

A quantidade de afirmações verdadeiras é

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 0






UE 16: Questões de prova envolvendo números


23.Em uma disputa, há 34 pessoas: 20 homens e 14 mulheres.

A cada etapa da competição, três concorrentes são eliminados, sendo sempre 2 homens e 1

mulher.

O número de homens igualar-se-á ao número de mulheres após a eliminação de número:

(A) 7

(B) 6

(C) 5

(D) 4

(E) 3

24.(FCC/TRT/2004) Em uma nota fiscal , o valor pago na compra de 45 blocos de papel

aparecia como R$_8,7_, faltando o primeiro e o último algarismos do número que

evidentemente, representava o preço total dos blocos.

Sabendo que este valor é maior que R$50,00, cada bloco foi vendido por

a) R$1,20

b) R$1,25

c) R$1,50

d) R$1,75

e) R$1,80

Resposta: Alternativa D

TESTE SEUS CONHECIMENTOS;

Resposta: itens C - E

Resposta: Alternativa D

Resposta: Alternativa A

Resposta: AlternativaC


Resposta: Alternativa C







UE 17: Números primos, compostos -total de divisores de um número


NÚMEROS PRIMOS

Dizemos que um número inteiro é primo quando ele tem exatamente dois divisores positivos.

p é primo D(p) = {1, |p|}

Exemplos:

O número 19 é primo, pois, tem exatamente dois divisores positivos, que são: 1 e 19.

Já o número 91 não é primo, pois tem mais de 2 divisores inteiros: 1, 7, 13 e 91.

O número 1 também não é primo pois tem apenas um divisor positivo: ele próprio.

Existem infinitos números primos. Citando apenas os primeiros números primos positivos

teríamos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ....

NÚMEROS COMPOSTOS

Denominamos número composto a todo número que tenha mais que dois divisores

positivos.

Exemplos:

O número 18 é composto pois tem mais que dois divisores positivos: 1, 2, 3, 6, 9 e 18.

O número 1 não é composto pois tem apenas um divisor positivo: ele próprio.

RECONHECIMENTO DE NÚMEROS PRIMOS

Para saber se um inteiro n é primo ou não, pode-se proceder da seguinte forma:

1º - Consideramos as divisões de n por todos os números primos p, tais que o quociente da

divisão de n por p seja, em valores absolutos, maior que o próprio p;

2º - n será primo se, e só se, nenhuma destas divisões for exata.

Exemplo:

Deseja-se saber se o número 131 é ou não primo.

Ao considerarmos as divisões 131 2, 131 3, 131 5, 131 7, 131 11, observamos (aproveitar

os critérios de divisibilidade apresentados) que nenhuma delas é exata e que divisão 131 13 já

apresenta quociente menor que o próprio 13. Então 131 é primo.

DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS

Todo número composto pode ser expresso como um produto de dois ou mais fatores, todos

primos.

Para decompor um número composto qualquer em fatores primos, devemos:

dividir o número dado pelo menor de seus divisores primos positivos;

repetir este procedimento com cada um dos quocientes obtidos, até que o quociente

encontrado seja 1;

o número composto será igual ao produto de todos os divisores primos utilizados.

Exemplo:

Decompor o número 126 em fatores primos.

Anotando o menor divisor primo sempre à direita de cada valor considerado e cada quociente

imediatamente abaixo do dividendo anterior, poderemos apresentar a fatoração como segue:

126 2 Então a decomposição de 126 em fatores

primos nos deu:

2 x 3 x 3 x 7 = 21 x 3

2 x 7

1 .

63 3

21 3

7 7

1

TOTAL DE DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO COMPOSTO

Se a decomposição em fatores primos de um número composto N é

N = pa x q

b x r

c x ... x t

n

onde a, b, c, ..., n são os expoentes dos fatores primos p, q, r, ..., t, então, o total de divisores

naturais do número N é

(Nº de divisores naturais de N)

(a + 1) x (b + 1) x (c + 1) x ... x (n + 1)

Exemplo:

Decompondo o número 12 em fatores primos obtemos: 12 = 22 x 3

1, onde os expoentes são 2 e 1.

Então o total de divisores naturais de 12 é (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6.

34. O número de divisores positivos que possui o número M = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 é:

a) 512

b) 1024

c) 256

d) 270 Comentário: 9/B2x5/B3x3/B5x2/B7= 270


35. O número 2a . 3 . 6 . 20 tem 48 divisores, o valor de a é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5






UE 18: MMC e MDC


MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM

Múltiplos Comuns e mínimo múltiplo comum

Dados dois ou mais números inteiros não nulos, os conjuntos dos múltiplos destes números

terão sempre infinitos elementos comuns a todos eles, aos quais chamamos múltiplos comuns.

Observe os conjuntos dos múltiplos dos números 3, 4 e 6, que são respectivamente:

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...}

M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44,...} e M(6) = {0, 6, 12, 18,

24, 30, 36, 42,...}

Neles podemos notar os primeiros múltiplos comuns a 3, 4 e 6 que estão destacados em

negrito nos conjuntos acima: 0, 12, 24 e 36.

Denominamos mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números inteiros e não

nulos ao menor número positivo que seja múltiplo de todos os números dados.

Assim, no exemplo dado acima o MMC dos números 3, 4 e 6 é o 12, pois ele é o menor

número positivo que é múltiplo, simultaneamente, de 3, de 4 e de 6.

MMC(3, 4, 6) = 12

Determinação do MMC por decomposições em fatores primos

Determinar o MMC dos números 36, 45 e 60:

1º- Decompor os números dados em fatores primos:

36 = 22 x 3

2

45 = 32 x 5

1

60 = 22 x 3

1 x 5

1

2º - O MMC de 36, 45 e 60 será o produto de todos os fatores primos encontrados, tomados

sempre com os maiores expoentes com os quais cada um deles ocorreu dentre todos os números

decompostos:

MMC(36, 45, 60) = 22 x 3

2 x 5

1 = 4 x 9 x 5 = 180

Determinação do MMC pelo processo simplificado

Determinar o MMC dos números 36, 45 e 60.

1º - Traçar uma linha vertical, anotando à sua esquerda todos os números dados;

36, 45, 60

2º - Escrever à direita da linha vertical o menor número primo capaz de dividir algum dos

números da esquerda, anotando abaixo destes o resultado da divisão (se divisível) ou repetindo o

número (se a divisão não for exata), e repetir o procedimento até que todos estes sejam reduzidos à

unidade:

36,

18,

9,

3,

1,

1,

45,

45,

45,

15,

5,

1,

60

30

15

5

5

1

2

2

3

3

5

3º - O MMC de 36, 45 e 60 será o produto de todos os números primos encontrados à

direita:

MMC(36, 45, 60) = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180

DIVISORES COMUNS E MÁXIMO DIVISOR COMUM

Dados dois ou mais números inteiros não nulos, os conjuntos dos divisores destes números

terão sempre dois ou mais elementos comuns a todos eles, aos quais chamamos divisores comuns.

Observe os conjuntos dos divisores dos números 12, 18 e 30. Neles podemos notar os

divisores comuns que estão destacados em negrito:

D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} ,

D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18} e

D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Denominamos máximo divisor comum (MMC) de dois ou mais inteiros não nulos, ao maior

dos divisores comuns aos números apresentados.

Assim, o MDC dos números 12, 18 e 30 é 6, pois ele é o maior numero que divide,

simultaneamente, 12, 18 e 30.

MDC(12, 18, 30) = D(6) = { 1, 2, 3, 6}

O conjunto dos divisores comuns (DC) a dois ou mais inteiros não nulos sempre coincide

com o conjunto dos divisores do MDC destes números:

DC(12, 18, 30) = D(6) = { 1, 2, 3, 6}

Determinação do MDC por decomposições em fatores primos

Determinar o MDC dos números 120, 140 e 200:

1º - Decompor os números dados em fatores primos:

120 = 23 x 3

1 x 5

1

140 = 22 x 5

1 x7

1

200 = 23 x 5

2

2º - O MDC de 120, 140 e 200 será o produto dos fatores primos comuns, tomados sempre com

os menores expoentes com os quais cada um deles ocorreu dentre todos os números decompostos.

MDC(120, 140, 200) = 22 x 5

1 = 4 x 5 = 20

Determinação do MDC pelo processo simplificado

Determinar o MDC dos números 360, 420, 600:

1º - Traçar uma linha vertical, anotando à sua esquerda todos os números dados;

360, 420, 600

2º - Escrever à direita da linha vertical o menor número primo capaz de dividir todos os

números da esquerda, anotando abaixo destes o resultado de cada divisão e repetir o procedimento

até que algum deles seja reduzido à unidade ou que não seja mais possível encontrar um número

primo que divida todos os números restantes:

360,

180,

90,

30,

15,

420,

210,

105,

35,

7,

600

300

150

50

10

2

2

3

5

3º - O MDC de 360, 420, 600 será o produto de todos os números primos encontrados à

direita:

MDC(360, 420, 600) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

PROPRIEDADES DO MMC E DO MDC

a, b) = 1, então a e b são denominados primos relativos ou primos entre si.

Exemplo: MMC(25, 36) = 1. Então 25 e 36 são primos entre si.

MMC(a, n x a) = n x a e MDC(a, n x a) = a

Exemplo: MMC(15, 30) = 30 e MDC(15, 30) = 15, pois 30 = 2 x 15.

MMC(a, b) x MDC(a, b) = a x b.

Exemplo: 84 x 90 = 7.560. Então MMC(84, 90) = 7.560.

Comentário: MMC(15,18)= 90

MDC(15,18) = 3

MDC(a,b) X MMC(a,b)= aXb

3 x 90= 15 x 18

Se MMC(a, b) = m, então MMC(ka, kb) = km (k

Exemplo: MMC(6,8) = 24, então MMC(60, 80) = 240 (que é 24 x 10).

a, b) = d então MDC(ka, kb) = kd (k

Exemplo: MDC(6,8) = 2, então MDC(60, 80) = 20 (que é 2 x 10).

n, n + 1) = 1.

Exemplo: MDC(25, 26) = 1

Exemplo: MMC(4, 5, 9) = 4 x 5 x 9 = 180, pois 4, 5 e 9 são, dois a dois, primos entre si.





UE 19: Problemas com mmc e mdc


Questão 13.A partir das 7 horas, as saídas de ônibus de Belo Horizonte para Itabira, Barbacena e

Patos de Minas obedecem o seguinte horário.

Para Itabira, de 20 em 20 minutos.

Para Barbacena, de 30 em 30 minutos.

Para Patos de Minas, de 50 em 50 minutos.

Depois de quanto tempo, após as 7 horas, saem simultaneamente, pela primeira vez os três ônibus?

SOLUÇÃO:Os ônibus sairão juntos toda vez que o intervalo de tempo, contando, a partir das 7

horas, for um múltiplo comum de 20, 30 e 50 minutos. m.m.c. (20, 30, 50) = 300 minutos = 5 horas.

Portanto, se eles saem às 7 horas, sairão simultaneamente pela 2ª vez depois de 5 horas.

Questão 14.Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços

menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos Em número inteiro de metros e sem que haja

perda de material. O menor número total possível de pedaços é:

SOLUÇÃO: Se vamos dividi-los em pedaços de

comprimentos iguais e sem que haja perda de material, calcularemos o m.d.c. (36, 48, 72), que será

o tamanho de cada pedaço. m.d.c. (36, 48, 72) = 12 .O tamanho de cada pedaço é 12m. Para

sabermos quantos pedaços, faremos:

36 ÷ 12 = 3

48 ÷ 12 = 4

72 ÷ 12 = 6,assim 3 + 4 + 6 = 13 pedaços iguais

Questão 15.Ao cercar um terreno de sua chácara, o professor Renato tentou deixar todas as estacas

da cerca igualmente espaçadas. Mas ao tentar colocar as estacas a cada 2m, 3m, 4m, 5m, 6m ou 7m,

acabava sempre sobrando uma ponta menor, a saber, respectivamente com 1m, 2m, 3m, 4m, 5m e

6m. Sabendo que o comprimento total da cerca é menor que 500m, qual é este comprimento?

a) 329

b) 369

c) 389

d) 419 Comentário: MC (2, 3, 4, 5, 6, 7) Resto: 1 2 3 4 5 6

420 - 1 = 419m

Questão 16.Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das

divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma x + y é:

a) 36

b) 34

c) 30

d) 25

e) 33

Comentário: 247 : x possui resto 07, ao passo que 315 : x possui resto 03. Para se ter um divisor exato, comum, tanto de 247 e 315, subtrai o resto do número a ser dividido (247 – 7 e 315 – 3). O mesmo raciocínio se aplica para o Y. Tem-se, portanto: X = MDC (240,312) e Y = MDC (162, 210).

240 312 2

120 156 2

60 78 2

30 39 3

10 13 24 = x





UE 20: MMC x MDC


162 210 2

81 105 3

27 35 6 = y

Questão 17.Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192

lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias

fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o

mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de

cadernos que cada família ganhou foi:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12

Comentário: MDC (144,192, 216)

144 192 216 2

72 96 108 2

36 48 54 2

18 24 27 3

6 8 9 24 famílias

Questão) Todos os domingos, Murilo almoça em um certo restaurante. Saulo almoça no mesmo lugar a cada 15 dias. Se no dia 07 de março de 2004, um domingo, os dois almoçaram nesse restaurante, em qual das seguintes datas almoçarão juntos novamente? a) 23/06/2004 b) 22/06/2004 c) 21/06/2004 d) 20/06/2004 e) 19/06/2004 Comentário: 7 em 7 MMC= 105 DIAS 15 em 15 07/03/2004 (domingo) 24 março 30 abril 24+30+31 Quanto falta dessa soma para 105 dias? Faltam 20 dias 31 maio





UE 21: Números racionais


NÚMEROS RACIONAIS - OPERAÇÕES E PROPRIEDADES

Conceito

Dados dois números inteiros a e b, com b 0, denomina-se número racional a todo número

x = b

a, tal que x . b = a. x =

b

a x . b = a (com a b e b Z*)

Subconjuntos Importantes

Q* (conjunto dos números racionais não-nulos):

Q* = { x Q / x ≠≠ 0}

Q* + (conjunto dos números racionais positivos):

Q* + = { x Q / x > 0 }

Q + = (conjunto dos números racionais não-negativos):

Q+ = { x Q / x ≥0 }

Q * - = (conjunto dos números racionais negativos):

Q * - = { x Q / x < 0 }

Q - = (conjunto dos números racionais não-positivos):

Q - = { x Q / x ≤ 0 }

Questão 18.Considerando-se o conjunto dos números racionais, é CORRETO afirmar que

a)a soma de dois números racionais é sempre um número racional, existindo apenas uma exceção.

b)as dízimas decimais periódicas contêm um número infinito de casas decimais e, por isso, não são

números racionais.

c)5(n!) se anula apenas para um único valor natural de n.

d)a raiz de índice par de um número racional positivo nem sempre é um número racional. Questão 19.Certo dia, um funcionário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um

texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento: - nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; - nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página; - nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página. Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17





UE 22: Números racionais: Dízima periódica


REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA

Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração à expressão de um número

racional na forma b

a.

REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE UM NÚMERO RACIONAL

A representação decimal de um número racional poderá resultar em um dos três casos seguintes:

Inteiro

Neste caso a fração correspondente ao inteiro é denominada fração aparente.

2

14 = 7;

9

9 = – 1;

13

0 = 0

Expansão Decimal Finita

Neste caso há sempre uma quantidade finita de algarismos na representação decimal.

2

3 = –1,5;

4

5 = 1,25

8

3 = 0,375

Expansão Decimal Infinita Periódica

Esta representação também é conhecida como dízima periódica pois, nela, sempre ocorre alguma

seqüência finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta seqüência é denominada período.

3

1 = 0,333...

6

1 = 0,1666...

DETERMINAÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ

Todos os números com expansão decimal finita ou infinita e periódica sempre são números

racionais. Isto significa que sempre existem frações capazes de representá-los. Estas frações são

denominadas frações geratrizes.

Como determinar uma fração geratriz

1º Caso - Números com expansão decimal finita

A quantidade de algarismos depois da vírgula dará o número de “zeros” do

denominador:

8,16 = 100

816 52,4 =

10

524

0,035 = 1000

0035 =

1000

35

Questão 20. O valor exato de :é ...333,0...555,0

...222,0...2929,0

55.Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se quociente z e resto 8.

Sabe-se que a representação decimal de é a dízima periódica 7,363636... Então, o valor de x +

y + z é

a) 190

b) 193

c) 191

d) 192

Resposta: alternativa C

Curiosidade Útil:

Sabemos que nosso sistema é decimal (base 10), se fatorarmos o número 10 ou um de seus

múltiplos a fatoração será do tipo: 2n.5

m.

Qualquer número fracionário onde o denominador é do tipo 2n.5

m, será um número decimal finito e

se dentre seus fatores primos estiver um número que não seja uma potência de 2 ou de 5, esta fração

será uma dízima periódica!!!

finitos decimais números são

5.2

1

160

1

5.2

1

200

1

5.2

1

20

1

5

23

2

infinitos decimais números são

5.3.2

1

240

1

5.3.2

1

90

1

3.2

1

6

1

4

2

Dica para dividir rápido:

5 de potência uma dar que tem 2, de potência uma por Dividir

0625,016

1

125,08

1

25,04

1

5,02

1

E vice-versa, dividir por uma potência de 5 o resultado decimal será uma potência de 2:

0016,0625

1

008,0125

1

04,025

1

2,05

1

NÚMEROS MISTOS

Dados três números inteiros, n, a e b, com n 0 e 0 a b, denomina-se número misto à

representação de um número racional escrito sob a forma

b

an

b

an

Se numa divisão inteira não exata o valor absoluto do dividendo for maior que o do divisor,

então pode-se representar o seu resultado por um número misto.

Exemplo:

A divisão inteiro de 30 por 7 não é exata, dando quociente 4 e resto 2.Então pode-se

escrever:

7

24

7

30

Calcule:

a) 100

11...

4

11

3

11

2

11

RESPOSTA:

101/2

b) 1000

11...

4

11

3

11

2

11

RESPOSTA:

1/1000





UE 23: Potenciação


POTENCIAÇÃO

Seja a um número inteiro qualquer e n um número inteiro positivo, definem-se:

I. a0 = 1 (com a 0)

II. an = a . a

n - 1

O número a é chamado base, n é o expoente e o resultado, an, „;e chamado potência n-ésima de a.

53 = 125

base = 5

expoente = 3

potência = 125

Da definição anterior pode-se concluir que para todo n 2, o resultado de an será o produto de n

fatores iguais a a.

an = a x a x a x ... x a

n fatores

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS COM POTÊNCIAS

Para simplificar expressões envolvendo potências é útil conhecermos as seguintes propriedades:

1. an x a

m = a

n + m

2. an a

m = a

n - m

3. (an)

m = a

n x m

4. (a x b)n = a

n x b

n

5. (a b)n = a

n b

n

Regras de sinais nas potenciações

O sinal da potência depende sempre do sinal da base (+ ou -) e da paridade do expoente (par

ou ímpar).

O resultado de uma potenciação só é negativo em um único caso:

Quando a base é negativa

e

o expoente é ímpar.

Exemplos:

(+2)4 = +16 (+2)

5 = +32

(-2)4 = + 16 (-2)

5 = -32 base negativa e expoente ímpar.

Cuidado!

Não confunda (-2)4 = +16 enquanto que –2

4 = -16

Vejamos por que o resultado da segunda expressão é negativo:

-24 = -1 x 2

4 = -1 x 16 = -16

como se vê no desenvolvimento da expressão, o sinal negativo não é base, mas, sim, um

indicativo do número –1 que multiplica a potência toda.

Da mesma forma também teremos:

(-3)2 = +9 enquanto –3

2 = -1 x 3

2 = -9

(-10)4 = +10.000 enquanto –10

4 = -1 x 10

4 = -10.000

:é 33

de valor 56.O30

1599

57. Em relação aos números reais, a alternativa CORRETA é:

39

3

555

33)

33:3

9

2

b

a)

1578

6

3

3

28 2

1477)

88

8)

1010)2

4

3

6

e

d

c

Resposta:

Alternativa D

58. Se n N > 1, a expressão nnn 222 24

20 é:

4

1)

)

24)

)

2

1

1

n

4

n

d

c

nb

a

n

Resposta:

Alternativa D

Regras de sinais nas potenciações

O sinal da potência depende sempre do sinal da base (+ ou -) e da paridade do expoente

(par ou ímpar).

O resultado de uma potenciação só é negativo em um único caso:

Quando a base é negativa e o expoente é ímpar.

Um número natural n (n > 1) que tem como divisores naturais apenas o 1 (um) e o próprio n é

chamado número natural primo. Os primeiros naturais primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

23, ...

Todo natural primo diferente de 2 pode ser escrito, de forma única, como a diferença dos

quadrados de dois números naturais consecutivos. Por exemplo,

7 = 42 - 3

2

Represente, dessa forma, os números naturais primos 3, 11 e 19.

RESPOSTA:

3 = 22 – 1

2

11 = 62 – 5

2

19 = 102 - 9

2





UE 24: Radiciação


RADICIAÇÃO

Seja a um número inteiro qualquer e n um número inteiro positivo, define-se a raiz n-ésima

aritmética de a como sendo o número x = n a tal que:

I. n a = x, quando xn = a e n for ímpar;

II. n a = |x|, quando xn = a e n for par.

43 = 64 3 64 = 4

radical:

radicando: 64

índice: 3

raiz cúbica de 64: 4

Atenção:

1) Devemos lembrar que a raiz aritmética, que é representada pelo radical , é uma

operação aritmética e, como tal, deve apresentar resultado único sempre que estiver bem definida.

É incorreto afirmar, por exemplo, que 25 = 5. O certo é 25 = 5. Conforme se pode observar

na definição dada anteriormente, quando o radical apresenta um índice par o resultado da operação

é um valor absoluto (que nunca é negativo). Deste modo, ( 5)2 = 25 25 = |5| = 5

Propriedades operatórias

Para simplificar expressões envolvendo radicais, é útil conhecermos as seguintes propriedades.

1. n a . n b = n b.a

2. n a n b = n ba

3. n mm

n aa

4. m.nn m aa

5. m.n m.nn m aa

6. d nd

n

aa

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Simplificar as seguintes expressões com potências, indicando os resultados com uma única

potência:

A) x6 x

-3

B) 25 x 4

3 x 16

2

C) (x-2

. x5) (x

-3)

2

D) (-22)3 . (-2

3)

2

Soluções:

A) x6 x

-3 = x

6-(-3) = x

6+3 = x

9

B) 25 . 4

3 . 16

2 = 2

5 . (2

2)3 . (2

4)

2 = 2

5 . 2

2x3 . 2

4x2 = 2

5 . 2

6 . 2

8 = 2

5+6+8 = 2

19

C) (x-2

. x5) (x

-3)

2 = x

-2+5 x

-3x2 = x

3 x

-6 = x

3-(-6) = x

3+6 = x

9

D) (-22)3 . (-2

3)2 = (-1)

3 . (2

2)3 . (-1)

2 . (2

3)2 = (-1) . 2

2x3 . (+1) . 2

3x2 = -1 . 2

6 . 1 . 2

6 = -1 . 2

6+6 = -

212

RADICAL DE RADICAL

305.3.23 5

..

777

rqpp q r aa

57.Simplificando a expressão abaixo encontramos:

0 x com ,. 63 2 xxx

REGRA DO APARTAMENTO

xxx

abccbarqp rqrp q r

1

8 78 42

.. .

22.2.2222

24222

..

58.Sobre o número

m= 32

279110.137

foram feitas quatro afirmativas:

i)m é uma número primo.

ii)m é um número racional.

iii)m é múltiplo de 42.

iv)m é um número natural

O número de afirmativas FALSAS é:

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4





UT 03: Sistema Legal de Medidas

UE 01: notação científica


SISTEMAS MKS Metro = m

Quilograma = kg

Segundo = s

Unidades

Fundamentais

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

Dado o número 254,36 corra a vírgula

a) 4 casas para a direita: 2543600

b) 2 casas para a esquerda: 2,5436

OBS.: Quando são muitas casas para correr, pode-se indicar a operação mantendo-se a vírgula no

lugar e multiplicando-se o número por uma potência de base dez.

c) correr 9 casas para a direita:

254,39 x 10+9

d) correr 12 casas para a esquerda: 254,36 x 10-12

Observe que se corrermos a vírgula para a direita o número aumenta e se corrermos a vírgula para a

esquerda, o número diminui.

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

a) 583 000 000 = 5,83 x 108 b) 0,0000043 = 4,3 x 10 -6

- Destacamos 4 situações básicas ao passar para notação científica.

1) 3456 x 108 em notação científica 3,456 x 1011

diminui aumenta

3 casas 3 casas

2) 0,0028 x 1015 em notação científica 2,8 x 1012

aumentou diminuiu

3) 5438,25 x 10-12 em notação científica 5,43825 x 10-9

diminuiu aumentou

4) 0,000037 x 10-20 em notação científica 3,7 x 10-25

aumenta diminui de

5 casas -20 para -25

REGRA BÁSICA

Diminui de um lado aumenta do outro e vice-versa.





UE 02: Unidades de medidas


UNIDADES DE COMPRIMENTO

km hm dam m dm Cm mm

UNIDADES DE SUPERFÍCIE

km2 hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

UNIDADES DE VOLUME

km3 hm

3 dam

3 m

3 dm

3 cm

3 mm

3

Cada “pulinho” arrasta a vírgula 3 casas.

OBS.:

1 Are = 10m x 10m

1Ha = 1 Hectare = 100 Are = 100m x 100m

1 Ca = 1 Centiare = 0,01 Are = 1m2

MEDIDA DE VOLUME (LITRO)

1 Litro = 1dm3

ou 1 Litro = 1000 cm3

CUIDADO: 1 litro não é 1 kg!

1 litro é somente igual a 1kg de água destilada a 4º C sob pressão de 1 atm.

k h da d c m

Cada pulo arrasta a vírgula 1 casa.

RELAÇÃO ENTRE m3 E LITRO

km3 hm

3 dam

3 m

3 dm

3 cm

3 mm

3

1 = 1 dm3

UNIDADES DE MASSA

kg hg dag G dg cg mg

SISTEMA SEXAGESIMAL

10h e 30min = 10h30‟

8h e 45min = 8h45‟

2h 32 min e 18s = 2h32‟18”

SISTEMA DECIMAL

k h da d c m

10h e 30min = 10,5h

4 h e 18min = 4,3h Obs.: 6min = 0,1h

5h e 45min = 5,75h

0,1 mês = 3 dias

0,1 ano comercial = 36 dias





UE 03: Unidades de medidas aplicações


1) Uma casa tem dez janelas , cada uma com quatro vidros retangulares e iguais, de 0,45 m de

comprimento e 0,40 m de largura . Cada vidro custa R$0,25 o dm2 e a mão de obra para colocá-lo ,

R$4,00 por janela . A importância a ser gasta para colocar os vidros nessas janelas é:

a)R$ 44,50

b)R$ 220,00

c)R$ 225,00

d)R$445,00

e)R$450,00

2) Em uma fotografia aérea , um trecho retilíneo de uma estrada que mede 15 km possui 5 cm;

nessa mesma fotografia, aparece um desmatamento de 9 cm2. O valor real do desmatamento, em

km2, é de

a) 3

b) 9

c) 27

d) 81

3) Um paciente está recebendo, por via intravenosa, em um período de 6 horas, um frasco de 2.400

cm3 de soro fisiológico. O aparelho de aplicação do soro tem um fluxo constante , medido em

gotas por minuto. Se 1 cm3 equivale a 18 gotas, pode-se estimar que o fluxo do aparelho, em

gotas por minuto, é:

a) 120

b) 140

c) 160

d) 180

4) Uma senhora comprou 4 m de fazenda a R$12,00 o metro. No entanto, o metro do lojista

media 2

cm a mais. A quantia que o lojista deixou de ganhar pelo tecido vendido é:

a) R$ 0,81

b) R$ 0,96

b) R$ 1,08

c) R$ 1,20

5) Um barril cheio de água pesa 1.160 g e com água até metade de sua capacidade , 6,5 hg . O

peso do barril vazio , em kg , é:

a) 0,07

b) 0,12

c) 0,14

d) 0,25

6) Uma maquete de um prédio , feita na escala 1 : 1000 , a piscina , com a forma de um cilindro

circular reto, tem a capacidade de 0,6 cm3. O volume, em litros, dessa piscina será:

a) 600

b) 6.000

c) 60.000

d)600.000

7) Ao reforma-se o assoalho de uma sala , suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. A s

tábuas medem 3m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos , 20 cm por 7,5 cm. O número

de tacos necessários para essa substituição foi:

a) 1029

b) 1050

c) 1470

d)1500

8) Supondo–se que 48 quilogramas de chumbo custam o mesmo que 56.000 gramas de aço e 7

quilogramas de aço custam R$ 300,000, o preço de 150 quilogramas de chumbo é:

a) R$ 7.500,00

b) R$ 9.000,00

c) R$ 12.600,00

d) R$ 13.500,00

9) Uma caixa de fósforos tem 1 cm de altura e o comprimento tem 2 cm mais que a largura. Se o

volume da caixa é de 24 cm², o comprimento da caixa , em metros , é:

a) 0,04 b) 0,05 c) 0,06 d) 0,10 e) 0,12

10) Se um tijolo, dos usados em uma construção, pesa 4,8 kg, então um tijolinho de brinquedo feito

do mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará:

a) 75g b) 300g c) 1.728g d) 1.200g

GABARITO

01. B 06. D

02. D 07. C

03. A 08. A

04. B 09. C

05. C 10. A




UT 04: Matemática Comercial

UE 01: Razão


Razão é o quociente entre dois números.

Alguns casos particulares:

v

md

t

t

mt

dv

área

PopulaçãoD

al

ObjetoEscala

Re

100%

ii

devedor

aumentojuros

Ex.01)Um motorista dirige seu carro da cidade X até a cidade Y, distantes entre si 100km, a uma

velocidade média de 30km/h, e volta pelo mesmo percurso, a uma velocidade média de 60km/h.

Nesse caso, é correto afirmar que a velocidade média desenvolvida pelo motorista em todo o

percurso é de

a) 40km/h

b) 45km/h

c) 47,5km/h

d) 50km/h

Média Harmônica

Usamos sempre que dois objetos não estão em harmonia.

Ex.02) Em uma viagem Rio-São Paulo, metade da distância foi percorrida com um rendimento de

11 km/l de combustível, e a outra metade , com rendimento de 9 km/l. O rendimento da viagem

toda foi de :

a) 9,8 km/l

b) 9,9 km/l

c) 10 km/l

d) 10,1 km/l

e) 10,2 km/l

Suponha que a distância entre Rio - São Paulo seja 99km.

Para sabermos a quantidade de combustível usada devemos dividir a distância percorrida pelo

consumo de cada trajeto.





UE 02: velocidade relativa


Velocidade Relativa!!!

Sentidos Opostos

Somamos as velocidades

Mesmo sentido

Subtraímos as velocidades

QUESTÃO DE CONCURSO

Ex.03)Maurício e Julinho brincam com seu cachorro numa praia. Estão inicialmente separados por

uma distância de 100 metros e começaram a caminhar cada um em direção ao outro, um deles com

velocidade de 2 metros por segundo e o outro com velocidade de 3 metros por segundo.

Neste mesmo instante o cachorro, que estava junto de um deles começa a correr em direção ao outro

e, chegando, volta imediatamente ao primeiro recomeçando tudo outra vez até que Julinho e

Maurício se encontrem.

Quantos metros, ao todo, terá percorrido

O cachorro se mantiver uma velocidade

De 8 metros por segundo?

a) 100 metros

b) 120 metros

c) 140 metros

d) 160 metros

e) 180 metros

RESPOSTA :

ALTERNATIVA D

Ex.04)Um coelho está 80 metros à frente de uma raposa que o persegue. Enquanto o coelho

percorre 19 metros, a raposa percorre 21 metros. Quantos metros a raposa deverá percorrer para

alcançar o coelho?

...11

21 nn

nM h

A) 760

B) 840

C) 441

D) 560

RESPOSTA :

ALTERNATIVA B

Solução: Enquanto o coelho corre 19 metros a raposa percorre 21 metros, portanto a raposa aproxima 2

metros do coelho.

Suponha que a velocidade do coelho seja de 19m/seg e a da raposa 21m/seg, assim , a cada segundo

a raposa aproxima-se do coelho de 2 metros;

Porém ela precisa cobrir uma distância de 80 metros, portanto correrá durante 80 ÷ 2 = 40

segundos.

Como sua velocidade sugerida foi de 21m/s ela correrá 40 x 21 = 840 m.





UE 03: escala


Escala: utilizada em mapas ,maquetes e projetos.

real

objeto

Tamanho

TamanhoE

Ex.05)Numa maquete de um condomínio a escala utilizada é de 1 : 1000 e uma piscina cilíndrica

possui 0,6 cm3 de volume. Determine, em litros, a capacidade da piscina:

a) 600

b) 6000

c) 60.000

d) 600.000

Solução: Sabe-se que 1 cm3 = 1 ml e que 1 dm

3 = 1 litro

A escala é linear, portando só mede uma dimensão , então teremos que usá-la 03 vezes, pois o

volume é uma grandeza de 03 dimensões. Assim sendo:

litros 000.6001000

1000.1000.1000.6,0

Conclusão: Para usar a escala devemos observar que

Comprimento → usá-la 01 vez

Área → usá-la 02 vezes

Volume → usá-la 03 vezes

Ex.06) Um tijolo pesa 4,8 kg, uma miniatura 4 vezes menor, feita do mesmo material, pesará

quantos gramas?

a) 1200 g

b) 300 g

c) 75 g

d) 750 g

RESPOSTA :ALTERNATIVA C

Solução: Massa ocupa volume, portanto temos que usar a escala três vezes:

4800 : 4 = 1200

1200 : 4 = 300

300 : 4 = 75 gramas

Ex.07)Em um mapa na escala 1:10.000.000, a distância entre dois

Pontos é de 2,5 cm. Assim sendo,

No terreno, a distância entre esses

Pontos é de:

a) 5 km

b) 100 Km

c) 250 Km

d) 1.000 Km

RESPOSTA:ALTERNATIVA C

Ex.08) O números de aeronaves entre 04 empresas brasileiras é distribuído da seguinte maneira:

• TAM: 1/3 da frota brasileira

• GOL: 1/3 do restante

• TRIP: 1/3 do restante

• AZUL: 80 aeronaves

O total de aeronaves desse grupo brasileiro é:

a) 270 aeronaves

b) 300 aeronaves

c) 360 aeronaves

d) 540 aeronaves

FROTA

1/3= TAM1/3 = GOL

2/3 = Rest

2/3 = Rest

2/3 = AZUL

80 aviões

1/3 = TRIP

26

aeronaves 270 x

frota da 3

2 de de

803

2

3

2

3

2

803

2

3

2

x





UE 04: Proporções : sistema de cotas


Grandezas diretamente proporcionais

Dada a sucessão de valores ( a1, a2, a3, a4,...), dizemos que estes valores são diretamente

proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, b4,...) quando forem iguais as

razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.

.....b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1

O resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de números diretamente

proporcionais é chamado de fator de proporcionalidade.

Exemplo:

Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30

respectivamente, pois as razões ,12

6,

14

7

20

10 e

30

15 são todas iguais, sendo igual a

2

1 o fator de

proporcionalidade da primeira para a segunda.

Como se pode observar, as sucessões de números diretamente proporcionais formam

proporções múltiplas.

Grandezas inversamente proporcionais

Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4,...), todos diferentes de zero, dizemos que estes

valores são inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, b4,...),

todos também diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das

sucessões e o valor correspondente da outra.

Exemplo: Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20 12 e 5, nesta ordem, pois

os produtos 2x30, 3x20, 5x12 e 12x5 são todos iguais.

Relação entre proporção inversa e proporção direta

Sejam duas sucessões de números, todos diferentes de zero. Se os números de uma são

inversamente proporcionais aos números da outra, então os números de uma delas serão

diretamente proporcionais aos inversos dos números da outra.

Esta relação nos permite trabalhar com sucessões de números inversamente proporcionais

como se fossem diretamente proporcionais.

Divisão em partes diretamente proporcionais

1º caso: Divisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, c, ..., significa

encontrar os números A, B, C, ..., tais que

c

C

b

B

a

A A + B + C +...= N

Ex.09)Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, quanto pesa um tijolo e meio:

RESPOSTA: 3 quilos

Dicas de proporcionalidade: uso de cotas

bd

ac

d

c

b

a

pdkb

pcka

db

ca

d

c

b

a

2

2

2

2

Ou seja, o que se faz em cima , se faz em baixo!!!

Ex.10)Se a razão entre dois números x e y é 3/5 e a soma deles é 64, então estes números serão:

É só pensarmos em cotas(como em uma empresa!)

X tem 3 cotas e y tem 5 cotas, a empresa toda tem 8 cotas e se ela vale 64, cada cota vale: 64 : 8 =

8, daí x = 3x8 = 24 e y = 5x8 = 40

Ex.11) Se os números a,b e c são proporcionais a 3,4 e 5 e 3a - 2b + c = 36, determine os valores de

a,b e c.

3065

2464

1863

66

36

54.23.3

23

3623

543

xc

xb

xa

cba

cba

cba

Portanto

cota) da (valor

1. O montante de uma aplicação é diretamente proporcional ao capital investido. Três

investidores aplicaram, respectivamente, capitais de R$2.000,00, R$3.000,00 e R$4.000,00. Se

o montante total recebido pelos três foi de R$10.800,00, quanto desse montante cabe a cada

um deles?

RESPOSTA:

2.400, 3.600 e 4.800





UE 05: Proporções : cotas x Juros


2. Os juros de uma aplicação devem ser diretamente proporcionais ao capital investido e à

taxa de juros da aplicação. Três investidores aplicaram, durante o mesmo período, seus

capitais de R$200,00, R$300,00 e R$500,00 a taxas de juros mensais de 4%, 3% e 2%,

respectivamente.

Sabendo que o total dos juros das três aplicações foi de R$270,00, determinar que parte desse

total cabe a cada investidor.

RESPOSTA:

80, 90 e 100

03. Dois sócios, A e B, abriram uma empresa com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00,

respectivamente. Quando a sociedade completou o seu quinto mês de existência, A investiu

mais R$ 1.000,00 na empresa.

Dois meses depois desta data, B aumentou a sua participação para R$ 6.000,00. Ao fim de um

ano de atividades, verificou-se um lucro de R$ 2.400,00. Que parte deste lucro coube ao sócio

A?

RESPOSTA:

1100.

(UNB)Uma empresa tem em seu quadro de pessoal 84 empregados, e a razão entre o número

de homens e mulheres é, nessa ordem, igual a 4/3. A propósito dessa situação, julgue os itens a

seguir.

04.( ) (UnB/Assistente/FUB/2008) O número de mulheres no quadro de pessoal dessa empresa

é superior a 38.

RESPOSTA:

ERRADA

05.( ) (UnB/Assistente/FUB/2008) Ao se somar 2/3 do número de mulheres a 75% do número

de homens dessa empresa,obtém-se um número racional não inteiro.

RESPOSTA:

ERRADA





UE 06: Proporções : Sistema de cotas e fracionários


06.Um avicultor afirmou que 2/5 dos ovos de sua granja eram do tipo “extragrande”, sendo o

restante do tipo “grande”. Posteriormente verificou-se que um em cada oito ovos classificados como

“extragrandes” era, na verdade,

“grande” e que um em cada oito ovos classificados como “grandes” era, na verdade, “extragrande”.

Do total de ovos que este avicultor produzia, a porcentagem de ovos “extragrandes” era de:

a) 42,5%

b) 45%

c) 55%

d) 57,5%

RESPOSTA:ALTERNATIVA A

07.(FUNDEP)ara calcular o comprimento do segmento AB, usam-se duas unidades de medida.

Representadas por U e V, essas unidades correspondem a 1/5 e 1/6 de AB, respectivamente.

Considere um ponto F sobre AB.

Se a medida de AF com a unidade U é 2, então a medida de AF com a unidade V é:

a) 0,1

b) 1,2

c) 1

d) 2,4

RESPOSTA:ALTERNATIVA D

Grandezas direta e inversamente proporcionais

somado número

cada por mosmultiplica cota da valor x

números

Total

Números Fracionários: Tiramos o mmc e trabalhamos com os novos numeradores , que serão as

novas cotas;

Inversamente: Invertemos os números;

Simultaneamente :

A) Diretamente proporcionais a a e b e inversamente proporcionais a c e d:

Resumindo: diretamente vai para cima e inversamente vai para baixo!!!!!

Ex.12) Dividir 360 em partes proporcionais a 3,4 e 5.

É como se fosse uma empresa e as cotas de cada sócio fossem em números de 3,4 e 5, logo a

empresa tem um total de 12 cotas e se ela vale 360, então cada cota vale:

360 12 = 30, assim teremos:

3x30 = 90

4x30 = 120

5x30 = 150

Ex.13)Dividir 470 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5

Solução:

A divisão será diretamente proporcional a : 1/3 ,1/4 ,1/5;

Tirando o mmc teremos

60

12,

60

15,

60

20

Logo, os novos denominadores 20, 15 e 12 serão as novas cotas, daí:

470 ÷ 47 = 10( valor de cada cota) Assim :

10x 20 = 200;

10 x 15 = 150

10 x 12 = 120

Ex.14)Leo, Teo e Beto têm 11, 13 e 16 anos, respectivamente. Se eles recebem mesadas

proporcionais às suas idades e Beto recebe R$50,00 a mais que Leo, quanto recebe Teo?

R$130,00 10 x 13 receberá Teo Portanto

R$10,00 ano 1 logo

R$50,00, anos 5

Betox

Teox

Leox

kmesada

16

13

11

40

Ex.15)Três sócios: Miguel, Pedro e João, lucraram juntos R$ 38.000,00.Miguel investiu R$

5.000,00 durante 1 ano; Pedro investiu R$ 4.000,00 durante 6 meses e João investiu R$ 6.000,00

durante 5 meses. A parte do lucro que Pedro recebeu foi de:

a) R$ 20.000,00

b) R$ 10.000,00

c) R$ 08.000,00

d) R$ 06.000,00

Solução :

Miguel : 5000 x 12 = 60 quotas

Pedro : 4000 x 6 = 24 quotas

João : 6000 x 5 = 30 quotas

Logo teremos:

Pedro = 38000 : 114 x 24 = 8.000

Ex.16)(CESPE/BRB) Uma empresa decidiu agraciar os empregados Antônio, Pedro e João, que

tiveram a menor quantidade de faltas ao serviço durante o ano passado, com 42 cotas de

determinado título de capitalização. Antônio, Pedro e João registraram, respectivamente 3,5 e 6

faltas, e a empresa destinará a cada um deles uma quantidade de cotas inversamente proporcional ao

número de suas faltas. Dessa forma, o número de cotas destinadas a Antônio será igual a:

a) 07

b) 10

c) 12

d) 14

e) 20

Resp.: E





UE 07: Proporções : Grandezas diretamente e inversamente proporcionais


Ex.17)Um biólogo capturou 60 araras de uma mata e colocou um anel de Identificação em cada uma delas. Em seguida, soltou elas na mesma mata. Alguns dias depois, o biólogo capturou novamente 60 araras dessa mata e somente 15 tinham o anel de identificação. Assim, é correto afirmar que, nessa mata deve haver aproximadamente: a) 180 araras b) 240 araras c) 280 araras d) 320 araras Resp.: B Ex.18)O governo dispõe de uma verba de R$ 140.000.000,00 para equipar a Polícia Militar, a Polícia Civil e o Corpo de Bombeiros. Esse valor deverá ser dividido entre essas corporações em partes respectivamente proporcionais a

Nesse caso, o valor a ser alocado ao Corpo de Bombeiros será de: a) R$ 80.000.000,00 b) R$ 90.000.000,00 c) R$ 92.000.000,00 d) R$ 95.000.000,00 Resp.: B

Ex.19)O montante de uma aplicação é diretamente proporcional ao capital investido. Três

investidores aplicaram, respectivamente, capitais de R$2.000,00, R$3.000,00 e R$4.000,00. Se o

montante total recebido pelos três foi de R$10.800,00, quanto desse montante cabe a cada um

deles?

RESPOSTA:

2.400, 3.600 e 4.800

Ex.20)Os juros de uma aplicação devem ser diretamente proporcionais ao capital investido e à taxa

de juros da aplicação. Três investidores aplicaram, durante o mesmo período, seus capitais de

R$200,00, R$300,00 e R$500,00 a taxas de juros mensais de 4%, 3% e 2%, respectivamente.

Sabendo que o total dos juros das três aplicações foi de R$270,00, determinar que parte desse total

cabe a cada investidor.

RESPOSTA:

80, 90 e 100

Ex.22)Julgue os itens abaixo:

a) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra também

aumenta na mesma proporção.

b)Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra aumenta na

mesma proporção.

c)Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra diminui na

mesma proporção.

d)Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra também

diminui na mesma proporção.

e)O número de ganhadores de um único prêmio de uma loteria e a quantia recebida por cada

ganhador são grandezas inversamente proporcionais Resp.; C-E-C-E-C





UE 08: Regra de três


Chamamos de regra de três ao processo de cálculo utilizado para resolver problemas que

envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Quando o problema envolve somente duas grandezas é costume denominá-lo de problema

de regra de três simples.

Exemplos: Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5.00, então, quanto custarão 6 bilhetes?

As grandezas são: o número de bilhetes e o preço dos bilhetes.

Um automóvel percorre 240 KM em 3 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 4 horas?

As grandezas são: distância percorrida e tempo necessário.

Poderemos chamar a regra de três simples de direta ou inversa, dependendo da relação existente

entre as duas grandezas envolvidas no problema.

Quando o problema envolve mais de duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra

de três composta.

Resumindo:

1) Escrever a pergunta e depois os outros dados:

PERGUNTA 1º DADO 2º DADO 3º DADO

2) Comparamos cada dado com a pergunta separadamente:

AUMENTOU AUMENTOU DIRETAMENTE

AUMENTOU DIMINUIU INVERSAMENTE

3) Colocamos os números, invertemos os Is e multiplicamos cruzado!

º

º

º2

n

n

dado

nºx

nºnº

dado 1ºPergunta

Ex. 20 operários cavam 400 metros de um poço, em 15 dias de 8 horas. Em quantos dias de 9 horas,

15 operários cuja capacidade de trabalho é três vezes a dos primeiros, poderão fazer 900 metros de

um outro poço, cuja dificuldade de cavar seja 3/5 da do primeiro?

I I D I D

Dias Oper h/d Metros Capac Dificuld

5/33900915

1140082015

/

x

difcapmdhopdias

DIDII

Agora vamos inverter os Is( grandezas inversas ) :

5/31900820

1340091515

/

x

difcapmdhopdias

DIDII

Assim o número de dias será:

dias. 8 15.9.400.3.1

5/3.1.900.8.20.15x

Ex.24)Um gato e meio come um rato e meio em um minuto e meio. Em quanto tempo 100 gatos

comerão 200 ratos?

Tempo gatos ratos

1,5 1,5 1,5

x 100 200

I D

Invertendo, teremos:

3100.5,1

200.5,1.5,1





UE 09: Regra de três :Questões


Ex.25) A faz uma peça em 9 dias. B é 50% mais eficiente que A. Então, o número de dias que B

deverá demorar para fazer a mesma peça é:

a) 3

b) 4

c) 9/2

d) 6

Letra D

Solução: Inversa

Dias

9

Eficiência

100%

x 150%

6150

1009x

102 Ex.26)Certo trabalho pode ser realizado por 16 digitadores em 20 dias, trabalhando 6 horas diárias.

Para executar metade desse trabalho em 16 dias, 12 digitadores teriam que trabalhar diariamente:

a) 4 horas c) 6 horas

b) 5 horas d) 7 horas

alternativa B

Ex.27)(F.C.Chagas/Téc. Jud./TRE/Acre/10-03) Uma impressora trabalhando continuamente

emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no

total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão

realizar o trabalho em 1 hora e

a) 30 minutos. b) 35 minutos.

d) 45 minutos. c) 40 minutos.

e) 50 minutos.

Alternativa A

Ex.28)Hoje, Filomena gastou 3 horas de trabalho ininterrupto para digitar 3/5 do total de páginas de

um texto e, amanhã, Gertrudes deverá digitar as páginas restantes. Considerando que a capacidade

operacional de Gertrudes é 80% da capacidade

de Filomena, então, o esperado é que Gertrudes

digite a sua parte em

(A) 2 horas.

(B) 2 horas e 30 minutos.

(C) 3 horas.

(D) 3 horas e 30 minutos.

(E) 4 horas.

Alternativa B

Ex.29)Um automóvel poderia rodar 6 horas consecutivas, sem ser reabastecido, se partisse com um

tanque de gasolina completo. Entretanto, tendo partido com um vazamento no tanque, rodou

somente por 4 horas, logo após ter completado o tanque . Quanto tempo foi necessário para que

1/20 da gasolina do tanque fosse perdido pelo vazamento ?

Solução:

Tanque cheio: rodaria 6 horas

Tanque furado: 4 horas

Portanto vazou 2 horas

Ou seja, um terço do tanque vazou durante um período de 4 horas, que foi o tempo que ele rodou.

Comentário:

Assim, teremos:

Tempo(minutos)

240

Vazamento

1/3

X 1/20

X = 36 minutos

108





UE 10: Problema das torneiras


O Macete é : Média harmônica!

JuntasRRTTT

1...

11...

111

21321

Ex.30) Um tanque tem três torneiras. A duas primeiras o enchem, sozinhas , respectivamente em 4h

e 6h. A terceira o esvazia em 3h. Quantas horas serão necessárias para enchê-lo se as três torneiras

ficarem abertas e o tanque já estiver cheio com ¾ de sua capacidade ?

Solução

Em uma hora elas farão:

x

1

3

1

6

1

4

1

12

12

12423

x

x

xxx

33.Paulo demora 5 dias a mais do que Pedro para fazer um serviço. Se juntos fazem o serviço em 6

dias, em quanto tempo cada um faz o serviço individualmente ?

a) 3 e 10

b) 10 e15

c) 3 e 8

d) 9 e 14

gabarito ;B





UE 11: Porcentagem: conceitos básicos


Porcentagem

As frações que apresentam denominadores iguais a 100 são chamadas também de razões

centesimais e podem ser representadas pelo símbolo %.

Por exemplo, as razões 100

3 , 100

108 , 100

75 , 10015 podem ser representadas por 3%, 10,8%, 75%, 15%,

respectivamente.

A partir dessas considerações, podemos escrever as seguintes igualdades:

a) 3% = 100

3 = 0,03

b) 50% = 10050 = 0,50 =

5025 = 1

2

c) 7,5% =1007,5 =

100075 = 0,075

Os problemas que envolvem porcentagem são, em geral, resolvidos utilizando-se os conhecimentos

sobre frações, razões e regra de três.

Para resolvermos problemas envolvendo desconto ou juros, basta usarmos a seguinte regra:

DESCONTO / PREJUÍZO: 100 - i (%)

JUROS / LUCRO: 100 + i (%)

Exemplo:

a)Uma loja está oferecendo 15% de desconto para pagamento à vista na compra de um automóvel

que custa R$ 8.000,00. Quanto uma pessoa irá pagar por esse carro, à vista?

100 - 15 = 85% => 85

100 . 8.000,00 = 6.800,00

Resposta: Ela pagará R$ 6.800,00.

b)Efetuando o pagamento do imposto predial após o vencimento, uma empresa pagou R$ 30,00 de

multa. Como o imposto devido era de R$ 1.200,00, qual a taxa de multa ?

100 1200 => x = 12003000 = 2,5%

x 30

Portanto, taxa de multa foi de 2,5% do imposto devido.

Podemos resolvê-lo utilizando razões:

i = 301200

= 0,025 x 100 = 2,5%

Obs.: Dadas diversas porcentagens, elas só podem ser adicionadas quando se referem a um mesmo

número. Além disso, se um todo é dividido em partes, as porcentagens correspondentes,

adicionadas, dão um total de 100%.

Resumindo: Porcentagem

i: taxa proporcional

i/100: taxa unitária

20% = 20/100 = 0,2

Referencial = 100% Aumento, lucro, juros : 100 + i%

Desconto, desvalorização, prejuízo : 100 – i%

36) Se seu salário subiu 32% e os preços subiram 10%, no mesmo período, de quanto aumentou o

seu poder de compra?

Solução:

Compra x Aumento = Salário

Compra . 110% = 132%

Compra = 132/110

Compra = 1,2 = 120% , ou seja, o seu poder de compra aumentou de 20%

Descontos ou aumentos sucessivos: 20% de 30% de 40% é o mesmo que :

0,2 . 0,3 . 0,4 = 0,024 x100% =

2,4% do total

Resumo:

aumento:

%100.VP

VPVA

índice de atualização: VA VP 1 + ia

VA = valor atual

VP = valor anterior

ia = taxa de atualização





UE 12: Aumentos e descontos sucessivos


Ex.37)Uma mercadoria sofre um aumento de 20% e logo depois, a título de promoção, um desconto

de 30%, assim:

120% (aumento de 20%)

70% ( desconto de 30%)

70% de 120% = 0,7 . 1,2 = 0,84 = 84% , ou seja,

O comerciante teve

um prejuízo de 16%.

Ex.30) As ações de uma certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses é correto afirmar que: a) o valor das ações permaneceu inalterado; b) as ações desvalorizam 7,84%; c) as ações valorizaram 7,84%; d) as ações desvalorizaram 8,48%; solução:

1,2 x 1,2 x 0,8 x 0,8 = 0,9216

Ou seja,

Queda de -0,0784 = 7,84%

Ex.31)Uma lavoura de 50 hectares de soja foi infectada por certo fungo, e a perda média é de 8%

por quinzena. Se não for combatido, no final de dois meses, esse fungo reduzirá essa lavoura a um

número de hectares

a) menor que 34.

b) entre 34 e 38.

c) entre 38 e 41.

d) maior que 41.

Solução:

Perda de 8% é mesmo que multiplicar por 0,92 por quinzena.

Dois meses = 4 quinzenas

Portanto faremos:

50 x 0,924 = 50 x 0,71639296

= 35,819648 hectares

Letra B

39.(F.C.Chagas/Téc. Jud./TRT - 24ºR/08-03) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de

seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação

ao preço inicial, o preço final apresenta

a) uma diminuição de 10%.

b) uma diminuição de 2%.

c) um aumento de 2%.

d) um aumento de 8%.

e) um aumento de 10%.

Letra D

40.(F.C.Chagas/Aux. Jud./TRT - 22ºR/11-04) Dos funcionários de uma empresa sabe-se que o

número de mulheres está para o de homens, assim como 12 está para 13. Relativamente ao total de

funcionários dessa empresa, é correto afirmar que o número de funcionários do sexo feminino

corresponde a

a) 40%

b) 42%

c) 45%

d) 46%

e) 48%

Letra E





UE 13: Porcentagem x estatística


Ex.41) Antonio ganha 30% a mais que Beatriz e Carlos, 20% a menos que Antonio. Se a diferença

entre os salários de Antonio e de Carlos e de R$ 130,00, qual é o salário de Beatriz?

Ex.33) (Cespe – INSS) A falta de informações dos micros e pequenos empresários ainda é o

principal motivo para a baixa adesão ao SIMPLES – o sistema simplificado de pagamento de

impostos e contribuições federais. Segundo pesquisa realizada pela Serviço Brasileiro de Apoio às

Micro e Pequenas Empresas (SEBRAE) junto a 1.312 empresas, entre 19 e 31 de março, a adesão

ao SIMPLES apresentou o resultado mostrado no gráfico abaixo.

Não podem aderir. (17%)

Não pretendem aderir. (3%)

Já aderiram. (39%)

Ainda não decidiram. (22%)

Vão aderir. (19%)

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem:

a) O número de empresas consultadas que ainda não decidiram aderir ao SIMPLES é inferior a

280.

b) Mais de 260 empresas consultadas não podem ou não pretendem aderir ao SIMPLES.

c) Entre as empresas consultadas, a porcentagem das que já se decidiram em relação ao

SIMPLES é superior a 74%.

d) Entre as empresas consultadas que podem aderir ao SIMPLES, mais de 25% ainda não se

decidiram.

Resp.: E – C – C – C

Ex.34)(Cespe – BB) IPCA e INPC têm nova fórmula A partir de agosto deste ano, a apuração do Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) e do

Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) tem novas estruturas e ponderação. Com base na

Pesquisa de Orçamento Familiar (POF) de 1996, a equipe do departamento de índices do IBGE

repassou os hábitos de consumo e estabeleceu nova relação entre a quantidade, o preço e a

participação de cada um dos produtos que compõem a lista de itens pesquisados no orçamento das

famílias brasileiras.

Veja, nos gráficos abaixo, a evolução da participação percentual de cada item na apuração do IPCA.

Até julho de 1999

A partir de agosto de 1999

Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem, relativos ao cálculo do IPCA.

I-A partir de agosto, o item “Saúde e cuidados pessoais” passou a ter maior participação do que

tinha até julho de 1999.

II - A partir de agosto, o item “Vestuário” passou a ter menos da metade da participação que tinha

até julho de 1999.

III - Até julho, a participação atribuída ao conjunto dos itens “Transporte”, “Alimentação e

bebidas”, “Comunicação” e “Educação” era maior que a participação atribuída a esse mesmo

conjunto a partir de agosto de 1999.

IV - A partir de agosto, a participação do item “Comunicação” aumentou mais de 90% com relação

à que tinha até julho de 1999.

A quantidade de itens certos é igual a:

a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

Resp.: E





UE 14: Operações com Mercadoria


OPERAÇÕES COM MERCADORIAS

A porcentagem está relacionada, freqüentemente, no mercado financeiro e na contabilidade

principalmente nas operações de compra e venda, onde tais percentuais são calculados em relação

ao preço de venda ou ao preço de custo.

Para simplificar destacaremos apenas os seguintes valores nestas transações:

C = preço de custo

L = valor do lucro (ou juros)

V = preço de venda

P = valor do prejuízo (ou desconto)

Dessa maneira, é fácil concluir que, numa transação comercial, são válidas as seguintes relações:

C + L = V

C - P = V

Ou seja, quando houver lucro teremos C < V e quando houver prejuízo C > V.

Para conseguirmos compreender as operações com mercadorias, observemos os quadros abaixo:

OPERAÇÕES COM MERCADORIAS

SOBRE O PREÇO DE CUSTO SOBRE O PREÇO DE VENDA

Lucro (juros) Prejuízo (desconto) Lucro (juros) Prejuízo (desconto) C 100% C 100% V 100% V 100% V 100 + i V 100 - i C 100 – i C 100 + i

i = taxa porcentual

Exemplo: 1. O custo total de um objeto é de R$ 200,00. Por quanto deve ser vendido esse objeto para que

se obtenha um lucro equivalente a 40% do custo? Que porcentagem representa o lucro, quando

relacionado com o preço de venda?

Resolução:

L = 40% de C = 40% . C = 0,40.200 = 80,00

Portanto, o preço de venda é de R$ 280,00

vL = 80

280 = 0,2857 = 28,57%

Resposta: O preço de venda é de R$ 280,00 e o lucro é de 28,57% em relação ao preço de venda.

2. O custo total de um objeto é de R$200,00. Por quanto deve ser vendido esse objeto para que

se obtenha um lucro equivalente a 40% do preço de venda? Que porcentagem representa o lucro,

quando relacionado com o preço de custo?

Resolução:

Como L+C=V e L=40% de V=0,40V,

teremos: 0,40+C=V C=0,60V

V = 0,6

C = 0,6

200 = 333,33

Logo: L = V -C = 333,33 - 200,00 = 133,33

C

L = 200,00

133,33 = 0,6667 = 66,67%

outro modo:

V 100

200 60 V =

60

100 200. = 333,33 L = 133,33

Resposta: O objeto deve ser vendido por R$ 333,33 e o lucro é equivalente a 66,67% de custo.

Comparando os dois exemplos concluímos que o lucro calculado sobre o preço de venda é maior do

que o lucro calculado sobre o custo, assim como o prejuízo também será maior.

Ex.35)Paulo comprou um aparelho de som e o revendeu com um lucro de 20% sobre o preço de

venda.

Nesse caso,o lucro que Paulo obteve sobre o preço de compra é de:

a) 10% c) 25%

b) 20% d) 40%

Resp.: C

Ex.36) Um lucro de 25% sobre o preço de custo de uma mercadoria correspondente a quanto por

cento se for calculado sobre o preço de venda?

Ex.37) Um prejuízo de 50% sobre o preço custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento

do preço de venda?

OBSERVAÇÃO:

Quando uma porcentagem se refere a um número que está relacionado com outra porcentagem, não

podemos adicionar as porcentagens, devemos primeiro aplicar uma porcentagem e, sobre o

resultado obtido, aplicar a outra.





UE 15: Parcelas iguais com e sem entrada


Problemas com 2 parcelas iguais

( Preço Total - Entreda ) 1, i = Entrada ou

%200

%)100(PrPr

eçoàvistaestação

Ex.: Um objeto à vista custa R$ 430,00 , será parcelado em duas vezes iguais ( entrada mais 30 dias

) , com uma taxa de juros mensal de 15% . Se as parcelas são iguais o valor de cada parcela é:

00,230$215

115430RParcela

Como ficaria a montagem se não houvesse entrada, ou seja, 30 e 60 dias?

(430,00 x 1,15 – parcela)x1,15 = parcela

E se fossem 03 parcelas iguais,entrada , 30 e 60 dias?

P = parcela

[(430 – p) x 1,15 – p ] x 1,15= p

E assim por diante...

0 1 2 3 4

p p p p

x (1 + i)

Valor à

vista

menos

[email protected] (31) 9149 1462

(Valor à vista – P1) = saldo devedor

Saldo devedor x ( 1 + i ) = novo SD

Novo SD – P2 = novo SD

E assim por diante...

Para um número n parcelas o estudo é abordado em Rendas e amortização.

Ex.39) Pedro comprou uma

geladeira - cujo preço à vista é de

R$ 780,00 – em duas prestações,

que foram pagas em 30 e 60 dias da data

da compra. A loja cobrou juros de 6% ao

mês. A primeira parcela paga foi de

R$ 400,00. Então, o valor da segunda

parcela foi de:

a) R$ 426,80 c) R$ 450,60

b) R$ 447,60 d) R$ 452,40

Solução:

780 x 1,06 = 826,80

826,80 – 400,00 = 426,80

426,80 x 1,06 = 452,40 ( letra d)

Ex.40) Um liquidificador foi comprado segundo o seguinte plano de pagamento: uma entrada de

R$20,60 e mais uma parcela de R$20,60 em 30 dias. Se o consumidor pagou efetivamente uma taxa

de 3% ao mês, o valor à vista desse liquidificador era de:

Solução:

Temos que voltar ...

20,60 1,03 = 20,00

20,00 + 20,60(entrada)

= 40,60





UE 16: Taxas , reajustes e índices inflacionários


Campanha Anti-fumo

Comentário

Ex.46) A empresa “X-Tudo “ precisa dispensar 15% de seus funcionários para que possa dar o

aumento salarial exigido pelo sindicato. Com isto sua folha de pagamento sofrerá um aumento de

10,5%. Podemos concluir que o aumento médio salarial foi de :

a) 5,5%

b) 30%.

c) 25,5%

d) 57,5%

Solução: nº de funcionários x salário = folha de pagamento

85% x salário = 110,5%

Salário = 1,3 ou seja 130%

Aumento de 30%

Ex.47) Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se

que o preço da venda, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve por

parte do comerciante um:

a) lucro de 5%

b) prejuízo de 4%

c) lucro de 4%

d) prejuízo de 2%

e) lucro de 2%

Solução: 20% sobre o custo equivale a uma venda de 120%

20% de desconto é o mesmo que calcular 80% da venda,

ou seja :

80% de 120% = 96% , prejuízo de 4%

Ex.48) Um trabalhador gastava 30% do seu salário com aluguel. Após certo período seu aluguel

havia aumentado 700%, enquanto seu salário reajustado em 500%. Então, a porcentagem do salário

que ele passou a gastar com aluguel foi:

a) 34%

b) 38%

c) 40%

d) 42%

e) 45%

Solução: Aluguel Razão = 30% + aumento de 700% = 240%

Salário = 100% + aumento de 500% = 600%

entre eles

%40600

240





UE 17: Problemas envolvendo porcentagem


49.(F.C.Chagas/Téc. Jud./TRT - 17ºR/05-04) Atualmente, José gasta 17% do seu salário no

pagamento da prestação de um carro. Se a prestação for reajustada em 2% e o seu salário em 36%,

então, após os reajustes, a porcentagem do salário que ele gastará para pagar a prestação será

a) 12,75%

b) 12,5%

c) 12,25%

d) 11,75%

e) 11,5%

50.(F.C.Chagas/Téc Jud./TRE/BA/09-03) Comparando as quantidades de processos arquivados

por um técnico judiciário durante três meses consecutivos, observou-se que, a cada mês, a

quantidade aumentara em 20% com relação ao mês anterior. Se no terceiro mês ele arquivou 72

processos, qual o total arquivado nos três meses?

a) 182

b) 186

c) 192

d) 196

e) 198

Ex.51) O preço de um televisor está tabelado em R$ 1.050,00. Em promoção, esse aparelho foi

colocado à venda por R$ 892,50. O desconto foi de:

a) 0,10% c) 12%

b) 10% d) 15%

Solução:

É só dividirmos 892,50 por 1.050

Que resultará em 0,85, ou seja, 85% do valor inicial, portanto um desconto de 15%.

Letra d

52..Um comerciante vendeu um produto por R$ 1980 ,00, tendo um lucro de 10%. No dia seguinte,

vendeu outro produto por R$ 1980,00 e perdeu 10%. Com os dois negócios , ele teve um

a) prejuízo de R$ 40,00

b) prejuízo de R$ 80,00

c) lucro de R$ 180,00

d) prejuízo de R$ 220,00

Ex.53) Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens. Quantos homens devem

sair para que a percentagem de homens na sala passe a ser 98%?

a) 1

b) 2

c) 10

d) 50

Solução:

100 pessoas1 mulheres

99 homens

Nova porcentagem

1 mulher = 2%

X pessoas = 100% → x = 50 pessoas

1 mulher e 49 homens, portanto

saíram 50 homens.159

54.Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem

como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos

e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha

clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica

veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é:

a) 10 b) 20

c) 40 d) 70

alternativa: D





UE 18: Juros simples e compostos


JUROS E DESCONTOS

Introdução:

Ao se dispor a emprestar, o possuidor de dinheiro, para avaliar a taxa de remuneração para os

seus recursos, deve atentar para os seguintes fatores:

1. Risco: probabilidade de o tomador de empréstimo não resgatar o dinheiro.

2. Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a formalização do

empréstimo e à efetivação da cobrança.

3. Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo de

empréstimo.

4. Ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimento (“custo de

oportunidade”), justifica-se pela privação, por parte do seu dono, da utilização do capital.

Portanto, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a perda do

poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu aplicador.

Entretanto, o que ocorre no mundo financeiro atual é que muitas aplicações resultam em taxas

negativas de juros, quando considerado o efeito inflacionário.

Isto vem acontecendo com maior freqüência nos últimos anos, principalmente entre países em

que os preços internos tem-se elevado mais acentuadamente. Mas, na falta de melhor opção, e

obviamente o mais aconselhável é aplicar recursos a taxas negativas - e sofrer um pequeno prejuízo

do que deixar de aplicar e com isso sofrer um prejuízo muito maior.

Do ponto de vista do tomador do empréstimo, a taxa de juros é influenciada pelo uso que fará

dos recursos emprestados. A taxa de juros poderá ser tanto maior quanto for o grau de premência

desses recursos. Se o tomador pretende utilizar o empréstimo em um negócio qualquer, com

objetivo de lucro, sua despesa de juros deverá ser menor do que a receita prevista. No caso

específico dos Bancos e das Financeiras, as taxas de remuneração dos recursos captados devem ser

menores que as taxas cobradas nas operações de empréstimos ou financiamentos, sendo que a

diferença deve ser suficiente para cobrir as despesas e proporcionar lucro; o aspecto inflacionário,

neste caso, não é relevante, visto que as operações são normalmente “casadas”, isto é, os valores e

os prazos das operações de captação (obtenção de recursos) são normalmente compatíveis com os

valores e os prazos das operações de empréstimo ( aplicação de recursos).

Juros Simples

Capital é uma riqueza capaz de produzir renda sem a intervenção do trabalho. Ao associarmos

este conceito a idéia de juro, que é rendimento do capital, ou seja, o custo do uso do crédito.

Portanto, o juro corresponde simultaneamente ao preço do tempo de utilização de um capital e

ao preço do risco que corre o credor. E por estes motivos, a taxa de juro se eleva em função do

aumento de duração da operação ou quando não há garantias suficientes por parte do devedor.

A remuneração em dinheiro pelo empréstimo de um capital, a uma taxa e prazo determinados é

chamada de juros simples quando produzida apenas pelo capital inicial (ou principal).

Cálculo de Juro simples

100

CitJ

ou

J = Cit onde i é a taxa unitária equivalente a

100

%i

J: Juro C: Capital i: Taxa de juros t: Prazo de juros

Devemos levar em consideração o tempo utilizado na operação, onde a taxa e o prazo têm que

ser expressos na mesma unidade, ou seja:

Taxa mensal e o prazo mensal; se a taxa for anual o prazo deverá ser anual e assim

sucessivamente.

Os problemas de juros simples envolvem várias atividades financeiras, com taxas

proporcionais, equivalentes e etc.

Taxas proporcionais são assim chamadas se em razão de seus períodos (na mesma unidade de

tempo) formam uma proporção:

2

2

1

1

T

i

T

i

Ex.: As taxas 120% a.a. (ao ano) e 60% a.s. (ao semestre), 30 % a.t. (ao trimestre) e 10% a.m. (ao

mês) são proporcionais, pois ao transformá-las para mês, teremos:

1

10

3

30

6

60

12

120

MONTANTE

É o valor acumulado de um capital C somado com o juro do capital produzido no prazo

determinado.

M = C + J ou M = C (1 + in)

M: Montante

C: Capital inicial (principal)

J: Juros

i: Índice percentual (30% a.m. tem i =0,30 a.m.)

n: No de períodos (n e i estão na mesma unidade de tempo)

Ex.: Determine o montante produzido por um capital de R$100,00 aplicado à uma taxa de 7,5%

a.m. (juro simples), durante 6 meses.

Resolução:

C: 100

i: 7,5% ou 0,075

t: 6 meses ou n=6

M: ?

Se usarmos: M = C+J

14545100100

100.7,5.6100M

Usando: M= C (1 + in)

M= 100 (1+0,075 . 6)

M= 100 . 1,45

M= 145

Portanto o montante será de R$145,00.

Juro Comercial e Exato

Existem dois métodos para achar o número de dias entre duas datas do calendário, onde chegamos a

resultados diferentes, porém aproximados.

O tempo exato é aquele que nos dá o número preciso de todos os dias decorridos entre as duas

datas.

Tabelas financeiras apresentam os dias do ano através de números seguidos, o que torna simples a

tarefa de encontrar o total de dias desejado.

Ex.: Qual o tempo exato entre os dias 09 de maio e 16 de novembro do mesmo ano?

Resolução:

Dia 09 de maio é o 129o do ano e 16 de novembro é o 320

o do ano. Logo, entre

estas duas datas foram decorridos 191 dias, pois:

-

320 129

191

O tempo ordinário ou comercial é aquele que nos dá o número de dias entre duas datas,

considerando que cada mês tenha 30 dias.

Resolução:

Entre 09 de maio e 09 de novembro são decorridos 6 meses mais 7 dias até o dia 16 de novembro,

totalizando 187 dias, pois:

6 x 30 = 180 + 7 = 187 dias

Obs.: vários modelos de calculadoras financeiras calculam diretamente o tempo exato e o tempo

aproximado ou comercial entre duas datas.

Ex.: Uma empresa aplica uma importância de R$10.000,00 em um rendimento de juro simples de

0,5% a.d. (ao dia). Se o investimento foi feito em 17 de maio, com vencimento em 10 de

setembro do mesmo ano, qual o total de juros, supondo:

a) Tempo exato?

b) Tempo comercial?

Resolução:

a) Tempo exato (supondo que o ano não seja bissexto)

17 de maio é o 137º dia do ano e 10 de setembro é o 253º dia do ano, portanto:

253 - 137 = 116

O número preciso de dias decorridos é de 116 dias, logo teremos:

J = 10.000 . 0,005 . 116 = 5800

b) Tempo Comercial (ou aproximado)

No período de 17 de maio a 17 de setembro temos 4 meses decorridos menos 7 dias de

setembro, teremos um total de:

4 x 30 = 120 - 7 = 113

O número aproximado de dias decorridos é de 113 dias, Logo teremos:

J = 10.000 x 0,005 x 113 = 5650

Resposta:

a) Total de juros exatos é de R$5.800,00

b) Total de juros aproximados é de R$5.650,00

OBS.: Sempre que nada for especificado considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial.

Existem também casos onde desejamos descobrir a taxa, prazo ou capital aplicados.

Podemos usar a mesma fórmula ou a seguinte regra:

J = Juros

C = Capital inicial

i = Taxa percentual

t = Prazo (tempo )

Assim se o problema pedir:

Capital Taxa Tempo

CJ

i t

iJ

C t

em % multiplicamos por

100

tJ

C i

Exercícios Resolvidos:

1. Apliquei 1/3 de meu capital durante 1 ano à taxa de 2% a.m. e o restante, durante o mesmo

período à taxa de 3% a.m. Recebi de juros a importância de 6.400 um (unidade monetária).

Determine o valor do meu capital inicial.

J

c i t

100

%i

Resolução:

J = C1 i1 t1 + C2 i2 t2

120,023

C6400 + 120,03

3

2C 6400 = 0,08 + 0,24c

20.000=0,32

6400=C

Resposta: O capital inicial é de 20.000 um

2. Qual o tempo que ficou aplicado um capital à taxa 5% a.a., tendo aumentado 3/4 do seu valor?

T JC i

4C .

.C5

100

34

1005

15 anos= = = =

3

3. A que taxa mensal um capital produz, em 4 anos e 2 meses, juros iguais ao dobro de si mesmo?

T = 4a 2m = 50 meses

4%a.m.0,04C.50

2C

CtJ

i

4. Durante quanto tempo esteve aplicado um capital, que triplicou o seu valor, a uma taxa de 20%

a.m.?

M= 3C

M=?

M=20% a.m. = 0,20

M = C+J J = 2c

meses 10=C.0,20

2C=

Ci

J=t

JURO COMPOSTO OU CAPITALIZADO

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial,

acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia

exponencialmente em função do tempo.

O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital

aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida.

A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M o montante C o capital inicial, n, o prazo e i, a

taxa.

A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já

vista para a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir que nos

defrontamos com o seguinte problema:

Calcular o montante de um capital de R$1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.

Dados: C = 1.000,00

n = 5 meses

i = 4% ao mês

M = ?

Como ainda não conhecemos uma fórmula para a solução fácil e rápida desse problema, e sabendo

que a taxa de juros para cada período unitário incide sobre o capital inicial mais os juros

acumulados, calculemos o montante da forma mais primária possível.

Vamos representar por Mt (t = 1, 2, 3, 4, 5) o valor do montante no final de cada período unitário,

que em nosso exemplo é o mês.

O quadro a seguir permite que visualizemos claramente o cálculo do montante, mês a mês.

Mês

(t)

Capital no

início do Mês

(Ct)

Juros correspondentes

ao Mês (Jt)

Montante no

final do mês Mt

1 1.000,00 1.000,00 x 0,04=40,00 1.040,00

2 1.040,00 1.040,00 x 0,04=41,60 1.081,60

3 1.081,60 1.081,60 x 0,04=43.26 1.124,86

4 1.124,86 1.124,86 x 0,04=45,00 1.169,86

5 1.169,86 1.169,86 x 0,04=46,79 1.216,65

Portanto o valor do montante no final do quinto mês é de R$1.216,65. Observa-se que o montante

no final de cada mês constitui-se no capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de

cálculo é extremamente trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita um

cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, mas sem que sejam efetuadas as

operações de multiplicação e soma, apenas usando a propriedade distributiva do produto em relação

à soma.

S0 = 1.000,00

S1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00 (1+0,04) = 1.000,00 (1,04)1

S2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 X 1.000,00 (1,04) = 1.000,00 (1,04) (1+0,04)

= 1.000,00 (1,04)2

S3 = 1.000,00 (1,04)2+0,04X1.000,00(1,04)

2=1.000,00(1,04)

2 (1+0,04)

= 1.000,00 (1,04)3

S4 = 1.000,00 (1.04)3+0,04x1.000,00(1,04)

3=1.000,00(1,04)

3 (1+0,04)

= 1.000,00(1,04)4

S5 = 1.000,00(1,04)4+0,04x1.000,00(1,04)

4=1.000,00(1,04)

4 (1+0,04)

= 1.000,00(1,04)5

O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão: M5 =1.000(1,04)5. Como (1,04)

5

= 1,21665 => M5 = 1.000x1,21665 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.

Portanto, a relação adotada é:

M = C(1+i)n

J = M - C

M é o montante

C é o capital inicial (principal)

i é a taxa unitária (% : 100)

n é o número de períodos da capitalização

A taxa percentual e o tempo deverão estar na mesma unidade do período de capitalização.

Por se tratar de juros compostos e para evitar confusão com as fórmulas de juros simples, vamos

chamar o capital inicial de P (principal) e o montante de S (soma dos montantes de cada período de

capitalização), obtendo-se a seguinte expressão:

S = P (1 + i)n

Exemplo

Determinar o montante determinado por um capital de 10.000 um, aplicado a juros

capitalizados trimestralmente, à taxa de 2% a.m., durante 1 semestre.

Resolução:

S = ?

P = 10.000

Capitalização trimestral

T = 1 semestre = 2 trimestres n = 2

i = 2% a.m. i = 6% at i = 0,06

S = P (1+i)n

S=10.000 (1+0,06)2

S = 10.000 (1,06)2

S = 10.000 - 1,1236

S= 11.236 um

Resumindo:

Juros

Simples Compostos

niCJ niCM )1(

jCM n é o número de períodos de

capitalização e deve estar na

mesma unidade da taxa i.

Ex.:1) Um capital é empregado nas seguintes condições: a metade a 3% ao ano, a terça parte a 5%

ao ano e o restante a 8% ao ano. A que taxa única anual poderia ser empregado todo o capital a fim

de se obter o mesmo rendimento anual ?

..%5,46

)%8109(%8

6

1%5

3

1%3

2

1aa

2) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a 10% ao mês durante 3 meses . O montante final é de :

Simples Compostos 30031,01000J

1331

)1,01(1000 3M

13003001000M




UT 05: sistemas e equações de 1º e 2º graus

UE01: Equação do 1º grau


Equação do 1º grau

EQUAÇÃO DO 1O

GRAU:

Uma relação importante em R é a relação de igualdade.

a = b

Chamamos de EQUAÇÃO DO 1O GRAU de incógnita x uma igualdade do tipo:

ax + b = 0

Procedimento para resolução de uma equação do 1o grau:

1) Isole os termos que contêm x de um “lado” da igualdade e os demais no outro “lado”,

termos que estão somando ou subtraindo “passam para o outro lado” subtraindo ou somando,

respectivamente.

2) Reduza todos os termos com x a um só.

3) Termos que estão multiplicando ou dividindo x, “passam para o outro lado” dividindo ou

multiplicando, respectivamente.

59.Dois números têm por soma 160 e o maior vale 7 vezes o menor. Quais são os números?

60.Se a média de cinco números inteiros consecutivos é 17, então o menor dos cinco números é

a)11

b)12

c)13

d)14

e)15

61.Se forem tirados 2/3 do conteúdo de um recipiente cheio de água e recolocarmos 30 litros

de água , o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é

a)40 litros

b)75 litros

c)120 litros

d)145 litros

e)180 litros




UT 05: Sistemas e equações de 1º e 2º graus

UE 02: Sistemas de equações


Sistemas e problemas

Métodos:

1) Substituição

2) Adição

3) Comparação

1o MÉTODO – SUBSTITUIÇÃO

Consiste em calcular uma incógnita em função de outra e em seguida, com o valor encontrado,

substituir e achar o valor da outra.

yxyx

yx

33

532

2o MÉTODO – ADIÇÃO

Baseia-se na propriedade:

a= b

a + c = b + c

11

7

)1

yx

yx

5

72

)2

yx

yx

1232

143

)3

yx

yx

62.Certa quantidade de sacos precisam ser transportados e para isto dispõem-se de jumentos. Se

colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos, se colocarmos três sacos em cada

jumento, sobram três jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados?

a) 44

b) 45

c) 57

d) 22

e) 30

63.A prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava 5

pontos por questão e perdia 1 ponto por questão que deixava em branco. Se um aluno totalizou 210

pontos, o número de questões que ele acertava foi:

a)25

b)30

c)35

d)45

64.Um atleta faz um treinamento cuja primeira parte consiste em sair de casa e correr em linha reta

até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o

tempo gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas,

o tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em

a)15 minutos.

b)22 minutos.

c)25 minutos.

d)36 minutos.

Comentário:

Di= DV

Vf Ti= Vv x Tv

12x= 8(3-x)

12X=24-8X

20X=24

I=X= 1,2

V= 1,8

0,6 hs

0,6x 60= 36

65.Sabe-se que as marcas Skol e Brahma detêm juntas, 70% do mercado nacional; Brahma e

Antártica, juntas, 60% e Antártica e Skol, juntas, 50% do mercado. Com base nestas informações

pode-se dizer que:

a) A Skol sozinha detém 20% do mercado.

b) A Antártica sozinha detém 30% do mercado.

c) A Brahma sozinha detém 40% do mercado.

d) A Skol sozinha detém 45% do mercado.

66.Para pesar 3 maçãs dispomos de um peso de 100g e uma balança de pratos iguais. O peso da

maçã maior é igual ao peso das outras duas juntas . O peso da menor mais 100g é igual ao peso das

outras. A maior mais a menor pesam 100g. O peso total das três maçãs será:

a) 12g

b) 150g

c) 175g

d) 200g

(UnB/Prof. Mat./SEED-PR/2003) Uma cooperativa rural escoa sua produção de cereais por meio de

um trem cujos vagões têm capacidade máxima de 2,8 toneladas (t) cada um. Essa cooperativa

comercializa soja e milho em sacas padronizadas, que são vendidas de acordo com a tabela abaixo.

Sob essas condições, o total de sacas de soja somado ao total de sacas de milho que podem ser

transportadas juntas em um vagão, de modo a ocupar toda a sua capacidade e de modo que o valor

da carga seja igual a R$ 400,00, é

a) 44.

b) 45.

d) 47.

c) 46.

e) 48.

Comentário:

50S + 60M= 2800

10S + 8M= 400 (x5)

50S + 40M= 2000

20M= 800

M= 40

105+320=400 S+M= 48

105=80

S=8

52.(UnB/Téc. /BASA/2004) Considere a seguinte situação hipotética.

Dispostos em linha reta, estão 10 focos de incêndio e uma torneira, onde se encontram um balde e

um bombeiro, que deve apagar os focos

de incêndio. Sabe-se ainda que

• a torneira dista 50 m do primeiro foco de incêndio e cada foco de incêndio está a 20 m do

seguinte.

• basta um único balde de água para apagar cada foco de incêndio.

• o bombeiro deve encher o balde de água na torneira, caminhar até o primeiro foco de incêndio,

apagá-lo, retornar à torneira para encher novamente o balde com água, caminhar até o segundo foco

de incêndio, apagá-lo, voltar à torneira e assim proceder, até apagar o último

foco de incêndio, quando retornará à torneira para deixar o balde.

Nessa situação, ao apagar todos os focos de incêndio e recolocar o balde junto à torneira, o

bombeiro terá caminhado mais de 3 km.

Comentário:

T F1 F2.......F10

50 20 100

140

180

220

260 Item errado

300

340

380

420

460

2800 m




UT 05: Sistemas e equações de 1º e 2º graus

UE 03: Equação do 2º grau


Equação do 2o grau em R, na incógnita x, é toda igualdade do tipo:

02 cxbxa

ou redutível a esse tipo, onde a, b e c são números reais e a é não nulo.

A equação é chamada de 2o grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2. Quando

0b e 0c (a é sempre não nulo), a equação é chamada de completa. Se b = 0 ou c = 0, a

equação diz-se incompleta.

Exemplos:

1) 3x2 + 4x – 5 = 0 é uma equação de 2

o grau completa com a = 3; b = 4; c = –5.

2) x2 + 5x = 0 é uma equação de 2

o grau incompleta com a = 1; b = 5; c = 0.

Resolução das equações completas:

A resolução da equação completa de 2o grau é obtida através de uma fórmula que foi

demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido em 1.114; por meio dela sabemos que o valor

da incógnita que satisfaz a igualdade é:

Fórmula de Bhaskara: a

acbbx

2

42

O número b2 – 4ac chama-se discriminante da equação e é representado, geralmente, pela letra

grega (delta). Fazendo, então:

acb 42

Reescrevendo as soluções da equação como segue:

a

bx

a

bx

2

2

2

1

OBSERVAÇÃO: A fórmula acima só se aplica quando 0 ; quando ocorre 0 , a equação

não tem soluções reais.

Exemplos:

Para a equação x2 – 5x + 6 = 0, temos:

a = 1; b = –5 e c = 6

Portanto, = b2 – 4ac = (–5)

2 – 4 . 1 . 6 = 25 – 24 = 1 e as raízes são:

32

6

2

15

12

15

2

22

4

2

15

12

15

2

2

1

a

bx

a

bx

e o conjunto-solução é S = {2 , 3}

DICA

Achando as raízes por soma e produto:

Se: a = 1 podemos usar soma e produto:

Quais são os números que multiplicados resultam no c e somados resultam no b com sinal

contrário?

Ex.: x² - 5x + 6 = 0 2 e 3

x² - 4x + 3 = 0 1 e 3

x² - 8x + 15 = 0 3 e 5

x² - 7x + 12 = 0 3 e 4

x² + 4x + 3 = 0 -1 e - 3

x² + 8x + 15 = 0 - 3 e – 5

Frases importantes que vão mudar sua vida!!!!

Raízes reais diferentes ou 2 pontos em

comum ou duas soluções distintas > 0

Raízes reais iguais ou raiz dupla ou

solução única = 0

Não existem raízes reais ou não

possuem pontos de interseção ou as

raízes são complexas < 0

Raízes simétricas ou som zero (+a ) b = 0

Raiz nula ou produto zero c = 0

Raízes inversas (a/b e b/a) a = c

Soma -b/a

Produto c/a

QUESTÃO: Um restaurante reserva um jantar para 60 pessoas por R$240,00. Algumas dessas

pessoas não comparecem ao jantar e por isso, o preço cobrado de cada um dos que jantaram aumentou R$8,00. O número de pessoas ausentes no jantar foi:

40

45

50

48

Os dois números tais que a soma deles é 10 e a soma de seus quadrados é mínima, são:

6 e 4

5 e 5

7 e 3

8 e 2

A diferença entre o número positivo p e o seu inverso é 1. O valor de p é:

Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a

importância de

R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha,

constatou-se que 3 deles

não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do

prêmio. Com a retirada

dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00.

Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem.

Questão 22 .( ) (UnB/Escriturário/BB/2007) Se x é a quantidade de elementos do “grupo de

amigos”, então

Questão 23.. ( ) (UnB/Escrit./BB/2007) Considerando que, em uma função da forma f(x) = Ax2 +

Bx + C, em

que A, B, e C são constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0 determina a quantidade de

elementos do “grupo de amigos”, então é correto afirmar que, para essa função, o ponto de mínimo

é atingido quando x = 3/2.

.

Questão 24. ( ) (UnB/Escriturário/BB/2007) A quantidade de elementos do grupo de amigos que

fizeram juz ao prêmio é superior a 11.

Questão 25. ( ) (UnB/Escriturário/BB/2007) Cada um dos elementos do “grupo de amigos” que

efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a R$

250.000,00.

2

31)

2

101)

2

51)

2

21)

dc

ba




UT 06: Função

UE 01: Definição e conceito


Plano Cartesiano

É um sistema constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si.

O eixo x é denominado eixo EIXO DAS ABSCISSAS e o eixo y é o

EIXO DAS ORDENADAS. Esses eixos dividem o plano em quatro

regiões chamadas QUADRANTES.

Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano: assim, o ponto

M(a,b) indicado na figura tem abscissa a e ordenada b.

Dados dois elementos a e b formamos um novo elemento indicado por (a; b) e denominado por

ordenado, cujo primeiro elemento é a e o segundo é b. impomos a seguinte condição de igualdade

entre pares ordenados:

(a; b) = (c; d) a = c e b = d

Representação gráfica: a representação gráfica de um par ordenado é um ponto pertencente a um

plano (chamado plano cartesiano).

PRODUTO CARTESIANO

Se A e B são conjuntos não vazios, o produto cartesiano de A por B é o conjunto de todos os pares

ordenados com primeiro elemento em a e segundo elemento em B. indica-se o produto cartesiano de

A por B por A X B.

A X B = {(a, b) | a A e b B}

Se A ou B é vazio, coloca-se A X B = .

Exemplos 1 Se A = {2, 3, 4} e B = {1, 2}, o produto cartesiano de A por B é:

A X B = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}

O produto cartesiano de B por A é:

B X A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} Note que A X B B X A; Se A B,

A , B .

2 Sendo A = {x IR / 1 <x < 2} e B = {x IR / 1 <x < 4}, o produto cartesiano de A por B

terá como representação gráfica o conjunto de pontos de retângulo a esquerda:

Relações

Se A e B são dois conjuntos quaisquer, podemos relacionar ou associar elementos de A com

elementos de B de alguma maneira, à nossa escolha. Quando fazemos isso, dizemos que fica

estabelecida uma relação binária entre os conjuntos A e B.

Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 7} e a relação R = {(x, y) A x B | y = 2x}. Então, temos:

Representação na forma de conjunto:

R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}

Representação por flechas (diagrama de Euler-Venn):

Definição de relação: sendo A e B conjuntos quaisquer, uma relação R, de A em B, é qualquer

subconjunto do produto cartesiano A x B.

CONCEITO DE FUNÇÃO

Sejam dois conjuntos A e B e seja f uma relação de A em B.

Diz-se que f é uma função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo elemento x A

existir um único elemento y B, tal que (x; y) f.

Enumerar os pares ordenados, representar por diagrama de flechas e construir o gráfico cartesiano

da relação R de A em B, definida por:

Dados: R = {(x, y) A X B | x + y = 3}.

A = {(- 1, 0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}.

Solução

Os pares ordenados (x, y), com x A, y B e tais que x + y = 3, são: (- 1; 4), (0; 3), (1; 2) e (2; 1).

Portanto: R = {(-1; 4), (0, 3), (1; 2), (2; 1)}.

Conclusão: Para uma relação de um conjunto A em um conjunto B ser uma função de A em B:

“Todo elemento de A deve mandar flecha a algum elemento de B e cada elemento de A deve

mandar uma única flecha para algum elemento de B.”

Verifique se cada um dos gráficos cartesianos abaixo é função, considerando o domínio dado.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

RESPOSTA: Sim: (a, d, f, h) Não: (b, e, e, g)

Questão 01(COPEVE)Dos gráficos, o único que representa uma função de imagem

{y IR : 1 ≤ y ≤ 4} e domínio {x IR : 0 ≤ x < 3 } é:

Gabarito: C




UT 06: Função

UE 02: Construção de uma função


Uma função é uma relação entre dois conjuntos onde podemos considerar como:Uma ordem

que deve cumprida, assim veja os exemplpos:

Questão 02 (PUC-MG) A função f, definida para todo x R+ é tal que f(mx) = f(m) + f(x) e f(xm) =

mf(x), com m > 0. Se f(2) = 0,2 e f(3) = 0,5, o valor de f(96) é

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Gabarito: C

Questão 03(UFPA) Sejam os conjuntos A = {1,2} e B = {0, 1, 2}. Qual das afirmativas abaixo é

verdadeira?

a) f: x → 2 x é uma função de A em B.

b) f: x → x + 1 é uma função de A em B.

c) f: x → x2 – 3x + 2 é uma função de A em B.

d) f: x → x2 – x é uma função de B em A.

e) f: x → x – 1 é uma função de B em A.

Gabarito: C

Questão 04

(UFOP) Sejam f:R → R e g:N → N funções satisfazendo f(x - 2) = x3 e

)n(g2)1n(g

1)0(g. Então f(3) –

g(3) é igual a:

a) 11

b) 16

c) 93

d) 109

e) 125

Gabarito: D




UT 06: Função

UE 03: Valor Numérico


Exemplo: 1) Seja f uma função de R em R definida por f(x) = (x3 - 3x).Calcular:

a) f(0) b) f(1) c)f(-2) d) f 2

RESOLUÇÃO:

f(x) = x3 - 3x

a) f(0) = o3 - 3 . 0 = 0

b) f(1) = 13 - 3. 1 = -2

c) f(-2) = (-2)3 - 3 . (-2) = - 8 + 6 = -2

d) 2 . 3 - 2 2 f3

= 22 23 - 8 23 - 23

= 2 - 23

2) Dadas as funções f e g, determinar p e q de acordo com as condições dadas:

f(x) = 2x + p

q(x) = -x + q

f(-1) = 4 e q(2) = -3

RESOLUÇÃO:

Como f(-1) = 4 temos: 4 - 2 (-1) + p 4 = -2 + p = p p = 6

Como q(2) = -3 temos: 3 = (-2) + q -3 = -2 + q q = -1

3) Seja a função f : R R tal que:

f(x) = x - 2 se x < -3 (I)

3x2 + 1 se - 3 < x < 3 (II)

10 se x > 3 (III)

Calcule o valor de f(-3) + f( ) - 2f 5

RESOLUÇÃO:

- Em f(-3) substituiremos em (I) veja:

f(-3) = x - 2 f(-3) = (-3) - 2 = -5

- Em f( ) substituiremos em (III) Veja:

F( ) = 10

- Em 5 f = substituiremos em (II) Veja:

5 f = 1 532

3 . 5 + 1 15 + 1 = 16

Logo: f(-3) + f( ) - 2f 5 = -5 + 10 - 2 (16) = -5 + 10 - 32 = -27

O gráfico cartesiano de uma função f : IR IR é apresentado abaixo.

Determine

a) f(-2)

b) f(0)

c) f(1)

d) f(3)

e) f(f(0))

f) f(f(3))

RESPOSTA:

a) 0

b) 1

c) 0

d) 2

e) 0

f) -1

Questão 05 (UFOP) Sejam f(x) = 3x e n N. Então a afirmativa falsa é:

a) 3)1(f)5,0(f

b) )yx(f)y(f)x(f

c) n))x(f()nx(f

d) )yx(f)y(f:)x(f

e) )x(f))x(f( nn

Gabarito: E

Questão 05(COPEVE) Considere-se a função definida por:

irracionaléxsex1

racionaléxsex)x(f

2

O valor de )2/1(f4)2(f2)2(f é:

a) 4 - 2 2

b) 5 - 2 2

c) 2 2

d) 3 2

e) 7

Questão 06(UFMG) A função f:R → IR associa a cada número real x o menor inteiro maior do

que 2x.

O valor de 2

1f

5

1f)2(f é

a) -4

b) -3

c) -2

d) -1

e) 0

Questão 07Considere a função definida por

4xse4x

4x1se5

1x1se3

)x(f

x

Pode-se afirmar que o valor de f(f(f(2))) é:

a. 1/3

b. 1

c. 3

d. 5

e. 9




UT 06: Função

UE 04: Função Composta


FUNÇÃO COMPOSTA

Aplicar a nova função gof equivale a aplicar sucessivamente as funções f(x) e g(x). O leitor deverá

se familiarizar com as seguintes notações: fog(x) = f[ g (x) ]

gof(x) = f[ f (x) ]

fogof = f{g [ f (x) ] }

fofof = f{ f [ f (x) ] }

Considere as funções reais f e g, assim definidas:

f(x) = x2 - 3x + 5 e g(x) = 2x - 1

Encontre a função h, definida por h(x) = f(g(x))

A função h é chamada composta de f e g.

RESPOSTA: h(x) = 4x2 - 10x + 9

. Considerando as mesmas funções da questão anterior, determine

a) g(f(x)), composta de g e f;

b) g(g(x)), composta de g e g.

RESPOSTA:

a) g(f(x)) = 2x2 - 6x + 9

b) g(g(x)) = 4x – 3

Questão 08(PUC-MG) Duas funções f e g são tais que f(x) = 2x + 3 e f[g(x)] = 5 – 2x. O valor g(-1)

é igual a:

i. 2

ii. 3

iii. 4

iv. 5

v. 6

Questão 09:Seja b um número positivo. Considere a função f : IR IR dada por

bxse3x

bxseb2

3x

)x(f2

Se 97))2

b(f(f , o valor de b é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Questão 10 Para um número real fixo a, a função f(x) = ax – 2 é tal que f(f(1)) = -3. O valor de a é:

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4




UT 06: Função

UE 05: Função Composta e suas aplicações


Questão 11(MCAMPOS) Se f(2x - 1) = 4x + 3 então f(0) é igual a

a) 5

b) 0

c) 3

d) 4

e) 6

Questão12(UFMG) Seja f:R → R uma função tal que f(x + 1) = 2f(x) -5 e f(0) = 6. O valor de f(2)

é

a) 0

b) 3

c) 8

d) 9

e) 12

Questão 13(FEI-SP) Se f(2x + 3) = 4x2 + 6x + 1, para todo x real, então f(1 - x) vale

a) 2 – x2

b) 2 + x

2

c) x2 + 2x – 4

d) 3x2 – 2x + 4

e) x2 + x – 1

Questão 14 Seja f : IR IR uma função tal que f(3x + 1) = 1 – x. Então f(a) é:

a) 1 – a

b) 3a + 1

c) – 3a

d) (4 - a) / 3

e) 4 – 3a

Gabrito: D




UT 06: Função

UE 06: Análise de Gráficos


. O gráfico de barras abaixo indica o número de dias de chuva, em cada mês do ano, numa certa

cidade. Analise-o e responda:

a) Em que mês ocorreram mais dias de chuva?

b) Em que meses ocorreram menos dias de chuva?

c) Quantos dias de chuva ocorreram no 1º trimestre do ano?

d) Sem efetuar cálculos, faça urna estimativa da média mensal de dias de chuva naquele ano. Em

seguida, calcule a média e confirme sua estimativa.

e) Que outras informações podem ser extraídas desse gráfico?

RESPOSTA:

a) Maio.

b) Fevereiro, novembro.

c) 19 dias

d) 7,25

. O gráfico a seguir representa o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de um ano.

a) Qual foi o nível máximo atingido pela barragem?

b) E o nível mínimo?

c) Quantas vezes no ano o nível atingiu 54m?

d) Qual foi a taxa de variação média mensal do nível da água da barragem no 1º semestre? E no 2º

semestre? E no ano?

RESPOSTA:

a) 70m

b) 10m

c) 4 vezes

d) 1º sem: -1,67m/mês

(Cesgranrio-Adaptação) Uma torneira alimenta um reservatório d‟água. O volume da água, em

função da altura que o nível da água atinge, é registrado por um cientista. Com os dados obtidos, ele

constrói o gráfico abaixo.

Qual é o percentual de aumento do volume de água nesse reservatório quando o nível da água varia

de 6cm para 10cm?

RESPOSTA: 25%

Questão(UFMG)Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.

A B18

20 INGESTÃO (mg/dia)

AB

SO

RÇ

ÃO

(m

g/d

ia)

Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção

pelo organismo, também em mg/dia. A única afirmativa FALSA relativa ao gráfico é:

a) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da

ingestão de 20 mg/dia.

b) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem

absorvida do composto ingerido.

c) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante.

d) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.

Gabarito: C




UT 06: Função

UE 07: Taxa de variação: física


Questão 01: Chama-se espaço de frenagem de um automóvel a distância média que ele percorre

desde o momento do acionamento do freio até parar. O espaço de frenagem depende de sua

velocidade no momento e: o freio é acionado. Observe o gráfico.

a) Quantos metros o carro percorre até parar, quando é freado a 20km/h?

b) Se o veículo percorreu 60 metros após freado, qual era então sua velocidade?

c) Estime a distância aproximada que o carro percorre até parar, quando freado a 70km/h.

RESPOSTA:

a) 4m

b) 80km/h

c) 48m aproximadamente

Questão 02: O gráfico cartesiano abaixo representa a velocidade v (em km/h) de um automóvel em

função do tempo t (em s).

Determine

a) o valor de v para t = 2 s;

b) a velocidade máxima atingida pelo automóvel;

c) o instante em que ele atingiu tal velocidade;

d) os instantes em que sua velocidade era de 30km/h;

e) os instantes em que ele estava em repouso.

RESPOSTA:

a) 20km/h

b) 40km/h

c) 8s

d) 4s e 12s

e) 0s e 14s

Questão 03: Os gráficos que aparecem nas atividades 167, 168 e 169 mostram, em três situações

distintas, a posição x (em metros) de um corpo em movimento retilíneo em função do tempo t (em

segundos).

Em movimentos retilíneos, a taxa de variação média da posição de um corpo num dado intervalo de

tempo é, por definição, a velocidade média do corpo naquele intervalo:

Velocidade média = t

x

A partir dessas informações, responda às perguntas relativas a cada um dos gráficos.

a) Qual é a velocidade média de 0s a 3s? E de 3s a 6s? E de 6s a 9s?

b) Que ocorre com as taxas de variação de uma função nos vários intervalos, quando seu gráfico é

uma linha reta?

RESPOSTA:

a) Constante = 5 m/s

b) É constante

Questão 04:


b) Que ocorre com as taxas de variação de uma função nos vários intervalos, quando seu gráfico é

uma linha reta?

RESPOSTA:

a) 10m/s; 5m/s; 2m/s

b) Diminuiu

Questão 05:


b) Nesse caso, o que ocorreu com as taxas de variação da função com o passar do tempo?

RESPOSTA:

a) 3 m/s; 5 m/s; 10 m/s

b) Aumentou

Questão 06: O gráfico a seguir mostra a variação da velocidade de um automóvel em função do

tempo, em um movimento retilíneo, com duração de 28 segundos.

a) Qual é o domínio da função?

b) Em que intervalo de tempo a velocidade foi crescente? E constante? E decrescente?

c) Qual foi a velocidade máxima atingida pelo automóvel? Em que instante(s) ela ocorreu?

d) Qual foi a velocidade mínima atingida pelo automóvel? Em que instante(s) ela ocorreu?

e) Qual é o conjunto imagem da função?

RESPOSTA:

a) 0 t 28

b) Cresc: [0, 8]; const: [8, 20]; decresc: [20, 28]

c) 8m/s; 8 t 20

d) Zero; 28s

e) 0 v 8

Questão 07: Em movimentos retilíneos, a taxa de variação média da velocidade de um corpo num

dado intervalo de tempo é, por definição, a aceleração média do corpo naquele intervalo:

aceleração média = t

v




UT 06: Função

UE 08: gráficos e valor numérico


Questão 01:Observe a figura

x

y

0

1

2

3

4

5

-1

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7

Essa figura contém o gráfico da função y = f(x) definida em A = {x IR : -7 ≤ x ≤ 8}.

Todas as alternativas sobre a figura são corretas, EXCETO:

a) A soma de todas as raízes distintas de f(x) é negativa.

b) f(-5) < f(6)

c) f(-4) + f(2) > 1

d) A soma de todos os valores distintos de x, x A, tais que f(x) = 3 é um número positivo.

e) f(3) - f(-2) < 0

Gabarito: E

Questão 02

Observe a figura

a

2a

3a

a 2a 3a 4a x

y

y = g(x)

y = f(x)

Nessa figura, estão representados os gráficos das funções f e g. Se ))((

)2()2()(

xgf

axgxfxh ,

então o valor de h(a) é:

a) 1 + a

b) 1 + 3a

c) 4/3

d) 2

e) 5/2

Gabarito: D

Questão 03

Observe a figura

b c x

y

a

f(x)

g(x)

h(x)

Nessa figura, estão esboçados os gráficos das funções f(x), g(x) e h(x). A única afirmativa

FALSA é:

a) para todo x tal que x ≤ a tem-se g(x) ≥ f(x).

b) para todo x tal que b ≤ x ≤ c tem-se h(x) ≥ g(x).

c) para todo x tal que a ≤ x ≤ c tem-se h(x) ≥ f(x).

d) para todo x tal que x ≥ c tem-se g(x) ≥ h(x).

Gabarito: C




UT 06: Função

UE 09: Domínio e Imagem


DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM

Sabemos que uma relação A em B recebe o nome de função quando obedece as duas condições:

todo elemento de A tem correspondente em B.

cada elemento de A tem um único correspondente em B.

DOMÍNIO de uma função A em B é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A. É

indicado por D ou Df. Temos Df = A.

CONTRADOMÍNIO de uma função de A em B é o conjunto formado por todos os elementos do

conjunto B. É indicado por CD ou Cdf. Temos Cdf = B.

CONJUNTO IMAGEM de uma função de A em B é o conjunto formado por todos os elementos de

B que serão associados a algum elemento de A. É indicado por Im ou Imf.

No gráfico abaixo, temos:

D = {x R / 2 < x < 7} = [2, 7]

Im = {y R / 1 < y < 4} = [1, 4]

ATENÇÃO:

O DOMÍNIO de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das

abscissas.

A IMAGEM é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas.

Para cada x do domínio deve existir em correspondência um único y na imagem. Isto significa que

cada reta vertical traçadas por ponto do domínio deve interceptar o gráfico da função num único

ponto.

Se a reta vertical interceptar o gráfico e mais de um ponto, então esse gráfico não representa uma

função.

DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO DE FUNÇÃO

Quando uma função for descrita apenas por uma sentença aberta y = f(x), subentendemos que:

O domínio é subconjunto de R, no qual são possíveis as operações indicadas de f(x):

O contradomínio é R.

Exemplos:

f(x) = 2 -x

3 x Devemos impor que o denominador não pode ser nulo: X - 2 0x

2

Logo: D(f) = {x R / x 2} = R - {2}

b) f(x) = 4 6 -2x Em R, o radicando de uma raiz de índice par não pode ser negativo:

2x - 6 > 0 2x > 6 x > 3

Logo: D(f) ={x R / X > 3} = [3, + [

c) f(x) = 3 8 -2x O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser negativo ou nulo ou

positivo, ou seja, 2x -8 pode assumir todos os valores reais. Logo: D(f) = R

d) f(x) = 1 2x

x- 3 As operações indicadas em

1 2x

x- 3 são possíveis se, e só se:

3 - x > 0 -x > -3 . (-1) x < 3 1

2x + 1 > 0 2x > - 1 x > - 2

1 2

Efetuando a interseção em 1 e 2 obtemos:

D(f) = 3 ,2

1 - 3 x

2

1 - / R x

FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES

Função Crescente Uma função y = f(x) é crescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer

x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2).

Observando o gráfico seguinte

a < b => f(a) < f(b)

Verificamos que se a e b são dois números reais quaisquer com a < b, então ocorre f(a) < f(b);

ou seja: quando x cresce, f(x) também cresce. Funções com esse comportamento, chamam-se

funções crescentes em IR.

Função Decrescente Uma função y = f(x) é decrescente num conjunto A se, e somente se, para

quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 tivermos f(x1) > f(x2).

Analogamente, no gráfico seguinte

a < b => f(a) > f(b)

Se a e b são dois números reais quaisquer com a < b, então ocorre f(a) > f(b), ou seja: quando x

cresce, f(x) decresce. Este comportamento caracteriza uma função decrescente em IR.

OBSERVAÇÃO:

Se, no intervalo do domínio, uma função não é crescente nem decrescente, então ela é uma função

constante.

Exemplos

2. Questão ( Copeve) Seja f : IR IR uma função dada por 1x2)x(f 2 . Pode-se afirmar

que o conjunto imagem de f é:

a) {y IR : y ≥ -1}

b) {y IR : y ≥ 0}

c) {y IR : y ≥ 2}

d) {y IR : y ≥ 3}

e) IR

Gráfico : resumindo tudo

Considerando a função g, representada pelo gráfico da figura, determine

a) o domínio

b) o conjunto imagem;

c) o(s) intervalo(s) em que é crescente;

d) o(s) intervalo(s)em que é decrescente;

e) o máximo e o mínimo, se houver;

f) as raízes;

g) os valores de x tais que g(x) < 0;

h) os valores de x tais que g(x) > 0;

i) g[g(-2)] + g[g(4)].

RESPOSTA:

a) ] - , 6[

b) ] - , 4[

c) ] - , -2] [2, 6[

d) [-2, 2]

e) Não há.

f) -5, 0 e 4

g) ] - , 5 [ ] 0, 4[

h) ] -5, 0 [ ] 4, 6[

i) -1

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

Determine

a) o domínio;

b) o máximo (se houver);

c) o mínimo (se houver);

d) o conjunto imagem;

e) o(s) intervalo(s) em que f é crescente;

f) o(s) intervalo(s) em que f é decrescente;

g) o(s) intervalo(s) em que f é constante;

h) as raízes;

i) os valores de x tais que y > 0;

j) os valores de x tais que y < 0;

k) o número de soluções da equação f(x) = 1;

l) o número de soluções da equação f(x) = -4;

m) a taxa de variação média da função no intervalo [10, 14].

RESPOSTA:

a) [0, 20]

b) 4

c) -4

d) [-4, 4]

e) [0, 5] [18, 20]

f) [5, 14]

g) [14, 18]

h) 0, 10 e 20

i) ]0, 10[

j) ]10, 20[

l) 2

m) infinitas

n) -1

QUESTÃO 14

Sejam A = {(x, y) IR x IR : -x2 + 2x + 3 ≥ 0 e -1 ≤ y ≤ 3}. Então, a região hachurada que melhor

representa o conjunto A é:

a) y

x

3

3

-1

-1

b)

y

x

3

3-1

-1

c)

y

3

-1

-1 3

d)

y

x

3

3

-1

-1

e)

y

-1

-1 3 x

Gabarito: D




UT 06: Função

UE 10: Função Inversa


Definição Observe as funções, cujos diagramas estão representados a seguir.

Em todos eles, temos funções de A em B. Se pensarmos nas relações de B em A, ou seja, nas relações inversas que eles determinam, verificamos que:

– no caso do diagrama I, a relação inversa não determina uma função, pois o elemento 5 B, tem duas imagens, 2 e 3.

– para o diagrama II, a relação inversa também não determina uma função, pois o elemento 7 B, não

tem imagem. – já no caso do diagrama III, a relação inversa determina uma função, pois todo elemento de B tem uma única imagem em A. Veremos, a partir de agora, as condições para uma função ser inversa.

Seja f: A B uma função bijetora. Chama–se inversa de f e representa–se por f–1 à função f–1

: B A tal

que, f(x) = y f–1

(y) = x

Observações: a) D(f) = Im(f–1) e Im(f) = D(f

–1)

b) O gráfico de f–1 é simétrico ao gráfico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes. No caso da função ser dada por uma fórmula, considerando um domínio onde ela seja bijetora, a inversa é encontrada do seguinte modo: 1º) na fórmula y = f(x), trocamos y por x e x por y. 2º) Calculamos o y. Exemplo: Ache a inversa de y = 2x – 3

Exemplos

Questão(c0peve) A função inversa de f (- ,0] [0,+ ) tal que f(x) = x2 é a função g:[0,+ ) (-

,0] definida por:

f) g(x) = x

g) g(x) = - x

h) g(x) = x2

i) g(x) = - x2

j) g(x) = x

Gráfico




UT 06: Função

UE 11: Rotação de Gráficos


Gráficos de funções: Translação e rotação de eixos

Seja f(x) : R R e k ≥ 0, então se desejarmos :

a) f( -x ) : Giramos a f(x) em torno do eixo oy.

b) – f( x ) : Giramos a f(x) em torno do eixo ox.

Se o coeficiente a é negativo, a situação é, de certa maneira, semelhante. Examinemos inicialmente o caso

em que a = –1. O gráfico de y = –x2 é a reflexão do gráfico de y = x2 com relação ao eixo horizontal. Por

quê?

Questão:

Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será :

REFLEXÃO EM TORNO DO EIXO X

E

REFLEXÃO EM TORNO DO EIXO Y

-f(x)INVERTE EM RELAÇÃO AO EIXO X

f(-x)INVERTE EM RELAÇÃO AO EIXO Y

f(-x) INVERTE EM RELAÇÃO AO EIXO Y




UT 06: Função

UE 12:Translação de Gráficos


Gráficos de funções: Translação e rotação de eixos

Seja f(x) : R R e k ≥ 0, então se desejarmos :

c) f( x ) + k : Deslocamos a f( x ) para cima k unidades.

d) f( x ) - k : Deslocamos a f( x ) para baixo k unidades.

e) f( x + k ) : Deslocamos a f( x ) para a esquerda k unidades.

f) f( x - k ) : Deslocamos a f( x ) para a direita k unidades.

Uma vez entendida a ação do coeficiente a, precisamos entender qual o papel do coeficiente b na

equação y = ax + b.

Basta observar um caso simples e, a partir daí, a generalização é imediata.

De fato, comparando os gráficos de y = x e de y = x +1, observamos que, ao fazer o segundo

gráfico, para um mesmo valor de x a ordenada foi acrescida de uma unidade quando comparada

àquela do ponto correspondente no gráfico de y = x. Por isso, no gráfico de y = x + 1 ocorreu uma

translação

vertical de uma unidade quando comparado ao gráfico de .

Vamos agora analisar o caso de funções do tipo y = ax2 + k, a ≠ 0. Para tanto, na figura abaixo

estão os gráficos de funções desse tipo para alguns possíveis valores de k.

Novamente, basta observar um caso simples e, a partir daí, a generalização é imediata.

De fato, comparando os gráficos de y = x2 e de y = x

2 + 1, observamos que no segundo gráfico

ocorreu uma translação vertical de uma unidade, pois para um mesmo valor de x, a ordenada do

ponto, no segundo gráfico, foi acrescida de uma unidade quando comparada àquela do ponto

correspondente no gráfico de y = x2.

Para qualquer outro valor do coeficiente k acontece algo análogo: se k > 0 há uma translação

vertical para cima; se k < 0 há uma translação vertical para baixo. Qual é o vértice de uma parábola

dada por y = ax2 + k, a ≠ 0?

Analisemos agora o caso da função y = a(x + m)2, a ≠ 0. Vamos examinar os gráficos das funções y

= x2, y = (x + 1)

2 e y = (x – 2)

2, pois o entendimento de casos particulares vai nos levar

imediatamente à generalização necessária.

36

Observando agora a inclinação das curvas, ou seja, a abertura relacionada ao crescimento ou

decrescimento e sua velocidade.

Consideremos agora o caso de y = ax com a ≠ 0.

Primeiramente, se a > 0, e fazendo a = 1, a = 2, a = 1/2, a = 1/3, por exemplo, observe na figura

abaixo: para cada valor não nulo da abscissa x, o valor da ordenada correspondente é,

respectivamente, x, 2x, 1/2x,1/3 x. Além disso, para

x = 0 temos sempre y = 0, o que significa que todas essas retas passam pela origem.

Dessa maneira, variando o coeficiente a > 0 em y = ax, observamos que o ângulo de inclinação da

reta varia: se a > 1, o ângulo é maior que 45o; se 0 < a < 1, o ângulo é menor que 45o.

Agora considere, se a < 0, e fazendo a = -1, a = -2, a = -1/2, a = -1/3, por exemplo, observe na

figura abaixo: para cada valor não nulo da abscissa x, o valor da ordenada correspondente é,

respectivamente, -x, -2x, -1/2x,-1/3 x. Além disso, para

x = 0 temos sempre y = 0, o que significa que todas essas retas passam pela origem.

Dessa maneira, variando o coeficiente a < -1 em y = ax, observamos que o ângulo de inclinação da

reta varia: se a < -1:




UT 06: Função

UE 13:Rotação e Translação de Gráficos Simultãnea


RESUMINDO TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO VERTICAL E HORIZONTAL

f(x) + k SOBE K UNIDADES

f(x) – k DESCE K UNIDADES

f(x+k) MOVE PARA ESQUERDA K UNIDADES

f(x-k) MOVE PARA DIREITA K UNIDADES

É preciso observar que primeiro construímos o gráfico da função mais simples y = x

2; em seguida, o

gráfico de y = no qual observamos a translação horizontal de – 3/4; depois o gráfico de y =

3. onde é possível visualizar a mudança de inclinação da curva provocada pelo fator 3;

finalmente, o gráfico de y = 3. – 2 com a translação vertical de –2. O vértice da parábola y =

3. – 2 é o ponto .

Questões

Observe a figura

1

1 2 x

y

3-2 -1

-1

Nessa figura, está esboçado o gráfico da função f(x) definida no intervalo [-2, 3]. O gráfico de g(x)

= f (x + 1) é:

a)

1 2 x

y

3-2 -1

-1

-2 b)

1 2 x

y

-2 -1

1

3

2

c)

1 2 x

y

-2 -1

1

2

-3

d)

1 2 x

y

-2 -1

-1

-3

1




UT 06: Função

UE 14:Modular


40

41

53)( xxf

.

42

33. O desenho abaixo representa o gráfico de y = f(x).

O gráfico que representa a função y =| f(x) |é

a)

b)

c)

d)

e)

A54

RESUMINDO TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO VERTICAL E HORIZONTAL

f(x) + k SOBE K UNIDADES

f(x) – k DESCE K UNIDADES

f(x+k) MOVE PARA ESQUERDA K UNIDADES

f(x-k) MOVE PARA DIREITA K UNIDADES

TRANSLAÇÃO MODULAR

|f(x)| NEGATIVO FICA POSITIVO

RETOMANDO......




UT 06: Função

UE 15: Equação Modular


Questão: O valor de de x na equação | | | x – 1 | - 3 | - 2 | = 0 , é:




UT 06: Função

UE 16: FUNÇÃO DO 1º GRAU


FUNÇÃO DO 1o GRAU

Denominamos FUNÇÃO DO 1o GRAU e função f : R R, definida pela lei y = ax + b com a e b

reais e a 0.

f(x) = ax + b

Na lei y = ax + b, os valores a e b são coeficientes números da função. O coeficiente a deve ser

diferente de zero, pois do contrário, a lei da função fica reduzida a y = B, deixando de ser uma

função do 1o grau, sendo, neste caso, chamada FUNÇÃO CONSTANTE.

Sempre que ocorrer b = 0, a função de 1o grau fica reduzida a forma y = ax, também chamada

FUNÇÃO LINEAR, f(x) = ax (a R+).

Observação: se uma função linear tem a = 1, sua lei reduz-se a forma f(x) = x, também chamada

IDENTIDADE (passa pela origem).

As funções a seguir são de 1º grau, pois suas leis podem ser escritas na forma y = ax + b (a 0).

y = 5x + 1 (a = 5 e b = 1)

y = 3 - x (a = -1 e b = 3)

y = -2x (a = -1 e b = 0)

O gráfico de uma função do 1o grau y = ax + b (a 0) é sempre uma RETA do plano cartesiano, por

essa razão a lei da função do 1o grau é também denominada EQUAÇÃO DA RETA.

Assim, para construir o gráfico da função do 1o grau, precisamos apenas de dois pontos.

Na função de 1o grau y = ax + b, os coeficientes numéricos recebem nomes particulares:

y = ax + b

Cada um desses coeficientes nos dá uma característica do gráfico da função de 1o grau:

o coeficiente angular (a) indica inclinação da reta;

o coeficiente linear (b) indica o ponto onde intercepta o eixo oy .

Podemos obter esses coeficientes a partir de dois pontos conhecidos da reta.

Gráfico: o gráfico da função f(x) – a . x + b é uma retas não paralela aos eixos x e y.

1o caso: a > 0 2

o caso: a < 0

(função crescente) (função decrescente)

O domínio de f(x) = a . x + b é D(f) = IR.

A imagem de f(x) = a . x + b é Im(f) = IR.

RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO DE 10 GRAU

Para obter a raiz ou zero de uma função de 1o grau, atribuímos a y o valor r zero e resolvemos a

equação ax + b = 0.

Veja: ax + b = 0 x = 0 a com a

b

No gráfico de y = ax + b, a raiz x = a

b corresponde à abscissa do ponto onde a reta intercepta o

eixo ox .

ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1o GRAU

1o exemplo:

Dada a função f(x) = 2x – 4, determinar os valores reais de x para os quais:

f(x) > o

f(x) = o

f(x) < o

SOLUÇÃO:

podemos afirmar que a função é crescente, pois a = 2 > 0.

o zero da função é: 2x - 4 = 0 2x = 4 x = 2

Logo a reta intercepta o eixo no ponto da abcissa x = 2.

Pelo esquema, podemos dar a seguinte resposta ao problema:

f(x) = 0 para x = 2

f(x) > 0 para {x R / x > 2}

f(x) < 0 para {x R / x < 2}

QUADRO RESUMO

a > 0

f(x) = 0 x =

a

b

f(x) > 0 x >

a

b

f(x) < 0 x <

a

b

a < 0

a

b

f(x) = 0 x = a

b

f(x) > 0 x < a

b

f(x) < 0 x > a

b

OBSERVAÇÃO Lembre-se de que x = a

b é zero ou raiz da função e que pode ser obtido,

substituindo y por zero na função y = a . x + b.

QUESTÕES

O número de seus sapatos tem a ver com o comprimento do seu pé. A numeração de sapatos varia

de um país para outro. No Brasil, o número n dos sapatos de uma pessoa, em função do

comprimento c do pé em centímetros, é, em valores aproximados, dado pela função

4

28c5n

a) Qual é o número dos sapatos de uma pessoa cujo pé mede 24cm?

b) Quanto mede, aproximadamente, o pé de uma pessoa que calça 43?

c) Verifique se aquela fórmula funciona para o seu caso.

d) Para que medidas do pé, em centímetros, a numeração dos sapatos fornece valor exato?

RESPOSTA:

a) n = 37

b) c = 28,8cm

c) c múltiplo de 4




UT 06: Função

UE 17: FUNÇÃO DO 1º GRAU no cotidiano


. A pressão da água do mar varia com a profundidade. Sabe-se que a pressão da água no nível do

mar é de 1 atmosfera e que, a cada 10m de profundidade, a pressão sofre um acréscimo de 1

atmosfera.

a) Encontre a expressão que fornece a pressão p, em atmosferas, em função da profundidade h, em

metros.

b) Qual é a pressão da água do mar a uma profundidade de 50m?

c) Em que profundidade do oceano a pressão da água é de 4,5 atmosferas?

d) Por que um mergulhador, ao atingir grandes profundidades do oceano, tem que usar

equipamentos especiais?

RESPOSTA:

a) p = 0,1h +1

b) 6 atm

c) 35m

d) por causa do grande aumento da pressão externa.

QUESTÃO DE PROVA

- (PUC MG/2005)

O custo C de uma corrida de táxi é dado pela função linear mxbxC , em que b é o valor

inicial (bandeirada), m é o preço pago por quilômetro e x, o número de quilômetros percorridos.

Sabendo-se que foram pagos R$9,80 por uma corrida de 4,2km e que, por uma corrida de

2,6km, a quantia cobrada foi de R$7,40, pode-se afirmar que o valor de mb é:

a) 5,00

b) 6,00

c) 7,00

d) 8,00

Gab: A

(UEG GO/2004/Julho)

A prefeitura de uma cidade concede benefícios fiscais às indústrias que lá se instalam. Para

obter os benefícios, o número de empregados que reside na cidade deve ser, no mínimo, o dobro

mais 5% do número de empregados que não residem nela. Uma indústria que contratou 80

funcionários que residem fora da cidade deve contratar, entre os moradores da cidade, um

número mínimo de

a) 160 funcionários.

b) 166 funcionários.

c) 176 funcionários.

d) 164 funcionários.

e) 178 funcionários.

Gab: D

Ex.: Um tanque com capacidade para 300 litros está, inicialmente, cheio de água. Abre-se um

orifício, no fundo, por onde escoam 5 litros de água por minuto.

a) Qual é a taxa de variação do volume de água no tanque? Ela é positiva ou negativa? Por quê?

b) Qual é a expressão do volume V de água no tanque, em litros, t minutos após a abertura do

orifício?

c) Em quanto tempo a água ocupará 5% da capacidade do tanque?

d) Em quanto tempo o tanque estará vazio?

RESPOSTA:

a) -5 litros/min; o tanque está se esvaziando

b) v = -5t + 300

c) 57 min

d) 1 hora

Teste seus conhecimentos

- (PUC MG/2005)

O custo C de uma corrida de táxi é dado pela função linear mxbxC , em que b é o valor

inicial (bandeirada), m é o preço pago por quilômetro e x, o número de quilômetros percorridos.

Sabendo-se que foram pagos R$9,80 por uma corrida de 4,2km e que, por uma corrida de

2,6km, a quantia cobrada foi de R$7,40, pode-se afirmar que o valor de mb é:

a) 5,00

b) 6,00

c) 7,00

d) 8,00

Gab: A

(UEG GO/2004/Julho)

A prefeitura de uma cidade concede benefícios fiscais às indústrias que lá se instalam. Para

obter os benefícios, o número de empregados que reside na cidade deve ser, no mínimo, o dobro

mais 5% do número de empregados que não residem nela. Uma indústria que contratou 80

funcionários que residem fora da cidade deve contratar, entre os moradores da cidade, um

número mínimo de

a) 160 funcionários.

b) 166 funcionários.

c) 176 funcionários.

d) 164 funcionários.

e) 178 funcionários.

Gab: D

Ex.: Um tanque com capacidade para 300 litros está, inicialmente, cheio de água. Abre-se um

orifício, no fundo, por onde escoam 5 litros de água por minuto.

e) Qual é a taxa de variação do volume de água no tanque? Ela é positiva ou negativa? Por quê?

f) Qual é a expressão do volume V de água no tanque, em litros, t minutos após a abertura do

orifício?

g) Em quanto tempo a água ocupará 5% da capacidade do tanque?

h) Em quanto tempo o tanque estará vazio?

RESPOSTA:

a) -5 litros/min; o tanque está se esvaziando

b) v = -5t + 300

c) 57 min

d) 1 hora




UT 06: Função

UE 18: FUNÇÃO DO 1º GRAU: ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS Bloco de conteúdo: 81

QUESTÃO DE PROVA

(UFRJ RJ/2004)

Um vídeo–clube propõe a seus clientes três opções de pagamento:

Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado.

Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado.

Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão.

Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano.

Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta.

Gab:

Não, já que a melhor opção para este cliente seria a opção III.

Observe que a quantia de R$ 56,00 gasta na opção II corresponde ao aluguel de 18 DVDs mais

R$ 20,00 de taxa.

Na opção I, o cliente gastaria R$ 61,60 = 40 + 1,20×18; na opção III, gastaria R$ 54,00 = 3×18.

- (UEPB PB/2006)

O número do telefone residencial de Rebeca é 9374182 e do comercial é tal que

7 xse 1, x

7 x se x,)x(f

onde x é algarismo do telefone residencial. Dessa forma, a soma dos algarismos que compõem o

telefone comercial será:

a) 29

b) 28

c) 27

d) 30

e) 26

Gab: A




UT 06: Função

UE 19: Questões: FUNÇÃO DO 1º GRAU:Gráficos


(UFRJ RJ/2006)

Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago.

No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$

0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a

partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50.

a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligações

locais.

b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais

vantajoso do que o plano A.

Gab:

a) No plano A, o valor da conta será de R$ 57,50 e, no plano B, de R$ 40,00.

b) A partir de 68 minutos em ligações locais.

O gráfico representa a função y = f(x) ax + b.

a) Calcule a e b.

b) Determine as coordenadas dos pontos A e B, em que a reta corta os eixos coordenados.

c) Calcule f(f(15)).

d) O que representa a abscissa de B?

e) Analise os sinais dessa função.

RESPOSTA:

a) a = ½ e b = 15

b) A(0, 15); B(-30, 0)

c) 26,25

d) A raiz da função

e) y < 0 para x < -30 e y > 0 para x > -30.

3. Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f (x) = ax + b

é: a) b) c) d) e)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

4. Suponha-se que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia,

contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função

x150

x300)x(f

Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi

75, a porcentagem de moradores que as receberam é: a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50




UT 06: Função

UE 20: Questões:Inequações do 1º grau


A solução de um sistema de inequações é o conjunto dos valores da incógnita que satisfazem, ao

mesmo tempo, todas as inequações do sistema. Por isso, para se resolver um sistema de inequações,

resolve-se cada inequação isoladamente;

calcula-se a interseção das soluções encontradas.

Resolva os seguintes sistemas de inequações:

12

1x3

3

1x

1x1x3

Determine o domínio das funções reais.

a) 4x3y

b) x5

3y

c) 13

xy

d) x2

1x)x(f

RESPOSTA:

a) x 4/3

b) x > -5

c) x 3

d) x 1

Uma indústria química produz uma determinada substância. Mensalmente, ela tem uma despesa

fixa de R$2700,00, independente da quantidade produzida. Além disso, o custo de produção de uma

tonelada é R$300,00. Toda a produção mensal é vendida a R$450,00 a tonelada.

a) Expresse, em função da quantidade x de toneladas produzidas no mês, os valores da despesa

mensal D, da receita mensal R e do lucro mensal L.

b) Qual é o número mínimo de toneladas a ser produzido e vendido no mês para que não haja

prejuízo?

RESPOSTA:

a) D = 2700 + 300x; R = 450x; L = 150x - 2700

b) 18t




UT 06: Função

UE 21: FUNÇÃO DO 2º GRAU


FUNÇÃO POLINOMIAL DO 20 GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

DEFINIÇÃO: É toda equação que pode ser reduzida à forma: ax2 + bx + c = 0 com a 0.

Exemplos:

a) 2x2 - 5x + 1 = 0

a = 2; b = -5; c = 1

b) 3

1x

2 - x - 1 = 0

a =3

1; b = -1; c = -1

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DAS RAÍZES

Se > 0 (2 raízes diferentes)

Se = 0 raiz dupla igual a - 2a

b

Se < 0 não há raízes reais

I n t e r s e c ç ã o c o m o s e i x o s

intersecção com o eixo dos y:

a parábola y = ax2 + bx + c corta o eixo dos y no ponto (0, c). Obtém-se esse ponto fazendo x = 0

em y = ax2 + bx + c.

Exemplo

A parábola y = x2 – 4x + 3 corta o eixo dos y no ponto (0, 3). Veja que x = O implica y = 0

2 - 4 . 0

+ 3 = 3

intersecção com o eixo dos x:

em relação ao eixo dos x, podem ocorrer três casos:

1o) > 0

A parábola corta o eixo x em dois pontos distintos. As abscissas desses dois pontos são as raízes da

equação ax2 + bx + c = 0; são elas:x1 =

2a

b- xe

2a

- b- 2

2o) = 0

A parábola tangência o eixo dos x no ponto de abscissa x = 2a

b (a equação ax

2 + bx + c = o agora

tem duas raízes iguais).

3o) < 0 A parábola não corta o eixo dos x( a equação ax

2 + bx + c = 0 agora não tem raízes

reais).

Questão de Prova

1. (PUC/MG) A soma das raízes da equação 89x

159x

2

2 é

a) -4 b) -3 c) 0 d) 3 e) 4

Gabarito: C

Os valores de x na equação 32x

– 10.3x + 9 = 0 são:

Resposta: {0,2}




UT 06: Função

UE 22: FUNÇÃO DO 2º GRAU: Vértice da parábola


Coordenadas do vértice: as coordenadas do vértice da parábola são dadas por:

Xv = c . a . 4 - b onde a . 4

- y e

a . 2

b 2

Exemplo

Para y = x2 - 4x + 3, temos a = 1, b = -4, c = 3, = b

2 - 4ac = (-4)

2 - 4 . 1 . 3 = 16 - 12 = 4.

Portanto o vértice da respectiva parábola é obtido por:

xv = 1- 1 . 4

4 - y e 2

1 . 2

4- v

Valor mínimo e valor máximo: quando na função y = a . x2 + b . x + c, a > 0, esta função assume

um valor mínimo que é dado por yv. Quando a < 0, a função assume um valor máximo também

dado por yv.

YV valor mínimo yV valor máximo

Exemplo

A função y = 2 . x2 - 3 . x + 1 tem um valor mínimo pois a > 0 (a = 2). Esse valor mínimo é dado

por:

8

1-

a . 4 - y V vmin

Imagem: para determinar a imagem de y = ax2 + bx + c, a 0, considerem-se dois casos:

a > 0

A projeção do gráfico sobre o eixo dos y nos dá:

Im(f) = {y IR | y < yv}.

a < 0

Agora, a projeção do gráfico sobre o eixo dos y nos dá:

Im(f) = {y IR | y > yv}.

Exemplos:

1) Qual deve ser o valor de m para que o valor mínimo da função f(x) = 2x2 – 3x + m - 1 seja 1?

Solução

a = 2;

b = - 3;

Inicialmente, temos: c = m - 1;

= (- 3)2 - 4 . 2. (m – 1) =

= 9 - 8m + 8 = 17 - 8m.

O valor mínimo da função é ymin = yv = 4a

= 8

8m - 17 e, como esse valor mínimo é dado e

igual a 1, vem:8

8m - 17 = 1 ou – 17 + 8m = 8, obtendo-se

8

25 m .

Questão (PUC/MG) O centro de uma bola de basquete, quando esta é arremessada, segue uma

trajetória plana vertical de equação 5

14x

5

8x

5

1y 2 , em que x e y são dados em metros. A altura

máxima atingida pelo centro da bola, em metros, é

a) 6,0

b) 6,5

c) 7,0

d) 7,5

e) 8,0

Gabarito: A

Questão(UFMG)A soma de todas as raízes de f(x) = (2x2 + 4x - 30) (3x -1) é: a) 3/5 b) -3/5 c) 5/3 d) -5/3

Gabarito: B

Questão(UFMG) Considere a equação (x2 – 14x + 38)2 = 112. O número de raízes reais distintas dessa equação é: a) 2 b) 4 c) 3

d) 1

Gabarito: C




UT 06: Função

UE 23: FUNÇÃO DO 2º GRAU: crescimento e decrescimento


A análise do gráfico de uma função quadrática também nos permite determinar os intervalos onde a

função é CRESCENTE ou DECRESCENTE.

a > 0

x < xy f(x) decrescente x < xy f(x) crescente

a < 0

x < xy f(x) crescente x > x y f(x) decrescente

Questão(UFMG).Observe a figura:

y

x0

5

-5

Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico na função de segundo grau cuja expressão é:

a) x25

xy

2

b) Y = x2 – 10x c) Y = x2 + 10x

d) x105

xy

2

e) x105

xy

2

Gabarito: A

Questão(UFMG) Um certo reservatório, contendo 72m3 de água, deve ser drenado para limpeza. Decorridas t horas após o início da drenagem, o volume de água que saiu do reservatório, em m3, é dado por V(t) = 24t – 2t2.

Sabendo-se que a drenagem teve início às 10 horas, o reservatório estará completamente vazio às

A)14 horas B)16 horas c)19 horas D)22 horas

Gabarito: B

Questão (FCMMG) Sob determinadas condições, a concentração, em mg, de certa substância no organismo de uma cobaia é dada no instante t≥0, em minutos, pela função C(t) = -2t2 + 12t + 110. O instante t, em minutos, para que a concentração seja de 30 mg é

a) 3

b) 10

c) 11

d) 19

Gabarito: B




UT 06: Função

UE 24: FUNÇÃO DO 2º GRAU :questões


1.(PUC/MG) A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por f(t) = t2 – 7t + A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se no instante t=0, a temperatura é de 10ºC, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima, em minutos, é:

a) 3,5

b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 7,5

Gabarito: A

2. (PUC/MG) Na parábola y = 2x2 – (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do

vértice é a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Gabarito: A 3. (FCC/SP)

y

x0

3

6

Um menino está à distância 6 de um muro de altura 3 e chuta uma bola que vai bater exatamente sobre o muro. Se a equação da trajetória da bola em relação ao sistema de coordenadas indicado pela figura é y = ax2 + (1 – 4a)x, a altura máxima atingida pela bola é:

a) 5 b) 4,5 c) 4 d) 3,5 e) 3

Gabarito: C

4. (UFMG) O ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação y = ax2 + bx + 4.

A abscissa do vértice dessa parábola é a) ½ b) 1 c) 3/2 d) 2

Gabarito: C 5.Considere a equação (x - 1) (x3 + x2 + x + 1) + (1 – x2) (x2 + 1) = 50x + 15. Essa equação admite exatamente

a) quatro soluções b) uma solução c) três soluções d) duas soluções

Gabarito: B

6. (UFMG) Um terreno retangular, com área de 800m2 e frente maior que a lateral, foi cercado com um muro.

O custo da obra era de R$12,00 por metro linear construído na frente, e de R$8,00 por metro linear construído nas laterais e no fundo. Se forem gastos R$1040,00 para cercar o terreno, o comprimento total do muro construído, em metros, é a) 114 b) 120 c) 132 d) 180

Gabarito: A




UT 06: Função

UE 25: FUNÇÃO DO 2º GRAU :questões e inequações


ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

a a > 0 a < 0

> 0

Duas raízes

distintas

x1 x2

= 0

Duas raízes

iguais

x1 = x2

< 0

Não existem

raízes reais

Veja como estudamos os sinais da função.

f(x) = x2 - 4

D = 16 x‟ = 2

x = 2

4 0 x” = - 2

x < - 1 ou x > 2 f(x) > 0

x = 2 ou x = - 2 f(x) = 0

-2 < x < 2 f(x) < 0

f(x) = -x2 - 4x - 4

= 0

x = 2a

b- x1 = x2 = - 2

a < 0

x = - 2 y = 0 x - 2 y < 0

A solução de um sistema de inequações é o conjunto dos valores da incógnita que satisfazem, ao

mesmo tempo, todas as inequações do sistema. Por isso, para se resolver um sistema de inequações,

resolve-se cada inequação isoladamente;

calcula-se a interseção das soluções encontradas.

Resolva os seguintes sistemas de inequações:

12

1x3

3

1x

1x1x3

Determine o domínio das funções reais.

e) 4x3y

f) x5

3y

g) 13

xy

h) x2

1x)x(f

RESPOSTA:

a) x 4/3

b) x > -5

c) x 3

d) x 1

Uma indústria química produz uma determinada substância. Mensalmente, ela tem uma despesa

fixa de R$2700,00, independente da quantidade produzida. Além disso, o custo de produção de uma

tonelada é R$300,00. Toda a produção mensal é vendida a R$450,00 a tonelada.

c) Expresse, em função da quantidade x de toneladas produzidas no mês, os valores da despesa

mensal D, da receita mensal R e do lucro mensal L.

d) Qual é o número mínimo de toneladas a ser produzido e vendido no mês para que não haja

prejuízo?

RESPOSTA:

a) D = 2700 + 300x; R = 450x; L = 150x - 2700

b) 18t

QUESTÕES DE PROVA

Questão(UFMG/COPEVE).Observe esta figura

x

y

Nessa figura, estão representados os gráficos das funções 2

x)x(f

2

e 5x3)x(g .

Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f

e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor

comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é:

a) ¾

b) 1

c) 5/4

d) ½

GABARITO D

Questão(UFMG/COPEVE).Considere a desigualdade ax2 + bx + c > 0, em que a, b e c são

números reais.

Sabe-se que 7

62x e

25

7x satisfazem essa desigualdade; e 42x e

25

26x não a satisfazem.

Assim sendo, é CORRETO afirmar que

a) b > 0

b) b2 – 4ac > 0

c) c < 0

d) a > 0

GABARITO B

Questão(UFMG/COPEVE).Observe a figura:

x0

y

A

V

Nessa figura, a parábola de vértice V é o gráfico de y = x2 + bx + c.

Sendo AO = 2(OV) e a abscissa de V diferente de zero, o valor de c é:

a) 0

b) ¼

c) ½

d) 1

e) 4*

GABARITO E

Questão(UFMG/COPEVE)..Seja f : IR IR uma função dada por 1x2)x(f 2 . Pode-se

afirmar que o conjunto imagem de f é:

a) {y IR : y ≥ -1}

b) {y IR : y ≥ 0}

c) {y IR : y ≥ 2}

d) {y IR : y ≥ 3}

e) IR

GABARITO d

Questão(UFMG/COPEVE).. O conjunto de todos os valores reais de m para os quais o conjunto

imagem de

2

1)(

2mxxxf

Seja B = {y IR : y ≤ 2} é

a) {0}

b) {2, -2}

c) {- 5 , 5 }

d) {- 6 , 6 }

e) {- 10 , 10 }

GABARITO E

Questão(UFMG/COPEVE)..A função do 2º grau, y = f(x), cujo gráfico passa pelo ponto (-1, 3) e

tangência o eixo das abscissas no ponto (-2, 0), é:

a) f(x) = x2 + 7x + 10

b) f(x) = -x2 + 4

c) f(x) = 3x2 + 12x + 12

d) f(x) = x2 + 6x + 8

e) f(x) = -3/2x2 -3/2x + 3

GABARITO C

Questão(UFMG/COPEVE)..O número real x satisfaz 21x

3x4.

Assinale a afirmativa em que estão incluídas todas as possibilidades para x.

a)2

5x

b) 1x

c)2

5xou1x

d) 2

5x1

GABARITO C




UT 07: Equação Exponencial

UE 01: Método


As condições impostas à base de uma função exponencial, a tornam uma função bijetora. Desse

modo, se

ax = ay, então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável

aparece no

expoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais.

Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra

eqüivalente, da

forma ax = ay. Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação.

Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir.

Observação: As equações redutíveis à forma ax = by com a

capítulo sobre

logaritmos.

Questão(UFMG/COPEVE) 5. A solução da equação 2

3x + 2 – 2

3x + 1 + 2

3x – 1 = 50

x é um número:

a) Menor do que -3

b) Entre -2 e -1

c) Entre 0 e 1

d) Entre 2 e 3

e) Maior do que 3

Gabrito:C




UT 07: Equação Exponencial

UE 02: Exponencial: inequações e gráficos


Inequações

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Dado a, um número real tal que a > 0 e a 1, denomina-se FUNÇÃO EXPONENCIAL de

base a a função:

F : R R f(x) = ax

a

c

x

)

) ,

,

,

f(x) = 2 , a = 2

b) f(x) = , a = 1

2

f(x) = 3 a = 3

d) f(x) = (0, 3) , a = 0,3

e) f(x) = (2, 5) a = 2,5

f) f(x) = 2 a = 2

x

x

x

x

x

1

2

Observe que, na função exponencial:

1º) O domínio é R e o contradomínio também é R.

2º) O conjunto imagem é R já que

y = a > 0 x Rx

3º) A função é crescente em R se a > 1 e decrescente em R se 0 < a < 1.

4º) A função é injetora.

5º) A função não é sobrejetora por que o contradomínio é R e a imagem R .

Se definirmos f:R R f(x) = ax então f(x) passa a ser sobrejetora, portanto bijetora.

Logo,admite uma inversa, que é a função logarítmica.

Questões de Prova

(UFMG/COPEVE) Observe a figura:

x

y

0-3

32

12

Nessa figura, está representado o gráfico f(x) = kax, sendo k e a constantes positivas. O valor de

f(2) é:

a) 3/8

b) ½

c) ¾

d) 1

Gabarito: A

(UFMG/COPEVE).Suponha a equação

8x2x55x3cbx2ax 248

Seja válida para todo número real x, em que a, b e c são números reais. Então, a soma a + b + c é

igual a

a) 17/2 b) 28/3 c) 12 d)5/3

Gabarito: B




UT 08: Logaritmo

UE 01: Definição e conceito


LOGARITMO

logab = x ax = b

* Condições de existência

a, b, x R

a > 0 e a 1 e b > 0

- Conseqüências da definição log

log

a

a a

1 = 0 ( 0 < a 1);

= 1 ( 0 < a 1);

a = b (a 1 e b > 0);

log b = log c b = c(0 < a 1) e

b > 0 e c > 0.

log

a a

ab

QUESTÃO 01. (PUC-MG)

A soma das raízes da equação 32log 53

2

2 xx

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Gabarito: C

QUESTÃO 02. (UNA-MG)

O valor da soma

S = log4(log39) + log2(log813) + log0,8(log1632) é

a) – 3/2

b) – 5/2

c) – 7/2

d) – 9/2

Gabarito: B


O valor de 2log4log 33 42 é

a) – 2

b) – 1

c) 0

d) 1

e) 2

Gabarito: C

QUESTÃO 04. (PUCCAMP-MG)

O valor de x tal que 2

1

4log

1log 4

x

é

a) 4

b) 1/2

c) 10

d) 1

e) 16

Gabarito: E

QUESTÃO 05. (FUVEST-SP)

O número real x que satisfaz a equação xx 2212log 2 é

a) log25

b) log2 3

c) 2

d) Log2 5

e) Log23

Gabarito: E




UT 08: Logaritmo

UE 02: Consequências da definição e propriedades


Propriedades operatórias: admitindo a existência de todos os logaritmos envolvidos, temos:

log

log

log

a

a

aa

b

b

b

+ log c = log bc;

- log c = logb

c;

= a . log b;

log b = 1

. log b

a a

a a

a

a a

Mudança de base:

Para passarmos da base a( 0 < a 1) para a base c( 0 < c 1), usamos a relação:

QUESTÃO 01. (UFLA-MG)

Sendo Iog2( 11 - 3) = b então log2( 11 + 3) é

a) 0

b) b2

c) b – 1

d) b

e) 1 - b

Gabarito: E

QUESTÃO 02. (UFMG)

Para todos os números reais a e b, pode-se afirmar que

a) Ioga2 = 2 loga

b) log(1+a2)

2 = 2 log(1+a

2)

c) Iog(a.b) = loga + Iogb

d) logb

a = loga - logb

e) loga1/2

= alog

Gabarito: B


Se logab = -2 e ab = 3, então b - a é

a) 20/3

b) 22/3

c) 23/6

d) 25/9

e) 26/3

Gabarito: E


a e b são números reais positivos e logab.logb2a = 2. O valor de loga2 é

log b = log b

log aa

c

c

OBS.: Quando a base não vier escrita subentende-se que seu valor é 10 (não esqueça!).

a) 1/4

b) 1/2

c) 1

d) 2

e) 4

Gabarito: C

QUESTÃO 05 (UFMG)

O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem a equação 10

11log1log2 1010 xx é

a) {-1, 11}

b) {5, 6}

c) {10}

d) {11}

Gabarito: D

QUESTÃO 06. (UFV-MG)

Se log (a+b) = log a + log b, então ba

11 é igual a

a) 1/2

b) 1

c) 1/3

d) 2

e) 5/6

Gabarito: B

QUESTÃO 07. (UFES) Sabemos que loga2 = x e que logb2

-3= y.

Se b = a2, podemos afirmar que

a) x = - 2/3y

b) x = - 3/2y

c) x = - 6y

d) x = - 3y

e) x = - 1/6y

Gabarito: A

QUESTÃO 08. (UFOP-MG)

A soma das raízes da equação 4xlog

2x = x

3 é

a) 0

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

Gabarito: E




UT 08: Logaritmo

UE 03: Logaritmo decimal e neperiano


QUESTÃO 09. (UFMG)

O valor de x que satisfaz a equação

2logx + logb – log3 = log4

9

x

b, onde log representa o logaritmo decimal, pertence ao intervalo

a) [0, 1/2]

b) [1/2, 1]

c) [1, 2]

d) [2, 3]

e) [3, 4]

Gabarito: C


A solução da equação 23x

= 32x+1

é

a) 323

3

InIn

In

b) 323

2

InIn

In

c) 3223

3

InIn

In

d) 3223

3

InIn

In

e) 33

2

In

In

Gabarito: C


Se log 1,5 = 0,18 e log2x - log3

x = 9, o valor de x é

a) – 5

b) – 18

c) – 50

d) 5

e) 50

Gabarito: C

QUESTÃO 12. (UFSM-RS)

Se log105 = a e log107 = b, então log10(122,5) é igual a

a) a + b

b) a + b + 1

c) a + b - 1

d) 2a + 2b

e) 2a + 2b - 1

Gabarito: E

QUESTÃO 13. (UNESP-SP)

No que se segue, log representa o logaritmo decimal. Se log8 = 0,903 e log70 = 1,845, então o

log14 vale

a) 1,146

b) 1,164

c) 1,182

d) 1,190

e) 1,208

Gabarito: A

QUESTÃO 14. (Santa Casa-SP)

São dados log2 = 0,30 e Iog3 = 0,48. O número real x, que é solução da equação 3x+1

= 75 é tal que

a) x 0

b) 0 < x 2

c) 2 < x 3

d) 3 < x 5

e) x > 5

Gabarito: C




UT 08: Logaritmo

UE 04: Logaritmo :aplicações do dia a dia


FUNÇÃO LOGARÍTMICA

f : R R, definida por f(x) = logax

- Domínio e imagem

D(f) = R e Im(f) = R

- se a > 1, f(x) = logax é crescente;

- se 0 < a < 1, f(x) = logax é decrescente;

- se a função f(x) = logax intercepta o eixo das abcissas no ponto (1; 0);

- a função f(x) = logax não intercepta o eixo das ordenadas.

QUESTÃO 15. (UFMG)

Observe a figura.

Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = loga x. O valor de f(128) é

a) 5/2

b) 3

c) 7/2

d) 7

Gabarito: C

QUESTÃO 16. (FCMMG)

Sob certas condições, a função 5

153log

30

1

v

vt e , em que e é um

número maior que 2, nos fornece o tempo gasto, em segundos, por um pára-quedista, contado a

partir da abertura de seu pára-quedas, para atingir a velocidade de queda v, em m/s.

A velocidade, em m/s, do pára-quedista no instante da abertura de seu pára-quedas é

a) 30

b) 15

c) 10

d) 5

Gabarito: C

QUESTÃO 17. (UFOP-MG)

O pH de uma solução é definido por pH = logH

1, onde H

+ é a concentração de hidrogênio em

íons-grama por litro de solução. Dessa forma, o pH de uma solução, tal que H+ = 1,0 x 10

-8, é

a) – 8

b) 1/8

c) 8

d) 108

e) 10-8

Gabarito:C

QUESTÃO 18. (UFMG)

Observe a figura.

Nessa figura está representado o gráfico da função f(x) = log2bax

1. Então f(1) é igual a

a) – 3

b) – 2

c) – 1

d) – 1/2

e) – 1/3

Gabarito: B

QUESTÃO 19. (UFMG)

A grandeza M de uma estrela é definida pela fórmula M = -2,5 log10 (K.l.), sendo K uma constante

positiva e I a intensidade de luz da estrela. Sirius, a estrela mais brilhante, tem urna grandeza de -1,6

e a estrela Betelgeuse tem uma grandeza de 0,9.

A razão entre as intensidades de luz de Sirius e de Betelgeuse, nossa ordem, é

a) – 16/9

b) 16/9

c) 5

d) 10

Gabarito: D

QUESTÃO 20. (FUVEST-SP)

A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmo na base b.

O valor de b é

a) 1/4

b) 2

c) 3

d) 4

e) 10

Gabarito: D

QUESTÃO 21. (UFMG)

A intensidade de um terremoto na escala Richter é definida por 0

10log3

2

E

EI , em que E é a

energia liberada pelo terremoto, em quilowatt-hora (kwh), e E0 = 10-3

kwh.

A cada aumento de uma unidade no valor de I, o valor de E fica multiplicado por:

a) 10

b) 20/3

c) 103/2

d) 101/2

Gabarito: C




UT 09: Sequências

UE 01: Definição e construção


Tomando como referência a parcela central e o número de parcelas, calcule as seguintes somas:

a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + 11

b) 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +.... + 20

Atenção! Não vale somar; só vale multiplicar.

RESPOSTA:

a) 66 = 6 x 11

b) 195 =13 X 15

85. Analise as duas seqüências de somas abaixo

202

1

1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4

............................

13

13 + 2

3

13 + 2

3 + 3

3

13 + 2

3 + 3

3 + 4

3

................................

a) Estabeleça uma lei geral relacionando-as.

b) Efetuando apenas uma multiplicação e uma potenciação, calcule o valor da seguinte soma:

13 + 2

3 + 3

3 + 4

3 + ... + 11

3

RESPOSTA:

a) Cada soma da direita é o quadrado da soma da esquerda.

b) 6 x 11 = 66 e 662 = 4356

. Sendo n um número natural (n > 1), chama-se fatorial de n (símbolo n!) o produto de todos os

naturais de 1 até n. Por exemplo,

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24.

Supondo que n seja uma variável natural, considere as expressões

2n, n2, 2

n, n!

Quando o valor de n cresce cada vez mais,

a) qual daquelas expressões cresce mais rápido?

b) qual cresce de forma mais lenta?

c) que ocorre com as frações abaixo?

n2

n

n

2

2

n2,

n

!n,

!n

2,

2

n

RESPOSTA:

a) n!

b) 2n

c) A 1ª, 2ª e a 4 se aproximam cada vez mais de zero; a 3ª cresce cada vez mais (tende a mais

infinito).

Essa atividade deve ser desenvolvida em grupo, conforme orientações de seu professor.

Investigue relações envolvendo a formação triangular abaixo, conhecida como Triângulo de Pascal.

Encontre o máximo de relações que puder.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

....................................

203

a) Encontre as duas próximas linhas do triângulo.

b) Estabeleça a relação existente entre o triângulo de Pascal e as potências de base 11:

110, 11

1, 11

2, 11

3, ...

c) Para expoentes acima de 4, essa relação ainda persiste? Haveria uma forma de se resolver o

problema surgido?

RESPOSTA:

a) 6ª linha: 1 5 10 10 5 1

b) 7ª linha: 1 6 15 20 15 6 1




UT 09: Sequências e Progressões

UE 02: Progressão aritmética


PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)

Progressão aritmética é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao

anterior, somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética.

Representação:

(a1, a2, a3, ..., an, an+1, ...)é uma PA de razão r.

ou an+1 = an + r

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA

Qualquer termo de uma P.A. pode ser obtido pela fórmula:

Em que: a1 é o primeiro tempo;

an é o enésimo tempo;

n é o número de termos;

r é a razão da PA

REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS

Podemos utilizar as seguintes representações de PA, que facilitam a resolução de exercícios:

FÓRMULA DA SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A.

Podemos obter a soma dos n termos da PA (a1, a2, a3, ..., an), finita, através da fórmula:

a2 - a1 = a3 – a2 = ... = an+1 – an = r

an = a1 + (n – 1) r

PA de 3 termos x – r, x, x + r Razão: r

Sn

n = a + a1 n

2

204

Em que: a1 é o primeiro termo;

an é o último termo;

n é o número de termos;

Sn é a soma dos n termos.

EXEMPLOS:

1. Os números 3, 6, 10, 15 ... chamam-se números triangulares pois podem ser represen-tados pelas

figuras:

a)Qual é o sétimo número triangular da seqüência dada?

b)Que número se deve somar ao vigésimo nono termo da seqüência, para se obter o trigésimo

termo?

Resolução:

a) Observe que o n-ésimo triângulo é do tipo: 1

2

3

1

ponto

pontos

pontos

pontos ( )n

Assim, o termo an da seqüência 3, 6, 10, 15,... é dado por:

an = 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1)

a7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 a7 = 36

b) Do item a), concluímos que

an = 1 + 2 + 3 + ... + n (n + 1)

ou, ainda, an = an-1 + (n + 1), (n + 2) a30 = a29 + 31

Resposta: a) 36 b) 31

2. A seqüência (4x + 1, x –2, x2 – 5) é uma P.A. calcule x.

Resolução:

Determos ter:

(x – 2) – (4x + 1) = (x2 – 5) – (x –2)

x – 2 – 4x – 1 = x2 – 5 – x + 2

x2 + 2x = 0

x (x + 2) = 0

Logo: x = 0 ou x + 2 = 0

x = -2

Resposta: x = -2 ou x = 0

3. Determine a quantidade de números naturais menores que 200, sabendo que divididos por 7

deixam resto 2.

Resolução:

Os números são: (9, 16, 23, ..., 198)

a1 = 9

205

r = 7

an = 198

an = a1 + (n – 1)r 198 = 9 + (n – 1) . 7

198 = 9 + 7n – 7

7n – 196

n = 28

Resposta: 28

4. Um atleta percorre sempre 500 m a mais do que no dia anterior. Sabendo que ao final de 15 dias

ele correu um total de 67.500m, calcule o número de metros percorridos no terceiro dia.

Resolução:

A progressão é: (x, x + 500, x + 1000, ...)

Logo:

x + x + 500 + x + 1000 + ... = 67.500

Cálculo de an:

an = a1 + (n – 1)r an = n + (15 – 1) . 500

an = x + 7.000

Cálculo de x:

S = a + a

67.500 = x + x + 7.000 15

2 n

1 n n

2

.

135.000 = (2x + 7.000) . 15

9.000 = 2x + 7.000

2x = 2.000

x = 1.000

Mas: a3 = x + 1.000 = 1.000 + 1.000 = 2.000

Resposta: 2.000 m

206




UT 09: Sequências e Progressões

UE 03: Progressão geométrica


DEFINIÇÃO

Progressão geométrica (PG) é uma seqüência numérica em que cada termo, à partir do segundo, é

igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada razão da progressão geométrica.

Algebricamente, temos:

(a1, a2, a3, ..., an, an+1, ...) PG razão q

para uma PG de termos não-nulos a

a

2

1

= a

a = ... =

a

a = q3

2

n+1

n

ou an+1 = an . q

FÓRMULA DO TERMO GERAL

Qualquer termo de uma PG pode ser obtido através da fórmula:

em que n é o número de termos da PG.

REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS

Podemos utilizar as seguintes representações de PG, que facilitam a resolução de exercícios:

PG de 3 termos:

x

q, x, xq razão q

FÓRMULAS DA SOMA DOS n TERMOS DE UMA PG FINITA

A soma dos n termos da PG (a1, a2, a3, ..., an), finita, de razão q, pode ser obtida pelas fórmulas:

Se q = 1 Sn = n . a1

Se que q 1

Em que Sn é a soma dos n termos.

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

A soma dos termos de uma PG infinita, de razão 0 < q < 1, é dada pela fórmula: Sa

n = 1 - q

1 em que

Sn, é a soma dos infinitos termos da PG.

EXEMPLOS:

1. Sabendo que x, x + 9 e x + 45 formam, nessa ordem, uma PG de termos não-nulos, determine x:

Resolução:

Se os termos da PG são diferentes de zero, temos: a

a

2

1

= a

a

x + 9

x =

x + 45

x + 9

3

2 (x + 9)

2 = x(x + 45)

x2 + 18x + 81 = x

2 + 45x

27x = 81 x = 3

Resposta: x = 3

an = a1qn-1

Sq

n

n

= a - 1

q -1

1

207

2. Inserir cinco meios geométricos entre 1 e 64

Resolução: 1

1a an

,-,-,-,-,-, 64

dados

an = a1qn-1 64 = 1 . q7-1

64 = q6

26 = q

6

q = ± 2

Se q = 2 1 2 4 8 16 32 64 Se q = -2 1 -2 4 -8 16 -32 64

Resposta: Temos duas soluções:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) ou (1, -2, 4, -8, 16, -32, 64)

3. A soma de três números em PG é 42 e o produto entre eles é 512. Calcule os três números.

Resolução:

x

q

x

q

+ x + xq = 4 1

. x . xq = 512 2

De ( 2 ) , obtemos:

X3 = 512 x = 5123 x = 2 x = 893

Substituindo x = 8 na equação ( 1) , temos:

8

q + 8 = 8q = 42 8q

2 – 34q + 8 = 0

q2 – 17q + 4 = 0

q' = 4

q" = 1

4

Se q = 4 x = 8 (2, 8 e 32) Resposta: Os números são 2, 8 e 32.

4. A medida do lado de um triângulo eqüilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados

obtém-se um segundo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo

triângulo eqüilátero obtém-se um terceiro e assim por diante indefinidamente.Calcule a soma dos

perímetros de todos esses triângulos.

Resolução:

Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 30,15,15

2,... na qual a1 = 30 e q =

1

2.

S = a

1 - q S =

30

1 - 1

2

= 30

1

2

= 601

Resposta: 60

Temos:

perímetro do 1º triângulo = 30



2

. .

. .

. .

.

K = 5

208


Disciplina: Raciocínio Lógico


UT 10: Estatística

UE 01 – Definição e conceito


Estatística Descritiva

"Ciência que dispõe de processos apropriados para recolher, organizar, classificar, apresentar e

interpretar conjuntos de dados"

População

Coleção de unidades individuais, que podem ser pessoas ou resultados experimentais, com uma ou

mais características comuns, que se pretendem estudar.

A amostragem é uma ferramenta que permite a você analisar uma parte da população sem perder as

suas características básicas. Uma amostra é um pequeno grupo dentro da população desejada.

População é um conjunto de pessoas, de coisas, de objetos, de itens que têm uma característica

própria: todos os alunos de uma escola; todos os funcionários com mais de cinco anos de

experiência; todas as garrafas de vinho; todos os carros produzidos por uma fábrica, e assim por

diante.

Você analisa o comportamento da população com base nos resultados da amostra. Justificam-se os

trabalhos com amostras no lugar de estudar a população

Velocidade: as pesquisas realizadas em amostras são mais rápidas em virtude de conter um menor

número de observações.

Praticabilidade: conforme o próprio conceito, às vezes, a dimensão da população torna as pesquisas

impraticáveis.

Amostragem Aleatória

É uma técnica que visa selecionar os integrantes de uma amostra de tal forma que cada elemento de

uma população tem a mesma probabilidade de ser incluído na amostra.

Experimento Aleatório

Os experimentos aleatórios são aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos, apesar de se

repetirem, várias vezes, em condições semelhantes.

Atributo

O atributo é o nome que se dá a uma variável. O atributo é “tudo aquilo que se diz ou é próprio de

um ser, podendo ser qualitativo ou quantitativo”.

Dados qualitativos

Representam a informação que identifica alguma qualidade, categoria ou característica, não

susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias modalidades.

Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as categorias: Solteiro,

casado, viúvo e divorciado.

209

Dados quantitativos

Representam a informação resultante de características susceptíveis de serem medidas,

apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta (descontínua) -

dados discretos, ou contínua - dados contínuos.

Exemplo: Consideremos uma amostra constituída pelo nº de irmãos de 10 alunos de uma

determinada turma : 3, 4, 1, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 2

Estes dados são de natureza discreta.

Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm):153, 157, 161, 160, 158, 155, 162, 156,

152, 159obteremos dados do tipo contínuo.

Recenseamento

O termo recenseamento está, em regra geral, associado à contagem oficial e periódica dos

indivíduos de um País, ou parte de um País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de

situações. Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte modo:

Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de

adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de

características importantes desse universo.

MÉTODO ESTATÍSTICO

MÉTODO: é um meio mais eficaz para atingir determinada meta.

MÉTODOS CIENTÍFICOS: destacamos o método experimental e o método estatístico

MÉTODO EXPERIMENTAL

Consiste em manter constante todas as causas, menos uma, que sofre variação para se

observar seus efeitos, caso existam. Ex: Estudos da Química, Física, etc.

MÉTODO ESTATÍSTICO

Diante da impossibilidade de manter as causas constantes (nas ciências sociais), admitem todas

essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no

resultado final, que influências cabem a cada uma delas. Ex: Quais as causas que definem o preço

de uma mercadoria quando a sua oferta diminui?

A coleta, a organização ,a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes

pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA, enquanto a análise e a interpretação dos dados,

associado a uma margem de incerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou

INFERENCIAL, também chamada como a medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na

teoria da probabilidade.

VARIÁVEL

É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

VARIÁVEL QUALITATIVA: Quando seu valores são expressos por atributos: sexo, cor da

pele,etc.

VARIÁVEL QUANTITATIVA: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o

conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se portanto da estatística de variável e

se dividem em :

VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA

Seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não negativos. Resulta

normalmente de contagens.

210

Ex: Nº de alunos presentes às aulas de introdução à estatística econômica no 1º semestre de 1997:

mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.

VARIÁVEL CONTÍNUA:

Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus possíveis valores

corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer

valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um

termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por

todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo

Variável Aleatória Independente

Duas variáveis aleatórias que não se afetam mutuamente ou o conhecimento do valor de uma delas

não dá qualquer informação do valor da outra são denominadas de variáveis aleatórias

independentes.

Exemplificando, pode-se dizer que se numa sala houver homens e mulheres, a retirada de um

homem não afeta o conjunto das mulheres, logo as variáveis homens e mulheres são independentes.




UT 10: Estatística

UE 02 – freqüências relativa e absoluta


Dados Discretos

Os dados são organizados na forma de uma tabela de freqüências, análoga à construída para o caso

dos dados qualitativos. No entanto, em vez das categorias apresentam-se os valores distintos da

amostra, os quais vão constituir as classes.

Exemplo:Consideremos a amostra constituída pelo nº de irmãos dos 20 alunos de uma determinada

turma:1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2

Classes Freq.abs. Freq.rel.

0 4 0,20

1 8 0,40

2 4 0,20

3 3 0,15

4 1 0,05

Total 20 1,00

Exemplos -

. Cor dos olhos das alunas: qualitativa

. Índice de liquidez nas indústrias capixabas:quantitativa contínua

. Produção de café no Brasil: quantitativa contínua

. Número de defeitos em aparelhos de TV: quantitativa discreta

211

. Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: quantitativa contínua

. O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa discreta

AMOSTRAGEM

MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

Exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser selecionado.

Normalmente possuem a mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho da população, a

probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N.

Trata-se do método que garante cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências.

Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções

sobre a população a partir do conhecimento da amostra.

É uma técnica especial para recolher amostras, que garantem, tanto quanto possível, o acaso na

escolha.

AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES

É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. É equivalente a um sorteio lotérico. Pode

ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um

dispositivo aleatório qualquer, x números dessa seqüência, os quais corresponderão aos elementos

pertencentes à amostra.

AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA

Quando a população se divide em estratos (sub-populações), convém que o sorteio dos elementos

da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao

número de elementos desses estratos.

Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, do exemplo anterior, supondo, que,

dos 90 alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. São portanto dois estratos (sexo masculino e

sexo feminino). Logo, temos:

SEXO POPULACÃO 10 % AMOSTRA

MASC. 54 5,4 5

FEMIN. 36 3,6 4

Total 90 9,0 9

AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA

Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir o

sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua,

etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema

imposto pelo pesquisador.

Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma amostra formada por 50 casas

para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 900/50 =

18, escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento

sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18.

Assim, suponhamos que o número sorteado fosse 4 a amostra seria: 4ª casa, 22ª casa, 40ª casa, 58ª

casa, 76ª casa, etc

AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (ou AGRUPAMENTOS)

Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente difícil que se identifiquem seus

elementos. Não obstante isso, pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da

212

população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) pode

se colhida, e uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado sorteado.




UT 10: Estatística

UE 03 – Tabelas


TABELA

É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira

sistemática.

De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar :

1)um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero;

2) três pontos ( ... ) quando não temos os dados;

3) zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada;

4) um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor.

Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto..

SÉRIE ESTATÍSTICA

É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em

função da época, do local ou da espécie.

SÉRIES HOMÓGRADAS

São aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser do

tipo temporal, geográfica ou específica.

a) Série Temporal

Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie (fenômeno) são

elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva.

b) Série Geográfica

Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato (espécie) são elementos

fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização.

c) Série Específica

O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série categórica.

SÉRIES CONJUGADAS

Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à apresentação de duas ou mais

séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical.

O exemplo abaixo é de uma série geográfico-temporal.

Normas para Apresentação Tabular dos Dados

Elementos essenciais em uma tabela:

1 . Título

2 . Corpo

3 . Cabeçalho

4 . Coluna Indicadora

213

Título

É a indicação contida na parte superior da tabela, onde deve estar definido o fato observado, com a

especificação de local e época referentes ao fato.

Corpo

É constituído por linhas e colunas, que fornecem o conteúdo das informações prestadas.

Cabeçalho

É a parte da tabela que apresenta a natureza do que contém cada coluna( conteúdo das colunas)

Elementos que completam a tabela

1)Fonte

Designação da Entidade que forneceu os dados estatísticos

2)Notas

Esclarecimentos de natureza em geral

3)Chamadas

Esclarecimentos de uma natureza específica

Testes

1.(TCU)Assinale a opção correta

a) Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados

numéricos.

b) O processo utilizado para se medir as características de todos os membros de uma dada

população recebe o nome de censo.

c) A Estatística descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre

uma população com base na observação de uma amostra.

d) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus componentes.

e) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de uma amostra

aleatória.

Resp.: B

2) (AFC) a tabela abaixo apresenta a distribuição de um grupo de 200 estudantes segundo o curso

que fazem ( Estatística ou Matemática) e o sexo( homem ou mulher).

Homem Mulher

Estatística 40 20

Matemática 80 60

A única afirmação incorreta é:

a) 40% dos homens estudam matemática.

b) 75% das mulheres fazem o curso de matemática.

c) Dois em cada três estudantes de estatística são homens.

d) Um de cada três homens faz o curso de estatística.

e) 60% dos estudantes são homens.

Resp.: A

3)(TCDF) Assinale a opção correta.

a) Em Estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas.

b) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo.

c) Freqüência relativa de uma variável aleatória é o número de repetições dessa variável.

d) A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo.

214

e) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo.

Resp.: D

4) (Petrobrás/analista) Em um determinado país, um grupo de 12 refinarias produz gasolina, óleo

diesel e querosene. Sabe-se que

3 dessas refinarias produzem gasolina, óleo diesel e querosene;

6 refinarias produzem gasolina e querosene;

5 refinarias produzem gasolina e óleo diesel;

4 refinarias produzem óleo diesel e querosene;

Alguma refinaria produz unicamente gasolina, assim como alguma refinaria produz

unicamente óleo diesel.

Com base nas informações da situação hipotética acima, julgue os itens que se seguem:

a) A partir dos dados apresentados, é correto concluir que não existe refinaria no grupo

mencionado que produza unicamente querosene.

b) Pelo menos 6 dessas refinarias produzem gasolina e óleo diesel.

c) Mais de 6 dessas refinarias produzem óleo diesel.

d) Não é possível que duas dessas refinarias produzam apenas querosene.

e) Se existem nesse grupo pelo menos duas refinarias que produzam exclusivamente gasolina, então

não existirá refinaria que produza exclusivamente querosene.

Resp.: E – E – C – C – C




UT 10: Estatística

UE 04 – gráficos


GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir as

tabelas estatísticas.

Características

Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e veracidade.

Gráficos de informação

São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar uma

visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente expositivos, dispensando comentários

explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas

estejam presentes.

Gráficos de análise

São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de

análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os gráficos de análise freqüentemente

vêm acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo,

chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo gráfico.

215

Classificação dos gráficos

• Diagramas

• Estereogramas

• Pictogramas

• Cartogramas

1 - DIAGRAMAS:

São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de

séries estatísticas

1.1 - Gráficos em barras horizontais.

1.2- Gráficos em barras verticais

( colunas )

Quando as legendas não são breves usa-se de preferência os gráficos em barras horizontais. Nesses

gráficos os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for geográfica

ou categórica.

1.3 - Gráficos em barras compostas.

O Gráfico de barras é muito útil para introduzir na comparação um parâmetro não-quantitativo,

como diferentes países (a relação alunos/professor em cada um deles, por exemplo), faixas de renda

ou pesquisas realizadas anteriormente.

1.4- Gráficos em colunas superpostas.

216

Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de apresentar cada

barra ou coluna segmentada em partes componentes. Servem para representar comparativamente

dois ou mais atributos.

1.5- Gráficos em linhas ou lineares.

São freqüentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número de

períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas

flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo

gráfico.

Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variação de dois fenômenos, a

parte interna da figura formada pelos gráficos desses fenômenos é denominada de área de excesso.

Gráfico de linha é o mais indicado para representar a correlação entre duas variáveis, por

exemplo, entre a inflação e o déficit público, ou entre o consumo de proteínas e o quociente de

inteligência (QI). O mais comum é tomar o próprio tempo (horas, dias, meses, anos etc.) como uma

variável, para dar uma imagem da evolução de outra variável -por exemplo, o consumo de energia

elétrica. Observe que quando o tempo é uma das variáveis, ele deve ser expresso no eixo

horizontal.

217

1.5- Gráficos em setores.

Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a

participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos

setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais

aos dados da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.

2 - ESTEREOGRAMAS: São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam volume. São usados nas

representações gráficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gráfico fica

difícil de ser interpretado dada a pequena precisão que oferecem.

218

3 - PICTOGRAMAS: São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico

tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os

símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma

visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos.

219

4- CARTOGRAMAS:

São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os

dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

Como organizar os dados?

Enquanto que no caso de dados discretos, a construção da tabela de frequências não apresenta

qualquer dificuldade, no caso das variáveis contínuas o processo é um pouco mais elaborado,

distinguindo-se certas etapas principais, que se descrevem nas páginas seguintes...

Distribuições características

Alguns histogramas apresentam formas que, pela frequência com que surgem, merecem

referência especial. Assim, as distribuições mais comuns apresentadas pelos dados são:

Distribuições simétricas A distribuição das freqüências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma

classe média:

Distribuições enviesadas

A distribuição das freqüências faz-se de forma acentuadamente assimétrica, apresentando valores

substancialmente mais pequenos num dos lados, relativamente ao outro:

Distribuições com "caudas" longas

A distribuição das freqüências faz-se de tal forma que existe um grande número de classes nos

extremos, cujas freqüências são pequenas, relativamente às classes centrais:

220

Distribuições com vários "picos" ou modas

A distribuição das freqüências apresenta 2 ou mais "picos" a que chamamos modas, sugerindo que

os dados são constituídos por vários grupos distintos:

Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que:

a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o número de meninos nesse mesmo

intervalo de idade.

b) o número total de alunos é 19.

c) a média de idade das meninas é 15 anos.

d) o número de meninos é igual ao número de meninas.

Resposta letra D

221




UT 10: Estatística

UE 05– Distribuição de frequências


DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências (repetições de

seus valores).

Dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É

difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não

ordenados.

Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51

ROL

É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente).

Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60

Distribuição de freqüências

EM INTERVALOS DE CLASSE

É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seu valores. Para um ROL de

tamanho razoável esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que exige muito espaço.

CLASSE

São os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e o número total de classes

simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i = 3.

LIMITES DE CLASSE

São os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe ( li ) e o maior

número, limite superior de classe ( Li ). Ex: em 49 |------- 53,... l3 = 49 e L3 = 53. O símbolo |------

- representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 do ROL não pertence a

classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 |------- 57.

AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE

É obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por hi = Li -

li. Ex: na tabela anterior hi = 53 - 49 = 4. Obs: Na distribuição de freqüência c/ classe o hi será

igual em todas as classes.

AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO

222

É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT =

L(max) - l(min).

Ex: na tabela anterior AT = 61 - 41= 20.

AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL)

É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin.

Em nosso exemplo AA = 60 - 41 = 19.

Obs: AT sempre será maior que AA.

PONTO MÉDIO DE CLASSE

É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. .......

Ex: em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja

x3=( l3 + L3 )/2.

OBSERVAÇÃO: Vejamos um caso em que temos uma distribuição de freqüências por intervalos,

como na tabela abaixo:

Números de Pontos Freqüência

0 | 20 10

20 | 40 30

40 | 60 30

60 | 80 20

80 | 100 10

TOTAL 100

Para determinarmos as medidas de dispersão, acharemos os pontos médios dos intervalos:

Número de Pontos Ponto Médio Freqüência

0 – 20 10 10

20 – 40 30 30

40 – 60 50 30

60 – 80 70 20

80 – 100 90 10

TOTAL 100

223




UT 10: Estatística

UE 06– Médias


MÉDIA ARITMÉTICA

A Média é a primeira e mais importante das Medidas de Posição.

Designada por .

. Cálculo da Média para o Rol

n

XiX

Cálculo da Média para Dados Tabulados:

n

fiXiX

Cálculo da Média para Distribuição de Freqüências:

n

fiPMX

.

Propriedades da Média Aritmética:

Da Soma e Subtração) Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer somarmos ou

subtrairmos uma constante, a média ficará acrescida ou subtraída desta constante.

Do Produto e Divisão) Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer for multiplicado ou

dividido por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida por esta constante.

Dica de Ouro da Média Aritmética:

i) Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número ímpar de classes, a Média será o

Ponto Médio da classe intermediária.

ii) Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número par de classes, a Média será o

limite superior da primeira classe intermediária, que é igual ao limite inferior da segunda classe

intermediária.

224




UT 10: Estatística

UE 07– Medianas e separatrizes


Mediana

Conceito:

Mediana é a medida de tendência central, e também uma medida separatriz, que “separa”, que

divide o conjunto em duas partes iguais.

Relação entre a Mediana e as Demais Medidas Separatrizes:

Trata-se de uma relação visual

Ou seja:

Md = Q2 = D5 = C50

Onde: Q2 = segundo Quartil

D5 = quinto Decil

C50 (ou P50) = qüinquagésimo centil (ou percentil

1a Dica de Ouro da Mediana:

Quando a Distribuição de Freqüências for simétrica, teremos que a Mediana será igual à

Média e à Moda:

= Mo = Md

2a Dica de Ouro da Mediana:

Quando estivermos na fase de compararmos os valores da fac com o valor de referência

(n/2) e, ao fazermos a pergunta de praxe, encontrarmos um valor de fac exatamente igual ao (n/2),

pararemos, e diremos que a Mediana será o limite superior da classe correspondente!

Propriedades da Mediana:

A Mediana será, assim como a Média, influenciada por operações de soma, subtração,

produto e divisão.

Se somarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova Mediana

será (a Mediana anterior) também somada àquela mesma constante;

Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova

Mediana será (a Mediana anterior) também multiplicada àquela mesma constante;

Se dividirmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova Mediana

será (a Mediana anterior) também dividida por aquela mesma constante.

225

(AFRF/2002-2º) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de

tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüência

seguinte:

Xi Freqüência (f)

29,5 – 39,5 4

39,5 - 49,5 8

49,5 – 59,5 14

59,5 – 69,5 20

69,5 – 79,5 26

79,5 – 89,5 18

89,5 – 99,5 10

Assinale a opção que corresponde à estimativa da Mediana amostral do atributo X:

a) 71,04

b)65,02

c)75,03

d)68,08

e)70,02

(AFRF/1998) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra

aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade

monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,

11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23

Assinale a opção que corresponde à mediana (com aproximação de uma casa decimal):

a) 9,0

b)9,5

c)8,5

d) 8,0

e)10,0

226




UT 10: Estatística

UE 08– desvios médios, variância e padrão


(AFRF/2002.1) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram

examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a

tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a

coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os

extremos das classes

Classes P (%)

70 – 90 5

90 – 110 15

110 – 130 40

130 – 150 70

150 – 170 85

170 – 190 95

190 – 210 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X:

a)138,00

b)140,00

c)136,67

d) 139,01

e)140,66

Desvio Médio: É a média aritmética dos módulos dos desvios.

Variância: É a média aritmética dos quadrados dos desvios.

Desvio-Padrão: É a raiz quadrada da variância.

Amplitude: É a diferença entre o maior e o menor valor dessa distribuição.

Desvio: É a diferença entre o ponto médio e a média ponderada calculada com: somatório do

produto entre freqüência vezes ponto médio, dividido pela freqüência total (100).

OBSERVAÇÃO: Vejamos um caso em que temos uma distribuição de freqüências

por intervalos, como na tabela abaixo:

227

Números de

Pontos

Freqüência

0 ├ 20 10

20 ├ 40 30

40 ├ 60 30

60 ├ 80 20

80 ├ 100 10

TOTAL 100

Para determinarmos as medidas de dispersão, acharemos os pontos médios dos intervalos:

Número de Pontos Ponto Médio Freqüência

0 – 20 10 10

20 – 40 30 30

40 – 60 50 30

60 – 80 70 20

80 – 100 90 10

TOTAL 100

Teremos para a média o seguinte valor:

M = 10.10 + 30.30 + 30.50 + 20.70 + 10.90 = 48

100

Então ampliaremos nossa tabela:

Número de

Pontos

Ponto

Médio

Freqüência Desvio Módulo do

Desvio

Quadrado

do Desvio

0 - 20 10 10 -38 38 1.444

20 - 40 30 30 -18 18 324

40 - 60 50 30 2 2 4

60 - 80 70 20 22 22 484

80 - 100 90 10 42 42 1764

TOTAL 100

Logo, temos:

para o desvio médio:

DM = 10.38 + 30.18 + 30.2 + 20.22 + 10.42 = 18,4

100

para a variância:

V = 10.1444 + 30.324 + 30.4 + 20.484 + 10.1764 = 516

100

para o desvio-padrão:

DP = 516 = 22,7

228

As uts 11 e 12 são as mesmas gravações do raciocínio lógico, conforme

combinado caso não desse tempo para gravar: Família: Nível Médio



UT 11: Análise Combinatória

UE 01 – Fatorial


ANÁLISE COMBINATÓRIA é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de

elementos sem precisar de enumerá-los.

A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados,

jogos de cartas, etc

FATORIAL

Definição:

n! = n (n -1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1 para n N e n 1

O símbolo n! lê-se fatorial de n ou n fatorial.

Ex.: 2! = 2 x 1 Convenção:

4! + 4 x 3 x 2 x 1 0! = 1. 1! = 1

Observação: n! = n (n - 1) !

Ex.: 8! = 8 . 7!

10 = 10 . 9!

Questões

01.Simplificar as expressões:

02.Resolva as equações (n R):

a)(n - 5)! = 120

(n - 5)! = 5

n - 5 = 5

n = 5 + 5

n = 10

b)

42!5

!5.6.7

!5

!7

7!68

!678

!68

!8

x

xx

x

n7!1n

!n!1n

nn

nnnnn7

!1

!1!11

nn

nnnn7

!1

1!1

229

n [(n + 1) - 1] = 7n n + 1 – 1 = 7 n = 7





UE 02 – PFC : Introdução


PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM

Exemplos:

01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir?

A escolha de uma camisa poderá ser feita de cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira

camisa poderá escolher uma das quatro saias.

Portanto, o número total de escolhas será: 4 x 5 = 20.

02. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa?

Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa.

Queremos o número de triplas ordenadas (a,b,c) onde a {C,K},b {C,K} e c {C,K}, logo, o

resultado procurado é

2.2.2 = 8

03. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)?

1o 2o 3o

9 x 9 x 9 = 729 números

E se fossem com algarismos distintos?

9 x 8 x 7 = 504 números

04. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração

decimal?

Resolução:

Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

K

C

K

C

C

K

C

K

C

K

C

K

C

K

C – C – C

C – C – K

C – K – C

C – K – K

K – C – C

K – C – K

K – K – C

K – K - K

Pelo o Diagrama da

Árvore

230

9 x 9 x 8 x 7

O número não começar por 0 (zero), logo:

9 . 9 . 8. 7 = 4.536

Resposta: 4.536 números

05. Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1o , 2o e 3o lugares?

1o lugar 2o lugar 3o lugar

6 x 5 x 4 = 120 possibilidades

231





UE 03 – PFC : Problema do Salgado


Veja um outro ponto de vista a respeito de possibilidades:

Quantos são os divisores de 72?

Os divisores de 72 são do tipo 2x 3

y (pois 72=2

3.3

2) onde:

x {0, 1, 2, 3} e y {0, 1, 2}

Logo teremos: 4 possibilidades para x e 3 possibilidades para y.

Total: 4 x 3 = 12

06. De quantas maneiras podemos distribuir aleatoriamente, três bonés, quatro réguas e cinco

canetas entre Henrique e Salgado?

Solução: 4 x 5 x 6 = 120 maneiras

07. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva?

Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2.

Pelo P. F. C., teremos:

Jogo 1 Jogo 2 ... Jogo 14

C1 C

m

C2 C1 C

m

C2 C1 C

m

C2

3 x 3 x...x 3 = 314

resultados

EM RESUMO:

1º) Quantas escolhas devem ser feitas.

2º) Quantas opções cada escolha tem.

3º) Multiplicar tudo!

Se o problema não depender da ordem (por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes,

urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos, etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das

escolhas.

232





UE 04 – PFC : Método


Método: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas.

2º) Quantas opções cada escolha tem.

3º) Multiplicar tudo!

Se o problema não depender da ordem (por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes,

urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos, etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das

escolhas.

08. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma

pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer

essa viagem?

Resolução:

de A para B = 3 possibilidades

de B para C = 4 possibilidades

Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 . 4 = 12

Resposta: 12 modos

09. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro

algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser

constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido?

Resolução:

Placa

2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2

Pelo princípio fundamental da contagem, temos:

2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2 = 480

Resposta: 480 placas

10. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7

?

Resolução:

algarismos : 2, 3, 4, 5 e 7

5 x 4 x 3 5 x 4x 3 = 60

A B C

233

Resposta: 60 números

11. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos,

de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes,

incluindo-se os números que formam o prefixo?

Resolução:

algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Prefixo 5 1

7 x 6 X 5 x 4

colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo:

7 . 6 . 5 . 4 = 840

Resposta: 840 números

234





UE 05 – Tabuleiro de Xadrez


12. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador

deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada

apenas uma peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas?

Resolução:

Para se colocar 1 (uma) peça temos 16 maneiras.

Para se colocar a 1ª peça

temos 16 maneiras:

Para colocar a 2ª peça

temos 9 maneiras:

Para a 3a e 4 a peças temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras.

Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576

Resposta : 576 maneiras

13. Um torneio esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A

Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta

com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que

farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu

namorado, que faz parte da equipe F.

Resolução:

Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes:

escola E 6 . 4 = 24 maneiras

escola F 5 . 3 = 15 maneiras

Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de:

24 . 15 = 360 maneiras

Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de:

(6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos:

360 - 18 = 342

Resposta: 342 maneiras

14. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular,

utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor?

Resolução:

Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pintadas com cores diferentes duas

a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8

cores diferentes, será dado por:

8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720

Resposta: 6.720 modos

235





UE 06 – Uso do E e do OU

Bloco de conteúdo:109

15. (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou

não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois

últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo

n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a:

a) 9

b) 15

c) 20

d) 24

e) 30

Resolução:

Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9

Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 04 opções;

Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 05 opções.

Total de tentativas : 04 x 05 = 20 Portanto n = 20 tentativas.

16. Observe o diagrama

O número de ligações distintas entre X e Z é:

a) 39

b) 41

c) 35

d) 45

Resolução:

Possíveis caminhos

XRZ = 3.1 = 3

XRYZ = 3.3.2 = 18

XYZ = 1.2 = 2

XSYZ = 3.2.2 = 12

XSZ = 3.2 = 6

TOTAL = 41

236

17. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os

algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a:

a) 10

b) 20

c) 48

d) 52

e) 100

Resolução:

é um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeu o erro de fazer o

cálculo:

4 x 5 x 5 = 100(errado!)

Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser repetidos,assim:

Nº com algarismos repetido mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser

formados.

Usando o P.F.C. teremos:

Nº com algarismos repetidos = x

Nº com algarismos distintos = 4x4x3 = 48

Total de nº formados = 4x5x5 = 100

Portanto, x + 48 = 100

x = 52

Resposta : Letra D.

18. Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras

distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las,

é:

a) 1225

b) 2450

c) 250

d) 49!

Resolução: 50 x 49 = 2450

237





UE 07 – Anagramas


O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma

palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através

da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as

condições impostas pelo problema.

19. Com relação a palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar:

a) No total ?

Resolução: 6! = 720

b) Começados por BR ?

Resolução: 4! = 24 |BR| 4.3.2.1

c) Começando por vogal e terminando em consoante ?

Resolução: 2 . 4.3.2.1. 4 = 192

QUESTÕES DE PROVA

(PF/2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família.

Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de

provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses

trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de

Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem

os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além

disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez.

Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens

subseqüentes.

25.( ) (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar

é superior a 12 × 10!.

26.( ) (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o

leão de Neméia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.

27.( ) (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar

a corça de Cerinéia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é

inferior a 72 × 42 × 20 × 6.

28. ( ) (UnB/Agente/PF/2004) “ O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos

“capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em

qualquer ordem, é inferior a 6! × 8!.

238





UE 08 – Anagramas: questão do Cinema


Com relação a palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar:

d) Com as letras BR juntas nesta ordem?

Resolução:BR juntas significa que formarão uma única letra, logo o

anagrama será composto de 5 letras, portanto a resposta é 5! = 120

e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem ?

Resolução: Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240

De quantas maneiras podemos dispor 06 pessoas, dentre elas um casal de namorados, em uma

fileira de cadeiras consecutivas no cinema, de maneira que o casal fique sempre junto?

Comentário: Como queremos o casal “grudado” eles contam como uma pessoa e ai teremos que

permutar 05 pessoas ao invés de seis. Além disso eles não tem uma ordem definida, em podem

permutar entre si, daí:

5!( pessoas) vezes 2!(casal em qualquer ordem) = 5! . 2! = 120 x 2 = 240

QUESTÕES DE PROVA

(PF/2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família.

Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de

provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses

trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de

Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem

os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além

disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez.

Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens

subseqüentes.

( ) (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é

superior a 12 × 10!.

( ) (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão

de Neméia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.

( ) (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a

corça de Cerinéia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é

inferior a 72 × 42 × 20 × 6.

( ) (UnB/Agente/PF/2004) “ O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar

a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer

ordem, é inferior a 6! × 8!.

239





UE 09 – Anagramas com repetição


f) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA?

102.6

120

!2!3

!5

g) E com a palavra ITATIAIA ?

!2!3!3

!8

Comentário:

UMA QUESTÃO TEM 6 PROPOSIÇÕES DO TIPO V OU F. SABE-SE QUE 4 SÃO

VERDADEIRAS E 2 FALSAS. DE QTAS MANEIRAS PODEMOS MARCAR O GABARITO

DESTA QUESTÃO?

resp: 15

Solução: É uma questão de análise combinatória, portanto vou usar o princípio fundamental de

contagem:

É do tipo de ARARA: VVVVFF 152

30

!2!.4

!6

(BB/2007)Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais,

pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação,

se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca,

esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.

ITEM : CORRETO

20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas.Elas são extraídas uma a uma sem reposição.

Quantas seqüências de cores podemos observar?

Resolução:É como se fosse uma seqüência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em qualquer

ordem faremos como se fosse um anagrama com repetição, ou seja,

10!2!.3

!5

21. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e

dirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é movendo–se da esquerda para direita, ou de

baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas

“horizontais” e 3 “verticais”?

240

Idem solução anterior, é uma anagrama com repetição do tipo:

DDDDCCC, ou seja:

35!3!.4

!7

22.O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra APOSTA e que não

apresentam as letras A juntas é:

a) 120

b) 240

c) 360

d) 480

e) 600

Resolução: TOTAL – A juntas = A separadas

240120360

1202

720

!5!2

!6

241





UE 10 – Combinação e Pascal


Em uma outra unidade de estudo abordamos o tema: Pascal, nela mostramos que toda a

análise combinatória pode ser resolvida com o uso do triângulo aritmético de Pascal.

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números

combinatórios.

Triângulo de Pascal

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n = 6 1 6 15 20 15 6 1

n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1

n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8

Em que consideramos o conjunto A = { 1,2,3} e que o número de subconjuntos será 23 = 8

subconjuntos ( soma das linhas) ,ou seja,

P(A)={ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

O triângulo de pascal também pode ser usado como ferramenta em problemas como este, onde

teremos a linha representando os elementos disponíveis e a coluna representando os elementos

“pedidos”.

Questão 01 – (ESAF)Quantas comissões de três pessoas pode-se formar num grupo de 7

componentes?

Comentário: N=7 e P=3 35 (Vide triângulo).

Questão 02 – (CESPE)Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de animação e 5

comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas

distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam comédias e 2

sejam de animação.

Comentário:

- Comédia: N=05 e P=02 10

10 x 15 = 150. O item está correo.

- Animação: N06 e P=02 15

Questão 03 –(CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma

repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2

tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo

242

funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras

diferentes para distribuir essas tarefas.

Comentário:

- 3 em 7 (N=07 e P=03) = 35

- 2 em 4 (N=04 e P=02) = 6 35 x 6 x 1 = 210.

- 2 em 2 (N=02 e P=02) = 1

Veja outros exemplos e suas soluções:

23.O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis

resultados está entre:

a) 15.000.000 e 25.000.000

b) 25.000.000 e 35.000.000

c) 35.000.000 e 45.000.000

d) 45.000.000 e 55.000.000

Resolução:

50.063.8601

55

2

56

3

57

4

58

5

59

6

60

24.Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi

convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2.

O número de modos distintos de se escolherem os discos é:

a) 12

b) 42

c) 160

d) 1.120

e) 1.200

Resolução:

Beatles x Rolling Stones x U2

11201

2

2

3

3

4

1

7

2

8

1

4

2

5xx

25.Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o

número de apertos de mão dados será igual a:

a) 55

b) 65

c) 110

d) 121

Resolução:

Precisamos de 2 mãos :

551

10

2

11

O total de números com três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos ( 0, 1,

2, 3, 5 e 7) que sejam pares é: " não consego vizualizar apenas os pares ou impares".

Solução:esta questão esta com a resposta errada...

Primeiro daremos prioridade para o número ser Par:

_ _ 0 5 x 4 = 20( terminados em zero)

Ou

_ _ 2 Não temos número começando com zero, logo:

243

4 x 4 = 16

Total = 36 letra D

QTOS NÚMEROS PARES, FORMADOS POR ALGARISMOS DISTINTOS, EXISTEM

ENTRE 500 E 2000?

resp: 464

Solução: Numero depende da ordem , portanto é um problema classificatório, e não dividimos,ok!

Teremos centenas e milhares, ou seja, números de 3 e quatro algarismos:

Centenas:5 _ _

8 x 5 = 40

6 _ _

8 x 4 = 32

7 _ _

8 x 5 = 40

8 _ _

8 x 4 = 32

9 _ _

8 x 5 = 40

Milhares :1 _ _ _

8 x 7 x 5 = 280

Total = 464, não sei se vc entendeu, pois este é trabalhoso,bjosss e boa prova!!!!!!!!!!!!!!!!!!

COM OS ALGARISMOS DO CONJUNTO A= {0,1,2,3,4,5,6,7} PODEMOS FORMAR

EXATAMENTE QUANTOS NÚMEROS PARES COM 3 ALGARISMOS DISTINTOS?

resp;150

Solução: Numero depende da ordem , portanto é um problema classificatório, e não dividimos,ok!

Os números poderão terminar em 0,2,4 ou 6:

Terminados em zero: 7 x 6 = 42

Terminados em dois: 6x6 = 36

Terminados em quatro: 6 x 6 = 36

Terminados em seis: 6 x 6 = 36

Total = 150





UE 11 – Comissões


26.Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de

exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse

tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três

exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número máximo de dias que o paciente

poderá manter esse procedimento é:

a) 35 b) 38 c) 40 d) 42

244

Resolução:

351

5

2

6

3

7

27. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alunos em 2 salas de aula, com 7 e 3

lugares, respectivamente?

a) 120

b) 240

c) 14.400

d) 86.400

e) 3.608.800

Resolução:

Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala;

1201

8

2

9

3

10

28.O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos

distintos é:

a) 250

b) 321

c) 504

d) 576

Resolução:

Para ser múltiplo de 10 o zero tem que estar fixo na casa das unidades, portanto:

576 total

504 0 789

72 0 89

245





UE 12– Outro enfoque: Problema das Lâmpadas


29.Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar

essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é:

a) 63

b) 79

c) 127

d) 182

e) 201

Resolução:

Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâmpada esteja acesa.As opções

de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo:

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1

(todas apagadas) = 63

30. O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo

ponto (.) ou pelo traço (-). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis através do código

Morse é:

a) 16

b) 64

c) 30

d) 8

e) 36

Resolução:

Pode-se formar palavras de uma, duas, três ou quatro letras e as opções por letra são duas (ponto ou

traço), logo:

30 total

) letras 4 ( 162.2.2.2

) letras 3 ( 82.2.2

) letras 2 ( 42.2

) letra 1 ( 2

31. O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo

que nenhuma caixa fique vazia, é:

a) 45

b) 90

c) 1022

d) 101

Resolução:

São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022

(opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)

246





UE 13– Agrupamento de Pessoas


Veja uma abordagem diferente onde misturamos, em teoria, Arranjo e combinação:

Uma CPI (Comissão Parlamentar de Inquérito) será formada por 5 membros: três da base governista

e dois da base oposicionista. Caberá ao governo indicar o presidente, o vice e o relator. A oposição

indicará as duas vagas restantes. Se o governo dispões de 4 candidatos para os cargos e a oposição

3, o número de comissões que podem ser formadas é:

a) 24

b) 72

c) 144

d) 288

Solução:

,721

2.

2

32.

3.

4x a primeira parte não divide porque são cargos classificatórios( presidente, vice e

relator,ok!

.(BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em

uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha,

também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em

cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a

quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

ITEM CORRETO

Comentáro: Resolução:

É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio fundamental de contagem:

Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja:

661

11

2

12x pares diferentes , ou , 66

!2!.10

!122,12C

34. Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3

agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários

247

Resolução:

1ª agência x 2ª agência x 3ª agência

34650170495

1

1

2

2

3

3

4

4

1

5

2

6

3

7

4

8

1

9

2

10

3

11

4

12

35.A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro

integrantes. Nesse grupo,incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o

outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois,juntos, não deveriam participar da

comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa

comissão?

a) 70

b) 35

c) 45

d) 55

RESOLUÇÂO:

Total de comissões – comissões (Gustavo e Danilo juntos)

5515701

5.

2

6

1

5.

2

6.

3

7.

4

8

35. Um automóvel comporta dois passageiros nos bancos da frente e três no detrás. Calcule o

número de alternativa distintas para lotar o automóvel com pessoas escolhidas dentre sete, de modo

que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.

Resolução:

O número total de pessoas é igual a 7, logo:

A

Fixando a pessoa A no banco detrás, restam 6 pessoas para os quatro lugares restantes, isto é: A6,4.

Como a pessoa A pode ser colocada em três lugares no banco detrás, temos:

3 . A6,4

Resposta: 1.080 alternativas

36. Sobre uma circunferência tomam-se 7 pontos distintos. Calcule o número de polígonos

convexos que se pode obter com vértices no pontos dados.

080.13.4.5.6.3!2

!6.3

248

Resolução:

número de triângulo C7,3 = 35

número de quadriláteros C7,4 = 35

número de pentágonos C7,5 = 21

número de hexágonos C7,6 = 7

número de heptágonos C7,7 = 1

Logo, o número total de polígonos é:

35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 99

Resposta: 99 polígonos

37. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos

formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

Resolução:

Diretoria

Brasileiros Japoneses

C6,3 C4,2

Logo:

Resposta: 120 modos

38. Um agrônomo quer comprar 3 caminhões e 4 tratores de uma firma que possui 6 caminhões e 8

tratores, todos de modelos diferentes. Quantas escolhas ele tem?

Resolução:

Como não importa a ordem de escolha dos caminhões e dos tratores, o problema é de combinação,

logo:

caminhões C6.3 maneiras diferentes

tratores C8,4 maneiras diferentes.

Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos:

Resposta: 1.400 escolhas

39. Seis tijolos, cada um de uma cor, são empilhados. De quantos modos se pode fazer isto, de

forma que o verde e o amarelo estejam sempre juntos?

120!2!.2

!4.

!3!.3

!6. 2,43,6 CC

400.170.20!4 !4

!8.

!3 !3

!6. 4,83.6 Cc

B

A C

G

D

F

E

249

Resolução:

VERDE

AMARELO

O número de modos é dado por:

P5 . P2 = 5! . 2! = 120 . 2 = 240

Resposta: 240 modos

40. De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de

modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física fiquem,

entre si, sempre na mesma ordem?

Resolução:

Matem. Português Física

F1 F2 F3 F4

P2 P3

P3

Logo, devemos ter:

P2 . P3 . P3 = 2 . 6 .6 = 72

Resposta: 72 modos

5

2

250





UE 14– Questão da Lanchonete


Soluções inteiras não negativas de uma equação linear

Ex.: Considere a equação linear

x + y = 5, quantas soluções inteiras não negativas podemos obter:

(0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0), portanto teremos 6 soluções inteiras não negativas.

Considere agora a equação

x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande , e corremos o risco de

esquecer alguma solução.

Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número

maior ou igual a zero.

Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que

corresponde aos sinais de adição:

Logo teremos uma permutação com elementos repetidos( como em ARARA), assim:

36!2!7

!9

Portanto existem 36 soluções inteiras positivas para a equação.

Questão da Lanchonete

Fui à lanchonete do Seu Fausto e pedi 10 refrigerantes para levar para a equipe de filmagem.

Ele disse que tinha : Coca, Fanta, Sprite e Guaraná. De quantas maneiras distintas posso fazer o

pedido?

Comentário:

10 Posso pedir tudo de um único sabor ou dois , ou três ou quatro sabores.

Por exemplo:03 cocas, 03 fantas, 02 sprites e 02 guaranás

251

05 cocas, 0 fantas, 05 sprites e 0 guaranás

Traduzindo para o macete acima: C + F + S + G = 10

= BBBTBBBTBBTBB, resumindo anagrama com repetição ou macete ds

ARARA, logo teremos:

RESUMO:

FATORIAL

A) n! = n fatorial

B) Propriedade

ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES

A) Arranjo Simples:

agrupamentos que diferem pela ordem e natureza

B) Permutação simples:

Pn = n!

agrupamentos que diferem pela ordem (Anagramas)

C) Combinação simples:

agrupamentos que diferem pela natureza.

1!0

1!1

1!n0n

1!n1n

.1.2.3......2n.1n.n!n1n

e Nn

nn

nn

n

n

!1

!1.

!1

!

!pn

!nA p.n

!p!.pn

!nC p,n

252




UT 12: Probabilidades

UE 01– Definição


A probabilidade está associada ao estudo da Genética( exemplo visto anteriormente); jogos

de azar; estatísticas e etc.

Moivre foi o mais importante devoto da Teoria das Probabilidades, em sua obra “doutrina das

Probabilidades”, publicada em 1718, ele apresenta mais de 50 problemas, além da lei dos erros ou

curvas de distribuição.

Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve a organização e a

sumarização de dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma base racional para lidar com

situações influenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria

da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras.

O ponto central em todas as situações onde usamos probabilidade é a possibilidade de

quantificar quão provável é determinado EVENTO.

As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado

evento.

ESPAÇO AMOSTRAL Chamamos de espaço amostral (S) um conjunto formado por todos os resultados possíveis

de um experimento aleatório.

Chama-se Evento (E) todo subconjunto de (S), associado a um experimento aleatório a

qualquer.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO ELEMENTAR Vejamos as situações seguintes:

1. Lançamento de uma moeda e observação da face superior.

Seja S = { k, c } o espaço amostral, onde c representa “cara” e k, “coroa”. Os números ½ e ½

podem representar as chances de ocorrência dos eventos elementares {k} e {c}.

É razoável esperar que, num grande número de lançamentos, em aproximadamente metade deles

ocorra cara e na outra metade ocorra coroa.

Indicamos então:

PK = ½ E PC = 1/2

Generalizando, sendo

S = {e1, e2, e3, . . ., en} ,

Um espaço amostral finito, a cada evento elementar {e1} associamos um número real p({ei}),

chamado

probabilidade do evento elementar{ei}, que satisfaz as seguintes condições:

p({ei}) é um número não-negativo: p({ei}) 0;

A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é 1:

p({e1}) + p({e2}) + . . . + p({en}) = 1

Consequentemente, para qualquer evento elementar {ei} temos:

253

10 iep

Exemplo: Na seqüência de números 1, 2, 3, ..., 100, qual a probabilidade de sortearmos um número

que não é múltiplo de 3 e nem de 4 ?

a) 50% b) 48% c) 46% d) 44% e) 42%

Comentário: Trata-se de uma questão matemática, onde o conhecimento de conjuntos numéricos é

necessário.


Múltiplos de 4 de 1 até 100 , é só dividir por 4 100 ÷ 4 = 25


O resto não é importante , mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são divisíveis por 12, logo:

Logo temos 50 números que não múltiplos nem de 3 e nem de 4,ok!

Assim a probabilidade será : 50/100 = 50%

Alternativa A

M(3) M(4)

33 – 8 = 8 25 – 8 =

25 17 100 – (25 + 8 + 17 ) = 50

254





UE 02– Probabilidade de Um evento qualquer: problema da moeda


Probabilidade de um evento qualquer

No lançamento de uma moeda defeituosa, qual a probabilidade de sair cara, sabendo-se que

esta é o dobro da probabilidade de sair coroa?

SOLUÇÃO:

Temos p(c) = 2p(k) e p(c) + p(k) = 1.

Portanto:

3

2)( :Portanto

3

112

cp

kpkpkp

Ainda no exemplo anterior, se jogássemos 03 vezes consecutivas este dado, qual a

probabilidade de sair 02 caras e 01 coroa?

Resolução:

As possíveis maneiras são:

CCK, CKC ou KCC, portanto teremos:

9

4

3

2

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

2xxxxxx

Adição de Probabilidades

Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, tem-se que:

P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A B)

“A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades de A e B,

menos a probabilidade da interseção de A com B.”

Exemplos:

• Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a

probabilidade de que ela seja branca ou verde?

Solução

A probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma bola verde é dada por:

P(B V) = P(B) + P(V) - P (B V)

mutuamente exclusivos.

Logo,

P(B

P(B

• Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par?

Solução

O número de elementos do evento número 4 é n(A) = 1.

O número de elementos do evento número par é n(B) = 3.

P (A – 1/6 =3/6

P (A B) = 1/2

255





UE 03– Eventos complementares e exclusivos


Eventos Complementares O evento “ ” é complementar do evento “E”, quando constituído por todos os elementos do

espaço amostra que não pertencem ao evento “E”.

Exemplo: No lançamento de um dado honesto, o evento número ímpar {1, 3, 5} é o evento

complementar do evento número par {2, 4, 6}.

Então: E = {2, 4, 6}

= {1, 3, 5}

Eventos Mutuamente Exclusivos

Os eventos exclusivos jamais ocorrem simultaneamente.

Ex.: A = {2, 4, 5} e B = {1, 3, 6} são mutuamente exclusivos porque jamais ocorrem

simultaneamente.

QUESTÕES DE PROVA

(TRT/2004) Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5

de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um

grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

.( ) A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005.

. ( ) As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos sejam de professor é superior a

80%.

. ( ) O número de possíveis grupos contendo 1 processo de bancário,1 processo de professor e 1

processo de médico é inferior a 55.

Respostas: C – C - C

256





UE 04– probabilidade equiprovável


Probabilidade Amostrais Equiprováveis

Um espaço amostral é chamado eqüiprovável quando seus eventos elementares têm iguais

probabilidades de ocorrência. Observamos a seguinte situação:

No lançamento de um dado não-viciado e observação da face superior, temos as seguintes

possibilidades:

Como o dado não é viciado, consideramos essas possibilidades equiprováveis, ou seja, têm a

mesma probabilidade de ocorrer.

Utilizando um raciocínio semelhante ao de Fermat, observamos que temos uma

possibilidade favorável de que ocorra o evento desejado,

Por exemplo, o aparecimento do número 5 na face superior do dado - num total de 6

possibilidades. Diremos então que a probabilidade de que o referido evento ocorra é 1/6.

Generalizando, se num fenômeno aleatório as possibilidades são equiprováveis, então a

probabilidade de ocorrer um evento E, que indicaremos por p(E), será dada por:

P(E) =

número de possibilidades favoráveis

Número total de possibilidades





UE 05– Questão de conjunto


Ex.:Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em

relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que:

210 pessoas compram o produto A;

210 pessoas compram o produto B;

250 pessoas compram o produto C;

20 pessoas compram os 3 produtos;

100 pessoas não compram nenhum dos 3;

60 pessoas compram os produtos A e B;

70 pessoas compram os produtos A e C;

50 pessoas compram os produtos B e C.

Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:

257

Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados.

Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja:

a) Consumidora de apenas um dos produtos?

61

37

610

3701P

b) Consumidora de no mínimo 02 produtos?

61

14

610

1402P

258





UE 06– probabilidade condicional


Probabilidade Condicional

Analisemos a seguinte situação:

Retirando-se sucessivamente, e sem reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas, qual é a

probabilidade de ocorrerem 3 de espada?

SOLUÇÃO:

Chamemos de E o evento ”ocorrerem 3 cartas de espadas”. Na 1ª retirada, a probabilidade de

ocorrer carta de espadas é 13/52 (num baralho de 52 cartas, há 13 de espadas; tendo sido obtida 1

carta de espadas, a probabilidade de ocorrer outra é12/51; obtidas 2 cartas de espadas nas duas

primeiras retiradas, a probabilidade de ocorrer outra na 3ª retirada é 11/50. Usando a fórmula da

probabilidade condicional, temos:

850

11

50

11.

51

12.

52

13Ep

CURIOSIDADE:

Num jogo de Pôquer , qual a probabilidade de ocorrer uma trinca e uma dupla?(

considerando que um jogador recebe as cinco cartas de uma só vez)

Solução:

A 1ª carta é aleatória: 52/52

A 2ª carta terá probabilidade: 3/51

A 3ª carta terá probabilidade: 2/50

A probabilidade da 4ª: 48/49

E a da 5ª: 3/48

Daí teremos o seguinte:

NNNPP em qualquer ordem, ou seja:

10!2!.3

!5

10 maneiras diferentes disto acontecer. Logo a probabilidade desejada será:

165.4

610

48

3

49

48

50

2

51

3

52

52xxxxx

Que corresponde a 0,00144 = 0,1%!!!

259





UE 07– eventos independentes


Eventos Independentes

Dizemos que n eventos E1, E2, E3, ..., En são independentes quando a probabilidade de ocorrer um

deles não depende do fato de terem ou não ocorrido os outros.

Para n eventos independentes temos:

p(E1 e E2 e E3 e ... e En) = p(E1) . p(E2) . p(E3) . ... . p(En)

EXEMPLO No lançamento de 2 moedas não viciadas, qual é a probabilidade de ocorrerem 2 caras?

SOLUÇÃO Vamos chamar de E1 o evento “ocorrer cara na 1ª moeda” e de E2 o evento “ocorrer cara na 2ª

moeda”. Aplicando fórmula da probabilidade dos eventos independentes, temos

4

1

2

1.

2

1. e 2121 EpEpEEp

Exemplo (FCC)Em um setor de fabrica trabalham 10 pessoa que serão divididas em dois grupos de

5 pessoas para cada realizar determinadas tarefas. João e Pedro são duas dessas pessoas. , nesse

caso, a probabilidade de João e Pedro ficarem no mesmo grupo é

a. INFERIOR A 0,36.

b. SUPERIOR A 0,36 E INFERIOR A 0,40.

c.SUPERIOR A 0,40 E INFERIOR A 0,42.

d. SUPERIOR A 0,42 E INFERIOR A 0,46.

e. SUPERIOR A 0,46

comentário:

João e pedro participando: )(1122561

6

2

7

3

8,, posnosdoisgruicarjuntoselespodemfxxxPJ

Total de comissões: 2521

6

2

7

3

8

4

9

5

10xxxx

Probabilidade: 4444,09

4

252

112

260





UE 08– Lei de Murphy


Até mesmo a Famosa lei de MURPHY:

Ao tentarmos abrir uma porta temos em mãos uma penca com 05 chaves e não sabemos qual delas

abrirá a porta. Então tentamos a 1ª e se não conseguirmos (separamos esta), tentamos a segunda, e

assim por diante até chegar na última, sempre separando a que já tentamos. Segundo MURPHY a

probabilidade de acertarmos a chave na última tentativa é maior que na primeira e ele está certo ou

errado?

Responda você.

Ele está errado, pois é a mesma probabilidade:

Temos que analisar o problema da seguinte maneira:

P(a) = acertar a chave = 1/5 e P(e) = errar a chave 4/5

1ª tentativa: 1/5

2ª tentativa: 5

1

4

1.

5

4

3ª tentativa: 5

1

3

1.

4

3.

5

4

4ªtentativa: 5

1

2

1.

3

2.

4

3.

5

4

5ªtentativa: 5

1

1

1.

2

1.

3

2.

4

3.

5

4

261





UE 09– probabilidade de não ocorrer um evento


Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Na representação deste item, vamos analisar dois exemplos:

Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de essa carta ser uma

figura (valete, dama ou rei)?

Chamemos de E1, o evento “a carta retirada ser de um valete”, de E2 o evento “a carta retirada ser

de uma dama”, e de E3 o evento “a carta retirada ser de um rei”. Aplicando a fórmula da

probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos, temos:

= p(E1 e E2 e E3) = p(E1) . p(E2) . p(E3)

13

3

13

1

13

1

13

1

52

4

52

4

52

4

Probabilidade de não ocorrer um evento 1.Dois prêmios iguais são sorteados entre 5 concorrentes, sendo 3 brasileiros e 2 italianos.

Admitindo que a mesma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, qual é a probabilidade de ser

premiado pelo menos um brasileiro?

Ser premiado pelo menos um brasileiro implica não serem premiados 2 italianos.

Chamemos de E o evento “serem premiados 2 italianos”. Usando a fórmula da probabilidade

condicional, verificamos que a probabilidade de serem premiados 2 italianos é:

10

1

4

1.

5

2Ep

Aplicando agora a fórmula da probabilidade de não ocorrer o evento E, obtemos a probabilidade de

ser premiado pelo menos um brasileiro:

10

9

10

11p(E)1Ep

Questão.( UFMG ) Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utilizam dois cubos.

Algumas faces desses cubos são brancas e as demais, pretas. O jogo consiste em lançar,

simultaneamente, os dois cubos e em observar as faces superiores de cada um deles quando param:

se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá; e

se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá.

Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas e uma preta e que a probabilidade de Leandro

vencer o jogo é de 11/18.

Então é correto afirmar que o outro cubo tem:

A)Quatro faces brancas.

B)Uma face branca

262

C)Duas faces brancas.

D)Três faces brancas.

Comentário:

X número de faces pretas do segundo cubo.

Logo teremos:

2

22530

18

11

6

)6(.

6

5

6.

6

1

x

xx

xx

Resposta letra A

263





UE 10– Distribuição binomial


Distribuição Binominal

Generalizando, se em cada uma das n tentativas de um fenômeno aleatório a probabilidade de

ocorrer um evento é sempre P(E), a probabilidade de que esse evento ocorra em apenas K das

n alternativas é dada por:

kP

nk

n P-1..k

nP

Exemplo

01. Um casal tem 8 filhos, sendo que não há gêmeos entre eles. Qual é a probabilidade de esses

filhos serem:

a) 8 homens?

b) 7 homens e 1 mulher?

c) 4 homens e 4 mulheres?

SOLUÇÃO

a) Aplicando a fórmula da distribuição binominal, temos:

A probabilidade de que ocorram 8 homens é:

256

1

2

1.

2

1.

8

808

8P

b) A probabilidade de que ocorram 7 homens e 1 mulher é:

256

8

2

1.

2

1.

7

817

7P

C) outra maneira:

HHHHMMMM que é o mesmo que um anagrama com 8 letras, sendo 4 Hs e 4Ms, portanto usando

o da ARARA, teremos:

70!4!.4

!8 possíveis resultados.

Agora sabemos que temos duas opções de sexo: homem ou mulher, e como são 08 filhos , o total de

possibilidades será

2.2.2.2.2.2.2.2= 256

Assim a probabilidade desejada, será:

128

35

256

70P

264





UE 11– questão da cesgranrio esaf


04. (Cesgranrio/Controlador/Aeronáutica/2007) Há duas urnas sobre uma mesa, ambas contendo

bolas distinguíveis apenas pela cor. A primeira urna contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. A

segunda urna contém 1 bola branca e 2 bolas pretas. Uma bola será retirada, aleatoriamente, da

primeira urna e será colocada na segunda e, a seguir, retirar-se-á, aleatoriamente, uma das bolas da

segunda urna. A probabilidade de que esta bola seja branca é:

a) 1/12

b) 1/6

c) ¼

d) 1/3

e) 5/12

Comentário: Solução:

U1 = )3/1(1

)3/2(2

P

B U2=

)3/2(2

)3/1(1

P

B

Ao retirarmos uma bola qualquer que pode ser branca ou preta da urna U1, a probabilidade de se

retirar uma branca da urna U2, será:

Se a bola retirada for branca teremos:BB

Se a bola retirada for preta teremos:PB

Daí pode acontecer: BB ou PB, donde:

12

5

4

1

3

1

4

2

3

2

Resposta letra E

05. Antônio, Bruno, César, Dário e Ernesto jogam uma moeda idônea 11,12,13,14 e 15 vezes,

respectivamente. Apresenta a menor chance de conseguir mais caras do que coroas:

A) Antônio D) Dário

B) Bruno E) Ernesto

C) César

Comentário: A menor chance de conseguir mais caras do que coroas significa a menor

probabilidade de obter mais caras que coroas.Portanto, temos que analisar caso a caso:

A) Antônio – 11 vezes

%505,012

6

265

caras coroas

11 0

10 1

9 2

8 3

7 4

6 5

5 6

4 7

3 8

2 9

1 10

0 11

B) Bruno – 12 vezes

%15,464615,013

6

caras Coroas

12 0

11 1

10 2

9 3

8 4

7 5

6 6

5 7

4 8

3 9

2 10

1 11

0 12

E assim por diante, logo:

C)Cesar – 13 vezes : Serão 7 em 14, ou seja, 50%

D) Dário – 14 vezes : Serão 7 em 15, ou seja, 46,66%

E) Ernesto – 15 vezes : Serão 8 em 16, ou seja, 50%

Resposta letra B

266





UE 12– Propriedades da condicional


Propriedades;

)()(

)()(

BAPBAP

BAPBAP

COMENTÁRIO: Em outra unidade de estudo abordamos o tema Negação de uma conjunção de

uma disjunção, este assunto esta diretamente ligado às propriedades acima, veja o lembrete:

PROPOSIÇÃO EQUIVALENTE DA NEGAÇÃO

A e B Não A ou não B

A ou B Não A e não B

Ou seja:

A negação do E é OU

e a negação do OU é E.

Questão (FGV). Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para

verificar o nível do óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é

0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos é 0,04. Portanto, a probabilidade de Ligia

parar em um posto de gasolina e não pedir pra verificar nem o nível de óleo e nem para verificar a

pressão dos pneus é de:

A - 0,25

B – 0,35

C – 0,45

D – 0,15

E – 0,65

Óleo Pneu 0,24 0,04 0,07

1- ( 0,11 + 0,04 + 0,24) = 0,65

267





UE 13– Teorema de Bayes


Teorema de Bayes (novo não está no arquivo env)

Se A1,A2,A3,...,Ai são eventos mutuamente exclusivos de maneira que A1 A2 ...=S

P(Ai) = prob conhecidas dos eventos

B = um evento qualquer de s, conhecendo-se todas as probabilidades de P(B/A)

Então,

...))/().(/().(

)/().()/(

2211 ABPAPABPAP

ABPAPBAP ii

i

Questão:

Urnas Cores

U1 U2 U3

Pretas 3 4 2 9

Brancas 1 3 3 7

Vermelhas 5 2 3 10

9 9 8 26

Escolheu-se uma urna ao acaso e tirou-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca.

Deseja-se determinar a probabilidade da bola ter vindo da urna 2. Da urna 3.

P(U1) = 1/3

P(U2) = 1/3

P(U3) = 1/3 ( eventos equiprováveis)

P(Br/U1)=1/9

P(Br/U2)=3/9=1/3

P(Br/U3)=3/8

59

24

8

3.

3

1

3

1.

3

1

9

1.

3

13

1.

3

1

)/( 2 BrUP

Faça você agora para a urna 3.

Resposta: 27/59

268





UE 14– Questões


QUESTÕES DE PROVA

O enunciado a seguir refere-se às questões de nºs 46 e 47.

Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representadas em

cada uma delas as letras T, C e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer.

O participante deve ordenar as fichas, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla

TCE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta, ganhará um prêmio de R$

500,00.

A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a:

a) 0

b) 1/6

c) 1/4

d) 1/3

e) 1/2

Comentário:

3

1

1

1

2

1

3

2xx

RESPOSTA:

ALTERNATIVA D

A probabilidade de o participante ganhar exatamente o valor de R$1000,00 é igual a:

a) 3/4

b) 2/3

c) 1/2

d) 1/6

e) 0

Letra E, pois se ele acerta duas , ele acerta 03, portanto não tem como ele ganhar exatamente

1000,00.

Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa

urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a

primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?

a) 15

b) 20

c) 23

d) 25

e) 27

RESPOSTA:

ALTERNATIVA C

Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não-viciado, até que se obtenha 6 pela primeira

vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é

269

a) 150/216

b) 91/216

c) 75/216

d) 55/216

e) 25/216

Resposta letra D

270





UE 15– Problema do filme quebrando a banca


05) (ESAF/MPOG/2005) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal,

com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem

“cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco,

ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se

que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de

que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a:

a) 1/2

b) 1/3 d) 2/3

c) 1/4 e) 3/4

(Cesgranrio/Téc. Adm./MP-RO/2005) Pedro e Paulo estavam brincando com dados perfeitos. Um

dos meninos lançava dois dados e o outro tentava adivinhar a soma dos pontos obtidos nas faces

voltadas para cima. Pedro lançou os dados sem que Paulo visse e disse: “Vou te dar uma dica: a

soma dos pontos é maior que 7”. Considerando que a dica de Pedro esteja correta, Paulo terá mais

chance de acertar a soma se disser que esta vale:

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

Resposta letra D

Matemática

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