Introdução: 1.Números primos e

números compostos; 2.Adição e subtracção com

representação na recta numérica;

3.Multiplicação e divisão em q – propriedades;

4.Potências, raiz quadrada e raiz cúbica;

1. Números primos e números compostos:

Para melhor identificação de números primos e números compostos deve-se recordar o conceito de divisor e de um número natural.

Um número natural diferente de 1 diz-se: Número primo se e só tem exactamente dois

divisores: o 1 e o próprio número;Ex: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,5

961,67,71,73,79,83,89,97...Nota: Para melhor identificação de números primos e números compostos deve-se recordar o conceito de divisor e de um número natural.

Número composto se e só se tem mais de dois divisores.

Ex:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100….etc.

Nota: o número 1 não é número primo nem número composto.

No conjunto dos números naturais tem-se:

Múltiplos de um número natural são todos os números que se obtêm multiplicando esse número por cada um dos números naturais.

Divisores de um número natural são todos os números naturais que o dividem exactamente.

Decomposição e factores primos:

Dado um número natural maior que 1 e que não seja número primo, é possível representá-lo na forma de produto cujos factores sejam números

primos, ou seja, é possível decompô-lo num produto de número primos.Ex:1ºProcesso:Começa-se por transformar 36 num produto de dois factores .

Por exemplo, 36=4×9 .Os factores 4 e 9 não são primos. Mas, 4=2×2 e 9=3×3 .

36=2×2×3×3 OU36=22×32

2ºProcesso:

Partindo da decomposição, 36=2×18Como 2 é número primo e 18 é número composto, tem-se:

Ou seja,36=22×33

3ºProcesso: Utilizam-se divisões sucessivas em que os divisores são números primos.

32 2Quocientes parcelares 16 2 8 2 4 2 2 2 1 Factores primos

Daqui resulta que:2×2×2×2×2=32

OU 25

Propriedade:Qualquer número natural composto pode ser representado como produto de números primos. Esta decomposição é única, não considerando a ordem dos factores.Esta propriedade é designada por Teorema fundamental da aritmética.

Máximo divisor comum (m.d.c) e mínimo múltiplo comum (m.m.c)

Regras práticas:1.Para determinar o m.d.c. de dois ou mais números: 1º.Descompor os números dados em factores primos; 2º.Escolher os factores primos comuns elevados ao menor expoente; 3º.O produto desses factores é o máximo divisor comum.2.Para determinar o m.d.c. de dois ou mais números: 1º.Decompor os números dados em factores primos; 2º.Escolher os factores primos comuns e não comuns elevados maior expoente; 3º.O produto desses factores é o mínimo múltiplo comum.

Propriedade: O produto do mínimo múltiplo comum pelo máximo divisor comum de dois naturais é igual ao produto entre eles.

Recorda: Dois números naturais a e b dizem-se primos entre si se m.d.c. (a,b)=1.

2. Adição e subtracção com representação na recta numérica

2.1.Representação de números racionais na recta numérica São várias as situações em que há necessidade de indicar se um certo número está “acima de zero” ou “abaixo de zero”.

Recorda:Conjuntos numéricos

O conjunto dos números inteiros representa-se por Z.

Z ={. .. ,−6 ,−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1,0 ,+1,+2 ,+3 ,+4 , .. . } O conjunto dos números inteiros negativos é Z− .

Z− ={. .. ,−6 ,−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1 }O conjunto dos números inteiros positivos é representado por Z+ .

Z+ ={+1 ,+2 ,+3 ,+4 ,. .. }

Números naturais 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Números inteiros números inteiros Negativos positivos

Se reunirmos o conjunto dos números fraccionários obtemos o conjunto dos números racionais que se representa por Q.

O conjunto dos números que podem ser representados por uma fracção de números inteiros chama-se conjunto dos números racionais e representa-se por Q.Q+ : Números racionais positivos;Q− : Números racionais negativos.

Na recta numérica, a cada ponto correspondente um número e a cada número corresponde um ponto da recta.

Ao número correspondente a um ponto da recta dá-se o nome de abcissa desse ponto.

Abcissa é a coordenada horizontal de um referencial plano de coordenadas cartesianas. Representando esse referencial sob a forma de um gráfico, obtemos a abcissa (x) medindo a distância do ponto observado ao eixo das ordenadas  (y), perpendicular ao eixo das abcissas.

As abcissas dos pontos assinalados são -3, -1.5, 0 e 2. No caso geral tem-se:

Valor absoluto ou módulo de um número racional a é igual à distância do ponto que lhe corresponde, na recta numérica, à origem e representa-se por |a|.Dois números racionais diferentes de zero são simétricos se e só se têm sinais diferentes (um

positivo e outro negativo) e têm o mesmo valor absoluto.O número racional 0 .

Comparação de números racionais0 é menor que qualquer número positivo.0 é maior que qualquer número negativo.Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.Dados dois números positivos é maior o que tiver maior valor absoluto.Dados dois números negativos é maior o que tiver menor valor absoluto.

2.2.Adição em Z

A soma de números com o mesmo sinal é um número com igual sinal e cujo valor absoluto é igual à soma dos valores absolutos das parcelas.

A soma de números não simétricos com sinais diferentes é o número que satisfaz as condições:

O seu sinal é o da parcela de maior valor absoluto;O seu valor absoluto é igual à diferença dos valores absolutos das parcelas.

A soma de dois números simétricos é zero.

+a+(−a )=−a+ (+a )=0

2.3.Adição em Q

As regras para adicionar números inteiros e as propriedades da adição em Z continuam válidas em Q. RecordaPara adicionar ou subtrair números representados na forma de fracção começa-se por representa-los através de fracções com igual denominador e adicionam-se ou subtraem-se os numeradores.

Propriedades da adição em Q

Todas as propriedades da adição que conheces em Z continuam válidas em Q. Assim, tem-se:

Propriedades da adição em Q Comutativa a+b=b+aAssociativa (a+b )+c=a+(b+c )Existência de elemento neutro.0-elemento neutro.

0+a=a+0=a

Existência de elemento simétricoTodo o número racional tem simétrico.

(-a é o simétrico de a)

2.4.Subtração em Q

Para subtrair dois números racionais adiciona-se ao aditivo o simétrico do subtractivo.

a−b=a+(−b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 N

Z+

Assim, na escrita dos números inteiros positivos não é necessário escrever o sinal +.Por exemplo, em vez de +3 escreve-se 3.

3.Multiplicação e divisão em q – propriedades 3.1.Multiplicação em Q Recorda

Sendo a,b,c e d números naturais tem-se:ab× cd=a×cb×d

.

Sendo q um número racional negativo tem-se:0×' q=q×0=0

Produto de um número natural por um racional O produto de um número natural n por um racional q é a soma de n parcelas iguais a q.Assim, tem-se: q+q+…+q=nxq (ou qxn)

n parcelas

No caso geral, tem-se:O produto de um número natural n por um número racional q e representa-se por nxq e por qxn.

Prova-se que: n×(−q )=−q×n=−(n×q )