matematica-analise-combinatoria-1.pdf
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7/23/2019 matematica-analise-combinatoria-1.pdf
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Análise Combinatória (parte 1)
Dicaspelo profes
Sistema de Ensi
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas, e aseguir um evento B pode ocorrer de n maneiras distintas,então o número de possibilidades de acontecerA seguido deB ém multiplicado por n.O princípio multiplicativo pode ser generalizado para mais dedois eventos.
Definição de fatorialSeja n um número natural maior que 1. Define-se fatorial de n, ou simplesmente n fatorial, o produto dos n números naturais consecutivos de n a 1, que se indica porn!.
. . . . .n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 2 1
paran e N, n 2
São casos particulares:0! = 11! = 1
Arranjos simples são agrupamentos sem repetição e que se distinguetamanho, pela ordem ou pela natureza de seus elementos.Considere n elementos diferentes, n N*.Para calcularmos o total de arranjos simples de p elementos ( p N*
utilizamos a expressão:
Exemplo de aplicação:Número de jogos do Campeonato Brasileiro de Futebol (2008)
São 20 clubes jogando todos entre si em 2 turnos. Cada jogo corresparranjo possível:
O número de jogos do Campeonato Brasileiro (2008) é 380.
Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:
No Brasil podemos formar 175760000 diferentes placas de veículos!
d ime os t e t ic e b ar e t ud obr o
Um os pr ir ma má os a la or s os s e m r com n s sí v is par u t e minado
nú e o de bi açõe pos e a m de r enômeno f oi t ali o olo T t ag ia 1557), q e
f o i an Nicc ar l ( 150 0 - u nf e c ou u be c nd o n me o de
co c ion ma t a la ont e o ú r mbi ações pos e o n me t dois dados Aind
co n sí v is n la ça n o de . aé u V ir m C dan ( 150 1- c t r i c
no s c lo X I, G ola o ar o 1576) on ibu u om s dos s og a ar . A ém dar e me t os
e t u obr e j os de z l de le n os básico c u d lidade , C d n d s nv e ma
a álc lo e pr obabi s ar a o e e olv u iso n n e as t n ca de c t a em c õe .
pr f u dame t éc i s on g de ombinaç st a t , s n e é u X V , e in a t ir de
Ent r e n o ome t no s c lo II a da par o ema a os a o er as A á s C a ó i
pr bl s lig d jog s e lot i , a n li e ombin t r a n nt r a ia u ime as g n s t mat i aç s n
e co r s as pr ir r a de sis e z õe osabal os d is asca ( 1623-166 r de Fe mat
t r h e Bla e P l 2) e Pie r e r 1-1665).( 160 a c e e mat , q e u õe dest aq e n h ó i
P s al F r u oc pam posiç s de u a ist r a Ma mát i , dese v e am t r lh on j nt os av s
da t e ca n olv r aba os c u , at r é c r dê ci u s iv , par a e olv r a u s
de or espon n as s ce s as r s e lg nema pr t por jog d e pr iss a é oc e,
pr obl s opos os a or s of ion is da p a s r de t iv ar m c u pr oba d des aba m
ape a ob je e álc los de bili a , ac r aist m t iz r t é n cas e d f in ç s qu ia e t r u r a
por s e a a c i e i õe e v ir m a s t u r a náli e ombinat ia.A s C ór s n ol
n o post e ior da ál e C ombinat ia s
O de e v v ime t r An is ór e t á
a abal os d s í ço Ja q e B r ou i ( ,
lig do aos t r h o u c u s e n ill 1654-170 5) o emã r ed W lm Lei it z ( 1646- e
d al o Got t f i ilhe bn 1716) do m su o e h r d E l r ( 170 7-1 u t a é s
t ambé í ç L on a u e 783), q e mb m ee ar a pr mas pr oba s s
d dic am oble bilí t ico .t ir de a os do séc lo II An lise om n ór
A par me d u X V I, a á C bi at iasou s r pa cu r n e r s a t e e os ou
pas a e r t i la me t int e e s n e m div r s t r os m Ma má a, c E t at í t ic Ge t r i e
r a os da t e t ic omo a s s a, a ome a a l ebr lé e con r inúme as apl ç s e t r os
Á g a, a m de n t r a r ica õe m oump h c n o
ca os do con e ime t .
YOUSSEF, Antônio Nicolau; FERNANDEZ, Vicente Paz.Matemática: conceitos e fundamentos. São Paulo: Scipione, 1993.
Hist ór ic o
Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
Número fatorial Arranjo Simples
Agrupamentos
Agrupamentos Definição Exemplos
Exemplo de aplicação:Número de placas de veículos possíveis no Brasil
L L L A A A A. . . . . .26 26 26 10 10 10 10 = 175.760.000
F U
P I
M U N I C Í O
A
1
A A - 1 1 1
Iguais
Diferentespelo tamanho
Diferentes pela ordemde seus elementos
Diferentes pela naturezade seus elementos
Sem repetição
Com repetição
(a, b, c, d)e
(a, b, c, d)
(a, b, c)e
(a, b, c, d)
(a, b, c, d)e
(a, b, d, c)
(a, b, c, d)e
(a, b, c, e)
(a, b, c, d)e
(9, 8, 0, 3)
(a, b, c, d, a)e
(4, 5, 4, 7)
Possuem os mesmos elementosna mesma ordem
Não apresentam o mesmonúmero de elementos
Possuem os mesmos elementosem ordens diferentes
Apresentam entre si pelo menosum elemento diferente
São agrupamentos comelementos distintos
São agrupamentos quepossuem ao menos elementos
um elemento repetido
A =n!
(n – p)!p
n A =(n
n, pou
A = = 38020!(20 – 2)!
2
20