7/23/2019 matematica-analise-combinatoria-1.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-analise-combinatoria-1pdf 1/1

vestibular s i  b

  r

 ve   t   u  l a 

e s t  i  r 

v  b u l  a e   i   l  v  s t   b u a r  

v e s t i b u l a r r v e s t i b u l a 

e    b   l   r v  s t i   u  a 

v  s  i b u l e   t    a r 

v  s t i b u l a r e 

v e  s  i  b u l  a r  t  

vestibular 

e    u l v   s t i b    a r l  v e s t  i  b u  a r 

r v e s t i b u l a 

v  st i bu l   r 

e   a 

 v e s t  i  b

 u  l  a 

e  l v   s t i b u  a r vestibular 

u    r v e s t i b   l a v  e  s  t  b  u  l  a  r  i  v e s t  b i   u l a r 

s t  b v e    i   u l a r 

e   t i    a v   s    b u l   r v  t  i    u l    r e s    b  a vestibular vestibular 

s i  b  r

 ve   t   u  l a 

e s t  r 

v  i  b u l  a e   i  v  s t   b u l  a r  

v e s t  b u l a r i v e s t i b u l a r 

b    r v e s t i   u l a 

v e s t i b u l a r 

v  s  i b u l a r e   t 

e  s  i  b u l   r  

v  t  a vestibular 

u l v e s t i b    a r v e s t  i  b u l  a r 

e    u    r v   s t i b   l a 

i   u   r 

ve st  b  l a e s

  l a r v   t i bu 

e    b   l v   s t i   u  a r vestibular 

v e s t  i  b u l  a r u  a  

v  e  s  t  i  b   l   r  

v e s t  b    l a r i   u 

v e s t  b i   u l a r 

e   t i    a v   s    b u l   r t  i    u l    r v e s    b  a vestibularvestibular 

 r

 ves t  i  b u  l 

a v e s t  i  b u l  a r e  s  i  b u l   r  

v  t  a v e s t  b u l a r i r v e s t i b u l a 

e    b   l   r v   s t i   u  a 

v   s t i b u l e  a r 

v  s  i b u l a r e   t 

v e  s  i  b u l  a r  t  

vestibular 

e    u l v   s t i b    a r l  a v e s t  i  b u  r 

e    u    r v  s t i b   l a 

v st i bu l   r 

e   a ve st i b

u l a r 

e  l v   s t i b u  a r vestibular v e   t i   u  a r s    b   l 

u  l  a  

v  e  s  t  i  b  r  

v e s t  b    l i   u  a r 

s t  b v e    i   u l a r 

e   t i    a v   s    b u l   r v e s t  i    u l    r b  a vestibular dicas do vestibular  Confira essa e outras dicas em nosso site

www.energia.com.br 

Análise Combinatória (parte 1)

Dicaspelo profes

Sistema de Ensi

Se um evento A  pode ocorrer de m maneiras distintas, e aseguir um evento B pode ocorrer de n maneiras distintas,então o número de possibilidades de acontecerA seguido deB ém multiplicado por n.O princípio multiplicativo pode ser generalizado para mais dedois eventos.

Definição de fatorialSeja n um número natural maior que 1. Define-se fatorial de n, ou simplesmente n fatorial, o produto dos n números naturais consecutivos de n a 1, que se indica porn!.

. . . . .n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 2 1

paran e N, n  2

São casos particulares:0! = 11! = 1

Arranjos simples são agrupamentos sem repetição e que se distinguetamanho, pela ordem ou pela natureza de seus elementos.Considere n  elementos diferentes, n N*.Para calcularmos o total de arranjos simples de p elementos ( p  N*

utilizamos a expressão:

Exemplo de aplicação:Número de jogos do Campeonato Brasileiro de Futebol (2008)

São 20 clubes jogando todos entre si em 2 turnos. Cada jogo corresparranjo possível:

O número de jogos do Campeonato Brasileiro (2008) é 380.

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:

No Brasil podemos formar 175760000 diferentes placas de veículos!

d   ime os t e t ic e b ar  e t ud   obr  o 

Um  os pr  ir   ma má os a  la or  s os s e m r   com n s sí v  is par  u t e minado 

nú e o de bi açõe  pos e a  m de r enômeno f oi  t ali o  olo T  t ag ia  1557), q e

f  o i an Nicc ar  l ( 150 0 - u  nf e c ou u be c nd o n me o de

co c ion   ma t a la  ont e o  ú r   mbi ações pos e o  n me t   dois dados  Aind  

co n sí v  is n la ça n o de   . aé u V  ir  m C  dan ( 150 1- c t r  i  c

no s c lo X  I, G ola o  ar  o  1576)  on ibu u om s dos s   og  a ar . A ém  dar  e me t    os 

e t u   obr e j os de z    l de le n os básico c u d   lidade , C  d n d s nv  e  ma  

a álc lo  e pr obabi s   ar  a o  e e olv  u iso n n e as t  n ca  de c t a em  c õe .

pr  f u dame t    éc i s   on g de  ombinaç st a t  , s n e é u X V  , e in a  t ir  de

Ent r e n o ome t   no s c lo  II   a da  par   o ema   a os a  o   er as   A á s  C  a ó i

pr  bl s lig d  jog s e lot  i , a  n li e ombin t  r a n nt r a ia  u ime as g n s t  mat i aç s n  

e co r  s as pr  ir  r a de  sis e z  õe   osabal os d   is   asca ( 1623-166   r   de Fe mat  

t r  h   e Bla e P l  2) e Pie r e   r 1-1665).( 160 a c e e mat , q e u õe   dest aq e n h ó i

P s al  F r  u  oc pam posiç s de  u   a  ist  r a Ma mát i , dese v  e am t r  lh   on j nt os   av  s

da  t e ca   n olv  r  aba os c u , at r  é  c r  dê ci u s iv  , par a e olv  r  a u s 

de or espon n as s ce s as   r  s e lg nema  pr  t   por   jog d e  pr  iss a é oc e,

pr obl s opos os a or  s of  ion is da  p a s r  de t iv ar  m c u  pr oba d des   aba m 

ape a  ob je e álc los de bili a , ac r aist  m t iz  r t é n cas e d f in ç s qu   ia  e t r u r a  

por s e a a   c i   e i õe   e v ir  m a s t u r a náli e ombinat  ia.A s  C  ór   s n ol

n o post e ior  da ál e C ombinat  ia  s  

O de e v  v ime t  r   An is   ór  e t á

a   abal os d s í ço Ja q e  B r  ou i (  ,

lig do aos t r  h   o  u c u s e n ill 1654-170 5)  o  emã r ed W  lm Lei it z ( 1646- e 

d al o Got t f  i ilhe bn   1716)  do m su o  e h r d E l r ( 170 7-1   u  t a é s  

t ambé í ç L on a u e   783), q e mb m  ee ar  a pr  mas pr oba s s

d dic am  oble bilí  t ico .t ir  de a os do séc lo  II  An lise  om n ór   

A par   me d u X V  I, a á C  bi at  iasou  s r  pa cu r  n e  r  s a t   e e os ou

pas  a e r t i la me t  int e e s n e m div  r s t r os m Ma má a, c  E t at í  t ic  Ge t r i e 

r a os da  t e t ic   omo a s s a, a ome a  a l ebr  lé  e con r inúme as apl ç s e t r os 

Á g a, a m de n t r a   r    ica õe   m oump h c n o

ca os do con e ime t  .

YOUSSEF, Antônio Nicolau; FERNANDEZ, Vicente Paz.Matemática: conceitos e fundamentos. São Paulo: Scipione, 1993.

Hist ór ic o

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Número fatorial Arranjo Simples

Agrupamentos

Agrupamentos Definição Exemplos

Exemplo de aplicação:Número de placas de veículos possíveis no Brasil

L L L A A A A. . . . . .26 26 26 10 10 10 10 = 175.760.000

F  U  

P  I  

M  U  N  I  C  Í   O 

A  

1 

A A -  1  1 1  

Iguais

Diferentespelo tamanho

Diferentes pela ordemde seus elementos

Diferentes pela naturezade seus elementos

Sem repetição

Com repetição

(a, b, c, d)e

(a, b, c, d)

(a, b, c)e

(a, b, c, d)

(a, b, c, d)e

(a, b, d, c)

(a, b, c, d)e

(a, b, c, e)

(a, b, c, d)e

(9, 8, 0, 3)

(a, b, c, d, a)e

(4, 5, 4, 7)

Possuem os mesmos elementosna mesma ordem

Não apresentam o mesmonúmero de elementos

Possuem os mesmos elementosem ordens diferentes

Apresentam entre si pelo menosum elemento diferente

São agrupamentos comelementos distintos

São agrupamentos quepossuem ao menos elementos

um elemento repetido

A =n!

(n – p)!p

n A =(n

n, pou

A = = 38020!(20 – 2)!

2

20