8/14/2019 Matemtica - Apostila lgebra - Sequncias Progresses Sucesses

1/2

Progresses 1

Progresses

Em inmeras situaes de nossa vida precisamos colocar os elementos de um dado conjunto emuma ordem estabelecida, o que chamamos sucesses. Por exemplo, as estaes de uma linha detrem se encontram em sucesso, estabelecidas em certa ordem. Podemos enumerar os elementosde um conjunto em certa ordem utilizando ndices, sendo o primeiro a1, o segundo a2 e assim

por diante.Quando tratamos de conjuntos de nmeros e h uma relao de soma ou produto entre oselementos desse temos o que chamamos de progresses.

Progresso Aritmtica

So sucesses que apresentam uma soma que relaciona os seus termos. Assim sendo, umaprogresso aritmtica (P.A.) uma sucesso de nmeros em que a diferena entre um e seuantecedente sempre constante. Essa diferena constante chamada razo da P.A. Porexemplo, ( ),14,11,8,5,2 uma P.A. de razo r=3, pois 5 2 = 8 5 = 11 8 = 3.Termo geral de uma P.A.Para obtermos um nmero qualquer dentro de uma P.A., conhecendo o seu primeiro termo,aplicamos a frmula:

rnaan += )1(1 onde an o termo que se deseja encontrar, n a posio do termo na P.A., a1 o primeiro termo daP.A. e ra razo da P.A. Por exemplo, na progresso (3,5,7,9,...) qual o valor do termo a35?

( ) 7123431352795735

135 =+=+=

====

raa

r

Portanto, o valor 71.Soma dos n primeiros termos de uma P.A.Para se somar n termos de uma P.A., conhecendo o primeiro termo, utiliza-se a frmula:

( )2

1 naaS nn+

=

Por exemplo, qual a soma da P.A. (1542,1588,1634,1680,1726)?

A P.A. possui cinco termos. Portanto teremos a soma de S5( ) ( )

81702

517261542

2

5515 =

+=

+=

aaS

Exercite! Em princpio parece simples o conceito de P.A., mas h exerccios complexos queexigem raciocnio. Portanto, exercite.

Progresso Geomtrica

A progresso geomtrica (P.G.) uma sucesso semelhante P.A., com a diferena que aoinvs de somarmos a razo aos termos da progresso, multiplicamos. Por exemplo, est em P.G.o intervalo (3,9,27,81,243,...) pois 9 : 3 = 27 : 9 = 81 : 27 = 243 : 27 = 3. Ou seja, a razo dessaP.G. 3, indicada pela letra q.Termo geral de uma P.G.

Para encontrar qualquer termo de uma P.G. utilizamos a frmula:1

1= nn qaa

Por exemplo, na P.G. (1,2,4,8,16,32,...) qual o valor do termo a20?

524288212

22

4

1

2

19120120

2

3

1

2

===

=====

aa

a

a

a

aq

Soma dos n primeiros termos de uma P.G.

Para somarmos os n primeiros termos de uma P.G. utilizamos a frmula:

1

11

=

q

qaS

n

n

Por exemplo, qual a soma dos termos desta P.G.: (5,25,125,625,3125,15625)?

8/14/2019 Matemtica - Apostila lgebra - Sequncias Progresses Sucesses

2/2

Progresses 2

Temos 6 termos, portanto n = 6

( ) ( )19530

4

1156255

15

15

55

25

61

6

1

2

=

=

=

===

aS

a

aq

Srie geomtrica convergente

Vamos somar os n primeiros termos desta P.G.:

,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1,1 .

999998,11

2

1

12

11

998,11

2

1

12

11

9375,11

2

1

12

11

20

20

10

10

5

5

=

==

= SSS

Note que conforme o valor de n aumenta, o valor da soma dos termos da P.G. se aproxima dovalor 2. Quando isso ocorre dizemos que a soma dos nprimeiros termos da P.G. converge paraum valor. Isso acontece com P.G.s que possuem razo entre 1 e 1.Para descobrirmos o valor ao qual a P.G. converge, utilizamos a frmula:

11;1

1