Matemática - Apostila Álgebra - Trigonometria

8/14/2019 Matemtica - Apostila lgebra - Trigonometria

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Trigonometria 1

TrigonometriaIntroduoA trigonometria um importante ramo da Matemtica. Derivada da Geometria (o termotrigonometria significa medida dos tringulos) uma importante ferramenta para a compreensoda lgebra. Se voc pretende ser Engenheiro (qualquer que seja o curso), Fsico, Arquiteto,Gelogo, entre outras profisses que envolvem clculo, tenha em mente que a trigonometria ferramenta bsica. Caso voc no goste de trigonometria, mude de curso.O tringulo retnguloA trigonometria estuda todos os tringulos, mas em especial o tringulo retngulo. Essetringulo possui um ngulo de 90:

Do estudo dos tringulos e em especial do tringulo retngulo, temos as propriedades:

Pitgoras)de(teorema

ares)complement(ngulos90CB90A

222 cba +=

=+

=

Note que o nome dos segmentos de retas que formam os lados esto em letras minsculas eopostas ao nome dos ngulos (o segmento a oposto ao ngulo e assim por diante).Os lados do tringulo retngulo possui nomes especiais:

a o maior lado, chamado de hipotenusa; b e c so os catetos. Em relao a B , b o cateto oposto e c o cateto adjacente. Da

mesma forma, em relao a C , c o cateto oposto e b o cateto adjacente.

Razes trigonomtricas no tringulo retnguloSo razes (quocientes) entre os catetos e a hipotenusa de um tringulo retngulo. Cada ngulode um tringulo possuiu somente um valor de razo, seja qual for o ngulo e seja qual for arelao. Da mesma forma, a cada valor de razo no tringulo existe apenas um ngulocorrespondente.Seno a razo entre o cateto oposto a um ngulo e a hipotenusa:

a

b==

hipotenusa

BaopostocatetoBsen

Cosseno a razo entre o cateto adjacente a um ngulo e a hipotenusa:

a

c==hipotenusa

BaadjacentecatetoBcos

Tangente a razo entre o cateto oposto a um ngulo e o cateto adjacente a esse ngulo:

c

b==

Baadjacentecateto

BaadjacentecatetoBtg

Propriedade entre seno e cossenoComo os ngulos agudos de um tringulo retngulo so complementares, temos a seguinte

propriedade:( ) ( )xxxx == 90sencosou90cossen

Relaes fundamentaisTemos duas relaes fundamentais entre as razes trigonomtricas:


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Trigonometria 2

Relao Fundamental I a relao entre seno e cosseno de um mesmo ngulo. Deriva do teorema de Pitgoras:

1cossen 22 =+ xx Note que quem elevado ao quadrado o seno e o cosseno, e no o ngulo:

( ) 222 sensensen xxx =

Relao Fundamental II a relao entre seno, cosseno e tangente de um mesmo ngulo. Deriva da definio detangente:

xx

cos

sentg =

Funes circularesArcos e sistemas de medidasChama-se arco parte de uma circunferncia compreendida entre dois pontos nela contidos:

Assim sendo, nessa circunferncia temos dois arcos, o arco menor, compreendido pelo ngulo e o arco maior.A medida do arco (e no do ngulo ) a comparao com uma unidade de medida, e pode serexpressa de duas formas:

Graus: o arco equivalente a 1 parte de 360 da circunferncia (divide-se acircunferncia em 360 partes e se retira um, sendo na medida de 1).

Radianos: o arco equivalente ao comprimento de um raio da circunferncia (marca-sea medida de um raio na circunferncia e se tem um arco de 1rad).

Sendo assim, o arco de 360 (volta completa) equivale mediada da circunferncia (2r). Comoum radiano equivale a um raio, em radianos fica 2..r = 2..1=2 rad. Atravs disso utilizamosa regra de trs e convertemos medidas de graus para radianos:

rad180

2)porando(simplificrad2360

Por exemplo, um arco de 57 equivale:

rad1180

57

rad57

rad180

=

x

x

Medidas de ngulos na circunfernciaNa circunferncia acima apresentada, a medida do ngulo (AB) igual a medida do arcoAB, seja em graus ou radianos.Comprimento de um arcoO comprimento ( ) de um arco dado unidades utilizadas pelo sistema internacional. Porexemplo, um arco pode ter o comprimento de 3cm. Para determina-lo utilizamos a medida emradianos, pois essa medida est relacionada com o raio, dado em mm, cm, m etc:

= r onde o comprimento do arco, ro comprimento do raio e a medida do arco em radianos.Por exemplo, um arco de medida 2 rad e comprimento de raio 4 cm tem o comprimento de 2.4 =

8cm.ngulos notveis


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Trigonometria 3

So ngulos com uma maior taxa de utilizao e uma maior facilidade para determinar o valordo seno, cosseno ou da tangente. No veremos como determina-los, mas os valores so:

Razo \ ngulo6

ou30

4

ou45

3

ou60

Seno 2

1

2

2 2

3

Cosseno2

3

2

2

2

1

Tangente3

3 1 3

Ciclo trigonomtricoColoquemos sobre o plano cartesiano uma circunferncia que coincide com a origem dos eixose de raio unitrio (igual a 1 e sem medida). A esse sistema damos o nome de ciclotrigonomtrico.

I, II, III e IV so os quadrantes do ciclo. Como o raio unitrio, o comprimento da

circunferncia ser de 2. Os pontos A, B, C e D esto na circunferncia e tambm no planocartesiano. Logo, associamos pares ordenados a eles: A(1,0), B(0,1), C(-1,0) e D(0,-1).Podemos, pois, associar a cada ponto do ciclo (chamado de imagem) um nmero real. O sentidoapontado pela flecha o positivo, e obviamente o outro sentido o negativo.

Nessa circunferncia temos o nmero 1, por exemplo, cuja imagem D. Note a imagem C, que negativa. Todos esses pontos representam nmeros reais. Entretanto, os nmeros podem serrepresentados no intervalo de 0 x


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Trigonometria 4

2

3223

2

346

2

3

2

92

2

95

+=+=+=

Decompondo o nmero vemos que ele d 23 voltas (23. 2) mais2

3. Portanto a imagem se

encontra no ponto congruente a 2

3.

Generalizando, a imagem de um nmero real um ponto no ciclo que pode ser caracterizadopor:

{ }Z,2|RM 0 +== kkxxx onde M o conjunto das imagens do ponto, x a imagem a se marcada, x0 o nmero realcongruente ax compreendido entre 0 e 2 e kum nmero inteiro qualquer que indica o nmerode voltas necessrias para a imagem dex.Funo seno e funo cossenoVimos que podemos associar qualquer nmero real no ciclo trigonomtrico. Se associarmos umnmerox qualquer, a projeo dex no eixo das ordenadas estar em funo do ngulo quex

forma com a origem. Da mesma forma, a projeo no eixo das abscissas tambm estar emfuno do ngulo de x. A essas funes damos, respectivamente, os nomes de funo seno efuno cosseno. De fato, se analisarmos os tringulos formados pelas projees veremos que ovalor encontrado igual ao seno ou cosseno do ngulo, pois a hipotenusa igual a 1:

Podemos notar que os valores para seno e cosseno estaro entre 1 e 1, ou seja, limitar oconjunto imagem dessas funes nesses dois valores. Matematicamente as funes sodefinidas como:

xy

xy

cos

sen

=

=

Valores notveisOs valores dos senos e cossenos so os mesmos j estudados para os tringulos retngulos.Portanto vale a tabela j apresentada.GrficosOs grficos gerados pelas funes circulares seno e cosseno possuem a forma apresentadaabaixo. Suas curvas so chamadas senide e cossenide.

Perodo e imagemO perodo das funes senoidais o menor intervalo que a funo progride sem haver repetio.

No grfico acima, o perodo para ambas as funes de 2. O conjunto imagem est situado,

como j dito, entre 1 e 1, como percebe-se no grfico.Agora, seja a funo:


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Trigonometria 5

( ) 0mereaisnemcomnmsen += xy O valor de m modificar o perodo da funo. Para sabermos utilizamos a frmula:

m

2P

=

O valor de n modificar o intervalo do conjunto imagem. Se analisarmos, o seno oucosseno de um ngulo estar entre 1 e 1; ao somarmos o valor de n a esse intervalo, oconjunto imagem da funo ir modificar junto.

Funo tangenteVimos a relao fundamental I onde tangente o quociente do seno pelo cosseno. Assim sendo,a funo tangente definida por:

( ) xx

xxf tg

cos

sen==

Entretanto sabemos que o denominador nunca poder ser nulo. Assim sendo,

No ciclo trigonomtrico temos a representao da tangente da seguinte forma:

Vale para a tangente tambm os valores para ngulos notveis j apresentados.GrficoO grfico da funo tangente peridico e com interrupes nos nmeros definidos por

k+2. No o representarei por no ser muito cobrado em vestibulares.

Outras funes circulares Funo cotangente: a funo definida por:

( ) xx

xxf cotg

sen

cos==

Assim como na tangente, Z,0sen kkxx . Funo secante: a funo definida por:

( ) xx

xf seccos

1==

sendo Z,2 +kkx .

Funo cossecante: a funo definida por:( ) xxf cossec

sen

1==

sendo Z, kkx .

Reduo ao primeiro quadrantePara conseguirmos determinar o valor das funes no ciclo trigonomtrico, utilizamos o artifciode reduzir o nmero ao primeiro quadrante e determinar o valor via razo de simetria. Por

exemplo, para determinar o valor de 3

2

sen

, localizamos o nmero no ciclo trigonomtrico e


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Trigonometria 6

em relao ao eixo dos senos traamos uma perpendicular at o primeiro quadrante.Depois fazemos a seguinte anlise:

O valor do seno de3

2 numericamente igual ao valor do seno de

3

, pois ambos os

nmeros esto situados em pontos no ciclo simtrico ao eixo dos senos. Pela tabela,

2

3

3

2sen

2

3

3sen ==

. Indo mais alm, se fizermos3

2 encontraremos,

3 , o que nos leva a concluso que

3sen

32sen =

. Generalizando, dado um

nmerox pertencente ao segundo quadrante,( )xx = sensen

Essa anlise pode ser feita para determinar o valor de qualquer funo circular. Faa para areduo das funes seno, cosseno e tangente em todos os quadrantes. Lembre-se: apenasexercitando que se aprende Matemtica!

Relaes fundamentais e decorrentesAs relaes fundamentais j foram vistas durante o estudo at aqui. Preste ateno:

Relao fundamental I xxx =+ ,1cossen 22

Relao fundamental II kxxxx += 2,cossentg

Relao fundamental III kxx

xx = ,

sen

coscotg

Relao fundamental IV

kxx +=2

,cos

1sec

Relao fundamental V kxx

x = ,sen

1cossec

Dessas relaes decorrem outras trs:

Relao decorrente I 2,tg

1

cotg

kxxx=

Relao decorrente II

kxxx +=+2

,sec1tg 22

Relao decorrente III kxxx =+ ,cossec1cotg 22 Em todos os casos k Z. Neste ponto h o tpico Identidades. Quem prestar vestibular na reade exatas estude-o.

Transformaes trigonomtricasSo frmulas para determinar uma razo trigonomtrica de um nmero atravs da decomposiodo mesmo. Apresentarei apenas as mais cobradas em vestibulares. Como j dito, caso voc

prestar vestibular na rea de exatas, estude as demais transformaes.

Frmulas de adioCosseno da soma:


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Trigonometria 7

( )

4

26

2

1

2

2

2

3

2

2

30sen45sen30cos45cos3045cos75cos

==

==+=

Cosseno da diferena:

( ) bababa sensencoscoscos += ( )

4

26

2

1

2

2

2

3

2

2

30sen45sen30cos45cos3045cos15cos

+=+=

=+==

Seno da soma:

( ) abbaba cossencossensen +=+ ( )

4

26

2

1

2

2

2

2

2

3

60cos45sen45cos60sen4560sen105sen

+=+=

=+=+=

Seno da diferena:( ) abbaba cossencossensen =

( )

4

26

2

1

2

2

2

2

2

3

60cos45sen45cos60sen4560sen15sen

==

===

Tangente da soma:

( )ba

baga

tgtg1

tgtgtg

+=+

Vlida para Z,2

e, ++ kkbaba

Tangente da diferena:

( )ba

baga

tgtg1

tgtgtg

+

=

Vlida para Z,2

e, ++ kkbaba

Frmulas de multiplicaoCossenos:

aaa 22 sencos2cos =

Seno:aaa cossen22sen =

Tangente:

a

aa

2tg1

tg22tg

=

Equaes trigonomtricasA resoluo de equaes trigonomtricas (equaes que envolvem razes trigonomtricas) podeser feita de diversas maneiras. As principais dicas para a resoluo so visualizar o ciclotrigonomtrico, utilizar as relaes fundamentais, decorrentes e as frmulas de transformao.Aqui apresentarei poucas resolues. Portanto, exercite o mximo que puder esse tpico.

Resolver 1sen

=x Pergunta-se: para quais valores de x, senx = 1? Olhe o ciclo trigonomtrico:


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Trigonometria 8

Mas sabemos que o arco cujo seno vale 1 2

. Entretanto, na imagem desse nmero

no h somente um nmero, mas infinitos nmeros. Portanto, a soluo da equao ser:

+== Z,22

|RS kkxx

Resolver2

3cos =x

Da mesma forma, visualizando o ciclo trigonomtrico encontraremos os valores para xque satisfazem a equao:

Neste caso h dois arcos possveis que satisfazem a equao, o arco 6

4

e o arco 6

5

.Logo, a soluo fica:

+=+== Z,26

5ou2

6

4|RS kkxkxx

Resolver: 01cos3cos2 2 =+ xx

+===

+====

====

===+

=

=+

Z,23

ou2|RS

Z,232

1cos

2

1cos

Z,21cos1cos

2

1ou t10132

cosse-Faz

01cos3cos2

2

2

kkxkxx

kkxxttx

kkxxttx

ttt

tx

xx

H outras formas de resoluo para equaes mais complexas. Estude-as!Inequaes trigonomtricas

Da mesma forma que as equaes, as inequaes possuem diversas resolues, utilizando dosmesmos processos. No me estenderei no assunto, apenas apresentarei o conceito:

Para resoluo de uma inequao trigonomtrica, tente reduzi-la a uma das formasfundamentais ( axaaaaxa ou tgtg,cos,cos,sen,sen ) edepois faa a anlise do intervalo requerido no ciclo trigonomtrico.


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Trigonometria 9

Ex:2

1cos >x

No ciclo, qual o intervalo que satisfaz a inequao?

O intervalo de nmeros do ciclo que possuem cosseno maior que . Portanto a soluo fica:

+


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Trigonometria 10

2

sen

2

sen

2

sen AcbBcaCbaSABC

=

=

=

Em funo dos lados frmula de Hiero.

A rea igual raiz quadrada do produto do semi-permetro pela diferena do semi-permetro e os lados. Semi-permetro igual metade do permetro. Matematicamente:

permetro)-(semi2

cbap ++=

( ) ( ) ( )cpbpappABC =S

Aqui finalizamos o estudo de trigonometria. Daqui para frente, as razes trigonomtricasaparecero sempre, principalmente no estudo de Nmeros Complexos. Certifique-se de quetenha compreendido os conceitos passados. Lembre-se EXERCITE e assim aprender.

BibliografiaIEZZI, Gelson. Matemtica: 1 srie, 2 grau. So Paulo. Atual, 1981.IEZZI, Gelson e DOLCE, Oswaldo e DEGENSZAJN, David Mauro e PRIGO, Roberto. Matemtica:

volume nico. So Paulo. Atual, 1997.

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