Matemática - Aula 14 - P A II
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8/14/2019 Matemtica - Aula 14 - P A II
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AULA 14PROF. PAULO
PROGRESSO ARITMTICATERMOS EQIDISTANTES E SOMA DOS TERMOS
Reviso das formulas vistas na aula 13
a n = a1 + (n 1).rou
an
= am
+ (n m).r
Exemplo:Calcular o dcimo quinto termo da P.A.(10; 14; 18; ... )Resoluo:a
1= 10
r = 14 10 = 4
an
= a1 + (n 1).ra15
= a1
+ ( 15 1).r
a15
= a1
+ 14.r
a15
= 10 + 14.4
a15
= 10 + 56
a15
= 66
Termo mdio
a2
11 +-+
=nn
n
aa
Termos eqidistantesEm toda P.A. a soma de dois termos eqidistantes dos extremos igual soma dos extremos.P.A.(2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; ...)
Note que:2 + 14 = 4 + 12 = 6 + 10 = 8 + 8 = 16
P.A.( ;...;;;;;; 7654321 aaaaaaa )
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a1
+ a7
= a2
+ a6
= a3
+ a5
= a4
+ a4
8 8 8 8
Exemplo: Em uma P.A.a
1+ a
10= a
3+ a
n
11 11
n = 8
Soma dos termos de uma P.A.A soma dos termos de uma P.A. a mdia aritmtica dos extremos
)2
( 1 naa +
multiplicada pelo nmero de termos (n).
Sn
=2
).( 1 naa n+
Exemplo1:
Calcule a soma dos vinte primeiros termos da seqncia( 1; 3; 5; 7; ... )Resoluo:r = 3 1 = 2a1 = 1n = 20a
n= a
1+ (n 1).r
a20
= a1
+ (20 1).r
a20
= a1
+ 19.r
a20
= 1 + 19.2
a20
= 1 + 38 = 39
a1
= 1
n = 20a20
= 39
Sn
=2
).( 1 naa n+
S20
=2
20).( 201 aa +
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1) Se numa P.A. a1
+ a9
= 60, calcule:
a) a3
+ a7
b) a4
+ a6
c) a5
Resoluo:P.A.( ;...;;;;;;;; 987654321 aaaaaaaaa )
a1
+ a9
= a2
+ a8
= a3
+ a7
= a4
+ a6
= a5
+ a5
a) a3
+ a7
= a1
+ a9
= 60
b) a4
+ a6
= a1
+ a9
= 60
c) a5
+ a5
= a1
+ a9
= 60
2.a5
= 60
a5
=2
60
a 5 = 30
2) Calcule a soma dos n primeiros nmeros naturais mpares.Resoluo:P.A.(1; 3; 5; 7; ...)a
1= 1 e r = 3 1 = 2
an
= a1
+ (n 1).r
a n = 1 + (n 1).2a
n= 1 + 2n 2
an
= 2n - 1
Sn
=2
).( 1 naa n+
Sn
=2
).121( nn -+
S n =2).2( nn
Sn
= n 2
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3) Qual o nmero mnimo de termos da seqncia (-50; -48; -46; ...)que devem ser somados para que o resultado seja um nmero positivo?Resoluo:(-50; -48; -46; ...) = P.A.a
1= -50 e r = -48 (-50) = -48 + 50 = 2
a n = a1 + (n 1).ra
n= -50 + (n 1).2
an
= -50 + 2n 2
an
= -52 + 2n
Sn
=2
).( 1 naa n+
Sn
=2
)].252(50[ nn+-+-
S n =2
).25250( nn+--
Sn
=2
).2102( nn+-
(como Sn> 0)
2
).2102( nn+-> 0
(-102 + 2n).n > 0.2
(-102 + 2n).n > 0Para (-102 + 2n).n = 0Temos; n = 0Ou 102 + 2n = 0
2n = 102n = 51
+ + + +0 - - - - 51
n < 0 (No serve)n > 51Como o nmero de termos deve ser mnimo, ento n = 52Resposta 52 termos
4) Calcule a soma dos vinte primeiros termos da progresso aritmtica
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(2; x 1; 10;...)Resoluo:P.A.( 2; x 1; 10;...)
x 1 =2
102 +
x 1 = 6x = 7P.A.(2; 6; 10;...)a
1= 2
r = 6 2 = 4n = 20a
n= a
1+ (n 1).r
a20
= a1
+ (20 1).r
a20
= a1
+ 19.r
a20
= 2 + 19.4
a20
= 2 + 76 = 78
Sn
=2
).( 1 naa n+
S20
=2
20).( 201 aa +
S20
=2
20)782( +
S20
= (80).10
S20
= 800
5) Monte uma formula para calcular a soma dos n primeiros termos daprogresso aritmtica ( 7; 10; 13; 16; ...)
Resoluo:a
1= 7 e r = 10 7 = 3
an
= a1
+ (n 1).r
an
= 7 + (n 1).3
an
= 7 + 3n 3
an
= 4 + 3n
Sn
=2
).( 1 naa n+
Sn
=2
).347( nn++
Sn
=2
).311( nn+
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Sn
=2
1132+n
