MATEMÁTICA

Aula 30

Determinantes

Determinante nulo

UMA FILA NULA

DUAS FILAS PARALELAS IGUAIS

DUAS FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS

UMA FILA É COMBINAÇÃO LINEAR DE FILAS PARALELAS

Determinante se altera

TROCA DE SINAL, quando duas filas paralelas trocamentre si de posição.

Fica MULTIPLICADO POR k quando os elementos de uma fila são multiplicados por k.

FICA MULTIPLICADO POR kn, quando a matriz émultiplicada por k.

Exemplo de aplicação:

Julgue o item. Se a1, a2, a3, ..., a9 formam uma progressão geométrica de razão q, então

91

987

654

321

q.aaaaaaaaaa

=

Resolução:

2

777

2444

2111

987

654

321

q.aq.aaq.aq.aaq.aq.aa

aaaaaaaaa

=

0qq1qq1qq1

a.a.aq.aq.aaq.aq.aaq.aq.aa

2

2

2

7412

777

2444

2111

==

Determinante não se altera

Trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunasdet A = det At.

Somarmos a uma fila uma combinação linear deoutras filas paralelas.

Exemplo de aplicação:

Qual o conjunto-solução da equação

0x111

1x1111x1

=

-

-

-

0x11x3

1x1x311x3

0x111

1x1111x1

=

--

--

-

fi=

-

-

-

+

+

0x01

0x1001

).x3(0x111

1x11111

).x3( =

-

--fi=

-

--fi

x (-1)

+

+

0x).x3(0x01

0x1001

).x3( 2 =-fi=

-

--fi

fi x = 3 ou x = 0

fi V={0,3}

Teorema de Laplace:

ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + ai3.Ai3 + ... + ain.Ain =

= a1j.A1j + a2j.A2j + a3j.A3j + ... + anj.Anj = det M

onde Aij = (-1)i+j.Dij é o cofator do elemento aij

Exemplo de aplicação:

Qual o determinante associado à matriz

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

1yxayyxaxxxaaaaa

?

Resolução:

det

1yx1yyx1xxx1aaa1

.a

1yxayyxaxxxaaaaa

=

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

1yx1yyx1xxx1aaa1

.a +

1yx11y0001xyx001ayaxa0

.a-

--

---

=

(-1)

1y001xyx01ayaxa

.)1.(1.a

1yx11y0001xyx001ayaxa0

.a 14

-

--

---

-=-

--

---

+

= -a.(a-x).(x-y).(y-1)