Matematica para jogos 1 Aula 2

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Matemática para jogos 1

Aula 3: Determinantes e matriz inversaMark Joselli

mark.joselli@pucpr.br

MATRIZ INVERSA

Definição

Vamos considerar duas matrizes A e B de quadradas de dimensao n, onde o produto das duas e igual a identidade:A*B=B*A=IQuando isso acontece, dizemos que A e inversa de B e B e inversa de A, ou ainda:Notacao:A=B–1

B=A–1

Inversivel

Quando uma matriz nao admite inversa dizemos que ela e singular (nao tem o seu par, a inversa) ou nao inversıvel. Analogamente, quando a matriz admite inversa ela e nao singular ou inversıvel.

Por definicao, toda matriz inversıvel e equivalente a matriz identidade. Entao, imagine que podemos realizar operacoes elementares sobre uma matriz A, ate que consigamos obter a matriz identidade como resultado. Caso isso nao seja possıvel, implica dizer que se trata de uma matriz nao inversıvel.A*A-1=I

Exemplo: Verificar se matriz tem inversa

Prove que as matrizes A e B sao inversas uma da outra.

Exercicio: Verifique se A e B tem inversa

Exemplo: Achar a inversa

Exemplo

Exercicio

Encontre B-1:

Encontre A:

Propriedades

Considerando A, B, C e D matrizes inversıveis:1) A*A–1 = A–1*A=I2) (A–1)–1= A3) (A–1)t = (A–t)1

4) (A*B)–1 = B–1*A–1

5) (A*B*C*D)–1 = D–1*(A*B*C)–1 = D–1*C– 1 *(A*B)–1 = D–1*C–1*B–1*A–1

Determinante

Apresentacao

● O determinante e um recurso bastante aplicado com matrizes.

● Atraves dele pode-se obter informacoes sobre a matriz, como por exemplo :○ saber se ela e singular, ○ associar o determinante com a solucao de um

sistema de equacoes lineares, ○ obter calculo de areas ○ e muitas outras aplicacoes.

Objetivos

● Encontrar o determinante de uma matriz de qualquer ordem.

● Saber identificar quando deve ser utilizada determinada propriedade.

● Montar a matriz de cofatores.

Definicao

● O determinante de uma matriz e uma funcao que leva uma matriz quadrada a um numero real, ou seja, o determinante e um numero real que e associado a uma matriz.

● A notacao utilizada para o determinante de uma matriz e qualquer uma das formas abaixo, onde A e uma matriz quadrada e aij seu termo geral.

detA det(A) |A| det(aij)

Determinante: Matrix1x1

Dada a Matrix: A = (a11) -> detA = a11

B = (3) -> detB = 3

Determinante:Matrix2x2

Realizar o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundaria.A =

detA = a11*a22- a12*a21

exemplo

??

exemplo

3*5 - 2*4 = 7

Exercico: Ache a determinante

Matriz3x3

Usamos a regra de Sarrus, onde repetimos as duas primeiras colunas ao lado direito da matriz e efetuando o somatorio do produtos da diagonais principal com as duas diagonais paralelas, e subtraindo do somatorio da diagonal secundaria com suas duas diagonais paralelas.

DetA = a11*a22 *a33+a12*a23 *a31+a13*a21 *a32

...

DetA = a11*a22 *a33+a12*a23 *a31+a13*a21 *a32

- (a13*a22 *a31+a11*a23 *a32+a12*a21 *a33)

Exemplo

Exercicio

Calcule os determinantes:

Determinante de matriz de ordem n

O determinante de A = (aij)nxn, com n natural e maior que 2 pode ser obtido a partir de conceitos de cofator.

Cofator

O cofator do elemento aij é o numero Aij dado por:Aij = (-1)i+j * Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j

Exemplo

A13=?

Exemplo

D13=??

Exemplo

Exemplo 2

Calcule A22

Exemplo 2

Exercicio

Calcule A11,A12,A21 e A32

Determinante de matriz de ordem n

Então o determinante de A (matriz quadrada de ordem n, com n > 1), é igual a soma dos produtos dos elementos de uma linha qualquer pelos seus respectivos cofatores.

Exemplo

Escolhendo a linha 1

Exemplo

Escolhendo a linha 1detA = a11*A11+a12*A12+a13*A13

Exemplo

Escolhendo a linha 1detA = a11*A11+a12*A12+a13*A13=

Exemplo

Escolhendo a linha 1detA = a11*A11+a12*A12+a13*A13=

=-1(2*1-1*2)+2(1*1-3*2)=-10

Exemplo II

Exemplo II

Escolhendo a linha 1detA= 0*A11+1*A12+1*A13+0*A14

Exemplo II Escolhendo a linha 1 detA= 0*A11+1*A12+1*A13+0*A14

Exercicio

Ache os determinantes:

Propriedades dos determinantes

● Se A tem uma linha (ou coluna) com todos os elementos nulos, detA=0

Propriedades dos determinantes

● Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, detA=0

Propriedades dos determinantes

● Se A tem duas linhas (ou colunas) proporcionais, detA=0

Propriedades dos determinantes

● O determinante de uma matriz nao se altera quando trocamos as linhas pelas colunas.

Propriedades dos determinantes

● Se na matriz A, cada elemento de uma linha (ou coluna) e uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de suas matrizes.

Propriedades dos determinantes

● O determinante de uma matriz triangular e igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Propriedades dos determinantes

● Trocando duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de sinal.

Propriedades dos determinantes

● Quando multiplicamos um numero real por todos os elementos de uma linha (ou coluna) da matriz A, o determinante e multiplicado por esse numero real.

Propriedades dos determinantes

● Um determinante nao se altera quando somamos duas linhas (ou colunas) de uma matriz A previamente multiplicada por uma constante.

Propriedades dos determinantes

● Sejam A e B matrizes, o determinante do produto e igual ao produto dos determinantes.

det(A*B)=det(A)*det(B).