EMENTA

Noções de conjuntos numéricos e expressões numéricas. Álgebra elementar. Produtos

Notáveis, Fatoração e Frações Algébricas. Funções e gráficos do 1º e 2º grau. Equações e

sistemas de 1º e 2º grau. Função Exponencial e Função Logarítmica. Trigonometria no

Triângulo retângulo e na circunferência.

CONTEÚDO DA DISCIPLINA

1. Noções de Conjuntos Numéricos e Expressões Numéricas

2. Álgebra Elementar

3. Produtos Notáveis

4. Fatoração

5. Frações Algébricas

6. Funções e Gráficos do 1º Grau

7. Equações e Sistemas de 1º Grau

8. Funções e Gráficos do 2º Grau

9. Equações e Sistemas do 2º Grau

10. Função Exponencial

11. Função Logarítmica

12. Trigonometria no Triângulo retângulo

13. Trigonometria na circunferência

BIBLIOGRAFIA ADOTADA

SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da.

Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único: contexto & aplicações: ensino médio. 3.ed.

São Paulo: Ática, 2008.

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica: volume 1. 3.ed. São Paulo: Harbra, 1994.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

IEZZI, Gelson; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; DOLCE, Osvaldo. Matemática: volume

único. 2.ed. São Paulo: Atual, 2002.

LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert P; EDWARDS, Bruce H. Cálculo com aplicações. 6.ed Rio de

Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2005.

STEWART, James. Cálculo: volume 1. 6.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.

SIMMONS, George Finley. Cálculo com geometria analítica: volume 1. São Paulo: Makron

Books,1987.

1. Noções de Conjuntos Numéricos e Expressões Numéricas

1. Introdução

Em uma pesquisa com 50 pessoas sobre preferência de esportes, o resultado obtido

foi: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de

basquete; 9 de futebol e vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três

modalidades.

a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?

b) Quantas gostam somente de futebol?

c) Quantas gostam só de basquete?

d) Quantas gostam apenas de vôlei?

e) Quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?

Para resolver questões deste tipo, devemos utilizar conhecimentos de conjuntos.

2. A noção de conjunto

Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo:

Conjunto dos números primos: B={2,3,5,7,11,13,...}

Conjunto dos números naturais: N={0,1,2,3,4,5,...}

Obs: um conjunto é formado por elementos.

3. Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por

exemplo, se A={números naturais pares} e B={0,2,4,6,8,...}, então A=B.

Obs: Se A não é igual a B então A é diferente de B (A≠B).

4. Conjunto vazio, unitário e universo

O conjunto vazio possui notação ø. Utiliza-se o conjunto vazio, para

representar uma propriedade contraditória. O conjunto vazio não possui elementos.

Ele pode ser representado por { }.

O conjunto unitário é formado por um único elemento. Exemplo: {números

naturais pares e primos}={x/x é um número natural par e primo}={2}, pois o único

número natural e primo.

Obs: {ø} conjunto unitário que tem como único elemento o conjunto vazio.

O conjunto Universo é o conjunto formado por todos os elementos com os

quais estamos trabalhando num determinado assunto. Exemplo: se U é o conjunto

dos números naturais, então a equação 𝑥 + 5 = 2 não tem solução; porém, se U é o

conjunto dos números inteiros então a equação tem solução 𝑥 = −3.

5. Subconjuntos e a relação de inclusão

Considere dois conjuntos A e B, se todos os elementos de A forem também

elementos de B, dizemos que A é um subconjunto de B, dizemos que A é um

subconjunto de B, indicamos por 𝐴 ⊂ 𝐵.

Lê-se: A é subconjunto de B; A está contido em B; A é parte de B.

Se A não for subconjunto de B, escrevemos 𝐴 ⊄ 𝐵.

Exemplo: Considerando P o conjunto dos números naturais pares e N o

conjunto dos números naturais, temos:

P={0,2,4,6,8,...}, N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}

Nesse caso, 𝑃 ⊂ 𝑁.

Obs: Caso houvesse um elemento de P que não fosse de N, logo: 𝑃 ⊄ 𝑁.

6. Conjunto das partes

Dado o conjunto A={a, e, i}, é possível escrever todos os subconjuntos

(todas as partes) de A. Esse conjunto formado por todos os subconjuntos de A é

chamado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, temos:

P(A)={ø,{a},{e},{i},{a,e},{a,i},{e,i},{a,e,i}}

7. Complementar de um conjunto

Dado o universo U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e o conjunto A={1,3,5,7},

dizemos que o complementar de A em relação a U é {0,2,4,6,8,9}, ou seja, é o

conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Indica-se 𝐶𝑈𝐴 ou 𝐴𝐶 ou

𝐴 . Logo, 𝐴𝐶 = {𝑥! 𝑥 ∈ 𝑈 𝑒 𝑥 ∉ 𝐴}.

8. Operações entre conjuntos

Diferença

Dados os conjuntos A={0,1,3,6,8,9} e B={1,4,9,90}, podemos escrever o

conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.

Assim, C={0,3,6,8}.

O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A-B (lê-se:

A menos B).

De modo geral, escrevemos: 𝐴− 𝐵 = {𝑥 𝑥 ∈ 𝐴𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}

Obs: A diferença A-B é igual ao 𝐶𝐴𝐵.

Reunião ou união

Dados os conjuntos A={0,10,20,30,50} e B={0,30,40,50,60}, podemos

escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B

ou ambos. Assim, C={0,10,20,30,40,50,60} é indicado por AUB (lê-se:A reunião de B

ou A união B)

De modo geral, escrevemos: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}

Exemplo: Se A={3,6} e B={5,6}, então A U B={3,5,6}

Intersecção

Dados os conjuntos A={a,e,i,o,u} e B={a,e,u,b}, podemos escrever o

conjunto C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou

elementos comuns a A e B. Assim, C={a,e,u}

O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por 𝐴 ∩ 𝐵 (lê-se:

A intersecção B ou, simplesmente, A inter B).

De modo geral, escrevemos: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}

Propriedades da reunião e da intersecção

1º Comutativa

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

2 º Associativa

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)

𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

3º Distributiva

𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

Números de elementos da reunião de conjuntos

1º Caso: Sejam A={1,3,5,7,9} e B={0,2,4,6,8}. Observamos que cada conjunto tem

cinco elementos.

Representamos simbolicamente o número de elementos por: n(A)=5 e n(B)=5

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ ⇒ 𝑛 𝐴 ∩𝐵 = 0

𝐴 ∪ 𝐵 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ⇒ 𝑛 𝐴 ∪𝐵 = 10

Logo: 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑛 𝐴 + 𝑛(𝐵)

2º Caso: Considerem A={1,3,5,7,9}, B={2,3,5,7}. Então:

𝐴 = 1,3,5,7,9 ⇒ 𝑛 𝐴 = 5

𝐵 = 2,3,5,7 ⇒ 𝑛 𝐵 = 4

𝐴 ∩ 𝐵 = 3,5,7 ≠ ∅ ⇒ 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 3

𝐴 ∪𝐵 = 1,2,3,5,7,9 ⇒ 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 6

Logo: 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

Exemplo: Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que

respondessem sim ou não: Gosta de música? Gosta de esporte? Responderam sim à

primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim à segunda; 25 responderam sim a

ambas; e 40 responderam não a ambas. Quantos jovens foram entrevistados?

Solução:

A: conjunto dos que gostam de música. 𝑛 𝐴 = 90

B: conjunto dos que gostam de esporte. 𝑛 𝐵 = 70

𝐴 ∩ 𝐵: conjunto dos que gostam de ambos. 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 25

𝐴 − (𝐴 ∩ 𝐵): conjunto dos que só gostam de música. 90 − 25 = 65

𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐵): conjunto dos que só gostam de esporte. 70 − 25 = 45

Portanto, o número de entrevistados é: 65 + 25 + 45 + 40 = 175 ou 𝑛 𝐴 ∪𝐵 + 40 = 𝑛 𝐴 +

𝑛 𝐵 − 𝑛 𝐴 ∩𝐵 + 40 = 90 + 70 − 25 + 40 = 175

9. Conjuntos numéricos

Os dois principais objetos com que se ocupa a Matemática são os números

e as figuras geométricas. O objetivo deste tópico é recordar e aprofundar o que você

estudou sobre números no ensino fundamental.

Conjunto dos números naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado por: N={0,1,2,3,4,...}

N*={1,2,3,4,5,...}

Os números naturais são usados: nas contagens, nos códigos, nas

ordenações.

Conjunto dos números inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado: Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,...}

Z*={...,-2,-1,1,2,3,...}

Destacamos os seguintes subconjuntos de Z: 𝑁 ⊂ 𝑍

Conjunto dos números racionais (Q)

Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao

conjunto Z obtemos o conjunto dos números racionais (Q).

Assim, escrevemos: 𝑄 = {𝑥 𝑥 =𝑎

𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝑍,𝑏 ∈ 𝑍 𝑒 𝑏 ≠ 0}

Destacamos os seguintes subconjuntos: 𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄

Representação decimal dos números racionais

Dado um número racional a/b , a representação decimal desse número é

obtida dividindo-se a por b, podendo resultar em:

Decimais exatas, finitas: 1

4= 0,25;

−5

8= −0,625

Decimais ou dízimas periódicas, infinitas: 2

3= 0,666… = 0, 6

Determinação da fração geratriz do decimal:

0,75 =75

100=

3

4

0,222…

𝑥 = 0,222…

10𝑥 = 2,222….

10𝑥 = 2 + 0,222…

10𝑥 = 2 + 𝑥

9𝑥 = 2

𝑥 =2

9

Conjunto dos números irracionais (I)

São números decimais que não admitem fração geratriz, são os decimais

infinitos e não-periódicos.

Alguns exemplos: 2 = 1,4142135…; 3 = 1,7320508….; 𝜋 = 3,141592…

Conjunto dos números reais (R)

É a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números

irracionais.

𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑄𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐼 = {𝑥 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙}

10.Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números.

Exemplo: 7+5-4; 3.5-2; 10/2+5

Prioridade das operações numa expressão matemática.

Nas operações em uma expressão matemática deve-se obedecer a seguinte

ordem: Potenciação ou radiciação; multiplicação ou divisão; adição ou subtração.

Observações quanto a prioridade:

1) Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se

realizar a operação que estiver dentro do parênteses, colchetes ou

chaves.

2) A multiplicação pode ser indicada por “x” ou por um ponto “.” Ou às

vezes sem sinal, desde que fique claro a intenção da expressão.

Lista 1 – Noções de Conjuntos e Expressões Numéricas.

1) Escreva o conjunto expresso pela propriedade:

a) x é número natural par;

b) x é número natural menor que 8;

c) x é número natural múltiplo de 5 e menor do que 31;

d) x é a letra da palavra CONUNTO;

e) x é um quadrilátero que possui 4 ângulos retos.

2) Escreva uma condição que define o conjunto:

a) {-3,3}

b) {1,2}

c) {5}

d) {7,8,9,10,11,...}

3) Dados os conjuntos A={1,2}, B={1,2,3,4,5}, C={3,4,5} e D={0,1,2,3,4,5},

classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) 𝐴 ⊂ 𝐵

b) 𝐶 ⊂ 𝐴

c) 𝐵 ⊂ 𝐷

d) 𝐷 ⊂ 𝐵

e) 𝐶 ⊄ 𝐴

f) 𝐴 ⊂ 𝐷

g) 𝐵 ⊂ 𝐶

h) 𝐵 ⊂ 𝐵

4) Dados U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={0,2,4,6,8}, B={1,3,5,7,9} e C={2,4},

determine:

a) 𝐶𝑈𝐴

b) 𝐶𝑈𝐵

c) 𝐶𝑈𝐶

d) 𝐶𝐴𝐶

5) Dados os conjuntos A={a,b,c,d,e,f,g}, B={b,dg,h,i} e C={e,f,m,n}, determine:

a) A-B

b) A-C

c) B-C

d) B-A

6) Dados os conjuntos:

A={x/x é um número natural primo menor do que 10};

B={x/x é um número natural múltiplo de 2 menor do que 9};

C={x/x é um número natural divisor de 12};

Determine:

a) 𝐴 ∩ 𝐵

b) 𝐴 ∩ 𝐶

c) 𝐵 ∪ 𝐶

d) 𝐵 ∩ 𝐶

e) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶

f) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶

g) (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶

7) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para verificar a audiência dos

programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510

famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 assistem

ao programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B,

60 assistem aos programas B e C, 25 assistem aos programas A e C, e 10

famílias assistem aos três programas.

a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas?

b) Quantas famílias assistem somente ao programa A?

c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?

8) Num levantamento entre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, obtivemos

os seguintes resultados: 41 estudam inglês; 29 estudam francês e 26 estudam

espanhol; 15 estudam inglês e francês, 8 estudam francês e espanhol, 19

estudam inglês e espanhol; 5 estudam os três idiomas.

a) Quantos estudantes não estudam nenhum desses idiomas?

b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?

9) Dê a representação decimal dos seguintes números racionais:

a) 7

8

b) 5

13

c) 3

4

d) 7

5

10) Determine a geratriz 𝑎

𝑏 dos seguintes decimais periódicos:

a) 0,333...

b) 0,24242424...

c) 0,126126126...

11) Determine o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas:

a) −9 2 − 5.16

b) 32.4 − 52 c) (−2)4: 16 − (−1)7

d) 10 − 32: 20 + 50 e) (−6)2 − (−7)2 + 130

f) 40: [ −2 . 2 + 4. (−3)0

g) 52 − −3 2 + −4 2

2. Produtos Notáveis

Alguns produtos que envolvem expressões algébricas apresentam um

padrão, uma regularidade em seus resultados. Vamos estudar os produtos notáveis

conhecidos por quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela

diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

Quadrado da soma: (𝑎 + 𝑏)2 ou 𝑎 + 𝑏 (𝑎 + 𝑏).

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎.𝑎 + 𝑎. 𝑏 + 𝑎.𝑏 + 𝑏.𝑏 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Geometricamente temos: ao dividir o lado do quadrado em duas partes de medidas a

e b, a região quadrada fica dividida em quatro partes: duas retangulares de área ab

cada uma, uma quadrada de área a2 e outra quadrada de área b2.

Exemplos: (3𝑥 + 5)2 = 9𝑥2 + 30𝑥 + 25

Podemos resolver também (𝑎 + 𝑏)2 por: (quadrado do primeiro termo)+(2 vezes o

primeiro vezes o segundo termo)+(quadrado do segundo termo).

Quadrado da diferença: (𝑎 − 𝑏)2 ou 𝑎 − 𝑏 (𝑎 − 𝑏).

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎− 𝑏 = 𝑎. 𝑎 − 𝑎.𝑏 − 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑏 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Exemplo: (𝑥 − 4)2 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16

Podemos resolver também (𝑎 − 𝑏)2 por: (quadrado do primeiro termo)-(2 vezes o

primeiro vezes o segundo termo)+(quadrado do segundo termo).

Produto de uma soma pela diferença: 𝑎 + 𝑏 (𝑎 − 𝑏)

𝑎 + 𝑏 𝑎− 𝑏 = 𝑎. 𝑎 − 𝑎.𝑏 + 𝑎. 𝑏 − 𝑏. 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑎 + 𝑏 𝑎− 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

Exemplo: 3𝑥 + 7 3𝑥 − 7 = 9𝑥2 − 49

Cubo da soma: (𝑎 + 𝑏)3

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎 + 𝑏 (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Geometricamente, (𝑎 + 𝑏)3 indica o volume de um cubo com arestas medindo a+b.

Esse cubo pode ser dividido em: um cubo de arestas a (a3), três paralelepípedos de

arestas a, a e b (3𝑎2𝑏), três paralelepípedos de arestas a, b e b (3𝑎𝑏2) e um cubo de

arestas b (b3).

Exemplo: (𝑥 + 3)3 = 𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27

Cubo da diferença: (𝑎 − 𝑏)3

(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 −𝑏3

(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 −𝑏3

Exemplo: (𝑥 − 4)3 = 𝑥3 − 12𝑥2 + 48𝑥 − 64

Lista 2 – Produtos Notáveis.

1) Efetue:

a) (𝑎 + 5)2

b) (2𝑥 + 4)2

c) (5𝑥 +1

2)2

d) (𝑥2 + 𝑏)2

e) 4𝑥 − 9 2

f) (𝑥 −2

3)2

g) 𝑥 − 7 (𝑥 + 7)

h) 𝑥 + 4𝑦 (𝑥 − 4𝑦)

i) 5𝑥 + 8 (5𝑥 − 8)

j) (𝑥 + 2)3

k) (𝑎 − 4𝑏)3

l) (𝑥 + 𝑦)3

3. Fatoração de expressões algébricas

Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em um produto. Existem

vários casos de fatoração que devem ser utilizados de acordo com as características

da expressão algébrica a ser fatorada.

Fatoração colocando termo em evidência.

Vamos fatorar 3𝑎2 + 3𝑎𝑏

3𝑎 é o fator comum às duas parcelas de 3𝑎2 + 3𝑎𝑏. Assim,

3𝑎2 + 3𝑎𝑏 = 3𝑎(𝑎 + 𝑏)

Fatoração por agrupamento.

Analise com atenção a expressão algébrica de quatro termos

𝑎𝑥 + 2𝑎 + 5𝑥 + 10. Não existe um fator comum aos quatro termos.

Mas, agrupando-os de forma conveniente, podemos fazer a sua

fatoração aplicando duas vezes a forma anterior. Veja:

𝑎𝑥 + 2𝑎 + 5𝑥 + 10 = 𝑎 𝑥 + 2 + 5 𝑥 + 2 = 𝑥 + 2 (𝑎 + 5)

Obs: a fatoração de dois grupos separadamente, deve “gerar” um

fator comum para uma nova fatoração.

Fatoração do trinômio quadrado perfeito.

No estudo dos produtos notáveis, o quadrado da soma e o quadrado da

diferença de dois termos, nos dão trinômios como resultados. Por

exemplo: (𝑥 + 5)2 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25

O exemplo acima é denominado de quadrado perfeito. O caminho

inverso do exemplo é a fatoração do trinômio. Veja:

𝑥2 + 10𝑥 + 25 = (𝑥 + 5)2

Fatoração da diferença de dois quadrados.

O produto da soma pela diferença é igual a diferença entre o quadrado

do 1º termo e o quadrado do 2º termo.

exemplo: 𝑥 + 8 𝑥 − 8 = 𝑥2 − 64

O caminho inverso é a fatoração da diferença de dois quadrados. Veja:

𝑥2 − 64 = 𝑥 − 8 (𝑥 + 8)

Lista 3 – Fatoração de expressões algébricas.

1) Fatore as expressões, colocando em evidência o fator comum:

a) 6𝑥2𝑦2 − 9𝑥2 + 15𝑥𝑦2

b) 𝑥 𝑥 − 4 + 6(𝑥 − 4)

c) 2𝑥2 + 4𝑥𝑦

d) 7𝑎3 + 14𝑎𝑏

2) Fatore as expressões seguintes usando a fatoração por agrupamento:

a) 2𝑥2 − 4𝑥 + 3𝑥𝑦− 6𝑦

b) 𝑎2 −𝑎 − 𝑎𝑏 + 𝑏

c) 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦

d) 𝑎𝑏 + 3𝑏 − 7𝑎 − 21

3) Escreva as diferenças como produto de uma soma por uma diferença dos

mesmos termos:

a) 9𝑥2 − 16𝑦2

b) 4𝑎2𝑏2 − 9𝑥2𝑦2

c) 𝑥2 −1

36

d) 1

4− 4𝑎2𝑏2

4) Faça a fatoração das expressões abaixo:

a) 3𝑥2 − 15𝑥

b) 9𝑥2 − 25

c) 5𝑎2 −𝑎 + 10𝑎𝑏 − 2𝑏

d) 𝑥2 + 40𝑥 + 400

e) 𝑦2 − 81

f) 2𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 4𝑎

4. Frações algébricas.

Fração algébrica é a razão entre um polinômio e um polinômio de grau

não nulo.

Veja alguns exemplos:

120

𝑛, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ 0

𝑥

𝑥2+1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ −1

𝑦+3𝑧

𝑤−5, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑤 ≠ 5

Perceba pela definição que, quando o denominador da fração não tem grau

nulo, ele deve ser constituído de pelo menos uma letra.

Além disso, por ser uma fração, o denominador deve representar um

número diferente de zero. Daqui em diante, os denominadores das frações algébricas

sempre representarão números diferentes de zero.

4.1 Simplificação de frações algébricas

Para simplificar uma fração, dividimos o numerador e o denominador por

um mesmo número, determinando uma fração equivalente.

18:6

42:6=

3

7

O mesmo pode ser feito com as frações algébricas. Para isso, pode ser

necessário fatorar o numerador e o denominador da fração. Veja dois exemplos:

𝑥2 + 𝑥

2𝑥3 − 3𝑥=

𝑥(𝑥 + 1)

𝑥(2𝑥2 − 3)=

𝑥 + 1

2𝑥2 − 3

𝑏2 + 2𝑏𝑐 + 𝑐2

𝑏2 − 𝑐2=

(𝑏 + 𝑐)2

𝑏 + 𝑐 (𝑏 − 𝑐)=

𝑏 + 𝑐

𝑏 − 𝑐

Orientações didáticas – ao abordar as frações algébricas, faça uma

associação com as frações numéricas, retomando a ideia de equivalência para

simplificação. Embora nas frações algébricas a simplificação envolva fatorações, é

importante o aluno perceber que está sendo realizada uma busca por uma fração que

seja equivalente, isto é, escrita de modo diferente, para que possa ser simplificada.

4.2 Operações com frações algébricas

Operações com frações algébricas do mesmo modo que operamos com as

frações.

Adição algébrica

Para adicionar frações algébricas, determinamos frações equivalentes com

denominador comum e adicionamos os numeradores. Observe os exemplos:

3

4−

5

8=

3.2 − 5.1

8=

6 − 5

8=

1

8

1

𝑛+

1

𝑝=

1.𝑝 + 1.𝑛

𝑛.𝑝=

𝑝 + 𝑛

𝑛𝑝

3

𝑛−

5

2𝑛=

3.2 − 5.1

2. 𝑛=

1

2𝑛

Multiplicação algébrica

A multiplicação algébrica é feita da mesma forma quando multiplicamos

frações numéricas, em que multiplicamos numerador com numerador e denominador

com denominador. Na multiplicação algébrica devemos fazer primeiro as

simplificações antes de efetuar a multiplicação. Vejamos alguns exemplos:

3𝑎𝑏2

8.

4

𝑎2𝑏=

3𝑎𝑏2. 4

8.𝑎2𝑏=

3𝑏. 1

2.𝑎=

3𝑏

2𝑎

4𝑥2 − 10𝑥

𝑦.

3𝑦3

4𝑥2 − 25=

2𝑥. (2𝑥 − 5)

𝑦.

3𝑦3

2𝑥 + 5 (2𝑥 − 5)=

2𝑥. 3𝑦2

1. (2𝑥 + 5)=

6𝑥𝑦2

2𝑥 + 5

4.3 Equações fracionárias

Equação fracionária é toda equação em que pelo menos um dos termos é

uma fração algébrica.

Agora que você já sabe o que é uma fração algébrica, vai estudar

estratégias de resolução de outros tipos de equações com uma incógnita. Veja dois

exemplos:

100

𝑛+ 100 =

500

𝑛

100

𝑛+ 100 =

500

𝑛⇒

100 + 100𝑛

𝑛=

500

𝑛⇒ 100 + 100𝑛 = 500 ⇒ 100𝑛 = 500 − 100 ⇒ 100𝑛 = 400

⇒ 𝑛 =400

100⇒ 𝑛 = 4

1

𝑥+

1

𝑥 − 4=

2

𝑥2 − 4𝑥

1

𝑥+

1

𝑥 − 4=

2

𝑥2 − 4𝑥⇒

1. 𝑥 − 4 + 1.𝑥

𝑥. (𝑥 − 4)=

2.1

𝑥. (𝑥 − 4)⇒ 𝑥 − 4 + 𝑥 = 2 ⇒ 2𝑥 = 2 + 4 ⇒ 2𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 =

6

2⇒ 𝑥 = 3

Lista 4 – Frações algébricas.

1) Escreva uma frase para representar cada uma das frações algébricas a seguir.

a) 1

2𝑛

b) 9

𝑎𝑏 +𝑐

c) 5𝑥𝑧

3𝑦

2) Calcule o valor numérico de cada expressão para os valores indicados.

a) 5𝑝

𝑝+3, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝 = 3

b) 𝑎−𝑏

𝑎+𝑏,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = −3 𝑒 𝑏 = −1

c) 𝑦 +1

𝑦,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 =

1

3

d) 𝑥2+𝑥+1

2𝑥+3,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −3

3) Determine todos os valores reais de x para os quais o denominador de cada

fração algébrica a seguir é diferente de zero.

a) 5𝑥2+1

𝑥

b) 5

𝑥−3

c) 9𝑥+3

𝑥2−4𝑥

d) 3𝑥

6𝑥−12

4) Calcule o valor das seguintes somas. Não se esqueça de simplificá-las quando

possível.

a) 3𝑏

7𝑎+

5𝑏

7𝑎+

6𝑏

7𝑎

b) 𝑥

𝑥+1+

1

𝑥+1

c) 3

𝑘+

4

𝑘−1

d) 𝑥

𝑥+1+

𝑥2+1

𝑥2−1

5) Calcule e simplifique o valor, quando possível, de cada um dos seguintes

produtos algébricos.

a) 12𝑡 2𝑦3

5𝑧.

10𝑧3

8𝑡2𝑦4

b) 4𝑎2

𝑏6 :8𝑎4𝑐

𝑏3

c) 𝑏2−8𝑏+16

𝑎3+𝑎2 .𝑎2

𝑏−4

6) Indique o conjunto universo das seguintes equações fracionárias e resolva-as:

a) 𝑎

𝑎+6=

2

5

b) 2

𝑥−1=

7

8

c) 𝑥−3

2𝑥+1=

𝑥+2

2𝑥+5

d) 4

𝑦+

4

𝑦−2=

1

𝑦2−2𝑦

e) 𝑥+2

𝑥+1−

3

𝑥2−1= 1

7) A soma de 2

5 com o inverso de um número real x é igual a 1.

a) Escreva uma equação que represente essa situação.

b) Qual é o conjunto universo dessa equação?

c) Determine o valor de x.

5. Função e Gráfico do 1º grau.

1. Introdução

Um representante comercial recebe mensalmente um salário composto de

duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1500,00, e uma parte variável, que

corresponde a uma comissão de 6% sobre o total das vendas que ele faz durante o

mês.

Salário mensal = 1500,00 + 0,06. (total das vendas do mês)

Observamos então que o salário mensal desse vendedor é dado em função

do total de vendas que ele faz durante o mês, ou seja:

𝑠 𝑥 = 1500,00 + 0,06. 𝑥

2. Definição da função do 1º grau

Uma função 𝑓:𝑅 → 𝑅 chama-se função do 1º grau quando existem dois

números reais a e b tal que 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para todo 𝑥 ∈ 𝑅.

Exemplos:

𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 (a=2; b=1)

𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4 (a=-1; b=4)

3. Casos particulares importantes da função do 1º grau

Função identidade

𝑓:𝑅 → 𝑅 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝑅. Nesse caso, a=1 e b=0.

Função linear

𝑓:𝑅 → 𝑅 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝑅. Nesse caso, b=0.

Exemplos:

𝑓 𝑥 = −2𝑥

𝑓 𝑥 =2

5𝑥

Função constante

𝑓:𝑅 → 𝑅 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑏 para todo 𝑥 ∈ 𝑅. Nesse caso, a=0.

4. Valor uma função do 1º grau.

O valor de uma função do 1º grau 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para 𝑥 = 𝑥0 é dado por

𝑓 𝑥0 = 𝑎𝑥0 + 𝑏. Por exemplo, na função do 1º grau 𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 1, podemos determinar:

𝑓 1 = 5.1 + 1 = 5 + 1 = 6

𝑓 −3 = 5. −3 + 1 = −15 + 1 = −14

5. Determinação de uma função do 1º grau conhecendo-se seus valores

em dois pontos distintos.

Uma função do 1º grau 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 fica inteiramente determinada quando

conhecemos dois dos seus valores 𝑓(𝑥1) e 𝑓(𝑥2) para quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 reais, com

𝑥1 ≠ 𝑥2. Ou seja, com esses dados determinamos os valores de a e de b. Por

exemplo:

Se 𝑓 2 = −2, então para x=2 tem-se 𝑓 𝑥 = −2, ou seja, −2 = 2𝑎 + 𝑏

Se 𝑓 1 = 1, então para x=1 tem-se 𝑓 𝑥 = 1, ou seja, 1 = 𝑎 + 𝑏

Determinamos os valores de a e b resolvendo o sistema de equações:

2𝑎 + 𝑏 = −2𝑎 + 𝑏 = 1

⇒ 2𝑎 + 𝑏 = −2

−2𝑎 − 2𝑏 = −2

Resolvendo o sistema temos: a=-3 e b=4, logo: 𝑓 𝑥 = −3𝑥 + 4

6. Gráfico da função do 1º grau 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃

O gráfico da função do 1º grau é uma reta. Geometricamente, b é a

ordenada do ponto onde a reta, que é gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, intercepta o

eixo Oy, pois para x=0 temos 𝑓 0 = 𝑎. 0 + 𝑏 = 𝑏.

O número a chama-se inclinação ou coeficiente angular dessa reta em

relação ao eixo horizontal Ox. O número b chama-se valor inicial da função f ou

coeficiente linear da reta.

Acrescentar gráfico...

7. Função Crescente ou Decrescente

A função do 1º grau já vimos que é uma reta não vertical, ou seja, não

paralela ao eixo Oy. A ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y é sempre o

valor de b.

O número a chama-se taxa de variação ou taxa de crescimento da função.

Quanto maior o valor absoluto de a, mais a reta se afasta da posição horizontal.

Para 𝑎 ≠ 0 existem duas possibilidades:

Para 𝑎 > 0 a reta é crescente.

Para 𝑎 < 0 a reta é decrescente.

Assim, o que determina se a função do 1º grau 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0. Se

a é positivo, ela é crescente; se a é negativo, ela é decrescente.

No caso de a=0, o valor de 𝑓(𝑥) permanece constante 𝑓 𝑥 = 𝑏 e o gráfico de

f é a reta paralela ao eixo x que passa por (0,b).

Exemplo: dada a função 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 8, 𝑠𝑒 𝑥 < 2−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2

, de R em R, determine os

intervalos de crescimento e decrescimento de f.

Temos duas condições:

Se 𝑥 < 2, então 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 8 nesse caso (𝑎 > 0), logo f é crescente.

Se 𝑥 ≥ 2, então 𝑓 𝑥 = −𝑥 nesse caso (𝑎 < 0), logo f é decrescente.

8. Estudo do sinal da função do 1º grau.

Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maçãs. Como

cada maçã será vendida a R$ 2,00. Ele deseja saber quantas maçãs devem ser

vendidas para que haja lucro no final da venda. Observe o resultado final é dado em

função do número x de maçãs vendidas, e alei da função é 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 300.

Vendendo 150 maçãs não haverá lucro nem prejuízo.

Para x=150, temos 𝑓 𝑥 = 0.

Vendendo mais de 150 maçãs haverá lucro.

Para 𝑥 > 150, temos 𝑓(𝑥) > 0.

Vendendo menos de 150 maçãs haverá prejuízo.

Para 𝑥 < 150, temos 𝑓(𝑥) < 0.

Em situações como esta, dizemos que foi feito o estudo do sinal da função,

que consiste em determinar os valores de x do domínio para os quais f𝑓 𝑥 = 0,𝑓 𝑥 >

0𝑒 𝑓(𝑥) < 0.

9. Zero da função

O valor de x para o qual a função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏,𝑎 ≠ 0, se anula, ou seja, para

o qual 𝑓 𝑥 = 0, denomina-se zero da função.

Para determinar o zero de uma função, basta resolver a equação 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0.

𝑓 𝑥 = 0 ⇒ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑥 =−𝑏

𝑎

Exemplo: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 ⇒ 𝑥 =−5

2

Geometricamente, o zero da função é a abscissa do ponto de interseção do

gráfico da função com o eixo x.

10. Inequação do 1º grau.

Sendo 𝑓:𝑅 → 𝑅 uma função, chamamos de inequação toda desigualdade

que, quando reduzida, possui uma das seguintes formas:

𝑓(𝑥) > 0

𝑓(𝑥) < 0

𝑓(𝑥) ≥ 0

𝑓(𝑥) ≤ 0

Sendo 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 uma função afim, chamamos inequação do 1º grau toda

desigualdade que, quando reduzida, possui uma das seguintes formas:

𝑎𝑥 + 𝑏 > 0

𝑎𝑥 + 𝑏 < 0

𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0

𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0

Exemplo: Resolva, no conjunto dos números reais, a inequação 9𝑥 − 2 ≤ 4𝑥.

9𝑥 − 2 ≤ 4𝑥 ⇒ 9𝑥 − 4𝑥 ≤ 2 ⇒ 5𝑥 ≤ 2 ⇒ 𝑥 ≤2

5

11. Sistema de inequações

Chamamos de sistema de inequações todo sistema que envolve duas ou

mais inequações. A solução do sistema é dada pela interseção das soluções das

inequações.

Exemplo: Resolva o sistema 2𝑥 + 1 ≤ 6 + 𝑥

𝑥 + 2 > 0

Inicialmente resolvemos separadamente da uma das inequações

2𝑥 + 1 ≤ 6 + 𝑥 ⇒ 2𝑥 − 𝑥 ≤ 6 − 1 ⇒ 𝑥 ≤ 5

𝑥 + 2 > 0 ⇒ 𝑥 > −2

Agora, obtemos o conjunto-solução S do sistema, fazendo a interseção das

soluções das inequações, ou seja, 𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2

𝑆 =] − 2,5] 𝑜𝑢 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∕ −2 < 𝑥 ≤ 5}.

12. Inequação-produto e inequação-quociente

As inequações-produto e as inequações-quociente são inequações que

envolvem, respectivamente, a multiplicação e a divisão de funções.

Sendo f e g funções de R em R, chamamos de inequação-produto as

desigualdades:

𝑓. 𝑔 > 0

𝑓. 𝑔 < 0

𝑓. 𝑔 ≥ 0

𝑓. 𝑔 ≤ 0

Sendo f e g funções de R em R, chamamos de inequação quociente as

desigualdades:

𝑓

𝑔> 0

𝑓

𝑔< 0

𝑓

𝑔≥ 0

𝑓

𝑔≤ 0

Exemplo: Sendo 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 e 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5, qual é a soma dos valores

inteiros de x, tais que 𝑓 𝑥 .𝑔(𝑥) > 0

Resolução: inicialmente, realizamos o estudo do sinal de f e g:

f é crescente (𝑎 > 0) e tem zero igual a 𝑥 =−3

2

g é decrescente (𝑎 < 0) e tem zero igual a 𝑥 = 5

Assim, os valores inteiros de x tais que 𝑓 𝑥 .𝑔(𝑥) > 0 estão no intervalo −3

2< 𝑥 < 5 e são dados por: -1, 0, 1, 2, 3 e 4, isto é: -1+0+1+2+3+4=9

Lista 4 – Função e Gráfico do 1º grau.

1) Determine o valor da função 𝑓 𝑥 = −3𝑥 + 4 para:

a) X=1

b) X=1/3

c) X=0

d) X=k+1

2) Determine o valor de 𝑓(𝑥 + 𝑕) para cada uma das funções:

a) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 3

b) 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 2

c) 𝑓 𝑥 =1

3𝑥 +

1

4

3) Escreva a função do 1º grau 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 sabendo que:

a) 𝑓 1 = 5 𝑒 𝑓 −3 = −7

b) 𝑓 −1 = 7 𝑒 𝑓 2 = 1

4) Na produção de peças, uma indústria tem custo fixo de R$ 8,00 mais custo

variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades

produzidas:

a) Escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças;

b) Calcule o custo de 100 peças;

c) Escreva a taxa de crescimento da função.

5) Construa o gráfico das seguintes funções:

a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2

c) 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 5

6) Determine a lei da função cuja reta intercepta os eixos em (-8, 0) e (0, 4). Essa

função é crescente ou decrescente?

7) Determine a fórmula matemática da função tal que 𝑓 2 = 5 𝑒 𝑓 −1 = −4.

8) Sem construir gráficos, descubra os pontos em que as retas, cortam o eixo x e

y:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5

b) 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4

c) 𝑓 𝑥 = 1 + 4𝑥

d) 𝑓 𝑥 = 2 −3

4𝑥

9) Estude a variação do sinal das seguintes funções:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4

b) 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 1

c) 𝑓 𝑥 = 2 − 6𝑥

10) Resolva os sistemas abaixo:

a) 5𝑥 − 6 < 2

3𝑥 + 3 ≥ 𝑥 − 1

b) 5𝑥 − 6 < 2𝑥

3𝑥 + 3 ≥ 𝑥 − 1

c) 3𝑥 + 2 < 5𝑥 < 2𝑥 + 6

d) 3𝑥 − 4 < 4𝑥 ≤ 2𝑥 + 8

6. Equações e Sistemas do 1º grau.

Você já deve conhecer as equações do 1º grau com duas incógnitas. Agora

verá que nem toda situação pode ser representada por uma única equação. Veja este

exemplo: a idade de Bia adicionada ao dobro da idade de Luísa resulta em 39; além

disso, Luísa é três anos mais velha do que Bía.

Para representar essa situação, precisamos de duas equações, cada uma

com duas incógnitas. Acompanhe:

Como ambas as idades não são conhecidas, representamos cada uma delas

por uma letra distinta; x representa a idade de Luísa e y representa a idade de Bía,

em que x e y são números naturais diferente de zero.

Pelo enunciado do problema, sabemos que:

A idade de Bia, y, adicionada ao dobro da idade de Luísa, 2x, resulta

em 39; ou seja , 2𝑥 + 𝑦 = 39.

Como Luísa é três anos mais velha do que Bia, a idade de Luísa, x, é

igual a idade de Bia, y, mais três unidades; ou seja, 𝑥 = 𝑦 + 3.

Assim, podemos fazer a representação com um sistema de equações do 1º

grau com duas incógnitas.

2𝑥 + 𝑦 = 39𝑥 = 𝑦 + 3

A chave colocada no sistema de equações indica a conjunção “e”. isso

significa que devemos determinar uma solução que satisfaça as duas equações. Como

o sistema é composto de equações do 1º grau com duas incógnitas, essa solução será

dada por um par ordenado.

Resolvendo um sistema de equações do 1º grau com duas

incógnitas.

Vamos estudar dois métodos para resolver sistemas de equações: o método

da substituição e o método da adição. Procure perceber qual deles você considera

mais adequado para cada sistema.

1º Método da Substituição

Para resolver o sistema de equações do 1º grau pelo método da

substituição, devemos seguir alguns passos:

Escolhemos inicialmente uma das equações e isolamos uma das incógnitas;

Substituímos o valor da incógnita isolada anteriormente na outra equação, para

determinar a primeira incógnita.

Voltamos equação anterior para determinar a segunda incógnita.

Exemplo: resolver o sistema pelo método da substituição 𝑥 + 𝑦 = 4

3𝑥 + 𝑦 = 28

𝑥 + 𝑦 = 4 ∴ 𝑥 = 4 − 𝑦

3𝑥 + 𝑦 = 28 ∴ 3. 4 − 𝑦 + 𝑦 = 28 ∴ 12 − 3𝑦 + 𝑦 = 28 ∴ −2𝑦 = 16 ∴ 𝑦 = −8

𝑥 = 4 −𝑦 ∴ 𝑥 = 4 − −8 ∴ 𝑥 = 12

𝑆 = { 12,−8 }

2º Método da Adição

Devemos seguir alguns passos para resolver o sistema de equações pelo

método da adição.

Devemos adicionar membro a membro das duas equações;

Após adicionar as equações, uma das incógnitas será eliminada (simétrica) de

tal forma de determinamos o valor da primeira incógnita.

Substituímos o valor da incógnita determinada anterior em qualquer uma das

equações para determinar a segunda incógnita.

Exemplo: resolver o sistema pelo método da adição 𝑥 + 𝑦 = 14𝑥 − 𝑦 = 8

Adicionando as duas equações membro a membro temos: 2𝑥 = 22 ∴ 𝑥 = 11

𝑥 + 𝑦 = 14 ∴ 11 + 𝑦 = 14 ∴ 𝑦 = 14 − 11 ∴ 𝑦 = 3

𝑆 = { 11, 3 }

Observações:

Dependendo da solução determinada pelo sistema temos:

Sistema Possível e Determinado – As retas apresentadas no plano cartesiano são

concorrentes, dizemos que esse sistema tem uma única solução (pontos em que as

retas se cruzam).

Sistema Possível e Indeterminado – As retas apresentadas no plano cartesiano

são paralelas coincidentes, dizemos que esse sistema tem infinitas soluções

(pontos na própria reta).

Sistema Impossível – As retas apresentadas no plano cartesiano são paralelas

distintas, dizemos que esse sistema não tem solução (não pontos de intersecção).

Atividade:

1) Resolva os sistemas abaixo:

a) 𝑥 + 𝑦 = −33𝑥 + 𝑦 = 1

b) 𝑥 + 2𝑦 = 123𝑥 − 𝑦 = 22

c) −2𝑥 − 6𝑦 = 6𝑥 + 7𝑦 = −3

d) 5𝑥 − 𝑦 = 1

2𝑥 − 3𝑦 = −10

e) 𝑥 + 8𝑦 = −142𝑥 − 9𝑦 = −3

f) 𝑥 + 𝑦 = 4

3𝑥 + 𝑦 = 28

g) 4𝑥 + 𝑦 = 0

𝑥 + 5𝑦 = −19

h) −2𝑥 − 3𝑦 = −9𝑥 + 4𝑦 = 12

i) −6𝑥 + 2𝑦 = 8

9𝑥 − 𝑦 = 8

j) 𝑥 + 7𝑦 = −2𝑥 = −4𝑦 + 1

k) 3𝑥 − 5𝑦 = −14−2𝑥 − 8𝑦 = −2

7. Funções e gráfico do 2º grau.

Neste capítulo, vamos estudar mais detalhadamente as características da

função polinomial do 2º grau com uma variável, também chamada de função

quadrática.

Definição

A função 𝑓:𝑅 → 𝑅 dada por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com a, b e c reais e 𝑎 ≠ 0,

denomina-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática. Os números

representados por a, b e c são os coeficientes da função. Note que se 𝑎 = 0 temos

uma função do 1º grau ou uma função constante.

Assim, são funções polinomiais do 2º grau:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 4 Coeficientes: 𝑎 = 1;𝑏 = −3; 𝑐 = 4

𝑓 𝑥 = 5𝑥2 − 1 Coeficientes: 𝑎 = 5;𝑏 = 0; 𝑐 = −1

𝑓 𝑥 = −𝑥2 +3

2𝑥 Coeficientes: 𝑎 = −1;𝑏 =

3

2; 𝑐 = 0

𝑓 𝑥 = −5𝑥2 Coeficientes: 𝑎 = −5;𝑏 = 0; 𝑐 = 0

Gráfico de uma função quadrática.

Para construir o gráfico de uma função quadrática, vamos atribuir alguns

valores à variável x e determinar as respectivas imagens y, assinalando os pontos

obtidos (x,y) num plano cartesiano.

Como o domínio de uma função do 2º grau é em geral, o conjunto R, não

será possível representar o seu gráfico integralmente. Vamos então representar

alguns de seus pontos, tentar descobrir a forma do gráfico e verificar se há alguma

regularidade.

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau ou quadrática é uma curva

aberta chamada de parábola.

Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter

uma boa representação gráfica, vamos destacar três importantes características do

gráfico da função quadrática: concavidade; posição em relação ao eixo x; localização

do seu vértice.

Exemplo: Construir o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2

X Y (x,y)

-3 9 (-3, 9)

-2 4 (-2, 4)

-1 1 (-1, 1)

0 0 (0, 0)

1 1 (1, 1)

2 4 (2, 4)

3 9 (3, 9)

Fazer gráfico....

Exemplo: Construir gráfico da função 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 3.

X Y (x,y)

-1 9 (-1, 9)

0 3 (0, 3)

1 1 (1, 1)

2 3 (2, 3)

3 9 (3, 9)

Fazer gráfico.....

Exemplo: Construir gráfico da função 𝑦 = −2𝑥2 + 18.

X Y (x,y)

-3 0 (-3, 0)

-2 10 (-2, 10)

-1 16 (-1, 16)

0 18 (0, 18)

1 16 (1, 16)

2 10 (2, 10)

3 0 (3, 0)

Fazer gráfico....

Concavidade

Podemos observar que em algumas parábolas a abertura ou concavidade

está voltada para cima, enquanto em outras está voltada para baixo.

Observe:

Em 𝑓 𝑥 = 𝑥2, temos 𝑎 = 1 > 0 (Concavidade voltada para cima)

Em 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 3, temos 𝑎 = 2 > 0 (Concavidade voltada para cima)

Em 𝑓 𝑥 = −4𝑥2 + 35, temos 𝑎 = −4 < 0 (Concavidade voltada para baixo)

Em 𝑓 𝑥 = −𝑥2, temos 𝑎 = −1 < 0 (Concavidade voltada para baixo)

A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 do 2º grau depende do sinal do coeficiente de a.

Zeros de uma função do 2º grau.

Já vimos que os zeros ou raízes de uma função f(x) são os valores do

domínio para os quais 𝑓 𝑥 = 0.

Assim, os zeros ou raízes da função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 são as

raízes da equação do 2º grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Vejamos o roteiro:

Equação: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑒 𝑎 ≠ 0.

Raízes: 𝑥 =−𝑏± ∆

2𝑎, onde ∆= 𝑏2 − 4.𝑎. 𝑐

Se ∆> 0, então as duas raízes são reais e diferentes: 𝑥 ′ =−𝑏+ ∆

2𝑎 𝑒 𝑥" =

−𝑏− ∆

2𝑎.

Se ∆= 0, então as duas raízes são reais e iguais: 𝑥 ′ = 𝑥" = −𝑏

2𝑎

Se ∆< 0, então não há raízes reais.

Por exemplo, para determinar as raízes da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6,

fazemos:

𝑓 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0

∆= (−7)2 − 4.1.6 = 25

𝑥 =7 ± 5

2 (𝑥 ′ = 6 𝑒 𝑥" = 1)

Então, os números 1 e 6 são os zeros da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6.

Atividade:

1) Determinar os zeros das funções:

a) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 − 5

b) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 6

c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥

d) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 4

e) 𝑦 = 3𝑥2 − 7𝑥 + 2

f) 𝑦 = −𝑥2 + 3𝑥

2) Determine o parâmetro real k, de modo que a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑘

tenha:

a) Dois zeros reais diferentes;

b) Um zero real duplo;

c) Nenhum zero real.

Vértice da parábola.

Para construção do gráfico da função quadrática e outras aplicações que

veremos mais adiante, é importante determinar as coordenadas do vértice da

parábola.

Vamos analisar, por exemplo, a função 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3. Nessa função, temos

que o gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima e as raízes ou zeros

são 𝑥′ = −1 𝑒 𝑥" = 3.

Para determinar as coordenadas 𝑋𝑣 𝑒 𝑌𝑣 do vértice V, vamos lembrar que

toda parábola possui um eixo de simetria que passa por esse ponto. No caso em

estudo, o eixo de simetria é paralelo ao eixo y.

Assim, os pontos −1, 0 𝑒 (3, 0) são equidistantes do ponto (𝑋𝑣 , 0), onde o

eixo de simetria corta o eixo x, e 𝑋𝑣 é a média aritmética dos números -1 e 3.

𝑿𝒗 =−𝟏 + 𝟑

𝟐= 1

Se 𝑋𝑣 = 1, podemos determinar 𝑌𝑣.

𝑌𝑣 = (1)2 − 2.1 − 3 = −4

Então, a coordenada do vértice 𝑉(1,−4).

Existe uma outra maneira de determinar as coordenadas do vértice da

parábola, utilizando as expressões:

𝑋𝑣 = −𝑏

2𝑎 e 𝑌𝑣 = −

∆

4𝑎

Observações:

Se a função possui uma raiz dupla, o seu gráfico corta o eixo x num

único ponto que evidentemente, será o vértice. 𝑥 = 𝑥𝑣 = −𝑏

2𝑎

Se a função não possui zeros reais, a parábola não corta o eixo x. no

entanto, nesse caso, continuam valendo as fórmulas que determinam

o vértice da parábola.

Atividade:

1) Determinar os vértices da parábola abaixo:

a) 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5

b) 𝑦 = 3𝑥2 − 4𝑥

c) 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥 − 3

d) 𝑦 = 𝑥2 − 4

e) 𝑦 = −6𝑥2

f) 𝑦 = 4𝑥2 −𝑥 + 3/5

Valor mínimo ou valor máximo da função do 2º grau.

Pelos esboços dos gráficos das funções quadráticas você pode perceber que,

dependendo da posição da parábola (concavidade para cima ou para baixo), a função

pode ter um valor mínimo ou um valor máximo, e que esses valores correspondem à

ordenada do vértice da parábola.

De modo geral, dada a função 𝑓:𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0,

se 𝑉(𝑋𝑣 ,𝑌𝑣) é o vértice da parábola correspondente, temos então:

𝑎 > 0 ⇔ 𝑌𝑣 é o valor mínimo de 𝑓 ⇔ 𝐼𝑚 𝑓 = {𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≥ 𝑌𝑣}

𝑎 < 0 ⇔ 𝑌𝑣 é o valor máximo de 𝑓 ⇔ 𝐼𝑚 𝑓 = {𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑌𝑣}

Atividade:

1) Determine o vértice V da parábola que representa a função quadrática:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

b) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 3𝑥 − 5

c) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

2) Determine o valor k para que a função 𝑓 𝑥 = 2 −𝑘 𝑥2 − 5𝑥 + 3 admita

valor máximo.

3) Qual o valor de m para que a função 𝑓 𝑥 = 4𝑚 + 1 𝑥2 −𝑥 + 6 admite

valor mínimo?

4) Faça o esboço do gráfico das seguintes funções quadráticas e determine

o conjunto imagem de cada uma delas:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 + 3

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

c) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9

Estudo do Sinal da função do 2º grau.

Estudar o sinal da função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, significa

determinar os valores reais de x para os quais f(x) se anula 𝑓 𝑥 = 0 , f(x) é positiva

(𝑓(𝑥) > 0) e f(x) é negativa (𝑓(𝑥) < 0).

O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante

∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐, da equação do 2º grau correspondente 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, do coeficiente a

e dos zeros da função (se existirem).

Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso,

de acordo com o coeficiente a, podem ocorrer duas situações:

1º Caso: ∆> 0

Neste caso:

A função admite dois zeros reais diferentes, 𝑥 ′ 𝑒 𝑥".

A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois

pontos.

𝑓 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥 ′ 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑥"

𝑓 𝑥 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑥 ′ 𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥"

𝑓 𝑥 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ′ < 𝑥 < 𝑥"

𝑓 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥 ′ 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑥"

𝑓 𝑥 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ′ < 𝑥 < 𝑥"

𝑓 𝑥 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑥 ′ 𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥"

2º Caso: ∆= 0

Neste caso:

A função admite um zero real duplo 𝑥 ′ = 𝑥"

A parábola que representa a função tangencia o eixo x.

f x = 0 para x = x′ = x"

f x > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ x′

f x = 0 para x = x′ = x"

f x < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ x′

3º Caso: ∆< 0

Neste caso:

A função não admite zero real.

𝑓 𝑥 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑓 𝑥 < 0 ∄ 𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑓 𝑥 > 0 ∄ 𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑓 𝑥 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙

Exemplo: Estudar o sinal da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10.

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10 em que 𝑎 = 1 > 0

Zeros da função: 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0

∆= 9

𝑥 =7 ± 3

2

𝑥 ′ = 5 𝑒 𝑥" = 2

Para:

𝑓 𝑥 = 0,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 𝑒 𝑥 = 5

𝑓 𝑥 > 0𝑝𝑎𝑟𝑎 {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 < 2𝑜𝑢 𝑥 > 5}

𝑓 𝑥 < 0𝑝𝑎𝑟𝑎 {𝑥 ∈ 𝑅 ∕ 2 < 𝑥 < 5}

Exemplo: examinar o sinal da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 1 > 0

𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0

∆= 0

𝑥 =6

2= 3

Para:

𝑓 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3

𝑓 𝑥 > 0𝑝𝑎𝑟𝑎 {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠ 3}

𝑓 𝑥 < 0∄ 𝑥 ∈ 𝑅

Atividade: Estude os sinais das seguintes funções:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 − 10

b) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥

c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 10

d) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4

e) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9

Inequações do 2º grau.

Denomina-se inequação do 2º grau na variável x, toda desigualdade que

pode ser reduzida a uma das formas: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤

0; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑒 𝑎 ≠ 0.

Exemplo: Resolver a inequação −𝑥2 + 1 ≤ 0

Vamos estudar os sinais da função 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 1

−𝑥2 + 1 = 0 ∴ 𝑥2 = 1 ∴ 𝑥 ′ = 1 𝑜𝑢 𝑥" = −1

𝑓 𝑥 ≤ 0:𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1.

𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1}

Exemplo: Determinar o conjunto solução da inequação 𝑥2 − 10𝑥 + 25 ≥ 0

Vamos analisar os sinais da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25.

𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0

∆= 0

𝑥 =10

2= 5

Como devemos ter 𝑓 𝑥 ≥ 0: ∀𝑥 ∈ 𝑅.

𝑆 = 𝑅

Atividade: Resolva as seguintes inequações do 2º grau.

a) 𝑥2 − 2𝑥 − 8 < 0

b) 9𝑥2 − 8𝑥 − 1 ≥ 0

c) −3𝑥2 + 2𝑥 − 1 > 0

d) 𝑥2 < 9

e) (𝑥 − 1)2 ≥ 3 −𝑥

f) 𝑥 𝑥 + 4 > −4(𝑥 + 4)

Sistemas de inequações do 2º grau

Há alguns sistemas de inequações que apresentam uma ou mais inequações

do 2º grau. Para resolver esses sistemas devemos resolver cada inequação

separadamente e depois achar a intersecção das respectivas soluções.

Exemplo: Resolver o sistema de inequações 2𝑥2 + 8 ≥ 𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 5 < 0

2𝑥2 + 8 ≥ 𝑥2 − 6𝑥 ∴ 𝑥2 + 6𝑥 + 8 ≥ 0

𝑥2 + 6𝑥 + 8 = 0

∆= 4

𝑥 =−6 ± 2

2∴ 𝑥′ = −4 𝑜𝑢 𝑥" = −2

𝑥 + 5 < 0 ∴ 𝑥 < −5

Fazendo a intersecção entre as soluções temos:

𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 < −5}

Atividade: Determine o conjunto dos valores de x que satisfazem o sistema de

inequações:

a) 𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0𝑥2 − 2𝑥 < 0

b) 𝑥2 − 2𝑥 ≥ 0−𝑥2 + 2𝑥 + 3 > 0

c) 0 < 𝑥2 + 𝑥 − 12 < 8

d) −4 < 𝑥2 + 2𝑥 ≤ 3𝑥

e) 𝑥2 + 𝑥 − 2 < 0

2𝑥2 − 𝑥 − 1 ≥ 0𝑥 + 1 > 0

Inequação-produto e inequação-quociente.

Vamos estudar as chamadas inequações-produto e inequações-quociente,

onde aparecem uma ou mais funções quadráticas.

Para resolver inequações desse tipo, procedemos da seguinte maneira:

1º) fazemos os estudo dos sinais de cada função separadamente.

2º) colocamos os resultados em um quadro de sinais.

3º) analisamos o sinal do produto ou do quociente das funções, levando em

conta as regras dos sinais da multiplicação e divisão de números reais.

Exemplo: Resolver a inequação 𝑥2 − 2𝑥 − 3 . (−𝑥2 − 3𝑥 + 4) > 0

Vamos estudar os sinais das funções 𝑓 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥).

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ∴ 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 ∴ ∆= 16 ∴ 𝑥 ′ = 3 𝑜𝑢 𝑥" = −1

𝑔 𝑥 = −𝑥2 − 3𝑥 + 4 ∴ −𝑥2 − 3𝑥 + 4 = 0 ∴ ∆= 25 ∴ 𝑥 ′ = 1 𝑜𝑢 𝑥" = −4

𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∕−4 < 𝑥 < −1 𝑜𝑢 1 < 𝑥 < 3}

Exemplo: Resolver a inequação 𝑥2−5𝑥+6

𝑥2−16≥ 0

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ∴ 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 ∴ 𝑥′ = 2 𝑜𝑢 𝑥" = 3

𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 16 ∴ 𝑥2 − 16 = 0 ∴ 𝑥 ′ = 4 𝑜𝑢 𝑥" = −4

𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∕ 𝑥 < −4 𝑜𝑢 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑜𝑢 𝑥 > 4}

Atividade:

1) Resolva as seguintes inequações-produto:

a) 𝑥2 − 2𝑥 − 3 . (2𝑥2 − 5𝑥 + 2) < 0

b) 𝑥2 + 𝑥 − 6 . (𝑥2 − 1) ≥ 0

c) 𝑥2 − 3𝑥 . (−𝑥 + 2) ≥ 0

d) 𝑥2 − 9 . 𝑥 − 1 . (𝑥2 + 5𝑥) ≤ 0

2) Resolva as seguintes inequações-quociente:

a) 𝑥2−7𝑥+10

𝑥2−5𝑥+4> 0

b) –𝑥+2

𝑥2−3𝑥≤ 0

c) 𝑥2

𝑥−2< 8

d) 𝑥

𝑥+2−

1

𝑥> 0

Equações e Sistemas do 2º grau

1. Equação do 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x toda equação na

forma:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0;𝑎,𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑒 𝑎 ≠ 0

Verifique que:

𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 (𝑎 = 1;𝑏 = −5; 𝑐 = 6)

6𝑥2 −𝑥 − 1 = 0 (𝑎 = 6;𝑏 = −1; 𝑐 = −1)

7𝑥2 −𝑥 = 0 (𝑎 = 7;𝑏 = −1; 𝑐 = 0)

𝑥2 − 36 = 0 (𝑎 = 1;𝑏 = 0; 𝑐 = −36)

Obs: Quando b e c, em uma equação do 2º grau, são diferentes de zero, a equação é

completa. Ex: 𝑥2 − 9𝑥 + 20 = 0

Quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero, a equação é

incompleta. Ex: 𝑥2 − 36 = 0

2. Resolução de equações do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raíz de uma equação é o número que, ao substituir a incógnita da equação,

transforma-se em uma sentença verdadeira. O conjunto formado pelas raízes de uma

equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.

Utilizaremos, na resolução de uma equação incompleta, as técnicas da fatoração e

duas importantes propriedades dos números reais:

1a Propriedade:

Se 𝑥 ∈ 𝑅,𝑦 ∈ 𝑅 𝑒 𝑥.𝑦 = 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑦 = 0.

2a Propriedade:

Se 𝑥 ∈ 𝑅,𝑦 ∈ 𝑅 𝑒 𝑥2 = 𝑦, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑦 𝑜𝑢 𝑥 = − 𝑦.

Observe a seguir as formas de resolução para os casos de equações

incompletas.

1º Caso: Equação do tipo: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 ∴ 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 =−𝑏

𝑎

Exemplo: Determine as raízes da equação 𝑥2 − 8𝑥 = 0.

𝑥. 𝑥 − 8 = 0

𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 − 8 = 0 ∴ 𝑥 = 8

𝑉 = 0,8

2º Caso: Equação do tipo: 𝑎𝑥2 − 𝑐 = 0 ∴ 𝑥 = 𝑐

𝑎 𝑒 𝑥 = −

𝑐

𝑎

Exemplo: Determine as raízes da equação 2𝑥2 − 72 = 0

2𝑥2 = 72 ∴ 𝑥2 =72

2∴ 𝑥 = ± 36 ∴ 𝑥 = 6 𝑜𝑢 𝑥 = −6

𝑆 = −6, 6

Observações:

A equação incompleta do tipo 𝑎𝑥2 = 0 (b=c=0) admite uma única

solução: x=0. S={0}.

Caso existam raízes na equação da forma 𝑎𝑥2 − 𝑐 = 0, estas serão

simétricas.

Resolução das equações completas.

Para solucionar equações completas do 2º grau, utilizaremos a fórmula de

Bhaskara. Com base na equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, em que 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑒 𝑎 ≠ 0,

desenvolveremos da seguinte forma:

𝑥 =−𝑏± ∆

2𝑎 onde: ∆= 𝑏2 − 4.𝑎. 𝑐 (Discriminante)

Exemplo: Resolva a equação 7𝑥2 + 13𝑥 − 2 = 0

∆= 132 − 4.7. −2 = 225

𝑥 =−13 ± 225

14∴ 𝑥 =

−13 ± 15

14

𝑥1 =−13 + 15

14=

2

14=

1

7

𝑥2 =−13 − 15

14=

−28

14= −2

𝑆 = {−2,1

7}

Atividade:

1) Resolva as seguintes equações, sendo 𝑈 = 𝑅.

a) 𝑥2 − 5𝑥 = 0

b) (𝑥 + 2)2 = 4

c) 2𝑥2 + 8𝑥 = 0

d) −2𝑥2 − 10𝑥 = 0

e) 3𝑥2 + 3𝑥 = 0

f) 𝑥2 − 64 = 0

g) 𝑥. 𝑥 + 2 = 0

h) 3. (𝑥 − 2)2 = 12

2) Resolva as seguintes equações:

a) 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

b) 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0

c) 6𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0

d) 𝑥2 − 2 5𝑥 + 4 = 0

e) −4𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0

f) (𝑥 + 3)2 = 2𝑥(𝑥 + 7)

g) 𝑥 +3

2 . 𝑥 + 1 = 2𝑥2 − 11

h) 𝑥

𝑥+1−

𝑥

1−𝑥=

8

3

i) 2

𝑥2−1−

𝑥

𝑥−1= 2

j) 2𝑥

𝑥−1−

3

3−𝑥=

𝑥+3

𝑥2−4𝑥+3

k) 2𝑥−4

𝑥2−1+

𝑥

𝑥−1=

1

𝑥+1

3. Relações entre os coeficientes e as raízes.

Considere a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0, e 𝑥1 𝑒 𝑥2 as raízes reais

dessa equação.

𝑥1 =−𝑏 + ∆

2𝑎 𝑒 𝑥2 =

−𝑏 − ∆

2𝑎

Observe as seguintes relações:

Soma das raízes (S).

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + ∆

2𝑎+−𝑏− ∆

2𝑎=

−𝑏 + ∆ − 𝑏 − ∆

2𝑎=

−𝑏

𝑎

𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎

Produto das raízes (P).

𝑥1.𝑥2 =−𝑏 + ∆

2𝑎.−𝑏− ∆

2𝑎=

−𝑏 + ∆ . (−𝑏− ∆)

4𝑎2=

(−𝑏)2 − ( ∆)2

4𝑎2=

𝑏2 − ∆

4𝑎2=

𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐

4𝑎2=

𝑐

𝑎

𝑃 = 𝑥1.𝑥2 =𝑐

𝑎

Essas relações são denominadas relações de Girard.

Exemplos: Determine a soma e o produto das raízes da equação 10𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0

𝑆 = −𝑏

𝑎= −

1

10

𝑃 =𝑐

𝑎= −

2

10= −

1

5

Exemplo: Determine o valor de k na equação 𝑥2 + 2𝑘 − 3 𝑥 + 2 = 0, de modo que a

soma de suas raízes seja igual a 7.

𝑆 = −𝑏

𝑎∴ 7 = −

(2𝑘 − 3)

1∴ −2𝑘 + 3 = 7 ∴ 𝑘 = −2

Composição de uma equação do 2º grau, conhecidas as raízes.

Considere a equação do 2º grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Dividindo todos os termos

por a, obtemos:

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0 ∴ 𝑥2 −𝑆𝑥 + 𝑃 = 0

Exemplo: Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

𝑆 = −2 + 7 = 5

𝑃 = −2 . 7 = −14

Logo, 𝑥2 −𝑆𝑥 + 𝑃 = 0 ∴ 𝑥2 − 5𝑥 − 14 = 0

Forma fatorada de uma equação do 2º grau.

Considere a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0). Colocando o valor de a em

evidência, obtemos: 𝑎 𝑥2 +𝑏𝑥

𝑎+

𝑐

𝑎 = 0. Sabemos que 𝑥1 + 𝑥2 =

−𝑏

𝑎 e 𝑥1.𝑥2 =

𝑐

𝑎, logo

podemos escrever:

𝑎. 𝑥 − 𝑥1 . 𝑥 − 𝑥2 = 0 (forma fatorada).

Exemplo: Escreva na forma fatorada a equação 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0.

Primeiramente devemos determinar as raízes da equação que são: 𝑥1 = 3 𝑒 𝑥2 = 2.

𝑎. 𝑥 − 𝑥1 . 𝑥 − 𝑥2 = 0 ∴ 𝑥 − 2 . 𝑥 − 3 = 0

Observação:

Quando o ∆< 0 (negativo) a equação não possui raízes reais, logo, a

equação não possui forma fatorada.

Atividade:

1) Calcule a soma e o produto das raízes sem resolver as equações:

a) 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

b) 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 1 = 0

c) 5𝑥2 − 8𝑥 + 4 = 0

d) 𝑥2 −𝑥

10−

1

5= 0

e) 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0

2) Determine o valor de p na equação 𝑝𝑥2 − 3𝑥 − 2 = 0, de modo que a soma de

suas raízes seja igual a 12.

3) Determine o valor de m na equação 𝑥2 − 6𝑥 −𝑚 + 1 = 0 de modo que o produto

de suas raízes seja igual a -2.

4) Escreva na forma fatorada, as seguintes equações:

a) 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

b) 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0

c) 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0

d) 𝑥2 + 6𝑥 − 7 = 0

e) 𝑥2 + 2𝑚𝑥 − 3𝑚2 = 0

5) Simplifique as seguintes frações algébricas:

a) 𝑥2−1

𝑥2+2𝑥+1

b) 𝑥2−4𝑥+4

𝑥2−4

c) 𝑥2−8𝑥+15

2𝑥2−4𝑥−6

d) 𝑥2+3𝑥−10

𝑥2+𝑥−6

Equação Biquadrada

É toda equação do tipo 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0,𝑎,𝑏 𝑒 𝑐 ∈ 𝑅.

Utilizamos um artifício, fazendo 𝑥2 = 𝑦. Assim obtemos uma equação do 2º

grau.

Exemplos:

𝑥4 − 9𝑥2 = 0 ∴ 𝑦2 − 9𝑦 = 0 ∴ 𝑦 𝑦 − 9 = 0 ∴ 𝑦′ = 0 𝑜𝑢 𝑦" = 9

Como 𝑥2 = 𝑦, temos:

Para: 𝑥2 = 𝑦 ∴ 𝑥2 = 0 ∴ 𝑥 = 0

Para: 𝑥2 = 𝑦 ∴ 𝑥2 = 9 ∴ 𝑥 = ± 9 ∴ 𝑥 = ±3

𝑆 = {−3, 0, 3}

Exemplo: 𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0 ∴ 𝑥2 2 − 10𝑥2 + 9 = 0 ∴ 𝑦2 − 10𝑦 + 9 = 0

𝑦 =10 ± 8

2∴ 𝑦′ = 9 ∴ 𝑦" = 1

Para: 𝑦 = 1 ∴ 𝑥2 = 1 ∴ 𝑥 = ±1

Para: 𝑦 = 9 ∴ 𝑥2 = 9 ∴ 𝑥 = ±3

𝑆 = {−3,−1,1,3}

Equação Irracional

Equação irracional é aquela que apresenta incógnita sob radical. A solução

obtida isolando o radical num dos membros, eliminando-o e elevando os dois

membros da equação a uma potência conveniente.

Exemplo:

𝑥 − 3 = 2 ∴ 𝑥 − 3 2

= 22 ∴ 𝑥 − 3 = 4 ∴ 𝑥 = 7

𝑆 = {7}

Exemplo:

𝑥 = 2𝑥 + 3 ∴ 𝑥2 = 2𝑥 + 3 2∴ 𝑥2 = 2𝑥 + 3 ∴ 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 ∴ 𝑥 ′ = 3 ∴ 𝑥" = −1

Sistemas de equações do 2º grau

Situação-problema: O banheiro e a cozinha da casa têm a forma de um

quadrado. A soma do perímetro dos dois cômodos é 32 m e a soma da área é 34 m2.

Quais são as dimensões dos dois cômodos?

Matematicamente, temos:

Perímetro: 4𝑥 + 4𝑦 = 32

Área: 𝑥2 + 𝑦2 = 34

4𝑥 + 4𝑦 = 32

𝑥2 + 𝑦2 = 34

Isolando y, na 1º equação: 4𝑦 = 32 − 4𝑥 ∴ 𝑦 = 8 −𝑥

Substituindo y na 2º equação: 𝑥2 + (8 − 𝑥)2 = 34 ∴ 𝑥2 + 64 − 16𝑥 + 𝑥2 = 34 ∴ 2𝑥2 − 16𝑥 +

30 = 0

𝑥 =16 ± 4

4∴ 𝑥 ′ = 3 ∴ 𝑥" = 5

Para: 𝑥 = 5, obtemos 𝑦 = 8 − 5 = 3 logo (5,3)

Para: 𝑥 = 3, obtemos 𝑦 = 8 − 3 = 5 logo (3,5)

Atividade:

1) Resolva as seguintes equações biquadradas:

a) 𝑥4 + 𝑥2 − 20 = 0

b) −9𝑥4 + 13𝑥2 − 4 = 0

c) 𝑥4 = 5𝑥2 − 14

d) 𝑥2 − 1 2 −𝑥2 = 55

2) Resolva as seguintes equações irracionais:

a) 𝑥2 − 3 = 1

b) 𝑥 + 6 = 𝑥

c) 3𝑥 −8

9= 𝑥

d) 3𝑥 + 1 = 2𝑥

e) 2𝑥2 + 7𝑥 = 𝑥 + 2

3) Resolva os seguintes sistemas de equações:

a) 𝑥2 + 𝑦2 = 45

𝑦 = 2𝑥

b) 𝑥 + 𝑦 = 9𝑥𝑦 = −10

c) 𝑥2 + 3𝑦2 = 7𝑥 + 𝑦 = 1

d) 𝑥 = 𝑦

4𝑥𝑦 +𝑥

2−

5𝑦

2= 0

Boa Sorte!

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Revendo potenciação

Sendo a um número real e n um número natural, com 𝑛 ≥ 2, temos:

𝑎𝑛 = 𝑎.𝑎.𝑎… . 𝑎

Observação:

𝑎1 = 𝑎

𝑎0 = 1

Propriedades:

i. 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 Ex: 52. 53 = 55

ii. 𝑎𝑚 :𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 Ex: 53: 52 = 51

iii. 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 Ex: 5−2 =1

52

iv. 𝑎𝑚/𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 Ex: 53/2 = 532

v. 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚 .𝑛 Ex: 53 2 = 56

vi. 𝑎. 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 Ex: 5.3 2 = 52. 32

vii. 𝑎

𝑏 𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛 Ex:

5

3

2=

52

32

Atividade:

1) Calcule:

a) 102

b) −5 2

c) 34. 35

d) 𝑥3 4

e) 79: 74

f) 1012

105

g) 1

32

2) Aplicando a definição, calcule:

a) 4−1

b) 2

3 −1

c) 2−3

d) (−5)−2

e) – (−2)−3

Equações Exponenciais

Resolver equação exponencial é determinar o valor da variável (x). Para determinar a

variável basta igualarmos as bases. Vejamos:

Ex: 2𝑥 = 8 ∴ 2𝑥 = 23 ∴ 𝑥 = 3

10𝑥 = 100 ∴ 10𝑥 = 102 ∴ 𝑥 = 2

Para resolver algumas equações exponenciais, vamos fazer algumas transformações e

usar artifícios.

Exemplo:

4𝑥 − 5. 2𝑥 + 4 = 0 ∴ 2𝑥 2 − 5. 2𝑥 + 4 = 0 ∴ 𝑦2 − 5𝑦 + 4 = 0 2𝑥 = 𝑦

𝑦 =5 ± 3

2∴ 𝑦′ = 4 ∴ 𝑦" = 1

Para: 2𝑥 = 𝑦 ∴ 2𝑥 = 4 ∴ 2𝑥 = 22 ∴ 𝑥 = 2

2𝑥 = 𝑦 ∴ 2𝑥 = 1 ∴ 2𝑥 = 20 ∴ 𝑥 = 0

𝑆 = {0,2}

Exemplo:

5𝑥 − 52−𝑥 = 24 ∴ 5𝑥 −52

5𝑥= 24 ∴ 𝑦 −

25

𝑦= 24 ∴ 𝑦2 − 24𝑦 − 25 = 0

𝑦 =24 ± 26

2∴ 𝑦′ = 25 ∴ 𝑦" = −1

Para: 5𝑥 = 𝑦 ∴ 5𝑥 = 25 ∴ 5𝑥 = 52 ∴ 𝑥 = 2

5𝑥 = 𝑦 ∴ 5𝑥 = −1 ∴ 5𝑥 > 0

𝑆 = {2}

Atividade:

1) Resolva as equações exponenciais:

a) 9𝑥 = 243

b) 1

2 𝑥

=1

32

c) 4𝑥 =1

64

d) 3𝑥 = 3

e) 3𝑥 = 81

f) 23𝑥+1 = 4𝑥−2

2) Resolva as equações:

a) 32𝑥 − 28. 3𝑥 + 27 = 0

b) 3𝑥 + 3𝑥−1 − 3𝑥−2 = 11

c) 22𝑥 + 32 = 12. 2𝑥

d) 22𝑥+1 − 3. 2𝑥+2 = 32

Função Exponencial

A função 𝑓:𝑅 → 𝑅 dada por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) é denominada função exponencial

de base a.

Exemplo:

𝑓 𝑥 = 2𝑥

𝑓 1 = 21 = 2

𝑓 −2 = 2−2 =1

4

Vamos examinar o comportamento da função exponencial traçando o seu gráfico no

plano cartesiano.

Temos dois casos:

1º Caso: 𝒂 > 1

Exemplo: 𝑓 𝑥 = 2𝑥

x 𝑓 𝑥 = 2𝑥

-2

-1

0

1

2

3

Observação: Quanto maior o expoente x, maior é a potência 𝑎𝑥, ou seja, se 𝑎 > 1 a

função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 é crescente.

2º Caso: 𝟎 < 𝑎 < 1

Exemplo: 𝑓 𝑥 = 1

2 𝑥

x 𝑓 𝑥 =

1

2 𝑥

-3

-2

-1

0

1

2

Observação: Quanto maior o expoente x, menor é a potência 𝑎𝑥, ou seja, se 0 < 𝑎 < 1 a

função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 é decrescente.

Observando os dois gráficos, temos:

O domínio da função é D=R.

O contradomínio da função é CD=R.

A imagem da função é 𝐼𝑚 = 𝑅+∗ (reais positivos).

Para finalizar, lembramos que existem fenômenos que podem ser descritos por meio de

uma função do tipo exponencial:

Juros do dinheiro acumulado.

Crescimento ou decrescimento de populações animais e vegetais.

Desintegração radiotiva.

Inequações exponenciais

Com base no crescimento e no decrescimento da função real 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 , com 𝑎 ∈ 𝑅+∗ ,

podemos comparar quaisquer dois de seus expoentes.

1º caso: 𝒂 > 1

𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2 → 𝑥1 < 𝑥2 (o sentido da desigualdade se conserva.)

2º caso: 𝟎 < 𝑎 < 1

𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2 → 𝑥1 > 𝑥2 (o sentido da desigualdade se inverte.)

Exemplo: Resolva a inequação 5 𝑥2−3𝑥

≥ 5 4

Como a base 5 é maior que 1, temos:

5 𝑥2−3𝑥

≥ 5 4∴ 𝑥2 − 3𝑥 ≥ 4 ∴ 𝑥2 − 3𝑥 − 4 ≥ 0 (o sentido da desigualdade se conserva)

𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 ∴ 𝑥 =3 ± 5

2∴ 𝑥 ′ = 4 ∴ 𝑥" = −1

𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4}

Exemplo: Resolva a inequação 1

3

3𝑥−1<

1

3 𝑥+5

.

Como a base 1

3 está compreendida entre 0 e 1. (o sentido da desigualdade inverte).

1

3

3𝑥−1

< 1

3 𝑥+5

∴ 3𝑥 − 1 > 𝑥 + 5 ∴ 2𝑥 ⋗ 6 ∴ 𝑥 ⋗ 3

𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 > 3}

Atividade: Resolva as inequações exponenciais:

a) 22𝑥−1 > 2𝑥+1

b) 0,1 5𝑥−1 ≤ 0,1 2𝑥+8

c) 43𝑥 > 16𝑥+1

d) 1

2 𝑥2

< 1

4

4𝑥−6

Boa Sorte!

Função Logarítmica

O que é logaritmo

Nos séculos XVI e XVII, vários matemáticos desenvolveram estudos visando à

simplificação do cálculo. Nesse sentido, construíram tabelas relacionando números

naturais e os expoentes de 10 correspondentes a cada um. A esses expoentes deram o

nome de logaritmos.

A palavra logaritmo vem do grego: logos (razão)+arithmos (número).

Dizemos que o logaritmo de um número positivo b, na base a, positiva e

diferente de 1, é o expoente x ao qual se deve elevar a para se obter b.

log𝑎 𝑏 = 𝑥 ∴ 𝑏 = 𝑎𝑥 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 > 0,𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1

Onde: a é denominado de base; b é denominado de logaritmando e x é o

logaritmo.

O conjunto dos logaritmos na base 10 de todos os números reais positivos é

chamado de sistema de logaritmos decimais ou de Briggs.

Exemplos:

log6 36 = 𝑥 ∴ 6𝑥 = 36 ∴ 6𝑥 = 62 ∴ 𝑥 = 2

log10 0,01 = 𝑥 ∴ 10𝑥 = 10−2 ∴ 𝑥 = −2

Condição de existência de um logaritmo

Não existe logaritmo x quando o logaritmando é negativo ou quando a base é

negativa ou igual a 1.

Para log𝑎 𝑏 existir, devemos ter:

Logaritmando positivo: 𝑏 > 0

Base positiva e diferente de 1: 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1

Exemplos:

log2 𝑥 − 8 ∴ 𝑥 − 8 > 0 ∴ 𝑥 > 8

𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 > 8}

Conseqüência da definição

Supondo que estejam satisfeitas as condições de existência dos logaritmos,

verifica-se que:

i. O logaritmo de 1 em qualquer base e igual a zero.

log𝑎 1 = 0

ii. O logaritmo da própria base é igual a 1.

log𝑎 𝑎 = 1

iii. O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente.

log𝑎 𝑎𝑚 = 𝑚

iv. O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a

para obter b.

𝑎log 𝑎 𝑏 = 𝑏

Equações logarítmicas

Elas apresentam a incógnita envolvida com logaritmos e, por esse motivo, são

chamadas de equações logarítmicas.

Observe alguns exemplos de equações:

log3(𝑥 − 1) = 2

log𝑥+1(19 − 𝑥) = 2

1 − log2 𝑥 =3

2+ 4 log2 𝑥

Para resolvê-las aplicaremos, além da definição de logaritmo, a seguinte

propriedade:

log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐 ∴ 𝑏 = 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 1 ≠ 𝑎 > 0,𝑏 > 0 𝑒 𝑐 > 0

Propriedades dos logaritmos

O conceito de logaritmo apareceu como uma tentativa de simplificar o

cálculo em uma época em que não existiam as calculadoras. Com os logaritmos as

operações são substituídas por outras mais simples: potenciações por multiplicações,

multiplicações por adições, divisões por subtrações.

Essas transformações de operações mais complicadas em outras mais simples

serão apresentadas na forma de propriedades. Vejamos:

i. Logaritmo de um produto - O logaritmo de um produto é igual à soma dos

logaritmos dos fatores, tomados na mesma base, isto é:

log𝑏 (𝑎. 𝑐) = log𝑏 𝑎 + log𝑏 𝑐 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 > 0, 𝑐 > 0 𝑒 1 ≠ 𝑏 > 0

ii. Logaritmo de um quociente – O logaritmo de um quociente é igual ao

logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma

base, isto é:

log𝑏

𝑎

𝑐= log𝑏 𝑎 − log𝑏 𝑐 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 > 0, 𝑐 > 0 𝑒 1 ≠ 𝑏 > 0

iii. Logaritmo de uma potência – O logaritmo de uma potência é igual ao produto

do expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é:

log𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛. log𝑏 𝑎 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 > 0, 1 ≠ 𝑏 > 0 𝑒 𝑛 ∈ 𝑅

Exemplo: Sendo log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 𝑒 log 5 = 0,699, calcule:

log 8 = log 23 = 3. log 2 = 3.0,301 = 0,903

log 6 = log(2.3) = log 2 + log 3 = 0,301 + 0,477 = 0,778

log4

25= log 4 − log 25 = log 22 − log 52 = 2. log 2 − 2. log 5 = 2.0,301 − 2.0,699 = −0,796

Mudança de base

Usando uma tabela de logaritmos decimais ou uma calculadora científica,

também é possível calcular qualquer logaritmo em uma outra base, diferente de 10. Para

facilitar os cálculos apresentaremos uma fórmula conhecida como fórmula da mudança

de base.

log𝑎 𝑏 =log𝑐 𝑏

log𝑐 𝑎, 𝑐𝑜𝑚 𝑏 > 0, 0 < 𝑎 ≠ 1 𝑒 0 < 𝑐 ≠ 1

Exemplo: Sendo log 2 = 0,3 𝑒 log 3 = 0,4, calcule log2 6.

log2 6 =log 6

log 2=

log(2.3)

log 2=

log 2 + log 3

log 2=

0,3 + 0,4

0,3=

0,7

0,3

Função logarítmica

A função inversa da função exponencial é a função logarítmica. Observe:

𝑦 = 𝑎𝑥 ∴ 𝑥 = log𝑎 𝑦 permutando as variáveis, 𝑦 = log𝑎 𝑥.

Graficamente, temos:

Base: 𝑎 > 1 , a função 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 é crescente.

Base: 0 < 𝑎 < 1, a função 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 é decrescente.

Atividade:

1) Usando a definição, calcule:

a) log3 27

b) log5 125

c) log4 32

d) log1

4

16

2) Determine o conjunto dos valores reais de x para que seja possível definir:

a) log𝑥 (𝑥 − 3)

b) log𝑥−1(𝑥 + 4)

c) log𝑥 (𝑥2 − 4)

3) Ache os valores de x para os quais é possível determinar:

a) log5 𝑥

b) log10 (𝑥 − 3)

c) log2(2𝑥 + 1)

d) log4(𝑥2 − 16)

4) Escreva na forma de um único log:

a) log5 6 + log5 11

b) log7 28 − log7 4

c) 4. log 3

d) 1

5. log7 2

BOA SORTE!

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Se ABC é um triângulo retângulo em A, temos:

a é a medida da hipotenusa (lado oposto aos ângulo reto);

b e c são as medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto);

𝐵 𝑒 𝐶 são ângulos agudos;

𝐴𝐶 é o cateto oposto ao ângulo B;

𝐴𝐵 é o cateto adjacente ao ângulo B.

As relações dependem apenas do ângulo θ (e não do tamanho do triângulo retângulo

do qual θ é um dos ângulos agudos). Ela é chamada de seno de θ e escrevemos:

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝐴𝐶

𝐵𝐶=

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

𝑏

𝑎

cos𝜃 =𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

𝑐

𝑎

𝑡𝑔 𝜃 =𝐴𝐶

𝐴𝐵=

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃=

𝑏

𝑎

Exemplo: Examine o triângulo retângulo da figura abaixo e calcule o valor destas razões:

a) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑐 .𝑜

𝑕𝑖𝑝 .=

12

15=

4

5

b) cos𝛼 =𝑐 .𝑎 .

𝑕𝑖𝑝 .=

9

15=

3

5

c) 𝑡𝑔 𝛼 =𝑐 .𝑜 .

𝑐 .𝑎 .=

12

9=

4

3

d) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝑐 .𝑜 .

𝑕𝑖𝑝 .=

9

15=

3

5

e) cos𝜃 =𝑐 .𝑎 .

𝑕𝑖𝑝 .=

12

15=

4

5

f) 𝑡𝑔 𝜃 =𝑐 .𝑜.

𝑐 .𝑎 .=

9

12=

3

4

TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA

Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições

necessárias e precisamos estabelecer um novo “ambiente” para a Trigonometria: a

circunferência unitária ou o círculo unitário (também chamado circunferência

trigonométrica).

Unidades para medir arcos de circunferência

As unidades mais usadas para medir arcos de circunferência (ou ângulos) são

o grau e o radiano.

Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada

uma dessas partes é um arco de um grau (10).

Radiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento

retificado é igual ao raio da circunferência.

Relação entre as unidades para medir arcos

𝐴𝐵: arco de 3600 ou arco de 2𝜋 rad;

𝐴𝐵 : arco de 900 ou arco de 𝜋

2 rad;

𝐴𝐵 : arco de 1800 ou arco de 𝜋 rad;

𝐴𝐵 : arco de 2700 ou arco de 3𝜋

2 rad.

Observação: considerando que um arco de 1800 mede 𝜋 rad, podemos fazer

a conversão de unidades usando uma regra de três simples.

Exemplo: Converta 300 em radianos.

Determinação de quadrantes

Os eixos x e y dividem a circunferência unitária em quatro partes congruentes

chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de A no sentido positivo.

1º quadrante: entre 00 e 900 ou 0 e 𝜋

2 rad.

2º quadrante: entre 900 e 1800 ou 𝜋

2 𝑒 𝜋 rad.

3º quadrante: entre 1800 e 2700 ou 𝜋 𝑒 3𝜋

2 rad.

4º quadrante: entre 2700 e 3600 ou 3𝜋

2 𝑒 2𝜋 rad.

Valores Notáveis

0 (00) 𝜋

6 300

𝜋

4 (450)

𝜋

3 600

𝜋

2 (900) 𝜋 (1800) 3𝜋

2 (2700)

2𝜋 (3600)

𝑠𝑒𝑛𝑜 0 1

2 2

2

3

2

1 0 −1 0

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 1 3

2

2

2

1

2

0 −1 0 1

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 0 3

3

1 3 ∄ 0 ∄ 0

Estudo da função Seno

Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ângulo (ou arco) de x

radianos. Definimos a função seno como a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o

valor real 𝑠𝑒𝑛 𝑥, ou seja, 𝑓:𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥.

Observações:

I. Função seno é a função de R em R definida por𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥;

II. A função seno tem 𝐷 = 𝑅 𝑒 𝐼𝑚 = [−1, 1];

III. A função seno é função ímpar, isto é, 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 −𝑥 ,∀𝑥 ∈ 𝑅;

IV. A função seno é periódica de período 𝑝 = 2𝜋;

V. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0, para 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ 𝑍;

VI. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 > 0, para x do 1º e 2º quadrantes;

VII. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < 0, para x do 3º e 4º quadrantes.

Estudo da função Cosseno

Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um ângulo (ou arco) de

x radianos. Definimos a função seno como a função real de variáveis reais que associa a cada número real x

o valor real 𝑐𝑜𝑠 𝑥, ou seja, 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.

Observações:

I. Função cosseno é a função de R em R definida por𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥;

II. A função cosseno tem 𝐷 = 𝑅 𝑒 𝐼𝑚 = [−1, 1];

III. A função cosseno é função par, isto é, cos𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −𝑥 ,∀𝑥 ∈ 𝑅;

IV. A função cosseno é periódica de período 𝑝 = 2𝜋;

V. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0, para 𝑥 = 𝑘𝜋

2, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ 𝑍;

VI. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 > 0, para x do 1º e 4º quadrantes;

VII. cos𝑥 < 0, para x do 2º e 3º quadrantes.

Estudo da função Tangente

Definimos a função tangente como a função real de variáveis reais que associa a cada número

real x o valor 𝑡𝑔 𝑥, desde que x não seja 𝜋

2 nem

3𝜋

2 e nenhum de seus respectivos arcos côngruos, isto é:

𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 em que 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍}.

Observações:

I. A função tangente é função ímpar, isto é, 𝑡𝑔𝑥 = −𝑡𝑔 −𝑥 ,∀𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 ;

II. A função tangente é periódica de período 𝑝 = 𝜋, isto é, 𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑘𝜋 ,𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈

𝑍 𝑒 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓);

III. 𝑡𝑔 𝑥 = 0, para 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ 𝑍;

IV. 𝑡𝑔 𝑥 > 0, para x do 1º e 3º quadrantes;

V. 𝑡𝑔 𝑥 < 0, para x do 2º e 4º quadrantes.

Outros tipos de funções trigonométricas

A partir das idéias já conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-se cossecante,

secante e cotangente de x. Assim:

I. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 =1

𝑠𝑒𝑛𝑥,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≠ 0

II. sec 𝑥 =1

cos 𝑥,𝑝𝑎𝑟𝑎 cos𝑥 ≠ 0

III. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≠ 0

OBRIGADO!