Gabarito

1Matemática C

Matemática C – Extensivo – V. 7

Resolva

Aula 25

25.01) xm + n + 2y + 3xyn = 0Se é linear, então 3yn é constante. Logo n = 0.Além disso:m + n = 1m = 1Nesse caso, a equação linear será:x + 2y + 3x = 04x + 2y = 0oum + n = 0m = 0Assim, a equação linear será:1 + 2y + 3x = 03x + 2y = –1

Conclusão: n = 0 e m = 0oun = 0 e m = 1

25.02) x2 + 2y – 4z = –1Se (1, k + 1, 2) não é solução, então12 + 2 . (k + 1) – 4 . 2 ≠ –11 + 2k + 2 – 8 ≠ –12k ≠ 4k ≠ 2

25.03) a)

x y x y

x y x y

+ + − = −

+ − − = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

22 3

12

35

24

2

3 6 2 26

36

4 12 10 520

4020

x y x y

x y x y

+ + − = −

+ − + = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

5 4 3

6 17 40

6

5

x y

x y

+ = −− + = −⎧⎨⎩

(. )

(. )

30 24 18

30 85 200

x y

x y

+ = −

− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

109y = –218y = –2; x = 1Solução: (1, –2)

b)3 2 19

5 3 30

3

2

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

−

(. )

(. )

− − = −

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

9 6 57

10 6 60

x y

x y

x = 3; y = 5

Aula 26

26.01) a) 4 3 11

2 5 1

x y

x y

− =+ = −

⎧⎨⎩

∆ =−

= + =4 3

2 520 6 26

∆x =−

−= − =

11 3

1 555 3 52

∆y =−

= − − = −4 11

2 14 22 26

x = ∆∆x = =52

262

y = ∆∆y = − = −26

261

Solução: (2, –1)

b)x y z

x y z

x y z

+ + =− + = −

− − + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3 2

2 1

2 3 3 11

=

= − − − − + −3 4 18 6 3 12== –40

=

= − − + − + +6 22 9 33 6 6 == –40

=

= –3 – 4 – 66 – 6 + 11 – 12 == –80

x = ∆∆x = 1

y = ∆∆y = 2

Substituindo xxxxx e yyyyy na segunda equação, temos:2 . 1 – 2 + z = –1z = –1Solução: (1, 2, –1)

Gabarito

2 Matemática C

26.02) 2 1

3 2

3

5⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x

y

2 3 2

3 2 5

x y

x y

+ = −+ =

⎧⎨⎩

. ( )

− − = −

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

4 2 6

3 2 5

x y

x y

–x = –1x = 1; y = 1Solução: (1, 1)

Aula 27

27.01)3 2 2

4 1

x y

mx y

+ =+ =

⎧⎨⎩

Solução única: ∆ ≠ 0

3 2

4m≠ 0

12 – 2m ≠ 0m ≠ 6Infinitas soluções: nunca ocorrem, pois:

∆y = 2 2

1 4=

= 8 – 2 == 6 ≠ 0Impossível: ∆= 0 ⇒ m = 6

Conclusãom ≠ 6 ⇒ SPDm = 6 ⇒ SI

27.02)

x y z

x y z

x my z

+ − =− + =+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

2 0

3 0

∆= 0

1 + 3 2m 3 m + 2 = 0− − −–3m = –3m = 1

27.03)

x y z a

x y z

x by z

+ + =+ − =+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 2

3 6 4 4

2 6 1

∆= 0

− − + − + + =36 16 6 24 4 36 0b b

10b = 40 ⇒ b = 4∆x = 0

–36a – 8 + 32 – 12 + 16a + 48 = 0–20a = –60a = 3

Se fizermos ∆y = 0 e ∆z = 0, também obteremosa = 3.Logo, a = 3 e b = 4.

Aula 28

28.01)3 2 5

2 3 3 2

x y z

y z y z

+ + =+ = ⇒ = −

⎧⎨⎩Isolando xxxxx na primeira equação, obtemos:3x = 5 – 2y – z3x = 5 – 2 . (3 – 2z) – z3x = 5 – 6 + 4z – z3x = –2 + 3z

x = − +2 33

z

Considerando-se z = k, a solução do sistema é

− + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 33

3 2k k k, , .

28.02) a)2 3

2

x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

(I)

(II)

I: y = –2x + 3 II: y = x – 2x

0

1

y

3

1

x

0

1

y

–2

–1

retas concorrentes ⇒ um ponto deencontro ⇒ única solução

Gabarito

3Matemática C

Algebricamente, temos:

2 3

2

x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

3x = 5

x = 53

; y = – 13

b)5 5

10 2 8

x y

x y

− =− =

⎧⎨⎩

(I)

(II)

I: y = 5x – 5 II: 5x – 4 = yx

0

1

y

–5

0

x

0

1

y

–4

1

retas paralelas ⇒ nenhum ponto deencontro ⇒ sistema impossível

Testes

Aula 25

25.01) (5, –2, m, 0) é solução de x + y – 3z + t = 0.5 – 2 – 3m + 0 = 0–3m = –3m = 1

25.02) (m, 2m, 3m) é solução de 3x + 2y + z = 20.3m + 2 . 2m + 3m = 2010m = 20m = 2

25.03) (5, –7) é solução de 2 4

3 4

x my

x y n

+ = −+ =

⎧⎨⎩

.

2 5 7 4

3 5 4 7

. .

. .

+ − = −+ − =

⎧⎨⎩

m

n

( ) ( )

( )

10 7 4

15 28

2

13

− = −− =

⎧⎨⎩

⇒ =⇒ = −

m

n

m

n

25.04) 2 3 02 3 2 5x ym m + + =

Se é linear com duas incógnitas, então:m2 – 3 = 1m2 = 4m2 = ± 2e2m + 5 = 1

2m = –4m = –2Conclusão: Para obtermos simultaneamente expo-ente 1, devemos ter m = –2.

25.05)y x

x y

− = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 2 92

2 4 25

y x

x y

− = −+ =

⎧⎨⎩

4 2 9

2 4 25

− + = −

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

2 5

2 4 25

x y

x y

5y = 20

y = 4; x = 92

Solução: 92

, 4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25.06)

12

2 34

3

23

2 14

3

( ) ( )

( ) ( )

x y x y

x y y x

− + + =

− + − =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Gabarito

4 Matemática C

x y x y

x y y x

− + + =

− + − =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

22

3 34

3

4 23 4

3

2 4 3 34

3

16 8 3 312

3

x y x y

x y y x

− + + =

− + − =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

5 12

13 5 365x y

x y

− =− =

⎧⎨⎩

−(. )

− + = −

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

25 5 60

13 5 36

x y

x y

–12x = –24x = 2; y = – 2

Solução: 125

, 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25.07) (–1, 2) é solução de x py q

qx y q

+ =− = −

⎧⎨⎩

4 7

3.

− + =− − = −

⎧⎨⎩

1 4 7

1 2 3

p q

q q

. 2

. ( )

8 7 1

2 2 1

p q

q q

− == ⇒ =

⎧⎨⎩8p – 7 . 1 = 18p = 8p = 1Logo, p – q = 0.

25.08) Total de comuns: yTotal de especiais: x

30 20 31000

20 30 1000

x y

y x

+ == +

⎧⎨⎩

30 20 31000

30 20 1000

x y

x y

+ =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

40 32000y =y = 800; x = 500Total de pratos: 800 + 500 = 1300

25.09)

x = 7Q + 5 (I)38 . Q = 5x + 11 (II)Substituindo I em II, temos:38Q = 5 . (7Q + 5) + 1138Q = 35Q + 25 + 113Q = 36Q = 12 ⇒ x = 89

25.10)3000 1000 1

3200 2000

F Q

F Q

= − −= +

⎧⎨⎩

(. )

− = − +

= +

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

3000 1000

3200 2000

F Q

F Q

200 3000F =F = 15; Q = 4600

25.11) B

5 3 7600

2000 3

A C

A C

+ =+ = −

⎧⎨⎩ (. )

5 3 7600

3 3 6000

A C

A C

+ =

− − = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

2A = 1600A = 800; C = 1200

CA= =1200

80032

25.12)A E

A E

+ =− =

⎧⎨⎩

50

5 3 130

(.3)

3 3 150

5 3 130

A E

A E

+ =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

8A = 280A = 35

25.13) Sócio: xNão-sócio: y

x y

x y

+ = −+ =

⎧⎨⎩

200 10

5 10 1400

(. )

− − = −

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

10 10 2000

5 10 1400

x y

x y

–5x = –600x = 120

25.14)500 300 270000

200 300 180000 1

A B m

A B m

+ =+ = −

⎧⎨⎩

�� (. )

500 300 270000

200 300 180000

A B

A B

+ =

− − = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

300 90000A =A = 300; B = 400

25.15) 2 1

23 26

( )x y

yx

+ = −

= −⎧⎨⎪

⎩⎪

Gabarito

5Matemática C

2 2 1x y+ = − −⎧⎨⎩

(. 1)

2x+6y=23

− − =+ =

⊕⎧⎨⎩

2 2 1

2 6 23

x y

x y

4y = 24

y = 6; x = –132

25.16)

rrrrr tem equação y = ax + b e passa por:

( , )

( , )

0 3

5 0

3 0

0 5

⇒⇒

= += +

⎧⎨⎩

a b

a b

.

.

b

a b a

=

+ = ⇒ = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

3

5 0 35

Logo, r: y = – 35x + 3.

25.17) Dx + y = 8800 ⇒ y = 8800 – x

Márcio gasta x3

⇒ fica com 23x .

Maurício gasta y5

⇒ fica com 45y .

23

4

5x y=

x x3

2 88005

= − . ( )

5x = 6 . (8800 – x)5x = –6x + 5280011x = 52800x = 4800

25.18)

56 4

2

49 2

4

L R L

L R L

+ = +

+ = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

10 312

12 2412

8 918

18 7218

L R L

L R L

+ = +

+ = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− + = −− + = −⎧⎨⎩

2 3 24 3

10 9 72

L R

L R

(. )

6 9 72

10 9 72

L R

L R

− = −

− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

–4L = –144L = 36Em um ano: L = 37.

25.19)

Ana

Marta

y

x

Passado

2x

y

Presente

Daqui a três anos2x + 3 = 3 . (y – 4)2x + 3 = 3y – 122x – 3y = –15 (I)Além disso, pela tabela, temos:2x – y = y – x3x – 2y = 0 (II)Com I e II, obtemos:

2 3 15 3

3 2 0 2

x y

x y

− = − −− =

⎧⎨⎩

(. )

( )

− + =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

6 9 45

6 4 0

x y

x y

5y = 45y = 9; x = 6Hoje:Ana = 2x = 2 . 6 = 12Marta = y = 9

25.20)H M

H M

I

II

− == −

⎧⎨⎩

1

2 1 .

( )

( )

( )

Substituindo II em I, encontramos:2(M – 1) – 1 = M2M – 2 – 1 = MM = 3; H = 4Total: 7

Aula 26

26.01)

3 4 1

4 5 2 12

2 3 8

x y z

x y z

x y z

+ − =+ + =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

∆ = 45 + 8 + 8 + 5 + 12 – 48∆ = 30

Gabarito

6 Matemática C

D =1

12

8

4

5

–2

–1

2

3

1

12

8

4

5

–2

x

∆x = 15 + 64 + 24 + 40 + 4 – 144∆x = 3

D =3

4

1

1

12

8

–1

2

3

3

4

1

4

12

8

y

∆y = 108 + 2 – 32 + 12 – 48 – 12

∆y = 30

∆z = 120 + 48 – 8 – 5 + 72 – 128∆z = 99

x = ∆∆x = =3

301

10

y = ∆∆y = =30

301

z = ∆∆z = =99

303310

Solução: 110

1 3310

, , ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

26.02) D

x y z

x y z

x y z

+ − = −+ + = −+ − = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

5

2 1

4 2 11

∆ = − + − + − +1 4 4 4 2 2

∆ = 3

∆x = 5 – 11 + 2 – 11 + 10 – 1∆x = –6

x = – 63

= –2

Substituindo x = –2 na primeira e na segunda equa-ção, temos:

− + − = −− + + = −⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

− + = −

2 5

4 1

6 2 6

y z

y z

y

y = 0 ⇒ z = 3

Soluçãoa = –2b = 0c = 3Logo, abc = 0.

26.03) A

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 16

2 15

2 17

∆ = 2 + 2 + 2 – 1 – 1 – 8∆ = –4

D =16

15

17

2

1

1

1

1

2

16

15

17

2

1

1

x =

= 32 + 34 + 15 – 17 – 16 – 60 == –12

x = −−124

= 3

Substituindo x = 3 na primeira e na segunda equa-ção, obtemos:

3 2 16

6 151

+ + =+ + =

⎧⎨⎩

−y z

y z (. )

3 2 16

6 15

+ + =

− − − = −⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

y z

y z

–3 + y = 1y = 4; z = 5

Soluçãoa = 3b = 4c = 5Logo, a . b . c = 60.

26.04) E

x y z

x y z

+ + =+ + =

⎧⎨⎩

2 2 1

3 3

A única tripla que não satisfaz as duas equaçõesdo sistema é (3, –1, 0).Substituindo na segunda equação x + 3y + z = 3,encontramos a sentença falsa.3 + 3 . (–1) + 0 = 30 = 3Assim, (3, –1, 0) não é solução.

26.05) AFruta: xLeite: y

Gabarito

7Matemática C

Mel: zx + y + z = 1000y = 2x (I)

z = x y+9

⇒ z = x x+ 29

z = 39x

z = x3

(II)

Substituindo I e II em x + y + z, temos:

x + 2x + x3

= 1000

3 63

x x x+ + = 1000

10x = 3000x = 300 mL

26.06)

1 4 7

2 3 6

5 1 1−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

.

x

y

z

=

2

2

8

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 7 2

2 3 6 2

5 8

∆ = –3 + 120 + 14 – 105 – 6 + 8∆ = 28

D =2

2

8

4

3

1

7

6

–1

2

2

8

4

3

1

x

∆x = –6 + 192 + 14 – 168 – 12 + 8∆x = 28

x = 2828

= 1

Substituindo x = 1 na segunda e na terceira equa-ção, obtemos:

2 3 6 2

5 86

+ + =+ − =

⎧⎨⎩

y z

y z . ( )

3 6 0

6 6 18

y z

y z

+ =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

9y = 18y = 2; z = –1Solução: (1, 2, –1)

26.07) B

x y z

y z

− + =+ =

⎧⎨⎩

2 1

3 5

(a, b, c) é solução e ab = 2c. (*)O sistema pode então ser reescrito.

⊕− + =+ =

⎧⎨⎩

a b c

b c

2 1

3 5⇒ b = 5 – 3c

a + 5c = 6a = 6 – 5cSubstituindo em *, encontramos:ab = 2c(6 – 5c) . (5 – 3c) = 2c30 – 18c – 25c + 15c2 = 2c15c2 – 45c + 30 = 0 ( ÷15)c2 – 3c + 2 = 0c' = 2; c" = 1Assim, a = 6 – 5 . 2 = –4oua = 6 – 5 . 1 = 1

26.08)2

2

y x b

z y b

az x b

+ =− =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Se a = 0 e b = 1, então:

2 1

2 1

1

y x

z y

x

+ =− =

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

2y + 1 = 1 ⇒ y = 0

z = 12

Solução: 1, 0, 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

26.09)

2 4

32

2 5

4 3 1 10

x y

x z x y

x z

+ =+ − − =

− − =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

. ( ) ( )

( )

Trabalhando apenas com a primeira e a terceiraequação, obteremos o valor desejado 2x – y – 3z.

2 4

4 3 1 10

x y

x z

+ =− − =

⎧⎨⎩ ( )

2 4

4 3 3 101

x y

x z

+ =− + =

⎧⎨⎩

− (. )

− − = −− =

⎧⎨⎩

⊕2 4

4 3 7

x y

x z

2x – y – 3z = 3

Gabarito

8 Matemática C

26.10)

2 4

5 3

2

x y z

x y z k

y z

+ + =+ − =

+ = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

Se y = 0, na terceira equação temos z = –2. Substi-tuindo esses valores na primeira equação, encon-tramos:2x + 0 – 2 = 42x = 6x = 3Substituindo na segunda equação, obtemos:5x + y – 3z = k15 + 0 + 6 = kk = 21

26.11)

x y z

y z

x y z

+ − = −− + =− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3

1

2 3

Substituindo –y + z = 1 na terceira equação, te-mos:2x – y + z = 32x + 1 = 32x = 2x = 1Usando apenas a primeira e a segunda equação,encontramos:

1 2 3

1

+ − = −

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

y z

y z

1 – z = –2–z = –3z = 3; y = 2Solução: (1, 2, 3)Produto: 1 . 2 . 3 = 6

26.12) A

x y z

x y z

x y z

+ + =+ − =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

7

2 9

2 2 2

2 1 4 1 2 4 10− − − − − = −

D =1

2

1

1

1

–2

7

9

2

1

2

1

1

1

–2

z

∆z = 2 + 9 – 28 – 7 + 18 – 4∆z = –10

x = −−1010

= 1

26.13) C

x y

y z

x y z

==

+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2 3

14

⇒ z = 23y

2y + y – 23y = 14

6 3 23

423

y y y+ − =

7y = 42y = 6x = 12z = 4Logo, x + 2y – 3z == 12 + 2 . 6 – 3 . 4 = 12

26.14) Televisor: xVideocassete: yAparelho de som: z

x y

y z

x z

+ =+ =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

1200

1100

1500

Somando as três equações, temos:2x + 2y + 2z = 38002 . (x + y + z) = 3800x + y + z = 1900

26.15) E

1 0 0

2 1 0

1 2 2−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

.x

y

z

=3

7

1

x

x y

x y z

=+ =

− + + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

3

2 7

2 2 1

6 + y = 7 ⇒ y = 1Substituindo x e y na 3a equação, temos:–3 + 2 + 2z = –1z = 0Solução: (3, 1, 0)

26.16)

40 80 120 3600

100 50 50 2500 5

120 30

A B C

A B C

A B

+ + = ÷+ + = ÷+

40)

0)

(

(

++ = ÷

⎧⎨⎪

⎩⎪ 60 2700 3C 0)(

A B C

A B C

A B C

+ + =+ + =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3 90

2 50

4 2 90

∆ = + + − − −2 8 6 12 1 8

Gabarito

9Matemática C

∆= –5

∆C = 90 + 400 + 180 – 360 – 50 – 360

∆C = –100

C = −−100

5 = 20

26.17) A

3 2 4

5 20 5

2 2

x y t

x y t b

x y t

+ + =+ + =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Se t = 5, na primeira e terceira equação, obtemos:

3 2 5 4

10 2

x y

x y

+ + =− + =

⎧⎨⎩ (.2)

3 2 1

2 2 16

x y

x y

+ = −

− = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

5x – 17

x = –175

; y = 235

Substituindo esses valores na segunda equação,encontramos:5x + 20y + 5t = b

5 20 235

5 . 175

. . 5 = b−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ +

–17 + 92 + 25 = bb = 100

26.18) ECarlos: xCão: yAndréia: z

x y

x z

y z

y x

z x+ =+ =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

⇒⇒

= −= −

87

123

66

87

123

87 – x + 123 – x = 66–2x = –144x = 72y = 15; z = 51

Carlos pesa mais que Andréia e Bidu juntos.

Aula 27

27.01)5 3

8 6

x ay

bx y

+ =+ =

⎧⎨⎩

58

36b

a= =

5 36b

=

3b = 30b = 10

a8

36

=

6a = 24a = 4

27.02) A

ax y

ax ay

+ =+ =

⎧⎨⎩

2 1

3 2

Se a = 6,

6 2 1

18 6 2

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

618

26

12

= ≠

sistema impossível

27.03) E

x y z

x y z

x y z

+ − =+ + =− − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

α 2 0

1

3

∆ = 0

− + + + + + =1 2 2 1 0α α

2 4α = −α = −2

27.04) E

kx y z

x ky z

x y z k

+ + =+ + =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

1

3

∆ = 0

k k k2 1 1 1 0+ + − − − =k2 – 2k + 1 = 0Soma: k' + k" = 2

27.05)mx y

x y n

− =+ =

⎧⎨⎩

2 3

4

a)Determinado

m4

21

≠ −

m ≠ –8

Gabarito

10 Matemática C

Indeterminado

mn4

21

3= − =

m4

21

= − ⇒ m = –8

− =21

3n

⇒ n = – 32

Impossível

m4

21

= − ≠ 3n

⇒ m = –8

n ≠ – 32

b)Com m = 3 e n = – 2, temos:

3 2 3

4 2

x y

x y

− =+ = −

⎧⎨⎩ . (2)

3 2 3

8 2 4

x y

x y

− =

+ = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

11x = –1 ⇒ x = – 111

y = –1811

27.06) C

x y z

x z

y k z

+ + =+ =+ + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 1

3 2 0

1 2( )

D =1

3

0

1

0

1

2

2

k+1

1

3

0

1

0

1

∆ = 6 – 2 – 3k – 3∆ = –3k + 1

Determinado∆ ≠ 0 ⇒ –3k + 1 ≠ 0

k ≠ 13

Se k = 13

, então ∆ = 0.

Calculando ∆z , obtemos:

D =1

3

0

1

0

1

1

0

–2

1

3

0

1

0

1

z

∆z = 3 + 6∆z = 9∆z = 3 + 6∆z = 9

Assim, como ∆ = 0 e ∆z ≠ 0, o sistema é impos-sível.Seqüência: V – V – F

27.07) B

x y z

x y z m

x my z

+ + =− + =− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

1

2 4

∆ = − + − + + −1 2 2 1m m

∆ = 2∆ ≠ 0 para qualquer valor de mmmmm

27.08) E

mm

++

≠31

212

2m2 + 2 ≠ m + 32m2 – m – 1 ≠ 0m' ≠ 1

m" ≠ – 12

27.09) A

a b c

a b r

a b c

+ − =+ + =− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

7 0

2

2 1

Observe que rrrrr não é uma variável do sistema.

a b c

a b r

a b c

+ − =+ + = −− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

7 0

0 2

2 1

. c

∆ = 1 + 1 + 2 – 7∆ = –3∆ ≠ 0 para qualquer valor de rrrrrLogo, o sistema é possível e determinado para

quaisquer rrrrr e R.

27.10) E

1 5

2 1−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

x

y = .

x

yα

x y x

x y y

+ =− =

⎧⎨⎩

5

2

αα

Gabarito

11Matemática C

x y

x y

. (1− + =+ − − =

⎧⎨⎩

αα

)

( )

5 0

2 1 0

∆ = 0

1 5

2 1

−− −

αα

= 0

–1 – α + α + α2 – 10 = 0

α2 = 11

α = ± 11

27.11) D

x y z

kx y z

x ky z

+ + =+ + =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

3 4 0

3 0

∆ = 0

9 + 4 + k2 – 3 – 4k – 3k = 0k2 – 7k + 6 = 0Soma: k' + k" = 7

27.12) A

x y z

x y z

x y pz q

− + = −− + = −− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3 4

5 6 7 8

6 8

∆ = –6p – 84 – 120 + 108 + 56 + 10p∆ = 4p – 40Se p ≠ 0, então ∆ ≠ 0. (S.P.D.)Se p = 10, então ∆ = 0. (S.P.I. ou S.I.)

27.13) C

x y a

x y a

log log

log log

4 9

2 3+ =+ =

⎧⎨⎩

loglog

log

log 42 2

2 212

= =

loglog

log

log 3 9

3

3= =

212

Assim, loglog

loglog

2 4

3

= =9

12

.

Portanto, para qualquer a ≠ 0, temos:

loglog

loglog

2 4

3

= ≠ =9

1aa

S.I. para todo a ≠ 0

27.14) A

k 3 3

1 4 3

1 3 4

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

.x

y

z

=0

0

0

kx y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 3 0

4 3 0

3 4 0

∆ = 16k + 9 + 9 – 12 – 9k – 12∆ = 7k – 6

k = 67

⇒ ∆ = 0 ⇒ S.P.I.

k ≠ 67

⇒ ∆ ≠ 0 ⇒ S.P.D. (solução trivial)

27.15)

x y z

x my z

x y mz m

+ − =− − =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0

3 0

3

a)

∆ = –m2 – 6 – 3 – m + 9 – 2m∆ = –m2 – 3mSe m ≠ 0 e m ≠ –3, o sistema é S.P.D.Se m = 0, obtemos:

x y z

x z

x y

+ − =− =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0

3 0

3 0

∆x =

0 2 1

0 0 3

0 3 0

−− = 0

∆y = 1 0 1

1 0 3

1 0 0

−− = 0

∆z = 1 2 0

1 0 0

1 3 n

= 0

Logo, sistema SPI.

Gabarito

12 Matemática C

Se m = –3, encontramos:

x y z

x y z

x y z

+ − =+ − =+ − = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0

3 3 0

3 3 3

∆x =

0 2 1

0 3 3

3 3 3

−−

− − 18 + 9 = 27 ≠ 0

Logo, sistema impossível.Conclusão: Existe solução para qualquer valorde m ≠ –3.Se m ≠ 0 e m ≠ –3 ⇒ S.P.D.Se m = –3 ou m = 0 e n = 0 ⇒ S.P.I.

b)m = 0

x y z

x z

x y

+ − =− =+

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

2 0

3 0

3 0

=

x = 3z

3z + 3y = 03y = – 3zy = – zSolução: (x, y, z) = (3z, –z, z)

Aula 28

28.01)x y z

y z

+ + =− = ⇒

⎧⎨⎩

0

3 6 0 3y = 6z

y = 2zx + y + z = 0x + 2z + z = 0x = – 3zFazendo z = k, a solução fica:(x, y, z) = (–3k, 2k, k)

28.02) a)8x + 15y = 39Basta "chutar" valores inteiros para yyyyy que produ-zam também valores inteiros para xxxxx.y = 9 ⇒ 8x + 15 . 9 = 398x = 96x = 12Uma solução: (12, 9)

b)35x + 72y = 108Basta provar que m.d.c. (35, 72) = 1.

m.d.c. = 1

28.03) a)2 2

2 3 1

x y z t

z t

− + − =+ =

⎧⎨⎩

2z = 1 – 3t

z = 1 32− t

2x – y + z – t = 2

2x – y + 1 32− t – t = 2

4 2 1 3 22

42

x y t t− + − − =

4x – 2y – 5t = 3

x = 2 5 34

y t+ +

Fazendo y = α e t = β , temos:

(x, y, z, t) = 2 5 34

32

α β α β β+ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, , , 1

b) 3 2 2

01 2 3

2 3

x x x

x x

+ + =− =

⎧⎨⎩ ⇒ = x x2 3

3x1 – 2x2 + x3 = 23x1 – 2x2 + x2 = 23x1 – x2 = 2

x1 = 23

2+ x

Considerando x2 = k, obtemos:

(x1, x2, x3) = 23+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

k , k, k

c)

3 2 8

5 9

2 3

x y

x y

x y

+ =− =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Com a segunda e a terceira equação, encontra-mos:

5 9

2 3 1

x y

x y

− =− = −

⎧⎨⎩ (. )

5 9

2 3

x y

x y

− =

− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

3x = 6x = 2; y = 1Como (2, 1) também satisfaz a primeira equação,

então: 3 . 2 + 2 . 1 = 8(2, 1) é a solução.

d)

y = 1+ zx y z

y z

− + =− =

⎧⎨⎩ ⇒

3 5

1

x – y + 3z = 5x – (1 + z) + 3z = 5x = 6 – 2zFazendo z = α , temos:(x, y, z) = (6 – 2α , 1 + α , α )

Gabarito

13Matemática C

e)

y = z

x y z

y z

− + =+ =

⎧⎨⎩ ⇒ −

2 3 0

3 03

x – 2y + 3z = 0

x + 23z + 3z = 0

3 2 93

03

x z z+ + =

x = −113

z

Considerando z = k, obtemos:

(x, y, z) = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

113 3

k k, k,

28.04)

x z

y w

y z

y z y z

===

= ⇒ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3

3 2

2

4 8 2

3y = 2w

3 . 2z = 2ww = 3zFazendo z = α , temos:

(x, y, w, z) = (3α, 2α, α, 3α)

b) Para x = 1, temos Ca = 3; H = 6; P = 2; O = 8.

28.05)xcos + ysen = cos

xsen + ycos = sen

α α αα α α−

⎧⎨⎩

∆ =−cos sen

sen cos

α αα α

∆ = + =cos sen 2 2α α 1

∆x = = −cos sen

sen cos cos sen2 2α α

α αα α

∆y =−cos cos

sen sen

α αα α =

= senα . cos α + senα . cosα=

= 2sen . cos α α

Solução: a = x = cos sen 22 2α α α− = cos

b = y = 2sen . cos 2α α α= sen

(a + b)2 = (cos 2α + sen 2α)2 =

= cos2 2α + 2 cos 2α . sen 2α + sen2 2α =

= 1 + sen 4α

28.06)I I I

I I

I I

1 2 3

1 3

2 3

0

5 2 50

10 20 30

− − =+ =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Fazendo I1 = x; I2 = y; I3 = z, temos:

x y z

x z

y z

− − =+ =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

5 20 50

10 20 30

5x = 50 – 20zx = 10 – 4z (I)10y = 30 + 20zy = 3 + 2z (II)Substituindo I em II na primeira equação, obtemos:x – y – z = 010 – 4z – 3 – 2z – z = 0–7z = – 7z = 1x = 6y = 5Solução (6, 5, 1)

28.07) Faca: xColher: yGarfo: z

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3 23 50

2 5 6 50

2 3 4 36

,

∆ = 20 + 24 + 18 – 30 – 18 – 16∆ = –2

1

2

2

2

5

3

23, 5

50

36

1

2

2

2

5

3

D =z

∆z = 180 + 200 + 141 – 235 – 150 – 144∆z = –8

z = −−82

= 4

Substituindo z = 4 na primeira e na segunda equa-ção, encontramos:

x y z

x y z

+ + = −+ + =

⎧⎨⎩

2 3 23 50 2

2 5 6 50

, ) (.

− − − = −

+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

2 4 24 47

2 5 24 50

x y

x y

y = 3x = 5,5Solução: (5, 5; 3; 4)

28.08) 2 3

0

x y z t

z t z t

+ + + =− = ⇒ =

⎧⎨⎩

2x + y + z + t = 32x + y + t + t = 3

x = 3 22

− −y t

Gabarito

14 Matemática C

Fazendo y =β e t =α, temos:

(x, y, z, t) = 3 22

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

β α β α α, , ,

28.09)x y z

mx y z

− + =+ − =

⎧⎨⎩

2

3 0

Como (2, 2, 2) é uma solução, m. 2 + 2 – 3 . 2 = 0.2m = 4m = 2

x y z

x y z

− + =+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

2

2 3 0

3x – 2z = 2

x =2 2

3+ z

Substituindo em 2x + y – 3z = 0, encontramos:

2. 2 23+ z + y – 3z = 0

y = 3z – 4 43+ z

y = 5 4

3z −

Fazendo z = α , temos (x, y, z) = 2 23

5 43

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠

α α α, , .

28.10) a)

2 5

2 4

5 6

x y

x y

x y

+ =+ =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Com a primeira e a segunda equação, obtemos:

2 5 2

2 4

x y

x y

+ = −+ =

⎧⎨⎩

(. )

− − = −

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

4 2 10

2 4

x y

x y

–3x = –6x = 2; y = 1

Note que (2, 1) não é solução da terceira equação.5 . 2 + 1 = 6 (falso)Logo, S = ∅ .

b)

x y

x y

x y

+ =− =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

10

2

2 4 28

Com a primeira e a segunda equação, encon-tramos:

x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

10

2

2x = 12x = 6; y = 4Como o par (6, 4) também satisfaz a terceiraequação2 . 6 + 4 . 4 = 28(6, 4) é a solução do sistema.

28.11)x y x y

x y

2 2 6 8 0

3 0

+ − − =− =

⎧⎨⎩

(I)

(II)

I: x2 + y2 – 6x – 8y = 0(circunferência)C(3, 4)32 + 42 – R2 = 0R = 5II: 3x – y = 0y = 3x (reta)

4

3

1 3

C

28.12)x y y x

x y x y

− − = ⇒ = −+ − + − =

⎧⎨⎩

1 0 1

2 2 2 02 2

x2 + (x – 1)2 – 2x + 2 . (x – 1) – 2 = 0

x x x x x2 2 2 1 2 2 2 2 0+ − + − + − − =2x2 – 2x – 3 = 0∆ = 4 – 4 . 2 . (–3) = 28

x = 2 284

±

Gabarito

15Matemática C

x = 2 2 74

±

x = 1 72±

Se x = 1 72+ , então y = x – 1.

y = 1 72+ – 1

y = − +1 72

Se x = 1 72− , então y = x – 1.

y = 1 72− – 1=

y = − −1 72

Solução

1 72

1 72

+ − +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

, ou 1 72

1 72

− − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

,