3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 1 | MATEMÁTICA 5 1

Matemática 5 aula 1 COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. Temos o conjunto A = {∅; 3; {3}; {2; 3}}, em que os ele-mentos são ∅; 3; {3}; {2; 3}. a) Falsa, pois {2; 3} ⊂ A ⇒ 2; 3 ∈ A. b) Falsa, pois 2 não é um elemento. c) Falsa, pois ∅ é um elemento. d) Falsa, pois 3 é um elemento. e) {3} ∈ A (V). Resposta correta: E

2. n P An P B

( ( ) )( ( ))

= 2

2

n(A

n(B

)

) = 2n(A) – n(B) = 2n(B) + 6 – n(B) = 26 = 64

Resposta correta: D

3. 1) n(A) = n; n(B) = n + 1 2) P(A) = 2n; P(B) = 2n+1 ⇒ P(B) = 2n . 2 ⇒ P(B) = P(A) . 2

⇒ P(B) = 2 . P(A) ⇒ y = 2x

Resposta correta: A

4. i) n(P(M)) = 2 . n(P(N))

2n(M) = 21 . 2n(N) 2n(M) = 21 + n(N)

n(M) = 1 + n(N) ii) n(M ∪ N) = n(M) + n(N) – n(M ∩ N)

n(M ∪ N) = 1 + n(N) + n(N) – 1 n(M ∪ N) = 2n(N)

Resposta correta: E 5. O número de subconjuntos é dado por 2n(A), portanto:

2n(A) = 1024 2n(A) = 210 n(A) = 10 O número de subconjuntos com 4 elementos é:

C10,4 = 10 9 8 74 3 2 1

x x xx x x

= 210

O número de subconjuntos que não possuem 4 elemen-tos é: K = 1024 – 210 K = 814

Resposta correta: B

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. I. a ∈ A (verdadeiro), pois a é elemento de A. II. {a} ∈ A (verdadeiro), pois {a} é elemento de A. III. {{a}} ⊂ A (verdadeiro), pois {a} é elemento de A e

{{a}} é subconjunto de A. IV. {a, b} ⊂ A (verdadeiro), pois a e b são elementos de

A e {a, b} é subconjunto de A. V. {a} ⊂ A (verdadeiro), pois a é elemento de A, sendo

{a} um subconjunto de A. VI. ∅ ⊂ A (verdadeiro), pois ∅ é subconjunto de qual-

quer conjunto. VII. ∅ ∈ A (falso), pois ∅ não é elemento de A.

Resposta correta: E

2. Basta fazer a combinação de:

8, 3 5, 3

7 4

8! 8!C C

3!5! 3!5!56 56 112 2 2

+ = + =

= + = = −

Resposta correta: Não tem item correto (errata).

3. O conjunto x pode ser: • x = {1, 2} • x = {1, 2, 3} • x = {1, 2, 3, 4}

Resposta correta: A (Retificação do gabarito)

4. Do enunciado, temos: i) a = 2m

ii) b = 2n 8 = 2n

23 = 2n n = 3

iii) c = 2p

iv) a = c + 2b a = c + 2 . 8 a = c + 16

v) m = 2p – n m = 2p – 3 vi) a = c + 16 2m = 2p + 16

22p – 3 = 2p + 16 ∴ p = 4

vii) c = 2p c = 24

c = 16

viii) a = 16 + 16 a = 32

P(A)

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ix) a + b + c = 32 + 8 + 16 = 56

Resposta correta: A

5. O número de subconjuntos de A é dado por 2n(A):

i) A = {M, A, C, K, E, N, Z, I} ii) 2n(A) = 22k + 4 28 = 22k + 4 2k + 4 = 8 2k = 4 k = 2

Resposta correta: C

6. O conjunto é dado por A = {0, 1, 2, 3, 4}. Para P(B) ter

um número máximo de elementos é necessário que B seja o maior possível, ou seja, B = {1, 2, 3, 4}, portanto, n(P(B)) = 24 = 16.

Resposta correta: E 7. n(P(P(P(P(A))))) = n(P(P(P(B)))

2222n(A)

= 222n(B)

222n(A)

= 22n(B)

2 22n(A n(B) )= 2n(A) = n(B)

2n(A) – n(B) = 0

Resposta correta: A

8. O 10º conjunto começa com 10 e tem 19 elementos.

K = 10 + 11 + 12 + ... + a19, como a19 = a1 + 18r = 10 + 18 . 1 = 28, então: K = 10 + 11 + 12 + ... + 28

K = ( ) .10 28 19

2+

K = 19 . 19 K = 192

Portanto: K19

= 1919

2

= 19

Resposta correta: A

9. O último elemento de cada conjunto é igual à soma do número de elementos dos conjuntos até o conjunto ci-tado. 1º conj. {1} ⇒ 1 elemento 2º conj. {2, 3} ⇒ 2 elementos ... 23º conj. { ..., __ }

1 + 2 + 3 + ... + 23 = 1 23

223 276

+=

b g.

24º conj. {277, 278, ..., __ }

1 + 2 + 3 + ... + 24 = 300

A soma dos elementos do 24º conjunto é ( )277 300 24

26924

+= soma dos algarismos é

6 + 9 + 2 + 4 = 21

Resposta correta: A

10. n P An P B

n A

n Bn A n B x x( ( ))

( ( )

( )

( )( ) ( ) ( )= = = = =− − − −2

22 2 2 16

1999 15 1999 19 4

Resposta correta: D 11.

1. Se “n” é o número de elementos de “A”, então n(A) = n.

P(A) = 2n(A) ⇒ P(A) = n2

2. n(P(PA)) = 2n(PA) = n22

Resposta correta: C

12. Observe que:

i) a + b = 18

a = 18 – b

ii) 1818( ! !−b) b

= 18

b

FHGIKJ

A soma dos números é dada por S = 18

0FHGIKJ +

18

1FHGIKJ + ... +

18

18FHGIKJ = 218 = (23)6 = 86 já que é S representa a soma da li-

nha 18 do triângulo de Pascal.

Resposta correta: A

13. O último de cada conjunto Cn é dado por n2: C2 = {2, 3, 4}

22

C3 = {5, 6, 7, 9}

32 ...

C49 = {..., 492}

C50 = {492 + 1, ..., 502}

99 elementos

S = ( )49 1 50 99

2

2 2+ +

S= ( )( )49 1 50 50 49

2

2 2+ + +

S = 50 50 49 50 49 49 49 502

3 2 3 2+ + + + +. .

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S = 50 49 49 1 49 50 1 50 50 49

2

3 3 2 2+ + + + − + +( ) . ( ) .

S = 50 49 49 49 50 50 50 49

2

3 3 3 2 3 2+ + + + − + +

S = 2 50 2 49 49 50 50 49

2

3 3 2 2. .+ + − + +

S = 2 50 49 49 50 49 50 50 49

2

3 3.( ) ( )( )+ + − + + +

S = 2 50 49 49 50 50 49

2

3 3.( )+ − − + +

S = 503 + 493

Portanto x = 50, y = 49 e x + y = 99

Resposta correta: 99

14. n(A) = 1 n(P(A)) = 2n(A) = 21 = 2 n(P(P(A))) = 2n(P(A)) = 22 = 4 n(P(P(P(A))) = 2n(P(P(A))) = 24 = 16

Resposta correta: C

15. Lembrando... Seja um conjunto de “n” elementos. Assim, temos: 1) nº de subconjuntos de um elemento: 1

nC

2) nº de subconjuntos de dois elementos: 2nC

Assim podemos dizer que o número de subconjuntos de

A com “a” elementos é dado por ( )

=−

an

n!C .

n a ! . a!

O conjunto A de “n” elementos tem 45 subconjuntos de 2 elementos. Assim, temos:

2nC 45=

( )n!

n 2 ! . 2!−= 45

( )( )( )

n n 1 n 2 !45

n 2 ! . 2

− −=

− ⇒ n2 – n – 90 = 0

Resposta correta: A

( )n 10

n 9 F

=

= −