3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 2 1

Matemática 2 Aula 7

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. Lembrando. Pela condição de existência de um triângulo, sabemos

que qualquer lado deve ser menor que a soma dos ou-tros dois.

I. Da figura podemos localizar três triângulos: ∆NOP, ∆POM e ∆MON

II. Do triângulo NOP, temos: 16 < a + c ⇒ a + c > 16 Do triângulo POM, temos: 18 < c + b ⇒ b + c > 18 Do triângulo MON, temos: 30 < a + b ⇒ a + b > 30

2a + 2b + 2c > 64 ⇒ ⇒ a + b + c ⇒ 32

Resposta correta: D

2. Considere o triângulo de lados a, b e c.

a b c

a a

2a b c a

a b ca c.q.d

2

< +=< + +

+ +<

3. Resposta correta: B 4. Considere o triângulo abaixo:

I. a + b + c = 14 II. Sabemos que qualquer lado é menor que o seu semi-

perímetro, como foi mostrado no exercício 2, assim: a < 7; b < 7, c < 7.

III. Também não podemos ter dois lados somados dando 7. Assim não podemos ter as medidas 7 e 0, 6 e 1,

5 e 2, 4 e 3, pois se forem, o terceiro lado será 7 e não pode.

IV. Considere o maior lado sendo 6, assim sobra 8 para os outros lados (6; 6; 2), (6; 5; 3), (6; 4; 4).

V. Considere o maior lado sendo 5, assim sobra 9 para os outros lados, então 5 e 4. Desta forma temos o lado (5; 5; 4).

Qualquer outra combinação vai coincidir com os pontos

encontrados ou vai esbarrar nas condições anteriores. Resposta correta: (6; 6; 2), (6; 5; 3), (6; 4; 4), (5; 5; 4)

5. Traçando a mediana relativa ao triangulo BDE e conside-

rando DE = 2l:

ABF é isósceles ⇒ B $A F ⇒ B $F A Observe o triângulo BDF:

x + 72º + 72º = 180º x = 36º Resposta correta: 36º

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. Lembrando. Condição de existência de um triângulo de medidas a, b

e c: |b – c| < a < b < c.

I. Se AB = 15cm e BC = 8cm, temos o triângulo abaixo:

+

+

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|15 – 8| < x < 15 + 8 7cm < AC < 23cm

Resposta correta: 7cm < AC < 23cm

2. Como AB = AC , então )B =

)C

i)

)A +

)B +

)C = 180°

β + 2α + 2α = 180° β + 4α = 180°

ii) BOC)

+ OBC)

+ BCO)

= 180° 3β + α + α = 180° 3β + 2α = 180°

iii) β + 4α = 180°

3β + 2α = 180° ∴ β = 36° e α = 36°

Resposta correta: D

3. O triângulo ADE é isósceles, pois AD AE= , sendo

DAE DEA$ $= = α:

No triângulo ADE: α + 90° + 60° + α = 180° α = 15° x é ângulo externo do triângulo ADF, portanto: x = 90° + α x = 90 + 15

x = 105° Resposta correta: 105º

4. $ $ $A B C+ + = 180°, como $ $B C= , então:

20° + $B + $B = 180°

$B = 80°

$C = 80°

• α é ângulo externo do triângulo AEC, α = 60° + 20° = 80°.

Então EBC é um triângulo isósceles sendo EC BC= .

• β é ângulo externo do triângulo ABC, β = 20° + 30° = 50°

Então EDC é um triângulo isósceles sendo EC DC= .

Observe que BC DC= , então os ângulos $E e $D do tri-

ângulo EDC são iguais: $E + $D + 60° = 180° $D + $D + 60° = 180°

2 $D = 120° ⇒ $D = 60°

Como $D = x + 50°, então: 60 = x + 50°

x = 10°

Resposta correta: 10º

5. Observe parte da estrela:

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O polígono central é um octógono:

ae = 360°

n ⇒ ae =

3608°

⇒ ae = 45°

x é ângulo externo do triângulo

x = ae + ae ⇒ x = 2ae ⇒ x = 2 . 45° ⇒ x = 90°

Resposta correta: C 6. Todos os 9 losangos são congruentes, então o ângulo α

mede α = 3609

= 40°

i. α + α + β + β = 360° 2α + 2β = 360° 2 . 40° + 2β = 360° β = 140° ii. x + β + β = 360° x + 140° + 140° = 360° x = 80° Resposta correta: C

7. Observe os lados e ângulos iguais:

Observe que EFC é um triângulo isósceles, pois EC FC=

α + α + 30° + 60° = 180° ⇒ α = 45° x é ângulo externo do triângulo FGC, então: x = α + 60° x = 45° + 60°

x = 105° Resposta correta: 105º

8.

Como APQ é um triângulo isósceles, então os ângu-

los APQ$ e PQA$ são iguais a β: Do triângulo APQ: β + β + 45° = 180° 2β + 135° β = 67°30’

Os ângulos BPA$ e APD$ são iguais a 90o: α + β = 90° α + 67°30’ = 90° α = 22º30’ Resposta correta: D

9. Do triângulo abaixo, temos:

|11 – 3| < a > 11 + 3 9 < a < 14, como a é par e inteiro, temos que a = 10 ou

a = 12. Resposta correta: 10cm ou 12cm

10. Todos os triângulos vão ser eqüiláteros:

α + α + 60 = 180 2α = 120 α = 60 Perímetro de qualquer um dos quatro:

2p = 3. l l

232

=

Resposta correta: E

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11.

ABC é um triângulo isósceles ⇒ ABC ACB$ $= = β

ADE é um triângulo isósceles ⇒ ADE$ = AÊD = θ

O ângulo ADC$ (α + θ) é externo ao triângulo ABD: α + θ = 20° + β θ = 20° + β – α (i) O ângulo AÊD ( θ ) é externo ao triângulo ECD: θ = α + β (ii) Igualando (i) e (ii) α + β = 20° + β – α 2α = 20° ⇒ α = 10° Resposta correta: B

12. Os segmentos 10, 12 e 23 não obedecem à condição de

existência de um triângulo, não formando triângulo: 23 < 10 + 12 23 < 22 Falsa Resposta correta: D

13. O item correto é o C, pois se a2 > b2 + c2, o triângulo é

obtusângulo (1 ângulo obtuso). O maior lado é o a, se opondo ao maior ângulo, o obtuso. Resposta correta: C

14.

L = BCB1C1B2C2... L = 2l1 + 2l2 + 2l3 +… L = 2(l1 + l2 + l3 +…) L = 2C Resposta correta: A

15. Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos da base são iguais a 70o para soma total ser 180o.

Observe que BP é bissetriz e altura no triângulo EBC, já que este é isósceles, desta maneira BP também será mediana. Da mesma maneira, no triângulo EDC, PD é al-tura e mediana, então EDC é um triângulo isósceles, sendo PD bissetriz, portanto:

PÊD = PDC$

x = 75°