Matemática - Curso Anglo - n3 aulas10a12

AULAS 10 a 12Triângulos: Existência, Congruência e Semelhança

Proposição 1 — EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO (DESIGUALDADE TRIANGULAR)Os números reais positivos a, b e c podem ser os comprimentos dos lados de um triângulo, em uma certa uni-

dade, se, e somente se, qualquer lado é menor que a soma dos outros dois, isto é,a � b + c , b � a + c e c � a + b

Exemplos:

Nota: A ocorrência simultânea das três desigualdades acima é equivalente a uma só desigualdade em que qualquerdos números a,b,c, fica compreendido entre a soma dos outros dois e o modulo da diferença entres eles. Por exemplo,para o número real a � 0, teríamos: a � b + c, b � a + c e c � a + b ⇔ |b – c| � a � b + c

Proposição 2 — MAIOR LADO — MAIOR ÂNGULOSe dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado,

opõe-se o menor ângulo, e reciprocamente.

Definição 1 — CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULODois triângulos ABC e DEF são congruentes se, e somente se, existir entre eles uma das combinações abaixode ângulos congruentes e lados congruentes. Para expressar que o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEFusaremos ∆ABC ≅ ∆ DEF

Proposição 3 — (LLL) TRÊS LADOS.

≅

A

109.9°

17.0°B C

6,43

2

Não existe triângulo com lados me-dindo: 1, 2 e 4

Não existe triângulo com lados me-dindo: 2, 2 e 4

Existe triângulo com lados me-dindo: 3, 2 e 4

RelacionadosConceitos

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

www.cursoanglo.com.br2008

N • Í • V • E • L 3

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática

1

A B

2

AB = 4

B

2

AB = 4

2

A B

2

AB = 4

3

A

C

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

Proposição 4 — (LAL) DOIS LADOS E O ÂNGULO COMPREENDIDO ENTRE ELES.

Proposição 5 — (ALA) DOIS ÂNGULOS E O LADO COMPREENDIDO ENTRE ELES.

Proposição 6 — (LAA0) DOIS ÂNGULOS E UM LADO OPOSTO A UM DESTES ÂNGULOS.

Proposição 7 — DOIS LADOS E UM ÂNGULO NÃO COMPREENDIDO ENTRE ELES RETO (OU OBTUSO).

Nota: Se o ângulo compreendido entre os lados é agudo, os triângulos podem não ser congruentes. Verifique comexemplos.

Proposição 8 — TEOREMA DE TALES.

Quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos correspon-dentes determinados nas transversais são proporcionais.

Considerando-se o exemplo da figura, tem-se:

Exemplo

ADAB

A EA C

= =∴’’

26

13

ADDB

A EEC

= =∴’ 24

12

ADDB

AEEC

ADAB

AEAC

eDBAB

ECAC

= = =,

A

B

C

ED

≅

≅

≅

≅

2008

A A’

ED

2 1

36

B C

24

Nota: Tales era filósofo, geômetra, astrônomo, físico, político e comerciante, e acredita-se que tenha nascido no ano625 a.C.

Se aplicarmos o Teorema de Tales num triângulo qualquer vamos obter resultados bastante interessantes e reve-ladores sobre os triângulos. Sendo ABC um triângulo, traçamos por M, ponto médio de AB, uma reta paralela ao lado

BC e encontramos N. Então: Logo, AN = NC, e N é o ponto médio do segmento.

Analogamente, uma reta passando por N paralela a AB encontramos P, ponto médio de BC: Mas,

como BMNP é um paralelogramo,

Pelo mesmo raciocínio temos que NP = AM = MB e MP = AN = NC.

Proposição 9 — BASE MÉDIASe M e N são pontos médios dos lados AB e AC respectivamente, então o segmento MN é paralelo ao segmento

O segmento MN nestas condições é denominado de base média.

Definição 2 — SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSDois triângulos são semelhantes se, e somente se, existir entre eles uma das seguintes combinações de

ângulos congruentes e lados proporcionais:

(LLL) três lados, (AA) dois ângulos. (LAL) dois lados e o ângulo compreendido entre eles.

Dois lados e um ângulo não compreendido entre eles reto ou obtuso.Para dizer que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF usaremos ∆ABC ∼ ∆ DEF

Nota: Se o ângulo é agudo, os triângulos podem não ser semelhantes

Proposição 10 — TEOREMA FUNDAMENTAL (PARALELA A UM LADO DO TRIÂNGULO)

Se uma reta é traçada paralelamente a um lado BC de um triângulo ABC, de modo que intercepte o lado AC em Ee o lado AB em D, com D ≠ E, então ela determina um triângulo ADE semelhante ao primeiro triângulo e como conse-qüência temos:

ADAB

AEAC

DEBC

= =

A

D E

B CDE // BC ⇒ ∆ ADE � ∆ ABC

BC e MNBC=2

.

A

M N

B P C

MN

BCBP PC= = =

2.

BP PCBC= =2

.

AMMB

ANNC

= .



Exemplo:Qual será o comprimento de uma ponte que vai ser construída sobre um rio, nas condições da figura abaixo?

Sendo ——DE // BC

——, temos:

Logo, 9x = 18 ⋅ 10Portanto x = 20Assim, a ponte deverá ter 20m de comprimento.

IV. Conseqüências

Proposição 11 — TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNAP é um ponto interno do lado BC. AP é bissetriz interna relativa ao vértice A

se, e somente se,

Proposição 12 — POTÊNCIA DE UM PONTO EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA• Se AB e CD são duas cordas de um círculo que concorrem em P (ou seus prolongamen-

tos), então PA—— ⋅ ——

PB = ——PC ⋅ ——

PD.

ReciprocamenteQuatro pontos A, B, C, D pertencem a circunferência de um círculo se, PA

—— ⋅ ——PB =

——PC ⋅ ——

PD,onde P é a intersecção das retas AB e CD.

• Se P é um ponto externo a um circulo e T, A, B são pontos pertencentes a circunferênciadeste circulo tais que PT é uma reta tangente e PAB uma secante, então PT

——2 = PA—— ⋅ ——

PB

BP

PC

AB

AC= .

ADDB

AEEC x

= =⇒ 918

10

A

B C

x

DE

10 m9 m

18 m

2008

A

B CP

A

C B

DP

DB

CO

A

PT

Reciprocamente Se três pontos P, A, B são colineares com P não entre os pontos A e B, e T um pontonão pertencente a reta PAB tais que PT

——2 = PA—— ⋅ ——

PB, então PT é tangente acircunferência ABT.

1. (OBM) Sejam a, b e c números reais positivos cuja soma é 1. Se a, b e c são as medidas dos lados de umtriângulo, podemos concluir que

a)

b)

c)

d)

e)

2. Seja ABC triângulo não isósceles de lados inteiros medindo, em cm, 4, 8 e x. Se S é a soma de todos os valorespossíveis de x, então podemos afirmar que:a) 56 d) 60b) 45 e) 48c) 53

3. (OBM) Na figura ao lado A, D e B são pontos colineares. ADE e DBC são triângulos retângulos com ângulo retoA e B respectivamente. Se ∠ ADE = 75°, ∠ CDB = 45°, ED = DC e AE = 5, então x + y é igual a:

a)

b)c) 4d) 8

e)

4. (Olimpíada Singapura) Na figura abaixo, ABC é um triângulo e P um de seuspontos internos.Se AB = 8, BC = BP + PA, ∠ BPA = 120° e ∠ PBC = 60°, então PC é igual a a) 10b) 9c) 8d) 7e) 6

12 3

4 3

45°75°

D yxA

8

EC

B

8 3

a e b e c� � �

13

13

13

a e b e c� � �

13

13

13

a b e b c e c a+ + +� � �

12

12

12

a e b e c� � �

12

12

12

0

12

012

012

� � � � � �a b e b c e c a− − −

ClasseEm


DB

CO

A

PT

60°

120° P

A

8

CB


5. (Olimpíada Colombiana) Na figura abaixo ABC é um triângulo retângulo. Inscrito neste triângulo temos o retân-gulo HIJE de altura h.

Se DEFG e JKLM são quadrados de lados a e b respectivamente, podemos afirmar que:

a) d) h = 2(a + b)

b) e) h = 3(a + b)

c) h = a + b

6. (OBM) No triângulo ABC, M é o ponto médio do lado AC, BP é bissetriz do ângulo ABC, BP ⊥ AP eα = ∠ ABC. Se os lados AB e BC medem 6 e 10 respectivamente, PM mede:a) 1 b) 2c) 2 – senα

d)

e)

1. (Olimpíada Peruana) Seja ABC um triângulo, com a = BC, b = CA e c = BA. Se P um ponto qualquer, no interiordeste triângulo, tal que x = PA, y = PB, z = PC, então podemos afirmar: a) a + b + c � 2x + 2y + 2zb) a + b + c � 2x + 2y + 2zc) 2x � a + b+ cd) 2x + 2y � a + b + c

e)

2. (OBM) O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triângulo ABC de 90° no sentido anti-horário ao redor deC, conforme mostrado no desenho abaixo. Podemos afirmar que α é igual a:a) 75°b) 65°c) 70°d) 45°e) 55°

A

B

CD

E

40°

60°

α

a b c x y z+ + + +( )�23

CasaEm

212 2

−

sen

α

212

− senα

B

6 10

P

MA C

ha b= +( )

3

ha b= +( )

2

A

G

H

B

I

L

CKJ

M

F

ED

2008

3. (Olimpíada Espanhola) ABCD é um quadrado de lado 1. E e F pontos sobre os lados DC e CB respectivamente,distintos dos vértices do quadrado e tais que: ∠ EAF = 45°. Então, o perímetro do triângulo CEF, é igual a:

a) 1 d)

b) e) 3

c) 2

4. (Olimpíada Regional Mexicana) Na figura, ABC é um triângulo eqüilátero de lado 3, e a reta PA é paralela a reta BC,sabendo que

—PQ—

= —QR—

= —RS—

, então o comprimento do segmento CS, é igual a

a)

b)

c)

d) 1e) 2

5. (Olimpíada Russa) Através de um ponto no interior de um triângulo, três retas paralelas aos lados do triângulosão traçadas. Elas dividem os lados em segmentos de comprimentos a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, comomostra-se na figura abaixo.

Nestas condições, assinale a alternativa correta:a) a1b1c1 = a2b2c2 = a3b3c3 d) a1b2c3 = a1b2c2 = a3b3c3b) a1b2c1 = a2b2c2 = a3b3c2 e) a2b1c3 = a2b2c2 = a3b3c3c) a2b1c1 = a1b2c2 = a3b3c2

6. (OBM) Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB são triângulos eqüiláteros. Se F e G são os

pontos médios de EA e AC, respectivamente, a razão é:

a)

b) 1

c)

d) 2e) Depende das medidas dos lados de ABC.

32

A

B C

D

EF

G

12

BDFG

a1

a2

a3

b1

b2

b3

c3 c2 c1

15

14 Q

P A

R

C SB

13

32

52



7. (OBM) Uma mesa de bilhar tem dimensões de 3 metros por 6 metros e tem caçapas nos seus quatro cantos P,Q, R e S. Quando uma bola bate na borda da mesa, sua trajetória forma um ângulo igual ao que a trajetória ante-rior formava.

Uma bola, inicialmente a 1 metro da caçapa P, é batida do lado SP em direção ao lado PQ, como mostra a figura.A quantos metros de P a bola acerta o lado PQ se a bola cai na caçapa S após duas batidas na borda da mesa?

a) 1 d)

b) e)

c)

8. (OBM) Na figura a seguir, o pentágono regular ABCDE e o triângulo EFG estão inscritos na circunferência C0, eM é ponto médio de BC.

Para qual valor de α, em graus, os triângulos EFG e HIG são semelhantes?a) 15 d) 45b) 30 e) 20c) 36

9. (Olimpíada Francesa) ABCD é um quadrado de lado l.

Dado que AE = x � l, CF = y � l, ∠ EDF = ∠ FDC e DE = a.

O valor de x + y em função de a é

a) d) 2a

b) e) 3a

c) a

10. (OBM) Na figura, ABC e DAE são triângulos isósceles (AB = AC = AD = DE), osângulos BÂC e AD̂ E medem 36° e BC = 2cm. Nestas condições podemos afir-mar que a medida, em graus, do ângulo ED̂C e, em cm, do segmento DC, sãorespectivamentea) 30 e 1b) 45 e 2c) 36 e 1d) 36 e 2e) 60 e 2

a2

a3

A B

D C

F

y

Ex

A

E

DC

F

B

G

C0

M

HI

α

34

35

67

23

S

R Q

P

2008

D

C

BEA

12. (Treinamento-OBMEP) A figura mostra um retângulo KGST e um triângulo KGR. Os ângulos KRT e RGS sãocongruentes.

Se TR = 6 e RS = 2, qual é a área de KGR?

a) 12 d)b) 16 e) 14

c)

13. Se P e um ponto interno a um triângulo e pertence aos segmentos AD, BE, CF conforme figura, então pode-mos afirmar que:

a) d)

b) e)

c)AF

FB

BD

DC

AE

EC⋅ ⋅ = 1

FB

AF

BD

DC

CE

EA⋅ ⋅ = 1

AF

FB

DC

BD

EA

EC⋅ ⋅ = 1

AF

FB

CD

BC

CE

EA⋅ ⋅ = 1

AF

FB

BD

DC

CE

EA⋅ ⋅ = 1

A

B CD

P

F E

8 2

8 3

T

K

S

G

R


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