Questões propostas:

1) Mostrar que ( R, triangulo) é um grupo abeliano, quando triângulo é definida por x

triangulo y = (x³+y³) raiz cúbica.

2) O grupo ({0,1,2,6 , + ) A={1,2,3} é subgrupo de (Z6 , +)

3) Seja F= { O,e,a,b } com as operações dadas pelos seguintes quadros. Mostrar que anel

Assumindo a associatividade e distributividade e F é um corpo.

4) Prove que R é isomorfo ao anel de todas as matrizes 2X2 da forma

,

onde a ∊ R.

5) Seja A anel comutativo com identidade (1A ≠ 0A) cujos os único ideais são (0A) e A.

Prove que, A é corpo.

6) Use o pequeno teorema de Fermat para determinar os últimos algarismos dos

números e escritos no sistema posicional com base .

Dizemos que o par (G, ∗) é um grupo se as seguintes condições são satisfeitas:

i. G e fechado para ∗

2.Ii.Existe um e ∈ G tal que e ∗ g = g ∗ e = g para todo g ∈ G

3. iii.g1 ∗ (g2 ∗ g3) = (g1 ∗ g2) ∗ g3 para quaisquer g1, g2 e g3

iv. Para todo g ∈ G existe g-¹∈ G tal que g ∗ g-¹ = e

Semigrupo : é um grupóide cuja operação interna é associativa. Portanto, é uma álgebra cuja

operação é fechada e associativa.

Seja ⊕ : A x A→A : um grupóide. Se ( A , ⊕) for associativa, então (A, ⊕ )é um semigrupo.Se,

adicionalmente, a operação for comutativa, então (A, ⊕ )é um Semigrupo Abeliano.

Um monóide é um semigrupo cuja operação possui elemento neutro. Portanto,

um semigrupo é, simultaneamente, fechado, associativo e possui elemento neutro.

Seja (A,⊕) um semigrupo. Se ⊕ : A x A→A possui elemento neutro, então (A,⊕, e) é um

monóide. Se, adicionalmente, a operação for comutativa, então (A ,⊕,e) é um Monóide

Abeliano .

Subgrupo

Seja G um grupo em relação a uma operação “*” (G , *) e cujo elemento seja um subconjunto

H de G . Se (H ,*) também é um grupo é dito um subgrupo de (G ,*).

i. o elemento identidade e ∈ H;

ii. H é fechado sob a operação de G, i.e.,a,b ∈ H então ab ∈ H;

iii. H é fechado sob inversos, isto é, se a ∈ H, então a-¹ ∈ H.

Sejam [G,⋅] e [H,∗] grupos. Uma função f : G → H é denominada um isomorfismo do grupo

[G,⋅] no grupo [H ,∗] quando para quaisquer x, y ∈ G f (x ⋅ y) = f (x) ∗ f ( y ) .

Sejam [G,⋅] e [H,∗] grupos. Uma função f : G → H é denominada um homomorfismo do

grupo [G,⋅] no grupo [H ,∗] quando para quaisquer x, y ∈ G f (x ⋅ y) = f (x) ∗ f ( y ) .

Define-se o conjunto Kerf ={ x ∈ G | f (x) = 1 H} denominado núcleo do homomorfismo f e o

conjunto Im f = { y ∈ H | existe x ∈ G, f (x) = y} denominado imagem do homomorfismo.

Um anel é uma estrutura algébrica (A;+; .) Com um conjunto não vazio A, com duas

operações + ( adição) . (multiplicação).

As duas operações binárias: (x, y) → x + y e (x, y) → x.y

Satisfazendo as seguintes propriedades: 1. A estrutura algébrica (A; +) é um grupo abeliano.

(a) √ a; b; c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c) (associativa) (b) √ a; b ∈ A, a + b = b + a (comutativa)(c)

Existe um elemento 0 ∈ A que é elemento neutro da operação +, ou seja, √ b ∈ A, b + 0 =0 b=b

(d) Para cada b ∈ A, existe um elemento simétrico aditivo (-b) ∈ A que é elemento oposto ou

inverso aditivo de b, ou seja, + (-b) = (-b) + b = 0

2. A operação . é associativa, isto é, √ a; b; c ∈ A ,(a . b) . c = a . (b . c)

3. A operação . é distributiva em relação à operação +, ou seja, √ a; b; c ∈ A, tem-se a . (b + c) =

(a . b) + (a .c).

Subanel

Seja (A;+;.) um anel e seja B um subconjunto não vazio de A. Dizemos que B é um sub-anel de

A se

1. B é fechado nas operações + e . de A, ou seja, √ a,b ∊ B; tem-se a + b ∊ B e a . b ∊ B

2. A estrutura algébrica (B;+; .), em que + e . São as restrições das operações de A ao

subconjunto B, é um anel

Anel ideal

Sejam A um anel e I⊂ A um sub-conjunto não vazio. Dizemos que I é um ideal do anel A, se:

1. I é um sub-anel de A; 2. (√ x,y) (x,y ∊ I x -y ∊ I) 3. (√ a,y) (a ∊ A e x ∊ I ax ∊ I)

Homomorfismo de anel

Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação(f : A → B) f de um anel A em um anel B é chamado

homomorfismo de A em B com as seguintes condições:

1. (√ x,y ) ( x,y ∈ A→f(x + y ) = f(x) + f (y) ) 2. (√ x,y ) ( x,y ∈ A → f(x y ) = f(x) .f (y) )

Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação(f : A →B) f de um anel A em um anel B é chamado

isomorfismo de A em B com as seguintes condições:

1. f é bijetora

2. f é homomorfismo de anéis , isto é: f(x+y) = f(x) + f(y) e f(xy) =f(x)f(y) , √x,y ∈ A.

Corpos

Um anel A comutativo com unidade,definindo o corpo se todo elemento não nulo de A

admite-se anti-simetrico multiplicativo. a ∊A ( a 0 → ∃ b ∊ A | ab =1 ) O B será inverso

de b = a-1

Pequeno teorema de Fermot

Revisão da operação e mod.: Algoritmo da divisão a= b*q+ r

A partir desse algoritmo podemos que definir :

Mod como sendo o resto dessa divisão

A mod b = r