Apostila de Matematica Discreta 1

Ps Graduao em Educao Matemtica UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA

Parte 1: Matemtica Combinatria, Binmio de Newton e Clculo de Probabilidades

Prof. Ilydio Pereira de S

Combinatria e Probabilidades para Educadores Matemticos Ilydio Pereira de S

2

NDICE

Introduo 3 1. Matemtica Combinatria Valsas de Mozart, AIDS, Mega Sena: O Princpio Multiplicativo e sua Importncia na Matemtica Combinatria e no Clculo de Probabilidades. 4 1.1 O Princpio Multiplicativo 8 1.2 Problemas Clssicos de Contagem: Permutaes, Arranjos e Combinaes 17 1.3 Exerccios Gerais Matemtica Combinatria 29 2. Binmio de Newton 32 3. Probabilidades 39 Introduo 39 3.1 Origem Histrica 40 3.2 Probabilidades Discretas Conceitos Bsicos 41 3.3 Trs Casos Interessantes: Coincidncia dos Aniversrios; O Problema de Monty Hall; Os Jogadores e a consulta Galileu. 45 3.4 Combinao de Eventos 49 3.5 Conceito de Probabilidade Generalizao 52 3.6 Na Sala de Aula: Probabilidade no Ensino Fundamental; Loterias e Probabilidades; No h um nico caminho correto; Probabilidade x Favorabilidade e Esperana Matemtica; Aplicaes na rea Biomdica: Gentica e Hereditariedade; Distribuio Binomial em Probabilidades; Probabilidade Geomtrica. 55 4. Exerccios Resolvidos sobre Probabilidades 74 5. Exerccios Gerais sobre Probabilidades Questes de Concursos 76 6. Ampliando Horizontes: Sugestes para Pesquisa e Aprofundamento 78 Anexo 81 Bibliografia 83

A teoria das probabilidades, no fundo, no mais do que o bom senso traduzido em clculo; permite calcular com exatido aquilo que as pessoas sentem por uma espcie de instinto... notvel que tal cincia, que comeou nos estudos sobre jogos de azar,

tenha alcanado os mais altos nveis do conhecimento humano. Pierre Simon Laplace (1749 - 1827)


3

Introduo:

Provavelmente todos ns, professores ou estudantes de Matemtica, em algum momento de nossa vida profissional ou de nossa formao j nos deparamos com problemas de Anlise Combinatria ou de Probabilidades que, mesmo com enunciados simples, tiveram solues complexas ou mesmo de difcil compreenso. Isso se reflete, muitas vezes, em insegurana para o ensino desses tpicos importantes da Matemtica Bsica.

Essa insegurana se refletir, quase sempre, na abordagem superficial do tema ou na apresentao do mesmo como um conjunto de casos isolados e descontextualizados, sem qualquer aplicao prtica importante.

Em nosso curso pretendemos abordar alguns princpios bsicos e que, muitas vezes, podem ser enfocados desde as sries iniciais do Ensino Fundamental, com o objetivo de apresentao de tcnicas organizadas para a soluo da maioria desses problemas e, principalmente, da sua aplicao nas mais diversas reas do conhecimento. So exemplos, situaes, tcnicas, metodologias que temos usado (e com excelente resultado) em mais de 30 anos como professor Regente em classes do Ensino Fundamental, Mdio e Superior.

Todos ns, Educadores Matemticos, sabemos que, apesar das lacunas que existem em nossa formao profissional, devemos sempre procurar relacionar o que ensinamos com as outras reas do conhecimento, possibilitando ao aluno resolver problemas de seu cotidiano, ao mesmo tempo em que retiramos o mofo que existe no ensino da matemtica e que fomenta o mito dominante de disciplina rida, para um seleto grupo de privilegiados e totalmente desplugada das outras disciplinas e do mundo em que vivemos.

A seguir, algumas recomendaes que esto no livro "Anlise Combinatria e Probabilidade" do Prof. Augusto Csar Morgado, publicao

IMPA/VITAE/1991)

No faa frmulas demais ou casos particulares demais. Isso obscurece as idias gerais e torna as coisas mais complicadas.

Aprenda e faa com que os alunos aprendam com os erros. importante, diante de uma soluo errada, analisar o motivo do erro.

Combinatria no difcil. Resista aos truques imediatos. Devemos procurar mtodos mais gerais e no truques especficos para determinados formatos de problemas.

Resista s enfadonhas listas de exerccios que ningum sabe resolver e que s fazem com que os alunos se desinteressem, cada vez mais pelo tema.

"Quem quer fazer algo encontra um meio; quem no quer fazer nada encontra uma desculpa".

Provrbio rabe.


4

1) Matemtica Combinatria

Nota inicial: Ao longo de nosso curso daremos algumas sugestes de carter didtico / metodolgico. Antes de uma dessas sugestes colocaremos sempre o smbolo , de modo a chamar a sua ateno sobre o que vem a seguir.

VALSAS DE MOZART, AIDS, MEGA SENA, ...O PRINCPIO MULTIPLICATIVO E SUA IMPORTNCIA NA MATEMTICA

COMBINATRIA E NO CLCULO DE PROBABILIDADES. (Uma adaptao do livro Analfabetismo em Matemtica e suas conseqncias,

de John Allen Paulos, por Ilydio Pereira de S)

A ttulo de introduo ao nosso curso vamos apresentar o importante conceito do princpio multiplicativo e suas diversas aplicaes nos mais diversos campos do conhecimento humano. O estudo desse tema, nas classes do Ensino Mdio, facilita e reduz consideravelmente o nmero de frmulas necessrias ao bom entendimento da Matemtica Combinatria e do clculo de Probabilidades. As primeiras noes de contagem, inseridas nesse tema, podem ser abordadas inclusive nas classes iniciais do Ensino Fundamental.

O PRINCPIO MULTIPLICATIVO

O chamado princpio multiplicativo enganosamente simples e muito importante. Segundo ele, se alguma escolha pode ser feita de M diferentes maneiras e alguma escolha subseqente pode ser feita de N diferentes maneiras, h M X N diferentes maneiras pelas quais essas escolhas podem ser feitas sucessivamente. Assim, se uma mulher tem cinco blusas e trs saias, ela tem 5 x 3 = 15 escolhas de traje, j que cada uma das cinco blusas (B1,B2,B3,B4,B5) pode ser usada com qualquer uma das trs saias (S1, S2, S3), produzindo os seguintes trajes (B1,S1; B1,S2; B1,S3; B2,S1; B2,S2; B2,S3; B3,S1; B3,S2; B3,S3; B4,S1; B4,S2; B4,S3; B5,S1; B5,S2; B5,S3). A partir de um cardpio de quatro aperitivos, sete entradas e trs sobremesas, um cliente pode compor 4 x 7 x 3 = 84 jantares diferentes, desde que pea os trs servios. Do mesmo modo, o nmero de resultados possveis quando se lana um par de dados 6 x 6 = 36; qualquer um dos seis nmeros do primeiro dado pode ser combinado com qualquer um dos seis nmeros do segundo dado. O nmero de resultados possveis quando o nmero do segundo dado difere do primeiro 6 x 5 = 30; qualquer um dos seis nmeros do primeiro dado pode ser combinado com os cinco nmeros restantes no segundo dado. O nmero de resultados possveis quando se lanam trs dados 6 x 6 x 6 = 216. O nmero de resultados quando os nmeros nos trs dados diferem 6 x 5x 4=120. Esse princpio tem valor inestimvel para o clculo de nmeros grandes, como a quantidade mxima de telefones, que poderiam ser instalados em uma cidade, ou o nmero de cartes distintos que uma pessoa poderia marcar, na Mega Sena, com o jogo mais barato possvel.

TELEFONES, PLACAS, FILAS E AS VALSAS DE MOZART

Vamos supor que em uma cidade cada nmero formado por 8 dgitos. Nesse caso, a quantidade mxima de telefones, com nmeros distintos, que poderiam ser instalados de

810 = 100 000 000 (se no houver qualquer restrio para as estaes, por exemplo) . De maneira semelhante, o nmero de possveis placas de automvel num pas onde cada placa formada por 3 letras e quatro algarismos 3 426 x10 (175 760 000 placas). Caso no


5

fossem permitidas repeties de letras ou de algarismos, o nmero de placas possveis seria 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78 624 000 placas. Quando os lderes de oito pases do Ocidente se renem para o importante evento de um encontro de cpula sendo fotografados em grupo , podem ser alinhados de 8x7x6x5x4x3x2xl = 40.320 diferentes maneiras. Por qu? Dessas 40.320 maneiras, em quantas o presidente Bush e o presidente Lula ficariam lado a lado? Para responder a isto, suponha que Bush e Lula sejam enfiados num grande saco. Essas sete entidades (os seis lderes restantes e o saco) podem ser alinhadas de 7x6x5x4x3x2x1 = 5 040 maneiras (invocando mais uma vez o princpio da multiplicao). Este nmero deve ser ento multiplicado por dois, pois, assim que Bush e Lula tiverem sido retirados do saco, teremos uma escolha quanto a qual dos dois lderes situados lado a lado deve ser inserido em primeiro lugar. H portanto 10.080 maneiras para os lderes se alinharem em que Bush e Lula ficariam lado a lado. Em conseqncia, se os lderes fossem aleatoriamente alinhados,

a probabilidade de esses dois ficarem prximos um do outro seria 10 080 1 25%40 320 4

= = .

Certa vez Mozart comps uma valsa em que especificou onze diferentes possibilidades para catorze dos dezesseis compassos e duas possibilidades para um dos outros compassos. Assim, h 2 x 1114 variaes na valsa, das quais apenas uma minscula frao j foi ouvida. As pessoas geralmente no avaliam o quanto os exemplos do tipo que estamos mostrando podem gerar nmeros to grandes de possibilidades. So inmeros os exemplos que podemos listar, em todas as reas, com aplicaes desse importante princpio fundamental da contagem (ou multiplicativo). Problemas como os que vimos at agora, sem necessidade de uso de qualquer frmula especial, sero estudados por ns, ao longo do curso de Matemtica Combinatria ou Anlise Combinatria, no captulo que chamaremos de ARRANJOS E PERMUTAES.

CASQUINHAS COM TRS BOLAS, MEGA SENA E AIDS

Uma famosa sorveteria anuncia 31 diferentes sabores de sorvete. O nmero possvel de casquinhas com trs bolas sem nenhuma repetio de sabor , portanto, 31 x 30 x 29 = 26.970; qualquer um dos 31 sabores pode vir em cima, qualquer um dos 30 restantes no meio, e qualquer um dos 29 remanescentes embaixo. Se no estamos interessados no modo como os sabores so dispostos na casquinha, mas simplesmente em quantas casquinhas com trs sabores h, dividimos 26.970 por 6, para chegarmos a 4.495 casquinhas. A razo por que dividimos por 6 que h 6 = 3 x 2 x l diferentes maneiras de dispor os sabores numa casquinha de, digamos, morango-baunilha-chocolate: MBC, MCB; BMC; BCM, CBM e CMB. Uma vez que o mesmo se aplica a cada casquinha com trs sabores, o nmero dessas casquinhas (31x30x29)/(3x2x1) = 4.495 casquinhas com 3 sabores, escolhidos dentre os 31 oferecidos (sem importar a ordem de colocao desses 3 sabores na casquinha).

Um exemplo menos engordativo fornecido pelas muitas loterias existentes em nosso pas. A mega-sena, por exemplo cujo jogo mnimo consiste na escolha de 6 dezenas, dentre as 60 disponveis. Caso a ordem de escolha dos nmeros fosse importante na escolha do apostador, teramos 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 jogos distintos, com seis dezenas. Mas como sabemos que a ordem de escolha desses nmeros no importante, temos que dividir esse resultado por 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720, j que qualquer uma das seqncias de seis nmeros pode ser decomposta em 720 outras apostas iguais. Teremos, portanto 50 063 860 possibilidades de escolha das 6 dezenas, dentre as 60 disponveis na Mega-sena. Verifique que uma pessoa que escolher apenas uma dessas apostas (6 dezenas) ter uma possibilidade em 50 063 860 de ser o ganhador do prmio.


6

Outro exemplo, e este de considervel importncia para jogadores de cartas, o nmero de mos no pquer de cinco cartas. H 52 x 5l x 50 x 49 x 48 maneiras possveis de receber cinco cartas se a ordem das cartas distribudas for relevante. Como no , dividimos o produto por (5x4x3x2xl) e verificamos que h 2.598.960 mos possveis. Uma vez que este nmero seja conhecido, vrias probabilidades teis podem ser calculadas. As chances de receber quatro ases, por exemplo, so de 48

2 598 960(cerca de uma em 50 mil), j que h

48 modos possveis de receber uma mo com quatro ases correspondendo s 48 cartas que poderiam ser a quinta carta nessa mo. Observe que a forma do nmero obtido a mesma nos 3 exemplos: (31x30x29) / (3x2x1) diferentes casquinhas com trs sabores; (60x59x58x57x56x55) /(6x5x4x3x2x1) maneiras de escolher seis nmeros entre os sessenta da mega-sena e (52x51x50x49x48) / (5x4x3x2x1) diferentes mos de pquer. Nmeros obtidos desta forma so chamados coeficientes combinatrios ou combinaes. Eles surgem quando estamos interessados no nmero de maneiras de escolher R elementos a partir de N elementos e no estamos interessados na ordem em que os R elementos so escolhidos. O princpio da multiplicao to importante no mbito da Matemtica Combinatria tal que, nos exemplos que vimos at agora, surgiram os trs casos de problemas clssicos de contagem: Arranjos, Permutaes e Combinaes e, mesmo antes de entrarmos em detalhes sobre o tema, j resolvemos diversos exemplos muito importantes.

PROBABILIDADES DE EVENTOS INDEPENDENTES

Um anlogo do princpio da multiplicao pode ser usado para calcular probabilidades. Se dois eventos so independentes no sentido de que o resultado de um no tem influncia no resultado do outro, a probabilidade de ambos ocorrerem calculada multiplicando-se as probabilidades dos eventos individuais. Por exemplo, a probabilidade de obter duas caras em dois arremessos de uma moeda 1 1 1

x =2 2 4

, j que entre as quatro possibilidades igualmente provveis coroa, coroa; coroa, cara; cara, coroa; cara, cara uma um par de caras. Pela mesma razo, a probabilidade de cinco lanamentos sucessivos de uma moeda resultarem em caras

51 12 32

=

, j que uma das 32 possibilidades igualmente provveis so cinco caras consecutivas.

De maneira similar, dada a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente no ter

nascido em julho 1112

, e como os aniversrios das pessoas so independentes, a

possibilidade de nenhuma de doze pessoas escolhidas aleatoriamente ter nascido em julho

121112

(0,352, ou 35,2%). A independncia dos eventos uma noo muito importante em probabilidade, e quando vigora, o princpio da multiplicao simplifica consideravelmente nossos clculos. Um dos primeiros problemas de probabilidade foi sugerido ao matemtico e filsofo francs Pascal pelo jogador Antoine Gombeaud, Chevalier de Mre. De Mre queria saber qual evento era mais provvel: obter pelo menos um 6 em 4 lances de um nico dado, ou obter pelo menos um 12 em 24 lances de um par de dados. O princpio da multiplicao suficiente para determinar a resposta, se nos lembrarmos de que a possibilidade de um evento no ocorrer igual a l menos a probabilidade de ocorrer (uma chance de 20% de chover implica uma chance de 80% de no chover).


7

Como 56

a probabilidade de no sair um 6 num nico lance de um dado, 45

6

a

probabilidade de no sair um 6 em seis lances do dado. Portanto, subtraindo esse nmero de l teremos a probabilidade de este ltimo evento (nenhum 6) no ocorrer; em outras palavras, de sair pelo menos um 6 nas quatro tentativas: l -

456

= 0,52. Da mesma

maneira, verifica-se que a probabilidade de se obter pelo menos um 12 em 24 lances de um

par de dados l - 2435

36

= 0,49 o que nos mostra que o primeiro evento tem maior

probabilidade de ocorrer. De acordo com os estudiosos da histria da matemtica, o estudo da matemtica combinatria e do clculo das probabilidades teve o seu incio nas consultas que os nobres aficionados dos jogos de azar faziam aos ilustres matemticos da poca.

Um exemplo mais contemporneo do mesmo tipo de clculo envolve a probabilidade de adquirir AIDS heterossexualmente. Estima-se que a chance de contrair AIDS num nico episdio heterossexual desprotegido com um parceiro sabidamente portador da doena de cerca de uma em quinhentas (a mdia dos nmeros de uma srie de estudos). Assim, a probabilidade de no a contrair em um nico encontro como este 499

500. Se esses riscos

so independentes, como muitos supem que sejam, ento as chances de no ser vitimado aps dois desses encontros

2499500

, e depois de N desses encontros, N499

500

. Uma vez

que 365499

500

0,48, tem-se cerca de 48% de chance de no contrair Aids tendo relaes

sexuais inseguras todos os dias de um ano inteiro com algum que tem a doena (e portanto, equivalentemente, 52% de chance de contra-la). Vejamos agora um exemplo um tantinho deprimente e que pode nos dar uma certa preocupao. A probabilidade de voc no ser morto num acidente de carro pode ser de 99%. Sua chance de escapar da loucura pode ser de 90%, de uma doena de pulmo, de 95%, de no contrair algum tipo de cncer, de 80% de no ser acometido de doena do corao, de 75%....legal, no? claro que os nmeros que estamos apresentando tm carter meramente ilustrativos, mas poderamos ter trabalhado com pesquisas acuradas que os fatos seriam semelhantes. O desanimador nesse caso que, se considerarmos todos esses fatos como independentes e aplicarmos o princpio multiplicativo, teremos que, embora sejam pequenas as chances isoladas de ocorrncia dos fatos desastrosos descritos acima, a probabilidade de escaparmos de todos eles (isto , de voc no sofrer nenhum dos infortnios acima), aplicando-se o produto das probabilidades acima, ser menor do que 50%, infelizmente.

Atravs dos diversos exemplos que apresentamos, pudemos perceber a aplicabilidade e simplicidade do princpio fundamental da contagem (multiplicativo), no terreno da Matemtica Combinatria. Vimos ainda que sem mesmo sem usar qualquer tipo de frmulas, podemos resolver a maioria desses problemas e isso pode ser um passo fundamental para o estudo e o entendimento dos problemas que se apresentam nessa importante parte da Matemtica Bsica.


8

Esses so para voc resolver...

1) Num programa de rdio transmitido diariamente, uma emissora toca sempre as mesmas dez msicas, mas nunca na mesma ordem. Quanto tempo (aproximadamente) ser necessrio para se esgotar todas as seqncias possveis dessas msicas?

2) (UNIFICADO) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 pases, as tampinhas de Coca-Cola traziam sempre palpites sobre os pases que se classificariam nos trs primeiros lugares (por exemplo: 1 lugar, Brasil; 2 lugar, Nigria; 3 lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os trs pases so distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

1.1) O princpio fundamental da Contagem (ou multiplicativo)

A palavra Matemtica, para um adulto ou uma criana, est diretamente relacionada com atividades e tcnicas para contagem do nmero de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades matemticas que vivenciamos envolvem sempre a ao de contar objetos de um conjunto, enumerando seus elementos.

As operaes de adio e multiplicao so exemplos de tcnicas matemticas utilizadas tambm para a determinao de uma quantidade. A primeira (adio) rene ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda (multiplicao) normalmente aprendida como uma forma eficaz de substituir adio de parcelas iguais.

A multiplicao tambm a base de um raciocnio muito importante em Matemtica, chamado princpio multiplicativo. O princpio multiplicativo constitui a ferramenta bsica para resolver problemas de contagem sem que seja necessrio enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos).

Os problemas de contagem fazem parte da chamada anlise combinatria. Inicialmente vamos mostrar algumas atividades que poderiam ser trabalhadas at nas classes iniciais do Ensino Fundamental.


9

EXEMPLO 1: Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usar, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

Soluo:

O princpio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, tambm pode ser enunciado da seguinte forma:

Se uma deciso d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outra deciso d2 puder ser tomada de m maneiras, o nmero total de maneiras de tornarmos as decises d1 e d2 ser n m.

No exemplo anterior havia duas decises a serem tomadas: d1: escolher uma dentre as 3 blusas d2: escolher uma dentre as 2 saias Assim, Maria dispe de 3 2 = 6 maneiras de tomar as decises d1 e d2, ou seja, 6 possibilidades diferentes de se vestir.

EXEMPLO 2: Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada, salsicho), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, Romeu e Julieta, frutas). De quantas maneiras diferentes um fregus pode se servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa? Soluo:

Esse e outros problemas da anlise combinatria podem ser representados pela conhecida rvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamos por uma rvore o problema do cardpio do restaurante.

Observe que nesse problema temos trs nveis de deciso: d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes. d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada. d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.

Usando o princpio multiplicativo, conclumos que temos 4 2 3 = 24 maneiras de tomarmos as trs decises, ou seja, 24 opes de cardpio.


10

As tcnicas da anlise combinatria, como o princpio multiplicativo, nos fornecem solues gerais para atacar certos tipos de problema. No entanto, esses problemas exigem engenhosidade, criatividade e uma plena compreenso da situao descrita. Portanto, preciso estudar bem o problema, as condies dadas e as possibilidades envolvidas, ou seja, ter perfeita conscincia dos dados e da resoluo que se busca.

EXEMPLO 3: Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preos diferentes, sendo mais baratas as opes que inclussem frango ou salsicho com salada verde, de quantas maneiras voc poderia se alimentar pagando menos?

Soluo:

Note que agora temos uma condio sobre as decises d1 e d2: d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsicho). d2: escolher salada verde (apenas uma opo). d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.

Ento h 2 1 3 = 6 maneiras de montar cardpios econmicos. (Verifique os cardpios mais econmicos na rvore de possibilidades do exemplo anterior).

EXEMPLO 4: Quantos nmeros naturais de 3 algarismos distintos existem? Soluo: Um nmero de 3 algarismos c d u formado por 3 ordens: Como o algarismo da ordem das centenas no pode ser zero, temos ento trs decises:

d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opes). d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que j foi escolhido para ocupar a centena (9 opes). d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que j foram utilizados (8 opes).

Portanto, o total de nmeros formados ser 9 9 8 = 648 nmeros.

EXEMPLO 5: De acordo com o exemplo anterior, se desejssemos contar dentre os 648 nmeros de 3 algarismos distintos apenas os que so pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8), como deveramos proceder?

Soluo:

O algarismo das unidades pode ser escolhido de 5 modos (0, 2, 4, 6 e 8). Se o zero foi usado como ltimo algarismo, o primeiro pode ser escolhido de 9 modos (no podemos usar o algarismo j empregado na ltima casa). Se o zero no foi usado como ltimo algarismo, o primeiro s pode ser escolhido de 8 modos (no podemos usar o zero, nem o algarismo j empregado na ltima casa).

Para vencer este impasse, temos trs alternativas:

a) Decompor o problema em casos (que alternativa mais natural). Contar separadamente os nmeros que tm zero como ltimo algarismo (unidade = 0) e aqueles cujo ltimo algarismo diferente de zero (unidade 0).

Terminando em zero temos 1 modo de escolher o ltimo algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezena), num total de 1 9 8 = 72 nmeros.


11

Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 modos de escolher o ltimo algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o primeiro algarismo (no podemos usar o zero, nem o algarismo j usado na ltima casa) e 8 modos de escolher o algarismo do meio (no podemos usar os dois algarismos j empregados nas casas extremas). Logo, temos 4 8 8 = 256 nmeros terminados em um algarismo diferente de zero. A resposta , portanto, 72 + 256 = 328 nmeros.

b) Ignorar uma das restries (que uma alternativa mais sofisticada).

Ignorando o fato de zero no poder ocupar a centena, teramos 5 modos de escolher o ltimo algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio, num total 5 8 9 = 360 nmeros. Esses 360 nmeros incluem nmeros comeados por zero, que devem ser descontados. Comeando em zero temos 1 modo de escolher o primeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o ltimo (2, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o do meio (no podemos usar os dois algarismos j empregados nas casas extremas), num total de 1 4 8 = 32 nmeros.

A resposta , portanto, 360 - 32 = 328 nmeros.

c) Claro que tambm poderamos ter resolvido o problema determinando todos os nmeros de 3 algarismos distintos (9 9 8 = 648 nmeros), como o caso do Exemplo 4, e abatendo os nmeros mpares de 3 algarismos distintos (5 na ltima casa, 8 na primeira e 8 na segunda), num total de 5 8 8 = 320 nmeros.

Assim, a resposta seria 648 - 320 = 328 nmeros.

EXEMPLO 6: As placas de automveis eram todas formadas por 2 letras (inclusive K, Y e W) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros esto sendo todas trocadas e passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cada tipo podemos formar? Soluo:

No primeiro caso: Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta : 26 26 10 10 10 10 = 6 760 000

No segundo caso 26 26 26 10 10 10 10 = 26 6 760 000 = = 175 760 000

A nova forma de identificao de automveis possibilita uma variedade 26 vezes maior. A diferena de 169.000.000, ou seja, 169 milhes de placas diferentes a mais do que anteriormente.

EXEMPLO 7: Quantos so os tringulos que podem ser construdos a partir de 10 pontos marcados sobre uma circunferncia?

C B

A Soluo: Verifique que esta questo tem uma diferena bsica com relao s anteriores. Neste caso, a ordem de disposio dos elementos de cada coleo no importa ao problema, isto , o tringulo ABC o mesmo do tringulo ACB, por exemplo. Na introduo de nosso estudo, no texto sobre o princpio multiplicativo, j vimos como proceder numa situao dessas, como no caso das casquinhas de sorvete, ou da mega-sena, por exemplo.

A quantidade de tringulos ser dada por: 1201 2. . 38 . 9 . 10

=


12

EXEMPLO 8: Quantos so os segmentos de reta que podemos formar a partir de 8 pontos distintos, coplanares.

Soluo: Cada segmento formado, AB, por exemplo, gera um outro (BA) igual a ele. Logo, este exemplo semelhante ao anterior e a sua soluo ser:

Quantidade de segmentos: 281 2.7 . 8

=

Convm comentar ainda que, se fossem segmentos de reta orientados, a quantidade seria obtida pelo produto 8 . 7 = 56, j que ao mudar a ordem dos elementos AB, BA, obteramos segmentos orientados diferentes.

EXEMPLO 9: Quantos divisores naturais possui o nmero 72?

Soluo: Essa uma importante questo que voc pode (e deve) trabalhar com seus alunos do Ensino Fundamental. muito comum, principalmente nos cursinhos que preparam os alunos para Concursos de ingresso em Escolas Pblicas (como Colgio Militar, CAP da UERJ, Pedro II, etc), os alunos serem treinados para decorar uma regrinha prtica para esse tipo de questo. O que ocorre que normalmente a justificativa do processo (que atravs do princpio multiplicativo) no mostrada aos alunos. Vejamos o que ocorre nesses casos:

Primeiramente vamos decompor o nmero 72 em fatores primos naturais. 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3

1

Logo, todo divisor de 72 ser um nmero da forma x y2 x 3 , sendo que x e y devem ser nmeros naturais, com as seguintes condies: x = 0 ou x = 1 ou x = 2 ou x = 3 (concorda?); y = 0 ou y = 1 ou y = 2. Portanto temos 4 possibilidades para o expoente x e 3 possibilidades para o expoente y e, aplicando o princpio multiplicativo, teremos: 4 x 3 = 12 divisores naturais para o nmero 72.

O que voc encontra em alguns livros didticos ou apostilas de cursinhos preparatrios? Encontra uma regrinha do tipo: Para obtermos a quantidade de divisores de um nmero natural qualquer, devemos fazer a sua decomposio em fatores primos, somar uma unidade a cada expoente obtido e depois multiplicar os resultados obtidos. Acredite, se puder !

Sugerimos que, nas classes de ensino mdio, comecemos o estudo de anlise combinatria pelo princpio acima apresentado. Aps o perfeito domnio de suas aplicaes que o professor deveria estudar os distintos tipos de agrupamentos existentes (arranjos, combinaes e permutaes), se achar necessrio.

Pela decomposio, temos que:

3 272 = 2 x 3


13

Exerccio 1. Numa sala h 5 homens e 5 mulheres. De quantos modos possvel selecionar um casal homem-mulher?

Exerccio 2. a) Quantos nmeros naturais de 2 algarismos distintos existem? b) Quantos destes nmeros so divisveis por 5?

Exerccio 3. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?

Exerccio 4. Quantos so os gabaritos possveis para um teste de 10 questes de mltipla escolha, com 5 alternativas por questo?

Exerccio: 5. Em um grupo existem 7 pessoas, entre elas Roberto e Ana. Quantas so as filas que podem ser formadas, de modo que Roberto seja sempre o primeiro e Ana seja sempre a ltima de cada fila?

Exerccio 6: O segredo de um cofre formado por uma seqncia de 4 nmeros distintos de 2 dgitos (de 00 a 99). Uma pessoa decide tentar abrir o cofre sem saber a formao do segredo (por exemplo: 15 - 26 - 00 - 52). Se essa pessoa levar 1 segundo para experimentar cada combinao possvel, trabalhando ininterruptamente e anotando cada tentativa j feita para no repeti-la, qual ser o tempo mximo que poder levar para abrir o cofre?

Exerccio 7: a) Quantas so as placas de automvel que podem ser formadas no atual sistema de

emplacamento Brasileiro? b) O Sr.Jos Carlos Medeiros gostaria de que a placa de seu automvel tivesse as iniciais do seu

nome (na ordem correta do nome). Quantas placas existem nestas condies?

Exerccio 8: Uma bandeira formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e no podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

Exerccio 9: Quantos divisores inteiros e positivos possui o nmero 360? Quantos desses divisores so pares? Quantos so mpares? Quantos so quadrados perfeitos?

Exerccio 10: Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?

Exerccio 11: Um conjunto tem 8 elementos. Quantos subconjuntos com 6 elementos, no mnimo, ele possui?

"Onde quer que haja mulheres e homens, h sempre o que fazer, h sempre o que ensinar, h sempre o que aprender".

(Paulo Freire)

EXERCCIOS PROPOSTOS


14

Exerccio 12: De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 88, de modo que no haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna?

Exerccio 13: Uma turma tem 30 alunos. Quantas comisses de 6 alunos podem ser formadas com os alunos dessa turma?

Exerccio 14: O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos. Quantas funes f : A B existem? Quantas delas so injetoras?

Exerccio 15: Quantos so os anagramas da palavra PRATO, que comeam por uma consoante?

Exerccio 16: Formando-se todos os nmeros possveis, de 5 algarismos, permutando-se os dgitos 1, 2, 3, 4, 5 e escrevendo-os em ordem crescente, responda:

a) Qual ser a posio ocupada pelo nmero 43 251? b) Qual ser o valor da soma de todos esses nmeros formados?

Exerccio 17: Quantas siglas, de 3 letras distintas, podem ser formadas a partir da escolha dentre as letras: A, B, C, D, E, F?

Exerccio 18: So dados oito pontos, dos quais cinco esto em linha reta. Quantas retas ficam definidas por esses 8 pontos?

Exerccio 19: Um importante poliedro, criado por Arquimedes, constitudo por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Quantas diagonais possui esse poliedro?

Exerccio 20: Num acidente automobilstico, aps se ouvirem vrias testemunhas, concluiu-se que o motorista culpado pelo acidente dirigia o veculo cuja placa era constituda de trs vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era, com certeza o dgito 2. Qual a quantidade de veculos suspeitos?

Exerccio 21: Um mgico se apresenta em pblico vestindo cala e palet de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sesses com conjuntos diferentes, determine a quantidade mnima de peas que ele dever possuir (nmero de palets mais o nmero de calas).

Exerccio 22: Usando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, determinar a quantidade de nmeros de 4 algarismos, que podem ser formados com eles, de forma que ao menos dois algarismos sejam iguais.

"A rvore quando est sendo cortada, observa com tristeza que o cabo do machado de madeira."


15

(Provrbio rabe) DESAFIE O SEU RACIOCNIO...

1) PROVO MEC 1999 A unidade de informao nos computadores digitais o bit (abreviatura de binary digit, ou seja, dgito binrio), que pode estar em dois estados, identificados com os dgitos 0 e 1. Usando uma seqncia de bits, podem ser criados cdigos capazes de representar nmeros, caracteres, figuras, etc. O chamado cdigo ASCII, por exemplo, utiliza uma seqncia de 7 bits para armazenar smbolos usados na escrita (letras, sinais de pontuao, algarismos, etc). Com estes 7 bits, quantos smbolos diferentes o cdigo ASCII pode representar? (A) 7! (B) 7 (C) 14 (D) 49 (E) 128

2) PROVO MEC 1998 Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que no haja algarismos repetidos em posies consecutivas assim, a senha 0120 vlida, mas 2114 no ). O nmero de senhas vlidas : (A) 10.000 (B) 9.000 (C) 7.361 (D) 7.290 (E) 8.100

A nomenclatura da CPI entrando na vida dos Brasileiros que no possuem mensalo

(Nem sempre as coisas funcionam como planejamos...)

Um professor de cincias queria ensinar aos seus alunos de ensino fundamental os males causados pelas bebidas alcolicas e elaborou uma experincia. Para tanto, utilizou um copo com gua, outro com usque e dois vermes.

- Agora alunos, ateno. Observem os vermes - disse o professor, colocando um deles dentro da gua.

A criatura nadou agilmente no copo, como se estivesse feliz e brincando. Depois, o mestre colocou o outro verme no segundo copo, contendo usque. O bicho se contorceu todo por alguns momentos, desesperadamente, como se estivesse louco para sair do lquido, e depois afundou j inerte, como uma pedra, absolutamente morto.

Satisfeito com os resultados, o professor perguntou aos alunos:

- E ento, que lio podemos aprender desta experincia?

O pequeno Joozinho levantou a mo, pedindo para falar, e sabiamente respondeu:

- Beba muito usque e voc nunca ter vermes.


16

GABARITO PARTE 1 PRINCPIO MULTIPLICATIVO 01) 25 Modos 12) 8! = 40 320 02) A) 81 Nmeros B) 17 Nmeros 13) 593 775 comisses

03) 15 600 palavras 14) a) 74 = 2401 funes

b) 840 funes injetivas 04) 9 765 625 gabaritos 15) 72 anagramas 05) 120 filas 16)a) 89 posio b) 3999960 06) 94 109 400 s 3 anos 17) 120 siglas 07) 10 000 placas 18) 19 retas 08) 192 modos 219) 1440 diagonais 09) a) 24 divisores b) 18 divisores pares c) 4 divisores quadrados

20) 30 240 suspeitos

10) 2n subconjuntos 21) 10 peas 11) 37 subconjuntos 22) 505 nmeros

PROVO 1: E PROVO 2: D

Sabe Quem Sou Eu?

Dia de prova na faculdade. Todos os alunos tensos. Entra na sala aquele professor carrasco de quem todos tm medo e diz: O horrio de entrega das provas dez em ponto. Ouviram? Dez horas em ponto! Se algum me entregar a prova s dez e um, eu no vou aceitar. E ento se inicia a prova. Muitos alunos acabam rpido, outros demoram mas conseguem entregar at as dez horas. Apenas um aluno continua fazendo o exame. Quando o professor est se preparando para ir embora, o aluno levanta e vai entregar a prova: T aqui, professor! Agora eu no vou aceitar mais! Como no? Eu deixei bem claro que s aceitaria provas at as dez horas. Professor... O senhor sabe com quem est falando? No, no sei... Ento o aluno pega a pilha de provas, coloca a sua no meio, e diz: Ento descobre...


17

1.2) PROBLEMAS CLSSICOS DE CONTAGEM

A) PERMUTAES

Dados n objetos distintos: a1, a2, a3, .... an, cada ordenao obtida a partir desses n objetos denominada de uma permutao simples (porque todos so distintos) desses elementos. Assim, como vimos anteriormente nos problemas de filas ou de anagramas, por exemplo, temos n modos de escolha para o primeiro lugar, n 1 modos de escolha para o segundo lugar, ......1 modo de escolha para o ltimo lugar, ou seja: O nmero de modos de ordenar n objetos distintos igual a n!. Podemos representar o nmero de permutaes simples de n objetos distintos por P

n. Logo, temos que:

Pn = n!

Exemplos:

1) Quantos so os anagramas da palavra FLAMENGO: a) Sem quaisquer restries? - teremos neste caso que determinar o nmero de

permutaes simples das 8 letras distintas dessa palavra, ou seja: P8 = 8! = 40320 anagramas.

b) Que comecem por uma vogal e terminem por uma consoante? teremos nesse caso 3 opes de escolha para a primeira letra da palavra, 5 opes de escolha para a ltima letra e P6 = 6! = 720 para as demais posies. Logo, aplicando o princpio fundamental da contagem, teremos um total de 3 . 5. 720 = 10 800 anagramas.

c) Que tenham sempre juntas as letras A M, em qualquer ordem? Nesse caso, essas duas letras devem ser consideradas como se fossem uma nica, acarretando a permutao de 7 elementos as duas juntas e as 6 letras restantes, ou seja 7! = 5040 anagramas. Mas como a ordem no foi dbefinida, elas podero tambm permutar entre si, gerando 2! = 2 variaes. Logo, aplicando novamente o princpio fundamental da contagem, teremos um total de 50 040 x 2 = 10 080 anagramas.

2) Roberta, Andr e Bernardo fazem parte de um grupo de 7 amigos. Obtenha o nmero de filas que podemos formar com esses 7 amigos, de modo que:

a) Roberta, Andr e Bernardo estejam sempre juntos? Agora, de forma anloga ao que vimos no exemplo anterior, basta que consideremos esses trs amigos como se ocupassem uma nica posio na fila, teremos assim a permutao de 5 elementos os trs juntos e os 4 restantes, ou seja 5! = 120 filas. Em seguida, como a ordem deles no foi definida, multiplicamos o resultado obtido por 3! = 6, que representa as possveis variaes de posio entre eles. Logo, teremos um total de 120 . 6 = 720 filas nas condies do problema.

b) Roberta, Andr e Bernardo nunca estejam (os trs) juntos na fila? Agora basta determinarmos o totas de filas possveis e subtrair o resultado obtido na pergunta anterior (Por que?), teremos ento 7! 720 = 4320 anagramas.

3) De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianas?

Devemos tomar um certo cuidado com esse tipo de problema, pois o resultado no igual a 5! = 120 rodas, como poderamos pensar apressadamente. Verifique que a roda ABCDE, por exemplo, tem a mesma configurao que a roda EABCD, j que o que importa agora a posio relativa das crianas entre si. Dessa forma cada roda pode ser virada de 5 modos


18

que repetem a mesma configurao. Assim, o nmero de rodas distintas que podemos obter ser igual a 120 : 5 = 24 rodas.

O exemplo acima o que definimos como sendo permutaes circulares de n elementos. Se repetirmos o mesmo raciocnio que usamos no exemplo anterior, teremos que as permutaes circulares de n elementos distintos sero iguais a:

PCn = n ! = (n 1) !

n

4) Quantos so os anagramas da palavra AMORA?

Esse outro caso que demanda um certo cuidado. A resposta seria 5! = 120 anagramas, caso todas as letras fossem distintas. Como temos duas letras A, claro que uma permutao entre essas duas letras no geraria anagramas novos. Assim sendo cada anagrama foi contado 2! = 2 vezes (que so as letras repetidas). Logo, o nmero correto de anagramas 120 : 2 = 60 anagramas. Problemas como esse o que denominamos de Permutaes com alguns elementos repetidos. No caso da palavra amora, indicaramos por:

P5 = 5! = 60 anagramas. 2!

Analogamente, podemos generalizar para Pn = n ! .

!.!... , , ... representam a quantidade de repeties de cada um dos elementos

repetidos.

5) Quantos so os anagramas da palavra POROROCA?

Temos uma aplicao direta da frmula anterior, ou seja:

P8 = 8! = 3 360 anagramas. (o 3 indica as letras O e o 2 indica as letras R). 3! . 2!

6) Essa para voc resolver. Quantos so os anagramas da palavra URUGUAI que comeam por vogal?

7) A figura abaixo representa uma seqncia de 6 smbolos.

+ + + ^ ^ ^ Quantas so as possveis seqncias distintas que podemos formar com esses smbolos? Perceba agora que estamos diante de permutaes com alguns elementos repetidos, no caso, temos:

P6 = 6! = 20 seqncias 3!.3!

8) Quantas solues inteiras, no negativas, possui a equao x + y + z = 5?

2

, , ...

3, 2

3, 3


19

Aparentemente, esta questo no tem nada a ver com as nossas permutaes. Mostraremos que esse tipo de problema pode recair exatamente numa situao grfica, como vimos no exemplo anterior, de permutaes com elementos repetidos. Vamos imaginar que temos 5 unidades (representaremos cada unidade por *) que sero repartidas por trs variveis. Usaremos traos para separar as variveis. claro que, como so trs variveis, precisaremos de dois traos para esta separao. Vejamos uma possvel soluo.

x y z * * * * *

x y z * * * * *

As representaes grficas acima indicam duas das possveis solues, a primeira indica a soluo x = 1, y = 2 e z = 2 e a segunda indica a soluo x = 0, y = 1 e z = 4. Podemos finalmente concluir que qualquer soLuo da equao dada, definida por inteiros no negativos estar associada a uma das configuraes dos 7 smbolos (cinco * e dois |). Logo, a quantidade de solues inteiras e no negativas procurada ser dada pelo clculo de:

P7 = 7! = 21 5!.2!

Logo a equao x + y + z = 5 possui 21 solues formadas por nmeros inteiros e no negativos.

Podemos, usando raciocnio similar, generalizar o resultado obtido para uma equao do tipo:

x1 + x2 + x3 + ......+ xn = k

O nmero de solues inteiras e no negativas dessa equao ser dado por:

Pn - 1+ k

Ou seja, recai num caso de clculo de permutaes com alguns elementos repetidos.

O resultado que acabamos de obter ser muito importante para o estudo das Combinaes Completas que ser mostrado em outra parte de nosso estudo.

9) Quantas solues, em inteiros no negativos, possui a equao:

x1 + x2 + x3 + ......+ x7 = 4

Pelo que vimos anteriormente, a resposta a essa questo ser dada pelo clculo de:

P10 = 10! = 210 solues. 6!.4!

5, 2

n - 1, k

6, 4


20

10) Pense nessa !

Quantas so as solues inteiras e no negativas da inequao x + y + z < 4?

11) O SAPO E O PERNILONGO VESTIBULAR PUC RGS.

Um sapo e um pernilongo encontram-se respectivamente na origem e no ponto (8, 2) de um sistema cartesiano ortogonal. Se o sapo s pudesse saltar nos sentidos positivos dos eixos cartesianos e cobrisse uma unidade de comprimento em cada salto, o nmero de trajetrias possveis para o sapo alcanar o pernilongo seria igual a:

a) 35 b) 45 c) 70 d) 125 e) 256

Soluo:

Considere a figura a seguir, onde est representada uma das trajetrias possveis, onde S = sapo e P = pernilongo.

O enunciado diz que o sapo s pode se mover nos sentidos positivos dos eixos cartesianos, ou seja, para a direita ou para cima.

Convencionando que um deslocamento para a direita seja indicado por D e um deslocamento para cima seja indicado por C, o deslocamento indicado na figura seria representado por DCDDDCDDDD. Outros deslocamentos possveis seriam, por exemplo: DDDDDDDDCC DDCCDDDDDD CDDDDDDDDC ...

Para entender isto, basta observar a figura dada. Observe que para o sapo alcanar o pernilongo segundo as regras ditadas, teremos sempre 8 deslocamentos para a direita (D) e 2 para cima (C). Logo, estamos diante de um caso de permutaes com repetio de 10 elementos, com 8 repeties (D) e duas repeties (C).

Teremos ento: P10 = 10! = 45 8!.2!

Portanto, so 45 trajetrias possveis, ou seja, alternativa B.

8,2


21

B) ARRANJOS SIMPLES Dados n objetos distintos: a1, a2, a3, .... an, cada ordenao de p objetos (p


22

simples), se for multiplicado por 4!, passar a dar como resultado o segundo caso (permutaes simples). Logo, podemos inferir que (A

n,p ). (n p)! = Pn.

Ou seja:

A n,p = n! .

(n p)!

Exemplo 3: Dez cavalos disputam um preo no Jockei Clube. Quantos so os possveis trios para as trs primeiras colocaes nesta corrida?

Soluo:

Trata-se de um caso de arranjos simples, de 10 elementos, na taxa 3, ou arranjos de 10, 3 a 3. Pelo que mostramos anteriormente, teremos:

A 10,3 = 10! = 10.9.8 = 720 possveis trios de resultados. 7!

EXERCCIOS:

1) Ser que no nmero de arranjos simples de n elementos distintos, na taxa n, igual ao nmero de permutaes simples, desses mesmos n elementos? Justifique a sua resposta.

2) De um total de 11 romances e 3 dicionrios devem-se tirar 4 romances e 1 dicionrio que sero arrumados numa prateleira de tal modo que o dicionrio fique sempre no meio. De quantos modos isso poder ser feito?

3) 1 mulher e 5 homens devem sentar-se num banco que possui 5 lugares. De quantas formas isso poder ser feito se a mulher deve sempre estar sentada em algum lugar?

4) Quantos nmeros distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?

5) Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre marcado por uma seqncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas dever fazer(no mximo) para conseguir abri-lo?

6) Dez pessoas, entre elas Jos, esto reunidas para escolher a diretoria de um clube, formada por um presidente, um vice-presidente, um secretrio e um tesoureiro. Em quantas das diretorias que podem ser formadas Jos no o presidente?

7) Quantas funes injetoras podem ser definidas do conjunto E = {a, b, c, d, e} no conjunto F = { 1, 2, 3, 4, 8, 12, 24, 36}?

GABARITO

1) Sim, pois A n,n

= n! = n ! 0! 2) 23 760 modos

3) 600 modos

4) 4 536 nmeros

5) 720 tentativas

6) 4 536 diretorias

7) A 8,5 = 6 720 funes injetoras


23

C) ARRANJOS COM REPETIO Seja C um conjunto com n elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada (repetidos ou no). Cada uma de tais escolhas denominada um arranjo com repetio de n elementos tomados p a p.

Acontece que existem n possibilidades para a colocao de cada elemento, logo, de acordo com o princpio multiplicativo, o nmero total de arranjos com repetio de n elementos escolhidos p a p dado por np.(n.n.n.n.....p fatores). Indicamos isto por:

AR n, p = n

p

Exemplos:

a) Quantas so as siglas de trs letras, escolhidas a partir das letras: A, B, C, D, E, F?

Como dispomos de 6 letras, para escolher 3, teremos AR 6, 3 = 6

3 = 216 siglas.

b) De quantas maneiras diferentes podemos responder a uma prova de mltipla-escolha, com 20 questes de 5 opes cada uma?

Como temos 5 opes de escolha, para cada uma das 20 questes, teremos neste caso AR

5, 20 = 520

c) Quantas so as formas distintas de se preencher um volante da loteria esportiva, somente com palpites simples, sabendo-se que so 13 jogos e 3 opes de escolha para cada um?

Agora temos 3 opes de escolha, para cada um dos 13 jogos, logo AR 3, 13 = 3

13

d) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabticos ou numricos, sendo o primeiro necessariamente alfabtico. Qual o nmero de senhas possveis?

Como o primeiro caractere da senha obrigatoriamente uma letra, teremos 26 opes de escolha. Para cada um dos trs seguintes, teremos 36 opes de escolha (26 letras + 10 algarismos), Logo, a resposta : 26 x AR

36, 3 = 26 x 36 3

e) Dispondo-se de trs cores, de quantos modos diferentes poderemos pintar as 5 casas de uma rua, dispostas em fila, sendo que cada uma delas estar pintada com apenas uma cor?

Nesse caso, como temos 5 casas e trs opes de escolha da cor da tinta, teremos um resultado igual a AR

3, 5 = 3 5

= 243 maneiras.

Mas claro que voc pode, e deve, resolver essas questes pelo princpio fundamental da contagem...muito mais simples e no precisa ficar

decorando frmulas desnecessrias.


24

D) COMBINAES SIMPLES

Dado um conjunto qualquer, com n elementos distintos, denominamos uma combinao simples com p elementos distintos, desses n disponveis, a qualquer subconjunto com p elementos, do conjunto dado. Indicamos essas combinaes, de n elementos na taxa p, por

p,nC ,

n

p

pn ou C (forma binomial)

Observe que duas combinaes so diferentes quando possuem elementos distintos, no importando a ordem em que os elementos so colocados.

Exemplo: No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:

a) combinaes de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinaes de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinaes de taxa 4: abcd.

Observe que enquanto dois arranjos podem se distinguir pela ordem ou pela natureza de seus elementos, duas combinaes s se distinguem pela natureza de seus elementos.

Contagem do Nmero de Combinaes

Consideremos o conjunto A = {a, b, c, d}. Vimos que as combinaes trs a trs que se podem formar com os quatro elementos de B so: abc, abd, acd, bcd. Permutando de todas as formas possveis os trs elementos de cada combinao, obtemos os arranjos simples de quatro elementos trs a trs, como indica o quadro:

abc abd acd bcd

acb adb adc bdc bac bad cda cdb

bca bda cad cbd cab dab dac dbc

cba dba dca dcb Cada combinao gera, como vemos, 3! = 6 arranjos. Portanto, as quatro combinaes geram 4 x 6 = 24 arranjos. Nesta igualdade, 4 o nmero de combinaes e 24 o nmero de arranjos. Indicando por 34,C o nmero de combinaes de 4 elementos 3 a 3, vale, portanto, a relao:

3!A

C ou A !3xC 4,34,33,43,4 ==

Usando esse mesmo raciocnio, poderemos generalizar que:


25

p)!.p! - (nn!

p!A

C pn,p,n == Exemplo a: Sete pontos pertencem a um crculo. Quantos tringulos so definidos por esses pontos?

Soluo: Vejamos um dos possveis tringulos tringulo AFB - Se trocarmos a ordem de seus vrtices, considerando por exemplo o tringulo FBA, notamos que trata-se do mesmo tringulo, logo um problema de combinaes simples.

Teremos ento tringulos 356!.4!4.5.6.7

!3!.4!7C 3,7 ===

Exemplo b: Quantos grupos de trs pessoas podem ser selecionados de um conjunto de oito pessoas ? Soluo: Tambm nesse caso, em qualquer grupo de trs pessoas que formarmos, a ordem das pessoas no influenciar na formao do mesmo, tambm teremos um caso de

combinaes simples. Ou seja, ruposg 566!.5

!5.6.7.8!3!.5

!8C 3,8 ===

Exemplo c: Num plano, marcam-se doze pontos dos quais seis esto em linha reta. Quantos tringulos podem ser formados unindo-se trs quaisquer desses doze pontos? Soluo: uma questo semelhante a do exemplo a, tambm de combinaes simples, sendo que, pelo fato de termos seis pontos alinhados, as combinaes desses seis pontos, trs a trs, no definiro tringulos. Sendo assim, poderemos calcular o total de combinaes desses 12 pontos, trs a trs e subtrair as que no formam tringulos, ou seja a combinao dos 6 pontos alinhados, trs a trs. Assim sendo, a quantidade de tringulos que podero ser formados com os 12 pontos ser:

tringulos 20020220!3!.3

!3.4.5.6!3!.9

!12.11.10.9

3!.3!6!

-

!3!.9!12CC 3,63,12 ====

Exemplo d: Qual o nmero de diagonais de um polgono convexo de n lados ? Soluo: Ainda nesse caso, temos combinaes simples, j que a diagonal AB, por exemplo, a mesma da diagonal BA. Verifique tambm que teremos que fazer uma subtrao, j que unindo-se, dois a dois, os vrtices de um polgono convexo, poderemos ter diagonais ou lados desse polgono. Como queremos obter a quantidade de diagonais, vamos calcular o total de segmentos possveis e subtrair a quantidade de lados. Logo, teremos: Soluo:

diagonais 2

)3n.(n2

n2nnn

2)1n.(n

n!2)!.2n(2)!- 1).(n- n.(n

n - !2)!.2n(

!nnC

2

2,n

=

=

=

=

=

OBS: VERIFIQUE QUE OBTIVEMOS EXATAMENTE A VELHA FRMULA QUE ENSINAMOS NA 7 SRIE DO FUNDAMENTAL, PARA O CLCULO DA QUANTIDADE DE DIAGONAIS DE UM POLGONO CONVEXO.


26

Exemplo e: Quantas diagonais possui o heptgono convexo?

Exemplo f: Uma urna contm 12 bolas das quais 7 so vermelhas e 5 so brancas. De quantos modos podem ser tiradas 6 bolas das quais 2 so brancas? Soluo: Estamos novamente diante de um caso de combinaes simples (verifique) e, como queremos retirar 6 bolas, sendo 2 brancas, lgico que as outras 4 devero ser vermelhas. Teremos ento que retirar 4, das 7 vermelhas disponveis e retirar 2 das 5 brancas disponveis. Como so fatos simultneos, os dois resultados devero ser multiplicados (princpio fundamental da contagem).

modos. 350 10 x 35 !2!.3

!5x

3!.4!7!

C xC 2,54,7 ===

EXERCCIOS PROPOSTOS (COMBINAES SIMPLES):

1) De um grupo de 7 professores e 10 alunos quantas comisses compostas de 2 professores e 4 alunos possvel formar?

2) Tomando-se 8 pontos sobre uma circunferncia, quantos segmentos de reta, com extremidades nestes pontos, ficam determinados?

3) Numa assemblia de quarenta cientistas, oito so fsicos. Quantas comisses de cinco membros podem ser formadas incluindo no mnimo um fsico?

4) Propriedades: Mostre que:

C C c)

1C b) 1C )a

p - n n,pn,

nn,0,n

=

==

5) Seis homens e trs mulheres inscreveram-se para trabalhar com menores carentes num projeto da prefeitura local, mas sero escolhidos apenas 5 participantes. De quantas formas podemos escolher a equipe de modo que haja sempre, pelo menos uma mulher?

6) Quantas partidas foram disputadas em um campeonato de futebol, disputado em um s turno (isto , dois times se enfrentaram uma nica vez), do qual participam 16 times?

7) Uma equipe de inspeo tem um chefe, escolhido entre 4 engenheiros e 10 tcnicos, escolhidos entre 15 outros profissionais. De quantas maneiras pode ser composta essa equipe?

8) Qual o nmero de subconjuntos com 2, 3 ou 4 elementos que tem um conjunto de 9 elementos?

9) dado um conjunto E, de 10 elementos. Quantos subconjuntos de E no so conjuntos de 4 elementos?

10) Duas retas r e s so paralelas. Existem 4 pontos marcados sobre r e outros 5 pontos, marcados sobre s. Quantos so os tringulos que podem ser construdos unindo-se 3 desses 9 pontos?


27

11) Com 7 cardiologistas e 6 neurologistas que trabalham num hospital, quer-se formar uma junta mdica de 5 elementos. Quantas juntas podem ser formadas se devem sempre participar 3 cardiologistas e 2 neurologistas?

12) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?

13) Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes?

14) De um grupo de 7 professores e 10 alunos quantas comisses de 4 pessoas, compostas de 2 professores e 2 alunos possvel formar?

15) Tomando-se 8 pontos sobre uma circunferncia, quantos segmentos de reta, com extremidades nestes pontos, ficam determinados?

GABARITO

01) 4410 02) 28 03) 456 632 04) Aplicao direta da frmula, lembrando que 0! = 1

05) 120 06) 120 07) 12012 08) 246 09) 814 10) 70 11) 525 12) 371 13) 210 14) 945 15) 28

E) COMBINAES COMPLETAS OU COM REPETIO

Responda a pergunta: De quantos modos possvel comprar 3 sorvetes em uma loja que os oferece em 5 sabores? Normalmente somos levados a responder que a soluo 10C 3,5 = . Esta resposta no est correta. Ela estaria certa caso a pergunta fosse: De quantos modos podemos escolher 3 sorvetes diferentes, em uma loja que os oferece em 5 sabores? Essas 10 possibilidades representam as combinaes simples de 5 elementos, tomados 3 a 3.

Na questo apresentada, a resposta correta seria 3,5CR , que so as combinaes completas de 5 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, nesse caso admitiramos a hiptese da pessoa escolher sabores repetidos. O clculo das combinaes completas, que veremos a seguir, seguir um raciocnio que j vimos anteriormente, ao estudarmos as permutaes com elementos repetidos.

Para que possamos entender melhor o nosso problema inicial, vamos supor que a loja oferecesse os sabores: manga, abacaxi, goiaba, cereja e limo. Nas combinaes simples, desses 5 sabores, tomados 3 a 3, s teramos composies do tipo: manga, abacaxi, goiaba ou goiaba, cereja, limo ou abacaxi, goiaba, limo, etc...Como se pode perceber, essa opo das combinaes completas dar um resultado maior que na primeira, que gerou 10 possibilidades de escolha.

Podemos encarar a soluo do problema das combinaes completas da escolha de 3 sabores (distintos ou no), numa loja que oferece 5 opes de escolha, como sendo as solues inteiras e no negativas da equao:

3xxxxx 54321 =++++

Temos, portanto, 5 variveis que representam a quantidade comprada, de cada um dos sabores oferecidos.


28

Se voc retornar pgina 16 de nosso curso, verificar que j mostramos uma soluo para esse problema, atravs de permutaes com alguns elementos repetidos. Na ocasio, vimos que a quantidade de solues inteiras e no negativas de uma equao do tipo:

px......xxx n321 =++++ era dado por p ,1np1nP + .

No nosso exemplo da sorveteria, teremos ento .35!4!.3

!7PCR 3,473,5 === Podemos ento concluir, sobre as combinaes completas de n elementos, p a p.

CR p ,n = ! p . )!1n(! p) 1- (n

P p ,1n p1n

+=

+

Exemplos:

1) De quantos modos podemos comprar 4 salgadinhos em uma lanchonete que oferece 7 opes de escolha de salgadinhos?

Soluo: Pelo que vimos anteriormente, teremos que determinar a quantidade de solues inteiras e no negativas de uma equao do tipo: 4xxxxxxx 7654321 =++++++ . A soluo, como mostramos, ser dada por:

.210!4!.6! 10PCR 6,4104 ,7 ===

2) Podendo escolher entre 5 tipos de queijo e 4 marcas de vinho, de quantos modos possvel fazer um pedido num restaurante, com duas qualidades de queijo e 3 garrafas de vinho?

Soluo: temos que escolher os dois tipos de queijo, entre os 5 disponveis (distintos ou no). Isto ser igual a .15

!2!.4! 6PCR 4,262 ,5 === Em seguida, temos que escolher 3

garrafas entre os 4 vinhos disponveis, ou seja, .20!3!.3

! 6PCR 3,363 ,4 === Logo, o nmero de pedidos de queijo e vinho, da acordo como proposto na questo, ser dado por 15 x 20 = 300.

3) Pense nessa! Uma lanchonete oferece 3 tipos de pastis (carne, queijo e palmito). De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode pedir 8 pastis se ela deseja que, em cada opo de pedido a ser feito existe, pelo menos, um pastel de cada tipo?

Para refletir ...

Por que ser que o tpico combinaes completas ou com repetio no costuma ser abordado nos livros didticos do Ensino Mdio? Voc teve, em algum momento de sua formao, informaes adequadas sobre esse assunto? Que tal verificar nos livros didticos de Matemtica que voc possui (ou que existem na sua Escola) se esse tema abordado?


29

1.3) EXERCCIOS GERAIS MATEMTICA COMBINATRIA

At agora estudamos vrios tpicos importantes da Matemtica Combinatria. Todos esses tpicos vieram acompanhados de exemplos ilustrativos e exerccios propostos. Vamos agora, antes de continuarmos nosso estudo, resolver uma srie de exerccios sobre todos os tpicos j estudados, a saber: Princpio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinaes e Permutaes Simples, Arranjos, Permutaes e Combinaes com Repetio. Todos os exerccios viro com os respectivos gabaritos e voc deve, sempre que necessrio, recorrer teoria contida na apostila para tirar as suas dvidas.

1) Dez estudantes prestam um concurso. De quantas maneiras pode ser composta a lista dos 4 primeiros colocados?

2) Quantos so os subconjuntos, com 5 elementos, do conjunto {a, b, c, d, e, f, g}, sendo que em cada subconjunto a e b estejam sempre presentes?

3) Ainda com relao ao problema anterior, quantos so os subconjuntos de 5 elementos, do conjunto dado, aos quais no pertenam os elementos a e b?

4) Sete pessoas, entre elas Jos e Pedro, esto reunidas para formar uma chapa com presidente, secretrio, segundo-secretrio e tesoureiro para concorrer s eleies de um clube. Determine em quantas das possveis chapas:

a. Jos o presidente e Pedro o tesoureiro b. Jos no o presidente e Pedro no o tesoureiro.

5) Um deputado quer convocar 5 entre 8 polticos de seu grupo para uma reunio. No entanto, dois desses polticos tm forte rixa pessoal. De quantos modos pode ser feita a convocao de maneira que no compaream simultaneamente os dois citados?

6) De quantas maneiras diferentes uma famlia de 4 pessoas pode pedir almoo (um prato para cada pessoa), em um restaurante que oferece 8 tipos de pratos?

7) Quantas so as funes injetoras que podemos definir do conjunto A, com 5 elementos, no conjunto B, com 8 elementos?

8) Os conjuntos E e F tm, respectivamente, 4 e 10 elementos. Quantas so as funes, de E em F, que no so injetoras?

9) Escrevendo-se em ordem crescente a lista de todos os nmeros de 5 algarismos distintos, formados com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9, que lugar ocupa o nmero 78 695?

10) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se todos os nmeros de 5 algarismos distintos possveis. Determine a soma de todos esses nmeros.

11) Quantos so os anagramas da palavra BUTANOL, que apresentam a slaba TO?

12) Quantos so os anagramas da palavra BARBARIDADE?

13) O diagrama abaixo representa algumas ruas de uma cidade. De quantos modos uma pessoa pode dirigir-se do ponto A ao ponto B, utilizando-se sempre dos caminhos mais curtos (uma unidade de quadradinho de cada vez, horizontal ou vertical)?


30

14) Resolva a equao: 67

)]!3x.[(3)!2x()!4x(

=

+

+++

15) Quantas so as solues inteiras e no negativas da equao

x + y + z + w + g + p = 5?

16) Quantos so os nmeros inteiros, maiores que 4000 e menores que 9000, formados por algarismos distintos e que so mltiplos de 5?

17) Quantas so as diagonais de um icosgono convexo (polgono de 20 lados)?

18) Se os telefones de uma certa vila devem ter nmeros de 5 algarismos, todos comeando com 23 e todos mltiplos de 5, ento o nmero mximo de telefones que a vila pode ter :

19) 12 professores, sendo 4 de matemtica, 4 de geografia e 4 de ingls, participam de uma reunio com o objetivo de formar uma comisso que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O nmero de formas distintas de se compor essa comisso :

20) O nmero natural 8 . 5k tem 24 divisores inteiros e positivos. Determine o valor de k.

21) De quantas maneiras trs mes e seus respectivos trs filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada me sente junto de seu filho?

22) Quantas so as maneiras de um cientista escolher pelo menos duas cobaias, num grupo de seis cobaias?

23) Um feixe de 8 retas paralelas intersecta outro conjunto de 5 retas paralelas. Quantos so os paralelogramos determinados por essas retas?

24) Um casal e seus quatro filhos vo ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para a foto?

25) Observe o cdigo abaixo, composto por 10 sinais, de dois tipos: e (cinco de cada um). Quantos cdigos distintos poderemos obter com esses 10 smbolos?

A

B


31

26) Sejam duas retas paralelas r e s. Tomam-se 5 pontos distintos em r e 4 pontos distintos em s. Qual a razo entre o nmero total de quadrilteros convexos e o nmero total de tringulos que podem ser formados com vrtices nesses pontos?

27) Sobre uma mesa colocamse seis moedas em linha. De quantos modos podemos obter duas caras e quatro coroas voltadas para cima?

28) Qual a quantidade de anagramas da palavra ERNESTO que comeam e terminam por consoantes?

29) Quantos so os nmeros inteiros positivos, de cinco algarismos, em que dois algarismos adjacentes nunca sejam iguais?

30) Um professor props para uma de suas turmas uma prova com 7 questes, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questes para responder. Sabe-se que no houve duas escolhas das mesmas 5 questes entre todos os alunos da turma. Determine o nmero mximo de alunos que essa turma poderia ter.

Gabarito 1) 5040

2) 10

3) 11

4) a) 20 b) 820

5) 36

6) 1 663 200

7) 6 720

8) 4 960

9) 64

10) 5 333 280

11) 720

12) 831 600

13) 35

14) x = -1

15) 252

16) 504

17) 170

18) 200

19) 64

20) k = 5

21) 48 22) 57 23) 280 24) 48 25) 252

26) 6 / 7 27) 15 28) 720 29) 59 049 30) 21


32

2) BINMIO DE NEWTON Um binmio qualquer expresso da forma x + y, ou seja, a representao da soma algbrica de duas quantidades distintas.

Considere o produto dos trs binmios. ( )( )( ) nqsnqrnpsnprmqsmqrmpsmprsrqpnm +++++++=+++

Observe que consiste de oito termos, cada um dos quais possuindo trs letras, sendo cada letra escolhida dentre as duas, de cada um dos binmios. O princpio multiplicativo e a propriedade distributiva nos oferecem a possibilidade de contar o nmero de termos de produtos desse tipo, pois se de cada um dos trs parnteses vamos escolher uma letra entre as duas existentes, temos que o nmero de termos do produto ser 32 . Naturalmente que este raciocnio pode ser estendido para um produto contendo um nmero qualquer de binmios. Se o produto for constitudo de 4, 5 ou n binmios o nmero de termos do desenvolvimento ser respectivamente, n2ou322,162 54 ==

Vamos tomar agora o produto de seis binmios, todos iguais. Por exemplo: ( )( )( )( )( )( )axaxaxaxaxax ++++++ . Como temos 64 maneiras de selecionarmos 6 letras, uma de cada binmio, e como todos os binmios so iguais a ( )ax + teremos termos repetidos. Por exemplo, se tomarmos a letra a nos 2 primeiros e a letra x nos 4 ltimos, teremos 42 xa , que ir aparecer toda vez que a letra a for escolhida em exatamente 2 dos 6 binmios e a letra x nos 4 restantes. Como isto pode ser feito de 26C maneiras diferentes, afirmamos que o termo

42 xa ir aparecer este nmero de vezes, o que equivale a dizer que o coeficiente de 42 xa igual a 26C . Observando que qualquer termo consiste do produto de 6 letras, o termo geral da forma

qp xa , onde p + q = 6, ou seja, cada termo da forma pp xa 6 . Como esse termo aparece pC6 vezes a expanso acima, organizada segundo as potncias decrescentes de x, dada

por

( )

6524334256

0666

1556

2446

3336

4226

5116

6006

6

0

66

6

61520156 axaxaxaxaaxxxaCxaCxaCxaCxaCxaCxaC

xaCaxp

ppp

++++++=

++++++=

=+ =

No caso geral ( )nax + , cada termo ser da forma pnp xa . Note que o termo pnp xa ir aparecer para cada escolha da letra a em p dos n fatores. Como tal escolha pode ser feita

de pnC formas diferentes, temos: ( ) =

=+n

p

pnppn

nxaCax

0. Alm disso, como,

( ) ( )nn xaax +=+ , podemos concluir que, permutando-se as letras x e a teremos, ( )

=

=+n

p

pnppn

naxCxa

0, e isto nos garante o fato j conhecido de que pnnpn CC = , uma vez

que, pelo argumento apresentado, o coeficiente de ppn xa dado por pnnC ou, em outra

palavras, que , na expanso de ( )nax + , os coeficientes dos termos eqidistantes dos extremos so iguais.

Na expanso de ( ) pnpnp

pn

nxaCax

=

=+0


33

Denotamos o termo geral por 1+pT , o qual dado porpnpp

np xaCT

+ =1 .

Exemplo 1 Calcular o quarto termo da expanso de ( )k+1 8 .

Soluo: Temos aqui, x = 1, a = k, n = 8 e p + 1 = 4. Logo p = 3 e

.561 338338134 kkCTT === +

Exemplo 2 Calcular o sexto termo da expanso de ( ) .5 10yx

Soluo: Neste caso a = -5y, n =10, p = 5 e p + 1 = 6. Portanto,

( ) 555106 5 xyCT =

= ( ) .500.7875 55555510 yxyxC =

Exemplo 3 Demonstrar a seguinte identidade:

nn

nnn

o

n

n

p

pn CCCCC 2....

21

0=++++=

=

Soluo: Como ( ) ,0

=

=+n

p

pnppn

nxaCax fcil ver que, para x = a = 1, o lado direito desta

igualdade nos d a soma pedida, que ser igual a n2 . Este valor representa tambm, o nmero de subconjuntos de um conjunto contendo n elementos. Observe que o exemplo 3 nos oferece uma importante propriedade das combinaes e que ser muito til na resoluo de alguns problemas clssicos de Matemtica Combinatria.

Vamos novamente destacar essa propriedade:

1 2.... 2o n nn n n nC C C C+ + + + =

Exemplo 4: Quantas comisses, com no mnimo duas pessoas, podemos formar a partir de um grupo de 15 pessoas. Soluo: fcil constatar que a soluo desse problema ser dada pela soma de vrias combinaes, j que as comisses podero ter de 2 a 15 pessoas, ou seja:

2 3 4 1515 15 15 15....C C C C+ + + +

Repare que, para ficarmos de acordo com a propriedade mostrada anteriormente, visando facilitar nossos clculos, poderemos acrescentar as combinaes que esto faltando (so duas) e depois, subtrair da resposta obtida o valor que foi acrescentado. Logo, teremos:

0 115 15C C+ +

2 3 4 1515 15 15 15....C C C C+ + + + =

152

= 16


34

Dessa forma, a resposta procurada ser igual a 152

- 16 = 32 752 comisses.

Listamos abaixo a expanso de ( )nba + para alguns valores de n.

( )( )( )( )( )( )( ) 65423324566

543223455

4322344

32233

222

1

0

61520156510105

46433

2

1

babbabababaabababbababaaba

babbabaabababbaaba

bababababa

ba

++++++=+

+++++=+

++++=+

+++=+

++=+

+=+

=+

Coeficientes Binominais Tringulo de Pascal

Chamamos Tringulo de Pascal ao tringulo formado pelos coeficientes das expanses acima, isto ,

Linha 0 1

1 linha 1 1

2 linha 1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 .................................

Enumeramos as linhas deste tringulo de acordo com o expoente da potncia da qual os coeficientes foram retirados, isto , a 1 linha 1 1 a 2 1 2 1 e assim sucessivamente.

Enumeramos as colunas da mesma forma, isto , a formada s de dgitos iguais a 1 a de nmero zero e assim por diante. Observe que a soma dos elementos da linha 5 :

555

45

35

25

15

05 232 ==+++++ CCCCCC . Para somarmos os elementos da n-sima linha, s

precisamos lembrar que nnnnn CCCC ....210 +++ , representa o nmero de subconjuntos de um

conjunto de n elementos e assim, nnnnnn CCCC 2....210 =+++ J mostramos que a soma dos elementos da n-sima linha igual a n2 e que numa mesma linha termos eqidistantes dos extremos so iguais. No exemplo 4 mostraremos que a soma

1 co

l 2

co

l

col 0

Observe que fato interessante:

Os nmeros que surgem em cada linha do tringulo de Pascal so exatamente os mesmos coeficientes dos termos da expanso de ( )nba + .

A soma de dois termos consecutivos de uma mesma linha corresponde ao termo da linha seguinte, que fica abaixo do segundo nmero, ou seja: 111 +++ =+ pnpnpn CCC que uma propriedade conhecida como relao de Stifel.


35

dos n primeiros elementos da coluna p igual ao n-simo elemento da ( ) simap +1 coluna

Cada elemento do tringulo de Pascal um nmero binomial e sua posio no tringulo fica determinada por um par ordenado que indica a linha e a coluna ocupada pelo binomial. Se o

binomial ocupa a linha n e a coluna p sua representao ser

pn

, onde n chamado

numerador e p o denominador do binomial. Devemos observar tambm que pnCpn

=

.

Por uma questo de comodidade iremos evitar a notao de nmero binomial dando preferncia a notao de combinaes por ser um pouco mais familiar aos estudantes que j completaram um curso de anlise combinatria. claro que todas as propriedades das combinaes so naturalmente legadas aos nmeros binomiais Veja que interessante: Uma outra justificativa do mtodo apresentado para o desenvolvimento dos (n + 1) termos de ( )nax + . Voc sabe que, podemos obter o desenvolvimento de ( )2ax + = (x + a) . (x + a), procedendo da seguinte maneira:

Multiplicando cada termo de (x + a) por x Multiplicando cada termo de (x + a) por a Somando os termos obtidos e efetuando a reduo dos termos semelhantes.

Analogamente, aps a obteno de ( )2ax + podemos obter os termos de ( ) ).()( 23 axaxax ++=+ , procedendo da seguinte maneira:

Multiplicando cada termo de ( )2ax + por x Multiplicando cada termo de ( )2ax + por a Somando os termos obtidos e efetuando a reduo dos termos semelhantes.

Seguindo dessa mesma forma, sucessivamente, podemos obter ( ) ( ) ,..., 54 axax ++ O raciocnio proposto nos conduz ao seguinte diagrama:

(x + a)1 = x + a x a x a

( )2ax + = x2 + 2ax + a2 x a x a x a

( )3ax + = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 x a x a x a x a

( )4ax + = x4 + 4ax3 + 6a2 x2 + 4a3x + a4

...................................................................................................

No diagrama anterior olhando apenas os coeficientes dos termos, vemos claramente a formao do tringulo de Pascal, com seus lados sempre comeando e terminando por 1, tendo como miolo os nmeros binomiais que podem ser obtidos atravs da soma dos nmeros vizinhos da linha anterior. (Idia extrada do livro O que a matemtica? de Courant e Robbins).


36

Exemplo 5 Demonstrar a seguinte identidade (teorema das colunas).

....

1121

++++++ =+++

pnp

pnp

pp

pp

pp CCCCC

Soluo:

A principal propriedade do tringulo de Pascal (Relao de Stiffel) p

n

pn

pn CCC +=

+++

111

Justifica a seqncia de igualdades abaixo:

pnp

pnp

pnp

pnp

pnp

pnp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

+++

+++

++

+++

+++

++

+++

++

+++

+=

+=

+=

+=

+=

111

11

11

212

13

111

12

111

...............................

Se somarmos membro a membro estas igualdades (cancelando termo iguais), teremos ,....21

111

pnp

pp

pp

pp

pp

pnp CCCCCC +++

++++ +++++= que a igualdade pedida, uma vez que

01 =+ppC . Na figura abaixo ilustramos o que acabamos de demonstrar. 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemplo 6: Achar uma frmula para a soma dos n primeiros inteiros positivos.

Soluo: Isto decorrncia do exemplo anterior, pois, ( )

21

...........321 2 111

313

12

11

+==+++++=++++ +

nnCCCCCCn nn


37

Exemplo 7: Prove que 0)1(....3210 =+++ nnnnnnn CCCCC

Soluo: Devemos lembrar que ( ) =

=+n

p

pnppn

nxaCax

0, portanto basta tomarmos x = 1 e

a = -1.

Exemplo 8: Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de 10

32 1

+

xx

Soluo: Escrevemos inicialmente o termo geral do desenvolvimento que

( ) pppp xx

CT +

=

1023101

1, portanto, pppppp xCxxCT

52010

2203101

+ == . Como queremos que

o termo independa de x, devemos fazer 20 5p = 0. Logo p = 4 e assim o termo procurado o quinto termo e seu valor 2104105 == CT .

Exerccios Propostos Binmio de Newton

1. Determine o termo central ou mdio do desenvolvimento de:

102

21

xx

2. Calcule os dois termos mdios do desenvolvimento de: ( )73 2x a+

3. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de 6

3 213

yx

4. No desenvolvimento de ( )nx+1 , os coeficientes do 14 e do 28 termos so iguais. Determine n.

5. Determine o quinto termo do desenvolvimento de

.

21 7

3

xx

Supondo o desenvolvimento ordenado segundo as potncias decrescentes da primeira parcela .

6. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de

.

1 103

2

xx

7. Determine o coeficiente de x no desenvolvimento de

.

2312

4

xx


38

8. Calcule: ( ) ( )44 yxyx ++

9. Explique porque no existe termo independente de x no desenvolvimento de 121 +

+

n

xx

.

10. Calcule m sabendo que 2541

....

321=

++

+

+

m

mmmm.

GABARITO BINMIO DE NEWTON

01) 5

6638

T x=

06) 5 210T =

02) 3 4

44 3

5

22 680 a5040 a

T x

T x

=

=

07) 112 640

03) 65

2

08) 4 2 2 42 12 2x a x a+ +

04) n = 40 09) 2 12

np += , logo no seria natural

05) 9535

16T x=

10) m = 8

O Matemtico e o Motorista

Aquele matemtico famoso estava a caminho de uma conferncia quando o seu motorista comentou: - Patro, j ouvi tantas vezes a sua palestra que tenho certeza de que poderia faz-lo no seu lugar, se o senhor ficasse doente. - Isso impossvel! - Quer apostar?! E fizeram a aposta! Trocaram de roupa, e quando chegaram no local da conferncia o motorista foi para a Tribuna enquanto o matemtico instalou-se na ltima fila, como se fosse seu motorista. Depois da palestra, comeou a sesso de perguntas, que ele respondeu com preciso. No entanto, em certo momento, levantou-se um sujeito que apresentou uma questo dificlima, envolvendo probabilidades. Longe de entrar em pnico, ele saiu-se com esta: - Meu jovem, essa pergunta to fcil... mas, to fcil... que vou pedir para o meu motorista responder!


39

3) PROBABILIDADES

INTRODUO:

Atividade Introdutria para o Estudo de Probabilidades: Um jogo com dois dados

Uma boa atividade introdutria ao estudo das probabilidades apresentar este jogo aos alunos e perguntar-lhes se lhes parece que algum dos jogadores est em vantagem. Voc ver que essa provocao inicial ser um excelente modo de comear o estudo desse importante tpico do Ensino Mdio.

JOGO DOS DOIS DADOS - INSTRUES Dois jogadores ou duas equipes;

Em cada jogada, cada jogador (ou equipe) lana um dado e somam-se os pontos dos dois dados.

O jogador (ou equipe) A marca um ponto se a soma for 5, 6, 7 ou 8. O jogador (ou equipe) B marca um ponto se a soma for 2, 3, 4, 9, 10, 11 ou 12. Ganha quem primeiro obtiver 20 pontos.

Depois de ouvir as opinies dos alunos, mas antes de as discutir, proponha que eles faam algumas apostas. Para isso, devem organizar-se em grupos de dois, escolhendo entre si qual deles aposta no jogador A e qual no B. Uma boa parte dos alunos prefere ser o jogador B porque, das onze somas possveis, h sete que fazem o jogador B ganhar e s quatro que o fazem perder. Um pouco apressadamente concluem que a probabilidade de ganhar seria

711 .

Depois de cada aluno receber um dado, cada grupo de alunos faz um jogo. Normalmente, o jogador (equipe) A ganhar a maior parte dos jogos. Isto faz-nos suspeitar que A est em vantagem. uma boa hora para analisar a questo e verificar se a probabilidade de A ser o vencedor realmente maior. O professor no deve resolver a questo, mas pode fornecer pistas, do tipo: Ser a soma 2 to fcil de acontecer como a 7? S sai 2 se em ambos os dados sair 1, enquanto que 7 possvel de vrias maneiras: 1+ 6 ou 2 + 5 ou 3 + 4 ou ...

Por outro lado, sair 3 num dado e 4 no outro diferente de sair 4 no primeiro e 3 no segundo... Pedir em seguida aos alunos que identifiquem os dados por exemplo, dado azul e dado vermelho e faam uma tabela de dupla entrada com todos os casos possveis.

Dado Vermelho

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11

Dad

o A

zul

6 7 8 9 10 11 12 V-se ento que h 36 casos elementares possveis e organiza-se um quadro com o nmero de casos favorveis para cada resultado. Vejamos quem tem realmente a vantagem...


40

Resultados 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Casos favorveis 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

O jogador (equipe) A ganha se sair 5, 6, 7 ou 8. Os casos favorveis a A so 4 + 5 + 6 + 5 = 20. O jogador (equipe) B ganha saindo 2, 3, 4, 9, 10, 11 ou 12. Os casos favorveis a B so 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16. Conclui-se ento que o jogo favorvel ao jogador A, apesar de s lhe servirem quatro resultados. A probabilidade de ele ganhar uma jogada

2036 ou 55.6%. Para o jogador B, a

probabilidade de ganhar

1636 ou 44.4%.

Comentrio... voc pode ainda aproveitar a atividade para preparar a turma para a definio de probabilidade como distribuio de freqncia e comparar o resultado obtido na prtica da sala de aula com o resultado final que obtivemos com a anlise das possibilidades de cada equipe.

3.1) Origem Histrica

possvel quantificar o acaso?

Para iniciar, vamos considerar algumas hipteses: Rita espera ansiosamente o nascimento de seu filho, mas ela ainda no sabe qual ser o sexo da criana. Em outro caso, antes do incio de um jogo de futebol, o juiz tira "cara ou coroa" com uma moeda para definir o time que ficar com a bola. Numa terceira hiptese, toda semana, milhares de pessoas arriscam a sorte na loteria. Problemas como os acima so, hoje, objeto de estudo das probabilidades. Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram motivados pela anlise de jogos de azar. Sabe-se que um dos primeiros matemticos que se ocupou com o clculo das probabilidades foi Cardano (1501-1576). Data dessa poca (na obra Liber Ludo Alae) a expresso que utilizamos at hoje para o clculo da probabilidade de um evento (nmero de casos favorveis dividido pelo nmero de casos possveis). Posteriormente tal relao foi difundida e conhecida como relao de Laplace. Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria das probabilidades comeou a evoluir e ganhar mais consistncia, passando a ser utilizada em outros aspectos da vida social, como, por exemplo, auxiliando na descoberta da vacina contra a varola no sculo XVIII. Laplace foi, certamente, o que mais contribuiu para a teoria das probabilidades. Seus inmeros trabalhos nessa rea foram reunidos no monumental Tratado Analtico

Apostila de Matematica Discreta 1

Documents

Transcript of Apostila de Matematica Discreta 1