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MatemáticaElementar I

Autor Leonardo Brodbeck Chaves

MatemáticaElementar I

Caderno de Atividades

2009

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C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba:

IESDE Brasil S.A., 2009.

196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

CDD 510


Leonardo Brodbeck Chaves

Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade

Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em

Eletrônica também pela UFPR.


Apresentação

O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E

desde o surgimento do homem foi dessa forma.

Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações

matemáticas:

a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;

b) o círculo da lua cheia;

c) um cristal de gelo com angulação precisa;

d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;

e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre

outros.

Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias

matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com

menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante

a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da

natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).

Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado

a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais


(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de

comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios

de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo,

percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua

sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações

que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico,

frente às situações da realidade.

A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de

adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas

de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com

agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma

máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências

lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com

maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.

Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias

e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio

de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a

concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma

ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem,

que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e

desenvolvimento para a sociedade.


Porcentagem e juro

1. PorcentagemÉ usual nos cálculos financeiros utilizarmos a porcentagem com taxa. Isso permite que seja

feito um cálculo direto, de acréscimos e descontos, sobre determinado valor.

Exemplos:

a) Um assalariado ganha um salário bruto de R$3.200,00. Descontando imposto de renda, contribuições previdenciárias e outras deduções, temos um total de desconto de 40%. Qual é o valor do salário líquido, que é o salário bruto com as deduções?

Salário líquido = salário bruto – deduções

SL = SB – D

SL = (100% de 3 200) – (40% de 3 200)

SL = 60% de 3 200

SL = 60 . 3 200100

SL = 0,60 . 3 200 = 1 920

Note que o fator de diminuição é 0,6:Usando taxas, bastaria calcular assim:

SL =(100 –40) . 3 200 ⇒ SL = 60 . 3 200100 100

SL = 0,60 . 3 200 = 1 920

Resposta: O salário líquido é de R$1.920,00.


Matemática Elementar I – Caderno de Atividades106

b) André tinha uma dívida no cartão de crédito de R$450,00. O juro mensal é de 11%. Qual é o total da dívida ao final de um mês?

Montante = capital + juros

M = C + j

(

.

=

=

=

=

=

M 100% de 450) + (11% de 450)

M 111% de 450

111M 450

100

M 1,11 . 450

Note que o fator de aumento é 1,11.

M 499, 50

Resposta: O total da dívida (montante) será de R$499,50.

1. Calcule as porcentagens a seguir:

a) 27% de 1 30027

27% de 1 300 = × 1 300 = 0,27 . 1 300 = 351100

fator

Vamos calcular rapidamente então?

Situação Cálculo do fator Operação

Desconto de 10% 100% – 10% = 90% = 90 = 0,90100

Multiplicar por 0,90

Acréscimo de 3,5% 100% + 3,5% = 103,5% = 103,5 = 1,035100


Desconto de 2% 100% – 2% = 98% = 98 = 0,98100


Para uma situação geral, temos:

Se um valor V sofre um aumento percentual de uma taxa i, o novo valor é dado por:

N = V + i.V = V(1+i), em que 1 + i é o fator de aumento.

Da mesma maneira, se um valor V sofre uma diminuição percentual de uma taxa i, o novo valor N é dado por:

N = V – iV = V(1-i) onde 1 – i é o fator de diminuição.

Agora, vamos acompanhar alguns exemplos:


Porcentagem e juro 107

b) 3,7% de 8 500

= =3,7

3,7% de 8 500 . 8 500 0, 037 . 8 500 = 314, 50100

fator

2. Com o auxílio de sua calculadora, resolva os seguintes problemas:

a) O senhor Antônio aplicou a quantia de R$250,00 na caderneta de poupança. Qual é o seu saldo depois de 30 dias se naquele mês a aplicação rendeu no total 0,71%?

N = V + iVN = V (1+ i)

0,71N = 250 1+

100N = 250 (1+ 0,0071)N = 250.1,0071

fator de aumento

N = 251,78

Resposta: O seu saldo é de R$251,78.

b) O preço de um televisor é de R$1.100,00. Se for pago à vista, o desconto é de 8,5%. Se for comprá-lo à vista, qual o valor final?

fator

=

=

=

=

=

-

-

N V + iV

N V (1– i)

8, 5N 1 100 1

100

N 1 100. (1 0, 085)

N 1 100 . 0, 915

N = 1 006,50

Resposta: O preço final será R$1.006,50.



3. O senhor Antônio tem o salário de R$800,00 mensais. Ele receberá um aumento de 15%. De quanto será o aumento?

= =⋅1515% de 800 800 120

100

Resposta: O aumento será de R$120,00.


a) 22% de 250

=⋅22250 55

100

Resposta: 55.

b) 90% de 22 500

=⋅9022 500 20 250

100

Resposta: 20 250.

c) 5% de R$120

⋅5

120 = 6100

Resposta: R$6.

5. O salário mínimo atual é de R$360,00. Entidades da classe pleiteiam um aumento de 15%. Se as reivindicações forem atendidas, qual será o valor do salário?

Dica: para um cálculo rápido, multiplique 360 por 1,15. Assim: 360.1,15 = 414,00.

+

+

+

+

ATUALS = S aumento

15S = 360 . 360

100

S = 360 0,15 . 360

S = (1 0,15) . 360

S = 414, 00

Resposta: O salário será de R$414,00.



6. Dona Joana está pesquisando o preço de uma roupa que custa R$220,00. Se ela pagar à vista, o desconto é de 8%. Qual será o preço final se ela pagar à vista?

Dica: para um cálculo rápido, multiplique 220 por 0,92. Assim: 220 . 0,92 = 202,40.

FINAL ORIGINAL

FINAL

FINAL

FINAL

FINAL

P = P – D

8P = 220 – . 220

100

P = 220 – 0,08 . 220

P = (1 – 0,08) . 220

P = 202, 40

Resposta: O preço com desconto será R$202,40.

Exercícios

Resolva os exercícios que seguem:


a) 2% de 530

b) 88% de 1 700

c) 6% de R$22.500,00



2. Para pagamento a prazo, um calçado que custa R$80,00 terá um acréscimo de 11%. Qual é o valor do acréscimo?

3. O preço de um computador é de R$2.500,00. Se for pago a prazo, o preço sobe 7%. Qual é o preço a prazo?

4. O preço da gasolina, que era R$2,50 o litro, sofreu uma redução de 3%. Qual o valor do preço final?



2. JuroJuro é a remuneração que se paga por um capital emprestado por um certo período de tempo.

2.1 Juro simplesO senhor José precisa de um empréstimo. Ele foi a uma financeira e obteve R$500,00 a

ser pago dentro de 1 ano, com taxa de 20% ao ano. Quanto o senhor José pagará de volta à financeira?

Quando fazemos um empréstimo bancário, pagamos juros. No caso do senhor José, ele terá de pagar ao banco o valor do capital emprestado (R$500,00) mais o juro, que vamos calcular assim:

Juros = 500 x 20% x 1

⋅ ⋅20Juros 500 1

100

Juros 500 0, 20 1 100

=

= . . =

taxa

capital numerador de períodos

Assim, o senhor José pagará:

Total = 500 + 100 = 600.

Resposta: Ele pagará R$600,00 à financeira.

O cálculo do juro pode ser generalizado:

J = C . i . n

J = juroC = capitali = taxan = número de períodos



Vejamos mais alguns exemplos:

a) Determinar o juro recebido por um capital de R$5.000,00 com taxa de 25% durante um período de 3 anos.

C = 5 000

25i 25% 0, 25

100= = =

n = 3

j = ?

J = C. i. n

J = 5 000 . 0,25 . 3

∴ J = 3 750

Resposta: O juro é de R$3.750,00

b) Qual é o montante resgatado de um capital de R$8.000,00 aplicado a uma taxa de 5% durante 1 ano?

Aqui precisamos definir o que é montante. Montante é o capitalaplicado mais oren-dimento.

Dessa maneira:

Montante = Capital aplicado + rendimento

M = C + J

M = C + C.i.n

M=C(1+i.n)

Voltando ao problema,

C = 8 000

5i 5% 0, 05

100= = =

n = 1 ano = 12 meses (repare que o período e a taxa devem estar sempre na mesma base de tempo)

M = 8 000 (1+ 0,05.12)

M = 8 000 . 1,6 = 1 280.

Resposta: O montante é de R$12.800,00.



c) Qual capital produz um montante de R$88.000,00 a 20% ao ano, durante 6 meses?

M = 88 000

∴

20i = 20% ano = ao ano = 0, 20 ano

100

6 1n = 6 meses ano = ano

12 2

C = ?

M = C + C.i.n

188 000 = C 1 + 0, 20.

2

88 000 = C (1 + 0,10)

88 000C = C = 80 000, 00

1,10

Resposta: O capital é de R$80.000,00.

2.2 Juro composto

Quando fazemos uma aplicação em caderneta de poupança, por exemplo, os rendimentos do período de 1 mês são incorporados ao capital.

Acompanhe os montantes (saldos) de um capital de R$1.000,00 com taxa de 5% mensais, durante 3 meses.

Início do 1.º mês Ao final do 1.º mêsCapital inicial Rendimento Montante

R$1.000,00 R$50,00 R$1.050,00


R$1.050,00 R$52,50 R$1.102,50


R$1.102,50 R$55,12 R$1.157,62



Anteriormente, tivemos o exemplo do funcionamento do juro composto. Juro composto é aquele que no fim de cada período é aplicado ao capital anterior.

Vejamos alguns exemplos:

a) Se as cadernetas pagam rendimento de 0,65% ao mês, calcule, usando uma calculadora, quanto rende um capital de R$500,00 ao final de 3 meses.

:: Primeiro mês:

C 500, 00

0, 65i 0, 65% = 0, 0065 ao mês

100

n 1 mês

=

= =

=

M = C (1 + n.i) = 500 (1 . 0,0065) = 500 . 1,0065 = 503,25

:: Segundo mês:

C 503, 25

i 0, 0065 ao mês

n 1 mês

=

=

=

M = C (1 + n.i) = 503,25 (1 . 0,0065) = 503,25 . 1,0065 = 506,52

:: Terceiro mês:

C 506, 52

i 0, 0065 ao mês

n 1 mês

=

=

=

M = C (1 + n.i) = 506,52 (1 . 0,0065) = 506,52. 1,0065 = 509,81

Logo o capital rende R$509,81 – R$500,00 = R$9,81

Resposta: O capital rende R$9,81.

b) Determinar o juro recebido por um capital de R$8.750,00 com taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples, durante um período de 5 anos.

C = 8 750 12

i = 12% ao ano = = 0,12 ao ano100

n = 5 anos



j = C.i.n

j= 8 750 . 0,12 . 5 ∴ j = 5 250

Resposta: O juro simples é de R$5.250,00.

c) Qual é o montante resgatado de um capital de R$2.200,00 aplicado a uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros simples, durante 2 anos?

C 2 200=

1,5i 1,5% ao ano 0,015 ao mês

100

n 2 anos 24 meses

= = =

= =

M = C (1 + i.n)

M = 2 200 (1+ 0,015 . 24)

M = 2 200 . 1,36 ∴M = 2 992

Resposta: O montante é R$2.992,00.

d) Suponha que as cadernetas de poupança rendam 0,63% ao mês. Simule uma aplicação de um capital de R$1.000,00 por três meses.

Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês

Capital inicial Rendimento Montante

R$1.000,00 1 000 . 0,0063 . 1 = 6,30 1 000,00 + 6,30 = 1 006,30



R$1.006,30 1 006,30 . 0,0063 . 1 = 6,34 1 006,30 + 6,34 = 1 012,64



R$1.012,64 1 012,64 . 0,0063 . 1 = 6,38 1 012,64 + 6,38 = 1 019,02



Exercícios

Resolva os exercícios que seguem:

5. Determinar o juro recebido por um capital de R$920,00 com taxa de 8% ao ano, durante 4 anos, no regime de juros simples.

6. Qual é o montante resgatado de um capital de R$30.000,00 aplicado a uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros simples, durante 6 anos?

7. Faça a simulação de uma aplicação em fundos de um capital de R$8.000,00 com taxa de 1,5% ao mês, durante 4 meses.


Gabarito

Porcentagem e juro

1. a) 10,60

b) 1 496

c) R$1.350,00

2. R$8,80

3. R$2.675,00

4. R$2,42

5. R$294,40

6. R$51.600,00

7. R$8.490,90

Gabarito


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Anotações


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