Matemática - Exercícios Resolvidos - Sequências PA PG

8/14/2019 Matemtica - Exerccios Resolvidos - Sequncias PA PG

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PROGRESSO ARITMTICA

Chamamos de progresso aritmtica (P.A.) toda seqncia denmeros reais, na qual cada termo, a partir do segundo, igual aoanterior somado a uma constante, denominada razo r.

Exemplos:

a) (1, 3, 5, 7, 9)P.A. finita de razo r = 2.

b) (- 3, - 7, - 11, ...)P.A. infinita de razo r = - 3.

CLASSIFICAO

R > 0Crescente.Uma P.A. Crescente quando a razo rfor positiva.

R = 0Constante.Uma P.A. constante quando a razo rfor igual a zero.

R < 0Decrescente.Uma P.A. decrescente quando a razo rfor negativa.

TERMO GERAL DE UMA P.A.

a1a2 = a1 + r.a3 = a2 + r a3 = a1 + 2ra4 = a3 + r a4 = a1 + 3r.

.an = a1 + (n 1).r

an = a1 + (n 1).r


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NOTAO ESPECIAL

Trs termos em P.A. : x r, x, x + r

PROPRIEDADE

A soma de dois termos eqidistantes dos extremos de uma P.A.finita igual soma dos extremos.

Exemplo:

Na P.A. (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31)

3 + 31 = 7 + 27 = 11 + 23 = 15 + 19 = 34

SOMA DOS NTERMOS DE UMA P.A.

( )2

.naan1

n

+=S

Aplicaes:

01) Quantos so os mltiplos de 3 compreendidos entre 5 e 41?

02) Escreva uma P.A. de trs termos, de modo que sua soma seja 3e seu produto seja igual a 8.

03) Insira doze meios aritmticos entre 60 e 5.04) Determine o primeiro termo e o nmero de termos de uma P.A.

em que an = 18, r = 2 e Sn = 88.

05) Qual a soma dos mltiplos de 7 compreendidos entre 5 e 130?

06) Qual a soma dos cem primeiros nmeros naturais pares?

07) Determine a soma dos cinqenta primeiros termos de uma P.A.na qual a6 + a45 = 160.


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PROGRESSO GEOMTRICA

DEFINIO

Chamamos deprogresso geomtrica (PG) a qualquer seqncia denmeros no-nulos em que cada termo, a partir do segundo, igual aoanterior multiplicado por um nmero fixo, chamado de razo daprogresso.

A representao matemtica de uma PG (a1, a2, a3, ..., an - 1,...,an), na qual

a2 = a1.q,a3 = a2.q,a4 = a3.q, etc.

Numa PG, a razo q igual ao quociente entre qualquer termo, a partir

do segundo, e o anterior.Exemplos:

(5, 10, 20, 40)

25

10q ==

(- 4, - 4, - 4, - 4, - 4, - 4)

144q =

=

( - 6, - 3, - 3/2, - 3/4, ...)

2

1

6

3q =

=

CLASSIFICAO

As progresses geomtricas podem ser classificadas como:

1) Crescentes: aquelas em que cada termo maior que o anterior.

1 caso: PG com termos positivos

a1 > 0 e q > 1

Exemplo: (2, 6, 18, 54, ...)


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2 caso: PG com termos negativos.

a1 < 0 e 0 < q < 1

Exemplo: (- 40, - 20, - 10, ...)

2) Decrescentes: aquelas em que cada termo menor que o anterior.

1 caso: PG com termos positivos

a1 > 0 e 0 < q < 1

Exemplo: (256, 64, 16, ...)

2 caso: PG com termos negativosa1 < 0 e q > 1

Exemplo: (- 2, - 10, - 50, ...)

3) Constantes: aquelas em que cada termo igual ao anterior.

PG com termos todos iguais.

q = 1

Exemplo: (3, 3, 3, 3, ...)

4) Alternantes: aquelas em que cada termo tem sinal oposto ao dotermo anterior.

q < 0

Exemplo: (2, - 6, 18, - 54, ...)

APLICAO:

01) A seqncia (x, 3x + 2, 10x + 12) uma PG. Determine:

a) O valor dex.


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b) A razo da PG.

02) A medida do lado, o permetro e a rea de um quadrado esto,nessa ordem, em progresso geomtrica. Qual a rea do quadrado?

03) (FUVEST - SP) Os nmeros 10xlogexx, 2 so, nessa ordem, os trsprimeiros termos de uma progresso geomtrica. Calcule:

a) O 1 termox.

b) O 5 termo.

04) Calcule o valor dex, de modo que a seqncia (3x + 1

, 34 x

, 33x + 1

)seja uma PG.

TERMO GERAL DE UMA P.G.

Seja (a1; a2; a3; ...; an; ...) uma PG de razo q 0 e a1 0. Peladefinio de PG, podemos escrever:

a2 = a1.qa3 = a2.q a3 = (a1.q).q a3 = a1.q

2a4 = a3.q a4 = (a1.q2).q a4 = a1.q3a5 = a4.q a5 = (a1.q3).q a5 = a1.q4

.

.

..

an = a1.q(n 1)

OBSERVAO:an = ap.qr, onde n = p + r


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Exemplo:a10 = a1.q9 oua10 = a2.q8 oua10 = a3.q7 ou

.

.

.a10 = a9.q

1

APLICAO:

01) Qual o vigsimo termo da PG

K,,, 21

2

2?

02) (UFRJ) Uma PG de 8 termos tem o primeiro termo igual a 10. Ologaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Encontre arazo da progresso.

03) Interpole trs meios geomtricos entre 2 e 162.

04) (UEFS) A quantidade de cafena presente no organismo de umapessoa decresce a cada hora, segundo uma progresso geomtricade razo 1/8. Sendo assim, o tempo t para que a cafena presenteno organismo caia de 128 mg para 1 mg tal que:

a) 0 < t < 1b) 1 < t < 2c) 2 < t < 4d) 4 < t < 6e) 6 < t < 8

PROPRIEDADES:

P1: Numa P.G., cada termo, a partir do segundo, a mdia geomtricado anterior e do posterior.

Na PG (a, b, c, d, ...)


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b2 = a.c,c2 = b.d, etc

P2: Em toda PG, o produto de dois termos eqidistantes dos extremos igual ao produto dos termos extremos.

Na PG (a, b, c, d, e, f), temos:a.f = b.e = c.d

Seja a PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128). Verificar P2.

2.128 = 2564.64 = 2568.32 = 256 Observe que 16 = 2.1284.648.32 ==

NOTAO ESPECIAL:

P.G. com 3 termos:

x.qx,,

q

x.

APLICAO:

01) A soma dos trs primeiros termos de uma progresso geomtricacrescente 130 e o produto entre eles 27 000. Calcule os trsnmeros.

02) Numa PG, a diferena entre o 2 e o 1 termos 9, e a diferenaentre o 5 e o 4 termos 576. Calcule o 1 termo dessa P.G.

SOMA DE TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Seja a PG finita (a1, a2, a3, ..., an). Podemos reescrev-la daseguinte forma:

(a1, a1.q, a1q2, ..., a1.qn-1) de razo q e de soma dostermos Sn.


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1 Caso: q = 1

Sn = a1 + a1.1 + a1.1+ ... a1.q1-1Sn = a1 + a1 + a1 + ... + a1

Sn = n.a1

2 Caso: q 1

Sn = a1 + a1.q + a1q2 + ...+ a1.qn-1 (I)

q.Sn = a1.q+ a1.q + a1q3 + ...+ a1.qn-1 + a1.qn (II)

(II) (I) q.Sn Sn = a1 + a1.qn

(q 1)Sn = a1(-1 + qn)

( )1q

1qaS

n

1

n

=

Exemplos:

01) Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.G. (3, 6, 12,

...)

Resoluo:

( )1q

1qaS

n

1

n

=

a1 = 3,q = 2,n = 10Sn = ?

( )3069

12

123S

10

10=

=

02) D o valor de x na igualdade x + 3x + ... + 729x = 5 465,sabendo que os termos do primeiro membro formam umaP.G.

Resoluo:

( )1q

1qaS

n

1

n

=

a1 = x


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q = 3an = 729xSn = 5 465

Clculo de n:

an = a1.qn1 729x = x.3n 1

36 = 3n 1 n = 7

( )5x

1313x

54657

=

=

SOMA DE TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Se -1 < q < 1 e n , ento q n 0.

Substituindo em( )

1q1qa n

1

n

S

= , teremos:

( )1q

10aS 1n

=lim

q-1

aS 1=

Exemplos:

01) Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (5, 5/2,5/4,...).

Resoluo:

q-1a

S 1=

q = 5/2 5 = 1/2

a1 = 5

S = 5 ( 1 1/2) = 10S

= 10


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02) A soma dos infinitos termos da P.G. (x, x/2, x/4, ...) 5.

Determine x.

Resoluo:

q-1

a

S

1=

q = 1/2a1 = xS = 5

5 = x (1 1/2) 5 = x 1/2

x = 5/2

APLICAO:

01) No 1 dia de dezembro, um menino props ao pai que lhe desseR$ 1,00 e fosse, a cada dia, dobrando o valor da quantia diriaat 24 de dezembro. O filho usaria o dinheiro para comprar umpresente de Natal para o pai. De quanto vai dispor o filho paracomprar o presente?

02) Simplifique a expresso: ...xxxA 3 3 33 33 =

03) Considere a seqncia (Q1, Q2, Q3, ...) de infinitos quadrados. Olado do quadrado Q1 = 8 cm e os vrtices de cada quadrado, apartir do segundo, so os pontos mdios dos lados do quadradoprecedente. Calcular a soma das reas desses infinitosquadrados.


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PRODUTO DOS NPRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.

n

n1).a(a=P

Considere a P.G. (a1, a2, a3,..., an - 2, an - 1, an).

Vamos multiplicar os termos da seguinte forma:

(I) Pn = a1 . a2 . a3 . ... .an 2 .an 1 . an

(II) Pn = an .an 1 . an 2 . ... . a3 . a2 . a1

Multiplicamos as duas igualdades, membro a membro, eagrupamos os termos correspondentes:

Pn2 = (a1 . an).(a2 . an 1).(a3 . an 2). ... .(a3 . an 2).(a2 . an 1).(a1 . an)

Como temos n fatores e cada fator igual ao produto dos extremosa1 . an , podemos escrever a frmula:

Pn2 = (a1 . an)nn

n1).a(aP =

Exemplo:

01) Calcular o produto dos oito primeiros termos da P.G. (1/8, 1/4,1/2, ...)

Resoluo:a8 = 1/8.27, a8 = 16.

P8 = 48

2.1681 =

P8 = 16.

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