Matematica Financeira 2ª edição - IOB · 10 MateMática Financeira Para finalizar, inseri...
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MateMática Financeira
coM o uso da HP 12c
Agradecimento do Autor
Aos meus pais, Jaci Antunes de Caxias e Luzia Antunes Sales
A esposa e filhos, Nanci T. Y. Sales de Caxias, Henrique Y. de Caxias,
Alessandro Y. S. de Caxias e Eric Y. Sales de Caxias.
Que me inspiraram e me fizeram ver que a vida é um compromisso; portanto, devemos cumpri-la e que se
for tristeza, devemos superá-la.
Apresentação
A finalidade principal deste livro é auxiliar os inúmeros profis-sionais que são estudantes universitários, profissionais do mercado de capitais, gerentes de instituições financeiras, executivos financeiros de empresas e àqueles profissionais que não pertencem à área financeira e, portanto, não estão acostumados a trabalhar com todos esses con-ceitos financeiros de mercado.
O autor também concentrou esforços no sentido de transmitir co-nhecimentos, tendo a preocupação com a didática, a forma objetiva com que trata as diversas situações e a preocupação com a atualização das informações, permitindo assim um aprendizado passo a passo dos conceitos financeiros e uso da Calculadora Financeira HP 12C.
Como a maior parte dos leitores não está habituada a fazer uma leitura completa de um livro ou uma revista, procurei inserir também neste livro, de uma forma simplificada, os conceitos apresentados por outros autores, em muitos livros, de forma brilhante, e que merecem todo respeito e consideração pelas suas obras, pois é por meio delas que enriquecemos nosso conhecimento.
10 MateMática Financeira
Para finalizar, inseri inúmeros exercícios resolvidos e propostos, com o intuito de demonstrar da forma mais clara possível os conceitos aqui apresentados, pois acredito ser este o melhor processo de apren-dizagem.
Sumário
Capítulo 1 RAZÕES E PROPORÇÕES
1.1. Razões ................................................................................ 19
1.2. Na antiguidade, “PI” uma razão muito conhecida ............. 21
1.3. Proporções ......................................................................... 22
1.4. Grandezas diretamente proporcionais ............................... 23
1.5. Grandezas inversamente proporcionais ............................ 24
1.6. Porcentagem ....................................................................... 25
1.6.1. Vamos analisar alguns exemplos ............................. 27
1.7. Regra de sociedade ............................................................. 29
Capítulo 2 FUNÇÕES BÁSICAS DA CALCULADORA HP12C
2.1. Usando o Recurso da HP 12C ............................................ 33
2.1.2. Ligando e desligando a HP 12C .............................. 33
2.2. Testando a HP .................................................................... 34
12 MateMática Financeira
2.3. Conhecendo o teclado ........................................................ 34
2.3.1. Tecla de função branca ............................................ 34
2.3.2. Tecla de função amarela .......................................... 34
2.3.3. Tecla de função azul ................................................ 35
2.4. Ajustando o número de casas decimais no visor ................ 35
2.5. Arredondamento ............................................................... 35
2.6. Alterando os separadores (Ponto e Vírgula) ...................... 35
2.7. Notação científica ............................................................... 36
2.8. Como introduzir números com mais de 10 dígitos ........... 36
2.9. Introduzindo número negativo (CHS) ............................... 37
2.10. Parte inteira de um número (INTG) .................................. 38
2.11. Parte fracionária de um número (FRAC) ........................... 38
2.13. Função somatória (Σ) ...................................................... 38
2.14. Uso da função calendário ................................................... 39
2.15. Uso da função porcentagem (%) ........................................ 42
2.16. Operando com as memórias (STO).................................... 42
2.17. Como recuperar os valores colocados nas memórias 1 e 4 (RCL) ................................................................................. 43
2.18. Apagando o conteúdo apenas de uma memória ................ 43
2.19. Apagando todas as memórias ............................................. 44
2.20. Colocando o “C” na HP ..................................................... 44
2.21. Depreciação ........................................................................ 44
2.21.1. Critério linear ou de cotas constantes (SL) ........... 45
2.21.2. Critério soma dos dígitos ou de cole (SOYD) ....... 47
2.21.3. Critério do declínio em dobro (DB ) ..................... 49
2.21.4. Bond: (Price) e (YTM) ........................................... 51
MateMática Financeira 13
Capítulo 3 CONSIDERAÇÕES BÁSICAS DA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
3.1. Matemática ......................................................................... 55
3.1.1. Matemática financeira ............................................. 55
3.1.2. Conceitos básicos da matemática ............................ 56
3.2. Juros ................................................................................... 56
Capítulo 4 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
4.1. Conceito ............................................................................. 57
4.1.1. Aplicando o cálculo dos juros ................................. 58
4.2. Classificação quanto à taxa de juros simples (Linear) ...... 58
4.2.1. Vejamos o exemplo na tabela abaixo de como inci-dem os juros .......................................................... 59
4.3. Montante ............................................................................ 65
4.3.1. Aplicação ................................................................. 65
4.3.2. Exercícios ................................................................ 67
4.4. Juro exato e juro comercial ................................................ 70
4.4.1. Vejamos algumas aplicações .................................... 70
Capítulo 5 DESCONTO SIMPLES
5.1. Desconto Bancário ou Comercial ....................................... 73
5.1.1. Exemplos ................................................................. 74
5.2. Cálculo nas operações de desconto simples com séries va-riáveis e prazos variáveis .................................................... 77
5.3. Prazo médio para valores nominais e taxas iguais ............. 83
5.4. Prazo médio para valores nominais diferentes e taxa igual .. 84
14 MateMática Financeira
5.5. Desconto racional ou por dentro ....................................... 88
5.5.1. Exemplo ................................................................. 88
5.6. Desconto composto ............................................................ 89
5.6.1. Exemplo .................................................................. 89
5.6.1.1. fluxo de caixa da operação ........................ 90
5.6.2 Cáuculo do valor atual ou valor presente ............... 91
5.6.3. Exercícios ................................................................ 92
Capítulo 6 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO
6.1. Conceito ............................................................................ 97
6.1.1. Exemplos ................................................................. 98
6.2. Funções financeiras da HP 12C ......................................... 100
Capítulo 7 TAXA DE JUROS
7.1. Introdução .......................................................................... 103
7.2. Taxa proporcional .............................................................. 104
7.3. Taxa nominal ...................................................................... 104
7.4. Taxas equivalentes.............................................................. 104
7.4.1. Vejamos outra forma de usarmos a calculadora HP 12C 106
7.5. Taxa real ............................................................................. 112
7.6. Exercícios ........................................................................... 114
Capítulo 8 ANÁLISE DA RENTABILIDADE COMPARATIVA COM CDB/RDB PRÉ--FIXADO E PÓS-FIXADO
8.1. Introdução .......................................................................... 117
8.1.1. Tributação ............................................................... 118
MateMática Financeira 15
8.1.2. Aplicando o fator para acharmos a taxa ao mês do CDB e compararmos com a Poupança .................. 119
8.1.3. Vejamos outra forma de usarmos a calculadora HP 12C ........................................................................ 120
8.1.4. Exercícios ................................................................ 127
Capítulo 9 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
9.1. Conceito ............................................................................. 131
9.2. Equivalência entre conjunto de capitais ............................ 133
9.3. Exercícios ........................................................................... 137
Capítulo 10 MÉTODO DO VALOR PRESENTE
10.1. Conceito ............................................................................. 139
10.2. Exemplos ............................................................................ 143
Capítulo 11 MÉTODO DO VALOR FUTURO
11.1. Conceito ............................................................................. 147
11.2. Valor presente para valor futuro ......................................... 148
11.3. Diagrama do fluxo de caixa de uma série uniforme de pa-gamentos postecipados ...................................................... 149
Capítulo 12 FLUXOS DE CAIXA NÃO CONVENCIONAIS
12.1. Conceito ............................................................................. 155
12.2. Postecipado ........................................................................ 156
12.3. Antecipado ......................................................................... 156
12.3.1. Exemplos ............................................................... 160
16 MateMática Financeira
12.4. Diferido (carência) ............................................................. 161
12.5. Exercícios ........................................................................... 163
Capítulo 13 MÉTODO/TEMPO DE RECUPERAÇÃO DO CAPITAL (N)
13.1. Conceito ............................................................................ 167
13.1.1. Exemplos ............................................................... 168
13.2. Exercícios ........................................................................... 170
Capítulo 14 CÁLCULO DAS TAXAS DE JUROS EMBUTIDAS NOS EMPRÉSTIMOS
E FINANCIAMENTOS COM PARCELAS - UNIFORMES
14.1. Taxas de juros embutidas ................................................... 173
14.2. Conceitos básicos ............................................................... 174
14.2.1. O que é empréstimo bancário? .............................. 174
14.2.2. O que é financiamento? ......................................... 174
14.2.3. Empréstimos e financiamentos podem ser quita-dos antecipadamente? ........................................... 174
14.2.4. Existe algum limite para as taxas de juros cobra-das pelas instituições financeiras? ......................... 174
14.3. Estudo de caso ................................................................... 175
14.4. Exemplos ............................................................................ 176
14.4.1. Exemplo ................................................................ 177
14.4.2. Exemplo ................................................................ 178
Capítulo 15 UM POUCO DA HISTÓRIA DO CONSÓRCIO
15.1. O consórcio ........................................................................ 182
15.2. Nova lei dos consórcios - Lei nº 11.795, de 8 de outubro de 2008 .............................................................................. 182
15.2.1. Exemplo ............................................................... 183
MateMática Financeira 17
15.3. Resolução nº 3.517, de 06.12.2007 - CET ......................... 184
15.4. Exercícios ........................................................................... 186
Capítulo 16 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA
16.1. O que é o diagrama do fluxo de caixa? ............................. 189
16.1.2. Comentário ............................................................ 190
16.1.3. Demonstração de fluxo de investimento ................ 190
16.2. Taxa mínima de atratividade (TMA) .................................. 191
16.2.1. Esta taxa é formada a partir de 3 componentes bá-sicos ....................................................................... 191
16.3. Método do valor presente líquido (NPV) .......................... 192
16.4. Critérios de decisão ............................................................ 192
16.5. Exemplos ............................................................................ 193
16.6. Exercícios ........................................................................... 197
16.7. Método da taxa interna de retorno (TIR/IRR) ................. 198
16.7.1. Diagrama do fluxo de caixa .................................... 198
16.7.2. Fluxo de caixa - Shering consulting ....................... 198
16.7.3. Critérios de decisão .............................................. 199
16.7.4. Informação ............................................................ 200
16.8. Exercícios .......................................................................... 204
Capítulo 17 PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
17.1. Introdução ......................................................................... 207
17.2. Nomenclatura a ser adotada ............................................... 208
17.3. Sistema de Amortização Americano (SAA) ........................ 208
17.3.1. Sistema Americano com Devolução dos Juros du-rante a Carência ..................................................... 208
17.3.2. Sistema Americano com a Capitalização dos Juros 209
18 MateMática Financeira
17.4. Sistema de Amortização Constante (SAC) ........................ 210
17.4.1. Sistema de Amortização Constante sem Carência 210
17.4.2. Sistema de Amortização Constante com Carência 211
17.5. Sistema Francês de Amortização (Pré-fixado) .................. 212
17.6. Sistema de amortização misto (SAM) ............................... 214
17.7. Exercícios .......................................................................... 216
17.8. Tabela financeira ............................................................... 218
BIBLIOGRAFIA ........................................................................... 229
Capítulo 1
RAZÕES E PROPORÇÕES
1.1. RAZÕES
Conceito:
É de fácil compreensão, as aplicações que ocorrem em nosso dia a dia quando fazemos uso dos conceitos aplicados à Razão. Mas, antes, vamos entender da onde vem a palavra razão; ela vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, indicada por: A/B.
Outra forma de conceituarmos:
Podemos definir como razão entre dois números, dados numa certa ordem, com o segundo diferente de zero, o quociente entre o primeiro (Antecedente) e o segundo número (Consequente).
20 MateMática Financeira
A Razão entre dois números a e b com b ≠ 0,
é o quociente a
, ou a : b b
Onde:
a = antecedente
b = consequente
Assim temos:
• A razão entre 8 e 2 8
ou 8 : 2;
2
• A razão entre 20 e 5 20
ou 20 : 5. 5
Vamos analisar de um ângulo diferente:
Exemplos:
1. De cada 30 alunos que fizeram a prova, 5 foram reprovados
Razão = 5
30
2. De cada 20 calças fabricadas, 1 sai com defeito
Razão = 1
20
3. De 10 veículos comprados, 2 são brancos e 8, prata
Razão = 2 e 8
10 10
A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:
A = A/B
B
MateMática Financeira 21
Exemplo:
Tomemos a premícia apresentada na tabela abaixo:
Líquido Premissa 1 Premissa 2 Premissa 3 Premissa 4
Suco puro 4 8 8 30
Água 8 19 32 80
Suco pronto 12 27 40 110
Na Premissa 1, para cada 4 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 12 litros de suco pronto.
Na Premissa 2, para cada 8 litros de suco puro coloca-se 19 litros de água, perfazendo o total de 27 litros de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de Futebol um jogador faz 12 chutes a gol e marca 4 gols.
Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o nú-mero de gols pelo total de chutes, o que significa que o jogador mar-cou em média 1 gol para cada 3 chutes a gol, o que também pode ser representado como acerto de 33% do total de chutes.
4 : 12 = 1 : 4 = 0,33 ou 33%
Um pouco de história
1.2. NA ANTIGUIDADE, “PI” UMA RAZÃO MUITO CONHECIDA
Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda cir-cunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
Pi = 3,1415926535
Exemplo:
Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâme-tro da circunferência, temos uma razão notável:
C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...
22 MateMática Financeira
significando que:
C = Pi . D
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5 cm, então o perímetro da circunferência é igual a 9,43 cm.
Obs.: Devemos lembrar que o diâmetro é o dobro do raio.
Então, temos:
C = 3,1415926535..... x (2 x 1,5) 9,43 cm
1.3. PROPORÇÕES
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
A = C
B D
Um pouco de história
A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma re-lação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo “...” para indicar as proporções e, em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma:
8 : 4 :: 10 : 5
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divul-garam o emprego das proporções durante o período do Renascimento.
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção: A = C
B D
os números A e D são denominados extremos, enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A . D = B . C
MateMática Financeira 23
Exemplo: A fração 4/5 está em proporção com 8/10, pois:
4 = 8
5 10
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/2 esteja em proporção com 6/4.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
x = 6
2 4
Para obter x = 3
Entendemos por grandeza tudo aquilo que podemos mensurar, medir. Sabemos que cada grandeza não é independente, mas vincula-da a outra útil. A velocidade esta relacionada ao tempo. Ex.: quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto. As grandezas aqui são a velocidade e o tempo.
Outra relação: O salário está relacionado com os dias trabalhados, a construção de uma casa está relacionada ao número de operários trabalhando, pois quanto maior número de operários estiverem tra-balhando mais rápido será o término da construção da casa. Observe que, nesse caso, as grandezas são o número de operários e o tempo.
1.4. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Podemos dizer que duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao aumentarmos uma delas numa determinada razão, a outra aumenta nessa mesma proporção.
Vejamos o exemplo onde o litro do álcool custava R$ 0,40. To-mando como base esse dado, podemos formar a seguinte tabela:
Quantidade de álcool(em litros)
Quantidade a pagar(em reais)
1 0,40
2 0,80
3 1,20
24 MateMática Financeira
Note:
Que ao dobrar a quantidade de álcool, o preço também será dobrado.
Se triplicar a quantidade de álcool, o preço também será triplicado.
Por essa razão, as duas grandezas quantia a ser paga e quantidade de álcool são conhecidas como grandezas diretamente proporcionais.
Vamos a mais um exemplo:
Uma família que nos últimos anos cresceu de 1 filho para 3 filhos passou a ter os seguintes gastos mensais com alimentação:
Quantidade de filhos
Gasto com alimentação em (reais)
1 50,00
2 100,00
3 150,00
Note:
Que ao dobrar a quantidade de filhos, os gastos serão dobrados.
Ao triplicar a quantidade de filhos, os gastos serão triplicados.
As grandezas número de filhos e gastos com alimentação são di-retamente proporcionais
1.5. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Podemos dizer que duas grandezas são inversamente proporcio-nais quando ao aumentarmos uma delas numa determinada razão a outra diminui nessa mesma proporção.
Vejamos um exemplo na construção de um muro, onde serão em-pregados pedreiros para construí-lo.
Quantidade de pedreiros
Número de dias trabalhado
2 6
4 3
MateMática Financeira 25
Note:
Que 2 (dois) pedreiros conseguem levantar o muro em 6 (seis) dias.
Já 4 (quatro) pedreiros levantarão o muro em 3 (três) dias.
Por essa razão, as duas grandezas número de pedreiros e dias tra-balhados são conhecidas como grandezas inversamente proporcionais.
Vamos a mais um exemplo:
Um comerciante tem 12 agendas para distribuir entre seus clientes.
Observe a tabela:
Número declientes
Quantidade de agendas p/cada cliente
3 4
6 2
12 1
Note:
Se ele escolher apenas 3 clientes, cada um deles receberá 4 agendas.
Se ele escolher 6 clientes, cada um deles receberá 2 agendas.
Se ele escolher 12 clientes, cada um deles receberá 1 agenda.
As grandezas número de cliente e quantidade de agendas para cada cliente são inversamente proporcionais.
1.6. PORCENTAGEM
Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso dia a dia. Mas, infelizmente, muitas pessoas, alunos e até professores cometem erros grosseiros e utilizam métodos complicados para resol-verem problemas simples.
Na minha opinião, é o assunto matemático mais importante que aprendemos na escola e de muita utilidade em nossa vida, seja ela do-méstica, estudantil e profissional. No mundo dos negócios, das finanças e científico, constantemente se faz o uso da porcentagem.
