Matemática Financeira - 2º Edição - Ano 2006

S E R I E d U E S T Õ E S

M A T E M A T I C A F I N A N C E I R A

MAIS DE 270 QUESTÕES DE CONCURSOS E PROVAS RESOLVIDAS

2a Edição, Revista e Ampliada

2" Tiragem

Augusto C. Morgado Benjamin Cesar

ELSEVIERCAMPUSC O N C U R S O S

©2006, Eisevier Editora Ltda.

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Editoração Eletrônica Estúdio Castellani

Revisão Grafica Irenio Chaves

Coordenador da Séria Syfvio Motta

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ISBN 13: 978-85-352-2105-3

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CIP-Brasil. Catatogação-na-fonte. Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ

M845m2.ed. Morgado, A. C. (Augusto César), 1944-

Matemática financeira / Augusto C. Morgado, Benjamin Costa. - 2.ed. - Rio de Janeiro; Eisevier, 2006

220 p. - (questões) - 2 - Reimpressão.

inclui bibliografia ISBN 85-352-2105-0

1. Matemática financeira - Problemas, questões, exercícios.2. Serviço público - Brasil - Concursos. I. César, Benjamin.II. Título. III. Série.

06-0773. CDD 513.93 CD U 51-7

mailto:[email protected]

http://www.campus.com.br

Oi Autores

A U G U S TO C M O R G A D O

* Professor de Matemática Financeira da Fundação Getúlio Vargas no Rio de janeiro

* Ex-Professor de Matemática Financeira da PUC-Rio e de Matemática e Estatística da Escola Naval

B e n j a m i n C e s a r

* Professor de Matemática no Colégio Militar do Rio de Janeiro

* Ex-Professor no Colégio Naval

* Professor de Matemática Financeira na Academia do Concurso, na Companhia dos Módulos e no M&G no Rio de Janeiro

* Professor de Raciocínio Lógico na Academia do Concurso e na Companhia dos Módulos

* Autor do livro de Matemática Financeira, 5. ed. Rio de Janeiro, Editora Campus/EIsevier

Apresentação dos Autores

Neste novo trabalho, pretendemos fornecer aos candidatos aos concursos públicos mais uma ferramenta de estudo. Este é um material complementar que deverá ser de grande utilidade a todos aqueles que já fizeram algum curso de Matemática Financeira, seja em Preparatórios ou em um Curso Universitário.

Inicialmente, apresentamos um resumo teórico, onde, nos exemplos, resolvemos um total de 156 questões de concursos de todo o Brasil. Procuramos, todo o tempo, dar ênfase ao modelo de questões do tipo ESAF, pesquisando provas elaboradas pela própria ESAF, Fundação João Goulart, Fundação Carlos Chagas Fundação Cesgranrio e outras.

A seguir, passamos à resolução, na íntegra, de algumas provas dos últimos quatro anos. Nas 119 questões resolvidas, selecionamos as quatro últimas provas para Auditor da Receita Federal, a prova para Fiscal da Previdência Social, a mais recente prova para a SUSEP e aquelas para o Tribunal de Contas do Rio de Janeiro, para Analista do SERPRO, para Fiscal de ICMS em São Paulo e para o Instituto de Resseguros do Brasil, para a ANEEL, AFC e as mais recentes para Auditor da Receita e Técnico da Receita.

Estaremos à disposição para dúvidas, críticas ou sugestões através do e-mail: [email protected].

Desejamos a todos sucesso e que possam encontrar neste trabalho o complemento para os seus estudos, que poderá ser determinante na conquista de uma vaga.

Os A u t o r e s


Palavras da Coordenação

Augusto Morgado e Benjamin César constituem uma dupla de professores consagrados por anos de magistério, milhares de alunos e incontáveis sucessos.

A obra Matemática Financeira—220 Questões Resolvidas consegue aliar a teoria à prática de exercícios e de questões de concursos passados, de forma a garantir uma melhor fixação do conteúdo programático, possibilitando ao candidato uma revisão minuciosa dos temas antes da prova.

As questões foram cuidadosamente selecionadas, divididas por assunto, tudo com o intuito de facilitar o leitor e, ao final da obra, foram acrescentadas resoluções de provas de concursos anteriores.

Trata-se, sem dúvida, de uma obra de destaque, que vai se transformar em leitura obrigatória, tanto para todos aqueles que almejam o êxito em uma carreira pública quanto para quem pretende fixar os meandros da Matemática Financeira.

Sy l v i o m o t t a

Sumário

CAPÍTULO 1 Resumo Teórico-Percentagem.........................................................X

CAPÍTULO 2 juros Simples.....................................................................................9

CAPÍTULO 3 Descontos Simples.......................................................................... 23

CAPÍTULO 4 Juros Compostos............................................................................37

CAPÍTULO 5 Estudo das Taxas............................................................................ 47

CAPÍTULO 6 Convenções Linear e Exponencial................................................55

CAPÍTULO 7 Descontos Compostos....................................................................61

CAPÍTULO 8 Rendas Certas - Anuidades...........................................................77

CAPÍTULO 9 Sistemas de Amortização de Empréstimos.............................. 111

RESOLUÇÃO DE PROVAS.................................................................................... 133

Auditor Fiscal da Receita Federal - 2001 ............................... 133Auditor Fiscal da Receita Federal - 2002 -1~ Concurso....................................................................................137Auditor Fiscal da Receita Federal — 2~ Concurso......................142Auditor Fiscal da Receita Federal — 2003 ............................... 146Auditor Fiscal da Previdência Social - 2002 ........................... 149Técnico de Controle Extemo — TCM - 2003........................... 154Superintendência de Seguros Privados -Analista Técnico — 2002.............................................................. 159Fiscal de ICMS - SP.......................................................................163Analista SERPRO - 2001 ............................................................ 165Analista do Instituto de Resseguros do Brasil ~IRB - 2 00 4 .................................................................................... 170Especialista em Regulação - Área “C” -ANEEL - 2004......................................................................... 173Especialista em Regulação - Área “E” -ANEEL-2 0 0 4 ........................................................................... 177

Auditor de Finanças e Controle - STN — 2005 ....................... 182Auditor Federal da Receita Federal do Brasil -AFRFB - 2005 .............................................................................. 189Técnico da Receita Federal ~ TRF - Tecnologiada Informação - 2006 ................................................................. 194

TABELAS FINANCEIRAS.........................................................................................201

Capítulo

1

Resumo Teórico-Percentagem© © ©

Acrescentar p% a um valor x é multiplicar x por um fator de correção f (f maior que 1), dado por í = 1 +

100

EXEMPLO 1:

Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reajustado em 18%. Calcule o seu novo preço.

Solução:Valor inicial: 150Acréscimo: 18% ............f = 1,18Valor final: 150 x 1,18 = 177

Resposta: R$ 177,00

Reduzir um valor x de p% é multiplicar x por um fator de correção f (f menor

que 1), dado por f = 1 — —100

2 Série Q u estões: Matemática Financeira ELSEVIER

EXEMPLO 2:

Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reduzido em 18%. Calcule o seu novo valor.

Solução:Valor inicial: 150Redução: 18%................ fator: 0,82Valor final: 150 x 0,82 = 123

Resposta: R$ 123,00

Relações importantes:

. valor finalI.1 (correção) = ----------------valor inicial

EXEMPLO 3:

Um equipamento tem o seu preço reajustado de R$ 2.750,00 para R$ 3.080,00. Determine o percentual de acréscimo.

Solução:

f = 5 5 ? ^ ................ f = 1 ,1 2 .................p% = 12%2.750

Resposta: 12%

II. f (% acumulado) = produto dos fatores

EXEMPLO 4:

Os índices semestrais de inflação em certo ano foram de 4,2% e 5,5%, respectivamente. Determine o índice de inflação nesse ano.

Solução:f = 1,042 x 1,055 .......f = 1,09931.................... p% = 9,931%

Resposta: 9,931%

CAMPUS Capítulo 1 : Resumo Teórico-Percentagem 3

EXEMPLO 5:

O preço de um artigo tem reajuste de 7% e a seguir um novo reajuste, gerando um acumulado de 12%. Calcule o valor aproximado do percentual do segundo reajuste.

Resposta: 4,67%

EXEMPLO 6:

(F. R. - MS) Em 1998 um fundo de investimentos rendeu 25%; no acumulado de 1998 e 1999 este fundo rendeu 48%. Podemos afirmar que, em 1999, o fundo rendeu:a) menos de 18%;b) entre 18% e 19%;c) entre 19% e 20%;d) mais de 20%.

Solução:Rendimento em 98: 25% ...........f = 1,25Rendimento acumulado em 98/99: 48% ....... f = 1,48Rendimento em 99: ? %

f (99) = ü ? = l.,184........ p% = 18,4%1,25

Resposta: B

EXEMPLO 7:

(CEF) Se, em determinado ano, do início de setembro ao início de outubro, a onça-troy de ouro teve uma valorização de 25%, enquanto, do início de outubro ao início de novembro sofreu uma desvalorização de 10% , sabendo-se que, no início de novembro a onça-troy foi cotada a 289 dólares, é correto afirmar que o valor, em dólares, da onça-troy no início de setembro do referido ano era superior a:

Solução:

1,07 x f = 1,12 1,12

p% = 4,67%f= 1,0467.


a) 200 e inferior a 220;b) 220 e inferior a 240;c) 240 e inferior a 260;d) 260 e inferior a 280;e) 280 e inferior a 300.

EXEMPLO 8:

(MPU) O Governo Federal fixou, por meio de medida provisória, os percentuais de reajuste de 12% e de 15% para o salário mínimo e para as aposentadorias, respectivamente, vigorando a partir de Io de maio deste ano, correspondendo à reposição das perdas salariais ocorridas de maio/95 a abrü/96. No entanto, segundo a Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (FIPE), o índice de inflação correspondente àquele período foi de 20,03%. De acordo com esse índice, para que se recomponha exatamente o poder de compra, seria necessário acrescentar, respectivamente, aos novos valores do salário mínimo e das aposentadorias, um reajuste de:

Solução:Salário Mínimo: 12%Novo aumento para alcançar 20,03%?

Solução: |Seja V o valor da onça-troy de ouro no início do mês de setembro. |Setembro/outubro.......... + 25% ..........f = 1,25Outubro/novembro......... - 10% ..........f = 0,9 I

íV após as variações passou a valer 289.00 fLogo, V x 1,25 x 0,9 = 289 jV x 1,125 = 289 ............V= 256.89 §

Resposta: C I

a) 8,03% e 5,03%; %b) 7,85% e 4,87%; 1tfc) 7,43% e 4,73%; 1d) 7,17% e 4,37%; Ie) 7,03% e 4,33%.

CAMPUS C apítulo 1: Resumo Teórico-Percentagem

1,12 x f = 1,2003 12003f - = 1 0 7 1 7 — p% = 7,17%

1,12Aposentadoria: 15%Novo aumento para alcançar 20,03%?

1,15 x f = 1,2003

1 2003f = = 1,0437 — p% = 4,37%1,15

Resposta: D

f (ganho nominal)III. f (ganho real)f (infíaçao)

EXEMPLO 9:

(AAP - PREVRIO) Uma aplicação semestral foi remunerada à taxa de 30%. Se nesse período a inflação foi de 25% o ganho real desse investimento corresponde a:a) 3,5%;b) 4,0%;c) 4,5%;d) 5,0%.

Solução:Ganho nominal: 30%......f(ganho nominal) = 1,30Inflação: 25%.....f(inflação) - 1,25Ganho real: ?........ fator f

f = ........ f = 1,04...........p% * 4%125

Ganho real: 4%

Resposta: B

6 Série Q uestões: Matemática Financeira' ELSEVIER

EXEMPLO 10:

(BESC) Uma rentabilidade nominal de 80% em um período em que a inflação foi de 20%, eqüivale a uma rentabilidade real de:a) 20%;b) 44%;c) 50%;d) 55%;e) 60%.

f (ganho nominal) = 1,8 f (inflação) = 1,2 fator f

p% = 50%

Resposta: C

EXEMPLO 11:

(F. R - MS) A taxa de inflação acumulada em 1999 medida pelo 1GP-M foi de 20,10%. Um investidor afirma ter auferido, em uma aplicação financeira, um rendimento real de 12% ao longo de 1999, usando o IGP-M como índice de inflação. Sua taxa efetiva de juros auferida em 1999 foi de aproximadamente:a) 34,5%;b) 33,8%;c) 33,1%;d) 32,1%.

Solução:Inflação: 20,10% ..................f = 1,201Taxa real: 12% ....................... f = 1,12Taxa efetiva = ? %

f (taxa real)f (inflação)

f (taxa efetiva) = 1,12 x 1,201 = 1 ,34512 .............p % = 34,512%

Resposta: A

Solução:Ganho nominal: 80%.Inflação: 20% .............Ganho real: ?..............

f = í £ .............f= 1,5L2

CAMPUS Capítufo 1: Resumo Teórico-Percentagem 7

EXEMPLO 12:

(AF - GO) Com uma inflação anual de 12% admitindo-se que o salário foi corrigido em 8%, a variação real do poder de compra de um assalariado é de:a) -3 ,57% ;b) + 3,57%c) ~ 3,70%d) + 3,70%e) - 4,00%.

Solução:Inflação: 12% .............f = 1,12Correção do salário, que é o ganho nominal: 8% ......... f = 1,08Ganho real, que na verdade é uma perda real: ? % ............f = ?

f = i í ^ ............... f= 0,96431,12

como o fator é menor que 1, a perda é de 1 - 0,9643 = 0,0357 = 3,57%

Resposta: A

EXEMPLO 13:

(CVM) A inflação acumulada no primeiro semestre de determinado ano foi de 20%. Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 no início deste período e resgatou R$ 18.000,00 no final. A taxa real de retomo no período de aplicação foi de:a) 25%;b) 27,5%;c) 30%;d) 45%;e) 50%.

Solução:Inflação: 20%Aplicação: 12 .000 ............resgate: 18.000

Ganho nominal da aplicação: f = ■ = 1 ,5 .............. p% = 50%1Z000

Taxa real: ?

f (taxa real) = i ? = 1 ,2 5 ............... p% = 25%1,2

Resposta: A

8 Série Q uestões: Matemática Financeira ELSEVIER

EXEMPLO 14:

(CEF) Sabe-se que a remuneração da Caderneta de Poupança é igual à variação da TR (Taxa referencial de juros) mais juros de 6% a a . (linear, ou seja, 0,5% a m .). O montante de uma aplicação de R$ 2.000,00 por um mês, em que a TR foiigual a 0,65% é iguala) R$ 2.200,00;b) R$ 2.133,78-;c) R$ 2.113,65;d) R$ 2.023,07;e) R$ 2.013,00.

Solução:Taxa real de juros: 0,5% a. m...............f = 1,005TR: 0,65% ................f= 1,0065Ganho nominal:........... f = 1,005 x 1,0065 = 1,0115325M = 2.000 x 1,0115325 ........... M = 2.023,07

Resposta: D

Capítulo

1Juros Simples

0 • o

C: Capital Inicial (Principal). 1: taxa percentual de juros, t: prazo de aplicação.

M

p%: percentual de remuneração total da aplicação de C, ou seja, percentual de juros.Quando i está referida na mesma unidade de t:

p% = i x tJ: Juros simples

J = p% . C

M: Montante, valor a ser resgatado.O montante corresponde ao capital inicial acrescido dos juros, ou seja, do percentual p%:

M - C x f

Sendo f o fator de correção relativo ao acréscimo de p%.

10 Sérte Q uestões: Matemática Financeira ELSEVIER

Juros Comerciais ou Ordinários: adotam o ano comercial (360 dias) e o mês comercial (30 dias).Juros Exatos: adotam o ano civil (365 dias ou 366 dias) e utilizam, preferencialmente, á taxa anual.

EXEMPLO 1:

Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 60% ao ano durante 7 meses. Qual o montante dessa aplicação?

Solução:C = 10.000 .......... i = 60% a. a................ t = 7 mesesM * ?

í = 60% a. a. = — = 5% a. m.12

Obs.: 60% ao ano e 5% ao mês são taxas equivalentes a juros simples.

p% = i x t ......... p% = 5% x 7 = 35% ..............f = 1,35M = 10.000 x 1,35 .......... M = 13.500

Resposta: R$ 13.500,00

EXEMPLO 2:

(TCE - PI) Durante o mês de abril, um capital de R$ 20.000,00 foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, tendo produzido um montante de R$ 24.800,00. A taxa anual de juros simples a que esse capital esteve aplicado foi de:a) 30%;b) 80%;c) 120%;d) 360%;e) 720%.

Solução:

C = 20.000 ..............M = 24.800................ t = 24 dias = — a.360

r 24SOO r ~ , Q/ -w0/f = ............ ......... f = 1 ,2 4 ................p% = 24%20.000

CAMPUS Capítulo 2 : Juros Simpies IX

24% = ix t ............24% = i x ........ ............i = 360% a. a.360

Resposta: D

EXEMPLO 3:

(CONTADOR - Recife) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa de 3% ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial?a) 3 meses e meio;b) 4 meses;c) 4 meses e 10 dias;d) 4 meses e melo;e) 4 meses e 20 dias.

Solução:J = 14% . C ...............p% = 14%i = 3% a. m.

14% = i x t .......14% = 3 % x t ...

t = 140 dias = 4 meses e 20 dias

Resposta: £

EXEMPLO 4:

(CEF) Um capital foi aplicado a juros simples es ao completar um período de7

um ano e quatro meses, produziu um montante equivalente a — de seu valor. A

taxa mensal dessa aplicação foi de:a) 2%;b) 2,2%;c) 2,5%;d) 2 ,6%;e) 2,8%.

2 4

, 14 14 A-t = — m. - — x 30 dias 3 3

12 S érie Q uestões: Matemática Financeira ELSEVTER

Solução:

C ......t = 1 ano 4 meses = 16 meses

M - 1,4 C ........f - 1 ,4 ...........p% = 40%40% = i x t ........... 40% = i x 1 6 ............... i = 2,5% a. m.

Resposta: C

EXEMPLO 5:

(BESC) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra, e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a:a) 14,29%b) 13,33%c) 9,86%d) 7,14%e) 6,67%

Solução:À vista: 150A prazo: 80 (no ato) + 80 (30 dias) i = ? % a. m.Ao pagar um valor no ato de 80, o valor financiado serâ: 150 - 80 ~ 70 Por esse financiamento pagará 80, em 1 mês.C = 7 0 ......... M = 8 0 .............. t = 1 m ês...........i = ? % a. m

Resposta: A

EXEMPLO 6:

(FT - ES) Uma loja de eletrodomésticos vende uma televisão por R$ 1.500,00 à vista. A prazo, a loja vende por R$ 1.800,00, sendo R$ 300,00 de entrada e o restante após 1 ano. Sabendo-se que a loja de eletrodomésticos opera com juros simples, a taxa de juros cobrada, ao ano, é de: ^

f = 5 5 = 1,1429, 70

14,29% = i x t 14,29% = i x l

p% = 14,29%

i = 14,29% a. m.

CAMPUS Capítulo 2 : Juros Simples 13

a) 10,00 %;b) 16,66 %;c) 20,00 %;d) 25,00%;e) 40,00%.

Solução:À vista: 1.500A prazo: 1.800 ....... 300 (no ato) + 1.500 (em 1 ano)i = ? % a. a.

Ao pagar uma entrada de 300, o valor a ser financiado será de: 1.500 - 300 =1.200 (a entrada é abatida do preço à vista).Por esse financiamento serão pagos 1.500 em 1 ano .C = 1 .200 ......... M = 1 .500 ............t = 1 an o ..........i = ?% a. a.

1500f = = 1 ,2 5 ..............p% = 25% = i x t1200

25% = i x l .......... i — 25% a. a.

Resposta: D

EXEMPLO 7:

(Cia Docas RJ) Um comerciante anuncia uma mercadoria por certo valor e oferece a seus fregueses duas formas de pagamento: à vista com 10% de desconto, ou o preço anunciado reajustado em 20% e dividido em duas parcelas iguais, sendo uma no ato da compra e a outra 30 dias depois. Qual é a taxa mensal de juros efetivamente cobrada no pagamento parcelado?a) 15%;b) 17%;c) 30%;d) 50%;e) 100%.

Solução:Preço anunciado: 100 (suposição)À vista: desconto de 10% ............90 (que é o valor real da mercadoria)ou


novo valor: 100 x 1,2 = 120 a pagar: 60 no ato e 60 em 30 dias.O valor pago no ato deve ser abatido do valor à vista: 90 - 60 = 30 Financiamento: 3 0 .......... pagamento: 60 em 1 mês...........i = ? % a. m.

f = — = 2 ..............p% = 100%30

Resposta: E

EXEMPLO 8:(AFTN) João colocou metade do seu capital a juros simples pelo prazo de seis meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de quatro meses. Sabendo-se que ao final das aplicações os montantes eram de $ 117.000 e $ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de:a) $ 150.000;b) $ 160.000;c) $ 170.000;d) $ 180.000;e) $ 200.000.

Solução:Seja 2C o capital inicialC ......... J S ....... t = 6 meses........ M = 117.000C ......... J S ........t = 4 meses..........M = 108.0002C = ?J : juro mensal produzido pelo capital C.C + 6J = 117.000 C + 4J = 108.000Resolvendo o sistema: J = 4.500 eC = 90.000 Logo, 2C = 180.000

Resposta: D

CAMPUS Capítulo 2 : Juros Simples 15

EXEMPLO 9:

(CEF) Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?a) 5 meses;b) 7 meses e meio;c) 10 meses;d) 12 meses;e) 18 meses.

Solução:C ........... t= 15 meses.................................. ia. m.3 C ........ t= ? meses.................J2 = 2 J x .......... i a. m.

Seja J o juro mensal gerado pelo capital C .......J x = 15J

Logo, o juro mensal gerado pelo capital 3C será 3 J. Em t meses o juro produzido seráj2 = t x 3 J.Mas, J 2 = 2 J j .................. t x 3 J = 2 x l 5 Jt = 10 meses.

Resposta: C

EXEMPLO 10:

(CVM) Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi:a) R$ 24.000,00;b) R$ 20.800,00;c) R$ 15.200,00;d) R$ 12.500,00;e) R$ 10.400,00.

Solução:C .............................................................. t = 18 meses.rendimento: 7.2002 C ............... t = 2 anos = 24 meses M = 40.000


Seja J o juro mensal produzido pelo capital C.7.200 = 18 x j .......... J = 400

Logo, o capital 2C irá gerar juros 2J por mês: 2J ~ 800 Em 24 meses, o juro total será: 24 x 800 = 19.20040.000 = 2C + 19.200 C = 10.400

Resposta: E

EXEMPLO 11:

(FT - ES) Um banco comercial empresta R$ 10.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, com uma taxa de 5% ao mês, juros simples, cobrados antecipadamente. Dessa forma, o valor líquido liberado pelo banco é de R$ 8.500,00, eo cliente deve pagar os R$ 10.000,00 no final do 3a mês. Além disso, o banco exige um saldo médio de R$ 1.000,00 ao longo de todo o prazo do empréstimo. Com base nestas informações podemos afirmar que a taxa de rentabilidade mensal do banco nessa operação, a juros simples, é:a) 6,67%;b) 9,80%;c) 11,11%;d) 20,00%;e) 33,33%.

Solução:Empréstimo: 10.000Juros: p% - i x t .............p% = 5% x 3 = 15%J = 15% . 10.000........... J = 1.500Como os juros são cobrados antecipadamente:

como o banco exige 1.000, de saldo médio, o cliente disporá somente de 7.500 e pagará 9.000 ao final de 3 meses.

Liberado8.500

A pagar em 3 meses10.000

M = 9.000 t = 3 meses/

CAMPUS Capítsilo 2: Juros Simples 17

7500 20% = i x 3

p% =■ 20% = i x t

i = 6,67% a. m.

Resposta: A

EXEMPLO 12:

(CVM) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de:a) R$ 4.400,00;b) R$ 4.000,00;c) R$ 3.600,00;d) R$ 3.200,00;e) R$ 2.800,00.

Solução:Q - 10.000......... t meses.........i = 2% a. m......... p% = i x t = 2 t%C2 = 8.000 .(t - 2) meses.................. i = 4% a. m.......... p% - i x t = 4 ( t - 2 ) %

Como Ml = M2, e a diferença entre os capitais é de R$ 2.000,00, os juros do segundo capital irão superar os juros do primeiro em R$ 2.000,00. j 2 = 4 (t - 2) % . 8.000 jj * (2 t) % . 10.000 J2 =Ji * 2.000

- (t - 2) *8.000 = — * 10.000 -4*2.000 100 100

resolvendo, t = 22 meses.

j = 1 ^ 2 ? . 1000 = 4.400,00 100

Resposta: A

18 Série Q uestões: Matemática Financeira ELSEV1ER

EXEMPLO 13:

(FT-Santos) Dois capitais foram aplicados a juro simples, o primeiro por 4 meses à taxa de 3% ao mês e o segundo por 5 meses à taxa de 4% ao mês. Se a soma dos dois capitais é igual a R$ 6.200,00 e o juro total acumulado nessas aplicações foi de R$ 960,00, o maior capital excede o menor em:a) R$ 620,00b) R$ 750,00c) R$ 800,00d) R$ 845,00e) R$ 930,00

Solução:

Cj + = 6.200Sendo o capital Q = C, C2 será igual a 6.200 - CC ....................... i = 3% a m................ t = 4 meses..................p% = i x t = 12%

J x *= 12% . C6.200 - C ....í = 4% a m.................t = 5 meses................. .p% = i x t = 20%

J 2 = 20% .(6.200 - C)Mas, Ji + J2 = 960.

X L . c + — . (6200 - C) = 960 100 100

12. C + 124.000 - 20.C = 96.000- 8.C = - 28.000 .......C = 3.500

Logo, C2 = 6.200 - 3.500 = 2.700 A diferença entre os capitais serã: 3.500 - 2.700 = 800,00

Resposta: C

EXEMPLO 14:

(CVM) Determinado capital foi aplicado a prazo fixo durante um período à taxa de juros simples de 30% ao ano. Decorrido o prazo, o montante no valor total de R$ 23.400,00 foi aplicado por mais um período igual ao da aplicação inicial, à taxa de juros simples de 36% ao ano. Sendo o montante final de RS 26.910,00, o capital da primeira aplicação corresponde a:

CAMPUS Capítulo 2 : Juros Simples

a) R$ 18.000,00;b) R$ 20.700,00;c) R$ 20.800,00;d) R$ 21.000,00;e) R$ 22.000,00.

Solução:C ........ . i = 30% a. a......... t ............ M = 23.40023.40 0 .............................................................i = 36% a. a.......... t ........... M final = 26.910, 26.910 1 , o / i ^ o /i = ........... ~ 1 ,1 5 .............. p% = 15%

23.400

p% = ix t .............15% = 36% x t ............. t = — = — a. = 5 meses.36 12

C .......... i = 30% a. a. = 2,5 % a. m.............. t = 5 meses.............. M = 23.400p% = i x t .......... p% = 2,5% x 5 = 12,5% ................ f - 1,12523.400 = C x 1 ,125 .............C = 20.800

Resposta: C

EXEMPLO 1 Si

(AFTN) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano (1998). Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos:a) R$ 705,00;b) R$ 720,00;c) R$ 725,00;d) R$ 715,00;e) R$ 735,00.

Solução:C = 10.000 12/04 -— 05/09 12 a 30 / 04 18 diasmaio 31 diasjunho 30 dias


julho 31 diasagosto 31 dias01 a 05 / 09 05 diastotal: 146 dias (juros exatos)

146t = — = 0,4 a.365

i = 18% a.a.p% = i x t = 18% x 0,4 = 7,2%J = 7,2% de 10 .000-----J = 720,00

Resposta: B

Taxa Média, Prazo Médio, Capital Médio

Considere os capitais Cl5 C2 e C3 e as respectivas condições de aplicação.

Q h liQ h hC3 h l3

Todos os prazos e todas as taxas estão referidas a uma mesma unidade de tempo. SejaJ o juro total produzido nessas aplicações.

Taxa Média (im): é uma mesma taxa que substituindo ij, i2, e i3 gera o mesmo juro J nas aplicações de Cx, C2 e C3 nos seus respectivos prazos.Assim, a taxa média (im) é a média ponderada das taxas, onde os pesos serão os produtos de cada capital pelo seu respectivo prazo de aplicação.

í = ^1 ~ ^ 2 X ^ 2 **2 ~ ^ 3 X ^-3 ‘*3

Cj -t + C 2 *t2 +C3 "t

Com raciocínios semelhantes concluímos que:

, t, xC, *i, +U x C , -i, + t, xC , -i.Prazo médio: tm = ^ ? \

Capital médio: Cm =

*Xj 1 C 2 *^2 "^*^3 “I3

_ Cl x i2 -tx +C 2 x i2 -t2 +C3 xi3 >t

CAMPUS Capitulo 2 : Juros Simples 21

EXEMPLO 16:

(ATM - Fortaleza) Os capitais de 200,300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal média de aplicação destes capitais:a) 2,5%;b) 3%;c) 3,5%;d) 4%;e) 4,5%.

Solução:Q = 200.............i = 4% a. m............... tC2 = 300............. i = 2,5% a. m............ tC3 = 100............. i = 5,5% a. m............ t

i m = ? % a. m.Como o prazo de aplicação é o mesmo, não influencia no cálculo da média.0 valor da taxa média é dado pela média ponderada das taxas, cujos pesos são os capitais.

4% x 200 +2,5% x 300+5,5% x 100 eo/1 ~ ---------------- 1-----------------------------== 3,5% a. m.200+300 + 100

Resposta: C

EXEMPLO 17;

(AFTN) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante quatro, três e dois meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais:a) três meses e dez dias;b) dois meses e meio;c) três meses;d) dois meses e vinte e um dias;e) três meses e vinte dias.


Solução:

O valor do prazo médio é dado pela média ponderada dos prazos, cujos pesos são os capitais.Q = 20 .000------- i -------- t = 4 mesesC2 = 30 .000------- i -------- t = 3 mesesC3 = 50 .000------- i -------- t - 2 meses

t 4 x 20 000 + 3 x 3aQQ0+ 2 x 50000m ” 20.000+30.000+50.000

27 27tm - — m = — x 30 dias = 81 dias = 2 meses e 21 dias 10 10

Resposta: D

Capítulo

« ® ®

N; valor nominal (ou de face) do título —> valor na data do vencimento. A: valor atual (ou valor descontado) —> valor na data do desconto, i: taxa percentual de desconto, t: prazo de antecipação.

p%: percentual de desconto.Quando i está referida na mesma unidade de t ,

p% = i x t

Há duas modalidades de desconto.

lâ modalidade: Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora -» D D corresponde a calcular p% sobre o nominal:

D = p% . N e A = N - D

A


Essa modalidade de desconto é rentável para o banco, ou seja, gera para o cliente o pagamento de uma taxa de juros maior que a taxa de desconto (iD) aplicada. Essa taxa de juros é a taxa efetiva (i^) da operação.

W > íü

taxa efetiva de jurostaxa implícita da operação

ef‘ taxa de rentabilidade para o banco custo real

Conclusão:

CLIENTE:

Valor nominal: N

Valor atual: A

Prazo de antecipação: t

Taxa de desconto comercial: iD

BANCO:

Capital aplicado: A

Montante: N

Prazo de aplicação: t

Taxa de juros da operação: ief

EXEMPLO 1:

(BACEN) O valor do desconto simples por fora, de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 120 dias à taxa de 3% ao mês, é, em reais:a) 320,00;b) 120,00;c) 240,00;d) 340,00;e) 420,00.

Solução:D = ?N = 2 .000 ,00.......... t = 120 dias = 4 meses............. i = 3% a.m.p% = i x t ......... p% = 3% x 4 = 12%D = 12% de 2 .0 0 0 ........D = 240,00

Resposta: C

CAMPUS Capítulo 3 : Descontos Simpies 25

EXEMPLO 2:

(CVM) Uma nota promissória no valor nominal de R$ 50.000,00 vence no dia 30 de abril. Uma negociação para resgatá-la no dia 10 de abril, a uma taxa de desconto comercial simples de 4,5% ao mês, implicaria num desembolso de:a) R$ 44.000,00;b) R$ 45.500,00;c) R$ 47.000,00;d) R$ 48.500,00;e) R$ 50.000,00.

Solução:N- 50.000..................A = ?

20 2Vencimento: 30 / 04.......Resgate: 10 / 04 ...... Antecipação: 20 dias = — = — m.30 3

D ........... i = 4,5% a. m.

p% = i x t ......... p% = 4,5% x - = 3%3

D = 3% . N ......A = 97%. 50.000A = 48.500

Resposta: D

EXEMPLO 3i

(AFTN) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence em três meses. O banco com o qual você, normalmente, opera, além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora), também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor, desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco, receberá líquidos, hoje, $ 105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é:a) 5,0%;b) 5,2%;c) 4,6%;d) 4,8%;e) 5,4%.

26 Série Q uestões: Matemática Rnanceíra ELSEVIER

Solução:N = 1 5 0 .......... t = 3 meses.Retenção 15%Valor líquido: 1 0 5 .......... DLogo, foram descontados: 45,0045 = p% . 150.............p% - 30%Daí, p% - 30% = i x t + retenção 30% = i x 3 + 15% ......... i = 5% a. m.

Resposta: A

EXEMPLO 4:

(CVM) Certa empresa desconta em um banco três duplicatas na mesma data, ã taxa de desconto comercial simples de 6% ao mês, conforme abaixo:

DUPLICATA VALOR NOMINAL(R$) PRAZO ATÉ O VENCIMENTO

1 10.000,00 30 dias

2 12.000,00 75 dias

3 20.000,00 90 dias

0 valor líquido recebido pela empresa foi de:a) R$ 42.000,00;b) R$ 39.000,00c) R$ 36.720,00d) R$ 36.000,00e) R$ 25.620,00.

Solução:1 = 6% a.m. = 0,2% a. d............ D

Duplicata 1: p% = i x t p% = 0,2% x 30 = 6%D = 6% . N .............A - 94% . 10.000A = 9.400

CAMPUS Capítulo 3: Descontos Simples 27

Duplicata 2: p% = i x t p% = 0,2% x 75 = 15%D = 15% . N .......... A = 85% . 12.000A = 10.200

Duplicata 3: p% = i x t p% = 0,2% x 90 = 18%D = 18% . N ............. A = 82% . 20.000A = 16.400Valor líquido total: 9.400 + 10.200 + 16.400 = 36.000

Resposta: D

EXEMPLO 5:

(AFC) Um indivíduo obteve um desconto de 10% sobre o valor de face de um título ao resgatá-lo um mês antes de seu vencimento em um banco. Como esta operação representou um empréstimo realizado pelo banco, obtenha a taxa de juros simples em que o banco aplicou os seus recursos nessa operação:a) 9% ao mês;b) 10% ao mês;c) 11,11% ao mês;d) 12,12% ao mês;e) 15% ao mês.

Solução:N = 100 (suposição)........... t = 1 m ês.......... desconto: 10%Valor líquido: A = 90% . N ............A = 90Taxa efetiva = ?C = 9 0 .............M = 100.............t = 1 mês

f = - M = 1 ,1111.............p%= 11,11%90

11,11% = i x t ...........11,11- i x 1 ............ i = 11,11% a. m.

Resposta: C

28 Série Q uestões: Matemática financeira ELSEVIER

EXEMPLO 6:

(CVM) Determinado título é descontado 6 meses antes de seu vencimento à taxa de desconto comercial simples de 6% ao mês. A taxa efetiva semestral correspondente a esta operação é de:a) 24%;b) 32%;c) 36%;d) 42,50%;e) 56,25%.

Solução:D .......t = 6 meses............... i = 6% a. m...............N - 100 (suposição)p% = i x t .........p% = 6% x 6 = 36%D = 36% . N ..............A = 64%. 100A = 64

Taxa efetiva semestral = ?C = 64................. M = 1 0 0 .............t = 1 semestre

f = 122 = 1,5625 ........p% = 56,25%64

56,25% = i x 1 ............ i = 56,25% a. s.

Resposta: E

EXEMPLO 7:

(CONTADOR - RJ) Uma duplicata de R$ 20.000,00 foi descontada pela modalidade de desconto comercial simples 120 dias antes do vencimento. Sabendo-se que o valor líquido liberado pelo banco foi de R$ 18.000,00 e que o banco cobrou uma comissão de 2% sobre o valor nominal da duplicata, a taxa mensal de desconto e a taxa linear efetiva da operação são respectivamente:a) 2 ,0% ao mês e 2,18% ao mês;b) 2,0% ao mês e 2,78% ao mês;c) 2,5% ao mês e 2,0% ao mês;d) 2,5 % ao mês e 2,48% ao mês;e) 2,4% ao mês e 1,98% ao mês.

CAMPUS Capítulo 3 : Descontos Simples 29

Solução:N = 20 .000 .......... D .t = 120 dias = 4 meses...........................Valor líquido: 18.000Comissão: 2%Total do desconto: 20.000 - 18.000 = 2.000

2.000 = p% . N ............2.000 = - ü - . 20.000 ............p% * 10%100

p% = i x t + comissão.............10% = i x 4 + 2% ..........i = 2% a. m.taxa efetiva:C = 18 .000 ........... M = 20 .000 ...........t - 4 meses .f M 20.000 0/ n 110/f = — = ---------= 1,1111.......... p% = 11,11%

C 18.000p% = i x t ........ 11,11% = i x 4 ............. i = 2,78% a. m.

Resposta: B

EXEMPLO 8;

(AN. ORÇ. - RJ) Uma Empresa dispõe de uma duplicata de R$ 12.000,00, com vencimento em três meses. Ao procurar um banco e propor o desconto da duplicata, é informada que a taxa de desconto simples por fora é de 10% a.m. e ainda há a cobrança de uma taxa fixa de R$ 20,00 (cobrada na data de desconto) a título de taxa de administração. Que taxa de juros simples mensal equivalente foi cobrada pelo banco, referente ao adiantamento dos recursos?a) 14,10%;b) 14,40%;c) 14,15%;d) 14,60%.

Solução:N = 1 .2 0 0 ......... t = 3meses............D ............. 1 = 10% a.m.+ taxa de 20,00 (a ser paga) p % = i x t = 10% x 3 = 30%D = 30% de N logo A = 70% . NA = 70% .12 .000.......... A = 8.400Valor líquido a receber: 8.400 - 20 = 8.380


Para o banco:C = 8.380......... M = 12.000..........t = 3 mesesi« ?

f «2^ 222 = 1 4 3 2 ........... p% = 43 ,2%8380

p% = i x t ......... 43,2% = i x 3i = 14,4% a. m.

Resposta: B

2- Modalidade: Desconto racional, Por Dentro —> d

Calcular o desconto racional d corresponde a aplicar p% sobre o valor atual.

d = p% . A e N = A + d

A rigor, o desconto racional corresponde a descapitalizar o valor nominal de p%.

NAssim, A = — onde f é o fator de correção relativo ao percentual p%.

Daí, concluímos que N = A x f , ou seja, N é montante de A.

EXEMPLO 9:

(AFTN) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total de pagamentos, serã paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor finan-ciado é:a) $ 816,55;b) $ 900,00;c) $ 945,00;d) $ 970,00;e) $ 995,00.


Solução:i = 10% a.m. (juros simples) total dos pagamentos: 14001- Pagamento: 70%. 1.400 = 9 8 0 ......... t - 4 meses..........i = 10% a. m.percentual de descapitalização: p% = i x t ......... p% = 10% x 4 = 40%fator: 1,42- Pagamento: 30%. 1.400 = 4 2 0 ........ t = 11 meses...........i = 10% a. m.percentual de descapitalização: p% = i x t ......... p% - 10% x 11 = 110%fator: 2,10 valor financiado V serã:

V= — + — = 9001,4 2,1

Resposta: B

EXEMPLO 10:

(AFTN) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxa para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações.Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $ 11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias.Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 10® mês; a segunda ao final do 30a mês; a terceira ao final do 70a mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das prestações é:a) $ 8 .200,00;b) $ 9.333,33;c) $ 10.752,31;d) $ 11.200, 00 ;e) $ 12.933,60.

Solução:1 = 2 % a. m.


É necessário descapitalizar todas as prestações, para a data 0 , a juros simples.

p p p

fõ 1 2 13 10 30 701 T

11.024 11.024

11.024 (2 meses): p% - 2% x 2 = 4 % ........fator: 1,0411.024 (3 meses): p% = 2% x 3 - 6 % ..........fator: 1,06P (10 meses): p% = 2% x 10 = 20 % ......... fator: 1,2P (30 meses): p% = 2% x 30 = 60 %.......... fator: 1,6P (70 meses): p% = 2% x 70 * 140 % .......fator: 2,4

O valor do financiamento é o mesmo em qualquer das condições, logo:

11.024 11.024 _ P P P1,04 1,06 1,2 1,6 2,4

P P P21. 000 = -—-+ -— +-L_1,2 1,6 2,4

J ni a™ 10-P p 10-Pescrevendo: 21.000 = -------i----------h------12 16 24

e resolvendo, encontramos P = 11.200

Resposta: D

Relação entre o s D e scon to s

Calculados os descontos comercial (D) e racional (d) nas mesmas condições, sendo p% - i x t e f o fator.

t> é montante de d ................ D = d x f

EXEMPLO 11:

(CONTADOR - PE) Uma nota promissória é resgatada dois meses antes do seu vencimento com um desconto comercial simples de R$ 330,00 a uma taxa de 5% ao mês. Calcule o valor do desconto caso este fosse um desconto racional simples à mesma taxa:

CAMPUS Capítulo 3: Descontos Simples 33

a) R$ 360,00;b) R$ 330,00;c) R$ 300,00;d) R$ 270,00;e) R$ 240,00.

Solução:D = 3 3 0 ......... t ~ 2 meses............ 1 = 5% a. m.d = ?p% = i x t = 5% x 2 = 10 %........... f = 1,1D é montante de d ......D - d x f330 = d x 1 ,1 ......... d = 300,00

Resposta: C

EXEMPLO 12:

(TCM - RJ) Um título de crédito foi descontado pela modalidade de desconto comercial simples seis meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 10% ao mês, totalizando um desconto de R$ 30.000,00. Se fosse aplicada a modalidade de desconto racional simples, o valor do desconto totalizaria:a) R$ 18.250,00;b) R$ 18.750,00;c) R$ 19.200,00;d) R$ 19.750,00;e) R$ 20.500,00.

Solução:D ............t - 6 meses............ i ~ 10% a. m.D = 3 0 .0 0 0 ................................ d = ?p% = i x t ......p% = 10% x 6 = 60%p% = 60% ...................... fator f = 1,6D = d x f ..............30.000 = d x l , 6 ............d = 18.750

Resposta: B


EXEMPLO 13:

(TCl) Dois títulos com o mesmo valor nominal foram descontados cinco meses antes do vencimento, aplicando-se uma taxa simples de desconto de 2% ao mês. O primeiro foi descontado pela modalidade de desconto racional simples, e o segundo, pelo desconto comercial simples. Se o desconto sofrido totalizou R$ 23.100,00, o valor nominal de cada título é de:a) R$ 111.000,00;b) R$ 112.000,00;c) R$ 114.000,00;d) R$ 117.000,00;e) R$ 121.000,00.

Solução:N ......... t - 5 mesesp% = i x t = 10%N.......... t = 5 mesesp% = i x t - 10% d + D= 23.100

Como os dois títulos têm o mesmo valor nominal e as mesmas condições de desconto, podemos imaginar que se trata de um único título com os dois descontos calculados sobre ele e aí,D é montante de d.........D = d x f

D =d x 1,1 d+D =23.100

d x 1,1 + d = 23.100......2,1 d = 23 .100 ............................................d = 11.000..D = 12.100D = p% . N .......... 12.100 = 10% . NN = 121.000

Resposta: E

i = 2% a. m ..................D

i = 2% a. m ...................d


EXEMPLO 14:

(AFTN) Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota uma taxa de 84% a.a. e o desconto comercial simples. O valor do desconto foi de $ 10.164. Se na operação fosse adotado o desconto racional simples, o valor do desconto seria reduzido em $ 1.764. Nessas condições, o valor nominal da duplicata é de:a) $ 45.000;b) $ 46.700;c) $ 47.300;d) $ 48.400;e) $ 50.000.

Solução:i = 84% a. a...............D = 10 .164 ............d = D - 1 .764 ............. d = 8.400N = ?D é montante de d ........... D = d x f10.164 = 8.400 x f ............f = 1,21...............p% = 21%D = 21% . N ......... 10.164 = 21% . NN = 48.400

Resposta: D

Equivalência de C ap ita is a Juros S im p le s

Dois capitais são equivalentes em uma determinada data quando têm o mesmo valor se comparados nessa data.

EXEMPLO 15:

(AFTN) João deve a um banco R$ 190.000,00, que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adota a taxa de desconto comercial simples de 72% a.a., o valor do novo título será de:a) R$ 235.000,00;b) R$ 238.000,00;c) R$ 240.000,00;d) R$ 243.000,00;e) R$ 245.000,00.

36 Série Q uestões: Matemática Financeira

Solução:

190.000

i = 72% a.a. = 6% a.m.Data focal 0 e desconto comercial simplesN = 190.000 para t = 30 dias = 1 m ês........ i = 6% a.m.p% = i x t = 6%.......... D = 6% . NA = 94% de 190.000 A = 178.600P ~ ? ........ t = 120 dias = 4 meses........... i = 6% a.m.p% = i x t = 24%.......... D = 24% . PA = 76% de P

— . P = 178.600 100

P = 235.000

i

ELSEVIER

Resposta: A

Capítulo

4Juros Compostos

t • •

C: Capital Inicial (Principal), i: taxa unitária de juros.O tempo referido na taxa será o período de capitalização, ou seja, o prazo de aplicação do fator f, relativo à taxa i de acréscimo, n: número de períodos de capitalização.M: Montante.

M = C x (1 + i)n ou M = C x P

J: juros compostos.

J = M - C ............J = Cl ( l + i)n- l ]

EXEMPLO 1:

(BACEN) Um capital de R$ 4.000,00, aplicado à taxa de 2% ao mês, durante três meses, na capitalização composta, gera um montante de:a) 6.000,00;b) 4.240,00;c) 5.500,00;d) 4.244,83;e) 6.240,00.


Solução:C - 4.000,........... i = 2% a. m ............. t = 3 meses..........n = 3M = 4.000 x 1,023 M = 4.244,83

Resposta: D

EXEMPLO 2:

(1CMS-SP) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, durante três meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo capitalização simples e composta, respectivamente, valem:a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45;b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00;c) R$ 2.185,45 e R$ 2.480,00;d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00;e) R$ 6.180,00 e R$ 4.394,00.

Solução:C = 2 .0 0 0 .............i = 3% a. m................t = 3 meses.M 0 S) = ?M (JC) = ?Juros simples: p% = i x t ......... p% = 3% x 3 = 9%Fator a juros simples: f = 1,09 M 0S) = 2.000 x 1,09 = 2.180 M (JC) = 2.000 x 1,033 M = 2.000 x 1,092727 M 0 0 = 2.185,45

Resposta: A

EXEMPLO 3:

(AFTN) Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais:a) 20,324%; d) 18,174%;b) 19,6147%; e) 18%.c) 19,196%;

CAMPUS Capitulo 4 : juros Compostos 39

Solução:C ........... i = 1% ao dia....... t = 18dias — n = 18M = C x 1,0118M = C x 1,196147........... f = 1,196147............p% = 19,6147%Logo, o rendimento serã de 19,6147%

Resposta: B

EXEMPLO 4:

(CEF) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% a. m. por 60 dias, e o de R$ 1.200,00, à taxa de 2% a. m. por 30 dias. Se a aplicação foi a juros compostos:a) O montante total recebido foi de R$ 3.308,48;b) O montante total recebido foi de R$ 3.361,92;c) O montante total recebido foi de R$ 4.135,64;d) A diferença positiva entre os montantes recebidos foi de R$ 897,80;e) A diferença positiva entre os montantes recebidos foi de R$ 935,86.

Solução:Ci = 2 .0 0 0 ......... . i = 3% a. m............... t = 60 dias = 2 mesesMx = 2.000 x 1,032 Mj = 2.121,80C2 = 1 .200 .......... i = 2% a. m..................t = 30 dias = 1 mêsM2 = 1.200 x 1,02 M2 = 1.224 Mx — M2 = 897,80

Resposta: D

EXEMPLO 5:

(FT - NITERÓI) Após manter, durante dez meses, seu capital de R$ 50.000,00 aplicado a uma taxa de 2% a. m., um investidor resolve movimentar o montante acumulado nesse período para um outro fundo, cuja rentabilidade é de 2,3% a. m.. Considerando que toda a operação ocorreu dentro do regime de juros compostos, o saldo do referido investidor, após seis meses da segunda aplicação, será de:

40 Série Q uestões: Matemática Financeira ELSEVÍER

Dados: (1,02)10 = 1,219 (1,023)6 = 1,146 (1,043)16 = 1,961a) R$ 98.050,00; c) R$ 69.848,70;b) R$70.096,05; d) R$69.600,00.

Solução:C = 50 .000........ t = 10 meses............i = 2% a. m.M1 « 50.000 x 1,0210 = 60.950C = Mi = 60 .950 ......... t = 6 meses................ i = 2,3% a. m.M2 = 60.950 x 1,0236 = 69.848,70

Resposta: C

EXEMPLO 6:

(F. T. ~ CE) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais):a) R$ 625,00; d) R$ 650,00;b) R$630,00; e) R$676,00.c) R$ 636,00;

Solução:C = ?t = 12 meses........n = 1 2 ............i = 4% a. m.............M = 1.0001.000 = C x 1,0412 C = 625

Resposta: A

EXEMPLO 7:

(CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 05/09/97. Seo banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essapessoa tinha um total de:a) R$ 5.320,00;b) R$ 5.480,00;c) R$ 5.620,00;d) R$ 5.680,00;e) R$ 5.720,00.

CAMPUS Capítulo 4 : Juros Compostos 41

Solução:

Mí- T ~ T b

2.0.00 B.000

Vamos chamar a data do primeiro depósito, 05/06, de data 0 .0 segundo depósito, em 05/09, ocorrerá um trimestre após, na data 1: 3.000 Montante em 05/12, ao final do segundo trimestre, na data 2 = ?1 = 10% a. t.M = 2.000 x 1,12 + 3.000 x 1,1 = 5.720

Resposta: E

EXEMPLO 8;

(IRB) Duas aplicações de R$ 10.000,00 cada são iniciadas pelo prazo de três anos à taxa anual de 15%. Suponha que a primeira aplicação seja feita a juros anuais simples e a segunda aplicação a juros anuais compostos , os respectivos valores futuros são:a) R$ 15.000,00 e R$ 17.513,00;b) R$ 11.500,00 e R$ 13.257,00;c) R$ 12.000,00 e R$ 15.458,00;d) R$ 14.500,00 e R$ 15.209,00;e) R$ 13.000,00 e R$ 34.725,00.

Solução:C = 10 .000 .......t = 3 anos...........i = 15% a. a (JS)p% = i x t = 15% x 3 = 45%M (JS) = 10.000 x 1,45 = 14.500C = 10.000........ t = 3 anos............ i = 15% a. a. QC)M QC) = 10.000 x 1,153 = 15.208,75

Resposta: D


EXEMPLO d:

(An. Orç.) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 10.000,00, combinando fazer a devolução desse capital, com seus juros compostos, à taxa de 3% ao mês, ao completar dois meses da data do empréstimo. No dia do empréstimo, foi necessário pagar a quantia de R$ 300,00, a título de despesas. Nessas condições, para o devedor, a taxa mensal efetiva desse empréstimo foi de, aproximadamente:a) 3,5%; d) 5%;b) 4%; e) 5,5%.c) 4,5%;

Solução:C = 10.000..............i = 3% a. m....................t = 2 meses.M= 10.000 x 1,032 M = 10.609

Valor efetivamente liberado: 10.000 - 300 = 9.700

Valor liberado Valor a ser pago em 2 meses9.700 10.609

C = 9 .700 ........... M = 10 .609............ t = 2 meses............... i = ? % a. m.10.609 = 9.700 x (1 + i) 2 ................. (1 + i)2 = 1,0937consultando a tabela de fator de acumulação, vemos que:4% < i < 5% ............logo, pelas opções: i = 4,5% a. m.

Resposta: C -

EXEMPLO 10:

(AFC) Um título de valor inicial R$ 1.000,00, vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá ser resgatado um mês antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples à mesma taxade 10% ao mês?a) R$ 313,84;b R$ 285,31;c) R$ 281,26;d) R$ 259,37;e) R$ 251,81.

CAMPUS Capítulo 4 : Juros Compostos 43

Solução: C = 1000

Inicialmente vamos calcular o montante da aplicaçao.M = 1000 x 1,112 M = 3138,43

Esse montante passa a ser o valor nominal do título a ser descontado.N = 3 .138 ,43 ........ i = 10% a. m............. t = 1 mêsp%: i x t = 10% x 1 = 10%D = 10%. 3138,43 D = 313,84

Resposta: A

EXEMPLO 11:

(TCM - RJ) Uma pessoa pretende comprar um automóvel cujo valor é de R$ 14.048,66, exclusivamente com o rendimento de uma aplicação financeira no valor de R$ 20.000,00. Se a aplicação rende juros efetivos compostos de 3% a.m., o prazo mínimo necessário da aplicação é de:a) 13 meses;b) 15 meses;c) 18 meses;d) 20 meses;e) 22 meses.

Solução:J = 14.048,66 .......... C = 2 0 .0 0 0 ........... i = 3% a. m................ t - ?..........n mesesM - C + J ........M = 34.048,6634.048,66 = 20.000 x l,03n1,03R= 1,702433 .............n= 18t = 18 meses

Resposta: C

44 Série Q uestões: Matemática Financeira EISEVIER

EXEMPLO 12:

(AG. FISCAL - P. Alegre) Após uma auditoria, foi constatado que a Empresa “A” deveria pagar o valor de R$ 1.000,00 para a Prefeitura de Porto Alegre. Ao invés de efetuar o pagamento, a empresa aplicou o valor correspondente na caderneta de poupança e entrou com um processo pedindo anistia do pagamento da dívida o qual foi indeferido pelo município. Um ano após, o valor a ser pago havia sido reajustado para R$ 1.295,60, devido ao acréscimo de multa e correção monetária. Assinale a alternativa CORRETA, considerando que a poupança rendeu 2% ao mês, capitalizados mensalmente, durante o período:a) A empresa poderá quitar a sua dívida e ainda lucrar R$ 27,60 com a apli

cação financeira;b) O valor da aplicação financeira é menor do que o valor da dívida, e a em

presa terá de dispor de R$ 27,60 além do valor da aplicação a fim de quitar a sua dívida;

c) O valor da aplicação financeira é menor do que o valor da dívida, e a empresa terá de dispor de R$ 55,60 além do valor da aplicação a fim de quitar a sua dívida;

d) O valor da aplicação financeira é menor do que o valor da dívida, e a empresa terá de dispor de R$ 268,00 além do valor da aplicação a fim de quitar a sua dívida;

e) O valor da aplicação financeira é menor do que a valor da dívida, e a empresa terá de dispor de R$ 295,60 além do valor da aplicação a fim de quitar a dívida.

Solução:Dívida: 1 .000 ...............valor a ser pago em 1 ano 1.295,60.Poupança: i = 2% a. m.Saldo da poupança: 1.000 x 1,0212 = 1.268,24 Diferença: 1.295,60 - 1.268,24 = 27,36

Resposta: B

CAMPUS Capitulo 4 : Juros Compostos 45

EXEMPLO 13:

(SEFAZ-AM) Uma pessoa aplicou R$ 20.000,00 durante 4 meses à taxa de juros compostos de 8% ao mês. Ao término desse período, o capital e os juros ganhos foram resgatados e, a seguir, somente os juros foram reaplicados por 16 meses à taxa de juros compostos de 12% ao mês. O rendimento dessa última aplicação foi de:a) R$ 27.200,00 d) R$ 146.736,00b) RS 36.936,00 e) R$ 166.736,00c) R$ 44.136,00

Solução:

C = 2 0 .000 ............... t = 4 meses ..J = 20.000 x fl,0S4 - l ]J = 20.000 x (1 ,3 6 -1 )J = 7.200,00

C = 7 .200 ,00 ..............t = 16 mesesj = 7.200 x [1,1216- 1 ] j = 7.200 x (6,13 - 1)

j = 36.936,00

Resposta: B

EXEMPLO 14:

(CONTADOR -Rj) Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por três meses a juros efetivos compostos de 5% ao mês e o segundo por dez meses a juros efetivos compostos de 4% ao mês. Sabendo-se que pagou ao todo R$ 11.181,14 de juros, qual o valor do primeiro empréstimo, sabendo-se que ele foi igual à metade do segundo?a) R$ 10.000,00; d) R$ 10.125,00;b) R$ 10.090,00; e) R$ 10.150,00.c) R$ 10.100,00;

Solução:1- empréstimo: C ....... t = 3 meses...........i = 5% a. m.2- empréstimo: 2 C .....t - 10 meses..........i = 4 % a. m.

i = 8% a m.

i = 12% a m.


Jx = 11.181,14 C = ?J 1 = C [1,053 ~1] ...............h = C x 0,157625J2 = 2 C [l,04l° " 1) .......... J 2 = 2C x 0 ,480244 .......... J2 = C x 0,960488J t = Ji + J2C x 0,157625 + C X 0,960488 = 11.181,14 C x 1,118113 = 11.181,14 C = 10.000

Resposta: A

EXEMPLO 15:

(BACEN) Uma instituição financeira oferece pagar, na sua captação de recursos , juros simples de 0,5% ao mês mais uma taxa básica de juros variável por trimestre, pagando os juros devidos ao final do trimestre. Por sua vez, esta instituição cobra juros dos financiamentos concedidos de 3% ao mês, juros compostos, mais a mesma taxa de juros básica variável por trimestre, recebendo os juros devidos ao fim de cada trimestre. Calcule a diferença, em pontos percentuais, entre os juros recebidos e pagos ao fim do trimestre por R$ 1,00 emprestado e captado pela instituição no início do trimestre, considerando que a taxa de juros variável comum no trimestre foi de 4,5% e que os juros variáveis incidem sobre o capital inicial, no caso do rendimento pago pela instituição, e incidem sobre o montante, no caso do rendimento recebido pela instituição:a) 8,19 pontos percentuais;b) 7,77 pontos percentuais;c) 7,50 pontos percentuais;d) 6,75 pontos percentuais;e) 6,65 pontos percentuais.

Solução:Juros na captação: juros simples de 0,5% ao mês + 4,5% p% = 0,5% x 3 + 4,5% = 6%Juros de empréstimos: juros compostos de 3% ao mês, corrigidos a 4,5%.f = 1,033 x 1,045 = 1,1419 ........p% = 14,19%Diferença em pontos percentuais: 14,19 - 6 = 8,19 p.p.

Resposta: A

Capítulo

5Estudo das Taxas

• • •

Taxa Nominal: é aquela que está referida a um período de tempo diferente do período de capitalização.

taxa nominal------» taxa proporcional, que será a taxa efetiva

EXEMPLO 1:

Taxa nominal: 24% ao ano capitalizados mensalmente.24Taxa proporcional: — = 2% ao mês.12

A taxa proporcional de 2% ao mês será a taxa efetiva na capitalização.

Taxas Equivalentes: são taxas efetivas, referidas a períodos de tempo diferentes, que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante, i e I são taxas equivalentes, i: taxa referida ao período de tempo mais curto.1: taxa referida ao período de tempo mais longo, n: número de períodos que i está capitalizada em I.


EXEMPLO 2:

(AG. FISCAL- P. Alegre) Transforme a taxa de juros de 3% ao mês capitalizada mensalmente em taxa nominal anual e taxa efetiva anual:a) 36,00% e 42,50%;b) 42,50% e 36,00%;c) 36,00% em ambos os casos;d) 42,50% em ambos os casos;e) 3,00% e 36,00%.

Solução:i = 3% a. m. capitalização mensal Taxa nominal anual = ?= 3% x 12 = 36% a. a. capitalização mensal Taxa efetiva anual - ? (taxa equivalente)I = ? % a. a.............i = 3% a. m.............n = 121 + I = 1,0312.............. 1 +1 = 1,425761I = 0,425761 a. a. (forma unitária)......... I = 42,5761% a. a.

Resposta: A

EXEMPLO 3:

(AFTN) A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de:a) 60,0%;b) 66,6%;c) 68,9%;d) 72,8%;e) 84,4%.

Solução:i = 40% a. b. capitalizados mensalmente = 20% a.m.I = ? % a. t......... n = 31 + I = 1,231 + I = 1 ,728-----1 = 0,728I = 72,8%

Resposta: D

CAMPUS Capítulo 5: Estudo das Taxas 49

EXEMPLO 4:

(BACEN) Calcule o juro final como porcentagem do capital inicial a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal em um prazo de dezoito meses:a) 36,00%;b) 38,12%;c) 40,00%;.d) 42,82%;e) 44,75%.

Solução:J = ?% . Ci - 24% a. a. capitalização mensal = 2% a. m. t = 18 meses M = C x 1,0218M = C x 1 ,4282........... f = 1,4282...........p% = 42,82%j = 42,82% C

Resposta: D

EXEMPLO 5:

(TRE) A taxa nominal ao ano, capitalizada bimestralmente, que é equivalente à taxa nominal de 31,5% ao semestre, capitalizada quadrimestralmente, é:a) 120% a. a;b) 106% a. a;c) 84% a. a;d) 60% a. a;e) 48% a. a.

Solução:3L531,5% a. s. capitalização quadrimestral = - 21 % a. q.

(há 1,5 quadrimestres em um semestre)I = 21 % a. q................. i = ? % a. b....... n = 21 + I = (1 + i)n1,21 = (1 + i)2 ............... i = 10 % a. b.logo, a taxa nominal anual com capitalização bimestral é: 10% x 6 - 60 %

Resposta: D

SO Série Q uestões: Matemática Financeira EISEVIER

EXEMPLO 6:

(ATM - Recife) Usando a taxa de juros efetiva anual que corresponde à taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral, obtenha o montante obtido com a aplicação de um capital de R$ 10.000,00 ao fim de um ano de aplicação:a) R$ 12.400,00;b) R$ 12.544,00;c) R$ 12.624,76;d) R$ 12.653,19;e) R$ 12.682,42.

Solução:24% a. a. capitalização trimestral = 6% a. t.i = 6% a. t........ ... 1 = ? % a. a.............n = 41 + I = 1,064 ... ...... 1 + 1 = 1,262477I - 0,262477.... .... I = 26,2477% a. a.C = 10.000 ..... .... t - 1 ano......... n = 1 .........M = ?M = 10.000 x 1,262477.......... M = 12.624,77

Resposta: C

EXEMPLO 7:

(F. T. - CE) Um capital aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, atingiu um montante de R$ 10.900,00, ao fim de um trimestre. Desprezando os centavos, o capital aplicado foi de:a) R$ 9.800,00;b) R$ 9.889,00;c) R$ 9.919,00;d) R$ 9.975,00;e) R$ 10.000,00.

Solução:C .......... i = 36 % a. a. capitalização mensal - 3% a. m.M = 10.900 .....t = 1 trimestre..........n - 310.900 = C x 1,033 ...............M = 9.975

Resposta: D

CAMPUS Capítulo 5: Estudo das Taxas 51

EXEMPLO 8:

(TJ-CE) Mauro aplicou o seu capital a juros compostos, a uma taxa de 24% a.a., com capitalização trimestral, pelo prazo de 21 meses. Findo o prazo, o montante atingiu a quantia de R$ 6.465,61. O capital inicial dessa aplicação é de R$:a) 4.600,00;b) 4.200,00;c) 4.300,00;d) 4.500,00;e) 4.400,00.

Solução:C .......... i = 24 % a. at = 21 meses .............6.465,61 = C x 1,067

Resposta: C

EXEMPLO 9:

(AG. FISCAL - P. Alegre) O montante de R$ 34.040,00 foi obtido através do resgate de um capital inicial de R$ 20.000,00, aplicado a uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual o período da aplicação?a) 1,57 ano;b) 1,65 trimestre;c) 18 meses;d) 16 trimestres;e) 4 anos e 6 meses.

Solução:M = 34.040...... C = 20.000......i = 12% a. a. capitalizados trimestralmente = 3%a.t. t = ?34.040 = 20.000 x l,03n ...........l,03n = 1,7020pela tabela, n = 1 8 ......... t =• 18 trimestres = 5 4 meses = 4 anos e 6 meses

Resposta: E

. capitalizaçao trimestral = 6% a. t.

.. n = 7 .......... M = 6.465,61......... C = 4.300


EXEMPLO 10:

(TCM - RJ) Quanto rende de juros um capital de R$ 20.000,00, aplicado durante 9 meses a juros nominais de 18% ao semestre capitalizados trimestralmente?a) R$ 4.900,60;b) R$ 5.700,60;c) R$ 5.800,60;d) R$ 5.900,60;e) R$ 6.000,60.

Solução:C = 20.000i — 18% a. s. capitalizados trimestralmente = 9% a. t.t = 9 meses......... n = 3J = ?J = 20.000 x U,093 - l )J = 5.900,60

Resposta: D

EXEMPLO 11:

(TCM - RJ) Um determinado capital, aplicado por três anos a juros nominais de 24% ao ano capitalizados Hmestralmente, totaliza um rendimento de R$ 10.258,20. Qual o valor do capital aplicado?a) R$ 9.800,00;b) R$ 9.900,00;c) R$ 10.000,00;d) R$ 10.100,00;e) R$ 10.150,00.

Solução:C .......... i = 24% a. a. capitalizados bimestralmente = 4% a. b.t = 3 anos......n = 18J = 10.258,2010.258.20 = C x (1,0418- 1 )10.258.20 = C x 1,025820 C = 10.000

Resposta: C

CAMPUS Capitulo 5: Estudo das Taxas S3

EXEMPLO 12:

(TCM - RJ) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado por dois anos, a juros nominais de 8% ao ano, capitalizados trimestralmente e, a seguir, o montante, por mais um ano, a juros nominais de 24% ao ano, capitalizados mensalmente. Ao término do terceiro ano, o rendimento da aplicação será de:a) R$ 4.630,00;b) R$ 4.679,50;c) R$ 4.800,00;d) R$ 4.859,50;e) R$5.110,50.

Solução:C = 10.000i = 8% a. a. capitalizados trimestralmente = 2% a. t.t = 2 anos.......... n =■ 8M = C x 1,028 Mi = 24 % a. a. capitalizados mensalmente = 2% a. m.t - 1 an o......... n = 12

= M x 1,0212 Mimai - C x 1,028x 1,0212 Mfmai= C x l ,0 2 20 Mfinal = 10.000 x 1,485947 M a * * 14.859,47 J = M - CJ = 14.859,47 - 10.000 J = 4.859,47

Resposta: D

EXEMPLO 13:

(AG. FISCAL - P. Alegre) Uma loja vende um aparelho de televisão por R$ 500,00 à vista ou então a prazo, com 20% de entrada mais uma parcela de R$ 440,00 dois meses após a compra. A taxa mensal de juros compostos do financiamento, na forma decimal, é dada por:


a) (1,08) 2 - 1;I

b) (1,10)2 - 1;I

c) (1,125) 2 -1 ;i_

d) (1,25)2 - L

Solução:À vista: 500Entrada: 20% ......... 100Financiamento: 500 - 100 = 400 Pagará 440 em 2 mesesC ~ 4 0 0 ......... M = 4 4 0 ............................................... t = 2 meses........... i = ? % a. m.440 = 400 x (1 + i)2(1 + i)2 = 1 ,1 0 ...............1 +.i« 1,101/2i = 1,101/2- 1

Resposta: B

Capitulo

® » ®

Quando, em uma aplicação a juros compostos, o prazo apresenta uma parte fracionária em relação ao período de capitalização, temos duas formas de calcular o montante: adotando a convenção linear ou a convenção exponencial.

Convenção Linear

O capital é aplicado a juros compostos no número inteiro de períodos de capitalização e, a seguir, corrigido a juros simples na parte fracionária.

Sendo t o prazo de aplicação do capital, n será o número inteiro de períodos de capitalização e q será a parte fracionária.

JC JS

Convenção Exponencial

JC JS

O capital é aplicado a juros compostos por todo o prazo.


Observação: O montante calculado pela convenção linear é maior que o calculado pela convenção exponencial porque, na parte fracionária, em relação ao período de capitalização, os juros simples são maiores que os juros compostos.

EXEMPLO 1:

(CONTADOR - RJ) Um capital de R$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após sete meses, o montante será de:a) R$ 228,98;b) R$ 244,50;c) R$ 248,78;d) R$ 278,46;e) R$ 298,34.

Solução:C - 200

28i = 28% a.a. capitalizados trimestralmente = — =7% a. t.

Como não há indicação sobre o cálculo do montante na parte fracionária e a taxa tem capitalização trimestral, vamos desprezar essa parte.

Resposta: A

EXEMPLO 2:

(BESC) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a:a) R$ 370,00;b) R$ 372,00;c) R$ 373,00;d) R$ 375,10;e) R$ 377,10.

4

M = 200 x 1,072 ......... M = 228,98

CAMPUS Capítulo 6 : Convenções Linear e Exponencial 57

Solução:C = 3 0 0 ..............i = 10% a. m............M = ? ...... convenção linear

lt - 2 meses e 10 dias........... n = 2 e q = —

3Fator a juros compostos: 1,12

Juros simples: p % - i x t = 10% x ~ = 3,33 %

Fator a juros simples: 1,0333 M - 300 x 1,12 x 1,0333 ......... M = 375,10

Resposta: D

EXEMPLO 3:

(AFTN) Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos de 15% a.a. pelo prazo de três anos e oito meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de:a) R$ 16.590,00;b) R$ 16.602,00;c) R$ 16.698,00;d) R$ 16.705,00;e) R$ 16.730,00.

Solução:C = 10.000 .............i = 15 % a. a.

8 2t = 3 anos 8 meses.......... n = 3 e q = — = — a.12 3

M = ? (convenção linear)Fator a juros compostos: 1,153

2Juros simples: p% = i x t = 15% x — = 10 %

Fator a juros simples: 1,1 M = 10.000 x 1,153 x 1,1 ......... M = 16.730

Resposta: E


EXEMPLO 4:

(AFTN) O capital de R$ 1.000,00 é aplicado, do dia 10 de junho ao dia 25 do mês seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao mês. Usando a convenção linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em real:a) R$ 337,00;b) R$ 331,00;c) R$ 343,00;d) R$ 342,00;e) R$ 340,00.

Solução:C - 100010 /0 6 a 25 / 07 ........... t = 45 dias.........n = 1 e q = 0,5i = 21 % a. m.J = ? (convenção linear)Fator a juros compostos: 1,21a

Juros simples: p% = i x t = 21% x 0,5 = 10,5%Fator a juros simples: 1,105 M= 1.000 x 1,21 x 1,105 M = 1.337,05 ................ J = 337

Resposta: A

EXEMPLO 5:

(FTE - PA) Um capital é aplicado a juros compostos durante dois períodos e meio a uma taxa de 20% ao período . Calcule o montante em relação ao capital inicial, considerando a convenção linear para cálculo do montante:a) 150%;b) 157,74%;c) 158,4%;d) 160%;e) 162%.

Solução:C .t = 2,5 períodos.................... n = 2 e q = 0,5i = 20% ao período

CAMPUS Capítulo 6 : Convenções Linear e Exponencial 59

M = ? % C (convenção linear)Fator a juros compostos: 1,22Juros simples: p % = i x t = 20% x 0,5 = 10%Fator a juros simples: 1,1 M = C x 1,22 x 1,1M = C x 1 ,584 ....... . M = 158,4% . C

Resposta: C

EXEMPLO 6:

Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 10% ao período durante três períodos e meio. Obtenha o valor mais próximo dos juros como porcentagem do capital inicial, considerando a convenção exponencial para o cálculo domontante.Dado: -JlJ = 1,049a) 39,30%;b) 39,36%;c) 39,42%;d) 39,60%;e) 39,76%.

Solução:C ........... i = 10% a. p............... t = 3,5 períodosJ = ? % C (convenção exponencial)M - C x 1,13-5 ...............M = C x 1,13 x 1,1o-5M = C x 1,13 x V Ü .............M = C x 1,331 x 1,049M = C x 1,3960................ f = 1 ,3960 ............... p% = 39,60%J - 39,60% . C

Resposta: D

Capítulo

® © ®

Na prática, o desconto composto adotado é o desconto racional.Desconto Racional ou Por Dentro —» dO desconto racional composto é aplicado sobre o valor atual, ou seja, é um juro calculado sobre o valor atual. Com isso, o valor nominal será o montante do valor atual.

O desconto racional composto corresponde a descapitalizar o valor nominal a juros compostos.

d é um juro calculado sobre A N é montante de A:N = A x f

c

aplicar desconto racional Descapitalizarx retirar juros

- ( l + i ) n

Onde n representa o número de períodos que se vai capitalizar (descapitalizar).


EXEMPLO 1:

(AN - Recife) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos.a) R$ 11.255,00;b) R$ 11.295,00;c) R$ 11.363,00;d) R$ 11.800,00;e) R$ 12.000,00.

Solução:A = 10 .000 .................. t = 4 meses.............. i = 3% a. m ................ dN = ?No desconto racional, N é montante de A ................. N = A x fN « 10.000 x 1,034 N = 11.255,09

Resposta: A

EXEMPLO 2:

(AFTN) Um commercial paper com valor de face de US$ 1,000,000.00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate:a) US$ 751,314.80;b) US$ 750,000.00c) US$ 748,573.00d) US$ 729,000.00e) US$ 700,000.00.

t = 3 anos..............i = 10% a. aSolução:N = 1.000.000 ....A = ?N = A x f ............... 1.000.000 = A x 1,13

1.000.000A =1331

Resposta: A

CAMPUS Capítulo 7: Descontos Compostos 63

EXEMPLO 3:

(BACEN) O valor do desconto composto racional de um título no valor de R$20.000,00, com prazo de 30 dias para vencimento e taxa cobrada de 4% ao mês, é, em reais:a) 620,00;b) 850,00;c) 950,00;d) 769,00;e) 820,00.

Solução:N = 20.000

N = A x f ...

. 20.000A ----------1,04

d = N - A ..

Resposta: D

EXEMPLO 4:

(FT ~ ES) Uma empresa prevê o pagamento de R$ 1.080,00 daqui a um mês e R$ 1.728,00 daqui a três meses. Se a empresa aplica seus recursos a juros compostos, à taxa de 20% ao mês, quanto deverá aplicar boje para fazer frente a essas despesas?a) R$ 1.900,00;b) R$ 2.280,00;c) R$ 2.340,00;d) R$ 2.808,00;e) R$ 3.283,20.

Solução:

t = 30 dias ~ 1 m ês............... i - 4% a.m.

.. A = 19.230,77

d = 769,23


i = 20% a. m.Para determinar o capital C, vamos descapitalizar os compromissos para a data 0.„ 1.080 1728C = -------+ ----- —

1,2 1,2

Resposta: A

EXEMPLO 5:

(AFTN) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em duas parcelas mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses, respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é:a) $ 2.012,00;b) $ 2 .121,00;c) $ 2.333,33;d) $ 2.484,84;e) $ 2.516,16.

Solução:

i = 4% a. m.Para determinar o valor do pagamento P, vamos capitalizar os compromissos para a data 15.P = 1.000 X 1,042 + 1.000 x 1,04 P = 2.121,60

C = 900 + 1.000 C = 1.900

p

14 15

1.000 1.000

Resposta: B


EXEMPLO 6:

(CEF) Um trator pode ser comprado à vista por um preço V, ou pago em três parcelas anuais de R$ 36.000,00, a primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem juros compostos de 20% a.a. sobre o saldo devedor. Nessas condições0 preço V é:a) R$ 75.000,00; d) R$ 95.000,00;b) R$ 88.000,00; e) R$ 97.000,00.c) R$ 91.000,00;

Solução:

vA

1 T T36.000 36.000 36.000

À vista: V3 x 36.000 (primeira no ato)1 = 20 % a. a.Adotando a data focal 0w « aaa 36.000 36.000V = 36.000 + ---------+ ----------

1,2 1,2

V = 36.000 + 30.000 + 25.000V = 91.000

Resposta: C

EXEMPLO 7:

(F.T. - CE) Uma dívida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, enquanto outra no valor de R$ 30.000,00 vence em seis meses. À taxa de juros compostos de 4% ao mês e considerando um desconto racional, obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com vencimento ao fim de três meses, desprezando os centavos.a) R$48.800,00; d) R$40.039,00;b) R$49.167,00; e) R$50.000,00.c) R$49.185,00;


Solução:Pt^ r

20.000 30.000

i = 4% a. m.

O valor do pagamento P será igual à soma das dívidas quando comparados em uma mesma data, que é a data focal.Adotando a data focal 6 .P x 1,043 = 20.000 x 1,046 + 30.000 P x 1,124864 * 25.306,38 + 30.000

P = 553Q6j g ................. p = 49.167,001,124864

Resposta: B

EXEMPLO 8:

(CVM) A empresa "Y” realiza certo investimento em projeto que apresenta o fluxo de caixa a seguir:

ANO FLUXO DE CAIXA (R$)

0 - 4.000,00

1 3.000,00

2 3.200,00

Se a taxa mínima de atratividade for de 25% ao ano (capitalização anual), o valor presente líquido deste investimento no ano 0 serã de:a) Zero;b) R$ 448,00;c) R$ 480,00;d) R$ 960,00;e) R$ 1.560,00

j f

CAMPUS Capítulo 7 ; Descontos Compostos 67

Solução:O valor presente líquido (VPL) corresponde à diferença entre as entradas de capital e os desembolsos.

Resposta: B

EXEMPLO 9:

(AFTN) Uma empresa obteve financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é:

10.000 (data 0)6.000 (data 1) + 3.000 (data 2) + P (data 3)i = 120 % a. a. capitalização mensal = 10% a. m. Adotando a data focal 310.000 x 1,13 = 6.000 x 1,12 + 3.000 x 1,1 + P P = 2.750

3.000 3.200

4.000

VPL = E - D (data 0)

VPL = 4.448 - 4.000 VPL = 448,00

a) $ 3.250,00b) $ 3.100,00c) $ 3.050,00

d) $ 2.975,00;e) $ 2.750,00.

Solução:

10.000

6.000 3.000 P


Podemos resolver esse problema capitalizando a dívida mês a mês e abatendo os pagamentos efetuados:

Resposta: E

EXEMPLO 10:

(CEF) Um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 é contratado na data de hoje para ser pago através de dois pagamentos. O primeiro pagamento, no valor de R$ 5.445,00, vence de hoje a um ano e o segundo tem um vencimento de hoje a um ano e meio. Considerando a taxa de juros nominal de 20% ao ano, capitalizados semestralmente, o valor do segundo pagamento será:a) R$ 7.102,80;b) R$ 7.280,00;c) R$ 7.320,50;d) R$ 8.360,00;e) R$ 8.810,00.

Solução:Empréstimo: 10.000 (data 0)i = 20 % a. a. capitalizados semestralmente = 10% a. s. pagamentos: 5.445 (data 2) + P (data 3)

10.000 x 1,1 = 11.000

1 1 .0 0 0 -6 .0 0 0 = 5.0005.000 x 1,1 = 5.5005.500 - 3.000 = 2.500P - 2.500 x 1,1 .............P = 2.750

10.000

0

5.44S P

vamos capitalizar a dívida e descontar o pagamento:10.000 x 1,12 = 12.100 12.100 - 5.445 = 6.6556.655 x 1,1 - 7.320,50 que é o pagamento a ser efetuado.

Resposta: C

CAMPUS Capitulo 7 : Descontos Compostos 69

EXEMPLO 11:

(BACEN) Considere o fluxo de caixa abaixo:

Período 0 1 2 (Ano)

Valor -1 0 0 80 x (Milhares URVs)

O valor de x para o qual a taxa interna de retomo anual é igual a 10% é:a) 25;b) 26;c) 28;d) 30;e) 33.

Solução:

80 x

100

Investimento inicial de 100 TIR: i=10% a.a.

Obs.: Taxa interna de retomo (TIR) é aquela que zera o fluxo, ou seja, faz com que as entradas de capital sejam iguais aos desembolsos, quando a comparação é feita em uma mesma data.1- ano: 100 x 1,1 = 110com retomo de 80 restam aplicados 110 - 80 = 30 22 ano: 3 0 x 1 ,1 =33 E aí tem o retomo x = 33

Resposta: E

EXEMPLO 12:

(Economista-CEAL) Considere o seguinte fluxo de caixa:


Prazo (Ano) Valor (R$)0 - X1 16.500,002 0,003 23.958,00

Sabendo-se que a taxa interna de retomo correspondente é igual a 10% ao ano,tem-se que o valor de X é:a) R$ 30.000,00b) R$ 33.000,00c) R$ 34.800,00d) R$ 36.780,00e) R$ 38.030,00

Solução:

Colocando o fluxo de caixa na linha do tempo:

16.500 23.958

0 1 2 3

X

TIR: 10% a a.Investimento inicial: X (desembolso)Entradas de capital: 16.500 (data 1) + 23.958 (data 3)Adotando a data focal 0, o valor do desembolso será igual à soma das entradas de capital.

„ 16500 23558X = ---------+ ------—1,1 1,1

X = 15.000 + 18.000X = 33.000,00

Resposta: B

CAMPUS Capitulo 7 : Descontos Compostos 71

EXEMPLO 13:

(TCDF) Um cidadão contraiu, hoje, duas dívidas junto ao Banco Azul. A primeira terá o valor de R$ 2.000,00, no. vencimento, daqui a seis meses; a segunda terá o valor, no vencimento, daqui a dois anos, de R$ 4.400,00. Considerando a taxa de juros de 20% a.a., capitalizados trimestralmente, se o cidadão optar por substituir as duas dívidas por apenas uma, a vencer daqui a um ano e meio, ele deverá efetuar o pagamento de:a) R$ 6.420,00;b) R$ 6.547,00;c) R$ 6.600,00;d) R$ 6.620,00;e) R$ 6.680,00.

Solução:i = 20 % a. a. capitalizados trimestralmente = 5 % a. t.2.000 (6 meses = 2 trimestres)4.400 (2 anos - 8 trimestres)P (lano e meio = 6 trimestres) = ?

p

0 |2 6 8T T

2.000 4.400

Adotando a data focal 8 P x 1,052 = 2.000 x 1,056 + 4.400 P = 6.422

Resposta: A

EXEMPLO 14:

(AFTN) Uma empresa tem um compromisso de $ 100.000 para ser pago dentro de 30 dias. Para ajustar o seu fluxo de caixa, propõe ao banco a seguinte forma de pagamento: $ 20.000 antecipados, à vista, e dois pagamentos iguais para 60 e 90 dias. Admitindo-se a taxa de juros compostos de 7% ao mês, o valor dessas parcelas deve ser de:


a) $ 43.473;b) $ 46.725;c) $ 46.830;d) $ 47.396;e) $ 48.377.Solução:

20.000 P P

í , f tÕ p 2 3

100.000

100.000 para 1 mês (data 1)20.000 (data 0) + 2 x P (datas 2 e 3) i = 7 % a. m.Adotando a data focal 3100.000 x 1,072 = 20.000 x 1,073 + P x 1,07 + P resolvendo P = 43.473

Resposta: A

EXEMPLO 1 5:

(AN.ORÇ. - RJ) Um banco emprestou recursos a um indivíduo com o seguinte esquema de pagamento: o primeiro pagamento de R$ 10.000,00, após dois meses, e o segundo de R$ 12.000,00, oito meses após o primeiro. Na data de vencimento da primeira parcela, por não dispor de recursos, o devedor propôs re- pactuação da sua dívida da seguinte forma: pagamento de R$ 6.000,00, após quatro meses e o saldo quatro meses após a primeira parcela. Se a taxa de juros considerada para repactuação da dívida foi de 24% a.a. com capitalização men-sal, o valor da segunda parcela:a) R$ 17.357,01;b) R$ 16.940,04;c) R$ 17.125,00;d) R$ 17.222,00.

CAMPUS Capítulo 7 : Descontos Compostos 73

Solução:

6.000 P

' t “"*(> Í2 6 10

T T10.000 12.000

i = 24% a. a. capitalização mensal = 2% a. m.Os dois sistemas de pagamento são equivalentes. Portanto, têm o mesmo valor se comparados na mesma data (data focal).Adotando a data focal 10.P + 6.000 x 1,024 = 12.000 + 10.000 x 1,028 P + 6.494,59 = 23.716,59 P = 17.222,00

Resposta: D

EXEMPLO 16:

(AN.ORÇ. - RJ) Um investidor deseja aplicar recursos e deve decidir entre as alternativas que proporcionam os seguintes fluxos de caixa:

Períodos 0 1 IIAlternativa I +100 +150 +XAlternativa II +300 +200 +200

Os valores de x que tomam as alternativas acima equivalentes na data focal 0 (zero) e na data focal II (dois), se considerarmos a taxa de juros compostos de 5% por período, são, respectivamente:a) 473,00 e 473,00;b) 482,03 e 482,03;c) 469,00 e 469,00;d) 470,88 e 472,75.


Solução:100 150 X

300 200 200

Duas alternativas são equivalentes, se têm o mesmo valor quando comparadas em uma mesma data (data focal).Nessa comparação, os valores referidos na mesma data podem ser reduzidos.

Assim,A alternativa 1 se reduz a:

Adotando a data focal 2 X = 200 x 1,052 + 50 x 1,05 + 200 X - 473,00

Resposta: A

EXEMPLO 1 7:

(TRE) Uma compra de R$ 13.579,40 foi financiada da seguinte forma: uma entrada de 40%, mais 3 pagamentos mensais antecipados, tais que o primeiro, também pago no ato, é duas vezes maior que o segundo, que, por sua vez, é 50% maior que o terceiro. Se a taxa de juros efetiva é de 2% ao mês, o valor do segundo pagamento é:

x

A alternativa II se reduz a:

200 50 200


a) R$ 1.974,11b) R$ 2.250,00c) R$2.598,08

d) R$ 2.825,23;e) R$ 4.500,00.

Solução:Compra: 13.579,40Entrada: 40% ...............a financiar 60% = 8 .147 ,64 ............. i = 2% a. m.P3 = P (data 2)P2 = 1,5 P (data 1)Pj = 3 P (data 0)

8.147,64

3P 1,5P P3P

Adotando a data focal 2.8.147,64 x 1,022 = 3 P x 1,022 + 1,5 P x 1,02 + P resolvendo P - 1.500,00 P2 = 1 ,5x 1.500 = 2.250,00

Resposta: B

EXEMPLO 18:

(AN. ORÇ.) Uma pessoa quer descontar hoje um título de valor nominal R$ 11.245,54, com vencimento para daqui a 60 dias, e tem as seguintes opções:I. desconto simples racional, taxa de 3% ao mês;II. desconto simples comercial, taxa de 2,5% ao mês;III. desconto composto racional, taxa de 3% ao mês.Se ela escolher a opção I, a diferença entre o valor líquido que receberá e o que receberia se escolhesse a opção:a) n é RS 31,50;b) 11 é R$ 39,40;c) III é R$ 9,00;d) III é R$ 12,00;e) III é R$ 15,00.


Solução:N = 11.245,54........ t = 2 meses

I. desconto racional simples, i - 3% a. m. d: N é montante de A.p% = i x t = 6%II.245,54 = A x 1,06 A = 10.609

II. desconto comercial simples, i = 2,5% a. m. p% = i x t = 5%D = 5% . N ..............A = 95% . 11.245,54.A = 10.683,26

III. desconto racional composto, i = 3% a. m. d: N é montante de A11.245,54 = A x 1,032 A = 10.600

I e II: diferença entre os atuais: 74,26 I e III: diferença entre os atuais: 9,00

Resposta: C

Rendas Certas - Anuidades© ® «

Considere n pagamentos consecutivos de mesmo valor P, calculados à taxa i% ao período. Essa série de pagamentos define uma Renda Certa ou Anuidade. Dependendo da data em que ocorra o primeiro dos pagamentos, a renda pode ser:

Renda Postecipada: primeiro pagamento um período após a realização do negócio.

p p p

Renda Antecipada: primeiro pagamento no ato.

p P p

Renda Diferida (com carência): primeiro pagamento ao final de um certo número (k + 1) de períodos (k + 1 > 1).


V alo r A tu a l de um a Renda Fostecipada

i' i!. i ■A —» valor atual da renda: corresponde à soma de todos os pagamentos descapitalizados para a data 0.

A = Pxa(n,i)

Sendo a (n, i) « ----- ou a (n, i) = - — í— o fator de valor atual de(l+ i)n xi i

série de pagamentos.

uma

M ontante de um a Renda Postecipada

M *= F,(n)

T IM = F(n) —» montante ou valor futuro da renda: corresponde à soma de todos os pagamentos capitalizados para a data n.

M = F(n) = P x s (n ,i )

( l - f i ) n - lSendo s (n, i) =--------------- o fator de valor futuro de uma série de pagamentos.i

O montante também pode ser escrito como a capitalização do valor atual por n períodos:

TvUF(n) = A x ( l + i)n“ V (n )M = F„

r r

CAMPUS Capítulo 8 : Rendas Certas - Anuidades 79

EXEMPLO 1:

(AFTN) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado, em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos:a) R$ 1.065,00;b) R$ 986,00;c) R$ 923,00;d) R$ 900,00;e) R$ 852,00.

Solução:Compra: 10.000Entrada: 20% ............financiamento: 8.000n = 12 (postecipadas).......... i - 4% a. m.P = ?

8.000 t ,° l' I2. . I 12p p p

8.000 = P x a (12,4% )................ P = - aQ--° -9385074

P = 852,00

Resposta: E

EXEMPLO 2:

(TCM - RJ) Uma pessoa deseja adquirir um veículo, cujo valor à vista é de R$ 40.000,00, por meio de uma operação de Leasing Financeiro. Admita, hipoteticamente, que a operação foi contratada a juros efetivos de 2% ao mês e que o contrato especifica o pagamento de uma entrada de 20% mais vinte prestações mensais iguais e consecutivas, sendo a primeira para trinta dias. O valor da prestação estará entre:

80 Série Q uestões: Matemática Financeira ELSEVTER

a) R$ 1.600,00 e R$ 1.650,00;b) R$ 1.700,00 e R$ 1.750,00;c) R$ 1.800,00 e R$ 1.850,00;d) R$ 1.950,00 e R$ 2.000,00;e) R$ 2.050,00 e R$ 2.100,00.

Solução:À vista: 40.000Entrada: 20% ........ financiamento: 32.000i = 2% a. m..............n = 20 (postecipadas)P = ?

32.000j k

0 í l 2 ................... i

2 0

'P P P

3200032.000 = P x a (20, 2%).................. P =16351433

P = 1.957,02

Resposta: D

EXEMPLO 3:

(TCM - RJ) Um equipamento industrial cujo valor à vista é de R$ 1.161.839,00 pode ser comprado a prazo. Nesse caso, paga-se uma entrada de R$ 50.000,00 mais quinze prestações mensais consecutivas no valor de R$ 100.000,00 cada, a primeira um mês depois da compra. A taxa de juros efetiva composta cobradano financiamento é de:a) 2,5% a.m.;b) 3,0% a.m.;c) 3,5% a.m.;d) 4,0% a.m.;e) 5,0% a.m.


Solução:À vista: 1.161.839Entrada: 5 0 .0 0 0 ..............valor financiado: 1.111.839+ 15 x 100.000 (postecipadas)....... i = ? % a. m.

l .111.839

0 I2. . . . i100.000 100.000 100.000

1.111.839 = 100.000 x a (15, i)a (15, i) = 11,11839 i - 4% a. m.

Resposta: D

EXEMPLO 4:(BACEN) Um contrato de aplicação financeira prevê que depósitos de mesmo valor sejam feitos mensalmente em uma conta de aplicação durante dezoito meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim desse prazo. Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao final de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 3% ao mês:a) R$ 5.550,00;b) R$ 4.900,00;c) R$ 4.782,00;

d) R$ 4.270,00;e) R$ 4.000,00.

Solução:P ......... n = 1 8 ...... i = 3% a. m............M = 100.000

100.000

p p p

100.000 = P Xs (18,3% )............. 100.000 = P x 23,414435P = 4.270

Resposta: D


EXEMPLO 5:

(CVM) Um cliente negociou com o seu banco depositar a quantia de R$ 1.000,00, ao fim de cada mês, para obter R$ 21.412,31, ao fim de 18 meses. A que taxa efetiva anual o banco remunerou o capital de seu cliente?a) 12%;b) 12,68%;c) 18%;d) 24%;e) 26,82%.

Solução:P = 1.000 (postecipados)......... n = 1 8 ......... M = 21.412,31

1.000 1.000 1.000

21.412,31 = 1.000 x s (18, i)............s (18, i) = 21,412131i == 2% a. m. (taxa efetiva mensal) taxa efetiva anual: I = ? % a. a.1 + 1 = (1,02)12.......... 1 + I = 1 ,2682 ..........I = 0,2682I = 26,82% a. a.

Resposta: E

Renda Antecipada

Primeiro pagamento no ato.

A

P P P

A = P [a (n —l ,i ) + 1]


EXEMPLO 6:

(TCM - Rj) Uma compra foi paga com cinco cheques pré-datados no valor de R$ 5.000,00 cada, com vencimentos mensais e consecutivos, o primeiro na data da compra. Qual o valor da compra se a taxa de juros efetiva composta cobrada pelo financiamento é de 3% a.m.?a) R$ 19.275,25;b) R$ 21.432,50;c) R$ 22.575,00;d) R$ 23.585,50;e) R$ 27.000,00.

Solução:P = 5.000 (l^no ato)i - 3% a. m............n = 5à vista = ? = V

V = 5.000 [a (4, 3%) + I]V= 23.585,50

Resposta: D

EXEMPLO 7:

(CVM) Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, durante 10 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data do último depósito, um montante igual ao gerado por uma aplicação de valor único feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao ano, durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de valor único é de:a) R$ 217.272,00;b) R$ 231.816,00;c) R$ 254.998,00;d) R$ 271.590,00;e) R$ 289.770,00.

v

0

5.000 5.000 5.000


Solução:P M

0 ÍTI 9

20.000 20.000 20.000

M * 20.000 x s (10, 10%)M = P x 1,25P x 1,25 = 20.000 x s (10, 10%)P x 1,25 = 318.748,49 P = 254.998,00

Resposta: C

Renda D iferida (com carência)

Primeiro pagamento na data k + 1. A

Para o cálculo do valor atual, podemos adotar dois procedimentos:

Ia Procedimento: Capitalizamos o valor atual A para a data k , transformando a renda em postecipada.

p p p

Ax (1 + i)k

P P P

A x ( l + i ) k = P x a ( n , i)


2- Procedimento: Criamos k pagamentos nas datas de 1 a k, formando uma renda postecipada com k + n pagamentos e depois retiramos o valor atual da renda postecipada de k pagamentos somada indevidamente.

Cálculo do montante:

J k T I | k + 2 |K + n

P P P P P

A = P x a ( n + k , i ) - P x a ( k , i )

A = P [a (n + k, i) — a (k, i)]

M = F M = P x s ( n , i )

Observação Importante:Considere o capital C, aplicado na data k. Vamos descapitalizar C, à taxa composta de i% ao período, para a data 0.

I ------- - K - l K

Podemos adotar dois procedimentos:

CIa: A =(1+i)

2-: Vamos imaginar que C é um pagamento de uma série diferida. Assim, A seráo valor atual dessa série:


EXEMPLO 8:

Qual o valor hoje de um título de R$ 1.000,00 que tem seu vencimento em 5 meses, sabendo que sofrerá desconto racional composto de taxa mensal 2%? Solução:

2- Solução:Vamos adotar um tratamento de renda diferida:A = 1.000 [a (5, 2%) - a (4, 2%)]A = 1.000 (4,713460 - 3,807729)A = 905,73

Resposta: R$ 905,73

EXEMPLO 9:

(ATM - Recife) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos:a) R$ 20.330,00;b) R$ 18.093,00;c) R$ 16.104,00;d) R$ 15.431,00;e) R$ 14-000,00.

A

i = 2% a. m.

l â Solução:

A = 905,73

CAMPUS Capítulo 8: Rendas Certas - Anuidades 87

Solução:Financiamento: 100.000n = 8 (semestrais)............i - 12% a. a. (nominal) (a capitalização será dada pelaperiodicidade da prestação),i = 6% a. s.Ia pagamento ao final de 5e semestre: renda diferida com pagamentos da data 5 até a data 12.

100.000

— h------- }4 5 6 12T T ' ----* TP P P

Criamos 4 pagamentos nas datas de 1 a 4 e depois retiramos o valor atual da série somada indevidamente.100.000 * p fa (12, 6%) - a (4 , 6%)]100.000 = P x 4,918738 P = 20.330,42

Resposta: A

EXEMPLO 10:

(AN. ORÇ.) Uma dívida, no valor de R$ 9.159,40, vai ser paga em 5 prestações mensais iguais e consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 3 meses da data do contrato. Os juros são compostos, à taxa de 3% ao mês. O valor de cada uma das prestações deve ser:a) R$ 1.793,77;b) R$ 2.121,80;c) R$ 2.185,45;d) R$ 2.251,00;e) R$ 2.612,76.

Solução:A = 9 .159 ,40................n = 5 (primeira na data 3 ) .............. i = 3% a. m.Vamos resolver esta questão capitalizando o valor da dívida para a data 2, tornando a série postecipada.


9.159,40 9.1 59,40 x 1,03

i3 i4. r9.159.40 x 1,032 = P x a ( 5 , 3%)9.159.40 x 1,0609 = P x 4,5797 P = 2.121,80

Resposta: B

EXEMPLO 11:

(TCE - PI) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só será efetuado ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a:a) R$ 5.856,23;b) R$ 5.992,83;c) R$ 6.230,00;d) R$ 6.540,00;e) R$ 7.200,00.

Solução:Financiamento: 50.000....n = 12 (mensais)Ia pagamento ao final do 4a mês (data 4)i = 4% a. m...............P = ?Renda diferida com primeiro pagamento na data 4 e último na data 15.

100.000 A

(7 h *2 *1 J4 J5 JT5

P P P

50.000 = P x [a (15, 4%) - a (3,4% )]50.000 = P x 8,343296 P = 5.992,83

Resposta: B

CAMPUS Capitulo 8 : Rendas Certas - Anuidades 89

EXEMPLO 12:

(CONTADOR - RJ) Um equipamento cujo valor à vista é de R$ 33.000,00 pode ser pago por meio de uma entrada e dezoito prestações mensais consecutivas de R$ 2.000,00. Se há um período de três meses para início do pagamento das prestações, o valor da entrada, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 5% ao mês, será de:a) R$ 11.308,19;b) R$ 11.719,76;c) R$ 11.722,56;d) R$ 11.794,40;e) R$ 11.856,78.

Solução:À vista: 3 3 .0 0 0 .......................E: entradaE + 18 x 2.000 Ia pagamento na data 3i = 5% a.m.E = ?Renda diferida com primeiro pagamento na data 3 e último na data 20.

33.000

Tl 20

33.000 = E 4- 2.000 [a (20, 5%) - a (2, 5%)] E= 11.794,40

Resposta: D

EXEMPLO 13:

(TCI) Um eletrodoméstico será pago por meio de uma entrada e doze prestações mensais iguais e consecutivas. Se cada prestação for igual a 10% do valor à vista, sendo a primeira paga ao término de um período de quatro meses, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 4% ao mês, qual o percentual sobre o valor à vista que deverá ser pago como entrada?


a) 11,8765%;b) 15,2314%;c) 16,2340%;d) 16,5670%;e) 19,3456%.

Solução:V: valor à vista.......................E: entradaV = E + 12 x P P = 10% . V l~ ao final de 4 mesesi = 4% a.m.E = ?% VVamos supor V = 100 logo, P = 10Renda diferida com primeiro pagamento na data 4 e último na data 15.

100 à_ ^

▼ T T 'E 10 10 10

100 * E + 10 [a (15, 4%) - a (3, 4%)]E - 16,5670%

Resposta: D

EXEMPLO 14:

(ESAF) Um agricultor recebeu R$ 700.000,00 de empréstimo e deverá devolvê-lo em seis prestações semestrais, iguais e consecutivas, à taxa nominal de 36% a.a. Calcular o valor das prestações, sabendo-se que a primeira prestação será paga no final do 18° mês após ter contraído o empréstimo (desprezar os centavos no resultado final):a) R$ 278.670,00; d) R$ 145.483,00;b) R$328.831,00; e) R$239.034,00.c) R$ 171.670,00;


Solução:E - 700.000 6 x P (semestrais)i - 36% a. a. (nominal), a capitalização serã dada pela periodicidade da prestação, que é semestral.

i = ™ = 18% a. s.2

l â ao final do 182 mês = 32 semestre.Renda diferida com primeiro pagamento na data 3 e último na data 8.

700.000

700.000 = P fa (8, 18%) - a (2, 18%)] P = 278.670

Resposta: A

EXEMPLO 15:

(BACEN) Um financiamento no valor de US$ 200,000.00 possui um período de carência de pagamento de dois anos, seguido pelo pagamento semestral do financiamento, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule a prestação semestral, desprezando os centavos de dólar, considerando a taxa de juros nominal de 16% ao ano com capitalização semestral a um prazo total para financiamento de dez anos, incluindo a carência, e considerando que, durante a carência, os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento:a) US$ 27,713.00;b) US$ 29,325.00;c) USS 30,404.00;d) US$ 30,740.00;e) USS 32,025.00.


Solução:Financiamento: 200.000l2 pagamento: 5- semestrei = 16 % a. a. capitalização semestral = 8% a. s. prazo total: 20 semestresRenda diferida com primeiro pagamento na data 5 e último na data 20.

200.000 ív *1 4 p pT

Y H 'p p p

Como a tabela fornecida pela ESAF é limitada para 18 termos (n = 18), teremosque capitalizar o valor do financiamento para a data 4 na intenção de tomar a renda postecipada.

200.000 x 1,084 A

è I, L JS J6

p p.............

Há um total de 16 pagamentos.200.000 x 1,084 = P x a (16, 8%)200.000 x 1,360489 = P x 8,851369 P = 30.740

Resposta: D

Exem plos com ap licações so b re R endas Certas

EXEMPLO 16:

(CVM) Uma máquina à vista custa R$ 8.000,00. O vendedor oferece a opção de venda a prazo, com entrada de R$ 1.600,00, sendo o restante em 4 parcelas mensais iguais e o vencimento da primeira dois meses após o pagamento da entrada. Supondo-se a equivalência de capitais em ambas as alternativas de compra e sendo a taxa mensal de juros compostos de 2% ao mês, o valor de cada prestação mensal, após a entrada, desprezando os centavos, será de:


a) R$ 2.100,00;b) R$ 1.748,00;c) R$ 1.714,00;d) R$ 1.680,00;e) R$ 1.632,00.

Solução:I. à vista: 8.000II.

i = 2% a. m.8.000 = 1.600 + P x ía (5, 2%) - a (1, 2%)]6.400 = P x 3,733068 P= 1.714,00

Resposta: C

EXEMPLO 17:

(ÍRB) Um investimento de R$ 135.200,00, com duração de dois anos, produz fluxos de caixa de R$ 80.000,00 por ano no final de cada um dos dois anos do período. Portanto, a taxa intema de retomo (TIR) do investimento é:a) 18,3% ao ano;b) 12,0% ao ano;c) 10,5% ao ano;d) 59,2% ao ano;e) 18,0% ao ano.

Solução:Data 0: - 135.200 Datas 1 e 2: 80.000 TIR = ? % a. a.

1.600 P P P P


Taxa interna de retomo (TIR) é aquela que zera o fluxo, ou seja, faz com que as entradas de capital sejam iguais aos desembolsos, quando a comparação é feita em uma mesma data.

Resposta: B

EXEMPLO 18:

(CONTADOR - RJ) Uma pessoa pretende depositar R$ 100,00 todo final de mês durante 13 meses em uma aplicação financeira que rende juros efetivos de 4% ao mês. Se o montante das aplicações for resgatado por meio de três saques mensais iguais e consecutivos, o primeiro um mês depois do último depósito, o valor de cada saque será igual a:a) R$ 544,43;b) R$ 554,50;c) R$ 578,16;d) R$ 599,14;e) R$ 698,65.

1 35.200

80.000 80.000

135.200 = 80.000 x a (2, i)a (2, i) = 1 ,6 9 ................. ii = 12% ao ano

Solução:

p p P

100 100 100

i = 4% a. m.

O total dos depósitos será igual ao dos saques quando a comparação for efetuada em uma mesma data (data focal).


Adotando a data focal 13.Total dos depósitos (montante da série de depósitos):M - 100 x s (13, 4%)M = 1.662,68Total dos saques (valor atual da série de saques):A = P x a ( 3 , 4%)A = P x 2,7750911.662,68 = P x 2,775091 P = 599,14

Resposta: D

EXEMPLO 19: |

(ESAF) Um indivíduo comprou um automóvel usado para pagamento em sete prestações mensais iguais de $ 20.000,00, além da entrada. No momento em que pagou a lâ prestação, propôs ao vendedor liquidar as outras seis parcelas por ocasião do vencimento da 5- prestação, sob as seguintes condições:I) juros compostos de 10% ao mês sobre os valores então vencidos;II) desconto racional composto de 5% ao mês sobre os valores a vencer.O pagamento proposto, desprezados os centavos, é igual a:a) $ 128.404;b) $ 129.002;c) $ 129.305;d) $ 129.800;e) $ 130.008.

Solução:E + 7 x 20.000Pagou a lâ .......... restam seis prestações a serem pagas no momento do pagamento da 5~ prestação.

p

5

E 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000


I. vencidas: juros de 10% ao mês; P2 , P3 , P4 , P5 , calculadas na data 5, ou seja, montante da renda:M = 20.000 x s (4, 10% ).......M - 92.820,00

II. a vencer: desconto composto com taxa 5% ao mês: P6 e P7 , calculadas na data 5, ou seja, valor atual da renda postecipada:A = 20.000 x a (2, 5% )......... A = 37.188,21Total a ser pago:M + A = 92.820,00 + 37.188,21 = 130.008,21

Resposta: E

EXEMPLO 20:

(AFTN) Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de 20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de 20.000 no fim do primeiro ano e dez entradas líquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% ao ano, obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano:a) 24.940,86; d) 4.940,86;b) 11.363,22; e) 1.340,86.c) 5.830,21;

O Valor Atual do fluxo é a diferença entre os desembolsos e as entradas quando comparados numa mesma data.Valor atual na data 1 = ?Adotando a data focal 1Desembolsos: D = 20000 x 1,18 + 20000 = 43.600 Entradas: E = 10000 x a (10, 18%) = 44.940,86 Valor atual: E ~ D = 1.340,86

Solução:

10.000 10.000 10.000

0 3 13

20.000 20.000

Resposta: E

CAMPUS Capítulo 8 ; Rendas Certas - Anuidades 97

EXEMPLO 21:

(F.T. - CE) Um indivíduo financiou parte da compra de um automóvel, em vinte e quatro prestações mensais fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12a prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os centavos:a) R$ 4.410,00;b) R$ 5.000,00;c) R$ 5.282,00;d) R$ 5.872,00;e) R$ 6.462,00.

Solução:Financiamento: 24 x 590Valor a ser pago no vencimento da 12â prestação (exceto esta) corresponde à descapitalização das 12 prestações que estão a vencer. Descapitalizá-las é calcular o valor Atual da Renda Postecipada formada pelos pagamentos das datas13 a 24.

A

!L

0* 1f .......... i:2 i’3............................r

590 590 590 590

A - 590 x a (12, 3%)A = 590 x 9 ,954004........................ A = 5.872,86

Resposta: D


EXEMPLO 22 :(GEFAZ-MG) Um financiamento no valor de R$ 3.000,00 foi contraído no início de um determinado mês, para se ser pago em dezoito prestações iguais e mensais de R$ 200,00, com a primeira prestação vencendo no fim daquele mês, a segunda no fim do mês seguinte e assim por diante. Imediatamente após o pagamento da oitava prestação, determine o valor mais próximo da dívida restante do tomador do financiamento, considerando a mesma taxa de juros do financiamento e desprezando os centavos.a) R$ 2.000,00b) R$ 1.796,00c) R$ 1.700,00d) R$ 1.522,00e) R$ 1.400,00

Solução:

3.000j

0 1 2 181r >r 'r

200200 200

3.000 = 200 x a(18, i ) ..............a(18, i) = 1 5 ..................i = 2% a mS8 : valor atual da série de 10 pagamentos que estão a vencer, da data 9 a 18.

s8H— i---------------------------1----------1-----------1° ' 8 \*..... j.8

200 200

S8 = 200 x a(10,2%)S8 = 200 x 8,982585 = 1.796,51

Resposta: B


EXEMPLO 23 :(CVM) O gerente de determinada empresa terá que decidir, por meio do método do custo anual, qual a alternativa mais vantajosa com relação à compra de um motor:

A taxa mínima de atratividade é de 10% ao ano (capitalização anual) e o período de serviço para uma das alternativas é de 10 anos. O gerente conclui que:a) É indiferente escolher a marca X ou a marca Y;b) A relação entre o menor custo anual apurado e o maior é menor que 90%;c) Os valores dos custos anuais encontrados para a marca X e para a marca Y

são superiores a R$ 3.600,00;d) Somente o custo anual apurado para a marca Y é superior a R$ 3.600,00;e) Somente o custo anual apurado para a marca X é superior a R$ 3.600,00.

Solução:i = 10 % a. a.Adotando a data focal 10Marca XCusto:

Investimento inicial Despesas anuais Valor Residual

MARCA X R$ 10.000,00 R$ 2.000,00

MARCAY R$ 11.000,00 R$ 1.850,00 R$ 1.000,00

10.000 2.000 2.000

M = 10.000 X 1,110 + 2.000 X s (10, 10%)M = 57.812,27Seja Px o custo anual.


M = P X X S (10, 10%)Px X s (10, 10%) = 57.812,27 Px = 3.627,43 Marca Y Custo:

1.000L

0> ry .....................

10

r

11.000 1.850 1.850

M = 11.000 X 1,110 + 1.850 X s (10, 10%) - 1.000M = 57.015,41Seja PY o custo anual.

57.015,411l

o’'

I' ......................... '

10’

Py Py

M = PY X S (10, 10%)PY x s (10, 10%) = 57.015,41 PY - 3.577,43

Resposta: E

EXEMPLO 24:

(SUSEP) Um empréstimo internacional no valor de US$ 50,000.00 deve ser pago em oito prestações semestrais iguais, a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano. Considerando uma carência de dois anos em que os juros devidos são pagos ao fim de cada semestre, calcule a prestação semestral que amortiza o empréstimo, considerando que a primeira prestação vence ao fim de seis meses após o término do período de carência (despreze os centavos de dólar):a) US$ 8,051.00;b) US$ 9,250.00;c) US$ 9,984.00;d) US$ 10,165.00;


e) US$ 11,470.00. Solução:E = 5 0 .0 0 0 ............. 1- pagamento na data 5. n = 8

Nos quatro primeiros semestres somente os juros são pagos, i = 12% a. a. (nominal); (a capitalização será dada pela periodicidade da prestação)i = 6% a. s.Quando os juros devidos são pagos ao final de cada período, o principal permanece constante. Portanto, a renda que parecia ser diferida é, na verdade, postecipada, com valor atual US$ 50.000,00 na data 4.

Resposta: A

EXEMPLO 25:

(TRE) Uma empresa, avaliando a possibilidade de investir em uma loja, projetou os seguintes fluxos de caixa: investimento inicial de R$ 250.000,00 e receitas anuais de R$ 60.000,00 durante 6 anos. Ao calcular o valor presente líquido do projeto, obteve R$ 19.155,20, decidindo, então, levá-lo adiante. A taxa de atratividade (rentabilidade mínima) considerada pela empresa foi de:a) 5% a. a.;b) 6% a. a.;c) 7% a. a.;d) 8% a. a.;e) 9% a. a.

50.000 50.000

P P P

Assim, 50.000 = P x a (8, 6 %) P = 8.051

Solução:Investimento: 250.000 (desembolso (D) na data 0)


6 0 .0 0 0 6 0 .0 0 0 6 0 .0 0 0

250.000

Receitas: 6 x 60.000 (entradas (E) das datas 1 a 6).VPL - valor atual do fluxo = E - D (data 0)E - D = 19.155,20 E - 250.000 = 19.155,20 E = 269.155,20E corresponde ao valor atual da série de entradas E = 60.000 x a (6, i ) = 269.155,20 a (6, i) = 4 ,48592.......... i = 9% a. a.

Resposta: E

EXEMPLO 26:

(FTE - PA) Uma firma deve fazer pagamentos ao fira de cada um dos próximos doze meses da seguinte maneira: R$ 4.000,00 ao fim de cada um dos três primeiros meses, R$ 3.000,00 ao fim de cada um dos três meses seguintes e R$ 2.000,00 ao fim de cada um dos seis últimos meses. Calcule o valor atual no início do primeiro mês dos pagamentos devidos, considerando uma taxa de 4% ao mês e desprezando os centavos:a) R$ 26.787,00;b) R$ 26.832,00;c) R$ 27.023,00;d) R$ 27.149,00;e) R$ 27.228,00.

Solução:4.000 (datas 1 a 3) + 3.000 (datas 4 a 6) + 2.000 (datas 7 a 12) i = 4% ao período.......... A = ? (data 0)


A série não é uniforme, mas pode ser substituída por três outras que sejam uniformes:2.000 (datas 1 a 12) + 1.000 (datas 1 a 6) + 1.000 (datas 1 a 3)

T . . I'2o [1 J52

2.000

A

1'. . I60 " j 61.000

A

0 i c z r p1.000

A = 2.000 x a (12, 4%) + 1.000 x a (6, 4%) + 1.000 x a (3,4% )A = 26.787,00

Resposta: A

EXEMPLO 27:

(AFTN) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos.a) R$ 2.511,00;b) R$ 2.646,00;c) R$ 0,00;d) R$ 3.617,00;e) R$ 2.873,00.


Solução: i = 3% a. m.Valor atual (VA) na data 0 - 1V.A é a diferença entre as entradas (E) de capital e os desembolsos (D) quando comparados na mesma data.

E (data 1) = 1000 x a (9, 3 %) - 7.786,11 D (data 1) - 2000 x 1,03 + 3000 = 5.060 VA (data 1) « 7.786,11 - 5.060 = 2.726,11

VA (data 0) = 2726,11 = 2.646,711,03

Resposta: B

EXEMPLO 28:

(CVM) O fluxo de caixa líquido esperado de um investimento é o seguinte, em milhares de reais:

ano 0 1 2 a 9 10fluxo ~~ 1.000 200 300 500

Seu valor atual no início do primeiro ano, isto é, no momento zero, à taxa de 12% ao ano é, em milhares de reais, desprezando-se as decimais:a) 670;b) 750;c) 1.050;d) 2.081;e) 2.100.

1.000

2.000 3.000

Adotando a data focal 1 VA = E - D

.•vojv'1'

CAM PUS Capítulo 8: Rendas Certas ~ Anuidades 105

Solução: i = 12% a.a. VA = ? (data 0)

200 A

0' 1

300 500

t".... t t2 9 10

1.000

Adotando a data focal 1.

300 300 300 + 200i

i

i A ...............Á * ■ j

... t1 11 2 9 10

1.000 100

Desembolso: D = 1000 x 1,12 + 100 = 1.220 Entradas:E = 300 + 300 x a (9, 12%) + 200 [a (9, 12%) - a (8, 12%)]E = 300 + 300 x 5,328250 + 200 x (5,328250 - 4,967640)E = 1970,60Valor Atual (V.A) é sempre a diferença entre as entradas de capital (E) e os desembolsos (D), quando comparados numa mesma data (data focal)VA (data 1) = E - D = 1.970,60 - 1.220 = 750,60„ * ,A m 750,60 V.A (data 0) = ------— = 670

1,12

Resposta: A

EXEMPLO 29:

(PETROBRAS) Um indivíduo aplica mensalmente a quantia de R$ 100,00 em uma aplicação financeira que oferece uma taxa nominal de juros compostos de 12% ao ano, com capitalização mensal. Supondo que esse indivíduo não faça nenhuma retirada dessa aplicação e utilizando a aproximação (1,01)72 = 2 é correto concluir que, a partir da data do primeiro depósito, o número mínimo de anos necessários para que o montante acumulado nessa aplicação seja de pelo menos R$ 30.000,00 será igual a:


a) 10;b) 12;c) 15;d) 20;e) 25.

Solução:P- 100

i = 12 % a. a. capitalização mensal = 1% a. m.Dado: 1,0172 = 2 fM > 30.000,00100 x s (n, 1%) > 30.0001 01n ~1^ ------ > 300................ 1,01" - 1 > 3

0,01

l,01n > 4 mas 4 = 22 l,01n > 22 mas 2 = 1,0172 l,01n > (1,0172)2 logo, n > 144 144 meses =12 anos

Resposta: B

EXEMPLO 30:

(PETROBRAS) Para as duas questões a seguir, use:1,0124 = 1,27 e 1,01“ 24 =0,79

1) Investem-se, mensalmente, durante 24 meses, R$ 100,00 em um fundo de investimentos que rende 1% ao mês. Qual é o montante imediatamente após o último depósito?a) R$ 2 424,00b) R$ 2 688,00c) R$ 2 700,00d) R$ 2 715,00e) R$ 2 752,00


Solução:

n = 2 4 ............P = 1 0 0 ................ i = 1% a m.= 0,01 a m.M = F24 = ?

M

}

) l

o ] 1 ............' '

24'

100 100

M = 100 X s(24, 1%)1 0124 - 1M = 100 x -------

0,01

1 27 ~ 1 M = 100 x h ± L -±0,01

M = 2 700,00

Resposta: C

2) Uma geladeira custa, â vista, R$ 2 000,00 e pode, também, ser paga em 24 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se os juros são de 1% ao mês, qual é o valor da prestação?a) R$ 93,33 d) R$ 107,48b) R $95,24 e) R$111,33c) R$ 103,33

Solução:

À vista: 2 000 Ou,n = 24 (postecipadas).....................i= l% a m . = 0,01 a m....................P = ?

2000

0 1 ............ 24>' ' i

P P


2 000 = P x a(24, 1%)

0,01

2 000 = P x r i !0,01

p _ 2.000 21

P = 95,24

Resposta: B

EXEMPLO 31:

(CHF)Uma pessoa está saldando uma dívida com pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 240,00 cada. Ela deixou de pagar nas datas devidas as prestações dos meses de março, abril e maio, pagando-as, com juros compostos de 3% ao mês, junto com a prestação do mês de junho. Se não houve multas pelo atraso dos pagamentos, o valor total pago em junho foi, em reais:

b) 8000.(1,03)

c) 8000.(1,03)4d) 8000.{(1,03)3 - 1)e) 8000. [ (1 ,0 3 )* - !]

Solução:

Valor a ser pago em junho é o montante da série de pagamentos: 240 (março , abril, maio e junho)

CAMPUS Capitulo 8 : Rendas Certas - Anuidades 109

M = 240 x s (4, 3%)

M = 240 x1 —1

= 240 x ...................M = 8.000 . (1,034 - 1)0,03

Resposta: E

EXEMPLO 32:

(CEF) Uma máquina* cujo preço à vista é de R$ 8.000,00 foi vendida a prazo com uma entrada de R$ 2.900,00 e o restante financiado em 10 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a primeira delas vencendo trinta dias após a data da entrada. Se, no financiamento, a taxa de juros compostos usada foi de 3% ao mês, o valor de cada prestação, em reais, era:

a)(1,03)11

c)

b)

d)‘ (1,03)10 - 1

e) 5100. [(1,03)10- 1]

Solução:

À vista: 8.000 Entrada: 2.900Valor financiado: 8.000 - 2.900 = 5.100


5.100 =P x a (10, 3%)

5.100 = P x 1,0310 ~ ...............P = 5.100 . 1,03l° * - —1,03 x0,03 1,03 - 1

1,03101,03 - 1

Resposta: D

EXEMPLO 33:

(PETROBRAS) Qual é o valor atual de uma renda perpétua, de pagamentos mensais postecipados, iguais a R$ 100,00, a juros de 1% ao mês?a) R$ 1 000,00b) R$ 5 000,00c) R$ 8 000,00d) R$ 10.000,00e) R$ 100.000,00

Solução:

Chama-se de uma Renda Perpétua aquela em que o número de pagamentos tende ao infinito, ou seja, pagam-se somente os juros sobre o valor atual da renda.Assim, sendo A o valor atual da renda, P o pagamento periódico e i a taxa de juros compostos por período,

P - A x i

A = ? .......................P = 1 0 0 ............. ....... i « 1% a m.100 = A x 1% ...............A = 10.000,00

Resposta: D

Capítulo

1Sistemas de Amortização

de Empréstimos« •

Na devolução de um empréstimo, cada prestação (P) é composta de duas parcelas: uma referente ao pagamento de juros (J) e outra referente à cota de amortização (A).

P = J + A

O pagamento dos juros impede o crescimento da dívida e o pagamento da cota de amortização reduz o saldo devedor até zerar.Na k-ésima prestação,

“ Jk + Afe

onde j k é o juro calculado sobre o saldo devedor Sk_ £.Sk = Sk_ x - Ak , onde Sk é o saldo devedor após o pagamento da prestação Pk. Seja S0 um empréstimo concedido para pagamento em n prestações postecipadas à taxa de i% ao período.Vamos estudar diferentes sistemas de amortização para este empréstimo.


Sistem a Francês - Tabe la Price

Prestações constantes

Portanto, o Sistema Francês é representado por uma Renda Certa.Seja P o valor de cada prestação:

S0 = P x a (n, i ) .................. P =a(n,i)

Pk=Jk + Ak ........... Jk + Ak = PJk = i . Sk _ i e Ak = P - Jk , para k variando de 1 a n.

Conclusões sobre o Sistema Francês:

• juros decrescentes.

• amortizações crescentes.

• saldo devedor após o pagamento da penúltima prestação (Sn _ x) é igual à última cota de amortização (An): Sn_ x = An.

• saldo devedor (Sk) após o pagamento da prestação Pk é dado pelo valor atual da série formada pelos pagamentos que estão a vencer: Sk = P x a (n ~ k , i).

EXEMPLO 1:

(B. BRASIL) Um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 será devolvido em três prestações mensais iguais e seguidas de valor igual a R$ 416,35. O financiamento foi realizado com uma taxa de juros de 12% ao mês. Ao analisar os valores de cada parcela da operação de financiamento, calculando os valores dos juros, amortização e saldo devedor, vemos que, para a segunda prestação, estes valores, em reais, são, respectivamente:a) 67,54 - 648,81 - 388,59;b) 72,88 - 343,47 - 383,25;c) 77,24 - 339,11 - 378,89;d) 80,18 - 336,17 - 375,95;e) 84,44 - 331 ,91 -371 ,74 .

Solução:S0 = 1 .000 ..............n = 3 .............. P = 4 1 6 ,3 5 ............... i - 12% a. m.J 2 = ? ..............A2 = ? ............... S2 = ?

CAMPUS Capítulo 9 : Sistemas de Amortização de Empréstimos 1X3

k Pk Jk Ak Sk0 - - _ 1.0001 416,352 416,353 416,35

Jx = 12% . S0 .............Jj = 12% . 1.000 = 120Ax = Pj —J jl........................Ax = 416,35 - 120 = 296,35Sx = S0 - Ax...................... Si = 1.000 - 296,35 = 703,65J2 - 12% . Sx ..............J 2 = 12% . 703,65 = 84,44A2 = P2 - J 2 .....................A2 = 416,35 - 84,44 = 331,91S2 = Si - A2 ...................S2 = 703,65 - 331,91 = 371,74

Resposta: E

EXEMPLO 2:

(TCM ~ iy) Um financiamento de R$ 124.622,10 contratado a juros efetivos compostos de 5% a.m., será reembolsado em vinte prestações mensais pelo Sistema de Amortização Francês. A soma das dezoito primeiras prestações é igual a:a) R$ 178.000,00;b) R$ 180.000,00;c) R$ 182.000,00;d) R$ 188.000,00;e) R$ 190.000,00.

Solução:S0 = 124.622,10........... i = 5% a.m..................n = 2 0 .............Sistema Francês.Soma das 18 primeiras prestações = ?

S0 = P x a (20, 5 % )........... ......P = 124,622,10 ............P = 10.00012,462210

Soma = 18 x 10.000 = 180.000

Resposta: B


EXEMPLO 3:

(F.T. - CE) Uma compra no valor de R$ 500,00 deve ser paga com uma entrada à vista de 20% e o saldo devedor restante em cinco prestações mensais iguais, a uma taxa de 5% ao mês, vencendo a primeira prestação em 30 dias. Embutida nesta primeira prestação mensal, existe uma amortização do saldo devedor, aproximada em reais, de:a) R$ 72,00;b) R$ 75,00;c) R$ 77,00;d) R$ 78,00;e) R$ 80,00.

Solução:à vista: 500entrada: 20% ........entrada = 100valor financiado: 500 — 100 = 400 S0 = 400Como as prestações são iguais, o sistema de amortização é o Francês, S0 = P x a (n, i)400,00 = P x a (5, 5%)

400P = — — — = 92,39 4329477

P = 92,39 P i= A l + J x Ji = 5% . S0 J x = 5%. 400 = 20

Logo, Ax = P i —Ji Ax = 92,39 - 20 = 72,39

Resposta: A

CAMPUS Capituio 9: Sistemas de Amortização de Empréstimos 115

EXEMPLO 4:

(B. BRASIL) Um empréstimo de R$ 200.000,00 será pago em 3 prestações mensais iguais e consecutivas pela Tabela Price. Se a taxa de juros nominal for de 60% ao ano, com capitalização mensal, a parcela correspondente aos juros na última prestação terá, em reais, um valor:a) inferior a 3.500,00;b) entre 3.500,00 e 3.600,00;c) entre 3.600,00 e 3.700,00d) entre 3.700,00 e 3.800,00e) superior a 3.800,00.

Solução:S0 = 200 .000 ..............n = 3 ...........Tabela Price.i = 60% a. a. capitalização mensal = 5% a.m.

J3 = ?S0 = P x a (3, 5%)................. P = ..............P = 73.441,71

2,723248P3 = A3 + j 3 j 3 = 5% .S 2Mas, S2 = A3 ( o saldo devedor após o pagamento da penúltima prestação é igual à última cota de amortização)Logo, J3 = 5% . A3P3 = 5% . A3 + A3 ...........P = 1,05 A3

73.441,71 . AnA, = -------- — ................ A-> = 69.944,491,05

J3 = P3 - A3 ..............J3 = 73.441,71 - 69.944,49J3 = 3.497,22

Resposta: A


EXEMPLO 5:

(SUSEP) XJm empréstimo de R$ 200.000,00 deve ser pago em dez prestações anuais, pelo método francês de amortização, a uma taxa de 12% a.a. O valor do saldo devedor, após o pagamento da quinta prestação, será de:a) R$ 127.597,61;b) R$ 145.530,76;c) R$ 161.542,50;d) R$ 23.015,80;e) R$ 100.000,00.

Solução:S0 = 200.000 ............n = 1 0 ............Sistema Francês............... i = 12% a. a.S5 = ?200.000 = P x a (10, 12%)P = 35.396,83S5 corresponde ao valor atual da série de pagamentos que estão a vencer.S5 = 35.396,83 x a (5, 12%)S5 = 127.597,65

Resposta: A

EXEMPLO 6:

(TRE) Um equipamento no valor de R$ 32.805,64 foi financiado pelo Sistema Francês de amortização em 20 prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros efetiva é de 10% ao mês e há um período de carência inicial de 3 meses, nos quais somente os juros devidos serão pagos à financeira, a soma das 15 primeiras prestações será:a) R$ 40.647,36;b) R$ 51.081,36;c) R$ 57.800,07;d) R$ 58.561,12;e) R$ 60.000,00.

Solução:S0 = 32.805,64 ......... Sistema Francês.............n = 2 0 ................. i = 10% a. m.Carência de 3 meses com os juros pagos. Logo, o principal da dívida permanece inalterado.

CAMPUS Capitulo 9: Sistemas de Amortização de Empréstimos 117

Soma das 15 primeiras prestações = ?

S0 = P x a (20, 10% )..............P = 32B05,648,513564

P = 3.853,34 Soma = 15 x 3.853,34 Soma = 57.800,07

Resposta: C

EXEMPLO 7:

(AFRE-MG) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos.a) R$ 300,00b) R$ 240,00c) R$ 163,00d) R$ 181,00e) R$ 200,00

Solução: (C)

Empréstimo: 15 .000 ......... n - 1 8 ..................i = 2% a m.P: valor da cada prestação.

15.000 = P xa (18 , 2%) 15.00014,992031

1 5.000

0

p p p

P = 1.000Para calcularmos a cota de juros embutida na décima prestação, devemos calcular o saldo devedor após o pagamento da nona prestação (S9).


S9 será dado pelo valor atual da renda formada pelas prestações que ainda estão a vencer: da décima a décima — oitava.

1.000 1.000

S9 = 1.000 X a(9, 2 % )................ S9 « 8.162,24J 10 = 2% x S9 ..............Jio = 0,02 x 8.162,24 = 163

Resposta: C

EXEMPLO 8:

(CVM) Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi contratado para ser pago em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira no prazo de 30 dias, à taxa de juros compostos de 3% ao mês. O saldo devedor no primeiro mês, após o pagamento da primeira prestação, considerando o Sistema de Amortização Francês, é de:a) R$9.000,00; d) R$9.300,00;b) R$ 9.128,00; e) R$ 10.300,00.c) R$ 9.172,00;

Obs.: Dado : [a(10,3%)J_I = 0,1172

Solução:50 = 10.000.......n - 10 (postecipadas)........ i = 3 % a. m........... Sistema Francês51 = ?Sx = S0 - A i Ai = P i - J i10.000 = P x a (10, 3%)P = 10.000 x [a (10, 3 %)] - 1.......................P = 10.000 x 0,1172P = 1.172Ji = 3% S0 ......J x = 3% . 10 .000 .........J x = 300Ax = 1.172 - 300 = 872 Sx = 1 0 .0 0 0 -8 7 2 = 9.128

Resposta: B

CAMPUS Capitulo 9 : Sistemas de Amortização de Empréstimos 119

EXEMPLO 9:

(FT-Niterói) Um financiamento pelo sistema francês de amortização, a uma taxa de juros de 4% ao mês, é composto por doze prestações de R$ 1.000,00. Caso esse financiamento seja substituído por uma perpetuidade que gere um conjunto de fluxos de caixa equivalente ao citado, o valor da nova prestação seria igual a :Dado: (1,04)12 = 1,601a) R$ 64,98 c) R$ 480,00b) R$375,39 d) R$615,53

Solução:

Sistema Francês (corresponde a uma Renda Certa).i =* 4% a.m.....................n = 1 2 ........................ P = 1.000A: valor do financiamento, que será o valor atual da renda.

A

0 1 ................... 12

▼ ▼1.000 1.000

A = 1.000 x a (12 ,4%)L0412 - 1A = 1.000 x — ------—

1,04 x0,04A 1 A A A 1,601-1 . 601A = 1.000 x — ...........................................A = ------------

1,601x0,04 0,06404A = 9.384,76Esse financiamento será substituído por uma perpetuidade de valor P.Uma perpetuidade corresponde somente ao pagamento dos juros sobre o valor atual, ou seja, não há pagamento de amortização.A: valor atual da série infinita

9.384,76

0 1 2▼ TP P


Logo, P = A x i P = 9.384,76 x 0,04 = 375,39

Resposta: B

Sistema de Amortização Constante - SAC

Amortizações constantes S

nPk = Ak + j k Jk = i - 5 k_ 1Pk = A + Jk , para k variando de 1 a n.

Conclusões:

• cota de amortização constante.

• prestações, juros e saldos devedores decrescentes sob a forma de progressões aritméticas.

• saldo devedor após o pagamento da penúltima prestação (Stl„ 1) é igual à última cota de amortização (An): Sn_ i = A .

• saldo devedor (Sk) após o pagamento da prestação Pk é dado por: Sk = S0 - k . A.

EXEMPLO 10:

(TCI) Uma pessoa contratou um financiamento de R$ 6.000,00 que será amortizado por meio de seis prestações mensais postecipadas (termos vencidos) segundo o Sistema de Amortizações Constantes - SAC. Considerando uma taxa de juros efetiva composta de 5% ao mês, a soma dos valores das prestações dos três primeiros meses será de:a) R$ 3.440,00;b) R$ 3.450,00;c) R$ 3.460,00;d) R$ 3.750,00;e) R$ 3.490,00.

CAMPUS Capítulo 9 : Sistemas de Amortização de Empréstimos 121

Solução:SAC-----S0 = 6 .0 0 0 .............n = 6 ................ i = 5% a. m.

a = i.ooo 6

Pk ~ \ + JkPi = 1.000 +JiJi = 5% S0 = 5% . 6.000 = 300 Px = 1.30051 = Sq - A1 ........... Sx = 6.000 - 1.000 = 5.000P2 = 1 .000+ J2J2 = 5% Sj = 5% . 5.000 = 250 P2 = 1.25052 = S1 ~ A2 ............... S2 = 5.000 - 1.000 = 4.000P3 = 1 .000+J3J3 = 5% S2 = 5% . 4.000 = 200 P3 = 1.200

Soma = Pj + P2 + P3 = 3.750

Resposta: D

EXEMPLO 11:

(CEF) Para responder às questões considere o enunciado abaixo.Um industrial pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200.000,00 emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sa- be-se que os juros serão pagos anualmente, à taxa de 10% a.a., e que o capital será amortizado em quatro parcelas anuais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC).

Q.l O valor da terceira prestação deverá ser de:a) R$ 60.000,00;b) R$ 65.000,00;c) R$ 68.000,00;d) R$ 70.000,00;e) R$ 75.000,00.


Q.2 Os juros pagos por esse empréstimo deverão totalizar a quantia de:a) R$ 40.000,00;b)c)d) e)

R$ 45.000,00 R$ 50.000,00 R$ 55.000,00 R$ 60.000,00

Solução:

S0 = 200.000 ......n = 4 .............. i = 10% a. a.............. SACs 200.000 „ _ _A = ——.............A = ...............A - 50.000n 4

k Pk Jk Ak Sk0 _ 200.0001 50.000 150.0002 50.000 100.0003 50.000 50.0004 50.000 0

h = io% S0 .......... J z = 10% .200.000 = 20.000

>y ii > + Pj = 50.000 + 20.000 - 70.000h ^ W / o S i .......... J 2 = 10% . 150.000 - 15.000P2 = A2 +J2 ......... P2 = 50.000 + 15.000 - 65.000

rvlU)&0

(—1ii1 w . J3 = 10% . 100.000 = 10.000

P3 = A3 + J3 .......... P3 = 50.000 + 10.000 - 60.000J4 = io % s3 .......... , J4 « 10% . 50.000 = 5.000P4 - A4 +J4 .......... P4 = 50.000 + 5.000 - 55.000

Q.l P3 - 60.000

Resposta: A

Q - 2 ............-Jt =J i + J2 + J3 + J4JT = 50.000

Resposta: C

CAMPUS Capítulo 9: Sistemas de Amortização de Empréstimos 123

EXEMPLO 12:

(F. T. - SC) Um empréstimo no valor de R$ 90.000,00 deverá ser pago em quinze prestações mensais consecutivas, vencendo a primeira trinta dias após a liberação do dinheiro, sem carência. Se o financiamento foi feito pelo Sistema de Amortização Constante a uma taxa de juros compostos mensal de 6%, então o saldo devedor, após o pagamento da décima quarta prestação, será de:a) R$ 42.000,00;b) R$ 24.000,00;c) R$ 84.000,00;d) R$ 6.000,00;e) R$ 72.000,00.

Solução:S0 = 90.000 ................n = 1 5 ....................................................... SAC.....i = 6% a. m.Sl4=?a S0 A 90.000 . .A = — ..............A = ............. .............A = 6.000

n 1514 = AL5

Como as amortizações são constantes, A15 = A.SH = 6.000

Resposta: D

EXEMPLO 13:(CEF) Um capital de R$ 36.000,00 foi financiado através do Sistema SAC (Sistema de Amortização Constante) em 12 prestações mensais, vencendo a primeira 30 dias após a assinatura do contrato. Considerando uma taxa de 5% a. m., o valor da sexta prestação foi igual a:a) R$ 4.500,00;b) R$ 4.350,00;c) R$ 4.200,00;d) R$ 4.100,00;e) R$ 4.050,00.


Solução:S0 = 3 6 .0 0 0 .......... SAC................ n = 1 2 ............... i = 5% a. m.Í W. Sn 36.000 „ „ _ „A = - 2 - ..............A = ----------= 3.000

n 12P6 - A6 + J 6 J6 = 5% S5S5 = S0 - 5 X A ...............S5 = 36.000 - 5 x 3.000 = 21.000J6 = 5% . 21 .000 ..............J6 = 1.050P6 = 3.000+ 1.050 P6 = 4.050

Ou,Px = 3.000+3!Ji = 5% . S0 ............Jj = 5%. 36.000 = 1.800Pj = 3.000+ 1.800 = 4.800Sx = S0 ~ Ax ...............Sj = 36.000 - 3.000 = 33.000h = 5% Sx ............J2 = 5% . 33.000 = 1.650P2 = 3.000 + J2 .......... P2 = 3.000 + 1.650 = 4.650As prestações Px, P2 , P3 , . P12, nesta ordem, formam uma progressão aritmética de razão r = P2 - Px.Logo, r = 4.650 - 4.800 = - 150.P6 = Px + 5 r ................... P6 = 4.800 + 5. ( - 150)P6 = 4.050

Resposta: E

EXEMPLO 14:

(TCI - RJ) Considere o sistema de amortização constante (SAC), em que o saldo no início do ano é R$ 2.000,00, a taxa de juros, de 8% ao ano, íio prazo de quatro anos. No final do primeiro ano, o saldo, em reais, é o seguinte:a) 1.000,00;b) 1.500,00;c) 1.250,00;d) 1.750,00.

CAMPUS Capitulo 9 : Sistemas de Amortização de Empréstimos 125

Solução:50 = 2 .0 0 0 .............i = 8% a. a..................n = 4 ..........SAC

A = ^ ° = 5004

51 = S0 — ASx = 2 .0 0 0 - 5 0 0 - 1.500

Resposta: B

EXEMPLO 15:

(BNDES) João da Silva contratou um financiamento imobiliário no valor de R$ 90.000,00 junto ao banco XYZ, a ser pago num prazo de 180 meses, com as prestações calculadas pelo sistema de amortização constante (SAC). A taxa de juros anual é de 14% mais a TR (taxa referencial). No primeiro mês, essa taxa de juros equivaleu a 1,5%. A primeira prestação paga por João foi:a) R$ 1.850,00;b) R$ 1.350,00;c) R$ 1.000,00;d) R$ 850,00;e) R$ 500,00.

Solução: l2 mês: 1,5%A _ 90000 _goo

180 P1 =A1 4*j1Ji = 1,5% . 90.000 ................ Ji = 1.350Px = 500 + 1.350 = 1.850,00

Resposta: A

EXEMPLO 16:

(F. R. - MS) Uma empresa tomou um empréstimo de 80,000 dólares para pagamento pelo Sistema de Amortização Constante, em 40 parcelas mensais, sendo a primeira um mês após o recebimento do empréstimo e com taxa de juros de 1% a. m. O valor da trigésima quinta prestação foi de:a) 2,080 dólares;b) 2,120 dólares;c) 2,160 dólares;d) 2,200 dólares.

Solução:S0 = 8 0 .0 0 0 ............n = 4 0 ............i = 1% a. m.............SACP 35 “ ?

. 80.000 - A = — —— = 2.000 40

P35 = A35 + J35 J35 = 1% . s34 $34 = S0 — 34 x AS^ = 80.000 - 34 x 2.000 = 12.000 J35 = 1% . 12.000 = 120 P35 = 2.000 + 120 = 2.120

Resposta: B

126 Série Q uestões: Matemática Financeira E L SE V IE R

EXEMPLO 17:

(SUSEP) Um financiamento habitacional no valor de R$ 48.000,00 deve ser pago em vinte anos pelo sistema de amortizações constantes, isto é, em amortizações mensais iguais e, assim, prestações mensais decrescentes, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês de recebimento do financiamento e assim sucessivamente. Calcule o valor da vigésima quinta prestação, considerando uma taxa de juros de 1% ao mês:a) R$ 700,00;b) R$ 680,00;c) R$ 632,00;d) R$ 630,00;e) R$ 600,00.


Solução:S0 - 48.000 ........... n = 2 4 0 .................i = 1% a. m...........SACP25 = ?A = 48000 = 200

24025 = A-25 + J 25

J25 = 1% . S24S24 = S0 — 24 X AS24 = 48.000 - 24 x 200 = 43.200j 25 = 1% . 43.200 = 432P25 = 200 + 432 = 632

Resposta: C

EXEMPLO 18:

(PETROBRAS) Para a realização de um projeto de investimento, uma empresa obteve um empréstimo de 1.000 unidades monetárias, que deverá ser pago pelo sistema de amortização constante (SAC) em 100 prestações mensais, com uma carência de 6 meses, durante a qual haverá a incidência de juros, mas não o seu pagamento, havendo a capitalização dos juros (incorporação ao saldo devedor). Sabendo que o pagamento da primeira parcela do empréstimo ocorrerá um mês após o término da carência e que a taxa do financiamento é de 1% ao mês, o valor da última prestação será:a) inferior a 11,0 ;b) superior a 11,0 e inferior a 12,0 ;c) superior a 12,0 e inferior a 12,5;d) superior a 12,5 e inferior a 13,5;e) superiora 13,5.

Solução:Valor do empréstimo na data 0: 1.000Devemos capitalizar o valor do empréstimo para a data 6 .S0 = 1.000 x 1,016 ................. S0 = 1.061,52Esse será o valor do empréstimo para efeito de cálculos.S0 = 1 .061,52..............n = 1 0 0 .............SAC............i = 1% a. m.


A = ............A = LQ61’5? ...........Á = 10,62100 100

Pioo = A1Go + Jioo Aiqq ~ A — 10,62 Jioo = 1% S99Mas, Sgg — A-100 = A = 10,62 J 100 = l% . 10,62 = 0,11 P100 = 10,62 + 0,11 = 10,73

Resposta: A

EXEMPLO 19:

(AF ~ GO) Considere uma dívida de R$ 100.000,00, a ser resgatada em 25 prestações, com 4% de juros no período. Nessas condições, o valor da prestação no sistema Price passará a ser superior ao do SAC, imediatamente após a:a) 6- prestação;b) 8a prestação;c) 10a prestação;d) 12â prestação;e) 15â prestação.

Dado: a(25,4%) = 15,622

Solução:S0 = 100.000 ..............n = 2 5 ............. i = 4% ao períodok = ? ..............Pk (Price) > Pk (SAC)Price:p _ 100.000 p _ 100.000

~ a(25,4%)......... ” 15,622P - 6.401,23 SAC:. 100.000 . . AnAA = .............. ............... A = 4.000

25Pk = A + JkJk = 4% .S k_ 1Pk = 4.000 + 4% Sk _ !Sk _ ! = 100.000 - (k ~ 1) . 4.000


Sk _ 1 = 100.000 - k . 4.000 + 4.000Sk - x = 104.000 _ k . 4.000Pk = 4.000 + 0,04 (104.000 - k . 4.000)Pk = 4.000 + 4 .1 6 0 - 160 . k Pk = 8 .1 6 0 - 160 k6.401,23 > 8.160 - 160 k ................. k > 10,99

Resposta: C

EXEMPLO 20 :(An. Orç.) Uma dívida, no valor de R$ 5 417,20, vai ser amortizada pelo Sistema Francês, sem entrada, com pagamento em 6 prestações mensais consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 30 dias da data do empréstimo, com taxa de 3% ao mês. Nessas condições, a cota de amortização da primeira prestação serã de, aproximadamente:a) R$ 837,48; d) R$ 892,72;b) R$ 842,50; e) R$ 902,40.c) R$ 855,72;

Solução:Sq = 5 .417 ,20 ..............Sistema Francês..................n = 6 ..................i = 3% a. m.

Ax = 1.000 - 162,52 Aj = 837,48

Resposta: A

EXEMPLO 21:

(An. Orç.) Se, na questão anterior, fosse usado o Sistema de Amortização Constante (SAC), a cota de juro na segunda prestação seria igual a, aproximadamente:a) R$ 155,20; d) R$ 140,30;b) R$ 150,60; e) R$ 135,43.c) R$ 145,80;

V = ------o—a(6,3%)

Ai = P ~ Ji Ji= 3 % .S 0 .

_ 5.417,20 ~ 5,41720

j x = 0,03 X 5.417,20..............Jx = 162,52


Solução:S0 = 5.417,20

= ?SAC n = 6 i = 3% a. m.

A = — ..............A. 5.417,20A = -------—6

A = 902,87n

J2 — 3% . SjS — Sq — A ...........Si = 4.514,33 J2 = 3% . 4.514,33

Si = 5 .417 ,2 0 -9 0 2 ,8 7

J2 = 135,43

Resposta: E

EXEMPLO 22:

(SUSEP) O enunciado abaixo se refere às questões abaixo.Uma dívida de R$ 10.000,00 será paga em 100 prestações mensais e sucessivas. O vencimento da primeira prestação será um mês após a dívida ter sido contraída e os juros serão de 3% ao mês.Se necessário utilize: 1,03100 = 19,219

Q.l Se a amortizaçao é pelo sistema francês (Tabela Price), o valor da prestaçao será de, aproximadamente:a) R$ 331,00;b) R$ 328,00;c) R$ 325,00;d) R$ 320,00;e) R$ 316,00.Q.2 Se a amortização é pelo sistema de amortização constante, o valor da vigésima quinta prestação será de, aproximadamente:a) R$ 331,00;b) R$ 328,00;c) R$ 325,00;d) R$ 320,00;e) R$ 316,00.

1,03-1°° = o,052

CAMPUS Capítulo 9 : Sistemas de Amortização de Empréstimos 131

Solução:Q.lS0 = 10 .000 ..............n = 1 0 0 ...........i = 3% a. m....................Tabela Price10.000 = P x a (100, 3%)

a (1 0 0 ,3 % ) . . l - U P - 1"1,03 x0,03 0,03

a (100, 3 %) = 1-0 ,052 = 31,6 0,03

10.000 = P x 3 1 ,6 ...........P = 316,46

Resposta: E

Q.2SAC.......P25 = ?

A = — ......... A = = 100n 100

1*25 " A25 +J25 J25 = 3% . S24S24= 10.000 - 24 X 100 = 7.600 J25 = 3% . 7.600 = 228 P25 = 100 + 228 = 328

Resposta: B

EXEMPLO 23:

(F. R.- MS) Com relação ao Sistema de Amortização Constante (SAC) e ao Sistema Price (SP), podemos afirmar que:a) No SAC as prestações são constantes ao longo do tempo;b) No SP as amortizações são constantes ao longo do tempo;c) No SAC os juros são crescentes ao longo do tempo;d) No SP as amortizações são crescentes ao longo do tempo.

Resposta: D


EXEMPLO 24:

(BNDES) O Sistema Francês de Amortização é caracterizado por:a) juros decrescentes e prestação crescente;b) prestação decrescente e juros crescentes;c) amortização e juros decrescentes;d) juros e amortização crescentes;e) amortização crescente e prestação constante.

Resposta: E

Sistem a Am ericano

Até o pagamento da penúltima prestação, somente os juros são pagos. No pagamento da última prestação, o saldo devedor é liquidado.Pk = J para k variando de 1 a n - 1, onde J = i . S0 A última prestação Pn = J + S0

EXEMPLO 25:

Considere um empréstimo de R$ 5.000,00 a ser pago em quatro prestações postecipadas anuais, pelo Sistema Americano, com juros de 12% ao ano. Construa a planilha de pagamentos.

Solução:S0 = 5.000 ......... i = 12% a. a..................Sistema Americano...........n = 4

k Jk Ak Pk Sk0 - - - 5.0001 600 _ 600 5.0002 600 - 600 5.0003 600 - 600 5.0004 600 5.000 5.600 —

Resolução de Provai

Auditor Fiscal da Receita Federal ~ 2001

1) O s ca p ita is d e R$ 3 .0 0 0 ,0 0 , R$ 5 .0 0 0 ,0 0 e R$ 8 .0 0 0 ,0 0 fo ra m a p lic a d o s to d o s n o m e s m o p ra z o , a ta xa s d e ju r o s s im p le s d e 6 % ao m ê s , 4 % ao m ê s e 3 ,2 5 % ao m ê s, re s p e c tiv a m e n te . C a lcu le a taxa m é d ia de a plica ção d e sse s ca p ita is :

a) 4,83% ao mês;b) 3,206% ao mês;c) 4,4167% ao mês;d) 4% ao mês;e) 4,859% ao mês.

S o lu çã o : (D)0 valor da taxa média é dado pela média ponderada das taxas, cujos pesos são os capitais.3.00 0.... 6% a. m.5.00 0.... 4 % a. m8.00 0.... 3,25% a. m.im = ? % a. m.■ 3.000% x6+ 5,000 x 4 % + 8.000 x 3,2 5 %

'm 3.000+5.000+8.000im = 4% a. m.

2 ) O d e sc o n to ra c io n a l s im p le s d e u m a n o ta p ro m is s ó r ia , c in co m ese s a n te s d o v e n c im e n to , é de R$ 8 0 0 ,0 0 , a u m a ta xa d e 4 % ao m ê s . C a lcu le o d e sc o n to com e rc ia l s im p le s c o rre s p o n d e n te , is to é, c o n s id e ra n d o o m e s m o títu lo , a m e s m a taxa e o m e s m o p ra z o :

a) R$ 960,00; d) R$ 640,00;b) R$ 666,67; e) R$ 800,00.c) RS 973,32;

Série Q uestões: Matemática Financeira ELSEVIER

S o iu çã o : (A)d = 800 .......t = 5 meses....... i = 4% a. m.D - 7p % = i x t = 4% x 5 = 20 % .........f = 1,2D é montante de d ....D - d x fD = 800 x 1,2 .......D - 960,00

3 ) In d iq u e a taxa d e ju r o s a n u a l e q u iva le n te à ta xa d e ju r o s n o m in a l de 1 2 % a o a n o co m c a p ita liza ç ã o m e n s a l:

a) 12,3600%;b) 12,6825%;c) 12,4864%;d) 12,6162%; e) 12,5508%.So iu çã o : (B)12 % ao ano com capitalização mensaí = 1% ao mês.i - 1 % a. m...............I = ? % a. a...........n = 12.1 + l« (l + i)121 +1 = 1,0112 ............. 1 +1= 1,126825I — 0,126825 (forma unitária)I = 12,6825% (forma percentual)

4 ) U m títu lo fo i d e s c o n ta d o p o r R$ 8 4 0 ,0 0 q u a tro m e se s a n te s d o seu v e n c im e n to . C a lcu le o d e sc o n to o b tid o c o n s id e ra n d o u m d e s c o n to ra c io n a l c o m p o s to a u m a taxa d e 3 % ao m ê s :

a) R$ 140,00;b) R$ 104,89;c) RS 168,00;d) R$ 93,67;e) RS 105,43.So lu çã o : (E)

A = 840......t = 4 meses........i = 3% a. m.d-?No desconto racional (composto ou simples), o valor nomina! é o montante do valor atual e o valor do desconto corresponde aos juros calculados sobre o atual.d = j ............A = Cd = Ax [(1+ i)n - 1]d = 840 X [1,034 - 1]....... d = 105,43

5 ) U m i n d i v í d u o f a z u m c o n t r a t o c o m u m b a n c o p a r a a p l ic a r m e n s a lm e n te R $ 1 .0 0 0 ,0 0 d o p r im e iro ao q u a rto m ê s , R $ 2 ,0 0 0 ,0 0 m e n s a lm e n te d o q u in to a o o ita v o m ê s , R$ 3 ,0 0 0 ,0 0 m e n s a lm e n te d o n o n o a o d é c im o s e g u n d o m ê s . C a lc u le o m o n ta n te a o f im d o s d o z e m e s e s, c o n s id e ra n d o u m a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s d e 2% ao m ê s (d e s p re z e o s c e n ta v o s ):

a) RS21.708,00;b) RS29.760,00;c) R$35.520,00;d) RS22.663,00;e) RS26.116,00.

CAMPUS Resolução de Provas 135

S o lu çã o : (E)1.000 (datas 1 a 4) + 2.000 (datas 5 a 8) + 3.000 (datas 9 a 12) í = 2 % a. m.......... M = ? (data 12)

_j

i.oóã'T.ooo 4.... 49 12

2.000 2.0003.000 3.000

Como a série de pagamentos não é uniforme vamos transformá-la em três séries uniformes:

M « 1.000 (datas 1 a 12) + 1.000 (datas 5 a 12) + 1.000 (datas 9 a 12)M - 1.000 x s (12, 2 % ) + 1.000 X s (8, 2%) + 1.000 X s (4, 2 % )

M = 26.116,00

6 ) U m a e m p re sa d e ve p a g a r R$ 2 0 .0 0 0 ,0 0 hoje, R$ 1 0 .0 0 0 ,0 0 ao f im de tr in ta d ia s e R$ 3 1 .2 0 0 ,0 0 ao f im d e n o ve n ta d ia s . C o m o ela só esp e ra co n ta r com o s re cu rso s necessários d e n tro de sessenta d ia s e p re te n d e n e gociar um p a ga m e n to ú nico ao f im de sse prazo, o b te n ha o capita i e q u iva le n te q u e q u ita a d ív id a ao fim d o s sess enta d ia s , c o n sid e ra n d o u m a taxa d e ju ro s c o m p o sto s d e 4 % ao m ês:

a) RS 63.232,00;b) R$ 64.000,00;c) R$ 62.032,00;d) R$ 62.200,00;e) R$ 64.513,28.

1.000 1.000 1.000

1.000 1.000 1.000

1.000 1.000

S o lu çã o : (C)


i = 4 % a. m.Adotando a data focai 2:P « 20.000 x 1,042 -f- 10.000 X 1,04 + 1,04P = 62.032,00

7 ) U m ca p ita l é a p lic a d o a ju r o s c o m p o s to s d u ra n te s e is m e se s e d e z d ia s , a u m a taxa d e ju r o s d e 6 % a o m ê s . Q u a l o v a lo r q u e m a is se a p ro x im a d o s ju r o s o b tid o s co m o p o rc e n ta g e m d o ca p ita i in ic ia i, u s a n d o a c o n ve n ç ã o lin e a r?

a) 46,11%;b) 48,00%;c) 41,85%;d) 44,69%;e) 50,36%.

Solu ção: (D)C ........i = 6 % a. m.t = 6 meses e 10 dias.......n = 6eq = — = —30 3J = ?..........convenção linear.fator a juros compostos: 1.066juros simples: p% = i x t ........p% = 6 % x - = 2 %3fator a juros simples: 1,02 M = C x 1,066 x 1,02M = Cxl ,4469........ fator: 1,4469 ...... p% = 44,69%J - 44,69% . C

8 ) U m a p e sso a fa z u m a c o m p ra fin a n c ia d a em d o z e p re s ta ç õ e s m e n s a is e ig u a is d e R$ 2 1 0 ,0 0 . O b te n h a o v a lo r f in a n c ia d o , d e s p re z a n d o o s c e n ta v o s , a u m a taxa d e ju r o s c o m p o s to s d e 4% a o m ê s , c o n s id e ra n d o q u e o fin a n c ia m e n to e q ü iva le a u m a a n u id a d e e q u e a p r im e ira p re s ta ç ã o v e n c e u m m ê s d e p o is d e e fe tu a d a a c o m p ra :

a) R$ 3.155,00;b) R$ 2.048,00;c) R$ 1.970,00;d) R$ 2.530,00;e) R$ 2.423,00.

S olu ção: (C)P = 210........i = 4 % a. m........ n = 12 (posteci padas)..... A - ?

A

210 210 210

A = 210 x a (12, 4 % ) A = 1.970,00


A ud ito r F iscal da Receita Federal - 2002 - 1Q C on curso

1) O s ca p ita is d e R$ 2 .0 0 0 ,0 0 , R$ 3 .0 0 0 ,0 0 , R$ 1 .5 0 0 ,0 0 e R$ 3 .5 0 0 ,0 0 s ã o a p lic a d o s à taxa d e 4 % a o m ê s , ju r o s s im p le s , d u ra n te d o is , trê s , q u a tro e seis m es e s, re s p e c tiv a m e n te . O b te n h a o p ra z o m é d io d e a plica ção d e ste s c a p ita is :

a) quatro meses;b) quatro meses e cinco dias;c) três meses e vinte e dois dias;d) dois meses e vinte dias;e) oito meses.

S o lu çã o : (A)O vaior do prazo médio é dado peia média ponderada dos prazos, cujos pesos são os capitais.2.000 ....... 2 meses.....4 % a. m.3.000 ....... 3 meses........4% a. m.1.50 0....4 meses......4 % a. m.3.500 ...... 6 meses.....4% a. m.

= ?2.000x2+ 3.000x3 + 1500x4+3500x6

m ~ 2.000 + 3.000 +1500 + 3500tm = 4 meses

2 ) U m t ítu io s o fre u m d e s c o n to c o m e rc ia i de R$ 9 .8 1 0 ,0 0 trê s m e se s a n tes d o seu v e n c im e n to a u m a taxa d e d e s c o n to s im p le s d e 3 % ao m ê s. In d iq u e q u a l s e ria o d e sc o n to à m e s m a taxa se o d e sc o n to fo s s e s im p ie s e ra c io n a l:

a) R$9.810,00;b) R$9.521,34;c) R$9.500,00;d) R$9.200,00;e) R$9.000,00.

S o lu çã o : (E)0 = 9.810...t = 3 meses........... i = 3% a. m.d -?p % ^ i x t» 3 % x 3 - <è%........ f - 1,09D é montante de d......D = dxf9.810 = dx 1,09 d = 9.000,00

3 ) In d iq u e q u a i o c a p ita l h o je e q u iva le n te a o c a p ita l d e R$ 4 .6 2 0 ,0 0 q u e v e n c e d e n tro de c in q ü e n ta d ia s , m a is o c a p ita l d e R$ 3 .9 6 0 ,0 0 q u e v e n c e d e n tro de cem d ia s e m a is o c a p ita l d e R$ 4 .0 0 0 ,0 0 q u e v e n ce u h á v in te d ia s , à ta xa de j u ro s s im p le s de 0,1 % ao d ia :

a) R$10.940,00;b) R$11.080,00;c) R$12.080,00;d) R$12.640,00;e) R$12.820,00.


S o lu çã o : (C)i = 0,1 %a. d. OS)

j-20 0 |50 jlOO

4.000 4.620 3.960

4.620 (50 dias)....... p % = i x t = 0,1% x 50 = 5%3.960 (100 dias)..... p % = i xt = 0,1%x 100= 10%4.000 (- 20 dias)...... p % = ixt = 0,1% x 20 = 2 %

P (hoje) = ?Vamos descapitalizar as dívidas a vencer e capitaíizar a vencida, a juros simpíes, para a data 0„ 4.620 3.960 „P = ■■■■■■■— +..- ..+ 4.000+1,02............. P= 12.080

4 ) U m c a p ita l é a p lic a d o a ju r o s c o m p o s to s à taxa d e 2 0 % a o p e río d o d u ra n te q u a t r o p e río d o s e m e io . O b te n h a o s ju r o s c o m o p o rc e n ta g e m d o ca p ita l a p lic a d o , c o n s id e ra n d o a c o n ve n ç ã o iin e a r p a ra c á lc u lo d o m o n ta n te :

Considere ainda que:1,204 = 2,0736;1,204,5 = 2,271515 e l,20s = 2,48832.a) 107,36%;b) 127,1515%;c) 128,096%;d) 130%;e) 148,832%.

S o lu çã o : (C)i = 20% ao períodot - 4,5 períodos.......n = 4eq = 0,5convenção linearfator a juros compostos: 1,24 = 2,0736 juros simples: p% = i x t = 20% x 0,5 = 10% fator a juros simples: 1,1 M -Cx 2,0736 x 1,1 M = Cx 2,28096fator: 2,28096 ...........p%= 128,096%J - 128,096% C

5 ) U m a e m p re s a re ce b e u m f in a n c ia m e n to p a ra p a g a r p o r m e io d e u m a a n u id a d e p o s te c ip a d a c o n s t itu íd a p o r v in te p re s ta ç õ e s s e m e s tra is ig u a is n o v a lo r d e R$ 2 0 0 .0 0 0 ,0 0 ca d a . im e d ia ta m e n te a p ó s o p a g a m e n to d a d é c im a p re sta çã o , p o r e s ta r em d if ic u ld a d e s f in a n c e ira s , a e m p re s a c o n se g u e c o m o f in a n c ia d o r u m a re d u ç ã o da ta xa de ju r o s d e 1 5 % p a ra 1 2 % ao s e m e s tre e u m a u m e n to n o p ra z o re s ta n te d a a n u id a d e d e d e z p a ra q u in z e s e m e s tre s . C a ic u ie o v a lo r m a is p ró x im o d a n o v a p re s ta ç ã o d o f in a n c ia m e n to :


a) R$ 136.982,00;b) R$ 147.375,00;c) R$ 151.342,00;d) R$ 165.917,00;e) R$ 182.435,00.

S o lu çã o : (B)20 x 200.000 (semestrais).... .......í - 1 5% a. s.

Após o pagamento da décima prestação, são devidas dez prestações. A divida, nesta data, corresponde ao valor atuai da série de pagamentos devidos.

A - 200.000 x a (10, 15%)......A = 1.003.753,73Esse vaior será renegociado em quinze prestações semestrais, à taxa de 12 % a.s.

6 ) U m a p e sso a , n o d ia 1 - d e a g o s to , c o n tra to u co m u m b a n co a p lic a r m e n s a lm e n te R$ 1 .0 0 0 ,0 0 d u ra n te s e is m e s e s , R$ 2 .0 0 0 ,0 0 m e n s a lm e n te d u ra n te os se is m e se s s e g u in te s e R $ 3 .0 0 0 ,0 0 m e n s a lm e n te d u ra n te m a is seis m e se s. C o n s id e ra n d o q u e a p r im e ira a p lica çã o s e ria em 1fi de s e te m b ro e as s e g u in te s , se m p re n o d ia p r im e iro de cad a m ê s e q u e e las re n d e ria m ju r o s co m p o s to s de 2 % a o m ê s , in d iq u e q u a l o v a io r m a is p ró x im o d o m o n ta n te q u e a p e sso a te ria d e z o ito m e se s d e p o is , n o d ia 1 - d e fe v e re iro :

a) R$ 36.000,00;b) R$ 38.449,00;c) R$ 40.000,00;d) R$ 41.132,00;e) R$ 44.074,00.

200.000 200.000 200.000

A

200.000 200.000

1.003.753,73

P P

1.003.753,73 « P x a (1 5, 12 % ) P- 147.375,00

140 Série Q uestões: Matemáííca Financeira ELSEVIER

So lu çã o : (D)1.000 (datas 1 a 6) + 2.000 (datas 7 a 12) + 3.000 (datas 13 a 18) i = 2 % a. m.......... M = ? (data 18)

M

0‘ I ’ ......I6 F ~ Ti.ooo i.ooo t ...... y

12

2.000 2.000

13 18

3.000 3.000

Como a série de pagamentos não é uniforme, vamos transformá-la em três séries unifor-

1.000

! 8

1.0007

r

1.000

18r

1.000

I13. . . 1"1.000 1.000

mes:M « 1.000 (datas 1 a 18) + 1.000 (datas 7 a 18) + 1.000 (datas 13 a 18)M = 1.000 x s (18, 2%) + 1.000 x s (12, 2 % ) + 1.000 x s (6, 2 % j

M = 41.132,00

7) C a lc u le o v a lo r m a is p ró x im o d o v a lo r a tu a l n o in íc io d o p r im e iro p e río d o d o s e g u in te flu x o d e p a g a m e n to s v e n c ív e is ao f im d e ca d a p e río d o : d o p e río d o 1 a 6 , cad a p a g a m e n to é d e R.$ 3 .0 0 0 ,0 0 , d o p e río d o 7 a 12, ca d a p a g a m e n to é d e R$ 2 .0 0 0 ,0 0 e d o p e río d o 13 a 18, ca d a p a g a m e n to é d e R $ 1 .0 0 0 ,0 0 . C o n s id e re ju r o s c o m p o s to s e q u e a taxa d e d e sc o n to ra c io n a ! é d e 4 % a o p e río d o .

a) R$ 33.448,00;b) R$31.168,00c) R$ 29.124,00d) R$ 27.286,00e) R$ 25.628,00.

S o lu çã o : (D)3.000 (datas 1 a 6) + 2.000 (datas 7 a 12) + 1.000 (datas 13 a 18)

|181.000

3.000 3.000 2.000 2.00012 |13

1.000

CAMPUS Resolução de Provas

í = 4 % ao período.......... A = ? (data 0)

0 r- 1.000

• r1.000

7=1-. , ,

1.000

12

1.000

1.000 1.000

Como a série de pagamentos não é uniforme vamos transformá-la em três séries uniformes: A = 1.000 (datas 1 a 18} + 1.000 (datas 1 a 12) + 1.000 (datas 1 a 6)A - 1.000 x a (18, 4 % } + 1.000 x a (12, 490'+ 1-000 x a (6, 4%)M = 27.286,00


A u d ito r F iscal da Receita Federai - 2o C o n cu rso

1) U m a c o n ta n o v a lo r d e R$ 2 .0 0 0 ,0 0 d e v e s e r p a g a e m u m b a n c o na s e g u n d a -fe ira , d ia 8 . O n ã o -p a g a m e n to n o d ia d o v e n c im e n to im p lic a u m a m u lta fixa d e 2% s o b re o v a lo r d a c o n ta m a is o p a g a m e n to d e u m a ta xa d e p e rm a n ê n c ia de 0 ,2 % p o r d ia ú til d e a tra s o , ca lc u la d a c o m o o s ju r o s s im p le s , s o b r e o v a lo r d a co n ta . C a lc u le o v a lo r d o p a g a m e n to d e v id o n o d ia 2 2 d o m e s m o m ê s , c o n s id e ra n d o q u e n ã o Há n e n h u m fe r ia d o b a n c á rio n o p e río d o :

a) RS2.080,00;b) RS2.084,00;c) R$ 2.088,00;d) R$ 2.096,00;e) RS2.100,00.

S o lu çã o : (A)C = 2.000 ........ i = 2% ao dia útil.........multa: 2 %

Vencimento 2a feira dia 8.... pagamento dia 22Dias úteis de atraso: 9, 10, 11, 12, 1 5, 16, 1 7, 18, 19, 22........10 diasp% = i x t + multap% « 0,2% x 10 + 2 % .....p % = 4 %valor do pagamento: 2.000 x 1,04 = 2.080

2 ) O s c a p ita is d e R$ 7 .0 0 0 ,0 0 , R$ 6 .0 0 0 ,0 0 , R$ 3 .0 0 0 ,0 0 e R $ 4 .0 0 0 ,0 0 s ã o a p lica d o s re s p e c tiv a m e n te às ta xa s d e ju r o s d e 6 % , 3 % , 4 % , e 2% a o m ê s , n o re g im e d e ju r o s s im p le s d u ra n te o m e s m o p ra z o . C a lc u le a ta xa m é d ia p ro p o rc io n a l a n u a l d e a p lica çã o d e s te s c a p ita is :

a) 4%;b) 8%;c) 12%d) 24%;e) 48%.

S o lu çã o : (E)O valor da taxa média é dado pela média ponderada das taxas, cujos pesos são os capitais.7.00 0.... 6% a. m. = 72% a. a.6.000 ......... 3% a. m, = 36% a. a.3.000 .......4% a. m. = 48% a. a.4.00 0...... 2 % a. m. = 2 4 % a. a.im = ? % a. a.

7j000 x 7 2 % + 6.000 x36% + 3.000 x 48% + 4.000 *24%'m “ 7.000 + 6.000 + 3.000 + 4.000im = 48% a. a.


3 ) N a c o m p ra d e u m c a rro em u m a c o n c e s s io n á ria n o v a io r d e R$ 2 5 .0 0 0 ,0 0 , u m a p e s s o a d á u m a e n tra d a d e 5 0 % e fin a n c ia o s a id o d e v e d o r em d o z e p re sta çõ e s m e n s a is a u m a ta xa d e 2 % a o m ê s . C o n s id e ra n d o q u e a p e s s o a c o n s e g u e f in a n c ia r a in d a o v a lo r d o s e g u ro d o c a rro e d a ta xa d e a b e rtu ra d e c ré d ito , q u e c u s ta m R$ 2 .3 0 0 ,0 0 e R$ 2 0 0 ,0 0 , re s p e c tiv a m e n te , na s m e s m a s c o n d iç õ e s , is to é, em d o z e m e s e s e a 2 % a o m ê s , In d iq u e o v a lo r q u e m a is se a p ro x im a d a p re s ta çã o m e n s a l d o fin a n c ia m e n to g lo b a l:

a) R$ 1.405,51; d) R$1.512,44;b) R$1.418,39; e) R$ 1.550,00.c) R$ 1.500,00;

S o lu çã o : (B)À vista: 25.000Entrada: 50%.........financiamento: 12.500n = 12........i = 2 % a. m.Ao valor Iniciai do financiamento serão acrescentados o valor do seguro e a taxa de abertura de crédito.Total financiado: 12.500 2.300 + 200 = 1 5.000

15.000

g ■. . . . rp p

1 5.000 - P x a (12 , 2 % ) ............ P = 1.418,39

4 ) U m p a ís c a p to u u m e m p ré s tim o p o r in te rm é d io d o la n ç a m e n to d e u m a ce rta q uantid ade de b õ n u s no m ercad o in te m a d o n a l com v a io r nom inal d e US$ 1 .0 0 0 .0 0 ca d a b ô n u s e c o m d o z e c u p o n s s e m e s tra is n o v a lo r d e US$ 6 0 .0 0 cad a c u p o m , v e n c e n d o o p r im e iro ao f im d o p r im e iro s e m e s tre e a s s im s u c e s s iva m e n te até0 d é c im o s e g u n d o s e m e s tre , q u a n d o o p a ís d e v e p a g a r o ú lt im o c u p o m ju n t a m e n te co m o v a lo r n o m in a l d o t ítu lo . C o n s id e ra n d o q u e a taxa d e r is c o d o p a ís m a is a taxa d e ju r o s d o s t ítu lo s d e re fe rê n c ia le v o u o p a ís a p a g a r u m a ta xa f i na i d e ju r o s n o m in a l d e 1 4 % a o a n o , o b te n h a o v a lo r m a is p ró x im o d o p re ç o de la n ç a m e n to d o s b ô n u s , a b s tra in d o c u s to s d e in te rm e d ia ç ã o fin a n c e ira , d e re g is t r o e tc .:

a) US$1.000,00; d) US$ 920,57;b) US$ 953,53; e) US$ 860,00.c) US$ 930,00;

S o iu çã o : (D)1 = 14 % a. a. capitalização semestral = 7 % a. s.Há uma entrada de capital na data 0 e há 12 desembolsos semestrais (data 1 até data 12) de 60,00 + um pagamento de 1.000,00 na data 12 .


A entrada de capital é Igual à soma dos desembolsos na data focal (vamos adotar a data focal 0).Entrada de capital = valor de lançamento do bônus.E = 60 x a (12, 7 % ) + 1000 [a (1 2, 730 - a (11, 7%)]E = 920,57

5) C o n s id e ra n d o a s é rie a b a ix o d e p a g a m e n to s n o f im d e ca d a a n o , o b te n h a o n ú m e ro q u e m a is se a p ro x im a d o v a lo r a tu a l to ta i d e s te s p a g a m e n to s n o in íc io d o a n o 1, a u m a ta xa d e d e s c o n to ra c io n a l d e 1 0 % a o ano» ju r o s c o m p o s to s :

Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200

a) 2.208,87;b) 2.227,91;c) 2.248,43;d) 2.273,33;e) 2.300,25.

S o lu çã o : (C)400 (datas 1 a 4) + 200 (datas 5 a 9) + 1.200 (data 10)i = 10 % ao ano..... A = ? (data 0)

Como a série de pagamentos não é uniforme, vamos transformá-ia em duas séries uniformes, mais um pagamento de 1.000, na data 10.

400 400 200 200 1.200

200 200

01 4

200 200

0! 10

1.000

A = 200 x a (10, 1099 + 200 x a (4, 10%)+ 1.000 x [a (10, 10%)-a (9, 10%)] A = 2.248,43

CAMPUS Resolução de Provas 1 4 5

6 ) A q u a n tia d e R$ 5 0 0 .0 0 0 ,0 0 é d e v id a h o je e a q u a n tia d e R$ 6 0 0 .0 0 0 ,0 0 é d e v id a n o f im d e u m a n o a o m e s m o c re d o r. N a m e d id a em q u e o s d o is c o m p ro m is s o s n ã o p o d e ria m s e r h o n ra d o s , u m a n e g o cia çã o c o m o c re d o r ie v o u a o ace rto d e u m p a g a m e n to e q u iv a le n te ú n ic o ao f im d e d o is a n o s e m e io . C a lc u le o v a lo r d e s te p a g a m e n to c o n sid e ra n d o , q u e fo i a c e rta d a u m a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s d e 2 0 % ao a n o , v a le n d o a c o n v e n ç ã o e x p o n e n c ia l p a ra c á lc u lo d o m o n ta n te (d e s p re z e o s c e n ta v o s ):

a) R S .440.000,00;b) R S 1.577.440,00;c) R S 1.584.000,00;d) R S .728.000,00;e) RS 1.733.457,00.

S o lu çã o : (6)

0 1T T

500.000 600.000

Vamos calcular o montante:M = 500.000 x 1 ,22,s + 600.000 x 1,21 -s Já que esse cálculo exige o uso de uma calculadora ou o fornecimento de dados, vamos adotar o cálculo do montante desprezando a parte fracionária e adotando a convenção linear.Desprezando a parte fracionária:M - 500.000 X 1,22 + 600.000 X 1, 2 = 1.440.000 Adotando a convenção linear:M = 500.000 x 1,22 x 1,1 +600.000 x 1,2 x 1,1 = 1.584.000Como o montante calculado pela convenção exponencial é maior que o calculado desprezando a parte fracionária e menor que o calculado pela convenção linear, concluímos, peias respostas, que P = 1.577.440

7) U m t ítu lo s o fre u m d e s c o n to c o m p o s to ra c io n a l d e R$ 6 .4 6 5 ,1 8 q u a tro m ese s a n te s d o se u v e n c im e n to , in d iq u e o v a lo r m a is p ró x im o d o v a lo r d e s c o n ta d o d o títu io , c o n s id e ra n d o q u e a ta xa d e d e s c o n to é d e 5 % a o m ê s:

a) R$ 25.860,72;b) R S 28.388,72;c) R S 30.000,00;d) RS32.325,90;e) RS 36.465,18.

S o lu çã o : ( Qd = 6.465,18 ......t = 4 meses............ i - 5 % a. m.A = ?No desconto racional (composto ou simples), o vator nominal é o montante do valor atual e o valor do desconto corresponde aos juros calculados sobre o atual . d - j ............A = C6.465,18 = C (1,054 - 1).............C = 30.000

146 Série Q u estõ es: Matemática Financeira ELSEVIER

A ud ito r F isca l d a Receita Federal - 2003

1) O s capita is d e R$ 2 .5 0 0 ,0 0 , R$ 3 .5 0 0 ,0 0 , R$ 4 .0 0 0 ,0 0 e R$ 3 .0 0 0 ,0 0 são ap lica d o s a ju r o s s lm p ie s d u ra n te o m e sm o p ra zo às taxas m e n sa is de 6 % , 4 % , 3 % e 1 ,5 % , re sp e ctiva m e n te . O b te n h a a taxa m é d ia m e n sa l d e aplica ção d e ste s capita is :

a) 2,9%; d) 3,25%;b) 3%; e) 3,5%.c) 3,138%;

S o lu ç ã o : (E)O valor da taxa média é dado pela média ponderada das taxas, cujos pesos são os capitais.2.500 ....... 6% a. m.3.500 ....... 4% a. m.4.000 ....... 3% a. m.3.00 0...... 1,5% a. m.

• 6% x 2500 + 4% x 3500 + 3% x 4.000 + 1,5% x 3.000 'm 2500 + 3500+4.000+ 3-000im = 3,5%a. m.

2 ) U m ca p ita l é a p lic a d o a ju r o s c o m p o s to s à ta xa d e 4 0 % a o a n o d u ra n te u m a n o e m e io . C a lc u le o v a lo r m a is p ró x im o d a p e rd a p e rc e n tu a l d o m o n ta n te , c o n s id e ra n d o o se u c á lc u lo p e la c o n ve n ç ã o e x p o n e n cia l e m re la çã o a o s e u c á lc u lo p ela c o n ve n ç ã o lin e a r, d a d o q u e l , 4 0 1,s = 1 ,6 5 6 5 0 2 :

a) 0,5%; d) 1,7%;b) 1%; e) 2,0%.c) 1,4%;

S o lu çã o : (C)C .......... i = 40 % a., a.............. t - 1,5 ano........n « 1 e q = 0,5Convenção linear;JC: Fator; 1,4’Percentual a juros simpies: p% = i x t ....p% ■= 40% x 0,5 - 20%Fator a juros simples: 1,2M -C x 1,4 x 1,2...................M = Cx 1,68Convenção Exponencial:M -C xl.41-5...............M = Cx1,656502Diferença: C x 0,023498C x 1,68 .............. 100%C x 0,023498 ........xx - 1,4 %

3 ) U m a p e s s o a te m q u e p a g a r d e z p a rc e la s n o v a lo r d e R$ 1 .0 0 0 ,0 0 ca d a q u e v e n cem to d o d ia 5 d o s p ró x im o s d e z m e s e s . T o d a v ia , e la c o m b in a c o m o c r e d o r u m p a g a m e n to ú n ic o e q u iv a le n te , n o d ia 5 d o d é c im o m ê s , p a ra q u it a r a d ív id a . C a lc u le e s te p a g a m e n to c o n s id e ra n d o ju r o s s im p le s d e 4 % ao m ê s :

a) R$11.800,00; d) R$ 12.800,00;b) R$ 12.006,00; e) R$ 13.486,00.c) R$ 12.200,00;


S o iu çã o : (A)

, r r : 1.000 1.000 1.000

Vamos capitalizar, a juros simples, todas as parcelas para a data 9.M (data 9) = ?........i = 4 % a. m. (juros simples)M = 1000 + 1000 x 1,04 + 1000 X 1,08 4-.......+ 1000 x 1,32 + 1000 x 1,36M = 1000 (1 + 1,04 + 1,08 +.... + 1,32-5- 1,36) (que é a soma de uma PA, que tem 10 termos, primeiro termo igual a 1 e décimo termo igual a 1,36)M- 1000(Ul36)-10

2M « 11.800

4 ) C a lc u le o v a io r m a is p ró x im o d o m o n ta n te a o f im d e d e z o ito m e se s d o s e g u in te f lu x o d e a p lica çõ e s re a liz a d a s a o f im d e ca d a m ê s : d o s m e se s 1 a 6 , cada a p lica ção é d e R$ 2 .0 0 0 ,0 0 ; d o s m e s e s 7 a 12, cad a a p lica çã o é d e R$ 4 .0 0 0 ,0 0 e d o s m e se s 13 a 1 8 , ca d a a p lica çã o é d e R$ 6 .0 0 0 ,0 0 . C o n s id e re ju r o s c o m p o s to s e q u e a ta xa d e re m u n e ra ç ã o d a s a p lica çõ e s é d e 3 % a o m ê s:

a) RS 94.608,00b) R$ 88.149,00c) RS 82.265,00

S o iu çã o : (B)

R$ 72.000,00; R$ 58.249,00.

M

|1........ |6 p ÍT:>.000 2.000 t ....... V

4.000 4.000

13

6.000

18▼

6.000

2.000 (datas 1 a 6) + 4.000 (datas 7 a 12) + 6.000 (datas 1 3 a 18) i = 3 % a. m.......... M = ? (data 18)Como a série de pagamentos não é uniforme, vamos transformá-la em três séries uniformes:

01

2.000- r2.000

l72.000

- r2.000

13▼

2.000r

2.000


M = 2.000 (datas 1 a 18) + 2.000 (datas 7 a 18) + 2.000 (datas 13 a 18)M = 2.000 x s (18, 3%) + 2.000 x s (12, 3%) + 2.000 x s (6, 3%)M = 88.149,00

5 ) U m p a is c a p to u u m e m p ré s t im o n o m e rc a d o in te rn a c io n a l p o r in te rm é d io d o la n ç a m e n to d e b ô n u s co m d e z c u p o n s s e m e s tra is v e n c ív e is ao f im d e cada s e m e s tre , s e n d o o v a io r n o m in a l d o b ô n u s U S $ 1 ,0 0 0 .0 0 e d e c a d a c u p o m U S $ 6 0 .0 0 . A s s im , a o f im d o q u in to a n o o p a ís d e v e p a g a r o ú lt im o c u p o m m a iso v a io r n o m in a l d o b ô n u s . C o n s id e ra n d o q u e o s b ô n u s fo r a m la n ç a d o s c o m u m á g io d e 7 ,7 2 % s o b re o se u v a io r n o m in a l, o b te n h a o v a lo r m a is p ró x im o d a taxa n o m in a l a n u a l c o b ra d a n o e m p ré s t im o , d e s p re z a n d o c u s to s d e r e g is t ro d a o p e ra ç ã o , d e in te rm e d ia ç ã o e tc .:

a) 16%; d) 10%;b) 14%; e) & % .

c) 12%;

S o iu çã o : (D)valor nominal: 1.000ágio 7 , 7 2 % ........... valor captado: 1.077,20 (entrada de capital)i = ? % a. a. (nominal)Há uma entrada de capital na data 0 e há 10 desembolsos semestrais (data 1 até data 10) de 60,00 + um pagamento de 1.000,00 na data 10.

1.077,20t

0 1 10'1

60 60+ 1.000A entrada de capital é igual a soma dos desembolsos na data focal (vamos adotar a data focal 0).Entrada de capital = valor de lançamento do bônus.1.077,20 - 60 x a (10, i) + 1000 [a (10, i) - a (9, i)]Testando as opções:Seja i = 6 % a. s.D = 60 x a (10, 6 %) + 1000 Ea (10, 6 %) - a (9, 6 %)]D — 1.000,01 < E - 1.077,20Logo i < 6 %Seja i - 5 % a. s.D - 60 x a (10, 5 %)+ 1000 [a (10, 5 %) - a (9, 5 %)]D = 1.077,20 - E (entrada)Logo i = 5 % a. s. = 10 % a. a. capitalização semestral


A u d ito r F iscal d a Previdência Social - 2002

1 ) O ín d ice d e p re ç o s a o c o n s u m id o r d e fa m ília s d e c ia s s e d e re n d a baixa s o fre u u m a u m e n to d e 11,61 % em u m s e m e s tre e 12% n o s e m e s tre s e g u in te . C a lc u le a p e rd a d o p o d e r a q u is it iv o d a re n d a d e s s a s fa m ília s n o a n o em q u e s tã o :

S o iu çã o : (C)fator do aumento acumuiado: 1,1161 xl, 12 = 1,2 5como não houve aumento na rendadas famílias, o percentual de acréscimo é 0%. Portanto, o fator de ganho nominal é 1.

logo houve perda real (fator menor que 1) de 20% .

2 ) O b te n h a o s ju r o s c o m o p o rc e n ta g e m d o c a p ita l a p lic a d o à taxa d e ju r o s c o m p o s to s de 1 0 % a o s e m e s tre p o r u m p ra 20 d e q u in z e m e s e s, u s a n d o a c o n v e n ção lin e a r p a ra c á lc u lo d o m o n ta n te :

a) 22,5%;b) 24%;c) 25%;d) 26,906%;e) 27,05%.

S o lu çã o : (£)J-?%Ci = 10% a. s.t = 1 5 meses........n = 2eq = 3 meses = 0,5 semestre.(convenção linear)Fator a juros compostos: 1,12 A juros simples p%— i x t ~ 10% x 0,5 = 5%Fator a juros simples: 1,05 M = Cx l,l2x 1,05M = 1,2705 x C.........fator: 1,2705 ............ p%= 27,05%j = 27,05% C

3 ) U m a p e s s o a fís ic a re ce b e u u m e m p ré s t im o d e u m b a n co c o m e rc ia l n o v a lo r d e R$ 1 0 .0 0 0 ,0 0 p o r u m p r a z o d e trê s m e s e s p a ra p a g a r d e v o lt a e s te v a lo r a cre s c id o d e 1 5 % d e ju r o s a o f im d o p ra z o . T o d a v ia , a p e s s o a s ó p o d e u s a r e m p r o v e ito p r ó p r io 7 5 % d o e m p ré s t im o , p o rq u e , p o r u m a fo rç a d o c o n tra to , u s o u o re s ta n te p a ra fa z e r u m a a p lic a ç ã o n o p r ó p r io b a n c o q u e re n d e u R$ 1 5 0 ,0 0 ao f im d o s trê s m e s e s. In d iq u e q u a l fo i a ta xa e fe tiv a d e ju r o s p a g a p e la p e s s o a f í s ica s o b re a p a rte d o e m p ré s t im o q u e u t i liz o u em p ro v e ito p r ó p r io :

a) 1 2% ao trimestre;b) 14% ao trimestre;c) 1 5% ao trimestre;d) 16% ao trimestre;e) 18% ao trimestre.

a) 11,61%;b) 12%; c) 20%;

d) 23,61%;e) 25%.

f (ganho real) = = 0,8

150 Série Q u estões: Matemática Financeira ELSEVTER

S o lu çã o : (E)empréstimo: 10.000 ........ t = 3 meses.deve pagar: 10.000 x 1,15 ~ 11.500 valor liberado: 0,75 x 10.000 = 7.500valor aplicado: 2.500 .......j = 1 50Portanto, para um empréstimo de 7.500 deverão ser pagos:11.500-2.500- 150 = 8.850Logo: empréstimo 7.500 ........pagamento: 8.850f - = 1J 8 ........18% ao trimestre.7500- 1,18 18 % ao trimestre.

4 ) U m a e m p re s a p o s s u i u m a taxa d e a tra t iv id a d e m ín im a d e 12 % a o a n o e e stá c o n s id e ra n d o u m a p ro p o s ta d e in v e s tir h o je R $ 2 0 .0 0 0 .0 0 0 ,0 0 p a ra o b te r receita s p re v is ta s d e R$ 3 .0 0 0 .0 0 0 ,0 0 a o f im d e ca d a u m d o s p ró x im o s d e z a n o s . O b te n h a a d e c is ã o d a e m p re s a b a se a d a n o c r ité r io d o v a lo r a tu a l d o f lu x o d e caixa p r e v is to d a e m p re s a :

a) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é negativo.b) A empresa vai investir porque o valor atuai hoje do fluxo de caixa é negativo.c) A empresa vai investir porque o valor atuai hoje do fluxo de caixa é positivo.d) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é positivoe) A empresa não se decide porque o valor atuai hoje do fiuxo de caixa é zero.

S o lu çã o : (A)Valor Atual (VA) é a diferença, em uma mesma data, entre as entradas de capital e os de* sembolsos.Será um bom investimento quando VA for positivo, adotada a taxa de atratividade mínima. Adotada a data focal 0.As entradas de capitai, na data focal, correspondem ao valor atual da série.

VA = E - DVA - 3.000.000 X a (10, 1 2 5© - 20.000.000 VA = -3.049.330,91

5 ) U m c o n s u m id o r c o m p ra u m b e m d e c o n s u m o d u r á v e l n o v a io r d e R$ 1 5 .0 0 0 ,0 0 f in a n c ia d o to ta lm e n te em d e z o ito p re s ta ç õ e s m e n s a is d e R$ 1 .1 8 4 ,9 0 , v e n c e n d o a p r im e ira p re s ta ç ã o a o f im d o p r im e iro m ê s . J u n to c o m o p a g a m e n to d a d é c im a s e g u n d a p re s ta ç ã o o c o n s u m id o r a c e rta c o m o f in a n c ia d o r o re fin a n c ia m e n to d o s a ld o d e v e d o r em d o z e p re s ta ç õ e s m e n s a is à m e s m a ta xa d e ju r o s , v e n c e n d o a p r im e ira p re s ta ç ã o a o f im d o p r im e iro m ê s s e g u in te . C a lc u le o v a io r m a is p ró x im o d a n o v a p re s ta ç ã o m e n s a l:

a) RS 504,00;b) R$ 561,00;c) R$ 625,00;d) R$ 662,00;e) R$ 796,00.

3.000.000 3.000.000

0 1 10

20 .000.000


S o lu çã o : (D)Inicialmente vamos calcular a taxa de juros da operação:

1 5.000|...................... ^•õ n (ri ms^ .......... f ..........Y

J. 184,90 1.184,90 1.184,90

A = 15.000 P= 1.184,9015.000= 1.184,90xa(18,i) t = 4 % a. m.Saído devedor, S, após o pagamento da 12a prestação corresponde ao valor atual da série de pagamentos formada pelos seis pagamentos a vencer, ou seja, do 1 ao 18a .

$= 1.184,90xa(6, 4 % )

S = 6.21 1,41que passará a representar o valor atual da série de 1 2 pagamentos do refinanciamento. Seja P o valor da prestação do refinanciamento:

6.211,41

6.211,41 = P x a (12, 4 % )

P = 661,84

6 ) O b te n h a o v a lo r m a is p ró x im o d a taxa in te rn a d e re to rn o d o flu xo d e caixa abaixo:

S

1.184,90 1.184,90

P P

A N OF L U X O (e m R í 1 .0 0 0 ,0 0 )

0- 20.000

1 a 2 2.000

3 a 10 4 .0 0 0

a) 8% ao ano;b) 9 % ao ano;c) 10% ao ano;

d) 11 % ao ano;e) 12 % ao ano.

S o lu çã o : (D)


Como a série de pagamentos não é uniforme, vamos transformá-la em duas séries uniformes:Uma com 10 termos de valor 4.000,00 (estamos supondo que todos os termos valem4.000,00) e a outra com 2 termos de vaior 2.000,00 (o que foi somado indevidamente).

Seja A o valor atuai do fluxo.A = 4.000 x a (10, i) - 2.000 x a (2, i).Devemos comparar o valor A com o investimento de 20.000,00 e para isso vamos testar as respostas .Para i = 10 %

A » 4.000 x a (10, 10 %) - 2.000 x a (2, 10 %) = 21.107,20 Como A > 20.000, a taxa será maior que 10%Para i - 1 2 %

A » 4.000 x a (10, 12 % ) - 2.000 x a (2, 12 %) = 19.220,78 Como A < 20.000, a taxa será menor que 12 %

Logo, pelas respostas: 1 = 11%

7 ) C a lcu le o m o n ta n te o b t id o a o f im d e d e z o ito m e s e s p o r u m ca p ita i u n itá r io a p licad o s a u m a taxa d e ju r o s n o m in a l de 3 6 % a o a n o c o m c a p ita liza ç ã o m e n s a l:

a) 1,54;b) 1,7024;c) 2,7024;d) 54%;e) 70,24%.

S o lu çã o : (B)i = 36 % a. a. capitalização mensal = 3 % a. m.C = 1 ........t = 18 meses.M « 1 x 1,0318 M «.1,7024

8 ) O b te n h a o v a io r m a is p ró x im o d a q u a n tia q u e d e v e s e r d e p o s ita d a a o f im d e cad a m ê s , c o n s id e ra n d o u m a ta xa d e r e n d im e n to d e 2 % a o m ê s , ju r o s c o m p o s to s , c o m o o b je t iv o d e se o b te r R$ 5 0 .0 0 0 ,0 0 a o f im d e d e z m e s e s :

a) R$ 5.825,00;b) R$ 5.000,00;c) R$4.782,00;d) R$4.566,00;e) R$ 3.727,00.

4.000 4.000

0

2.000 2.000

S o lu çã o : (D )i = 2 % a. m. . P = ?

M = 5 0 .0 0 0 .........n = 10

CAMPUS R esolução de Provas 153

50.000

0! 10

p p

Pxs(10, 2%)-50.000 P = 4.566,00

9 ) U m fin a n c ia m e n to h a b ita c io n a l n o v a lo r d e R$ 1 2 0 .0 0 0 ,0 0 v a i s e r p a g o p o r p re s ta ç õ e s m e n s a is c a lc u la d a s p e io s is te m a d a s a m o rt iz a ç õ e s c o n s ta n te s , a u m a ta xa d e ju r o s n o m in a l d e 1 2 % a o a n o , d u ra n te d e z a n o s . C a lc u le a d é cim a p re s ta çã o m e n s a i d o f in a n c ia m e n to :

a) R $ 2.200,00;b) R$ 2.120,00;c) R$2.110,00;d) R$ 2.100,00;e) R$ 2.000,00.

S o lu çã o : (C)S0 = 120.000...... i = 12 % a. a. (nominal) = 1% a. m........n = 120...... SAC

P i o = A ] 0 + J i o

J i o “ 1 ^ S 9Sg — Sq — 9 X AS9 « 120.000 - 9 X 1.000 = 111.000 P|0= 1.000+ ) % . 111.000 = 2.110

1 0 ) U m t ítu lo n o v a io r n o m in a l d e R $ 1 0 .9 0 0 ,0 0 d e v e s o fr e r u m d e s c o n to co m e rc ia l s im p le s d e R$ 9 8 1 ,0 0 tr ê s m e s e s a n te s d o s e u v e n c im e n to . T o d a v ia u m a n e g o ciação le vo u a tro c a d o d e s c o n to c o m e rc ia i p o r u m d e s c o n to ra c io n a l s im p le s . C a lc u ie o n o v o d e s c o n to , c o n s id e ra n d o a m e s m a ta xa d e d e s c o n to m e n s a i:

a) RS 890,00;b) RS 900,00;c) RS 924,96;d) R$ 981,00;e) RS 1.090,00.

S o lu çã o : (B)N= 10.900D = 981 ..............t = 3 meses.............. d = ?

A 120.000 A = — ------— = 1.000

100 ■ '... f = 1,09981 = dxl ,09........... d = 900,00

981 10.900p3í- 9 %

D = d x f ,


Técnico de Controle Externo - TCM - 2003

P ro v a s e m a u x ílio d e ta b e ia s .

1) G u ilh e rm e u t i liz o u o lim ite d e c ré d ito d o se u c h e q u e e s p e c ia l, n o m ê s d e m a rç o p a s s a d o , n o s s e g u in te s v a lo re s e re s p e c tiv o s p r a z o s : R $ 5 0 0 ,0 0 d u ra n te 5 d ia s , R$ 7 0 0 ,0 0 d u ra n te 8 d ia s e R$ 8 0 0 ,0 0 d u ra n te 3 d ia s . A ta xa d e ju r o s s im p le s o rd in á r io s c o b ra d a p e lo b a n c o d e G u ilh e rm e n e s s a lin h a d e c ré d ito é d e 9 % a .m . N e ssa s c o n d iç õ e s , o to ta l d e ju r o s p a g o p o r G u ilh e rm e a o f in a l d o re fe r id o m ê s e q ü iv a le a:

a) R$ 1 3,20;b) R$ 30,50;c) R$31,50;d) R$ 59,06.

S o lu çã o : ( Qi = 9% a. m. = 0,3 % a. d.500 ........p% — i x t ........ p % =.0,3% x 5 - 1,5%700 ........p % = i x t .........p % « 0,3% x8 = 2,4%800........ p % = i x t .........p % « 0,3% x 3 — 0,9%J - 500 x 1,5% + 700 x 2,4% + 800 x 0,9%J - 31,50

2 ) M a rco s fe z u m a a p lica çã o d e R$ 1 0 .0 0 0 ,0 0 , a u m a taxa d e ju r o s s im p le s exatos d e 1 8 ,2 5 % a o a n o , d o d ia 15 d e m a rç o ao d ia 2 5 d e a b ril d o m e s m o a n o .

Ao. f in a l d e sse p ra z o , o s a ld o d e M a rc o s , d e s p re z a n d o o s ce n ta v o s , e ra de :a) R$10.200,00; c) R$10.205,00;b) R$10.202,00; d) R$ 10.207,00.

Soiução: (QC = 10.000 .... . i = 18,25 % a. a. (juros exatos)15 / 03 a 25 / 04 .............. t-41 dias = — a.365M =?p X »ix t« 18,25% x-5 -= 2,05%H 365p% = 2,05%.......f - 1,0205M * 10.000 x 1,0205 - 10.205

3 ) Q u e m f a z u m a a p lica çã o a ju r o s c o m p o s to s , a u m a ta xa d e 3 % a o m ê s , o b té m , c o m o re n ta b ilid a d e , u m a ta xa u n itá r ia s e m e s tra l e q u iv a le n te ig u a l a :

a) 0,18;b) 0,194;c) 1,8;d) 19,4.S o lu çã o : (B)i = 3% a. m..............1 = ? a. s. (taxa unitária)..........n = 61 + I = (1 + i)n1 + I = 1,036 ............ I + I» 1,1941 = 0,194 a. s.

CAMPUS Resolução de Provas 15 5

4 ) A e m p re s a T o p a -T u d o s u b m e te o s e g u in te b o rd e rô d e d u p lic a ta s a u m a in s t i tu iç ã o f in a n c e ira p a ra d e s c o n to :

A ta xa d e d e s c o n to u tiliz a d a p e la in s titu iç ã o f in a n c e ira é d e 3 ,5 % a o m ê s e in d e p e n d e d o s p ra z o s d e v e n c im e n to d o s t ítu lo s . A s s im , o p r a z o m é d io d a o p e ra çã o d e d e s c o n to é, em d ia s , de :a) 20;b) 18,73;c) 18,45;d) 17,43.

S o lu ç ã o : (C)O prazo médio é dado pela média ponderada dos prazos, onde os valores nominais são os pesos.Valor Nominai Total: 50.000.....t - 13 diasValor Nominal Total: 40.000......t = 22 diasVaior Nominai Total: 20.000......t = 25 dias.

13x50.000+22x40.000 + 25x20.000 t =-------- r— ______________________ — ------= 18,45 dias

5 ) U m a e m p re s a d e té m u m a d u p lic a ta c o m v a lo r d e face d e R$ 1 .0 0 0 ,0 0 e v e n c im e n to em d o is m e se s, a c o n ta r d e h o je .

E m u m d e te rm in a d o b a n co , e s s a d u p lic a ta , a o s e r o p e ra d a e m d e s c o n to (s im p le s c o m e rc ia l), s o fre u m a re te n çã o d e 1 2 % d o se u v a lo r n o m in a l, a t ítu lo d e s a ld o m é d io , q u e p e rm a n e ce b lo q u e a d o n a c o n ta d a e m p re s a d o d ia d a o p e ra çã o a té a d a ta d e v e n c im e n to d o t ítu lo . O v a lo r líq u id o re c e b id o pela e m p re s a n e ss a o p e ra ç ã o fo i ig u a l a R$ 8 0 0 ,0 0 .A ta xa d e d e s c o n to s im p le s c o m e rc ia l m e n s a l p ra tic a d a p e lo b a n co e a ta xa efe t iv a m e n s a l (ta x a re a l), co m b a se n o re g im e d e ju r o s s im p le s , p a g a p ela e m p re sa sã o , re s p e c tiv a m e n te , em t o r n o d e :a) 4,00% e 4,35%b) 4,00% e 5,00%;c) 4,35% e 6,52%;d) 4,55% e 5,00%.

S o lu ç ã o : (B)N - 1.000........... t = 2 meses.Retenção: 12 %.......120Valor líquido liberado: 800id = ?........... ief = ?%a. m. 0 . S .)N = 1.000 ........ Liberado = 800 ............ Total dos descontos = 200200 = p%. N

Duplicatas(Unidades)

100806

Prazo de Vencimento (dias)

132225

Valor Total por Vencimento (R$)

50.000.0040.000.0020.000.00

50.000+40.000+20.000

200 = — . 1.000. 100 p - 20p%=20%=ixt+12% i - 4 % a. m.

20% = i x 2 + 1 2%


Com a retenção de 12 % , o valor nominal do título passa a ser de R$ 880,00 (já que se es- tarã descontando um títuío de R$ 880,00, porque se recebe R$ 120,00, nessa data).C = 800 .............M = 880 ...............t - 2 meses.......... i e f — ? % a. m.

M 880 “ C ~ 800

10% = i x 2 .......i = 5 % a. m.1,1.........p%= 10 % = i x t

6 ) P a tríc ia c o n s e g u iu u m e m p ré s t im o n o v a io r d e R$ 2 .0 0 0 ,0 0 , q u e se rá p a g o com ju r o s d e 4 % a o m ê s , em trê s p re s ta ç õ e s m e n s a is . A p r im e ira , v e n c ív e l a o fin a l d o p r im e iro m ê s , te rá o v a io r de R$ 1 .0 8 0 ,0 0 . N o f in a i d o s e g u n d o m ê s , o p a g a m e n to a s e r e fe tu a d o se rá d e R$ 6 4 0 ,0 0 . C o m b a se n e ss a s in fo rm a ç õ e s , po - d e -se c o n c lu ir q u e o v a lo r d a te rc e ira p a rce la , co m v e n c im e n to p r e v is to p a ra o fin a l d o te rc e iro m ê s , s e rá ig u a l a :

a) R$ 520,00;b) R$416,00;

R$ 400,00 R$ 300,00

S o lu çã o : (B)Empréstimo: 2.000 i = 4 % a. m.

2.000

cF T H 51.080 640

Adotando uma data focal 3 e comparando o empréstimo com a soma das prestações pagas.2.000 x 1,043 = 1.080 x 1,042 + 640 x 1,04 + P P = 416Ou,Vamos capitalizando o valor do empréstimo e abatendo os pagamentos realizados:2.000 x 1,04 = 2.080 - 1.080 - 1.0001.000 x 1,04 = 1.040 - 640 = 400 400 x 1,04 = 416

7 ) T a in á e stá d ia n te d e u m p ro c e s s o d e c is ó rio q u e e n v o lv e a e s c o lh a d e u m a d a strê s o p çõ e s d e in v e s tim e n to :

» F u n d o d e In v e s t im e n to A : r e n ta b ilid a d e l íq u id a d e 3 % a o m ê s s o b r e o s v a lo re s a p lic a d o s ;

- F u n d o d e In v e s tim e n to B: re m u n e ra ç ã o líq u id a d e 4 0 % a o a n o s o b r e o ca p ita l in v e s tid o ;

» F u n d o d e In v e s tim e n to C : r e n d im e n to b r u to d e 4 5 % a o a n o ; im p o s to d e re n d a re tid o n a fo n te d e 2 0 % , c a lc u la d o s o b re a re n ta b ilid a d e b ru ta o b tid a .

T o d a s as o p ç õ e s a p re s e n ta m o m e s m o n ív e l d e r is c o e o c o rre m d e n tr o d o re g im e d e ju r o s c o m p o s to s .C o n s id e ra n d o e ssa s in fo rm a ç õ e s c o n c lu i-s e q u e a m e lh o r o p çã o d e in v e s tim e n to é o:a) Fundo A, pois a taxa anual equivalente a 3 % ao mês é igual a 42,58% ao ano.b) Fundo B, pois a taxa de 40% ao ano implica uma rentabilidade de 3,33% ao mês.

CAMPUS Resolução de Provas 1 5 7

c) Fundo C, pois seu rendimento líquido anual é de 45%, uma vez que este valor independe do Imposto de Renda Retido na Fonte.

d) Fundo B, pois sua rentabilidade líquida anual de 40% supera os juros líquidos de 3% mensais oferecidos peio Fundo A, e o rendimento líquido anual de 36% oferecido pelo Fundo C.

S o lu çã o : (A)Fundo A:3% ao mês, rendimento anual: ?1 + I - 1.0312aproveitando a resultado obtido na questão 3, temos que 1,036 - l ,194então, 1 + !-[(] ,03)6]2..........1 + i = 1,19421 + I « 1,4256.........i « 0,4256 ..........i = 42,58% ao ano.

seria a taxa a juros simples.Fundo C:45% ao ano com Imposto de Renda de 20%, logo, rendimento líquido: 80% de 45%= 36%

8 ) M a rce lo s o lic ita u m e m p ré s t im o p e sso a l em se u b a n co , p e io q u a l p a g a rá c in co p re sta çõ e s m e n s a is , ig u a is e c o n se c u tiv a s , n o v a lo r R$ 1 2 1 ,6 7 , s e n d o a p r im e ira v e n c lv e i n o f in a l d o p r im e iro m ê s d a c o n tra tu a iid a d e . S a b e n d o q u e a ta xa d e ju r o s d o fin a n c ia m e n to c o n s e g u id o p o r M a rce lo fo i d e 4% a o m ê s , o v a lo r q u e m a is se a p ro x im a d o v a io r f in a n c ia d o é:

a) R$ 608,35; c) R$ 541,65;b) R$ 563,30; d) R$ 500,00.

S o lu çã o : (C)E: valor financiado = ?P» 121,67........ n» 5...........i = 4%a. m.

Fundo B:4040% ao ano implica em uma taxa mensal de juros compostos menor que “ =3,33%, que

E

Õ1

121,67 121,67E = P X a (S, 4%)

1,04 5 = 1,216653 = 1,2167

E = 121,67 X 0,21671,2167x0,04

E = 541,65

Série Q u estões: Matemática Financeira ELSEVIER

9 ) C o n s id e re u m fin a n c ia m e n to d e R $ 1 0 .0 0 0 ,0 0 , e m 5 p re s ta ç õ e s m e n s a is e co n s e c u tiv a s , a u m a ta xa d e ju r o s d e 5% a o m ê s , c o m a p r im e ira p re s ta ç ã o ve n c e n d o a o f in a i d o p r im e iro m ê s , n o S iste m a d e A m o rtiz a ç õ e s C o n s ta n te s - S A C . A a lte rn a tiv a q u e d e fin e u m a ca ra c te rís tic a c o rre ta d e ste s is te m a é:

a) a diferença entre duas parcelas consecutivas será a mesma, determinada pela aplicação da taxa de juros sobre a amortização;

b) as amortizações contidas nas prestações são determinadas pela aplicação da taxa de juros sobre o valor do empréstimo;

c) as amortizações contidas nas prestações devidas a cada período dependem dos juros gerados nos períodos anteriores;

d) a quantidade de juros contida em cada uma das parcelas é constante e igua! a RS 500,00.

S o iu çã o : (A)SAC; logo, as amortizações são constantes e correspondem à diferença entre dois saldos devedores consecutivos.Os juros embutidos numa prestação Pn qualquer serão dados por jn = 5% . Sn_ 5Pk = A+JkPk-Pk„i=?— A + Jk - (A 4- Jk_ ])~ J k - J k - 1= 5 %Sk_, _ 5 %Sk_2- 5%(Sk_ ,-S k_2) = 5%A

10 ) O b s e r v e o s v a lo re s a s s u m id o s p e lo 1NPC n o s ú lt im o s m e s e s , t ra n s c r ito s na ta - b e ia a b a ix o . P o de-se a f irm a r q u e a s ta xa s d e in fla çã o r e g is tra d a s n o ú lt im o t r i m e s tre d e 2 0 0 2 e n o p r im e iro b im e s tre d e 2 0 0 3 sã o , re s p e c tiv a m e n te :

míiffsmÊimmsBÊmSet Out Nov Dez jan Fev Mar

1.947,15 1.977,72 2.044,76 2.099,97 2.151,84 2.183,26 2.213,17

a) 6,18% e 2,85%;b) 6,1 8% e 3,97%;c) 7,85% e 2,85%;d) 7,85% e 3,97%.

S o iu çã o : (D)Último trimestre: o índice varia do ftnal de setembro ao final de dezembro.

2099 97r =1.0785 ........... p % = 7,85 %1.947,1 5Primeiro bimestre:

f = 2-183-26 = l ,0397........p% = 3,97%2.099,97


Superin tendência de S e g u ro s P r iv ad o s - A n a lis ta Técnico - 2002

1) U m c a p ita l é a p lic a d o a ju r o s s im p ie s d u ra n te trê s m e s e s e d e z d ia s a u m a taxa d e 3 % a o m ê s . C a lc u le o s ju r o s em re ia çã o a o c a p ita i In ic ia l:

a) 9%;b) 10%;c) 10,5%;d) 11%;e) 12%.

S o lu çã o : (B)C ........ t = 3 meses e 10 dias = 100 dias .........i = 3% a. m. = 0,1 % a. d.j = ? % . Cp% = i x t ..... p% = 0 , l % x 100= 10%logo, j = 10% . C

2 ) A ta xa e q u iv a le n te à ta xa n o m in a ! d e 1 8 % a o s e m e s tre co m ca p ita liza ç ã o m e n sa l é de :

a) 26,82% ao ano;b) 36% ao ano;c) 9% ao trimestre;d) 18% ao semestre;e) 9,2727% ao trimestre.

S o lu çã o : (E)1 8

18% ao semestre capitalização mensal - — = 3% a. m.

i = 3% a. m.taxa equivalente trimestral: i % a . t ......... n = 31 + I = 1,03 3 ....... 1 + 1 » 1,092727I - 0,092727....... i = 9,2727% a. t.

3 ) U m c a p ita l é a p lic a d o a ju r o s c o m p o s to s d u ra n te trê s p e río d o s e m e io a u m a taxa d e 1 0 % a o p e r ío d o . O b te n h a o m o n ta n te e m re ia çã o ao ca p ita l a p lic a d o c o n s id e ra n d o a c o n v e n ç ã o lin e a r.

a) 135%;b) 136,825%;c) 137,425%;d) 139,755%;e) 142%.

S o lu çã o : (D)C....... t = 3,5 períodos.........i = 10% a. p.M = ? % Ct = 3,5 períodos........ n = 3 e q = 0,5fatorajuros compostos: 1,13percentual a juros simples: p% = i x t .....p% = 10% x 0,5 = 5%fator a juros simpies: 1,05 M = C x 1,13 x 1,05 = C x 1,39755 M = 139,755% . C


4 ) U m t ítu lo s o fre d e s c o n to s im p le s c o m e rc ia l d e R$ 1 .8 5 6 ,0 0 , q u a tr o m e s e s a n te s d o se u v e n c im e n to a u m a ta xa d e d e s c o n to d e 4 % a o m ê s . C a lc u le o v a io r d o d e s c o n to c o rre s p o n d e n te à m e s m a ta xa , c a s o fo s s e u m d e s c o n to s im p le sra c io n a l:

a) R$ 1.600,00b) R$ 1.650,00c) R$ 1.723,75d) R$ 1.800,00e) R$ 1.856,00

S o lu çã o : (A)D = 1.856..... t - 4 mesesd - ?

p % - i x t = 4% x 4 = 16%D é montante de d .....D =1.856 = d x 1,16 d = 1.600

5) U m a p e s s o a f ís ic a d e v e fa z e r a p lica çõ e s a o f im d e ca d a u m d o s p ró x im o s d o z e m e s e s d a s e g u in te m a n e ira : R$ 2 .0 0 0 ,0 0 a o f im d e ca d a u m d o s trê s p r im e iro s m e s e s, R$ 3 .0 0 0 ,0 0 ao f im d e cad a u m d o s trê s m e s e s s e g u in te s e R$ 4 .0 0 0 ,0 0 a o f im d e ca d a u m d o s s e is ú lt im o s m e s e s . C a lc u le o m o n ta n te d a s a p lica çõ e s a o f im d o s d o z e m e s e s , c o n s id e ra n d o u m a taxa d e ju r o s c o m p o s to s d e 3 % a o m ê s , d e s p re z a n d o o s c e n ta v o s :

a) R$ 41.854,00b) RS42.734,00c) R$43.812,00d) R$44.380,00e) R$45.011,00

S o lu çã o : (E)2.000 (datas 1 a 3) + 3.000 (datas 4 a 6} + 4.000 (datas 7 a 1 2) i = 3 % a. m.......... M - ? (data 12)

Mj

...1- ...... ........ .............................................................................

i

V .....L* l 6 7 I 22.000 2.000 ▼..... ▼3.000 3.000 , f i f

Como a série de pagamentos nao é uniforme, vamos transformá-la em três séries uniformes:2.000 (datas 1 a 12) + 1.000 (datas 4 a 12) + 1.000 (datas 7 a 12)

........i = 4 % a. m.

dxf


O1 P ff2

2.000 2.000

l * . ........... fT .000 ? .000

é |7....I’21 .000 1 .000

M - 2.000 x s (12, 3%) + 1.000 x s (9, 3%) + 1.000 x s (6, 3%)M ==45.011

6 ) U m c o n s u m id o r c o m p ro u u m a u to m ó v e l n o v a lo r d e R$ 2 5 .0 0 0 ,0 0 , p a g o u u m a e n tra d a à v is ta d e R $ 5 .0 0 0 ,0 0 e f in a n c io u o re s ta n te e m 12 p re s ta ç õ e s m e n s a is d e R$ 2 .0 0 9 ,2 4 , v e n c e n d o a p r im e ira a o f im d o p r im e iro m ê s e a s s im s u c e s s iva m e n te . In d iq u e a ta xa d e ju r o s m e n s a l d o f in a n c ia m e n to :

a) 1%;b) 2%;c) 3%;d) 4%;e) 5%.

S o lu çã o : (C)À vista: 25.000Entrada: 5.000.......financiamento: 20.000

20.000

01

1\.......................

12<

2.009,24 2.009,24

12 x 2.009,24 (postecipadas).........i = ? % a. m.20.000 = 2.009,24 x a (12 , í) a (12, i) = 9,9540........... i = 3% a. m.

7 ) U m fin a n c ia m e n to im o b iliá r io n o v a lo r d e R$ 1 2 0 .0 0 0 ,0 0 é re a liz a d o p o r u m s is te m a d e a m o rt iz a ç õ e s m e n s a is ig u a is d u ra n te 2 0 a n o s . C o n s id e ra n d o q u e a ta xa d e ju r o s m e n s a i é d e 1 % , c a lc u le o v a io r d a 13 - p re s ta ç ã o m e n s a l:

a) R $ 1.700,00;b) R $ 1.640,00;c) RS 1.635,00;d) R$ 1.605,00;e) RS 1.600,00.


S o lu çã o : (B)S0 = 1 20.00020 anos.......n = 240 ......SAC..... i =■ 1 % a. m.

500p,3 = j , 3 + a , 3

J13«1X.SI2 Sj 2 — s0 — 12 X AS,2 = 120.000- 12 x 500= 114.000J13 = 1 % . 114.000 ... J13 = 1.140P13» 1.140 + 500 ......P,3 «1.640


F isca l de IC M S - SP

] ) A p a s s a g e m d e ô n ib u s te v e u m re a ju s te , p a s s a n d o d e R$ 1 ,1 5 p a ra R$ 1 ,4 0 . O a u m e n to em p o rc e n ta g e m fo i d e , a p ro x im a d a m e n te :

a) 28%; d) 20%;b) 25%; e) 18%.0 22%;

S o lu çã o : (C)Valor inicial: 1,15 Valor final: 1,40f = ~ = l,2 1 7 .........p%=21,7%

2 ) A in fla çã o a c u m u la d a n o s d o is ú lt im o s a n o s fo i d e 1 8 % . E n tã o , a q u e d a em p o d e r d e c o m p ra (p e rd a re a l) d e u m tra b a lh a d o r q u e te v e a p e n a s 6 % d e re a ju s te s a la ria l d u ra n te e s s e te m p o fo i d e , a p ro x im a d a m e n te :

a) 12%; d) 9%;b) 11%; e) 8%.c) 10%;

Solução: (C)inflação: 18%......f = 1,18Perda real: ?Ganho nominal: 6%.......f = 1,06f (ganho real) = = 0, 8981J 8Como f = 0,898 < 1, f = 89,8%, houve perda de 10,2%

3 ) U m in d iv íd u o a p lico u a q u a n tia de R$ 5 0 0 ,0 0 em 3 0 /04/01 e re sg a to u , 2 m eses d e p o is , em 3 0 / 0 6 / 0 1 , a q u a n tia d e R$ 5 4 5 ,0 0 . A o m e s m o te m p o , a s inflações no s m e s m o s m ese s d e m a io e ju n h o d e 2001 fo ra m d e 0 ,2 2 % e 1 ,5 3 % , re sp e ctiva m e n te. E n tã o , a taxa d e re n d im e n to real n o p e río d o fo i de, a p ro x im a d a m e n te :

a) 0,9%;b) 4,5%;c) 6,4%;d) 7,1%;e) 9%.

S o iu çã o : (0 )Valor aplicado: 500 .........valor resgatado: 545

545Fator de ganho aparente: = 1,09.........9% de ganho aparenteFator de inflação acumulada: 1,0022 x 1,0153 = 1,01 7S3..... p% « 1,753%(Observe que por serem os acréscimos porcentuais muito pequenos, o acréscimo linear acumulado: 0,22 -fl,53 = l,75%é bem próximo do real. Pode-se, então, neste caso, trabalhar com o acumulado linear).f (ganho real) = ■ = 1,071........ p% = 7,1 %


4 ) U m a g e la d e ira é v e n d id a à v is t a p o r R$ 9 0 0 ,0 0 , o u a p ra z o , em d u a s p re s ta ç õ e s de R$ 4 7 0 ,0 0 cada u m a , s e n d o a p r im e ira d a d a c o m o e n tra d a e a o u tra 3 0 d ia s d e p o is . E n tã o , a taxa m e n s a l d e ju r o s e fe tiv a d o f in a n c ia m e n to é d e , a p ro x im a d a m e n te :

a) 5%;b) 6%;c) 7%;d) 8%;e) 9 %

S o lu çã o : (E)À vista: 900 Ou,2 x 470 (primeira no ato e segunda em 30 dias) i = ? % a. m.valor a ser financiado: 900 - 470 = 430Por esse financiamento serão pagos 470 ao finai de 30 dias .C = 430.....M = 470 .... t = 1 mês........ i = ? % a. m.

470f - ^ £ « 1,093 ...... p % = 9,3%4309,3%- i x t .......9,3% = i x 1i = 9,3 % a. m.

5 ) O S iste m a F in a n c e iro d e H a b ita çã o (S F H ) fin a n c ia casa p r ó p r ia p e lo p r a z o d e 15 a n o s (1 8 0 m e s e s ), c o b ra n d o a ta xa d e ju r o s d e 1 % a o m ê s s o b re o s a ld o d e v e d o r . O c á lc u lo d a p r im e ira p re s ta ç ã o é fe ito d a s e g u in te m a n e ira : ca lcu la -se o ju r o s o b re o s a ld o d e v e d o r e c a lcu la -se a p a rte q u e s e rá a m o rt iz a d a n a p r im e i

ra p re s ta ç ã o , is to é : d o v a lo r d o f in a n c ia m e n to . A p re s ta ç ã o é ig u a l a s o m a

d o s ju r o s m a is a a m o rt iz a ç ã o , d e s p re z a d o s o s c á lc u lo s d e ta xa s e s e g u ro s . Ma co m p ra d e u m im ó v e l, c o m a p a rte fin a n c ia d a ig u a l a R$ 8 0 .0 0 0 ,0 0 , a p r im e ira p re s ta ç ã o se rá de, a p ro x im a d a m e n te :

a) R$444,00;b) RS644,00;c) RS824,00;d) RS o a o o

e) RS 1.244,00.

S o lu çã o : (E)n = 1 80.........i = 1% a. m...........S0 = 80.000A 80.000 . . „ „ .A = — - 444,44 180Pi “ A, +J,J, - 1%. 80.000-800p, . 444,44 + 800 = 1.244,44


A n a lis ta SERPR O - 2001

1) U m a c o n ta n o v a lo r d e R$ 1 .0 0 0 ,0 0 d e v e s e r p a g a em u m b a n co na s e g u n - d a -fe ira , d ia 5. O n ã o -p a g a m e n to n o d ia d o v e n c im e n to im p lic a u m a m u lta fixa d e 2 % s o b re o v a lo r d a c o n ta , m a is o p a g a m e n to de u m a taxa d e p e rm a n ê n c ia d e 0 ,1 % p o r d ia ú tii d e a tra s o , ca lc u la d a c o m o ju r o s s im p le s , s o b re o v a io r d a c o n ta . C a lc u le o v a lo r d o p a g a m e n to d e v id o n o d ia 19 d o m e s m o m ê s c o n s id e r a n d o q u e n ã o há n e n h u m fe ria d o b a n c á rio n o p e río d o :

a) RS 1.019,00;b) R$ i .020,00;c) R$ 1.025,00;d) R$ 1.029,00;e) R$ 'i .030,00.

S o lu çã o : (E)C = 2.000Vencimento 2a feira dia S.... pagamento dia 19Dias úteis de atraso: 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 19........ 10 diasp% = i x t + muitap%=0,l%x 10 + 2 % ..... p % = 3 %

valor do pagamento: 1.000 x 1,03 = 1.030

2 ) O lu c ro líq u id o d e u m a e m p re s a p a s s o u d e R$ 2 .0 0 0 .0 0 0 ,0 0 n o e xe rc íc io d o a n o d e 1 9 9 6 p a ra R$ 2 .9 2 8 .2 0 0 ,0 0 n o e x e rc íc io d o a n o 2 0 0 0 . C a lc u le a ta xa d e c re s c im e n to a n u a l d o lu c ro líq u id o n o p e río d o :

a) 10,00%;b) 10,65%;c) 11,60%;d) 12,00%;e) 12,50%.

S o lu çã o : (A)1.996: 2.000.000 ............ 2.000: 2.928.200i: taxa de crescimento anual............n - 42.928.200 = 2.000.000 x (1 + i)4 (1 +i)4= 1,4641 .........i - 10% a. a.

3 ) A q u a n t ia d e R$ 1 0 .0 0 0 ,0 0 é d e v id a h o je , e n q u a n to o u t ra d ív id a n o v a lo r d e R$ 2 0 .0 0 0 ,0 0 v e n c e n o f im d e u m m ê s . N a m e d id a e m q u e o s d o is c o m p ro m is s o s n ã o p o d e ria m s e r h o n ra d o s , u m a n e g o c ia ç ã o c o m o c re d o r c o m u m le v o u a o a c e rto d e u m p a g a m e n to ú n ic o n o f im d e trê s m e s e s e m e io . C a lcu le o v a lo r d o p a g a m e n to ú n ic o c o n s id e ra n d o q u e fo i a c e rta d a u m a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s d e 4 % a o m ê s , v a le n d o a c o n v e n ç ã o lin e a r p a ra cá lc u lo d o m o n ta n te d e n tro d o q u a rto m ê s :

a) RS33.400,00b) R$33.531,80c) R$ 33.538,25d) R$ 33.651,00e) R$ 34.000,00

Série Q u estões: Matemática Financeira ELSEVTER

S o lu çã o : (C)

T 3,5

10.000 20.000

10.000 (data 0) + 20.000 (data 1)P = ?.......... t = 3,5 meses.........i = 4 % a. m. ...convenção linearVamos inicialmente capitalizar o pagamento de RS 10.000,00, da data 0 para a data 1 e então, calcular o montante a ser pago na data 2,5, adotando a convenção iinear.C = 1 0.000 x 1,04 + 20.000 ......C = 30.400t = 2,5 meses ....... n — 2 e q = 0,5Fator a juros compostos: 1,042 A juros simples p% - i x t = 4 % x 0,5 = 2 %

Fator a juros simples: 1,02M = 30.400 x 1,042 x 1,02........ M, « 33.538,25

4 ) N o m e rc a d o fu tu r o d e ju r o s , u m t ítu lo n o v a lo r n o m in a l d e R$ 1 0 0 ,0 0 te m h o je ,u m m ê s a n te s d o se u v e n c im e n to , u m PU (p re ç o u n itá r io ) d e R$ 9 1 ,0 0 , o u seja ,o t ítu lo s o fre u m d e s c o n to d e 9 % . Q u a l a ta xa d e ju r o s m e n s a l q u e o m e rc a d oe s tá p ro je ta n d o ?

a) 9,00%; d) 10,05%;b) 9,89%; e) 11,00%.c) 10,00%:

S o lu çã o : (B)A taxa de juros mensal projetada corresponde a taxa efetiva cobrada na operação de desconto.C = 91 ......... M = 100......... t - 1 mês.f = — ...... f « 1,0989..........p% = 9,89%91p% = 9,89% = ix t ......9,89% = ix1 ......... i = 9,89%a. m.

5 ) U m t ítu lo s o fre u m d e s c o n to c o m p o s to ra c io n a l d e R$ 3 4 0 ,1 0 s e is m e s e s a n te s d o se u v e n c im e n to . C a lc u le o v a lo r d e s c o n ta d o d o t ítu lo c o n s id e ra n d o q u e a taxa d e d e s c o n to é d e 5 % ao m ê s (d e s p re z e o s c e n ta v o s ):

a) R$ 944,00; d) R$ 1.133,00;b) RS 980,00; e) RS 1.340,00.c) R$ 1.000,00;

S o lu çã o : (C)d = 340,10 .......t = 6 meses.........i - 5% a. m.............A = ?

f N é montande de A d —»<[d é um juro calculado sobre A

logo, d = A[(l + i)n- l )340.10 - A (1.056- 1)340.10 = Ax 0,3401.............A = 1.000


6 ) U m p a ís la n ço u b ô n u s n o m e rc a d o in te rn a c io n a l d e v a io r n o m in a i, cada b ô n u s , d e U S $ 1 .0 0 0 ,0 0 , c o m d e z c u p o n s s e m e s tra is n o v a lo r d e US$ 5 0 ,0 0 cad a, v e n ce n d o o p r im e iro c u p o m a o f im d o p r im e iro s e m e s tre e a s s im s u c e s s iva m e n te a té o d é c im o s e m e s tre , q u a n d o o p a ís d e v e p a g a r o ú lt im o c u p o m ju n ta m e n te c o m o v a lo r n o m in a l d o t ítu lo . C o n s id e ra n d o q u e a ta xa d e r is c o d o p a ís m a is a ta xa d e ju r o s d o s t ítu io s d e re fe rê n c ia le v o u o p a ís a p a g a r u m a taxa fin a l d e j u ro s n o m in a is d e 12% ao a n o , ca lcu le o d e s á g io s o b re o v a lo r n o m in a l o c o rr id o n o la n ç a m e n to d o s b ô n u s , a b s tra in d o c u s to s d e in te rm e d ia ç ã o f in a n c e ira , de r e g is t ro e tc .:

a) Não houve deságio;b) US$ 52,00 por bônus;c) 8,43%;d) US$ 73,60 por bônus;e) 5,94%.

S o lu çã o : (D )valor nominal: 1.000valor de venda: Vi = 12 % a. a. (nominal) = 6% a. s.Há uma entrada de capital na data 0 e há 10 desembolsos semestrais (data 1 até data 10) de 50,00 + um pagamento de 1.000,00 na data 10.

50 + 1.000

A entrada de capital é rgual à soma dos desembolsos na data focal (vamos adotar a data focal 0).Entrada de capitai = vaior de lançamento do bônus.

D = 50 x a (10, 6 %) + 1.000 ía (10, 6 % í - a (9, 6 % )}

0 = 926,40.......... D = Vdeságio: 1.000 - 926,40 = 73,60

7 ) U m a d e b ê n tu re te m o se u v a io r c o r r ig id o p e la v a ria ç ã o de u m ín d ic e d e p re ço s n o p e r ío d o , a lé m d e r e n d e r 1 2 % a o a n o . C o n s id e ra n d o q u e o v a io r d o ín d ic e n o in íc io d o p e r ío d o e ra 2 2 0 e u m a n o d e p o is e ra 2 4 2 , o b te n h a o re n d im e n to to ta l d a d e b ê n tu re u m a n o d e p o is :

a) 20,5%; d) 23,2%;b) 21,2%; e) 24,0%.c) 22,0%;

S o lu çã o : (D)Rendimento real: 12%índice de correção: 220........... 242

242Fator relativo ao índice: —— =1,1 .......... p% = 10%220 K

Fator relativo ao rendimento total: f = 1,12 x 1,1 ... f = 1,232......p% = 23,2%


8 ) U m in v e s t id o r r e a liz o u u m a o p e ra ç ã o m u ito c o m u m em b o ls a d e v a lo re s : c o m p ro u u m a c e rta q u a n tid a d e d e açõe s d e u m a e m p re s a p e lo p re ç o de R$ 1 1 ,0 0 e n o m e s m o d ia v e n d e u a m e s m a q u a n tid a d e d e o p çõ e s d e c o m p ra d e ss a s ações p e io p re ç o d e R$ 1 ,0 0 , d o is m e s e s a n te s d o e x e rc íc io . A d m ita q u e n o f im d o s d o is m e s e s o p re ç o da s a çõ e s s u b iu o s u fic ie n te p a ra q u e o in v e s tid o r seja e x e rc id o , is to é, se ja o b rig a d o a v e n d e r e s ta s açõe s n o d ia d o e xe rc íc io p e io p re ç o d e e xe rc íc io d a s o p ç õ e s , n o ca so R$ 1 2 ,0 0 . D e s s a m a n e ira , a o p e ra çã o to rn o u -s e e q u iv a le n te a u m fin a n c ia m e n to c o n c e d id o p e lo in v e s t id o r , C a icu ie a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s o b tid a na o p e ra ç ã o , a b s tra in d o c u s to s d e c o rre ta g e m e taxas p e rtin e n te s :

a) 20% ao bimestre;b) 20% ao mês;c) 1 1 ,11% ao bimestre;d) 10% ao mês;e) 10% ao bimestre.

S o lu çã o : (A)Valor de compra: 11,00 Valor da venda da opção de compra: 1,00 Valor do desembolso na compra: 11-1=10,00 Valor de venda ao final de 2 meses: 12,00 Aplicou 10,00 e recebeu 12,00 ao final de 2 meses.

12f - — = 1 ,2 ........... p% = 20% ao bimestre

9 ) Na c o m p ra d e u m c a rro em u m a c o n c e s s io n á ria n o v a lo r d e R$ 2 2 .0 0 0 ,0 0 u m a p e s s o a d á u m a e n tra d a d e 2 0 % e f in a n c ia o s a ld o d e v e d o r em d o z e p re sta çõ e s m e n s a is a u m a taxa d e 3 % a o m ê s . C o n s id e ra n d o q u e a p e s s o a c o n s e g u e f in a n cia r, ju n t o c o m o c a rro , 1 0 0 % d o v a lo r d e u m s e g u ro to ta l q u e c u s ta R$ 2 .2 0 8 ,0 0 e u m a ta xa d e a b e rtu ra d e c ré d ito d e R$ 1 0 0 ,0 0 , na s m e s m a s c o n d iç õ e s , is to é, e m d o z e m e s e s e a 3 % a o m ê s , in d iq u e o v a lo r q u e m a is se a p ro x im a d a p re s ta ção m e n s a l d o f in a n c ia m e n to g lo b a l:

a) R$1.511,23; d) R$ 1.923,44;b) R$1.715,00; e) R$ 2.000,00.c) R$ 1.800,00;

S o iu çã o : (E)Valor: 22.000Entrada: 20%... 4.400Valor a financiar: 22.000 ~ 4.400 = 17.600Total do financiamento: 17.600 + 2.208 + 100 = 19.908

19.908

0

P P

19.908 = Pxa (12, 3%),


1 0 ) C o n s id e ra n d o o f lu x o d e caixa a s e g u ir , c o m a d u ra ç ã o d e d e z p e río d o s , ca lcu leo se u v a lo r a tu a l e m z e ro , a u m a ta xa d e ju r o s d e 1 0 % ao p e río d o :

0 1 2- 1000 -8 0 0 300

a) 222,44b) 228,91c) 231,18d) 243,33e) 250,25.

3

300

4

300

5

300

6

300

7

300

8300

9 10

300 1300

S o lu çã o : (B)Fazendo o fluxo de caixa:

300 300

t ...... t

1.000 800

1.300

10

O valor atual (VA) na data 0 corresponde à diferença entre a soma das entradas de capitai (E) e os desembolsos (D) calculados nessa data.Como a série de pagamentos não é uniforme, vamos refazer o fluxo:

Fluxo das entradas de Capital

300 300 t t-

300+ 1.000

1 10

E = 300 x a (10, 10%) +1.000 x (a (10, 10%) - a (9, 10%)]

Fluxo dos desembolsos

D: 0 1

1.000 1.100

E= 2.228,91 D =^yp+ 1-000= 2.000

VA = E - DVA « 2.228,91 - 2.000 = 228,91


A n a lis ta do In stitu to de R e sse g u ro s do B ras il - IRB - 2004

1) U m b ô n u s p o s s u i v a io r n o m ln a i d e US$ 1 ,0 0 0 .0 0 e c o n té m q u a tro c u p o n s s e m e s tra is d e US$ 5 0 .0 0 ca d a , s e n d o q u e o p r im e iro c u p o m v e n c e a o f im d e se is m e s e s, e a s s im s u c e s s iv a m e n te , até q u e , ju n t o c o m o q u a rto c u p o m , o c o m p ra d o r re ce b e o v a io r n o m in a l d o b ô n u s d e v o lta , o b te n d o a s s im u m a re m u n e ra ção n o m in a l d e 5 % a o s e m e s tre em s u a a p iica çã o d e c a p ita l. A b s tr a in d o c u s to s a d m in is t ra t iv o s e c o m is s õ e s , ca lcu ie o d e s á g io n e c e s s á rio s o b r e o v a io r n o m ina l d o b ô n u s p a ra q u e a ap lica çã o d e c o m p ra p ro d u z a u m g a n h o reai d e 6 % a o s e m e stre :

a) 3%;b) 3,196%;c) 3,465%;d) 5%;e) 6,21%.

So lu çã o : (C)Vaior de compra: V

50+ 1.000 50 4

I t ............0 1 4▼V

Vamos descapitalizar todas as entradas de capitai à taxa efetivamente desejada, 6 % a. s.V = 50 x a <4, 6%) + 1.000 x [a (4, 6%) - a (3, 6%>]V» 965,35Deságio: 1.000 - 965,35 = 34,65 Logo, 3,465 % do valor nominal

2 ) U m ca p ita i é a p lic a d o c o m c a p ita liz a ç ã o d o s ju r o s d u ra n te trê s p e río d o s a u m a ta xa d e ju r o s d e 1 0 % a o p e r ío d o . C a lc u le o s ju r o s d e v id o s c o m o p o rc e n ta g e md o ca p ita l a p lic a d o :

a) 30%;b) 31,3%;c) 32,2%;d) 33,1%;e) 34%.

S o lu çã o : (D)n - 3.......... i = 10 % ao períodoM = Cx 1,13M«Cxl,331 ........... f » 1,331 .........pSá = 33,1%J = 33,1% do Capital


3 ) U m a s é rie d e d o z e v a lo re s m o n e tá rio s r e la t iv o s a o f im d e ca d a u m d o s d o z e per ío d o s d e te m p o re p re s e n ta o f lu x o d e caixa e s p e ra d o d e u m a a lte rn a tiv a d e In v e s tim e n to . C o n s id e ra n d o q u e o v a io r a tu a l d e s s e f lu x o d e caixa n o in íc io d o p r im e iro p e r ío d o é d e R $ 3 0 .0 0 0 ,0 0 , ca icu le o v a io r fu tu r o d e ss e f lu x o a o f im d o d é c im o s e g u n d o p e r ío d o , c o n s id e ra n d o u m a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s d e 1 0 % a o p e r ío d o (d e s p re z e o s c e n ta v o s ):

a) R$ 94.152,00;b) RS 85.593,00;c) R$ 77.812,00;d) R$ 70.738,00;e) R$ 66.000,00.

S o lu çã o : (A)i= 10 %a. p.A = 30.000

Calcular o montante na data 12 é capitalizar o valor atual para essa data .M “ F02)- 30.000 x 1,112 M»F0Z)- 94.1 52,85

4 ) U m c o n tra to p re v ê q u e a p lica çõ e s ig u a is s e ja m fe ita s m e n s a lm e n te em u m a conta d u ra n te q u a tro m eses, com o o b je tivo de a tin g ir o m ontante de R$ 1 0 .0 0 0 ,0 0 a o f im d e s s e p ra z o . C a lc u le q u a n to d e v e s e r a p lic a d o ao f im d e ca d a m ê s , co n s id e ra n d o re n d im e n to s d e ju r o s c o m p o s to s d e 4% a o m ês e u m a d e d u ç ã o d e 2 5 % d o s ju r o s , re a liz a d a im e d ia ta m e n te a n te s d e cada ca p ita liza ç ã o co m o in tu ito d e re m u n e ra r u m a te rc e ira p a rte (d e s p re z e o s c e n ta v o s ):

a) RS 2.354,00; d) R$ 2.500,00;b) R$ 2.390,00; e) R$ 3.187,00.c) RS 2.420,00;

S o lu çã o : (B)i = 4 % ao mês com dedução de 25 %logo a taxa reai da aplicação é de i = 0,75 x 4 % ~ 3 % ao mês.M = F(4)= 10.000 P-?

30.000 M

P P

10.000

P P

10.000 = P x s (4, 3 % )

P = 2.390,27


5) in d iq u e q u a l a ta xa a n u a l d e ju r o s c o m p o s to s q u e e q ü iv a le a u m a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s d e 2 % a o m ê s:

a) 24%;b) 24,24%;c) 24,48 % ;

d) 24,96%;e) 26,8242%.

S o lu çã o : (E)í = 2% a. m.......... I = ? % a. a.............n = 121 +1 = 1,02 12............ I ~ 0,268242I « 26,8242% a.a

CAMPUS R esolução de Provas 17 3

E sp e c ia lista em R egu lação - Á rea “C ” - A N EEL - 2004

1 ) U m c a p ita l é a p lic a d o c o m c a p ita liza ç ã o s e m e s tra l d e ju r o s n u m p ra z o d e d o is a n o s a u m a ta xa d e ju r o s n o m in a l d e 1 0 % ao a n o . C a lc u le o v a io r m a is p ró x im o d o s ju r o s d e v id o s c o m o p o rc e n ta g e m d o c a p ita l a p lic a d o .

a) 20,00%. d) 22,1 2 % .

b) 21,00%. 6)23,41%.c) 21,55%.

S o lu çã o : (C)

t = 2 anos = 4 semestres........ n = 4i = 10% a. a. com capitalização semestral = 5% a. s.

M = Cx 1,054 M = Cx 1,215506Então, f = 1,215506, que corresponde a um acréscimo de 21,5506%Mas, o acréscimo numa aplicação financeira são os juros.J - 21,55%.

2 ) A ta xa n o m in a l de 2 4 % ta xa e fe tiv a a n u a l de :

a) 26,82%.b) 25,51%.c) 25,44%.

S o lu çã o : (A)

i = 24% a. a. capitalização mensal = 2% a. m.1 = ? % a. a..............n = 12

1 +1 = 1 ,0212........... 1 + 1^ 1,26821 = 26,82% a. a.

3 ) U m a e m p re s a p re te n d e d is p o r d e R$ 1 0 0 0 0 0 ,0 0 a o f im d e 12 m e se s e p a ra is s o p re te n d e a p lic a r u m a m e s m a q u a n tia a o f im d e cada m ê s em u m a c o n ta re m u n e ra d a co m o o b je t iv o d e a t in g ir e s s e m o n ta n te a o f im d o p ra z o .

C a lc u ie q u a n to d e v e s e r a p lic a d o a o f im d e ca d a m ê s , c o n s id e ra n d o re n d im e n -to s b r u to s d e ju r o s c o m p o s to s d e 4 % a o m ê s e u m a d e d u ç ã o d e 2 5 % d e im p o s to in c id e n te s o b re ca d a re c e b im e n to d o s j u r o s . (D e s p re z e o s c e n ta v o s ).a) RS 8.333,00 d) RS 7.000,00b) RS 8.129,00 e) RS 6.655,00c) RS 7.046,00

So iu çã o : (C)

M = 100.000 .......n = 12Como sao descontados 25% dos juros, a taxa efetiva da apiicação corresponderá a 75% da taxa bruta.i (efetiva) = 75% . 4% - 3% a. m. p = ? (ao final de cada mês = postecipadas)

a o a n o c o m c a p ita liza ç ã o m e n s a l c o rre s p o n d e a u m a

d) 24,00%.e) 2 2 , 7 8 % .


100.000 = Pxs(l 2, 3%)

P - 7.046,00

P =

1 0 0 .0 0 0

12

P

100.000 14,192030

4 ) U m a s é rie d e d e z v a lo re s m o n e tá rio s re la t iv o s a o f im d e ca d a u m d e d e z an o s re p re s e n ta o f lu x o d e caixa e s p e ra d o d e u m a a lte rn a tiv a d e in v e s tim e n to . D a d o q u e o v a io r atu a i d e ss e f lu x o d e caixa é R$ 5 0 .0 0 0 ,0 0 , n o in íc io d o p r im e iro a n o , ca lcu le o v a lo r f u tu r o d e s s e f lu x o a o f im d o d é c im o a n o c o n s id e ra n d o u m a taxa d e ju r o s c o m p o s to s d e 1 0 % a o a n o .

a) RS 94 1 52 500,00b) R$100 000 000,00c) R$117 897 350,00d) R$ 129 687 100,00e) R$ 135 438 500,00

S o lu çã o : (D)

.. n = 10 . . i = 1 0 % a. a........

50.000.000 M-L ,

0 1 2 10'

M = ? {data 10)

Para calcular esse montante devemos capitalizar o valor atual:M = 50.000.000 x 1,110 ............M = 50.000.000 x 2,593742

M - 129.687.100,00

5 ) U m b ô n u s p o s s u i v a io r n o m in a l d e U S $ 1 ,0 0 0 .0 0 e c o n té m d o z e c u p o n s s e m e s tra is d e US$ 5 0 .0 0 ca d a , s e n d o q u e o p r im e iro c u p o m v e n c e a o f im d e s e is m e s e s e a s s im s u c e s s iv a m e n te até q u e , ju n t o c o m o ú lt im o c u p o m , o c o m p ra d o r d o b ô n u s re ce b e o v a lo r n o m in a l d o b ô n u s d e v o lta . A b s tr a in d o c u s to s a d m in is tra t iv o s e c o m is s õ e s , c a lc u le o p re ç o d e v e n d a d o b ô n u s p a ra q u e a s u a c o m p ra p r o d u z a u m a a p lica çã o c o m ta xa in te rn a d e r e to rn o d e 6 % a o s e m e s tre .

a) US$1,112.55b) USS 1,000.00c) USS 976.34d) USS 948.88e) US$916.16

S o lu çã o : (£)

fCAMPUS R esolução de Provas 175

Seja V o vaior de venda do bônus. V será o valor atuai dos recebimentos.

Vi

0>

1t ’ >I T

50 50 50+ 1000

V - 50 x a(l 2, 6%) + 1.000 x Ja(l 2, 6%) - a(J 1, 6%)]V « 50 X 8,383844 + 1.000 x (8,383844 ~ 7,886875)V-419,19+496,97

V = 916,16

O enunciado a seguir é comum às duas questões seguintes.Considere o fluxo de caixa abaixo em RS 1.000,00. Esse fluxo decorre de um projeto de investimento de uma empresa que se utiliza de capital próprio e do financiamento de RS10.000.000,00, de terceiros, no inicio do primeiro ano, a uma taxa de 10% ao ano. Os juros do financiamento são pagos em oito parcelas, ao fim de cada ano, e a última parcela é acrescida do valor financiado.

Fluxo -20.000 3.453 3.453 3.453 3.453 3.453 3.453 3.453 13.453Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8

6 ) O b te n h a o v a lo r m a is p ró x im o d a taxa in te rn a d e re to rn o a n u a i d o f lu x o d e ca ixa q u e c o rre s p o n d e a o c a p ita i p r ó p r io d a e m p re s a .

a) 10% d) 16%b) 12% e) 18%c) 14%

S o lu ç ã o : (E)

Vamos trabalhar com os valores em milhares de reais, como está representado no fluxo.Aplicação total: 20.000...... 1 0.000 (próprios) + 10.000 (financiamento)Juros do financiamento: 10% a. a. + 10.000 ao final do prazo. Como o principal é pago ao final do prazo, as parcelas pagas anualmente correspondem aos juros: J = 10 %. 10.000 = 1.000Portanto, o capita! próprio irá render anualmente: 3.453 - 1.000 = 2.453.Logo,A = 10.000........... P ='2.453 ............. n = 8 ..........i « ? % a. a.

2453 2453, \ ............ jk

0<r

1 8

10.000

10.000-2.453 xa(8, i) i = 18% a. a.


7) A taxa in te rn a de re to rn o a n u a l d o f iu x o d e caixa o r ig in a l q u e in c lu i ta n to o cap ita i p r ó p r io d a e m p re s a q u a n to o fin a n c ia m e n to d e te rc e iro s e s tá n o in te rv a lo de

a) 8 a 9 % . d) 12 e 15 % .

b) 9 a 10%. e) 1 5 e 18 % .

c) 10 a 1 2 % .

S o lu çã o : (D)

1 34533453 34S3

20.000

Total aplicado: 20.000 Adotando a data focal 0.

20.000 » 3.453 x a(8, i) + 10.000 [a(8, i) - a(7, i)J Testando i = 12 % a. a.

A » 3.453 x a(8, 12%) + 10.000 Ia<8, 12 % ) - a(7, 12 % )]

A = 21.192,09 > 20.000 Logo, i > 12 % , precisamos descapitalizar a uma taxa maior que 12 %

Testando i = 1 5 % a. a.A « 3.453 x a(8, 1 5 % ) + 10.000 [a(8, 1 5%) - a(7, 1550].

A - 18.763,74 <20.000 Logo, i < 1 5 % , precisamos descapitalizar a uma taxa menor que 1 5%

Daí, 12 % < i < 1 5%

(CAMPUS Resolução de Provas 177

Esp e c ia lista em R egu lação - Á rea “E” - A N EEL - 2004

Leia o texto abaixo para responder às duas questões seguintes.O pai de João emprestou-lhe a quantia de R$ 8.000,00 peio prazo de dois anos, cobran- do-ihe apenas juros de 1 1% ao ano, em regime de juros simples.

1 ) A o f in a i d o p ra z o c o m b in a d o , se J o i o q u is e r q u it a r a d ív id a co m se u p a i, e le d e v e rá p a g a r-lh e u m a q u a n tia

a) inferior a R$ 9.100,00.b) superior a R$ 9.100,00 e inferior a R$ 9.300,00.c) superior a R$ 9.300,00 e inferior a R$ 9.500,00.d) superior a RS 9.500,00 e inferior a RS 9.700,00.e) superiora RS 9.700,00.

S o lu çã o : (E)

C = 8.000.........t = 2 anos...........i = 1 1% a. a. (J.S.)p% = i x t = 1 í% x 2 = 22%

M = 8.000 x 1,22 = 9.760,00

2 ) A s s in a le a o p çã o q u e a p re s e n ta u m a ta xa d e ju r o s p ro p o rc io n a l à taxa d e ju r o s p a g a p o r Jo ã o .

a) 0,03% ao diab) 0,90% ao mês0 2,70% ao trimestred) 3,60% ao quadrimestree) 5,50% ao semestre

S o lu çã o : (E)

i = 11% a. a. = 5,50% a. s.

3 ) U m a lo ja d e e q u ip a m e n to s e lé tric o s la n ço u u m a p ro m o ç ã o e s p e cia l: u m tra n s f o r m a d o r q u e c u s ta v a R í 2 0 0 .0 0 0 ,0 0 à v is t a p o d e ria , o p c io n a lm e n te , s e r adquirido a prazo, p o r R$ 240 .000,00, sendo q ue o cliente deveria pagar R$ 3 0 .0 0 0 ,0 0 d e e n tra d a e o re s ta n te a p ó s u m a n o d a d a ta d a c o m p ra . C o n s id e ra n d o o re g im e d e ju r o s s im p le s , a ta xa d e ju r o s a n u a l c o b ra d a p e la lo ja é a p ro x im a d a m e n te ig u a l a

a) 22,93%. c) 23,83%b) 23,23%. d) 24,13%c) 23,53%

So iu çã o : (C)

À vista: 200.000 Ou,240.000 sendo 30.000 (entrada) + 210.000 (1 ano)O valor da entrada é sempre abatido do valor à vista: 200.000 - 30.000 = 170.000 (valor a ser financiado)Deve 1 70.000 e pagará 210.000 em 1 ano.


f _ 21 °-00 = i ,2353.............p % = 23,53%170.00023,53% = i x t mas, t = 1 íogo i = 23,53%

Leia o texto abaixo para responder às duas questões seguintes.Pedro aplicou R$ 12.000,00 em uma instituição financeira que pagava juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensaimente, não cobrava taxas e pagava os tributos para os seus clientes. Três meses e meio após a aplicação, retirou R$ 2.000,00 acrescidos dos juros até então auferidos. Um mês e meio após o resgate citado, Pedro aplicou mais R$ 5.000,00.

Dados do problema:

C = 12.000........... i = 1 2 % a. a. capitalização mensal = 1% a. m.t = 3,5 meses.retirou 2.000 + juros de todo o períodot ~ 1,5 mês...........aplicou mais 5.000

4 ) C o n s id e ra n d o (1 ,0 1 ) ,4> = 1 ,1 0 5 , a ta xa a n u a l e fe tiv a d e ju r o s d a a p lica çã o f in a n c e ira e s c o lh id a p o r P e d ro é

a) inferior a 11,5%.b) superior a 11,5% e inferior a 12 % .

c) superior a 12 % e inferior a 12,5%.d) superior a 12,5% e inferior a 1 3%.e) superior a 1 3%.

So lu çã o : (D)

i = 1 % a. m.............I = 7 % a. a.......... . n = 121+ 1 = 1 ,0112........... 1 + 1= 1 ,0110 x 1 ,012

1+1=1,105 x1,0201 ......... 1+1=1,12721= 12 , 7 2 % a a.

5 .0 0 0 ,0 0 , P e d ro tin h a , n e ssa a p lica çã o f in a n c e ira , a

d) R$ .12.120,00.e)R$ 12.241,20.

S o lu çã o : (A)

t = 3,5 m............retirada de 2.000 + jurosComo a capitalização é mensaí, foram retirados somente os juros relativos aos três primeiros meses, assim o valor da aplicação .retorna ao valor inicial.Logo, restaram 12.000 - 2.000 = 10.000 (data 3)M (data 5) - ?

5 ) N o d ia e m q u e a p lic o u R$ q u a n tia de

a) R$10.201,00.b) R$10.303,01.c) R$10.363,61.

M = 1 0 .0 0 0 x 1 , 0 1 2 = 10 . 201

CAMPUS Resolução.íde Provas 1 7 9

6 ) P ara q u e a a p lica çã o d e R$ 5 .0 0 0 ,0 0 re n d a a P e d ro R$ 5 .0 0 0 ,0 0 em d o z e m e se s, s e rá n e c e s s á rio q u e a ta xa p e rc e n tu a l d e ju r o s v ig e n te n o m o m e n to d a a p lic a ção in ic ia l se ja m o d if ic a d a p a ra

a) ('^15-Dx 100 d) (' 2 - D x 100b) {'-$2- D x 100 e) 0^5-1) x 100c) ClÊ-l) x 100

S o lu çã o : (B)

C = 5.000........... J = 5.000 logo, M ~ 10.000 ....... t ~ 1 2 meses10.000 = 5.000 x (1 + i)12 ..............(1 + i)12 = 21 + i - ‘$2 ............... i = ('#2 - 1) x 100

7 ) C a r lo s c o n tra iu u m e m p ré s t im o q u e d e v e rá s e r p a g o da s e g u in te fo rm a : d o isa n o s a p ó s a d a ta d o fe c h a m e n to d o n e g ó c io , R$ 2 0 .0 0 0 ,0 0 ; trê s a n o s a p ó s ad a ta d o fe c h a m e n to d o n e g ó c io , R$ 3 0 .0 0 0 ,0 0 . S a b e n d o q u e o e m p ré s t im o fo i c o n tra íd o a u m a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s d e 3 % a o m ê s , c o n c iu i-s e q u e C a rlo s to m o u e m p re s ta d a , em re a is , a q u a n tia d e

a) 20X3001,03

b) 20-0001,03*

c) 1,032 x 20.000+ 1,033 x 30.000

S o iu çã o : (A)

20.000 (2 anos = 24 meses)30.000 (3 anos = 36 meses)E: empréstimo contraído.E (data 0) = ? t = 3 % a. m.

Ei L

0 24 361 r

20.000 30.000

20.000 30.0001,0324 10336

8 ) U m e m p r e s á r io c o m p r o u , p o r R $ 4 0 .0 0 0 .0 0 0 ,0 0 , u m a e m p re s a q u e f a t u ra R $ 1 0 .0 0 0 .0 0 0 ,0 0 p o r m ê s , co m lu c ro líq u id o d e 1 0 % d o fa tu ra m e n to . C o n s id e ra n d o q u e o fa tu ra m e n to e o lu c ro líq u id o d e s s a e m p re s a fic a rã o im u tá v e is d u ra n te u m te m p o m u ito lo n g o , a taxa in te rn a d e r e to rn o d e s s e in v e s tim e n to d o e m p re s á rio e s tá e n tre

a) 2 % e 3%. c) 4 % e 5%. e) 6 % e 7 %

b) 3 % e 4 % . d) 5 % e 6 % .

30.000+ - 7 7 Z Õ T d) 1,03 x 20.000 + 1,032 x 30.0001,0330.000+ ____ e) 2,06 x 20.000 + 3,09 x 30.000


S o lu çã o : (A)

Investimento: 40.000,00 (valor atual da série formada pelas parcelas de iucro) Faturamento mensal: 10.000.000 Lucro líquido mensal: 1.000.000Como o tempo é muito, longo, trata-se de uma renda perpétua.

P - A x i ......i = 2,5% a. m.

40.000.000 = 1.000.000

Leia o texto abaixo para responder às duas questões seguintes.Uma empresa que fabrica geradores elétricos de grande porte a n u n c i o u três planos diferentes para a venda de um mesmo gerador: plano í - 12 prestações de RS 200.000,00 cada uma, com vencimento mensal, taxa de juros compostos de 4 % ao mês e sem entrada; plano II - 24 prestações de RS 120.000,00, com vencimento mensal, taxa de juros compostos de 4 % ao mês e sem entrada; plano Ili: à vista, por RS 1.800.000,00.

I.- r - i 12

' ............. r200.000 200.000

120.000

24T

1 20.000

III. à vista: 1.800.000,00

9 ) Na s itu a ç ã o a p re s e n ta d a n o te xto a c im a , o p re ço à v is t a d o g e ra d o r, e m re a is , c o rre s p o n d e n te a o p ia n o I, é ig u a i a

a) 200.000 x

b) 200.000 X

c) 200.000 X

12 x(0,04 xl,04u) 1,04’2 -1

1,04a-1 12x(0.04>c1104,:!}

1,041?~10,04

d) 200.000 x

e) 200.000 x

0,04x1,04' 1,04'3 -1

.1,0412 - 1 0,04 xl.041

S o lu çã o : (E)

O preço à vista V será o vaior atual da série de pagamentos.

V = 200.000 x a(l 2, 4 % )


10 ) C o n s id e ra n d o ( 1 ,0 4 )24 = 2 ,5 6 3 , é c o rre to a f irm a r q u e a d ife re n ç a e n tre o p re ço a v is t a d o g e ra d o r, em re a is , c o rre s p o n d e n te a o p la n o II e o p re ç o d o g e ra d o rn o p la n o III é a p ro x im a d a m e n te ig u a l a

a) R$ 7.496,68.b) R $ 12.996,68.c) R$ 18.496,68d) R$ 23.996,68e) R$ 29.496,68

S o lu çã o : (E)

li. V =120.000 xa{24, 4SQ1,04** -1V — 120.000 x-1,04 x0,04

53-12,563x0,04.............................0,10252

187560

V - 120.000 ......... V= 120.000 x 1,563

V -0,10252

V= 1.829.496,68 Diferença para o p l a n o I : 1.829.496,68 - 1.800.000 - 29.496,68


A u d ito r de F inanças e Con tro le - STN - 2005

1) M a rc o s d e s c o n t o u u m t í t u i o 4 5 d ia s a n te s d e s e u v e n c im e n t o e re c e b e u R$ 3 7 0 .0 0 0 ,0 0 . A taxa d e d e s c o n to co m e rc ia i s im p le s fo i d e 6 0 % a o a n o . A s s im , o v a lo r n o m in a l d o t ítu io e o v a lo r m a is p ró x im o d a ta xa e fe tiv a d a o p e ra çã o sã o , re s p e c tiv a m e n te , ig u a is a:

a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mêsb) R$ 400 .0 00,00 e 5,4% ao mêsc) RS 4 50 .0 00,00 e 64,8% ao anod) R$ 400 .0 00,00 e 60% ao anoe) RS 570.000,00 e 5,4% ao mês

S o iu çã o : (B)

t = 45 dias = l , 5 m ............. A = 370.000 ............... D ..................i « 60% a a = 5% a m.N - ? ...................ief = ? % a m

p% = j x t = 5 % x 1,5 = 7,5%D - 7,5% . N ...................A = 92,5% . N

370.000 = 92,5% . N ...............N = 400.000Com o ief > iD , só pode ser B a resposta.Calculando a taxa efetiva ief .A taxa efetiva a juros simples também pode ser calculada pela fórmula:

i _ 'o ef 1 - i 0xt'

Onde ÍD é taxa de desconto comercial, escrita na form a unitária..Assim ,

0,05

'e f_ 1-0,05x1,5 • 0.05’e f_ 0,925

icf = 0 ,054 = 5,4% a m.

2 ) Em u m a ca m p a n h a p ro m o c io n a l, o B a n co A a n u n c ia u m a ta xa d e ju r o s d e 6 0 % a o a n o co m c a p ita liza ç ã o s e m e s tra l. O B a n co B, p o r su a v e z , a n u n c ia u m a taxa d e ju r o s d e 3 0 % a o s e m e s tre c o m c a p ita liza ç ã o m e n s a l. A s s im , o s v a lo re s m a is p ró x im o s d a s taxas d e ju r o s e fe t iv a s a n u a is d o s B a n co s A e B sã o , re s p e c tiv a m e n te , ig u a is a:

a) 69 % e 60 % d) 60 % e 69 %b) 60 % e 60 % e) 120 % e 60 %c) 69 % e 79 %

S o lu çã o : (C)

A: i = 60% a a capitalização semestral = 30% a s.I = 7% a a................. f = 30% a s............... n = 2

1 + I - (1 + i)n 1 + I = 1, 32 I = 0,69 = 69% a a


B: i = 3 0 % a s capitalização mensaí — 5% a mI =?%aa........... i = 5% a m............n = 12

1 + i = 1,055 2 1 = 0,7959 = 79,59% a a

3 ) . C o n s id e re trê s títu lo s d e v a lo re s n o m in a is ig u a is a R$ 5 .0 0 0 ,0 0 , R$ 3 .0 0 0 ,0 0 eR$ 2 .0 0 0 ,0 0 . O s p ra z o s e a s ta xa s d e d e s c o n to b a n c á rio s im p le s sã o , re s p e c tiv a m e n te , trê s m e s e s a 6 % a o m ê s , q u a tro m e s e s a 9 % a o m ê s e d o is m e se s a 6 0 % a o a n o . D e s s e m o d o , o v a lo r m a is p ró x im o da ta xa m é d ia m e n s a l d e d e s c o n to é ig u a l a :

a) 7 % b) 6 % c) 6,67 % d) 7,5 % e) 8 %

S o lu çã o : (A)

5.000 ....... 6% a m.... .............. 3 m3.000 ....... 9% a m....................4 m2.000 ....... 60% a a ~ 5% a m......2 mA taxa média é a média ponderada das taxas, onde os pesos serão os produtos de cada capital pelos seus respectivos prazos.

■ „ 6%x5000 x3 + 9%x3000 x 4 + 5% x2000 x2 5000x3+3000x4+2000x2

im = 7% a m.

4 ) U m a p e s s o a c o n tra iu u m a d ív id a n o re g im e d e ju r o s c o m p o s to s q u e d e v e rá s e r q u ita d a e m trê s p a rc e la s . U m a p a rc e la d e R$ 5 0 0 ,0 0 v e n c ív e l n o f in a l d o te rce ir o m ê s ; o u tra d e R$ 1 .0 0 0 ,0 0 v e n c ív e l n o f in a l d o o ita v o m ê s e a ú lt im a , d e R$6 0 0 .0 0 v e n c ív e l n o fin a l d o d é c im o s e g u n d o m ê s. A ta xa d e ju r o s c o b ra d a pelo c r e d o r é d e 5 % a o m ê s . N o f in a l d o se x to m ê s o c lie n te d e c id iu p a g a r a d ív id a em u m a ú n ic a p a rce la . A s s im , d e s c o n s id e ra n d o o s c e n ta v o s , o v a lo r e q u iv a le n te a s e r p a g o se rá ig u a l a :

a) R$ 2.535,00b) R$ 2.100,00c)R$ 2.153,00d) R$ 1.957,00e) R$ 1.933,00

S o lu çã o : (E)500 {data 3) + 1.000 (data 8} + 600 (data 12)P (data 6) = ?...... - í = 5%am.

P

- 1

à <

|0*

y

3f

6"

500 1000 600

O pagamento P é equivalente à soma das parcelas a serem pagas. Adotando a data focal 12.

184 Série Q uestões: Matemática Financeira

P x 1,056 = 500 x 1,059 + 1.000 x 1,054 + 600 Px 1,340096 = 500 x 1,551328 + 1.000 x 1,215506 + 600 Px 1,340096 = 2.591,17

P= 1.933

5 ) U m a im o b iliá r ia co lo ca à v e n d a u m a p a rta m e n to p o r R $ 8 5 .0 0 0 ,0 0 à v is ta . C o m o a lte rn a tiv a , u m c o m p ra d o r p ro p õ e u m a e n tra d a d e R$ 1 5 .0 0 0 ,0 0 e m a is trê s p a rc e la s : d u a s ig u a is e u m a d e R$ 3 0 .0 0 0 ,0 0 . C a d a u m a d a s p a rc e la s v e n ce rá em u m p ra z o a c o n ta r d o d ia d a c o m p ra . A p r im e ira p a rce la v e n c e rá n o f i na l d o sexto m ê s. A s e g u n d a , c u jo v a lo r é de R $ 3 0 .0 0 0 ,0 0 , ve n c e rá n o fin a l d o d é c im o s e g u n d o m ê s , e a te rc e ira n o f in a i d o d é c im o o ita v o m ê s . A tra n s a ç ã o s e rá re a liza d a no re g im e d e ju r o s c o m p o s to s a u m a ta xa d e 4 % ao m ê s . Se a Im o b iliá r ia a ce ita r e s s a p ro p o s ta , e n tã o o v a io r d e cada u m a d a s d u a s p a rce la s ig u a is se rá :

a) RS 35.000,00b) R$ 27.925,00c) RS 32.500,00d) RS 39.925,00e) R$ 35.500,00

S o lu çã o : (D)

À vista: 85.000 .........i - 4% a m.entrada: 1 5.000 .............financiamento: 70.000

70.000

0'

6' '

12< '

18'

P 30.000 P

Adotando a data focal 18.P (data 6) + 30.000 (data 12) + P (data 18)

70.000 X 1,04,8 = P x 1,0412 + 30.000 x 1,046 + P70.000 x 2,02581 7-30.000 x l,265319 = Px 1,601032 +P 2, 601032 x P — 103.847,62

103.847,62 “ 2,601032

P = 39.925

6 ) N o d ia 10 d e s e te m b ro , A n a a d q u ir iu u m im ó v e l f in a n c ia d o e m 10 p a rc e la s m e n s a is e Ig u a is a R$ 2 0 .0 0 0 ,0 0 . A p r im e ira p a rce la v e n c e n o d ia 10 d e n o v e m b ro d o m e s m o a n o e as d e m a is n o d ia 10 d o s m e s e s s u b s e q u e n te s . A ta xa d e j u ro s c o m p o s to s co n tra ta d a fo i d e 6 0 ,1 0 3 2 % a o a n o . A s s im , o v a lo r f in a n c ia d o n o d ia 10 d e s e te m b ro , s e m c o n s id e ra r o s c e n ta v o s , fo i d e :

a) RS 1 55.978,00 d) RS 189.250,00b) RS 1 55.897,00 e) RS 1 78.1 50,00c) RS 162.217,00

ít

iELSEVIER !


S o iu çã o : (A)

1 = 60,1032% a a.......... 1,601032 = {1 + i}52........... i « 4 % a m.Considerando:

10 setembro: data 0 10 novembro: data 2.

à v. : V (data 0)Pagamentos: 20.000 (datas 2 a 11) (renda diferida)

V4<

0 h 2 11'r '

20.000 20.000

Cria-se um pagamento na data 1 com intenção de formar uma renda postecipada e, após, retira-se o vaior atual da renda criada.V = 20.000 [a(l 1, 4%) - a(l, 4%)]V - 20.000 [8,760477 - 0,961 538]V = 20.000 X 7,798939

V - 155.978

7 ) U m c a rro p o d e s e r f in a n c ia d o n o re g im e d e ju r o s c o m p o s to s em d o is p a g a m e n to s. U m a e n tra da de R$ 2 0 .0 0 0 ,0 0 e u m a parcela de R$ 2 0 .0 0 0 ,0 0 seis m eses após a entrada. U m c o m p ra d o r p ro p õ e co m o segun da parcela o va io r de R$ 1 7 .0 0 0 ,0 0 , q u e d e v e rá s e r p a g o o ito m e se s a p ó s a e n tra d a . Sab end o-se q u e a taxa c o n tra ta d a é d e 2 % a o m ê s , e n tã o , s e m c o n s id e ra r o s c e n ta v o s , o v a lo r d a e n tra d a d e v e rá s e r ig u a ! a :

a) R$ 23.455,00b) R$ 23.250,00c) R$ 24.580,00d) R S 25.455,00e) R$ 26.580,00

S o lu çã o : (S)

20.000 (data 0) + 20.000 (data 6)

20.000

6

y20.000

Ou,E (data 0)+ 17.000 (data 8)

YE 1 7.000


As alternativas são equivalentes à taxa i = 2 % a m.Adotando a data focal 8.20.000 X 1,028 + 20.000 x 1,022 = E X 1,028 + 17.00020.000 x 1,171659 + 20.000 x 1,0404 - 17.000 = E x 1,02*Ex 1,028 = 27.241,18

27241,18 1,171659

E = 23.250,00

8 ) A n a c o m p ro u , n o re g im e d e ju r o s c o m p o s to s , u m a p a rta m e n to f in a n c ia d o a u m a taxa d e 2 % a o m ê s . O a p a rta m e n to d e v e rá s e r p a g o e m 12 p re s ta ç õ e s m e n s a is ig u a is a R$ 8 .0 0 0 ,0 0 , v e n c e n d o a p r im e ira d e ia s 3 0 d ia s a p ó s a c o m p ra . A p ó s p a g a r a s é tim a p re s ta ç ã o , A n a re s o lv e u tr a n s fe r ir o c o n tra to d e c o m p ra p a ra B e a triz , q u e s e g u irá p a g a n d o a s p re s ta ç õ e s re s ta n te s . A s s im , p a ra a s s u m ir a d ív id a d e m o d o q u e n e n h u m a d a s d u a s se ja p re ju d ic a d a , B e a triz d e v e rá p a g a r a A n a , s e m c o n s id e ra r o s c e n ta v o s , o v a io r d e :

a) R$ 61.474,00b) R$ 51.775,00c) RS 59.474,00d) R$ 59.775,00e) R$ 61.775,00

S o iu çã o : (C)

i - 2 % a m .......... n = 12 (postecipadas)..........P = 8.000_ _ _

T8.000 8.000

Beatriz deve pagar o que foi pago por Ana.Pagamentos feitos por Ana:

8.0008.000

O total a ser pago, V, será o montante da renda postecípada formada pelos 7 pagamentos já efetuados.

V - 8.000xs(7, 2 % )

V = 8.000x7,434283V = 59.474


9 ) O p re ç o a v is t a d e u m im ó v e i é R$ 1 8 0 .0 0 0 ,0 0 . U m c o m p ra d o r p ro p õ e p a g a r 5 0 % d o p re ç o a v is t a e m 18 p re s ta ç õ e s m e n s a is ig u a is , v e n c ív e is a p a rt ir d o f i n a l d o p r im e iro m ê s a p ó s a c o m p ra , a u m a ta xa d e 3 % a o m ê s . O s 5 0 % re s ta n te s d o v a lo r à v is t a e le p ro p õ e p a g a r em 4 p a rc e ia s tr im e s tr a is ig u a is , v e n c ív e is a p a r t ir d o fin a l d o p r im e iro tr im e s tr e a p ó s a c o m p ra , a u m a ta xa d e 9 % a o t r im e s tre . D e ss e m o d o , o v a io r q u e o c o m p ra d o r d e s e m b o ls a rá n o fin a l d o s e g u n d o t r im e s tre , s e m c o n s id e ra r o s c e n ta v o s , s e rá ig u a l a:

a) R$ 34.323,00b) R$ 32.253,00c) RS 35.000,00d) RS 37.000,00e) RS 57.000,00

S o lu çã o : (A)

À vista: 180.00090.000 n = 18 (postecipadas, mensais)............i = 3 % a m

90.0001

0'

1' 1

18i

P, P,

90.000 = P, x a(l 8, 350 ..........P, = , " ■13,75351 3P, = 6.543

90.000 ......n = 4 (postecipadas, trimestrais).......... i = 9 % a t.

90.000j

0

1 ^---

------

------

------

------

------

------

----f

»

90.000 = P2 x a(4, 9 % ) ............P2 -* 3,239720

P2 - 27.780O totai a ser desembolsado no final do segundo trimestre será dado pela soma da sexta prestação do primeiro financiamento (Pj) com a segunda prestação do segundo financiamento (P2).Logo,

P, + P2 = 34.323


1 0 ) Em ja n e ir o de 2 0 0 5 , u m a e m p re s a a s s u m iu u m a d ív id a , c o m p ro m e te n d o -s e a li q u id á -la em d o is p a g a m e n to s . O p r im e iro d e R$ 2 .5 0 0 ,0 0 c o m v e n c im e n to p a rao fin a l d e fe v e re iro . O s e g u n d o d e R$ 3 .5 0 0 ,0 0 c o m v e n c im e n to p a ra o f in a l d e ju n h o . C o n tu d o , no v e n c im e n to d a p r im e ira p a rce la , nã o d is p o n d o d e re c u rs o s p a ra h o n rá -la , o d e v e d o r p ro p ô s u m n o v o e s q u e m a d e p a g a m e n to . U m p a g a m e n to d e R$ 4 .0 0 0 ,0 0 n o f in a l d e s e te m b ro e o s a ld o em d e z e m b ro d o c o rre n te a n o . S a b e n d o q u e a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s d a o p e ra çã o é d e 3 % a o m ê s , e n tã o , se m c o n s id e ra r os c e n ta v o s , o s a ld o a p a g a r em d e z e m b ro s e rá ig u a l a :

a) RS 2.168,00b) R$ 2.288,00c) RS 2.000,00d) R$ 3.168,00e) RS 3.288,00

S o lu çã o : (D)

Considerando que:início de janeiro 2.005 ............... data 0Final de dezembro de 2.005......data 12.

2.500 (final fevereiro = data 2) + 3.500 (final junho = data 6)

-õl— 2 6* ’f

2500 3500

ou4.000 (final setembro — data 9) + P (final de dezembro - data 12)

- d — i9 12< <

4000 P

i = 3% a mOs esquemas de pagamentos são equivalentes.Adotando a data focal 12,P 4-4.000 x 1,033 = 2.500 X 1,0310 + 3.500 X 1,036 P + 4.000 x 1,092727 = 2.500 x 1,343916 + 3.500 x 1.1 94052 P= 3.359,79 + 4.179,18-4.370,91

P- 3.168


A u d ito r Federa! da Receita Federai do B ras il - AFRFB - 2005

1) A n a q u e r v e n d e r u m a p a rta m e n to p o r R$ 4 0 0 .0 0 0 ,0 0 à v is t a o u f in a n c ia d o peio s is te m a d e ju r o s c o m p o s to s a ta xa d e 5 % a o s e m e s tre . P a u lo está in te re s s a d o em c o m p ra r e sse a p a rta m e n to e p ro p õ e a A n a p a g a r o s R$ 4 0 0 .0 0 0 ,0 0 em d u a s p a rc e ia s Ig u a is , co m v e n c im e n to s a c o n ta r a p a rt ir d a c o m p ra . A p r im e ira p a r- ceia c o m v e n c im e n to em 6 m e se s e a s e g u n d a c o m v e n c im e n to em 18 m e s e s. Se A n a a c e ita r a p ro p o s ta d e P a u lo , e n tã o , se m c o n s id e ra r o s c e n ta v o s , o v a lo r d e cad a u m a d a s p a rc e la s s e rá ig u a i a :

a) R$ 220.237,00 d) R$ 275.412,00b) R S 230.237,00 e) RS 298.654,00c) RS 242.720,00

S o lu çã o : (A)

À vista: 400.000 .......... i = 5% a s.P (6 meses = data 1) + P (1 8 meses = data 3)

400.0000

Adotando a data focai 3.400.000 x 1,053 - P + P x 1,052400.000 x 1,157625 = P + Px 1,1025

2,1025 x P = 463.050............ P » 463-0502,1025P = 220.237

2 ) U m a casa p od e s e r financiada em do is pagam entos. U m a entrada de R$ 1 5 0 .0 0 0 ,0 0 e u m a p a rce la de R$ 2 0 0 .0 0 0 ,0 0 s e is m e s e s a p ó s a e n tra d a . U m c o m p ra d o r p r o p õ e m u d a r o e s q u e m a d e p a g a m e n to s p a ra s e is p a rc e la s ig u a is , s e n d o a p r im e ira p a rc e la p a g a n o a to d a c o m p ra e as d e m a is v e n c ív e is a cad a tr im e s tre . Sab e n d o -s e q u e a ta xa c o n tra ta d a é d e 6 % a o t r im e s tre , e n tã o , se m c o n s id e ra r o s ce n ta v o s , o v a io r d e .c a d a u m a d a s p a rc e ia s s e rá Ig u a l a:

a) RS 66.131,00 d) RS 70.240,00b) RS 64.708,00 e) R$ 70.140,00c) R$ 62.927,00

S o lu çã o : (C)

i = 6% a t.1 50.000 (data 0) 4* 200.000 (data 2)


150.000 200.000

Ou,(trimestrais, antecipados) 6 x P

Os dois sistemas são equivalentes, adotando a data focai 5.P x s(6, 6 % ) = 1 50.000 x 1,065 + 200.000 x 1,063

Px 6,975319 = 150.000 x 1,338226 + 200.000 x 1,191016

Px 6,975319-438.937,10 ................. P =

P = 62.927

438,937,10 6,975319

3 ) U m a em p re sa a d q u iriu de seu fo rn e c e d o r m ercad orias no v a lo r d e R$ 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 p a g a n d o 3 0 % a v is ta . N o c o n tra to d e fin a n c ia m e n to r e a liz a d o n o re g im e d e ju r o s c o m p o s to s , f ic o u e s ta b e le c id o q u e p a ra q u a lq u e r p a g a m e n to q u e f o r e fe tu a d o a té s e is m e s e s a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s se rá d e 9 ,2 7 2 7 % a o tr im e s tre . P ara q u a lq u e r p a g a m e n to q u e f o r e fe tu a d o a p ó s s e is m e s e s , a ta xa d e j u ro s c o m p o s to s s e rá d e 4 % a o m ê s . A e m p re s a re s o lv e u p a g a r a d iv id a em d u a sp a rc e la s . U m a p a rce la d e R$ 3 0 .0 0 0 ,0 0 n o f in a l d o q u in to m ê s e a s e g u n d a p a r cela d o is m e se s a p ó s o p a g a m e n to d a p r im e ira . D e ss e m o d o , o v a io r d a s e g u n d a p a rce la , se m c o n s id e ra r o s c e n ta v o s , d e v e rá s e r ig u a l a:

a) R$ 62.065,00 d) R$ 60.120,00b) R$ 59.065,00 e) R$ 58.065,00c) R$ 61.410,00

S o lu çã o : (E)

100.000 .............. 30.000 (à vista) + 70.000 (financiados)I = 9,2727% a t.

l+ l = (l+i)n.............. 1,092727 = (l+i)3i = 3% a m.

Pagamentos: 30.000 (5o mês) + P (7o mês)

70.000

0 i5 r30.000 P


A dotando a data focal 0.

70.000 = + A -1,03 1,04

70.000 = 30.000 x 0,86251 + P x 0,75992 (tabela IV)70.000 - 25.875,30 = P X 0,75992 0,75992 x P = 44.124,70

P= 58.065

4 ) O v a lo r n o m in a l d e u m a d ív id a é ig u a l a 5 v e z e s o d e sc o n to ra c io n a l c o m p o s to , ca so a a n te c ip a çã o se ja d e d e z m e s e s. S a b e n d o -se q u e o v a lo r a tu a l da d ív id a (v a lo r d e re s g a te ) é d e R$ 2 0 0 .0 0 0 ,0 0 » e n tã o o v a lo r n o m in a l d a d ív id a , sem c o n s id e ra r o s c e n ta v o s , é ig u a i a :

a) RS 230.000,00b) R$ 250.000,00c) R$ 330.000,00d) R$ 320.000,00e) RS 310.000,00

S o iu çã o : (B)

d: desconto racional composto.N = 5 d...............t = 10 meses..............A = 200.000A= N ~d, mas d = ~

N 4 N200.000 = N - ...................= 200.0005 5

N = 250.000

5 ) Em ja n e ir o d e 2 0 0 5 , u m a e m p re s a a s s u m iu u m a d ív id a n o re g im e d e ju r o s c o m p o s to s q u e d e v e ria s e r q u ita d a em d u a s p a rc e ia s , to d a s co m v e n c im e n to d u ra n te o a n o d e 2 0 0 5 . U m a p a rce ia d e R$ 2 .0 0 0 ,0 0 co m v e n c im e n to n o f in a l d e ju n h o e o u tra d e R$ 5 .0 0 0 ,0 0 co m v e n c im e n to n o fin a i d e s e te m b ro . A taxa d e ju r o s c o b ra d a p e io c r e d o r é d e 5 % a o m ê s . N o f in a i d e fe v e re iro , a e m p re s a d e c id iu p a g a r 5 0 % d o to ta i d a d ív id a e o re s ta n te n o fin a l d e d e z e m b ro d o m e s m o a n o . A s s im , d e s c o n s id e ra n d o o s c e n ta v o s , o v a lo r q u e a e m p re s a d e v e rá p a g a r n o f in a i d e d e z e m b ro é Ig u a i a :

a) R$ 4.634,00b) RS 4.334,00c) R$ 4.434,00d) R$ 4.234,00e) R$ 5.234,00

S o lu çã o : (D)

Dívida: janeiro/05 (data 0)Pagamentos: 2.000 em junho/05 (data 6) + 5.000 em setembro/05 (data 9)i = 5% a mP: pagamento efetuado ao finai de fevereiro (data 2)


2.000 5.000

P, corresponde a 50% da dívida, ou seja, ao pagamento de 50% das parcelas de 2.000 e5.000, descapitalizadas. Com isso, o restante da dívida que deverá ser paga na data 12, será dado pela capitalização das parceías devedoras.

6 ) E d g a r p re c is a re s g a ta r d o is títu lo s . U m n o v a lo r d e R$ 5 0 .0 0 0 ,0 0 c o m p r a z o d e v e n c im e n to d e d o is m e s e s, e o u tro d e R$ 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 c o m p r a z o d e v e n c im e n to d e trê s m e s e s. N ã o te n d o co n d iç õ e s d e re s g a tá -lo s n o s re s p e c tiv o s v e n c im e n to s , E d g a r p ro p õ e a o c re d o r s u b s t itu ir o s d o is t ítu lo s p o r u m ú n ic o , c o m v e n c im e n to e m q u a tro m e se s.

S a b e n d o -se q u e a ta xa d e d e s c o n to c o m e rc ia l s im p le s é d e 4 % ao m ê s , o v a lo r n o m in a l d o n o v o t ítu lo , s e m c o n s id e ra r o s c e n ta v o s , s e rá ig u a l a:a) R S 1 59.523,00 d) R$ 1 62.220,00b) R$ 1 59.562,00 e) R$ 163.230,00c) R$ 162.240,00

S o lu çã o : (A)

Compromissos: 50.000 (2 meses) + 100.000 (3 meses)Proposta: P (4 meses)

1.000 1.500

Na data 12, o pagamento P2 será de: P2 = 1.000 x 1,056 + 2.500 x 1,053p2 = 4.234

P

50.000 100.000

D...........N= 50.000

i = 4%am. .............data foca! 0p % = i x t = 4 % x 2 = 8 %

A = 92% . 50.000 = 46.000

N - 100.000 ,p% = i x t = 4 % x 3 = 12%A = 88% . 100.000 - 88.000

1


N = P........................p% = i x t - 4% x 4 « 16%A = 84%.P

0,84 P = 46.000 + 88.000 ............... P = 1 34'°°-0,84P= 159.523

7 ) (A d a p ta d o ) P a u lo a p lic o u p e lo p ra z o d e u m a n o a q u a n tia to ta l d e R$ 5 0 .0 0 0 ,0 0 em d o is b a n c o s d ife re n te s . U m a p a rte d e ss a q u a n tia f o i a p lic a d a n o Banco A , à ta xa d e 3 % a o m ê s . O re s ta n te d e s s a q u a n tia fo i a p lic a d o n o B anco B, à taxa d e 4 % ao m ê s . A p ó s u m a n o , P a u io v e r if ic o u q u e os v a lo re s f in a is d e cad a u m a d a s a p lica çõ e s e ra m ig u a is . D e ste m o d o , o v a lo r a p lic a d o n o B anco A e n o B anco B, se m c o n s id e ra r o s c e n ta v o s , fo ra m , re s p e c tiv a m e n te ig u a is a:

a) RS 21.948,00 e RS 28.052,00b) R$ 23.256,00 e R$ 26.744,00c) R S 26.589,00 e RS 23.411,00d) R$ 27.510,00 e R$ 22.490,00e) RS 26.447,00 e R$ 23.552,00

S o lu çã o : (£)

A: C....................i=3Xam........... t = 12 meses.B: 50.000 - C ....... i=45áam.......... t = 12 meses.Os montantes das aplicações são iguais.Cx 1,0312 = (50,000 - C) x 1,0412 C x 1,425761 = 50.000 x 1,601032 - x C 1,601032

C x 3,026793 = 80.051,60

C - 26.447

c _ 80051,603,026793

8 ) U m b a n co d e se ja o p e ra r a u m a ta xa e fe tiv a d e ju r o s s im p le s d e 2 4 % a o tr im e s tre p a ra o p e ra ç õ e s d e c in c o m e s e s . D e ste m o d o , o v a lo r m a is p ró x im o d a taxa d e d e s c o n to c o m e rc ia l tr im e s tr a l q u e o b a n co d e v e rá c o b ra r em s u a s o p e ra ções d e c in co m e se s d e v e rá s e r ig u a l a:

a) 19%. d) 22%.b) 18,24%. e) 24%.c) 17,14%.

S o iu çã o : (C)

i = 24% a t. = 8% a m. (taxa efetiva mensal) t = 5 mesesiD: taxa mensal de desconto comercial

*ef 1 - ín Xí

0,08 - — — ................. j = 0,05714 = 5,714% a m.1-/0x5Taxa trimestral: 5,714% x 3 = 1 7,14% a t.

194 Série Q u estõ es: Matemática Financeira ELSEVIER

Técnico da Receita Federal - TRF - T e cn o lo g ia da in fo rm ação - 2006

1) M e tade d e u m c a p ita l fo i a p lic a d a a ju r o s c o m p o s to s à ta xa d e 3 % a o m ê s p o r um p ra z o d e s e is m e se s e n q u a n to o re s ta n te d o c a p ita l fo i a p lic a d o à ta xa d e 3 % a o m ê s , ju r o s s im p le s , n o m e s m o p e r ío d o d e s e is m e s e s . C a lc u le o v a lo r m a is p ró x im o d e s te c a p ita i, d a d o q u e a s d u a s a p lica çõ e s ju n t a s re n d e ra m u m ju r o d e R$ 8 .2 2 9 ,1 4 a o f im d o p ra z o .

a) RS 22.000,00b) RS 31.000,00c) R$ 33.000,00d) RS 40.000,00e) RS 44.000,00

S o lu çã o : (E)

2C: capital totalC ........... Juros simples......... i = 3Sáam.................. t = 6 meses

p% = i x t = 3% x 6 = 18%J= 18%. C .......... J = 0,18 x C

C............ .Juros compostos...... i * 3% a m.................t = 6 meses.J «C [ 1,036- 1].........J -C (1,194052 - 1)J = 0,194052 xC

Juro total: 8.229,14 0,18 xC + 0,194052 xC = 8.229,140,374052 x C * 8.229,14 ..............C « 22.000Capital total: 2C - 44.000,00

2 ) In d iq u e q u a l o v a io r m a is p ró x im o d a ta xa e q u iv a le n te à ta xa n o m in a l d e 3 6 % a o a n o c o m c a p ita liza ç ã o m e n s a l.

a) 2,595% ao mês.b) 19,405% ao semestre.c) 18% ao semestre.d) 9,703% ao trimestre.e) 5,825% ao bimestre.

S o iu çã o : (B)

i = 36% a a capitalização mensal = 3% a m.I: taxa equivalente semestral.

1 + I - (1 + i)n1 + I - 1,0361 + 1 = 1,194052 .............. 1 = 0,194052 (taxa semestral unitária)

I = 19,4052% a s. (taxa percentual)

3 ) U m a em presa especializada desconta u m cheq ue n o v a io r no m in a l de R$ 1 0.00 0,00 trê s m e s e s a n te s d o s e u v e n c im e n to p o r m e io d e u m d e s c o n to ra c io n a l c o m p o s to c a lc u la d o à ta xa d e 4 % a o m ê s . C a lc u le o v a lo r m a is p r ó x im o d o v a lo r d o d e sc o n to .


a) R$ 1.090,00b) R$ 1.100,00c) R$ 1.110,00d) R$ 1.200,00e) R$ 1.248,00

S o lu çã o : (C)

N - 10.000 ..............t = 3 meses.........i = 4 % a m. (desconto racionai composto)d = ?No desconto racionai, o valor nominal é o montante do valor atual: N = A x (1 + i)n.

10.000 = Ax 1,043 ................. A = 00 ■1,124864A - 8.889,96 .............d = N - A .................d = 10.000 - 8.889,96

d = 1 .110,00

4 ) C a lc u le o v a io r m a is p ró x im o d o v a lo r a tu a i n o in íc io d o p r im e iro p e r ío d o d a seg u in te s é rie d e p a g a m e n to s , ca d a u m r e la t iv o a o f im d e cad a p e río d o , à taxa d e ju r o s c o m p o s to s d e 1 0 % ao p e río d o .

Período 1 2 3 4 5 6 7 8Valor 3.000 2.000 2.000 2.000 1.000 1.000 1.000 1.000

a) 11.700b) 10.321c) 10.094d) 9.715e) 9.414

S o lu çã o : (E)

AA

0 1

3000

|2 I 3 l4 i5-,-*1 T y * 1000 12000 2000 2000

Valor atual na data 0 = ?........... i = 10% ao período.Vamos calcular o valor da série na data 1 e após, descapitalizamos esse valor para a data 0. Como a série não é uniforme, vamos transformá-la em duas séries uniformes.1)


A, = 3.000 + 1.000 x a(7, 10%) A, = 3.000 + 1.000 x 4,868419 A, - 7.868,42.

2)

A2 - 1.000 x a(3, 10%)A2 = 1.000 x 2,486852 A2 = 2.486,85

Valor atua! da série na data 1: A, + A2 = 7.868,42 + 2.486,85 - 10.355,27O valor atua! A, na data 0, é obtido descapitalizando o valor atuai calculado na data 1.

. 10355,27ü

A = 9.414,00

5 ) In d iq u e q u a l o ca p ita l q u e a p lic a d o a ju r o s s im p le s à taxa d e 3 ,6 % a o m ê s re n d e R$ 9 6 ,0 0 em 4 0 d ia s .

a) RS 2.000,00b) RS 2.100,00c) RS 2.120,00d) RS 2.400,00e) RS 2.420,00

S o lu çã o : (A)

C — ? .......... i = 3,6% a m, (juros simples).......... j = 96,00

4t = 40 dias = — meses.3p% « i x t - 3,6% x | = 4,8%.

J = 4,8% x C .............. 96 « 0,048 x CC = 2.000,00

6 ) U m c a p ita l d e R$ 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 é a p lic a d o a ju r o s c o m p o s to s à ta xa d e 1 8 % ao se m e s tre . C a lc u le o v a lo r m a is p ró x im o d o m o n ta n te a o f im d e q u in z e m e se s u s a n d o a c o n v e n ç ã o lin e a r.

a) RS 1 50.108,00 d) RS 1 52.223,00b) RS 1 51.253,00 e) RS 1 52.510,00c) RS 151.772,00


C = 100.000 ............ i - 18% a s.................. t = 1 5 mesesM = ? (convenção linear)t = 1 5 meses = 2 semestres e 3 meses.............n = 2eq = - = 0,5.

6JC: fator: 1,182 = 1,3924JS: p % = i x t« 189á x 0,5 = 9%........... fator: 1,09

M — 100.000 x 1,3924 x 1,09 M= 151.771,60

7 ) D e se jo tro c a r u m a a n u id a d e d e o ito p a g a m e n to s m e n s a is d e R$ 1 .0 0 0 ,0 0 v e n ce n d o o p r im e iro p a g a m e n to a o f im d e u m m ê s p o r o u tra a n u id a d e e q u iva le n te d e d e ze s s e is p a g a m e n to s v e n c e n d o ta m b é m o p r im e iro p a g a m e n to ao f im d e u m m ê s . C a lc u le o v a lo r m a is p ró x im o d o v a lo r d o p a g a m e n to m e n s a l d a se g u n d a a n u id a d e c o n s id e ra n d o a taxa d e ju r o s c o m p o s to s d e 3 % a o m ê s .

a) R$ 500,00b) R$ 535,00c) R$ 542,00d) R$ 559,00e) RS 588,00

S o lu çã o : (D)

S o lu ç ã o : (C)

■ l 11000 1 c

....[...........................

2

T00 10 o

<---

---O

00

o !

11

12 16

P P P

i = 35áam.Como as anuidades são equivalentes, têm o mesmo valor atuai quando comparadas em uma mesma data (data focal).Adotando a data foca! 0.1.000 x a(8, 39á) = Px a(l 6, 3 % )

1.000 x 7,019692 = Px 12,5611027.019,692

” 12,561102P= 558,84.

8 ) T r ê s c a p ita is n o s v a lo re s re s p e c tiv o s d e 1 0 0 , 2 5 0 e 1 50 s ã o a p lic a d o s a ju r o s s im p le s n o m e s m o p r a z o às ta xa s d e 3 % , 4% e 2% a o m ê s , re s p e c tiv a m e n te . O b te n h a a taxa m é d ia m e n s a i d e a p iica çã o d e ss e s c a p ita is .


a) 3,4%b) 3,2%c) 3,0%d) 2,8%e) 2,6%

So lu çã o : (B)

C, = 100......... t ...........i, *= 3% a m.C2 = 250 .......... t .......... *2 - 4% a m.C3 = 150........... t ..........i3 = 2% a m..Taxa média mensal — ?A taxa média mensal (im) é a média ponderada das taxas, onde os pesos serão os capitais.

3% *100+ 4% x 250+ 2% x] 50 'm 100 + 250+50

• - 1-600°» ’m 500

im = 3,2% a m.

9 ) U m a p e s s o a a p lic a u m ca p ita i u n itá rio re c e b e n d o a d e v o lu ç ã o p o r m e lo d e u m a a n u id a d e fo rm a d a p o r d o z e p a g a m e n to s s e m e s tra is , c o m o p r im e iro p a g a m e n to s e n d o re c e b id o ao f im d e s e is m e s e s, a u m a ta xa d e j u r o s c o m p o s to s d e 1 0 % ao s e m e s tre . A d m it in d o q u e ela c o n s ig a a p lic a r r a d a p a rce ia re ce b id a s e m e s tra lm e n te a u m a ta xa d e ju r o s c o m p o s to s d e 1 2 % a o s e m e s tre , q u a l o v a io r m a is p ró x im o d o m o n ta n te q u e e la te rá d is p o n ív e l a o f im d o s d o z e s e m e s tre s ?

a) 2,44b) 2,89c) 3,25d) 3,54e) 3,89

S o lu çã o : (D )

Devolução da aplicação inicial de valor unitário: A = 1

í = 10% a s.1 =Pxa(12, 10%) P = . 1

6,813692


Nova aplicação.

MJ

ík

0- |1 2 12T 1t

P P P

i = 1 2 % a s.M - P x s ( 1 2 , 1230

M « —— x 24,1331336,81 3692

10 ) U m in d iv íd u o d e v ia R$ 1 .2 0 0 ,0 0 trê s m e se s a trá s . C a lc u ie o v a io r d a d ív id a h o je c o n s id e ra n d o ju r o s s im p le s a u m a ta xa d e 5% a o m ê s , d e s p re z a n d o o s c e n ta v o s .

a) RS 1380,00b) R$ 1.371,00c) RS 1.360,00d) RS 1.349,00e) R$ 1.344,00

S o lu çã o : (A)

C = 1.200.......... t = 3 meses............ i = S!áam. (juros simpies)p % = i x t = 5 % x 3 - 1 5%M = 1.200x 1,15 M - 1.380,00

Tabelai Financeiras

Fator de Acumulação de Capitai

d + ir ; ; j : 3%:; V 4%. ; 8% . • 9% 10% -.12% 5% ; 18% •

& ' P1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 1,120000 1,150000 1,180000

' 2 : 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 1,254400 1,322500 1,392400

l i# 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 1,404928 1,520875 1,643032

MM 1,040604 1,082432 1,125509 1,169859 1,215506 1,262477 1,310796 1,360489 1,411582 1,464100 1,573519 1,749006 1,938778

11113 1,051010 1,104081 1,159274 1,216653 1,276282 1,338226 1,402552 1,469328 1,538624 1,610510 1,762342 2,011357 2,287758

1ÈM 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340096 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 1,973823 2,313061 2,699554ip ? 1,072135 1,148686 1,229874 1,315932 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 2,210681 2,660020 3,185474

1,082857 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992563 2,143589 2,475963 3,059023 3,758859'■9; 1,093685 1,195093 1,304773 1,423312 1,551328 1,689479 1,838459 1,999005 2,171893 2,357948 2,773079 3,517876 4,435454

1,104622 1,218994 5,343916 1,480244 1,628895 1,790848 1,967151 2,158925 2,367364 2,593742 3,105848 4,045558 5,233836

if«: 1,1 15668 1,243374 1,384234 1,539454 1,710339 1,898299 2,104852 2,331639 2,580426 2,8531 17 3,478550 4,652391 6,1759261,126825 1,268242 1,425761 1,601032 1,795856 2,012196 2,252192 2,518170 2,812665 3,138428 3,895976 5,350250 7,2875931,138093 1,293607 1,468534 1,665074 1,885649 2,132928 2,409845 2,719624 3,065805 3,452271 4,363493 6,152788 8,5993591,149474 1,319479 1,512590 1,731676 1,979932 2,260904 2,578534 2,937194 3,341727 3,797498 4,887112 7,075706 10,147244

;;\iy 1,160969 1,345868 1,557967 1,800944 2,078928 2,396558 2,759032 3,172169 3,642482 4,177248 5,473566 8,137062 U,973748:,16A; 1,172579 1,372786 1,604706 1,872981 2,182875 2,540352 2,952164 3,425943 3,970306 4,594973 6,130394 9,357621 14,129023

17 1,184304 1,400241 1,652848 1,947900 2,292018 2,692773 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 6,866041 10,761264 16,672247í 8. 1,196147 1,428246 1,702433 2,025817 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 7,689966 12,375454 19,673251

' ' 19 ■1,208109 1,456811 1,753506 2,106849 2,526950 3,025600 3,616528 4,315701 5,141661 6,115909 8,612762 14,231772 23,214436■"'20V.— •• •" 1,220190 1,485947 1,806111 2,191123 2,653298 3,207135 3,869684 4,660957 5,60441 1 6,727500 9,646293 16,36653727,393035

I*

Fator de Valor Atual de uma Série de Pagamentos

a (n , 1) : .. w m .!■. tf ííiF'.'.' . I l i S I S i t l,v'*.-j:'■ J . , ......

15% ,18%.,0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 0,892857 0,869565 0,847458

m : 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,73553 7 1,690051 1,625709 1,5656422,940985 2,883883 2,82861 1 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 2,401831 2,283225 2,174273

mà 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 3,037349 2,854978 2,690062

m 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787 3,604776 3,352155 3,1271715,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766540 4,622880 4,485919 4,355261 4,111407 3,784483 3,4976036,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419 4,563757 4,160420 3,8115287,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926 4,967640 4,487322 4,0775668,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 5,328250 4,771584 4,3030229,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567 5,650223 5,018769 4,49408610,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886875 7,498674 7,138964 6,80519} 6,495061 5,937699 5,233712 4,65600511,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863252 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692 6,1943 74 5,420619 4,793225

VÍ;3SÍ 12,133740 11,348374 10,634955 9,985648 9,393573 8,852683 8,357651 7,903 776 7,486904 7,103356 6,423548 5,583147 4,90951313,003703 12,106249 11,296073 10,563123 9,898641 9,294984 8,745468 8,244237 7,786150 7,366687 6,628168 5,724476 5,00806213,865053 1 2,849264 11,937935 1 1,1 18387 10,379658 9,712249 9,107914 8,559479 8,060688 7,606080 6,810864 5,847370 5,09)57814,717874 1 3,577709 12,561102 11,652296 10,837770 10,105895 9,446649 8,851369 8,312558 7,823709 6,973986 5,954235 5,162354

mu 15,562251 14,291872 13,166118 12,165669 11,274066 10,477260 9,763223 9,121638 8,543631 8,021553 7,1 19630 6,047161 5,222334

ms. 16,398269 14,99203? 13,753513 12,659297 11,689587 10,827603 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 7,249670 6,127966 5,2731641 7,226008 15,678462 14,323799 13,133939 12,085321 11,158116 10,335595 9,603599 8,950115 8,364920 7,365777 6,198231 5,31624118,045553 16,351433 14,877475 13,590326 12,462210 11,469921 10,594014 9,818147 9,128546 8,513564 7,469444 6,259331 5,352746

Fator de Acumulação de Capitai de uma Série de Pagamentos

s (n , 1) , i% : ■8% ■■ 9% 10% . 12%' : ]s% : 18%

1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000 2,120000 2,150000 2,! 80000

3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000 3,374400 3,472500 3,572400

4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,64! 000 4,779328 4,993375 5,215432

1SII 5,101005 5,204040 5,309136 5,416323 5,525631 5,637093 5,750739 5,86660! 5,98471 1 6,105100 6,352847 6,742381 7,154210

•• 6 ' 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975319 7,153291 7,335929 7,523335 7,715610 8,115189 8,753738 9,441968

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I l i l S 8,28567! 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,259803 10,636628 1 1,028474 11,435888 12,299693 13,726819 15,326996

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S®!H11,566835 12,168715 12,807796 13,486351 14,206787 54,971643 15,783599 16,645487 17,560293 18,531167 20,654583 24,349276 28,755144

§l$|l12,682503 13,412090 14,192030 15,025805 15,917127 16,869941 5 7,888451 18,977126 20,140720 21,384284 24,133133 29,001667 34,931070

.;13\:: 13,809328 14,680332 15,617790 16,626838 17,712983 18,882138 20,140643 21,495297 22,953385 24,522712 28,029109 34,351917 42,218663

1‘Mll 14,947421 15,973938 17,086324 18,291911 5 9,598632 21,015066 22,550488 24,214920 26,019189 27,974983 32,392602 40,504705 50,818022

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; 1.6 17,257864 18,639285 20,156881 21,82453! 23,657492 25,672528 27,888054 30,324283 33,003399 35,949730 42,753280 55,717472 72,939014

■SiSi 18,430443 20,012071 21,761588 23,697512 25,840366 28,212880 30,840217 33,750226 36,973705 40,544703 48,883674 65,075093 87,068036

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5 ■' 0,95147 . 0,90573 0,86251 0,82193 0,78353 0,74726 0,71299 0,68058 0,64993 0,62092

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Matemática Financeira - 2º Edição - Ano 2006

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