MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Introdução
A Matemática Financeira teve seu início exatamente quando o homem criou os conceitos de Capital, Juros, Taxas e Montante. Daí para frente, os cálculos financeiros tornaram-se mais justos e exatos, mas é preciso conhecê-los, se possível muito bem.
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Tópicos
Regime de Juros Simples Método Hamburguês Desconto de Duplicatas Juros Compostos Fluxo de Caixa Taxa Nominal x Taxa Efetiva Série Uniforme de Pagamentos Valor Presente Líquido Taxa Interna de Retorno
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Conceitos
Capital (C ou PV) é o valor – normalmente dinheiro – que você pode aplicar ou emprestar. Também chamado de Capital Inicial ou Principal, representado pela letra “C” ou “PV” (Valor Presente – abreviação das palavras correspondentes em inglês a Present Value. Adotaremos “PV”).
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Conceitos
JURO é a remuneração do capital empregado.
Para o INVESTIDOR: é a remuneração do investimento
Para o TOMADOR: é o custo do capital obtido por empréstimo
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Conceitos
TAXA DE JUROS: é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc.)
Esse período é representado pela letra “n” ou “t”.
Taxa percentual: 34% ao mês Taxa unitária: 0,34 ao mês
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Conceitos
MONTANTE (M) ou VALOR FUTURO (FV – abreviação das palavras correspondentes em inglês a Future Value) é o capital inicial acrescido do rendimento obtido durante o período de aplicação e representado pela letra “M” ou “FV”, ou seja:
M = C + J ou FV = PV + J
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Regime de Juros
Existem dois regimes de juros: A) simples B) compostos
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Juros Simples
No regime de juros simples, a taxa incide sobre o capital inicial aplicado, sendo proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação.
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Juros Simples
Exemplo 1: Para um capital de $ 100.000, aplicado à taxa de 10% ao mês, durante 3 meses, teríamos:
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n PV J juros acumulados Montante (PV+J)10%
0 100.000 0 0 100.0001 100.000 10.000 10.000 110.0002 100.000 10.000 20.000 120.0003 100.000 10.000 30.000 130.000
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Juros Simples
Dedução da fórmula: J = PV x i
100
Para os juros acumulados: J = PV . i . n
100
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Juros Simples
Se: FV = PV + J, temos FV = PV + PV . i . n
100 Assim: FV = PV (1 + i . n)
100
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Juros Simples
Os juros simples têm crescimento constante ao longo do período de aplicação.
Os juros simples podem ser: Exatos: calendário civil (365 ou 366
dias) Ordinários: calendário comercial
(mês 30 dias, ano de 360 dias)
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Juros Simples
Exemplo 2: O Sr. Theobaldo aplicou $ 50.000, a juros simples de 5% ao mês, por 90 dias. Quanto rendeu sua aplicação? Quanto resgatou?
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Juros Simples
Observe que o período da aplicação está em dias e taxa ao mês. Nesse caso precisamos transformá-los para mesma periodicidade, ou seja, ou passamos a taxa ao dia (dividindo-a por 30) ou encontramos o número de meses que temos em 90 dias (dividindo por 30). Vamos transformar “n” em meses:
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Juros Simples
n = 90 / 30 = 3 meses Aplicando na fórmula: J = 50.000 x 5 x 3
100 J = 7.500 FV = 50.000 + 7.500 FV = 57.500
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Juros Simples
Contas garantidas e o Método Hamburguês
Como calcular os juros sobre as contas garantidas de pessoas jurídicas, ou mesmo sobre contas de cheques especiais de pessoas físicas?
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Juros Simples
Essas contas são, na realidade, formas de crédito rotativo nas quais são definidos limites máximos para utilização de recursos. O cliente saca a descoberto e juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado.
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Juros Simples
Na maioria dos bancos, os encargos financeiros sobre os saldos devedores são calculados por capitalização simples, através do denominado “Método Hamburguês”.
Por este método, os juros devidos são calculados da seguinte forma: multiplica-se a taxa de juros pelo produto do saldo devedor e da quantidade de dias que esses valores tenham permanecido devedores.
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Juros Simples
Exemplo 3: O Sr. João Oliveira mantém um cheque especial no Banco Millenium, com de limite de $ 25.000. Ao final do mês de abril/96, o Banco expede um extrato com a movimentação financeira naquele mês. Sabendo-se que os encargos eram de 12% ao mês, determinar o total a ser pago pelo Sr. João.
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Juros Simples
Data Histórico Débito ou Crédito Saldo (D/C)$ $
01/04/96 Saldo anterior 0 2.250,00 C03/04/96 Cheque 10.000,00 D -7.750,00 D08/04/96 Débito automático 5.250,00 D -13.000,00 D10/04/96 Depósito On line 14.000,00 C 1.000,00 C24/04/96 Saque 1.500,00 D -500,00 D29/04/96 Transferência on line 2.500,00 D -3.000,00 D
Extrato de Movimentação Financeira
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Juros Simples
Data Saldo (D/C) $ Número de dias a A x BA descoberto (B)
01/04/96 2.250,00 0 003/04/96 -7.750,00 5 38.750,00 08/04/96 -13.000,00 2 26.000,00 10/04/96 1.000,00 0 024/04/96 -500,00 5 2.500,00 29/04/96 -3.000,00 1 3.000,00
Total 70.250,00
Tabela para Cálcudo dos juros a serem pagos
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Juros Simples
Juros = 70.250 x 0,12/30 Juros = $ 281,00
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Descontos
Conceito: a chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual.
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Descontos
Fórmula: D = FV – PV Onde: D = valor monetário do desconto FV = Valor Futuro (Valor de Face) PV = Valor Presente (Valor creditado
ou pago ao seu titular)
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Descontos
O critério mais utilizado pelo mercado é o chamado desconto simples, que envolve cálculos lineares, com um detalhe: o taxa no período incide sobre o valor futuro e não sobre o valor presente (como são as demais operações)
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Descontos
Conhecido no mercado financeiro como desconto bancário ou comercial, o desconto simples é obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:
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Descontos
D = FV x i x n Onde: D = Valor do Desconto ($) FV = Valor Futuro ou de Face i = taxa de desconto n = o prazo
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Descontos
Para se obter o chamado valor descontado (ou valor presente), basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:
PV = FV - D
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Descontos
Assim, temos as duas fórmulas básicas:
D = FV x i x n PV = FV - D
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Descontos
Exemplos: 1- Qual o valor do desconto simples de um
título de $ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês?
Dados: FV = 2.000,00 n = 90 dias = 3 meses i = 2,5% ao mês
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Descontos
D = FV x i x n D = 2.000 x 0,025 x 3 D = 150,00
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Descontos
Cálculo do valor do desconto simples para séries de títulos de mesmo valor:
Fórmulas:
PVt = FV x N - Dt
Dt = FV x N x i x t1 + t2
2
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Descontos
Onde: Dt = valor do desconto total N = número de títulos i = taxa de juros t1 + t2 = prazo médio dos títulos
2
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Descontos
Exemplo: Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de $ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês.
![Page 37: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/37.jpg)
Descontos
Dados: FV = 1.680,00 N = 12 t1 = 1
tn = 12 Pt = ? i = 2,5%
![Page 38: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/38.jpg)
Descontos
Solução: Dt = 1.680,00 x 12 x 0,025 x 1 + 12
2 Dt = 3.276,00 Pt = (1.680,00 x 12) – 3.276,00 Pt = 16.884,00
![Page 39: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/39.jpg)
Descontos
Taxa Efetiva de Desconto (ie) É aquela que, como o próprio nome diz,
remunera efetivamente uma operação de desconto.
Há uma mudança de enfoque, veja: A loja de eletrodomésticos, ao permitir que
seus clientes paguem 30 dias após a compra, está realidade, abdicando de receber $ 900,00, hoje, para receber $ 1.000,00 daqui a um mês. Quanto ganhará com isso?
![Page 40: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/40.jpg)
Descontos
O rendimento será de $ 100,00 sobre os $ 900,00 de hoje. A taxa de remuneração ou taxa efetiva será:
Ie = 100/900 x 100 = 11,11%.
![Page 41: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/41.jpg)
Descontos
Assim podemos dizer: A taxa nominal de desconto (id)
incide sobre o valor nominal do título. Já a taxa efetiva de desconto (ie) é aplicada sobre o valor líquido da operação.
![Page 42: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/42.jpg)
Descontos
ie = id x 100
100 – id
Onde:
ie = taxa efetiva de desconto
id = taxa nominal de desconto
![Page 43: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/43.jpg)
Juros Simples: Exercícios
01- Qual o montante (capital + juros) acumulado em 7 meses, a uma taxa de 10% a.m., no regime de juros simples, a partir de um principal de $ 200,00?
02- Qual o capital necessário para obter um montante de $ 970,00, daqui a 3 semestres, a uma taxa de 42% ao semestre, no regime de juros simples?
03- Qual a taxa mensal de juros simples que transforma um capital de $ 350,00 num montante de $ 570,50, daqui a 7 meses?
![Page 44: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/44.jpg)
Juros Simples: Exercícios
04- Calcular os juros simples recebidos em uma aplicação de $ 100,00, a uma taxa de 10,00% a.m., num prazo de 15 dias.
05- A que taxa devemos emprestar $ 97,00, a juros simples, para que em 10 meses ele duplique?
06- Utilizar o Método Hamburguês para apurar os juros a serem pagos em uma conta de crédito rotativo de pessoa jurídica, que apresenta as seguintes características: taxa de juros: 10% ao mês; limite de crédito: $ 200.000,00
![Page 45: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/45.jpg)
Juros Simples: Exercícios
Data Histórico Débito ou Crédito Saldo (D/C)$ $
01/06/02 Saldo anterior 0 0,00 C05/06/02 Cheque 40.000,00 D -40.000,00 D09/06/02 Saque 8.000,00 D -48.000,00 D15/06/02 Depósito 48.000,00 C 0,00 C23/06/02 Av. de débito 32.000,00 D -32.000,00 D29/06/02 Saque 10.500,00 D -42.500,00 D
Extrato de Movimentação Financeira
![Page 46: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/46.jpg)
Juros Simples: Exercícios
07- Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 800,00?
08- Uma duplicata no valor de $ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de $ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata.
![Page 47: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/47.jpg)
Juros Simples: Exercícios 09- Calcular o valor líquido creditado na conta
de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor de $ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês.
10- O desconto de uma duplicata gerou um crédito de $ 70.190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa operação, calcular o valor da duplicata.
![Page 48: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/48.jpg)
Juros Simples: Exercícios 11- Quatro duplicatas, no valor de $ 32.500,00
cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto.
12- Uma empresa apresenta 9 títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do borderô, e que o valor líquido creditado a empresa foi de $ 25.000,00, calcular o valor de cada título.
![Page 49: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/49.jpg)
Juros Simples: Exercícios
13-Um consumidor deseja liquidar antecipadamente 6 prestações restantes de um financiamento obtido para a compra de um bem. Sabendo-se que o valor de cada prestação é de $ 30.000,00; que a primeira prestação vence a 30 dias de hoje e a última a 180 dias; e que o desconto dado pelo credor é de 1% ao mês (desconto simples ou bancário), calcular o valor a ser pago pelo financiado para liquidar o contrato.
![Page 50: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/50.jpg)
Juros Simples: Exercícios 14- Oito títulos, no valor de $ 1.000,00
cada um, são descontados por um banco, cujo líquido correspondente, no valor de $ 6.830,00, é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 dias, calcular a taxa de desconto.
15- Calcular a taxa efetiva de desconto, dada a taxa nominal de 3% ao mês.
16- Calcular a taxa efetiva de desconto, para o prazo de 45 dias, para uma operação com taxa nominal de 3,3% ao mês.
![Page 51: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/51.jpg)
Juros Compostos
No regime de juros compostos, os juros obtidos a cada novo período são incorporados ao capital, formando um montante que passará a participar da geração de juros no período seguinte, e assim sucessivamente. Dessa forma, não apenas o capital inicial rende juros, mas eles são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados.
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Juros Compostos
PV = Capital inicial n = Números de períodos FV = Montante no regime de juros
compostos No regime de juros compostos, a taxa de
juros (i) incide sobre o montante (PV+J) do período anterior. Portanto, difere do regime de juros simples, em que a incidência é sempre sobre o capital inicial (PV).
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Juros Compostos
Exemplo 1: Para um capital de $ 100.000,00, aplicado à taxa de 10% ao mês, em juros compostos, por 3 meses, teríamos:
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Juros Compostos
n PV J juros acumulados Montante (PV+J)10%
0 100.000 0 0 100.0001 100.000 10.000 10.000 110.0002 110.000 11.000 21.000 121.0003 121.000 12.100 33.100 133.100
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Juros Compostos
Observe que os juros são cobrados a cada período de capitalização que, neste caso, é mensal. No período n=0, o capital ainda não rendeu juros, pois é nesse momento que a aplicação se inicia. A remuneração (juros) de cada período é obtida pela multiplicação do montante do período anterior pela taxa de juros.
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Juros Compostos
A) Primeiro período: Juros: J1 = PV x i
100
J1 = 100.000 x 10/100 = 10.000
Montante: FV1 = PV + PV x i
100
FV1 = PV ( 1 + i )
100
Montante do primeiro período
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Juros Compostos
B) Segundo Período Juros: J2 = FV1 x i
100
J2 = 110.000 x 10/100 = 11.000
Verifique que o juro aumentou em 1.000, que corresponde à parcela incidente sobre os juros do período anterior (10.000 x 10/100). Por isso os juros compostos são chamados de juros sobre juros.
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Juros Compostos
Montante: FV2 = FV1 + J2
FV2 = FV1 + FV1 x i 100
FV2 = FV1 ( 1 + i ) 100
FV2 = PV ( 1 + i ) x ( 1 + i ) 100 100
FV2 = PV ( 1 + i )2 Montante 2.º período
100
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Juros Compostos C) Terceiro Período: Juros: J3 = FV2 x i
100
J3 = 121.000 x 10/100 = 12.100
Montante: FV3 = FV2 + J3
FV3 = FV2 + FV2 x i 100
FV3 = PV ( 1 + i ) 2 x ( 1 + i ) 100 100
FV3 = PV ( 1 + i )3 Montante 3.º período
100
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Juros Compostos
Portanto, generalizando a fórmula para “n” períodos, temos:
FVn = PV ( 1 + i )n
100
ESTA É A FÓRMULA GERAL DE JUROS COMPOSTOS.
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Juros Compostos
Observação: A unidade de tempo utilizada para o
período (n) deve ser a mesma da taxa de juros (i), ou seja, se o período (n) é dado em:
Dia – taxa em dia (i% a.d.); Mês – taxa em mês (i% a.m.); Ano – taxa em ano (i% a.a.)
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Juros Compostos
Outro exemplo: Uma aplicação de $ 50.000,00, pelo prazo de 3 meses, a uma taxa de 5% a.m. (0,05 a.m.), capitalizável mensalmente, quanto renderá?
FVn = PV ( 1 + i )n
100
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Juros Compostos
FV = 50.000 ( 1,05 )3
FV = 57.881,25 Esse é montante, os juros (rendimentos)
são: J = MONTANTE – CAPITAL INICIAL J = 57.881,25 – 50.000,00 J = 7.881,25 Veja o que ocorreu em cada período no
quadro a seguir:
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Juros Compostos
Período Capital Taxa Juros do Período Montanten PV i J FV1 50.000,00 5% 2.500,00 52.500,00 2 52.500,00 5% 2.625,00 55.125,00 3 55.125,00 5% 2.756,25 57.881,25
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Juros Compostos - Exercícios 01- Encontrar o montante a ser recebido
por uma aplicação em juros compostos de $ 1.000,00, remunerada a 8,35% ao mês durante 10 meses.
02- Você deposita a importância de $ 150,00 em um banco que paga as seguintes taxas: 4,5% a.m. no primeiro mês de investimento, 5,30% a.m. no segundo mês e 5,89% a.m. no terceiro mês. Determine o montante que ela resgatará após os 3 meses de investimento.
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Juros Compostos: Exercícios 03-Determine o montante produzido pelo
capital de $ 770,00, aplicado a uma taxa de 12,49% a.t., durante 15 meses, com capitalização trimestral.
04- Calcule o valor de $ 250,00 para os próximos 2, 3 e 6 meses, se a taxa se mantiver em 3,8% a.m.
05- Quanto valia há 8 meses, e quanto valerá daqui a 5 meses $ 170,00, considerando-se uma taxa de 4,9% a.m.?
![Page 67: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/67.jpg)
Juros Compostos: Exercícios 06- Calcular o montante de uma aplicação
de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3% ao mês.
07- No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de $ 200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: qual o valor emprestado?
![Page 68: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/68.jpg)
Juros Compostos: Exercícios 08- Determinar o montante correspondente a
uma aplicação de $ 10.000,00, pelo prazo de 7 meses, a uma taxa de 3,387% ao mês.
09- Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de $ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês.
10- Uma empresa obtém um empréstimo de $ 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.
![Page 69: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/69.jpg)
Juros Compostos: Análise de Taxas Muitas vezes, no momento da tomada da
decisão de realizar uma Operação Financeira, nos deparamos com taxas em “tempos diferentes”. Essas diferenças se não forem reajustadas podem causar conclusões errôneas, como por exemplo, “achar” que 1% ao dias é igual a 30% ao mês.
Para que não ocorra tal conclusão, vamos utilizar sempre que for necessário, a fórmula de “Taxas Equivalentes” no regime composto.
![Page 70: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/70.jpg)
Juros Compostos: Análise de Taxas Equivalência de Taxas (fórmula
adaptada) Fórmula :
Taxa que eu quero = [(1 + taxa que eu tenho) prazo que eu quero -1] x 100– prazo que eu tenho
Ou seja: iq = [(1+it)nq –1] x 100
nt
![Page 71: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/71.jpg)
Juros Compostos: Análise de Taxas
i tenho 20% a.m. 10% a.m. 5% a.d. 120%a.a.
i quero a.d. a.a. a.s. a.t.
Resultado
![Page 72: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/72.jpg)
Juros Compostos: Análise de Taxas - Exercícios 01- Qual a taxa mensal equivalente a
460% ao ano? 02- Calcule a taxa anual equivalente a
13,14% ao mês. 03- Calcular a taxa trimestral equivalente a
uma taxa de 360% ao ano. 04- Calcule a taxa mensal equivalente a
413% ao ano. 05- Determinar a taxa diária equivalente a
25% ao trimestre.
![Page 73: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/73.jpg)
Juros Compostos: Análise de Taxas - Exercícios 06- Calcule a taxa semestral equivalente a
5,3% ao mês. 07- Determine a taxa diária equivalente a
15% ao mês. 08- Determine a taxa bimestral equivalente
a 40% ao semestre. 09- Calcule as taxas diárias, mensal,
trimestral, semestral e anual para 365 dias, equivalente a 10,70% ao bimestre.
![Page 74: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/74.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva Taxa nominal (in) É uma taxa referente a um período
que não coincide com o período de capitalização de juros. A taxa nominal não corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Geralmente, tem periodicidade anual e aparece em contratos financeiros.
![Page 75: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/75.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva Lembre-se, na taxa nominal emprega-se
uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização!
Exemplo 1: 35% ao ano, com capitalização mensal; 16% ao ano, com capitalização semestral; 8 % ao mês, com capitalização diária.
![Page 76: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/76.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada
no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio.
A taxa que representa o efetivo ganho/custo financeiro do negócio é a TAXA EFETIVA.
![Page 77: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/77.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva Taxa Efetiva (ie) É a que corresponde, de fato, ao
ganho/custo financeiro do negócio. Toda taxa, cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros, é uma taxa efetiva.
Exemplo 2: 40% ao ano, com capitalização anual; 18% ao semestre, com capitalização
semestral; 4% ao mês, com capitalização mensal.
![Page 78: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/78.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva Como se obtém a taxa efetiva para o
período de capitalização de juros? a) A partir de uma taxa nominal Neste caso, você aplica o conceito
de taxas proporcionais (juros simples):
![Page 79: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/79.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva
Ie = i n
k
Onde:
i e = taxa efetiva para o período de capitalização
i n = taxa nominal
k = número de capitalizações contidas no período da taxa nominal
![Page 80: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/80.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva Exemplo 3: 36% ao ano, com capitalização
mensal: (1 ano = 12 meses) k = 12 Ie = i n = 36 = 3 % ao mês
k 12
![Page 81: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/81.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva Calcule: 01- 48% ao ano, com capitalização
semestral. 02- 10% ao ano, com capitalização
trimestral. 03- 30% ao mês, com capitalização
anual. 04- 2% ao dia, com capitalização
mensal.
![Page 82: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/82.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva b) Obtenção da taxa efetiva a partir
de outra taxa efetiva, cuja unidade de tempo é diferente do período de capitalização dos juros.
Aqui se aplica o conceito de taxas equivalentes (juros compostos).
![Page 83: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/83.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva Exemplo: A partir da taxa nominal de 36% ao ano, cuja
taxa efetiva é de 3% ao mês, determinar a taxa efetiva anual equivalente.
iq = [(1+it)^nq/nt – 1 ] x 100 iq = [(1,03)^12/1 – 1] x 100 Taxa equivalente = 42,58% ao ano. Assim: A taxa efetiva anual equivalente à
taxa efetiva de 3% ao mês é de 42,58%, enquanto que a taxa nominal ao ano é de 36%.
![Page 84: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/84.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva 01- Qual a taxa efetiva mensal e a taxa
efetiva anual equivalente da caderneta de poupança?
02- Dada a taxa de 60% ao ano, com capitalização bimestral, calcule a taxa efetiva ao ano.
03- Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com período de capitalização mensal.
![Page 85: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/85.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva 04- Determine a taxa efetiva mensal
equivalente a uma taxa nominal de 7,5% ao mês com capitalização diária (calendário comercial).
05- Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 78,01% ao ano com capitalização semestral.
06- Foi aplicado $ 10.000,00 à taxa de 60,00% ao mês capitalizada diariamente. Determine o montante resgatado ao final de 4 dias.
![Page 86: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/86.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva Complete o quadro a seguir,
calculando as taxas efetivas correspondentes à taxas nominais dadas:
![Page 87: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/87.jpg)
Taxa Nominal x Taxa Efetiva
Taxa Capitalização trimestre semestre ano 33 diasA 7,97% a.a. mensalB 45% a. s mensalC 8,5% a.a. semestralD 17% a.m. diáriaE 6% a.a. bimestralF 1,51% a.t. diária
Taxa Nominal Taxa Efetiva
![Page 88: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/88.jpg)
Taxas Unificadas (iu)
Algumas modalidades financeiras possuem taxas compostas por um indexador e determinada taxa de juros.
É o caso, por exemplo, da caderneta de poupança. Seu rendimento é TR (Taxa Referencial) mais 0,5% ao mês.
O rendimento total é obtido com a unificação dessas duas taxas. Veja bem: unificar as taxas e não somar as taxas!
![Page 89: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/89.jpg)
Taxas Unificadas (iu)
A utilização de taxas unificadas é muito útil em regimes de economia inflacionária, como no caso vivido no Brasil, onde vários indexadores – na verdade taxas de correção monetária – são colocadas no mercado (IGP-M, TR, etc) para tentar zerar ou equilibrar a perda monetária provocada pela inflação.
Nosso problema é, tendo duas taxas (i1 e i2), torná-las única iu de forma que provoque o mesmo ganho/custo financeiro, se aplicadas isoladamente uma sobre a outra.
![Page 90: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/90.jpg)
Taxas Unificadas (iu)
Cuidado! Unificar duas taxas não significa somá-las:
i u i 1 + i 2
A fórmula de unificação é: i u = [ ( 1 + i1 ) x ( 1 + i2 ) –1 ] x 100
![Page 91: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/91.jpg)
Taxas Unificadas 01: A TR que remunera a caderneta de
poupança para o dia 22/01 é 0,328%. Calcular o rendimento total proporcionado às poupanças desta data.
02- Unificar as taxas 10% ao mês e 5% ao mês. 03- O Governo resolve dar reajuste de 30% aos
funcionários públicos, sendo a primeira parcela de 10% em janeiro e o restante em março. Calcular o percentual da segunda parcela.
04- Encontrar a taxa unificada referente à atualização monetária de 15% e taxa de juros de 1,3% incidentes sobre o mesmo capital.
![Page 92: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/92.jpg)
Taxas Unificadas
05- Unificar as seguintes taxas: a) 30% e 2% b) 115% e 10% c) 0,8426% e 0,5% d) 13%, 12%, 5% e 4% 06- Encontrar a taxa que atinja um reajuste
total de 80%, dado em duas parcelas, sendo a primeira de 40%.
07- Qual é o percentual de reajuste que falta para atingir o aumento salarial de 35%, em duas parcelas, sendo que a primeira foi de 10%?
![Page 93: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/93.jpg)
Taxa Real
É importante ressaltar que muita gente confunde taxa efetiva com taxa real.
TAXA REAL (i r ) é a taxa efetiva (i e ) excluída dos efeitos inflacionários (I). TAXA REAL refere-se a JURO REAL, que pode ser um GANHO REAL ou um CUSTO FINANCEIRO REAL.
![Page 94: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/94.jpg)
Taxa Real
Fórmula:
i r = ( 1 + i e - 1 ) x 100 1 + I
![Page 95: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/95.jpg)
Taxa Real
01- Se um determinado banco conceder a seus funcionários um reajuste de 25% para um período de 12 meses em que a inflação tiver sido de 20%, qual será o ganho real?
02- Foi emprestado um capital, à taxa de 26,83%, a título de juros e correção monetária. Sabendo-se que a inflação no período foi de 23,79%, calcular a taxa real.
03- Emprestamos um dinheiro a 4,36%. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real da operação?
![Page 96: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/96.jpg)
Taxa Real
04- Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8,00% ao mês. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real?
05- Um capital de $ 300,00 foi aplicado durante 3 meses, e resultou $ 373,37. Sabendo-se que a inflação média mensal foi de 1,20%, calcule:
a) taxa efetiva mensal; b) taxa real mensal.
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Taxa Real 06- Um cliente aplicou $ 2.500,00 em um
fundo de renda variável e obteve $ 2.518,75. Considerando que a inflação no período foi de 1,3%, calcular o ganho ou perda real do investimento.
07- Um capital de $ 789.000,00 foi aplicado durante 5 meses e resultou em $ 2.483.464,50. Se a inflação média mensal no período foi 25,10%, calcule:
a) taxa efetiva no período; b) taxa real no período; c) taxa efetiva mensal; d) taxa real mensal.
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Taxa Over
Com base no cenário financeiro, o Banco Central do Brasil realiza, periodicamente, leilões de Títulos Públicos (LTN, LBC, etc), dando oportunidade às Instituições Financeiras de adquirirem esses papéis.
Diante da expectativa de inflação, os bancos interessados tentam obter o maior desconto (deságio) possível, como no exemplo:
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Taxa Over
01- Um banco adquire um título, com vencimento para 30 dias, por $ 800,00, cujo preço de face é $ 1.000,00. Note que se trata de uma operação de desconto cuja taxa é de 20%.
Passo 1: Calcular a taxa efetiva, no caso, 25% (para 30 dias).
O mercado financeiro considera apenas os dias úteis, não os dias corridos, como no cálculo acima. Imaginemos, assim, que este período (30 dias corridos) contenha 22 dias úteis e que desejamos encontrar a taxa efetiva para 1 dia útil.
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Taxa Over
Passo 2: Calcular a taxa equivalente (importante: 25% já a taxa efetiva para 22 dias úteis):
Taxa Equivalente = 1,02% a.d. Se multiplicarmos este resultado por
30 obtemos uma taxa nominal mensal: 1,02 x 30 = 30,58% ao mês.
A ESTA TAXA NOMINAL DÁ-SE O NOME DE TAXA OVER.
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Taxa Over
Taxa Over é uma taxa nominal, mensal, que o mercado adotou para mensurar e/ou comparar ativos financeiros. É tão somente a taxa efetiva de 1 (um) dia, multiplicado por 30.
Taxa Over = Taxa Efetiva (dia) x 30
![Page 102: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/102.jpg)
Taxa Over
02- Determinar a taxa over considerando a compra de um título público, com vencimento para 28 dias corridos (17 dias úteis) por $ 918,70, cujo preço de face é $ 1.000,00.
![Page 103: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/103.jpg)
Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
Diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou desembolsos) são iguais e é feita em períodos homogêneos (a cada dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.).
![Page 104: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/104.jpg)
Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
Vejamos o fluxo abaixo: Série de Pagamentos
PV
0 1 2 3 4 5
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Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
Série de desembolsos
0 1 2 3 4 FV
![Page 106: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/106.jpg)
Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
Quando as entradas ou saídas destinam-se ao pagamento de uma dívida, chamam-se SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS
Quando destinam-se a constituir um capital futuro, tomam o nome de SÉRIES DE DESEMBOLSO.
![Page 107: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/107.jpg)
Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
Principais fórmulas utilizadas em séries uniformes
Tabela financeira; 1- FACs (Fator de Acumulação de
Capital) Dado o Valor Presente, achar o
Valor Futuro FACs = ( 1 + i ) n
![Page 108: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/108.jpg)
Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
02- FAC (relativo a uma série uniforme de pagamento)
Dada a Prestação, achar o Valor Futuro.
FAC = ( 1 + i ) n - 1 i
![Page 109: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/109.jpg)
Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
03- FVAs (Fator de Valor Atual) Dado o Valor Futuro, achar o Valor
Presente. FVAs = 1 ( 1 + i ) n
![Page 110: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/110.jpg)
Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
04- FVA (relativo a uma série uniforme de pagamentos)
Dada Prestação, achar Valor Presente
FVA = 1 - ( 1 + i ) – n
i
![Page 111: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/111.jpg)
Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
05- FFC (Fator de Formação de Capital)
Dado Valor Futuro, achar a Prestação.
FFC = i ( 1 + i )n - 1
![Page 112: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/112.jpg)
Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos
06- FRC (Fator de Recuperação de Capital)
Dado o Valor Presente, achar a Prestação
FRC = i 1 - ( 1 + i ) - n
![Page 113: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/113.jpg)
Sistemas de Amortização Amortização é o processo de liquidação de
uma dívida através de pagamentos periódicos. A amortização de uma dívida pode ser
processada de várias formas, dependendo das condições pactuadas.
Vejamos algumas situações: 1) Pagamento da dívida em prestações
periódicas, representadas por parcelas de juros mais capital;
2) Prestações constituídas exclusivamente de juros, ficando o capital pagável de uma só vez, no vencimento da dívida.
![Page 114: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/114.jpg)
Sistemas de Amortização
03) Juros capitalizados para pagamento, junto com o capital, ao final da dívida.
Em razão disso, são conhecidos diversos sistemas de amortização, dos quais destacamos, em razão de serem mais utilizados, o SAC e o PRICE.
![Page 115: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/115.jpg)
Sistemas de Amortizações Constantes (SAC)
No SAC as prestações são decrescentes e formadas por parcelas do capital mais juros.
O valor da amortização do capital é constante em todos os períodos. Já a parcela dos juros diminui a cada período, uma vez que a taxa de juros é aplicada sobre o saldo devedor.
Veja o gráfico:
![Page 116: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/116.jpg)
SAC
Gráfico SAC
prestação
Amortização (capital)
juros
prestação
períodos
![Page 117: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/117.jpg)
SAC
Exemplo 1: Uma composição de divida de $ 8.000.000,00 a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos, seguiremos o seguinte procedimento:
![Page 118: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/118.jpg)
SAC
1) Calcular a amortização – dividir o valor da operação pelo número de prestações.
2) Calcular a parcela de juros – fazer incidir a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior.
3) Calcular a prestação – somar o valor da amortização com a parcela de juros.
4- Apurar o saldo devedor do período – subtrair o valor da amortização do saldo devedor do período anterior.
![Page 119: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/119.jpg)
SACn.º prestações 4taxa de juros (a a) 36%
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor0 - - - 8.000.000,00 1 4.880.000,00 2.880.000,00 2.000.000,00 6.000.000,00 2 4.160.000,00 2.160.000,00 2.000.000,00 4.000.000,00 3 3.440.000,00 1.440.000,00 2.000.000,00 2.000.000,00 4 2.720.000,00 720.000,00 2.000.000,00 -
![Page 120: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/120.jpg)
SAC
Exemplo 2: Uma operação no valor de $
70.000,00 foi contratada para ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de juros de 17,00% ao ano. Como será sua planilha de pagamento?
![Page 121: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/121.jpg)
SACn.º prestações 4taxa de juros (a a) 17%
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor01234
![Page 122: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/122.jpg)
Sistema Francês ou Tabela Price As prestações são constantes em todos os
períodos e formadas por parcelas do capital mais juros. A parcela referente à amortização do capital aumenta a cada período, ao passo que a referente aos juros diminui no mesmo valor, mantendo assim iguais as prestações em todos os períodos.
Este sistema de amortização é um dos mais usados, pois o fato de as prestações terem valores constantes permite ao devedor um melhor planejamento dos pagamentos. É amplamente utilizado em CDC, leasing e outros.
![Page 123: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/123.jpg)
Price
Vejamos o gráfico:
prestação
amortização
juros
períodos
prestação
![Page 124: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/124.jpg)
Price Exemplo 1: O valor do financiamento é de $
600.000,00, à taxa de 37% ao ano, para ser pago em três parcelas. Para elaborar a planilha de pagamento, adotaremos os seguintes procedimentos:
1) Calcular a prestação (FRC – fórmula 6) 2) Calcular a parcela de juros – fazer incidir a taxa
de juros sobre o saldo devedor no período anterior.
3) Calcular a amortização – obtê-la pela diferença entre a prestação e os juros do período.
4) Apurar o saldo devedor do período – subtrair o valor da amortização do saldo devedor do período anterior.
![Page 125: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/125.jpg)
Price
n.º prestações 3taxa de juros (a a) 37%
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor0 - - - 600.000,00 1 363.279,52 222.000,00 141.279,52 458.720,48 2 363.279,52 169.726,58 193.552,94 265.167,53 3 363.279,52 98.111,99 265.167,53 -
![Page 126: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/126.jpg)
Sistema SAC ou Tabela Price, qual dos dois é melhor?
Matematicamente não é possível afirmar qual o melhor plano, pois são equivalentes:
a) reembolsam ao financiador o principal; b) remuneram, a uma taxa contratada,
todo o capital, pelo tempo em que permanecer nas mãos do financiado.
Devem-se observar as condições que envolvem o negócio, como capacidade de pagamento, necessidade de caixa, etc.
![Page 127: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/127.jpg)
SAC x PRICE
Utilize o exemplo 2 (SAC) e calcule o planilha de financiamento pela Tabela Price e compare as duas situações.
Lembrando que era: valor financiado $ 70.000,00, 4 prestações anuais, com juros de 17% ao ano.
![Page 128: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/128.jpg)
SAC x PRICE
n.º prestações 4taxa de juros (a a) 17%
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor01234
![Page 129: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/129.jpg)
SAC e PRICE: Exercícios 01- Um cliente propôs pagar o saldo
devedor de um empréstimo de $ 120.000,00 em 4 parcelas mensais, mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim, o ideal seria a amortização pelo sistema SAC. Preencha a grade, sabendo que a taxa de juros é de 10% ao mês.
![Page 130: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/130.jpg)
SAC e PRICE:Exercícios 02- A composição de uma dívida de
$ 5.000,00 será paga em 5 prestações, com taxa de 15% ao ano, pelo sistema SAC. Encontrar os valores de cada prestação, juros e amortização anual.
![Page 131: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/131.jpg)
SAC e PRICE:Exercícios 03- Uma geladeira no valor de $
1.200,00 é financiada pela Tabela Price em 4 parcelas mensais, sem entrada. Encontrar o valor da prestação mensal e as parcelas de juros e amortização do capital de cada período, sabendo que a taxa de financiamento é de 11% ao mês.
![Page 132: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/132.jpg)
ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA É o principal objetivo do matemática
financeira. O fluxo de caixa de um investimento,
empréstimo ou financiamento, ou mesmo de uma empresa, é o nome dado ao conjunto das entradas e saídas do dinheiro ao longo do tempo.
![Page 133: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/133.jpg)
Fluxo de Caixa A matemática financeira, portanto, nos
permite comparar fluxos de caixas distintos para identificarmos a melhor alternativa de empréstimo, investimento ou financiamento.
Ao fazermos uma pesquisa de preços, por exemplo, para aquisição de uma televisão, encontramos diversas alternativas de pagamento nas várias lojas pesquisadas:
Somente a vista Sem entrada + 2, + 3, + 4 prestações E assim por diante.
![Page 134: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/134.jpg)
Fluxo de Caixa
Onde deverei comprar? Somente poderemos dizer qual é a melhor
opção de compra, se analisarmos cada fluxo de caixa e transformarmos cada proposta em seu valor equivalente à vista.
A matemática financeira dá as “ferramentas” básicas que nos permitem comparar diferentes alternativas de investimento de um mesmo período.
![Page 135: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/135.jpg)
Fluxo de Caixa
Existem vários métodos de análise de investimento. Contudo, em função de serem os mais utilizados pelo mercado, iremos enfocar três: o Prazo de Retorno – Payback, o Valor Presente Líquido – NPV (Net Present Value) e a Taxa Interna de Retorno – IRR (Internal Rate Return).
![Page 136: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/136.jpg)
Payback
O payback (prazo de retorno) é um método simples, fácil de calcular, é definido por: prazo de tempo necessário para que os desembolsos sejam integralmente recuperados.
![Page 137: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/137.jpg)
Payback
Supondo o quadro (resultado do investimento)
Anos Fluxo de Caixa 0 $ (-) 30 1 $ (-) 15 2 $ 20 3 $ 25 4 $ 40
![Page 138: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/138.jpg)
Payback
Fluxo de Caixa
30 15
20 25 40
0 1 2 3 4
![Page 139: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/139.jpg)
Payback
No exemplo, temos: ANOS FLX CX ACUMULADO 0 - 30 - 30 1 - 15 - 45 2 20 - 25 3 25 0 4 40 40 O prazo de retorno foi de 3 anos.
![Page 140: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/140.jpg)
Payback A aplicação do método na empresa é feito
do seguinte modo: a empresa fixa um prazo limite para recuperação dos investimentos e são aceitos projetos cujo tempo de recuperação for menor ou igual a este limite.
Deficiência do método: 1) Não reconhece as entradas de caixa
previstas para ocorrerem após a recuperação do investimento;
2) Não avalia adequadamente o valor do dinheiro no tempo.
![Page 141: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/141.jpg)
Exercícios
01- Escolha o melhor projeto do ponto de vista do payback, justificando a escolha:
![Page 142: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/142.jpg)
Payback: exercícios
Dados PROJETOS A B C
Investimento Inicial ($) 20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 6.000 7.500 9.000
2.º ano 7.000 7.500 8.000
3.º ano 8.000 7.500 7.000
4.º ano 9.000 7.500 6.000
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Valor Presente Líquido (NPV) Antes de aplicar o método do VPL
vamos recordar a capitalização e descapitalização.
Capitalizar – a partir de um valor presente (PV) obter um valor futuro (FV).
PV (conhecido)
FV (desconhecido)
0 1 2... nperíodos
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NPV
Descapitalizar – a partir de um valor futuro (FV) obter um valor presente (PV).
0 1 2 n períodos
PV (desconhecido)
FV (conhecido)
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NPV
Exemplo 1: Considere que você tomou um empréstimo
de $ 1.000,00, no dia 10 de janeiro para pagar após 6 meses, ou seja, no dia 10 de julho, de uma só vez, à taxa de 5% ao mês (capitalizados mensalmente).
a) encontre o valor a ser pago no vencimento (10/7);
b) caso você deseje liquidar antecipadamente a dívida, em 10 de abril, que valor deverá ser pago?
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NPV
NPV é a soma das entradas e saídas, descapitalizadas, uma a uma, até o momento zero.
Modelo matemático do Valor Presente Líquido – NPV:
Sejam: PV = investimento inicial (momento zero) PMTj = fluxos subseqüentes ao momento
“zero” (j = 1,2,...,n)
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NPV
NPV = -PV + PMT1 + PMT2 + ... + PMTn
(1+i)1 (1+i)2 (1+i)n
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NPV
Exemplo 1: O Sr. Chico Cavalcante emprestou
hoje $ 100.000,00 a um amigo que lhe prometeu pagar $ 60.000,00 daqui a 1 mês e $ 75.000,00 daqui a 2 meses.
Sabendo que a taxa é de 20% ao mês, calcule o valor presente líquido.
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NPV
02- Calcule o valor presente líquido do fluxo abaixo, considerando que a taxa de juros é de 25% ao ano.
Anos Fluxo de Caixa 0 $ (-) 30 1 $ (-) 15 2 $ 20 3 $ 25 4 $ 40
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NPV
03- Calcule o NPV dos projetos abaixo, considerando uma taxa de juros anual de 20%, avaliando quais serão aceitos e qual a sua indicação para a tomada de decisão do empresário:
![Page 151: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/151.jpg)
NPV
Dados PROJETOS A B C
Investimento Inicial ($) 20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 6.000 7.500 9.000
2.º ano 7.000 7.500 8.000
3.º ano 8.000 7.500 7.000
4.º ano 9.000 7.500 6.000
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TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR) É a taxa que torna nulo o Valor
Presente Líquido (NPV) de um fluxo de caixa.
Exemplo 1: Suponhamos o seguinte fluxo de
caixa:
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IRR
Dados PROJETO
Investimento Inicial ($) 4.500
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 1.000
2.º ano 2.000
3.º ano 3.000
![Page 154: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/154.jpg)
IRR
Calcule o NPV para a taxa de juros igual a 10% ao ano e 15% ao ano.
Teremos: A) 10% NPV = 315,93 B) 15% NPV = (-) 145,60 Portanto, a taxa está entre 10% e 15% ao
ano. Agora vem a técnica da interpolação linear. Neste caso aplica-se a regra de 3 simples:
![Page 155: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/155.jpg)
IRR Quando variamos as taxas: 10% para 15%, portanto, 5%, o valor em $
variou de 315,93 para (-) 145,60, ou seja: Variando: 5 pontos percentuais, o valor variou $
461,53. Pergunta-se: quanto deve variar a taxa para
absorver somente $ 315,93? Assim: 5 p.p está para $ 461,53, assim como X
p.p. está para $ 315,93. Resultado: 3,42 p.p. Desta forma a IRR = 10% + 3,42% = 13,42%
ao ano.
![Page 156: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/156.jpg)
IRR
Importante: como trata-se de interpolação linear, quanto maior for a diferença entre as taxas, menos preciso será o resultado. Por este método chegamos a uma taxa aproximada.
As calculadoras financeiras indicam uma taxa mais precisa.
![Page 157: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/157.jpg)
IRR
315,93
-145,60 5%
GRÁFICO DO IRR
10% 15%
13,42%
![Page 158: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/158.jpg)
IRR: Exercícios
01- Calcular a Taxa Interna de Retorno para:
Anos Fluxo de Caixa 0 $ (-) 30 1 $ (-) 15 2 $ 20 3 $ 25 4 $ 40
![Page 159: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/159.jpg)
IRR: Exercícios
02- Calcule o IRR dos projetos abaixo, escolhendo o melhor, justificando sua escolha:
Dados PROJETOS A B C
Investimento Inicial ($) 20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 6.000 7.500 9.000
2.º ano 7.000 7.500 8.000
3.º ano 8.000 7.500 7.000
4.º ano 9.000 7.500 6.000
![Page 160: MATEMÁTICA FINANCEIRA](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062407/55cf8f55550346703b9b4175/html5/thumbnails/160.jpg)
IRR: Exercícios
03- Uma geladeira é vendida por $ 800,00 a vista, ou em 5 parcelas, sem entrada, de $ 184,78. Qual a taxa de juros deste crediário?
04- Uma TV é vendida por $ 900,00 a vista, ou podendo ser parcelada em 6 vezes (entrada + 5), de $ 180,26. Qual a taxa de juros deste crediário?